Voorbeelden van het oplossen van irrationele, trigonometrische, logaritmische en andere vergelijkingen die zijn opgelost met niet-traditionele methoden. Belangrijkste eigenschappen van de functie

Publicatie datum: 2016-03-23

Korte beschrijving: ...

VOORBEELDEN VAN HET OPLOSSEN VAN VERGELIJKINGEN MET ENKELE ORIGINELE TECHNIEKEN.

1
. Beslissing irrationele vergelijkingen.

1.1.1 Los de vergelijking op .

Merk op dat de tekens van x onder het wortelteken verschillend zijn. We introduceren de notatie

, .

Dan,

Laten we de beide delen van de vergelijking term-voor-term optellen.

En we hebben een stelsel vergelijkingen

Omdat a + b = 4, dan

Z luidt: 9 - x \u003d 8  x \u003d 1. Antwoord: x \u003d 1.

1.1.2. Los De vergelijking op .

We introduceren de notatie: , ; , .

Middelen:

Als we term voor term de linker- en rechterkant van de vergelijkingen optellen, krijgen we .

En we hebben een stelsel vergelijkingen

een + b = 2, , , ,

Laten we terugkeren naar het systeem van vergelijkingen:

, .

Als we de vergelijking voor (ab) hebben opgelost, hebben we ab = 9, ab = -1 (-1 vreemde wortel, omdat , .).

Dit systeem heeft geen oplossingen, dus de oorspronkelijke vergelijking heeft ook geen oplossing.

Antwoord: geen oplossingen.

We introduceren de notatie , waar . Dan , .

, ,

Overweeg drie gevallen:

1) . 2) . 3) .

A + 1 - a + 2 \u003d 1, a - 1 - a + 2 \u003d 1, a - 1 + a - 2 \u003d 1, a \u003d 1, 1  [ 0; 1). [ een ; 2). een = 2.

Oplossing: [ 1 ; 2].

Als een , dan , , .

Antwoord: .

1.2. Methode voor het evalueren van het linker- en rechtergedeelte (de majorantmethode).

De majorant-methode is een methode om de begrensdheid van een functie te vinden.

Majorisatie - het vinden van de punten van beperking van de functie. M is de belangrijkste.

Als we f(x) = g(x) hebben en de ODZ is bekend, en als

, , dan

ODZ: .

Overwegen rechter zijde vergelijkingen.

Laten we een functie introduceren. De grafiek is een parabool met hoekpunt A(3 ; 2).

De kleinste waarde van de functie y(3) = 2, d.w.z. .

Beschouw de linkerkant van de vergelijking.

Laten we een functie introduceren. Met behulp van de afgeleide is het gemakkelijk om het maximum te vinden van een functie die differentieerbaar is op x  (2 ; 4).

Bij ,

X=3.

G` + -

2 3 4

g(3) = 2.

We hebben .

Als gevolg hiervan, dan

Laten we een stelsel vergelijkingen samenstellen op basis van de bovenstaande voorwaarden:

Als we de eerste vergelijking van het systeem oplossen, hebben we x = 3. Door deze waarde in de tweede vergelijking in te vullen, zorgen we ervoor dat x = 3 de oplossing voor het systeem is.

Antwoord: x = 3.

1.3. Toepassing van functiemonotoniciteit.

1.3.1. Los De vergelijking op:

Over DZ: , omdat .

Het is bekend dat de som van toenemende functies een toenemende functie is.

De linkerkant is een oplopende functie. De rechterkant is een lineaire functie (k=0). Grafische interpretatie suggereert dat de wortel uniek is. We vinden het door selectie, we hebben x = 1.

Bewijs:

Stel dat er een wortel x 1 groter is dan 1, dan

Omdat x1 >1,

We concluderen dat er geen wortels groter dan één zijn.

Evenzo kan men bewijzen dat er geen wortels minder dan één zijn.

Dus x=1 is de enige wortel.

Antwoord: x = 1.

1.3.2. Los De vergelijking op:

Over DZ: [ 0,5 ; + ), omdat die. .

Laten we de vergelijking transformeren,

De linkerkant is een stijgende functie (het product van stijgende functies), de rechterkant is een lineaire functie (k = 0). De geometrische interpretatie laat zien dat de oorspronkelijke vergelijking een enkele wortel moet hebben die kan worden gevonden door te passen, x = 7.

Inspectie:

Er kan worden bewezen dat er geen andere wortels zijn (zie het voorbeeld hierboven).

Antwoord: x = 7.

2. Logaritmische vergelijkingen.

2.1.1. Los de vergelijking op: log 2 (2x - x 2 + 15) = x 2 - 2x + 5.

Laten we de linkerkant van de vergelijking schatten.

2x - x 2 + 15 \u003d - (x 2 - 2x - 15) \u003d - ((x 2 - 2x + 1) - 1 - 15) \u003d - (x - 1) 2 + 16  16.

Dan log 2 (2x - x 2 + 15)  4.

Laten we de rechterkant van de vergelijking schatten.

x 2 - 2x + 5 \u003d (x 2 - 2x + 1) - 1 + 5 \u003d (x - 1) 2 + 4  4.

De oorspronkelijke vergelijking kan alleen een oplossing hebben als beide zijden gelijk zijn aan vier.

Middelen

Antwoord: x = 1.

Voor onafhankelijk werk.

2.1.2. log 4 (6x - x 2 + 7) \u003d x 2 - 6x + 11 Antwoord: x \u003d 3.

2.1.3. log 5 (8x - x 2 + 9) \u003d x 2 - 8x + 18 Antwoord: x \u003d 6.

2.1.4. log 4 (2x - x 2 + 3) \u003d x 2 - 2x + 2 Antwoord: x \u003d 1.

2.1.5. log 2 (6x - x 2 - 5) \u003d x 2 - 6x + 11 Antwoord: x \u003d 3.

2.2. Gebruikmakend van de monotoniciteit van de functie, de selectie van wortels.

2.2.1. Los de vergelijking op: log 2 (2x - x 2 + 15) = x 2 - 2x + 5.

Laten we de verandering 2x - x 2 + 15 = t, t>0 maken. Dan x 2 - 2x + 5 \u003d 20 - t, dan

log 2 t = 20 - t.

De functie y = log 2 t neemt toe, en de functie y = 20 - t neemt af. De geometrische interpretatie laat ons begrijpen dat de oorspronkelijke vergelijking een enkele wortel heeft, die gemakkelijk kan worden gevonden door t = 16 te selecteren.

Als we de vergelijking 2x - x 2 + 15 = 16 oplossen, vinden we dat x = 1.

Controleren of de geselecteerde waarde correct is.

Antwoord: x = 1.

2.3. Enkele "interessante" logaritmische vergelijkingen.

2.3.1. Los De vergelijking op .

ODZ: (x - 15) cosx > 0.

Laten we verder gaan met de vergelijking

, , ,

Laten we verder gaan met de equivalente vergelijking

(x - 15) (cos 2 x - 1) = 0,

x - 15 = 0, of cos 2 x = 1,

x = 15. cos x = 1 of cos x = -1,

x=2  k, k Z . x =  + 2 l, l Z.

Laten we de gevonden waarden controleren door ze in de ODZ te vervangen.

1) als x = 15, dan (15 - 15) cos 15 > 0,

0 > 0 is fout.

x = 15 - is niet de wortel van de vergelijking.

2) als x = 2  k, k Z, dan (2  k - 15) l > 0,

2 k > 15, merk op dat 15  5 . We hebben

k > 2,5, k Z,

k = 3, 4, 5, … .

3) als x =  + 2 l, l Z, dan ( + 2 l - 15) (- 1) > 0,

 + 2 l< 15,

2l< 15 -  , заметим, что 15  5  .

We hebben: ik< 2,

l = 1, 0, -1, -2,… .

Antwoord: x = 2 k (k = 3,4,5,6,…); x \u003d  +2 1 (1 \u003d 1.0, -1, - 2, ...).

3. Goniometrische vergelijkingen.

3.1. Methode voor het schatten van de linker- en rechterdelen van de vergelijking.

4.1.1. Los de vergelijking cos3x cos2x = -1 op.

eerste manier..

0,5 (cos x+ cos 5 x) = -1, cos x+ cos 5 x = -2.

want omdat x - 1 , cos 5 x - 1, concluderen we dat cos x+ cos 5 x> -2, vandaar

volgt het stelsel vergelijkingen

c os x = -1,

voor 5 x = - 1.

De vergelijking cos . oplossen x= -1, we krijgen X=  + 2 k, waarbij k Z.

Deze waarden X zijn ook oplossingen cos vergelijkingen 5x= -1, omdat

voor 5 x= cos 5 ( + 2 k) = cos ( + 4  + 10  k) = -1.

Dus, X=  + 2 k, waarbij k Z , alle oplossingen van het stelsel zijn, en dus de oorspronkelijke vergelijking.

Antwoord: X=  (2k + 1), k Z.

De tweede manier.

Het kan worden aangetoond dat de verzameling systemen volgt uit de oorspronkelijke vergelijking

want 2 x = - 1,

want 3 x = 1.

want 2 x = 1,

want 3 x = - 1.

Als we elk stelsel vergelijkingen oplossen, vinden we de vereniging van de wortels.

Antwoord: x = (2  tot + 1), k Z.

Voor zelfstandig werk.

Los de vergelijkingen op:

3.1.2. 2 voor 3x + 4 sin x/2 = 7. Antwoord: geen oplossingen.

