Theo bản chất hoạt động của ACS, chúng được chia thành 4 loại: Hệ thống ổn định tự động có đặc điểm là trong quá trình hoạt động của hệ thống, ảnh hưởng cài đặt không đổi. Hệ thống điều khiển chương trình, ảnh hưởng tổng thể thay đổi trước luật thành lập như một hàm của thời gian và hệ tọa độ. Hệ thống theo dõi, hành động điều khiển là giá trị của biến nhưng mô tả toán học t không thể được thiết lập trong thời gian. Hệ thống thích ứng hoặc tự điều chỉnh các hệ thống như vậy tự động ...

Chia sẻ công việc trên mạng xã hội

Nếu tác phẩm này không phù hợp với bạn, có một danh sách các tác phẩm tương tự ở cuối trang. Bạn cũng có thể sử dụng nút tìm kiếm

Bài giảng số 2. Phân loại và Yêu cầu đối với ATS. ACS tuyến tính và phi tuyến tính. Phương pháp chung tuyến tính

(Trang trình bày 1)

2.1. Phân loại ATS

(Trang trình bày 2)

ATS được phân loại theo nhiều tiêu chí khác nhau. Theo bản chất hoạt động của ATS được chia thành 4 lớp:

• Hệ thống ổn định tự động(có đặc điểm là động lực không đổi trong quá trình hoạt động của hệ thống).Ví dụ: bộ ổn định tốc độ động cơ.
• Hệ thống quy định chương trình(ảnh hưởng chủ thay đổi theo một quy luật định trước, như một hàm của thời gian và tọa độ của hệ thống).Ví dụ: lái tự động.
• Người theo dõi hệ thống (hành động chính là một giá trị thay đổi, nhưng không thể thiết lập mô tả toán học về mặt thời gian, vì nguồn tín hiệu là ảnh hưởng bên ngoài, mà luật chuyển vị không được biết trước).Ví dụ: radar theo dõi máy bay.
• Thích nghi hoặc các hệ thống tự điều chỉnh (các hệ thống đó tự động chọn luật điều khiển tối ưu và có thể thay đổi các đặc tính của bộ điều khiển trong quá trình hoạt động).Thí dụ: trò chơi vi tính với một cốt truyện phi tuyến tính.

(Trang trình bày 3)

ACS cũng được phân chia theo bản chất của các tín hiệu trong thiết bị điều khiển:

• Tiếp diễn (tín hiệu đầu vào và đầu ra chức năng liên tục thời gian).Ví dụ: bộ so sánh, bộ khuếch đại hoạt động.
• Chuyển tiếp (nếu hệ thống có ít nhất một phần tử có đặc tính rơle).Ví dụ: nhiều rơ le, công tắc tương tự và bộ ghép kênh.
• Xung (được đặc trưng bởi sự hiện diện của ít nhất một phần tử xung).Ví dụ: thyristor, mạch số.

Tất cả ACS có thể được phân chia theo sự phụ thuộc của các đặc tính đầu ra vào đầu vào thành tuyến tính và phi tuyến tính.

2.2. Yêu cầu đối với SAR

(Trang trình bày 4)

1. Biến được điều khiển phải được giữ ở mức thiết lập bất kể nhiễu loạn. Quá trình nhất thời được biểu thị bằng một đặc tính động, có thể được sử dụng để đánh giá chất lượng của hệ thống.

2. Điều kiện ổn định phải được thỏa mãn, tức là hệ thống phải có biên độ ổn định.

3. Tốc độ - thời gian của quá trình chuyển đổi, đặc trưng cho tốc độ phản ứng của hệ thống.

(Trang trình bày 5)

4. Các quy định vượt quá phải được đáp ứng. Hai thông số chính được sử dụng để xác định lượng vượt quá:

• Hệ số vượt

bạn ở đâu độ lệch lớn nhất của giá trị đầu ra trong thời gian tạm thời, y∞ giá trị của giá trị đầu ra ở trạng thái dừng. Giá trị cho phép = 0  25%.

(Trang trình bày 6)

• Đo lường sự biến động của quá trình số lượng dao động trong quá trình chuyển đổi (không quá 2)

5. Phải đáp ứng yêu cầu về độ chính xác tĩnh. Nếu các quá trình trong hệ thống là ngẫu nhiên, thì các đặc tính xác suất được đưa vào để đảm bảo độ chính xác.

2. 3 . ACS tuyến tính và phi tuyến tính

Các quá trình động trong hệ thống điều khiển được mô tả bằng phương trình vi phân.

(Trang trình bày 7)

Trong hệ thống tuyến tính, các quá trình được mô tả bằng cách sử dụngvi phân tuyến tínhcác phương trình. TẠI hệ thống phi tuyến các quá trình được mô tả bằng các phương trình chứa bất kỳ phi tuyến tính . Tính toán hệ thống tuyến tính được phát triển tốt và dễ dàng hơn để xử lý. ứng dụng thực tế. Tính toán của hệ thống phi tuyến thường đi kèm với những khó khăn lớn.

Để hệ thống điều khiển là tuyến tính, cần (nhưng không đủ) phải có các đặc tính tĩnh của tất cả các liên kết dưới dạng đường thẳng. Trên thực tế, các đặc tính tĩnh thực trong hầu hết các trường hợp không đơn giản. Do đó, để tính toán hệ thống thực là một hệ thống tuyến tính, cần phải thay thế tất cả các đặc tính tĩnh đường cong của các liên kết trong các phần làm việc được sử dụng trong quá trình điều khiển này bằng các phân đoạn thẳng. Nó được gọi là tuyến tính . Hầu hết các hệ thống điều khiển liên tục đều tự tuyến tính hóa như vậy.

(Trang trình bày 8)

Hệ thống tuyến tính được chia thànhhệ thống tuyến tính thông thường và hơn thế nữa các hệ thống tuyến tính đặc biệt.Trước đây bao gồm các hệ thống như vậy, tất cả các liên kết của chúng được mô tả bằng phương trình vi phân tuyến tính thông thường với hệ số không đổi.

(Trang trình bày 9)

Hệ thống dây chuyền đặc biệt bao gồm:

một) hệ thống với các thông số thay đổi theo thời gian, được mô tả bằng vi phân tuyến tínhphương trình với hệ số thay đổi;

b) hệ thống với các tham số phân tán, trong đó người ta phải giải quyết các phương trình vi phân từng phần, và các hệ thống có thời gian trễ được mô tả bằng các phương trình với một đối số chậm;

(Trang trình bày 10)

Trong) hệ thống xung lực, nơi người ta phải giải quyết các phương trình khác biệt.

(Trang trình bày 11)

Cơm. 2.1. Đặc điểm của các phần tử phi tuyến tính

Trong hệ thống phi tuyến, khi phân tích quá trình điều khiển, cần tính đến tính phi tuyến tính của đặc tính tĩnh trong ít nhất một liên kết của nó hoặc một số phụ thuộc vi phân phi tuyến tính trong các phương trình của hệ thống động lực học. Đôi khi các liên kết phi tuyến tính được đưa vào hệ thống một cách cụ thể để cung cấp hiệu suất cao nhất hoặc các chất lượng mong muốn khác.

Các hệ thống phi tuyến tính chủ yếu bao gồm các hệ thống rơ le, vìđặc tính rơle(Hình 2.1, a và b ) không thể được thay thế bằng một đường thẳng duy nhất. Một liên kết sẽ là phi tuyến tính, trong đó có đặc điểm làvùng nguy hiểm(Hình 2.1, c).

