1 Τι είναι τα συνηθισμένα κλάσματα. Τύποι κλασμάτων.
Ένα κλάσμα σημαίνει πάντα μέρος ενός συνόλου. Το γεγονός είναι ότι δεν είναι πάντα δυνατό να μεταφέρουμε την ποσότητα σε φυσικούς αριθμούς, δηλαδή να υπολογίσουμε εκ νέου: 1,2,3 κ.λπ. Πώς, για παράδειγμα, να ορίσετε μισό καρπούζι ή ένα τέταρτο της ώρας; Αυτός είναι ο λόγος που εμφανίστηκαν κλασματικοί αριθμοί ή κλάσματα.

Αρχικά, πρέπει να ειπωθεί ότι γενικά υπάρχουν δύο τύποι κλασμάτων: τα συνηθισμένα κλάσματα και τα δεκαδικά κλάσματα. Τα συνηθισμένα κλάσματα γράφονται ως εξής:
Οι δεκαδικοί γράφονται διαφορετικά:

Τα συνηθισμένα κλάσματα αποτελούνται από δύο μέρη: στην κορυφή είναι ο αριθμητής, στο κάτω είναι ο παρονομαστής. Ο αριθμητής και ο παρονομαστής χωρίζονται με μια κλασματική ράβδο. Θυμηθείτε λοιπόν:

Κάθε κλάσμα είναι μέρος ενός συνόλου. Το σύνολο συνήθως λαμβάνεται 1 (μονάδα). Ο παρονομαστής ενός κλάσματος δείχνει σε πόσα μέρη χωρίζεται το σύνολο ( 1 ), και ο αριθμητής είναι πόσα μέρη λαμβάνονται. Αν κόψουμε το κέικ σε 6 ίδια κομμάτια (στα μαθηματικά λένε μερίδια ), τότε κάθε μέρος του κέικ θα είναι ίσο με το 1/6. Αν ο Βάσια έφαγε 4 κομμάτια, τότε έφαγε 4/6.

Από την άλλη πλευρά, μια κλασματική ράβδος δεν είναι τίποτα άλλο από ένα σημάδι διαίρεσης. Επομένως, ένα κλάσμα είναι ένα πηλίκο δύο αριθμών - του αριθμητή και του παρονομαστή. Στο κείμενο των προβλημάτων ή στις συνταγές για πιάτα, τα κλάσματα συνήθως γράφονται ως εξής: 2/3, 1/2 κ.λπ. Κάποια κλάσματα πήραν δικό του όνομα, για παράδειγμα, 1/2 - "μισό", 1/3 - "τρίτο", 1/4 - "τέταρτο"
Τώρα ας καταλάβουμε ποιοι τύποι είναι τα συνηθισμένα κλάσματα.

2 Τύποι συνηθισμένων κλασμάτων

Υπάρχουν τρεις τύποι κοινών κλασμάτων: κανονικά, ακατάλληλα και μικτά:

Σωστό κλάσμα

Αν ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή, τότε καλείται ένα τέτοιο κλάσμα σωστός,για παράδειγμα: Ένα σωστό κλάσμα είναι πάντα μικρότερο από 1.

Ακατάλληλο κλάσμα

Αν ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή, καλείται το κλάσμα λανθασμένος, για παράδειγμα:

Ένα ακατάλληλο κλάσμα είναι μεγαλύτερο από ένα (αν ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή) ή ίσο με ένα (αν ο αριθμητής είναι ίσος με τον παρονομαστή)

μικτό κλάσμα

Αν το κλάσμα είναι ακέραιος αριθμός ( ολόκληρο μέρος) και ένα σωστό κλάσμα (κλασματικό μέρος), τότε ένα τέτοιο κλάσμα ονομάζεται μικτός, για παράδειγμα:

Ένα μικτό κλάσμα είναι πάντα μεγαλύτερο από ένα.

3 Μετατροπές κλασμάτων

Στα μαθηματικά, τα συνηθισμένα κλάσματα πρέπει συχνά να μετατραπούν, δηλαδή ένα μικτό κλάσμα πρέπει να μετατραπεί σε ακατάλληλο και το αντίστροφο. Αυτό είναι απαραίτητο για την εκτέλεση ορισμένων πράξεων, όπως ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση.

Ετσι, οποιοδήποτε μικτό κλάσμα μπορεί να μετατραπεί σε ακατάλληλο. Για να γίνει αυτό, το ακέραιο μέρος πολλαπλασιάζεται με τον παρονομαστή και προστίθεται ο αριθμητής του κλασματικού μέρους. Το ποσό που προκύπτει λαμβάνεται ως αριθμητής και ο παρονομαστής παραμένει ο ίδιος, για παράδειγμα:

Οποιοδήποτε ακατάλληλο κλάσμα μπορεί να μετατραπεί σε μικτό κλάσμα. Για να το κάνετε αυτό, διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή (με ένα υπόλοιπο). Ο αριθμός που προκύπτει θα είναι το ακέραιο μέρος και το υπόλοιπο θα είναι ο αριθμητής του κλασματικού μέρους, για παράδειγμα:

Ταυτόχρονα, λένε: «Ξεχωρίσαμε ολόκληρο το μέρος από ένα ακατάλληλο κλάσμα».

Υπάρχει ένας ακόμη κανόνας που πρέπει να θυμάστε: Οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως κοινό κλάσμα με παρονομαστή 1, για παράδειγμα:

Ας μιλήσουμε για το πώς να συγκρίνουμε κλάσματα.

4 Σύγκριση κλασμάτων

Υπάρχουν πολλές επιλογές κατά τη σύγκριση κλασμάτων: Είναι εύκολο να συγκρίνετε κλάσματα ίδιοι παρονομαστές, πολύ πιο δύσκολο αν οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί. Υπάρχει και σύγκριση μικτά κλάσματα. Αλλά μην ανησυχείτε, τώρα θα ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά σε κάθε επιλογή και θα μάθουμε πώς να συγκρίνουμε κλάσματα.

Σύγκριση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές

Από δύο κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή αλλά διαφορετικούς αριθμητές, το κλάσμα με τον μεγαλύτερο αριθμητή είναι μεγαλύτερο, για παράδειγμα:

Σύγκριση κλασμάτων με τον ίδιο αριθμητή

Από δύο κλάσματα με τους ίδιους αριθμητές, αλλά διαφορετικούς παρονομαστέςτόσο μεγαλύτερο είναι το κλάσμα του οποίου ο παρονομαστής είναι μικρότερος, για παράδειγμα:

Σύγκριση μικτών και ακατάλληλα κλάσματαμε σωστά κλάσματα

Ένα ακατάλληλο ή μικτό κλάσμα είναι πάντα μεγαλύτερο από ένα σωστό κλάσμα, για παράδειγμα:

Συγκρίνοντας δύο μικτά κλάσματα

Όταν συγκρίνουμε δύο μικτά κλάσματα, το κλάσμα με το μεγαλύτερο ακέραιο μέρος είναι μεγαλύτερο, για παράδειγμα:

Εάν τα ακέραια μέρη των μικτών κλασμάτων είναι τα ίδια, το κλάσμα με το μεγαλύτερο κλασματικό μέρος είναι μεγαλύτερο, για παράδειγμα:

Σύγκριση κλασμάτων με διαφορετικούς αριθμητές και παρονομαστές

Είναι αδύνατο να συγκρίνουμε κλάσματα με διαφορετικούς αριθμητές και παρονομαστές χωρίς να τους μετατρέψουμε. Αρχικά, τα κλάσματα πρέπει να φέρουν τον ίδιο παρονομαστή και στη συνέχεια να συγκριθούν οι αριθμητές τους. Το μεγαλύτερο κλάσμα είναι αυτό με τον μεγαλύτερο αριθμητή. Αλλά πώς να φέρουμε τα κλάσματα στον ίδιο παρονομαστή, θα εξετάσουμε στις επόμενες δύο ενότητες του άρθρου. Αρχικά, θα εξετάσουμε τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος και τη μείωση των κλασμάτων και στη συνέχεια την άμεση αναγωγή των κλασμάτων στον ίδιο παρονομαστή.

