Formule za korijene kvadratne jednadžbe. Razmatraju se slučajevi pravih, višestrukih i kompleksnih korijena. Faktorizacija kvadratni trinom. Geometrijska interpretacija. Primjeri određivanja korijena i faktorizacije.

Osnovne formule

Razmotrimo kvadratnu jednadžbu:
(1) .
Korijeni kvadratne jednadžbe(1) određuju se formulama:
; .
Ove formule mogu se kombinirati ovako:
.
Kada su korijeni kvadratne jednadžbe poznati, tada se polinom drugog stupnja može prikazati kao umnožak faktora (faktoriziran):
.

Nadalje, smatramo da - realni brojevi.
Smatrati diskriminanta kvadratne jednadžbe:
.
Ako je diskriminant pozitivan, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva različita realna korijena:
; .
Tada faktorizacija kvadratnog trinoma ima oblik:
.
Ako je diskriminant nula, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva višestruka (jednaka) realna korijena:
.
Faktorizacija:
.
Ako je diskriminant negativan, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva kompleksna konjugirana korijena:
;
.
Ovdje je zamišljena jedinica, ;
i su stvarni i imaginarni dijelovi korijena:
; .
Zatim

.

Grafička interpretacija

Ako se gradi graf funkcije
,
koja je parabola, tada će točke presjeka grafa s osi biti korijeni jednadžbe
.
Kada je , graf siječe apscisnu os (os) u dvije točke.
Kada je , graf dodiruje x-os u jednoj točki.
Kada je , graf ne prelazi x-os.

Ispod su primjeri takvih grafikona.

Korisne formule povezane s kvadratnom jednadžbom

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe

Izvodimo transformacije i primjenjujemo formule (f.1) i (f.3):




,
gdje
; .

Dakle, dobili smo formulu za polinom drugog stupnja u obliku:
.
Iz ovoga se vidi da jednadžba

izvedeno na
i .
To jest, i su korijeni kvadratne jednadžbe
.

Primjeri određivanja korijena kvadratne jednadžbe

Primjer 1

(1.1) .

Riješenje

.
Uspoređujući s našom jednadžbom (1.1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalaženje diskriminante:
.
Budući da je diskriminant pozitivan, jednadžba ima dva realna korijena:
;
;
.

Odavde dobivamo rastavljanje kvadratnog trinoma na faktore:

.

Graf funkcije y = 2 x 2 + 7 x + 3 siječe x-os u dvije točke.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Presijeca x-os (os) u dvije točke:
i .
Ove točke su korijeni izvorne jednadžbe (1.1).

Odgovor

;
;
.

Primjer 2

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe:
(2.1) .

Riješenje

Zapisujemo kvadratnu jednadžbu u opći pogled:
.
Uspoređujući s izvornom jednadžbom (2.1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalaženje diskriminante:
.
Budući da je diskriminant nula, jednadžba ima dva višestruka (jednaka) korijena:
;
.

Tada faktorizacija trinoma ima oblik:
.

Graf funkcije y = x 2 - 4 x + 4 dodiruje x-os u jednoj točki.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Dotiče x-osu (os) u jednoj točki:
.
Ova točka je korijen izvorne jednadžbe (2.1). Budući da je ovaj korijen faktoriziran dva puta:
,
onda se takav korijen naziva višekratnik. Odnosno, oni smatraju da postoje dva jednaka korijena:
.

Odgovor

;
.

Primjer 3

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe:
(3.1) .

Riješenje

Zapisujemo kvadratnu jednadžbu u općem obliku:
(1) .
Prepišimo izvornu jednadžbu (3.1):
.
Uspoređujući s (1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalaženje diskriminante:
.
Diskriminanta je negativna, . Dakle, nema pravih korijena.

Možete pronaći složene korijene:
;
;
.

Zatim


.

Graf funkcije ne siječe x-os. Nema pravih korijena.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Ne siječe apscisu (os). Dakle, nema pravih korijena.

Odgovor

Nema pravih korijena. Složeni korijeni:
;
;
.

Ova bi se tema u početku mogla činiti teškom zbog mnogih jednostavne formule. Ne samo da same kvadratne jednadžbe imaju duge unose, već se i korijeni nalaze pomoću diskriminante. Ukupno su tri nove formule. Nije baš lako zapamtiti. To je moguće samo nakon čestog rješavanja takvih jednadžbi. Tada će se sve formule same zapamtiti.

Opći pogled na kvadratnu jednadžbu

Ovdje se predlaže njihov eksplicitni zapis, kada se najviše glavni stupanj navedeni prvi, a zatim silaznim redoslijedom. Često postoje situacije kada se pojmovi razlikuju. Tada je bolje prepisati jednadžbu silaznim redoslijedom stupnja varijable.

Uvedimo notaciju. Oni su prikazani u tablici ispod.

Ako prihvatimo ove oznake, sve kvadratne jednadžbe svode se na sljedeću oznaku.

Štoviše, koeficijent a ≠ 0. Označimo ovu formulu brojem jedan.

Kada je jednadžba dana, nije jasno koliko će korijena biti u odgovoru. Jer uvijek je moguća jedna od tri opcije:

• otopina će imati dva korijena;
• odgovor će biti jedan broj;
• Jednadžba uopće nema korijena.

I dok odluka nije dovedena do kraja, teško je razumjeti koja će od opcija ispasti u pojedinom slučaju.

Vrste zapisa kvadratnih jednadžbi

Zadaci mogu imati različite unose. Neće uvijek izgledati kao opća formula kvadratne jednadžbe. Ponekad će nedostajati neki pojmovi. Gore napisano je potpuna jednadžba. Ako u njemu uklonite drugi ili treći izraz, dobit ćete nešto drugačije. Ovi zapisi se također nazivaju kvadratne jednadžbe, samo nepotpune.

