Wiskundige verwachtingsvariantie. Om positieve resultaten te behalen, is het even belangrijk

Taak 1. De kans op ontkieming van tarwezaden is 0,9. Wat is de kans dat van de vier gezaaide zaden er minstens drie zullen ontkiemen?

Beslissing. Laat het evenement MAAR- van de 4 zaden zullen er minimaal 3 ontkiemen; evenement BIJ- van de 4 zaden zullen er 3 ontkiemen; evenement Met Uit 4 zaden zullen 4 zaden ontkiemen. Volgens de waarschijnlijkheidsoptelling

waarschijnlijkheden
en
bepaald door de Bernoulli-formule die wordt gebruikt in volgende zaak. Laat de serie lopen P onafhankelijke tests, voor elk waarvan de kans op een gebeurtenis constant is en gelijk is aan R, en de kans dat deze gebeurtenis niet optreedt is gelijk aan
. Dan is de kans dat de gebeurtenis MAAR in P tests verschijnen precies tijden, berekend door de Bernoulli-formule

,

waar
- het aantal combinaties van P elementen door . Dan

Gewenste waarschijnlijkheid

Taak 2. De kans op ontkieming van tarwezaden is 0,9. Bereken de kans dat van de 400 gezaaide zaden er 350 zullen ontkiemen.

Beslissing. Bereken de vereiste kans
volgens de Bernoulli-formule is moeilijk vanwege de omslachtigheid van de berekeningen. Daarom passen we een benaderende formule toe die de lokale stelling van Laplace uitdrukt:

,

waar
en
.

Uit de probleemstelling. Dan

.

Uit tabel 1 van toepassingen vinden we . De gewenste kans is gelijk aan

Taak 3. Onder tarwezaden 0,02% van het onkruid. Wat is de kans dat een willekeurige selectie van 10.000 zaden 6 wietzaden onthult?

Beslissing. Toepassing van de lokale stelling van Laplace vanwege lage waarschijnlijkheid
leidt tot een significante afwijking van de waarschijnlijkheid van de exacte waarde
. Daarom, voor kleine waarden R rekenen
pas de asymptotische Poisson-formule toe

, waar .

Deze formule wordt gebruikt wanneer
, en hoe minder R en meer P, hoe nauwkeuriger het resultaat.

Volgens de taak
;
. Dan

Taak 4. Het ontkiemingspercentage van tarwezaden is 90%. Bereken de kans dat uit 500 gezaaide zaden, 400 tot 440 zaden zullen ontkiemen.

Beslissing. Als de kans dat een gebeurtenis plaatsvindt MAAR in elk van P tests is constant en gelijk aan R, dan is de kans
dat het evenement MAAR in dergelijke tests zal er op zijn minst een keer en niet meer tijden wordt bepaald door de Laplace-integraalstelling met de volgende formule:

, waar

,
.

Functie
wordt de Laplace-functie genoemd. De bijlagen (Tabel 2) geven de waarden van deze functie voor
. Bij
functie
. Bij negatieve waarden X vanwege de eigenaardigheid van de Laplace-functie
. Met behulp van de Laplace-functie hebben we:

Volgens de taak. Met behulp van de bovenstaande formules vinden we:
en :

Opdracht 5. De verdelingswet van een discrete willekeurige variabele wordt gegeven X:

2. Vind: 1) wiskundige verwachting; 2) dispersie; 3) standaarddeviatie.

Beslissing. 1) Als de distributiewet discreet is willekeurige variabele gegeven door tabel

2. Waar de waarden van de willekeurige variabele x in de eerste regel worden gegeven, en de kansen van deze waarden in de tweede regel, dan wordt de wiskundige verwachting berekend met de formule

2) Verspreiding:
Discrete willekeurige variabele X heet de wiskundige verwachting van de kwadratische afwijking van een willekeurige variabele van zijn wiskundige verwachting, d.w.z.