5 Βασική ιδιότητα ενός κλάσματος. Αναγωγή κλασμάτων. Η έννοια του GCD.

Θυμάμαι: Μπορείτε να προσθέσετε, να αφαιρέσετε και να συγκρίνετε μόνο κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές.. Εάν οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί, τότε πρώτα πρέπει να φέρετε τα κλάσματα στον ίδιο παρονομαστή, δηλαδή να μετατρέψετε ένα από τα κλάσματα με τέτοιο τρόπο ώστε ο παρονομαστής του να γίνει ίδιος με αυτόν του δεύτερου κλάσματος.

Τα κλάσματα έχουν ένα σημαντική περιουσίαεπίσης λέγεται βασική ιδιότητα ενός κλάσματος:

Εάν και ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό, τότε η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει:

Χάρη σε αυτό το ακίνητο, μπορούμε μειώνω τα κλάσματα:

Για να μειώσουμε ένα κλάσμα σημαίνει να διαιρούμε και τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό.(βλ. παράδειγμα ακριβώς παραπάνω). Όταν μειώνουμε ένα κλάσμα, μπορούμε να περιγράψουμε τις ενέργειές μας ως εξής:

Πιο συχνά, σε ένα σημειωματάριο, ένα κλάσμα μειώνεται ως εξής:

Αλλά θυμηθείτε: μόνο οι πολλαπλασιαστές μπορούν να μειωθούν. Εάν ο αριθμητής ή ο παρονομαστής είναι το άθροισμα ή η διαφορά, οι όροι δεν μπορούν να μειωθούν. Παράδειγμα:

Πρέπει πρώτα να μετατρέψουμε το άθροισμα σε πολλαπλασιαστή:

Μερικές φορές, όταν εργάζεστε με μεγάλα νούμερα, για να μειωθεί το κλάσμα, είναι βολικό να βρεθεί ο μεγαλύτερος κοινός παράγοντας αριθμητή και παρονομαστή (gcd)

Μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης (GCD)αρκετοί αριθμοί - αυτός είναι ο μεγαλύτερος φυσικός αριθμός με τον οποίο αυτοί οι αριθμοί διαιρούνται χωρίς υπόλοιπο.

Για να βρείτε το GCD δύο αριθμών (για παράδειγμα, τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος), πρέπει να επεκτείνετε και τους δύο αριθμούς σε πρωταρχικούς παράγοντες, σημειώστε τους ίδιους παράγοντες και στις δύο επεκτάσεις και πολλαπλασιάστε αυτούς τους παράγοντες. Το προκύπτον προϊόν θα είναι GCD. Για παράδειγμα, πρέπει να μειώσουμε ένα κλάσμα:

Βρείτε το GCD των αριθμών 96 και 36:

Το GCD μας δείχνει ότι και ο αριθμητής και ο παρονομαστής έχουν συντελεστή 12 και μπορούμε εύκολα να μειώσουμε το κλάσμα.

Μερικές φορές, για να φέρουμε κλάσματα στον ίδιο παρονομαστή, αρκεί να μειώσουμε ένα από τα κλάσματα. Αλλά πιο συχνά είναι απαραίτητο να επιλέγουμε πρόσθετους παράγοντες και για τα δύο κλάσματα.Τώρα θα δούμε πώς γίνεται αυτό. Ετσι:

6 Πώς να φέρετε κλάσματα στον ίδιο παρονομαστή. Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM).

Όταν ανάγουμε κλάσματα στον ίδιο παρονομαστή, επιλέγουμε για τον παρονομαστή έναν αριθμό που θα διαιρείται τόσο με τον πρώτο όσο και με τον δεύτερο παρονομαστή (δηλαδή, θα ήταν πολλαπλάσιο και των δύο παρονομαστών, εκφρασμένο μαθηματική γλώσσα). Και είναι επιθυμητό αυτός ο αριθμός να είναι όσο το δυνατόν μικρότερος, επομένως είναι πιο βολικό να μετράτε. Άρα πρέπει να βρούμε το LCM και των δύο παρονομαστών.

Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο αριθμών (LCM)είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός που διαιρείται και με τους δύο αυτούς αριθμούς χωρίς υπόλοιπο. Μερικές φορές το LCM μπορεί να βρεθεί προφορικά, αλλά πιο συχνά, ειδικά όταν εργάζεστε με μεγάλους αριθμούς, πρέπει να βρείτε το LCM γραπτώς, χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο αλγόριθμο:

Για να βρείτε το LCM πολλών αριθμών, χρειάζεστε:

1. Διασπάστε αυτούς τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες
2. Πάρτε τη μεγαλύτερη επέκταση και γράψτε αυτούς τους αριθμούς ως γινόμενο
3. Επιλέξτε σε άλλες επεκτάσεις τους αριθμούς που δεν εμφανίζονται στη μεγαλύτερη επέκταση (ή εμφανίζονται σε αυτήν μικρότερος αριθμόςφορές) και προσθέστε τα στην εργασία.
4. Πολλαπλασιάστε όλους τους αριθμούς στο γινόμενο, αυτό θα είναι το LCM.

Για παράδειγμα, ας βρούμε το LCM των αριθμών 28 και 21:

Αλλά πίσω στα κλάσματα μας. Αφού επιλέξουμε ή υπολογίσουμε γραπτώς το LCM και των δύο παρονομαστών, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμητές αυτών των κλασμάτων με πρόσθετους πολλαπλασιαστές. Μπορείτε να τα βρείτε διαιρώντας το LCM με τον παρονομαστή του αντίστοιχου κλάσματος, για παράδειγμα:

Έτσι, μειώσαμε τα κλάσματα μας σε έναν παρονομαστή - 15.

7 Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές

Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή ίδιο, για παράδειγμα:

Για να αφαιρέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, αφαιρέστε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή τον ίδιο, για παράδειγμα:

Πρόσθεση και αφαίρεση μικτών κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές

Για να προσθέσετε μικτά κλάσματα, πρέπει να προσθέσετε ολόκληρα τα μέρη τους χωριστά και στη συνέχεια να προσθέσετε τα κλασματικά τους μέρη και να γράψετε το αποτέλεσμα ως μικτό κλάσμα:

Εάν, κατά την προσθήκη των κλασματικών μερών, προκύπτει ένα ακατάλληλο κλάσμα, επιλέγουμε το ακέραιο μέρος από αυτό και το προσθέτουμε στο ακέραιο μέρος, για παράδειγμα:

Η αφαίρεση πραγματοποιείται με τον ίδιο τρόπο: το ακέραιο μέρος αφαιρείται από τον ακέραιο και το κλασματικό μέρος αφαιρείται από το κλασματικό μέρος:

Εάν το κλασματικό μέρος του υποκατηγοριακού είναι μεγαλύτερο από το κλασματικό μέρος του minuend, "παίρνουμε" ένα από το ακέραιο μέρος, μετατρέποντας το minuend σε ακατάλληλο κλάσμα και, στη συνέχεια, συνεχίζουμε ως συνήθως:

Ομοίως αφαιρέστε ένα κλάσμα από έναν ακέραιο αριθμό:

Πώς να προσθέσετε έναν ακέραιο αριθμό και ένα κλάσμα

Για να προσθέσετε έναν ακέραιο αριθμό και ένα κλάσμα, πρέπει απλώς να προσθέσετε αυτόν τον αριθμό πριν από το κλάσμα και θα έχετε ένα μικτό κλάσμα, για παράδειγμα:

Αν εμείς προσθέστε έναν ακέραιο αριθμό και ένα μικτό κλάσμα, προσθέτουμε αυτόν τον αριθμό στο ακέραιο μέρος του κλάσματος, για παράδειγμα:

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.

