Hãy tìm đạo hàm của hàm 3x. Tìm đạo hàm: thuật toán và ví dụ về các giải pháp
- Bảng đạo hàm của hàm số mũ và logarit
Đạo hàm của các hàm đơn giản
1. Đạo hàm của một số bằng 0с´ = 0
Ví dụ:
5' = 0
Giải trình:
Đạo hàm cho biết tốc độ mà giá trị của hàm thay đổi khi đối số thay đổi. Vì số không thay đổi theo bất kỳ cách nào trong bất kỳ điều kiện nào, tốc độ thay đổi của nó luôn bằng không.
2. Đạo hàm của một biến bằng một
x' = 1
Giải trình:
Với mỗi lần tăng đối số (x) lên một, giá trị của hàm (kết quả tính toán) tăng theo cùng một lượng. Do đó, tốc độ thay đổi giá trị của hàm y = x chính xác bằng tốc độ thay đổi giá trị của đối số.
3. Đạo hàm của một biến và một thừa số bằng chính thừa số này
сx´ = с
Ví dụ:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Giải trình:
TRONG trường hợp này, mỗi khi đối số hàm thay đổi ( X) giá trị của nó (y) tăng trong Với một lần. Do đó, tốc độ thay đổi giá trị của hàm đối với tốc độ thay đổi của đối số chính xác bằng giá trị Với.
Từ đâu nó theo đó
(cx + b)" = c
tức là khác biệt hàm tuyến tính y=kx+b chính là hệ số góc của đường thẳng (k).
4. Đạo hàm modulo của một biến bằng thương số của biến này với mô đun của nó
|x|"= x / |x| với điều kiện là x ≠ 0
Giải trình:
Vì đạo hàm của biến số (xem công thức 2) bằng một nên đạo hàm của mô đun chỉ khác ở chỗ giá trị tốc độ thay đổi của hàm số thay đổi ngược lại khi đi qua điểm gốc (thử vẽ đồ thị của hàm y = |x| và tự mình xem. Đây chính xác là giá trị và trả về biểu thức x / |x| Khi x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - một. Đó là, tại giá trị âm biến x với mỗi lần thay đổi đối số tăng lên, giá trị của hàm sẽ giảm đi một giá trị chính xác như cũ và đối với giá trị dương thì ngược lại, nó tăng lên nhưng chính xác bằng một giá trị.
5. Đạo hàm lũy thừa của một biến bằng tích của số lũy thừa này và biến số trong lũy thừa, giảm đi một
(x c)"= cx c-1, miễn là x c và cx c-1 được xác định và c ≠ 0
Ví dụ:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Để ghi nhớ công thức:
Lấy số mũ của biến "xuống" làm hệ số nhân, sau đó tự giảm số mũ đó đi một. Ví dụ: đối với x 2 - hai đứng trước x và sau đó lũy thừa giảm (2-1 = 1) chỉ cho chúng ta 2x. Điều tương tự cũng xảy ra với x 3 - chúng ta hạ thấp bộ ba, giảm nó đi một và thay vì hình lập phương, chúng ta có hình vuông, nghĩa là 3x 2 . Hơi "phản khoa học" một chút, nhưng rất dễ nhớ.
6.đạo hàm phân số 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Ví dụ:
Vì một phân số có thể được biểu diễn dưới dạng nâng lên năng lượng tiêu cực
(1/x)" = (x -1)" , thì bạn có thể áp dụng công thức từ quy tắc 5 của bảng đạo hàm
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2
7. đạo hàm phân số với một biến có mức độ tùy ýở mẫu số
(1/x c)" = - c / x c+1
Ví dụ:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. dẫn xuất gốc(đạo hàm của biến theo căn bậc hai)
(√x)" = 1 / (2√x) hoặc 1/2 x -1/2
Ví dụ:
(√x)" = (x 1/2)" để bạn có thể áp dụng công thức từ quy tắc 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)
9. Đạo hàm của một biến dưới căn bậc tùy ý
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)
Nếu theo định nghĩa thì đạo hàm của hàm số tại một điểm là giới hạn của tỉ số gia của hàm số Δ yđến mức tăng của đối số Δ x:
Mọi thứ dường như đã rõ ràng. Nhưng hãy thử tính theo công thức này, chẳng hạn, đạo hàm của hàm f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x tội x. Nếu bạn làm mọi thứ theo định nghĩa, thì sau một vài trang tính toán, bạn sẽ ngủ thiếp đi. Do đó, có những cách đơn giản và hiệu quả hơn.
