Indukcija- oblik mišljenja kojim se misao usmjerava na neki opće pravilo, opći položaj, svojstven svim konkretnim objektima bilo koje klase.
Odbitak- ovaj oblik razmišljanja, kada se nova misao izvodi na čisto logičan način iz prethodnih misli. Takav slijed misli naziva se zaključak, a svaka komponenta tog zaključka je ili prethodno dokazana misao, ili aksiom, ili hipoteza.
deduktivni dokaz- jedan od oblika dokaza, kada se teza, koja je bilo koja pojedinačna ili posebna prosudba, podvodi pod opće pravilo.
Svaki dokaz ima tri dijela:
teze, argumenti, demonstracije.
Pravila dokazivanja:
1. Teze i argumenti moraju biti jasni i jasni sudovi.
2. Teza mora ostati ista tijekom cijelog dokaza.
3. Teza ne smije sadržavati logičku kontradikciju.
4. Teza koju treba dokazati ne smije biti u logičkoj proturječnosti s prethodno iznesenim sudovima.
5. Argumenti navedeni u prilog teze ne smiju biti u suprotnosti jedni s drugima.
6. Svođenje na apsurd. Istinitost jedne ili druge teze može se potkrijepiti dokazivanjem lažnosti suprotne teze.
7. Teze i argumenti moraju biti potkrijepljeni činjenicama.
8. Dokaz mora biti potpun.
9. Argumenti navedeni u prilog istinitosti teze moraju biti dostatni za ovu tezu.
10. Argumenti navedeni u dokazu istinitosti teze sami po sebi moraju biti istiniti.
11. Argumenti moraju biti sudovi, čija se istinitost dokazuje nezavisno, bez obzira na tezu.
NAPOMENA: Diplomski rad - misao ili izjava koju treba dokazati istinitom.

Učenje dokaza teorema.

Nije tako teško svladati sadržaj teorema (pravila, formule, identiteta itd.) koji se uče u školi. Da bismo to učinili, potrebno je sustavno pokušavati razumjeti značenje teorema (pravila, formule, identitete itd.), primjenjivati ​​ih što je moguće češće u rješavanju problema, u dokazivanju drugih teorema.Takav rad, kako praksa pokazuje, dovodi do nevoljne asimilacije njihovog sadržaja, pamćenja njihovih formulacija. Puno je teže naučiti kako dokazati teoreme. U isto vrijeme, ovdje se ne radi o pamćenju dokaza određenog teoreme koji je razmatran u lekciji. Vi ne Dokaze ne morate posebno naučiti napamet, morate sami naučiti kako dokazati teoreme. Dokaze teorema u udžbeniku treba smatrati modelom (standardnim) zaključivanjem u dokazivanju tvrdnje.

Što znači dokazati teorem, što je dokaz?

Dokaz u široki smisao- ovo je logično razmišljanje, u procesu kojeg se istinitost misli potkrepljuje uz pomoć drugih odredbi.

Dakle, kada uvjeravate svog suborca ​​u nešto ili branite svoje mišljenje, svoje gledište u sporu s njim, onda u biti izvodite dokaz (vješto ili nevješto, drugo je pitanje). U životu se cijelo vrijeme, svaki dan u komunikaciji s drugim ljudima, moraju dokazivati ​​određene misli, izjave, treba se u nešto uvjeravati, odnosno dokazivati.

Dokaz matematičkih teorema je poseban slučaj dokazi općenito. Razlikuje se od dokaza u svakodnevnim uvjetima ili u drugim znanostima po tome što se provodi što je moguće čistije. deduktivno(iz latinska riječ dedukcija - zaključivanje), tj. izvođenje nove dokazive misli (iskaza, suda) iz prethodno dokazanih ili prihvaćenih misli (aksioma) bez dokaza po pravilima logike bez pozivanja na primjere ili iskustvo. U drugim znanostima, u svakodnevnim okolnostima, često pribjegavamo primjerima, iskustvu za dokaz. Mi kažemo: "Pogledajte" - i to može poslužiti kao dokaz. U matematici je takav način dokazivanja neprihvatljiv, nije dopušteno pozivati ​​se, na primjer, na očite odnose ilustrirane crtežom. Matematički dokaz treba biti lanac logičkih posljedica od izvornih aksioma, definicija, uvjeta teorema i prethodno dokazanih teorema do traženog zaključka.

Dakle, u dokazivanju teorema, mi ga reduciramo na prethodno dokazane teoreme, a one, pak, na druge, itd. Očito je da ovaj proces redukcije mora biti konačan, i stoga svaki dokaz na kraju svodi teorem koji se dokazuje na izvorne definicije i prihvaćene bez dokaza aksiome.

Stoga aksiomi služe ne samo za neizravna definicija primarni pojmovi, ali i kao temelj za dokazivanje svih teorema matematike. Zato među aksiomima ima i onih koji ukazuju posebna svojstva pojmovi koji imaju logične definicije. Tako, primjerice, paralelni pravci u tečaju geometrije nisu primarni pojam, već definirani. Međutim, jedno od svojstava paralelnih pravaca, naime to h kroz točku koja ne leži na danoj liniji, moguće je povući na ravnini najviše jednu crtu paralelnu s danom, prisiljeni smo to uzeti kao aksiom, jer, kako je utvrdio veliki Rus geometra N. I. Lobačevskog (1792-1856), kao i njemačkog matematičara K. F. Gaussa (1777-1855) i mađarskog matematičara J. Bolyaija (1802-1860), nemoguće je dokazati ovo svojstvo paralelnih pravaca na temelju samo preostali aksiomi geometrije.

Svaki korak dokaza sastoji se od tri dijela:

1) prijedlog (aksiom, teorem, definicija) na temelju kojeg se provodi ovaj korak dokaza; ova osnova koraka dokazivanja naziva se premisa ili argument;

2) logičko razmišljanje, tijekom kojeg se premisa primjenjuje na uvjete teorema ili na prethodno dobivene posljedice;

3) logična posljedica primjene premise na uvjete ili prethodno dobivene posljedice.

U posljednjem koraku dokaza teorema kao korolar dobivamo tvrdnju koju je trebalo dokazati. Pokazat ćemo proces dokazivanja koristeći sljedeći teorem kao primjer: "Dijagonale pravokutnika su jednake."

