Οι αριθμοί Fibonacci στη φύση και την ανθρώπινη ζωή. Χρυσή αναλογία Fibonacci

Έχετε ακούσει ποτέ ότι τα μαθηματικά αποκαλούνται «η βασίλισσα όλων των επιστημών»; Συμφωνείτε με αυτή τη δήλωση; Όσο τα μαθηματικά παραμένουν ένα βαρετό παζλ σχολικών βιβλίων για εσάς, δύσκολα μπορείτε να νιώσετε την ομορφιά, την ευελιξία και ακόμη και το χιούμορ αυτής της επιστήμης.

Αλλά υπάρχουν θέματα στα μαθηματικά που βοηθούν να κάνουμε περίεργες παρατηρήσεις για πράγματα και φαινόμενα που είναι κοινά σε εμάς. Και μάλιστα προσπαθήστε να διεισδύσετε στο πέπλο του μυστηρίου της δημιουργίας του σύμπαντος μας. Υπάρχουν περίεργα μοτίβα στον κόσμο που μπορούν να περιγραφούν με τη βοήθεια των μαθηματικών.

Παρουσιάζοντας τους αριθμούς Fibonacci

Αριθμοί Fibonacciονομάστε τα στοιχεία σειρά αριθμών. Σε αυτό, κάθε επόμενος αριθμός της σειράς προκύπτει αθροίζοντας δύο προηγούμενοι αριθμοί.

Ακολουθία δειγμάτων: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

Μπορείτε να το γράψετε ως εξής:

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2

Μπορείτε να ξεκινήσετε μια σειρά αριθμών Fibonacci με αρνητικές τιμές n. Επιπλέον, η ακολουθία σε αυτή την περίπτωση είναι διπλής όψης (δηλαδή καλύπτει αρνητικά και θετικούς αριθμούς) και τείνει προς το άπειρο και προς τις δύο κατευθύνσεις.

Ένα παράδειγμα τέτοιας ακολουθίας: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

Ο τύπος σε αυτή την περίπτωση μοιάζει με αυτό:

F n = F n+1 - F n+2ή αλλιώς μπορείτε να το κάνετε ως εξής: F-n = (-1) n+1 Fn.

Αυτό που σήμερα γνωρίζουμε ως «αριθμοί Fibonacci» ήταν γνωστό στους αρχαίους Ινδούς μαθηματικούς πολύ πριν χρησιμοποιηθούν στην Ευρώπη. Και με αυτό το όνομα, γενικά, ένα στερεό ιστορικό ανέκδοτο. Ας ξεκινήσουμε με το γεγονός ότι ο ίδιος ο Φιμπονάτσι δεν αποκάλεσε ποτέ τον εαυτό του Φιμπονάτσι κατά τη διάρκεια της ζωής του - αυτό το όνομα άρχισε να εφαρμόζεται στον Λεονάρντο της Πίζας μόνο αρκετούς αιώνες μετά το θάνατό του. Αλλά ας μιλήσουμε για όλα με τη σειρά.

Ο Λεονάρντο της Πίζας γνωστός και ως Φιμπονάτσι

Γιος ενός εμπόρου που έγινε μαθηματικός και στη συνέχεια έλαβε την αναγνώριση των απογόνων του ως ο πρώτος μεγάλος μαθηματικός της Ευρώπης κατά τον Μεσαίωνα. Όχι μέσα τελευταία στροφήχάρη στους αριθμούς Fibonacci (που τότε, θυμόμαστε, δεν ονομάζονταν ακόμη έτσι). στο οποίο βρίσκεται αρχές XIIIαιώνα που περιγράφεται στο έργο του «Liber abaci» («The Book of the Abacus», 1202).

Ταξιδεύοντας με τον πατέρα του στην Ανατολή, ο Λεονάρντο σπούδασε μαθηματικά με Άραβες δασκάλους (και εκείνες τις μέρες ασχολούνταν με αυτήν την επιχείρηση και σε πολλές άλλες επιστήμες, μια από τις οι καλύτεροι ειδικοί). Έργα μαθηματικών της Αρχαιότητας και αρχαία Ινδίαδιάβαζε σε αραβικές μεταφράσεις.

Έχοντας κατανοήσει σωστά όλα όσα διάβασε και συνέδεσε το δικό του περίεργο μυαλό, ο Φιμπονάτσι έγραψε αρκετές επιστημονικές πραγματείες για τα μαθηματικά, συμπεριλαμβανομένου του «Βιβλίου του Άβακα» που ήδη αναφέρθηκε παραπάνω. Εκτός από αυτήν, δημιούργησε:

"Practica geometriae" ("Practica of Geometry", 1220);
"Flos" ("Flower", 1225 - μια μελέτη για τις κυβικές εξισώσεις).
"Liber quadratorum" ("The Book of Squares", 1225 - προβλήματα σε αόριστες τετραγωνικές εξισώσεις).

Ήταν μεγάλος λάτρης των μαθηματικών τουρνουά, έτσι στις πραγματείες του έδινε μεγάλη προσοχή στην ανάλυση διαφόρων μαθηματικών προβλημάτων.

Λίγα είναι γνωστά για τη ζωή του Λεονάρντο. βιογραφικές πληροφορίες. Όσον αφορά το όνομα Φιμπονάτσι, με το οποίο μπήκε στην ιστορία των μαθηματικών, του δόθηκε μόνο τον 19ο αιώνα.

Ο Φιμπονάτσι και τα προβλήματά του

Αφού έφυγε ο Φιμπονάτσι μεγάλος αριθμόςπροβλήματα που ήταν πολύ δημοφιλή στους μαθηματικούς τους επόμενους αιώνες. Θα εξετάσουμε το πρόβλημα των κουνελιών, στη λύση του οποίου χρησιμοποιούνται οι αριθμοί Fibonacci.

Τα κουνέλια δεν είναι μόνο πολύτιμη γούνα

Ο Fibonacci έθεσε τους εξής όρους: υπάρχει ένα ζευγάρι νεογέννητων κουνελιών (αρσενικά και θηλυκά) μιας τόσο ενδιαφέρουσας ράτσας που τακτικά (ξεκινώντας από τον δεύτερο μήνα) παράγουν απογόνους - πάντα έναν ένα νέο ζευγάρικουνέλια. Επίσης, όπως μπορείτε να μαντέψετε, αρσενικό και θηλυκό.

Αυτά τα κουνέλια υπό όρους τοποθετούνται σε κλειστό χώρο και αναπαράγονται με ενθουσιασμό. Επίσης ορίζεται ότι κανένα κουνέλι δεν πεθαίνει από κάποια μυστηριώδη ασθένεια κουνελιού.

Πρέπει να υπολογίσουμε πόσα κουνέλια θα έχουμε σε ένα χρόνο.

Στην αρχή του 1 μήνα έχουμε 1 ζευγάρι κουνέλια. Στο τέλος του μήνα ζευγαρώνουν.
Ο δεύτερος μήνας - έχουμε ήδη 2 ζευγάρια κουνελιών (ένα ζευγάρι έχει γονείς + 1 ζευγάρι - τους απογόνους τους).
Τρίτος μήνας: Το πρώτο ζευγάρι γεννά ένα νέο ζευγάρι, το δεύτερο ζευγάρι ζευγαρώνει. Σύνολο - 3 ζεύγη κουνελιών.
Τέταρτος μήνας: Το πρώτο ζευγάρι γεννά ένα νέο ζευγάρι, το δεύτερο ζευγάρι δεν χάνει χρόνο και επίσης γεννά ένα νέο ζευγάρι, το τρίτο ζευγάρι μόλις ζευγαρώνει. Σύνολο - 5 ζεύγη κουνελιών.

Αριθμός κουνελιών μέσα n-ος μήνας = αριθμός ζευγών κουνελιών από τον προηγούμενο μήνα + αριθμός νεογέννητων ζευγών (υπάρχουν ίδιοι αριθμοί ζευγών κουνελιών 2 μήνες πριν). Και όλα αυτά περιγράφονται από τον τύπο που έχουμε ήδη δώσει παραπάνω: F n \u003d F n-1 + F n-2.

Έτσι, λαμβάνουμε μια επαναλαμβανόμενη (επεξήγηση του αναδρομή- παρακάτω) αριθμητική ακολουθία. Στην οποία κάθε επόμενος αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγούμενων:

1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 2 = 5
5 + 3 = 8
8 + 5 = 13
13 + 8 = 21
21 + 13 = 34
34 + 21 = 55
55 + 34 = 89
89 + 55 = 144
144 + 89 = 233
233+ 144 = 377 <…>

Μπορείτε να συνεχίσετε την ακολουθία για μεγάλο χρονικό διάστημα: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. Επειδή όμως έχουμε ορίσει μια συγκεκριμένη περίοδο - ένα χρόνο, μας ενδιαφέρει το αποτέλεσμα που προκύπτει στη 12η «κίνηση». Εκείνοι. 13ο μέλος της ακολουθίας: 377.

Η απάντηση βρίσκεται στο πρόβλημα: 377 κουνέλια θα ληφθούν εάν πληρούνται όλες οι αναφερόμενες προϋποθέσεις.

Μια από τις ιδιότητες της ακολουθίας Fibonacci είναι πολύ περίεργη. Αν πάρουμε δύο διαδοχικά ζεύγη από μια σειρά και διαιρέσουμε περισσότεροσε λιγότερο, το αποτέλεσμα θα πλησιάσει σταδιακά Χρυσή αναλογία(Μπορείτε να διαβάσετε περισσότερα σχετικά αργότερα στο άρθρο).

Στη γλώσσα των μαθηματικών, «όριο σχέσης ένα ν+1προς την a nίσο με τη χρυσή τομή.

Περισσότερα προβλήματα στη θεωρία αριθμών

Βρείτε έναν αριθμό που μπορεί να διαιρεθεί με το 7. Επίσης, αν τον διαιρέσετε με το 2, 3, 4, 5, 6, το υπόλοιπο θα είναι ένα.
Εύρημα τετραγωνικός αριθμός. Είναι γνωστό γι 'αυτόν ότι αν προσθέσετε 5 σε αυτό ή αφαιρέσετε το 5, θα πάρετε πάλι έναν τετράγωνο αριθμό.

Σας προσκαλούμε να βρείτε μόνοι σας απαντήσεις σε αυτές τις ερωτήσεις. Μπορείτε να μας αφήσετε τις επιλογές σας στα σχόλια αυτού του άρθρου. Και μετά θα σας πούμε αν οι υπολογισμοί σας ήταν σωστοί.

Μια εξήγηση για την αναδρομή

αναδρομή- ορισμός, περιγραφή, εικόνα ενός αντικειμένου ή μιας διαδικασίας, που περιέχει αυτό το αντικείμενο ή τη διεργασία η ίδια. Δηλαδή, στην πραγματικότητα, ένα αντικείμενο ή μια διαδικασία είναι μέρος του εαυτού του.

Η αναδρομή βρίσκει ευρεία εφαρμογή στα μαθηματικά και την επιστήμη των υπολογιστών, ακόμη και στην τέχνη και τον λαϊκό πολιτισμό.