Để bắt đầu, chúng tôi lưu ý rằng cái gọi là các hàm cơ bản có thể được phân biệt với toàn bộ các hàm khác nhau. nó tương đối biểu thức đơn giản, có đạo hàm từ lâu đã được tính toán và nhập vào bảng. Những chức năng như vậy đủ dễ nhớ, cùng với các đạo hàm của chúng.
Đạo hàm của các hàm sơ cấp
Chức năng cơ bản là tất cả mọi thứ được liệt kê dưới đây. Đạo hàm của các hàm này phải thuộc lòng. Hơn nữa, không khó để ghi nhớ chúng - đó là lý do tại sao chúng là tiểu học.
Vậy đạo hàm chức năng cơ bản:
| Tên | Chức năng | Phát sinh |
| Không thay đổi | f(x) = C, C ∈ r | 0 (vâng, vâng, không!) |
| Bằng với số mũ hữu tỷ | f(x) = x N | N · x N − 1 |
| xoang | f(x) = tội lỗi x | cos x |
| Cô sin | f(x) = cos x | - tội lỗi x(trừ sin) |
| Đường tiếp tuyến | f(x) = tg x | 1/cos 2 x |
| cotang | f(x) = ctg x | − 1/sin2 x |
| logarit tự nhiên | f(x) = nhật ký x | 1/x |
| logarit tùy ý | f(x) = nhật ký Một x | 1/(x ln Một) |
| hàm số mũ | f(x) = e x | e x(không có gì thay đổi) |
Nếu một hàm cơ bản được nhân với một hằng số tùy ý, thì đạo hàm của hàm mới cũng dễ dàng được tính:
(C · f)’ = C · f ’.
Nói chung, các hằng số có thể được lấy ra khỏi dấu của đạo hàm. Ví dụ:
(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .
Rõ ràng, các hàm cơ bản có thể cộng, nhân, chia, v.v. Đây là cách các chức năng mới sẽ xuất hiện, không còn rất cơ bản nữa, nhưng cũng có thể khả vi theo các quy tắc nhất định. Những quy tắc này được thảo luận dưới đây.
Đạo hàm của tổng và hiệu
Hãy để các chức năng f(x) Và g(x), có dẫn xuất được biết đến với chúng tôi. Ví dụ: bạn có thể lấy các hàm cơ bản đã thảo luận ở trên. Sau đó, bạn có thể tìm đạo hàm của tổng và hiệu của các hàm này:
- (f + g)’ = f ’ + g ’
- (f − g)’ = f ’ − g ’
Vì vậy, đạo hàm của tổng (hiệu) của hai hàm bằng tổng (hiệu) của các đạo hàm. Có thể có nhiều điều khoản hơn. Ví dụ, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.
Nói đúng ra, không có khái niệm "phép trừ" trong đại số. Có một khái niệm yếu tố tiêu cực“. Do đó, sự khác biệt f − g có thể viết lại dưới dạng tổng f+ (−1) g, và sau đó chỉ còn lại một công thức - đạo hàm của tổng.
f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.
Chức năng f(x) là tổng của hai hàm cơ bản, vì vậy:
f ’(x) = (x 2+ tội lỗi x)’ = (x 2)' + (tội lỗi x)’ = 2x+cosx;
Chúng tôi lập luận tương tự cho các chức năng g(x). Chỉ có ba thuật ngữ (từ quan điểm của đại số):
g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).
Trả lời:
f ’(x) = 2x+cosx;
g ’(x) = 4x · ( x
2 + 1).
