Διακύμανση είναι η διαφορά στις τιμές οποιουδήποτε χαρακτηριστικού μεταξύ διαφορετικών μονάδων ενός δεδομένου πληθυσμού την ίδια περίοδο ή χρονική στιγμή.

Για παράδειγμα, οι εργαζόμενοι μιας εταιρείας διαφέρουν ως προς το εισόδημα, τον χρόνο που αφιερώνεται στην εργασία, το ύψος, το βάρος, την αγαπημένη δραστηριότητα ελεύθερος χρόνοςκαι τα λοιπά.

Η παραλλαγή προκύπτει ως αποτέλεσμα του γεγονότος ότι οι μεμονωμένες τιμές ενός χαρακτηριστικού σχηματίζονται υπό τη συνδυασμένη επίδραση διαφόρων παραγόντων (συνθηκών), οι οποίοι συνδυάζονται διαφορετικά σε κάθε ειδική περίπτωση. Επομένως, το μέγεθος κάθε επιλογής είναι αντικειμενικό.

Η μελέτη της διακύμανσης στις στατιστικές έχει μεγάλης σημασίας, βοηθά στην κατανόηση της ουσίας του φαινομένου που μελετάται. Είναι ιδιαίτερα σημαντικό κατά τη διαμόρφωση μιας πολυδομικής οικονομίας. Η μέτρηση της διακύμανσης, η ανακάλυψη της αιτίας της, ο εντοπισμός της επιρροής μεμονωμένων παραγόντων δίνει σημαντικές πληροφορίες(για παράδειγμα, σχετικά με το προσδόκιμο ζωής των ανθρώπων, τα έσοδα και τα έξοδα του πληθυσμού, την οικονομική κατάσταση μιας επιχείρησης κ.λπ.) για τη λήψη επιστημονικά τεκμηριωμένων αποφάσεων διαχείρισης.

Η μέση τιμή παρέχει ένα γενικό χαρακτηριστικό του χαρακτηριστικού του πληθυσμού που μελετάται, αλλά δεν αποκαλύπτει τη δομή του πληθυσμού, η οποία είναι πολύ σημαντική για τις γνώσεις του. Ο μέσος όρος δεν δείχνει πώς βρίσκονται γύρω του οι παραλλαγές του μέσου όρου χαρακτηριστικού, είτε συγκεντρώνονται κοντά στο μέσο όρο είτε αποκλίνουν σημαντικά από αυτόν. Η μέση τιμή ενός χαρακτηριστικού σε δύο πληθυσμούς μπορεί να είναι η ίδια, αλλά στη μία περίπτωση όλες οι μεμονωμένες τιμές διαφέρουν ελάχιστα από αυτό και στην άλλη αυτές οι διαφορές είναι μεγάλες, δηλ. Στη μία περίπτωση η διακύμανση του χαρακτηριστικού είναι μικρή και στην άλλη είναι μεγάλη· αυτό είναι πολύ σημαντικό για τον χαρακτηρισμό της αξιοπιστίας της μέσης τιμής.

Όσο οι παραλλαγές των επιμέρους μονάδων του αθροίσματος διαφέρουν μεταξύ τους, τόσο περισσότερο διαφέρουν από τον μέσο όρο τους και αντίστροφα, όσο λιγότερο διαφέρουν οι παραλλαγές μεταξύ τους, τόσο λιγότερο διαφέρουν από τον μέσο όρο, ο οποίος σε αυτήν την περίπτωση θα είναι περισσότερο αντιπροσωπεύουν ρεαλιστικά ολόκληρο το σύνολο. Γι' αυτό σε ορισμένες περιπτώσεις είναι αδύνατο να περιοριστούμε στον υπολογισμό ενός μέσου όρου. Απαιτούνται επίσης άλλοι δείκτες που χαρακτηρίζουν τις αποκλίσεις ατομικές αξίεςαπό τον γενικό μέσο όρο.

Αυτό μπορεί να φανεί με αυτό το παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι η ίδια εργασία εκτελείται από δύο ομάδες, η καθεμία από τρία άτομα. Έστω ο αριθμός των ανταλλακτικών, τεμ., που παράγονται ανά βάρδια από μεμονωμένους εργαζόμενους:

στην πρώτη ταξιαρχία - 95, 100, 105 (= 100 μονάδες).

στη δεύτερη ταξιαρχία - 75, 100, 125 (= 100 μονάδες).

Η μέση παραγωγή ανά εργάτη και στις δύο ταξιαρχίες είναι η ίδια και ανέρχεται σε = 100 μονάδες, ωστόσο, η διακύμανση της παραγωγής μεμονωμένων εργαζομένων στην πρώτη ταξιαρχία είναι πολύ μικρότερη από τη δεύτερη.

Επομένως, υπάρχει ανάγκη να μετρηθεί η διακύμανση ενός χαρακτηριστικού σε πληθυσμούς. Για το σκοπό αυτό, οι στατιστικές χρησιμοποιούν έναν αριθμό γενικών δεικτών.

• Ш Οι δείκτες διακύμανσης περιλαμβάνουν: εύρος διακύμανσης, μέση γραμμική απόκλιση, διασπορά και μέσο όρο τυπική απόκλιση, ο συντελεστής διακύμανσης.
• Ш Ο πιο βασικός δείκτης παραλλαγής ενός χαρακτηριστικού είναι το εύρος της παραλλαγής R, το οποίο είναι η διαφορά μεταξύ της μέγιστης και της ελάχιστης τιμής του χαρακτηριστικού:

Στο παράδειγμά μας, το εύρος διακύμανσης στην παραγωγή εξαρτημάτων με βάρδια είναι: στην πρώτη ομάδα - R1 = 10 τεμάχια. (δηλ. 105-95); στη δεύτερη ταξιαρχία - R2= 50 τεμ. (δηλαδή 125 -- 75), που είναι 5 φορές περισσότερο.

Αυτό δείχνει ότι, με αριθμητική ισότητα, η μέση απόδοση της πρώτης ταξιαρχίας είναι πιο «σταθερή». Το εύρος διακύμανσης μπορεί να χρησιμεύσει ως βάση για τον υπολογισμό πιθανών αποθεμάτων για την αύξηση της παραγωγής. Η δεύτερη ταξιαρχία έχει περισσότερα τέτοια αποθέματα, αφού αν όλοι οι εργάτες πετύχουν τη μέγιστη παραγωγή εξαρτημάτων για αυτήν την ταξιαρχία, μπορεί να παράγει 375 κομμάτια, δηλ. (3x125), και στην πρώτη - μόνο 315 κομμάτια, δηλ. (3 x 105).

Ωστόσο, το εύρος διακύμανσης δείχνει μόνο ακραίες αποκλίσεις του χαρακτηριστικού και δεν αντικατοπτρίζει τις αποκλίσεις όλων των παραλλαγών της σειράς. Όταν κανείς μελετά την παραλλαγή, δεν μπορεί να περιοριστεί μόνο στον καθορισμό του πεδίου εφαρμογής της. Για την ανάλυση της διακύμανσης, απαιτείται ένας δείκτης που να αντικατοπτρίζει όλες τις διακυμάνσεις του μεταβαλλόμενου χαρακτηριστικού και να δίνει ένα γενικευμένο χαρακτηριστικό. Ο απλούστερος δείκτης αυτού του τύπου είναι η μέση γραμμική απόκλιση

Ш Η μέση γραμμική απόκλιση d αντιπροσωπεύει τον αριθμητικό μέσο όρο των απόλυτων τιμών των αποκλίσεων μεμονωμένων επιλογών από τον αριθμητικό μέσο όρο τους (υποτίθεται πάντα ότι ο μέσος όρος αφαιρείται από την επιλογή: ().

Μέση γραμμική απόκλιση:

Για μη ομαδοποιημένα δεδομένα

όπου n είναι ο αριθμός των μελών της σειράς.

Για ομαδοποιημένα δεδομένα

όπου είναι το άθροισμα των συχνοτήτων της σειράς μεταβολών.

Στους τύπους (5.18) και (5.19), οι διαφορές στον αριθμητή λαμβάνονται modulo (διαφορετικά θα υπάρχει πάντα ένα μηδέν στον αριθμητή - αλγεβρικό άθροισμααποκλίσεις των επιλογών από τον αριθμητικό μέσο όρο τους). Ως εκ τούτου, η μέση γραμμική απόκλιση ως μέτρο διακύμανσης ενός χαρακτηριστικού χρησιμοποιείται σπάνια στη στατιστική πρακτική (μόνο σε περιπτώσεις όπου η άθροιση δεικτών χωρίς να λαμβάνονται υπόψη τα σημάδια έχει οικονομική λογική). Με τη βοήθειά του, για παράδειγμα, αναλύεται η σύνθεση του εργατικού δυναμικού, ο ρυθμός παραγωγής και ο τζίρος του εξωτερικού εμπορίου.

Η διακύμανση ενός χαρακτηριστικού είναι μεσαίο τετράγωνοαποκλίσεις των επιλογών από τη μέση τιμή τους, υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τους τύπους για απλές και σταθμισμένες αποκλίσεις (ανάλογα με τα αρχικά δεδομένα):

§ απλή διακύμανση για μη ομαδοποιημένα δεδομένα

§ σταθμισμένη διακύμανση για σειρές παραλλαγής

Ο τύπος (5.21) εφαρμόζεται εάν οι επιλογές έχουν τα δικά τους βάρη (ή τις συχνότητες της σειράς παραλλαγών).

Ο τύπος για τον υπολογισμό της διασποράς (5.20) μπορεί να μετασχηματιστεί, λαμβάνοντας υπόψη ότι

εκείνοι. η διακύμανση είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ του μέσου όρου των τετραγώνων των επιλογών και του τετραγώνου του μέσου όρου τους.

Η τεχνική για τον υπολογισμό της διασποράς χρησιμοποιώντας τους τύπους (5.20), (5.21) είναι αρκετά περίπλοκη και όταν μεγάλες αξίεςοι επιλογές και οι συχνότητες μπορεί να είναι συντριπτικές.

Ο υπολογισμός μπορεί να απλοποιηθεί χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της διασποράς (που αποδεικνύεται σε μαθηματικές στατιστικές). Εδώ είναι δύο από αυτά:

πρώτο - εάν όλες οι τιμές του χαρακτηριστικού μειωθούν ή αυξηθούν κατά το ίδιο σταθερή τιμήΚαι τότε η διασπορά δεν θα αλλάξει από αυτό.

δεύτερον, εάν όλες οι τιμές του χαρακτηριστικού μειωθούν ή αυξηθούν κατά τον ίδιο αριθμό φορές (i φορές), τότε η διακύμανση θα μειωθεί ή θα αυξηθεί αντίστοιχα κατά i2 φορές. Χρησιμοποιώντας τη δεύτερη ιδιότητα της διασποράς, διαιρώντας όλες τις επιλογές με την τιμή του διαστήματος, λαμβάνουμε τον ακόλουθο τύπο για τον υπολογισμό της διασποράς σε σειρές παραλλαγών με σε ίσα διαστήματασύμφωνα με τη μέθοδο της ροπής:

πού υπολογίζεται η διασπορά με τη μέθοδο των ροπών;

i - τιμή διαστήματος.

νέες (μετασχηματισμένες) τιμές των επιλογών (το Α είναι ένα μηδενικό υπό όρους, για το οποίο είναι βολικό να χρησιμοποιηθεί το μέσο του διαστήματος, το οποίο έχει υψηλότερη συχνότητα);

Στιγμή δεύτερης παραγγελίας.

Τετράγωνη ροπή πρώτης τάξης.

Ο υπολογισμός της διασποράς χρησιμοποιώντας τον τύπο (5.23) είναι λιγότερο εντάσεως εργασίας.

Η διακύμανση έχει μεγάλη σημασία στην οικονομική ανάλυση. Στη μαθηματική στατιστική σημαντικός ρόλοςγια ποιοτικά χαρακτηριστικά στατιστικές εκτιμήσειςπαίζει ρόλο η διακύμανσή τους. Παρακάτω, συγκεκριμένα, θα δείξουμε την αποσύνθεση της διακύμανσης στα αντίστοιχα στοιχεία, επιτρέποντάς μας να αξιολογήσουμε την επιρροή διάφορους παράγοντες, προκαλώντας παραλλαγή του χαρακτηριστικού. τη χρήση της διασποράς για την κατασκευή δεικτών της εγγύτητας της συσχέτισης κατά την αξιολόγηση των αποτελεσμάτων των δειγματοληπτικών παρατηρήσεων.

• Ш Η τυπική απόκλιση είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης:
  • § για μη ομαδοποιημένα δεδομένα

§ για σειρές παραλλαγής

Η τυπική απόκλιση είναι ένα γενικό χαρακτηριστικό του μεγέθους της διακύμανσης ενός χαρακτηριστικού στο σύνολο. δείχνει πόσο κατά μέσο όρο αποκλίνουν συγκεκριμένες επιλογές από τη μέση τιμή τους. είναι απόλυτο μέτροη μεταβλητότητα του χαρακτηριστικού και εκφράζεται στις ίδιες μονάδες με τις παραλλαγές, επομένως ερμηνεύεται οικονομικά καλά.

Ας υποδηλώσουμε: 1 - την παρουσία του χαρακτηριστικού που μας ενδιαφέρει. 0 -- η απουσία του. p - το ποσοστό των μονάδων που διαθέτουν αυτό το χαρακτηριστικό. q -- το ποσοστό των μονάδων που δεν έχουν αυτό το χαρακτηριστικό. p + q =1. Ας υπολογίσουμε τη μέση τιμή του εναλλακτικού χαρακτηριστικού και τη διακύμανσή του. Μέση τιμή του εναλλακτικού χαρακτηριστικού

μεταβολή μέση τιμή τετραγωνική

αφού p + q = 1.

Εναλλακτική διακύμανση χαρακτηριστικών

Αντικαθιστώντας q = 1-ρ στον τύπο διασποράς, παίρνουμε

Έτσι, = pq -- η διακύμανση ενός εναλλακτικού χαρακτηριστικού είναι ίση με το γινόμενο της αναλογίας των μονάδων που διαθέτουν το χαρακτηριστικό από την αναλογία των μονάδων που δεν διαθέτουν αυτό το χαρακτηριστικό.

Για παράδειγμα, εάν ανά 10.000 άτομα σε μια περιοχή υπάρχουν 4.500 άνδρες και 5.500 γυναίκες, τότε

Διακύμανση του εναλλακτικού χαρακτηριστικού = pq = 0,45*0,55 = 0,2475.

Η οριακή τιμή της διακύμανσης του εναλλακτικού χαρακτηριστικού είναι 0,25. Λαμβάνεται σε p = 0,5.

Τυπική απόκλιση ενός εναλλακτικού χαρακτηριστικού

Εάν, για παράδειγμα, το 2% όλων των εξαρτημάτων είναι ελαττωματικά (p = 0,02), τότε το 98% είναι κατάλληλο (q = 0,98), τότε η διασπορά του ελαττωματικού μεριδίου

0,02- 0,98 = 0,0196.