U ovom teoremu zadan nam je proizvoljan (bilo koji) pravokutnik.Da bismo lakše zaključivali u procesu dokazivanja, postupit ćemo na sljedeći način. Nacrtamo dobro definiran pravokutnik ABCD, ali u dokazu nećemo koristiti nikakva posebna svojstva tog pravokutnika (npr. da mu je stranica AB približno 2 puta veća od stranice AD ​​itd.). Stoga naše razmišljanje o ovome određeni pravokutnikće biti istinito za bilo koji drugi pravokutnik, tj. oni će imati opći karakter za sve pravokutnike.

Nacrtaj dijagonale AC i BD. Razmotrite primljeno trokuti ABC i ABD. Kod ovih trokuta kutovi ABC i BAD jednaki su kao pravi kutovi, krak AB je zajednički, a kraci BC i AD jednaki su kao suprotne stranice pravokutnika. Dakle, ti su trokuti sukladni. To znači da su i stranice AC i BD jednake, što je trebalo i dokazati.

Cijeli dokaz ovog teorema može se prikazati kao sljedeća shema.

broj koraka	Parcele (argumenti)	Pojmovi	Posljedice
1.	Definicija: Pravokutnik je četverokut sa svim pravim kutovima.	ABCD - pravokutnik	A - ravno B> - ravno.
2.	Teorem: Pravi kutovi su jednaki.	A - ravno B - ravno.	A=B.
3.	Teorem: Nasuprotne stranice pravokutnika su jednake.	ABCD - pravokutnik	prije Krista=AD
4.	Prvi znak jednakosti dvaju trokuta.	BC=AD, AB=AB,B=A	ABC=LOŠE.
5.	Definicija jednakosti trokuta.	ABC=LOŠE, AC i BD strane	AC=BD.

Najteže je u dokazu pronaći niz premisa (aksioma, teorema, definicija) koje primjenjujući na uvjete teorema ili međurezultati(posljedice) na kraju možete dobiti željenu posljedicu - stav koji se dokazuje.

Koja pravila treba slijediti pri traženju ovog niza? Očito, ova pravila ne mogu biti obvezujuća, ona samo ukazuju moguće načine traži. Stoga se nazivaju heurističkim pravilima ili jednostavno heuristikama (od grčka riječ eureka - pronaći, pronaći). Mnogi eminentni matematičari kao što su Papp (starogrčki matematičar koji je živio u 3. stoljeću), Blaise Pascal (1623-1662), René Descartes (1596-1650), Jacques Hadamard (1865-1963), Gyorges Poya (1887) i mnogi drugi su se bavili razvojem heuristike za pronalaženje dokaza teorema i rješavanje problema. Evo nekoliko heuristika koje treba imati na umu:

1. Korisno je zamijeniti nazive predmeta o kojima u pitanju u teoremu (problemu), njihove definicije ili značajke.

Na primjer, u gore navedenom teoremu govorili smo o pravokutniku, a za dokaz smo koristili definiciju pravokutnika.

2. Ako je moguće, tada je potrebno tvrdnju koja se dokazuje rastaviti na dijelove i svaki dio posebno dokazati.

Tako, na primjer, dokaz teorema: “Ako se u četverokutu dijagonale sijeku, a sjecište je podijeljeno na pola, tada je taj četverokut paralelogram” - može se podijeliti na dva dijela: prvo, dokažite da je jedan par suprotne strane dani četverokut je paralelan, a zatim dokažite da je i drugi par suprotnih stranica također paralelan.

To treba učiniti uvijek kada je moguće tvrdnju koja se dokazuje podijeliti na više dijelova jednostavnijih tvrdnji.

3. U potrazi za dokazom teorema korisno je ići iz dva smjera: od uvjeta teorema prema zaključku i od zaključka prema uvjetima.

Na primjer, trebate dokazati sljedeći teorem: “Ako je određeni niz takav da je bilo koji od njegovih članova, počevši od drugog, aritmetička sredina prethodnog i sljedećih članova, tada je taj niz aritmetička progresija».

Pođimo od uvjeta teoreme. Što nam je dano? Zadano je da svaki član niza, počevši od drugog (označavamo ga a n, gdje je n³ 2), aritmetička sredina prethodnih i sljedećih članova, tj.

a n- 1 i a n+1. Dakle, vrijedi sljedeća jednakost:
(1)

Sada idemo dalje od zaključka. Što trebamo dokazati? Moramo dokazati da je ovaj niz aritmetička progresija. Koji se niz naziva aritmetička progresija? Prisjetimo se definicije:

a n = a n-1 + d, gdje n2, d- stalni broj. (2)

Uspoređujemo uvjet (1) koji nam je dan sa zaključkom (2). Da bi uvjet dobio oblik zaključka, potrebno ga je ovako transformirati:

2a n = a n-1 + a n+1, (3)

Odavde a n- n-1= a n+1 - a n . (4)

Lijevi i desni dio (4) znače istu stvar, odnosno razliku između dva uzastopna člana zadani niz. Ako je u jednakosti (4) P dajte uzastopno vrijednosti 2, 3 itd., tada dobivamo: a 2 -a 1 \u003d a 3 - a 2, onda a 3 - a 2 \u003d a 4 - a 3 itd. Slijedom toga sve su te razlike međusobno jednake što znači da razlika a p - a p-1 je konstantan broj koji se može označiti slovom, na primjer slovom d:

a n - a n-1 = d.

Odavde dobivamo: a n = a n-1 + d,što znači da je, prema definiciji (2), ovaj niz aritmetička progresija, što smo morali dokazati.

Ova se heuristika može formulirati na sljedeći način: treba pokušati približiti uvjet i zaključak teorema transformirajući ih ili zamjenjujući korolarima.

Poznato je i više posebnih heurističkih pravila koja se koriste pri traženju samo nekih teorema. Na primjer, takva heuristika: da bi se dokazala jednakost bilo kojeg segmenta, potrebno je pronaći ili konstruirati figure čije su odgovarajuće strane ti segmenti; ako su brojke jednake, tada će i odgovarajući segmenti biti jednaki.

