Làm mịn theo cấp số nhân - một phương pháp làm mịn chuỗi thời gian, quy trình tính toán trong đó bao gồm việc xử lý tất cả các quan sát trước đó, đồng thời tính đến sự lỗi thời của thông tin khi nó di chuyển ra khỏi khoảng thời gian dự báo. Nói cách khác, quan sát càng "cũ" thì càng ít ảnh hưởng đến giá trị của ước lượng dự đoán. Ý tưởng làm mịn theo cấp số nhân nghĩa là, khi các quan sát tương ứng "tuổi", các trọng số giảm dần được đính kèm.

Phương pháp dự báo này được coi là rất hiệu quả và đáng tin cậy. Ưu điểm chính của phương pháp này là khả năng tính đến trọng số thông tin lai lịch, trong sự đơn giản của các hoạt động tính toán, trong sự linh hoạt của việc mô tả các quá trình động khác nhau. Phương pháp làm trơn hàm mũ giúp bạn có thể ước tính các tham số xu hướng đặc trưng cho cấp trung bình nhưng xu hướng đang thịnh hành tại thời điểm quan sát cuối cùng. Phương pháp này đã được tìm thấy là ứng dụng lớn nhất cho việc thực hiện các dự báo trung hạn. Đối với phương pháp làm mịn theo cấp số nhân, điểm chính là sự lựa chọn của tham số làm mịn (hằng số làm mịn) và điều kiện ban đầu.

Việc làm trơn chuỗi thời gian theo cấp số nhân đơn giản có chứa xu hướng dẫn đến lỗi hệ thống liên quan đến độ trễ của các giá trị được làm mịn từ các cấp thực tế của chuỗi thời gian. Để tính đến xu hướng trong chuỗi không cố định, một phép làm trơn hàm mũ tuyến tính hai tham số đặc biệt được sử dụng. Không giống như làm trơn hàm mũ đơn giản với một hằng số làm mịn (tham số), quy trình này làm mượt cả nhiễu ngẫu nhiên và xu hướng đồng thời bằng cách sử dụng hai hằng số (tham số) khác nhau. Phương pháp làm trơn hai tham số (phương pháp Holt) bao gồm hai phương trình. Đầu tiên là để làm mịn các giá trị quan sát và thứ hai là để làm mịn xu hướng:

ở đâu Tôi - 2, 3, 4 - giai đoạn làm mịn; 5, - giá trị được làm mịn trong khoảng thời gian £; U, - giá trị thực tế của mức trong khoảng thời gian 1 5, 1 - giá trị được làm mịn trong khoảng thời gian b-b- giá trị xu hướng được làm mịn trong khoảng thời gian 1 - giá trị làm mịn trong khoảng thời gian TÔI- 1; NHƯNG và B là các hằng số làm mịn (các số từ 0 đến 1).

Làm mịn hằng số A và B đặc trưng cho hệ số trọng số của các quan sát. Thường thì L. TẠI< 0,3. Kể từ (1 - NHƯNG)< 1, (1 - TẠI)< 1, sau đó chúng giảm theo cấp số nhân khi quan sát di chuyển khỏi khoảng thời gian hiện tại TÔI. Do đó, quy trình này được gọi là làm mịn theo cấp số nhân.

Một phương trình được thêm vào quy trình chung để làm mượt xu hướng. Mỗi ước tính xu hướng mới thu được dưới dạng tổng có trọng số của sự khác biệt giữa hai giá trị được làm mịn cuối cùng (ước tính xu hướng hiện tại) và ước tính được làm mịn trước đó. Phương trình này cho phép giảm đáng kể ảnh hưởng của các nhiễu ngẫu nhiên đến xu hướng theo thời gian.

Dự báo bằng cách sử dụng làm trơn theo cấp số nhân tương tự như quy trình dự báo "ngây thơ", khi ước tính dự báo cho ngày mai được giả định bằng giá trị của ngày hôm nay. TẠI trường hợp này như một dự báo cho một giai đoạn sắp tới, giá trị được làm mịn cho giai đoạn hiện tại cộng với giá trị xu hướng được làm mượt hiện tại được coi là:

Quy trình này có thể được sử dụng để dự báo cho bất kỳ số khoảng thời gian nào, ví dụ: t Chu kỳ:

Quy trình dự báo bắt đầu với thực tế là giá trị được làm mịn 51 được giả định là bằng với quan sát đầu tiên Y, tức là 5, = Y,.

Có vấn đề về xác định giá trị ban đầu của xu hướng 6]. Có hai cách để đánh giá bx.

Phương pháp 1. Chúng ta hãy đặt bx = 0. Cách tiếp cận này hoạt động tốt trong trường hợp chuỗi thời gian ban đầu dài. Sau đó, xu hướng làm mịn không con số lớn các giai đoạn sẽ tiếp cận giá trị thực tế của xu hướng.

Phương pháp 2. Có thể nhận được nhiều hơn ước tính chính xác 6 sử dụng năm (hoặc nhiều hơn) quan sát đầu tiên của chuỗi thời gian. Dựa trên chúng, phương pháp gyu bình phương nhỏ nhất phương trình đã được giải quyết Y (= a + b x g. Giá trị b được coi là giá trị ban đầu của xu hướng.

Bao nhiêu Dự báo NGAY BÂY GIỜ! mô hình tốt hơn Làm mịn theo cấp số nhân (ES) bạn có thể xem trong biểu đồ bên dưới. Trên trục X - số mục, trên trục Y - phần trăm cải thiện chất lượng của dự báo. Mô tả mô hình, nghiên cứu chi tiết, kết quả thí nghiệm, đọc bên dưới.

Mô tả về mô hình

Dự báo làm mịn theo cấp số nhân là một trong những dự báo những cách đơn giản dự báo. Bạn chỉ có thể nhận được dự báo cho một khoảng thời gian sắp tới. Nếu dự báo được thực hiện theo ngày, thì chỉ trước một ngày, nếu tuần, thì một tuần.

Để so sánh, dự báo được thực hiện trước một tuần trong 8 tuần.

Làm mịn theo cấp số nhân là gì?

Để hàng Vớiđại diện cho chuỗi bán hàng ban đầu để dự báo

C (1) - doanh số tuần đầu tiên Với(2) trong lần thứ hai và như vậy.

Hình 1. Doanh số bán hàng theo tuần, theo chuỗi Với

Tương tự như vậy, một hàng Sđại diện cho một chuỗi doanh số bán hàng trôi chảy theo cấp số nhân. Hệ số α từ 0 đến 1. Nó chỉ ra như sau, ở đây t là một thời điểm (ngày, tuần)

S (t + 1) = S (t) + α * (С (t) - S (t))

Các giá trị lớn của hằng số làm mịn α tăng tốc độ phản hồi của dự báo đối với bước nhảy trong quá trình được quan sát, nhưng có thể dẫn đến các giá trị ngoại lệ không thể đoán trước, bởi vì việc làm mịn sẽ hầu như không có.

Lần đầu tiên sau khi bắt đầu quan sát, chỉ có một kết quả quan sát C (1) khi dự báo S (1) không, và vẫn không thể sử dụng công thức (1), như một dự báo S (2) nên lấy C (1) .

Công thức có thể dễ dàng được viết lại ở một dạng khác:

S (t + 1) = (1 -α )* S (t) +α * Với (t).

Do đó, với sự gia tăng của hằng số làm mịn, tỷ trọng của doanh số bán hàng gần đây tăng lên và tỷ lệ của doanh số bán hàng được làm mịn trước đó giảm xuống.

Hằng số α được chọn theo kinh nghiệm. Thông thường, một số dự báo được thực hiện cho các hằng số khác nhau và hằng số tối ưu nhất được chọn theo tiêu chí đã chọn.

Tiêu chí có thể là độ chính xác của dự báo cho các kỳ trước.

