Izrazi, jednadžbe i sustavi jednadžbi
s kompleksnim brojevima

Danas ćemo u lekciji razraditi tipične radnje s kompleksnim brojevima, kao i savladati tehniku ​​rješavanja izraza, jednadžbi i sustava jednadžbi koje ti brojevi sadrže. Ova radionica je nastavak lekcije, pa ako niste upoznati s temom, molimo vas da slijedite gornji link. Pa predlažem spremnijim čitateljima da se odmah zagriju:

Primjer 1

Pojednostavite izraz , ako . Rezultat predstaviti u trigonometrijskom obliku i prikazati ga na kompleksnoj ravnini.

Riješenje: dakle, morate zamijeniti "strašni" razlomak, izvršiti pojednostavljenja i prevesti dobiveni složeni broj u trigonometrijski oblik. Plus prokletstvo.

Koji je najbolji način za donošenje odluke? Sa "fancy" algebarski izraz Bolje je ići korak po korak. Prvo, pažnja je manje raspršena, a drugo, ako zadatak nije kreditiran, bit će puno lakše pronaći pogrešku.

1) Najprije pojednostavimo brojnik. Zamijenite vrijednost u nju, otvorite zagrade i popravite frizuru:

... Da, takav je Quasimodo iz složenih brojeva ispao ...

Podsjećam da se u transformacijama koriste potpuno negenijalne stvari - pravilo množenja polinoma i već banalna jednakost. Glavna stvar je biti oprezan i ne zbuniti se u znakovima.

2) Sad je sljedeći nazivnik. Ako tada:

Imajte na umu u kojem se neobičnom tumačenju koristi formula zbroja kvadrata. Alternativno, možete promijeniti ovdje podformula . Rezultati će se, naravno, podudarati.

3) I na kraju, cijeli izraz. Ako tada:

Da bismo se riješili razlomka, pomnožimo brojnik i nazivnik s izrazom konjugiranim s nazivnikom. Međutim, za potrebe prijave formule razlike kvadrata treba biti preliminarno (i sigurno!) stavite negativni realni dio na 2. mjesto:

A sada ključno pravilo:

NI U KOJEM SLUČAJU NE ŽURIMO! Bolje igrati na sigurno i propisati dodatni korak.
U izrazima, jednadžbama i sustavima s kompleksnim brojevima drsko usmeno računanje napet kao i uvijek!

Došlo je do lijepe kontrakcije u posljednjem koraku i to je samo sjajan znak.

Bilješka : strogo govoreći, ovdje se dogodilo dijeljenje kompleksnog broja s kompleksnim brojem 50 (podsjetimo se da ). O ovoj nijansi sam do sada šutio i o njoj ćemo malo kasnije.

Označimo svoje postignuće slovom

Rezultat predstavimo u trigonometrijskom obliku. Općenito govoreći, ovdje možete bez crteža, ali čim je potrebno, nešto je racionalnije dovršiti ga odmah:

Izračunajte modul kompleksnog broja:

Ako izvodite crtež u mjerilu od 1 jedinice. \u003d 1 cm (2 tetradne ćelije), tada je dobivenu vrijednost lako provjeriti pomoću običnog ravnala.

Nađimo argument. Budući da je broj u 2 koordinatna četvrtina, zatim:

Kut se jednostavno provjerava kutomjerom. Ovo je nedvojbeni plus crteža.

Dakle: - željeni broj u trigonometrijskom obliku.

Provjerimo:
, što je trebalo provjeriti.

Pogodno je pronaći nepoznate vrijednosti sinusa i kosinusa trigonometrijska tablica.

Odgovor:

Sličan primjer za neovisno rješenje:

Primjer 2

Pojednostavite izraz , gdje . Nacrtajte dobiveni broj na kompleksnoj ravnini i zapišite ga u eksponencijalnom obliku.

Pokušajte ne propustiti Studije slučaja. Možda se čine jednostavnima, ali bez treninga "ući u lokvu" nije jednostavno, već vrlo lako. Pa uzmimo ga u ruke.