Hiện tượng bão hòa hoặc giới hạn hành trình cơ họcdẫn đến một đặc tính với sự phụ thuộc tuyến tính giới hạn ở các đầu (Hình. 2,1 g ). Đặc tính này cũng nên được coi là phi tuyến tính nếu các quá trình như vậy được xem xét khi điểm hoạt động vượt ra ngoài mặt cắt tuyến tính của đặc tính.

Sự phụ thuộc phi tuyến tính cũng bao gồmđường cong trễ(Hình 2.1, e ), đặc điểmgiải phóng mặt bằng trong truyền động cơ học(Hình 2.1, f), ma sát khô (Hình 2.1, g), ma sát bậc hai(Hình 2.1, và ) và những người khác. Trong hai đặc điểm cuối cùng x 1 biểu thị tốc độ di chuyển và x2 lực hoặc mômen ma sát.

Phi tuyến thường là bất kỳ mối quan hệ đường cong nào giữa giá trị đầu ra và đầu vào của liên kết (Hình 2.1,đến ). Đây là những phi tuyến thuộc loại đơn giản nhất. Ngoài ra, phi tuyến tính có thể nhập phương trình vi phân dưới dạng tích biến và các dẫn xuất của chúng, cũng như ở dạng phụ thuộc hàm phức tạp hơn.

Không phải tất cả các phụ thuộc phi tuyến đều cho phép tuyến tính hóa đơn giản. Vì vậy, ví dụ, không thể thực hiện tuyến tính hóa đối với các đặc điểm được mô tả trong Hình. 2.1, nhưng hoặc trong Hình. 2.1, e. Tương tự ca khó sẽ được xem xét trong môn phái. 9.

2.4. Phương pháp tuyến tính hóa chung

(Trang trình bày 12)

Trong hầu hết các trường hợp, có thể tuyến tính hóa các phụ thuộc phi tuyến tính bằng cách sử dụng phương pháp sai lệch hoặc biến thiên nhỏ. Để xem xét nó, chúng ta hãy chuyển sang một số liên kết trong hệ thống quy định tự động(Hình 2.2). Các đại lượng đầu vào và đầu ra được ký hiệu là X 1 và X 2 và nhiễu loạn bên ngoài thông qua F (t).

Chúng ta hãy giả định rằng liên kết được mô tả bởi một số phương trình vi phân tốt bụng

. (2.1)

Để biên dịch một phương trình như vậy, bạn cần sử dụng ngành thích hợp khoa học kỹ thuật(ví dụ, kỹ thuật điện, cơ khí, thủy lực, v.v.) nghiên cứu loại thiết bị cụ thể này.

(Trang trình bày 13)

Cơ sở để tuyến tính hóa là giả định rằng độ lệch của tất cả các biến có trong phương trình động lực học liên kết là đủ nhỏ, vì chính xác là trên một mặt cắt đủ nhỏ mà đặc tính đường cong có thể được thay thế bằng một đoạn đường thẳng. Trong trường hợp này, độ lệch của các biến được đo lường từ các giá trị của chúng trong quá trình ổn định hoặc trong một trạng thái cân bằng nhất định của hệ thống. Ví dụ, một quá trình ổn định được đặc trưng bởi một giá trị không đổi của biến X 1 , mà chúng tôi biểu thị X 10 . Trong quá trình điều chỉnh (Hình 2.3), biến X 1 sẽ quan trọng

trong đó biểu thị độ lệch của biến x1 từ giá trị thiết lập X 10.

Các mối quan hệ tương tự được giới thiệu cho các biến khác. Đối với trường hợp đang được xem xét, chúng tôi có:

cũng như

Tất cả các sai lệch được giả định là đủ nhỏ. Giả định toán học này không mâu thuẫn với ý nghĩa vật lý các nhiệm vụ, vì ý tưởng về điều khiển tự động đòi hỏi tất cả các sai lệch của biến được kiểm soát trong quá trình kiểm soát phải đủ nhỏ.

Trạng thái ổn định của liên kết được xác định bởi các giá trị X 10, X 20 và F 0 . Khi đó, phương trình (2.1) có thể được viết cho trạng thái dừng ở dạng

. (2.2)

(Trang trình bày 15)

Hãy để chúng tôi khai triển vế trái của phương trình (2.1) trong chuỗi Taylor

(2.3)

trong đó  điều khoản đặt hàng cao hơn. Chỉ số 0 cho đạo hàm riêng có nghĩa là sau khi lấy đạo hàm, giá trị ổn định của tất cả các biến phải được thay thế vào biểu thức của nó

; ; ; .

Các thuật ngữ bậc cao hơn trong công thức (2.3) bao gồm các đạo hàm riêng cao hơn nhân với hình vuông, hình lập phương, v.v. độ cao sai lệch, cũng như các sản phẩm của sai lệch. Chúng sẽ nhỏ ở bậc cao hơn so với độ lệch của chính nó, là nhỏ của bậc đầu tiên.

(Trang trình bày 16)

Phương trình (2.3) là một phương trình động lực học liên kết, giống như (2.1), nhưng được viết dưới dạng khác. Chúng ta hãy loại bỏ các bậc nhỏ bậc cao trong phương trình này, sau đó chúng ta lấy phương trình (2.3) trừ đi các phương trình trạng thái ổn định (2.2). Kết quả là, chúng tôi thu được phương trình động lực học liên kết gần đúng sau với độ lệch nhỏ:

(2.4)

Trong phương trình này, tất cả các biến và đạo hàm của chúng nhập tuyến tính, tức là ở mức độ đầu tiên. Tất cả các đạo hàm riêng là một số hệ số không đổi nếu một hệ thống với các tham số không đổi đang được điều tra. Nếu hệ thống có tham số biến, thì phương trình (2.4) sẽ có hệ số thay đổi. Chúng ta hãy chỉ xem xét trường hợp của các hệ số không đổi.

(Trang trình bày 17)

Thu được phương trình (2.4) là mục tiêu của quá trình tuyến tính hóa được thực hiện. Trong lý thuyết điều khiển tự động, thông thường viết phương trình của tất cả các liên kết sao cho giá trị đầu ra nằm ở phía bên trái của phương trình và tất cả các số hạng khác được chuyển sang bên phải. Trong trường hợp này, tất cả các số hạng của phương trình được chia cho hệ số ở giá trị đầu ra. Kết quả là, phương trình (2.4) có dạng

, (2.5)

nơi ký hiệu sau được giới thiệu

(Trang trình bày 18)

Ngoài ra, để thuận tiện, người ta thường viết tất cả các phương trình vi phân ở dạng toán tử với ký hiệu

Vân vân.

Khi đó phương trình vi phân (2.5) có thể được viết dưới dạng

, (2.6)

Bản ghi này sẽ được gọi là dạng chuẩn của phương trình động lực học liên kết.

Hệ số T 1 và T 2 có thứ nguyên của thời gian giây. Điều này xuất phát từ thực tế là tất cả các số hạng trong phương trình (2.6) phải có cùng thứ nguyên, và ví dụ, thứ nguyên (hoặc p x 2 ) khác với thứ nguyên x 2 trên giây đến lũy thừa đầu tiên trừ đi ( từ 1 ). Do đó, các hệ số T 1 và T 2 được gọi là hằng số thời gian.

Hệ số k 1 có thứ nguyên của giá trị đầu ra chia cho thứ nguyên của đầu vào. Nó được gọi làtỷ số truyềnliên kết. Đối với các liên kết có giá trị đầu ra và đầu vào có cùng thứ nguyên, các thuật ngữ sau đây cũng được sử dụng: độ lợi cho liên kết là bộ khuếch đại hoặc có bộ khuếch đại trong thành phần của nó; tỷ số truyền cho hộp số, bộ phân áp, bộ chia tỷ lệ, v.v.

