Một phương trình có dạng f. Phương trình vi phân không được giải liên quan đến đạo hàm

Bộ Giáo dục và Chính sách Thanh niên Cộng hòa Chuvash

BOU DPO (PC) C "Viện Giáo dục Cộng hòa Chuvash"

Bộ giáo dục Chuvashia

Khoa Toán học và công nghệ thông tin

Khóa học làm việc về chủ đề:

«Phương trình chức năng. Các phương pháp cho giải pháp của họ »

Đã hoàn thành (a): giáo viên toán MBOU "Trường THCS Số 60"

Cheboksary

Flegentova A.A.

Cheboksary, 2014

Giới thiệu …………………………………………………………. …………… .. …… 3

Chương 1. Khái niệm về phương trình hàm ………………………………… ... 5

chương 2 Phần thực hành. Các phương pháp giải một phương trình hàm số.9

Kết luận ………………………………………………………………………… .24

Tài liệu tham khảo ……………………………………………………………… 25

Ứng dụng …………………………………………………………………… ... 26

Giới thiệu

Một trong những kỹ năng toán học quan trọng nhất mà học sinh phải nắm vững là khả năng giải phương trình. Gốc của phương trình được tìm thấy trong một hoặc nhiều hành động, nhiều các vấn đề từ ngữđược giải theo cách đại số, số nguyên, số hữu tỉ và các số khác có thể tham gia vào phương trình, tức là bản thân phương trình là nhiệm vụ và phương pháp giải, là khả năng giải, cần thiết cho tất cả học sinh của trường. Nhưng trong quá trình quyết định nhiệm vụ đào tạo Tôi đã gặp một phương trình mà tôi không thể giải được. Sau này tôi học được từ giáo viên, đó là một phương trình hàm.

Phương trình chức năng là gì? Và những cách giải quyết chúng là gì? Những câu hỏi này khiến tôi tò mò và tôi quyết định thực hiện một số nghiên cứu.phương trình Cauchy chức năng

Phương trình hàm số đã được nghiên cứu từ rất lâu, môn học này vẫn chưa tìm được vị trí xứng đáng trong các chương trình toán học. Thật đáng tiếc. Xét cho cùng, việc giải các phương trình hàm riêng lẻ đòi hỏi sự hiểu biết khá sâu sắc về chủ đề này và yêu thích sự độc lập Công việc có tính sáng tạo. Vì chủ đề này không được nghiên cứu trong khóa học ở trường do tính phức tạp của nó, khi nhập học vào các trường đại học danh tiếng, tại olympiads, trong phần C của Kỳ thi Trạng thái Thống nhất, những nhiệm vụ như vậy được tìm thấy.

Hiện nay, thực tế không có sách hướng dẫn nào dạy giải phương trình hàm số.

Do đó, cần có một lợi ích, đơn giản và ví dụ cụ thể có thể cho người đọc thấy một nền tảng toán học khiêm tốn về toàn bộ kho vũ khí phương pháp hiện đại nghiệm của phương trình hàm.

Mục đích của công việc là tìm ra phương trình hàm của các hệ của chúng là gì, tìm cách giải nó và biên soạn bộ sưu tập các bài toán cho các lớp toán học sử dụng.

Mục tiêu nghiên cứu:

1. nghiên cứu và phân tích văn học;

2. tìm kiếm cách giải các phương trình chức năng và hệ thống của chúng;

3. nghiệm của phương trình chức năng

4. biên soạn một bộ sưu tập

Đối tượng nghiên cứu: phương trình hàm

Đối tượng nghiên cứu: nghiên cứu các tính chất và phương pháp giải phương trình hàm số.

Cấu trúc: giới thiệu, khái niệm phương trình hàm số, tuyển tập bài toán, kết luận.

Chương 1. Khái niệm về một phương trình hàm

Phương trình hàm là một phương trình chứa một hoặc nhiều hàm chưa biết (với các miền xác định và giá trị cho trước). Để giải một phương trình hàm có nghĩa là tìm tất cả các hàm thỏa mãn nó giống hệt nhau. Phương trình hàm số phát sinh nhiều nhất các lĩnh vực khác nhau toán học, thường là trong các trường hợp cần phải mô tả tất cả các hàm có các thuộc tính đã cho. Thuật ngữ phương trình hàm thường được sử dụng cho các phương trình bất khả quy những cách đơn giảnđến phương trình đại số. Tính bất khả quy này thường là do các đối số của hàm chưa biết trong phương trình không phải là các biến độc lập mà là một số dữ liệu của hàm từ chúng. Thường được tìm thấy trong các cuộc thi toán học khác nhau.