Trong nghiên cứu của mình, chúng tôi đã xem xét các mô hình làm trơn hàm mũ trong đó α nhận các giá trị (0,2, 0,4, 0,6, 0,8). Để so sánh với Dự báo NGAY BÂY GIỜ! đối với mỗi sản phẩm, dự báo đã được thực hiện cho từng α và dự báo chính xác nhất đã được chọn. Trong thực tế, tình hình sẽ phức tạp hơn nhiều, người sử dụng, không biết trước độ chính xác của dự báo, cần phải quyết định hệ số α, mà chất lượng của dự báo phụ thuộc rất nhiều. Đây là một vòng luẩn quẩn.

thông suốt

Hình 2. α = 0,2, mức độ làm mịn theo cấp số nhân cao, doanh số bán hàng thực được tính đến

Hình 3. α = 0,4, mức độ làm mịn theo cấp số nhân là trung bình, doanh số bán hàng thực được tính đến mức độ trung bình

Bạn có thể thấy khi hằng số α tăng lên, chuỗi được làm mịn ngày càng tương ứng với doanh số bán hàng thực và nếu có các giá trị ngoại lai hoặc bất thường, chúng tôi sẽ nhận được một dự báo rất không chính xác.

Hình 4. α = 0,6, mức độ làm mịn theo cấp số nhân thấp, doanh số bán hàng thực được tính đến đáng kể

Chúng ta có thể thấy rằng ở mức α = 0,8, chuỗi gần như lặp lại chính xác chuỗi ban đầu, có nghĩa là dự báo có xu hướng tuân theo quy tắc "số lượng sẽ được bán như ngày hôm qua"

Cần lưu ý rằng ở đây tuyệt đối không thể tập trung vào sai số tính gần đúng với số liệu gốc. Bạn có thể đạt được một trận đấu hoàn hảo, nhưng lại nhận được một dự đoán không thể chấp nhận được.

Hình 5. α = 0,8, mức độ làm mịn theo cấp số nhân là cực kỳ thấp, doanh số bán hàng thực được tính đến mạnh mẽ

Các ví dụ về dự báo

Bây giờ chúng ta hãy xem xét các dự đoán được thực hiện bằng cách sử dụng những nghĩa khác nhau một. Như có thể thấy trong Hình 6 và 7, hệ số làm mịn càng lớn thì nó càng chính xác để lặp lại doanh số bán hàng thực với độ trễ một bước, dự báo. Sự chậm trễ như vậy thực sự có thể rất nghiêm trọng, vì vậy bạn không thể chỉ chọn gia trị lơn nhât một. Nếu không, chúng ta sẽ gặp phải tình huống mà chúng ta nói rằng chính xác sẽ bán được nhiều như đã bán trong kỳ trước.

Hình 6. Dự đoán của phương pháp làm trơn hàm mũ cho α = 0,2

Hình 7. Dự đoán của phương pháp làm trơn hàm mũ cho α = 0,6

Hãy xem điều gì xảy ra khi α = 1,0. Nhớ lại rằng S - doanh số dự đoán (đã làm suôn sẻ), C - doanh số bán hàng thực.

S (t + 1) = (1 -α )* S (t) +α * Với (t).

S (t + 1) = Với (t).

Doanh số bán hàng vào ngày t + 1 được dự đoán bằng doanh số bán hàng vào ngày trước đó. Do đó, việc lựa chọn một hằng số phải được tiếp cận một cách khôn ngoan.

So sánh với Dự báo NGAY BÂY GIỜ!

Bây giờ hãy xem xét phương pháp này dự báo so với Dự báo NGAY BÂY GIỜ !. So sánh được thực hiện trên 256 sản phẩm có doanh số bán hàng khác nhau, với tính thời vụ ngắn hạn và dài hạn, với doanh số bán hàng “kém” và tình trạng thiếu hụt, hàng tồn kho và các yếu tố ngoại lai khác. Đối với mỗi sản phẩm, dự báo được xây dựng bằng cách sử dụng mô hình làm mịn theo cấp số nhân, đối với các α khác nhau, dự báo tốt nhất đã được chọn và so sánh với dự báo bằng Dự báo NGAY BÂY GIỜ!

Trong bảng dưới đây, bạn có thể thấy giá trị của lỗi dự báo cho từng mục. Lỗi ở đây được coi là RMSE. Đây là gốc rễ của độ lệch chuẩn dự đoán từ thực tế. Nói một cách đại khái, nó cho thấy chúng ta đã sai lệch bao nhiêu đơn vị hàng hóa trong dự báo. Sự cải thiện cho thấy phần trăm Dự báo NGAY BÂY GIỜ! sẽ tốt hơn nếu số là dương, và tệ hơn nếu là số âm. Trong Hình 8, trục x hiển thị hàng hóa, trục y cho biết Dự báo NGAY BÂY GIỜ là bao nhiêu! tốt hơn so với dự đoán làm mịn theo cấp số nhân. Như bạn có thể thấy từ biểu đồ này, hãy Dự báo NGAY BÂY GIỜ! hầu như luôn luôn cao gấp đôi và hầu như không bao giờ tồi tệ hơn. Trên thực tế, điều này có nghĩa là sử dụng Dự báo NGAY BÂY GIỜ! sẽ cho phép giảm một nửa lượng hàng tồn kho hoặc giảm bớt tình trạng thiếu hụt.

9 5. Phương pháp làm trơn cấp số nhân. Chọn một hằng số làm mịn

Khi sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất để xác định xu hướng dự đoán (xu hướng), người ta giả định trước rằng tất cả các dữ liệu hồi cứu (quan sát) đều có nội dung thông tin giống nhau. Rõ ràng, sẽ hợp lý hơn nếu tính đến quá trình chiết khấu thông tin ban đầu, tức là giá trị không bằng nhau của những dữ liệu này để phát triển một dự báo. Điều này đạt được trong phương pháp làm mịn hàm mũ bằng cách đưa ra quan sát cuối cùng loạt động(nghĩa là, các giá trị ngay trước khoảng thời gian dẫn đầu dự báo) có "trọng số" đáng kể hơn so với các quan sát ban đầu. Các ưu điểm của phương pháp làm trơn hàm mũ cũng bao gồm sự đơn giản của các hoạt động tính toán và tính linh hoạt trong việc mô tả các động lực học của quá trình khác nhau. Phương pháp này đã được tìm thấy là ứng dụng lớn nhất cho việc thực hiện các dự báo trung hạn.

5.1. Bản chất của phương pháp làm trơn hàm mũ

Bản chất của phương pháp này là chuỗi thời gian được làm trơn bằng cách sử dụng "đường trung bình động" có trọng số, trong đó các trọng số tuân theo quy luật hàm số mũ. Nói cách khác, càng xa thời điểm kết thúc chuỗi thời gian là thời điểm tính toán đường trung bình động có trọng số, thì càng ít "sự tham gia của nó" vào sự phát triển của dự báo.

Cho chuỗi động ban đầu gồm các mức (thành phần của chuỗi) y t, t = 1, 2, ..., n. Đối với mỗi m mức liên tiếp của chuỗi này

(m

chuỗi động có bước bằng một. Nếu m là một số lẻ và tốt hơn là lấy một số cấp độ lẻ, vì trong trường hợp này, giá trị cấp độ được tính toán sẽ nằm ở trung tâm của khoảng làm mịn và có thể dễ dàng thay thế giá trị thực tế bằng nó, khi đó có thể viết công thức sau để xác định đường trung bình động:

			t + ξ			t + ξ
			Tôi có			Tôi có
			i = t − ξ			i = t − ξ
			2ξ + 1

trong đó y t là giá trị của đường trung bình động tại thời điểm t (t = 1, 2, ..., n); y i là giá trị thực của mức tại thời điểm i;

i là số thứ tự của mức trong khoảng thời gian làm mịn.