Deze waarde kenmerkt de gemiddelde verwachte waarde van de gekwadrateerde afwijking X van
. Van de laatste formule die we hebben

spreiding
kan op een andere manier worden gevonden, gebaseerd op de volgende eigenschap: variantie
is gelijk aan het verschil tussen de wiskundige verwachting van het kwadraat van de willekeurige variabele X en het kwadraat van zijn wiskundige verwachting
, d.w.z

Rekenen
we stellen de volgende wet van verdeling van de hoeveelheid samen:
:

3) Om de spreiding van mogelijke waarden van een willekeurige variabele rond zijn gemiddelde waarde te karakteriseren, wordt de standaarddeviatie geïntroduceerd
willekeurige variabele X, gelijk aan de vierkantswortel van de variantie
, d.w.z

.

Uit deze formule hebben we:

Taak 6. Continue willekeurige variabele X gegeven door de integrale verdelingsfunctie

Vind: 1) differentiële verdelingsfunctie
; 2) wiskundige verwachting
; 3) spreiding:
.

Beslissing. 1) Differentiële distributiefunctie:
continue willekeurige variabele X heet de afgeleide van de integrale verdelingsfunctie
, d.w.z

.

De gewenste differentiaalfunctie heeft de volgende vorm:

2) Als een continue willekeurige variabele X gegeven door de functie
, dan wordt de wiskundige verwachting bepaald door de formule

Sinds de functie
Bij
en bij
gelijk is aan nul, dan uit de laatste formule die we hebben

.

3) Verspreiding:
definiëren door de formule

Taak 7. De onderdeellengte is een normaal verdeelde willekeurige variabele met een wiskundige verwachting van 40 mm en een standaarddeviatie van 3 mm. Vind: 1) de kans dat de lengte van een willekeurig onderdeel meer dan 34 mm en kleiner dan 43 mm zal zijn; 2) de kans dat de lengte van het onderdeel niet meer dan 1,5 mm afwijkt van de wiskundige verwachting.

Beslissing. 1) Laten we X- de lengte van het onderdeel. Als de willekeurige variabele X gegeven differentiële functie:
, dan is de kans dat X neemt de waarden die bij het segment horen
, wordt bepaald door de formule

.

Waarschijnlijkheid van het vervullen van strikte ongelijkheden
bepaald met dezelfde formule. Als de willekeurige variabele X gedistribueerd door normaal recht, dan

, (1)

waar
is de Laplace-functie,
.

In taak. Dan

2) Door de toestand van het probleem, waarbij:
. Substitueren in (1) , we hebben

. (2)

Uit formule (2) hebben we.

Het concept van wiskundige verwachting kan worden beschouwd aan de hand van het voorbeeld van het werpen van een dobbelsteen. Bij elke worp worden de gevallen punten geregistreerd. Natuurlijke waarden in het bereik van 1 - 6 worden gebruikt om ze uit te drukken.

Na een bepaald aantal worpen kun je met behulp van eenvoudige berekeningen het gemiddelde vinden rekenkundige waarde punten laten vallen.

Deze waarde zal niet alleen willekeurig zijn, maar ook een van de bereikwaarden laten vallen.

En als je het aantal worpen meerdere keren verhoogt? Bij grote hoeveelheden worpen, zal het rekenkundig gemiddelde van de punten naderen specifiek nummer, die in de kansrekening de wiskundige verwachting wordt genoemd.

De wiskundige verwachting wordt dus begrepen als de gemiddelde waarde van een willekeurige variabele. Deze indicator kan ook worden gepresenteerd als een gewogen som van waarschijnlijke waarden.

Dit concept heeft verschillende synoniemen:

• gemeen;
• gemiddelde waarde;
• centrale trendindicator;
• eerste ogenblik.

Met andere woorden, het is niets meer dan een getal waarrond de waarden van een willekeurige variabele zijn verdeeld.

BIJ verscheidene velden menselijke activiteit benaderingen voor het begrijpen van de wiskundige verwachting zullen enigszins anders zijn.