3.1.3. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = -8. Antwoord: geen oplossingen.

3.1.4. 3 cos 3x + cos x = 4. Antwoord: x = 2 naar, k Z.

3.1.5. zonde x zonde 3 x = -1. Antwoord: x = /2 +  naar, k Z.

3.1.6. omdat 8 x + sin 7 x = 1. Antwoord: x = m, m Z; x = /2 + 2  n, n Z.

Gemeentelijke onderwijsinstelling

"Kudinskaya middelbare school nr. 2"

Manieren om irrationele vergelijkingen op te lossen

Ingevuld door: Egorova Olga,

Leidinggevende:

Docent

wiskunde,

hogere kwalificatie

Invoering....……………………………………………………………………………………… 3

Sectie 1. Methoden voor het oplossen van irrationele vergelijkingen…………………………………6

1.1 Oplossen van de irrationele vergelijkingen van deel C………….….….……………………21

Sectie 2. Individuele taken…………………………………………….....………...24

antwoorden………………………………………………………………………………………….25

Bibliografie…….…………………………………………………………………….26

Invoering

Wiskundeonderwijs ontvangen in school voor algemeen onderwijs, is een essentieel onderdeel algemene educatie en gemeenschappelijke cultuur moderne man. Bijna alles dat een moderne persoon omringt, is allemaal op de een of andere manier verbonden met wiskunde. MAAR recente prestaties in de natuurkunde, techniek en informatietechnologie laten er geen twijfel over bestaan dat de stand van zaken in de toekomst hetzelfde zal blijven. Daarom wordt de oplossing van veel praktische problemen teruggebracht tot het oplossen van verschillende soorten vergelijkingen om te leren oplossen. Een van deze typen zijn irrationele vergelijkingen.

Irrationele vergelijkingen

Een vergelijking met een onbekende (of een rationale) algebraïsche uitdrukking van het onbekende) onder het teken van de radicaal, heet irrationele vergelijking. In de elementaire wiskunde worden oplossingen voor irrationele vergelijkingen gezocht in de verzameling reële getallen.

Elke irrationele vergelijking met behulp van elementaire algebraïsche bewerkingen (vermenigvuldigen, delen, beide delen van de vergelijking verheffen tot een geheeltallige macht) kan worden teruggebracht tot een rationele algebraïsche vergelijking. In dit geval moet er rekening mee worden gehouden dat de resulterende rationele algebraïsche vergelijking niet-equivalent kan blijken te zijn aan de oorspronkelijke irrationele vergelijking, namelijk dat deze "extra" wortels kan bevatten die niet de wortels van de oorspronkelijke ir zullen zijn. rationale vergelijking. Daarom is het, na het vinden van de wortels van de verkregen rationale algebraïsche vergelijking, noodzakelijk om te controleren of alle wortels van de rationale vergelijking de wortels van de irrationele vergelijking zullen zijn.

Over het algemeen is het moeilijk om iets te specificeren universele methode: oplossing van elke irrationele vergelijking, aangezien het wenselijk is dat als resultaat van transformaties van de oorspronkelijke irrationele vergelijking, niet zomaar een soort rationele algebraïsche vergelijking wordt verkregen, waarvan de wortels de wortels van deze irrationele vergelijking zullen zijn, maar een rationale algebraïsche vergelijking gevormd uit veeltermen van de minst mogelijke graad. De wens om die rationale algebraïsche vergelijking te verkrijgen, gevormd uit veeltermen van de kleinst mogelijke graad, is heel natuurlijk, aangezien het vinden van alle wortels van een rationale algebraïsche vergelijking op zich een nogal moeilijke taak kan zijn, die we slechts in een zeer beperkt aantal volledig kunnen oplossen van gevallen.

Soorten irrationele vergelijkingen

Het oplossen van irrationele vergelijkingen van even graad veroorzaakt altijd meer problemen dan de oplossing van irrationele vergelijkingen van oneven graad. Bij het oplossen van irrationele vergelijkingen van oneven graad verandert de ODZ niet. Daarom zullen we hieronder kijken naar irrationele vergelijkingen, waarvan de graad even is. Er zijn twee soorten irrationele vergelijkingen:

2..

Laten we de eerste ervan bekijken.

odz vergelijking: f(x)≥ 0. In ODZ is de linkerkant van de vergelijking altijd niet-negatief, dus een oplossing kan alleen bestaan als g(x)≥ 0. In dit geval zijn beide zijden van de vergelijking niet-negatief, en machtsverheffen 2 n geeft equivalente vergelijking. We snappen dat

Laten we aandacht besteden aan het feit dat terwijl ODZ wordt automatisch uitgevoerd en u kunt het niet schrijven, maar de voorwaarde:g(x) ≥ 0 moet worden aangevinkt.

Opmerking: Dit is erg belangrijke voorwaarde gelijkwaardigheid. Ten eerste bevrijdt het de leerling van de noodzaak om te onderzoeken, en controleer na het vinden van oplossingen de voorwaarde f(x) ≥ 0 - de niet-negativiteit van de worteluitdrukking. Ten tweede richt het zich op het controleren van de conditieg(x) ≥ 0 zijn de niet-negativiteit van de rechterkant. Immers, na het kwadrateren is de vergelijking opgelost d.w.z. er worden twee vergelijkingen tegelijk opgelost (maar op verschillende intervallen van de numerieke as!):

1. - waar g(x)≥ 0 en

2. - waarbij g(x) ≤ 0.

Ondertussen doen velen, volgens de schoolgewoonte om ODZ te vinden, precies het tegenovergestelde bij het oplossen van dergelijke vergelijkingen:

a) controleer, na het vinden van oplossingen, de voorwaarde f(x) ≥ 0 (waaraan automatisch wordt voldaan), maak rekenfouten en krijg een onjuist resultaat;

b) negeer de voorwaardeg(x) ≥ 0 - en nogmaals, het antwoord kan fout zijn.

Opmerking: De equivalentievoorwaarde is vooral handig bij het oplossen van trigonometrische vergelijkingen, waarin ODZ . vinden gerelateerd aan beslissing trigonometrische ongelijkheden, wat veel moeilijker is dan het oplossen van trigonometrische vergelijkingen. Trigonometrische vergelijkingen controleren, zelfs onder voorwaarden g(x)≥ 0 is niet altijd gemakkelijk om te doen.

Beschouw de tweede soort irrationele vergelijkingen.

. Laat de vergelijking . Zijn ODZ:

In de ODZ zijn beide zijden niet-negatief en kwadrateren geeft de equivalente vergelijking f(x) =g(x). Daarom is in de ODZ of

Met deze oplossingsmethode volstaat het om de niet-negativiteit van een van de functies te controleren - u kunt een eenvoudigere kiezen.

Sectie 1. Methoden voor het oplossen van irrationele vergelijkingen

1 methode. Bevrijding van radicalen door achtereenvolgens beide kanten van de vergelijking te verhogen naar de overeenkomstige natuurlijke graad

De meest gebruikte methode voor het oplossen van irrationele vergelijkingen is de methode om radicalen te verwijderen door achtereenvolgens beide delen van de vergelijking te verhogen tot de overeenkomstige natuurlijke kracht. In dit geval moet er rekening mee worden gehouden dat wanneer beide delen van de vergelijking worden verhoogd tot even graad de resulterende vergelijking is gelijk aan de oorspronkelijke, en wanneer beide delen van de vergelijking tot een even macht worden verheven, zal de resulterende vergelijking in het algemeen niet-equivalent zijn aan de oorspronkelijke vergelijking. Dit kan eenvoudig worden geverifieerd door beide kanten van de vergelijking te verhogen tot een even macht. Deze bewerking resulteert in de vergelijking , waarvan de reeks oplossingen de vereniging van reeksen oplossingen is: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Ondanks dit nadeel, het is de procedure voor het verhogen van beide delen van de vergelijking tot een (vaak zelfs) macht die de meest gebruikelijke procedure is om een irrationele vergelijking tot een rationale vergelijking te herleiden.

Los De vergelijking op:

Waar zijn enkele veeltermen. Op grond van de definitie van de bewerking van het extraheren van de wortel in de reeks reële getallen, de toelaatbare waarden van de onbekende https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width=" 123 height=21" height="21">..gif " width="243" height="28 src=">.

Aangezien beide delen van de 1e vergelijking gekwadrateerd zijn, kan het blijken dat niet alle wortels van de 2e vergelijking oplossingen zijn voor de oorspronkelijke vergelijking, het is noodzakelijk om de wortels te controleren.

Los De vergelijking op:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

Als we beide zijden van de vergelijking tot een kubus verheffen, krijgen we

Aangezien https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(De laatste vergelijking kan wortels hebben die in het algemeen geen wortels zijn van de vergelijking ).

We verheffen beide zijden van deze vergelijking tot een kubus: . We herschrijven de vergelijking in de vorm x3 - x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1. Door te controleren stellen we vast dat x1 = 0 een vreemde wortel is van de vergelijking (-2 ≠ 1), en x2 = 1 voldoet aan de oorspronkelijke vergelijking.

Antwoord: x = 1.