Često problem dopušta više od jednog rješenja:

Primjer 3

Izračunajte ako,

Riješenje: prije svega, obratimo pozornost na izvorni uvjet - jedan broj je prikazan u algebarskom obliku, a drugi u trigonometrijskom obliku, pa čak i sa stupnjevima. Odmah ga prepišimo u poznatijem obliku: .

U kojem obliku treba izvršiti izračune? Izraz , očito, uključuje prvo množenje i daljnje dizanje na 10. potenciju u De Moivreova formula, koji je formuliran za trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Stoga se čini logičnijim pretvoriti prvi broj. Pronađite njegov modul i argument:

Koristimo pravilo množenja kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku:
ako tada

Čineći razlomak točnim, dolazimo do zaključka da je moguće "uvrnuti" 4 zavoja ( radostan.):

Drugi način rješavanja je prevesti 2. broj u algebarski oblik , izvršite množenje u algebarski oblik, prevedite rezultat u trigonometrijski oblik i upotrijebite De Moivreovu formulu.

Kao što vidite, jedna "dodatna" radnja. Oni koji žele mogu pratiti rješenje do kraja i uvjeriti se da se rezultati podudaraju.

Uvjet ne govori ništa o obliku rezultirajućeg kompleksnog broja, pa:

Odgovor:

Ali "za ljepotu" ili na zahtjev, rezultat se može lako predstaviti u algebarskom obliku:

Na vlastitom:

Primjer 4

Pojednostavite izraz

Ovdje je potrebno zapamtiti akcije s ovlastima, iako jedan korisno pravilo nije u priručniku, ovdje je: .

Još jedna stvar važna nota: Primjer se može riješiti u dva stila. Prva opcija je rad sa dva brojeve i pomiriti se s razlomcima. Druga opcija je predstavljanje svakog broja u obrascu kvocijent dvaju brojeva: i osloboditi se četverokatnice. Formalno gledano, nema razlike kako odlučiti, ali postoji bitna razlika! Molimo dobro razmislite:
je kompleksan broj;
je kvocijent dvaju kompleksnih brojeva ( i ), međutim, ovisno o kontekstu, može se reći i ovo: broj predstavljen kao kvocijent dvaju kompleksnih brojeva.

Brzo rješenje a odgovor na kraju lekcije.

Izrazi su dobri, ali jednadžbe su bolje:

Jednadžbe s kompleksnim koeficijentima

Po čemu se one razlikuju od "običnih" jednadžbi? Koeficijenti =)

U svjetlu gornje napomene, počnimo s ovim primjerom:

Primjer 5

riješiti jednadžbu

I hitna preambula u hitnoj potjeri: izvorno desni dio jednadžba je postavljena kao kvocijent dva kompleksna broja ( i 13), pa bi stoga bilo loše prepisati uvjet s brojem (iako to neće izazvati pogrešku). Inače, ta se razlika jasnije vidi u razlomcima - ako je, relativno govoreći, , tada se ta vrijednost primarno shvaća kao "puni" kompleksni korijen jednadžbe, a ne kao djelitelj broja , i još više - ne kao dio broja !

Riješenje, u načelu, također se može sastaviti korak po korak, ali u ovaj slučaj igra nije vrijedna svijeća. Početni zadatak je pojednostaviti sve što ne sadrži nepoznati "Z", čime će se jednadžba svesti na oblik:

Pouzdano pojednostavite prosječni razlomak:

Rezultat prenosimo na desnu stranu i nalazimo razliku:

Bilješka : i opet vam skrećem pozornost na smislenu točku - ovdje nismo oduzimali broj od broja, već smo zbrajali razlomke u zajednički nazivnik! Treba napomenuti da već u tijeku rješenja nije zabranjeno raditi s brojevima: , međutim, u primjeru koji razmatramo, takav stil je više štetan nego koristan =)

Prema pravilu proporcije, izražavamo "z":

Sada opet možete dijeliti i množiti pridruženim izrazom, ali sumnjivo slični brojevi brojnika i nazivnika sugeriraju sljedeći potez:

Odgovor:

U svrhu provjere, zamjenjujemo dobivenu vrijednost u lijevu stranu izvorne jednadžbe i provodimo pojednostavljenja:

- dobivena je desna strana izvorne jednadžbe, pa je korijen točno pronađen.

