Các ứng dụng của tích phân xác định là ví dụ về các giải pháp. Tính diện tích hình phẳng

Bài giảng 21 Ứng dụng tích phân xác định(2h)

Ứng dụng hình học

một) khu vực hình

Như đã lưu ý trong Bài giảng 19, về mặt số bằng diện tích hình thang cong, đường cong giới hạn tại = f(x) , những đường thẳng X = một, X = b và phân đoạn [ một, b] của trục OX. Đồng thời, nếu f(x) £ 0 trên [ một, b], thì tích phân phải được lấy bằng dấu trừ.

Nếu trên phân đoạn nhất định hàm số tại = f(x) thay đổi dấu, sau đó để tính diện tích của hình nằm giữa đồ thị của hàm số này và trục OX, người ta nên chia đoạn thành các phần, trên mỗi phần mà hàm giữ nguyên dấu của nó và tìm diện tích của Mỗi phần của hình. Diện tích mong muốn trong trường hợp này là tổng đại số của các tích phân trên các đoạn này và các tích phân tương ứng với các giá trị âm của hàm được lấy trong tổng này bằng một dấu trừ.

Nếu hình được giới hạn bởi hai đường cong tại = f 1 (x) và tại = f 2 (x), f 1 (x)£ f 2 (x), như sau từ Hình 9, diện tích của nó bằng hiệu giữa các diện tích của hình thang cong một mặt trời b và một QUẢNG CÁO b, mỗi trong số đó bằng số bằng tích phân. Có nghĩa,

Lưu ý rằng diện tích của hình thể hiện trong Hình 10, a được tìm bằng cùng một công thức: S = (Chứng minh điều đó!). Hãy suy nghĩ về cách tính diện tích của \ u200b \ u200b của hình vẽ trong Hình 10, b?

Chúng ta chỉ nói về hình thang cong tiếp giáp với trục OX. Nhưng các công thức tương tự cũng có hiệu lực đối với các số liệu liền kề với trục y. Ví dụ, diện tích của hình thể hiện trong Hình 11 được tìm thấy bằng công thức

Để dòng y=f(x) giới hạn của hình thang cong có thể được cho bởi các phương trình tham số, tО, và j (a) = một, j (b) = b, I E. tại=. Khi đó diện tích của hình thang cong này là

.

b) Chiều dài cung đường cong

Để có một đường cong tại = f(x). Coi cung của đường cong này tương ứng với sự thay đổi X trên đoạn [ một, b]. Hãy tìm độ dài của cung này. Để làm điều này, chúng tôi chia cung AB thành P các bộ phận có điểm A \ u003d M 0, M 1, M 2, ..., M P= B (Hình 14), tương ứng với các điểm X 1 , X 2 , ..., x n Î [ một, b].

Ký hiệu D tôi chiều dài cung, sau đó l=. Nếu cung dài D tôiđủ nhỏ, chúng có thể được coi là xấp xỉ độ dài bằng nhauđoạn tương ứng nối các điểm M tôi-1, M tôi. Các điểm này có tọa độ M tôi -1 (x tôi -1, f (x tôi-1)), M tôi(x tôi, f(x tôi)). Khi đó độ dài các đoạn tương ứng bằng nhau

Ở đây công thức Lagrange được sử dụng. Chúng ta hãy đặt x tôi – x tôi-1 = D x tôi, chúng tôi nhận được

sau đó l = , ở đâu

l = .

Vì vậy, độ dài cung của đường cong tại = f(x) tương ứng với sự thay đổi X trên đoạn [ một, b], được tìm thấy bởi công thức

l = , (1)

Nếu đường cong được cho theo tham số, tО, tức là y(t) = f(x(t)), thì từ công thức (1) chúng ta thu được:

l=
.

Vì vậy, nếu đường cong được cho theo tham số, thì độ dài của cung của đường cong này tương ứng với sự thay đổi tн, được tìm thấy bởi công thức

trong) Khối lượng của cơ thể của cuộc cách mạng.

Hình 15

Xét một hình thang cong một AB b, được giới hạn bởi một dòng tại = f(x), thẳng X = một, X = b và phân đoạn [ một,b] của trục OX (Hình 15). Cho hình thang này quay quanh trục OX, kết quả sẽ là một vật thể cách mạng. Có thể chứng minh rằng thể tích của vật này sẽ bằng

Tương tự, bạn có thể suy ra công thức về thể tích của một vật thể thu được khi quay quanh trục y của một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số X= j ( tại), thẳng y = c , y = d và phân đoạn [ c,d] trục y (Hình 15):

Các ứng dụng vật lý của tích phân xác định

Trong Bài giảng 19, chúng tôi đã chứng minh rằng, theo quan điểm vật lý, tích phân là số bằng khối lượng chiều dài thanh không đồng nhất mỏng trực tuyến l= b – một, với mật độ tuyến tính thay đổi r = f(x), f(x) ³ 0, ở đâu X là khoảng cách từ điểm của thanh đến đầu bên trái của nó.

Chúng ta hãy xem xét các ứng dụng vật lý khác của tích phân xác định.

Nhiệm vụ 1. Tìm công cần thiết để bơm dầu ra khỏi bể hình trụ đứng có chiều cao H và bán kính đáy R. Khối lượng riêng của dầu là r.

Quyết định. Nào cùng xây mô hình toán học nhiệm vụ này. Cho trục OX đi dọc theo trục đối xứng của hình trụ có chiều cao H và bán kính R, điểm đầu - ở tâm của đáy trên của hình trụ (Hình 17). Hãy chia hình trụ P phần nhỏ nằm ngang. Sau đo ở đâu A tôi- công việc bơm tôi lớp thứ. Phân vùng này của hình trụ tương ứng với phân vùng của phân đoạn thay đổi chiều cao lớp thành P các bộ phận. Hãy xem xét một trong những lớp này nằm ở khoảng cách xa x tôi từ bề mặt, chiều rộng D X(hoặc ngay lập tức dx). Việc bơm ra khỏi lớp này có thể được coi là "nâng" lớp lên một chiều cao x tôi.

Sau đó, công việc thực hiện để bơm ra lớp này bằng

A tôi"R tôi x tôi, ,

nơi P tôi= rgV tôi= rgpR 2 dx, R tôi- trọng lượng, V tôi là thể tích của lớp. sau đó A tôi"R tôi x tôi= rgpR 2 dx.x tôi, ở đâu

, và do đó .