Pri proučavanju teorema ne treba samo zapamtiti njihov dokaz, nego svaki put razmisliti i utvrditi kojim su metodama dokazani, koja su heuristička pravila slijedili pri pronalaženju tih dokaza, kako su pogodili (smislili) te dokaze.

U nekim slučajevima, za dokazivanje teorema, koristi se posebna tehnika, nazvana "dokaz kontradikcijom" ili "svođenje na apsurd".

Bit ove tehnike leži u činjenici da se pretpostavlja nepravednost (lažnost) zaključka ovog teorema i dokazuje da takva pretpostavka dovodi do kontradikcije s uvjetom ili s prethodno dokazanim teoremima ili aksiomima. A budući da bilo koja tvrdnja može biti ili istinita ili netočna (ništa drugo ne može biti), rezultirajuća kontradikcija pokazuje da je pretpostavka da je zaključak teoreme lažan i, prema tome, zaključak je istinit, tako da je teorem dokazan.

Uzmimo primjer.

Teorema. Dvije ravne crte, zasebno paralelne s trećom, paralelne su jedna s drugom.

Zadano: a||c, b||c.
Dokažite: a||b.

Dokažimo ovaj teorem kontradikcijom. Pretpostavimo da je zaključak teorema netočan, tj. da pravac a nije paralelan s pravcem b. Zatim se sijeku u nekoj točki M. A kako je, prema uvjetu, svaki od tih pravaca paralelan s pravcem c, ispada da su dva pravca a i b povučena kroz točku M, paralelna s istim pravcem c. A iz aksioma paralelizma znamo da se kroz točku izvan pravca može povući najviše jedan pravac paralelan sa zadanim. Došli smo do kontradikcije s aksiomom. To pokazuje da je naša pretpostavka o neparalelnosti pravaca a i b pogrešna, dakle, a || b, što je trebalo dokazati.

Još jedan primjer.

Teorema. Aritmetička sredina dva pozitivni brojevi ne manje od (što znači: veće ili jednako) geometrijske sredine ovih brojeva.

Ovaj se teorem može napisati ovako:

Gdje je a>0, b>0, (1)

Može se dokazati i izravno i kontradikcijom. Dokažimo to kontradikcijom.

Da bismo to učinili, pretpostavimo da je netočna, tj. da je aritmetička sredina manja od geometrijske sredine dvaju pozitivnih brojeva:; (2)

Množenjem obje strane (2) s 2 i njihovim kvadriranjem dobivamo: a 2 + 2ab + b 2<.4ab или a 2 - 2ab + b 2 < 0. По формуле квадрата разности двух чисел получаем: (а - b) 2 < 0.

Kao rezultat toga, dobili smo očiti apsurd: kvadrat nekog broja (a - b) je negativan, što ne može biti. Stoga je pretpostavka da je teorem netočan dovela do kontradikcije, što dokazuje valjanost teorema.

Dakle, dokaz kontradikcijom nekog teoreme je da napravimo pretpostavku da je zaključak teoreme pogrešan. Zatim donosimo niz logičkih zaključaka na temelju te pretpostavke, uslijed čega dolazimo do jasno apsurdne pozicije (kontradikcija s uvjetom ili prethodno dokazanim teoremima, aksiomima). Nadalje, tvrdimo kako slijedi: ako bi naša pretpostavka bila točna, tada bismo jedino mogli doći do ispravnog zaključka, a budući da smo došli do krivog zaključka, to znači da je naša pretpostavka bila lažna, dakle, time smo bili uvjereni da teorem zaključka je točan.

Napominjemo da ako kao rezultat zaključivanja ne bismo dobili apsurd (kontradikciju), to ne znači da je pretpostavka istinita. Drugim riječima, ako polazimo od točnosti (pravednosti) zaključka teorema i iz te pretpostavke dobijemo točnu (očitu) posljedicu, to ne znači da je pretpostavka istinita: može se dogoditi da izvorni teorem jednostavno je pogrešno.

Na tome se grade mnogi sofizmi (namjerno krivo konstruirani zaključci koji se čine jedino ispravnima), to objašnjava mnoge pogreške učinjene pri rješavanju problema.

Razmotrimo, na primjer, ovu jednakost: a - b = b - a(1), gdje a i b- proizvoljni brojevi. Pretpostavimo da je (1) točno, tada kvadriramo oba dijela (1), dobivamo:

a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2

Prebacujući sve članove na jednu stranu i radeći redukciju sličnih, dolazimo do potpuno ispravne jednakosti: 0 = 0. Ali iz toga se ne može zaključiti da je istinita i izvorna jednakost (1). Da smo tako zaključili, došli bismo do ovakvog sofizma: 2a = 2b ili a = b, tj. bilo koji proizvoljni brojevi su međusobno jednaki. Pogreška je u tome što jednakost kvadrata dva broja ne implicira jednakost samih tih brojeva. Na primjer, (-2) 2 = 2 2 ali -22.

Evo primjera pogrešnog rješenja problema.

Zadatak. Riješite jednadžbu 3+ x + 2 = 0 (1).

Pretpostavimo da jednadžba (1) ima rješenje i stoga je jednakost (1) istinita. Tada dobivamo: Z \u003d - x - 2. Kvadriramo oba dijela jednakosti: 9x \u003d x 2 + 4x + 4 ili x 2 -5x + 4 \u003d 0, dakle x 1 \u003d 4, x 2 \ u003d 1. Mogu li se pronađene vrijednosti x smatrati korijenima jednadžbe (1)? Neki učenici na ovo pitanje odgovaraju potvrdno, jer su sve transformacije jednadžbe točne. Pa ipak, nijedna od pronađenih vrijednosti x nije korijen (1). Ovo potvrđuje provjeru. Zamjenom pronađenih vrijednosti x u (1), dobivamo jasno smiješne jednakosti: 12 = 0 i 6 = 0.

Ali kako riješiti ovu jednadžbu? Imajte na umu da izraz na lijevoj strani jednadžbe ima smisla ako je x0. Tada lijeva strana jednadžbe za bilo koje dopuštene vrijednosti x uzima samo pozitivne vrijednosti i ne može biti jednaka 0 ni na koji način, stoga ova jednadžba nema korijena.