Štoviše, samo članovi za koje koeficijenti "b" i "c" mogu nestati. Broj "a" ni pod kojim okolnostima ne može biti jednak nuli. Budući da se u ovom slučaju formula pretvara u linearnu jednadžbu. Formule za nepotpuni oblik jednadžbi bit će sljedeće:

Dakle, postoje samo dvije vrste, osim potpunih, postoje i nepotpune kvadratne jednadžbe. Neka prva formula bude broj dva, a druga broj tri.

Diskriminanta i ovisnost broja korijena o njezinoj vrijednosti

Ovaj broj mora biti poznat da bi se izračunali korijeni jednadžbe. Uvijek se može izračunati, bez obzira koja je formula kvadratne jednadžbe. Da biste izračunali diskriminant, potrebno je koristiti dolje napisanu jednakost koja će imati broj četiri.

Nakon što zamijenite vrijednosti koeficijenata u ovu formulu, možete dobiti brojeve s različite znakove. Ako je odgovor da, tada će odgovor na jednadžbu biti dva drugačiji korijen. S negativnim brojem, korijeni kvadratne jednadžbe će biti odsutni. Ako je jednak nuli, odgovor će biti jedan.

Kako se rješava potpuna kvadratna jednadžba?

Zapravo, razmatranje ovog pitanja je već počelo. Jer prvo morate pronaći diskriminantu. Nakon što je razjašnjeno da postoje korijeni kvadratne jednadžbe i njihov broj je poznat, trebate koristiti formule za varijable. Ako postoje dva korijena, tada morate primijeniti takvu formulu.

Budući da sadrži znak "±", bit će dvije vrijednosti. Izraz pod znakom kvadratnog korijena je diskriminant. Stoga se formula može prepisati na drugačiji način.

Formula pet. Iz istog zapisa može se vidjeti da ako je diskriminant nula, tada će oba korijena imati iste vrijednosti.

Ako rješenje kvadratnih jednadžbi još nije razrađeno, onda je bolje zapisati vrijednosti svih koeficijenata prije primjene diskriminantnih i varijabilnih formula. Kasnije ovaj trenutak neće uzrokovati poteškoće. Ali na samom početku dolazi do zabune.

Kako se rješava nepotpuna kvadratna jednadžba?

Ovdje je sve puno jednostavnije. Čak nema potrebe za dodatnim formulama. I neće vam trebati oni koji su već napisani za diskriminant i nepoznato.

Prvo razmislite nepotpuna jednadžba na broju dva. U ovoj jednakosti treba nepoznatu vrijednost izvaditi iz zagrade i riješiti linearnu jednadžbu koja će ostati u zagradama. Odgovor će imati dva korijena. Prvi je nužno jednak nuli, jer postoji faktor koji se sastoji od same varijable. Drugi se dobiva rješavanjem linearne jednadžbe.

Nepotpuna jednadžba na broju tri rješava se prenošenjem broja s lijeve strane jednadžbe na desnu. Zatim treba podijeliti s koeficijentom ispred nepoznate. Ostaje samo izvući kvadratni korijen i ne zaboravite ga dva puta zapisati sa suprotnim predznacima.

Slijede neke radnje koje vam pomažu da naučite kako riješiti sve vrste jednakosti koje se pretvaraju u kvadratne jednadžbe. Pomoći će učeniku da izbjegne pogreške zbog nepažnje. Ovi nedostaci uzrok su loših ocjena pri proučavanju opsežne teme "Kvadratne jednadžbe (8. razred)". Nakon toga, ove se radnje neće morati stalno izvoditi. Jer će postojati stabilna navika.

• Najprije morate napisati jednadžbu u standardnom obliku. Odnosno, prvo pojam s najvećim stupnjem varijable, a zatim - bez stupnja i posljednji - samo broj.

• Ako se prije koeficijenta "a" pojavi minus, početniku može zakomplicirati posao proučavanja kvadratnih jednadžbi. Bolje ga se riješiti. U tu svrhu sve jednakosti moraju se pomnožiti s "-1". To znači da će svi članovi promijeniti predznak u suprotan.

• Na isti način, preporuča se riješiti frakcija. Jednostavno pomnožite jednadžbu s odgovarajućim faktorom tako da se nazivnici ponište.

Primjeri

Potrebno je riješiti sljedeće kvadratne jednadžbe:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Prva jednadžba: x 2 - 7x \u003d 0. Nepotpuna je, stoga se rješava kao što je opisano za formulu broj dva.

Nakon stavljanja u zagrade, ispada: x (x - 7) \u003d 0.

Prvi korijen ima vrijednost: x 1 = 0. Drugi će se pronaći iz Linearna jednadžba: x - 7 = 0. Lako je vidjeti da je x 2 = 7.

Druga jednadžba: 5x2 + 30 = 0. Opet nepotpuna. Samo se ona rješava kao što je opisano za treću formulu.

Nakon prijenosa 30 na desna strana jednakost: 5x 2 = 30. Sada trebate podijeliti s 5. Ispada: x 2 = 6. Odgovori će biti brojevi: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Treća jednadžba: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Ovdje i dolje, rješavanje kvadratnih jednadžbi započet će njihovim prepisivanjem u standardni oblik: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Sada je vrijeme da upotrijebimo drugu koristan savjet i sve pomnožite s minus jedan. Ispada x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Prema četvrtoj formuli, trebate izračunati diskriminant: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Predstavlja pozitivan broj. Iz gore rečenog ispada da jednadžba ima dva korijena. Potrebno ih je izračunati prema petoj formuli. Prema tome, ispada da je x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Zatim x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Četvrta jednadžba x 2 + 8 + 3x \u003d 0 pretvara se u ovo: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Njena diskriminanta jednaka je ovoj vrijednosti: -23. Budući da je ovaj broj negativan, odgovor na ovaj zadatak bit će sljedeći unos: "Nema korijena."