... Sad- sad ... Odabrat ću nešto zanimljivije za vas ... čekaj:

Primjer 6

riješiti jednadžbu

Ova jednadžba svodi na oblik , pa je stoga linearan. Savjet je, mislim, jasan - samo naprijed!

Naravno...kako bez toga:

Kvadratna jednadžba s kompleksnim koeficijentima

Na lekciji Kompleksni brojevi za lutke to smo naučili kvadratna jednadžba s realnim koeficijentima mogu imati konjugirane kompleksne korijene, nakon čega se postavlja logično pitanje: zašto, zapravo, sami koeficijenti ne mogu biti kompleksni? ja ću formulirati opći slučaj:

Kvadratna jednadžba s proizvoljnim kompleksnim koeficijentima (1 ili 2 od kojih ili sva tri mogu posebno biti valjana) Ima dva i samo dva složeni korijeni (moguće je jedno ili oboje valjano). Dok korijenje (i realni i s imaginarnim dijelom različitim od nule) mogu se podudarati (biti višestruki).

Kvadratna jednadžba s kompleksnim koeficijentima rješava se na isti način kao "školska" jednadžba, s nekim razlikama u računskoj tehnici:

Primjer 7

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe

Riješenje: imaginarna jedinica je na prvom mjestu i, u principu, možete je se riješiti (množenje obje strane s ), međutim, nema posebne potrebe za tim.

Radi praktičnosti, pišemo koeficijente:

Ne gubimo "minus" besplatnog člana! ... Možda neće svima biti jasno - prepisat ću jednadžbu u standardna forma :

Izračunajmo diskriminant:

Evo glavne prepreke:

Primjena opća formula vađenje korijena (pogledajte zadnji odlomak članka Kompleksni brojevi za lutke) je kompliciran ozbiljnim poteškoćama povezanim s argumentom radikalnog kompleksnog broja (uvjerite se sami). Ali postoji još jedan, "algebarski" način! Korijen ćemo tražiti u obliku:

Kvadriramo obje strane:

Dva kompleksna broja su jednaka ako su im realni i imaginarni dijelovi jednaki. Dakle, dobivamo sljedeći sustav:

Sustav je lakše riješiti odabirom (temeljitiji način je izraziti iz 2. jednadžbe - zamijeniti u 1., dobiti i riješiti bikvadratna jednadžba) . Uz pretpostavku da autor problema nije čudovište, to pretpostavljamo i da su cijeli brojevi. Iz 1. jednadžbe slijedi da je "x" modulo više od "y". Osim toga, pozitivni umnožak nam govori da su nepoznanice istog predznaka. Na temelju prethodno navedenog, a fokusirajući se na 2. jednadžbu, zapisujemo sve parove koji joj odgovaraju:

Očito, zadnja dva para zadovoljavaju 1. jednadžbu sustava, dakle:

Međuprovjera neće škoditi:

što je trebalo provjeriti.

Kao "radni" korijen, možete odabrati bilo koji značenje. Jasno je da je bolje uzeti verziju bez "protiv":

Nalazimo korijene, ne zaboravljajući, usput, da:

Odgovor:

Provjerimo zadovoljavaju li pronađeni korijeni jednadžbu :

1) Zamjena:

ispravna jednakost.

2) Zamjena:

ispravna jednakost.

Dakle, rješenje je ispravno pronađeno.

Nadahnut problemom o kojem smo upravo raspravljali:

Primjer 8

Pronađite korijene jednadžbe

Treba napomenuti da Korijen iz čisto složeno brojevi su savršeno izdvojeni i koriste opću formulu , gdje , pa su obje metode prikazane u uzorku. Druga korisna napomena odnosi se na činjenicu da preliminarno izvlačenje korijena iz konstante uopće ne pojednostavljuje rješenje.

A sada se možete opustiti - u ovom primjeru proći ćete s laganim strahom :)

Primjer 9

Riješite jednadžbu i provjerite

Rješenja i odgovori na kraju lekcije.

Posljednji odlomak članka posvećen je

sustav jednadžbi s kompleksnim brojevima

Opustili smo se i ... ne opterećujemo se =) Razmislite najjednostavniji slučaj- sustav od dva linearne jednadžbe sa dvije nepoznanice:

Primjer 10

Riješite sustav jednadžbi. Odgovor predstaviti u algebarskom i eksponencijalnom obliku, nacrtati korijene na crtežu.