Η τυπική απόκλιση του ποσοστού ελαττώματος θα είναι:

0,14, δηλ. = 14%.

Κατά τον υπολογισμό των μέσων τιμών και της διακύμανσης για τις σειρές κατανομής διαστήματος αληθινές αξίεςτα χαρακτηριστικά αντικαθίστανται από κεντρικές (μέσες) τιμές διαστημάτων που διαφέρουν από τον μέσο όρο αριθμητικές τιμέςπεριλαμβάνονται στο διάστημα. Αυτό οδηγεί σε ένα συστηματικό σφάλμα στον υπολογισμό της διακύμανσης. Ο W.F. Sheppard βρήκε ότι το σφάλμα στον υπολογισμό της διασποράς που προκαλείται από τη χρήση ομαδοποιημένων δεδομένων είναι το 1/12 του τετραγώνου του διαστήματος (δηλαδή i2/12) τόσο προς την κατεύθυνση της υποεκτίμησης όσο και προς την κατεύθυνση της υπερεκτίμησης της τιμής διασποράς.

Η διόρθωση του Sheppard θα πρέπει να εφαρμόζεται εάν η κατανομή είναι κοντά στο κανονικό, σχετίζεται με ένα χαρακτηριστικό με συνεχή φύση διακύμανσης και βασίζεται σε μεγάλο αριθμό αρχικών δεδομένων (n>500). Ωστόσο, με βάση το γεγονός ότι σε ορισμένες περιπτώσεις και τα δύο λάθη, ενεργώντας σε αντίθετες κατευθύνσεις, εξουδετερώνουν και αντισταθμίζουν το ένα το άλλο, μερικές φορές είναι δυνατό να αρνηθεί κανείς την εισαγωγή διορθώσεων.

Όσο χαμηλότερη είναι η τιμή της διακύμανσης και της τυπικής απόκλισης, τόσο πιο ομοιογενής (ποσοτικά) είναι ο πληθυσμός και τόσο πιο τυπικός θα είναι μέση αξία.

Στη στατιστική πρακτική, υπάρχει συχνά ανάγκη σύγκρισης παραλλαγών διαφορετικών χαρακτηριστικών. Για παράδειγμα, μεγάλο ενδιαφέρονπαρουσιάζει μια σύγκριση των διακυμάνσεων της ηλικίας των εργαζομένων και των προσόντων, του χρόνου υπηρεσίας και του μεγέθους τους μισθοί, κόστος και κέρδος, διάρκεια υπηρεσίας και παραγωγικότητα εργασίας κ.λπ. Για παρόμοιες συγκρίσειςΟι δείκτες απόλυτης μεταβλητότητας των σημείων είναι ακατάλληλοι: είναι αδύνατο να συγκριθεί η μεταβλητότητα της εργασιακής εμπειρίας, εκφρασμένη σε χρόνια, με τη διακύμανση των μισθών, εκφρασμένη σε ρούβλια.

Για να πραγματοποιηθούν αυτού του είδους οι συγκρίσεις, καθώς και οι συγκρίσεις της μεταβλητότητας του ίδιου χαρακτηριστικού σε πολλούς πληθυσμούς με διαφορετικούς αριθμητικούς μέσους όρους, χρησιμοποιείται ένας σχετικός δείκτης διακύμανσης - ο συντελεστής διακύμανσης.

Ο συντελεστής διακύμανσης είναι ο λόγος της τυπικής απόκλισης προς τον αριθμητικό μέσο όρο, εκφρασμένος ως ποσοστό:

Ο συντελεστής διακύμανσης χρησιμοποιείται όχι μόνο για μια συγκριτική αξιολόγηση της διακύμανσης των πληθυσμιακών μονάδων, αλλά και ως χαρακτηριστικό της ομοιογένειας του πληθυσμού. Ο πληθυσμός θεωρείται ποσοτικά ομοιογενής εάν ο συντελεστής διακύμανσης δεν υπερβαίνει το 33%.

Ας δείξουμε τον υπολογισμό διαφορετικοί τρόποιδείκτες διακύμανσης χρησιμοποιώντας το παράδειγμα των δεδομένων για την παραγωγή κατά βάρδιες των εργαζομένων της ομάδας που παρουσιάζονται σειρές μεσοδιαστημάτωνκατανομή (Πίνακας 5.7).

Ας υπολογίσουμε τη μέση έξοδο μετατόπισης, τεμ.:

Ας υπολογίσουμε τη διασπορά της παραγωγής σύμφωνα με το (5.21):

Ας βρούμε την τυπική απόκλιση, τεμ.:

Ας προσδιορίσουμε τον συντελεστή διακύμανσης, %:

Έτσι, αυτή η ομάδα εργαζομένων είναι αρκετά ομοιογενής στην παραγωγή, αφού η διακύμανση του χαρακτηριστικού είναι μόνο 8%.

Τώρα ας υπολογίσουμε τη διασπορά χρησιμοποιώντας τον τύπο (5.22) και χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ροπών χρησιμοποιώντας τον τύπο (5.23), για τον υπολογισμό θα χρησιμοποιήσουμε τα δεδομένα του πίνακα. 5.7, στήλες 8-11.

Υπολογισμός διακύμανσης με χρήση του τύπου (5.20):

Υπολογισμός της διασποράς με τη μέθοδο των ροπών, βλέπε τύπο (5.21):

όπου A = 50 είναι η κεντρική επιλογή με την υψηλότερη συχνότητα.

i = 20 -- η τιμή του διαστήματος αυτής της σειράς.

Πίνακας 5.7

Κατανομή εργαζομένων μεταξύ της παραγωγής με βάρδιες του προϊόντος Α και υπολογισμένες τιμές για τον υπολογισμό δεικτών διακύμανσης

Ομάδες εργαζομένων για παραγωγή προϊόντων με βάρδια, τεμ.	Αριθμός εργαζομένων	Μέσο x	Υπολογιζόμενες τιμές

Όπως μπορείτε να δείτε, η λιγότερο εντατική μέθοδος είναι ο υπολογισμός της διασποράς χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ροπών.

Οι μέσες τιμές αναφέρονται στη γενίκευση στατιστικούς δείκτες, που δίνουν ένα συνοπτικό (τελικό) χαρακτηριστικό των μαζικών κοινωνικών φαινομένων, αφού χτίζονται στη βάση μεγάλη ποσότητα ατομικές αξίεςμεταβλητό χαρακτηριστικό. Για να διευκρινιστεί η ουσία της μέσης τιμής, είναι απαραίτητο να εξεταστούν οι ιδιαιτερότητες του σχηματισμού των τιμών των σημείων αυτών των φαινομένων, σύμφωνα με τα δεδομένα των οποίων υπολογίζεται η μέση τιμή.

Είναι γνωστό ότι μονάδες του καθενός μαζικό φαινόμενοέχουν πολλά χαρακτηριστικά. Όποιο από αυτά τα χαρακτηριστικά πάρουμε, οι τιμές του θα είναι διαφορετικές για μεμονωμένες μονάδες· αλλάζουν ή, όπως λένε στα στατιστικά στοιχεία, διαφέρουν από τη μια μονάδα στην άλλη. Για παράδειγμα, ο μισθός ενός εργαζομένου καθορίζεται από τα προσόντα του, τη φύση της εργασίας, τη διάρκεια της υπηρεσίας και έναν αριθμό άλλων παραγόντων και ως εκ τούτου ποικίλλει εντός πολύ μεγάλων ορίων. Η συνδυασμένη επιρροή όλων των παραγόντων καθορίζει το ύψος των αποδοχών κάθε εργαζόμενου, ωστόσο, μπορούμε να μιλήσουμε για τον μέσο μηνιαίο μισθό των εργαζομένων σε διαφορετικούς τομείς της οικονομίας. Εδώ λειτουργούμε με μια τυπική, χαρακτηριστική τιμή ενός ποικίλου χαρακτηριστικού, που εκχωρείται σε μια μονάδα μεγάλου πληθυσμού.

Η μέση τιμή αντικατοπτρίζει αυτό γενικός,που είναι τυπικό για όλες τις μονάδες του πληθυσμού που μελετάται. Ταυτόχρονα, εξισορροπεί την επιρροή όλων των παραγόντων που δρουν στην αξία του χαρακτηριστικού των επιμέρους μονάδων του πληθυσμού, σαν να τα σβήνουν αμοιβαία. Το επίπεδο (ή το μέγεθος) κάθε κοινωνικού φαινομένου καθορίζεται από τη δράση δύο ομάδων παραγόντων. Μερικά από αυτά είναι γενικά και κύρια, λειτουργούν συνεχώς, συνδέονται στενά με τη φύση του φαινομένου ή της διαδικασίας που μελετάται και αποτελούν τυπικόςγια όλες τις μονάδες του πληθυσμού που μελετάται, η οποία αντικατοπτρίζεται στη μέση τιμή. Άλλοι είναι άτομο,η επίδρασή τους είναι λιγότερο έντονη και επεισοδιακή, τυχαία φύση. Λειτουργούν σε αντίστροφη κατεύθυνση, προκαλούν διαφορές μεταξύ των ποσοτικών χαρακτηριστικών επιμέρους μονάδων του πληθυσμού, προσπαθώντας να αλλάξουν τη σταθερή τιμή των χαρακτηριστικών που μελετώνται. Η επίδραση των επιμέρους χαρακτηριστικών σβήνει στη μέση τιμή. Στη συνδυασμένη επιρροή τυπικών και μεμονωμένων παραγόντων, η οποία είναι ισορροπημένη και αμοιβαία ακυρώνεται σε γενικά χαρακτηριστικά, εκδηλώνεται σε γενική εικόναδιάσημος από μαθηματικές στατιστικέςθεμελιώδης νόμος μεγάλοι αριθμοί.

Συνολικά, οι μεμονωμένες τιμές των χαρακτηριστικών συγχωνεύονται συνολικό βάροςκαι φαίνεται να διαλύεται. Ως εκ τούτου μέση αξίαδρα ως «απρόσωπο», το οποίο μπορεί να αποκλίνει από τις επιμέρους αξίες των χαρακτηριστικών χωρίς να συμπίπτει ποσοτικά με κανένα από αυτά. Η μέση τιμή αντικατοπτρίζει το γενικό, χαρακτηριστικό και τυπικό για ολόκληρο τον πληθυσμό λόγω της αμοιβαίας ακύρωσης τυχαίων, άτυπων διαφορών μεταξύ των χαρακτηριστικών των επιμέρους μονάδων του, αφού η τιμή του καθορίζεται σαν από το κοινό αποτέλεσμα όλων των αιτιών.

Ωστόσο, για να αντικατοπτρίζει η μέση τιμή την πιο τυπική τιμή ενός χαρακτηριστικού, δεν θα πρέπει να προσδιορίζεται για κανένα πληθυσμό, αλλά μόνο για πληθυσμούς που αποτελούνται από ποιοτικά ομοιογενείς μονάδες. Αυτή η απαίτηση είναι η κύρια προϋπόθεση για την επιστημονικά τεκμηριωμένη χρήση των μέσων τιμών και προϋποθέτει στενή σύνδεσηη μέθοδος των μέσων τιμών και η μέθοδος των ομαδοποιήσεων στην ανάλυση των κοινωνικοοικονομικών φαινομένων. Επομένως, η μέση τιμή είναι ένας γενικός δείκτης που χαρακτηρίζει τυπικό επίπεδοένα μεταβαλλόμενο χαρακτηριστικό ανά μονάδα ομοιογενούς πληθυσμού υπό συγκεκριμένες συνθήκες τόπου και χρόνου.

Καθορίζοντας έτσι την ουσία των μέσων τιμών, είναι απαραίτητο να τονιστεί ότι ο σωστός υπολογισμός οποιασδήποτε μέσης τιμής προϋποθέτει την εκπλήρωση των ακόλουθων απαιτήσεων:

• την ποιοτική ομοιογένεια του πληθυσμού από τον οποίο υπολογίζεται η μέση τιμή. Αυτό σημαίνει ότι ο υπολογισμός των μέσων τιμών θα πρέπει να βασίζεται στη μέθοδο ομαδοποίησης, η οποία διασφαλίζει τον εντοπισμό ομοιογενών, παρόμοιων φαινομένων.
• εξαιρουμένης της επίδρασης τυχαίων, καθαρά μεμονωμένων αιτιών και παραγόντων στον υπολογισμό της μέσης τιμής. Αυτό επιτυγχάνεται στην περίπτωση που ο υπολογισμός του μέσου όρου βασίζεται σε αρκετά τεράστιο υλικό στο οποίο εκδηλώνεται η δράση του νόμου των μεγάλων αριθμών και κάθε τυχαιότητα ακυρώνεται.
• Κατά τον υπολογισμό της μέσης τιμής, είναι σημαντικό να καθοριστεί ο σκοπός του υπολογισμού της και το λεγόμενο καθοριστικό δείκτη(ιδιότητα) στην οποία θα πρέπει να προσανατολίζεται.

Ο καθοριστικός δείκτης μπορεί να λειτουργήσει ως το άθροισμα των τιμών του χαρακτηριστικού που υπολογίζεται κατά μέσο όρο, το άθροισμα των αμοιβαίες αξίες, το γινόμενο των τιμών του κ.λπ. Η σύνδεση μεταξύ του καθοριστικού δείκτη και της μέσης τιμής εκφράζεται ως εξής: εάν όλες οι τιμές του χαρακτηριστικού που υπολογίζεται κατά μέσο όρο αντικαθίστανται από τη μέση τιμή, τότε το άθροισμά τους ή το γινόμενο σε αυτήν την περίπτωση δεν θα αλλάξει τον καθοριστικό δείκτη. Με βάση αυτή τη σύνδεση μεταξύ του καθοριστικού δείκτη και της μέσης τιμής, η αρχική ποσοτική αναλογίαγια άμεσο υπολογισμό της μέσης τιμής. Η ικανότητα των μέσων τιμών να διατηρούν τις ιδιότητες των στατιστικών πληθυσμών ονομάζεται τον καθορισμό της ιδιοκτησίας.

Η μέση τιμή που υπολογίζεται για τον πληθυσμό συνολικά ονομάζεται γενικός μέσος όρος;Μέσες τιμές που υπολογίζονται για κάθε ομάδα - ομαδικούς μέσους όρους.Ο συνολικός μέσος όρος αντικατοπτρίζει κοινά χαρακτηριστικάΤο φαινόμενο που μελετάται, ο μέσος όρος της ομάδας δίνει ένα χαρακτηριστικό του φαινομένου που αναπτύσσεται κάτω από τις συγκεκριμένες συνθήκες μιας δεδομένης ομάδας.

Οι μέθοδοι υπολογισμού μπορεί να είναι διαφορετικές, επομένως στις στατιστικές υπάρχουν διάφοροι τύποι μέσων όρων, οι κυριότεροι από τους οποίους είναι ο αριθμητικός μέσος όρος, ο αρμονικός μέσος όρος και ο γεωμετρικός μέσος όρος.