Οι αριθμοί Fibonacci ορίζονται χρησιμοποιώντας επαναλαμβανόμενη σχέση. Για τον αριθμό n>2 n-ο αριθμός e είναι (n - 1) + (n - 2).

Επεξήγηση της χρυσής τομής

Χρυσή αναλογία - διαίρεση ενός συνόλου (για παράδειγμα, ενός τμήματος) σε μέρη που συσχετίζονται ανάλογα ακολουθώντας την αρχή: τα περισσότερα απόαναφέρεται στο μικρότερο με τον ίδιο τρόπο όπως ολόκληρη η τιμή (για παράδειγμα, το άθροισμα δύο τμημάτων) στο μεγαλύτερο μέρος.

Η πρώτη αναφορά της χρυσής τομής βρίσκεται στην πραγματεία του Ευκλείδη «Αρχές» (περίπου 300 π.Χ.). Στο πλαίσιο κατασκευής κανονικού ορθογωνίου.

Ο γνωστός σε εμάς όρος εισήχθη το 1835 από τον Γερμανό μαθηματικό Μάρτιν Ομ.

Εάν περιγράψετε τη χρυσή τομή κατά προσέγγιση, είναι μια αναλογική διαίρεση σε δύο άνισα μέρη: περίπου 62% και 38%. ΣΤΟ με αριθμητικούς όρουςη χρυσή τομή είναι ένας αριθμός 1,6180339887 .

Η χρυσή τομή βρίσκει πρακτική χρήσησε καλές τέχνες(πίνακες του Λεονάρντο ντα Βίντσι και άλλων ζωγράφων της Αναγέννησης), αρχιτεκτονική, κινηματογράφος (The Battleship Potemkin του S. Ezenstein) και άλλες περιοχές. Για πολύ καιρό πίστευαν ότι η χρυσή τομή είναι η πιο αισθητική αναλογία. Αυτή η άποψη είναι ακόμα δημοφιλής σήμερα. Αν και, σύμφωνα με τα αποτελέσματα της έρευνας, οπτικά, οι περισσότεροι άνθρωποι δεν αντιλαμβάνονται μια τέτοια αναλογία ως την πιο επιτυχημένη επιλογή και τη θεωρούν πολύ επιμήκη (δυσανάλογη).

Μήκος κοπής Με = 1, ένα = 0,618, σι = 0,382.
Στάση Μεπρος την ένα = 1, 618.
Στάση Μεπρος την σι = 2,618

Τώρα πίσω στους αριθμούς Fibonacci. Πάρτε δύο διαδοχικούς όρους από τη σειρά του. Διαιρέστε τον μεγαλύτερο αριθμό με τον μικρότερο και λάβετε περίπου 1.618. Και τώρα ας χρησιμοποιήσουμε τον ίδιο μεγαλύτερο αριθμό και το επόμενο μέλος της σειράς (δηλαδή, έναν ακόμη μεγαλύτερο αριθμό) - ο λόγος τους είναι πρώιμος 0,618.

Ακολουθεί ένα παράδειγμα: 144, 233, 377.

233/144 = 1,618 και 233/377 = 0,618

Παρεμπιπτόντως, αν προσπαθήσετε να κάνετε το ίδιο πείραμα με αριθμούς από την αρχή της ακολουθίας (για παράδειγμα, 2, 3, 5), τίποτα δεν θα λειτουργήσει. Σχεδόν. Ο κανόνας της χρυσής αναλογίας σχεδόν δεν τηρείται για την αρχή της ακολουθίας. Αλλά από την άλλη, καθώς κινείστε κατά μήκος της σειράς και οι αριθμοί αυξάνονται, λειτουργεί καλά.

Και για να υπολογίσουμε ολόκληρη τη σειρά των αριθμών Fibonacci, αρκεί να γνωρίζουμε τρία μέλη της ακολουθίας, που ακολουθούν το ένα το άλλο. Μπορείτε να δείτε μόνοι σας!

Χρυσό Ορθογώνιο και Σπείρα Φιμπονάτσι

Ένας άλλος περίεργος παραλληλισμός μεταξύ των αριθμών Fibonacci και της χρυσής αναλογίας μας επιτρέπει να σχεδιάσουμε το λεγόμενο "χρυσό ορθογώνιο": οι πλευρές του σχετίζονται με την αναλογία 1,618 προς 1. Αλλά ξέρουμε ήδη ποιος είναι ο αριθμός 1,618, σωστά;

Για παράδειγμα, ας πάρουμε δύο διαδοχικούς όρους της σειράς Fibonacci - 8 και 13 - και ας φτιάξουμε ένα ορθογώνιο με τις ακόλουθες παραμέτρους: πλάτος = 8, μήκος = 13.

Και μετά σπάμε το μεγάλο παραλληλόγραμμο σε μικρότερα. Υποχρεωτική προϋπόθεση: τα μήκη των πλευρών των ορθογωνίων πρέπει να αντιστοιχούν στους αριθμούς Fibonacci. Εκείνοι. το μήκος της πλευράς του μεγαλύτερου ορθογωνίου πρέπει να είναι ίσο με το άθροισμαπλευρές δύο μικρότερων ορθογωνίων.

Ο τρόπος που γίνεται σε αυτό το σχήμα (για ευκολία, οι φιγούρες υπογράφονται με λατινικά γράμματα).

Παρεμπιπτόντως, μπορείτε να δημιουργήσετε ορθογώνια αντίστροφη σειρά. Εκείνοι. ξεκινήστε να χτίζετε από τετράγωνα με την πλευρά 1. Στο οποίο, με γνώμονα την αρχή που εκφράστηκε παραπάνω, συμπληρώνονται οι φιγούρες με τις πλευρές, ίσοι αριθμοίΦιμπονάτσι. Θεωρητικά, αυτό μπορεί να συνεχιστεί επ 'αόριστον - τελικά, η σειρά Fibonacci είναι τυπικά άπειρη.

Εάν συνδέσουμε τις γωνίες των ορθογωνίων που λαμβάνονται στο σχήμα με μια ομαλή γραμμή, παίρνουμε μια λογαριθμική σπείρα. Μάλλον αυτή ειδική περίπτωση- Σπείρα Fibonacci. Χαρακτηρίζεται, ειδικότερα, από το γεγονός ότι δεν έχει όρια και δεν αλλάζει σχήμα.

Μια τέτοια σπείρα βρίσκεται συχνά στη φύση. Τα κοχύλια μαλακίων είναι ένα από τα περισσότερα ξεκάθαρα παραδείγματα. Επιπλέον, ορισμένοι γαλαξίες που μπορούν να φανούν από τη Γη έχουν σπειροειδές σχήμα. Αν προσέξετε τις μετεωρολογικές προβλέψεις στην τηλεόραση, ίσως έχετε παρατηρήσει ότι οι κυκλώνες έχουν παρόμοιο σπειροειδές σχήμα όταν τους πυροβολούν από δορυφόρους.

Είναι περίεργο ότι η έλικα του DNA υπακούει επίσης στον κανόνα της χρυσής τομής - το αντίστοιχο σχέδιο φαίνεται στα διαστήματα των στροφών της.

Τέτοιες εκπληκτικές «συμπτώσεις» δεν μπορούν παρά να ενθουσιάσουν τα μυαλά και να δώσουν αφορμή για να μιλήσουμε για έναν συγκεκριμένο αλγόριθμο στον οποίο υπακούουν όλα τα φαινόμενα στη ζωή του Σύμπαντος. Τώρα καταλαβαίνετε γιατί αυτό το άρθρο ονομάζεται έτσι; Και τι πόρτες καταπληκτικοί κόσμοιμπορούν να σου ανοίξουν τα μαθηματικά;

Αριθμοί Fibonacci στη φύση

Η σύνδεση μεταξύ των αριθμών Fibonacci και της χρυσής αναλογίας υποδηλώνει περίεργα μοτίβα. Τόσο περίεργο που είναι δελεαστικό να προσπαθήσουμε να βρούμε ακολουθίες παρόμοιες με τους αριθμούς Fibonacci στη φύση και ακόμη και κατά τη διάρκεια του ιστορικά γεγονότα. Και πράγματι η φύση γεννά τέτοιες υποθέσεις. Μπορούν όμως τα πάντα στη ζωή μας να εξηγηθούν και να περιγραφούν με τη βοήθεια των μαθηματικών;

Παραδείγματα άγριας ζωής που μπορούν να περιγραφούν χρησιμοποιώντας την ακολουθία Fibonacci:

η σειρά διάταξης των φύλλων (και των κλαδιών) στα φυτά - οι αποστάσεις μεταξύ τους συσχετίζονται με τους αριθμούς Fibonacci (φυλλοταξία).

τη θέση των ηλιόσπορων (οι σπόροι είναι διατεταγμένοι σε δύο σειρές σπειρών στριμμένων σε διαφορετικές κατευθύνσεις: η μία σειρά είναι δεξιόστροφα, η άλλη είναι αριστερόστροφα).

θέση των φολίδων των κουκουνάρια?
πέταλα λουλουδιού;
κύτταρα ανανά?
η αναλογία των μηκών των φαλαγγών των δακτύλων στο ανθρώπινο χέρι (περίπου) κ.λπ.

Προβλήματα συνδυαστικής

Οι αριθμοί Fibonacci χρησιμοποιούνται ευρέως για την επίλυση προβλημάτων συνδυαστικής.

Συνδυαστική- αυτός είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τη μελέτη μιας επιλογής ενός δεδομένου αριθμού στοιχείων από ένα καθορισμένο σύνολο, απαρίθμηση κ.λπ.

Ας δούμε παραδείγματα προβλημάτων συνδυαστικής υπολογισμού για το επίπεδο Λύκειο(πηγή - http://www.problems.ru/).

Εργασία #1:

Η Lesha ανεβαίνει μια σκάλα 10 σκαλοπατιών. Πηδά είτε ένα βήμα είτε δύο σκαλιά τη φορά. Με πόσους τρόπους μπορεί η Lesha να ανέβει τις σκάλες;

Ο αριθμός των τρόπων από τους οποίους μπορεί να ανέβει η Lesha τις σκάλες nβήματα, δηλ και ν.Ως εκ τούτου προκύπτει ότι Α'1 = 1, Α2= 2 (εξάλλου, η Lesha πηδά είτε ένα είτε δύο βήματα).

Συμφωνείται επίσης ότι η Lesha πηδήξει τις σκάλες από n > 2 βήματα. Ας υποθέσουμε ότι πήδηξε δύο βήματα την πρώτη φορά. Έτσι, ανάλογα με την κατάσταση του προβλήματος, πρέπει να πηδήξει άλλο n - 2βήματα. Στη συνέχεια, ο αριθμός των τρόπων ολοκλήρωσης της ανάβασης περιγράφεται ως ένα n-2. Και αν υποθέσουμε ότι για πρώτη φορά η Lesha πήδηξε μόνο ένα βήμα, τότε θα περιγράψουμε τον αριθμό των τρόπων για να τελειώσει η ανάβαση ως ένα n-1.

Από εδώ παίρνουμε την ακόλουθη ισότητα: a n = a n–1 + a n–2(φαίνεται οικείο, έτσι δεν είναι;).