Για να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει πρώτα να τα φέρετε στον ίδιο παρονομαστή και στη συνέχεια να προχωρήσετε όπως όταν προσθέτετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές (προσθέστε τους αριθμητές):

Κατά την αφαίρεση, προχωράμε με τον ίδιο τρόπο:

Αν εργαζόμαστε με μικτά κλάσματα, μειώνουμε τα κλασματικά τους μέρη στον ίδιο παρονομαστή και στη συνέχεια αφαιρούμε ως συνήθως: ολόκληρο το μέρος από το σύνολο και το κλασματικό μέρος από το κλασματικό μέρος:

8 Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων.

Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση των κλασμάτων είναι πολύ πιο εύκολος από την πρόσθεση και την αφαίρεση γιατί δεν χρειάζεται να τα φέρετε στον ίδιο παρονομαστή. Θυμάμαι απλούς κανόνεςπολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων:

Πριν πολλαπλασιάσουμε τους αριθμούς στον αριθμητή και στον παρονομαστή, είναι επιθυμητό να μειωθεί το κλάσμα, δηλαδή να απαλλαγούμε από ίδιοι πολλαπλασιαστέςστον αριθμητή και στον παρονομαστή, όπως στο παράδειγμά μας.

Να διαιρέσουμε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή με αυτόν τον αριθμό και να αφήσετε τον αριθμητή αμετάβλητο:

Για παράδειγμα:

Διαίρεση ενός κλάσματος με ένα κλάσμα

Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα σε ένα άλλο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το μέρισμα με το αντίστροφο του διαιρέτη (το αντίστροφο).Τι είναι αυτό το αντίστροφο;

Αν αντιστρέψουμε το κλάσμα, δηλαδή ανταλλάξουμε αριθμητή και παρονομαστή, παίρνουμε το αντίστροφο. Το γινόμενο ενός κλάσματος και του αντίστροφου του δίνει ένα. Στα μαθηματικά, τέτοιοι αριθμοί ονομάζονται αμοιβαία αμοιβαίοι αριθμοί:

Για παράδειγμα, αριθμοί είναι αμοιβαία αντίστροφα, αφού

Έτσι, επιστρέφουμε στη διαίρεση ενός κλάσματος με ένα κλάσμα:

Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα άλλο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το μέρισμα με το αντίστροφο του διαιρέτη:

Για παράδειγμα:

Κατά τη διαίρεση μικτών κλασμάτων, όπως και κατά τον πολλαπλασιασμό, πρέπει πρώτα να τα μετατρέψετε σε ακατάλληλα κλάσματα:

Κατά τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση των κλασμάτων με ακέραιους αριθμούς ακέραιοι αριθμοί , μπορείτε επίσης να αναπαραστήσετε αυτούς τους αριθμούς ως κλάσματα με παρονομαστή 1 .

Και στο διαιρώντας έναν ακέραιο αριθμό με ένα κλάσμαπαριστάνουμε αυτόν τον αριθμό ως κλάσμα με παρονομαστή 1 :

Ο αριθμητής και αυτός με τον οποίο διαιρείται είναι ο παρονομαστής.

Για να γράψετε ένα κλάσμα, γράψτε πρώτα τον αριθμητή του, μετά σχεδιάστε μια οριζόντια γραμμή κάτω από αυτόν τον αριθμό και γράψτε τον παρονομαστή κάτω από τη γραμμή. Η οριζόντια γραμμή που χωρίζει τον αριθμητή και τον παρονομαστή ονομάζεται κλασματική γραμμή. Μερικές φορές απεικονίζεται ως λοξό "/" ή "∕". Σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμητής γράφεται στα αριστερά της γραμμής και ο παρονομαστής στα δεξιά. Έτσι, για παράδειγμα, το κλάσμα "δύο τρίτα" θα γραφτεί ως 2/3. Για λόγους σαφήνειας, ο αριθμητής γράφεται συνήθως στο επάνω μέρος της γραμμής και ο παρονομαστής στο κάτω μέρος, δηλαδή, αντί για 2/3, μπορείτε να βρείτε: ⅔.

Για να υπολογίσετε το γινόμενο των κλασμάτων, πολλαπλασιάστε πρώτα τον αριθμητή του ενός κλάσματασε άλλον αριθμητή. Γράψε το αποτέλεσμα στον αριθμητή του νέου κλάσματα. Στη συνέχεια πολλαπλασιάστε και τους παρονομαστές. Καθορίστε την τελική τιμή στο νέο κλάσματα. Για παράδειγμα, το 1/3; 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1, 3 × 5 = 15).

Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα άλλο, πολλαπλασιάστε πρώτα τον αριθμητή του πρώτου με τον παρονομαστή του δεύτερου. Κάντε το ίδιο με το δεύτερο κλάσμα (διαιρέτης). Ή, προτού εκτελέσετε όλα τα βήματα, πρώτα «αναποδογυρίστε» τον διαιρέτη, εάν σας βολεύει περισσότερο: ο παρονομαστής πρέπει να βρίσκεται στη θέση του αριθμητή. Στη συνέχεια πολλαπλασιάστε τον παρονομαστή του μερίσματος με τον νέο παρονομαστή του διαιρέτη και πολλαπλασιάστε τους αριθμητές. Για παράδειγμα, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5, 3 × 1 = 3).

Πηγές:

• Βασικές εργασίες για κλάσματα

Οι κλασματικοί αριθμοί σας επιτρέπουν να εκφραστείτε διαφορετική μορφήτην ακριβή αξία της ποσότητας. Μπορείτε να κάνετε το ίδιο με τα κλάσματα. μαθηματικές πράξεις, όπως και με τους ακέραιους αριθμούς: αφαίρεση, πρόσθεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση. Για να μάθετε πώς να αποφασίζετε κλάσματα, είναι απαραίτητο να θυμάστε μερικά από τα χαρακτηριστικά τους. Εξαρτώνται από τον τύπο κλάσματα, η παρουσία ενός ακέραιου μέρους, ενός κοινού παρονομαστή. Μερικοί αριθμητικές πράξειςμετά την εκτέλεση, απαιτούν μείωση του κλασματικού μέρους του αποτελέσματος.