Hệ số truyền đặc trưng cho các đặc tính tĩnh của liên kết, như ở trạng thái ổn định. Do đó, nó quyết định độ dốc của đặc tính tĩnh ở độ lệch nhỏ. Nếu chúng ta mô tả toàn bộ đặc tính tĩnh thực của liên kết, thì tuyến tính hóa cho hoặc. Hệ số chuyển giao k 1 sẽ là tiếp tuyến của hệ số góc tiếp tuyến tại điểm đó C (xem Hình 2.3), từ đó các sai lệch nhỏ được tính x 1 và x 2.

Có thể thấy từ hình vẽ rằng sự tuyến tính hóa của phương trình được thực hiện ở trên có giá trị đối với các quá trình điều khiển nắm bắt một phần đặc tính như vậy AB , trên đó tiếp tuyến khác một chút so với chính đường cong.

(Trang trình bày 19)

Ngoài ra, điều này dẫn đến một cách đồ họa tuyến tính. Nếu đặc tính tĩnh được biết và điểm C , xác định trạng thái ổn định, xung quanh đó quá trình điều chỉnh diễn ra, sau đó hệ số truyền trong phương trình liên kết được xác định bằng đồ thị từ hình vẽ theo sự phụ thuộc k 1 = tg  c có tính đến tỷ lệ của bản vẽ và kích thước x2 . Trong nhiều trường hợpphương pháp tuyến tính hóa đồ họahóa ra là thuận tiện hơn và dẫn đến mục tiêu nhanh hơn.

(Trang trình bày 20)

Kích thước hệ số k2 bằng thứ nguyên của hệ số chuyển k 1 nhân với thời gian. Do đó, phương trình (2.6) thường được viết dưới dạng

trong đó thời gian không đổi.

Hằng số thời gian T 1, T 2 và T 3 xác định tính chất động của liên kết. Vấn đề này sẽ được xem xét chi tiết dưới đây.

Hệ số k 3 là hệ số truyền nhiễu bên ngoài.

Trang 1

Khác công trình tương tự có thể bạn quan tâm .wshm>
13570.		Chế độ tuyến tính và phi tuyến tính của sưởi ấm bằng laser	333,34KB
	Các chế độ tuyến tính của quá trình đốt nóng bằng laser Để phân tích các chế độ tuyến tính của quá trình đốt nóng bằng laser, chúng tôi xem xét các quá trình hoạt động của LR trên một nửa không gian bởi một nguồn nhiệt giảm theo cấp số nhân theo độ sâu. Do đó, việc lý tưởng hóa các đặc tính của nguồn nhiệt, vốn thường được cho phép trong các sơ đồ tính toán để giảm bớt khó khăn toán học, có thể dẫn đến sự sai lệch đáng chú ý của dữ liệu tính toán so với dữ liệu thực nghiệm. Đối với vật liệu không trong suốt, trong hầu hết các trường hợp nung nóng LI, nguồn nhiệt có thể được coi là hệ số hấp thụ bề mặt α 104  105 ...
16776.		Yêu cầu đối với chính sách thuế của nhà nước trong thời kỳ khủng hoảng	21,72KB
	Yêu cầu đối với chính sách thuế của nhà nước trong thời kỳ khủng hoảng Để phát triển hoạt động kinh doanhở thời hiện đại điều kiện kinh tế cần phải có một số điều kiện nhất định, bao gồm: - sự tồn tại của một hệ thống thuế hiệu quả nhằm kích thích sự phát triển của tinh thần kinh doanh; - sự hiện diện của một số quyền và tự do để lựa chọn loại hoạt động kinh tế hoạch định các nguồn tài chính tiếp cận nguồn lực tổ chức và quản lý công ty,… Như vậy, vì sự phát triển ngày càng tiến ...
7113.		Phương pháp tuyến tính hóa sóng hài	536,48KB
	Phương pháp tuyến tính hóa hài Vì phương pháp này là gần đúng, các kết quả thu được sẽ gần với sự thật chỉ khi đáp ứng một số giả thiết: Một hệ phi tuyến tính chỉ nên chứa một hệ phi tuyến tính; Phần tuyến tính của hệ thống phải là một bộ lọc thông thấp để làm suy giảm các sóng hài cao hơn xuất hiện trong chu kỳ giới hạn; Phương pháp này chỉ áp dụng cho các hệ thống tự trị. Đang được nghiên cứu phong trào tự do hệ thống, tức là chuyển động khác 0 điều kiện ban đầu trong trường hợp không có các tác động bên ngoài….
12947.		PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HẠI	338.05KB
	Chuyển trực tiếp đến việc xem xét phương pháp tuyến tính hóa điều hòa, chúng ta sẽ giả định rằng hệ thống phi tuyến đang nghiên cứu được rút gọn thành dạng như trong hình. Một phần tử phi tuyến tính có thể có bất kỳ đặc tính nào miễn là nó có thể tích hợp được mà không có sự gián đoạn của loại thứ hai. Sự biến đổi của biến này cho một ví dụ bởi một phần tử phi tuyến tính với một vùng chết được thể hiện trong hình.
2637.		Thuốc ứng dụng. Đặc điểm chung. Phân loại. Yêu cầu chính. Công nghệ ứng dụng chất kết dính trên giá thể trong sản xuất thuốc ứng dụng	64.04KB
	Đăng kí thuốc men bột trét ngô, bột trét kết dính, bột trét tiêu, chất kết dính da, bột trét lỏng, màng TTS, v.v. đặc điểm chung và phân loại các miếng dán. Tấm thạch cao là một trong những loại lâu đời nhất dạng bào chếđược biết đến từ rất xa xưa thuốc hiện đại thế hệ thứ tư...
7112.		HỆ THỐNG KHÔNG TUYẾN TÍNH	940.02KB
	luật vật lý các chuyển động của thế giới xung quanh chúng ta sao cho tất cả các đối tượng điều khiển là phi tuyến tính. Các tuyến tính phi tuyến tính khác được gọi là cấu trúc được đưa vào hệ thống một cách có chủ ý để có được các đặc tính cần thiết của hệ thống. Nếu các tính phi tuyến được thể hiện yếu, thì hoạt động của hệ thống phi tuyến hơi khác với hoạt động của hệ thống tuyến tính. Tạo một mô hình chính xác hệ thống thực Không thể nào.
21761.		Các vị thần chung của các vị thần Lưỡng Hà cổ đại. Thần Sumer cổ đại	24,7KB
	tôn giáo cổ đại các dân tộc Lưỡng Hà, bất chấp chủ nghĩa bảo thủ của riêng mình, dần dần, trong quá trình phát triển cộng đồng, trải qua những thay đổi phản ánh cả quá trình chính trị và kinh tế xã hội diễn ra trên lãnh thổ Lưỡng Hà.
11507.		hình thành kết quả tài chính và phân tích tổng hợp các hoạt động kinh tế tài chính của tổ chức	193,55KB
	Để hiểu sâu hơn về các hoạt động của bất kỳ doanh nghiệp nào, điều cần thiết là phải nghiên cứu nó từ tất cả các khía cạnh có thể để hình thành ý kiến ​​khách quan cả tích cực và những mặt tiêu cực trong công việc xác định những nơi dễ bị tổn thương nhất và cách loại bỏ chúng. Để tiến hành phân tích tài chính, người ta sử dụng các công cụ đặc biệt, cái gọi là các tỷ số tài chính. Sử dụng thông tin cần thiếtđánh giá một cách khách quan và chính xác nhất tình trạng tài chính của tổ chức, những thay đổi về lãi và lỗ của tổ chức ...
13462.		Phân tích thống kê các tài sản rủi ro. Mô hình phi tuyến tính	546,54KB
	Tuy nhiên, dữ liệu thực tế cho nhiều chuỗi thời gian tài chính cho thấy rằng mô hình tuyến tính không phải lúc nào cũng phản ánh đầy đủ bức tranh chân thực về hành vi giá cả. Nếu chúng ta nghĩ đến việc mở rộng Oak, trong đó điều kiện kỳ vọng toán học hoàn toàn tự nhiên khi giả định rằng các phân phối có điều kiện là Gaussian ...
4273.		Mô hình toán học tuyến tính	3,43KB
	Các mô hình toán học tuyến tính. Nó đã được lưu ý ở trên rằng bất kỳ mô hình toán học có thể được coi như một toán tử A nào đó, là một thuật toán hoặc được xác định bởi một tập phương trình - đại số ...