Petu jednadžbu 12x + x 2 + 36 = 0 treba prepisati na sljedeći način: x 2 + 12x + 36 = 0. Nakon primjene formule za diskriminantu dobiva se broj nula. To znači da će imati jedan korijen, naime: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Šesta jednadžba (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) zahtijeva transformacije koje donose poput pojmova, prije otvaranja zagrada. Umjesto prvog bit će takav izraz: x 2 + 2x + 1. Nakon jednakosti pojavit će se ovaj unos: x 2 + 3x + 2. Nakon prebrojavanja sličnih članova, jednadžba će poprimiti oblik: x 2 - x \u003d 0. Postalo je nepotpuno. Slično tome već je razmatrano malo više. Korijeni ovoga bit će brojevi 0 i 1.

Seoska srednja škola Kopyevskaya

10 načina za rješavanje kvadratnih jednadžbi

Voditelj: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

profesorica matematike

s.Kopyevo, 2007

1. Povijest razvoja kvadratnih jednadžbi

1.1 Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

1.2 Kako je Diofant sastavljao i rješavao kvadratne jednadžbe

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

1.4 Kvadratne jednadžbe u al-Khwarizmi

1.5 Kvadratne jednadžbe u Europa XIII- XVII stoljeća

1.6 O Vietinom teoremu

2. Metode rješavanja kvadratnih jednadžbi

Zaključak

Književnost

1. Povijest razvoja kvadratnih jednadžbi

1.1 Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

Potreba za rješavanjem jednadžbi ne samo prvog, već i drugog stupnja u davna vremena bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih uz pronalaženje područja zemljišne parcele te sa zemljanim radovima vojne naravi, kao i s razvojem same astronomije i matematike. Kvadratne jednadžbe uspjeli su riješiti oko 2000 godina pr. e. Babilonci.

Primjenjujući suvremeni algebarski zapis, možemo reći da u njihovim klinastim tekstovima postoje, osim nepotpunih, i takve, na primjer, potpune kvadratne jednadžbe:

x 2 + x = ¾; x 2 - x = 14,5

Pravilo za rješavanje ovih jednadžbi, navedeno u babilonskim tekstovima, u biti se podudara sa suvremenim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do tog pravila. Gotovo svi do sada pronađeni klinasti tekstovi daju samo probleme s rješenjima navedenim u obliku recepata, bez naznake kako su pronađeni.

Usprkos visoka razina razvojem algebre u Babilonu, u klinastim tekstovima nema koncepta negativnog broja i uobičajene metode rješenja kvadratnih jednadžbi.

1.2 Kako je Diofant sastavljao i rješavao kvadratne jednadžbe.

Diofantova Aritmetika ne sadrži sustavno izlaganje algebre, ali sadrži sustavan niz problema, popraćenih objašnjenjima i riješenih sastavljanjem jednadžbi različitih stupnjeva.

Pri sastavljanju jednadžbi Diofant vješto bira nepoznanice kako bi pojednostavio rješenje.

Evo, na primjer, jednog od njegovih zadataka.

Zadatak 11."Pronađi dva broja znajući da je njihov zbroj 20, a umnožak 96"

Diofant tvrdi kako slijedi: iz uvjeta problema proizlazi da željeni brojevi nisu jednaki, jer da su jednaki, tada njihov umnožak ne bi bio 96, već 100. Dakle, jedan od njih bit će više od polovice njihovog zbroj, tj. 10+x, drugi je manji, tj. 10-ice. Razlika među njima 2x .

Otuda jednadžba:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Odavde x = 2. Jedan od željenih brojeva je 12 , ostalo 8 . Riješenje x = -2 jer Diofant ne postoji, budući da je grčka matematika poznavala samo pozitivne brojeve.

Ako ovaj zadatak riješimo odabirom jednog od željenih brojeva kao nepoznanice, tada ćemo doći do rješenja jednadžbe

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Jasno je da Diofant pojednostavljuje rješenje birajući polurazliku željenih brojeva kao nepoznanicu; on uspijeva svesti problem na rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe (1).

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

Problemi za kvadratne jednadžbe nalaze se već u astronomskom traktatu "Aryabhattam", koji je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Drugi indijski učenjak, Brahmagupta (7. stoljeće), izložio je opće pravilo rješenja kvadratnih jednadžbi svedenih na jedno kanonski oblik:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

U jednadžbi (1), koeficijenti, osim za a, također može biti negativan. Brahmaguptina vladavina u biti se podudara s našom.

NA drevna Indija javna natjecanja u rješavanju teških problema bila su uobičajena. U jednoj od starih indijskih knjiga o takvim natjecanjima kaže se sljedeće: “Kao što sunce svojim sjajem nadmašuje zvijezde, tako znanstvenik čovjek pomračiti slavu drugoga narodne skupštine, predlaganje i rješavanje algebarskih problema". Zadaci su često bili odjeveni u pjesnički oblik.

Ovdje je jedan od problema slavnog indijskog matematičara XII stoljeća. Bhaskara.

Zadatak 13.

„Žesto jato majmuna i dvanaest u trsovima...

Nakon što je jeo moć, zabavio se. Počeli su skakati, viseći ...

Osmi dio njih na kvadratu Koliko je bilo majmuna,

Zabava na livadi. Reci mi, u ovom jatu?