Het kan worden gezien als:

• het gemiddelde voordeel van de vaststelling van een beschikking, in het geval dat een dergelijke beschikking wordt beschouwd vanuit het oogpunt van de theorie van de grote getallen;
• mogelijke hoeveelheid winst of verlies (theorie gokken), gemiddeld berekend voor elk van de tarieven. In jargon klinken ze als "spelersvoordeel" (positief voor de speler) of "casinovoordeel" (negatief voor de speler);
• percentage van de winst ontvangen uit winsten.

Wiskundige verwachting is niet verplicht voor absoluut alle willekeurige variabelen. Het is afwezig voor degenen die een discrepantie hebben in de overeenkomstige som of integraal.

Verwachtingseigenschappen

Zoals elke statistische parameter heeft wiskundige verwachting de volgende eigenschappen:

Basisformules voor wiskundige verwachting

De berekening van de wiskundige verwachting kan zowel worden uitgevoerd voor willekeurige variabelen die worden gekenmerkt door continuïteit (formule A) als discretie (formule B):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, waarbij xi de waarden van de willekeurige variabele zijn, pi de kansen:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, waarbij f(x) een gegeven kansdichtheid is.

Voorbeelden van het berekenen van de wiskundige verwachting

Voorbeeld A.

Is het mogelijk om de gemiddelde hoogte van de kabouters in het sprookje over Sneeuwwitje te achterhalen. Het is bekend dat elk van de 7 kabouters een bepaalde hoogte had: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 en 0,81 m.

Het rekenalgoritme is vrij eenvoudig:

• vind de som van alle waarden van de groei-indicator (willekeurige variabele):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Het resulterende bedrag wordt gedeeld door het aantal kabouters:
  6,31:7=0,90.

De gemiddelde hoogte van kabouters in een sprookje is dus 90 cm, met andere woorden, dit is de wiskundige verwachting van de groei van kabouters.

Werkformule - M (x) \u003d 4 0.2 + 6 0.3 + 10 0.5 \u003d 6

Praktische implementatie van wiskundige verwachting

De berekening van de statistische indicator van wiskundige verwachting wordt op verschillende gebieden gebruikt praktische activiteiten. voornamelijk we zijn aan het praten over het handelsgebied. De introductie van deze indicator door Huygens hangt immers samen met het bepalen van de kansen die gunstig of juist ongunstig kunnen zijn voor een bepaalde gebeurtenis.

Deze parameter wordt veel gebruikt voor risicobeoordeling, vooral als het gaat om financiële investeringen.
Dus in het bedrijfsleven fungeert de berekening van wiskundige verwachtingen als een methode voor het beoordelen van risico's bij het berekenen van prijzen.

Deze indicator kan ook worden gebruikt bij het berekenen van de effectiviteit van bepaalde maatregelen, bijvoorbeeld op het gebied van arbeidsbescherming. Dankzij dit kunt u de kans berekenen dat een gebeurtenis plaatsvindt.

Een ander toepassingsgebied van deze parameter is beheer. Het kan ook worden berekend tijdens de productkwaliteitscontrole. Bijvoorbeeld met behulp van mat. verwachtingen kunnen worden berekend mogelijk aantal productie van defecte onderdelen.

Wiskundige verwachting blijkt ook onmisbaar bij het dirigeren statistische verwerking ontvangen tijdens wetenschappelijk onderzoek resultaten. Het stelt u ook in staat om de waarschijnlijkheid van een gewenste of ongewenste uitkomst van een experiment of onderzoek te berekenen, afhankelijk van het niveau van het bereiken van het doel. Het bereiken ervan kan immers worden geassocieerd met winst en voordeel, en het niet bereiken ervan - als verlies of verlies.

Wiskundige verwachting gebruiken in Forex

De praktische toepassing van deze statistische parameter is mogelijk bij het uitvoeren van transacties op de valutamarkt. Het kan worden gebruikt om het succes van handelstransacties te analyseren. Bovendien duidt een toename van de waarde van verwachting op een toename van hun succes.

Het is ook belangrijk om te onthouden dat de wiskundige verwachting niet moet worden beschouwd als de enige statistische parameter die wordt gebruikt om de prestaties van een handelaar te analyseren. Het gebruik van verschillende statistische parameters samen met de gemiddelde waarde verhoogt soms de nauwkeurigheid van de analyse.