2 methode. Een aangrenzend systeem van voorwaarden vervangen

Bij het oplossen van irrationele vergelijkingen met even-orde radicalen, kunnen de antwoorden verschijnen vreemde wortels die niet altijd gemakkelijk te herkennen zijn. Om het gemakkelijker te maken om externe wortels te identificeren en weg te gooien, wordt deze bij het oplossen van irrationele vergelijkingen onmiddellijk vervangen door een aangrenzend systeem van voorwaarden. Bijkomende ongelijkheden in het systeem houden in feite rekening met de ODZ van de vergelijking die wordt opgelost. Je kunt de ODZ apart opzoeken en er later rekening mee houden, maar het is beter om gemengde stelsels van voorwaarden te gebruiken: er is minder kans om iets te vergeten en er geen rekening mee te houden bij het oplossen van de vergelijking. Daarom is het in sommige gevallen rationeler om de methode van overgang naar gemengde systemen te gebruiken.

Los De vergelijking op:

Antwoord: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

deze vergelijking staat gelijk aan een systeem

Antwoord: de vergelijking heeft geen oplossingen.

3 methode. De eigenschappen van de n-de wortel gebruiken

Bij het oplossen van irrationele vergelijkingen worden de eigenschappen van de wortel van de n-de graad gebruikt. rekenkundige wortel n- e graden van onder a bel een niet-negatief nummer, n- ik wiens graad gelijk is aan a. Als een n- ook al( 2n), dan een ≥ 0, anders bestaat de wortel niet. Als een n- vreemd( 2 n+1), dan is a willekeurig en = - ..gif" width="45" height="19"> Dan:

Als een van deze formules formeel wordt toegepast (zonder rekening te houden met de aangegeven beperkingen), moet er rekening mee worden gehouden dat de ODZ van de linker- en rechterdelen van elk van hen verschillend kan zijn. De uitdrukking wordt bijvoorbeeld gedefinieerd met f ≥ 0 en g ≥ 0, en de uitdrukking is als in f ≥ 0 en g ≥ 0, net zoals f ≤ 0 en g 0.

Voor elk van de formules 1-5 (zonder rekening te houden met de aangegeven beperkingen), kan de ODZ van zijn rechterdeel breder zijn dan de ODZ van links. Hieruit volgt dat transformaties van de vergelijking met het formele gebruik van formules 1-5 "van links naar rechts" (zoals ze zijn geschreven) leiden tot een vergelijking die een gevolg is van de oorspronkelijke. In dit geval kunnen vreemde wortels van de oorspronkelijke vergelijking verschijnen, dus verificatie is een verplichte stap bij het oplossen van de oorspronkelijke vergelijking.

Transformaties van vergelijkingen met het formele gebruik van formules 1-5 "van rechts naar links" zijn onaanvaardbaar, omdat het mogelijk is om de ODZ van de oorspronkelijke vergelijking te beoordelen, en dus het verlies van wortels.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

wat een gevolg is van het origineel. De oplossing van deze vergelijking wordt gereduceerd tot het oplossen van de verzameling vergelijkingen .

Uit de eerste vergelijking van deze verzameling vinden we https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> waar we vinden . Dus de wortels van deze vergelijking kan alleen getallen ( -1) en (-2) zijn. Verificatie toont aan dat beide gevonden wortels aan deze vergelijking voldoen.

Antwoord: -1,-2.

Los De vergelijking op: .

Oplossing: vervang op basis van de identiteiten de eerste term door . Merk op dat als de som van twee niet-negatieve getallen aan de linkerkant. "Verwijder" de module en los de vergelijking op nadat u dezelfde termen hebt toegevoegd. Aangezien , krijgen we de vergelijking . sinds en , dan https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" width="145" height="21 src=">

Antwoord: x = 4,25.

4 methode. Introductie van nieuwe variabelen

Een ander voorbeeld van het oplossen van irrationele vergelijkingen is de manier waarop nieuwe variabelen worden geïntroduceerd, waarbij ofwel een eenvoudigere irrationele vergelijking of een rationale vergelijking wordt verkregen.

De oplossing van irrationele vergelijkingen door de vergelijking te vervangen door zijn consequentie (met daaropvolgende controle van de wortels) kan als volgt worden uitgevoerd:

1. Zoek de ODZ van de oorspronkelijke vergelijking.

2. Ga van de vergelijking naar het uitvloeisel ervan.

3. Zoek de wortels van de resulterende vergelijking.

4. Controleer of de gevonden wortels de wortels zijn van de oorspronkelijke vergelijking.

De controle is als volgt:

A) er wordt gecontroleerd of elke gevonden wortel van de ODZ bij de oorspronkelijke vergelijking hoort. Die wortels die niet tot de ODZ behoren, zijn vreemd voor de oorspronkelijke vergelijking.

B) voor elke wortel die is opgenomen in de ODZ van de oorspronkelijke vergelijking, wordt gecontroleerd of ze hebben identieke tekens de linker- en rechterdelen van elk van de vergelijkingen die ontstaan tijdens het oplossen van de oorspronkelijke vergelijking en worden verheven tot een even macht. Die wortels waarvoor de delen van een vergelijking verheven tot een even macht hebben verschillende tekens, zijn vreemd voor de oorspronkelijke vergelijking.

C) alleen die wortels die behoren tot de ODZ van de oorspronkelijke vergelijking en waarvoor beide delen van elk van de vergelijkingen die ontstaan tijdens het oplossen van de oorspronkelijke vergelijking en verheven tot een even macht dezelfde tekens hebben, worden gecontroleerd door directe substitutie in de oorspronkelijke vergelijking.

Een dergelijke oplossingsmethode met de aangegeven verificatiemethode maakt het mogelijk om omslachtige berekeningen te vermijden in het geval van directe vervanging van elk van de gevonden wortels van de laatste vergelijking in de oorspronkelijke.

Los de irrationele vergelijking op:

De reeks toelaatbare waarden van deze vergelijking:

Instelling, na substitutie verkrijgen we de vergelijking

of zijn equivalente vergelijking

die kan worden gezien als een kwadratische vergelijking voor . Als we deze vergelijking oplossen, krijgen we

Daarom is de oplossingsverzameling van de oorspronkelijke irrationele vergelijking de vereniging van de oplossingsverzamelingen van de volgende twee vergelijkingen:

, .

Kubus beide zijden van elk van deze vergelijkingen, en we krijgen twee rationale algebraïsche vergelijkingen:

, .

Als we deze vergelijkingen oplossen, vinden we dat deze irrationele vergelijking een enkele wortel x = 2 heeft (verificatie is niet vereist, aangezien alle transformaties equivalent zijn).

Antwoord: x = 2.

Los de irrationele vergelijking op:

Geef 2x2 + 5x - 2 = t aan. Dan zal de oorspronkelijke vergelijking de vorm aannemen . Door beide delen van de resulterende vergelijking te kwadrateren en gelijke termen te gebruiken, verkrijgen we de vergelijking , die een gevolg is van de vorige. Hieruit vinden we t=16.

Terugkerend naar de onbekende x, krijgen we de vergelijking 2x2 + 5x - 2 = 16, wat een gevolg is van de oorspronkelijke. Door te controleren, zorgen we ervoor dat de wortels x1 \u003d 2 en x2 \u003d - 9/2 de wortels zijn van de oorspronkelijke vergelijking.

Antwoord: x1 = 2, x2 = -9/2.

5 methode. Transformatie van identiteitsvergelijkingen

Bij het oplossen van irrationele vergelijkingen moet men niet beginnen met het oplossen van een vergelijking door beide delen van de vergelijkingen tot een natuurlijke macht te verheffen, in een poging de oplossing van een irrationele vergelijking te reduceren tot het oplossen van een rationele algebraïsche vergelijking. Ten eerste is het nodig om te kijken of het mogelijk is om een identieke transformatie van de vergelijking uit te voeren, waardoor de oplossing aanzienlijk kan worden vereenvoudigd.

Los De vergelijking op:

De set geldige waarden voor deze vergelijking: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Deel deze vergelijking door .

We krijgen:

Voor a = 0 heeft de vergelijking geen oplossingen; voor , de vergelijking kan worden geschreven als

want deze vergelijking heeft geen oplossingen, aangezien voor any X, behorend tot de reeks toelaatbare waarden van de vergelijking, is de uitdrukking aan de linkerkant van de vergelijking positief;

wanneer de vergelijking een oplossing heeft

Rekening houdend met het feit dat de reeks toelaatbare oplossingen van de vergelijking wordt bepaald door de voorwaarde , verkrijgen we uiteindelijk:

Bij het oplossen van deze irrationele vergelijking, https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> is de oplossing van de vergelijking . Voor alle andere waarden X de vergelijking heeft geen oplossingen.

VOORBEELD 10:

Los de irrationele vergelijking op: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

Beslissing kwadratische vergelijking Het systeem geeft twee wortels: x1 = 1 en x2 = 4. De eerste van de verkregen wortels voldoet niet aan de ongelijkheid van het systeem, dus x = 4.

Opmerkingen.

1) Vasthouden identieke transformaties stelt u in staat om te doen zonder te controleren.

2) De ongelijkheid x - 3 ≥0 verwijst naar identieke transformaties, en niet naar het domein van de vergelijking.

3) Er is een afnemende functie aan de linkerkant van de vergelijking en een toenemende functie aan de rechterkant van deze vergelijking. Grafieken van afnemende en toenemende functies op het snijpunt van hun definitiedomeinen kunnen niet meer dan één gemeenschappelijk punt hebben. Het is duidelijk dat in ons geval x = 4 de abscis is van het snijpunt van de grafieken.

Antwoord: x = 4.