Στην οικονομική ανάλυση, η χρήση των μέσων όρων είναι το κύριο εργαλείο για την αξιολόγηση των αποτελεσμάτων επιστημονική και τεχνολογική πρόοδο, κοινωνικές εκδηλώσεις, αναζήτηση αποθεμάτων για οικονομική ανάπτυξη. Ταυτόχρονα, πρέπει να θυμόμαστε ότι υπερτέρψηΟι μέσοι δείκτες μπορούν να οδηγήσουν σε μεροληπτικά συμπεράσματα κατά τη διεξαγωγή οικονομικής και στατιστικής ανάλυσης. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι μέσες τιμές, ως γενικοί δείκτες, σβήνουν και αγνοούν εκείνες τις διαφορές στα ποσοτικά χαρακτηριστικά των επιμέρους μονάδων του πληθυσμού που υπάρχουν στην πραγματικότητα και μπορεί να έχουν ανεξάρτητο ενδιαφέρον.

Τύποι μέσων όρων

Στις στατιστικές, χρησιμοποιούνται διάφοροι τύποι μέσων όρων, οι οποίοι χωρίζονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες:

• μέσα ισχύος (αρμονικός μέσος όρος, γεωμετρικός μέσος όρος, αριθμητικός μέσος όρος, τετραγωνικός μέσος όρος, κυβικός μέσος όρος).
• δομικά μέσα (τρόπος λειτουργίας, διάμεσος).

Να υπολογίσω μέσους όρους ισχύοςείναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν όλες οι διαθέσιμες χαρακτηριστικές τιμές. ΜόδαΚαι διάμεσοςκαθορίζονται μόνο από τη δομή της κατανομής, επομένως ονομάζονται δομικοί, μέσοι όροι θέσης. Η διάμεσος και η λειτουργία χρησιμοποιούνται συχνά ως μέσο χαρακτηριστικόσε εκείνους τους πληθυσμούς όπου ο υπολογισμός του νόμου της μέσης ισχύος είναι αδύνατος ή μη πρακτικός.

Ο πιο συνηθισμένος τύπος μέσου όρου είναι ο αριθμητικός μέσος όρος. Κάτω από αριθμητικός μέσος όροςνοείται ως η αξία ενός χαρακτηριστικού που θα είχε κάθε μονάδα πληθυσμού αν σύνολοόλων των τιμών των χαρακτηριστικών κατανεμήθηκε ομοιόμορφα σε όλες τις μονάδες του πληθυσμού. Ο υπολογισμός αυτής της τιμής καταλήγει στο άθροισμα όλων των τιμών του ποικίλου χαρακτηριστικού και στη διαίρεση του ποσού που προκύπτει με σύνολομονάδες πληθυσμού. Για παράδειγμα, πέντε εργάτες εκπλήρωσαν μια παραγγελία για την παραγωγή ανταλλακτικών, ενώ ο πρώτος παρήγαγε 5 εξαρτήματα, ο δεύτερος - 7, ο τρίτος - 4, ο τέταρτος - 10, ο πέμπτος - 12. Επειδή στα δεδομένα πηγής η αξία του καθενός Η επιλογή προέκυψε μόνο μία φορά, για να προσδιορίσετε τη μέση απόδοση ενός εργαζομένου θα πρέπει να εφαρμόσετε τον απλό αριθμητικό μέσο όρο:

δηλ. στο παράδειγμά μας, η μέση παραγωγή ενός εργάτη είναι ίση με

Μαζί με τον απλό αριθμητικό μέσο όρο μελετούν σταθμισμένος αριθμητικός μέσος όρος.Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ ΗΛΙΚΙΑΣμαθητές σε ομάδα 20 ατόμων, των οποίων οι ηλικίες κυμαίνονται από 18 έως 22 ετών, όπου xi- παραλλαγές του χαρακτηριστικού που υπολογίζεται κατά μέσο όρο, fi- συχνότητα, η οποία δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται i-thσυνολική αξία (Πίνακας 5.1).

Πίνακας 5.1

Μέση ηλικία μαθητών

Εφαρμόζοντας τον τύπο σταθμισμένου αριθμητικού μέσου όρου, παίρνουμε:

Υπάρχει ένας συγκεκριμένος κανόνας για την επιλογή ενός σταθμισμένου αριθμητικού μέσου όρου: εάν υπάρχει μια σειρά δεδομένων σε δύο δείκτες, για έναν από τους οποίους πρέπει να υπολογίσετε

μέση τιμή, και ταυτόχρονα οι αριθμητικές τιμές του παρονομαστή του λογικού τύπου του είναι γνωστές και οι τιμές του αριθμητή είναι άγνωστες, αλλά μπορούν να βρεθούν ως το γινόμενο αυτών των δεικτών, τότε η μέση τιμή θα πρέπει να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον αριθμητικό σταθμισμένο μέσο όρο.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, η φύση των αρχικών στατιστικών δεδομένων είναι τέτοια που ο υπολογισμός του αριθμητικού μέσου όρου χάνει το νόημά του και ο μόνος γενικός δείκτης μπορεί να είναι μόνο ένας άλλος τύπος μέσου όρου - αρμονική μέση.Επί του παρόντος, οι υπολογιστικές ιδιότητες του αριθμητικού μέσου όρου έχουν χάσει τη σημασία τους στον υπολογισμό των γενικών στατιστικών δεικτών λόγω της ευρείας εισαγωγής της τεχνολογίας ηλεκτρονικών υπολογιστών. Μεγάλο πρακτική σημασίααγορασμένο μέσο όρο αρμονική ποσότητα, το οποίο μπορεί επίσης να είναι απλό και ισορροπημένο. Εάν οι αριθμητικές τιμές του αριθμητή ενός λογικού τύπου είναι γνωστές και οι τιμές του παρονομαστή είναι άγνωστες, αλλά μπορούν να βρεθούν ως μερική διαίρεση ενός δείκτη με έναν άλλο, τότε η μέση τιμή υπολογίζεται χρησιμοποιώντας την αρμονική σταθμισμένος μέσος τύπος.

Για παράδειγμα, ας γίνει γνωστό ότι το αυτοκίνητο διένυσε τα πρώτα 210 km με ταχύτητα 70 km/h και τα υπόλοιπα 150 km με ταχύτητα 75 km/h. Είναι αδύνατο να προσδιοριστεί η μέση ταχύτητα ενός αυτοκινήτου σε ολόκληρη τη διαδρομή των 360 km χρησιμοποιώντας τον αριθμητικό μέσο όρο. Αφού οι επιλογές είναι ταχύτητες σε χωριστές περιοχές xj= 70 km/h και X2= 75 km/h, και τα βάρη (fi) θεωρούνται τα αντίστοιχα τμήματα της διαδρομής, τότε τα γινόμενα των επιλογών και τα βάρη δεν θα έχουν ούτε φυσικά ούτε οικονομική αίσθηση. ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσητα πηλίκα αποκτούν νόημα από τη διαίρεση των τμημάτων της διαδρομής σε αντίστοιχες ταχύτητες (επιλογές xi), δηλαδή ο χρόνος που δαπανάται για τη διέλευση μεμονωμένων τμημάτων της διαδρομής (fi / xi). Εάν τα τμήματα της διαδρομής συμβολίζονται με fi, τότε ολόκληρη η διαδρομή εκφράζεται ως Σfi και ο χρόνος που δαπανάται σε ολόκληρη τη διαδρομή εκφράζεται ως Σ fi / xi , Στη συνέχεια, η μέση ταχύτητα μπορεί να βρεθεί ως το πηλίκο ολόκληρης της διαδρομής διαιρούμενο με τον συνολικό χρόνο που δαπανήθηκε:

Στο παράδειγμά μας παίρνουμε:

Εάν, όταν χρησιμοποιείτε τον αρμονικό μέσο όρο, τα βάρη όλων των επιλογών (f) είναι ίσα, τότε αντί του σταθμισμένου μπορείτε να χρησιμοποιήσετε απλή (μη σταθμισμένη) αρμονική μέση:

όπου xi είναι μεμονωμένες επιλογές. n- αριθμός παραλλαγών του μέσου όρου χαρακτηριστικού. Στο παράδειγμα της ταχύτητας, ο απλός αρμονικός μέσος όρος θα μπορούσε να εφαρμοστεί εάν τα τμήματα διαδρομής που διανύθηκαν με διαφορετικές ταχύτητες ήταν ίσα.

Οποιαδήποτε μέση τιμή πρέπει να υπολογίζεται έτσι ώστε όταν αντικαθιστά κάθε παραλλαγή του μέσου όρου χαρακτηριστικού, η τιμή κάποιου τελικού, γενικού δείκτη που σχετίζεται με τον μέσο όρο δείκτη να μην αλλάζει. Έτσι, κατά την αντικατάσταση των πραγματικών ταχυτήτων σε μεμονωμένα τμήματα της διαδρομής με τη μέση τιμή τους ( μέση ταχύτητα) η συνολική απόσταση δεν πρέπει να αλλάξει.

Η μορφή (τύπος) της μέσης τιμής καθορίζεται από τη φύση (μηχανισμό) της σχέσης αυτού του τελικού δείκτη με τον μέσο όρο, επομένως ο τελικός δείκτης, η τιμή του οποίου δεν πρέπει να αλλάξει κατά την αντικατάσταση των επιλογών με τη μέση τιμή τους, είναι που ονομάζεται καθοριστικό δείκτη.Για να εξαγάγετε τον τύπο για τον μέσο όρο, πρέπει να δημιουργήσετε και να λύσετε μια εξίσωση χρησιμοποιώντας τη σχέση μεταξύ του μέσου όρου δείκτη και του καθοριστικού. Αυτή η εξίσωση κατασκευάζεται αντικαθιστώντας τις παραλλαγές του χαρακτηριστικού (δείκτη) που υπολογίζεται κατά μέσο όρο με τη μέση τιμή τους.

Εκτός από τον αριθμητικό μέσο και τον αρμονικό μέσο όρο, άλλοι τύποι (μορφές) του μέσου όρου χρησιμοποιούνται στη στατιστική. Είναι όλες ειδικές περιπτώσεις μέση ισχύς.Αν υπολογίσουμε όλους τους τύπους μέσου όρου ισχύος για τα ίδια δεδομένα, τότε οι τιμές

θα αποδειχθούν τα ίδια, ο κανόνας ισχύει εδώ μεγάλο ποσοστόμέση τιμή. Καθώς ο εκθέτης του μέσου όρου αυξάνεται, η ίδια η μέση τιμή αυξάνεται. Πιο συχνά χρησιμοποιείται σε πρακτική έρευνατύποι υπολογισμού διάφοροι τύποιΟι μέσες τιμές ισχύος παρουσιάζονται στον πίνακα. 5.2.

Πίνακας 5.2

Ο γεωμετρικός μέσος όρος χρησιμοποιείται όταν υπάρχει nσυντελεστές ανάπτυξης, ενώ οι επιμέρους τιμές του χαρακτηριστικού είναι, κατά κανόνα, τιμές σχετικής δυναμικής, που κατασκευάζονται με τη μορφή τιμών αλυσίδας, ως αναλογία προς το προηγούμενο επίπεδο κάθε επιπέδου στη σειρά δυναμικής. Ο μέσος όρος έτσι χαρακτηρίζει μέσος συντελεστήςανάπτυξη. Μέση γεωμετρική απλήυπολογίζεται με τον τύπο

Τύπος σταθμισμένος γεωμετρικός μέσος όροςΕχει επόμενη προβολή:

Οι παραπάνω τύποι είναι πανομοιότυποι, αλλά ο ένας εφαρμόζεται σε τρέχοντες συντελεστές ή ρυθμούς ανάπτυξης και ο δεύτερος - σε απόλυτες τιμές των επιπέδων σειράς.

Μέσο τετράγωνοχρησιμοποιείται κατά τον υπολογισμό με ποσότητες τετραγωνικές συναρτήσεις, χρησιμοποιείται για τη μέτρηση του βαθμού διακύμανσης των μεμονωμένων τιμών ενός χαρακτηριστικού γύρω από τον αριθμητικό μέσο όρο στη σειρά κατανομής και υπολογίζεται από τον τύπο

Ζυγισμένο μέσο τετράγωνουπολογίζεται χρησιμοποιώντας έναν άλλο τύπο:

Μέσο κυβικόχρησιμοποιείται κατά τον υπολογισμό με ποσότητες κυβικές συναρτήσειςκαι υπολογίζεται με τον τύπο

μέσο κυβικό βάρος:

Όλες οι μέσες τιμές που συζητήθηκαν παραπάνω μπορούν να παρουσιαστούν ως γενικός τύπος:

πού είναι η μέση τιμή? - ατομική έννοια. n- αριθμός μονάδων του πληθυσμού που μελετάται. κ- εκθέτης που καθορίζει τον τύπο του μέσου όρου.

Όταν χρησιμοποιείτε τα ίδια δεδομένα πηγής, τόσο περισσότερα κ V γενικός τύποςμέσος όρος ισχύος, τόσο μεγαλύτερη είναι η μέση τιμή. Από αυτό προκύπτει ότι υπάρχει μια φυσική σχέση μεταξύ των τιμών των μέσων όρων ισχύος:

Οι μέσες τιμές που περιγράφονται παραπάνω δίνουν μια γενικευμένη ιδέα του πληθυσμού που μελετάται και από αυτή την άποψη, η θεωρητική, εφαρμοσμένη και εκπαιδευτική σημασία τους είναι αδιαμφισβήτητη. Αλλά συμβαίνει ότι η μέση τιμή δεν συμπίπτει με καμία από τις πραγματικές υπάρχουσες επιλογές, επομένως, εκτός από τους εξεταζόμενους μέσους όρους, στη στατιστική ανάλυση είναι σκόπιμο να χρησιμοποιηθούν οι τιμές συγκεκριμένων επιλογών που καταλαμβάνουν μια καλά καθορισμένη θέση στην ταξινομημένη (κατάταξη) σειρά τιμών χαρακτηριστικών. Μεταξύ αυτών των ποσοτήτων, οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες είναι κατασκευαστικός,ή περιγραφικός, μέσος όρος- λειτουργία (Mo) και διάμεσος (Me).

Μόδα- την τιμή ενός χαρακτηριστικού που απαντάται συχνότερα σε έναν δεδομένο πληθυσμό. Σε σχέση με μια μεταβλητή σειρά, η λειτουργία είναι η πιο συχνά εμφανιζόμενη τιμή της σειράς κατάταξης, δηλαδή η επιλογή με την υψηλότερη συχνότητα. Η μόδα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον καθορισμό των καταστημάτων που επισκέπτονται συχνότερα, την πιο κοινή τιμή για οποιοδήποτε προϊόν. Δείχνει το μέγεθος ενός χαρακτηριστικού ενός σημαντικού μέρους του πληθυσμού και καθορίζεται από τον τύπο

όπου x0 είναι το κατώτερο όριο του διαστήματος. η- μέγεθος διαστήματος fm- συχνότητα διαστήματος fm_ 1 - συχνότητα του προηγούμενου διαστήματος. fm+ 1 - συχνότητα του επόμενου διαστήματος.