Deze parameter heeft zichzelf goed bewezen bij het monitoren van observaties van handelsrekeningen. Dankzij hem wordt een snelle beoordeling van de werkzaamheden op de depositorekening uitgevoerd. In gevallen waarin de activiteit van de handelaar succesvol is en hij verliezen vermijdt, wordt het niet aanbevolen om alleen de berekening van wiskundige verwachtingen te gebruiken. In deze gevallen wordt geen rekening gehouden met risico's, wat de effectiviteit van de analyse vermindert.

Uitgevoerde onderzoeken naar de tactieken van handelaren geven aan dat:

• het meest effectief zijn tactieken op basis van willekeurige invoer;
• het minst effectief zijn tactieken die gebaseerd zijn op gestructureerde input.

Om positieve resultaten te behalen, is het even belangrijk:

• tactieken voor geldbeheer;
• exit strategieën.

Met behulp van een indicator als de wiskundige verwachting, kunnen we aannemen wat de winst of het verlies zal zijn bij een investering van 1 dollar. Het is bekend dat deze indicator, berekend voor alle spellen die in het casino worden beoefend, in het voordeel is van de instelling. Dit is wat u in staat stelt om geld te verdienen. Bij een lange reeks spellen neemt de kans op geldverlies door de klant aanzienlijk toe.

De spellen van professionele spelers zijn beperkt tot korte tijdsperioden, wat de kans op winnen vergroot en het risico op verliezen verkleint. Hetzelfde patroon wordt waargenomen in de prestaties van investeringstransacties.

Een belegger kan een aanzienlijk bedrag verdienen met een positieve verwachting en het maken van een groot aantal transacties over een korte periode.

Verwachting kan worden gezien als het verschil tussen het winstpercentage (PW) maal de gemiddelde winst (AW) en de kans op verlies (PL) maal het gemiddelde verlies (AL).

Overweeg als voorbeeld het volgende: positie - 12,5 duizend dollar, portefeuille - 100 duizend dollar, risico per storting - 1%. De winstgevendheid van transacties is 40% van de gevallen met een gemiddelde winst van 20%. Bij verlies is het gemiddelde verlies 5%. Het berekenen van de wiskundige verwachting voor een transactie geeft een waarde van $ 625.

Willekeurige variabelen kunnen, naast distributiewetten, ook worden beschreven numerieke kenmerken .

wiskundige verwachting M (x) van een willekeurige variabele wordt de gemiddelde waarde genoemd.

De wiskundige verwachting van een discrete willekeurige variabele wordt berekend met de formule

waar – waarden van een willekeurige variabele, p i- hun kansen.

Overweeg de eigenschappen van wiskundige verwachting:

1. De wiskundige verwachting van een constante is gelijk aan de constante zelf

2. Als een willekeurige variabele wordt vermenigvuldigd met een bepaald getal k, dan wordt de wiskundige verwachting vermenigvuldigd met hetzelfde getal

M (kx) = kM (x)

3. De wiskundige verwachting van de som van willekeurige variabelen is gelijk aan de som van hun wiskundige verwachtingen

M (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d M (x 1) + M (x 2) + ... + M (x n)

4. M (x 1 - x 2) \u003d M (x 1) - M (x 2)

5. Voor onafhankelijke stochastische variabelen x 1 , x 2 , … x n is de wiskundige verwachting van het product gelijk aan het product van hun wiskundige verwachtingen

M (x 1, x 2, ... x n) \u003d M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M (x - M (x)) \u003d M (x) - M (M (x)) \u003d M (x) - M (x) \u003d 0

Laten we de wiskundige verwachting voor de willekeurige variabele uit voorbeeld 11 berekenen.

M(x) == .