Bhaskarino rješenje pokazuje da je znao za dvovrijednost korijena kvadratnih jednadžbi (slika 3).

Jednadžba koja odgovara problemu 13 je:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara piše pod krinkom:

x 2 - 64x = -768

i, kako bi lijevu stranu ove jednadžbe dovršio do kvadrata, on zbraja obje strane 32 2 , dobivajući tada:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratne jednadžbe u al-Khorezmi

Al-Khorezmijeva algebarska rasprava daje klasifikaciju linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor navodi 6 vrsta jednadžbi izražavajući ih na sljedeći način:

1) "Kvadrati su jednaki korijenima", tj. sjekira 2 + c = b X.

2) "Kvadrati su jednaki broju", tj. sjekira 2 = s.

3) "Korijeni su jednaki broju", tj. ah = s.

4) "Kvadrati i brojevi jednaki su korijenima", tj. sjekira 2 + c = b X.

5) "Kvadrati i korijeni su jednaki broju", tj. ah 2+ bx = s.

6) "Korijeni i brojevi jednaki su kvadratima", tj. bx + c \u003d sjekira 2.

Za al-Khwarizmija, koji je izbjegavao korištenje negativnih brojeva, članovi svake od ovih jednadžbi su pribrojnici, a ne oduzimanja. U ovom slučaju očito se ne uzimaju u obzir jednadžbe koje nemaju pozitivna rješenja. Autor opisuje načine rješavanja naznačene jednadžbe, koristeći tehnike el-džebra i el-mukabele. Njegove se odluke, naravno, ne poklapaju u potpunosti s našima. Da ne spominjemo činjenicu da je čisto retoričko, treba napomenuti, na primjer, da pri rješavanju nepotpune kvadratne jednadžbe prvog tipa

al-Khorezmi, kao i svi matematičari prije 17. stoljeća, ne uzima u obzir nulto rješenje, vjerojatno zato što ono nije važno u specifičnim praktičnim problemima. Pri rješavanju potpunih kvadratnih jednadžbi al - Khorezmija na parcijalne brojčani primjeri postavlja pravila odlučivanja, a zatim geometrijske dokaze.

Zadatak 14.“Kvadrat i broj 21 jednaki su 10 korijena. Pronađite korijen" (pod pretpostavkom da je korijen jednadžbe x 2 + 21 = 10x).

Autorovo rješenje ide otprilike ovako: podijelite broj korijena na pola, dobit ćete 5, pomnožite 5 samim sobom, od produkta oduzmite 21, ostaje 4. Izvadite korijen iz 4, dobit ćete 2. Oduzmete 2 od 5, dobit ćete dobiti 3, to će biti željeni korijen. Ili dodajte 2 na 5, što će dati 7, ovo je također korijen.

Traktat al-Khorezmi je prva knjiga koja je došla do nas, u kojoj je sustavno navedena klasifikacija kvadratnih jednadžbi i date formule za njihovo rješavanje.

1.5 Kvadratne jednadžbe u Europi XIII - XVII stoljeća

Formule za rješavanje kvadratnih jednadžbi po modelu al-Khorezmija u Europi su prvi put navedene u "Knjizi o abakusu", koju je 1202. godine napisao talijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Ovo obimno djelo, koje odražava utjecaj matematike, kako zemalja islama tako i Drevna grčka, razlikuje se i cjelovitošću i jasnoćom prezentacije. Autor je samostalno razvio neke nove algebarski primjeri rješavanje problema i prvi u Europi pristupio uvođenju negativnih brojeva. Njegova knjiga pridonijela je širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim europskim zemljama. Mnogi zadaci iz "Knjige o abakusu" prešli su u gotovo sve europske udžbenike 16. - 17. stoljeća. i dijelom XVIII.

Opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedeno na jedan kanonski oblik:

x 2+ bx = sa,

za sve moguće kombinacije predznaka koeficijenata b , S formulirao je u Europi tek 1544. M. Stiefel.

Vieta ima opći izvod formule za rješavanje kvadratne jednadžbe, ali Vieta priznaje samo pozitivni korijeni. Talijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli među prvima su u 16. stoljeću. Uzmite u obzir, osim pozitivnih, i negativni korijeni. Tek u XVII stoljeću. Zahvaljujući radu Girarda, Descartesa, Newtona i dr znanstveni način rješavanje kvadratnih jednadžbi poprima suvremeni oblik.

1.6 O Vietinom teoremu

Teorem koji izražava odnos između koeficijenata kvadratne jednadžbe i njezinih korijena, koji nosi ime Vieta, formulirao je prvi put 1591. godine na sljedeći način: “Ako B + D pomnoženo s A - A 2 , jednako BD, onda A jednaki NA i jednaki D ».

Da bismo razumjeli Vietu, moramo to zapamtiti ALI, kao i svaki samoglasnik, za njega je značio ono nepoznato (naš x), samoglasnici NA, D- koeficijenti za nepoznate. U jeziku moderne algebre, gornja Vietina formulacija znači: ako

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Izražavanje odnosa između korijena i koeficijenata jednadžbi opće formule, napisan pomoću simbola, Viet je uspostavio jednoobraznost u metodama rješavanja jednadžbi. Međutim, simbolika Viete još je daleko od toga moderan izgled. Nije prepoznavao negativne brojeve, pa je pri rješavanju jednadžbi razmatrao samo slučajeve u kojima su svi korijeni pozitivni.

2. Metode rješavanja kvadratnih jednadžbi

Kvadratne jednadžbe su temelj na kojem počiva veličanstvena građevina algebre. Kvadratne jednadžbe naširoko se koriste u rješavanju trigonometrijskih, eksponencijalnih, logaritamskih, iracionalnih i transcendentalnih jednadžbi i nejednadžbi. Svi znamo rješavati kvadratne jednadžbe od škole (8. razred) do mature.