Θα χρειαστείτε

• - αριθμομηχανή

Εντολή

Κοιτάξτε προσεκτικά τους αριθμούς. Εάν υπάρχουν δεκαδικοί και ανώμαλοι μεταξύ των κλασμάτων, μερικές φορές είναι πιο βολικό να εκτελέσετε πρώτα ενέργειες με δεκαδικούς και μετά να τις μετατρέψετε σε λάθος μορφή. Μπορείς να μεταφράσεις κλάσματασε αυτή τη μορφή αρχικά, γράφοντας την τιμή μετά την υποδιαστολή στον αριθμητή και βάζοντας 10 στον παρονομαστή. Εάν χρειάζεται, μειώστε το κλάσμα διαιρώντας τους αριθμούς πάνω και κάτω με έναν διαιρέτη. Τα κλάσματα στα οποία ξεχωρίζει ολόκληρο το μέρος, οδηγούν σε λάθος μορφή πολλαπλασιάζοντάς την με τον παρονομαστή και προσθέτοντας τον αριθμητή στο αποτέλεσμα. Αυτή η τιμή θα γίνει ο νέος αριθμητής κλάσματα. Για να εξαγάγετε ολόκληρο το μέρος από το αρχικά λανθασμένο κλάσματα, διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή. Γράψτε ολόκληρο το αποτέλεσμα από κλάσματα. Και το υπόλοιπο της διαίρεσης γίνεται ο νέος αριθμητής, ο παρονομαστής κλάσματαενώ δεν αλλάζει. Για κλάσματα με ακέραιο μέρος, είναι δυνατή η εκτέλεση ενεργειών χωριστά, πρώτα για τον ακέραιο και μετά για τα κλασματικά μέρη. Για παράδειγμα, το άθροισμα 1 2/3 και 2 ¾ μπορεί να υπολογιστεί:
- Μετατροπή κλασμάτων σε λάθος μορφή:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Άθροιση χωριστά ακέραιων και κλασματικών μερών όρων:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Ξαναγράψτε τα μέσω του διαχωριστικού ":" και συνεχίστε τη συνηθισμένη διαίρεση.

Για να πάρετε το τελικό αποτέλεσμα, μειώστε το κλάσμα που προκύπτει διαιρώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με έναν ακέραιο αριθμό, τον μεγαλύτερο δυνατό σε αυτή η υπόθεση. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί πάνω και κάτω από τη γραμμή.

Σημείωση

Μην κάνετε αριθμητική με κλάσματα που έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. Επιλέξτε έναν αριθμό τέτοιο ώστε όταν ο αριθμητής και ο παρονομαστής κάθε κλάσματος πολλαπλασιάζονται με αυτόν, ως αποτέλεσμα, οι παρονομαστές και των δύο κλασμάτων να είναι ίσοι.

Χρήσιμες συμβουλές

Κατά την εγγραφή κλασματικοί αριθμοίτο μέρισμα γράφεται πάνω από τη γραμμή. Αυτή η ποσότητα αναφέρεται ως αριθμητής ενός κλάσματος. Κάτω από τη γραμμή γράφεται ο διαιρέτης ή ο παρονομαστής του κλάσματος. Για παράδειγμα, ενάμισι κιλό ρύζι σε μορφή κλάσματος θα γραφτούν ως εξής: 1 ½ κιλό ρύζι. Αν ο παρονομαστής ενός κλάσματος είναι 10, λέγεται δεκαδικό κλάσμα. Σε αυτή την περίπτωση, ο αριθμητής (μέρισμα) γράφεται στα δεξιά όλου του τμήματος που χωρίζεται με κόμμα: 1,5 κιλό ρύζι. Για τη διευκόλυνση των υπολογισμών, ένα τέτοιο κλάσμα μπορεί πάντα να γραφτεί λάθος τρόπο: 1 2/10 κιλό πατάτες. Για απλοποίηση, μπορείτε να μειώσετε τις τιμές αριθμητή και παρονομαστή διαιρώντας τις με έναν μόνο ακέραιο αριθμό. ΣΤΟ αυτό το παράδειγμαείναι δυνατή η διαίρεση με το 2. Το αποτέλεσμα θα είναι 1 1/5 κιλό πατάτες. Βεβαιωθείτε ότι οι αριθμοί με τους οποίους θα κάνετε αριθμητική είναι στην ίδια μορφή.

«Κλασματικά» μαθηματικά για παιδιά

Ας συμφωνήσουμε αμέσως ότι ένα κλάσμα είναι μέρος ενός συνόλου, μικρότερο από ένα. Σε πόσα μέρη θα χωρίσουμε το σύνολο; Και έτσι συμφωνούμε. Τι θα θεωρείται μονάδα; Το ίδιο όπως συμφωνούμε. Έτσι είναι βολικά, αυτά τα κλάσματα. Και πρέπει επίσης να θυμάστε ένα πράγμα: ο αριθμός σε πόσα μέρη αποφασίσαμε να διαιρέσουμε το σύνολο είναι ο παρονομαστής, πόσα από αυτά τα μέρη πήραμε είναι ο αριθμητής.

Για παράδειγμα, εδώ είναι μια ιστορία. Υπάρχουν 3 μήλα στο γρασίδι, ο σκαντζόχοιρος πήρε μόνο 2. Για το σύνολο (ένα), θα πάρουμε όλα τα μήλα - ολόκληρη την καλλιέργεια. Έχουμε όμως 3 από αυτά, που σημαίνει ότι η καλλιέργεια μας χωρίζεται σε 3 μέρη. 3 είναι ο παρονομαστής. Ολόκληρη η καλλιέργεια (μονάδα) είναι τα 3/3 και κάθε μήλο είναι το 1/3 της καλλιέργειας. Αφού ο σκαντζόχοιρος πήρε 2 μήλα, σημαίνει ότι πήρε τα 2/3 της σοδειάς!

Και μπορείτε να πάρετε το Lego, έναν τέτοιο σχεδιαστή που αγαπούν πολλά παιδιά. Έχουμε από καιρό παρατηρήσει ότι όλα τα στοιχεία του είναι διαφορετικά σε μέγεθος, σωστά; Και σε κάθε λεπτομέρεια διαφορετικό ποσότελείες - «σπυράκια». Ας μετρήσουμε - εδώ είναι ένα, δύο, τέσσερα, έξι και ακόμη και οκτώ.

Ας εξετάσουμε ένα lego «τούβλο» με οκτώ πόντους συνολικά (ένα). Αρχικά, ας το συγκρίνουμε με άλλους. Πόσα κομμάτια Lego με 4 κουκκίδες πρέπει να πάρετε για να φτιάξετε τη μονάδα "τουβλάκι" μας; Σωστά, δύο. Άρα, μια λεπτομέρεια με 4 βαθμούς είναι το 1/2 του «ένα» μας. Και πόσες λεπτομέρειες με δύο σημεία πρέπει να πάρεις για να πάρεις το σύνολο; Σωστά, τέσσερα. Άρα, μια τέτοια λεπτομέρεια είναι το 1/4. Και μια λεπτομέρεια με έναν πόντο είναι 1/8, γιατί τέτοιες λεπτομέρειες θα χρειαστούν έως και 8 κομμάτια για να γίνει ένα σύνολο. Τώρα το έργο είναι πιο περίπλοκο: έχουμε ένα στοιχείο με έξι βαθμούς. Χωράει 3 «τέταρτα», και αν του προσθέσετε ένα ακόμα, παίρνετε ένα ολόκληρο (ένα). Λοιπόν, εδώ είναι έτοιμο το πρώτο παράδειγμα: 3/4+1/4=4/4 ή 1 (αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι ίσοι, τότε αυτό είναι ένα!)