Dẫn xuất của một sản phẩm
Toán học là môn khoa học logic nên nhiều người cho rằng nếu đạo hàm của tổng bằng tổng các đạo hàm thì đạo hàm của tích đánh đập"\u003e bằng với sản phẩm của các công cụ phái sinh. Nhưng quả sung với bạn! Đạo hàm của sản phẩm được tính bằng một công thức hoàn toàn khác. Cụ thể là:
(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’
Công thức rất đơn giản, nhưng thường bị lãng quên. Và không chỉ học sinh, mà cả học sinh. Kết quả là các vấn đề được giải quyết không chính xác.
Nhiệm vụ. Tìm đạo hàm của hàm số: f(x) = x 3 côx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .
Chức năng f(x) là tích của hai hàm cơ bản, vì vậy mọi thứ đều đơn giản:
f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' vì x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − x tội x)
Chức năng g(x) hệ số nhân đầu tiên phức tạp hơn một chút, nhưng sơ đồ chungđiều này không thay đổi. Rõ ràng, bội số đầu tiên của hàm g(x) là một đa thức và đạo hàm của nó là đạo hàm của tổng. Chúng ta có:
g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x- 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .
Trả lời:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x tội x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e
x
.
Lưu ý rằng trong bước cuối cùng, đạo hàm được nhân tử hóa. Về mặt hình thức, điều này là không cần thiết, nhưng hầu hết các đạo hàm không được tính riêng mà để khám phá hàm. Điều này có nghĩa là đạo hàm tiếp theo sẽ bằng 0, các dấu của nó sẽ được tìm ra, v.v. Đối với trường hợp như vậy, tốt hơn là nên phân tích một biểu thức thành các thừa số.
Nếu có hai chức năng f(x) Và g(x), Và g(x) ≠ 0 trên tập hợp quan tâm cho chúng tôi, chúng tôi có thể xác định một chức năng mới h(x) = f(x)/g(x). Đối với một chức năng như vậy, bạn cũng có thể tìm đạo hàm:
Không yếu, phải không? Điểm trừ đến từ đâu? Tại sao g 2? Và như thế này! Đây là một trong những điều thú vị nhất công thức phức tạp Bạn không thể tìm ra nó mà không có một cái chai. Vì vậy, tốt hơn là nghiên cứu nó trên ví dụ cụ thể.
Nhiệm vụ. Tìm đạo hàm của hàm số:
Có các hàm cơ bản trong tử số và mẫu số của mỗi phân số, vì vậy tất cả những gì chúng ta cần là công thức tính đạo hàm của thương số:
Theo truyền thống, chúng tôi chia tử số thành các thừa số - điều này sẽ đơn giản hóa rất nhiều câu trả lời:
Một chức năng phức tạp không nhất thiết phải là một công thức dài nửa km. Ví dụ, nó đủ để thực hiện chức năng f(x) = tội lỗi x và thay thế biến x, nói, trên x 2+ln x. Hóa ra f(x) = tội lỗi ( x 2+ln x) - Thì ra là thế chức năng phức tạp. Cô ấy cũng có một đạo hàm, nhưng sẽ không hiệu quả nếu tìm nó theo các quy tắc đã thảo luận ở trên.
Làm sao để? Trong những trường hợp như vậy, việc thay thế một biến và công thức tính đạo hàm của một hàm phức tạp sẽ giúp:
f ’(x) = f ’(t) · t', Nếu như xđược thay thế bởi t(x).
Như một quy luật, tình huống với sự hiểu biết về công thức này thậm chí còn đáng buồn hơn so với đạo hàm của thương số. Do đó, tốt hơn hết là giải thích nó bằng các ví dụ cụ thể, với miêu tả cụ thể mỗi bước.