Διάμεσοςκαλείται η επιλογή που βρίσκεται στο κέντρο της σειράς κατάταξης. Η διάμεσος χωρίζει τη σειρά σε δύο ίσα μέρη με τέτοιο τρόπο ώστε να υπάρχει ο ίδιος αριθμός πληθυσμιακών μονάδων και στις δύο πλευρές της. Σε αυτήν την περίπτωση, το ένα ήμισυ των μονάδων στον πληθυσμό έχει τιμή του μεταβαλλόμενου χαρακτηριστικού μικρότερη από τη διάμεσο και το άλλο μισό έχει τιμή μεγαλύτερη από αυτό. Η διάμεσος χρησιμοποιείται κατά τη μελέτη ενός στοιχείου του οποίου η τιμή είναι μεγαλύτερη ή ίση ή ταυτόχρονα μικρότερη ή ίση με το ήμισυ των στοιχείων μιας σειράς διανομής. Ο διάμεσος δίνει γενική ιδέασχετικά με το πού συγκεντρώνονται οι τιμές του χαρακτηριστικού, με άλλα λόγια, πού βρίσκεται το κέντρο τους.

Η περιγραφική φύση της διάμεσης τιμής εκδηλώνεται στο γεγονός ότι χαρακτηρίζει το ποσοτικό όριο των τιμών ενός ποικίλου χαρακτηριστικού που κατέχουν οι μισές μονάδες του πληθυσμού. Το πρόβλημα της εύρεσης της διάμεσης τιμής για μια διακριτή σειρά παραλλαγής λύνεται εύκολα. Αν δίνονται όλες οι μονάδες της σειράς σειριακοί αριθμοί, τότε ο τακτικός αριθμός της διάμεσης επιλογής ορίζεται ως (n +1) / 2 με περιττό αριθμό όρων n. Εάν ο αριθμός των μελών της σειράς είναι άρτιος, τότε η διάμεσος θα είναι η μέση τιμή δύο επιλογές που έχουν τακτικούς αριθμούς n/ 2 και n / 2 + 1.

Όταν προσδιορίζετε τη διάμεσο σε σειρές διακύμανσης διαστήματος, προσδιορίστε πρώτα το διάστημα στο οποίο βρίσκεται (διάμεσο διάστημα). Αυτό το διάστημα χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι το συσσωρευμένο άθροισμα των συχνοτήτων του είναι ίσο ή υπερβαίνει το μισό του αθροίσματος όλων των συχνοτήτων της σειράς. Η διάμεσος μιας σειράς μεταβολής διαστήματος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο

Οπου X0- κατώτερο όριο του διαστήματος. η- μέγεθος διαστήματος fm- συχνότητα διαστήματος φά- αριθμός μελών της σειράς·

∫m-1 είναι το άθροισμα των συσσωρευμένων όρων της σειράς που προηγείται της δεδομένης.

Μαζί με τη διάμεσο για περισσότερα πλήρη χαρακτηριστικάοι δομές του υπό μελέτη πληθυσμού χρησιμοποιούν επίσης άλλες τιμές επιλογών που καταλαμβάνουν πολύ συγκεκριμένη θέση στη σειρά κατάταξης. Αυτά περιλαμβάνουν τεταρτημόριαΚαι δεκατιανοί.Τα τεταρτημόρια διαιρούν τη σειρά με το άθροισμα των συχνοτήτων σε 4 ίσα μέρη και τα δεκατιανά - σε 10 ίσα μέρη. Υπάρχουν τρία τεταρτημόρια και εννέα δεκαδικά.

Η διάμεσος και η λειτουργία, σε αντίθεση με τον αριθμητικό μέσο όρο, δεν ακυρώνονται ατομικές διαφορέςστις τιμές του ποικίλου χαρακτηριστικού και επομένως είναι πρόσθετες και πολύ σημαντικά χαρακτηριστικάστατιστικό πληθυσμό. Στην πράξη, χρησιμοποιούνται συχνά αντί του μέσου όρου ή μαζί με αυτόν. Συνιστάται ιδιαίτερα ο υπολογισμός της διάμεσης τιμής και του τρόπου λειτουργίας σε περιπτώσεις όπου ο υπό μελέτη πληθυσμός περιέχει έναν ορισμένο αριθμό μονάδων με πολύ μεγάλη ή πολύ μικρή τιμή του ποικίλου χαρακτηριστικού. Αυτές οι τιμές των επιλογών, που δεν είναι ιδιαίτερα χαρακτηριστικές του πληθυσμού, ενώ επηρεάζουν την τιμή του αριθμητικού μέσου όρου, δεν επηρεάζουν τις τιμές της διάμεσης τιμής και του τρόπου λειτουργίας, γεγονός που καθιστά το τελευταίο πολύτιμο δείκτη για οικονομική και στατιστική ανάλυση.

Δείκτες διακύμανσης

Σκοπός στατιστική έρευναείναι η ταυτοποίηση βασικές ιδιότητεςκαι πρότυπα του υπό μελέτη στατιστικού πληθυσμού. Κατά την επεξεργασία συνοπτικών δεδομένων στατιστική παρατήρησηχτίζουν σειρά διανομής.Υπάρχουν δύο τύποι σειρών διανομής - αποδοτικές και μεταβλητές, ανάλογα με το αν το χαρακτηριστικό που λαμβάνεται ως βάση για την ομαδοποίηση είναι ποιοτικό ή ποσοτικό.

Μεταβλητήονομάζονται σειρές διανομής που κατασκευάζονται σε ποσοτική βάση. Αξίες ποσοτικά χαρακτηριστικάγια μεμονωμένες μονάδες, τα συγκεντρωτικά στοιχεία δεν είναι σταθερά, διαφέρουν λίγο πολύ μεταξύ τους. Αυτή η διαφορά στην τιμή ενός χαρακτηριστικού ονομάζεται παραλλαγές.Ξεχωριστός αριθμητικές τιμέςχαρακτηριστικά που βρίσκονται στον υπό μελέτη πληθυσμό ονομάζονται παραλλαγές αξιών.Η παρουσία διακύμανσης σε επιμέρους μονάδες του πληθυσμού οφείλεται στην επιρροή μεγάλος αριθμόςπαράγοντες στο σχηματισμό του επιπέδου χαρακτηριστικών. Η μελέτη της φύσης και του βαθμού διακύμανσης των χαρακτηριστικών σε επιμέρους μονάδες του πληθυσμού είναι το πιο σημαντικό θέμαοποιαδήποτε στατιστική έρευνα. Οι δείκτες διακύμανσης χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν το μέτρο της μεταβλητότητας των χαρακτηριστικών.

Αλλο σημαντικό έργοΗ στατιστική έρευνα είναι να προσδιορίσει το ρόλο μεμονωμένων παραγόντων ή των ομάδων τους στη διακύμανση ορισμένων χαρακτηριστικών του πληθυσμού. Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα στα στατιστικά χρησιμοποιούμε ειδικές μεθόδουςμελέτες διακύμανσης που βασίζονται στη χρήση ενός συστήματος δεικτών βάσει των οποίων μετράται η διακύμανση. Στην πράξη, ο ερευνητής βρίσκεται αντιμέτωπος με αρκετά μεγάλο ποσόπαραλλαγές τιμών χαρακτηριστικών, που δεν δίνει μια ιδέα για την κατανομή των μονάδων ανά τιμή χαρακτηριστικού στο σύνολο. Για να το κάνετε αυτό, τακτοποιήστε όλες τις παραλλαγές των χαρακτηριστικών τιμών σε αύξουσα ή φθίνουσα σειρά. Αυτή η διαδικασία ονομάζεται κατάταξη της σειράς.Η σειρά κατάταξης δίνει αμέσως μια γενική ιδέα για τις τιμές που παίρνει το χαρακτηριστικό στο σύνολο.

Η ανεπάρκεια της μέσης τιμής για μια εξαντλητική περιγραφή του πληθυσμού μας αναγκάζει να συμπληρώσουμε τις μέσες τιμές με δείκτες που μας επιτρέπουν να εκτιμήσουμε την τυπικότητα αυτών των μέσων μετρήσεων μετρώντας τη μεταβλητότητα (παραλλαγή) του χαρακτηριστικού που μελετάται. Η χρήση αυτών των δεικτών διακύμανσης καθιστά δυνατή τη στατιστική ανάλυση πιο ολοκληρωμένη και ουσιαστική και έτσι αποκτά μια βαθύτερη κατανόηση της ουσίας των κοινωνικών φαινομένων που μελετώνται.

Το περισσότερο απλά σημάδιαπαραλλαγές είναι ελάχιστοΚαι ανώτατο όριο -αυτό είναι το μικρότερο και υψηλότερη τιμήσημάδια στο σύνολο. Ο αριθμός των επαναλήψεων μεμονωμένων παραλλαγών χαρακτηριστικών τιμών ονομάζεται συχνότητα επανάληψης.Ας υποδηλώσουμε τη συχνότητα επανάληψης της τιμής του χαρακτηριστικού fi,το άθροισμα των συχνοτήτων ίσο με τον όγκο του πληθυσμού που μελετάται θα είναι:

Οπου κ- αριθμός επιλογών για τιμές χαρακτηριστικών. Είναι βολικό να αντικαταστήσετε τις συχνότητες με συχνότητες - wi. Συχνότητα- δείκτης σχετικής συχνότητας - μπορεί να εκφραστεί σε κλάσματα μονάδας ή ποσοστού και σας επιτρέπει να συγκρίνετε σειρές παραλλαγών με διαφορετικό αριθμόπαρατηρήσεις. Επίσημα έχουμε:

Διάφορα απόλυτη και σχετικούς δείκτες. Οι απόλυτοι δείκτες διακύμανσης περιλαμβάνουν τη μέση γραμμική απόκλιση, το εύρος διακύμανσης, τη διασπορά και την τυπική απόκλιση.

Εύρος παραλλαγώνΤο (R) αντιπροσωπεύει τη διαφορά μεταξύ των μέγιστων και ελάχιστων τιμών του χαρακτηριστικού στον πληθυσμό που μελετάται: R= Xmax - Xmin. Αυτός ο δείκτης δίνει μόνο την πιο γενική ιδέα για τη μεταβλητότητα του χαρακτηριστικού που μελετάται, καθώς δείχνει τη διαφορά μόνο μεταξύ των μέγιστων τιμών των επιλογών. Δεν σχετίζεται εντελώς με τις συχνότητες της σειράς παραλλαγών, δηλαδή με τη φύση της διανομής και η εξάρτησή της μπορεί να της δώσει έναν ασταθή, τυχαίο χαρακτήρα μόνο από ακραίες τιμέςσημάδι. Το εύρος διακύμανσης δεν παρέχει καμία πληροφορία σχετικά με τα χαρακτηριστικά των πληθυσμών υπό μελέτη και δεν μας επιτρέπει να εκτιμήσουμε τον βαθμό τυπικότητας των λαμβανόμενων μέσων τιμών. Το πεδίο εφαρμογής αυτού του δείκτη περιορίζεται σε αρκετά ομοιογενείς πληθυσμούς· πιο συγκεκριμένα, χαρακτηρίζει την παραλλαγή ενός χαρακτηριστικού, ενός δείκτη που βασίζεται στη συνεκτίμηση της μεταβλητότητας όλων των τιμών του χαρακτηριστικού.

Για να χαρακτηριστεί η παραλλαγή ενός χαρακτηριστικού, είναι απαραίτητο να γενικευθούν οι αποκλίσεις όλων των τιμών από οποιαδήποτε τιμή τυπική για τον πληθυσμό που μελετάται. Τέτοιοι δείκτες

παραλλαγές, όπως η μέση γραμμική απόκλιση, η διασπορά και η τυπική απόκλιση, βασίζονται στην εξέταση των αποκλίσεων των χαρακτηριστικών τιμών των επιμέρους μονάδων του πληθυσμού από τον αριθμητικό μέσο όρο.

Μέση γραμμική απόκλισηαντιπροσωπεύει τον αριθμητικό μέσο όρο των απόλυτων τιμών των αποκλίσεων μεμονωμένων επιλογών από τον αριθμητικό μέσο όρο τους:

Η απόλυτη τιμή (μέτρο) της απόκλισης της παραλλαγής από τον αριθμητικό μέσο όρο. φά-συχνότητα.

Ο πρώτος τύπος εφαρμόζεται εάν καθεμία από τις επιλογές εμφανίζεται συνολικά μόνο μία φορά και ο δεύτερος - σε σειρά με άνισες συχνότητες.

Υπάρχει ένας άλλος τρόπος υπολογισμού του μέσου όρου των αποκλίσεων των επιλογών από τον αριθμητικό μέσο όρο. Αυτή η πολύ κοινή μέθοδος στα στατιστικά καταλήγει στον υπολογισμό των τετραγωνικών αποκλίσεων των επιλογών από τη μέση τιμή με τον επακόλουθο μέσο όρο τους. Σε αυτή την περίπτωση, λαμβάνουμε έναν νέο δείκτη διακύμανσης - διασποράς.

Διασπορά(σ 2) - ο μέσος όρος των τετραγωνικών αποκλίσεων των επιλογών τιμής χαρακτηριστικών από τη μέση τιμή τους:

Ο δεύτερος τύπος εφαρμόζεται εάν οι επιλογές έχουν τα δικά τους βάρη (ή τις συχνότητες της σειράς παραλλαγών).

Στην οικονομική και στατιστική ανάλυση, είναι σύνηθες να αξιολογείται η διακύμανση ενός χαρακτηριστικού τις περισσότερες φορές χρησιμοποιώντας την τυπική απόκλιση. Τυπική απόκλιση(σ) είναι η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης:

Οι μέσες γραμμικές και τυπικές αποκλίσεις δείχνουν πόσο κυμαίνεται η τιμή ενός χαρακτηριστικού κατά μέσο όρο μεταξύ των μονάδων του υπό μελέτη πληθυσμού και εκφράζονται στις ίδιες μονάδες μέτρησης με τις επιλογές.

Στη στατιστική πρακτική, υπάρχει συχνά η ανάγκη σύγκρισης της διακύμανσης των διαφορετικών χαρακτηριστικών. Για παράδειγμα, έχει μεγάλο ενδιαφέρον να συγκρίνουμε τις διακυμάνσεις στην ηλικία του προσωπικού και τα προσόντα του, τη διάρκεια υπηρεσίας και τους μισθούς κ.λπ. Για τέτοιες συγκρίσεις, οι δείκτες απόλυτης μεταβλητότητας χαρακτηριστικών - γραμμικός μέσος όρος και τυπική απόκλιση - δεν είναι κατάλληλοι. Στην πραγματικότητα, είναι αδύνατο να συγκριθεί η διακύμανση του χρόνου υπηρεσίας, εκφρασμένη σε χρόνια, με τη διακύμανση των μισθών, εκφρασμένη σε ρούβλια και καπίκια.