Samo. Po formulama i jasno jednostavna pravila. U prvoj fazi

potreba za dana jednadžba dovesti do standardni prikaz, tj. na pogled:

Ako vam je jednadžba već dana u ovom obliku, ne morate raditi prvu fazu. Najvažnije je ispravno

odrediti sve koeficijente a, b i c.

Formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe.

Izraz pod znakom korijena zove se diskriminirajući . Kao što vidite, da bismo pronašli x, mi

koristiti samo a, b i c. Oni. koeficijenti od kvadratna jednadžba. Samo pažljivo umetnite

vrijednosti a, b i c u ovu formulu i računajte. Zamjena sa njihov znakovi!

Na primjer, u jednadžbi:

a =1; b = 3; c = -4.

Zamijenite vrijednosti i napišite:

Primjer skoro riješen:

Ovo je odgovor.

Najčešće pogreške su brkanje s predznacima vrijednosti a, b i S. Dapače, zamjenom

negativne vrijednosti u formulu za izračunavanje korijena. Ovdje štedi detaljna formula

S konkretne brojke. Ako imate problema s izračunima, učinite to!

Pretpostavimo da trebamo riješiti sljedeći primjer:

Ovdje a = -6; b = -5; c = -1

Sve detaljno slikamo, pažljivo, ne propuštajući ništa sa svim znakovima i zagradama:

Kvadratne jednadžbe često izgledaju malo drugačije. Na primjer, ovako:

Sada zabilježite praktične tehnikešto drastično smanjuje broj grešaka.

Prvo primanje. Ne budi lijen prije rješavanje kvadratne jednadžbe dovesti ga u standardni oblik.

Što to znači?

Pretpostavimo da nakon bilo koje transformacije dobijete sljedeću jednadžbu:

Nemojte žuriti s pisanjem formule korijena! Gotovo ćete sigurno pomiješati izglede a, b i c.

Ispravno sastavite primjer. Prvo x na kvadrat, zatim bez kvadrata, pa slobodni član. Kao ovo:

Riješite se minusa. Kako? Trebamo pomnožiti cijelu jednadžbu s -1. Dobivamo:

A sada možete sigurno zapisati formulu za korijene, izračunati diskriminant i dovršiti primjer.

Odlučite sami. Trebali biste završiti s korijenima 2 i -1.

Drugi prijem. Provjerite svoje korijene! Po Vietin teorem.

Za rješavanje zadanih kvadratnih jednadžbi, tj. ako je koeficijent

x2+bx+c=0,

zatimx 1 x 2 =c

x1 +x2 =−b

Za potpunu kvadratnu jednadžbu u kojoj a≠1:

x 2 +bx+c=0,

podijelite cijelu jednadžbu s a:

→ →

gdje x 1 i x 2 - korijeni jednadžbe.

Prijem treći. Ako vaša jednadžba ima frakcijski izgledi, - riješite se razlomaka! Pomnožiti

jednadžba za zajednički nazivnik.

Zaključak. Praktični savjeti:

1. Prije rješavanja dovodimo kvadratnu jednadžbu u standardni oblik, gradimo je pravo.

2. Ako ispred x u kvadratu stoji negativan koeficijent, eliminiramo ga množenjem svega

jednadžbe za -1.

3. Ako su koeficijenti razlomci, eliminiramo razlomke množenjem cijele jednadžbe s odgovarajućim

faktor.

4. Ako je x na kvadrat čist, koeficijent pri njemu jednako jedan, rješenje se može lako provjeriti pomoću

Prva razina

Kvadratne jednadžbe. Sveobuhvatni vodič (2019)

U pojmu "kvadratna jednadžba" ključna je riječ "kvadratna". To znači da jednadžba mora nužno sadržavati varijablu (isti X) u kvadratu, au isto vrijeme ne bi trebalo biti X-ova u trećem (ili višem) stupnju.

Rješenje mnogih jednadžbi svodi se na rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Naučimo odrediti da imamo kvadratnu jednadžbu, a ne neku drugu.

Primjer 1

Riješite se nazivnika i pomnožite svaki član jednadžbe s

Pomaknimo sve na lijevu stranu i posložimo članove u silazni red potencija od x

Sada možemo sa sigurnošću reći da je ova jednadžba kvadratna!

Primjer 2

Pomnožite lijevu i desnu stranu s:

Ova jednadžba, iako je izvorno u njoj, nije kvadrat!

Primjer 3

Pomnožimo sve sa:

Zastrašujuće? Četvrti i drugi stupanj ... Međutim, ako napravimo zamjenu, vidjet ćemo da imamo jednostavnu kvadratnu jednadžbu:

Primjer 4

Čini se da jest, ali pogledajmo pobliže. Premjestimo sve na lijevu stranu:

Vidite, smanjio se - i sada je to jednostavna linearna jednadžba!

Sada pokušajte sami odrediti koje su od sljedećih jednadžbi kvadratne, a koje nisu:

Primjeri:

odgovori:

1. kvadrat;
2. kvadrat;
3. nije kvadrat;
4. nije kvadrat;
5. nije kvadrat;
6. kvadrat;
7. nije kvadrat;
8. kvadrat.

Matematičari uvjetno dijele sve kvadratne jednadžbe na sljedeće vrste:

• Potpune kvadratne jednadžbe- jednadžbe u kojima koeficijenti i, kao i slobodni član c, nisu jednaki nuli (kao u primjeru). Osim toga, među potpunim kvadratnim jednadžbama postoje dano su jednadžbe u kojima je koeficijent (jednadžba iz primjera jedan ne samo da je potpuna, već i smanjena!)