Dakle, morate naučiti dokazivati ​​teoreme (formule, identitete itd.), ovladati općim načinima pronalaženja dokaza teorema.

Ne samo svaki učenik, već i svaka obrazovana osoba koja drži do sebe treba znati što su teorem i dokaz teorema. Možda se takvi koncepti neće susresti u stvarnom životu, ali će svakako pomoći strukturirati puno znanja, kao i donijeti zaključke. Zato ćemo u ovom članku razmotriti metode dokazivanja teorema, a također ćemo se upoznati s tako poznatim Pitagorinim teoremom.

Što je teorem

Ako uzmemo u obzir školski tečaj matematike, vrlo često postoje znanstveni pojmovi kao što su teorem, aksiom, definicija i dokaz. Kako biste se kretali programom, morate se upoznati sa svakom od ovih definicija. Sada ćemo razmotriti što su teorem i dokaz teorema.

Dakle, teorem je određena izjava koja zahtijeva dokaz. Ovaj koncept treba razmatrati paralelno s aksiomom, jer potonji ne zahtijeva dokaz. Njegova je definicija već istinita, pa se uzima zdravo za gotovo.

Opseg teorema

Pogrešno je misliti da se teoremi primjenjuju samo na matematiku. Zapravo, to je daleko od slučaja. Na primjer, u fizici postoji jednostavno nevjerojatan broj teorema koji nam omogućuju detaljno i sa svih strana razmotriti određene pojave i pojmove. To uključuje teoreme Ampèrea, Steinera i mnogih drugih. Dokazi takvih teorema omogućuju dobro razumijevanje momenata tromosti, statike, dinamike i mnogih drugih koncepata fizike.

Korištenje teorema u matematici

Teško je zamisliti takvu znanost kao što je matematika bez teorema i dokaza. Na primjer, dokazi teorema o trokutu omogućuju detaljno proučavanje svih svojstava figure. Uostalom, vrlo je važno razumjeti svojstva jednakokračnog trokuta i mnoge druge stvari.

Dokaz teorema o površini omogućuje vam da shvatite kako najlakše izračunati površinu figure, na temelju nekih podataka. Uostalom, kao što znate, postoji veliki broj formula koje opisuju kako možete pronaći područje trokuta. Ali prije njihove uporabe vrlo je važno dokazati da je to moguće i racionalno u konkretnom slučaju.

Kako dokazati teoreme

Svaki bi učenik trebao znati što je teorem i dokaz teorema. Zapravo, nije tako lako dokazati bilo koju tvrdnju. Da biste to učinili, morate raditi s mnogo podataka i moći izvući logične zaključke. Naravno, ako dobro vladate informacijama o određenoj znanstvenoj disciplini, onda vam dokazivanje teorema neće biti teško. Glavna stvar je provesti postupak dokazivanja u određenom logičkom slijedu.

Da biste naučili kako dokazati teoreme u znanstvenim disciplinama kao što su geometrija i algebra, morate imati dobru bazu znanja, kao i poznavati sam algoritam dokazivanja. Ako svladate ovaj postupak, kasnije vam rješavanje matematičkih zadataka neće biti teško.

Što trebate znati o dokazivanju teorema

Što je teorem i dokazi teorema? Ovo je pitanje koje zabrinjava mnoge ljude u današnjem društvu. Vrlo je važno naučiti kako dokazati matematičke teoreme, to će vam pomoći da u budućnosti izgradite logičke lance i dođete do određenog zaključka.

Dakle, da bi se teorem ispravno dokazao, vrlo je važno napraviti pravi crtež. Na njemu prikazati sve podatke koji su navedeni u uvjetu. Također je vrlo važno zapisati sve podatke koji su navedeni u zadatku. To će vam pomoći da pravilno analizirate zadatak i točno shvatite koje su vrijednosti dane u njemu. I tek nakon provođenja takvih postupaka, možete pristupiti samom dokazu. Da biste to učinili, morate logično izgraditi lanac misli koristeći druge teoreme, aksiome ili definicije. Rezultat dokaza trebao bi biti rezultat u čiju istinitost nema sumnje.

Glavne metode dokazivanja teorema

U školskom tečaju matematike postoje dva načina za dokazivanje teorema. Najčešće se u zadacima koristi izravna metoda, kao i metoda dokazivanja kontradikcijom. U prvom slučaju jednostavno analiziraju dostupne podatke i na temelju njih donose odgovarajuće zaključke. Vrlo često se koristi i suprotna metoda. U ovom slučaju pretpostavljamo suprotnu tvrdnju i dokazujemo da je netočna. Na temelju toga dobivamo suprotan rezultat i kažemo da je naša prosudba bila netočna, što znači da su podaci navedeni u uvjetu točni.

Zapravo, mnogi matematički problemi mogu imati nekoliko rješenja. Na primjer, Fermatov teorem ima nekoliko dokaza. Naravno, neki se razmatraju samo na jedan način, ali, na primjer, u Pitagorinom teoremu, nekoliko njih se može razmatrati odjednom.

Što je Pitagorin teorem

Naravno, svaki učenik zna da se Pitagorin poučak posebno odnosi na pravokutni trokut. I zvuči ovako: "Kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta." Unatoč nazivu ovog teorema, nije ga otkrio sam Pitagora, već mnogo prije njega. Postoji nekoliko načina da se dokaže ova izjava, a mi ćemo razmotriti neke od njih.

Prema znanstvenim podacima, na samom početku razmatran je jednakostranični pravokutni trokut. Zatim su sa svih njegovih strana izgrađeni trgovi. Kvadrat izgrađen na hipotenuzi sastojat će se od četiri međusobno jednaka trokuta. Dok će se figure izgrađene na nogama sastojati od samo dva ista trokuta. Ovaj dokaz Pitagorinog teorema je najjednostavniji.

Razmotrimo još jedan dokaz ovog teorema. Treba koristiti znanja ne samo iz geometrije, već i iz algebre. Da bismo dokazali ovaj teorem na ovaj način, trebamo konstruirati četiri slična pravokutna trokuta, a njihove stranice potpisati kao a, b i c.