Αυτό απέχει πολύ από το μόνο πείραμα που μπορεί να γίνει με Lego. Με τα κλάσματα, μπορείτε να συμφωνήσετε σε πολλά. Τι γίνεται όμως αν είμαστε ίδιοι, θα θεωρούμε όχι τέταρτα, αλλά όγδοα; Και ο παρονομαστής θα είναι 8; Κοιτάζουμε την εικόνα: η μονάδα είναι ένα "τούβλο" με οκτώ σημεία. Το 1/2 είναι 4/8 και το 1/4=2/8. Και αυτή είναι μια ιστορία για το πώς μπορείτε να μειώσετε τα κλάσματα. Αλλά αυτό το θέμα μπορεί πραγματικά να περιμένει λίγο!

Τα παραδείγματα με κλάσματα είναι ένα από τα βασικά στοιχεία των μαθηματικών. Υπάρχουν πολλά ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙεξισώσεις με κλάσματα. Παρακάτω είναι αναλυτικές οδηγίεςλύνοντας παραδείγματα αυτού του τύπου.

Πώς να λύσετε παραδείγματα με κλάσματα - γενικοί κανόνες

Για να λύσετε παραδείγματα με κλάσματα οποιουδήποτε τύπου, είτε πρόκειται για πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό ή διαίρεση, πρέπει να γνωρίζετε τους βασικούς κανόνες:

• Για να προσθέσετε κλασματικές εκφράσεις με τον ίδιο παρονομαστή (ο παρονομαστής είναι ο αριθμός στο κάτω μέρος του κλάσματος, ο αριθμητής στην κορυφή), πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή ίδιο.
• Για να αφαιρέσετε από μια κλασματική έκφραση τη δεύτερη (με τον ίδιο παρονομαστή), πρέπει να αφαιρέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή ίδιο.
• Για να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε κλασματικές εκφράσεις με διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει να βρείτε τον μικρότερο κοινό παρονομαστή.
• Για να βρείτε ένα κλασματικό γινόμενο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές και τους παρονομαστές, ενώ, αν είναι δυνατόν, να μειώσετε.
• Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το πρώτο κλάσμα με το αντίστροφο δευτερόλεπτο.

Πώς να λύσετε παραδείγματα με κλάσματα - εξάσκηση

Κανόνας 1, παράδειγμα 1:

Υπολογίστε 3/4 +1/4.

Σύμφωνα με τον κανόνα 1, εάν κλάσματα των δύο (ή περισσότερων) έχουν τον ίδιο παρονομαστή, πρέπει απλώς να προσθέσετε τους αριθμητές τους. Παίρνουμε: 3/4 + 1/4 = 4/4. Αν ένα κλάσμα έχει τον ίδιο αριθμητή και παρονομαστή, το κλάσμα θα είναι 1.

Απάντηση: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

Κανόνας 2, παράδειγμα 1:

Υπολογίστε: 3/4 - 1/4

Χρησιμοποιώντας τον κανόνα 2, για να λύσετε αυτήν την εξίσωση, πρέπει να αφαιρέσετε το 1 από το 3 και να αφήσετε τον παρονομαστή ίδιο. Παίρνουμε 2/4. Εφόσον δύο 2 και 4 μπορούν να μειωθούν, μειώνουμε και παίρνουμε 1/2.

Απάντηση: 3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2.

Κανόνας 3, Παράδειγμα 1

Υπολογίστε: 3/4 + 1/6

Λύση: Χρησιμοποιώντας τον 3ο κανόνα, βρίσκουμε τον ελάχιστο κοινό παρονομαστή. Ο ελάχιστος κοινός παρονομαστής είναι ο αριθμός που διαιρείται με τους παρονομαστές όλων κλασματικές εκφράσειςπαράδειγμα. Έτσι, πρέπει να βρούμε έναν τέτοιο ελάχιστο αριθμό που θα διαιρείται και με το 4 και με το 6. Αυτός ο αριθμός είναι 12. Ως παρονομαστή γράφουμε το 12. Το 12 διαιρείται με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος, παίρνουμε 3, πολλαπλασιάζουμε με 3, γράφουμε 3 στον αριθμητή *3 και το σύμβολο +. Διαιρούμε το 12 με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος, παίρνουμε 2, πολλαπλασιάζουμε το 2 με 1, γράφουμε 2 * 1 στον αριθμητή. Έτσι, πήραμε ένα νέο κλάσμα με παρονομαστή ίσο με 12 και αριθμητή ίσο με 3*3+2*1=11. 11/12.

Απάντηση: 11/12

Κανόνας 3, Παράδειγμα 2:

Υπολογίστε 3/4 - 1/6. Αυτό το παράδειγμα μοιάζει πολύ με το προηγούμενο. Κάνουμε όλες τις ίδιες ενέργειες, αλλά στον αριθμητή αντί για το σύμβολο +, γράφουμε το σύμβολο μείον. Παίρνουμε: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

Απάντηση: 7/12

Κανόνας 4, Παράδειγμα 1:

Υπολογίστε: 3/4 * 1/4

Χρησιμοποιώντας τον τέταρτο κανόνα, πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου και τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου. 3*1/4*4 = 3/16.

Απάντηση: 16/3

Κανόνας 4, Παράδειγμα 2:

Υπολογίστε 2/5 * 10/4.

Αυτό το κλάσμα μπορεί να μειωθεί. Στην περίπτωση προϊόντος, ο αριθμητής του πρώτου κλάσματος και ο παρονομαστής του δεύτερου και ο αριθμητής του δεύτερου κλάσματος και ο παρονομαστής του πρώτου μειώνονται.

Το 2 μειώνεται από 4. Το 10 μειώνεται από 5. παίρνουμε 1 * 2/2 = 1 * 1 = 1.

Απάντηση: 2/5 * 10/4 = 1

Κανόνας 5, Παράδειγμα 1:

Υπολογίστε: 3/4: 5/6

Χρησιμοποιώντας τον 5ο κανόνα, παίρνουμε: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Μειώνουμε το κλάσμα σύμφωνα με την αρχή του προηγούμενου παραδείγματος και παίρνουμε 9/10.

Απάντηση: 9/10.

Πώς να λύσετε παραδείγματα κλασμάτων - κλασματικές εξισώσεις

Οι κλασματικές εξισώσεις είναι παραδείγματα όπου ο παρονομαστής περιέχει έναν άγνωστο. Για να λύσετε μια τέτοια εξίσωση, πρέπει να χρησιμοποιήσετε ορισμένους κανόνες.

Εξετάστε ένα παράδειγμα:

Λύστε την εξίσωση 15/3x+5 = 3

Θυμηθείτε ότι δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν, δηλ. η τιμή του παρονομαστή δεν πρέπει να είναι μηδέν. Κατά την επίλυση τέτοιων παραδειγμάτων, αυτό πρέπει να αναφέρεται. Για να γίνει αυτό, υπάρχει ODZ (εύρος αποδεκτών τιμών).

Άρα 3x+5 ≠ 0.
Επομένως: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

Για x = 5/3, η εξίσωση απλά δεν έχει λύση.

