Za rješavanje geometrijskog problema koordinatnom metodom potrebna je sjecišna točka čije se koordinate koriste u rješenju. Dolazi do situacije kada je potrebno tražiti koordinate sjecišta dviju pravaca u ravnini ili odrediti koordinate istih pravaca u prostoru. ovaj članak razmatra slučajeve nalaženja koordinata točaka u kojima se zadani pravci sijeku.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Potrebno je definirati točke sjecišta dviju linija.

Odjeljak o međusobnom položaju pravaca u ravnini pokazuje da se oni mogu podudarati, biti paralelni, sijeći se u jednoj zajedničkoj točki ili se presijecati. Dva pravca u prostoru nazivaju se sijekućima ako imaju jednu zajedničku točku.

Definicija točke sjecišta linija zvuči ovako:

Definicija 1

Točka u kojoj se dva pravca sijeku naziva se njihovim sjecištem. Drugim riječima, točka sjecišta linija je točka presjeka.

Razmotrite sliku u nastavku.

Prije pronalaženja koordinata točke sjecišta dviju linija, potrebno je razmotriti primjer u nastavku.

Ako na ravnini postoji koordinatni sustav O x y, tada su zadane dvije prave a i b. Direct a odgovara opća jednadžba oblika A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, za ravnu liniju b - A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0. Tada je M 0 (x 0 , y 0) neka točka ravnine, potrebno je odrediti hoće li točka M 0 biti sjecište ovih pravaca.

Za rješavanje problema potrebno je pridržavati se definicije. Tada se pravci moraju presijecati u točki čije su koordinate rješenje zadanih jednadžbi A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . To znači da su koordinate točke presjeka zamijenjene u sve zadane jednadžbe. Ako daju točan identitet prilikom zamjene, tada se M 0 (x 0 , y 0) smatra njihovom sjecišnom točkom.

Primjer 1

Zadana su dva pravca koji se sijeku 5 x - 2 y - 16 = 0 i 2 x - 5 y - 19 = 0 . Hoće li točka M 0 s koordinatama (2, - 3) biti točka presjeka.

Riješenje

Da bi sjecište pravaca bilo realno, potrebno je da koordinate točke M 0 zadovoljavaju jednadžbe pravaca. To se potvrđuje njihovom zamjenom. Shvaćamo to

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Obje jednakosti su točne, što znači da je M 0 (2, - 3) sjecište zadanih pravaca.

Hajdemo portretirati ovu odluku na koordinatnoj liniji donje slike.

Odgovor:dana točka s koordinatama (2, - 3) bit će točka presjeka zadanih pravaca.

Primjer 2

Hoće li se pravci 5 x + 3 y - 1 = 0 i 7 x - 2 y + 11 = 0 sijeći u točki M 0 (2 , - 3) ?

Riješenje

Za rješavanje problema potrebno je zamijeniti koordinate točke u svim jednadžbama. Shvaćamo to

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Druga jednakost nije točna, što znači da navedena točka ne pripada pravcu 7 x - 2 y + 11 = 0 . Stoga imamo da točka M 0 nije sjecište pravaca.

Crtež jasno pokazuje da M 0 nije sjecište pravaca. Imaju zajedničku točku s koordinatama (- 1 , 2) .

Odgovor: točka s koordinatama (2, - 3) nije sjecište zadanih pravaca.

Okrećemo se pronalaženju koordinata točaka sjecišta dviju linija pomoću zadanih jednadžbi na ravnini.

Dvije crte a i b koje se sijeku dane su jednadžbama oblika A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 koje se nalaze u O x y. Kod označavanja sjecišta M 0 dobivamo da treba nastaviti traženje koordinata prema jednadžbama A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

Iz definicije je očito da je M 0 zajednička točka presjeka pravaca. U tom slučaju njegove koordinate moraju zadovoljavati jednadžbe A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Drugim riječima, ovo je rješenje dobivenog sustava A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

To znači da je za pronalaženje koordinata sjecišta potrebno sustavu dodati sve jednadžbe i riješiti ga.

Primjer 3

Na ravnini su date dvije crte x - 9 y + 14 = 0 i 5 x - 2 y - 16 = 0. morate pronaći njihovo sjecište.

Riješenje

Podatke o uvjetu jednadžbe potrebno je sakupiti u sustav, nakon čega dobivamo x - 9 y + 14 \u003d 0 5 x - 2 y - 16 \u003d 0. Da bi se to riješilo, prva jednadžba se rješava za x, izraz se zamjenjuje u drugu:

x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 5 9 y - 14 - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

Dobiveni brojevi su koordinate koje je trebalo pronaći.

Odgovor: M 0 (4 , 2) je sjecište pravaca x - 9 y + 14 = 0 i 5 x - 2 y - 16 = 0 .

Potraga za koordinatama svodi se na rješavanje sustava linearnih jednadžbi. Ako je prema uvjetu zadan drugi oblik jednadžbe, tada je treba svesti na normalni oblik.

Primjer 4

Odredi koordinate točaka presjeka pravaca x - 5 = y - 4 - 3 i x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R .

Riješenje

Za početak je potrebno jednadžbe dovesti u opći oblik. Tada dobivamo da se x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R transformira na ovaj način:

x = 4 + 9 λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 (x - 4) = 9 (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

Zatim uzmemo jednadžbu kanonskog oblika x - 5 = y - 4 - 3 i transformiramo. Shvaćamo to

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

Stoga imamo da su koordinate točka presjeka

x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20

Primijenimo Cramerovu metodu da pronađemo koordinate:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 (- 5) - (- 9) 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 (- 5) - (- 9) ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 (- 20) - (- 14) 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 22 22 = 1

Odgovor: M 0 (- 5, 1) .