Giá trị của ξ được xác định từ khoảng thời gian làm mịn.

Trong chừng mực

m = 2 ξ +1

đối với m lẻ, thì

ξ = m 2 - 1.

Việc tính toán đường trung bình động cho một số lượng lớn các cấp có thể được đơn giản hóa bằng cách xác định các giá trị liên tiếp của đường trung bình động một cách đệ quy:

y t = y t− 1 +	yt + ξ	- y t - (ξ + 1)
		2ξ + 1

Nhưng với thực tế là các quan sát mới nhất cần được đưa ra nhiều "trọng lượng" hơn, đường trung bình động cần được hiểu theo cách khác. Nó nằm ở chỗ giá trị thu được bằng cách lấy trung bình thay thế không phải số hạng trung tâm của khoảng trung bình, mà là số hạng cuối cùng của nó. Theo đó, biểu thức cuối cùng có thể được viết lại thành

Mi = Mi + 1		y i− y i− m

Ở đây, đường trung bình động, liên quan đến cuối khoảng, được ký hiệu bằng ký hiệu mới M i. Về cơ bản, M i bằng với y t dịch ξ bước sang phải, tức là M i = y t + ξ, trong đó i = t + ξ.

Coi M i - 1 là ước lượng của y i - m, biểu thức (5.1)

có thể được viết lại dưới dạng

				y tôi + 1				Tôi - 1,
	M i được xác định bởi biểu thức (5.1).
trong đó M tôi là ước tính
Nếu các phép tính (5.2) được lặp lại khi có thông tin mới
và viết lại ở một dạng khác, sau đó chúng ta thu được một hàm quan sát được làm mịn:
	Q i = α y i + (1 - α) Q i− 1,
hoặc ở dạng tương đương
	Q t = α y t + (1 - α) Q t− 1

Các phép tính được thực hiện bởi biểu thức (5.3) với mỗi quan sát mới được gọi là làm trơn theo cấp số nhân. Trong biểu thức cuối cùng, để phân biệt việc làm mịn theo cấp số nhân với đường trung bình động, ký hiệu Q được đưa vào thay vì M. Giá trị α, là

tương tự của m 1 được gọi là hằng số làm mịn. Giá trị của α nằm ở

khoảng [0, 1]. Nếu α được biểu diễn dưới dạng một chuỗi

α + α (1 - α) + α (1 - α) 2 + α (1 - α) 3 + ... + α (1 - α) n,

có thể dễ dàng nhận thấy "trọng số" giảm dần theo cấp số nhân trong thời gian. Ví dụ, với α = 0, 2, chúng tôi nhận được

0,2 + 0,16 + 0,128 + 0,102 + 0,082 + …

Tổng của chuỗi có xu hướng thống nhất và các số hạng của tổng giảm dần theo thời gian.

Giá trị của Q t trong biểu thức (5.3) là trung bình theo cấp số nhân của bậc đầu tiên, nghĩa là trung bình thu được trực tiếp từ

làm mịn dữ liệu quan sát (làm mịn sơ cấp). Đôi khi, khi phát triển các mô hình thống kê, sẽ rất hữu ích khi sử dụng tính toán trung bình theo cấp số nhân của các đơn đặt hàng cao hơn, tức là trung bình thu được bằng cách làm trơn theo cấp số nhân lặp đi lặp lại.

Kí hiệu tổng quát ở dạng đệ quy của trung bình mũ của bậc k là

Q t (k) = α Q t (k− 1) + (1 - α) Q t (- k1).

Giá trị của k thay đổi trong khoảng 1, 2,…, p, p + 1, trong đó p là bậc của đa thức dự đoán (tuyến tính, bậc hai, v.v.).

Dựa trên công thức này, đối với trung bình theo cấp số nhân của các bậc đầu tiên, thứ hai và thứ ba, các biểu thức

Q t (1) = α y t + (1 - α) Q t (- 1 1);

Q t (2) = α Q t (1) + (1 - α) Q t (- 2 1); Q t (3) = α Q t (2) + (1 - α) Q t (- 3 1).

5.2. Xác định các tham số của mô hình dự đoán bằng phương pháp làm trơn hàm mũ

Rõ ràng, để phát triển các giá trị dự đoán dựa trên chuỗi động sử dụng phương pháp làm trơn hàm mũ, cần phải tính toán các hệ số của phương trình xu hướng thông qua trung bình hàm mũ. Ước tính của các hệ số được xác định bởi định lý cơ bản của Brown-Meyer, định lý này liên hệ các hệ số của đa thức tiên đoán với giá trị trung bình theo cấp số nhân của các bậc tương ứng:

(− 1 )

aˆ p

α (1 - α) ∞

−α )

j (p - 1 + j)!

∑ j

p = 0

P! (k− 1)! j = 0

trong đó aˆ p là ước lượng của các hệ số của đa thức bậc p.

Các hệ số được tìm thấy bằng cách giải hệ (p + 1) phương trình сp + 1

không xác định.

Vì vậy, đối với một mô hình tuyến tính

aˆ 0 = 2 Q t (1) - Q t (2); aˆ 1 = 1 - α α (Q t (1) - Q t (2));

cho một mô hình bậc hai

aˆ 0 = 3 (Q t (1) - Q t (2)) + Q t (3);

aˆ 1 = 1 - α α [(6 −5 α) Q t (1) −2 (5 −4 α) Q t (2) + (4 −3 α) Q t (3)];

aˆ 2 = (1 - α α) 2 [Q t (1) - 2 Q t (2) + Q t (3)].

Dự báo được thực hiện theo đa thức đã chọn, tương ứng, cho mô hình tuyến tính

ˆYt + τ = aˆ0 + aˆ1 τ;

cho một mô hình bậc hai

ˆYt + τ = aˆ0 + aˆ1 τ + aˆ 2 2 τ 2,

trong đó τ là bước dự đoán.

Cần lưu ý rằng chỉ có thể tính giá trị trung bình theo cấp số nhân Q t (k) với một tham số đã biết (đã chọn), biết các điều kiện ban đầu Q 0 (k).

Ước tính các điều kiện ban đầu, đặc biệt, cho một mô hình tuyến tính

Q (1) = a			1 - α
Q (2) = a - 2 (1 - α) a

cho một mô hình bậc hai

Q (1) = a

1 - α

+ (1 - α) (2 - α) a

2 (1 − α)

(1− α) (3− 2α)

Q 0 (2) = a 0−

2α 2

Q (3) = a

3 (1 − α)

(1 - α) (4 - 3 α) a

trong đó các hệ số a 0 và a 1 được tính bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất.

Giá trị của tham số làm mịn α được tính gần đúng bằng công thức

α ≈ m 2 + 1,

trong đó m là số quan sát (giá trị) trong khoảng làm mịn. Trình tự tính toán các giá trị dự đoán được hiển thị trong

	Tính toán các hệ số của một chuỗi theo phương pháp bình phương nhỏ nhất
	Xác định khoảng thời gian làm mịn
	Tính toán hằng số làm mịn
	Tính toán các điều kiện ban đầu
	Tính toán trung bình theo cấp số nhân
	Tính toán các ước tính a 0, a 1, v.v.
	Tính toán các giá trị dự báo của một chuỗi
	Cơm. 5.1. Trình tự tính toán các giá trị dự báo

Ví dụ, hãy xem xét quy trình để có được giá trị dự đoán về thời gian hoạt động của sản phẩm, được biểu thị bằng thời gian giữa các lần hỏng hóc.

Dữ liệu ban đầu được tóm tắt trong bảng. 5.1.

Chúng tôi chọn mô hình dự báo tuyến tính ở dạng y t = a 0 + a 1 τ

Giải pháp khả thi với các giá trị ban đầu sau:

a 0, 0 = 64, 2; a 1, 0 = 31,5; α = 0,305.