Καθορίζοντας το ODZ, με τον καλύτερο δυνατό τρόποαποφασίζω δεδομένη εξίσωσηθα απαλλαγεί από τα κλάσματα. Για αυτό, πρώτα τα φανταζόμαστε όλα κλασματικές τιμέςως κλάσμα, στην περίπτωση αυτή τον αριθμό 3. Παίρνουμε: 15/(3x+5) = 3/1. Για να απαλλαγείτε από τα κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε καθένα από αυτά με τον μικρότερο κοινό παρονομαστή. Σε αυτήν την περίπτωση, αυτό θα ήταν (3x+5)*1. Αλληλουχία:

1. Πολλαπλασιάστε το 15/(3x+5) με το (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
2. Αναπτύξτε τις αγκύλες: 15*(3x+5) = 45x + 75.
3. Το ίδιο κάνουμε και με σωστη πλευραεξισώσεις: 3*(3x+5) = 9x + 15.
4. Εξισώνουμε αριστερά και σωστη πλευρα: 45x + 75 = 9x +15
5. Μετακινήστε τα x προς τα αριστερά, τους αριθμούς στα δεξιά: 36x = -50
6. Βρείτε το x: x = -50/36.
7. Μειώνουμε: -50/36 = -25/18

Απάντηση: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.

Πώς να λύσετε παραδείγματα με κλάσματα - κλασματικές ανισώσεις

Οι κλασματικές ανισώσεις του τύπου (3x-5)/(2-x)≥0 επιλύονται με τον αριθμητικό άξονα. Εξετάστε αυτό το παράδειγμα.

Αλληλουχία:

• Εξισώστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή στο μηδέν: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
  2. 2-x=0 => x=2
• Σχεδιάζουμε έναν αριθμητικό άξονα, ζωγραφίζοντας τις τιμές που προκύπτουν σε αυτόν.
• Σχεδιάστε έναν κύκλο κάτω από την τιμή. Ο κύκλος είναι δύο τύπων - γεμάτος και κενός. Ο γεμάτος κύκλος σημαίνει αυτό δεδομένη αξίαπεριλαμβάνονται στη γκάμα λύσεων. Ένας κενός κύκλος υποδεικνύει ότι αυτή η τιμή δεν περιλαμβάνεται στο εύρος των λύσεων.
• Δεδομένου ότι ο παρονομαστής δεν μπορεί να είναι μηδέν, θα υπάρχει ένας κενός κύκλος κάτω από το 2ο.

• Για να προσδιορίσουμε τα σημάδια, αντικαθιστούμε οποιονδήποτε αριθμό μεγαλύτερο από δύο στην εξίσωση, για παράδειγμα 3. (3 * 3-5) / (2-3) \u003d -4. η τιμή είναι αρνητική, οπότε γράφουμε ένα μείον στην περιοχή μετά το δυάρι. Στη συνέχεια αντικαθιστούμε οποιαδήποτε τιμή του διαστήματος από το 5/3 στο 2 αντί του x, για παράδειγμα 1. Η τιμή είναι και πάλι αρνητική. Γράφουμε μείον. Επαναλαμβάνουμε το ίδιο με την περιοχή μέχρι τα 5/3. Αντικαθιστούμε οποιονδήποτε αριθμό μικρότερο από 5/3, για παράδειγμα 1. Πάλι μείον.

• Δεδομένου ότι μας ενδιαφέρουν οι τιμές x, στις οποίες η έκφραση θα είναι μεγαλύτερη ή ίση με 0, και δεν υπάρχουν τέτοιες τιμές (μειονεκτήματα παντού), αυτή η ανισότητα δεν έχει λύση, δηλαδή x = Ø (κενό σύνολο).

Απάντηση: x = Ø

Ένα μέρος μιας μονάδας ή πολλά από τα μέρη της ονομάζεται απλό ή συνηθισμένο κλάσμα. Ποσότητα ίσα μέρη, στην οποία διαιρείται η μονάδα, ονομάζεται παρονομαστής και ο αριθμός των μερών που λαμβάνονται ονομάζεται αριθμητής. Το κλάσμα γράφεται ως:

Στην περίπτωση αυτή, το a είναι ο αριθμητής, το b είναι ο παρονομαστής.

Αν ο αριθμητής μικρότερο από τον παρονομαστή, τότε καλείται το κλάσμα μικρότερο του 1 κατάλληλο κλάσμα. Αν ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από 1, τότε το κλάσμα ονομάζεται ακατάλληλο κλάσμα.

Αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος είναι ίσοι, τότε το κλάσμα είναι ίσο.

1. Αν ο αριθμητής μπορεί να διαιρεθεί με τον παρονομαστή, τότε αυτό το κλάσμα είναι ίσο με το πηλίκο της διαίρεσης:

Εάν η διαίρεση εκτελείται με ένα υπόλοιπο, τότε αυτό το ακατάλληλο κλάσμα μπορεί να αναπαρασταθεί με έναν μικτό αριθμό, για παράδειγμα:

Τότε το 9 είναι ένα ημιτελές πηλίκο (το ακέραιο μέρος του μικτού αριθμού),
1 - υπόλοιπο (αριθμητής του κλασματικού μέρους),
5 είναι ο παρονομαστής.

Για να μετατρέψετε έναν μικτό αριθμό σε κλάσμα, πολλαπλασιάστε το ακέραιο μέρος του μικτού αριθμού με τον παρονομαστή και προσθέστε τον αριθμητή του κλασματικού μέρους.

Το αποτέλεσμα που προκύπτει θα είναι ο αριθμητής ενός συνηθισμένου κλάσματος και ο παρονομαστής θα παραμείνει ο ίδιος.

Ενέργειες με κλάσματα

Διαστολή κλάσματος.Η τιμή ενός κλάσματος δεν αλλάζει αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής του πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό.
Για παράδειγμα:

Αναγωγή κλασμάτων.Η τιμή ενός κλάσματος δεν αλλάζει αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής του διαιρεθούν με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό.
Για παράδειγμα:

Σύγκριση κλασμάτων.Από δύο κλάσματα με τον ίδιο αριθμητή, το μεγαλύτερο είναι αυτό με τον μικρότερο παρονομαστή:

Από δύο κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, αυτό με τον μεγαλύτερο αριθμητή είναι μεγαλύτερο:

Για να συγκρίνουμε κλάσματα των οποίων οι αριθμητές και οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί, είναι απαραίτητο να τα επεκτείνουμε, δηλαδή να τα φέρουμε σε κοινό παρονομαστή. Εξετάστε, για παράδειγμα, τα ακόλουθα κλάσματα:

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων.Αν οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι ίδιοι, τότε για να προστεθούν τα κλάσματα πρέπει να προστεθούν οι αριθμητές τους και για να αφαιρεθούν τα κλάσματα πρέπει να αφαιρεθούν οι αριθμητές τους. Το άθροισμα ή η διαφορά που προκύπτει θα είναι ο αριθμητής του αποτελέσματος, ενώ ο παρονομαστής θα παραμείνει ο ίδιος. Εάν οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι διαφορετικοί, θα πρέπει πρώτα να μειώσετε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή. Όταν προστεθεί μικτούς αριθμούςΤα ακέραια και τα κλασματικά τους μέρη προστίθενται χωριστά. Κατά την αφαίρεση μικτών αριθμών, πρέπει πρώτα να τους μετατρέψετε στη μορφή ακατάλληλων κλασμάτων, στη συνέχεια να αφαιρέσετε το ένα από το άλλο και, στη συνέχεια, να φέρετε ξανά το αποτέλεσμα, εάν είναι απαραίτητο, στη μορφή ενός μικτού αριθμού.

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων. Για να πολλαπλασιάσετε τα κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους χωριστά και να διαιρέσετε το πρώτο γινόμενο με το δεύτερο.

Διαίρεση κλασμάτων. Για να διαιρέσετε έναν αριθμό με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε αυτόν τον αριθμό με την αμοιβαία του.

Δεκαδικόςείναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης ενός προς δέκα, εκατό, χίλια κ.λπ. εξαρτήματα. Πρώτα, γράφεται το ακέραιο μέρος του αριθμού και στη συνέχεια τοποθετείται η υποδιαστολή στα δεξιά. Το πρώτο ψηφίο μετά την υποδιαστολή σημαίνει τον αριθμό των δέκατων, το δεύτερο - τον αριθμό των εκατοστών, το τρίτο - τον αριθμό των χιλιοστών, κ.λπ. Οι αριθμοί μετά την υποδιαστολή ονομάζονται δεκαδικά ψηφία.

Για παράδειγμα:

Δεκαδικές ιδιότητες

Ιδιότητες:

• Το δεκαδικό κλάσμα δεν αλλάζει αν προστεθούν μηδενικά στα δεξιά: 4,5 = 4,5000.
• Το δεκαδικό κλάσμα δεν αλλάζει αν αφαιρεθούν τα μηδενικά που βρίσκονται στο τέλος του δεκαδικού κλάσματος: 0,0560000 = 0,056.
• Το δεκαδικό αυξάνεται στα 10, 100, 1000 κ.ο.κ. φορές, αν μετακινήσετε την υποδιαστολή σε ένα, δύο, τρία κ.λπ. θέσεις προς τα δεξιά: 4,5 45 (το κλάσμα έχει αυξηθεί 10 φορές).
• Το δεκαδικό μειώνεται κατά 10, 100, 1000 κ.λπ. φορές, αν μετακινήσετε την υποδιαστολή σε ένα, δύο, τρία κ.λπ. θέσεις προς τα αριστερά: 4,5 0,45 (το κλάσμα έχει μειωθεί 10 φορές).

Ένα περιοδικό δεκαδικό περιέχει μια άπειρα επαναλαμβανόμενη ομάδα ψηφίων που ονομάζεται τελεία: 0,321321321321…=0,(321)

Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς

Η πρόσθεση και η αφαίρεση δεκαδικών γίνεται με τον ίδιο τρόπο όπως η πρόσθεση και η αφαίρεση ακεραίων, χρειάζεται μόνο να γράψετε τα αντίστοιχα δεκαδικά ψηφία το ένα κάτω από το άλλο.
Για παράδειγμα:

Ο πολλαπλασιασμός των δεκαδικών κλασμάτων πραγματοποιείται σε διάφορα στάδια:

• Πολλαπλασιάζουμε τους δεκαδικούς ως ακέραιους, χωρίς να λάβουμε υπόψη την υποδιαστολή.
• Ισχύει ο κανόνας: ο αριθμός των δεκαδικών ψηφίων στο γινόμενο είναι ίσος με το άθροισμα των δεκαδικών ψηφίων σε όλους τους παράγοντες.

Για παράδειγμα:

Το άθροισμα των αριθμών των δεκαδικών ψηφίων στους συντελεστές είναι: 2+1=3. Τώρα πρέπει να μετρήσετε 3 ψηφία από το τέλος του αριθμού που προκύπτει και να βάλετε μια υποδιαστολή: 0,675.

Διαίρεση δεκαδικών αριθμών. Διαίρεση δεκαδικού με ακέραιο: αν το μέρισμα λιγότερο διαιρέτης, τότε πρέπει να γράψετε μηδέν στο ακέραιο μέρος του πηλίκου και να βάλετε μια υποδιαστολή μετά από αυτό. Στη συνέχεια, χωρίς να λάβετε υπόψη την υποδιαστολή του μερίσματος, προσθέστε το επόμενο ψηφίο του κλασματικού μέρους στο ακέραιο μέρος του και συγκρίνετε ξανά το προκύπτον ακέραιο μέρος του μερίσματος με το διαιρέτη. Εάν ο νέος αριθμός είναι και πάλι μικρότερος από τον διαιρέτη, η πράξη πρέπει να επαναληφθεί. Αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται έως ότου το μέρισμα που προκύπτει είναι μεγαλύτερο από το διαιρέτη. Μετά από αυτό, η διαίρεση εκτελείται όπως για τους ακέραιους αριθμούς. Αν το μέρισμα είναι μεγαλύτερο ή ίσο με τον διαιρέτη, πρώτα διαιρούμε το ακέραιο μέρος του, γράφουμε το αποτέλεσμα της διαίρεσης στο πηλίκο και βάζουμε υποδιαστολή. Μετά από αυτό, η διαίρεση συνεχίζεται, όπως στην περίπτωση των ακεραίων.

Διαιρώντας ένα δεκαδικό κλάσμα σε ένα άλλο: πρώτα, τα δεκαδικά ψηφία στο μέρισμα και στο διαιρέτη μεταφέρονται με τον αριθμό των δεκαδικών ψηφίων στον διαιρέτη, δηλαδή, κάνουμε τον διαιρέτη ακέραιο και εκτελούνται οι ενέργειες που περιγράφονται παραπάνω.

Για να γυρίσει δεκαδικόςσε ένα συνηθισμένο, είναι απαραίτητο να πάρουμε τον αριθμό μετά την υποδιαστολή ως αριθμητή και να πάρουμε την k-η δύναμη του δέκα ως παρονομαστή (k είναι ο αριθμός των δεκαδικών ψηφίων). Το μη μηδενικό ακέραιο μέρος διατηρείται στο κοινό κλάσμα. το μηδενικό ακέραιο μέρος παραλείπεται.
Για παράδειγμα:

Για να γυρίσει κοινό κλάσμασε δεκαδικό, είναι απαραίτητο να διαιρέσουμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή σύμφωνα με τους κανόνες διαίρεσης.

Ένα ποσοστό είναι το εκατοστό της μονάδας, για παράδειγμα: 5% σημαίνει 0,05. Ο λόγος είναι το πηλίκο της διαίρεσης ενός αριθμού με τον άλλο. Η αναλογία είναι η ισότητα δύο αναλογιών.

Για παράδειγμα:

Η κύρια ιδιότητα της αναλογίας: το γινόμενο των ακραίων μελών της αναλογίας είναι ίσο με το γινόμενο των μεσαίων μελών της, δηλαδή 5x30 = 6x25. Δύο αμοιβαία εξαρτώμενα μεγέθη ονομάζονται αναλογικά αν η αναλογία των ποσοτήτων τους παραμένει αμετάβλητη (συντελεστής αναλογικότητας).

Έτσι, αποκαλύπτονται οι ακόλουθες αριθμητικές πράξεις.
Για παράδειγμα:

Το σύνολο των ρητών αριθμών περιλαμβάνει θετικούς και αρνητικούς αριθμούς (ολικούς και κλασματικούς) και το μηδέν. Περισσότερο ακριβής ορισμόςορθολογικοί αριθμοί, αποδεκτοί στα μαθηματικά, τα ακόλουθα: ένας αριθμός ονομάζεται ρητός εάν μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα συνηθισμένο μη αναγώγιμο κλάσμα της μορφής:, όπου τα a και b είναι ακέραιοι.

Για αρνητικός αριθμός απόλυτη τιμή(modulus) είναι ένας θετικός αριθμός που προκύπτει αλλάζοντας το πρόσημά του από "-" σε "+". Για θετικός αριθμόςκαι το μηδέν είναι ο ίδιος ο αριθμός. Για τον προσδιορισμό του συντελεστή ενός αριθμού, χρησιμοποιούνται δύο ευθείες γραμμές, μέσα στις οποίες γράφεται αυτός ο αριθμός, για παράδειγμα: |–5|=5.