Nhiệm vụ 2. Tìm mômen quán tính

a) một hình trụ rỗng có thành mỏng có trục đi qua trục đối xứng của nó;

b) một hình trụ đặc có trục đi qua trục đối xứng của nó;

c) chiều dài thanh mỏng l về trục đi qua giữa của nó;

d) chiều dài thanh mỏng l về trục đi qua đầu bên trái của nó.

Quyết định. Như đã biết, momen quán tính của một điểm đối với trục bằng J=Ông 2, và hệ thống điểm.

a) Hình trụ có thành mỏng, nghĩa là có thể bỏ qua chiều dày thành. Cho bán kính của đáy hình trụ R, chiều cao H và khối lượng riêng trên các bức tường bằng r.

Hãy chia hình trụ P các bộ phận và tìm ở đâu J tôi- lực quán tính tôi-th phần tử phân vùng.

Coi như tôi-thành phần phân vùng (một hình trụ thập phân). Tất cả các điểm của nó nằm cách trục một khoảng R l. Cho khối lượng của hình trụ này t tôi, sau đó t tôi= rV tôi»Rs bên= 2prR dx tôi, ở đâu x tôiÔ. sau đó J tôi»R 2 prR dx tôi, ở đâu

.

Nếu r là một hằng số, thì J= 2prR 3 N, và vì khối lượng của hình trụ là M = 2prRН nên J= ÔNG 2.

b) Nếu khối trụ là chất rắn (được lấp đầy) thì ta chia khối đó thành P vlo hình trụ mỏng lồng một bên trong cái kia. Nếu một P lớn, mỗi hình trụ này có thể được coi là có thành mỏng. Phân vùng này tương ứng với phân vùng của phân đoạn thành P từng phần của điểm R tôi. Hãy tìm khối lượng tôi- hình trụ thành mỏng thứ: t tôi= rV tôi, ở đâu

V tôi= pR tôi 2 H - pR tôi- 1 2 H \ u003d pH (R tôi 2-R tôi -1 2) =

PH (R tôi-R tôi-1) (R tôi+ R tôi -1).

Vì các thành của hình trụ mỏng nên chúng ta có thể cho rằng R tôi+ R tôi-1 »2R tôi và R tôi-R tôi-1 = DR tôi, sau đó V tôi»PH2R tôi DR tôi, ở đâu t tôi»RpН × 2R tôi DR tôi,

Rồi cuối cùng

c) Xét một thanh có chiều dài l, có khối lượng riêng bằng r. Cho trục quay đi qua chính giữa của nó.

Chúng tôi mô hình thanh như một đoạn của trục OX, sau đó trục quay của thanh là trục OY. Xét một đoạn cơ bản, khối lượng của nó, khoảng cách đến trục có thể coi là xấp xỉ bằng r tôi= x tôi. Khi đó mômen quán tính của phần này là, khi đó mômen quán tính của toàn bộ thanh là . Coi khối lượng của thanh là

d) Bây giờ để trục quay đi qua đầu bên trái của thanh, tức là mô hình thanh là một đoạn của trục OX. Sau đó, tương tự, r tôi= x tôi, , ở đâu , và kể từ đó .

Nhiệm vụ 3. Tìm lực ép của chất lỏng có khối lượng riêng r lên một tam giác vuông có chân một và b, ngâm theo phương thẳng đứng trong chất lỏng sao cho chân một là trên bề mặt của chất lỏng.

Quyết định.

Hãy xây dựng một mô hình nhiệm vụ. Để đầu góc phải tam giác là gốc, chân một trùng với đoạn của trục OY (trục OY xác định bề mặt chất lỏng), trục OX hướng xuống dưới, chân b trùng với đoạn của trục này. Cạnh huyền của tam giác này có phương trình, hoặc.

Được biết, nếu trên bề ngang của khu S, được nhúng trong chất lỏng có tỷ trọng r, được ép bởi một cột chất lỏng có chiều cao h, thì lực ép là (định luật Pascal). Hãy sử dụng luật này.

Hãy trình bày một số ứng dụng của tích phân xác định.

Tính diện tích hình phẳng

Diện tích của hình thang cong được giới hạn bởi một đường cong (trong đó
), thẳng
,
và phân đoạn
rìu
, được tính bằng công thức

.

Diện tích của một hình được giới hạn bởi các đường cong
và
(ở đâu
) thẳng
và
tính theo công thức

.

Nếu đường cong được cho bởi phương trình tham số
, thì diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đường cong này, các đường thẳng
,
và phân đoạn
rìu
, được tính bằng công thức

,

ở đâu và được xác định từ các phương trình
,
, một
tại
.

Diện tích của một cung cong được giới hạn bởi một đường cong được xác định trong tọa độ cực phương trình
và hai bán kính cực
,
(
), được tìm thấy bởi công thức

.

Ví dụ 1.27. Tính diện tích của một hình giới hạn bởi một parabol
và trực tiếp
(Hình 1.1).

	Quyết định. Hãy tìm giao điểm của đường thẳng và parabol. Để làm điều này, chúng tôi giải phương trình , . Ở đâu , . Khi đó theo công thức (1.6) chúng ta có .

Tính độ dài vòng cung của đường cong phẳng

Nếu đường cong
trên phân khúc
- mịn (nghĩa là, đạo hàm
là liên tục), thì độ dài của cung tương ứng của đường cong này được tìm thấy bằng công thức

.

Khi chỉ định một đường cong tham số
(
- các hàm có thể phân biệt liên tục) độ dài của cung của đường cong tương ứng với sự thay đổi đơn điệu trong tham số từ trước , được tính bằng công thức

Ví dụ 1.28. Tính độ dài cung của một đường cong
,
,
.

Quyết định. Hãy tìm các đạo hàm liên quan đến tham số :
,
. Sau đó theo công thức (1.7) chúng ta thu được

.

2. Phép tính vi phân của hàm một số biến

Cho mỗi cặp số có thứ tự
từ một số khu vực
tương ứng với một số nhất định
. sau đó triệu tập hàm của hai biến và ,
-biến độc lập hoặc tranh luận ,
-miền định nghĩa các chức năng, nhưng bộ tất cả các giá trị hàm - phạm vi của nó và biểu thị
.

Về mặt hình học, miền của một hàm thường là một phần của mặt phẳng
được giới hạn bởi các dòng có thể hoặc không thuộc khu vực này.

Ví dụ 2.1. Tìm miền
chức năng
.