Postoji još jedan način za pronalaženje koordinata točke sjecišta linija koje se nalaze na ravnini. Primjenjivo je kada je jedna od linija dana parametarskim jednadžbama oblika x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . Tada se x = x 1 + a x λ i y = y 1 + a y λ zamjenjuju umjesto x, gdje dobivamo λ = λ 0 što odgovara točki presjeka koja ima koordinate x 1 + a x λ 0, y 1 + a y λ 0 .

Primjer 5

Odredite koordinate sjecišta pravca x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R i x - 5 = y - 4 - 3 .

Riješenje

Potrebno je izvršiti zamjenu u x - 5 \u003d y - 4 - 3 izrazom x \u003d 4 + 9 λ, y \u003d 2 + λ, tada dobivamo:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

Prilikom rješavanja dobivamo da je λ = - 1 . To implicira da postoji sjecišna točka između pravaca x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R i x - 5 = y - 4 - 3 . Za izračunavanje koordinata potrebno je u parametarsku jednadžbu zamijeniti izraz λ = - 1. Tada dobivamo da je x = 4 + 9 (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1 .

Odgovor: M 0 (- 5, 1) .

Da biste u potpunosti razumjeli temu, morate znati neke od nijansi.

Prvo morate razumjeti mjesto linija. Kada se sijeku, pronaći ćemo koordinate, u ostalim slučajevima neće biti rješenja. Da bismo izbjegli ovu provjeru, možemo sastaviti sustav oblika A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 Ako postoji rješenje, zaključujemo da se pravci sijeku. Ako rješenja nema, onda su paralelni. Kada sustav ima beskonačan skup rješenja, onda se kaže da su ista.

Primjer 6

Zadani su pravci x 3 + y - 4 = 1 i y = 4 3 x - 4 . Utvrdite imaju li zajedničku točku.

Riješenje

Pojednostavljujući zadane jednadžbe, dobivamo 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 i 4 3 x - y - 4 = 0 .

Jednadžbe je potrebno sakupiti u sustav za naknadno rješavanje:

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

To pokazuje da se jednadžbe izražavaju jedna kroz drugu, tada dobivamo beskonačan broj rješenja. Tada jednadžbe x 3 + y - 4 = 1 i y = 4 3 x - 4 definiraju istu ravnu liniju. Dakle, nema točaka sjecišta.

Odgovor: zadane jednadžbe definiraju istu ravnu liniju.

Primjer 7

Odredite koordinate točke presjeka pravaca 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 i 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

Riješenje

Prema uvjetu, moguće je da se linije neće sijeći. Napiši sustav jednadžbi i riješi ga. Za rješenje je potrebno koristiti Gaussovu metodu, jer je pomoću nje moguće provjeriti kompatibilnost jednadžbe. Dobivamo sustav oblika:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) (- (3 + 2)) = 1 + - 7 ( - (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Dobili smo pogrešnu jednakost, pa sustav nema rješenja. Zaključujemo da su pravci paralelni. Nema točaka sjecišta.

Drugo rješenje.

Prvo morate utvrditi prisutnost sjecišta linija.

n 1 → = (2 , 2 - 3) je vektor normale pravca 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 , tada je vektor n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 - normalni vektor za ravnu liniju 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

Potrebno je provjeriti kolinearnost vektora n 1 → = (2, 2 - 3) i n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7) . Dobivamo jednakost oblika 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7 . Točno je jer je 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0 . Slijedi da su vektori kolinearni. To znači da su pravci paralelni i nemaju sjecišta.

Odgovor: nema sjecišta, linije su paralelne.

Primjer 8

Odredi koordinate sjecišta zadanih pravaca 2 x - 1 = 0 i y = 5 4 x - 2 .

Riješenje

Za rješavanje sastavljamo sustav jednadžbi. Dobivamo

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Odredite determinantu glavne matrice. Za to je 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2 . Budući da nije nula, sustav ima 1 rješenje. Slijedi da se pravci sijeku. Riješimo sustav za pronalaženje koordinata presječnih točaka:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Dobili smo da sjecište zadanih pravaca ima koordinate M 0 (1 2 , - 11 8) .

Odgovor: M 0 (1 2 , - 11 8) .

Određivanje koordinata sjecišta dviju pravaca u prostoru

Na isti način se pronalaze točke sjecišta linija prostora.

Kada su zadane linije a i b koordinatna ravnina Oko x y z jednadžbama ravnina koje se sijeku, tada postoji ravna linija a, koja se može odrediti pomoću danom sustavu A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 i pravac b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 .

Kada je točka M 0 sjecište pravaca, tada njezine koordinate moraju biti rješenja obiju jednadžbi. Dobivamo linearne jednadžbe u sustavu:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

Razmotrimo takve zadatke s primjerima.

Primjer 9

Odredite koordinate sjecišta zadanih pravaca x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 i 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0

Riješenje

Sastavimo sustav x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 i riješimo ga. Za pronalaženje koordinata potrebno je riješiti kroz matricu. Tada dobivamo glavnu matricu oblika   A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 i proširenu matricu T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 . Rang matrice određujemo prema Gaussu.

Shvaćamo to

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Iz toga slijedi da je rang proširene matrice 3. Tada sustav jednadžbi x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 daje samo jedno rješenje.

Bazni minor ima determinantu 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , tada zadnja jednadžba ne odgovara. Dobivamo da je x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3 . Rješenje sustava x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

Dakle, imamo da sjecišna točka x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 i 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ima koordinate (1 , - 3 , 0) .