6 methode. Het domein van de definitie van functies gebruiken bij het oplossen van vergelijkingen

Deze methode is het meest effectief bij het oplossen van vergelijkingen die functies bevatten https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> en vind de gebiedsdefinities (f)..gif" width="53" height="21"> .gif" width="88" height="21 src=">, dan moet je controleren of de vergelijking waar is aan het einde van het interval, bovendien als een< 0, а b >0, dan is het noodzakelijk om de intervallen te controleren (a;0) en . Het kleinste gehele getal in E(y) is 3.

Antwoord: x = 3.

8 methode. Toepassing van de afgeleide bij het oplossen van irrationele vergelijkingen

Meestal wordt bij het oplossen van vergelijkingen met behulp van de afgeleide methode de schattingsmethode gebruikt.

VOORBEELD 15:

Los de vergelijking op: (1)

Oplossing: sinds https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, of (2). Overweeg de functie ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> helemaal niet en neemt daardoor toe. Daarom is de vergelijking is equivalent aan een vergelijking met een wortel die de wortel is van de oorspronkelijke vergelijking.

Antwoord:

VOORBEELD 16:

Los de irrationele vergelijking op:

Het definitiedomein van de functie is een segment. Vind de grootste en kleinste waarde de waarden van deze functie op het interval. Om dit te doen, vinden we de afgeleide van de functie f(x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19"> Laten we de waarden van de functie vinden f(x) aan de uiteinden van het segment en op het punt: So, But en daarom is gelijkheid alleen mogelijk onder de voorwaarde https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height="19 src=" > Verificatie toont aan dat het getal 3 de wortel van deze vergelijking is.

Antwoord: x = 3.

9 methode. Functioneel

In examens bieden ze soms aan om vergelijkingen op te lossen die kunnen worden geschreven in de vorm , waarbij een bepaalde functie is.

Enkele vergelijkingen bijvoorbeeld: 1) 2) . Inderdaad, in het eerste geval , in het tweede geval . Los daarom irrationele vergelijkingen op met behulp van de volgende instructie: als een functie strikt toeneemt op de verzameling X en voor any , dan zijn de vergelijkingen, enz., equivalent op de set X .

Los de irrationele vergelijking op: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> strikt toenemend op de set R, en https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > die een unieke wortel heeft Daarom heeft de equivalente vergelijking (1) ook een unieke wortel

Antwoord: x = 3.

VOORBEELD 18:

Los de irrationele vergelijking op: (1)

Per definitie vierkantswortel we krijgen dat als vergelijking (1) wortels heeft, ze behoren tot de set https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width="163" height="47">. ( 2)

Overweeg de functie https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> strikt verhogen op deze set voor elke ..gif" width="100" hoogte = "41"> die een enkele wortel heeft, daarom, en gelijkwaardig aan het op de set X vergelijking (1) heeft een enkele wortel

Antwoord: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Oplossing: Deze vergelijking is gelijk aan gemengd systeem

Echte getallen. Benadering van reële getallen door eindige decimale breuken.

Een reëel of reëel getal is een wiskundige abstractie die voortkwam uit de behoefte om geometrische en fysieke hoeveelheden de wereld om zich heen, evenals het uitvoeren van bewerkingen zoals het extraheren van een wortel, het berekenen van logaritmen, het oplossen van algebraïsche vergelijkingen. Als een gehele getallen ontstond tijdens het tellen, rationeel - uit de noodzaak om met delen van een geheel te werken, dan zijn reële getallen bedoeld voor meting continue hoeveelheden. De uitbreiding van de beschouwde getallenvoorraad heeft dus geleid tot de verzameling reële getallen, die naast de rationale getallen ook andere elementen bevat die irrationele nummers .

Absolute fout en zijn limiet.

Laat er een numerieke waarde zijn, en numerieke waarde, die eraan is toegewezen, als nauwkeurig wordt beschouwd, dan onder geschatte waarde fout numerieke waarde (vergissing) het verschil begrijpen tussen de exacte en geschatte waarde van een numerieke waarde: . De fout kan zowel positieve als negatieve waarden aannemen. De waarde heet bekende benadering naar de exacte waarde van een numerieke waarde - elk getal dat wordt gebruikt in plaats van de exacte waarde. Protozoa kwantitatieve maat fout is de absolute fout. Absolute fout geschatte waarde wordt de waarde genoemd, waarvan bekend is dat: Relatieve fout en zijn limiet.

De kwaliteit van de benadering hangt in wezen af van de geaccepteerde meeteenheden en schalen van hoeveelheden, daarom is het raadzaam om de fout van een hoeveelheid en de waarde ervan te correleren, waarvoor het concept van relatieve fout wordt geïntroduceerd. Relatieve fout Een geschatte waarde wordt een waarde genoemd waarvan bekend is dat: . Relatieve fouten worden vaak uitgedrukt als een percentage. Gebruik relatieve fouten handig, vooral omdat ze niet afhankelijk zijn van de schalen van hoeveelheden en meeteenheden.

Irrationele vergelijkingen

Een vergelijking waarin een variabele onder het teken van de wortel staat, wordt irrationeel genoemd. Bij het oplossen van irrationele vergelijkingen moeten de verkregen oplossingen worden geverifieerd, omdat bijvoorbeeld een onjuiste gelijkheid bij het kwadrateren de juiste gelijkheid kan geven. Inderdaad, een onjuiste gelijkheid in het kwadraat geeft de juiste gelijkheid 1 2 = (-1) 2 , 1=1. Soms is het handiger om irrationele vergelijkingen op te lossen met equivalente overgangen.

Laten we beide zijden van deze vergelijking vierkant maken; Na transformaties komen we tot een kwadratische vergelijking; en laten we het aantrekken.

Complexe getallen. Acties op complexe getallen.

Complexe getallen - een uitbreiding van de reeks reële getallen, meestal aangeduid. Elk complex getal kan worden weergegeven als een formele som x + iy, waar x en ja- echte getallen, i- denkbeeldige eenheid Complexe getallen vormen een algebraïsch gesloten veld - dit betekent dat de polynoom van graad n met complexe coëfficiënten heeft precies n complexe wortels, dat wil zeggen, de fundamentele stelling van de algebra is waar. Dit is een van de belangrijkste redenen voor het wijdverbreide gebruik complexe getallen in wiskundig onderzoek. Bovendien stelt het gebruik van complexe getallen ons in staat om gemakkelijk en compact veel te formuleren wiskundige modellen toegepast in wiskundige natuurkunde en in Natuurwetenschappen- elektrotechniek, hydrodynamica, cartografie, kwantummechanica, de theorie van oscillaties en vele anderen.

Vergelijking a + bi = c + di betekent dat a = c en b = d(twee complexe getallen zijn gelijk als en slechts dan als hun reële en imaginaire delen gelijk zijn).

Toevoeging ( a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i .

aftrekken ( a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d) i .

Vermenigvuldiging

Numerieke functie. Manieren om een functie in te stellen

In wiskunde numerieke functie is een functie waarvan de domeinen en waarden subsets zijn getallenreeksen- meestal sets van reële getallen of sets van complexe getallen.

Verbaal: met behulp van natuurlijke taal Y is gelijk aan hele deel van x. Analytisch: een analytische formule gebruiken f (x) = x !

Grafisch Via grafiek Fragment van de functiegrafiek.

Tabellair: een tabel met waarden gebruiken

Belangrijkste eigenschappen van de functie

1) Functieomvang en functiebereik . Functiebereik: x(variabele) x) waarvoor de functie y=f(x) gedefinieerd.

Functiebereik: ja die de functie accepteert. In de elementaire wiskunde worden functies alleen bestudeerd op de verzameling reële getallen ) Functie nul) Monotoniciteit van de functie . Toenemende functie Afnemende functie . Even functie X f(-x) = f(x). rare functie- een functie waarvan het definitiedomein symmetrisch is ten opzichte van de oorsprong en voor elke X f(-x) = -f(x. De functie heet beperkt onbeperkt .7) Periodiciteit van de functie. Functie f(x) - periodiek functieperiode

Functie grafieken. De eenvoudigste transformaties van grafieken door een functie

Functie Grafiek- reeks punten waarvan de abscis is geldige waarden argument x, en de ordinaat zijn de corresponderende waarden van de functie ja .

Rechte lijn- planning lineaire functie y=ax+b. De functie y stijgt monotoon voor a > 0 en neemt af voor a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)

Parabool- functie grafiek vierkante trinominaal y \u003d bijl 2 + bx + c. Het heeft verticale as symmetrie. Als a > 0, heeft een minimum als a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения bijl 2 + bx + c \u003d 0

Hyperbool- functie grafiek. Wanneer a > O zich in de I en III kwartalen bevindt, wanneer a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х (а >0) of y - x (a< 0).

Logaritmische functie y = log a x(a > 0)

trigonometrische functies. Bij het construeren van goniometrische functies gebruiken we radiaal maten van hoeken. Dan de functie ja= zonde x weergegeven door een grafiek (Fig. 19). Deze kromme heet sinusoïde .

Functie Grafiek ja= cos x getoond in afb. 20; het is ook een sinusgolf die het gevolg is van het verplaatsen van de grafiek ja= zonde x langs de as X achtergelaten door /2.

Basiseigenschappen functies. Monotoniciteit, gelijkmatigheid, eigenaardigheid, periodiciteit van functies.

Functieomvang en functiebereik . Functiebereik: is de verzameling van alle geldige geldige waarden van het argument x(variabele) x) waarvoor de functie y=f(x) gedefinieerd.

Functiebereik: is de verzameling van alle reële waarden ja die de functie accepteert.