Όταν συγκρίνουμε τη μεταβλητότητα διαφόρων χαρακτηριστικών μαζί, είναι βολικό να χρησιμοποιούνται σχετικά μέτρα διακύμανσης. Αυτοί οι δείκτες υπολογίζονται ως ο λόγος των απόλυτων δεικτών προς τον αριθμητικό μέσο όρο (ή διάμεσο). Χρησιμοποιώντας ως απόλυτος δείκτηςλαμβάνονται διακυμάνσεις, εύρος διακυμάνσεων, μέση γραμμική απόκλιση, τυπική απόκλιση, σχετικοί δείκτες μεταβλητότητας:

Ο πιο συχνά χρησιμοποιούμενος δείκτης σχετικής μεταβλητότητας, που χαρακτηρίζει την ομοιογένεια του πληθυσμού. Ο πληθυσμός θεωρείται ομοιογενής εάν ο συντελεστής διακύμανσης δεν υπερβαίνει το 33% για κατανομές κοντά στο φυσιολογικό.

Γενική θεωρίαστατιστικά: σημειώσεις διάλεξης Konik Nina Vladimirovna

ΔΙΑΛΕΞΗ Νο 5. Μέσες τιμές και δείκτες διακύμανσης

1. Μέσες τιμές και γενικές αρχέςτους υπολογισμούς τους

Οι μέσες τιμές αναφέρονται σε γενικούς στατιστικούς δείκτες που παρέχουν ένα συνοπτικό (τελικό) χαρακτηριστικό μαζικών κοινωνικών φαινομένων, αφού δομούνται με βάση μεγάλο αριθμό μεμονωμένων τιμών διαφορετικού χαρακτηριστικού. Για να διευκρινιστεί η ουσία της μέσης τιμής, είναι απαραίτητο να εξεταστούν οι ιδιαιτερότητες του σχηματισμού των τιμών των σημείων αυτών των φαινομένων, σύμφωνα με τα δεδομένα των οποίων υπολογίζεται η μέση τιμή.

Είναι γνωστό ότι οι μονάδες κάθε μαζικού φαινομένου έχουν πολυάριθμα χαρακτηριστικά. Όποιο από αυτά τα χαρακτηριστικά ληφθεί, οι τιμές του θα είναι διαφορετικές για μεμονωμένες μονάδες· αλλάζουν ή, όπως λένε στα στατιστικά στοιχεία, διαφέρουν από τη μια μονάδα στην άλλη. Για παράδειγμα, ο μισθός ενός εργαζομένου καθορίζεται από τα προσόντα του, τη φύση της εργασίας, τη διάρκεια της υπηρεσίας και έναν αριθμό άλλων παραγόντων και ως εκ τούτου ποικίλλει εντός πολύ μεγάλων ορίων. Η συνδυασμένη επιρροή όλων των παραγόντων καθορίζει το ύψος των αποδοχών κάθε εργαζόμενου. Ωστόσο, μπορούμε να μιλήσουμε για τους μέσους μηνιαίους μισθούς των εργαζομένων σε διάφορους τομείς της οικονομίας. Εδώ λειτουργούμε με μια τυπική, χαρακτηριστική τιμή ενός ποικίλου χαρακτηριστικού, που εκχωρείται σε μια μονάδα μεγάλου πληθυσμού.

Η μέση τιμή αντικατοπτρίζει αυτό που είναι κοινό σε όλες τις μονάδες του πληθυσμού που μελετάται. Ταυτόχρονα, εξισορροπεί την επιρροή όλων των παραγόντων που δρουν στην αξία του χαρακτηριστικού των επιμέρους μονάδων του πληθυσμού, σαν να τα σβήνουν αμοιβαία. Το επίπεδο (ή το μέγεθος) κάθε κοινωνικού φαινομένου καθορίζεται από τη δράση δύο ομάδων παραγόντων. Μερικά από αυτά είναι γενικά και κύρια, λειτουργούν συνεχώς, συνδέονται στενά με τη φύση του φαινομένου ή της διαδικασίας που μελετάται και αποτελούν αυτό που είναι χαρακτηριστικό για όλες τις μονάδες του πληθυσμού που μελετάται, το οποίο αντικατοπτρίζεται στη μέση τιμή. Άλλοι είναι ατομικοί, η δράση τους είναι λιγότερο έντονη και είναι επεισοδιακή, τυχαία. Ενεργούν προς την αντίθετη κατεύθυνση, προκαλώντας διαφορές μεταξύ των ποσοτικών χαρακτηριστικών επιμέρους μονάδων του πληθυσμού, προσπαθώντας να αλλάξουν τη σταθερή τιμή των χαρακτηριστικών που μελετώνται. Η επίδραση των επιμέρους χαρακτηριστικών σβήνει στη μέση τιμή. Στη συνδυασμένη επιρροή τυπικών και μεμονωμένων παραγόντων, η οποία είναι ισορροπημένη και αμοιβαία ακυρώνεται σε γενικά χαρακτηριστικά, ο θεμελιώδης νόμος των μεγάλων αριθμών, γνωστός από τη μαθηματική στατιστική, εκδηλώνεται σε γενική μορφή.

Συνολικά, οι επιμέρους τιμές των χαρακτηριστικών συγχωνεύονται σε μια κοινή μάζα και, όπως ήταν, διαλύονται. Ως εκ τούτου, ο μέσος όρος λειτουργεί ως μια «απρόσωπη» τιμή που μπορεί να αποκλίνει από τις επιμέρους τιμές των χαρακτηριστικών χωρίς να συμπίπτει ποσοτικά με κανένα από αυτά. Έτσι, ο μέσος όρος αντικατοπτρίζει το γενικό, χαρακτηριστικό και τυπικό για ολόκληρο τον πληθυσμό λόγω της αμοιβαίας ακύρωσης σε αυτόν τυχαίων, άτυπων διαφορών μεταξύ των χαρακτηριστικών των επιμέρους μονάδων του, αφού η τιμή του καθορίζεται σαν από το κοινό αποτέλεσμα όλων των αιτιών.

Ωστόσο, για να αντικατοπτρίζει ο μέσος όρος την πιο τυπική τιμή ενός χαρακτηριστικού, δεν θα πρέπει να προσδιορίζεται για κανένα πληθυσμό, αλλά μόνο για πληθυσμούς που αποτελούνται από ποιοτικά ομοιογενείς μονάδες. Αυτή η απαίτηση αποτελεί την κύρια προϋπόθεση για την επιστημονικά τεκμηριωμένη χρήση των μέσων όρων και συνεπάγεται στενή σύνδεση μεταξύ της μεθόδου των μέσων όρων και της μεθόδου των ομαδοποιήσεων στην ανάλυση των κοινωνικοοικονομικών φαινομένων.

Ως εκ τούτου, μέση αξίαείναι ένας γενικός δείκτης που χαρακτηρίζει το τυπικό επίπεδο ενός μεταβαλλόμενου χαρακτηριστικού ανά μονάδα ενός ομοιογενούς πληθυσμού υπό συγκεκριμένες συνθήκες τόπου και χρόνου.

Κατά τον καθορισμό της ουσίας των μέσων τιμών με αυτόν τον τρόπο, είναι απαραίτητο να τονιστεί ότι ο σωστός υπολογισμός οποιουδήποτε μέσου όρου προϋποθέτει την εκπλήρωση των ακόλουθων απαιτήσεων:

1) ποιοτική ομοιογένεια του πληθυσμού από τον οποίο υπολογίζεται ο μέσος όρος. Ο υπολογισμός του μέσου όρου για φαινόμενα διαφορετικής ποιότητας (διαφορετικού τύπου) έρχεται σε αντίθεση με την ίδια την ουσία του μέσου όρου, καθώς η ανάπτυξη τέτοιων φαινομένων υπόκειται σε διαφορετικά, και όχι γενικά, πρότυπα και αιτίες. Αυτό σημαίνει ότι ο υπολογισμός των μέσων τιμών θα πρέπει να βασίζεται στη μέθοδο ομαδοποίησης, η οποία διασφαλίζει τον εντοπισμό ομοιογενών, παρόμοιων φαινομένων.

2) εξαλείφοντας την επίδραση τυχαίων, καθαρά μεμονωμένων αιτιών και παραγόντων στον υπολογισμό της μέσης τιμής. Αυτό επιτυγχάνεται στην περίπτωση που ο υπολογισμός του μέσου όρου βασίζεται σε αρκετά ογκώδες υλικό στο οποίο εκδηλώνεται η δράση του νόμου των μεγάλων αριθμών και όλα τα ατυχήματα ακυρώνονται αμοιβαία.

3) κατά τον υπολογισμό της μέσης τιμής, είναι σημαντικό να καθοριστεί ο σκοπός του υπολογισμού της και ο λεγόμενος καθοριστικός δείκτης (ιδιότητα) στον οποίο πρέπει να επικεντρωθεί. Ο καθοριστικός δείκτης μπορεί να λειτουργεί ως το άθροισμα των τιμών του χαρακτηριστικού που υπολογίζεται κατά μέσο όρο, το άθροισμα των αντίστροφων τιμών του, το γινόμενο των τιμών του κ.λπ. Η σύνδεση μεταξύ του καθοριστικού δείκτη και του μέσου όρου εκφράζεται ως εξής: αν όλα οι τιμές του χαρακτηριστικού που υπολογίζεται κατά μέσο όρο αντικαθίστανται από τη μέση τιμή τους, τότε το άθροισμα ή το γινόμενο σε αυτήν την περίπτωση, ο καθοριστικός δείκτης δεν θα αλλάξει. Με βάση αυτή τη σύνδεση μεταξύ του καθοριστικού δείκτη και της μέσης τιμής, δημιουργείται μια αρχική ποσοτική σχέση για τον άμεσο υπολογισμό της μέσης τιμής. Η ικανότητα των μέσων όρων να διατηρούν τις ιδιότητες των στατιστικών πληθυσμών ονομάζεται καθοριστική ιδιότητα.

Ο μέσος όρος που υπολογίζεται για τον πληθυσμό ως σύνολο ονομάζεται συνολικός μέσος όρος, ο μέσος όρος που υπολογίζεται για κάθε ομάδα ονομάζεται μέσος όρος της ομάδας. Ο γενικός μέσος όρος αντικατοπτρίζει τα γενικά χαρακτηριστικά του φαινομένου που μελετάται, ο μέσος όρος της ομάδας δίνει ένα χαρακτηριστικό του μεγέθους του φαινομένου που αναπτύσσεται υπό τις συγκεκριμένες συνθήκες μιας δεδομένης ομάδας.

Οι μέθοδοι υπολογισμού μπορεί να είναι διαφορετικές και από αυτή την άποψη, στις στατιστικές, διακρίνονται διάφοροι τύποι μέσων τιμών, με τους κυριότερους να είναι ο αριθμητικός μέσος όρος, ο αρμονικός μέσος και ο γεωμετρικός μέσος όρος.

Στην οικονομική ανάλυση, η χρήση των μέσων τιμών είναι ένα αποτελεσματικό εργαλείο για την αξιολόγηση των αποτελεσμάτων της επιστημονικής και τεχνολογικής προόδου, των κοινωνικών γεγονότων και την εύρεση κρυφών και αχρησιμοποίητων αποθεμάτων για την οικονομική ανάπτυξη.

Ταυτόχρονα, πρέπει να θυμόμαστε ότι η υπερβολική εξάρτηση από τους μέσους δείκτες μπορεί να οδηγήσει σε μεροληπτικά συμπεράσματα κατά τη διεξαγωγή οικονομικής και στατιστικής ανάλυσης. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι μέσες τιμές, ως γενικοί δείκτες, σβήνουν και αγνοούν εκείνες τις διαφορές στα ποσοτικά χαρακτηριστικά των επιμέρους μονάδων του πληθυσμού που υπάρχουν στην πραγματικότητα και μπορεί να έχουν ανεξάρτητο ενδιαφέρον.

Από το βιβλίο Περισσότερα από όσα ξέρετε. Ασυνήθιστη εμφάνισηστον κόσμο των οικονομικών από τον Mauboussin Michael

Κεφάλαιο 24 Η υπόκλιση από την παρέκταση με χρήση των μέσων τιμών P/E είναι ανόητη Για να είναι χρήσιμοι οι ιστορικοί μέσοι όροι, τα δεδομένα από τα οποία υπολογίζονται πρέπει να προέρχονται από τον ίδιο πληθυσμό. Διαφορετικά, εάν τα δεδομένα προέρχονται από

Από το βιβλίο Ιστορία ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ: σημειώσεις διάλεξης συγγραφέας Eliseeva Elena Leonidovna

ΔΙΑΛΕΞΗ Νο 15. Οικονομική ανάπτυξηΗ Ρωσία στο Μεσαίωνα 1. Αιτίες και συνέπειες φεουδαρχικός κατακερματισμός. Ανάπτυξη της φεουδαρχικής κατοχής γης Περίοδος πολιτικό κατακερματισμόεμφανίστηκε τον XII – XV αιώνες. Αυτό είναι φυσικό ιστορικό στάδιοστην ανάπτυξη της φεουδαρχίας. Ενας από

συγγραφέας Shcherbina Lidiya Vladimirovna

23. Μέσες τιμές και γενικές αρχές υπολογισμού τους Οι μέσες τιμές αναφέρονται σε γενικούς στατιστικούς δείκτες που δίνουν ένα συνοπτικό (τελικό) χαρακτηριστικό μαζικών κοινωνικών φαινομένων, δεδομένου ότι χτίζονται με βάση μεγάλο αριθμό ατόμων

Από το βιβλίο Γενική Θεωρία Στατιστικής συγγραφέας Shcherbina Lidiya Vladimirovna

26. Δείκτες μεταβολής Οι σειρές διακύμανσης είναι σειρές διανομής που κατασκευάζονται σύμφωνα με ένα ποσοτικό χαρακτηριστικό. Οι τιμές των ποσοτικών χαρακτηριστικών σε μεμονωμένες μονάδες του συνόλου δεν είναι σταθερές και λίγο πολύ διαφέρουν μεταξύ τους. Τέτοια διαφορά στην τιμή του χαρακτηριστικού n sit

Από το βιβλίο Γενική Θεωρία Στατιστικής συγγραφέας Shcherbina Lidiya Vladimirovna

54. Μέσοι δείκτες δυναμικής Με την πάροδο του χρόνου αλλάζουν όχι μόνο τα επίπεδα των φαινομένων, αλλά και δείκτες της δυναμικής τους - απόλυτες αυξήσεις και ρυθμοί εξέλιξης. Επομένως, για ένα γενικευτικό χαρακτηριστικό της ανάπτυξης, για τον εντοπισμό και τη μέτρηση τυπικών κύριων τάσεων και