Αφού ξέρουμε Α'1και Α2και να θυμάστε ότι υπάρχουν 10 βήματα ανάλογα με την κατάσταση του προβλήματος, υπολογίστε με τη σειρά όλα a n: α 3 = 3, α 4 = 5, α 5 = 8, α 6 = 13, α 7 = 21, α 8 = 34, α 9 = 55, ένα 10 = 89.

Απάντηση: 89 τρόποι.

Εργασία #2:

Απαιτείται να βρεθεί ο αριθμός των λέξεων με μήκος 10 γράμματα, οι οποίες αποτελούνται μόνο από τα γράμματα «α» και «β» και δεν πρέπει να περιέχουν δύο γράμματα «β» στη σειρά.

Σημειώστε με a nμεγάλος αριθμός λέξεων nγράμματα που αποτελούνται μόνο από τα γράμματα «α» και «β» και δεν περιέχουν δύο γράμματα «β» στη σειρά. Που σημαίνει, Α'1= 2, Α2= 3.

Σε ακολουθία Α'1, Α2, <…>, a nθα εκφράσουμε κάθε επόμενο όρο με βάση τους προηγούμενους. Επομένως, ο αριθμός των λέξεων μήκους nγράμματα που επίσης δεν περιέχουν διπλό γράμμα «β» και ξεκινούν με το γράμμα «α», αυτό ένα n-1. Κι αν η λέξη είναι μεγάλη nτα γράμματα ξεκινούν με το γράμμα "b", είναι λογικό το επόμενο γράμμα σε μια τέτοια λέξη να είναι "a" (εξάλλου, δεν μπορούν να υπάρχουν δύο "β" ανάλογα με την κατάσταση του προβλήματος). Επομένως, ο αριθμός των λέξεων μήκους nγράμματα σε αυτή την περίπτωση, που δηλώνονται ως ένα n-2. Τόσο στην πρώτη όσο και στη δεύτερη περίπτωση, οποιαδήποτε λέξη (μακροσκελής n - 1και n - 2γράμματα αντίστοιχα) χωρίς διπλάσιο «β».

Μπορέσαμε να εξηγήσουμε γιατί a n = a n–1 + a n–2.

Ας υπολογίσουμε τώρα α 3= Α2+ Α'1= 3 + 2 = 5, α 4= α 3+ Α2= 5 + 3 = 8, <…>, ένα 10= α 9+ α 8= 144. Και παίρνουμε τη γνωστή ακολουθία Fibonacci.

Απάντηση: 144.

Εργασία #3:

Φανταστείτε ότι υπάρχει μια ταινία χωρισμένη σε κελιά. Πάει δεξιά και διαρκεί επ' αόριστον. Τοποθετήστε μια ακρίδα στο πρώτο κελί της ταινίας. Σε όποιο από τα κελιά της ταινίας είναι, μπορεί να κινηθεί μόνο προς τα δεξιά: είτε ένα κελί είτε δύο. Πόσοι τρόποι υπάρχουν για να πηδήξει μια ακρίδα από την αρχή της κορδέλας nτο κελί;

Ας υποδηλώσουμε τον αριθμό των τρόπων με τους οποίους κινείται η ακρίδα κατά μήκος της ταινίας μέχρι nτο κελί ως a n. Σε αυτήν την περίπτωση Α'1 = Α2= 1. Επίσης σε n + 1-ο κελί η ακρίδα μπορεί να πάρει είτε από nτο κελί ή πηδώντας από πάνω του. Από εδώ n + 1 = α ν – 1 + a n. Οπου a n = F n – 1.

Απάντηση: F n – 1.

Μπορείτε να δημιουργήσετε παρόμοια προβλήματα μόνοι σας και να προσπαθήσετε να τα λύσετε στα μαθήματα μαθηματικών με τους συμμαθητές σας.

Οι αριθμοί Fibonacci στη λαϊκή κουλτούρα

Φυσικά, τέτοια ασυνήθιστο φαινόμενο, όπως και οι αριθμοί Fibonacci, δεν μπορούν παρά να τραβήξουν την προσοχή. Υπάρχει ακόμα κάτι ελκυστικό και ακόμη και μυστηριώδες σε αυτό το αυστηρά επαληθευμένο μοτίβο. Δεν προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι η ακολουθία Fibonacci κατά κάποιο τρόπο «φώτισε» σε πολλά έργα του σύγχρονου μαζική κουλτούραμεγάλη ποικιλία ειδών.

Θα σας πούμε για μερικά από αυτά. Και προσπαθείς να ψάξεις περισσότερο τον εαυτό σου. Αν το βρείτε, μοιραστείτε το μαζί μας στα σχόλια - είμαστε κι εμείς περίεργοι!

Οι αριθμοί Φιμπονάτσι αναφέρονται στο μπεστ σέλερ του Νταν Μπράουν Ο Κώδικας Ντα Βίντσι: η ακολουθία Φιμπονάτσι χρησιμεύει ως ο κωδικός με τον οποίο οι κύριοι χαρακτήρες του βιβλίου ανοίγουν το χρηματοκιβώτιο.
ΣΤΟ αμερικανική ταινία 2009 "Mr. Nobody" σε ένα από τα επεισόδια, η διεύθυνση του σπιτιού είναι μέρος της ακολουθίας Fibonacci - 12358. Επιπλέον, σε ένα άλλο επεισόδιο κύριος χαρακτήραςπρέπει να καλέσετε τηλεφωνικό νούμερο, η οποία είναι ουσιαστικά η ίδια, αλλά ελαφρώς παραμορφωμένη (ένας επιπλέον αριθμός μετά τον αριθμό 5) ακολουθία: 123-581-1321.
Στην τηλεοπτική σειρά του 2012 The Connection, ο κεντρικός χαρακτήρας, ένα αυτιστικό αγόρι, είναι σε θέση να διακρίνει μοτίβα στα γεγονότα που λαμβάνουν χώρα στον κόσμο. Συμπεριλαμβανομένων μέσω των αριθμών Fibonacci. Και διαχειριστείτε αυτά τα συμβάντα και μέσω αριθμών.
Προγραμματιστές παιχνιδιών Java για κινητά τηλέφωναΤο Doom RPG τοποθέτησε μια μυστική πόρτα σε ένα από τα επίπεδα. Ο κώδικας που το ανοίγει είναι η ακολουθία Fibonacci.
Το 2012, το ρωσικό ροκ συγκρότημα Splin κυκλοφόρησε ένα concept άλμπουμ με τίτλο Illusion. Το όγδοο κομμάτι ονομάζεται "Fibonacci". Στους στίχους του αρχηγού της ομάδας Alexander Vasiliev, χτυπιέται η ακολουθία των αριθμών Fibonacci. Για κάθε ένα από τα εννέα συνεχόμενα μέλη, υπάρχει ένας αντίστοιχος αριθμός σειρών (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 Ξεκίνησε στο δρόμο

1 Κάντε κλικ σε μία άρθρωση

1 Το ένα μανίκι έτρεμε

2 Όλα, πάρτε το προσωπικό

Όλα, πάρτε το προσωπικό

3 Αίτημα για βραστό νερό

Το τρένο πηγαίνει στο ποτάμι

Το τρένο πηγαίνει στην τάιγκα<…>.

λίμερικ ( σύντομο ποίημα ορισμένη μορφή- συνήθως πέντε γραμμές, με ένα συγκεκριμένο σχήμα ομοιοκαταληξίας, κωμικό σε περιεχόμενο, στις οποίες η πρώτη και η τελευταία γραμμή επαναλαμβάνονται ή αντιγράφουν εν μέρει η μία την άλλη) Ο James Lyndon χρησιμοποιεί επίσης μια αναφορά στην ακολουθία Fibonacci ως χιουμοριστικό κίνητρο:

Πυκνό φαγητό των συζύγων Φιμπονάτσι

Ήταν μόνο προς όφελός τους, όχι αλλιώς.

Οι σύζυγοι ζύγισαν, σύμφωνα με φήμες,

Το καθένα είναι σαν τα δύο προηγούμενα.

Ανακεφαλαίωση

Ελπίζουμε ότι μπορέσαμε να σας πούμε πολλά ενδιαφέροντα και χρήσιμα πράγματα σήμερα. Για παράδειγμα, μπορείτε τώρα να αναζητήσετε τη σπείρα Fibonacci στη φύση γύρω σας. Ξαφνικά, είστε εσείς που θα μπορέσετε να ξετυλίξετε το «μυστικό της ζωής, του σύμπαντος και γενικότερα».

Χρησιμοποιήστε τον τύπο για τους αριθμούς Fibonacci κατά την επίλυση προβλημάτων συνδυαστικής. Μπορείτε να βασιστείτε στα παραδείγματα που περιγράφονται σε αυτό το άρθρο.

site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην πηγή.

1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362

Οι αριθμοί Fibonacci και η χρυσή τομήαποτελούν τη βάση για την αποκάλυψη του περιβάλλοντος κόσμου, την κατασκευή του σχήματος και του βέλτιστου οπτική αντίληψηένα άτομο με τη βοήθεια του οποίου μπορεί να νιώσει ομορφιά και αρμονία.

Η αρχή του προσδιορισμού του μεγέθους της χρυσής τομής βασίζεται στην τελειότητα ολόκληρου του κόσμου και των μερών του στη δομή και τις λειτουργίες του, η εκδήλωσή του μπορεί να φανεί στη φύση, την τέχνη και την τεχνολογία. Το δόγμα της χρυσής τομής ιδρύθηκε ως αποτέλεσμα έρευνας αρχαίων επιστημόνων σχετικά με τη φύση των αριθμών.

Στοιχεία για τη χρήση της χρυσής τομής από τους αρχαίους στοχαστές δίνονται στο βιβλίο των «Αρχών» του Ευκλείδη, που γράφτηκε τον 3ο αιώνα. π.Χ., ο οποίος χρησιμοποίησε αυτόν τον κανόνα για να κατασκευάσει κανονικά 5-gons. Μεταξύ των Πυθαγορείων, η μορφή αυτή θεωρείται ιερή, καθώς είναι συμμετρική και ασύμμετρη. Το πεντάγραμμο συμβόλιζε τη ζωή και την υγεία.

Αριθμοί Fibonacci

Το διάσημο βιβλίο Liber abaci του Ιταλού μαθηματικού Λεονάρντο της Πίζας, ο οποίος αργότερα έγινε γνωστός ως Φιμπονάτσι, δημοσιεύτηκε το 1202. Σε αυτό, ο επιστήμονας δίνει για πρώτη φορά ένα μοτίβο αριθμών, σε μια σειρά των οποίων κάθε αριθμός είναι το άθροισμα από τα 2 προηγούμενα ψηφία. Η ακολουθία των αριθμών Fibonacci είναι η εξής:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, κ.λπ.

Ο επιστήμονας ανέφερε επίσης μια σειρά από μοτίβα:

Οποιοσδήποτε αριθμός από τη σειρά, διαιρεμένος με τον επόμενο, θα είναι ίσος με μια τιμή που τείνει στο 0,618. Επιπλέον, οι πρώτοι αριθμοί Fibonacci δεν δίνουν έναν τέτοιο αριθμό, αλλά καθώς κινείστε από την αρχή της ακολουθίας, αυτή η αναλογία θα είναι όλο και πιο ακριβής.