• Nepotpune kvadratne jednadžbe- jednadžbe u kojima su koeficijent i/ili slobodni član c jednaki nuli:

  One su nepotpune jer im nedostaje neki element. Ali jednadžba mora uvijek sadržavati x na kvadrat !!! U suprotnom, to više neće biti kvadratna, već neka druga jednadžba.

Zašto su došli do takve podjele? Čini se da postoji X na kvadrat, i u redu. Takva podjela je zbog metoda rješenja. Razmotrimo svaki od njih detaljnije.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Prvo, usredotočimo se na rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi - one su puno jednostavnije!

Tipovi nepotpunih kvadratnih jednadžbi su:

1. , u ovoj jednadžbi koeficijent je jednak.
2. , u ovoj jednadžbi slobodni član je jednak.
3. , u ovoj jednadžbi koeficijent i slobodni član su jednaki.

1. i. Budući da znamo izvlačiti Korijen, onda izrazimo iz ove jednadžbe

Izraz može biti negativan ili pozitivan. Kvadrat broja ne može biti negativan, jer će pri množenju dva negativna ili dva pozitivna broja rezultat uvijek biti pozitivan broj, dakle: ako, onda jednadžba nema rješenja.

A ako, tada dobivamo dva korijena. Ove formule nije potrebno pamtiti. Glavna stvar je da uvijek trebate znati i zapamtiti da ne može biti manje.

Pokušajmo riješiti neke primjere.

Primjer 5:

Riješite jednadžbu

Sada ostaje izvući korijen iz lijevog i desnog dijela. Uostalom, sjećate li se kako se vadi korijenje?

Odgovor:

Nikad ne zaboravite korijene s negativnim predznakom!!!

Primjer 6:

Riješite jednadžbu

Odgovor:

Primjer 7:

Riješite jednadžbu

Joj! Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da jednadžba

bez korijena!

Za takve jednadžbe u kojima nema korijena matematičari su osmislili posebnu ikonu - (prazan skup). A odgovor se može napisati ovako:

Odgovor:

Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena. Ovdje nema ograničenja jer nismo izvadili root.
Primjer 8:

Riješite jednadžbu

Izbacimo zajednički faktor iz zagrada:

Na ovaj način,

Ova jednadžba ima dva korijena.

Odgovor:

Najjednostavniji tip nepotpunih kvadratnih jednadžbi (iako su sve jednostavne, zar ne?). Očito, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Ovdje ćemo bez primjera.

Rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi

Podsjećamo da je potpuna kvadratna jednadžba jednadžba oblika jednadžbe gdje je

Rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi malo je kompliciranije (samo malo) od ovih danih.

Zapamtiti, bilo koja kvadratna jednadžba može se riješiti pomoću diskriminante! Čak i nepotpuna.

Ostale metode će vam pomoći da to učinite brže, ali ako imate problema s kvadratnim jednadžbama, prvo savladajte rješenje pomoću diskriminante.

1. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću diskriminante.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi na ovaj način je vrlo jednostavno, glavna stvar je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula.

Ako, onda jednadžba ima korijen Posebna pažnja nacrtati korak. Diskriminant () nam govori broj korijena jednadžbe.

• Ako, tada će se formula u koraku svesti na. Dakle, jednadžba će imati samo korijen.
• Ako, tada nećemo moći izvući korijen diskriminante na koraku. To znači da jednadžba nema korijena.

Vratimo se našim jednadžbama i pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 9:

Riješite jednadžbu

Korak 1 preskočiti.

Korak 2

Pronalaženje diskriminante:

Dakle, jednadžba ima dva korijena.

3. korak

Odgovor:

Primjer 10:

Riješite jednadžbu

Jednadžba je u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskočiti.

Korak 2

Pronalaženje diskriminante:

Dakle, jednadžba ima jedan korijen.

Odgovor:

Primjer 11:

Riješite jednadžbu

Jednadžba je u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskočiti.

Korak 2

Pronalaženje diskriminante:

To znači da nećemo moći izvući korijen iz diskriminante. Ne postoje korijeni jednadžbe.

Sada znamo kako takve odgovore ispravno zapisati.

Odgovor: bez korijena

2. Rješenje kvadratnih jednadžbi pomoću Vieta teorema.

Ako se sjećate, postoji takva vrsta jednadžbi koje se nazivaju smanjene (kada je koeficijent a jednak):

Takve je jednadžbe vrlo lako riješiti pomoću Vietinog teorema:

Zbroj korijena dano kvadratna jednadžba jednaka, a umnožak korijena jednak.

Primjer 12:

Riješite jednadžbu

Ova je jednadžba prikladna za rješavanje pomoću Vietinog teorema, jer .

Zbroj korijena jednadžbe je, tj. dobivamo prvu jednadžbu:

A proizvod je:

Kreirajmo i riješimo sustav:

• i. Zbroj je;
• i. Zbroj je;
• i. Iznos je jednak.

i rješenje su sustava:

Odgovor: ; .

Primjer 13:

Riješite jednadžbu

Odgovor:

Primjer 14:

Riješite jednadžbu

Jednadžba je reducirana, što znači:

Odgovor:

KVADRATNE JEDNADŽBE. PROSJEČNA RAZINA

Što je kvadratna jednadžba?

Drugim riječima, kvadratna jednadžba je jednadžba oblika, gdje je - nepoznato - neki brojevi, štoviše.

Broj se naziva najvećim ili prvi koeficijent kvadratna jednadžba, - drugi koeficijent, a - slobodan član.

Zašto? Jer ako, jednadžba će odmah postati linearna, jer nestat će.