συγγραφέας Konik Nina Vladimirovna

ΔΙΑΛΕΞΗ Νο 4. Στατιστικές τιμέςκαι δείκτες 1. Σκοπός και τύποι στατιστικών δεικτών και ποσοτήτων Η φύση και το περιεχόμενο των στατιστικών δεικτών αντιστοιχούν σε αυτούς τους οικονομικούς και κοινωνικά φαινόμενακαι τις διαδικασίες που τις αντικατοπτρίζουν. Όλα οικονομικά και

Από το βιβλίο General Theory of Statistics: Lecture Notes συγγραφέας Konik Nina Vladimirovna

1. Μέσες τιμές και γενικές αρχές υπολογισμού τους Οι μέσες τιμές αναφέρονται σε γενικούς στατιστικούς δείκτες που δίνουν ένα συνοπτικό (τελικό) χαρακτηριστικό των μαζικών κοινωνικών φαινομένων, αφού χτίζονται με βάση μεγάλο αριθμό μεμονωμένων αξιών

Από το βιβλίο General Theory of Statistics: Lecture Notes συγγραφέας Konik Nina Vladimirovna

3. Δείκτες διακύμανσης Σκοπός της στατιστικής έρευνας είναι ο εντοπισμός των βασικών ιδιοτήτων και προτύπων του στατιστικού πληθυσμού που μελετάται. Στη διαδικασία της συνοπτικής επεξεργασίας των στατιστικών δεδομένων παρατήρησης, κατασκευάζονται σειρές διανομής. Υπάρχουν δύο τύποι σειρών

Από το βιβλίο General Theory of Statistics: Lecture Notes συγγραφέας Konik Nina Vladimirovna

3. Μέσοι δείκτες δυναμικής Με την πάροδο του χρόνου αλλάζουν όχι μόνο τα επίπεδα των φαινομένων, αλλά και δείκτες της δυναμικής τους – απόλυτες αυξήσεις και ρυθμοί εξέλιξης. Επομένως, για μια γενική περιγραφή της ανάπτυξης, για τον εντοπισμό και τη μέτρηση τυπικών βασικών τάσεων και

Από βιβλίο Οικονομική ανάλυση. Φύλλα εξαπάτησης συγγραφέας Olshevskaya Natalya

59. Σχετικές και μέσες τιμές Η οικονομική ανάλυση ξεκινά ουσιαστικά με τον υπολογισμό των σχετικών τιμών. Οι σχετικές ποσότητες είναι απαραίτητες στην ανάλυση δυναμικών φαινομένων. Είναι σαφές ότι αυτά τα φαινόμενα μπορούν να εκφραστούν σε απόλυτες τιμές, αλλά σαφήνεια

Από το βιβλίο Θεωρία της Στατιστικής συγγραφέας

31. Διαρθρωτικοί μέσοι όροι. Τρόπος και διάμεσος Για να χαρακτηριστεί η δομή ενός στατιστικού πληθυσμού, χρησιμοποιούνται δείκτες που ονομάζονται δομικοί μέσοι όροι. Αυτές περιλαμβάνουν τη λειτουργία και τη διάμεσο. Η λειτουργία (Mo) είναι η πιο κοινή επιλογή. Η λειτουργία ονομάζεται λειτουργία

Από το βιβλίο The Art of Communication in Network Marketing από την Πιζ Άλαν

Κανόνας #5: Βελτιώστε τον μέσο όρο σας δουλεύοντας μέσα ασφαλιστική επιχείρηση, συνειδητοποίησα ότι κάθε φορά που έπαιρνα το τηλέφωνο και μιλούσα με οποιονδήποτε πελάτη, κέρδιζα 30 $. Ωστόσο, πέντε πελάτες για κάθε δέκα κλήσεις δεν μου φάνηκαν ο καλύτερος δείκτης, αφού

συγγραφέας Burkhanova Inessa Viktorovna

ΔΙΑΛΕΞΗ Αρ. 7. Μέσες τιμές 1. Γενικά χαρακτηριστικά Για τους σκοπούς της ανάλυσης και της λήψης στατιστικών συμπερασμάτων με βάση τα αποτελέσματα της περίληψης και της ομαδοποίησης, υπολογίζονται γενικοί δείκτες - μέσες και σχετικές τιμές. Η εργασία των μέσων τιμών είναι να χαρακτηρίζει όλες τις μονάδες

Από το βιβλίο Theory of Statistics: Lecture Notes συγγραφέας Burkhanova Inessa Viktorovna

3. Διαρθρωτικοί μέσοι όροι. Τρόπος και διάμεσος Για να χαρακτηριστεί η δομή ενός στατιστικού πληθυσμού, χρησιμοποιούνται δείκτες που ονομάζονται δομικοί μέσοι όροι. Αυτές περιλαμβάνουν τη λειτουργία και τη διάμεσο. Η λειτουργία (Mo) είναι η πιο κοινή επιλογή. Λέγεται μόδα

Από το βιβλίο Theory of Statistics: Lecture Notes συγγραφέας Burkhanova Inessa Viktorovna

ΔΙΑΛΕΞΗ Αρ. 8. Δείκτες παραλλαγής 1. Η έννοια της παραλλαγής Η διαφορά στις επιμέρους τιμές ενός χαρακτηριστικού εντός του υπό μελέτη πληθυσμού στις στατιστικές ονομάζεται παραλλαγή ενός χαρακτηριστικού. Προκύπτει ως αποτέλεσμα του γεγονότος ότι οι επιμέρους αξίες του προστίθενται στο σύνολο

Από το βιβλίο Παραγωγικότητα. Μυστικά αποτελεσματική συμπεριφορά συγγραφέας Stewart-Kotze Robin

Οι μέσες βαθμολογίες προφίλ συμπεριφοράς ενός ατόμου Οι μέσοι όροι κρύβουν πάντα τις διαφορές. Τα προηγούμενα γραφήματα δείχνουν τη μέση συμπεριφορά των ομάδων πωλήσεων και μέσο επίπεδοσυμπεριφορικές προσδοκίες και αξίες της ομάδας πελατών. Στο Σχ. 14,5 στυλ πωλήσεων

Σύμφωνα με δείγμα έρευναςΟι καταθέτες ομαδοποιήθηκαν ανάλογα με το μέγεθος της κατάθεσής τους στην Sberbank της πόλης:

Καθορίζω:

1) εύρος παραλλαγής.

2) το μέσο μέγεθοςσυνεισφορά;

3) μέση γραμμική απόκλιση.

4) διασπορά?

5) τυπική απόκλιση.

6) συντελεστής διακύμανσης εισφορών.

Λύση:

Αυτή η σειρά διανομής περιέχει ανοιχτά διαστήματα. Σε τέτοιες σειρές, η τιμή του διαστήματος της πρώτης ομάδας θεωρείται συμβατικά ότι είναι ίση με την τιμή του διαστήματος της επόμενης και η τιμή του διαστήματος της τελευταίας ομάδας είναι ίση με την τιμή του διαστήματος της το προηγούμενο.

Η τιμή του διαστήματος της δεύτερης ομάδας είναι ίση με 200, επομένως, η τιμή της πρώτης ομάδας είναι επίσης ίση με 200. Η τιμή του διαστήματος της προτελευταίας ομάδας είναι ίση με 200, που σημαίνει ότι το τελευταίο διάστημα θα έχουν αξία 200.

1) Ας ορίσουμε το εύρος διακύμανσης ως τη διαφορά μεταξύ του μεγαλύτερου και χαμηλότερη τιμήσημάδι:

Το εύρος διακύμανσης του μεγέθους κατάθεσης είναι 1000 ρούβλια.

2) Το μέσο μέγεθος της συνεισφοράς θα καθοριστεί χρησιμοποιώντας τον σταθμισμένο αριθμητικό μέσο όρο.

Ας προσδιορίσουμε πρώτα διακριτή ποσότηταχαρακτηριστικό σε κάθε διάστημα. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιώντας τον απλό αριθμητικό μέσο όρο, βρίσκουμε τα μέσα των διαστημάτων.

Η μέση τιμή του πρώτου διαστήματος θα είναι:

το δεύτερο - 500, κ.λπ.

Ας εισάγουμε τα αποτελέσματα υπολογισμού στον πίνακα:

Ποσό κατάθεσης, τρίψτε.	Αριθμός καταθετών, στ	Μέσο του διαστήματος, x	xf
200-400	32	300	9600
400-600	56	500	28000
600-800	120	700	84000
800-1000	104	900	93600
1000-1200	88	1100	96800
Σύνολο	400	-	312000

Η μέση κατάθεση στην Sberbank της πόλης θα είναι 780 ρούβλια:

3) Η μέση γραμμική απόκλιση είναι ο αριθμητικός μέσος όρος των απόλυτων αποκλίσεων μεμονωμένων τιμών ενός χαρακτηριστικού από τον συνολικό μέσο όρο:

Η διαδικασία για τον υπολογισμό της μέσης γραμμικής απόκλισης στη σειρά κατανομής διαστήματος έχει ως εξής:

1. Υπολογίζεται ο σταθμισμένος αριθμητικός μέσος όρος, όπως φαίνεται στην παράγραφο 2).

2. Προσδιορίζονται οι απόλυτες αποκλίσεις από τον μέσο όρο:

3. Οι αποκλίσεις που προκύπτουν πολλαπλασιάζονται με τις συχνότητες:

4. Βρείτε το άθροισμα των σταθμισμένων αποκλίσεων χωρίς να λάβετε υπόψη το πρόσημο:

5. Το άθροισμα των σταθμισμένων αποκλίσεων διαιρείται με το άθροισμα των συχνοτήτων:

Είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα δεδομένων υπολογισμού:

Ποσό κατάθεσης, τρίψτε.	Αριθμός καταθετών, στ	Μέσο του διαστήματος, x
200-400	32	300	-480	480	15360
400-600	56	500	-280	280	15680
600-800	120	700	-80	80	9600
800-1000	104	900	120	120	12480
1000-1200	88	1100	320	320	28160
Σύνολο	400	-	-	-	81280

Η μέση γραμμική απόκλιση του μεγέθους της κατάθεσης των πελατών της Sberbank είναι 203,2 ρούβλια.

4) Διασπορά είναι ο αριθμητικός μέσος όρος των τετραγωνικών αποκλίσεων κάθε τιμής χαρακτηριστικού από τον αριθμητικό μέσο όρο.

Υπολογισμός διακύμανσης σε σειρές διαστήματοςΗ διανομή γίνεται σύμφωνα με τον τύπο:

Η διαδικασία για τον υπολογισμό της διακύμανσης σε αυτή την περίπτωση είναι η εξής:

1. Προσδιορίστε τον σταθμισμένο αριθμητικό μέσο όρο, όπως φαίνεται στην παράγραφο 2).

2. Βρείτε αποκλίσεις από τον μέσο όρο:

3. Τετράγωνο της απόκλισης κάθε επιλογής από τον μέσο όρο:

4. Πολλαπλασιάστε τα τετράγωνα των αποκλίσεων με τα βάρη (συχνότητες):

5. Συνοψίστε τα προϊόντα που προκύπτουν:

6. Το ποσό που προκύπτει διαιρείται με το άθροισμα των βαρών (συχνότητες):

Ας βάλουμε τους υπολογισμούς σε έναν πίνακα:

Ποσό κατάθεσης, τρίψτε.	Αριθμός καταθετών, στ	Μέσο του διαστήματος, x
200-400	32	300	-480	230400	7372800
400-600	56	500	-280	78400	4390400
600-800	120	700	-80	6400	768000
800-1000	104	900	120	14400	1497600
1000-1200	88	1100	320	102400	9011200
Σύνολο	400	-	-	-	23040000

Η έννοια του μέσου όρου είναι γνωστή στους περισσότερους ανθρώπους. Συνήθως, η μέση τιμή γίνεται αντιληπτή ως αντανάκλαση των κοινών χαρακτηριστικών τιμών πολλών μονάδων. Αυτά είναι, για παράδειγμα, η μέση ηλικία του κατοίκου μιας χώρας, το μέσο μέγεθος της οικογένειας σε μια περιοχή και το μέσο κέρδος μιας επιχείρησης.

Πραγματικά, μέση αξία -Αυτή είναι μια γενική εκτίμηση ενός χαρακτηριστικού για ένα σύνολο αντικειμένων, που αντανακλά τη χαρακτηριστική του σημασία. Χαρακτηριστικό νόημακαθορίζει την τυπική τιμή ενός χαρακτηριστικού, στην οποία εκφράζεται η μοναδικότητα μιας δεδομένης ομάδας αντικειμένων και η διαφορά της από τις τιμές του χαρακτηριστικού σε άλλες ομάδες.

Για παράδειγμα, ο μέσος μισθός των εργαζομένων σε ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙδραστηριότητες το 2015 στη Ρωσία ανήλθαν σε χιλιάδες ρούβλια. :

• Γεωργία - 19,5;
• εξόρυξη - 63,7;
• μεταποιητικές βιομηχανίες - 31,8;
• κατασκευή - 29,9.

ΣΕ σε διαφορετικά επίπεδαπληρωμή, δηλ. Σε διαφορετικούς μέσους μισθούς ενός εργάτη, αποκαλύπτονται οι ιδιαιτερότητες της οργάνωσης της εργασίας σε διαφορετικούς τύπους δραστηριότητας και, τελικά, η κοινωνική αναγνώριση αυτής ή εκείνης της εργασίας.

Στο παράδειγμα που δίνεται, δίνονται μέσοι όροι, οι οποίοι υπολογίζονται για ομάδες που αποτελούνται από αντικείμενα του ίδιου τύπου δραστηριότητας και τα οποία με αυτή την έννοια μπορούν να ονομαστούν ομοιογενή. Παρόμοιος μέση τιμήλέγονται ομάδα.Έχουν ενδιαφέρον γιατί συνδέονται με συγκεκριμένα αντικείμενα και τις συνθήκες ύπαρξής τους. Όταν υπολογίζονται οι μέσοι όροι της ομάδας, τότε υπό τις ίδιες, για παράδειγμα, συνθήκες εργασίας, εμφανίζεται αμοιβαία ακύρωση της επίδρασης τυχαίων αιτιών στους μισθούς. Ταυτόχρονα, κατά τον υπολογισμό μέσος όρος της ομάδαςη επιρροή ειδικών, συγκεκριμένων συνθηκών αυξάνεται, αφού ενεργούν συνεχώς και προς την ίδια κατεύθυνση. Ο μέσος όρος της ομάδας αντικατοπτρίζει τα χαρακτηριστικά ομοιογενών αντικειμένων και εξαλείφει την τυχαιότητα. Είναι για αυτούς τους λόγους που οι μέσοι όροι της ομάδας βρίσκουν ευρεία πρακτική εφαρμογή.