Odgovor: (1 , - 3 , 0) .

Sustav oblika A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 ima samo jedno rješenje. Dakle, pravci a i b se sijeku.

U ostalim slučajevima jednadžba nema rješenja, tj. zajedničke točke isto. Odnosno, nemoguće je pronaći točku s koordinatama, jer ona ne postoji.

Dakle, sustav oblika A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 rješava se Gaussovom metodom. Uz njegovu nekompatibilnost, linije se ne sijeku. Ako postoji beskonačan broj rješenja, onda se ona podudaraju.

Možete donijeti odluku izračunavanjem glavnog i proširenog ranga matrice, a zatim primijeniti Kronecker-Capellijev teorem. Dobivamo jedno, više ili potpuni izostanak rješenja.

Primjer 10

Zadane su jednadžbe pravaca x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 i x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Pronađite točku sjecišta.

Riješenje

Prvo, postavimo sustav jednadžbi. Dobivamo da je x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 . Rješavamo ga Gaussovom metodom:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Očito je da sustav nema rješenja, što znači da se pravci ne sijeku. Nema sjecišta.

Odgovor: nema sjecišta.

Ako su pravci definirani pomoću konusnih ili parametarske jednadžbe, trebate dovesti do oblika jednadžbi ravnina koje se sijeku, a zatim pronaći koordinate.

Primjer 11

Dana su dva pravca x = - 3 - λ y = - 3 · λ z = - 2 + 3 · λ , λ ∈ R i x 2 = y - 3 0 = z 5 u O x y z . Pronađite točku sjecišta.

Riješenje

Pravce postavljamo jednadžbama dviju ravnina koje se sijeku. Shvaćamo to

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Pronalazimo koordinate 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 , za to izračunavamo rangove matrice. Rang matrice je 3 i osnovni mol 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 \u003d - 3 ≠ 0, što znači da se zadnja jednadžba mora isključiti iz sustava. Shvaćamo to

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Riješimo sustav Cramerovom metodom. Dobivamo da je x = - 2 y = 3 z = - 5 . Odavde dobivamo da sjecište zadanih pravaca daje točku s koordinatama (- 2 , 3 , - 5) .

Odgovor: (- 2 , 3 , - 5) .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Oh-oh-oh-oh-oh ... pa, sitno je, kao da ste sami pročitali rečenicu =) Međutim, tada će opuštanje pomoći, pogotovo jer sam danas kupila odgovarajuće dodatke. Stoga, prijeđimo na prvi odjeljak, nadam se da ću do kraja članka zadržati veselo raspoloženje.

Međusobni raspored dviju ravnih linija

Slučaj kada dvorana pjeva u zboru. Dvije linije mogu:

1) utakmica;

2) biti paralelan: ;

3) ili se sijeku u jednoj točki: .

Pomoć za glupane : molim te zapamti matematički znak raskrižje, događat će se vrlo često. Zapis znači da se pravac siječe s pravcem u točki.

Kako odrediti međusobni položaj dviju linija?

Počnimo s prvim slučajem:

Dva se pravca podudaraju ako i samo ako su im koeficijenti proporcionalni, odnosno postoji takav broj "lambda" da jednakosti

Promotrimo ravne linije i sastavimo tri jednadžbe od odgovarajućih koeficijenata: . Iz svake jednadžbe slijedi da se, dakle, ove linije podudaraju.

Doista, ako su svi koeficijenti jednadžbe pomnožite s -1 (promijenite predznak), i sve koeficijente jednadžbe smanjite za 2, dobit ćete istu jednadžbu: .

Drugi slučaj kada su pravci paralelni:

Dva pravca su paralelna ako i samo ako su im koeficijenti pri varijablama proporcionalni: , ali.

Kao primjer, razmotrite dvije ravne linije. Provjeravamo proporcionalnost odgovarajućih koeficijenata za varijable:

Međutim, jasno je da.

I treći slučaj, kada se linije sijeku:

Dva se pravca sijeku ako i samo ako njihovi koeficijenti varijabli NISU proporcionalni, to jest, NE postoji takva vrijednost "lambda" da su jednakosti ispunjene

Dakle, za ravne linije ćemo sastaviti sustav:

Iz prve jednadžbe slijedi da je , a iz druge jednadžbe: , dakle, sustav je nedosljedan(nema rješenja). Dakle, koeficijenti kod varijabli nisu proporcionalni.

Zaključak: linije se sijeku

U praktičnim problemima može se koristiti upravo razmatrana shema rješenja. Usput, vrlo je sličan algoritmu za provjeru kolinearnosti vektora, koji smo razmatrali u lekciji. Pojam linearne (ne)ovisnosti vektora. Vektorska osnova. Ali postoji civiliziraniji paket:

Primjer 1

Saznati međusobni dogovor direktno:

Riješenje na temelju proučavanja vektora usmjeravanja ravnih linija:

a) Iz jednadžbi nalazimo vektore smjera pravaca: .

, pa vektori nisu kolinearni i pravci se sijeku.

Za svaki slučaj, na raskrižju ću postaviti kamen sa pokazivačima:

Ostali preskaču kamen i slijede dalje, ravno do Kashcheija Besmrtnog =)

b) Odredite vektore smjera pravaca:

Pravci imaju isti vektor smjera, što znači da su ili paralelni ili isti. Ovdje odrednica nije potrebna.

Očito je da su koeficijenti nepoznanica proporcionalni, dok je .

Otkrijmo je li jednakost istinita:

Na ovaj način,

c) Odredite vektore smjera pravaca:

Izračunajmo determinantu sastavljenu od koordinata ovih vektora:
, stoga su vektori smjera kolinearni. Pravci su ili paralelni ili se poklapaju.