U ovom slučaju, i može biti jednak nuli. U ovoj se stolici jednadžba naziva nepotpunom. Ako su svi članovi na mjestu, to jest, jednadžba je potpuna.

Rješenja raznih vrsta kvadratnih jednadžbi

Metode rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

Za početak ćemo analizirati metode za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi - one su jednostavnije.

Mogu se razlikovati sljedeće vrste jednadžbi:

I. , u ovoj jednadžbi koeficijent i slobodni član su jednaki.

II. , u ovoj jednadžbi koeficijent je jednak.

III. , u ovoj jednadžbi slobodni član je jednak.

Sada razmotrite rješenje svake od ovih podvrsta.

Očito, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Broj na kvadrat ne može biti negativan, jer će pri množenju dva negativna ili dva pozitivna broja rezultat uvijek biti pozitivan broj. Zato:

ako, onda jednadžba nema rješenja;

ako imamo dva korijena

Ove formule nije potrebno pamtiti. Glavna stvar koju treba zapamtiti je da ne može biti manje.

Primjeri:

rješenja:

Odgovor:

Nikad ne zaboravite korijene s negativnim predznakom!

Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da jednadžba

bez korijena.

Da bismo ukratko napisali da problem nema rješenja, koristimo ikonu praznog skupa.

Odgovor:

Dakle, ova jednadžba ima dva korijena: i.

Odgovor:

Izbacimo zajednički faktor iz zagrada:

Umnožak je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. To znači da jednadžba ima rješenje kada:

Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena: i.

Primjer:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Faktoriziramo lijevu stranu jednadžbe i nalazimo korijene:

Odgovor:

Metode rješavanja potpunih kvadratnih jednadžbi:

1. Diskriminator

Rješavanje kvadratnih jednadžbi na ovaj način je jednostavno, glavna stvar je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula. Zapamtite, bilo koja kvadratna jednadžba može se riješiti pomoću diskriminante! Čak i nepotpuna.

Jeste li primijetili korijen diskriminanta u formuli korijena? Ali diskriminant može biti negativan. Što učiniti? Moramo obratiti posebnu pozornost na korak 2. Diskriminant nam govori broj korijena jednadžbe.

• Ako, onda jednadžba ima korijen:
• Ako, onda jednadžba ima isti korijen, ali zapravo jedan korijen:

  Takvi se korijeni nazivaju dvostruki korijeni.

• Ako, tada se korijen diskriminante ne izdvaja. To znači da jednadžba nema korijena.

Zašto je moguće drugačiji iznos korijenje? Obratimo se geometrijski smisao kvadratna jednadžba. Graf funkcije je parabola:

U posebnom slučaju, koji je kvadratna jednadžba, . A to znači da su korijeni kvadratne jednadžbe točke presjeka s x-osi (osi). Parabola ne smije uopće sijeći os ili je može sijeći u jednoj (kada vrh parabole leži na osi) ili u dvije točke.

Osim toga, koeficijent je odgovoran za smjer grana parabole. Ako, tada su grane parabole usmjerene prema gore, a ako - onda prema dolje.

Primjeri:

rješenja:

Odgovor:

Odgovor: .

Odgovor:

To znači da nema rješenja.

Odgovor: .

2. Vietaov teorem

Korištenje Vieta teorema je vrlo jednostavno: trebate samo odabrati par brojeva čiji je produkt jednak slobodnom članu jednadžbe, a zbroj je jednak drugom koeficijentu, uzetom sa suprotnim predznakom.

Važno je zapamtiti da se Vietin teorem može primijeniti samo na zadane kvadratne jednadžbe ().

Pogledajmo nekoliko primjera:

Primjer #1:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Ova je jednadžba prikladna za rješavanje pomoću Vietinog teorema, jer . Ostali koeficijenti: ; .

Zbroj korijena jednadžbe je:

A proizvod je:

Izaberimo takve parove brojeva čiji je umnožak jednak i provjerimo je li im zbroj jednak:

• i. Zbroj je;
• i. Zbroj je;
• i. Iznos je jednak.

i rješenje su sustava:

Dakle, i su korijeni naše jednadžbe.

Odgovor: ; .

Primjer #2:

Riješenje:

Odaberemo takve parove brojeva koji daju umnožak, a zatim provjerimo je li im zbroj jednak:

i: dati ukupno.

i: dati ukupno. Da biste ga dobili, samo trebate promijeniti znakove navodnih korijena: i, uostalom, proizvod.

Odgovor:

Primjer #3:

Riješenje:

Slobodni član jednadžbe je negativan, a time i umnožak korijena - negativan broj. To je moguće samo ako je jedan od korijena negativan, a drugi pozitivan. Dakle, zbroj korijena je razlike njihovih modula.

Biramo takve parove brojeva koji daju umnožak, a čija je razlika jednaka:

i: njihova je razlika - neprikladna;

i: - nije prikladno;

i: - nije prikladno;

i: - prikladan. Ostaje samo zapamtiti da je jedan od korijena negativan. Kako njihov zbroj mora biti jednak, tada korijen, koji je manji po apsolutnoj vrijednosti, mora biti negativan: . Provjeravamo:

Odgovor:

Primjer #4:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Jednadžba je reducirana, što znači:

Slobodni član je negativan, pa je stoga umnožak korijena negativan. A to je moguće samo kada je jedan korijen jednadžbe negativan, a drugi pozitivan.

Odaberemo takve parove brojeva čiji je umnožak jednak, a zatim odredimo koji korijeni trebaju imati negativan predznak:

Očito, samo korijenje i prikladni su za prvi uvjet:

Odgovor:

Primjer #5:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Jednadžba je reducirana, što znači:

Zbroj korijena je negativan, što znači da je barem jedan od korijena negativan. Ali budući da je njihov umnožak pozitivan, to znači da su oba korijena minus.