Riješenje: sam uvjet sugerira da sustav ima jedinstveno rješenje, odnosno trebamo pronaći dva broja koji zadovoljavaju svakome jednadžba sustava.

Sustav se zaista može riješiti na “djetinjasti” način (izraziti jednu varijablu kroz drugu) , ali je mnogo praktičniji za korištenje Cramerove formule. Izračunaj glavna odrednica sustavi:

, tako da sustav ima jedinstveno rješenje.

Ponavljam da je bolje ne žuriti i propisati korake što detaljnije:

Brojnik i nazivnik pomnožimo imaginarnom jedinicom i dobijemo prvi korijen:

Slično:

Odgovarajuće desne strane, p.t.p.

Izvršimo crtež:

Korijene predstavljamo u eksponencijalnom obliku. Da biste to učinili, morate pronaći njihove module i argumente:

1) - arc tangens "dvojke" izračunat je "loše", pa ga ostavljamo ovako:

Za rješavanje problema s kompleksnim brojevima morate razumjeti osnovne definicije. glavni zadatak ovog preglednog članka - objasniti što su to kompleksni brojevi i prikazati metode rješavanja osnovnih problema s kompleksnim brojevima. Dakle, složeni broj je broj oblika z = a + bi, gdje a, b- realni brojevi, koji se nazivaju realni i imaginarni dio kompleksnog broja, odnosno, i označ a = Re(z), b=Im(z).
ja naziva se imaginarna jedinica. i 2 \u003d -1. Konkretno, bilo koji realni broj može se smatrati složenim: a = a + 0i, gdje je a realan. Ako a = 0 i b ≠ 0, tada se broj naziva čisto imaginaran.

Sada uvodimo operacije nad kompleksnim brojevima.
Razmotrimo dva kompleksna broja z 1 = a 1 + b 1 i i z 2 = a 2 + b 2 i.

Smatrati z = a + bi.

Skup kompleksnih brojeva proširuje skup realnih brojeva, koji zauzvrat proširuju skup racionalni brojevi itd. Ovaj lanac ulaganja može se vidjeti na slici: N - cijeli brojevi, Z su cijeli brojevi, Q su racionalni, R su realni, C su kompleksni.

Predstavljanje kompleksnih brojeva

Algebarski zapis.

Razmotrimo složeni broj z = a + bi, ovaj oblik pisanja kompleksnog broja zove se algebarski. Već smo detaljno raspravljali o ovom obliku pisanja u prethodnom odjeljku. Vrlo često koristite sljedeći ilustrativni crtež

trigonometrijski oblik.

Sa slike je vidljivo da broj z = a + bi može se napisati drugačije. Očito je da a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, Posljedično z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) naziva se argument kompleksnog broja. Ovakav prikaz kompleksnog broja naziva se trigonometrijski oblik. Trigonometrijski oblik zapisa ponekad je vrlo prikladan. Na primjer, prikladno ga je koristiti za podizanje kompleksnog broja na cjelobrojnu potenciju, naime if z = rcos(φ) + rsin(φ)i, onda z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, ova formula se zove De Moivreova formula.

Demonstrativni oblik.

Smatrati z = rcos(φ) + rsin(φ)i je kompleksan broj u trigonometrijskom obliku, pišemo ga u drugom obliku z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, posljednja jednakost slijedi iz Eulerove formule, pa dobivamo novi oblik unosi složenih brojeva: z = re iφ, koji se zove demonstrativna. Ovaj oblik zapisa također je vrlo prikladan za dizanje kompleksnog broja na potenciju: z n = r n e inφ, ovdje n nije nužno cijeli broj, ali može biti proizvoljan pravi broj. Ovaj oblik pisanja često se koristi za rješavanje problema.