Bảng 5.1. Dữ liệu ban đầu

Số quan sát, t

Độ dài bước, dự đoán, τ

MTBF, y (giờ)

Đối với các giá trị này, các hệ số "làm mịn" được tính toán cho

y 2 giá trị sẽ bằng nhau

= α Q (1) - Q (2) = 97, 9;

[Q (1) - Q (2)

31, 9 ,

1 − α

trong điều kiện ban đầu

1 - α

A 0, 0 -

một 1, 0

= −7 , 6

1 - α

= −79 , 4

và trung bình theo cấp số nhân

Q (1) = α y + (1 - α) Q (1)

25, 2;

Q (2)

= α Q (1)

+ (1 −α) Q (2) = −47, 5.

Giá trị “làm mịn” y 2 sau đó được tính bằng công thức

Q i (1)

Q i (2)

một 0, tôi

một 1, tôi

ˆYt

Như vậy (Bảng 5.2), mô hình dự báo tuyến tính có dạng

ˆY t + τ = 224,5+ 32τ.

Chúng ta hãy tính các giá trị dự đoán cho các khoảng thời gian dẫn đầu là 2 năm (τ = 1), 4 năm (τ = 2), v.v., thời gian giữa các lần hỏng hóc của sản phẩm (Bảng 5.3).

Bảng 5.3. Giá trị dự báoˆy t

Phương trình	t + 2	t + 4	t + 6		t + 8		t + 20
hồi quy	(τ = 1)	(τ = 2)	(τ = 3)				(τ = 5)
				τ =
ˆY t = 224,5+ 32τ

Cần lưu ý rằng tổng "trọng số" của m giá trị cuối cùng của chuỗi thời gian có thể được tính bằng công thức

c = 1 - (m (- 1) m). m + 1

Do đó, đối với hai quan sát cuối cùng của chuỗi (m = 2) giá trị c = 1 - (2 2 - + 1 1) 2 = 0. 667.

5.3. Lựa chọn các điều kiện ban đầu và xác định hằng số làm mịn

Như sau từ biểu thức

Q t = α y t + (1 - α) Q t− 1,

khi thực hiện làm trơn hàm mũ, cần biết giá trị ban đầu (trước đó) của hàm được làm mịn. Trong một số trường hợp, đối với giá trị ban đầu người ta có thể thực hiện quan sát đầu tiên, thường thì các điều kiện ban đầu được xác định theo biểu thức (5.4) và (5.5). Trong trường hợp này, các giá trị a 0, 0, a 1, 0

và 2, 0 được xác định bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất.

Nếu chúng ta không thực sự tin tưởng vào giá trị ban đầu đã chọn, thì bằng cách lấy một giá trị lớn của hằng số làm mịn α thông qua k lần quan sát, chúng ta sẽ mang lại

"trọng số" của giá trị ban đầu đến giá trị (1 - α) k<< α , и оно будет практически забыто. Наоборот, если мы уверены в правильности выбранного начального значения и неизменности модели в течение определенного отрезка времени в будущем,α может быть выбрано малым (близким к 0).

Do đó, việc lựa chọn hằng số làm mịn (hoặc số lượng quan sát trong đường trung bình động) liên quan đến sự đánh đổi. Thông thường, như thực tế cho thấy, giá trị của hằng số làm mịn nằm trong phạm vi từ 0,01 đến 0,3.

Một số quá trình chuyển đổi đã được biết đến cho phép người ta tìm ra ước lượng gần đúng của α. Đầu tiên tuân theo điều kiện rằng trung bình động và trung bình theo cấp số nhân bằng nhau

α \ u003d m 2 + 1,

với m là số lần quan sát trong khoảng thời gian làm mịn. Các cách tiếp cận khác gắn liền với độ chính xác của dự báo.

Vì vậy, có thể xác định α dựa trên quan hệ Meyer:

α ≈ S y,

trong đó S y là sai số chuẩn của mô hình;

S 1 là sai số bình phương trung bình của chuỗi gốc.

Tuy nhiên, việc sử dụng tỷ lệ thứ hai rất phức tạp bởi thực tế là rất khó xác định một cách đáng tin cậy S y và S 1 từ thông tin ban đầu.

Thường là tham số làm mịn và đồng thời các hệ số a 0, 0 và 0, 1

được chọn là tối ưu tùy thuộc vào tiêu chí

S 2 = α ∑ ∞ (1 - α) j [yij - ˆyij] 2 → phút

j = 0

bằng cách giải hệ phương trình đại số, thu được bằng cách cân bằng các đạo hàm bằng không

∂S2		∂S2		∂S2
∂a0, 0		∂ a 1, 0		∂a2, 0

Vì vậy, đối với mô hình dự báo tuyến tính, tiêu chí ban đầu bằng

S 2 = α ∑ ∞ (1 - α) j [yij - a0, 0 - a1, 0 τ] 2 → min.

j = 0

Giải pháp của hệ thống này với sự trợ giúp của máy tính không có bất kỳ khó khăn nào.

Để có lựa chọn hợp lý về α, bạn cũng có thể sử dụng quy trình làm mịn tổng quát, cho phép bạn có được các mối quan hệ sau liên quan đến phương sai dự báo và tham số làm mịn cho mô hình tuyến tính:

S p 2 ≈ [1 + α β] 2 [1 +4 β +5 β 2 +2 α (1 +3 β) τ +2 α 2 τ 3] S y 2

cho một mô hình bậc hai

S p 2≈ [2 α + 3 α 3+ 3 α 2τ] S y 2,

nơi β = 1 − α ;Sy- Xấp xỉ RMS của chuỗi động ban đầu.

Rõ ràng, trong phương pháp trung bình động có trọng số, có nhiều cách để thiết lập các trọng số sao cho tổng của chúng bằng 1. Một trong những phương pháp này được gọi là làm trơn hàm mũ. Trong lược đồ phương pháp bình quân gia quyền này, với bất kỳ t> 1 nào, giá trị dự báo tại thời điểm t + 1 là tổng trọng số của doanh số bán hàng thực tế, trong khoảng thời gian t và doanh số dự báo, trong khoảng thời gian t Nói cách khác,

Làm trơn theo cấp số nhân có lợi thế về tính toán so với đường trung bình động. Ở đây, để tính toán, chỉ cần biết các giá trị của, và, (cùng với giá trị của α). Ví dụ: nếu một công ty cần dự báo nhu cầu đối với 5.000 mặt hàng trong mỗi khoảng thời gian, thì công ty đó cần lưu trữ 10.001 giá trị dữ liệu (giá trị 5.000, giá trị 5.000 và giá trị α), trong khi để đưa ra dự báo dựa trên mức trung bình động của 8 nút yêu cầu 40.000 giá trị dữ liệu. Tùy thuộc vào hành vi của dữ liệu, có thể cần lưu trữ các giá trị khác nhau của α cho mỗi sản phẩm, nhưng ngay cả trong trường hợp này, lượng thông tin được lưu trữ ít hơn nhiều so với khi sử dụng đường trung bình. Ưu điểm của việc làm mịn theo cấp số nhân là bằng cách giữ nguyên α và dự đoán cuối cùng, tất cả các dự đoán trước đó cũng được bảo toàn một cách ngầm định.

Chúng ta hãy xem xét một số thuộc tính của mô hình làm mịn hàm mũ. Để bắt đầu, chúng ta lưu ý rằng nếu t> 2, thì trong công thức (1) t có thể được thay thế bằng t – 1, tức là Thay biểu thức này vào công thức ban đầu (1), chúng ta thu được

Thực hiện liên tiếp các lần thay thế tương tự, chúng tôi thu được biểu hiện sau vì

Vì từ bất đẳng thức 0< α < 1 следует, что 0 < 1 – α < 1, то Другими словами, наблюдение , имеет больший вес, чем наблюдение , которое, в свою очередь, имеет больший вес, чем . Это иллюстрирует основное свойство модели экспоненциального сглаживания - коэффициенты при убывают при уменьшении номера k. Также можно показать, что сумма всех коэффициентов (включая коэффициент при ), равна 1.