Biramo takve parove brojeva, čiji je proizvod jednak:

Očito, korijeni su brojevi i.

Odgovor:

Slažem se, vrlo je zgodno - izmisliti korijene usmeno, umjesto da brojite ovu gadnu diskriminaciju. Pokušajte što češće koristiti Vietin teorem.

Ali Vieta teorem je potreban kako bi se olakšalo i ubrzalo pronalaženje korijena. Da bi vam bilo isplativo koristiti ga, radnje morate dovesti do automatizma. A za ovo riješite još pet primjera. Ali nemojte varati: ne možete koristiti diskriminant! Samo Vietin teorem:

Rješenja zadataka za samostalan rad:

Zadatak 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Prema Vietinom teoremu:

Kao i obično, odabir počinjemo s proizvodom:

Nije prikladno jer količina;

: iznos je ono što vam je potrebno.

Odgovor: ; .

Zadatak 2.

I opet, naš omiljeni Vieta teorem: zbroj bi trebao ispasti, ali umnožak je jednak.

Ali budući da bi trebalo biti ne, ali, mijenjamo znakove korijena: i (ukupno).

Odgovor: ; .

Zadatak 3.

Hmm... Gdje je?

Potrebno je sve uvjete prenijeti u jedan dio:

Zbroj korijena jednak je umnošku.

Da, prestani! Jednadžba nije dana. Ali Vietin teorem primjenjiv je samo u danim jednadžbama. Dakle, prvo morate donijeti jednadžbu. Ako to ne možete iznijeti, odbacite ovu ideju i riješite je na drugi način (na primjer, kroz diskriminant). Dopustite mi da vas podsjetim da donijeti kvadratnu jednadžbu znači učiniti vodeći koeficijent jednak:

Izvrsno. Tada je zbroj korijena jednak, a umnožak.

Ovdje je lakše pokupiti: ipak - prost broj (oprostite na tautologiji).

Odgovor: ; .

Zadatak 4.

Slobodni izraz je negativan. Što je tu tako posebno? I činjenica da će korijeni biti različitih predznaka. I sada, tijekom odabira, ne provjeravamo zbroj korijena, već razliku između njihovih modula: ova razlika je jednaka, ali proizvod.

Dakle, korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je s minusom. Vietin teorem nam govori da je zbroj korijena jednak drugom koeficijentu sa suprotnim predznakom, tj. To znači da će manji korijen imati minus: i, budući da.

Odgovor: ; .

Zadatak 5.

Što prvo treba učiniti? Tako je, navedite jednadžbu:

Opet: odabiremo faktore broja, a njihova razlika treba biti jednaka:

Korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je minus. Koji? Njihov zbroj mora biti jednak, što znači da će s minusom biti veći korijen.

Odgovor: ; .

Dopustite mi da rezimiram:

1. Vietin teorem koristi se samo u zadanim kvadratnim jednadžbama.
2. Pomoću Vieta teorema možete pronaći korijene odabirom, usmeno.
3. Ako jednadžba nije dana ili nije pronađen odgovarajući par faktora slobodnog člana, tada nema cjelobrojnih korijena i trebate je riješiti na drugi način (na primjer, preko diskriminante).

3. Metoda odabira punog kvadrata

Ako se svi članovi koji sadrže nepoznanicu predstave kao članovi iz formula skraćenog množenja - kvadrata zbroja ili razlike - tada se jednadžba nakon izmjene varijabli može prikazati kao nepotpuna kvadratna jednadžba tipa .

Na primjer:

Primjer 1:

Riješite jednadžbu: .

Riješenje:

Odgovor:

Primjer 2:

Riješite jednadžbu: .

Riješenje:

Odgovor:

Općenito, transformacija će izgledati ovako:

Iz čega slijedi: .

Ne podsjeća li vas ni na što? To je diskriminator! Upravo tako je dobivena diskriminantna formula.

KVADRATNE JEDNADŽBE. UKRATKO O GLAVNOM

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika, gdje je nepoznanica, su koeficijenti kvadratne jednadžbe, je slobodni član.

Potpuna kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj koeficijenti nisu jednaki nuli.

Reducirana kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj je koeficijent, odnosno: .

Nepotpuna kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj su koeficijent i/ili slobodni član c jednaki nuli:

• ako je koeficijent, jednadžba ima oblik: ,
• ako je slobodan član, jednadžba ima oblik: ,
• ako je i, jednadžba ima oblik: .

1. Algoritam za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

1.1. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

1) Izrazi nepoznato: ,

2) Provjerite predznak izraza:

• ako, onda jednadžba nema rješenja,
• ako, onda jednadžba ima dva korijena.

1.2. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

1) Izbacimo zajednički faktor iz zagrada: ,

2) Umnožak je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. Dakle, jednadžba ima dva korijena:

1.3. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

Ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen: .

2. Algoritam za rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi oblika gdje

2.1. Rješenje pomoću diskriminante

1) Dovedimo jednadžbu u standardni oblik: ,

2) Izračunajte diskriminant koristeći formulu: , koja označava broj korijena jednadžbe:

3) Pronađite korijene jednadžbe:

• ako, onda jednadžba ima korijen koji se nalazi po formuli:
• ako, onda jednadžba ima korijen, koji se nalazi po formuli:
• ako, onda jednadžba nema korijena.

2.2. Rješenje pomoću Vietinog teorema

Zbroj korijena reducirane kvadratne jednadžbe (jednadžbe oblika, gdje) je jednak, a produkt korijena je jednak, tj. , a.

2.3. Potpuno kvadratno rješenje