In de elementaire wiskunde worden functies alleen bestudeerd op de verzameling reële getallen ) Functie nul- is de waarde van het argument, waarbij de waarde van de functie gelijk is aan nul.3 ) Intervallen van constantheid van de functie- die sets argumentwaarden waarop de functiewaarden alleen positief of alleen negatief zijn ) Monotoniciteit van de functie .

Toenemende functie(in een bepaald interval) - een functie waarvoor grotere waarde een argument uit dit interval komt overeen met een grotere waarde van de functie.

Afnemende functie(in een bepaald interval) - een functie waarin een grotere waarde van het argument uit dit interval overeenkomt met een kleinere waarde van de functie.5 ) Even (oneven) functies . Even functie- een functie waarvan het definitiedomein symmetrisch is ten opzichte van de oorsprong en voor elke X uit het domein van de definitie de gelijkheid f(-x) = f(x). Planning even functie symmetrisch om de y-as. rare functie- een functie waarvan het definitiedomein symmetrisch is ten opzichte van de oorsprong en voor elke X uit het domein van de definitie de gelijkheid f(-x) = -f(x). Planning rare functie symmetrisch rond de oorsprong.6 ) Beperkte en onbeperkte functies. De functie heet beperkt, als er een positief getal M is zodat |f (x) | ≤ M voor alle waarden van x. Als zo'n nummer niet bestaat, dan is de functie onbeperkt .7) Periodiciteit van de functie. Functie f(x) - periodiek, als er zo'n niet-nul getal T is dat voor elke x uit het domein van de functie geldt: f (x+T) = f (x). Zo een kleinste getal genaamd functieperiode. Alle trigonometrische functies zijn periodiek. (Trigonometrische formules).

Periodieke functies. Regels voor het vinden van de hoofdperiode van een functie.

Periodieke functie is een functie die zijn waarden herhaalt na een periode die niet nul is, d.w.z. de waarde niet verandert wanneer een vast niet-nul getal (periode) aan het argument wordt toegevoegd. Alle trigonometrische functies zijn periodiek. Zijn fout uitspraken over het bedrag periodieke functies: Som van 2 functies met vergelijkbare (zelfs basis) perioden T 1 en T 2 is een functie met periode LCM ( T 1 ,T 2). Bedrag 2 continue functies met incommensurabele (zelfs basis) perioden is een niet-periodieke functie. Er zijn geen periodieke functies gelijk aan een constante, waarvan de perioden incommensurabele getallen zijn.

Vermogensfuncties plotten.

Power functie. Dit is de functie: y = bijl n, waar een- blijvend. Bij n= 1 we krijgen directe evenredigheid : ja =bijl; Bij n = 2 - vierkante parabool; Bij n = 1 - omgekeerde evenredigheid of hyperbool. Deze functies zijn dus speciale gevallen van een machtsfunctie. We weten dat de macht nul van elk ander getal dan nul gelijk is aan 1, daarom, wanneer n = 0 Power functie verandert in constante waarde: ja =a, d.w.z. de grafiek is een rechte lijn evenwijdig aan de as X, exclusief de oorsprong van coördinaten (leg uit waarom?). Al deze gevallen (met a= 1) worden getoond in Fig. 13 ( n 0) en Afb.14 ( n < 0). Отрицательные значения x worden hier niet beschouwd, omdat dan enkele functies:

Omgekeerde functie

Omgekeerde functie- een functie die de door deze functie uitgedrukte afhankelijkheid omkeert. De functie is omgekeerd aan de functie als de volgende identiteiten gelden: voor iedereen voor iedereen

Grens van een functie op een punt. Basiseigenschappen van de limiet.

De wortel van de n-de graad en zijn eigenschappen.

De n-de wortel van een getal a is een getal waarvan de n-de macht gelijk is aan a.

Definitie: De rekenkundige wortel van de n-de graad van het getal a is een niet-negatief getal, waarvan de n-de macht gelijk is aan a.

De belangrijkste eigenschappen van de wortels:

Graad met willekeurige echte indicator en zijn eigenschappen.

Laat een positief getal en een willekeurig reëel getal worden gegeven. Het getal wordt de graad genoemd, het getal is de basis van de graad, het getal is de exponent.

Per definitie wordt aangenomen:

Indien - positieve getallen, En elk echte getallen, dan volgende eigenschappen::

.

.

Machtsfunctie, zijn eigenschappen en grafieken

Power functie complexe variabele f (z) = z n met een integer exponent wordt bepaald met behulp van de analytische voortzetting van een vergelijkbare functie van een reëel argument. Hiervoor wordt de exponentiële vorm van het schrijven van complexe getallen gebruikt. een machtsfunctie met een integer exponent is analytisch in het gehele complexe vlak, als een product eindig getal f (z) = z. Volgens de uniciteitsstelling zijn deze twee criteria voldoende voor de uniciteit van de resulterende analytische voortzetting. Met behulp van deze definitie kunnen we onmiddellijk concluderen dat de machtsfunctie van een complexe variabele significante verschillen heeft met zijn echte tegenhanger.

Dit is een functie van de vorm , . De volgende gevallen worden overwogen:

a). Als dan . Dan , ; als het getal even is, dan is de functie even (d.w.z. voor iedereen ); als het getal oneven is, dan is de functie oneven (dat wil zeggen, voor iedereen).

De exponentiële functie, zijn eigenschappen en grafieken

Exponentiële functie- wiskundige functie.

In het echte geval is de basis van de graad niet-negatief echt nummer, en het functieargument is een echte exponent.

In theorie complexe functies meer overwogen algemeen geval, wanneer het argument en de exponent een willekeurig complex getal kunnen zijn.

in de zeer algemeen beeld - jij bent, geïntroduceerd door Leibniz in 1695.

Het geval waarin het getal e fungeert als de basis van de graad wordt speciaal benadrukt. Zo'n functie wordt een exponent genoemd (reëel of complex).

Eigenschappen ; ; .

exponentiële vergelijkingen.

Laten we direct naar de exponentiële vergelijkingen gaan. om te beslissen exponentiële vergelijking het is noodzakelijk om de volgende stelling te gebruiken: Als de graden gelijk zijn en de basen gelijk, positief en verschillend van één, dan zijn hun exponenten ook gelijk. Laten we deze stelling bewijzen: Laat a>1 en a x =a y .

Laten we bewijzen dat in dit geval x=y. Neem het tegenovergestelde aan van wat moet worden bewezen, d.w.z. laten we zeggen dat x>y of dat x<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо a х een j. Beide resultaten spreken de hypothese van de stelling tegen. Daarom is x=y, wat bewezen moest worden.

De stelling is ook bewezen voor het geval dat 0 0 en a-1.

exponentiële ongelijkheden

Ongelijkheden van de vorm (of minder) voor a(x) >0 en worden opgelost op basis van de eigenschappen van de exponentiële functie: for 0 < а (х) < 1 bij het vergelijken f(x) en g(x) het teken van de ongelijkheid verandert, en wanneer a(x) > 1- wordt opgeslagen. Het moeilijkste geval voor bijl)< 0 . Hier kunnen we alleen een algemene indicatie geven: om te bepalen bij welke waarden X indicatoren f(x) en g(x) zijn gehele getallen, en kies daaruit die welke aan de voorwaarde voldoen. Ten slotte, als de oorspronkelijke ongelijkheid geldt voor a(x) = 0 of a(x) = 1(bijvoorbeeld wanneer de ongelijkheden niet strikt zijn), dan moeten ook deze gevallen in aanmerking worden genomen.

Logaritmen en hun eigenschappen

Logaritme van een getal b door reden a (van het Griekse λόγος - "woord", "relatie" en ἀριθμός - "getal") wordt gedefinieerd als een indicator van de mate waarin de basis moet worden verhoogd a om het nummer te krijgen b. Aanwijzing: . Uit de definitie volgt dat de vermeldingen en equivalent zijn. Voorbeeld: omdat . Eigenschappen

Basis logaritmische identiteit:

Logaritmische functie, zijn eigenschappen en grafieken.

Een logaritmische functie is een functie van de vorm f (x) = log een x, gedefinieerd op

Domein:

Waardebereik:

De grafiek van een logaritmische functie gaat door het punt (1; 0)

De afgeleide van de logaritmische functie is:

Logaritmische vergelijkingen

Een vergelijking met een variabele onder het teken van de logaritme wordt een logaritmische vergelijking genoemd. Het eenvoudigste voorbeeld van een logaritmische vergelijking is de vergelijking log a x \u003d b (waarbij a > 0, en 1). zijn beslissing x = een b .

Vergelijkingen oplossen op basis van de definitie van de logaritme, bijvoorbeeld de vergelijking log a x \u003d b (a\u003e 0, maar 1) heeft een oplossing x = een b .

potentiëring methode. Met potentiëring wordt de overgang bedoeld van een gelijkheid die logaritmen bevat naar een gelijkheid die ze niet bevat:

indien log a f (x) = log a g (x), dan f(x) = g(x), f(x) >0 ,g(x) >0 ,een > 0 , een 1 .

Methode voor het reduceren van een logaritmische vergelijking tot een kwadratische vergelijking.

De methode om de logaritme van beide delen van de vergelijking te nemen.

Methode voor het reduceren van logaritmen tot hetzelfde grondtal.

Logaritmische ongelijkheden.

Een ongelijkheid die een variabele alleen onder het teken van de logaritme bevat, wordt een logaritmische ongelijkheid genoemd: log a f (x) > log a g (x).