Nhiệm vụ. Tìm đạo hàm của hàm số: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = tội lỗi ( x 2+ln x)
Lưu ý rằng nếu trong hàm f(x) thay cho biểu thức 2 x+ 3 sẽ dễ dàng x, sau đó chúng ta nhận được một chức năng cơ bản f(x) = e x. Do đó, chúng tôi thay thế: hãy để 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Chúng ta đang tìm đạo hàm của một hàm phức theo công thức:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’
Và bây giờ - chú ý! Thực hiện thay thế ngược lại: t = 2x+ 3. Ta được:
f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3
Bây giờ hãy xem chức năng g(x). Rõ ràng là cần phải được thay thế. x 2+ln x = t. Chúng ta có:
g ’(x) = g ’(t) · t' = (tội lỗi t)’ · t' = cos t · t ’
Thay thế ngược lại: t = x 2+ln x. Sau đó:
g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).
Đó là tất cả! Như có thể thấy từ biểu thức cuối cùng, toàn bộ vấn đề đã được rút gọn thành tính đạo hàm của tổng.
Trả lời:
f ’(x) = 2 e
2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos( x 2+ln x).
Rất thường xuyên trong các bài học của tôi, thay vì thuật ngữ “đạo hàm”, tôi sử dụng từ “đột quỵ”. Ví dụ, một nét từ tổng bằng tổng nét. Điều đó có rõ ràng hơn không? Ồ tốt đấy.
Do đó, việc tính toán đạo hàm dẫn đến việc loại bỏ chính những nét này theo các quy tắc đã thảo luận ở trên. BẰNG ví dụ cuối cùng Hãy trở lại với lũy thừa đạo hàm với số mũ hữu tỉ:
(x N)’ = N · x N − 1
Ít ai biết rằng trong vai trò N cũng có thể hành động một phân số. Ví dụ, gốc là x 0,5 . Nhưng nếu có thứ gì đó phức tạp dưới gốc thì sao? Một lần nữa, một chức năng phức tạp sẽ xuất hiện - họ muốn đưa ra các cấu trúc như vậy trên Công việc kiểm soát và các kỳ thi.
Nhiệm vụ. Tìm đạo hàm của hàm số:
Đầu tiên, hãy viết lại căn dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ:
f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
Bây giờ chúng ta thay thế: let x 2 + 8x − 7 = t. Ta tìm đạo hàm theo công thức:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.
Chúng tôi thay thế ngược lại: t = x 2 + 8x− 7. Ta có:
f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .
Cuối cùng, trở lại cội nguồn:
Sự định nghĩa. Giả sử hàm số \(y = f(x) \) xác định trong một khoảng chứa điểm \(x_0 \) bên trong. Hãy tăng \(\Delta x \) cho đối số để không rời khỏi khoảng này. Tìm số gia tương ứng của hàm \(\Delta y \) (khi đi từ điểm \(x_0 \) đến điểm \(x_0 + \Delta x \)) và soạn quan hệ \(\frac(\Delta y )(\Delta x) \). Nếu có một giới hạn của mối quan hệ này tại \(\Delta x \rightarrow 0 \), thì giới hạn được chỉ định được gọi là hàm đạo hàm\(y=f(x) \) tại điểm \(x_0 \) và ký hiệu \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Ký hiệu y thường được dùng để biểu thị đạo hàm. Lưu ý rằng y" = f(x) là tính năng mới, nhưng liên quan một cách tự nhiên với hàm y = f(x) xác định tại mọi điểm x mà tại đó tồn tại giới hạn trên. Chức năng này được gọi như thế này: đạo hàm của hàm y \u003d f (x).
Ý nghĩa hình học của đạo hàm bao gồm những điều sau đây. Nếu một tiếp tuyến không song song với trục y có thể được vẽ vào đồ thị của hàm y \u003d f (x) tại một điểm có hoành độ x \u003d a, thì f (a) biểu thị hệ số góc của tiếp tuyến:
\(k = f"(a)\)
Vì \(k = tg(a) \), đẳng thức \(f"(a) = tg(a) \) là đúng.