Có thể thấy từ công thức (2) rằng giá trị là tổng trọng số của tất cả các quan sát trước đó (bao gồm cả quan sát cuối cùng). Số hạng cuối cùng của tổng (2) không phải là quan sát thống kê, nhưng bằng "giả định" (ví dụ, chúng ta có thể giả định rằng). Rõ ràng, với việc tăng t, ảnh hưởng đến dự báo càng giảm, và tại một thời điểm nhất định, nó có thể bị bỏ qua. Ngay cả khi giá trị của α đủ nhỏ (sao cho (1 - α) xấp xỉ bằng 1), giá trị sẽ giảm nhanh chóng.

Giá trị của tham số α ảnh hưởng lớn đến hiệu suất của mô hình dự đoán, vì α là trọng số của lần quan sát gần đây nhất. Điều này có nghĩa là người ta nên chỉ định giá trị lớn hơnα trong trường hợp khi mô hình tiên đoán nhất là lần quan sát cuối cùng. Nếu α gần bằng 0, điều này có nghĩa là gần như hoàn toàn tin tưởng vào dự báo trước đó và bỏ qua quan sát cuối cùng.

Victor có một vấn đề: làm thế nào cách tốt nhất chọn giá trị của α. Một lần nữa, công cụ Solver sẽ giúp bạn điều này. Để tìm giá trị tối ưu của α (nghĩa là giá trị mà tại đó đường cong dự đoán sẽ lệch ít nhất so với đường cong giá trị chuỗi thời gian), hãy làm như sau.

1. Chọn lệnh Công cụ -> Tìm kiếm giải pháp.
2. Trong hộp thoại Tìm Giải pháp mở ra, hãy đặt ô đích thành G16 (xem trang Expo) và chỉ định rằng giá trị của nó phải là giá trị nhỏ nhất.
3. Chỉ định rằng ô cần sửa đổi là ô B1.
4. Nhập các ràng buộc B1> 0 và B1< 1
5. Bằng cách nhấp vào nút Run, bạn sẽ nhận được kết quả như trong Hình. tám.

Một lần nữa, như trong phương pháp trung bình động có trọng số, dự đoán tốt nhất sẽ thu được bằng cách gán trọng số đầy đủ cho lần quan sát cuối cùng. Do đó, giá trị tối ưu của α là 1, với độ lệch tuyệt đối trung bình là 6,82 (ô G16). Victor đã nhận được một dự báo mà anh ấy đã thấy trước đó.

Phương pháp làm trơn theo cấp số nhân hoạt động tốt trong các tình huống mà biến mà chúng ta quan tâm đến hoạt động cố định và độ lệch của nó so với một giá trị không đổi là do các yếu tố ngẫu nhiên và không thường xuyên gây ra. Nhưng: bất kể giá trị của tham số α là bao nhiêu, phương pháp làm trơn hàm mũ sẽ không thể dự đoán dữ liệu tăng hoặc giảm đơn điệu (giá trị dự đoán sẽ luôn nhỏ hơn hoặc nhiều hơn giá trị quan sát được). Nó cũng có thể được chỉ ra rằng trong một mô hình có sự thay đổi theo mùa, sẽ không thể có được các dự báo thỏa đáng bằng phương pháp này.

Nếu số liệu thống kê thay đổi đơn điệu hoặc có thể thay đổi theo mùa, phương pháp đặc biệt dự đoán, sẽ được thảo luận bên dưới.

Phương pháp Holt (làm mịn theo cấp số nhân với một xu hướng)

,

Phương pháp của Holt cho phép dự báo trong k khoảng thời gian phía trước. Như bạn thấy, phương pháp này sử dụng hai tham số α và β. Giá trị của các tham số này nằm trong khoảng từ 0 đến 1. Biến L, cho biết mức giá trị lâu dài hoặc giá trị cơ bản của dữ liệu chuỗi thời gian. Biến T cho biết khả năng tăng hoặc giảm giá trị trong một khoảng thời gian.

Hãy xem xét công việc của phương pháp này trên một ví dụ mới. Svetlana làm việc với tư cách là nhà phân tích của một công ty môi giới lớn. Dựa trên các báo cáo hàng quý mà cô ấy có cho Startup Airlines, cô ấy muốn dự báo thu nhập của công ty đó trong quý tiếp theo. Dữ liệu có sẵn và sơ đồ được xây dựng trên cơ sở của chúng nằm trong sổ làm việc Startup.xls (Hình 9). Có thể thấy dữ liệu có xu hướng rõ ràng (tăng gần như đơn điệu). Svetlana muốn sử dụng phương pháp Holt để dự đoán thu nhập trên mỗi cổ phiếu trong quý 13. Để làm điều này, bạn phải đặt các giá trị ban đầu cho L và T. Có một số lựa chọn: 1) L bằng giá trị thu nhập trên mỗi cổ phiếu trong quý đầu tiên và T = 0; 2) L bằng giá trị thu nhập trung bình trên mỗi cổ phiếu trong 12 quý và T bằng mức thay đổi trung bình trong cả 12 quý. Có các tùy chọn khác cho các giá trị ban đầu cho L và T, nhưng Svetlana đã chọn tùy chọn đầu tiên.

Cô quyết định sử dụng công cụ Tìm Giải pháp để tìm giá trị tối ưu của các tham số α và β, tại đó giá trị của giá trị trung bình là lỗi tuyệt đối tỷ lệ phần trăm sẽ là tối thiểu. Để làm điều này, bạn cần làm theo các bước sau.

Chọn lệnh Service -> Tìm kiếm giải pháp.

Trong hộp thoại Tìm kiếm giải pháp mở ra, hãy đặt ô F18 làm ô đích và cho biết rằng giá trị của nó nên được giảm thiểu.

Trong trường Thay đổi ô, hãy nhập phạm vi ô B1: B2. Thêm các ràng buộc B1: B2> 0 và B1: B2< 1.

Bấm vào nút Execute.

Dự báo kết quả được hiển thị trong hình. mười.

Như có thể thấy, các giá trị tối ưu hóa ra là α = 0,59 và β = 0,42, trong khi sai số tuyệt đối trung bình tính theo phần trăm là 38%.

Kế toán thay đổi theo mùa

Các thay đổi theo mùa cần được tính đến khi dự báo từ dữ liệu chuỗi thời gian Các thay đổi theo mùa là các biến động lên xuống với chu kỳ không đổi trong các giá trị của một biến.

Ví dụ: nếu bạn xem doanh số bán kem theo tháng, bạn có thể thấy trong những tháng ấm áp(Tháng 6 đến tháng 8 ở Bắc bán cầu) qua cấp độ cao doanh số bán hàng nhiều hơn vào mùa đông, và như vậy hàng năm. Ở đây biến động theo mùa có khoảng thời gian là 12 tháng. Nếu dữ liệu hàng tuần được sử dụng, thì cấu trúc biến động theo mùa sẽ được lặp lại sau mỗi 52 tuần Một ví dụ khác phân tích báo cáo hàng tuần về số lượng khách đã ở lại qua đêm trong một khách sạn nằm ở trung tâm thương mại của thành phố. Có thể nói rằng một lượng lớn khách hàng được mong đợi vào đêm thứ Ba. Thứ 4 và thứ 5 sẽ có ít khách nhất vào tối thứ 7 và chủ nhật, và lượng khách trung bình dự kiến ​​vào tối thứ 6 và thứ 2. Cấu trúc dữ liệu như vậy hiển thị số lượng khách hàng trong những ngày khác nhau tuần, sẽ được lặp lại sau mỗi bảy ngày.