Faktor proporcionalnosti "lambda" lako je vidjeti izravno iz omjera kolinearnih vektora smjera. Međutim, može se pronaći i preko koeficijenata samih jednadžbi: .

Sada saznajmo je li jednakost istinita. Oba besplatna termina su nula, pa:

Dobivena vrijednost zadovoljava ova jednadžba(općenito odgovara svakom broju).

Dakle, linije se podudaraju.

Odgovor:

Vrlo brzo ćete naučiti (ili ste već naučili) razmatrani problem riješiti verbalno doslovno u nekoliko sekundi. U tom pogledu ne vidim razloga da bilo što nudim neovisna odluka, bolje je postaviti još jednu važnu ciglu u geometrijski temelj:

Kako nacrtati pravac paralelan sa zadanim?

Zbog neznanja o ovome najjednostavniji zadatak strogo kažnjava Slavuja razbojnika.

Primjer 2

Pravac je dan jednadžbom . Napiši jednadžbu za paralelni pravac koji prolazi točkom.

Riješenje: Označite nepoznatu liniju slovom . Što stanje govori o tome? Pravac prolazi točkom. A ako su pravci paralelni, onda je očito da je i vektor usmjeravanja pravca "ce" prikladan za konstruiranje pravca "de".

Iz jednadžbe izdvajamo vektor smjera:

Odgovor:

Geometrija primjera izgleda jednostavno:

Analitička verifikacija sastoji se od sljedećih koraka:

1) Provjeravamo imaju li pravci isti vektor smjera (ako jednadžba pravca nije ispravno pojednostavljena, vektori će biti kolinearni).

2) Provjerite zadovoljava li točka dobivenu jednadžbu.

Analitičku provjeru u većini slučajeva lako je izvesti verbalno. Pogledajte dvije jednadžbe i mnogi od vas će brzo shvatiti kako su linije paralelne bez ikakvog crteža.

Primjeri za samostalno rješavanje danas će biti kreativni. Jer još se morate natjecati s Baba Yagom, a ona je, znate, ljubiteljica svih vrsta zagonetki.

Primjer 3

Napišite jednadžbu za pravac koji prolazi kroz točku paralelnu s pravcem if

Postoji racionalan i ne baš racionalan način rješavanja. Najkraći put je na kraju lekcije.

Malo smo radili s paralelnim linijama i vratit ćemo im se kasnije. Slučaj podudarnih linija je od malog interesa, pa razmotrite problem koji vam je dobro poznat iz školski plan i program:

Kako pronaći točku sjecišta dviju linija?

Ako je ravno sijeku u točki , tada su njegove koordinate rješenje sustavi linearnih jednadžbi

Kako pronaći točku sjecišta linija? Riješite sustav.

Ovo je za tebe geometrijsko značenje sustavi dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice su dvije (najčešće) prave u ravnini koje se sijeku.

Primjer 4

Pronađite točku sjecišta linija

Riješenje: Postoje dva načina rješavanja - grafički i analitički.

Grafički način je jednostavno nacrtati zadane linije i pronaći točku sjecišta izravno iz crteža:

Evo naše tvrdnje: . Da biste provjerili, trebali biste zamijeniti njegove koordinate u svaku jednadžbu ravne linije, one bi trebale stati i tamo i tamo. Drugim riječima, koordinate točke su rješenje sustava . Zapravo, razmotrili smo grafički način rješavanja sustavi linearnih jednadžbi s dvije jednadžbe, dvije nepoznanice.

Grafička metoda, naravno, nije loša, ali postoje vidljivi nedostaci. Ne, nije poanta da sedmaši tako odluče, poanta je da će trebati vremena da se napravi ispravan i TOČAN crtež. Osim toga, neke linije nije tako jednostavno konstruirati, a sama točka sjecišta može biti negdje u tridesetom kraljevstvu izvan lista bilježnice.

Stoga je točku presjeka svrsishodnije tražiti analitičkom metodom. Riješimo sustav:

Za rješavanje sustava korištena je metoda počlanog zbrajanja jednadžbi. Da biste razvili relevantne vještine, posjetite lekciju Kako riješiti sustav jednadžbi?

Odgovor:

Provjera je trivijalna - koordinate točke presjeka moraju zadovoljiti svaku jednadžbu sustava.

Primjer 5

Pronađite točku sjecišta pravaca ako se sijeku.

Ovo je primjer "uradi sam". Pogodno je podijeliti problem u nekoliko faza. Analiza stanja sugerira da je potrebno:
1) Napišite jednadžbu pravca.
2) Napišite jednadžbu pravca.
3) Odredi relativni položaj pravaca.
4) Ako se pravci sijeku, pronađite točku sjecišta.

Razvoj algoritma akcije tipičan je za mnoge geometrijski problemi, i na to ću se više puta usredotočiti.

Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije:

Par cipela još nije istrošen, jer smo došli do drugog dijela lekcije:

Okomite linije. Udaljenost od točke do pravca.
Kut između pravaca

Počnimo s tipičnim i vrlo važan zadatak. U prvom dijelu naučili smo kako izgraditi ravnu liniju paralelnu sa zadanom, a sada će se koliba na pilećim nogama okrenuti za 90 stupnjeva:

Kako nacrtati pravac okomit na zadani?

Primjer 6

Pravac je dan jednadžbom . Napišite jednadžbu za okomiti pravac koji prolazi točkom.

Riješenje: Poznato je po pretpostavci da . Bilo bi lijepo pronaći vektor smjera ravne linije. Budući da su linije okomite, trik je jednostavan:

Iz jednadžbe “uklonimo” vektor normale: , koji će biti vektor usmjeravanja pravca.