Hãy để chúng tôi thảo luận lại về việc lựa chọn thang đo để biểu diễn những dữ liệu này trong dạng đồ họa(xem hình 30). Dấu tối đa ° C, tương ứng với trục nhiệt độ X, rất vừa vặn trên 40 ô, tương ứng với sự phân chia 10 ô rất thuận tiện cho mỗi 50 ° C. Cần thêm bao nhiêu rủi ro nữa? Trong trường hợp này, tôi đề xuất sắp xếp chúng qua 2 ô, điều này sẽ giúp xác định tọa độ dễ dàng hơn, vì khoảng thời gian giữa các rủi ro như vậy sẽ tương ứng với 10 ° C, rất thuận tiện.

Nhưng trên trục Y, tôi đặt rủi ro qua 5 ô cho mỗi 500 ohms kháng, dẫn đến sử dụng không đầy đủ vùng giấy. Tuy nhiên, hãy tự đánh giá, nếu trục được chia thành 6 hoặc 7 ô, sẽ rất bất tiện khi tìm tọa độ, và nếu nó là 8 ô, thì rủi ro tối đa tương ứng với 2000 Ohm sẽ không phù hợp trên trục.

Bây giờ chúng ta cần thảo luận về dạng của đường cong lý thuyết. Hãy mở ra hướng dẫn trong phòng thí nghiệm ở trang 28 và tìm công thức 3, mô tả sự phụ thuộc của điện trở của chất bán dẫn vào nhiệt độ,

khoảng cách giới hạn ở đâu, Hằng số Boltzmann, - một số không đổi với thứ nguyên của điện trở, và cuối cùng là nhiệt độ, được biểu thị bằng Kelvins. Hãy bắt đầu tạo một bảng mới. Đầu tiên, hãy chuyển đổi nhiệt độ sang Kelvin. Thứ hai, chúng ta hãy đặt cho mình nhiệm vụ không chỉ vẽ một biểu đồ mới mà còn phải tìm ra khoảng cách giới hạn bằng cách sử dụng biểu đồ. Để làm điều này, chúng tôi lấy logarit của sự phụ thuộc hàm mũ và nhận được

Ký hiệu, và. Sau đó, chúng tôi nhận được một sự phụ thuộc tuyến tính,

mà chúng tôi sẽ mô tả trên biểu đồ. Dữ liệu tương ứng với các giá trị và sẽ được ghi trong Bảng 9.

Bảng 9. Tính toán lại dữ liệu trong bảng 8.

số điểm
T, K
1/T, 10–3 K – 1	3,34	3,19	3,00	2,83	2,68	2,54	2,42	2,31	2,21	2,11
ln R, Ohm	7,62	7,51	7,25	7,06	6,99	6,74	6,61	6,56	6,36	6,34

Theo Bảng 9, nếu để xây dựng một đồ thị phụ thuộc trong Hình 31, thì tất cả các điểm thực nghiệm sẽ chiếm rất ít không gian trên trang tính có không gian trống lớn. Tại sao nó xảy ra? Bởi vì các nhãn trên trục X và Y được đặt bắt đầu từ 0, mặc dù các giá trị, ví dụ, chỉ bắt đầu bằng giá trị. Có cần phải làm cho nhãn ban đầu bằng 0 không? Câu trả lời cho câu hỏi này phụ thuộc vào các nhiệm vụ trong tầm tay. Trong ví dụ với con lắc Oberbeck (xem Hình 28), điều rất quan trọng là phải tìm ra giao điểm của trục X của đường lý thuyết tại điểm có tọa độ Y = 0, tương ứng với giá trị. Và trong bài toán này, chỉ cần tìm độ rộng vùng cấm, liên quan đến hằng số, tương ứng với hệ số góc của đường thẳng trong Hình 31, vì vậy không cần thiết phải đặt nhãn trên các trục, bắt đầu từ 0.

Nghiên cứu dữ liệu từ Bảng 9 và chọn một thang đo thuận tiện, chúng ta có thể tin tưởng rằng hướng của giấy đồ thị cần phải được thay đổi, như thể hiện trong Hình 32. Tự nghiên cứu thang đo đã chọn và đảm bảo rằng nó rất thuận tiện cho việc làm việc với biểu đồ. Trên đường thẳng lý thuyết (vẽ bằng mắt Cách tốt nhất có thể giữa các điểm có nghiệm) đặt hai điểm A và B có tọa độ và. Hệ số góc được biểu thị dưới dạng tọa độ của các điểm này bằng công thức

Và cuối cùng, chúng tôi tính toán khoảng cách giới hạn

Sử dụng phương pháp cặp điểm, chúng tôi tính toán cùng một hệ số và sai số của nó, vì vậy chúng tôi xem xét các cặp điểm từ Bảng 9:

1-4, 2-5, 3-6, 4-7, 5-8, 6-9 và 7-10.

Tính cho các cặp điểm này hệ số góc của các đường thẳng đi qua chúng

Bần tiện

,

Bây giờ chúng ta hãy tính toán độ rộng vùng cấm và sai số của nó.

Vì vậy, chúng tôi đã đi đến câu trả lời

eV

Làm việc độc lập.

Tôi khuyên bạn nên tính toán, vẽ và xử lý đồ thị của riêng mình trong công việc trong phòng thí nghiệm Dưới tên mã"Xác định độ cứng của lò xo." Nhưng hãy nâng tầm của Thử nghiệm lên nhiều hơn nữa cấp độ cao: bạn không chỉ cần lấy một con số, mà hãy so sánh hai phương pháp đo độ cứng của lò xo - tĩnh và động.

Chúng ta hãy xem xét ngắn gọn các phương pháp này.

phương pháp tĩnh.

Nếu một vật có khối lượng được treo vào một lò xo thẳng đứng cố định thì lò xo sẽ ​​dãn theo định luật Hooke, trong đó chiều dài của lò xo bị dãn và là chiều dài của lò xo không dãn (chiều dài ban đầu).

Lưu ý: Định luật Hooke nói về tỷ lệ giữa lực đàn hồi của lò xo với độ giãn dài tuyệt đối, tức là , trong đó là hệ số đàn hồi (hoặc độ cứng) của lò xo.

Ở trạng thái cân bằng, trọng lực của tải trọng sẽ cân bằng với lực đàn hồi và ta có thể viết. Hãy mở dấu ngoặc và xem sự phụ thuộc của chiều dài của lò xo vào khối lượng của tải

Nếu bạn thay đổi các biến, bạn sẽ có phương trình của một đường thẳng. Không cần phải tuyến tính hóa!

Vì vậy, nhiệm vụ của bạn là xử lý dữ liệu từ bảng 10, được nhập vào đó bởi Người thực nghiệm trẻ tuổi (anh ta đã mệt mỏi khi ném gạch từ mái của một tòa nhà chín tầng). Để làm thí nghiệm, anh ta tích trữ một bộ quả nặng, tìm thấy một tá hoặc hai lò xo khác nhau và treo các quả nặng có khối lượng khác nhau, đo chiều dài của lò xo bị dãn bằng thước milimet.