Quyết định. Hàm này được xác định tại các điểm đó của mặt phẳng , trong đó , hoặc . Các điểm của máy bay mà , tạo thành ranh giới của khu vực . Phương trình xác định một parabol (Hình 2.1; vì parabol không thuộc khu vực , nó được hiển thị dưới dạng một đường chấm chấm). Hơn nữa, có thể dễ dàng xác minh trực tiếp rằng các điểm mà , nằm phía trên hình parabol. Vùng đất là mở và có thể được chỉ định bằng cách sử dụng hệ thống bất phương trình:

Nếu biến tăng cường một chút
, một để nó không đổi, sau đó hàm
sẽ nhận được một khoản gia tăng
triệu tập chức năng gia tăng riêng theo biến :

Tương tự, nếu biến nhận được một gia số
, một không đổi, sau đó hàm
sẽ nhận được một khoản gia tăng
triệu tập chức năng gia tăng riêng theo biến :

Nếu giới hạn tồn tại:

,

,

họ đã gọi đạo hàm riêng của một hàm
bởi các biến và tương ứng.

Nhận xét 2.1. Các đạo hàm riêng của các hàm của bất kỳ số biến độc lập nào cũng được định nghĩa tương tự.

Nhận xét 2.2. Vì đạo hàm riêng đối với bất kỳ biến nào đều là đạo hàm đối với biến này, với điều kiện là các biến khác không đổi, nên tất cả các quy tắc phân biệt các hàm của một biến đều có thể áp dụng để tìm đạo hàm riêng của các hàm với một số biến bất kỳ.

Ví dụ 2.2.
.

Quyết định. Chúng ta tìm thấy:

,

.

Ví dụ 2.3. Tìm các dẫn xuất một phần của các hàm
.

Quyết định. Chúng ta tìm thấy:

,

,

.

Tăng đầy đủ chức năng
được gọi là sự khác biệt

Phần chính của tổng số tăng hàm
, phụ thuộc tuyến tính vào gia số của các biến độc lập
và
,được gọi là tổng vi phân của hàm và được biểu thị
. Nếu một hàm có các đạo hàm riêng liên tục thì vi phân tổng tồn tại và bằng

,

ở đâu
,
- số gia tùy ý của các biến độc lập, được gọi là vi phân của chúng.

Tương tự, đối với một hàm ba biến
tổng chênh lệch được đưa ra bởi

.

Để chức năng
có ở điểm
đạo hàm riêng bậc nhất đối với tất cả các biến. Khi đó vectơ được gọi là dốc chức năng
tại điểm
và được biểu thị
hoặc
.

Nhận xét 2.3. Biểu tượng
được gọi là toán tử Hamilton và được phát âm là "têla".

Ví dụ 2.4. Tìm gradient của một hàm tại một điểm
.

Quyết định. Hãy tìm đạo hàm riêng:

,
,

và tính toán các giá trị của chúng tại điểm
:

,
,
.

Vì thế,
.

phát sinh chức năng
tại điểm
theo hướng của vectơ
được gọi là giới hạn của tỷ lệ
tại
:

, ở đâu
.

Nếu chức năng
là phân biệt được, thì đạo hàm theo hướng này được tính theo công thức:

,

ở đâu ,- góc, vectơ nào hình thức có trục
và
tương ứng.

Trong trường hợp một hàm ba biến
đạo hàm có hướng được định nghĩa tương tự. Công thức tương ứng có dạng

,

ở đâu
- cosin hướng của vectơ .

Ví dụ 2.5. Tìm đạo hàm của một hàm số
tại điểm
theo hướng của vectơ
, ở đâu
.

Quyết định. Hãy tìm véc tơ
và các cosin hướng của nó:

,
,
,
.

Tính các giá trị của đạo hàm riêng tại điểm
:

,
,
;
,
,
.

Thay thế vào (2.1), chúng tôi nhận được

.

Các dẫn xuất một phần của bậc thứ hai gọi là đạo hàm riêng lấy từ đạo hàm riêng bậc nhất:

,

,

,

Dẫn một phần
,
triệu tập Trộn . Giá trị của các đạo hàm hỗn hợp bằng nhau tại những điểm mà các đạo hàm này liên tục.

Ví dụ 2.6. Tìm đạo hàm riêng cấp hai của một hàm
.

Quyết định. Tính các đạo hàm riêng bậc nhất của bậc nhất:

,
.

Phân biệt chúng một lần nữa, chúng tôi nhận được:

,
,

,
.

So sánh các biểu thức cuối cùng, chúng ta thấy rằng
.

Ví dụ 2.7. Chứng minh rằng hàm
thỏa mãn phương trình Laplace

.

Quyết định. Chúng ta tìm thấy:

,
.

,
.

.

Chấm
triệu tập điểm tối đa cục bộ (tối thiểu ) chức năng
, nếu cho tất cả các điểm
, khác với
và thuộc vùng lân cận đủ nhỏ của nó, sự bất bình đẳng

(
).

Giá trị lớn nhất hoặc tối thiểu của một hàm được gọi là cực đoan . Điểm mà tại đó cực trị của hàm được gọi là điểm cực trị của hàm .

Định lý 2.1 (Các điều kiện cần thiết cho một điểm cực trị ). Nếu điểm
là điểm cực trị của hàm
, thì ít nhất một trong các dẫn xuất này không tồn tại.

Các điểm mà các điều kiện này được đáp ứng được gọi là đứng im hoặc phê bình . Các điểm cực trị luôn luôn đứng yên, nhưng một điểm đứng yên có thể không phải là một điểm cực trị. Để một điểm đứng yên là một điểm có cực trị thì phải thoả mãn các điều kiện đủ về điểm cực trị.

Đầu tiên chúng ta hãy giới thiệu ký hiệu sau :

,
,
,
.

Định lý 2.2 (Điều kiện đủ cho một điểm cực trị ). Để chức năng
có thể phân biệt hai lần trong một vùng lân cận của một điểm
và chấm
đứng yên cho chức năng
. Sau đó:

1.Nếu một
, sau đó là điểm
là điểm cực trị của hàm, và
sẽ là điểm tối đa tại
(
)và điểm tối thiểu tại
(
).

2.Nếu một
, sau đó tại điểm

không có cực đoan.

3.Nếu một
, thì có thể có hoặc không có cực trị.

Ví dụ 2.8.Điều tra một chức năng cho một điểm cực trị
.