Jednadžbu pravca sastavljamo pomoću točke i usmjeravajućeg vektora:

Odgovor:

Razmotrimo geometrijsku skicu:

Hmmm... Narančasto nebo, narančasto more, narančasta deva.

Analitička provjera rješenja:

1) Izdvojite vektore smjera iz jednadžbi i uz pomoć točkasti umnožak vektora zaključujemo da su pravci doista okomiti: .

Usput, možete koristiti normalne vektore, čak je i lakše.

2) Provjerite zadovoljava li točka dobivenu jednadžbu .

Potvrdu je, opet, lako izvesti verbalno.

Primjer 7

Odredite sjecište okomitih pravaca, ako je jednadžba poznata i točka.

Ovo je primjer "uradi sam". U zadatku postoji nekoliko radnji, pa je zgodno rješavati točku po točku.

Naše zabavno putovanje nastavlja:

Udaljenost od točke do linije

Pred nama je ravni pojas rijeke i naš zadatak je doći do njega najkraćim putem. Nema prepreka, a najoptimalnija ruta bit će kretanje duž okomice. To jest, udaljenost od točke do crte je duljina okomitog segmenta.

Udaljenost se u geometriji tradicionalno označava grčkim slovom "ro", na primjer: - udaljenost od točke "em" do pravca "de".

Udaljenost od točke do linije izražava se formulom

Primjer 8

Nađi udaljenost od točke do pravca

Riješenje: sve što trebate je pažljivo zamijeniti brojeve u formulu i napraviti izračune:

Odgovor:

Izvršimo crtež:

Nađena udaljenost od točke do pravca jednaka je duljini crvenog segmenta. Ako nacrtate crtež na kariranom papiru u mjerilu 1 jedinice. \u003d 1 cm (2 ćelije), tada se udaljenost može izmjeriti običnim ravnalom.

Razmotrite još jedan zadatak prema istom crtežu:

Zadatak je pronaći koordinate točke koja je simetrična točki u odnosu na pravac . Predlažem da radnje izvršite sami, međutim, algoritam rješenja ću označiti s međurezultati:

1) Pronađite pravac koji je okomit na pravac.

2) Pronađite točku sjecišta pravaca: .

Obje radnje se detaljno razmatraju u ovoj lekciji.

3) Točka je središte odsječka. Znamo koordinate sredine i jednog od krajeva. Po formule za koordinate sredine segmenta pronaći .

Neće biti suvišno provjeriti je li udaljenost također jednaka 2,2 jedinice.

Ovdje se mogu pojaviti poteškoće u izračunima, ali u tornju mikrokalkulator puno pomaže, omogućujući vam da brojite obični razlomci. Savjetovao sam mnogo puta i preporučit ću opet.

Kako pronaći udaljenost između dvije paralelne crte?

Primjer 9

Nađi udaljenost između dvije paralelne crte

Ovo je još jedan primjer neovisnog rješenja. Mali savjet: postoji beskonačno mnogo načina za rješavanje. Ispitivanje na kraju lekcije, ali bolje pokušajte sami pogoditi, mislim da ste uspjeli dobro raspršiti svoju domišljatost.

Kut između dva pravca

Kakav ugao, takav dovratnik:


U geometriji se kut između dviju ravnih crta uzima kao MANI kut, iz čega automatski proizlazi da ne može biti tup. Na slici se kut označen crvenim lukom ne smatra kutom između linija koje se sijeku. I njegov “zeleni” susjed ili suprotno orijentiran grimizni kutak.

Ako su pravci okomiti, tada se bilo koji od 4 kuta može uzeti kao kut između njih.

Kako se razlikuju kutovi? Orijentacija. Prvo, smjer "klizanja" ugla je temeljno važan. Drugo, negativno orijentirani kut se piše sa znakom minus, na primjer, ako .

Zašto sam ovo rekao? Čini se da se možete snaći s uobičajenim konceptom kuta. Činjenica je da se u formulama kojima ćemo pronaći kutove lako može ispasti negativan rezultat i to vas ne bi trebalo iznenaditi. Kut s predznakom minus nije ništa gori i ima vrlo specifično geometrijsko značenje. Na crtežu za negativni kut potrebno je strelicom označiti njegovu orijentaciju (u smjeru kazaljke na satu).

Kako pronaći kut između dva pravca? Postoje dvije radne formule:

Primjer 10

Pronađite kut između pravaca

Riješenje i Prva metoda

Razmotrite dvije linije dane jednadžbama u opći pogled:

Ako je ravno nije okomito, onda orijentiran kut između njih može se izračunati pomoću formule:

Najviše velika pozornost okreni se nazivniku - to je točno skalarni proizvod vektori smjera ravnih linija:

Ako je , tada nazivnik formule nestaje, a vektori će biti ortogonalni, a pravci će biti okomiti. Zato je napravljena rezerva oko neokomitosti linija u formulaciji.

Na temelju prethodno navedenog, rješenje je praktično formalizirano u dva koraka:

1) Izračunaj skalarni proizvod vektori smjera ravnih linija:
pa linije nisu okomite.

2) Kut između linija nalazimo formulom:

Pomoću inverzna funkcija lako pronaći sam kutak. U ovom slučaju koristimo neparnost arc tangensa (vidi sl. Grafovi i svojstva elementarnih funkcija):

Odgovor:

U odgovoru navodimo točnu vrijednost, kao i približnu vrijednost (po mogućnosti iu stupnjevima iu radijanima), izračunatu pomoću kalkulatora.