Εάν διαιρέσετε τον αριθμό από τη σειρά με τον προηγούμενο, τότε το αποτέλεσμα θα τείνει στο 1,618.

Ένας αριθμός διαιρούμενος με τον επόμενο θα εμφανίσει μια τιμή που τείνει στο 0,382.

Η εφαρμογή της σύνδεσης και των σχεδίων της χρυσής τομής, ο αριθμός Fibonacci (0,618) μπορεί να βρεθεί όχι μόνο στα μαθηματικά, αλλά και στη φύση, στην ιστορία, στην αρχιτεκτονική και τις κατασκευές και σε πολλές άλλες επιστήμες.

Για πρακτικούς σκοπούς, περιορίζονται σε μια κατά προσέγγιση τιμή Φ = 1,618 ή Φ = 1,62. Σε στρογγυλεμένο ποσοστό, η χρυσή τομή είναι η διαίρεση οποιασδήποτε αξίας σε σχέση με 62% και 38%.

Ιστορικά, η διαίρεση του τμήματος AB από το σημείο C σε δύο μέρη (ένα μικρότερο τμήμα AC και ένα μεγαλύτερο τμήμα BC) ονομαζόταν αρχικά χρυσή τομή, έτσι ώστε AC / BC = BC / AB να ισχύει για τα μήκη των τμημάτων. ομιλία με απλά λόγια, το τμήμα χωρίζεται από τη χρυσή τομή σε δύο άνισα μέρη, έτσι ώστε το μικρότερο τμήμα να σχετίζεται με το μεγαλύτερο, όπως το μεγαλύτερο με ολόκληρο το τμήμα. Αργότερα αυτή η έννοια επεκτάθηκε σε αυθαίρετες ποσότητες.

Ο αριθμός Φ ονομάζεται επίσηςχρυσός αριθμός.

Η χρυσή τομή έχει πολλές υπέροχες ιδιότητες, αλλά επιπλέον της αποδίδονται και πολλές φανταστικές ιδιότητες.

Τώρα οι λεπτομέρειες:

Ο ορισμός του ZS είναι η διαίρεση ενός τμήματος σε δύο μέρη με τέτοιο λόγο ώστε το μεγαλύτερο μέρος να σχετίζεται με το μικρότερο, καθώς το άθροισμά τους (όλο το τμήμα) είναι με το μεγαλύτερο.

Δηλαδή, αν πάρουμε ολόκληρο το τμήμα c ως 1, τότε το τμήμα a θα είναι ίσο με 0,618, το τμήμα b - 0,382. Έτσι, αν πάρουμε ένα κτίριο, για παράδειγμα, έναν ναό χτισμένο σύμφωνα με την αρχή του GS, τότε με το ύψος του, ας πούμε, 10 μέτρα, το ύψος του τυμπάνου με τον τρούλο θα είναι 3,82 cm και το ύψος της βάσης του κτιρίου θα είναι 6,18 εκ. (Είναι σαφές ότι οι αριθμοί που λαμβάνονται ίσοι για λόγους σαφήνειας)

Και ποια είναι η σχέση μεταξύ των αριθμών GL και Fibonacci;

Οι αριθμοί της ακολουθίας Fibonacci είναι:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

Το πρότυπο των αριθμών είναι ότι κάθε επόμενος αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγούμενων αριθμών.
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
5 + 8 = 13;
8 + 13 = 21 κ.λπ.

και ο λόγος των διπλανών αριθμών πλησιάζει τον λόγο του 3S.
Άρα, 21:34 = 0,617 και 34:55 = 0,618.

Δηλαδή, στην καρδιά του ZS βρίσκονται οι αριθμοί της ακολουθίας Fibonacci.

Πιστεύεται ότι ο όρος "Χρυσή Αναλογία" εισήχθη από τον Λεονάρντο Ντα Βίντσι, ο οποίος είπε, "να μην τολμήσει κανείς, μη μαθηματικός, να διαβάσει τα έργα μου" και έδειξε τις αναλογίες ανθρώπινο σώμαστο διάσημο σχέδιό του «Άνθρωπος του Βιτρούβιου». «Αν δέσουμε μια ανθρώπινη φιγούρα – το πιο τέλειο δημιούργημα του Σύμπαντος – με μια ζώνη και μετά μετρήσουμε την απόσταση από τη ζώνη μέχρι τα πόδια, τότε αυτή η τιμή θα αναφέρεται στην απόσταση από την ίδια ζώνη μέχρι την κορυφή του κεφαλιού, όπως ολόκληρο το ύψος ενός ατόμου μέχρι το μήκος από τη ζώνη μέχρι τα πόδια».

Μια σειρά αριθμών Fibonacci μοντελοποιείται οπτικά (υλοποιείται) με τη μορφή μιας σπείρας.

Και στη φύση, η σπείρα 3S μοιάζει με αυτό:

Ταυτόχρονα, η σπείρα παρατηρείται παντού (στη φύση και όχι μόνο):

Οι σπόροι στα περισσότερα φυτά είναι διατεταγμένοι σε μια σπείρα
- Μια αράχνη υφαίνει έναν ιστό σε μια σπείρα
- Ένας τυφώνας κάνει σπείρες
- Ένα φοβισμένο κοπάδι ταράνδων σκορπίζεται σε μια σπείρα.
- Το μόριο του DNA είναι στριμμένο σε διπλή έλικα. Το μόριο DNA αποτελείται από δύο κάθετα συνυφασμένες έλικες μήκους 34 angstroms και πλάτους 21 angstroms. Οι αριθμοί 21 και 34 διαδέχονται ο ένας τον άλλο στην ακολουθία Fibonacci.
- Το έμβρυο αναπτύσσεται με τη μορφή σπείρας
- Σπειροειδής "κοχλίας στο εσωτερικό αυτί"
- Το νερό κατεβαίνει στην αποχέτευση σε μια σπείρα
- Η σπειροειδής δυναμική δείχνει την ανάπτυξη της προσωπικότητας ενός ατόμου και τις αξίες του σε μια σπείρα.
- Και φυσικά, ο ίδιος ο Γαλαξίας έχει το σχήμα μιας σπείρας

Έτσι, μπορεί να υποστηριχθεί ότι η ίδια η φύση είναι χτισμένη στην αρχή της Χρυσής Τομής, γι' αυτό και αυτή η αναλογία γίνεται πιο αρμονικά αντιληπτή από το ανθρώπινο μάτι. Δεν απαιτεί «διόρθωση» ή συμπλήρωση της εικόνας του κόσμου που προκύπτει.

Ταινία. Αριθμός Θεού. Αδιάψευστη Απόδειξη του Θεού. Ο αριθμός του Θεού. Η αδιαμφισβήτητη απόδειξη του Θεού.

Χρυσές αναλογίες στη δομή του μορίου του DNA

Όλες οι πληροφορίες για φυσιολογικά χαρακτηριστικάΤα ζωντανά όντα αποθηκεύονται σε ένα μικροσκοπικό μόριο DNA, η δομή του οποίου περιέχει επίσης το νόμο της χρυσής αναλογίας. Το μόριο DNA αποτελείται από δύο κάθετα συνυφασμένες έλικες. Κάθε μία από αυτές τις σπείρες έχει μήκος 34 angstroms και πλάτος 21 angstroms. (1 angstrom είναι εκατο εκατομμυριοστό του εκατοστού).

Το 21 και το 34 είναι αριθμοί που ακολουθούν ο ένας μετά τον άλλο στην ακολουθία των αριθμών Fibonacci, δηλαδή ο λόγος του μήκους και του πλάτους της λογαριθμικής έλικας του μορίου DNA φέρει τον τύπο 1 χρυσής τομής: 1,618

Η χρυσή τομή στη δομή των μικροκόσμων

Τα γεωμετρικά σχήματα δεν περιορίζονται μόνο σε τρίγωνο, τετράγωνο, πεντάγωνο ή εξάγωνο. Εάν συνδέσουμε αυτές τις φιγούρες με διάφορους τρόπους μεταξύ τους, τότε θα έχουμε νέα τρισδιάστατα γεωμετρικά σχήματα. Παραδείγματα αυτού είναι φιγούρες όπως ένας κύβος ή μια πυραμίδα. Ωστόσο, εκτός από αυτές, υπάρχουν και άλλες τρισδιάστατες φιγούρες που δεν χρειάστηκε να συναντήσουμε Καθημερινή ζωή, και των οποίων τα ονόματα ακούμε, ίσως για πρώτη φορά. Μεταξύ τέτοιων τρισδιάστατων μορφών μπορεί κανείς να ονομάσει ένα τετράεδρο (κανονικό τετράπλευρο σχήμα), ένα οκτάεδρο, ένα δωδεκάεδρο, ένα εικοσάεδρο κ.λπ. Το δωδεκάεδρο αποτελείται από 13 πεντάγωνα, το εικοσάεδρο από 20 τρίγωνα. Οι μαθηματικοί σημειώνουν ότι αυτά τα σχήματα είναι μαθηματικά πολύ εύκολο να μετασχηματιστούν και ο μετασχηματισμός τους γίνεται σύμφωνα με τον τύπο της λογαριθμικής σπείρας της χρυσής τομής.

Στον μικρόκοσμο, τρισδιάστατες λογαριθμικές μορφές χτισμένες σύμφωνα με χρυσές αναλογίες είναι πανταχού παρούσες. Για παράδειγμα, πολλοί ιοί έχουν τρισδιάστατο γεωμετρικό σχήμαεικοσάεδρο. Ίσως ο πιο διάσημος από αυτούς τους ιούς είναι ο ιός Adeno. Το πρωτεϊνικό κέλυφος του ιού Adeno σχηματίζεται από 252 μονάδες πρωτεϊνικών κυττάρων διατεταγμένων σε μια συγκεκριμένη αλληλουχία. Σε κάθε γωνία του εικοσάεδρου υπάρχουν 12 μονάδες πρωτεϊνικών κυττάρων με τη μορφή πενταγωνικού πρίσματος και δομές που μοιάζουν με ακίδα εκτείνονται από αυτές τις γωνίες.

Η χρυσή τομή στη δομή των ιών ανακαλύφθηκε για πρώτη φορά τη δεκαετία του 1950. επιστήμονες από το Birkbeck College του Λονδίνου A.Klug και D.Kaspar. 13 Ο ιός Polyo ήταν ο πρώτος που έδειξε λογαριθμική μορφή. Η μορφή αυτού του ιού βρέθηκε να είναι παρόμοια με αυτή του ιού Rhino 14.