Quyết định. Kể từ trong trường hợp nàyđạo hàm riêng bậc nhất luôn tồn tại, khi đó để tìm các điểm dừng (tới hạn) ta giải hệ:

,
,

ở đâu
,
,
,
. Do đó, chúng tôi có hai điểm tĩnh:
,
.

,
,
.

Cho điểm
chúng tôi nhận được:, nghĩa là, không có điểm cực trị tại thời điểm này. Cho điểm
chúng tôi nhận được: và
, vì thế

tại thời điểm này chức năng nhất địnhđạt mức tối thiểu cục bộ:.

Bộ Giáo dục và Khoa học Liên bang Nga

cơ sở giáo dục tự trị của nhà nước liên bang

giáo dục chuyên nghiệp cao hơn

"Phương Bắc (Bắc Cực) đại học liên bangđược đặt theo tên của M.V. Lomonosov "

Khoa Toán

CÔNG VIỆC KHÓA HỌC

Theo kỷ luật Toán học

Pyatysheva Anastasia Andreevna

Người giám sát

Mỹ thuật. cô giáo

Borodkina T. A.

Arkhangelsk 2014

NHIỆM VỤ LÀM VIỆC CỦA KHÓA HỌC

Các ứng dụng của tích phân xác định

DỮ LIỆU BAN ĐẦU:

21. y = x 3, y =; 22.

GIỚI THIỆU

Trong khóa học này, tôi đã được giao các nhiệm vụ sau: tính diện tích của các hình giới hạn bởi đồ thị hàm số, giới hạn bởi các đường cho bởi phương trình, cũng giới hạn bởi các đường cho bởi phương trình trong tọa độ cực, tính độ dài của cung của các đường cong cho bởi phương trình trong hệ thống hình chữ nhật tọa độ được cho bởi phương trình tham số, được cho bởi phương trình trong tọa độ cực, cũng như tính toán thể tích của các vật thể bị giới hạn bởi các bề mặt, giới hạn bởi đồ thị của hàm số và được tạo thành bởi sự quay của các hình giới hạn bởi đồ thị của hàm số xung quanh trục cực. Tôi đã chọn một bài báo về chủ đề “Tích phân xác định. Về vấn đề này, tôi quyết định tìm hiểu xem bạn có thể sử dụng các phép tính tích phân dễ dàng và nhanh chóng như thế nào, và bạn có thể tính toán chính xác mức độ chính xác của các nhiệm vụ được giao cho tôi.

INTEGRAL là một trong những khái niệm quan trọng nhất của toán học nảy sinh liên quan đến nhu cầu, một mặt, tìm các hàm bằng các đạo hàm của chúng (ví dụ, để tìm một hàm biểu thị đường đi của một điểm chuyển động, theo tốc độ của điểm này), và mặt khác, để đo diện tích, thể tích, độ dài cung, công của các lực trong một khoảng thời gian nhất định, v.v.

Tiết lộ chủ đề hạn giấy Tôi đã làm theo kế hoạch sau: định nghĩa của một tích phân xác định và các tính chất của nó; độ dài cung cong; diện tích hình thang lượn; diện tích bề mặt của vòng quay.

Đối với bất kỳ hàm f (x) nào liên tục trên đoạn thì trên đoạn này tồn tại một đạo hàm, nghĩa là tồn tại không xác định, không thể thiếu.

Nếu hàm F (x) là một số phản đạo hàm của chức năng liên tục f (x), thì biểu thức này được gọi là công thức Newton-Leibniz:

Các tính chất chính của tích phân xác định:

Nếu giới hạn dưới và giới hạn trên của tích phân bằng nhau (a = b), thì tích phân bằng 0:

Nếu f (x) = 1, thì:

Khi sắp xếp lại các giới hạn của tích phân, tích phân xác định thay đổi dấu hiệu ngược lại:

Hệ số hằng có thể được lấy ra ngoài dấu của một tích phân xác định:

Nếu các hàm có thể tích phân trên, thì tổng của chúng là tích phân và tích phân của tổng bằng tổng tích phân:

Ngoài ra còn có các phương pháp tích hợp cơ bản, chẳng hạn như thay đổi biến,:

Khắc phục sự khác biệt:

Công thức tích phân theo từng phần có thể rút gọn phép tính tích phân thành phép tính tích phân, điều này có thể trở nên đơn giản hơn:

Ý nghĩa hình học của một tích phân xác định là đối với một hàm liên tục và không âm, theo nghĩa hình học, nó là diện tích của hình thang cong tương ứng.

Ngoài ra, bằng cách sử dụng một tích phân xác định, bạn có thể tìm thấy khu vực của \ u200b \ u200b khu vực được giới hạn bởi các đường cong, đường thẳng và, trong đó

Nếu một hình thang cong được giới hạn bởi một đường cong cho bởi các đường tham số x = a và x = b và trục Ox, thì diện tích của nó được tìm thấy theo công thức, trong đó chúng được xác định từ đẳng thức:

. (12)

Khu vực chính, khu vực của \ u200b \ u200b mà được tìm thấy bằng cách sử dụng một tích phân nhất định, là một cung đường cong. Đây là khu vực được giới hạn bởi hai tia và một đường cong, trong đó r và là tọa độ cực:

Nếu đường cong là đồ thị của hàm trong đó và đạo hàm của nó liên tục trên đoạn này, thì diện tích bề mặt của hình được tạo thành bởi chuyển động quay của đường cong quanh trục Ox có thể được tính theo công thức:

. (14)

Nếu một hàm số và đạo hàm của nó liên tục trên một đoạn thì đường cong có độ dài bằng:

Nếu phương trình đường cong được cho ở dạng tham số

trong đó x (t) và y (t) là các hàm liên tục có đạo hàm liên tục và khi đó độ dài của đường cong được tìm theo công thức:

Nếu đường cong được cho bởi một phương trình trong tọa độ cực, trong đó và liên tục trên đoạn, thì độ dài cung có thể được tính như sau:

Nếu một hình thang cong quay quanh trục Ox, giới hạn bởi một đoạn thẳng liên tục và các đường thẳng x \ u003d a và x \ u003d b thì thể tích của hình thang tạo thành do chuyển động quay của hình thang này quanh trục Ox sẽ bằng :

Nếu một hình thang cong được giới hạn bởi đồ thị của một hàm số liên tục và các đường thẳng x = 0, y = c, y = d (c< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, будет равен:

Nếu hình được giới hạn bởi các đường cong và (cao hơn các đường thẳng x = a, x = b, thì thể tích của vật thể quay quanh trục Ox sẽ bằng:

và xung quanh trục y (:

Nếu cung đường cong được quay quanh trục cực, thì diện tích của phần thân thu được có thể được tìm thấy theo công thức:

2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Nhiệm vụ 14: Tính diện tích các hình giới hạn bởi đồ thị hàm số:

1) Giải pháp:

Hình 1 - Đồ thị các hàm

X thay đổi từ 0 thành

x 1 = -1 và x 2 = 2 - giới hạn tích phân (có thể thấy điều này trong Hình 1).