Temeljni teorem više algebre

Zamislimo da imamo kvadratnu jednadžbu x 2 + x + 1 = 0 . Očito je da je diskriminant ove jednadžbe negativan i da nema pravih korijena, ali ispada da ova jednadžba ima dva različita kompleksna korijena. Dakle, glavni teorem više algebre kaže da svaki polinom stupnja n ima barem jedan kompleksni korijen. Iz ovoga slijedi da svaki polinom stupnja n ima točno n kompleksnih korijena, uzimajući u obzir njihovu višestrukost. Ovaj je teorem vrlo važan rezultat u matematici i naširoko se koristi. Jednostavna posljedica ovog teorema je sljedeći rezultat: postoji točno n raznih korijena moći n iz jedinstva.

Glavne vrste zadataka

Ovaj odjeljak će pokriti glavne vrste jednostavni zadaci na kompleksne brojeve. Uobičajeno, problemi s kompleksnim brojevima mogu se podijeliti u sljedeće kategorije.

• Izvođenje jednostavnih aritmetičkih operacija nad složenim brojevima.
• Traženje korijena polinoma u kompleksnim brojevima.
• Dizanje kompleksnih brojeva na potenciju.
• Vađenje korijena iz kompleksnih brojeva.
• Primjena kompleksnih brojeva za rješavanje drugih problema.

Sada razmislite opće metode rješenja za ove probleme.

Izvođenje najjednostavnijih aritmetičkih operacija sa složenim brojevima odvija se prema pravilima opisanim u prvom odjeljku, ali ako su složeni brojevi predstavljeni u trigonometrijskom ili eksponencijalnom obliku, tada se u tom slučaju mogu pretvoriti u algebarski oblik i izvoditi operacije prema poznatim pravilima.

Traženje korijena polinoma obično se svodi na pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe. Pretpostavimo da imamo kvadratnu jednadžbu, ako je njezina diskriminanta nenegativna, tada će njezini korijeni biti stvarni i nalaze se prema dobro poznatoj formuli. Ako je diskriminant negativan, onda D = -1∙a 2, gdje a je određeni broj, tada diskriminant možemo predstaviti u obliku D = (ia) 2, Posljedično √D = i|a|, a zatim možete koristiti poznata formula za korijene kvadratne jednadžbe.

Primjer. Vratimo se na gore spomenutu kvadratnu jednadžbu x 2 + x + 1 = 0.
Diskriminirajući - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
Sada možemo lako pronaći korijene:

Podizanje kompleksnih brojeva na potenciju može se izvesti na nekoliko načina. Ako želite podići kompleksni broj u algebarskom obliku na malu potenciju (2 ili 3), tada to možete učiniti izravnim množenjem, ali ako je stupanj veći (u zadacima je često puno veći), tada trebate zapisati taj broj u trigonometrijskom ili eksponencijalnom obliku i koristiti već poznate metode.

Primjer. Uzmimo z = 1 + i i podignemo na desetu potenciju.
Zapisujemo z u eksponencijalnom obliku: z = √2 e iπ/4 .
Zatim z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Vratimo se algebarskom obliku: z 10 = -32i.

Vađenje korijena iz kompleksnih brojeva je inverzna operacija od potenciranja, pa se radi na sličan način. Za izdvajanje korijena često se koristi eksponencijalni oblik pisanja broja.

Primjer. Pronađite sve korijene stupnja 3 jedinice. Da bismo to učinili, pronalazimo sve korijene jednadžbe z 3 = 1, korijene ćemo tražiti u eksponencijalnom obliku.
Zamijenite u jednadžbu: r 3 e 3iφ = 1 ili r 3 e 3iφ = e 0 .
Odavde je: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, stoga je φ = 2πk/3.
Dobivaju se različiti korijeni pri φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Stoga su 1 , e i2π/3 , e i4π/3 korijeni.
Ili u algebarskom obliku:

Posljednji tip zadatka uključuje veliko mnoštvo problema i ne postoje opće metode za njihovo rješavanje. Evo jednostavnog primjera takvog zadatka:

Pronađite iznos sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Iako formulacija ovog problema ne u pitanju o kompleksnim brojevima, ali uz njihovu pomoć može se lako riješiti. Za njegovo rješavanje koriste se sljedeći prikazi:


Ako sada taj prikaz zamijenimo u zbroj, tada se problem svodi na zbrajanje uobičajene geometrijske progresije.