Voorbeeld 12. Laat de willekeurige variabelen x 1 , x 2 respectievelijk worden gegeven door de verdelingswetten:

x 1 Tafel 2

x 2 Tabel 3

Bereken M (x 1) en M (x 2)

M (x 1) \u003d (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 \u003d 0

M (x 2) \u003d (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 \u003d 0

De wiskundige verwachtingen van beide willekeurige variabelen zijn hetzelfde - ze zijn gelijk aan nul. Hun verspreiding is echter anders. Als de waarden van x 1 weinig verschillen van hun wiskundige verwachting, dan verschillen de waarden van x 2 in grote mate van hun wiskundige verwachting, en de kansen op dergelijke afwijkingen zijn niet klein. Deze voorbeelden laten zien dat het onmogelijk is om uit de gemiddelde waarde te bepalen welke afwijkingen daarvan zowel naar boven als naar beneden plaatsvinden. Dus met hetzelfde gemiddeld Van de jaarlijkse neerslag in twee plaatsen kan niet worden gezegd dat ze even gunstig zijn voor landbouwwerkzaamheden. Evenzo, in termen van gemiddelde loon het is niet mogelijk om te oordelen soortelijk gewicht hoog- en laagbetaalde werknemers. Daarom wordt het geïntroduceerd numerieke eigenschap – spreiding D(x) , die de mate van afwijking van een willekeurige variabele van zijn gemiddelde waarde kenmerkt:

D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)

Dispersie is de wiskundige verwachting van de kwadratische afwijking van een willekeurige variabele van de wiskundige verwachting. Voor een discrete willekeurige variabele wordt de variantie berekend met de formule:

D(x)= = (3)

Uit de definitie van variantie volgt dat D (x) 0.

Dispersie eigenschappen:

1. Dispersie van de constante is nul

2. Als een willekeurige variabele wordt vermenigvuldigd met een getal k, dan wordt de variantie vermenigvuldigd met het kwadraat van dit getal

D (kx) = k2D (x)

3. D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x)

4. Voor paarsgewijs onafhankelijke stochastische variabelen x 1 , x 2 , … x n is de variantie van de som gelijk aan de som van de varianties.

D (x 1 + x 2 + ... + x n) = D (x 1) + D (x 2) + ... + D (x n)

Laten we de variantie voor de willekeurige variabele uit voorbeeld 11 berekenen.

Wiskundige verwachting M (x) = 1. Daarom hebben we volgens de formule (3):

D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2

Merk op dat het gemakkelijker is om de variantie te berekenen als we eigenschap 3 gebruiken:

D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x).

Laten we de varianties voor willekeurige variabelen x 1 , x 2 uit Voorbeeld 12 berekenen met behulp van deze formule. De wiskundige verwachtingen van beide willekeurige variabelen zijn gelijk aan nul.

D (x 1) \u003d 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 \u003d 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 \u003d 0,00204

D (x 2) \u003d (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 \u003d 240 +20 \u003d 260

Hoe dichter de spreidingswaarde bij nul ligt, hoe kleiner de spreiding van de willekeurige variabele ten opzichte van de gemiddelde waarde.

De waarde heet standaardafwijking. Willekeurige mode x discreet type Md is de waarde van de willekeurige variabele, die overeenkomt met de hoogste waarschijnlijkheid.

Willekeurige mode x continu type Md, wordt genoemd echt nummer, gedefinieerd als het maximale punt van de kansverdelingsdichtheid f(x).

Mediaan van een willekeurige variabele x continu type Mn is een reëel getal dat voldoet aan de vergelijking

Waarschijnlijkheids theorie - speciale sectie wiskunde, die alleen wordt bestudeerd door studenten van instellingen voor hoger onderwijs. Houd je van berekeningen en formules? Ben je niet bang voor de vooruitzichten van kennismaking met de normale verdeling, de entropie van het ensemble, de wiskundige verwachting en de variantie van een discrete willekeurige variabele? Dan zal dit onderwerp je erg interesseren. Laten we eens kijken naar enkele van de belangrijkste basisconcepten deze tak van wetenschap.

Laten we de basis onthouden

Zelfs als je je het meest herinnert eenvoudige concepten waarschijnlijkheidstheorie, verwaarloos de eerste alinea's van het artikel niet. Het is een feit dat u zonder een duidelijk begrip van de basis niet met de hieronder besproken formules kunt werken.