Pa minus, pa minus, nema veze. Evo geometrijske ilustracije:

Nije iznenađujuće da je kut ispao negativne orijentacije, jer je u uvjetu zadatka prvi broj ravna crta i "uvijanje" kuta je počelo upravo od nje.

Ako stvarno želite dobiti pozitivan kut, trebate zamijeniti linije, odnosno uzeti koeficijente iz druge jednadžbe , te uzmite koeficijente iz prve jednadžbe. Ukratko, morate početi s izravnim .

Sjecišta na x-osi moraju riješiti jednadžbu y₁=y₂, tj. k₁x+b₁=k₂x+b₂.

Transformirajte ovu nejednakost da dobijete k₁x-k₂x=b₂-b₁. Sada izrazite x: x=(b₂-b₁)/(k1-k₂). Na taj način ćete pronaći točku sjecišta grafova, koja se nalazi duž OX osi. Pronađite točku sjecišta na y-osi. Samo zamijenite vrijednost x koju ste ranije pronašli u bilo kojoj od funkcija.

Prethodna opcija prikladna je za grafikone. Ako je funkcija , koristite sljedeće upute. Na isti način kao sa linearna funkcija, pronađite vrijednost x. Da biste to učinili, riješite kvadratnu jednadžbu. U jednadžbi 2x² + 2x - 4=0 pronađite (jednadžba je navedena kao primjer). Da biste to učinili, upotrijebite formulu: D= b² - 4ac, gdje je b vrijednost prije X, a c numerička vrijednost.

Zamjena brojčane vrijednosti, dobiti izraz poput D= 4 + 4*4= 4+16= 20. Jednadžbe ovise o vrijednosti diskriminante. Sada dodajte ili oduzmite (naizmjenično) korijen iz rezultirajuće diskriminacije vrijednosti varijable b sa znakom “-” i podijelite s dvostruki proizvod koeficijent a. Tako ćete pronaći korijene jednadžbe, odnosno koordinate presječnih točaka.

Funkcijski grafikoni imaju značajku: os OX presijecat će se dvaput, odnosno pronaći ćete dvije koordinate osi x. Ako primite periodična vrijednost ovisnosti X o Y, tada znajte da se graf siječe s osi x u beskonačnom broju točaka. Provjerite jeste li pronašli sjecišne točke. Da biste to učinili, zamijenite X vrijednosti u jednadžbu f(x)=0.

Izvori:

• Pronalaženje točaka sjecišta pravaca

Ako znate vrijednost a, onda možete reći da ste riješili kvadratnu jednadžbu, jer će se njeni korijeni pronaći vrlo lako.

Trebat će vam

• -formula diskriminante kvadratne jednadžbe;
• -Poznavanje tablice množenja

Uputa

Slični Videi

Koristan savjet

Diskriminant kvadratne jednadžbe može biti pozitivan, negativan ili jednak 0.

Izvori:

• Riješenje kvadratne jednadžbe
• diskriminant je paran

Savjet 3: Kako pronaći koordinate točaka sjecišta grafa funkcije

Graf funkcije y \u003d f (x) je skup svih točaka u ravnini, koordinata x, za koje one zadovoljavaju relaciju y \u003d f (x). Grafikon funkcije vizualno ilustrira ponašanje i svojstva funkcije. Za izradu grafikona obično se odabire nekoliko vrijednosti argumenta x i za njih se izračunavaju odgovarajuće vrijednosti funkcije y=f(x). Za točniju i vizualniju konstrukciju grafikona korisno je pronaći njegove sjecišne točke s koordinatnim osima.

Uputa

Pri prelasku x-osi (X-osi) vrijednost funkcije je 0, tj. y=f(x)=0. Za izračunavanje x potrebno je riješiti jednadžbu f(x)=0. U slučaju funkcije dobivamo jednadžbu ax+b=0, a nalazimo x=-b/a.

Dakle, X-os se siječe u točki (-b/a,0).

U više teški slučajevi, na primjer, u slučaju kvadratne ovisnosti y o x, jednadžba f (x) \u003d 0 ima dva korijena, dakle, x-os se siječe dva puta. U slučaju ovisnosti y o x, na primjer y=sin(x), ima beskonačan broj točaka sjecišta s x-osi.

Da biste provjerili ispravnost pronalaženja koordinata točaka sjecišta grafa funkcije s X osi, potrebno je zamijeniti pronađene vrijednosti x f (x). Vrijednost izraza za bilo koji od izračunatih x mora biti jednaka 0.

Uputa

Prvo je potrebno razgovarati o izboru koordinatnog sustava pogodnog za rješavanje problema. Obično se u problemima ove vrste jedan od trokuta postavlja na os 0X tako da se jedna točka poklapa s ishodištem. Stoga ne biste trebali odstupiti od općeprihvaćenih kanona odluke i učiniti isto (vidi sliku 1). Sama metoda određivanja trokuta ne igra temeljnu ulogu, jer uvijek možete ići od jednog od njih do (što možete vidjeti kasnije).

Neka je željeni trokut zadan s dva vektora njegovih stranica AC i AB a(x1, y1) odnosno b(x2, y2). Štoviše, prema konstrukciji y1=0. Treća strana BC odgovara c=a-b, c(x1-x2,y1 -y2), prema ovoj ilustraciji. Točka A nalazi se u ishodištu koordinata, tj koordinate A(0, 0). To je također lako vidjeti koordinate B (x2, y2), a C (x1, 0). Iz ovoga možemo zaključiti da se definicija trokuta s dva vektora automatski podudara s njegovom definicijom s tri točke.