Bij het oplossen van logaritmische ongelijkheden moet men rekening houden met de algemene eigenschappen van ongelijkheden, de eigenschap van monotoniciteit van de logaritmische functie en zijn definitiedomein. Ongelijkheid log a f (x) > log a g (x) staat gelijk aan een systeem f (x) > g (x) > 0 voor a > 1 en systeem 0 < f (x) < g (x) при 0 < а < 1 .

Radiale meting van hoeken en bogen. Sinus, cosinus, tangens, cotangens.

graad maatregel. Hier is de meeteenheid rang ( benaming ) - is de rotatie van de balk met 1/360 van een volledige omwenteling. Een volledige rotatie van de straal is dus 360. Een graad bestaat uit 60 minuten ( hun aanduiding '); één minuut - respectievelijk van 60 seconden ( gemarkeerd met ").

radiale maat. Zoals we uit de planimetrie weten (zie de paragraaf "Booglengte" in de sectie "Locus van punten. Cirkel en cirkel"), is de lengte van de boog ik, straal r en de bijbehorende centrale hoek zijn gerelateerd door: = l / r.

Deze formule ligt ten grondslag aan de definitie van de radiale maat van hoeken. Dus indien ik = r, dan = 1, en we zeggen dat de hoek  gelijk is aan 1 radiaal, die wordt aangeduid met: = 1 blij. We hebben dus de volgende definitie van de radiaalmaat:

De radiaal is de middelpuntshoek, waarvan de booglengte en straal gelijk zijn(EEN m B = AO, Afb. 1). Dus, de radiale maat van een hoek is de verhouding van de lengte van een boog getrokken door een willekeurige straal en ingesloten tussen de zijden van deze hoek tot de straal van de boog.

De trigonometrische functies van scherpe hoeken kunnen worden gedefinieerd als de verhouding van de lengtes van de zijden van een rechthoekige driehoek.

Sinus:

Cosinus:

Raaklijn:

Cotangens:

Trigonometrische functies van een numeriek argument

Definitie .

De sinus van x is het getal gelijk aan de sinus van de hoek in x radialen. De cosinus van een getal x is het getal gelijk aan de cosinus van de hoek in x radialen .

Andere trigonometrische functies van een numeriek argument worden op dezelfde manier gedefinieerd X .

Geest formules.

Toevoeging formules. Dubbele en halve argumentformules.

Dubbele.

( ; .

Goniometrische functies en hun grafieken. Basiseigenschappen van goniometrische functies.

Goniometrische functies- soort elementaire functies. Ze worden meestal genoemd sinus (zonde x), cosinus (want x), raaklijn (tg x), cotangens (ctg x), worden goniometrische functies meestal geometrisch gedefinieerd, maar ze kunnen analytisch worden gedefinieerd in termen van sommen van reeksen of als oplossingen voor bepaalde differentiaalvergelijkingen, wat ons in staat stelt het domein van de definitie van deze functies uit te breiden tot complexe getallen.

Functie y sinx zijn eigenschappen en grafiek

Eigenschappen:

2. E (y) \u003d [-1; een].

3. De functie y \u003d sinx is oneven, omdat per definitie de sinus van een trigonometrische hoek zonde(- x)= - y/R = - sinx, waarbij R de straal van de cirkel is, y de ordinaat van het punt (Fig.).

4. T \u003d 2n - de kleinste positieve periode. Echt,

sin(x+p) = sinx.

met Ox-as: sinx= 0; x = pn, nОZ;

met de y-as: als x = 0, dan is y = 0,6. Constante intervallen:

sinx > 0, als xО (2pn; p + 2pn), nОZ;

sinx< 0 , als xО (p + 2pn; 2p+pn), nОZ.

Sinustekens in kwarten

y > 0 voor hoeken a van het eerste en tweede kwartaal.

Bij< 0 для углов ее третьей и четвертой четвертей.

7. Intervallen van eentonigheid:

y= sinx neemt toe op elk van de intervallen [-p/2 + 2pn; p/2 + 2pn],

nнz en neemt af op elk van de intervallen , nнz.

8. Extreme punten en extreme punten van de functie:

xmax= p/2 + 2pn, nнz; ja max = 1;

ymax= - p/2 + 2pn, nнz; ymin = - 1.

Functie Eigenschappen y= cosx en haar schema:

Eigenschappen:

2. E (y) \u003d [-1; een].

3. Functie: y= cosx- even, want per definitie van de cosinus van de goniometrische hoek cos (-a) = x/R = cosa op de goniometrische cirkel (rijst)

4. T \u003d 2p - de kleinste positieve periode. Echt,

cos(x+2pn) = cosx.

5. Snijpunten met coördinaatassen:

met de Ox-as: cosx = 0;

x = p/2 + pn, nОZ;

met de y-as: als x = 0, dan is y = 1.

6. Intervallen van tekenconstantie:

cos > 0, als xО (-p/2+2pn; p/2 + 2pn), nОZ;

cosx< 0 , als xО (p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn), nОZ.

Dit wordt bewezen op een trigonometrische cirkel (Fig.). Cosinustekens in kwarten:

x > 0 voor hoeken a van het eerste en vierde kwadrant.

x< 0 для углов a второй и третей четвертей.

7. Intervallen van eentonigheid:

y= cosx neemt toe op elk van de intervallen [-p + 2pn; 2pn],

nнz en neemt af op elk van de intervallen , nнz.

Functie Eigenschappen y= tgx en zijn perceel: eigenschappen -

1. D (y) = (xОR, x ¹ p/2 + pn, nОZ).

3. Functie y = tgx - oneven

tgx > 0

tgx< 0 voor xн (-p/2 + pn; pn), nнZ.

Zie de figuur voor de tekens van de raaklijn in kwarten.

6. Intervallen van eentonigheid:

y= tgx neemt toe bij elk interval

(-p/2 + pn; p/2 + pn),

7. Extreme punten en extreme punten van de functie:

8. x = p/2 + pn, nнz - verticale asymptoten

Functie Eigenschappen y= ctgx en haar schema:

Eigenschappen:

1. D (y) = (xОR, x ¹ pn, nОZ). 2. E(y)=R.

3. Functie: y= ctgx- vreemd.

4. T \u003d p - de kleinste positieve periode.

5. Intervallen van tekenconstantie:

ctgx > 0 voor xО (pn; p/2 + pn;), nОZ;

ctgx< 0 voor xÎ (-p/2 + pn; pn), nÎZ.

Cotangente tekens voor kwartalen, zie de afbeelding.

6. Functie: Bij= ctgx neemt toe op elk van de intervallen (pn; p + pn), nОZ.

7. Uiterste punten en extremums van een functie y= ctgx nee.

8. Functiegrafiek y= ctgx is een tangentoïde, verkregen door plotverschuiving y=tgx langs de Ox-as naar links met p/2 en vermenigvuldigd met (-1) (Fig)

Inverse trigonometrische functies, hun eigenschappen en grafieken

Inverse trigonometrische functies (circulaire functies , boogfuncties) zijn wiskundige functies die omgekeerd zijn aan trigonometrische functies. Inverse trigonometrische functies omvatten meestal zes functies: boogsinus , boog cosinus , boog raaklijn ,arccotangen. De naam van de inverse goniometrische functie wordt gevormd uit de naam van de overeenkomstige goniometrische functie door het voorvoegsel "ark-" toe te voegen (van lat. boog- boog). Dit komt door het feit dat geometrisch de waarde van de inverse trigonometrische functie kan worden geassocieerd met de lengte van de boog van een eenheidscirkel (of de hoek die deze boog insluit) die overeenkomt met een of ander segment. Af en toe gebruiken ze in buitenlandse literatuur aanduidingen zoals sin −1 voor de arcsinus, enz.; dit wordt als niet helemaal correct beschouwd, aangezien verwarring met het verheffen van een functie tot de macht −1 mogelijk is. Basisverhouding

Functie y=arcsinX, zijn eigenschappen en grafieken.

boogsinus nummers m deze hoek heet x waarvoorFunctie ja= zonde x ja= arcsin x neemt strikt toe. (functie is oneven).

Functie y=arccosX, zijn eigenschappen en grafieken.

boog cosinus nummers m deze hoek heet x, waarvoor

Functie ja= cos x continu en begrensd langs de gehele getallenlijn. Functie ja= arccos x neemt sterk af. cos (arccos x) = x Bij arccos (cos ja) = ja Bij D(arccos x) = [− 1; 1], (domein), E(arccos x) = . (bereik van waarden). Eigenschappen van de arccos-functie (de functie is centraal symmetrisch ten opzichte van het punt)

Functie y=arctgX, zijn eigenschappen en grafieken.

Arctangens nummers m Een hoek α wordt zo genoemd dat de functie continu is en begrensd op zijn gehele reële lijn. De functie is sterk oplopend.

Bij

arctg functie eigenschappen

,

.

Functie y=arcctg, zijn eigenschappen en grafieken.

Boogtangens nummers m deze hoek heet x, waarvoor

De functie is continu en begrensd op zijn gehele reële lijn.

De functie is sterk afnemend. bij op 0< ja < π Свойства функции arcctg (график функции центрально-симметричен относительно точки voor enige x .

.

De eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen.

Definitie. wada-vergelijkingen zonde x = a ; cos x = a ; tan x = a ; ctg x = a, waar x

Speciale gevallen van goniometrische vergelijkingen

Definitie. wada-vergelijkingen zonde x = a ; cos x = a ; tan x = a ; ctg x = a, waar x- variabele, aR, worden genoemd eenvoudige trigonometrische vergelijkingen.