Và bây giờ chúng tôi giải thích định nghĩa của đạo hàm theo các đẳng thức gần đúng. Để hàm số \(y = f(x) \) có đạo hàm tại một điểm \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Điều này có nghĩa là gần điểm x, đẳng thức gần đúng \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), tức là \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). Ý nghĩa của đẳng thức gần đúng thu được như sau: số gia của hàm “gần như tỷ lệ thuận” với số gia của đối số và hệ số tỷ lệ là giá trị của đạo hàm trong điểm đã cho x. Ví dụ: đối với hàm \(y = x^2 \) đẳng thức gần đúng \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) là đúng. Nếu chúng ta phân tích kỹ định nghĩa của đạo hàm, chúng ta sẽ thấy rằng nó chứa một thuật toán để tìm nó.
Hãy xây dựng nó.
Làm cách nào để tìm đạo hàm của hàm y \u003d f (x) ?
1. Sửa giá trị \(x \), tìm \(f(x) \)
2. Tăng đối số \(x \) \(\Delta x \), đi tới điểm mới\(x+ \Delta x \), tìm \(f(x+ \Delta x) \)
3. Tìm số gia của hàm: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Soạn quan hệ \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Tính $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Giới hạn này là đạo hàm của hàm tại x.
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x, thì nó được gọi là khả vi tại điểm x. Quy trình tìm đạo hàm của hàm y \u003d f (x) được gọi là sự khác biệt các hàm y = f(x).
Chúng ta hãy thảo luận câu hỏi sau: tính liên tục và khả vi của một hàm tại một điểm liên quan như thế nào?
Cho hàm số y = f(x) khả vi tại điểm x. Sau đó, một tiếp tuyến có thể được vẽ tới đồ thị của hàm số tại điểm M (x; f (x)) và nhớ lại, hệ số góc của tiếp tuyến bằng f "(x). Đồ thị như vậy không thể "phá vỡ" tại điểm M, tức là hàm số phải liên tục tại x.
Đó là lý luận "trên ngón tay". Hãy để chúng tôi trình bày một lập luận chặt chẽ hơn. Nếu hàm y = f(x) khả vi tại điểm x, thì đẳng thức gần đúng \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) đúng. Bằng 0, khi đó \(\Delta y \ ) cũng sẽ có xu hướng bằng 0 và đây là điều kiện để hàm số liên tục tại một điểm.
Vì thế, nếu một hàm khả vi tại điểm x thì nó cũng liên tục tại điểm đó.
Chuyện này là không đúng sự thật. Ví dụ: hàm y = |x| liên tục tại mọi điểm, đặc biệt tại điểm x = 0, nhưng không tồn tại tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại “điểm giao” (0; 0). Nếu tại một thời điểm nào đó không vẽ được tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì tại điểm này không có đạo hàm.
Một ví dụ nữa. Hàm số \(y=\sqrt(x) \) liên tục trên toàn trục số kể cả điểm x = 0. Và tiếp tuyến của đồ thị hàm số tồn tại tại mọi điểm kể cả điểm x = 0 .Nhưng lúc này tiếp tuyến trùng với trục y, tức là nó vuông góc với trục hoành, phương trình của nó có dạng x \u003d 0. Dốc không có dòng như vậy, có nghĩa là \(f"(0) \) cũng không tồn tại
Vì vậy, chúng ta đã làm quen với một thuộc tính mới của hàm - khả năng khả vi. Làm thế nào bạn có thể biết nếu một chức năng là khả vi từ đồ thị của một chức năng?
Câu trả lời thực sự được đưa ra ở trên. Nếu tại một điểm nào đó có thể vẽ được một tiếp tuyến với đồ thị của hàm số không vuông góc với trục x thì tại điểm đó hàm số khả vi. Nếu tại một điểm nào đó không tồn tại tiếp tuyến của đồ thị hàm số hoặc nó vuông góc với trục x thì tại điểm đó hàm số không khả vi.