Ove trokute morate sastaviti na takav način da kao rezultat dobijemo dva kvadrata. Vanjska će imati stranice (a + b), a unutarnja c. Da bismo pronašli površinu unutarnjeg kvadrata, moramo pronaći proizvod c * c. Ali da biste pronašli površinu velikog kvadrata, morate zbrojiti površine malih kvadrata i dodati površine rezultirajućih pravokutnih trokuta. Sada, nakon izvođenja nekih algebarskih operacija, možemo dobiti sljedeću formulu:

a 2 + b 2 \u003d c 2

Zapravo, postoji ogroman broj metoda za dokazivanje teorema. Okomitost, trokut, kvadrat ili bilo koji drugi oblik i njihova svojstva mogu se razmatrati pomoću raznih teorema i dokaza. Pitagorina teorema samo je dokaz za to.

Umjesto zaključka

Vrlo je važno znati formulirati teoreme, kao i ispravno ih dokazati. Naravno, takav je postupak prilično kompliciran, budući da je za njegovu provedbu potrebno ne samo biti u stanju raditi velika količina informacije, ali i za izgradnju logičkih lanaca. Matematika je vrlo zanimljiva znanost koja nema ni kraja ni ruba.

Počnite ga proučavati i ne samo da ćete povećati svoju inteligenciju, već ćete dobiti i ogromnu količinu zanimljivih informacija. Preuzmite brigu o svom obrazovanju danas. Razumijevanjem osnovnih principa dokazivanja teorema svoje vrijeme možete dobro iskoristiti.

Pronalaženje matematičkog dokaza može biti zastrašujući zadatak, ali poznavanje matematike i sposobnost uokvirivanja dokaza pomoći će. Nažalost, ne postoje brze i jednostavne metode za učenje rješavanja matematičkih problema. Potrebno je pravilno proučiti predmet i zapamtiti glavne teoreme i definicije koje će vam biti od koristi pri dokazivanju jednog ili drugog matematičkog postulata. Proučite primjere matematičkih dokaza i vježbajte se - to će vam pomoći da poboljšate svoje vještine.

Koraci

Shvatite izjavu o problemu

Odredite što želite pronaći. Prvi korak je shvatiti što točno treba dokazati. Između ostalog, ovo će odrediti posljednju izjavu u vašem dokazu. U ovoj fazi također biste trebali napraviti određene pretpostavke unutar kojih ćete raditi. Kako biste bolje razumjeli problem i počeli ga rješavati, shvatite što trebate dokazati i napravite potrebne pretpostavke.

Napravite crtež. Prilikom rješavanja matematičkih problema ponekad je korisno prikazati ih u obliku slike ili dijagrama. To je posebno važno kod geometrijskih problema - crtež pomaže vizualizaciji stanja i uvelike olakšava traženje rješenja.

• Prilikom izrade crteža ili dijagrama koristite podatke navedene u uvjetu. Označite poznate i nepoznate veličine na slici.
• Crtež će vam olakšati pronalaženje dokaza.

1. Proučite dokaze sličnih teorema. Ako ne možete odmah pronaći rješenje, potražite slične teoreme i pogledajte kako su dokazani.

   Postavljati pitanja. U redu je ako ne možete odmah pronaći dokaz. Ako ti nešto nije jasno, pitaj o tome svog učitelja ili razrednika. Možda vaši drugovi imaju ista pitanja i možete ih riješiti zajedno. Bolje je postaviti nekoliko pitanja nego opet i opet bezuspješno pokušavati pronaći dokaz.

   • Priđite učitelju nakon nastave i razjasnite mu sva nejasna pitanja.

   Navedite dokaz

   1. Formulirajte matematički dokaz. Matematički dokaz je niz tvrdnji potkrijepljen teoremima i definicijama koji dokazuje matematički postulat. Dokazi su jedini način da se utvrdi je li izjava istinita u matematičkom smislu.

      • Sposobnost zapisivanja matematičkog dokaza ukazuje na duboko razumijevanje problema i posjedovanje potrebnih alata (leme, teoreme i definicije).
      • Strogi dokazi pomoći će vam da iznova pogledate matematiku i osjetite njenu privlačnu snagu. Samo pokušajte dokazati bilo koju tvrdnju kako biste dobili ideju o matematičkim metodama.

   2. Razmotrite svoju publiku. Prije nego počnete snimati dokaze, treba razmisliti kome su oni namijenjeni i uzeti u obzir razinu znanja tih osoba. Ako napišete dokaz za kasniju objavu u znanstvenom časopisu, bit će drugačije nego kad radite školsku zadaću.

      • Poznavanje ciljane publike omogućit će vam da napišete dokaz imajući na umu čitateljevu pozadinu kako bi ga razumjeli.

   3. Odredite vrstu dokaza. Postoji nekoliko vrsta matematičkih dokaza, a izbor pojedinog oblika ovisi o ciljanoj publici i problemu koji se rješava. Ako ne znate koju vrstu odabrati, provjerite sa svojim učiteljem. U srednjoj školi dokaze je potrebno sastaviti u dva stupca.

      • Pri pisanju dokaza u dva stupca, u jedan stupac upisuju se početni podaci i izjave, au drugi odgovarajući dokazi tih iskaza. Ovaj oblik notacije često se koristi u rješavanju geometrijskih problema.
      • S manje formalnim zapisom dokaza koriste se gramatički ispravne konstrukcije i manje znakova. Na višim razinama treba koristiti ovu notaciju.

   4. Skicirajte dokaz u dva stupca. Ovaj obrazac pomaže u racionalizaciji misli i dosljednom rješavanju problema. Prepolovite stranicu okomitom crtom i s lijeve strane upišite izvorne podatke i tvrdnje koje iz njih slijede. Na desnoj strani svake tvrdnje zapišite pripadajuće definicije i teoreme.

      Napišite dokaz u dva stupca kao neformalni dokaz. Počnite s unosom u dva stupca i napišite dokaz u kraćem obliku s manje simbola i kratica.

      • Na primjer: pretpostavimo da su kutovi A i B susjedni. Prema hipotezi, ovi se kutovi međusobno nadopunjuju. Budući da su susjedni, kut A i kut B čine ravnu liniju. Ako stranice kuta tvore ravnu liniju, taj kut iznosi 180°. Zbrojimo kutove A i B i dobijemo ravnicu ABC. Dakle, zbroj kutova A i B jednak je 180°, odnosno ti su kutovi komplementarni. Q.E.D.