Bài tập 1.

1. Chọn một số lò xo từ bảng 10.

2. Tạo bảng của bạn với hai cột. Nhập công của trọng lực vào cột đầu tiên, ở đó là khối lượng của tải (tính bằng kg), m / s 2. Trong cột thứ hai, chuyển chiều dài của lò xo đã chọn (tính bằng mét). Cung cấp các ô cho mức trung bình và.

Bảng 10

m, g	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm
	11,8	15,4	17,6	19,4	13,2	15,4	19,6	21,4	11,2
	12,3	16,5	18,3	21,5	14,3	16,5	21,3	22,4	11,7
	13,6	17,6	19,3	21,6	14,8	16,5	22,1	22,6	12,7
	14,1	18,2	21,5	22,1	15,6	17,3	21,5	23,7	13,1
	16,6	22,3	22,5	24,9	17,6	19,9	23,9	25,5	15,4
	21,6	25,6	27,4	29,5	21,4	23,8	27,7	29,9	18,3
	22,5	26,4	28,8	31,4	22,6	24,2	28,8	32,1	19,6
	23,3	27,9	29,4	31,7	23,8	25,6	29,5	31,7	22,1
	26,2	32,1	32,0	34,3	25,5	27,9	31,9	33,6	22,2
	27,8	31,4	33,7	35,3	27,6	29,1	33,2	35,3	23,1

Bảng 10 (tiếp theo)

m, g	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm
	15,1	17,1	19,3	11,4	15,3	19,0	10,8	15,2	19,1
	15,6	17,7	19,7	11,6	15,6	19,6	11,5	15,3	19,3
	16,7	18,5	21,2	12,0	16,1	20,4	12,3	16,3	20,2
	17,3	19,3	21,4	12,5	16,5	20,7	12,4	16,7	20,4
	19,4	21,1	23,5	14,9	18,9	22,4	14,2	18,0	21,8
	22,3	24,6	26,3	17,4	21,4	25,8	16,5	20,7	24,4
	23,5	25,6	27,0	18,2	22,3	26,1	17,2	21,6	25,7
	24,4	26,1	28,5	19,4	23,3	27,0	18,4	22,0	26,4
	26,4	28,5	31,1	20,3	24,5	28,6	19,3	23,5	27,3
	27,0	29,0	31,4	21,9	25,8	29,9	20,7	24,7	28,5

3. Lấy một tờ giấy kẻ ô vuông, đánh dấu các trục tọa độ trên đó. Chọn theo dữ liệu tối ưu Chia tỷ lệ và vẽ biểu đồ trọng lực so với chiều dài lò xo, biểu đồ các giá trị dọc theo trục x và các giá trị dọc theo trục y.

4. Lập 7 cặp điểm: 1-4, 2-5, 3-6, 4-7, 5-8, 6-9, 7-10. Sử dụng phương pháp điểm cặp, tính 7 hệ số góc bằng công thức

Vân vân.

5. Tìm giá trị trung bình ứng với giá trị trung bình của hệ số đàn hồi của lò xo.

6. Tìm độ lệch chuẩn , khoảng tin cậy , (vì đã thu được 7 giá trị). Trình bày kết quả như

Nhiệm vụ bổ sung(không bắt buộc)

7. Tính chiều dài ban đầu của lò xo. Để làm điều này, hãy lấy biểu thức cho hệ số từ phương trình cân bằng và thay các giá trị trung bình vào nó

8. Tính khoảng tin cậy cho hệ số

9. Xét rằng, hãy tính chiều dài ban đầu của lò xo và khoảng tin cậy đối với nó

,

Phương pháp động

Treo quả nặng vào lò xo có độ cứng thẳng đứng cố định rồi đẩy nhẹ xuống dưới. Sẽ bắt đầu dao động điều hòa, chu kỳ là của ai (xem, trang 76). Chúng ta biểu thị khối lượng của tải thông qua chu kỳ dao động

Các phương pháp tần suất nhận được sử dụng rộng rãi trong phân tích và tổng hợp các hệ thống tuyến tính, chúng có một số ưu điểm so với các phương pháp nghiên cứu khác: thứ nhất là tính đơn giản của việc biên dịch và chuyển đổi các sơ đồ khối và các hàm truyền; thứ hai, sự tiện lợi và rõ ràng hơn của các phép tính sử dụng các đặc tính tần số. Do đó, điều tự nhiên là muốn sử dụng các phương pháp này trong việc nghiên cứu các hệ thống phi tuyến. Điều này hóa ra có thể thực hiện được trên cơ sở phương pháp tuyến tính hóa hài của các liên kết phi tuyến của hệ thống điều khiển tự động.

Các nguyên tắc cơ bản của phương pháp tuyến tính hóa hài hòa đã được phác thảo trong các công trình của các nhà khoa học Nga nổi tiếng N. M. Krylov và N. N. Bogolyubov vào những năm 1930. Sau đó, ý tưởng về phương pháp này được áp dụng cho các hệ thống điều khiển tự động được phát triển bởi E. P. Popov và L. S. Goldfarb.

Phương pháp này cho phép người ta nghiên cứu tính ổn định của hệ thống phi tuyến với việc xác định các tham số (biên độ, tần số) của các dao động tự thân có thể xảy ra, để lựa chọn các mạch hiệu chỉnh cung cấp các đặc tính xác định. Trong trường hợp này, bản chất điều hòa của các dao động trong hệ phi tuyến được giả định, xác định nghiệm của các nguyên công trong phép gần đúng đầu tiên. Tuy nhiên, đối với các hệ thống có phần tuyến tính là bộ lọc thông thấp, sai số cho phép là nhỏ và nó sẽ càng nhỏ thì tính chất lọc của phần tuyến tính của hệ thống đang nghiên cứu càng cao.

Ý tưởng chính của phương pháp tuyến tính hóa hài như sau. Hệ thống điều khiển tự động được trình bày dưới dạng hai phần - tuyến tính và phi tuyến tính (Hình 10.12). Để cho Chức năng truyền phần tuyến tính bằng

• --- và phương trình của phần tuyến tính có như sau Pr (r)
• (10.30)

Yar (p) = X (p) = -Mp (p) up (p).

và= / * (x),

ở đâu P (x) -đã cho hàm phi tuyến tính.

phi tuyến tính V

Tuyến tính

Cơm. 10.12. Biểu diễn hệ thống điều khiển tự động dưới dạng một phần phi tuyến và tuyến tính

Trong công thức (10.31), để đơn giản, giả thiết rằng tọa độ đầu ra của một liên kết phi tuyến chỉ phụ thuộc vào độ lớn của tín hiệu đầu vào và không phụ thuộc vào các đạo hàm hoặc tích phân của nó, mặc dù phương pháp đang xem xét cũng có thể áp dụng cho các các phụ thuộc phi tuyến, cũng như các hệ thống có một số liên kết phi tuyến.

Bài toán tìm tham số tự dao động của hệ phi tuyến được đặt ra. Các dao động tự trong một hệ thống phi tuyến được coi là hình sin, mặc dù, nói một cách chính xác, các dao động này là phi tuyến tính. Tuy nhiên, sai số của giả định như vậy, như đã được lưu ý, sẽ không đáng kể, vì phần rượu mùi của hệ thống, là bộ lọc tần số thấp, ngăn chặn các dao động với tần số cao. Do đó, chúng ta sẽ tìm dao động tự của hệ có dạng hình sin

x = A tội lỗi đồng /.