Τίθεται το ερώτημα, πώς οι ιοί σχηματίζουν τόσο περίπλοκες τρισδιάστατες μορφές, η δομή των οποίων περιέχει τη χρυσή τομή, που είναι αρκετά δύσκολο να κατασκευαστεί ακόμη και με το ανθρώπινο μυαλό μας; Ο ανακάλυψη αυτών των μορφών ιών, ο ιολόγος A. Klug κάνει το ακόλουθο σχόλιο:

«Ο Δρ Κάσπαρ και εγώ δείξαμε ότι για ένα σφαιρικό κέλυφος ενός ιού, το βέλτιστο σχήμα είναι η συμμετρία όπως το σχήμα ενός εικοσάεδρου. Αυτή η σειρά ελαχιστοποιεί τον αριθμό των συνδετικών στοιχείων ... Οι περισσότεροι από τους γεωδαιτικούς ημισφαιρικούς κύβους του Buckminster Fuller είναι κατασκευασμένοι με παρόμοιο τρόπο γεωμετρική αρχή. 14 Η εγκατάσταση τέτοιων κύβων απαιτεί ένα εξαιρετικά ακριβές και λεπτομερές σχέδιο επεξήγησης. Ενώ οι ίδιοι οι ασυνείδητοι ιοί κατασκευάζουν ένα τόσο περίπλοκο κέλυφος ελαστικών, εύκαμπτων πρωτεϊνικών κυτταρικών μονάδων.

Αριθμοί Fibonacci... στη φύση και τη ζωή

Ο Λεονάρντο Φιμπονάτσι είναι ένας από τους οι μεγαλύτεροι μαθηματικοίΜεσαίωνας. Σε ένα από τα έργα του, The Book of Calculations, ο Fibonacci περιέγραψε τον ινδοαραβικό λογισμό και τα πλεονεκτήματα της χρήσης του έναντι του ρωμαϊκού.

Ορισμός
Οι αριθμοί Fibonacci ή η ακολουθία Fibonacci είναι μια αριθμητική ακολουθία που έχει μια σειρά από ιδιότητες. Για παράδειγμα, το άθροισμα δύο γειτονικών αριθμών στην ακολουθία δίνει την τιμή του επόμενου (για παράδειγμα, 1+1=2, 2+3=5, κ.λπ.), που επιβεβαιώνει την ύπαρξη των λεγόμενων συντελεστών Fibonacci , δηλ. σταθερές αναλογίες.

Η ακολουθία Fibonacci ξεκινά ως εξής: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

Πλήρης ορισμός των αριθμών Fibonacci

3.

Ιδιότητες της ακολουθίας Fibonacci

1. Η αναλογία κάθε αριθμού προς τον επόμενο τείνει όλο και περισσότερο στο 0,618 καθώς αυξάνεται σειριακός αριθμός. Η αναλογία κάθε αριθμού προς τον προηγούμενο τείνει στο 1,618 (αντίστροφα στο 0,618). Ο αριθμός 0,618 ονομάζεται (FI).

2. Κατά τη διαίρεση κάθε αριθμού με τον επόμενο, προκύπτει ο αριθμός 0,382 μέσω ενός. αντίστροφα - αντίστοιχα 2.618.

3. Επιλέγοντας λόγους με αυτόν τον τρόπο, λαμβάνουμε το κύριο σύνολο συντελεστών Fibonacci: … 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236.

5.

Σχέση μεταξύ της ακολουθίας Fibonacci και της "χρυσής τομής"

Η ακολουθία Fibonacci ασυμπτωτικά (προσεγγίζει όλο και πιο αργά) τείνει σε κάποια σταθερή αναλογία. Ωστόσο, αυτός ο λόγος είναι παράλογος, είναι δηλαδή ένας αριθμός με άπειρη, απρόβλεπτη ακολουθία δεκαδικών ψηφίων στο κλασματικό μέρος. Δεν μπορεί να εκφραστεί ακριβώς.

Εάν οποιοδήποτε μέλος της ακολουθίας Fibonacci διαιρεθεί με αυτό που προηγείται (για παράδειγμα, 13:8), το αποτέλεσμα θα είναι μια τιμή που κυμαίνεται γύρω από την παράλογη τιμή 1,61803398875 ... και μετά από κάποιο χρονικό διάστημα είτε την υπερβαίνει είτε δεν την φτάνει το. Αλλά ακόμη και έχοντας ξοδέψει την Αιωνιότητα σε αυτό, είναι αδύνατο να γνωρίζουμε την αναλογία ακριβώς, προς το τελευταίο δεκαδικό ψηφίο. Για λόγους συντομίας, θα το δώσουμε με τη μορφή 1,618. Ειδικά ονόματα για αυτή την αναλογία άρχισαν να δίνονται πριν ακόμη ο Luca Pacioli (ένας μεσαιωνικός μαθηματικός) την αποκαλέσει Θεία Αναλογία. Μεταξύ των σύγχρονων ονομάτων του είναι όπως η Χρυσή Αναλογία, η Χρυσή Μέση και η αναλογία περιστρεφόμενων τετραγώνων. Ο Κέπλερ αποκάλεσε αυτή τη σχέση έναν από τους «θησαυρούς της γεωμετρίας». Στην άλγεβρα, συνήθως δηλώνεται με το ελληνικό γράμμα φι

Ας φανταστούμε τη χρυσή τομή στο παράδειγμα ενός τμήματος.

Θεωρούμε ένα τμήμα με τα άκρα Α και Β. Έστω ότι το σημείο Γ διαιρεί το τμήμα ΑΒ έτσι ώστε:

AC/CB = CB/AB ή

AB/CB = CB/AC.

Μπορείτε να το φανταστείτε ως εξής: A-–C--–B

Η χρυσή τομή είναι μια τέτοια αναλογική διαίρεση ενός τμήματος σε άνισα μέρη, στην οποία ολόκληρο το τμήμα σχετίζεται με το μεγαλύτερο μέρος με τον ίδιο τρόπο όπως το ίδιο το μεγαλύτερο τμήμα σχετίζεται με το μικρότερο. ή με άλλα λόγια, το μικρότερο τμήμα σχετίζεται με το μεγαλύτερο όπως και το μεγαλύτερο με τα πάντα.

Τα τμήματα της χρυσής αναλογίας εκφράζονται ως ένα άπειρο παράλογο κλάσμα 0,618 ..., αν το AB ληφθεί ως ένα, AC = 0,382 .. Όπως ήδη γνωρίζουμε, οι αριθμοί 0,618 και 0,382 είναι οι συντελεστές της ακολουθίας Fibonacci.

Οι αναλογίες Fibonacci και η χρυσή τομή στη φύση και την ιστορία

10.

Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι ο Φιμπονάτσι, σαν να λέμε, θύμισε στην ανθρωπότητα την ακολουθία του. Ήταν γνωστό στους αρχαίους Έλληνες και Αιγύπτιους. Πράγματι, από τότε, μοτίβα που περιγράφονται από τους συντελεστές Fibonacci έχουν βρεθεί στη φύση, την αρχιτεκτονική, τις καλές τέχνες, τα μαθηματικά, τη φυσική, την αστρονομία, τη βιολογία και πολλούς άλλους τομείς. Είναι απλά εκπληκτικό πόσες σταθερές μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας την ακολουθία Fibonacci και πώς εμφανίζονται οι όροι της σε έναν τεράστιο αριθμό συνδυασμών. Ωστόσο, δεν θα ήταν υπερβολή να πούμε ότι δεν πρόκειται απλώς για ένα παιχνίδι αριθμών, αλλά για τη σημαντικότερη μαθηματική έκφραση. φυσικά φαινόμενααπό όλα όσα έχουν ανακαλυφθεί ποτέ.

11.

Τα παρακάτω παραδείγματα δείχνουν μερικές ενδιαφέρουσες εφαρμογές αυτής της μαθηματικής ακολουθίας.

12.

1. Το κέλυφος είναι στριμμένο σε μια σπείρα. Αν το ξεδιπλώσετε, θα έχετε ένα μήκος ελαφρώς κατώτερο από το μήκος του φιδιού. Ένα μικρό κοχύλι δέκα εκατοστών έχει μια σπείρα μήκους 35 εκ. Το σχήμα του σπειροειδώς κατσαρωμένου κοχυλιού τράβηξε την προσοχή του Αρχιμήδη. Γεγονός είναι ότι η αναλογία μετρήσεων των όγκων του κελύφους είναι σταθερή και ίση με 1,618. Ο Αρχιμήδης μελέτησε τη σπείρα των οστράκων και έβγαλε την εξίσωση για τη σπείρα. Η σπείρα που χαράσσεται από αυτή την εξίσωση ονομάζεται με το όνομά του. Η αύξηση στο βήμα της είναι πάντα ομοιόμορφη. Επί του παρόντος, η σπείρα του Αρχιμήδη χρησιμοποιείται ευρέως στη μηχανική.

2. Φυτά και ζώα. Ακόμη και ο Γκαίτε τόνιζε την τάση της φύσης προς τη σπείρα. Η σπειροειδής και σπειροειδής διάταξη των φύλλων στα κλαδιά των δέντρων είχε παρατηρηθεί πολύ καιρό πριν. Η σπείρα φάνηκε στη διάταξη ηλιόσπορων, σε κουκουνάρια, ανανάδες, κάκτους κ.λπ. Η κοινή εργασία βοτανολόγων και μαθηματικών έριξε φως σε αυτά τα εκπληκτικά φυσικά φαινόμενα. Αποδείχθηκε ότι στη διάταξη των φύλλων σε ένα κλαδί ηλιόσπορων, κουκουνάρια, εκδηλώνεται η σειρά Fibonacci και επομένως, ο νόμος της χρυσής τομής εκδηλώνεται. Η αράχνη περιστρέφει τον ιστό της σε ένα σπειροειδές σχέδιο. Ένας τυφώνας στριφογυρίζει. Ένα φοβισμένο κοπάδι ταράνδων σκορπίζεται σε μια σπείρα. Το μόριο DNA συστρέφεται σε διπλή έλικα. Ο Γκαίτε ονόμασε τη σπείρα «η καμπύλη της ζωής».

Ανάμεσα στα χόρτα της άκρης του δρόμου, φυτρώνει ένα απαράμιλλο φυτό - κιχώριο. Ας το ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά. Από το κύριο στέλεχος σχηματίστηκε ένα κλαδί. Εδώ είναι το πρώτο φύλλο. Η διαδικασία κάνει μια ισχυρή εκτίναξη στο διάστημα, σταματά, απελευθερώνει ένα φύλλο, αλλά ήδη πιο κοντό από το πρώτο, εκτινάσσεται ξανά στο διάστημα, αλλά με μικρότερη δύναμη, απελευθερώνει ένα φύλλο ακόμη μικρότερου μεγέθους και εκτινάσσεται ξανά. Εάν η πρώτη ακραία τιμή ληφθεί ως 100 μονάδες, τότε η δεύτερη ισούται με 62 μονάδες, η τρίτη είναι 38, η τέταρτη είναι 24 κ.ο.κ. Το μήκος των πετάλων υπόκειται επίσης στη χρυσή αναλογία. Στην ανάπτυξη, την κατάκτηση του χώρου, το φυτό διατήρησε ορισμένες αναλογίες. Οι ωθήσεις ανάπτυξής του μειώθηκαν σταδιακά ανάλογα με τη χρυσή τομή.

Η σαύρα είναι ζωοτόκος. Στη σαύρα, με την πρώτη ματιά, πιάνονται αναλογίες που είναι ευχάριστες στα μάτια μας - το μήκος της ουράς της σχετίζεται με το μήκος του υπόλοιπου σώματος από 62 έως 38.