   Zapiši dokaz

   1. Ovladajte jezikom dokaza. Za snimanje matematičkih dokaza koriste se standardni iskazi i fraze. Morate naučiti ove fraze i znati ih koristiti.

      Zapišite sve izvorne podatke. Prilikom sastavljanja dokaza prvo treba utvrditi i napisati sve što je zadano u zadatku. U tom slučaju imat ćete pred očima sve početne podatke, na temelju kojih trebate dobiti rješenje. Pažljivo pročitaj uvjet zadatka i zapiši sve što je u njemu zadano.

   2. Definirajte sve varijable. Osim bilježenja početnih podataka, također je korisno ispisati preostale varijable. Kako bi čitateljima bilo lakše, zapišite varijable na samom početku dokaza. Ako varijable nisu definirane, čitatelj bi se mogao zbuniti i pogrešno shvatiti vaš dokaz.

      • Nemojte koristiti prethodno nedefinirane varijable u dokazu.
      • Na primjer: u gore razmatranom problemu, varijable su vrijednosti kutova A i B.

   3. Pokušajte pronaći dokaz obrnutim redoslijedom. Mnoge zadatke lakše je riješiti obrnutim redoslijedom. Počnite s onim što trebate dokazati i razmislite o tome kako možete povezati zaključke s premisom.

      • Ponovno pročitajte početni i završni korak i provjerite jesu li isti. Koristiti početne uvjete, definicije i slične dokaze iz drugih problema.
      • Postavite si pitanja i krenite naprijed. Kako biste dokazali pojedine tvrdnje, zapitajte se: “Zašto je to tako?” i, "Može li biti pogrešno?"
      • Ne zaboravite zapisati pojedinačne korake redom dok ne dobijete konačni rezultat.
      • Na primjer: ako su kutovi A i B komplementarni, njihov zbroj treba biti 180°. Prema definiciji susjednih kutova, kutovi A i B tvore pravac ABC. Budući da pravac tvori kut od 180°, zbroj kutova A i B iznosi 180°.

   4. Rasporedite pojedinačne korake dokaza tako da bude dosljedan i logičan. Počnite od početka i krenite prema dokazivoj tezi. Iako je ponekad korisno započeti traženje dokaza od kraja, važno je pridržavati se pravilnog redoslijeda kada ih zapisujete. Zasebne teze trebaju slijediti jedna za drugom kako bi dokaz bio logičan i nesumnjiv.

      • Prvo, razmotrite napravljene pretpostavke.
      • Potvrdite tvrdnje iznesene jednostavnim i očiglednim koracima tako da čitatelj ne posumnja u njihovu točnost.
      • Ponekad morate prepisati dokaz više puta. Nastavite grupirati izjave i njihove dokaze dok ne dođete do najlogičnije strukture.
      • Na primjer: krenimo od početka.
        • Kutovi A i B su susjedni.
        • Stranice kuta ABC tvore ravnu liniju.
        • Kut ABC je 180°.
        • Kut A + Kut B = Kut ABC.
        • Kut A + Kut B = Kut 180°.
        • Kut A je komplementaran kutu B.

   5. Ne koristite strelice i kratice u svom dokazu. Možete koristiti razne kratice i simbole kada radite s nacrtom, ali nemojte ih uključiti u konačni nacrt jer mogu zbuniti čitatelje. Umjesto toga koristite riječi poput "dakle" i "tada".

      Završite dokaze frazom "ono što je trebalo dokazati". Na kraju dokaza treba biti teza koju treba dokazati. Nakon njega treba napisati "što je trebalo dokazati" (skraćeno "pog. t. d." ili simbol u obliku popunjenog kvadrata) - to znači da je dokaz završen.

      • Na latinskom izraz "ono što je trebalo dokazati" odgovara kratici Q.E.D. ( quod erat demonstracija, odnosno “što je trebalo pokazati”).
      • Ako sumnjate u ispravnost dokaza, samo napišite nekoliko rečenica do kojeg ste zaključka došli i zašto je on važan.
   • Svi podaci navedeni u dokazu trebaju služiti postizanju cilja. Nemojte uključivati ​​u dokaz ništa što se može izostaviti.

Tema 13. Teoremi i dokazi

U ovoj temi upoznat ćete se s posebnošću matematike u usporedbi s fizikom i drugim znanostima - da prepoznaje samo one istine ili zakone koji su dokazani. U tom smislu analizirat će se pojam teorema i razmotriti neke vrste teorema i metode za njihovo dokazivanje.

09-13-03. Posebnost matematike

Teorija

1.1. Ako usporedimo matematiku i fiziku, onda se obje ove znanosti služe i promatranjem i dokazima. Uz eksperimentalnu fiziku postoji i teorijska fizika, u kojoj se određene tvrdnje, poput teorema u matematici, dokazuju na temelju fizikalnih zakona uzastopnim izvođenjem jednih sudova iz drugih. Međutim, fizikalni zakoni se priznaju kao istiniti tek kada su potvrđeni velikim brojem eksperimenata. Ti se zakoni mogu promijeniti tijekom vremena.

Matematika također koristi opažanja.

Primjer 1. Promatrajući to

može se pretpostaviti da je zbroj prve tisuće ak prirodni brojevi jednako 1000000.

Ova izjava može se provjeriti izravnim izračunima, trošeći ogromnu količinu vremena.

Također možemo napraviti opću pretpostavku da je za bilo koji prirodni broj zbroj početnih neparnih brojeva jednak . Ovu tvrdnju nije moguće provjeriti izravnim izračunima, jer je skup svih prirodnih brojeva beskonačan. Ipak, postavljena pretpostavka je točna, jer se može dokazati.

Primjer 2. Možemo izmjeriti kutove mnogih trokuta..gif" height="20">, istinito je ako uzmemo peti Euklidov postulat kao aksiom. Bio je dokazano u 7. razredu .