Với một tín hiệu hình sin đầu vào, một số dao động tuần hoàn sẽ xuất hiện ở đầu ra của một liên kết phi tuyến tính. Chúng có thể được biểu diễn dưới dạng một chuỗi vô hạn của các thành phần hài

U = F (x) =

C 0 + Z), sin co / + C, cos co / + D2 sin 2co / + Từ 2 cos co / + ..., (10,33)

trong đó С 0, />, C "D 2, C 2,... là các hệ số của chuỗi Fourier.

Hơn nữa, để đơn giản hóa, chúng tôi giả định rằng không có thành phần hằng số ở đầu ra của liên kết phi tuyến. Điều này có nghĩa là đặc tính phi tuyến tính đối xứng với gốc tọa độ và hành động đầu vào không chứa thành phần hằng số. Có tính đến các đặc tính lọc của phần tuyến tính, chúng ta có thể bỏ qua tất cả các thành phần sóng hài cao hơn của chuỗi Fourier. Do đó, gần đúng tín hiệu đầu ra của một phần tử phi tuyến có thể được biểu thị dưới dạng sóng hài đầu tiên của chuỗi (10.33):

Ư = D. sin co / + C. cosco /. một §

Từ (10,32), chúng tôi tìm thấy:

sin co / = -; cos co / = NHƯNG

Thay (10,35) thành (10,34), ta được:

TỪ, Ồ

Asya si

Nếu chúng tôi chỉ định (2 ((L) = -0 2 (L) =- sau đó chúng sẽ là sự thật-

Liv các biểu thức sau:

OLA) =

• 0LA) =

| / ХЛzipf ^ ipfg / f;

• (10.37)

| / g (L8IPf) S08fS / f,

trong đó φ = CO /.

Phương trình (10.36) ở dạng toán tử có dạng:

u (1p) = 01 (A) X (p) + R2Shr.x (p). (10,38)

Kết quả của các phép biến đổi được thực hiện, phương trình phi tuyến (10.31) được thay thế bằng một phương trình gần đúng cho sóng hài bậc nhất (10.38), tương tự như phương trình tuyến tính. Sự khác biệt là các hệ số của phương trình kết quả không phải là hằng số, nhưng phụ thuộc vào biên độ NHƯNG và tần số từ các tham số đã tìm của dao động tự.

Sự thay đổi phương trình này được gọi là tuyến tính hóa sóng hài. Hệ số phương trình (10,38) O ^ A) và được gọi là độ lợi điều hòa của liên kết phi tuyến.

Hãy thực hiện tuyến tính hóa điều hòa các đặc tính của phần tử phi tuyến tính (Hình 10.13).

Cơm. 10.13.

Để làm điều này, cần phải tìm biểu thức cho độ lợi điều hòa của liên kết phi tuyến Q (A) và Q 2 (A)(10,37). Trên hình. 10.14 dạng của hàm F ^ sincp) được xác định bằng đồ thị cho tín hiệu đầu vào hình sin của phần tử phi tuyến tính x (t) = ylsintp, cp = co /. Chúng tôi nhận được:

• (2, (NHƯNG) = - [ F (A sinvp) sinv) ) di = kA j0
• - G csin ldl = -(-COSV | /) | J *= - (-cosy 2 + ấm cúng,), kA J đến A| Tôi Một

vì y 2 = i - y 2, thì cosy 2 = -cosy, và Q) (A) =-ấm áp,.

Chúng tôi xác định 0 2 (L):

Như vậy phương trình (10.38) có lần xem tiếp theo

Sử dụng tuyến tính hóa điều hòa của đặc tính của một phần tử phi tuyến, có thể xác định tần số và biên độ của các dao động tự thân có thể có của hệ.

Sau khi thay (10,38) vào (10,30), ta tìm được phương trình rung động tự do trong một hệ thống phi tuyến khép kín:

O p (p) X (p) + M p (p) \ u003d 0. (10.39)

Dựa vào (10.39), phương trình đặc trưng của toàn bộ hệ kín sẽ có dạng:

• (10.40)

Bây giờ cần phải tìm một nghiệm tuần hoàn x = / 4 $ tco / của phương trình ban đầu (10.39). chuyển động tuần hoàn trong hệ thống chỉ có thể thực hiện được nếu phương trình đặc trưng tương ứng (10.40) có một cặp nghiệm nguyên ảo. Để tìm các điều kiện mà phương trình đặc trưng sẽ có gốc tưởng tượng, người ta có thể sử dụng bất kỳ tiêu chí nào cho tính ổn định của hệ tuyến tính.

Hãy xem xét tiêu chí ổn định của Mikhailov. Biểu thức cho đường cong Mikhailov được cho bởi phương trình đặc trưng hệ thống (10.40) khi thay thế X = jQ.

, #) + M /> P) 0, (4) +, (10.41)

trong đó P là giá trị hiện tại của tần số.

Biểu thức (10.41) có thể được viết lại thành

D (jQ) = and] (П, а>, А)+ yT, (Π, ω, / 1).

Cần lưu ý rằng biên độ và tần số của dao động tự (NHƯNG,ω) nhập dưới dạng tham số của phương trình đường cong Mikhailov. Để hệ thống đạt đến ranh giới ổn định dao động, đường cong Mikhailov phải đi qua điểm gốc (Hình 10.15).

Người ta biết rằng tần số mà đường cong Mikhailov đi qua gốc tọa độ xác định tần số dao động không dấu trong hệ thống. Trong trường hợp này Q = co.

Như vậy, biên độ và tần số của dao động tuần hoàn trong hệ phi tuyến l: = Một tội lỗi đồng t có thể được xác định bằng cách giải hệ phương trình:

? /, (co, /!) - 0; (10,43)

E, (đồng, NHƯNG) = 0.

Nếu các giá trị thu được cho NHƯNG và đồng thực và cùng dương, điều này có nghĩa là có thể tự dao động với các giá trị tìm được của các tham số trong hệ thống đang nghiên cứu. Nếu không, các dao động tự trong hệ thống không thể xảy ra.

Sau khi xác định được các thông số của các dao động tự thân có thể xảy ra, cần phải kiểm tra tính ổn định của dung dịch tuần hoàn này, tức là tìm xem quá trình quá độ có hội tụ với biến động định kỳ hoặc không (Hình 10.16). Để làm điều này, hệ thống được thông báo về độ lệch so với định kỳ

Cơm. 10.16.một- giải pháp hội tụ; b- phân kỳ giải pháp

giải pháp biên độ (NHƯNG+ A NHƯNG).Điều này sẽ dẫn đến độ lệch của đường cong Mikhailov so với điểm gốc theo hướng này hay hướng khác (Hình 10.17). Vị trí 1 tương ứng với dao động tuần hoàn ổn định, và vị trí II của đường cong Mikhailov biến dạng tương ứng với dao động không ổn định. Đối với sự ổn định của các dao động tự, điều cần thiết là đối với AL> 0, đường cong lệch sang vị trí I, và đối với AA

K 8A)

trong đó chỉ số dấu hoa thị có nghĩa là các đạo hàm riêng lấy từ các biểu thức tổng quát (10.42) được tính bằng cách thay thế các tham số A, O = từ dung dịch định kỳ đã kiểm tra. Nếu bất đẳng thức (10.44) không được thỏa mãn, thì điều này tương ứng với một nghiệm tuần hoàn không ổn định. Điều kiện (10.44) có hiệu lực khi nghiên cứu các hệ thống bao gồm đến bậc 4. Đối với hệ thống trên bậc cao nó được yêu cầu để xem quá trình của toàn bộ đường cong Mikhailov.

Trong trường hợp không có chế độ tự dao động, hành vi của hệ thống đang nghiên cứu có thể rất khác. Hiện tại, có các phương pháp gần đúng để xác định quá trình quá độ trong hệ thống phi tuyến đối với các hành động đầu vào nhất định.