Τόσο στον φυτικό όσο και στον ζωικό κόσμο, η διαμορφωτική τάση της φύσης διασπά επίμονα - συμμετρία ως προς την κατεύθυνση της ανάπτυξης και της κίνησης. Εδώ η χρυσή τομή εμφανίζεται στις αναλογίες των μερών που είναι κάθετες προς την κατεύθυνση της ανάπτυξης. Η φύση έχει πραγματοποιήσει τη διαίρεση σε συμμετρικά μέρη και χρυσές αναλογίες. Σε μέρη εκδηλώνεται επανάληψη της δομής του συνόλου.

Ο Πιερ Κιουρί στις αρχές του αιώνα μας διατύπωσε μια σειρά από βαθιές ιδέες συμμετρίας. Υποστήριξε ότι δεν μπορεί κανείς να εξετάσει τη συμμετρία οποιουδήποτε σώματος χωρίς να λάβει υπόψη τη συμμετρία περιβάλλον. Τα μοτίβα της χρυσής συμμετρίας εκδηλώνονται στις ενεργειακές μεταπτώσεις στοιχειωδών σωματιδίων, στη δομή κάποιων χημικών ενώσεων, σε πλανητικά και διαστημικά συστήματα, στις γονιδιακές δομές των ζωντανών οργανισμών. Αυτά τα μοτίβα, όπως αναφέρθηκε παραπάνω, βρίσκονται στη δομή μεμονωμένων ανθρώπινων οργάνων και του σώματος στο σύνολό του, και εκδηλώνονται επίσης στους βιορυθμούς και τη λειτουργία του εγκεφάλου και την οπτική αντίληψη.

3. Χώρος. Είναι γνωστό από την ιστορία της αστρονομίας ότι ο I. Titius, Γερμανός αστρονόμος του 18ου αιώνα, χρησιμοποιώντας αυτή τη σειρά (Fibonacci) βρήκε κανονικότητα και τάξη στις αποστάσεις μεταξύ των πλανητών του ηλιακού συστήματος.

Ωστόσο, μια περίπτωση που φαινόταν να είναι αντίθετη με το νόμο: δεν υπήρχε πλανήτης μεταξύ του Άρη και του Δία. Η εστιασμένη παρατήρηση αυτής της περιοχής του ουρανού οδήγησε στην ανακάλυψη της ζώνης των αστεροειδών. Αυτό συνέβη μετά το θάνατο του Τίτιου στο αρχές XIXσε.

Η σειρά Fibonacci χρησιμοποιείται ευρέως: χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση της αρχιτεκτονικής και των ζωντανών όντων και τεχνητές κατασκευέςκαι τη δομή των γαλαξιών. Αυτά τα γεγονότα αποτελούν απόδειξη ανεξαρτησίας σειρά αριθμώνστις συνθήκες της εκδήλωσής του, που είναι ένα από τα σημάδια της καθολικότητάς του.

4. Πυραμίδες. Πολλοί προσπάθησαν να αποκαλύψουν τα μυστικά της πυραμίδας της Γκίζας. Σε αντίθεση με άλλες αιγυπτιακές πυραμίδες, δεν πρόκειται για τάφο, αλλά για ένα άλυτο παζλ αριθμητικών συνδυασμών. Η αξιοσημείωτη ευρηματικότητα, η επιδεξιότητα, ο χρόνος και ο κόπος των αρχιτεκτόνων της πυραμίδας, που χρησιμοποίησαν στην κατασκευή του αιώνιου συμβόλου, υποδηλώνουν την εξαιρετική σημασία του μηνύματος που ήθελαν να μεταφέρουν στις επόμενες γενιές. Η εποχή τους ήταν προεγγράμματη, προ-ιερογλυφική και τα σύμβολα ήταν το μόνο μέσο καταγραφής των ανακαλύψεων. Το κλειδί για το γεωμετρικό-μαθηματικό μυστικό της πυραμίδας της Γκίζας, ένα μυστήριο για την ανθρωπότητα, δόθηκε στην πραγματικότητα στον Ηρόδοτο από τους ιερείς του ναού, οι οποίοι τον ενημέρωσαν ότι η πυραμίδα ήταν χτισμένη έτσι ώστε η περιοχή του καθενός της. πρόσωπα ήταν ίσα με το τετράγωνο του ύψους του.

Περιοχή τριγώνου

356 x 440 / 2 = 78320

τετραγωνική έκταση

280 x 280 = 78400

Το μήκος της άκρης της βάσης της πυραμίδας στη Γκίζα είναι 783,3 πόδια (238,7 m), το ύψος της πυραμίδας είναι 484,4 πόδια (147,6 m). Το μήκος της άκρης της βάσης, διαιρούμενο με το ύψος, οδηγεί στην αναλογία Ф=1,618. Το ύψος των 484,4 ποδιών αντιστοιχεί σε 5813 ίντσες (5-8-13) - αυτοί είναι αριθμοί από την ακολουθία Fibonacci. Αυτές οι ενδιαφέρουσες παρατηρήσεις υποδηλώνουν ότι η κατασκευή της πυραμίδας βασίζεται στην αναλογία Ф=1,618. Ορισμένοι σύγχρονοι μελετητές τείνουν να ερμηνεύουν ότι οι αρχαίοι Αιγύπτιοι το έχτισαν με μοναδικό σκοπό να μεταδώσουν τη γνώση που ήθελαν να διατηρήσουν στις μελλοντικές γενιές. Οι εντατικές μελέτες της πυραμίδας στη Γκίζα έδειξαν πόσο εκτεταμένες ήταν οι γνώσεις στα μαθηματικά και την αστρολογία εκείνη την εποχή. Σε όλες τις εσωτερικές και εξωτερικές αναλογίες της πυραμίδας, ο αριθμός 1.618 παίζει κεντρικό ρόλο.

Πυραμίδες στο Μεξικό. Όχι μόνο οι αιγυπτιακές πυραμίδες χτίστηκαν σύμφωνα με τις τέλειες αναλογίες της χρυσής τομής, το ίδιο φαινόμενο βρέθηκε και στις μεξικανικές πυραμίδες. Προκύπτει η ιδέα ότι τόσο οι αιγυπτιακές όσο και οι μεξικανικές πυραμίδες ανεγέρθηκαν περίπου την ίδια εποχή από ανθρώπους κοινής καταγωγής.

Υπάρχουν πολλά περισσότερα στο σύμπαν άλυτα μυστήρια, μερικά από τα οποία οι επιστήμονες μπόρεσαν ήδη να αναγνωρίσουν και να περιγράψουν. Οι αριθμοί Fibonacci και η χρυσή τομή αποτελούν τη βάση για να ξετυλίξουμε τον κόσμο γύρω μας, να χτίσουμε το σχήμα του και τη βέλτιστη οπτική αντίληψη από ένα άτομο, με τη βοήθεια των οποίων μπορεί να νιώσει ομορφιά και αρμονία.

Χρυσή αναλογία

Βασίζεται στη θεωρία των αναλογιών και των αναλογιών των διαιρέσεων τμημάτων, η οποία έγινε από τον αρχαίο φιλόσοφο και μαθηματικό Πυθαγόρα. Απέδειξε ότι όταν διαιρούμε ένα τμήμα σε δύο μέρη: X (μικρότερο) και Y (μεγαλύτερο), ο λόγος του μεγαλύτερου προς το μικρότερο θα είναι ίσος με τον λόγο του αθροίσματος τους (όλου του τμήματος):

Το αποτέλεσμα είναι μια εξίσωση: x 2 - x - 1=0,που λύνεται ως x=(1±√5)/2.

Αν θεωρήσουμε την αναλογία 1/x, τότε ισούται με 1,618…

Αριθμοί Fibonacci

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, κ.λπ.

Ο επιστήμονας ανέφερε επίσης μια σειρά από μοτίβα:

Οποιοσδήποτε αριθμός από τη σειρά, διαιρεμένος με τον επόμενο, θα είναι ίσος με μια τιμή που τείνει στο 0,618. Επιπλέον, οι πρώτοι αριθμοί Fibonacci δεν δίνουν έναν τέτοιο αριθμό, αλλά καθώς κινείστε από την αρχή της ακολουθίας, αυτή η αναλογία θα είναι όλο και πιο ακριβής.
Εάν διαιρέσετε τον αριθμό από τη σειρά με τον προηγούμενο, τότε το αποτέλεσμα θα τείνει στο 1,618.
Ένας αριθμός διαιρούμενος με τον επόμενο θα εμφανίσει μια τιμή που τείνει στο 0,382.

Σπείρα του Αρχιμήδη και χρυσό ορθογώνιο

Οι σπείρες, πολύ συνηθισμένες στη φύση, εξερευνήθηκαν από τον Αρχιμήδη, ο οποίος εξήγαγε ακόμη και την εξίσωσή της. Το σχήμα της σπείρας βασίζεται στους νόμους της χρυσής τομής. Όταν δεν περιστρέφεται, προκύπτει ένα μήκος στο οποίο μπορούν να εφαρμοστούν αναλογίες και αριθμοί Fibonacci, η αύξηση του βήματος εμφανίζεται ομοιόμορφα.

Η παράλληλη μεταξύ των αριθμών Fibonacci και της χρυσής αναλογίας μπορεί επίσης να φανεί κατασκευάζοντας ένα "χρυσό ορθογώνιο" του οποίου οι πλευρές είναι ανάλογες ως 1,618:1. Κατασκευάζεται μετακινώντας από ένα μεγαλύτερο παραλληλόγραμμο σε μικρότερα έτσι ώστε τα μήκη των πλευρών να είναι ίσα με τους αριθμούς από τη σειρά. Η κατασκευή του μπορεί να γίνει με την αντίστροφη σειρά, ξεκινώντας από το τετράγωνο "1". Όταν συνδέουμε τις γωνίες αυτού του ορθογωνίου με γραμμές στο κέντρο της τομής τους, προκύπτει μια σπείρα Fibonacci ή λογαριθμική.

Η ιστορία της χρήσης των χρυσών αναλογιών

Πολλά αρχαία αρχιτεκτονικά μνημεία της Αιγύπτου χτίστηκαν με χρυσές αναλογίες: οι περίφημες πυραμίδες του Χέοπα και άλλες Αρχιτέκτονες Αρχαία Ελλάδαχρησιμοποιήθηκαν ευρέως στην κατασκευή αρχιτεκτονικά αντικείμεναόπως ναοί, αμφιθέατρα, στάδια. Για παράδειγμα, τέτοιες αναλογίες χρησιμοποιήθηκαν στην κατασκευή του αρχαίου ναού του Παρθενώνα (Αθήνα) και άλλων αντικειμένων που έγιναν αριστουργήματα της αρχαίας αρχιτεκτονικής, επιδεικνύοντας αρμονία με βάση τη μαθηματική κανονικότητα.

Στους μετέπειτα αιώνες, το ενδιαφέρον για τη χρυσή τομή υποχώρησε και τα μοτίβα ξεχάστηκαν, αλλά ξανάρχισαν στην Αναγέννηση, μαζί με το βιβλίο του Φραγκισκανού μοναχού L. Pacioli di Borgo «Θεία Αναλογία» (1509). Περιλάμβανε εικονογραφήσεις του Λεονάρντο ντα Βίντσι, ο οποίος έφτιαξε το νέο όνομα "χρυσή τομή". Επίσης, 12 ιδιότητες της χρυσής τομής αποδείχθηκαν επιστημονικά και ο συγγραφέας μίλησε για το πώς εκδηλώνεται στη φύση, στην τέχνη και την αποκάλεσε «αρχή της οικοδόμησης του κόσμου και της φύσης».