Primjer 3. Zamjena u polinom

umjesto prirodnih brojeva od 1 do 10 dobivamo proste brojeve 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151. Može se pretpostaviti da je za svaki prirodni broj vrijednost kvadrata trinoma je glavni broj. Provjera je pokazala da je to doista slučaj za bilo koji prirodni broj od 1 do 39. Međutim, pretpostavka je netočna, jer se ispostavlja da je to složeni broj:

Korištenje dokaza radije nego opažanja za utvrđivanje istinitosti teorema obilježje je matematike.

Zaključak donesen na temelju čak i brojnih opažanja smatra se matematičkim zakonom samo kada dokazano.

1.2. Ograničavamo se na intuitivni koncept dokaza, kao dosljedno izvođenje nekih tvrdnji iz drugih, bez provođenja točne analize koncepta izvođenja ili zaključivanja. Analizirajmo pojam teorema detaljnije.

Teoremom se obično naziva izjava čija se istinitost utvrđuje dokazom. Koncept teorema je razvijen i pročišćen zajedno s konceptom dokaza.

U klasičnom smislu, teorem se shvaća kao tvrdnja koja se dokazuje izvođenjem nekih tvrdnji iz drugih. Pritom neki početni zakoni ili aksiomi koji se prihvaćaju bez dokaza.

Po prvi put je sustav aksioma u geometriji izgradio starogrčki matematičar Euklid u svom poznatom djelu Počeci. Slijedeći aksiome u Euklidovim elementima, teoremi i problemi konstrukcije prikazani su pod općim nazivom rečenice. Teoreme su poredane u strogom nizu.

Svaki se teorem najprije formulira, zatim se naznači što je zadano i što treba dokazati. Zatim se prezentira dokaz sa svim referencama na prethodno dokazane propozicije i aksiome. Ponekad se dokaz završava riječima koje je trebalo dokazati. Prevedena na sve europske jezike, Euklidova Načela, uključujući 13 knjiga, ostala su sve do 18. stoljeća jedinim udžbenikom po kojem se geometrija učila u školama i na sveučilištima.

1.3. Radi lakšeg razlikovanja onoga što je zadano i onoga što treba dokazati, teoremi su formulirani u obliku if ... then .... Prvi dio iskaza teorema između if i then naziva se stanje teorema, a drugi dio, koji je iza toga napisan, zove se zaključak teoremi.

Uvjet teoreme sadrži opis onoga što je zadano, a zaključak - ono što treba dokazati.

Ponekad se ovaj zapis teorema naziva logični oblik teorema, a skraćeno je kao if-then oblik.

Primjer 4. Razmotrimo sljedeći teorem.

Ako je paran prirodan broj, onda je neparan broj.

U ovom teoremu, uvjet je da se svaki paran broj uzme ..gif" width="32 height=19" height="19"> je neparan.

Često se uvjet i zaključak pišu drugim riječima.

Primjer 5. Teorem iz primjera 1 može se napisati u sljedećem obliku:

Neka je paran prirodan broj. Tada je neparan broj.

U ovom slučaju umjesto riječi ako upotrebljavaju riječ neka, a umjesto riječi tada pišu riječ tada.

Primjer 6. Teorem iz primjera 1 može se napisati iu sljedećem obliku:

Iz činjenice da se radi o parnom prirodnom broju proizlazi da broj .gif" width="13" height="15"> implicira da je broj neparan.

U ovom slučaju izostavljena je riječ ako, a umjesto riječi tada koristi se riječ podrazumijeva.

Ponekad se koriste i drugi oblici pisanja teorema.

1.4. U nekim slučajevima uvjet teorema nije zapisan u njegovoj formulaciji. To se događa kada je iz teksta jasno u kakvom obliku ovo stanje može biti.

Primjer 8. Poznat vam je teorem: središnje strane trokuta sijeku se u jednoj točki.

NA logični oblik ovaj se teorem može napisati ovako:

Ako su sve medijane nacrtane u bilo kojem trokutu, tada se te središnje sijeku u jednoj točki.

Primjer 9. Teorem o beskonačnosti skupa prostih brojeva može se napisati kao:

Ako je skup svih prostih brojeva, tada je beskonačan.

Za uspostavljanje veza između teorema u matematici koristi se poseban jezik o čemu će se dijelom raspravljati u kasnijim odjeljcima ovog poglavlja.

ispitna pitanja

1. Koje primjere opažanja u matematici poznajete?

2. Koje aksiome geometrije poznajete?

3. Koji se zapis teorema naziva logičkim oblikom teorema?

4. Što se naziva uvjet teorema?

5. Što se naziva zaključkom teorema?

6. Koje oblike zapisivanja teorema poznajete?

Zadaci i vježbe

1. Koje pretpostavke možete napraviti promatrajući:

a) umnožak dvaju susjednih prirodnih brojeva;

b) zbroj dvaju susjednih prirodnih brojeva;

c) zbroj tri uzastopna prirodna broja;

d) zbroj triju neparnih brojeva;

e) posljednje znamenke u decimalni zapis brojevi .gif" width="13 height=15" height="15">;

f) broj dijelova na koje je ravnina podijeljena raznim ravnim crtama koje prolaze kroz jednu točku;

g) broj dijelova na koje je ravnina podijeljena raznim ravnim crtama, od kojih su prave po paru paralelne i sijeku se .gif" width="13" height="20">.gif" height="20"> brojevi oblika , gdje je prirodan broj;

d) zbroj dvaju iracionalnih brojeva?

3. Koju pretpostavku možete izvesti promatrajući središta kružnica opisanih oko tupokutnih trokuta?

4. Zapišite teorem u logičkom obliku:

a) iznos unutarnji kutovi konveksan https://pandia.ru/text/80/293/images/image017_1.gif" width="81 height=24" height="24">;

b) bilo koja dva pravokutna jednakokračan trokut sličan;

c) jednakost vrijedi za bilo koje cijele brojeve i ;

d) visina jednakokračnog trokuta, povučena na njegovu osnovicu, raspolavlja kut pri vrhu toga trokuta;

e) za sve nenegativne brojeve i ;

f) zbroj dvaju suprotnih kutova četverokuta upisanog u krug iznosi 180;

g) broj nije racionalan broj;

h) svi prosti brojevi veći od 10 su neparni;

i) dijagonale kvadrata su jednake, okomite i raspolavljaju se u sjecištu;

j) od svih četverokuta upisanih u zadani krug, kvadrat ima velika površina;

k) postoji paran prost broj;

l) niti jedan prosti broj ne može se prikazati kao zbroj dva različita neparna prirodna broja;

m) zbroj kubova prvih prirodnih brojeva je kvadrat nekog prirodnog broja.