Quy trình đưa ra dự báo được điều chỉnh theo mùa bao gồm bốn bước sau:

1) Dựa trên các số liệu ban đầu, cơ cấu của các biến động theo mùa và thời kỳ của các biến động này được xác định.

3) Dựa trên dữ liệu, từ đó loại trừ thành phần mùa vụ, đưa ra dự báo tốt nhất có thể.

4) Thành phần theo mùa được thêm vào dự báo đã nhận.

Hãy minh họa cách tiếp cận này với dữ liệu bán than (tính bằng hàng nghìn tấn) ở Mỹ trong 9 năm làm quản lý tại Mỏ than Gillette, Frank cần dự báo nhu cầu than trong hai quý tới. Ông đã nhập dữ liệu của toàn ngành than vào sổ làm việc Coal.xls và vẽ biểu đồ dữ liệu (Hình 11). Biểu đồ cho thấy khối lượng bán hàng cao hơn mức trung bình trong quý đầu tiên và quý thứ tư ( thời điểm vào Đông năm) và dưới mức trung bình trong quý II và quý III (các tháng xuân hè).

Loại trừ thành phần theo mùa

Trước tiên, bạn cần tính giá trị trung bình của tất cả các độ lệch trong một khoảng thời gian thay đổi theo mùa. Để loại trừ thành phần theo mùa trong vòng một năm, dữ liệu cho bốn giai đoạn (quý) được sử dụng. Và để loại trừ thành phần theo mùa khỏi toàn bộ chuỗi thời gian, một chuỗi các đường trung bình động qua các nút T được tính toán, trong đó T là khoảng thời gian dao động theo mùa. Để thực hiện các phép tính cần thiết, Frank đã sử dụng cột C và D, như trong Hình. phía dưới. Cột C chứa đường trung bình động 4 nút dựa trên dữ liệu trong cột B.

Bây giờ chúng ta cần gán các giá trị trung bình động kết quả cho các điểm giữa của chuỗi dữ liệu mà từ đó các giá trị này được tính toán. Thao tác này được gọi là định tâm các giá trị. Nếu T là số lẻ, thì giá trị đầu tiên của đường trung bình động (giá trị trung bình của các giá trị từ giá trị đầu tiên đến Điểm T) nên được gán (T + 1) / 2 cho điểm (ví dụ: nếu T = 7, thì đường trung bình động đầu tiên sẽ được gán cho điểm thứ tư). Tương tự, giá trị trung bình của các giá trị từ điểm thứ hai đến (T + 1) có tâm tại điểm (T + 3) / 2, v.v. Tâm của khoảng thứ n là tại điểm (T + (2n-1)) / 2.

Nếu T là chẵn, như trong trường hợp đang xét, thì vấn đề trở nên phức tạp hơn một chút, vì ở đây các điểm trung tâm (giữa) nằm giữa các điểm mà tại đó giá trị trung bình động đã được tính toán. Do đó, giá trị căn giữa của điểm thứ ba được tính là giá trị trung bình của giá trị thứ nhất và thứ hai của đường trung bình. Ví dụ, số đầu tiên trong cột D của ý nghĩa được căn giữa trong Hình. 12, bên trái là (1613 + 1594) / 2 = 1603. Trong hình. 13 hiển thị các lô dữ liệu thô và trung bình ở giữa.

Tiếp theo, chúng tôi tìm tỷ lệ giữa các giá trị của điểm dữ liệu với các giá trị tương ứng của phương tiện được căn giữa. Vì các điểm ở đầu và cuối của chuỗi dữ liệu không có phương tiện căn giữa tương ứng (xem phần đầu tiên và giá trị mới nhất trong cột D), hành động này không áp dụng cho những điểm này. Các tỷ lệ này cho biết mức độ mà các giá trị dữ liệu lệch khỏi mức điển hình được xác định bởi phương tiện ở giữa. Lưu ý rằng giá trị tỷ lệ cho phần tư thứ ba nhỏ hơn 1 và giá trị tỷ lệ cho phần tư thứ tư lớn hơn 1.

Các mối quan hệ này là cơ sở để tạo ra các chỉ số theo mùa. Để tính toán chúng, các tỷ lệ được tính toán được nhóm lại theo phần tư, như thể hiện trong Hình. 15 trong các cột G-O.

Sau đó, giá trị trung bình của các tỷ lệ cho mỗi phần tư được tìm thấy (cột E trong Hình 15). Ví dụ: trung bình của tất cả các tỷ số trong quý đầu tiên là 1.108. Giá trị này là chỉ số thời vụ của quý đầu tiên, từ đó có thể kết luận rằng sản lượng than bán ra của quý đầu tiên trung bình bằng khoảng 110,8% so với lượng than bán ra bình quân hàng năm.

Chỉ số theo mùa là tỷ lệ trung bình của dữ liệu liên quan đến một phần (trong trường hợp này, mùa là một phần tư) với tất cả dữ liệu. Nếu chỉ số thời vụ lớn hơn 1, thì hiệu suất của mùa này ở trên mức trung bình trong năm, tương tự, nếu chỉ số thời vụ dưới 1, thì hiệu suất của mùa dưới mức trung bình trong năm.

Cuối cùng, để loại trừ thành phần theo mùa khỏi dữ liệu gốc, các giá trị của dữ liệu gốc phải được chia cho chỉ số theo mùa tương ứng. Kết quả của hoạt động này được hiển thị trong cột F và G (Hình 16). Biểu đồ dữ liệu không còn chứa thành phần theo mùa được hiển thị trong Hình. 17.

Dự báo

Dựa trên dữ liệu, từ đó thành phần mùa vụ được loại trừ, một dự báo được xây dựng. Để làm điều này, một phương pháp thích hợp được sử dụng có tính đến bản chất của hành vi của dữ liệu (ví dụ: dữ liệu có xu hướng hoặc tương đối không đổi). Trong ví dụ này, dự báo được thực hiện bằng cách làm trơn đơn giản theo cấp số nhân. Giá trị tối ưu của tham số α được tìm thấy bằng cách sử dụng công cụ Solver. Biểu đồ của dự báo và dữ liệu thực với thành phần mùa vụ bị loại trừ được hiển thị trong hình. mười tám.

Kế toán cơ cấu mùa vụ

Bây giờ chúng ta cần tính đến thành phần mùa trong dự báo (1726,5). Để thực hiện điều này, hãy nhân 1726 với chỉ số theo mùa của quý đầu tiên là 1.108, thu được giá trị là 1912. Một phép toán tương tự (nhân 1726 với chỉ số theo mùa với 0,784) sẽ đưa ra dự báo cho quý thứ hai bằng 1353. Kết quả của việc thêm cấu trúc theo mùa vào dự báo kết quả được thể hiện trong Hình. mười chín.

Tùy chọn tác vụ:

Nhiệm vụ 1

Đưa ra một chuỗi thời gian

t
x

1. Vẽ đồ thị sự phụ thuộc x = x (t).

1. Sử dụng đường trung bình động đơn giản trên 4 nút, dự đoán nhu cầu tại thời điểm thứ 11.
2. Phương pháp dự báo này có phù hợp với dữ liệu này hay không? Tại sao?
3. Nhặt lên hàm tuyến tính xấp xỉ dữ liệu theo phương pháp bình phương nhỏ nhất.