Ο άνθρωπος του Βιτρούβιου Λεονάρντο

Το σχέδιο με το οποίο ο Λεονάρντο ντα Βίντσι εικονογράφησε το βιβλίο του Βιτρούβιου το 1492 απεικονίζει μια φιγούρα ενός άνδρα σε 2 θέσεις με τα χέρια απλωμένα στα πλάγια. Το σχήμα είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και τετράγωνο. Αυτό το σχέδιο θεωρείται ότι είναι οι κανονικές αναλογίες του ανθρώπινου σώματος (αρσενικό), που περιγράφονται από τον Λεονάρντο με βάση τη μελέτη τους στις πραγματείες του Ρωμαίου αρχιτέκτονα Βιτρούβιου.

Το κέντρο του σώματος ως ισαπέχον σημείο από το άκρο των χεριών και των ποδιών είναι ο αφαλός, το μήκος των χεριών είναι ίσο με το ύψος ενός ατόμου, το μέγιστο πλάτος των ώμων = 1/8 του ύψους, το απόσταση από την κορυφή του στήθους μέχρι τα μαλλιά = 1/7, από την κορυφή του στήθους μέχρι την κορυφή του κεφαλιού = 1/6 κ.λπ.

Από τότε, το σχέδιο έχει χρησιμοποιηθεί ως σύμβολο που δείχνει την εσωτερική συμμετρία του ανθρώπινου σώματος.

Ο όρος «Χρυσή Αναλογία» χρησιμοποιήθηκε από τον Λεονάρντο για να δηλώσει τις αναλογικές σχέσεις στην ανθρώπινη φιγούρα. Για παράδειγμα, η απόσταση από τη μέση έως τα πόδια σχετίζεται με την ίδια απόσταση από τον αφαλό μέχρι την κορυφή του κεφαλιού με τον ίδιο τρόπο όπως το ύψος μέχρι το πρώτο μήκος (από τη μέση και κάτω). Αυτός ο υπολογισμός γίνεται παρόμοια με την αναλογία των τμημάτων κατά τον υπολογισμό της χρυσής αναλογίας και τείνει στο 1,618.

Όλες αυτές οι αρμονικές αναλογίες χρησιμοποιούνται συχνά από καλλιτέχνες για να δημιουργήσουν όμορφα και εντυπωσιακά έργα.

Μελέτες της χρυσής τομής στον 16ο-19ο αιώνα

Χρησιμοποιώντας τη χρυσή τομή και τους αριθμούς Fibonacci, ερευνητικό έργογια το θέμα των αναλογιών διαρκούν περισσότερο από έναν αιώνα. Παράλληλα με τον Λεονάρντο ντα Βίντσι, ο Γερμανός καλλιτέχνης Άλμπρεχτ Ντύρερ ανέπτυξε επίσης τη θεωρία των σωστών αναλογιών του ανθρώπινου σώματος. Για αυτό, δημιούργησε ακόμη και μια ειδική πυξίδα.

Τον 16ο αιώνα το ζήτημα της σύνδεσης μεταξύ του αριθμού Fibonacci και της χρυσής τομής αφιερώθηκε στο έργο του αστρονόμου I. Kepler, ο οποίος εφάρμοσε πρώτος αυτούς τους κανόνες στη βοτανική.

Μια νέα «ανακάλυψη» περίμενε τη χρυσή τομή τον 19ο αιώνα. με την έκδοση της «Αισθητικής Έρευνας» του Γερμανού επιστήμονα καθηγητή Zeisig. Ανέβασε αυτές τις αναλογίες στο απόλυτο και ανακοίνωσε ότι είναι καθολικές για όλα τα φυσικά φαινόμενα. Έχουν κάνει έρευνα τεράστιο ποσόάτομα, ή μάλλον τις σωματικές τους αναλογίες (περίπου 2 χιλιάδες), με αποτέλεσμα να εξαχθούν συμπεράσματα για στατιστικά επιβεβαιωμένα πρότυπα στις αναλογίες διάφορα μέρησώμα: μήκη ώμων, αντιβραχίων, χεριών, δακτύλων κ.λπ.

Αντικείμενα τέχνης (βάζα, αρχιτεκτονικές κατασκευές), μουσικούς τόνους, μεγέθη κατά τη συγγραφή ποιημάτων - Ο Zeisig τα εμφάνισε όλα αυτά μέσα από τα μήκη των τμημάτων και των αριθμών, εισήγαγε και τον όρο «μαθηματική αισθητική». Μετά τη λήψη των αποτελεσμάτων, αποδείχθηκε ότι λαμβάνεται η σειρά Fibonacci.

Αριθμός Fibonacci και χρυσή τομή στη φύση

Στον φυτικό και ζωικό κόσμο, υπάρχει μια τάση σχηματισμού με τη μορφή συμμετρίας, η οποία παρατηρείται προς την κατεύθυνση της ανάπτυξης και της κίνησης. Η διαίρεση σε συμμετρικά μέρη στα οποία παρατηρούνται χρυσές αναλογίες είναι ένα μοτίβο εγγενές σε πολλά φυτά και ζώα.

Η φύση γύρω μας μπορεί να περιγραφεί χρησιμοποιώντας αριθμούς Fibonacci, για παράδειγμα:

η διάταξη των φύλλων ή των κλαδιών οποιωνδήποτε φυτών, καθώς και οι αποστάσεις, σχετίζονται με τη σειρά των δεδομένων αριθμών 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 και ούτω καθεξής.
ηλιόσποροι (λέπια σε κώνους, κελιά ανανά), διατεταγμένοι σε δύο σειρές σε στριμμένα σπείρες σε διαφορετικές κατευθύνσεις.
η αναλογία του μήκους της ουράς και ολόκληρου του σώματος της σαύρας.
το σχήμα του αυγού, αν τραβήξετε μια γραμμή υπό όρους στο φαρδύ τμήμα του.
την αναλογία του μεγέθους των δακτύλων στο ανθρώπινο χέρι.

Και φυσικά τα περισσότερα ενδιαφέροντα σχήματααντιπροσωπεύουν σπειροειδή κοχύλια σαλιγκαριών, σχέδια στον ιστό, την κίνηση του ανέμου μέσα σε έναν τυφώνα, διπλή έλικαστο DNA και τη δομή των γαλαξιών - όλοι περιλαμβάνουν μια ακολουθία αριθμών Fibonacci.

Η χρήση της χρυσής τομής στην τέχνη

Οι ερευνητές που αναζητούν παραδείγματα χρήσης της χρυσής τομής στην τέχνη εξετάζουν λεπτομερώς διάφορα αρχιτεκτονικά αντικείμενα και πίνακες ζωγραφικής. Είναι γνωστά διάσημα γλυπτά, οι δημιουργοί των οποίων τήρησαν χρυσές αναλογίες - τα αγάλματα του Ολυμπίου Διός, του Απόλλωνα Μπελβεντέρε και

Μία από τις δημιουργίες του Λεονάρντο ντα Βίντσι - «Πορτρέτο της Μόνα Λίζα» - αποτελεί αντικείμενο έρευνας επιστημόνων εδώ και πολλά χρόνια. Διαπίστωσαν ότι η σύνθεση του έργου αποτελείται εξ ολοκλήρου από «χρυσά τρίγωνα», ενωμένα μαζί σε ένα κανονικό πεντάγωνο-αστέρι. Όλα τα έργα του ντα Βίντσι αποδεικνύουν πόσο βαθιά ήταν οι γνώσεις του για τη δομή και τις αναλογίες του ανθρώπινου σώματος, χάρη στις οποίες μπόρεσε να πιάσει το απίστευτα μυστηριώδες χαμόγελο της Μόνα Λίζα.

Η χρυσή τομή στην αρχιτεκτονική

Για παράδειγμα, οι επιστήμονες μελέτησαν τα αριστουργήματα της αρχιτεκτονικής που δημιουργήθηκαν σύμφωνα με τους κανόνες της "χρυσής τομής": Πυραμίδες της Αιγύπτου, Πάνθεον, Παρθενώνας, Καθεδρικός Ναός Παναγίας των Παρισίων, Καθεδρικός Ναός Αγίου Βασιλείου κ.λπ.

Ο Παρθενώνας - ένα από τα πιο όμορφα κτίρια της Αρχαίας Ελλάδας (5ος αιώνας π.Χ.) - έχει 8 κίονες και 17 διαφορετικές πλευρές, ο λόγος του ύψους του προς το μήκος των πλευρών είναι 0,618. Οι προεξοχές στις προσόψεις του γίνονται σύμφωνα με τη «χρυσή τομή» (φωτογραφία παρακάτω).

Ένας από τους επιστήμονες που εφηύρε και εφάρμοσε με επιτυχία τη βελτίωση του αρθρωτού συστήματος αναλογιών για αρχιτεκτονικά αντικείμενα (το λεγόμενο «modulor») ήταν ο Γάλλος αρχιτέκτονας Le Corbusier. Ο διαμορφωτής βασίζεται σε ένα σύστημα μέτρησης που σχετίζεται με μια υπό όρους διαίρεση σε μέρη του ανθρώπινου σώματος.

Ο Ρώσος αρχιτέκτονας M. Kazakov, ο οποίος έχτισε πολλά κτίρια κατοικιών στη Μόσχα, καθώς και τα κτίρια της Γερουσίας στο Κρεμλίνο και το Νοσοκομείο Golitsyn (τώρα το 1ο κλινικό με το όνομα N.I. Pirogov), ήταν ένας από τους αρχιτέκτονες που χρησιμοποίησαν νόμους στο ο σχεδιασμός και η κατασκευή σχετικά με τη χρυσή τομή.

Εφαρμογή αναλογιών στο σχέδιο

Στο σχέδιο μόδας, όλοι οι σχεδιαστές μόδας κάνουν νέες εικόνες και μοντέλα, λαμβάνοντας υπόψη τις αναλογίες του ανθρώπινου σώματος και τους κανόνες της χρυσής αναλογίας, αν και από τη φύση τους δεν έχουν όλοι οι άνθρωποι ιδανικές αναλογίες.

Κατά τον προγραμματισμό σχεδιασμός τοπίουκαι δημιουργώντας ογκώδεις συνθέσεις πάρκων με τη βοήθεια φυτών (δέντρων και θάμνων), σιντριβανιών και μικρών αρχιτεκτονικών αντικειμένων, οι νόμοι» θεϊκές αναλογίες". Άλλωστε, η σύνθεση του πάρκου θα πρέπει να επικεντρωθεί στη δημιουργία εντύπωσης στον επισκέπτη, ο οποίος θα μπορεί να περιηγηθεί ελεύθερα σε αυτό και να βρει το κέντρο σύνθεσης.

Όλα τα στοιχεία του πάρκου είναι σε τέτοιες αναλογίες που, με τη βοήθεια της γεωμετρικής δομής, της αμοιβαίας διάταξης, του φωτισμού και του φωτός, δίνουν την εντύπωση της αρμονίας και της τελειότητας σε έναν άνθρωπο.