Zatim trebate dovršiti željeni trokut do paralelograma ABDC koji mu odgovara po veličini. Štoviše, to u točki raskrižja dijagonale paralelograma, dijele se, tako da je AQ središnja trokuta ABC, spušta se iz A na stranicu BC. Dijagonalni vektor s sadrži ovaj i je, prema pravilu paralelograma, geometrijski zbroj a i b. Tada je s = a + b, i njegov koordinate s(x1+x2, y1+y2)= s(x1+x2, y2). Isto koordinate također će biti u točki D(x1+x2, y2).

Sada možete nastaviti sa sastavljanjem jednadžbe ravne linije koja sadrži s, medijan od AQ i, što je najvažnije, željenu točku raskrižja medijana H. Budući da je sam vektor s vodilica za ovaj pravac, a poznata mu je i točka A (0, 0) koja mu pripada, najjednostavnije je koristiti jednadžbu ravninskog pravca u kanonskom obliku: (x -x0) / m =(y-y0)/n. Ovdje (x0, y0) koordinate proizvoljna točka pravac (točka A(0, 0)), i (m, n) – koordinate s (vektor (x1+x2, y2). I tako, željena linija l1 će izgledati kao: x/(x1+x2)=y/ y2.

Sam put do njega je na raskrižju. Stoga treba pronaći još jednu ravnu liniju koja sadrži tzv. Za to je na sl. 1 konstrukcija drugog paralelograma APBC, čija dijagonala g=a+c =g(2x1-x2, -y2) sadrži drugu središnju CW, spuštenu sa C na stranicu AB. Ova dijagonala sadrži točku C(x1, 0), koordinate koji će igrati ulogu (x0, y0), a vektor smjera ovdje će biti g(m, n)=g(2x1-x2, -y2). Odavde je l2 dan jednadžbom: (x-x1)/(2 x1-x2)=y/(- y2).

NA stari dani Volio sam računalnu grafiku, 2D i 3D, uključujući matematičke vizualizacije. Što se zove zabave radi, kao student sam napisao program koji vizualizira N-dimenzionalne figure koje rotiraju u bilo kojim dimenzijama, iako mi je u praksi bilo dovoljno samo da odredim točke za 4-D hiperkocku. Ali ovo je samo nagovještaj. Ljubav prema geometriji ostala je u meni od tada pa do danas, a još uvijek volim rješavati zanimljive zadatke zanimljive načine.
Jedan od tih zadataka došao mi je 2010. godine. Sam zadatak je prilično trivijalan: potrebno je pronaći sijeku li se dva 2-D segmenta, a ako se sijeku, pronaći točku njihova sjecišta. Zanimljivije je rješenje koje se, mislim, pokazalo prilično elegantnim i koje želim predložiti čitatelju. Ne pretendiram biti originalan u algoritmu (iako bih volio), ali nisam uspio pronaći slična rješenja na netu.

Zadatak

Zadana su dva segmenta od kojih je svaki zadan s dvije točke: (v11, v12), (v21, v22). Potrebno je utvrditi sijeku li se, a ako se sijeku pronaći točku njihova sjecišta.

Riješenje

Prvo morate utvrditi sijeku li se segmenti. Neophodno i dovoljan uvjet sjecište koje se mora promatrati za oba segmenta je sljedeće: krajnje točke jednog od segmenata moraju ležati u različitim poluravninama, ako je ravnina podijeljena linijom na kojoj leži drugi segment. Pokažimo to crtežom.

Lijeva slika (1) prikazuje dva segmenta, za oba je ispunjen uvjet, a segmenti se sijeku. Na desnoj (2) slici uvjet je ispunjen za segment b, ali za segment a nije ispunjen, odnosno segmenti se ne sijeku.
Možda se čini da određivanje s koje strane crte leži točka nije trivijalan zadatak, ali strah ima velike oči i sve nije tako teško. Znamo da vektorsko množenje dvaju vektora daje treći vektor čiji smjer ovisi o tome je li kut između prvog i drugog vektora pozitivan ili negativan, odnosno takva je operacija antikomutativna. Budući da svi vektori leže na X-Y ravnine, tada će njihov vektorski umnožak (koji mora biti okomit na umnožene vektore) imati samo komponentu Z različitu od nule, a razlika u umnošcima vektora bit će samo u ovoj komponenti. Štoviše, kada se mijenja redoslijed množenja vektora (čitaj: kut između umnoženih vektora), to će se sastojati isključivo od promjene predznaka ove komponente.
Stoga možemo vektorski parno pomnožiti vektor odsječka za razdvajanje s vektorima usmjerenim od početka odsječka za odvajanje prema objema točkama provjeravanog odsječka.

Ako će Z komponente oba proizvoda imati drugačiji znak, tada je jedan od kutova manji od 0, ali veći od -180, a drugi je veći od 0, odnosno manji od 180, točke leže duž različite strane od ravne linije. Ako Z komponente oba proizvoda imaju isti znak, pa leže na istoj strani crte.
Ako je jedna od komponenti Z nula, tada imamo granični slučaj kada točka leži točno na pravcu koji se provjerava. Ostavimo korisniku da odluči želi li ovo smatrati raskrižjem.
Zatim trebamo ponoviti operaciju za još jedan segment i ravnu liniju, te se uvjeriti da mjesto krajnjih točaka također zadovoljava uvjet.
Dakle, ako je sve u redu i oba segmenta zadovoljavaju uvjet, tada sjecište postoji. Pronađimo ga, a u tome će nam pomoći i vektorski produkt.
Budući da u vektorskom umnošku imamo samo Z komponentu različitu od nule, njen modul (duljina vektora) bit će numerički jednak ovoj posebnoj komponenti. Pogledajmo kako pronaći točku sjecišta.