3) Tính diện tích của hình theo công thức (10).

Trả lời: S =.

Nhiệm vụ 15: Tính diện tích của các hình giới hạn bởi các đường thẳng cho bởi phương trình:

1) Giải pháp:

Hình 2 - Đồ thị các hàm

Xét một hàm số trên khoảng.

Hình 3 - Bảng các biến cho hàm

Kể từ đó, 1 cung sẽ phù hợp với khoảng thời gian này. Cung này bao gồm một phần trung tâm (S 1) và các phần bên. Phần trung tâm gồm phần mong muốn và một hình chữ nhật (S pr):. Hãy tính diện tích của một phần trung tâm của cung tròn.

2) Tìm giới hạn của tích phân.

và y = 6, do đó

Đối với một khoảng, các giới hạn của tích hợp.

3) Tìm diện tích của hình theo công thức (12).

hình thang tích phân cong

Bài toán 16: Tính diện tích của các hình giới hạn bởi các đường thẳng cho bởi phương trình trong hệ tọa độ cực:

1) Giải pháp:

Hình 4 - Đồ thị của các hàm,

Hình 5 - Bảng các hàm biến đổi,

2) Tìm giới hạn của tích phân.

vì thế -

3) Tìm diện tích của hình theo công thức (13).

Trả lời: S =.

Nhiệm vụ 17: Tính độ dài các cung của các đường cong cho bởi phương trình trong một hệ trục tọa độ hình chữ nhật:

1) Giải pháp:

Hình 6 - Đồ thị của hàm

Hình 7 - Bảng biến hàm

2) Tìm giới hạn của tích phân.

thay đổi từ ln sang ln, điều này là hiển nhiên từ điều kiện.

3) Tìm độ dài cung bằng công thức (15).

Trả lời: l =

Nhiệm vụ 18: Tính độ dài các cung của đường cong cho bởi phương trình tham số: 1)

1) Giải pháp:

Hình 8- Đồ thị hàm

Hình 11 - Bảng biến hàm

2) Tìm giới hạn của tích phân.

ts thay đổi từ, điều này là rõ ràng từ điều kiện.

Hãy tìm độ dài cung bằng công thức (17).

Nhiệm vụ 20: Tính toán thể tích của các vật thể được giới hạn bởi các bề mặt:

1) Giải pháp:

Hình 12 - Đồ thị của các hàm:

2) Tìm giới hạn của tích phân.

Z thay đổi từ 0 thành 3.

3) Tìm thể tích của hình theo công thức (18)

Nhiệm vụ 21: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi đồ thị hàm số, trục quay Ox: 1)

1) Giải pháp:

Hình 13 - Đồ thị các hàm

Hình 15 - Bảng đồ thị hàm

2) Tìm giới hạn của tích phân.

Các điểm (0; 0) và (1; 1) là chung cho cả hai đồ thị, do đó đây là các giới hạn của tích phân, có thể thấy rõ trong hình.

3) Tìm thể tích của hình theo công thức (20).

Bài 22: Tính diện tích các vật thể tạo thành do phép quay của các hình giới hạn bởi đồ thị hàm số quanh trục cực:

1) Giải pháp:

Hình 16 - Đồ thị của hàm

Hình 17 - Bảng các biến cho đồ thị của hàm số

2) Tìm giới hạn của tích phân.

c thay đổi từ

3) Tìm diện tích của hình theo công thức (22).

Trả lời: 3,68

PHẦN KẾT LUẬN

Trong quá trình hoàn thành khóa học của mình, tôi đã học về chủ đề “Tích phân xác định”, tôi đã học cách tính diện tích cơ thể khác nhau, tìm độ dài của các cung đường cong khác nhau và tính thể tích. Đại diện này về cách làm việc với tích phân, sẽ giúp tôi trong tương lai Hoạt động chuyên môn làm thế nào để thực hiện một cách nhanh chóng và hiệu quả các hoạt động khác nhau. Xét cho cùng, bản thân tích phân là một trong những khái niệm quan trọng nhất của toán học, một mặt nảy sinh liên quan đến nhu cầu tìm các hàm bằng các đạo hàm của chúng (ví dụ, để tìm một hàm biểu thị đường đi của một điểm chuyển động, theo tốc độ của điểm này), và mặt khác, để đo diện tích, thể tích, độ dài cung, công của các lực trong một khoảng thời gian nhất định, v.v.

DANH SÁCH CÁC NGUỒN SỬ DỤNG

1. Được viết, D.T. Ghi chú bài giảng về toán học cao hơn: Part 1 - 9 ed. - M.: Iris-press, 2008. - 288 tr.

2. Bugrov, Ya.S., Nikolsky, S.M. Toán học cao hơn. Sự khác biệt và Tích phân tích: V.2 - M.: Drofa, 2004. - 512 tr.

3. V. A. Zorich, Giải tích toán học. Phần I. - Ed. Thứ 4 - M.: MTSNMO, 2002. - 664 tr.

4. Kuznetsov D.A. "Bộ sưu tập các nhiệm vụ cho toán học cao hơn»Matxcova, 1983

5. Nikolsky S. N. "Các phần tử phân tích toán học". - M.: Nauka, 1981.

Tài liệu tương tự

Tính diện tích của các hình phẳng. Tìm một tích phân xác định của một hàm số. Xác định diện tích dưới đường cong, diện tích hình nằm giữa hai đường cong. Tính toán khối lượng các cơ quan của cuộc cách mạng. Giới hạn của tổng tích phân của một hàm số. Xác định thể tích của khối trụ.

trình bày, thêm 18/09/2013


Các tính năng tính toán thể tích của các vật thể được giới hạn bởi các bề mặt bằng cách sử dụng ý nghĩa hình học tích phân kép. Xác định diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường bằng phương pháp tích phân trong quá trình giải tích toán học.