Quy luật khác biệt hóa
Hoạt động tìm đạo hàm được gọi là sự khác biệt. Khi thực hiện thao tác này, bạn thường phải làm việc với thương, tổng, tích của hàm, cũng như với "hàm của hàm", tức là các hàm phức tạp. Dựa trên định nghĩa của đạo hàm, chúng ta có thể rút ra các quy tắc vi phân tạo điều kiện thuận lợi cho công việc này. Nếu C- hằng số và f=f(x), g=g(x) là một số hàm khả vi thì mệnh đề sau đúng quy tắc phân biệt:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
Bảng đạo hàm của một số hàm số
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $Bài toán tìm đạo hàm của hàm đã cho là một trong những khóa học chính trong toán học Trung học phổ thông và trong các cơ sở giáo dục đại học. Không thể khám phá đầy đủ một hàm số, xây dựng đồ thị của nó mà không lấy đạo hàm của nó. Có thể dễ dàng tìm thấy đạo hàm của một hàm nếu bạn biết các quy tắc cơ bản về vi phân, cũng như bảng đạo hàm của các hàm chính. Hãy cùng tìm hiểu cách tìm đạo hàm của một hàm.
Đạo hàm của một hàm được gọi là giới hạn của tỷ số giữa số gia của hàm với số gia của đối số khi số gia của đối số có xu hướng bằng không.
Khá khó để hiểu định nghĩa này, vì khái niệm giới hạn không được nghiên cứu đầy đủ ở trường. Nhưng để tìm đạo hàm của các hàm khác nhau thì không nhất thiết phải hiểu định nghĩa, hãy để việc đó cho các nhà toán học và đi thẳng vào việc tìm đạo hàm.
Quá trình tìm đạo hàm được gọi là sự khác biệt. Khi lấy đạo hàm của một hàm, ta sẽ được một hàm mới.
Để biểu thị chúng, chúng ta sẽ sử dụng bức thư f, g, v.v.
Có nhiều ký hiệu khác nhau cho các công cụ phái sinh. Chúng tôi sẽ sử dụng đột quỵ. Ví dụ: mục nhập g" có nghĩa là chúng ta sẽ tìm đạo hàm của hàm g.
bảng phái sinh
Để trả lời câu hỏi làm thế nào để tìm đạo hàm, cần cung cấp bảng đạo hàm của các hàm chính. Để tính đạo hàm của các hàm cơ bản, không nhất thiết phải thực hiện các phép tính phức tạp. Chỉ cần nhìn vào giá trị của nó trong bảng đạo hàm là đủ.
- (sinx)"=cosx
- (cos x)"= -sin x
- (xn)"=nxn-1
- (cũ)"=cũ
- (lnx)"=1/x
- (a x)"=a x ln a
- (log a x)"=1/x ln a
- (tg x)"=1/cos 2 x
- (ctg x)"= - 1/sin 2 x
- (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
- (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
- (arctg x)"= 1/(1+x 2)
- (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)
Ví dụ 1. Tìm đạo hàm của hàm y=500.
Ta thấy nó là một hằng số. Theo bảng đạo hàm đã biết đạo hàm của hằng số bằng không (công thức 1).
Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của hàm số y=x 100 .
Cái này chức năng nguồn trong đó số mũ là 100 và để tìm đạo hàm của nó, bạn cần nhân hàm số với số mũ và hạ thấp nó đi 1 (công thức 3).
(x 100)"=100 x 99
Ví dụ 3. Tìm đạo hàm của hàm số y=5 x
Cái này hàm số mũ, ta tính đạo hàm của nó theo công thức 4.
Ví dụ 4. Tìm đạo hàm của hàm số y= log 4 x
Chúng tôi tìm đạo hàm của logarit bằng công thức 7.
(log 4 x)"=1/x log 4
Quy luật khác biệt hóa
Bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu cách tìm đạo hàm của một hàm nếu nó không có trong bảng. Hầu hết các hàm được khảo sát không phải là hàm cơ bản mà là sự kết hợp của các hàm cơ bản sử dụng các phép toán đơn giản nhất (cộng, trừ, nhân, chia và nhân với một số). Để tìm đạo hàm của chúng, bạn cần biết quy tắc phân biệt. Hơn nữa, các chữ cái f và g biểu thị các chức năng và C là một hằng số.