Ιδιότητες απόλυτης αξίας

Ας δοθεί ο συντελεστής συντελεστή ενός αριθμού , για τα οποία ισχύουν τα ακίνητα:

Ένα μονώνυμο είναι το γινόμενο δύο ή περισσότερων παραγόντων, καθένας από τους οποίους είναι είτε ένας αριθμός, είτε ένα γράμμα, είτε η ισχύς ενός γράμματος: 3 x a x b. Ο συντελεστής συνήθως ονομάζεται μόνο αριθμητικός παράγοντας. Τα μονώνυμα λέγονται παρόμοια εάν είναι ίδια ή διαφέρουν μόνο σε συντελεστές. Ο βαθμός ενός μονωνύμου είναι το άθροισμα των εκθετών όλων των γραμμάτων του. Εάν υπάρχουν παρόμοια μεταξύ του αθροίσματος των μονώνυμων, τότε το άθροισμα μπορεί να μειωθεί σε περισσότερα κοινή θέα: 3 x a x b + 6 x a \u003d 3 x a x (b + 2). Αυτή η λειτουργία ονομάζεται εξαναγκασμός παρόμοιων όρων ή παρενθέσεων.

Το πολυώνυμο είναι αλγεβρικό άθροισμαμονώνυμος. Ο βαθμός ενός πολυωνύμου είναι ο μεγαλύτερος από τους βαθμούς των μονοωνύμων που περιλαμβάνονται στο δεδομένο πολυώνυμο.

Υπάρχουν οι ακόλουθοι τύποι για συντομευμένο πολλαπλασιασμό:

Μέθοδοι Factoring:

Ένα αλγεβρικό κλάσμα είναι μια έκφραση της μορφής , όπου το Α και το Β μπορεί να είναι ένας αριθμός, ένα μονώνυμο, ένα πολυώνυμο.

Εάν δύο εκφράσεις (αριθμητική και αλφαβητική) συνδέονται με το σύμβολο "=", τότε λέμε ότι σχηματίζουν ισότητα. Οποιαδήποτε αληθινή ισότητα που ισχύει για όλους είναι αποδεκτή αριθμητικές τιμέςγράμματα που περιλαμβάνονται σε αυτό ονομάζεται ταυτότητα.

Μια εξίσωση είναι μια κυριολεκτική ισότητα που ισχύει ορισμένες αξίεςγράμματα που περιλαμβάνονται σε αυτό. Αυτά τα γράμματα ονομάζονται άγνωστα (μεταβλητές) και οι τιμές τους, στις οποίες η δεδομένη εξίσωση γίνεται ταυτότητα, ονομάζονται ρίζες της εξίσωσης.

Η επίλυση μιας εξίσωσης σημαίνει την εύρεση όλων των ριζών της. Δύο ή περισσότερες εξισώσεις λέγονται ισοδύναμες αν έχουν τις ίδιες ρίζες.

• Το μηδέν ήταν η ρίζα της εξίσωσης.
• η εξίσωση είχε μόνο πεπερασμένος αριθμόςρίζες.

Κύριοι τύποι αλγεβρικών εξισώσεων:

Η γραμμική εξίσωση έχει ax + b = 0:

• αν a x 0, υπάρχει μία μόνο ρίζα x = -b/a.
• αν a = 0, b ≠ 0, δεν υπάρχουν ρίζες.
• αν a = 0, b = 0, η ρίζα είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.

Εξίσωση xn = a, n N:

• αν n - περιττός αριθμός, έχει μια πραγματική ρίζα ίση με a/n για οποιοδήποτε a?
• αν το n είναι ζυγός αριθμός, τότε για το 0, τότε έχει δύο ρίζες.

Κύριος πανομοιότυπες μετατροπές: αντικατάσταση μιας έκφρασης από μια άλλη, ταυτόσημη με αυτήν. μεταφορά των όρων της εξίσωσης από τη μια πλευρά στην άλλη με αντίθετα πρόσημα. πολλαπλασιασμός ή διαίρεση και των δύο μερών της εξίσωσης με την ίδια έκφραση (αριθμό) εκτός από το μηδέν.

Μια γραμμική εξίσωση με έναν άγνωστο είναι μια εξίσωση της μορφής: ax+b=0, όπου a και b είναι γνωστούς αριθμούς, και το x είναι άγνωστη ποσότητα.

Συστήματα των δύο γραμμικές εξισώσειςμε δύο άγνωστα έχουν τη μορφή:

Όπου a, b, c, d, e, f δίνονται αριθμοί. x, y είναι άγνωστα.

Αριθμοί a, b, c, d - συντελεστές για αγνώστους. ε, στ - ελεύθερα μέλη. Η λύση αυτού του συστήματος εξισώσεων μπορεί να βρεθεί με δύο κύριες μεθόδους: τη μέθοδο αντικατάστασης: από τη μια εξίσωση εκφράζουμε έναν από τους αγνώστους μέσω των συντελεστών και τον άλλο άγνωστο, και μετά τον αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση, λύνοντας την τελευταία εξίσωση , βρίσκουμε πρώτα έναν άγνωστο, μετά αντικαθιστούμε την τιμή που βρέθηκε στην πρώτη εξίσωση και βρίσκουμε τον δεύτερο άγνωστο. μέθοδος πρόσθεσης ή αφαίρεσης μιας εξίσωσης από μια άλλη.

Επεμβάσεις με ρίζες:

Αριθμητική η ρίζα του ηο βαθμός από έναν μη αρνητικό αριθμό a ονομάζεται μη αρνητικός αριθμός, ου βαθμούπου ισούται με α. αλγεβρική ρίζα ου βαθμούαπό δεδομένου αριθμούονομάζεται το σύνολο όλων των ριζών από αυτόν τον αριθμό.

Οι παράλογοι αριθμοί, σε αντίθεση με τους ορθολογικούς, δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως ένα συνηθισμένο μη αναγώγιμο κλάσμα της μορφής m/n, όπου τα m και n είναι ακέραιοι αριθμοί. Πρόκειται για αριθμούς νέου τύπου που μπορούν να υπολογιστούν με οποιαδήποτε ακρίβεια, αλλά δεν μπορούν να αντικατασταθούν ρητός αριθμός. Μπορεί να εμφανίζονται ως αποτέλεσμα γεωμετρικών μετρήσεων, για παράδειγμα: η αναλογία του μήκους της διαγωνίου ενός τετραγώνου προς το μήκος της πλευράς του είναι ίση.

Υπάρχει μια τετραγωνική εξίσωση αλγεβρική εξίσωσηδεύτερου βαθμού ax2+bx+c=0, όπου a, b, c - δίνονται αριθμητικοί ή αλφαβητικοί συντελεστές, x - άγνωστος. Αν διαιρέσουμε όλους τους όρους αυτής της εξίσωσης με το a, ως αποτέλεσμα παίρνουμε x2+px+q=0 - τη μειωμένη εξίσωση p=b/a, q=c/a. Οι ρίζες του βρίσκονται με τον τύπο:

Αν b2-4ac>0, τότε υπάρχουν δύο διαφορετική ρίζα, b2- 4ac=0, τότε υπάρχουν δύο ίση ρίζα; b2-4ac Εξισώσεις που περιέχουν ενότητες

Κύριοι τύποι εξισώσεων που περιέχουν ενότητες:
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, όπου δίνονται συναρτήσεις f(x), g(x), fk(x), gk(x).