Nhiệm vụ 2

Sử dụng Mô hình dự báo doanh thu của các hãng hàng không khởi nghiệp (Startup.xls), hãy thực hiện như sau:

Nhiệm vụ 3

Đối với chuỗi thời gian

t
x

chạy:

1. Sử dụng đường trung bình động có trọng số trên 4 nút và ấn định các trọng số 4/10, 3/10, 2/10, 1/10, dự đoán nhu cầu tại thời điểm thứ 11. Trọng lượng nhiều hơn nên được chỉ định cho các quan sát gần đây hơn.
2. Sự gần đúng này có tốt hơn đường trung bình động đơn giản trên 4 nút không? Tại sao?
3. Tìm giá trị trung bình của độ lệch tuyệt đối.
4. Sử dụng công cụ Solver để tìm trọng số nút tối ưu. Sai số xấp xỉ đã giảm bao nhiêu?
5. Sử dụng làm mịn theo cấp số nhân để dự đoán. Phương pháp nào được sử dụng cho kết quả tốt nhất?

Nhiệm vụ 4

Phân tích chuỗi thời gian

Thời gian

Yêu cầu

1. Sử dụng đường trung bình động có trọng số 4 nút với các trọng số 4/10, 3/10, 2/10, 1/10 để nhận dự báo tại các thời điểm 5-13. Trọng lượng nhiều hơn nên được chỉ định cho các quan sát gần đây hơn.
2. Tìm giá trị trung bình của độ lệch tuyệt đối.
3. Bạn có nghĩ rằng sự gần đúng này tốt hơn mô hình đường trung bình động đơn giản 4 nút không? Tại sao?
4. Sử dụng công cụ Solver để tìm trọng số nút tối ưu. Bạn đã quản lý bao nhiêu để giảm giá trị lỗi?
5. Sử dụng làm mịn theo cấp số nhân để dự đoán. Phương pháp nào được sử dụng cho kết quả tốt nhất?

Nhiệm vụ 5

Đưa ra một chuỗi thời gian

Nhiệm vụ 7

Giám đốc tiếp thị của một công ty nhỏ đang phát triển có chuỗi cửa hàng tạp hóa có thông tin về doanh số bán hàng trong toàn bộ thời gian tồn tại của cửa hàng sinh lời cao nhất (xem bảng).

Sử dụng đường trung bình động đơn giản trên 3 nút, dự đoán giá trị tại các nút từ 4 đến 11.

Sử dụng đường trung bình động có trọng số trên 3 nút, dự đoán giá trị tại các nút từ 4 đến 11. Sử dụng công cụ Bộ giải để xác định trọng số tối ưu.

Sử dụng làm trơn theo cấp số nhân để dự đoán các giá trị tại các nút 2-11. Xác định giá trị tối ưu của tham số α bằng công cụ Solver.

Dự báo nào thu được là chính xác nhất và tại sao?

Nhiệm vụ 8

Đưa ra một chuỗi thời gian

1. Lập kế hoạch cho chuỗi thời gian này. Nối các điểm bằng các đoạn thẳng.
2. Sử dụng đường trung bình động đơn giản trên 4 nút, dự đoán nhu cầu cho các nút 5-13.
3. Tìm giá trị trung bình của độ lệch tuyệt đối.
4. Sử dụng phương pháp dự báo này có hợp lý cho các dữ liệu được trình bày không?
5. Sự gần đúng này có tốt hơn đường trung bình động đơn giản trên 3 nút không? Tại sao?
6. Vẽ đồ thị xu hướng tuyến tính và bậc hai từ dữ liệu.
7. Sử dụng làm mịn theo cấp số nhân để dự đoán. Phương pháp nào được sử dụng cho kết quả tốt nhất?

Nhiệm vụ 10

Sổ làm việc Business_Week.xls hiển thị dữ liệu từ Tuần lễ Kinh doanh cho 43 tháng bán xe hàng tháng.

1. Xóa thành phần theo mùa khỏi dữ liệu này.
2. Quyết tâm phương pháp tốt nhất dự báo cho các dữ liệu có sẵn.
3. Dự báo thời tiết thứ 44 là gì?

Nhiệm vụ 11

1. mạch đơn giản dự báo, khi giá trị của tuần trước được lấy làm dự báo cho tuần tiếp theo.
2. Phương pháp trung bình động (với số lượng nút bạn chọn). Hãy thử sử dụng một số giá trị nút khác nhau.

Nhiệm vụ 12

Sổ làm việc Bank.xls hiển thị hiệu suất của ngân hàng. Coi như các phương pháp sau dự đoán các giá trị của chuỗi thời gian này.

Theo dự báo, giá trị trung bình của chỉ báo cho tất cả các tuần trước đó sẽ được sử dụng.

Phương pháp trung bình động có trọng số (với số lượng nút bạn chọn). Hãy thử sử dụng một số giá trị nút khác nhau. Sử dụng công cụ Solver để xác định trọng số tối ưu.

Phương pháp làm trơn hàm mũ. Tìm giá trị tối ưu của tham số α bằng công cụ Solver.

Bạn sẽ đề xuất phương pháp dự báo nào trong số các phương pháp dự báo được đề xuất ở trên để dự đoán các giá trị của chuỗi thời gian này?

Văn chương

Thông tin tương tự.

04/02/2011 - Mong muốn của con người vén bức màn tương lai và nhìn thấy trước diễn biến của các sự kiện có cùng lịch sử lâu dài như những nỗ lực tìm hiểu của anh ta thế giới. Rõ ràng là các động cơ quan trọng khá mạnh mẽ (lý thuyết và thực tiễn) làm cơ sở cho sự quan tâm đến dự báo. Dự báo hoạt động như phương pháp quan trọng nhất kiểm định các lý thuyết và giả thuyết khoa học. Khả năng nhìn thấy trước tương lai là một phần không thể thiếu của ý thức, nếu không có nó thì cuộc sống của con người là không thể.

Khái niệm “dự báo” (từ tiếng Hy Lạp prognosis - tiên lượng trước, dự đoán) có nghĩa là quá trình phát triển một phán đoán xác suất về trạng thái của một hiện tượng hoặc quá trình trong tương lai, đây là kiến ​​thức về những gì chưa có, nhưng những gì có thể xảy ra. trong tương lai gần hoặc xa.

Nội dung của dự báo phức tạp hơn dự báo. Một mặt, nó phản ánh trạng thái có thể xảy ra nhất của đối tượng, mặt khác, nó xác định cách thức và phương tiện để đạt được kết quả mong muốn. Trên cơ sở những thông tin thu được một cách dự đoán, những quyết định nhất định được đưa ra nhằm đạt được mục tiêu mong muốn.

Cần lưu ý rằng động lực của các quá trình kinh tế trong điều kiện hiện đạiđặc trưng bởi tính không ổn định và không chắc chắn, gây khó khăn cho việc sử dụng các phương pháp dự báo truyền thống.

Mô hình dự đoán và làm mịn theo cấp số nhân thuộc về lớp phương pháp dự báo thích ứng, đặc điểm chính của nó là khả năng liên tục tính đến sự phát triển của các đặc tính động của các quá trình đang nghiên cứu, thích ứng với động lực này, đặc biệt, trọng số càng lớn và giá trị thông tin của các quan sát hiện có càng cao thì chúng càng gần với thời điểm hiện tại thời gian. Ý nghĩa của thuật ngữ này là dự báo thích ứng cho phép bạn cập nhật các dự báo với độ trễ tối thiểu và sử dụng các thủ tục toán học tương đối đơn giản.

Phương pháp làm trơn hàm mũ đã được phát hiện một cách độc lập Màu nâu(Brown R.G. Dự báo thống kê để kiểm soát hàng tồn kho, 1959) và Holt(Holt C.C. Dự báo theo mùa và xu hướng bằng đường trung bình động có trọng số theo cấp số nhân, 1957). Làm trơn theo cấp số nhân, giống như phương pháp trung bình động, sử dụng các giá trị trong quá khứ của chuỗi thời gian để dự báo.