trình bày, thêm 17/09/2013


Đạo hàm của một tích phân xác định đối với một biến giới hạn trên. Tính tích phân xác định dưới dạng giới hạn của tổng tích phân bằng công thức Newton – Leibniz, đổi biến số và tích phân theo từng phần. Chiều dài hồ quang bằng hệ thống cực tọa độ.

kiểm soát công việc, bổ sung 22/08/2009


Mômen và khối tâm của đường cong phẳng. Định lý Gulden. Diện tích bề mặt tạo thành do chuyển động quay của một cung của một đường cong quanh một trục nằm trong mặt phẳng của cung và không cắt nhau bằng tích độ dài của cung và độ dài của hình tròn.

bài giảng, thêm 09/04/2003


Kỹ thuật và các công đoạn chính của việc tìm các thông số: diện tích hình thang cong và cung, độ dài cung cong, thể tích vật thể, diện tích bề mặt vật thể cách ly, công của một lực biến thiên. Trình tự và cơ chế tính tích phân bằng gói MathCAD.

kiểm soát công việc, bổ sung 21/11/2010


Cần thiết và đủ điều kiện sự tồn tại của một tích phân xác định. Bằng của một tích phân xác định của tổng đại số(sự khác biệt) của hai chức năng. Định lý giá trị trung bình - hệ quả và chứng minh. Ý nghĩa hình học của một tích phân xác định.

trình bày, thêm 18/09/2013


Nhiệm vụ hội nhập số chức năng. Tính giá trị gần đúng của một tích phân xác định. Tìm một tích phân xác định bằng các phương pháp hình chữ nhật, trung bình hình chữ nhật, hình thang. Sai số về công thức và so sánh các phương pháp về độ chính xác.

hướng dẫn đào tạo, bổ sung 07/01/2009


Các phương pháp tính tích phân. Công thức và xác minh của tích phân bất định. Diện tích hình thang cân. Không thời hạn, xác định và tích phân phức tạp. Các ứng dụng cơ bản của tích phân. Ý nghĩa hình học của tích phân xác định và tích phân không xác định.

trình bày, thêm 15/01/2014


Tính diện tích của một hình giới hạn bởi dòng đã cho, sử dụng một tích phân kép. Tính tích phân kép bằng cách đi đến tọa độ cực. Phương pháp xác định tích phân đường cong của loại thứ hai dọc theo một dòng cho trước và dòng chảy của trường vectơ.

kiểm soát công việc, thêm 14/12/2012


Khái niệm về tích phân xác định, cách tính diện tích, thể tích của vật thể và độ dài cung tròn, mômen tĩnh và trọng tâm của đường cong. Tính diện tích trong trường hợp vùng cong hình chữ nhật. Ứng dụng của đường cong, bề mặt và tích phân ba.

Bài giảng 8. Các ứng dụng của một tích phân xác định.

Ứng dụng của tích phân vào nhiệm vụ vật lý dựa trên thuộc tính cộng của tích phân trên một tập hợp. Do đó, với sự trợ giúp của tích phân, các đại lượng như vậy có thể được tính toán mà chính chúng là phép cộng trong tập hợp. Ví dụ, diện tích của một hình bằng tổng diện tích các phần của nó. Độ dài cung, diện tích bề mặt, thể tích của vật thể và khối lượng của vật thể có cùng tính chất. Do đó, tất cả các đại lượng này có thể được tính toán bằng cách sử dụng một tích phân xác định.

Có hai cách để giải quyết vấn đề: phương pháp tính tổng và phương pháp vi phân.

Phương pháp tính tổng tích phân lặp lại việc xây dựng một tích phân xác định: xây dựng một phân hoạch, đánh dấu các điểm, một hàm được tính trong chúng, tính tổng tích phân và thực hiện việc vượt qua giới hạn. Trong phương pháp này, khó khăn chính là chứng minh rằng trong giới hạn chính xác những gì cần thiết trong bài toán sẽ thu được.

Phương pháp vi phân sử dụng tích phân bất định và công thức Newton-Leibniz. Vi phân của giá trị cần xác định được tính toán, và sau đó, tích phân vi phân này, giá trị cần thiết nhận được bằng cách sử dụng công thức Newton-Leibniz. Trong phương pháp này, khó khăn chính là chứng minh rằng đó là sự khác biệt của giá trị mong muốn được tính toán, chứ không phải thứ gì khác.

Tính diện tích của các hình phẳng.

1. Hình này được giới hạn trong đồ thị của hàm được chỉ định trong Hệ thống Descartes tọa độ.

Chúng ta đến với khái niệm tích phân xác định từ bài toán diện tích hình thang cong (thực tế là sử dụng phương pháp tính tổng). Nếu hàm chỉ chấp nhận thì không giá trị âm thì diện tích dưới đồ thị của hàm số trên đoạn có thể được tính bằng tích phân xác định. thông báo rằng vì vậy ở đây bạn có thể thấy phương pháp vi phân.

Nhưng hàm cũng có thể nhận các giá trị âm trên một đoạn nhất định, khi đó tích phân trên đoạn này sẽ cho một vùng âm, điều này mâu thuẫn với định nghĩa về diện tích.

Bạn có thể tính diện tích bằng công thứcS=. Điều này tương đương với việc thay đổi dấu của hàm trong những khu vực mà nó nhận giá trị âm.

Nếu bạn cần tính diện tích của hình \ u200b \ u200ba được giới hạn từ bên trên bởi đồ thị của hàm số và từ bên dưới bởi đồ thị của hàm số, thì bạn có thể sử dụng công thứcS= , như .

Ví dụ. Tính diện tích của hình giới hạn bởi các đường thẳng x = 0, x = 2 và đồ thị của các hàm số y = x 2, y = x 3.

Chú ý rằng trên khoảng (0,1), bất phương trình x 2> x 3 thỏa mãn, và với x> 1 thì bất phương trình x 3> x 2 thỏa mãn. Cho nên

2. Hình vẽ giới hạn là đồ thị của hàm số đã cho trong hệ tọa độ cực.

Để đồ thị của hàm số đã cho trong hệ tọa độ cực, ta muốn tính diện tích hình cung giới hạn bởi hai tia và đồ thị của hàm số trong hệ tọa độ cực.