Một số phương trình chức năng quen thuộc với chúng ta từ khóa học ở trườngđây là

f (x) = f (-x), f (-x) = - f (x), f (x + T) = f (x),

xác định các thuộc tính như vậy của các hàm như chẵn lẻ, lẻ, tuần hoàn.

Vấn đề giải phương trình hàm là một trong những vấn đề lâu đời nhất trong phân tích toán học. Chúng xuất hiện gần như đồng thời với sự khởi đầu của lý thuyết về chức năng. Sự nở hoa thực sự đầu tiên của môn học này gắn liền với vấn đề hình bình hành của các lực. Trở lại năm 1769, d'Alembert đã rút gọn cách biện minh của định luật cộng lực vào nghiệm của phương trình hàm

Phương trình tương tự và cho cùng mục đích đã được Poisson xem xét vào năm 1804 theo một số giả định về phép phân tích, trong khi vào năm 1821 Cauchy (1789-1857) được tìm thấy giải pháp chung

của phương trình này, chỉ giả sử tính liên tục của f (x).

Thậm chí công thức nổi tiếng hình học phi Euclide cho góc song song

được N. I. Lobachevsky (1792 - 1856) thu được từ phương trình hàm

, (2)

mà ông đã giải quyết bằng một phương pháp tương tự như phương pháp Cauchy. Phương trình này có thể được rút gọn thành phương trình

Hàng ngang vấn đề hình học, dẫn đến các phương trình chức năng, được coi là Nhà toán học người Anh C. Babbage (1792-1871). Ông đã nghiên cứu, ví dụ, các đường cong tuần hoàn bậc hai được xác định bởi tài sản tiếp theođối với bất kỳ cặp điểm đường cong nào: nếu hoành độ của điểm thứ hai bằng hoành độ của điểm thứ nhất, thì hoành độ của điểm thứ hai bằng hoành độ của điểm thứ nhất. Gọi một đường cong như vậy là đồ thị của hàm sốy = f (x) ; (x, f (x)) - điểm tùy ý của nó. Sau đó, theo điều kiện, điểm với abscissaf (x) có một tọa độ x. Do đó,

Đặc biệt, phương trình hàm (3) được thỏa mãn bởi các hàm:

Một trong những phương trình hàm đơn giản nhất là phương trình Cauchy

f (x + y) = f (x) + f (y), (4)

f (x + y) = f (x) f (y), (5)

f (xy) = f (x) + f (y), (6)

f (xy) = f (x) f (y), (7)

Cauchy đã nghiên cứu chi tiết các phương trình này trong (Khóa học Phân tích), xuất bản năm 1821. Các nghiệm liên tục của bốn phương trình cơ bản này lần lượt có dạng

, , ,

Trong lớp các chức năng không liên tục có thể có các giải pháp khác. Phương trình (4) trước đây đã được Legendre và Gauss xem xét khi suy ra định lý cơ bản của hình học xạ ảnh và khi nghiên cứu luật phân phối xác suất Gauss.

Phương trình hàm (4) lại được G. Darboux áp dụng vào bài toán hình bình hành của các lực và định lý cơ bản của hình học xạ ảnh; thành tựu chính của ông là sự suy yếu đáng kể của các giả định. Chúng ta biết rằng phương trình Cauchy hàm (4) đặc trưng cho lớp các hàm liên tục một hàm thuần nhất tuyến tínhf (x) = ax . Darboux đã chỉ ra rằng bất kỳ giải pháp nào liên tục ít nhất tại một điểm hoặc giới hạn từ phía trên (hoặc phía dưới) trong một khoảng thời gian nhỏ tùy ý cũng phải có dạngf (x) = ax. Kết quả khác Các giả định yếu hơn được nối tiếp nhanh chóng sau cái kia (tính tích hợp, khả năng đo lường trên một tập hợp các thước đo tích cực và thậm chí là sự đa số hóa bởi một chức năng có thể đo lường). Câu hỏi đặt ra: có ít nhất một hàm cộng (nghĩa là, thỏa mãn (4)) khác với một hàm thuần nhất tuyến tính. Tìm một chức năng như vậy thực sự không dễ dàng! Trong quá trình làm việc, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng đối với x hữu tỷ, các giá trị của bất kỳ hàm cộng nào phải trùng với các giá trị của một số hàm thuần nhất tuyến tính, tức làf (x) = ax cho x Q. Có vẻ như sau đóf (x) = ax với mọi x thực. Nếu mộtf (x) - là liên tục, thì điều này thực sự là như vậy, nhưng nếu giả thiết này bị loại bỏ, thì không phải vậy. Ví dụ đầu tiên về mộtf (x) = ax nghiệm không liên tục của phương trình hàm (4) được xây dựng vào năm 1905 bởi nhà toán học người Đức G. Hamel bằng cách sử dụng cơ sở các số thực do ông giới thiệu.