Goniometrische vergelijkingen

Axioma's van stereometrie en de gevolgen daarvan

Basisfiguren in de ruimte: punten, lijnen en vlakken. De belangrijkste eigenschappen van punten, lijnen en vlakken met betrekking tot hun onderlinge rangschikking worden uitgedrukt in axioma's.

A1. Door drie willekeurige punten die niet op dezelfde rechte lijn liggen, passeert er een vlak, en bovendien slechts één. A2. Als twee punten van een lijn in een vlak liggen, dan liggen alle punten van de lijn in dat vlak.

Commentaar. Als een lijn en een vlak maar één gemeenschappelijk punt hebben, dan wordt gezegd dat ze elkaar snijden.

A3. Als twee vlakken een gemeenschappelijk punt hebben, dan hebben ze een gemeenschappelijke lijn waarop alle gemeenschappelijke punten van deze vlakken liggen.

A en snijden langs de lijn a.

Gevolg 1. Door een lijn en een punt dat er niet op ligt, gaat een vlak, en bovendien maar één. Gevolg 2. Een vlak gaat door twee elkaar snijdende rechte lijnen, en bovendien door slechts één.

Onderlinge rangschikking van twee lijnen in de ruimte

Twee rechte lijnen gegeven door vergelijkingen

elkaar in een punt kruisen.

Parallellisme van een lijn en een vlak.

Definitie 2.3 Een lijn en een vlak worden parallel genoemd als ze geen gemeenschappelijke punten hebben. Als de lijn a evenwijdig is aan het vlak α, schrijf dan a || a. Stelling 2.4 Teken van parallellisme van een rechte lijn en een vlak. Als een lijn buiten een vlak evenwijdig is aan een lijn in het vlak, dan is die lijn ook evenwijdig aan het vlak zelf. Bewijs Laat b α, a || b en a α (tekening 2.2.1). We zullen bewijzen door tegenspraak. Laat a niet evenwijdig zijn aan α, dan snijdt de lijn a het vlak α ergens A. Bovendien, A b, aangezien a || b. Volgens het criterium van scheve lijnen zijn lijnen a en b scheef. We zijn tot een contradictie gekomen. Stelling 2.5 Als het vlak β door de lijn a gaat evenwijdig aan het vlak α en dit vlak snijdt langs de lijn b, dan is b || a. Bewijs De lijnen a en b zijn inderdaad niet scheef, aangezien ze in het vlak β liggen. Bovendien hebben deze lijnen geen gemeenschappelijke punten, aangezien een || a. Definitie 2.4 De lijn b wordt soms het spoor van het vlak β op het vlak genoemd.

Rechte lijnen oversteken. Teken van kruisende lijnen

Lijnen worden snijdend genoemd als aan de volgende voorwaarde is voldaan: Als we ons voorstellen dat een van de lijnen tot een willekeurig vlak behoort, dan zal de andere lijn dit vlak snijden op een punt dat niet tot de eerste lijn behoort. Met andere woorden, twee lijnen in de driedimensionale Euclidische ruimte snijden elkaar als er geen vlak is dat ze bevat. Simpel gezegd, twee lijnen in de ruimte die geen gemeenschappelijke punten hebben, maar niet evenwijdig zijn.

Stelling (1): Als een van de twee lijnen in een bepaald vlak ligt, en de andere lijn snijdt dit vlak op een punt dat niet op de eerste lijn ligt, dan zijn deze lijnen scheef.

Stelling (2): Door elk van de twee snijdende lijnen gaat een vlak evenwijdig aan de andere lijn, en bovendien slechts één.

Stelling (3): Als de zijden van twee hoeken respectievelijk samen gericht zijn, dan zijn die hoeken gelijk.

Parallellisme van lijnen. Eigenschappen van parallelle vlakken.

Parallelle (soms - gelijkbenige) rechte lijnen rechte lijnen genoemd die in hetzelfde vlak liggen en ofwel samenvallen of niet snijden. In sommige schooldefinities worden samenvallende lijnen niet als parallel beschouwd; een dergelijke definitie wordt hier niet beschouwd. Eigenschappen Parallellisme is een binaire equivalentierelatie, daarom verdeelt het de hele reeks lijnen in klassen van lijnen die evenwijdig aan elkaar zijn. Door een bepaald punt kan er precies één lijn evenwijdig aan het gegeven zijn. Dit is een onderscheidende eigenschap van de Euclidische meetkunde, in andere meetkunde is het getal 1 vervangen door andere (in de meetkunde van Lobachevsky zijn er minstens twee van dergelijke lijnen) 2 evenwijdige lijnen in de ruimte liggen in hetzelfde vlak. b Op het snijpunt van 2 evenwijdige lijnen met een derde, genaamd secans: De secans snijdt noodzakelijkerwijs beide lijnen. Bij het kruisen worden 8 hoeken gevormd, waarvan sommige karakteristieke paren speciale namen en eigenschappen hebben: Kruis liegen hoeken zijn gelijk. respectieve hoeken zijn gelijk. unilateraal de hoeken tellen op tot 180°.

Loodrechtheid van een lijn en een vlak.

Een lijn die een vlak snijdt heet loodrecht dit vlak als het loodrecht staat op elke lijn die in het gegeven vlak ligt en door het snijpunt gaat.

TEKEN VAN HALFSTANDIGHEID VAN EEN LIJN EN EEN VLIEGTUIG.

Als een lijn die een vlak snijdt loodrecht staat op twee lijnen in dat vlak die door het snijpunt van de gegeven lijn en het vlak gaan, dan staat ze loodrecht op het vlak.

1e EIGENSCHAP VAN DOORLOPENDE LIJNEN EN VLIEGTUIGEN .

Als een vlak loodrecht staat op een van de twee evenwijdige lijnen, dan staat het ook loodrecht op de andere.

2e EIGENSCHAP VAN DOORLOPENDE LIJNEN EN VLIEGTUIGEN .

Twee lijnen loodrecht op hetzelfde vlak zijn evenwijdig.

Stelling van drie loodlijnen

laten zijn AB- loodrecht op het vlak α, AC- schuin en c- een rechte lijn in het vlak α die door het punt gaat C en loodrechte projectie BC. Laten we een rechte lijn trekken CK evenwijdig aan een rechte lijn AB. Direct CK loodrecht op het vlak α (omdat het evenwijdig is aan AB), en dus elke lijn van dit vlak, daarom, CK loodrecht op de lijn c AB en CK vlak β (parallelle lijnen definiëren een vlak, en slechts één). Direct c staat loodrecht op twee snijdende lijnen die in het vlak liggen, dit BC op voorwaarde en CK door constructie betekent dit dat het loodrecht staat op elke lijn die tot dit vlak behoort, wat betekent dat het ook loodrecht staat op een lijn AC .

Converse van de stelling van de drie loodlijnen

Als een rechte lijn, getrokken in een vlak door de basis van een hellende lijn, loodrecht staat op de hellende lijn, dan staat deze ook loodrecht op zijn projectie.

laten zijn AB- loodrecht op het vlak a , AC- schuin en met- rechte lijn in het vliegtuig a door de voet van de helling gaan Met. Laten we een rechte lijn trekken SC, evenwijdig aan de lijn AB. Direct SC loodrecht op het vlak a(volgens deze stelling, aangezien het parallel is) AB), en dus elke lijn van dit vlak, daarom, SC loodrecht op de lijn met. Door evenwijdige lijnen tekenen AB en SC vliegtuig b(parallelle lijnen definiëren een vlak, en slechts één). Direct met loodrecht op twee rechte lijnen die in een vlak liggen b, Deze AC op voorwaarde en SC door constructie betekent dit dat het loodrecht staat op elke lijn die tot dit vlak behoort, wat betekent dat het ook loodrecht staat op een lijn zon. Met andere woorden, projectie zon loodrecht op de lijn met in het vliegtuig liggen a .

Loodrecht en schuin.

Loodrecht, verlaagd van een bepaald punt naar een bepaald vlak, wordt een segment genoemd dat een bepaald punt verbindt met een punt in het vlak en dat op een rechte lijn ligt die loodrecht op het vlak staat. Het einde van dit segment, dat in een vlak ligt, heet de basis van de loodlijn .

schuin, getrokken van een bepaald punt naar een bepaald vlak, is elk segment dat het gegeven punt verbindt met een punt in het vlak dat niet loodrecht op het vlak staat. Het einde van een segment dat in een vlak ligt, heet de basis van de hellende. Het segment dat de basis van de loodlijn van de hellende lijn verbindt, getrokken vanuit hetzelfde punt, wordt genoemd schuine projectie .

Definitie 1. Een loodlijn op een gegeven lijn is een lijnstuk loodrecht op een gegeven lijn waarvan een van de uiteinden op het snijpunt ligt. Het einde van een lijnstuk dat op een bepaalde lijn ligt, wordt de basis van de loodlijn genoemd.

definitie 2. Een schuine lijn die van een bepaald punt naar een bepaalde lijn wordt getrokken, is een verbindingssegment gegeven punt waarbij elk punt van een lijn dat niet de basis van de loodlijn is, van hetzelfde punt naar de gegeven lijn valt. AB - loodrecht op het vlak α.

AC - schuin, CB - projectie.

C - de basis van de helling, B - de basis van de loodlijn.

De hoek tussen een lijn en een vlak.

Hoek tussen lijn en vlak Elke hoek tussen een rechte lijn en zijn projectie op dit vlak wordt genoemd.