1. Có thể lấy một hệ số không đổi ra khỏi dấu của đạo hàm
Ví dụ 5. Tìm đạo hàm của hàm số y= 6*x 8
chúng tôi lấy ra yếu tố không đổi 6 và chỉ phân biệt x 4 . Đây là một hàm lũy thừa, đạo hàm của nó mà chúng ta tìm được theo công thức 3 của bảng đạo hàm.
(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7
2. Đạo hàm của tổng bằng tổng các đạo hàm
(f + g)"=f" + g"
Ví dụ 6. Tìm đạo hàm của hàm số y= x 100 + sin x
Hàm này là tổng của hai hàm có đạo hàm mà chúng ta có thể tìm thấy từ bảng. Vì (x 100)"=100 x 99 và (sin x)"=cos x. Đạo hàm của tổng sẽ bằng tổng của các đạo hàm này:
(x 100 + sin x)"= 100 x 99 + cos x
3. Đạo hàm của hiệu bằng hiệu của các đạo hàm
(f – g)"=f" – g"
Ví dụ 7. Tìm đạo hàm của hàm số y= x 100 - cos x
Hàm này là sự khác biệt của hai hàm mà chúng ta cũng có thể tìm thấy đạo hàm từ bảng. Sau đó, đạo hàm của sự khác biệt bằng sự khác biệt của các đạo hàm và đừng quên đổi dấu, vì (cos x) "= - sin x.
(x 100 - cos x)" = 100 x 99 + sin x
Ví dụ 8. Tìm đạo hàm của hàm số y=e x +tg x– x 2 .
Hàm này có cả tổng và hiệu, ta tìm đạo hàm của từng số hạng:
(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Khi đó đạo hàm của hàm ban đầu là:
(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x
4. Dẫn xuất của sản phẩm
(f * g)"=f" * g + f * g"
Ví dụ 9. Tìm đạo hàm của hàm số y= cos x *e x
Để làm điều này, trước tiên hãy tìm đạo hàm của từng thừa số (cos x)"=–sin x và (e x)"=e x . Bây giờ hãy thay thế mọi thứ vào công thức sản phẩm. Nhân đạo hàm của hàm thứ nhất với hàm thứ hai và cộng tích của hàm thứ nhất với đạo hàm của hàm thứ hai.
(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x
5. Đạo hàm của thương
(f / g) "= f" * g - f * g "/g 2
Ví dụ 10. Tìm đạo hàm của hàm số y= x 50 / sin x
Để tìm đạo hàm của thương, trước tiên hãy tìm riêng đạo hàm của tử số và mẫu số: (x 50)"=50 x 49 và (sin x)"= cos x. Thay thế trong công thức cho đạo hàm của thương số chúng ta nhận được:
(x 50 / sin x) "= 50x 49 * sin x - x 50 * cos x / sin 2 x
Đạo hàm của một hàm hợp chất
Một chức năng phức tạp là một chức năng được biểu diễn bởi một thành phần của một số chức năng. Để tìm đạo hàm của một hàm phức tạp, cũng có một quy tắc:
(u(v))"=u"(v)*v"
Hãy xem cách tìm đạo hàm của một hàm như vậy. Đặt y= u(v(x)) là một hàm phức. Hàm u sẽ được gọi là bên ngoài và v - bên trong.
Ví dụ:
y=sin (x 3) là một hàm phức.
Khi đó y=sin(t) là hàm ngoài
t=x 3 - trong.
Hãy thử tính đạo hàm của hàm này. Theo công thức, cần nhân các đạo hàm của các hàm bên trong và bên ngoài.
(sin t)"=cos (t) - đạo hàm của hàm ngoài (trong đó t=x 3)
(x 3)"=3x 2 - đạo hàm của hàm bên trong
Khi đó (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 là đạo hàm của hàm hợp.
Thành phần hóa học của tế bào
Cacbon - đặc điểm nguyên tố và tính chất hóa học
Công việc xác minh "những điều cơ bản của học thuyết về sinh quyển"