Dus er is wat willekeurige gebeurtenis, wat experimenteren. Als resultaat van de uitgevoerde acties kunnen we verschillende resultaten krijgen - sommige komen vaker voor, andere komen minder vaak voor. De kans op een gebeurtenis is de verhouding van het aantal werkelijk ontvangen uitkomsten van een type tot totaal aantal mogelijk. alleen weten klassieke definitie van dit concept, kun je beginnen met het bestuderen van de wiskundige verwachting en variantie van continue willekeurige variabelen.

Gemiddeld

Terug op school, in de wiskundelessen, begon je te werken met het rekenkundig gemiddelde. Dit concept wordt veel gebruikt in de kansrekening en kan daarom niet worden genegeerd. Het belangrijkste voor ons dit moment is dat we het zullen tegenkomen in de formules voor de wiskundige verwachting en variantie van een willekeurige variabele.

We hebben een reeks getallen en willen het rekenkundig gemiddelde vinden. Het enige dat van ons wordt gevraagd, is alles wat beschikbaar is optellen en delen door het aantal elementen in de reeks. Laten we getallen hebben van 1 tot 9. De som van de elementen wordt 45, en we delen deze waarde door 9. Antwoord: - 5.

Spreiding

praten wetenschappelijke taal, de variantie is middelste vierkant afwijkingen van de verkregen karakteristieke waarden van het rekenkundig gemiddelde. Een daarvan wordt aangegeven met een Latijnse hoofdletter D. Wat is er nodig om het te berekenen? Voor elk element van de rij berekenen we het verschil tussen het beschikbare getal en het rekenkundig gemiddelde en kwadrateren we dit. Er zullen precies zoveel waarden zijn als er uitkomsten kunnen zijn voor het evenement dat we overwegen. Vervolgens vatten we alles samen dat we hebben ontvangen en delen dit door het aantal elementen in de reeks. Als we vijf mogelijke uitkomsten hebben, deel dan door vijf.

De variantie heeft ook eigenschappen die u moet onthouden om deze toe te passen bij het oplossen van problemen. Als de willekeurige variabele bijvoorbeeld met X keer wordt verhoogd, neemt de variantie toe met X keer het kwadraat (d.w.z. X*X). Het is nooit minder dan nul en is niet afhankelijk van de verschuiving van waarden door gelijke waarde op of neer. Ook voor onafhankelijke proeven is de variantie van de som gelijk aan de som van de varianties.

Nu moeten we zeker kijken naar voorbeelden van de variantie van een discrete willekeurige variabele en de wiskundige verwachting.

Laten we zeggen dat we 21 experimenten uitvoeren en 7 verschillende resultaten krijgen. We hebben elk van hen respectievelijk 1,2,2,3,4,4 en 5 keer geobserveerd. Wat zal de afwijking zijn?

Eerst berekenen we het rekenkundig gemiddelde: de som van de elementen is natuurlijk 21. We delen het door 7 en krijgen 3. Nu trekken we 3 af van elk getal in de oorspronkelijke reeks, kwadrateren we elke waarde en tellen we de resultaten bij elkaar op. . Het blijkt 12 te zijn. Nu rest ons nog om het getal te delen door het aantal elementen, en het lijkt erop dat dat alles is. Maar er is een addertje onder het gras! Laten we het bespreken.

Afhankelijkheid van het aantal experimenten

Het blijkt dat bij het berekenen van de variantie de noemer een van twee getallen kan zijn: N of N-1. Hier is N het aantal uitgevoerde experimenten of het aantal elementen in de reeks (wat in wezen hetzelfde is). Waar hangt het van af?

Als het aantal tests in honderden wordt gemeten, dan moeten we in de noemer N. Indien in eenheden, dan N-1. De wetenschappers besloten de grens vrij symbolisch te trekken: vandaag loopt het langs het getal 30. Als we minder dan 30 experimenten hebben uitgevoerd, delen we het bedrag door N-1, en als er meer zijn, dan door N.