Ở đây bạn có thể sử dụng phương pháp tính tổng, tính diện tích của cung đường cong là giới hạn của tổng diện tích của các cung cơ bản trong đó đồ thị của hàm số được thay thế bằng một cung tròn .

Bạn cũng có thể sử dụng phương pháp vi phân: .

Bạn có thể lập luận như thế này. Thay cung tròn sơ cấp ứng với góc ở tâm bằng cung tròn, ta có tỉ lệ. Từ đây . Tích hợp và sử dụng công thức Newton-Leibniz, chúng tôi thu được .

Ví dụ. Tính diện tích của hình tròn (kiểm tra công thức). Chúng tôi tin tưởng. Diện tích của hình tròn là .

Ví dụ. Tính diện tích bị giới hạn bởi cardioid .

3 Hình này được giới hạn trong đồ thị của một hàm được chỉ định theo tham số.

Hàm có thể được chỉ định theo tham số trong biểu mẫu. Chúng tôi sử dụng công thức S= , thay vào đó các giới hạn của tích hợp đối với biến mới. . Thông thường, khi tính tích phân, các vùng đó được phân biệt ở đó tích phân có một dấu nhất định và vùng tương ứng có dấu này hay dấu khác được tính đến.

Ví dụ. Tính diện tích được bao bởi hình elip.

Sử dụng tính đối xứng của hình elip, chúng ta tính diện tích của một phần tư hình elip, nằm trong góc phần tư thứ nhất. trong góc phần tư này. Cho nên .

Tính toán thể tích của các cơ thể.

1. Tính toán thể tích của các cơ thể từ các khu vực của các mặt cắt song song.

Để nó được yêu cầu để tính thể tích của một số vật thể V từ quảng trường nổi tiếng phần của thân này bằng các mặt phẳng vuông góc với đường thẳng OX, vẽ qua một điểm x bất kỳ thuộc đoạn thẳng OX.

Chúng tôi áp dụng phương pháp vi phân. Xét thể tích sơ cấp, trên đoạn là thể tích của hình trụ tròn vuông có diện tích đáy và chiều cao, ta được . Tích hợp và áp dụng công thức Newton-Leibniz, chúng tôi nhận được

2. Tính toán khối lượng các cơ quan của cuộc cách mạng.

Hãy để nó được yêu cầu tính toán CON BÒ.

sau đó .

Tương tự như vậy, khối lượng của một vật thể cách mạng về một trụcOY, nếu hàm được cho ở dạng, có thể được tính bằng công thức.

Nếu hàm đã cho ở dạng và yêu cầu xác định thể tích của vật thể quay quanh trụcOY, thì công thức tính thể tích có thể thu được như sau.

Chuyển đến vi phân và bỏ qua các số hạng bậc hai, chúng ta có . Tích hợp và áp dụng công thức Newton-Leibniz, chúng ta có.

Ví dụ. Tính thể tích của khối cầu.

Ví dụ. Tính thể tích của khối nón tròn bên phải giới hạn bởi một mặt và một mặt phẳng.

Tính thể tích dưới dạng thể tích của vật thể được tạo thành khi quay quanh trục OZ tam giác vuông trong mặt phẳng OXZ, có chân nằm trên trục OZ và đường thẳng z \ u003d H và cạnh huyền nằm trên đường thẳng.

Biểu diễn x theo z, chúng ta nhận được .

Tính toán chiều dài hồ quang.

Để có được các công thức tính độ dài cung tròn, chúng ta hãy nhớ lại công thức tính vi phân độ dài cung tròn ở học kì 1.

Nếu cung tròn là đồ thị của một hàm phân biệt liên tục, chênh lệch độ dài cung có thể được tính bằng công thức

. Cho nên

Nếu một cung tròn trơn được chỉ định theo tham số, sau đó

. Cho nên .

Nếu cung ở tọa độ cực, sau đó

. Cho nên .

Ví dụ. Tính độ dài cung của đồ thị hàm số ,. .

Diện tích hình thang cong giới hạn từ phía trên bởi đồ thị của hàm số y = f (x), trái và phải - thẳng x = a và x = b tương ứng, từ bên dưới - trục Con bò, được tính bằng công thức

Diện tích hình thang cong giới hạn bên phải bởi đồ thị của hàm số x = φ (y), trên và dưới - thẳng y = d và y = c tương ứng, ở bên trái - trục Oy:

Vuông hình cong, được giới hạn từ phía trên bởi đồ thị của hàm y 2 \ u003d f 2 (x), bên dưới - đồ thị của hàm y 1 \ u003d f 1 (x), trái và phải - thẳng x = a và x = b:

Diện tích của một hình cong giới hạn ở bên trái và bên phải bởi đồ thị hàm số x 1 \ u003d φ 1 (y) và x 2 \ u003d φ 2 (y), trên và dưới - thẳng y = d và y = c tương ứng:

Xét trường hợp đường giới hạn của hình thang lượn từ trên xuống được cho bởi phương trình tham số x = φ 1 (t), y \ u003d φ 2 (t), ở đâu α ≤ t ≤ β, φ 1 (α) = a, φ 1 (β) = b. Các phương trình này xác định một số hàm y = f (x) trên đoạn [ a, b]. Diện tích hình thang lượn được tính bằng công thức

Hãy chuyển sang một biến mới x = φ 1 (t), sau đó dx = φ "1 (t) dt, một y = f (x) = f (φ 1 (t)) = φ 2 (t), do đó \ begin (displaymath)

Khu vực trong tọa độ cực

Xem xét một khu vực đường cong OAB, giới hạn bởi một dòng, được đưa ra bởi phương trình ρ=ρ(φ) trong tọa độ cực, hai chùm OA và OB, mà φ=α , φ=β .

Chúng tôi chia lĩnh vực này thành các lĩnh vực cơ bản OM k-1 M k ( k = 1,…, n, M 0 = A, Mn = B). Biểu thị bởi Δφk góc giữa các chùm OM k-1 và OM k tạo góc với trục cực φk-1 và φ k tương ứng. Mỗi ngành cơ bản OM k-1 M k thay thế bằng một cung tròn có bán kính ρ k \ u003d ρ (φ "k), ở đâu φ "k- giá trị góc φ từ khoảng [ φk-1, φk], và góc trung tâm Δφk. Diện tích của khu vực cuối cùng được biểu thị bằng công thức .

thể hiện khu vực của lĩnh vực "bước", gần như thay thế lĩnh vực nhất định OAB.