Hãy xem xét một ví dụ. Để làm điều này, chúng tôi sử dụng hệ thống được thảo luận trong Phần 10.3. Dựa trên các phương trình (10.21) và (10.23), một sơ đồ khối của hệ thống đang nghiên cứu được biên soạn (Hình 10.18) và hàm truyền của phần tuyến tính được xác định:

R (CR + 1)

m R (p)

Ồ r (r) "

			p (bp +)

Cơm. 10.18. Ví dụ về hệ thống đang nghiên cứu

Để đặc trưng cho một phần tử phi tuyến tính (Hình 10.11 ???), chúng tôi tìm biểu thức cho hệ số khuếch đại điều hòa của một liên kết phi tuyến tính:

Phương trình đặc trưng của một hệ kín (10.40), có xét đến (10.45) và (10.46), có dạng sau:

X (T (k + !) + &,

4SD X- ? -- ??

đến A 2 co

Sau khi thay thế X= uso in (10.47) và tách phần thực và phần ảo, chúng ta thu được phương trình (10.43) để xác định biên độ và tần số của dao động trong một hệ phi tuyến:

Nghiệm của các phương trình thu được đối với NHƯNG và đưa ra các tham số mong muốn của dao động tự.

câu hỏi kiểm tra

• 1. Các giả thiết khi sử dụng phương pháp tuyến tính hóa sóng hài là gì?
• 2. Thực hiện tuyến tính hóa hài của các đặc tính của phần tử phi tuyến tính (Hình 10.7, G) với các thông số b = 1,5; Với = 5.

Phương pháp tuyến tính hóa chung

Trong hầu hết các trường hợp, có thể tuyến tính hóa các phụ thuộc phi tuyến tính bằng cách sử dụng phương pháp sai lệch hoặc biến thiên nhỏ. Để xem xét ᴇᴦο, chúng ta hãy chuyển sang một số liên kết trong hệ thống điều khiển tự động (Hình 2.2). Các đại lượng đầu vào và đầu ra được ký hiệu là X1 và X2, và nhiễu bên ngoài được ký hiệu là F (t).

Giả sử rằng liên kết được mô tả bởi một số phương trình vi phân phi tuyến tính có dạng

Để biên dịch một phương trình như vậy, bạn cần sử dụng ngành khoa học kỹ thuật thích hợp (ví dụ, kỹ thuật điện, cơ khí, thủy lực, v.v.) nghiên cứu loại thiết bị cụ thể này.

Cơ sở để tuyến tính hóa là giả định rằng độ lệch của tất cả các biến có trong phương trình động lực học liên kết là đủ nhỏ, vì chính xác là trên một mặt cắt đủ nhỏ mà đặc tính đường cong có thể được thay thế bằng một đoạn đường thẳng. Trong trường hợp này, độ lệch của các biến được đo lường từ các giá trị của chúng trong quá trình ổn định hoặc trong một trạng thái cân bằng nhất định của hệ thống. Ví dụ, quá trình ổn định được đặc trưng bởi một giá trị không đổi của biến X1, mà chúng ta ký hiệu là X10. Trong quá trình điều chỉnh (Hình 2.3), biến X1 sẽ có các giá trị biểu thị độ lệch của biến X 1 so với giá trị ổn định X10.

Các mối quan hệ tương tự được giới thiệu cho các biến khác. Đối với trường hợp đang xét, chúng ta có ˸ và cả.

Tất cả các sai lệch được giả định là đủ nhỏ. Giả định toán học này không mâu thuẫn với ý nghĩa vật lý của vấn đề, vì ý tưởng về điều khiển tự động yêu cầu rằng tất cả các sai lệch của biến được điều khiển trong quá trình điều khiển phải đủ nhỏ.

Trạng thái ổn định của liên kết được xác định bởi các giá trị X10, X20 và F0. Khi đó phương trình (2.1) sẽ được viết cho trạng thái ổn định ở dạng

Hãy để chúng tôi khai triển vế trái của phương trình (2.1) trong chuỗi Taylor

trong đó D là các điều khoản thứ tự cao hơn. Chỉ số 0 cho đạo hàm riêng có nghĩa là sau khi lấy đạo hàm, giá trị ổn định của tất cả các biến phải được thay thế vào biểu thức của nó.

Các thuật ngữ bậc cao hơn trong công thức (2.3) bao gồm các đạo hàm riêng cao hơn nhân với bình phương, hình lập phương và mức độ sai lệch cao hơn, cũng như các tích số của sai lệch. Chúng sẽ nhỏ ở bậc cao hơn so với độ lệch của chính nó, là nhỏ của bậc đầu tiên.

Phương trình (2.3) là một phương trình động lực học liên kết, giống như (2.1), nhưng được viết dưới dạng khác. Hãy ghé qua phương trình đã cho bậc cao hơn nhỏ, sau đó chúng tôi trừ các phương trình trạng thái ổn định (2.2) khỏi phương trình (2.3). Kết quả là, chúng tôi thu được phương trình gần đúng sau đây của động lực học liên kết theo độ lệch nhỏ˸

Trong phương trình này, tất cả các biến và đạo hàm của chúng nhập tuyến tính, tức là ở mức độ đầu tiên. Tất cả các đạo hàm riêng là một số hệ số không đổi trong trường hợp một hệ thống với các tham số không đổi đang được khảo sát. Nếu hệ thống có các tham số thay đổi, thì phương trình (2.4) sẽ có hệ số thay đổi. Chúng ta hãy chỉ xem xét trường hợp của các hệ số không đổi.

Phương pháp tuyến tính hóa chung - khái niệm và các loại. Phân loại và đặc điểm của loại “Phương pháp tuyến tính hóa chung” 2015, 2017-2018.

Tuyến tính hóa là cách phổ biến nhất để giảm độ phức tạp của MM và là cơ sở cho việc áp dụng lý thuyết tuyến tính.

Bản chất của bất kỳ tuyến tính hóa nào là gần đúng thay thế sự phụ thuộc phi tuyến tính ban đầu (phi tuyến tính) của một số phụ thuộc tuyến tính phù hợp với một điều kiện (tiêu chí) tương đương nhất định. Trong số các phương pháp khả thi, phương pháp thường được sử dụng nhất phương pháp tiếp tuyến(tuyến tính hóa trong một khu phố nhỏ điểm đã cho). Phương pháp này không phụ thuộc vào loại tín hiệu được chuyển đổi và có thể được sử dụng thành công như nhau cho khác nhau các loại phi tuyến tính, có thể là một chiều và nhiều chiều; vô quán tính (tĩnh) và động.

Quán tính không tuyến tính thiết lập mối quan hệ chức năng giữa các giá trị đầu vào u(t) và thoát ra y(t) trong cùng một khoảnh khắc này thời gian t và có thể được đặt rõ ràng(công thức, đồ thị, bảng) hoặc ngầm hiểu(phương trình đại số). Trên sơ đồ khối họ tương ứng không quán tính(không có bộ nhớ) liên kết phi tuyến tính.

Phi tuyến tính độngđược mô tả toán học bằng các phương trình vi phân phi tuyến tính và tương ứng với chúng trên sơ đồ khối liên kết động phi tuyến. Trong trường hợp này, các giá trị đầu ra y(t) tại thời điểm hiện tại t không chỉ phụ thuộc vào các giá trị của đầu vào cùng một lúc, mà còn phụ thuộc vào đạo hàm, tích phân hoặc bất kỳ giá trị nào khác.