Bản chất của phương pháp làm trơn theo cấp số nhân là chuỗi thời gian được làm trơn bằng cách sử dụng đường trung bình có trọng số, trong đó các trọng số tuân theo quy luật hàm số mũ. Một đường trung bình động có trọng số với trọng số được phân phối theo cấp số nhân đặc trưng cho giá trị của quá trình ở cuối khoảng thời gian làm trơn, nghĩa là đặc điểm trung bình cấp độ cuối cùng hàng ngang. Đó là thuộc tính này được sử dụng để dự báo.

Làm trơn theo cấp số nhân thông thường được áp dụng khi không có xu hướng hoặc tính thời vụ trong dữ liệu. Trong trường hợp này, dự đoán là giá trị trung bình có trọng số của tất cả các giá trị sê-ri có sẵn trước đó; trong trường hợp này, trọng số giảm về mặt hình học theo thời gian khi chúng ta chuyển về quá khứ (lùi lại). Do đó (không giống như phương pháp trung bình động) không có điểm nào mà trọng số bị phá vỡ, tức là bằng không. Một mô hình thực dụng rõ ràng về làm mịn hàm mũ đơn giản có thể được viết như sau (tất cả các công thức của bài báo có thể được tải xuống từ liên kết được cung cấp):

Hãy để chúng tôi hiển thị bản chất hàm mũ của sự giảm trọng số của các giá trị của chuỗi thời gian - từ hiện tại đến trước đó, từ trước đến trước đó, v.v.:

Nếu công thức được áp dụng đệ quy, thì mỗi giá trị làm mịn mới (cũng là một dự đoán) được tính là giá trị trung bình có trọng số của quan sát hiện tại và chuỗi đã làm mịn. Rõ ràng, kết quả của việc làm mịn phụ thuộc vào tham số thích ứng alpha. Nó có thể được hiểu là một hệ số chiết khấu đặc trưng cho thước đo độ phá giá dữ liệu trên một đơn vị thời gian. Hơn nữa, ảnh hưởng của dữ liệu đến dự báo giảm theo cấp số nhân với “tuổi” của dữ liệu. Sự phụ thuộc của dữ liệu ảnh hưởng đến dự báo tại các hệ số khác nhau alphađược hiển thị trong Hình 1.

Hình 1. Sự phụ thuộc của ảnh hưởng của dữ liệu vào dự báo đối với các hệ số thích ứng khác nhau

Cần lưu ý rằng giá trị của tham số làm mịn không thể bằng 0 hoặc 1, vì trong trường hợp này, ý tưởng làm mịn theo cấp số nhân bị bác bỏ. Vì vậy nếu alpha bằng 1, sau đó là giá trị dự đoán F t + 1 khớp với giá trị hàng hiện tại Xt, trong khi mô hình hàm mũ có xu hướng là mô hình “ngây thơ” đơn giản nhất, tức là, trong trường hợp này, dự báo là một quá trình hoàn toàn tầm thường. Nếu một alpha bằng 0, sau đó là giá trị dự báo ban đầu F0 (giá trị ban đầu) sẽ đồng thời là dự báo cho tất cả các thời điểm tiếp theo của chuỗi, tức là dự báo trong trường hợp này sẽ giống như một đường ngang thông thường.

Tuy nhiên, hãy xem xét các biến thể của thông số làm mịn gần bằng 1 hoặc 0. Vì vậy, nếu alpha gần bằng 1, thì các quan sát trước đó của chuỗi thời gian gần như bị bỏ qua hoàn toàn. Nếu alpha gần bằng 0, thì các quan sát hiện tại bị bỏ qua. Giá trị alpha từ 0 đến 1 cho ở giữa kết quả chính xác. Theo một số tác giả, giá trị tối ưu alpha nằm trong khoảng từ 0,05 đến 0,30. Tuy nhiên, đôi khi alpha, lớn hơn 0,30 cho dự đoán tốt hơn.

Nói chung, tốt hơn là nên đánh giá mức tối ưu alpha dựa trên dữ liệu thô (sử dụng tìm kiếm lưới), thay vì sử dụng các đề xuất nhân tạo. Tuy nhiên, nếu giá trị alpha, lớn hơn 0,3 giảm thiểu một số tiêu chí đặc biệt, điều này cho thấy rằng một kỹ thuật dự báo khác (sử dụng xu hướng hoặc tính thời vụ) có thể cung cấp kết quả thậm chí chính xác hơn. Để tìm giá trị tối ưu alpha(nghĩa là, giảm thiểu các tiêu chí đặc biệt) được sử dụng thuật toán tối đa hóa khả năng gần như Newton(xác suất), hiệu quả hơn so với cách liệt kê thông thường trên lưới.

Hãy viết lại phương trình (1) dưới dạng một phiên bản thay thế cho phép chúng ta đánh giá cách mô hình làm trơn hàm mũ "học hỏi" từ những sai lầm trong quá khứ của nó như thế nào:

Phương trình (3) cho thấy rõ ràng rằng dự báo cho giai đoạn t + 1 Có thể thay đổi theo chiều hướng tăng, trường hợp vượt quá giá trị thực tế của chuỗi thời gian trong kỳ t trên giá trị dự báo và ngược lại, dự báo cho khoảng thời gian t + 1 nên giảm nếu X tít hơn F t.

Lưu ý rằng khi sử dụng phương pháp làm mịn theo cấp số nhân vấn đề quan trọng luôn luôn là việc xác định các điều kiện ban đầu (giá trị dự báo ban đầu F0). Quá trình chọn giá trị ban đầu của chuỗi làm mịn được gọi là khởi tạo ( khởi tạo), hay nói cách khác là “hâm nóng” (“ làm nóng lên”) Mô hình. Vấn đề là giá trị ban đầu của quá trình làm mịn có thể ảnh hưởng đáng kể đến dự báo cho các lần quan sát tiếp theo. Mặt khác, ảnh hưởng của sự lựa chọn giảm dần theo độ dài của chuỗi và trở nên không cần thiết đối với một số lượng rất lớn các quan sát. Brown là người đầu tiên đề xuất sử dụng giá trị trung bình của chuỗi thời gian làm giá trị bắt đầu. Các tác giả khác đề xuất sử dụng giá trị thực tế đầu tiên của chuỗi thời gian làm dự báo ban đầu.

Vào giữa thế kỷ trước, Holt đã đề xuất mở rộng mô hình làm trơn hàm mũ đơn giản bằng cách bao gồm hệ số tăng trưởng ( yếu tố tăng trưởng), hoặc nói cách khác là xu hướng ( yếu tố xu hướng). Kết quả là, mô hình Holt có thể được viết như sau:

Phương pháp này cho phép bạn tính đến sự hiện diện của xu hướng tuyến tính trong dữ liệu. Sau đó, các loại xu hướng khác đã được đề xuất: theo cấp số nhân, giảm dần, v.v.

Mùa đôngđề xuất cải tiến mô hình Holt về khả năng mô tả ảnh hưởng của các yếu tố theo mùa (Winters P.R. Dự báo doanh số bán hàng theo đường trung bình động có trọng số theo cấp số nhân, 1960).

Đặc biệt, ông đã mở rộng thêm mô hình Holt bằng cách bao gồm một phương trình bổ sung mô tả hành vi thành phần theo mùa(thành phần). Hệ phương trình của mô hình Winters như sau:

Phân số trong phương trình đầu tiên dùng để loại trừ tính thời vụ khỏi chuỗi gốc. Sau khi loại trừ tính thời vụ (theo phương pháp phân tích theo mùa Điều tra dân sốTôi) thuật toán hoạt động với dữ liệu "thuần túy", không có biến động theo mùa. Chúng đã xuất hiện trong dự báo cuối cùng (15), khi dự báo "sạch", được tính gần như theo phương pháp Holt, được nhân với thành phần theo mùa (chỉ số thời vụ).