Taak

Laten we teruggaan naar ons voorbeeld van het oplossen van het variantie- en verwachtingsprobleem. We kregen een tussengetal van 12, dat moest worden gedeeld door N of N-1. Omdat we 21 experimenten hebben uitgevoerd, wat minder is dan 30, zullen we de tweede optie kiezen. Het antwoord is dus: de variantie is 12 / 2 = 2.

Verwachte waarde

Laten we verder gaan met het tweede concept, dat we in dit artikel moeten overwegen. De wiskundige verwachting is het resultaat van het optellen van alle mogelijke uitkomsten vermenigvuldigd met de bijbehorende kansen. Het is belangrijk om te begrijpen dat de verkregen waarde, evenals het resultaat van het berekenen van de variantie, slechts één keer wordt verkregen voor hele taak, ongeacht hoeveel uitkomsten het beschouwt.

De wiskundige verwachtingsformule is vrij eenvoudig: we nemen de uitkomst, vermenigvuldigen deze met zijn waarschijnlijkheid, voegen hetzelfde toe voor het tweede, derde resultaat, enz. Alles wat met dit concept te maken heeft, is eenvoudig te berekenen. De som van wiskundige verwachtingen is bijvoorbeeld gelijk aan de wiskundige verwachting van de som. Hetzelfde geldt voor het werk. Zo een eenvoudige handelingen verre van elke hoeveelheid in de waarschijnlijkheidstheorie stelt ons in staat om ermee te vervullen. Laten we een taak uitvoeren en de waarde berekenen van twee concepten die we in één keer hebben bestudeerd. Bovendien werden we afgeleid door de theorie - het is tijd om te oefenen.

Nog een voorbeeld

We hebben 50 proeven uitgevoerd en kregen 10 soorten resultaten - getallen van 0 tot 9 - die in verschillende percentage. Deze zijn respectievelijk: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Bedenk dat om de kansen te krijgen, je de procentuele waarden moet delen door 100. We krijgen dus 0,02; 0,1 enz. Laten we een voorbeeld geven van het oplossen van het probleem voor de variantie van een willekeurige variabele en de wiskundige verwachting.

We berekenen het rekenkundig gemiddelde met de formule die we onthouden met lagere school: 50/10 = 5.

Laten we nu de kansen vertalen naar het aantal uitkomsten "in stukjes" om het tellen gemakkelijker te maken. We krijgen 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 en 9. Trek het rekenkundig gemiddelde van elke verkregen waarde af, waarna we elk van de verkregen resultaten kwadrateren. Kijk hoe je dit doet met het eerste element als voorbeeld: 1 - 5 = (-4). Verder: (-4) * (-4) = 16. Voer deze bewerkingen zelf uit voor andere waarden. Als je alles goed hebt gedaan, krijg je na het toevoegen van alles 90.

Laten we doorgaan met het berekenen van de variantie en het gemiddelde door 90 te delen door N. Waarom kiezen we voor N en niet voor N-1? Dat klopt, want het aantal uitgevoerde experimenten is meer dan 30. Dus: 90/10 = 9. We hebben de spreiding. Als je een ander nummer krijgt, wanhoop dan niet. Hoogstwaarschijnlijk heb je een banale fout gemaakt in de berekeningen. Controleer nogmaals wat je hebt geschreven en alles zal zeker op zijn plaats vallen.

Laten we tot slot de wiskundige verwachtingsformule in herinnering brengen. We zullen niet alle berekeningen geven, we zullen alleen het antwoord schrijven waarmee u kunt controleren na het voltooien van alle vereiste procedures. De verwachte waarde zal 5,48 zijn. We herinneren ons alleen hoe bewerkingen moeten worden uitgevoerd, met behulp van het voorbeeld van de eerste elementen: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... enzovoort. Zoals je kunt zien, vermenigvuldigen we de waarde van de uitkomst eenvoudig met de kans.

Afwijking

Een ander concept dat nauw verband houdt met spreiding en wiskundige verwachting is de standaarddeviatie. Het is gemarkeerd ofwel met Latijnse letters sd, of Griekse kleine letter "sigma". dit concept laat zien hoe de waarden gemiddeld afwijken van het centrale kenmerk. Om de waarde ervan te vinden, moet u berekenen: Vierkantswortel uit verstrooiing.