Tweevlakshoek.

tweevlakshoek:- ruimtelijk geometrische figuur, gevormd door twee halve vlakken die voortkomen uit één rechte lijn, evenals een deel van de ruimte dat wordt begrensd door deze halve vlakken. Halve vlakken heten gezichten tweevlakshoek, en hun gemeenschappelijke rechte lijn - kant. Tweevlakshoeken worden gemeten door een lineaire hoek, dat wil zeggen de hoek gevormd door het snijpunt van een tweevlakshoek met een vlak loodrecht op de rand. Elk veelvlak, regelmatig of onregelmatig, convex of concaaf, heeft tweevlakshoek op elke rand.

Loodrechtheid van twee vlakken.

TEKEN VAN VLIEGTUIGHELLING.

Als een vlak door een lijn gaat die loodrecht staat op een ander vlak, dan staan deze vlakken loodrecht.

1.1 Irrationele vergelijkingen

Irrationele vergelijkingen worden vaak gevonden op toelatingsexamens in de wiskunde, omdat het met hun hulp gemakkelijk is om kennis van concepten als equivalente transformaties, definitiedomeinen en andere te diagnosticeren. Methoden voor het oplossen van irrationele vergelijkingen zijn in de regel gebaseerd op de mogelijkheid om (met behulp van sommige transformaties) een irrationele vergelijking te vervangen door een rationale, die ofwel equivalent is aan de oorspronkelijke irrationele vergelijking of de consequentie daarvan is. Meestal worden beide kanten van de vergelijking tot dezelfde macht verheven. Gelijkwaardigheid wordt niet geschonden wanneer beide delen tot een oneven macht worden verheven. Anders is het nodig om de gevonden oplossingen te controleren of het teken van beide delen van de vergelijking te schatten. Maar er zijn andere trucs die effectiever kunnen zijn bij het oplossen van irrationele vergelijkingen. Bijvoorbeeld de trigonometrische substitutiemethode.

Voorbeeld 1: Los de vergelijking op

Vanaf dat moment . Daarom kan men zetten . De vergelijking zal de vorm aannemen

Laten we zetten waar dan

.

.

Antwoord: .
Algebraïsche oplossing
Vanaf dat moment . Middelen, , zodat u de module kunt uitbreiden

.

Antwoord: .

Het oplossen van een vergelijking op een algebraïsche manier vereist een goede vaardigheid in het uitvoeren van identieke transformaties en een competente behandeling van equivalente overgangen. Maar over het algemeen zijn beide benaderingen gelijkwaardig.

Voorbeeld 2: Los de vergelijking op

.

Oplossing met behulp van trigonometrische substitutie

Het domein van de vergelijking wordt gegeven door de ongelijkheid, die gelijk is aan de voorwaarde, dan. Daarom kunnen we plaatsen. De vergelijking zal de vorm aannemen

Vanaf dat moment . Laten we de interne module openen

Laten we , dan

.

Aan de voorwaarde wordt voldaan door twee waarden en .

.

.

Antwoord: .

Algebraïsche oplossing

.

Laten we de vergelijking van het eerste set systeem kwadrateren, we krijgen

Laat dan. De vergelijking wordt herschreven in de vorm

Door te controleren stellen we vast dat dit de wortel is, en door de veelterm te delen door de binomiaal verkrijgen we de ontbinding van de rechterkant van de vergelijking in factoren

Laten we van variabele naar variabele gaan, we krijgen

.

voorwaarde voldoen aan twee waarden

.

Als we deze waarden in de oorspronkelijke vergelijking plaatsen, krijgen we dat dit de wortel is.

Als we de vergelijking van het tweede systeem van de oorspronkelijke populatie op een vergelijkbare manier oplossen, vinden we dat het ook een wortel is.

Antwoord: .

Als in het vorige voorbeeld de algebraïsche oplossing en de oplossing met de trigonometrische substitutie equivalent waren, dan is in deze zaak de vervangingsoplossing is winstgevender. Bij het oplossen van een vergelijking door middel van algebra moet men een verzameling van twee vergelijkingen oplossen, dat wil zeggen twee keer kwadrateren. Na deze niet-equivalente transformatie worden twee vergelijkingen van de vierde graad met irrationele coëfficiënten verkregen, waarvan de vervanging helpt om zich te ontdoen van. Een andere moeilijkheid is de verificatie van de gevonden oplossingen door substitutie in de oorspronkelijke vergelijking.

Voorbeeld 3. Los de vergelijking op

.

Oplossing met behulp van trigonometrische substitutie

Vanaf dat moment . Merk op dat een negatieve waarde van het onbekende geen oplossing voor het probleem kan zijn. Inderdaad, we transformeren de oorspronkelijke vergelijking naar de vorm

.

De factor tussen haakjes aan de linkerkant van de vergelijking is positief, de rechterkant van de vergelijking is ook positief, dus de factor aan de linkerkant van de vergelijking kan niet negatief zijn. Dat is waarom dan, dat is waarom je kunt zetten De oorspronkelijke vergelijking wordt herschreven in de vorm

Sinds , toen en . De vergelijking zal de vorm aannemen

Laat zijn. Laten we van de vergelijking naar gaan gelijkwaardig systeem

.

De getallen en zijn de wortels van de kwadratische vergelijking

.

Algebraïsche oplossing Laten we beide zijden van de vergelijking kwadrateren
We introduceren de vervanging , dan wordt de vergelijking geschreven in de vorm

De tweede wortel is overbodig, dus overweeg de vergelijking

.

Vanaf dat moment .

In dit geval is de algebraïsche oplossing technisch eenvoudiger, maar het is noodzakelijk om de bovenstaande oplossing te overwegen met behulp van een trigonometrische substitutie. Dit is in de eerste plaats te wijten aan de niet-standaard aard van de substitutie zelf, die het stereotype vernietigt dat het gebruik van trigonometrische substitutie alleen mogelijk is wanneer . Het blijkt dat als de trigonometrische substitutie ook toepassing vindt. Ten tweede is er een zekere moeilijkheid bij het oplossen van de trigonometrische vergelijking , die wordt verminderd door een wijziging in een stelsel vergelijkingen aan te brengen. In zekere zin kan deze vervanging ook als niet-standaard worden beschouwd, en bekendheid ermee stelt je in staat om het arsenaal aan trucs en methoden voor het oplossen van trigonometrische vergelijkingen te verrijken.

Voorbeeld 4. Los de vergelijking op

.

Oplossing met behulp van trigonometrische substitutie

Omdat een variabele elke reële waarde kan aannemen, zetten we . Dan

,

Als .

De oorspronkelijke vergelijking, rekening houdend met de uitgevoerde transformaties, zal de vorm aannemen:

Aangezien , we beide zijden van de vergelijking delen door , krijgen we

laten zijn , dan . De vergelijking zal de vorm aannemen

.

Gezien de vervanging , verkrijgen we een set van twee vergelijkingen

.

Laten we elke verzamelingsvergelijking afzonderlijk oplossen.

.

Kan geen sinuswaarde zijn, zoals voor alle waarden van het argument.

.

Als en de rechterkant van de oorspronkelijke vergelijking is positief, dan . Waaruit volgt dat .

Deze vergelijking heeft geen wortels, omdat .
Dus de oorspronkelijke vergelijking heeft een enkele wortel
.

Algebraïsche oplossing

Deze vergelijking kan gemakkelijk worden "veranderd" in een rationale vergelijking van de achtste graad door beide delen van de oorspronkelijke vergelijking te kwadrateren. Het zoeken naar de wortels van de resulterende rationale vergelijking is moeilijk, en het is noodzakelijk om: een hoge graad vindingrijkheid om de klus te klaren. Daarom is het raadzaam om een andere manier van oplossen te kennen, minder traditioneel. Bijvoorbeeld de vervanging voorgesteld door I.F. Sharygin.

Laten we , dan

Laten we de rechterkant van de vergelijking transformeren :

Rekening houdend met de transformaties, de vergelijking zal de vorm aannemen

.

We introduceren een vervanger, dan

.

De tweede wortel is daarom overbodig, en .

Als het idee om de vergelijking op te lossen niet van tevoren bekend is , dan is het oplossen op de standaardmanier door beide delen van de vergelijking te kwadrateren problematisch, aangezien het resultaat een vergelijking van de achtste graad is, waarvan de wortels buitengewoon moeilijk te vinden zijn. De oplossing met trigonometrische substitutie ziet er omslachtig uit. Het kan moeilijk zijn om de wortels van de vergelijking te vinden, als u niet merkt dat deze terugkerend is. Beslissing de gespecificeerde vergelijking gebeurt met behulp van het apparaat van algebra, dus we kunnen zeggen dat de voorgestelde oplossing is gecombineerd. Daarin werken informatie uit algebra en trigonometrie samen voor één doel - een oplossing krijgen. Ook vereist de oplossing van deze vergelijking een zorgvuldige overweging van twee gevallen. De substitutieoplossing is technisch eenvoudiger en mooier dan het gebruik van een trigonometrische substitutie. Het is wenselijk dat studenten deze substitutiemethode kennen en toepassen om problemen op te lossen.
We benadrukken dat het gebruik van trigonometrische substitutie voor het oplossen van problemen bewust en gerechtvaardigd moet zijn. Het is raadzaam om substitutie te gebruiken in gevallen waar de oplossing op een andere manier moeilijker of zelfs onmogelijk is. Laten we nog een voorbeeld geven dat, in tegenstelling tot het vorige, gemakkelijker en sneller op de standaardmanier op te lossen is.