Εφαρμογή της χρυσής τομής στην κυβερνητική και την τεχνολογία

Οι νόμοι της χρυσής τομής και οι αριθμοί Fibonacci εκδηλώνονται επίσης σε ενεργειακές μεταβάσεις, σε διαδικασίες που συμβαίνουν με στοιχειώδη σωματίδια, αποτελώντας χημικές ενώσεις, στα διαστημικά συστήματα, στη γονιδιακή δομή του DNA.

Παρόμοιες διεργασίες συμβαίνουν στο ανθρώπινο σώμα, που εκδηλώνονται στους βιορυθμούς της ζωής του, στη δράση οργάνων, για παράδειγμα, του εγκεφάλου ή της όρασης.

Αλγόριθμοι και μοτίβα χρυσών αναλογιών χρησιμοποιούνται ευρέως στη σύγχρονη κυβερνητική και πληροφορική. Μία από τις απλές εργασίες που πρέπει να λύσουν οι αρχάριοι προγραμματιστές είναι να γράψουν έναν τύπο και να καθορίσουν το άθροισμα των αριθμών Fibonacci μέχρι έναν συγκεκριμένο αριθμό χρησιμοποιώντας γλώσσες προγραμματισμού.

Σύγχρονη έρευνα για τη θεωρία της χρυσής τομής

Από τα μέσα του 20ου αιώνα, το ενδιαφέρον για τα προβλήματα και την επιρροή των νόμων των χρυσών αναλογιών στην ανθρώπινη ζωή έχει αυξηθεί δραματικά και από πολλούς επιστήμονες διαφόρων επαγγελμάτων: μαθηματικοί, ερευνητές εθνότητας, βιολόγοι, φιλόσοφοι, ιατροί, οικονομολόγοι, μουσικοί κ.λπ.

Από τη δεκαετία του 1970, το The Fibonacci Quarterly δημοσιεύεται στις Ηνωμένες Πολιτείες, όπου δημοσιεύονται εργασίες για αυτό το θέμα. Στον τύπο εμφανίζονται έργα στα οποία οι γενικευμένοι κανόνες της χρυσής τομής και της σειράς Fibonacci χρησιμοποιούνται σε διάφορους κλάδους της γνώσης. Για παράδειγμα, για την κωδικοποίηση πληροφοριών, χημική έρευνα, βιολογικά κ.λπ.

Όλα αυτά επιβεβαιώνουν τα συμπεράσματα αρχαίων και σύγχρονων επιστημόνων ότι η χρυσή τομή συνδέεται πολυμερώς με τα θεμελιώδη ζητήματα της επιστήμης και εκδηλώνεται στη συμμετρία πολλών δημιουργιών και φαινομένων του κόσμου γύρω μας.

Σχετικά με αριθμούς και τύπους που βρίσκονται στη φύση. Λοιπόν, λίγα λόγια για αυτούς τους ίδιους αριθμούς και τύπους.

Οι αριθμοί και οι τύποι στη φύση είναι ένα εμπόδιο μεταξύ εκείνων που πιστεύουν στη δημιουργία του σύμπαντος από κάποιον και εκείνων που πιστεύουν στη δημιουργία του σύμπαντος από μόνο του. Για την ερώτηση: «Αν το σύμπαν προέκυψε από μόνο του, τότε δεν θα χτίζονταν πρακτικά όλα τα έμβια και άβια αντικείμενα σύμφωνα με το ίδιο σχέδιο, σύμφωνα με τους ίδιους τύπους;»

Λοιπόν, για αυτό φιλοσοφικό ερώτημαδεν θα απαντήσουμε εδώ (η μορφή του ιστότοπου δεν είναι η ίδια 🙂), αλλά θα εκφράσουμε τους τύπους. Και ας ξεκινήσουμε με τους αριθμούς Fibonacci και τη Χρυσή Σπείρα.

Έτσι, οι αριθμοί Fibonacci είναι στοιχεία μιας αριθμητικής ακολουθίας στην οποία κάθε επόμενος αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγούμενων αριθμών. Δηλαδή 0 +1=1, 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5 κ.ο.κ.

Συνολικά, λαμβάνεται μια σειρά: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4185, 676 10946

Ένα άλλο παράδειγμα μιας σειράς Fibonacci: 0, 2, 2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, 68, 110, 178 και ούτω καθεξής. Μπορείτε να πειραματιστείτε μόνοι σας 🙂

Πώς εμφανίζονται οι αριθμοί Fibonacci στη φύση; Πολύ απλό:

Η διάταξη των φύλλων στα φυτά περιγράφεται από την ακολουθία Fibonacci. Οι ηλιόσποροι, τα κουκουνάρια, τα πέταλα λουλουδιών, τα κελιά του ανανά διατάσσονται επίσης σύμφωνα με τη σειρά Fibonacci.
Το μήκος των φαλαγγών των ανθρώπινων δακτύλων είναι περίπου το ίδιο με τους αριθμούς Fibonacci.
Το μόριο DNA αποτελείται από δύο κάθετα συνυφασμένες έλικες μήκους 34 angstroms και πλάτους 21 angstroms. Οι αριθμοί 21 και 34 διαδέχονται ο ένας τον άλλο στην ακολουθία Fibonacci.

Με τη βοήθεια των αριθμών Fibonacci, μπορείτε να φτιάξετε μια Χρυσή Σπείρα. Λοιπόν, ας σχεδιάσουμε ένα μικρό τετράγωνο με μια πλευρά, ας πούμε, 1. Στη συνέχεια, θυμηθείτε το σχολείο. Πόσο είναι το 1 2; Αυτό θα είναι 1. Λοιπόν, ας σχεδιάσουμε ένα άλλο τετράγωνο δίπλα στο πρώτο, κλείστε. Στη συνέχεια, ο επόμενος αριθμός Fibonacci είναι 2 (1+1). Τι είναι το 2 2; Αυτό θα είναι 4. Ας σχεδιάσουμε ένα άλλο τετράγωνο κοντά στα δύο πρώτα τετράγωνα, αλλά τώρα με πλευρά 2 και εμβαδόν 4. Επόμενος αριθμόςείναι ο αριθμός 3 (1+2). Το τετράγωνο του αριθμού 3 είναι 9. Σχεδιάστε ένα τετράγωνο με πλευρά 3 και εμβαδόν 9 δίπλα σε αυτά που έχουν ήδη σχεδιαστεί. Στη συνέχεια έχουμε ένα τετράγωνο με πλευρά 5 και εμβαδόν 25, τετράγωνο με πλευρά 8 και εμβαδόν 64, και ούτω καθεξής, επί άπειρον.

Ήρθε η ώρα για τη χρυσή σπείρα. Ας συνδέσουμε τα όρια μεταξύ των τετραγώνων με μια ομαλή καμπύλη γραμμή. Και θα πάρουμε την ίδια χρυσή σπείρα, με βάση την οποία χτίζονται πολλά ζωντανά και μη αντικείμενα στη φύση.

Και πριν προχωρήσουμε στη χρυσή τομή, ας σκεφτούμε. Εδώ έχουμε φτιάξει μια σπείρα βασισμένη στα τετράγωνα της ακολουθίας Fibonacci (ακολουθία 1, 1, 2, 3, 5, 8 και τετράγωνα 1, 1, 4, 9, 25, 64). Τι γίνεται όμως αν χρησιμοποιήσουμε όχι τα τετράγωνα των αριθμών, αλλά τους κύβους τους; Οι κύβοι θα φαίνονται έτσι από το κέντρο:

Και στο πλάι έτσι:

Λοιπόν, όταν κατασκευάζετε μια σπείρα, αποδεικνύεται ογκώδης χρυσή σπείρα:

Έτσι φαίνεται αυτή η ογκώδης χρυσή σπείρα από το πλάι:

Αλλά τι γίνεται αν δεν πάρουμε τους κύβους των αριθμών Fibonacci, αλλά πάμε στην τέταρτη διάσταση;... Αυτό είναι ένα παζλ, σωστά;

Ωστόσο, δεν έχω ιδέα πώς η ογκομετρική χρυσή αναλογία εκδηλώνεται στη φύση με βάση τους κύβους των αριθμών Fibonacci, και ακόμη περισσότερο τους αριθμούς στον τέταρτο βαθμό. Επομένως, επιστρέφουμε στη χρυσή τομή στο αεροπλάνο. Λοιπόν, ας δούμε ξανά τα τετράγωνά μας. Μαθηματικά, μοιάζει με αυτό:

Δηλαδή, παίρνουμε τη χρυσή τομή - όπου η μία πλευρά χωρίζεται σε δύο μέρη σε τέτοια αναλογία που το μικρότερο μέρος σχετίζεται με τη μεγαλύτερη, καθώς η μεγαλύτερη είναι με ολόκληρη την τιμή.

Δηλαδή, α: β = β: γ ή γ: β = β: α.

Με βάση μια τέτοια αναλογία μεγεθών, μεταξύ άλλων, κατασκευάζονται ένα κανονικό πεντάγωνο και ένα πεντάγραμμο:

Για αναφορά: για να φτιάξετε ένα πεντάγραμμο, πρέπει να φτιάξετε ένα κανονικό πεντάγωνο. Η μέθοδος κατασκευής του αναπτύχθηκε από τον Γερμανό ζωγράφο και γραφίστα Albrecht Dürer (1471…1528). Έστω Ο το κέντρο του κύκλου, Α ένα σημείο του κύκλου και Ε το μέσο του τμήματος ΟΑ. Η κάθετη στην ακτίνα ΟΑ, που υψώνεται στο σημείο Ο, τέμνεται με τον κύκλο στο σημείο Δ. Χρησιμοποιώντας μια πυξίδα, σημειώστε το τμήμα CE = ED στη διάμετρο. Το μήκος μιας πλευράς ενός κανονικού πενταγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο είναι DC. Αφήνουμε στην άκρη τμήματα DC στον κύκλο και παίρνουμε πέντε βαθμούς για να σχεδιάσουμε ένα κανονικό πεντάγωνο. Συνδέουμε τις γωνίες του πενταγώνου μέσω μιας διαγώνιου και παίρνουμε ένα πεντάγραμμο. Όλες οι διαγώνιοι του πενταγώνου χωρίζονται μεταξύ τους σε τμήματα που συνδέονται με τη χρυσή τομή.

Γενικά, αυτά είναι τα μοτίβα. Επιπλέον, υπάρχουν πολύ πιο διαφορετικά μοτίβα από αυτά που έχουν περιγραφεί. Και τώρα, μετά από όλους αυτούς τους βαρετούς αριθμούς - το υποσχόμενο βίντεο κλιπ, όπου όλα είναι απλά και ξεκάθαρα:

Όπως μπορείτε να δείτε, τα μαθηματικά είναι πράγματι παρόντα στη φύση. Και όχι μόνο στα αντικείμενα που αναφέρονται στο βίντεο, αλλά και σε πολλές άλλες περιοχές. Για παράδειγμα, όταν ένα κύμα χτυπά την ακτή και στρίβει, στρίβει κατά μήκος της Χρυσής Σπείρας. Λοιπόν, και ούτω καθεξής 🙂