Als je een grafiek maakt normale verdeling en wil je er direct op zien standaardafwijking, dit kan in verschillende stappen. Neem de helft van de afbeelding links of rechts van de modus (centrale waarde), teken een loodlijn op de horizontale as zodat de oppervlakken van de resulterende figuren gelijk zijn. De waarde van het segment tussen het midden van de verdeling en de resulterende projectie op de horizontale as is de standaarddeviatie.

Software

Zoals blijkt uit de beschrijvingen van de formules en de gepresenteerde voorbeelden, is het berekenen van de variantie en de wiskundige verwachting vanuit rekenkundig oogpunt niet de gemakkelijkste procedure. Om geen tijd te verspillen, is het logisch om het programma te gebruiken dat in hoger wordt gebruikt onderwijsinstellingen- het heet "R". Het heeft functies waarmee u waarden kunt berekenen voor veel concepten uit de statistiek en kansrekening.

U definieert bijvoorbeeld een vector van waarden. Dit gaat als volgt: vector<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Tenslotte

Dispersie en wiskundige verwachting zijn zonder welke het moeilijk is om iets in de toekomst te berekenen. In het hoofdgerecht van colleges aan universiteiten worden ze al in de eerste maanden van het bestuderen van het onderwerp overwogen. Juist vanwege het gebrek aan begrip van deze eenvoudige concepten en het onvermogen om ze te berekenen, beginnen veel studenten onmiddellijk achter te raken in het programma en krijgen ze later slechte cijfers aan het einde van de sessie, waardoor ze geen beurzen krijgen.

Oefen minstens een week lang een half uur per dag en los taken op die vergelijkbaar zijn met die in dit artikel. Dan zul je bij elke kanstheorie-test omgaan met voorbeelden zonder vreemde tips en spiekbriefjes.

De wiskundige verwachting is, de definitie

Mat wachten is een van de belangrijkste concepten in wiskundige statistiek en kansrekening, die de verdeling van waarden kenmerkt of waarschijnlijkheden willekeurige variabele. Meestal uitgedrukt als een gewogen gemiddelde van alle mogelijke parameters van een willekeurige variabele. Het wordt veel gebruikt in technische analyse, de studie van nummerreeksen, de studie van continue en langetermijnprocessen. Het is belangrijk bij het beoordelen van risico's, het voorspellen van prijsindicatoren bij het handelen op financiële markten, en wordt gebruikt bij de ontwikkeling van strategieën en methoden voor speltactieken in goktheorie.

Schaakmat wachten- Deze gemiddelde waarde van een willekeurige variabele, verdeling waarschijnlijkheden willekeurige variabele wordt beschouwd in de kanstheorie.

Mat wachten is maat voor de gemiddelde waarde van een willekeurige variabele in de kansrekening. Wiskundige verwachting van een willekeurige variabele x aangegeven M(x).

Wiskundige verwachting (populatiegemiddelde) is

Mat wachten is

Mat wachten is in de kansrekening het gewogen gemiddelde van alle mogelijke waarden die deze willekeurige variabele kan aannemen.

Mat wachten is de som van de producten van alle mogelijke waarden van een willekeurige variabele door de kansen van deze waarden.

Wiskundige verwachting (populatiegemiddelde) is

Mat wachten is het gemiddelde voordeel van een bepaalde beslissing, mits een dergelijke beslissing kan worden beschouwd in het kader van de theorie van grote getallen en een lange afstand.

Mat wachten is in de theorie van gokken, het bedrag aan winsten dat een speculant gemiddeld kan verdienen of verliezen voor elke weddenschap. In de taal van het gokken speculanten dit wordt soms het "voordeel" genoemd speculant” (als het positief is voor de speculant) of “house edge” (als het negatief is voor de speculant).

Wiskundige verwachting (populatiegemiddelde) is

Wir verwenden Cookies für die beste Präsentation unserer Website. Wenn Sie diese Website weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. Oké