Όταν πρόκειται για τον γενικό μέσο όρο αλλά ένα σύνολο που περιλαμβάνει αρκετά ομοιογενείς ομάδες, τότε κατά τον υπολογισμό του, η επίδραση όχι μόνο τυχαίας, αλλά και χαρακτηριστικά της ομάδας. Έτσι, ο συνολικός μέσος μισθός των απασχολουμένων στην οικονομία της χώρας το 2015 ήταν 34 χιλιάδες ρούβλια. Δεν αντικατοπτρίζει τις ιδιαιτερότητες της αμοιβής σε διαφορετικούς τύπους δραστηριοτήτων, αλλά μόνο δείχνει γενικού επιπέδουμισθούς όσων απασχολούνται στα ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ.

Ας συγκρίνουμε τους μέσους μισθούς των εργαζομένων σε διαφορετικούς τύπους δραστηριοτήτων το 2010 και το 2015. στην οικονομία της Ρωσικής Ομοσπονδίας (Πίνακας 6.1).

Πίνακας 6.1

Μέσος μισθός σε διαφορετικούς τύπους δραστηριοτήτων και οι μεταβολές του,

Πηγή: Ρωσία σε αριθμούς. 2016. Πίνακας. 7.7.

Στον ρυθμό μεταβολής των μέσων όρων ανά είδος δραστηριότητας, δηλ. Στους μέσους όρους των ομάδων, εμφανίζονται ιδιαίτερα μοτίβα μεταβολών στους μισθούς: στην περιοχή από 1,41 έως 1,82 φορές. Συγκρίνοντας τη μεταβολή του γενικού μέσου όρου, καθορίζουμε ένα γενικό μοτίβο μεταβολών στο επίπεδο των μισθών στην οικονομία της χώρας: αύξηση 1,62 φορές.

Μια ολοκληρωμένη ανάλυση περιλαμβάνει την κοινή χρήση γενικών και ομαδικών μέσων όρων: αυτό μας επιτρέπει να χαρακτηρίσουμε γενικά μοτίβαανάπτυξη και χαρακτηριστικά της εκδήλωσής τους σε συγκεκριμένες συνθήκες.

Ο υπολογισμός του μέσου όρου γίνεται σε δύο στάδια. Στο πρώτο στάδιο γίνεται γενίκευσηεπιμέρους τιμές των χαρακτηριστικών που μελετώνται, σε ένα σύνολο που αποτελείται από Πμονάδες: (χ-). Στο δεύτερο στάδιο προέκυψε το αποτέλεσμα διανέμονταιμεταξύ αυτών των πολλών Πμονάδες: (x,) + Π -Χ.

Κατά τη γενίκευση των τιμών του χαρακτηριστικού Παντικείμενα του συνόλου (x), η επίδραση των τυχαίων αιτιών ακυρώνεται αμοιβαία και ενισχύεται η δράση μη τυχαίων συστηματικών παραγόντων. Κατά την κατανομή της γενικευμένης τιμής ενός χαρακτηριστικού μεταξύ Πμονάδες του συνόλου (x; -) Ππροσδιορίζεται η μέση τυπική του τιμή x y μιας αφηρημένης μονάδας. Ως αποτέλεσμα, έχουμε είτε μέσο όρο ομάδας για μια ομάδα ομοιογενών αντικειμένων: (x; )-n Π= x, ή ο γενικός μέσος όρος για ολόκληρο το υπό μελέτη σύνολο (x,) -r- Π= x.

Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι για τον υπολογισμό των μέσων όρων, οι οποίοι διαφέρουν ως προς τη σειρά γενίκευσης και κατανομής.

Αριθμητικός μέσος όροςγενικεύει επιμέρους έννοιες x στάθροιση και ομοιόμορφη κατανομή - διαιρώντας το άθροισμα dg με τον αριθμό

μονάδες που συμμετέχουν στον υπολογισμό:

Η συχνή χρήση του αριθμητικού μέσου όρου εξηγείται από τον ειδικές ιδιότητες, που κάνουν τον υπολογισμό του πιο απλό και το αποτέλεσμα εύκολα επαληθεύσιμο.

Το άθροισμα των αποκλίσεων των χαρακτηριστικών τιμών από τον αριθμητικό μέσο όρο είναι ίσο με μηδέν:

Αν οι χαρακτηριστικές τιμές Χ,αλλάξτε σε αριθμό L και μετά αριθμητική

ο μέσος όρος θα αλλάξει στον ίδιο αριθμό:

Αν οι χαρακτηριστικές τιμές Χ,αύξηση σε ΕΝΑφορές, τότε ο αριθμητικός μέσος όρος θα αυξηθεί κατά ΕΝΑμια φορά:

Αν οι χαρακτηριστικές τιμές Xjμείωση κατά ΕΝΑφορές, τότε ο αριθμητικός μέσος όρος θα μειωθεί επίσης κατά

Αρμονική μέσηχρησιμοποιείται σε περιπτώσεις όπου ο υπολογισμός γίνεται με βάση τις τιμές ενός χαρακτηριστικού που σχετίζεται με το χαρακτηριστικό που μελετάται αντίστροφη σχέση, δηλ. υπό την προϋπόθεση ότι Vκαθορίζεται από χαρακτηριστικές τιμές

Για παράδειγμα, ο δείκτης παραγωγής ανά εργαζόμενο:

Ένταση εργασίας ανά μονάδα παραγωγής:

Οι δείκτες παραγωγής και έντασης εργασίας σχετίζονται αντιστρόφως: . Επομένως, κατά τον υπολογισμό της μέσης παραγωγής με βάση τις τιμές της έντασης εργασίας, θα πρέπει να χρησιμοποιείται ο αρμονικός μέσος όρος

Μέσο τετράγωνοχρησιμοποιείται σε περιπτώσεις όπου, κατά τη γενίκευση των τιμών του χαρακτηριστικού A/, είναι απαραίτητο να αποφευχθεί ένα μηδενικό αποτέλεσμα, καθώς υπολογίζεται ο μέσος όρος των τετραγώνων: , και από το προκύπτον

πάρτε την τετραγωνική ρίζα του μέσου όρου:

Τις περισσότερες φορές, ο τετράγωνος μέσος όρος χρησιμοποιείται κατά τον υπολογισμό των δεικτών διακύμανσης και την αξιολόγηση των διαφορών στις δομές συνόλων.

Ο γεωμετρικός μέσος όρος συνοψίζει τις τιμές ενός χαρακτηριστικού με υπολογισμό

τα έργα τους: , και από το αποτέλεσμα εξάγουμε

ρίζα Πο βαθμός:

Η πιο λογικά δικαιολογημένη είναι η χρήση του γεωμετρικού μέσου όρου κατά τον υπολογισμό του μέσου ρυθμού ανάπτυξης από τους ρυθμούς ανάπτυξης της αλυσίδας:

Η διαφορετική διαδικασία για τον υπολογισμό των μέσων όρων εξηγεί διαφορετικές έννοιεςαποτέλεσμα. Η ιδιότητα της πλειοψηφίας των μέσων τιμών καθορίζει την εξάρτηση της τιμής του μέσου όρου από τον εκθέτη του βαθμού του: όσο υψηλότερος είναι ο εκθέτης του μέσου όρου, τόσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του. Καθένας από τους εξεταζόμενους μέσους όρους είναι ένας τύπος μέσου όρου ισχύος (Πίνακας 6.2).

Πίνακας 6.2

Μορφές μέσου όρου

Μεσαίο σχήμα	Τύπος υπολογισμού	Δείκτης μέσου βαθμού
Τετραγωνικός
Αριθμητική
Γεωμετρικός
Αρμονικός

Για να δείξουμε την ιδιότητα της πλειοψηφίας, ας χρησιμοποιήσουμε δεδομένα πληθυσμού ομοσπονδιακές περιφέρειεςΥπολογισμός RF διαφορετικών μέσων όρων (Πίνακας 6.3).

Το συγκεκριμένο παράδειγμα επιβεβαιώνει ότι με την αύξηση του βαθμού του μέσου όρου: από το μικρότερο - για αρμονικό, στο μεγαλύτερο - για το τετραγωνικό, η τιμή του μέσου όρου αυξάνεται. Η ιδιότητα της μείζονος σημασίας των μέσων όρων μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή ανισοτήτων: V

Από την ιδιότητα της μειοψηφίας προκύπτει ότι η επιλογή της μεθόδου για τον υπολογισμό του μέσου όρου δεν μπορεί να είναι αυθαίρετη. Θα πρέπει να βασίζεται στο σημασιολογικό περιεχόμενο των δεδομένων πηγής και στις συνθήκες εφαρμογής συγκεκριμένη μορφήμέση τιμή

Είναι γνωστό ότι ο γεωμετρικός μέσος όρος χρησιμοποιείται για τη γενίκευση των ρυθμών ανάπτυξης και ο τετραγωνικός μέσος όρος χρησιμοποιείται σε περιπτώσεις όπου το άθροισμα των χαρακτηριστικών τιμών είναι ίσο με μηδέν. Επομένως, οι πιο δημοφιλείς πρακτικές είναι οι αριθμητικές και αρμονικές μορφές των μέσων όρων.

Με ειδικούς κανόνεςυπολογίζεται ο μέσος όρος των απόλυτων και σχετικών τιμών των χαρακτηριστικών που μελετώνται. Ας δούμε τα χαρακτηριστικά του υπολογισμού των μέσων όρων χρησιμοποιώντας δεδομένα από τις ομοσπονδιακές περιφέρειες της Ρωσικής Ομοσπονδίας για το 2014 ως παράδειγμα (Πίνακας 6.4).

Στον πίνακα 6.4 Χρησιμοποιούνται οι ακόλουθες πινακίδες και οι ονομασίες τους.

Αριθμός απασχολουμένων στην οικονομία ομοσπονδιακή περιφέρεια, εκατομμύρια άνθρωποι R,.

Ο αριθμός των απασχολουμένων ως ποσοστό του συνολικού πληθυσμού της ομοσπονδιακής περιφέρειας, % - C,.

Μέσος ετήσιος κύκλος εργασιών λιανικού εμπορίου ανά κάτοικο της ομοσπονδιακής περιφέρειας, χιλιάδες ρούβλια. - T g

Κατά μέσο όρο υπάρχουν επενδύσεις ανά άτομο που απασχολείται στην οικονομία της ομοσπονδιακής περιφέρειας, χιλιάδες ρούβλια. - R r

Πίνακας 63

Υπολογισμός μέσος αριθμόςπληθυσμός των ομοσπονδιακών περιφερειών της Ρωσικής Ομοσπονδίας χρησιμοποιώντας διάφορους μέσους όρους

Ομοσπονδιακός	Αριθμός πληθυσμός
Κεντρικός
Βορειοδυτικός
Βόρειος Καυκάσιος
Privolzhsky
Ουράλ

Ομοσπονδιακός	Πληθυσμός από 01/01/2016
Σιβηρίας
Άπω Ανατολή
Κριμαίας
				Και 196.529.418,1
Τετράγωνο μέσο όρο (βλ. τύπο (6.1))
Αριθμητικός μέσος όρος (βλ. τύπο (6.2))
Γεωμετρικός μέσος όρος (βλ. τύπο (6.3))
Αρμονική μέση (βλ. τύπο (6.4))

Πηγή: Η Ρωσία σε αριθμούς. 2016. Πίνακας. 1.3.

Η ιδιαιτερότητα των απόλυτων τιμών ενός χαρακτηριστικού είναι ότι σχετίζονται άμεσα με τη μονάδα του πληθυσμού και καθορίζουν το απόλυτο μέγεθός του. Για παράδειγμα, για την ομοσπονδιακή περιφέρεια ως μονάδα ενός συνόλου, οι απόλυτες τιμές θα είναι ο πληθυσμός, ο αριθμός των εργαζομένων, το κόστος των κατασκευασμένων προϊόντων, το κόστος του παγίου κεφαλαίου, το κέρδος από τις πωλήσεις προϊόντων κ.λπ. Τα δεδομένα χαρακτηριστικά σχετίζονται άμεσα με την Ομοσπονδιακή Περιφέρεια και καλούνται πρωταρχικόςκαι από τις τιμές τους είναι δυνατό να προσδιοριστεί το μέγεθος κάθε αντικείμενου που μελετάται. Κατά την επεξεργασία των απόλυτων τιμών αυτών των χαρακτηριστικών, λαμβάνεται επακριβώς υπόψη το μέγεθος κάθε μονάδας και επομένως δεν υπάρχουν περιορισμοί στη γενίκευση των τιμών τους με άμεση άθροιση. Ο μέσος όρος, στον υπολογισμό του οποίου επεξεργάζονται οι τιμές ενός μόνο χαρακτηριστικού, ονομάζεται απλός. Για παράδειγμα, ένας απλός μέσος όρος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του μέσου αριθμού εργαζομένων στην οικονομία μιας ομοσπονδιακής περιφέρειας (Πίνακας 6.4).

Πίνακας 6.4

Υπολογισμός μέσων τιμών οικονομικούς δείκτεςσύμφωνα με την ομοσπονδιακή

Περιφέρειες της Ρωσικής Ομοσπονδίας, 2014

Ομοσπονδιακή Περιφέρεια	Αριθμός ατόμων που απασχολούνται στην οικονομία, εκατομμύρια άνθρωποι.	Αριθμός εργαζομένων % συνολικός πληθυσμός	Κύκλος εργασιών λιανικού εμπορίου ετησίως κατά μέσο όρο ανά κάτοικο, χιλιάδες ρούβλια.	Κατά μέσο όρο υπάρχουν επενδύσεις ανά άτομο που απασχολείται στην οικονομία, χιλιάδες ρούβλια.
Κεντρικός
Βορειοδυτικά! είναι
Se vsro - Ka in kazs k i y
Privolzhsky
Ουράλ
Σιβηρίας
Άπω Ανατολή
Μέση αξία

Πηγή: Η Ρωσία σε αριθμούς. 2016. Πίνακας. 1.3.

Σημείωση: Το σύμβολο "x" σημαίνει ότι αυτό το κελί δεν μπορεί να συμπληρωθεί.

Ο υπολογισμός γίνεται με τον ακόλουθο τύπο:

Κατά μέσο όρο, το 2014, η οικονομία της ομοσπονδιακής περιφέρειας απασχολούσε 8,5 εκατομμύρια άτομα.