Cơ sở toán học phương pháp tiếp tuyến là sự mở rộng của một hàm phi tuyến trong chuỗi Taylor trong một vùng lân cận nhỏ của một “điểm tuyến tính hóa” nhất định, tiếp theo là việc loại bỏ các số hạng phi tuyến có mức độ lệch của các biến (số gia) trên giá trị đầu tiên.

Chúng ta hãy xem xét bản chất của phương pháp trong những trường hợp cụ thể với những khái quát tiếp theo.

1) Để y= F(u) - đưa ra rõ ràng một chiều quán tính phi tuyến tính, trơn tru và liên tục trong một vùng lân cận của một số điểm u=u*. Giả định u=u* + D u;y=y* + D y, ở đâu y*=F(u*), chúng tôi viết chuỗi Taylor cho hàm này dưới dạng:

Loại bỏ các thuật ngữ có bậc nhỏ hơn và chỉ để lại các thuật ngữ chứa D uở mức độ đầu tiên, chúng tôi có được sự bình đẳng gần đúng

. (2)

Biểu thức này mô tả gần đúng mối quan hệ nhỏ bé gia số D y và D u như tuyến tính sự phụ thuộc và là kết quả của quá trình tuyến tính hóa trong trường hợp đang xem xét. Nơi đây Đến Nó có cảm giác hình học dốc Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm có tọa độ u=u*.

Khi nào đa chiều phi tuyến tính y=F(u), khi nào y={y tôi}, F={F tôi) và u={u j) là các vectơ, tương tự, chúng ta thu được rằng D y=K D u. Nơi đây K={K ij) là một hệ số ma trận có các phần tử K ijđược định nghĩa là các giá trị của đạo hàm riêng của các hàm F tôi bởi các biến u jđược tính tại "điểm" u=u *.

2. Cho phi tuyến tính không quán tính được ngầm hiểu bằng cách sử dụng phương trình đại số F(y,u)=0 . Cần phải tuyến tính hóa sự phi tuyến tính này trong một vùng lân cận nhỏ của một số giải pháp cụ thể đã biết ( u*, y*) giả sử rằng tất cả chức năng phi tuyến tính F tôi như là một phần của F liên tục và có thể phân biệt được trong khu vực lân cận này. Sau khi mở rộng hàm vectơ này thành một chuỗi Taylor và loại bỏ các số hạng của bậc nhỏ thứ hai trở lên, chúng ta thu được tuyến tính phương trình gần đúng đầu tiên:

, (3)

nơi D y=y–y*; D u=u–u*; - ma trận của đạo hàm riêng được tính tại điểm tuyến tính hóa.

3. Để một chiều năng động phi tuyến tính được đưa ra bởi phương trình vi phân "đầu vào-đầu ra" N-đặt hàng thứ:

F(y, y (1) , …, y (N) , u, u (1) , …u (m))=0. (4)

Chúng tôi tuyến tính hóa tính phi tuyến tính này bằng phương pháp tiếp tuyến trong một vùng lân cận nhỏ của riêng giải pháp cho phương trình này y*(t) tương ứng được cổng vào u*(t). Các phái sinh theo thời gian của các lệnh tương ứng của y*(t) và u*(t) cũng được giả định là đã biết.

Chức năng giả định F liên tục có thể phân biệt đối với tất cả các đối số của nó và theo sau phương pháp luận chung(mở rộng thành một chuỗi và chỉ tính đến các thuật ngữ tuyến tính liên quan đến gia số của các đối số), chúng tôi viết tuyến tính phương trình gần đúng đầu tiên cho một phương trình phi tuyến tính:

(5)

Ở đây ký hiệu (*) có nghĩa là các đạo hàm riêng được xác định cho các giá trị của các biến và các đạo hàm của chúng tương ứng với nghiệm cụ thể ( y*(t), u*(t)). TẠI trường hợp chung giá trị của chúng (hệ số của phương trình) sẽ phụ thuộc vào thời gian và mô hình tuyến tính hóa sẽ không cố định. Nhưng nếu giải pháp cụ thể tương ứng chế độ tĩnh, thì các hệ số này sẽ là dài hạn.

Để thuận tiện và ngắn gọn về ký hiệu, chúng tôi giới thiệu ký hiệu sau:

= một tôi; = -b tôi; D y (tôi) =D tôi D y; D u (tôi) =D tôi D u; D=d/dt.

sau đó tuyến tính hóa phương trình (5) được viết dưới dạng toán tử ngắn:

Một(D) D y(t)=B(D) D u(t),

ở đâu Một(D) là một đa thức bậc Nđối với toán tử phân biệt D;

B(D) là một đa thức toán tử tương tự m-độ thứ.

4. Để đa chiều năng động phi tuyến tính được đưa ra phương trình phi tuyến xem các trạng thái

(6)

Tương tự như các trường hợp trước, chúng tôi tuyến tính hóa tính phi tuyến này bằng phương pháp tiếp tuyến trong một vùng lân cận nhỏ của riêng các giải pháp ( x *, y *) tương ứng được cổng vào u *(t). Trong trường hợp này, các phương trình của xấp xỉ đầu tiên sẽ có dạng sau:

(7)

ở đâu - ma trận có kích thước thích hợp. Các phần tử của chúng trong trường hợp chung sẽ là các hàm của thời gian, nhưng nếu một giải pháp cụ thể tương ứng với tĩnh chế độ, chúng sẽ tồn tại vĩnh viễn.

Hay lam Kết luận về việc áp dụng phương pháp tiếp tuyến trong tuyến tính hóa MM của toàn bộ ACS, là một tập hợp các mô tả của các khối cấu trúc tương tác.

1) "chế độ tham chiếu" (*), liên quan đến việc tuyến tính hóa được thực hiện, được tính toán cho toàn bộ hệ thống từ MM đầy đủ (phi tuyến tính) của nó. Cả hai phương pháp đồ họa và số (máy tính) đều có thể được sử dụng để tính toán. Trong trường hợp này, hệ số của tất cả các phương trình tuyến tính hóa và phụ thuộc hàm sẽ phụ thuộc vào các điểm tuyến tính hóa đã chọn;

2) tất cả các phụ thuộc phi tuyến của MM phải liên tục và liên tục có thể phân biệt được (trơn tru) trong một vùng lân cận nhỏ của chế độ (*);

3) độ lệch của các biến so với giá trị của chúng trong chế độ tham chiếu phải đủ nhỏ; đối với SAR và Y, yêu cầu này khá phù hợp với mục tiêu của kiểm soát - quy định giá trị của các biến được kiểm soát phù hợp với quy luật quy định về sự thay đổi của chúng;

4) cho Các phương trình tuyến tính là một phần của MM, tuyến tính hóa bao gồm việc thay thế chính thức tất cả các biến bằng độ lệch (gia số) của chúng;

5) để có được một MM tuyến tính hóa của toàn bộ hệ thống trong mẫu, ví dụ, ở dạng phương trình trạng thái, trước tiên người ta nên tuyến tính hóa từng phương trình trong thành phần của MM. Điều này sẽ đơn giản và nhanh hơn nhiều so với việc cố gắng có được một hệ thống MM phi tuyến tính ở dạng chuẩn với quá trình tuyến tính hóa tiếp theo của nó;

6) tùy thuộc vào tất cả các điều kiện để áp dụng phương pháp tiếp tuyến, các thuộc tính của MM tuyến tính hóa cung cấp một ý tưởng khách quan về các thuộc tính cục bộ của MM phi tuyến trong khu phố nhỏ chế độ tham chiếu. Thực tế này có một biện minh toán học chặt chẽ dưới dạng các định lý của Lyapunov (phương pháp đầu tiên) và là cơ sở lý thuyết cho ứng dụng thực tế của lý thuyết điều khiển tuyến tính.