Duljina vektorskog umnoška vektora a i b (kako smo saznali, brojčano jednaka njegovoj Z komponenti) jednaka je umnošku modula tih vektora i sinusa kuta između njih (|a| |b | grijeh(ab)). Sukladno tome, za konfiguraciju na slici imamo sljedeće: |AB x AC| = |AB||AC|sin(α), i |AB x AD| = |AB||AD| sin(β). |AC|sin(α) je okomica iz točke C na segment AB, a |AD|sin(β) je okomica iz točke D na segment AB (krak ADD"). Budući da su kutovi γ i δ okomiti kutovi, onda su jednaki, što znači da su trokuti PCC" i PDD" slični, pa su prema tome i duljine svih njihovih stranica jednako proporcionalne.
S obzirom na Z1 (AB x AC, dakle |AB||AC|sin(α)) i Z2 (AB x AD, dakle |AB||AD|sin(β)), možemo izračunati CC"/DD" ( što će biti jednak Z1 / Z2), a također znajući da je CC "/DD" = CP / DP, možete lako izračunati lokaciju točke P. Osobno, ja to radim ovako:

Px = Cx + (Dx-Cx)*|Z1|/|Z2-Z1|;
Py = Cy + (Dy-Cy)*|Z1|/|Z2-Z1|;

To je sve. Čini mi se da je stvarno vrlo jednostavno i elegantno. Zaključno, želim dati funkcijski kod koji implementira ovaj algoritam. Funkcija koristi vlastiti vektor predloška , koji je vektorski predložak dimenzije int s komponentama tipa name. Oni koji žele mogu jednostavno prilagoditi funkciju svojim vrstama vektora.

1 predložak bool are_crossing(vektor const &v11, vektor const &v12, vektor const &v21, vektor const &v22, vektor *križanje) 3 ( 4 vektor cut1(v12-v11), cut2(v22-v21); 5 vektor proizvod1, proizvod2; 6 7 prod1 = cross(cut1 * (v21-v11)); 8 prod2 = cross(cut1 * (v22-v11)); 9 10 if(sign(prod1[Z]) == sign(prod2[Z]) || (prod1[Z] == 0) || (prod2[Z] == 0)) // Skratite i rubove kućišta 11 return false; 12 13 prod1 = cross(cut2 * (v11-v21)); 14 prod2 = cross(cut2 * (v12-v21)); 15 16 if(sign(prod1[Z]) == sign(prod2[Z]) || (prod1[Z] == 0) || (prod2[Z] == 0)) // Skratite i rubove kućišta 17 return false; 18 19 if(crossing) ( // Provjerite trebamo li odrediti točku presjeka 20 (*crossing)[X] = v11[X] + cut1[X]*fabs(prod1[Z])/fabs(prod2[Z ]- prod1[Z]); 21 (*križanje)[Y] = v11[Y] + cut1[Y]*fabs(prod1[Z])/fabs(prod2[Z]-prod1[Z]); 22 ) 23 24 return true; 25)

Lekcija iz serije "Geometrijski algoritmi"

Pozdrav dragi čitatelju!

Nastavimo sa upoznavanjem geometrijski algoritmi. U prošloj lekciji pronašli smo jednadžbu pravca u koordinatama dviju točaka. Imamo jednadžbu oblika:

Danas ćemo napisati funkciju koja će pomoću jednadžbi dviju ravnih linija pronaći koordinate njihove sjecišne točke (ako postoji). Za provjeru jednakosti realnih brojeva koristit ćemo se posebnom funkcijom RealEq().

Točke na ravnini opisane su parom realnih brojeva. Kada koristite pravi tip, bolje je dogovoriti operacije usporedbe s posebnim funkcijama.

Razlog je poznat: u programskom sustavu Pascal ne postoji relacija reda na tipu Real, pa su unosi oblika a = b, gdje su a i b realni brojevi, bolje je ne koristiti.
Danas ćemo predstaviti funkciju RealEq() za implementaciju operacije “=” (strogo jednako):

Funkcija RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (strogo jednako) početak RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Zadatak. Zadane su jednadžbe dviju ravnih linija: i . Pronađite njihovu točku sjecišta.

Riješenje. Očito rješenje je riješiti sustav jednadžbi linija: Napišimo ovaj sustav malo drugačije:
(1)

Uvodimo oznaku: , , . Ovdje je D determinanta sustava, a determinante su dobivene zamjenom stupca koeficijenata za odgovarajuću nepoznanicu stupcem slobodnih članova. Ako je , tada je sustav (1) određen, odnosno ima jedinstveno rješenje. Ovo se rješenje može pronaći pomoću sljedećih formula: , , koje se nazivaju Cramerove formule. Da vas podsjetim kako se računa determinanta drugog reda. Odrednica razlikuje dvije dijagonale: glavnu i sporednu. Glavnu dijagonalu čine elementi uzeti u smjeru od gornjeg lijevog kuta determinante prema donjem desnom kutu. Bočna dijagonala - od gornjeg desnog do donjeg lijevog kuta. Determinanta drugog reda jednaka je umnošku elemenata glavne dijagonale minus umnošku elemenata sporedne dijagonale.

Kôd koristi funkciju RealEq() za provjeru jednakosti. Izračuni nad realnim brojevima vrše se s točnošću do _Eps=1e-7.

Program geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(točnost izračuna) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real; Funkcija RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (strogo jednako) početak RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Sastavili smo program s kojim možete, poznavajući jednadžbe pravaca, pronaći koordinate njihove točke sjecišta.