5. * Zapišite svaki od teorema iz prethodnog zadatka u nekoliko različitih oblika.

Odgovori i upute

Zadatak 1. Koje pretpostavke možete napraviti promatrajući:

a) umnožak dvaju susjednih prirodnih brojeva;

b) zbroj dvaju susjednih prirodnih brojeva;

c) zbroj tri uzastopna prirodna broja;

d) zbroj triju neparnih brojeva;

e)posljednje znamenke u decimalnom zapisus prirodnim;

e) https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" width="9 height=20" height="20"> broj dijelova na koje je ravnina podijeljena https://pandia.ru/text/80/293/images/image014_1.gif" width="17" height="15"> linije su po parovima paralelne i sijeku se.gif" width="13 height=20" height="20"> broj dijelova na koje je ravnina podijeljena https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" height="20 src="> mogu se primiti samo četiri znamenke:

0, 1, 5, 6; f)https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" visina="20 src=">.gif" širina="13" visina="20 src=">.gif" širina ="13" visina="15"> -gon je jednako;

b) bilo koja dva pravokutna jednakokračna trokuta su slična;

c) jednakostvrijedi za bilo koje cijele brojevei;

Algebra povremeno mora dokazivati ​​teoreme. Dokazani teorem pomoći će vam u rješavanju. Stoga je izuzetno važno ne mehanički učiti dokaz napamet, već proniknuti u bit teorema, kako bismo se njime kasnije rukovodili u praksi.

Prvo nacrtajte jasan i uredan crtež teorema. Označite na njemu latiničnim slovima ono što već znate. Zapišite sve poznate vrijednosti u stupac "Dano". Zatim, u stupcu "Dokaži", formulirajte što dokazati. Sada možemo započeti s dokazom. To je lanac logičnih misli, kao rezultat kojih se pokazuje istinitost bilo koje izjave. Pri dokazivanju teorema moguće je (a ponekad i potrebno) koristiti razne odredbe, aksiome, kontradikcijom, pa čak i druge prethodno dokazane teoreme.

Dakle, dokaz je slijed radnji, kao rezultat kojih ćete dobiti neporeciv. Najveća poteškoća u dokazivanju teorema je pronaći točan slijed logičkog razmišljanja koji će dovesti do potrage za onim što je trebalo dokazati.

Rastavite teorem na dijelove i, zasebno dokazujući, na kraju ćete doći do željenog rezultata. Korisno je svladati vještinu “dokaza kontradikcijom”, u nekim slučajevima je to najlakši način dokazati teorem na ovaj način. Oni. započnite dokaz riječima "pretpostavite suprotno" i postupno dokazujte da to ne može biti. Završite dokaz riječima “dakle, izvorna izjava je istinita. Teorem je dokazan.

François Viet – poznat francuski matematičar. Vietin teorem omogućuje vam rješavanje kvadratnih jednadžbi na pojednostavljen način, što kao rezultat štedi vrijeme utrošeno na izračun. Ali da bi se bolje razumjela bit teorema, treba prodrijeti u bit formulacije i dokazati je.

Vietin teorem

Bit ove tehnike je pronaći korijene bez pomoći diskriminante. Za jednadžbu oblika x2 + bx + c = 0, gdje postoje dva stvarno različita korijena, dvije su tvrdnje istinite.

Prva izjava kaže da je zbroj korijena dana jednadžba jednaka je vrijednosti koeficijenta kod varijable x (in ovaj slučaj je b), ali sa suprotnog predznaka. Vizualno to izgleda ovako: x1 + x2 = −b.

Drugi iskaz više nije povezan sa zbrojem, već s umnoškom istih dvaju korijena. Ovaj proizvod je izjednačen sa slobodnim koeficijentom, tj. c. Ili, x1 * x2 = c. Oba ova primjera su riješena u sustavu.

Vietin teorem uvelike pojednostavljuje rješenje, ali ima jedno ograničenje. Kvadratna jednadžba čiji se korijeni mogu pronaći ovom tehnikom mora se reducirati. U gornjoj jednadžbi za koeficijent a, onaj prije x2 je jednako jedan. Svaka se jednadžba može svesti na sličan oblik dijeljenjem izraza s prvim koeficijentom, ali ta operacija nije uvijek racionalna.

Dokaz teorema

Prvo se morate sjetiti kako je, prema tradiciji, uobičajeno tražiti korijene kvadratna jednadžba. Nađeni su prvi i drugi korijen, i to: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Općenito djeljiv s 2a, ali, kao što je već spomenuto, teorem se može primijeniti samo kada je a=1.

Iz Vietinog teorema je poznato da je zbroj korijena jednak drugom koeficijentu s predznakom minus. To znači da je x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.

Isto vrijedi i za umnožak nepoznatih korijena: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. Zauzvrat, D = b2-4c (opet, s a=1). Ispada da je rezultat: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.

Iz gornjeg jednostavnog dokaza može se izvući samo jedan zaključak: Vietin teorem je u potpunosti potvrđen.

Druga formulacija i dokaz

Vietin teorem ima još jedno tumačenje. Točnije, nije riječ o tumačenju, nego o formulaciji. Činjenica je da ako su ispunjeni isti uvjeti kao u prvom slučaju: postoje dva različita stvarna korijena, tada se teorem može napisati u drugoj formuli.

Ova jednakost izgleda ovako: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Ako se funkcija P(x) siječe u dvije točke x1 i x2, tada se može napisati kao P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). U slučaju kada P ima drugi stupanj, a upravo tako izgleda izvorni izraz, tada je R prost broj, odnosno 1. Ova tvrdnja je točna iz razloga što u suprotnom jednakost neće vrijediti. Koeficijent x2 pri otvaranju zagrada ne smije biti veći od jedan, a izraz treba ostati kvadratan.