Khu vực ngành OABđược gọi là giới hạn của khu vực "bước" tại n → ∞ và λ = max Δφ k → 0:

Như , sau đó

Chiều dài cung đường cong

Hãy để trên đoạn [ a, b] một chức năng khác biệt được đưa ra y = f (x), có đồ thị là cung tròn. Đoạn thẳng [ a, b] chia thành N dấu chấm bộ phận x 1, x2, …, xn-1. Các điểm này sẽ tương ứng với các điểm M1, M2, …, Mn-1 vòng cung, nối chúng bằng một đường đứt đoạn, được gọi là đường đứt đoạn nội tiếp trong một cung tròn. Chu vi của đường đứt đoạn này được biểu thị bằng s n, I E

Sự định nghĩa. Độ dài dây cung là giới hạn của chu vi đường thẳng nội tiếp trong đó, khi số liên kết M k-1 M k tăng vô thời hạn và độ dài của độ dài lớn nhất trong số chúng có xu hướng bằng không:

trong đó λ là độ dài của liên kết lớn nhất.

Chúng tôi sẽ đếm độ dài của cung từ một số điểm của nó, ví dụ: Một. Hãy để ở điểm M (x, y) chiều dài cung là S, và ở điểm M "(x + Δx, y + Δy) chiều dài cung là s + Δs, trong đó, i> Δs - độ dài cung. Từ một hình tam giác MNM " tìm độ dài của hợp âm:.

Từ cân nhắc hình học theo sau đó

nghĩa là, cung nhỏ vô hạn của dòng và hợp âm phụ nó là tương đương.

Hãy biến đổi công thức biểu thị độ dài của hợp âm:

Đi đến giới hạn trong đẳng thức này, chúng ta nhận được công thức cho đạo hàm của hàm s = s (x):

từ đó chúng tôi tìm thấy

Công thức này biểu thị vi phân của cung của một đường cong phẳng và có một ý nghĩa hình học : diễn đạt định lý Pitago cho một tam giác thập phân vô cực MTN (ds = MT, ).

Vi phân của cung của đường cong không gian được cho bởi

Xét một cung của một đường không gian được cho bởi phương trình tham số

ở đâu α ≤ t ≤ β, φ tôi (t) (i = 1, 2, 3) là các chức năng khác biệt của đối số t, sau đó

Tích hợp đẳng thức này trong khoảng [ α, β ], chúng tôi nhận được một công thức để tính độ dài của cung đường thẳng này

Nếu đường thẳng nằm trong một mặt phẳng Oxy, sau đó z = 0 cho tất cả t∈ [α, β], Đó là lý do tại sao

Trong trường hợp khi đường phẳngđược đưa ra bởi phương trình y = f (x) (a≤x≤b), ở đâu f (x) là một hàm có thể phân biệt, công thức cuối cùng có dạng

Cho đường phẳng được cho bởi phương trình ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) trong hệ tọa độ cực. Trong trường hợp này, chúng tôi có phương trình tham số dòng x = ρ (φ) cos φ, y = ρ (φ) sin φ, trong đó góc cực được lấy làm tham số φ . Trong chừng mực

thì công thức biểu thị độ dài cung của đoạn thẳng ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) trong tọa độ cực có dạng

khối lượng cơ thể

Chúng ta hãy tìm thể tích của một vật thể nếu biết diện tích của bất kỳ mặt cắt ngang nào của vật thể này vuông góc với một phương nào đó.

Chúng ta hãy chia cơ thể này thành các lớp cơ bản bằng các mặt phẳng vuông góc với trục Con bò và được xác định bởi các phương trình x = const. Đối với bất kỳ cố định x∈ khu vực đã biết S = S (x) mặt cắt của cơ thể này.

Lớp sơ cấp bị cắt bởi mặt phẳng x = x k-1, x = x k (k = 1,…, n, x 0 = a, xn = b), chúng tôi thay thế nó bằng một hình trụ có chiều cao ∆x k = x k -x k-1 và khu vực cơ sở S (ξk), ξk ∈.

Thể tích của hình trụ sơ cấp xác định được biểu thị bằng công thức Δvk = E (ξk) Δxk. Hãy tổng hợp tất cả các sản phẩm như vậy

đó là tổng tích phân của hàm đã cho S = S (x) trên đoạn [ a, b]. Nó biểu thị thể tích của một phần thân bậc, bao gồm các hình trụ sơ cấp và xấp xỉ thay thế phần thân đã cho.

Thể tích của một phần thân nhất định là giới hạn thể tích của phần thân bước được chỉ định tại λ→0 , ở đâu λ - độ dài của đoạn lớn nhất trong số các đoạn cơ bản ∆x k. Biểu thị bởi V thể tích của phần thân đã cho, sau đó theo định nghĩa

Mặt khác,

Do đó, thể tích của cơ thể theo mặt cắt ngang tính theo công thức

Nếu cơ thể được hình thành bằng cách quay quanh một trục Con bò hình thang cong giới hạn từ phía trên bởi một cung của một đường liên tục y = f (x), ở đâu a≤x≤b, sau đó S (x) = πf 2 (x) và công thức cuối cùng trở thành:

Nhận xét. Thể tích của vật thể nhận được khi quay một hình thang cong giới hạn bên phải bởi một đồ thị hàm số x = φ (y) (c ≤ x ≤ d), quanh trục Oy tính theo công thức

Diện tích bề mặt của vòng quay

Xét bề mặt thu được bằng cách quay vòng cung của đường thẳng y = f (x) (a≤x≤b) quanh trục Con bò(giả sử rằng hàm y = f (x) có đạo hàm liên tục). Chúng tôi cố định giá trị x∈, đối số hàm sẽ được tăng dần dx, tương ứng với "vòng sơ cấp" thu được bằng cách quay vòng cung sơ cấp Δl. "Vòng" này được thay thế bằng một vòng hình trụ - bề mặt bên của phần thân được tạo thành do chuyển động quay của một hình chữ nhật có đáy bằng vi phân của cung dl và chiều cao h = f (x). Cắt chiếc nhẫn cuối cùng và mở nó ra, chúng ta nhận được một dải có chiều rộng dl và chiều dài 2πy, ở đâu y = f (x).

Do đó, sự khác biệt về diện tích bề mặt được biểu thị bằng công thức

Công thức này biểu thị diện tích bề mặt thu được bằng cách quay vòng cung của một đoạn thẳng y = f (x) (a≤x≤b) quanh trục Con bò.