Zaključak

Kompleksni brojevi imaju široku primjenu u matematici, u ovom preglednom članku razmatrane su osnovne operacije nad kompleksnim brojevima, opisano je i ukratko opisano nekoliko tipova standardnih problema uobičajene metode njihova rješenja, za detaljnije proučavanje mogućnosti kompleksnih brojeva preporuča se korištenje specijalizirane literature.

Književnost

Servis za online rješavanje jednadžbi pomoći će vam da riješite bilo koju jednadžbu. Korištenjem naše stranice ne samo da ćete dobiti odgovor na jednadžbu, već ćete i vidjeti detaljno rješenje, odnosno postupni prikaz procesa dobivanja rezultata. Naša usluga bit će korisna srednjoškolcima općeobrazovne škole i njihovi roditelji. Učenici će se moći pripremati za kolokvije, ispite, provjeriti svoje znanje, a roditelji će moći kontrolirati odluku matematičke jednadžbe sa svojom djecom. Sposobnost rješavanja jednadžbi obavezan je uvjet za učenike. Usluga će vam pomoći u samostalnom učenju i poboljšanju znanja u području matematičkih jednadžbi. S njim možete riješiti bilo koju jednadžbu: kvadratnu, kubnu, iracionalnu, trigonometrijsku itd. online usluga ali neprocjenjivo, jer osim točnog odgovora, dobivate detaljno rješenje svake jednadžbe. Prednosti online rješavanja jednadžbi. Bilo koju jednadžbu možete riješiti online na našoj web stranici potpuno besplatno. Usluga je potpuno automatizirana, ne morate ništa instalirati na svoje računalo, samo trebate unijeti podatke i program će izdati rješenje. Isključene su računske pogreške ili tiskarske pogreške. S nama je vrlo jednostavno riješiti bilo koju jednadžbu online, stoga svakako koristite našu stranicu za rješavanje bilo koje vrste jednadžbi. Vi samo trebate unijeti podatke i izračun će biti gotov za nekoliko sekundi. Program radi samostalno, bez ljudske intervencije, a dobivate točan i detaljan odgovor. Rješavanje jednadžbe u opći pogled. U takvoj jednadžbi varijabilni koeficijenti i željeni korijeni su međusobno povezani. Najveća snaga varijable određuje poredak takve jednadžbe. Na temelju toga, za jednadžbe koristiti razne metode te teoreme za pronalaženje rješenja. Rješavanje jednadžbi ove vrste znači pronalaženje željenih korijena općenito. Naša usluga omogućuje vam online rješavanje čak i najsloženijih algebarskih jednadžbi. Možete dobiti i opće rješenje jednadžbe i privatno rješenje za one koje ste naveli. brojčane vrijednosti koeficijenti. Za rješavanje algebarske jednadžbe na web mjestu dovoljno je ispravno ispuniti samo dva polja: lijevi i desni dio dana jednadžba. Na algebarske jednadžbe s promjenjivim koeficijentima, beskonačan broj rješenja, a postavljanjem određenih uvjeta iz skupa rješenja biraju se privatna. Kvadratna jednadžba. Kvadratna jednadžba ima oblik ax^2+bx+c=0 za a>0. Rješavanje jednadžbi kvadratni pogled podrazumijeva pronalaženje vrijednosti x za koje je zadovoljena jednakost ax^2+bx+c=0. Da biste to učinili, vrijednost diskriminante nalazi se formulom D=b^2-4ac. Ako je diskriminanta manja od nule, onda jednadžba nema realnih korijena (korijeni su iz polja kompleksnih brojeva), ako je nula, onda jednadžba ima jedan realni korijen, a ako je diskriminanta Iznad nule, onda jednadžba ima dva stvarna korijena, koji se nalaze formulom: D \u003d -b + -sqrt / 2a. Da biste riješili kvadratnu jednadžbu online, trebate samo unijeti koeficijente takve jednadžbe (cijeli brojevi, razlomci ili decimalne vrijednosti). Ako u jednadžbi postoje znakovi za oduzimanje, morate staviti minus ispred odgovarajućih članova jednadžbe. Kvadratnu jednadžbu možete riješiti i online ovisno o parametru, odnosno varijablama u koeficijentima jednadžbe. Naša online usluga za pronalaženje uobičajena rješenja. Linearne jednadžbe. Za rješavanje linearnih jednadžbi (ili sustava jednadžbi) u praksi se koriste četiri glavne metode. Opišimo svaku metodu detaljno. Metoda zamjene. Rješavanje jednadžbi metodom supstitucije zahtijeva izražavanje jedne varijable u smislu ostalih. Nakon toga se izraz zamjenjuje u ostale jednadžbe sustava. Otuda i naziv metode rješenja, odnosno umjesto varijable zamjenjuje se njezin izraz kroz ostale varijable. U praksi, metoda zahtijeva složene izračune, iako ju je lako razumjeti, pa će rješavanje takve jednadžbe online uštedjeti vrijeme i olakšati izračune. Vi samo trebate navesti broj nepoznanica u jednadžbi i ispuniti podatke iz linearnih jednadžbi, a zatim će servis napraviti izračun. Gaussova metoda. Metoda se temelji na najjednostavnijim transformacijama sustava kako bi se došlo do ekvivalentni sustav trokutasti. Iz njega se određuju jedna po jedna nepoznanica. U praksi je potrebno riješiti takvu jednadžbu putem interneta Detaljan opis, zahvaljujući kojem ćete dobro savladati Gaussovu metodu za rješavanje sustava linearnih jednadžbi. Zapišite sustav linearnih jednadžbi u ispravnom formatu i uzmite u obzir broj nepoznanica kako biste ispravno riješili sustav. Cramerova metoda. Ova metoda rješava sustave jednadžbi u slučajevima kada sustav ima jedinstveno rješenje. Glavna matematička operacija ovdje je izračun matrične determinante. Rješavanje jednadžbi Cramer metodom provodi se online, rezultat dobivate odmah s potpunim i detaljnim opisom. Dovoljno je samo ispuniti sustav koeficijentima i odabrati broj nepoznatih varijabli. matrična metoda. Ova se metoda sastoji u prikupljanju koeficijenata nepoznanica u matrici A, nepoznanica u stupcu X i slobodnih članova u stupcu B. Stoga se sustav linearnih jednadžbi svodi na matrična jednadžba oblika AxX=B. Ova jednadžba ima jedinstveno rješenje samo ako je determinanta matrice A različita od nule, inače sustav nema rješenja, ili ima beskonačan broj rješenja. Rješavanje jednadžbi matrična metoda je pronaći inverzna matrica ALI.