Ο μέσος όρος των σχετικών τιμών καθορίζεται από ένα πιο περίπλοκο σχήμα. Η ιδιαιτερότητα των σχετικών τιμών είναι ότι δεν σχετίζονται άμεσα με τα μεγέθη των μονάδων που μελετώνται και χωρίς αυτήν την εξέταση, ο υπολογισμός του ακριβούς μέσου όρου είναι συνήθως αδύνατος. Σε τέτοιες περιπτώσεις, στον υπολογισμό θα πρέπει να περιλαμβάνονται πρόσθετες τιμές χαρακτηριστικών που αντικατοπτρίζουν τις απόλυτες διαστάσεις καθεμιάς από τις υπό μελέτη μονάδες. Εκτός από αυτό που μελετάται, ένα επιπλέον χαρακτηριστικό ή βάρος, οπότε ο μέσος όρος ονομάζεται σταθμισμένος. Κατά τον υπολογισμό του σταθμισμένου μέσου όρου, το βάρος είναι πάντα απόλυτο χαρακτηριστικό ή πρωτεύον χαρακτηριστικό. Το βάρος σάς επιτρέπει να λαμβάνετε υπόψη τις απόλυτες διαστάσεις κάθε μονάδας και διασφαλίζει τον υπολογισμό της ακριβούς τιμής του μέσου όρου.

Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, τα χαρακτηριστικά C, G και είναι σχετικά, επομένως η άμεση άθροιση των τιμών τους είναι απαράδεκτη. Για να καθορίσουμε το σχήμα για τον υπολογισμό των μέσων τιμών τους, θα καθορίσουμε τη διαδικασία υπολογισμού των επιμέρους τιμών τους.

Το ποσοστό των απασχολουμένων από το σύνολο του πληθυσμού υπολογίζεται με τον ακόλουθο τύπο: ΣΕ τύπος υπολογισμού

Το μέγεθος του πληθυσμού είναι άγνωστο σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος. Για τον καθορισμό

ας εκφράσουμε τις αξίες του μέσω του αριθμού των απασχολουμένων P, και γνωστές αξίεςποσοστό απασχολουμένων ατόμων του συνολικού πληθυσμού Γ,:

ή

Για να προσδιοριστεί ο πληθυσμός σε εκατομμύρια άτομα, είναι απαραίτητο να διαιρεθεί ο αριθμός των ατόμων που απασχολούνται στην οικονομία P με το μερίδιό τους στο συνολικό πληθυσμό C. Επομένως, είναι απαραίτητο να μετατρέψετε τις τιμές του C από ποσοστά σε κλάσματα μονάδας:

Ας υπολογίσουμε την άγνωστη τιμή πληθυσμού στην πρόσθετη στήλη υπολογισμού (Πίνακας 6.5, ομάδα 2).

Με γνωστές τιμές του αριθμού των εργαζομένων P, και του αριθμού του συνόλου

του πληθυσμού, ο υπολογισμός του ποσοστού των απασχολουμένων σε μορφή επιστολής έχει τη μορφή

Συνολικός μέσος όρος ΜΕυπολογίζεται σύμφωνα με το ίδιο σχήμα με τις επιμέρους τιμές του χαρακτηριστικού C,-. Η μόνη διαφορά είναι ότι κατά τον υπολογισμό του συνολικού μέσου όρου ΜΕχρησιμοποιούνται οι συνολικές τιμές των συγκριτικών χαρακτηριστικών: ο αριθμός των εργαζομένων, εκατομμύρια άτομα και ο συνολικός πληθυσμός, εκατομμύρια άτομα Δηλαδή τον υπολογισμό του συνολικού μέσου όρου ΜΕαλλά οκτώ

ομοσπονδιακές περιφέρειες πραγματοποιείται σύμφωνα με τον τύπο

Υπολογισμός των μέσων τιμών των σχετικών χαρακτηριστικών για τη ρωσική οικονομία το 2014.

Πίνακας 6.5

Ομοσπονδιακή Περιφέρεια	Μέσος ετήσιος αριθμός ατόμων που απασχολούνται στην οικονομία, εκατομμύρια άνθρωποι.	Αριθμός % του συνολικού πληθυσμού	Συνολικός πληθυσμός, εκατομμύρια άνθρωποι.	Κύκλος εργασιών λιανικού εμπορίου ετησίως κατά μέσο όρο ανά κάτοικο, χιλιάδες ov6.	Κύκλος εργασιών λιανικού εμπορίου για το έτος, δισεκατομμύρια ρούβλια.	Μέση επένδυση ανά εργαζόμενο, χιλιάδες ρούβλια.	Επενδύσεις στην οικονομία για το έτος, δισεκατομμύρια ρούβλια.
			R g 100%		r g t g t%
Κεντρικός
Βορειοδυτικός
Βόρειος Καυκάσιος
Privolzhsky
Ουράλ
Σιβηρίας
Άπω Ανατολή
Αριθμητικός μέσος όρος
Αρμονική μέση

Συντάχθηκε και υπολογίστηκε σύμφωνα με: Ρωσία σε αριθμούς. 2016. Πίνακας. 1.3.

Στα Οικονομικά της Ρωσίας το 2014, το μερίδιο του απασχολούμενου πληθυσμού ήταν κατά μέσο όρο 47,2% του συνολικού πληθυσμού. Ο υπολογισμός έγινε σύμφωνα με αρμονική μέση σταθμισμένη, στο οποίο το πρωταρχικό χαρακτηριστικό έπαιξε σημαντικό ρόλο P t -αριθμός των ατόμων που απασχολούνται στην οικονομία.

Παρόμοιος συλλογισμός βασίζεται στον υπολογισμό των μέσων τιμών δύο άλλων σχετικών χαρακτηριστικών: μέσο κόστοςκύκλος εργασιών λιανικού εμπορίου ανά κάτοικο, Τχιλιάδες ρούβλια και το μέσο κόστος επένδυσης ανά εργαζόμενο, Rχιλιάδες ρούβλια.

Οι επιμέρους αξίες του κόστους του κύκλου εργασιών λιανικού εμπορίου κατά κεφαλήν, χιλιάδες ρούβλια, υπολογίζονται ως αποτέλεσμα της σύγκρισης του κύκλου εργασιών λιανικού εμπορίου για το έτος, δισεκατομμύρια ρούβλια, με τον συνολικό πληθυσμό, εκατομμύρια άτομα:

Σύμφωνα με το πρόβλημα, το κόστος του τζίρου του λιανικού εμπορίου είναι άγνωστο. Επομένως, θα εκφράσουμε τις άγνωστες αξίες του κύκλου εργασιών λιανικού εμπορίου μέσω των γνωστών αξιών του συνολικού πληθυσμού και των τιμών που καθορίζονται στη δήλωση προβλήματος T gΟ απαιτούμενος κύκλος εργασιών λιανικού εμπορίου (κύκλος εμπορίου) είναι το γινόμενο του συνολικού πληθυσμού και του κατά κεφαλήν κύκλου εργασιών:

Η αξία του κύκλου εργασιών λιανικού εμπορίου μετριέται σε δισεκατομμύρια ρούβλια, καθώς κατά τον υπολογισμό της, ο αριθμός των κατοίκων σε εκατομμύρια ανθρώπους πολλαπλασιάζεται επί τον κύκλο εργασιών ανά κάτοικο σε χιλιάδες ρούβλια.

Ας προσδιορίσουμε τις άγνωστες αξίες του τζίρου του λιανικού εμπορίου για το έτος σε γρ. 5 τραπέζια 6.5.

Υπολογισμός της συνολικής μέσης αξίας του κύκλου εργασιών λιανικού εμπορίου ανά κάτοικο, χιλιάδες ρούβλια, Τ, θα εκτελέσουμε σύμφωνα με τις συνολικές αξίες του ποσού του τζίρου

λιανικό εμπόριο, δισεκατομμύρια ρούβλια, και ο συνολικός αριθμός όλων

πληθυσμός, εκατομμύρια άνθρωποι, . Ο τύπος υπολογισμού μοιάζει

Το 2014, ανά κάτοικο σε Ρωσική Ομοσπονδίααντιπροσώπευε κατά μέσο όρο 181,5 χιλιάδες ρούβλια. κύκλος εργασιών λιανικού εμπορίου. Στον υπολογισμό χρησιμοποιήθηκε ένας αριθμητικός σταθμισμένος μέσος όρος και το βάρος είναι απόλυτες τιμές συνολικός αριθμόςπληθυσμός:

Για να υπολογίσετε το κόστος της επένδυσης ανά εργαζόμενο, είναι απαραίτητο να συγκρίνετε το κόστος της επένδυσης, δισεκατομμύρια ρούβλια, με τον αριθμό των ατόμων που απασχολούνται στην οικονομία, εκατομμύρια άτομα:

Σύμφωνα με την προϋπόθεση, το κόστος των επενδύσεων είναι άγνωστο, επομένως, για τον υπολογισμό των αξιών του, είναι απαραίτητο να εκφραστούν οι επενδύσεις σε όρους γνωστών αξιών του αριθμού των εργαζομένων Pjκαι μέσω των επενδυτικών αξιών ανά εργαζόμενο/?, που καθορίζονται στις προβληματικές συνθήκες:

μετρώ άγνωστη τιμή συνολικό ποσόεπενδύσεις θα γίνουν σε γρ. 7 τραπέζια 6.5.

Οι υπολογισμένες αξίες του συνολικού ποσού της επένδυσης μας επιτρέπουν να προσδιορίσουμε τις μεμονωμένες αξίες της επένδυσης ανά εργαζόμενο χρησιμοποιώντας τον τύπο

Για τη Ρωσική Ομοσπονδία στο σύνολό της, η μέση αξία επένδυσης ανά εργαζόμενο ΠΡΟΣ ΤΗΝΑς το υπολογίσουμε ως την αναλογία του ποσού της επένδυσης ανά έτος;/? Rστο άθροισμα του αριθμού των εργαζομένων

Το 2014, οι επενδύσεις ανά εργαζόμενο ήταν κατά μέσο όρο 198,8 χιλιάδες ρούβλια. Στον υπολογισμό χρησιμοποιήθηκε σταθμισμένος αριθμητικός μέσος όρος, με στάθμιση οι απόλυτες τιμές του αριθμού των εργαζομένων.

Το τελικό στάδιο του υπολογισμού των μέσων όρων είναι ο έλεγχος της ορθότητας του αποτελέσματος. Ο λογικός έλεγχος βασίζεται στην ανάλυση του σχήματος για τον υπολογισμό των επιμέρους τιμών του χαρακτηριστικού και στον προσδιορισμό της σημασίας του χαρακτηριστικού βάρους. Ο έλεγχος μέτρησης καθορίζει εάν ο μέσος όρος είναι στην περιοχή από το ελάχιστο έως το μέγιστη αξίατο χαρακτηριστικό που μελετάται. Εάν η συνθήκη X mjn ικανοποιείται τότε έγινε σωστά ο υπολογισμός του μέσου όρου. Εάν δεν πληρούται αυτή η προϋπόθεση, τότε υπάρχουν σφάλματα στον υπολογισμό που πρέπει να εντοπιστούν και να διορθωθούν.

Στο παράδειγμά μας (βλ. Πίνακα 6.5), για όλες τις τιμές των υπολογισμένων μέσων όρων, πληρούται αυτή η συνθήκη:

απλή αριθμητική R= 8,5, 3,3 R

σταθμισμένη αρμονική ΜΕ= 47,2, 36,3 C 53,2;

σταθμισμένη αριθμητική Τ = 181,5, 134,7 Τ

σταθμισμένη αριθμητική R= 198,8, 142,9 R 383,3.

Αυτό σημαίνει ότι δεν έγιναν σφάλματα υπολογισμού κατά τον προσδιορισμό των μέσων τιμών και η χρήση σταθμισμένων μέσων όρων για τον υπολογισμό των μέσων τιμών από σχετικές τιμέςκατέστησε δυνατό να ληφθεί υπόψη το μέγεθος των υπό μελέτη μονάδων - οι ομοσπονδιακές περιφέρειες της Ρωσικής Ομοσπονδίας.

Για να συνοψίσουμε, ας υπενθυμίσουμε τους βασικούς κανόνες για την κατασκευή μέσων όρων.

Με βάση τις απόλυτες τιμές του χαρακτηριστικού, μπορούμε να υπολογίσουμε έναν απλό μέσο όρο. Κατά κανόνα, στις περισσότερες περιπτώσεις χρησιμοποιείται ο αριθμητικός μέσος όρος. Για παράδειγμα, υπολογισμός R.

Για τις σχετικές τιμές, ο υπολογισμός πραγματοποιείται με τη χρήση ενός σταθμισμένου μέσου όρου, στον οποίο το βάρος είναι οι απόλυτες τιμές του πρωτεύοντος χαρακτηριστικού, το οποίο σχετίζεται ως προς το νόημα με το χαρακτηριστικό που μελετάται. Για παράδειγμα, υπολογισμός Σ, ΤΚαι R.

Ως βάρος χρησιμοποιούνται οι τιμές του χαρακτηριστικού σε σχέση με το οποίο υπολογίζονται οι υπολογισμοί. σχετικές τιμέςδευτερεύον σημάδι. Το βάρος μπορεί να εμφανιστεί πολύ απλά, όπως κατά τον υπολογισμό ΜΕΚαι R,όπου ως βάρος χρησιμοποιείται ο αριθμός των εργαζομένων R gΑλλά μπορεί επίσης να έχει μια σύνθετη οθόνη, όπως, για παράδειγμα, κατά τον υπολογισμό του G, του οποίου το βάρος

ήταν το μέγεθος ολόκληρου του πληθυσμού. Ανεξάρτητα από το πώς εμφανίζεται

πρόσημο-βάρος, θα πρέπει πάντα να αντιπροσωπεύει μια απόλυτη εκτίμηση του αντικειμένου που μελετάται.

Η επιλογή της μορφής του μέσου όρου στις περισσότερες περιπτώσεις περιορίζεται σε αριθμητική ή αρμονική, αφού η τετραγωνική και η γεωμετρική χρησιμοποιούνται μόνο σε αυστηρά καθορισμένες περιπτώσεις.

Η αριθμητική μορφή του μέσου όρου χρησιμοποιείται σε περιπτώσεις όπου στις συνθήκες της εργασίας δεν υπάρχουν τιμές ενός χαρακτηριστικού που να σχετίζεται άμεσα με το χαρακτηριστικό που μελετάται, δηλ. όταν ο τύπος υπολογισμού για μεμονωμένες τιμές δεν περιέχει πληροφορίες για τον αριθμητή του. Ένα παράδειγμα θα ήταν οι υπολογισμοί του P, ΤΚαι R.

Εάν ο τύπος υπολογισμού δεν περιέχει δεδομένα για τον παρονομαστή του λόγου, τότε χρησιμοποιείται ο αρμονικός μέσος όρος. Στην περίπτωση αυτή, το χαρακτηριστικό που μελετάται σχετίζεται με το άγνωστο χαρακτηριστικό με αντίστροφη σχέση, όπως, για παράδειγμα, κατά τον υπολογισμό ΜΕ.

Οι σωστά εκτελούμενοι υπολογισμοί καθιστούν δυνατή τη λήψη ακριβών μέσων τιμών που αντικατοπτρίζουν τη χαρακτηριστική τιμή του χαρακτηριστικού και παρουσιάζουν ενδιαφέρον κατά την επίλυση αναλυτικών και προγνωστικών προβλημάτων.

• Δείτε: Η Ρωσία σε αριθμούς. 2016. Πίνακας. 7.7.