Upotreba jednadžbi široko je rasprostranjena u našim životima. Koriste se u mnogim izračunima, izgradnji građevina, pa čak i sportu. Jednadžbe čovjek koristi od davnina i od tada se njihova upotreba samo povećava. Radi jasnoće, riješimo sljedeći problem:

Izračunajte \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] ako \

Prije svega, obratimo pozornost na činjenicu da je jedan broj predstavljen u algebarskom obliku, drugi - u trigonometrijskom obliku. Treba ga pojednostaviti i sljedeća vrsta

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

Izraz \ kaže da, prije svega, radimo množenje i dizanje na 10. potenciju prema Moivreovoj formuli. Ova je formula formulirana za trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Dobivamo:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Pridržavajući se pravila množenja kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku, učinit ćemo sljedeće:

U našem slučaju:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

Čineći razlomak \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] točnim, zaključujemo da je moguće "uvrnuti" 4 zavoja \[(8\pi rad.):\ ]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Odgovor: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Ova se jednadžba može riješiti na drugi način, koji se svodi na dovođenje 2. broja u algebarski oblik, zatim izvođenje množenja u algebarskom obliku, prevođenje rezultata u trigonometrijski oblik i primjenu Moivreove formule:

Gdje mogu riješiti sustav jednadžbi s kompleksnim brojevima na mreži?

Sustav jednadžbi možete riješiti na našoj web stranici https: // site. Besplatni mrežni rješavač omogućit će vam rješavanje online jednadžbe bilo koje složenosti u nekoliko sekundi. Sve što trebate učiniti je samo unijeti svoje podatke u rješavač. Također možete pogledati video upute i naučiti kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako imate bilo kakvih pitanja, možete ih postaviti u našoj Vkontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, uvijek ćemo vam rado pomoći.