Nhiều phương trình hàm không xác định một hàm cụ thể, nhưng xác định một lớp hàm rộng, nghĩa là chúng biểu thị một tính chất đặc trưng cho một hoặc một lớp hàm khác. Ví dụ, phương trình hàmf (x + 1) = f (x) đặc trưng cho lớp của các hàm với chu kỳ 1 và phương trìnhf (1 + x) = f (1-x) - lớp hàm đối xứng với đường thẳngx = 1, vân vân.

Chương 2. Phần thực hành. Các phương pháp giải một phương trình hàm

Các phương trình hàm đơn giản nhất

1. Cho hàm số y \ u003d f (x) tăng trên R. Giải:

a) phương trình f (3x + 2) = f (4x 2 + x);

b) bất đẳng thức f (3x - 48) ≤ f (-x 2 + x).

Dung dịch:

a) f (3x + 2) = f (4x 2 + x)

Có một định lý như vậy: nếu một hàm tăng trên khoảng X, thì nó nhận từng giá trị của nó, nhưng tại một điểm duy nhất. Đó là lý do tại sao,

3x + 2 = 4x 2 + x;

4x 2 -2x-2 = 0;

2x 2 –x-1 = 0;

x 1 \ u003d 1 và x 2 \ u003d -0,5

Đáp số: x 1 \ u003d 1 và x 2 \ u003d -0,5.

b) f (3x - 48) ≤ f (-x 2 + x);

3x-48 ≤ -x 2 + x;

x 2 + 2x - 48 ≤ 0;

x 1 \ u003d 6 và x 2 \ u003d -8:

Đáp số: [-8; 6].

2. Cho hàm số y \ u003d f (x) giảm trên R. Giải bất phương trình f (2x-3)> f (x + 2)

Dung dịch:

Chúng ta giải tương tự như trong nhiệm vụ trước, chỉ là chúng ta thay đổi dấu của bất phương trình, vì hàm giảm trên R.

2x-3

Trả lời: (-∞; 5).

Giải phương trình hàm bằng phương pháp thay thế

Thay thế một số biến của phương trình hàm bằng các giá trị cụ thể hoặc bằng một số biểu thức khác, chúng tôi cố gắng đơn giản hóa phương trình này hoặc đưa nó về dạng sao cho giải pháp tiếp theo trở nên hiển nhiên. Tính đặc biệt của phương pháp được sử dụng chính là trong một số trường hợp, nó cho phép người ta tìm ra lời giải trong lớp của tất cả các hàm có thể.

1. Tìm tất cả các hàm được xác định trên tập hợp , thỏa mãn mối quan hệ

Dung dịch

Cho x một giá trị. Lấy

Từ đây

Hãy lấy hệ thống

Từ phương trình (1) ta biểu diễn và thay thế vào phương trình (2).

; ;

Từ đây

; ; .

Hãy kiểm tra xem hàm f (x) có thực sự thỏa mãn phương trình hay không

x = x đúng.

Câu trả lời: .

Dung dịch:

1) Để

2) Thay thế vào phương trình ban đầu, chúng ta nhận được

3) Thay z bằng chúng ta thu được hoặc sau các phép biến đổi ở vế phải của phương trình:

4) Vì vậy, chúng tôi có hai phương trình:

5) Nhân cả hai phần của phương trình thứ nhất với (-2) và cộng vào phương trình thứ hai, ta được:

3. Để cho - một số số thực. Tìm một tính năngf (x) , được xác định với mọi x ≠ 1 và thỏa mãn phương trình

g ở đâu chức năng nhất định, được xác định tạix ≠ 1 .

Giải pháp: Khi thay thế

chúng tôi nhận được hệ thống

quyết định của cái đómột 2 ≠ 1 là một chức năng

Câu trả lời:

4. Tìm một giải pháp cho một hệ phương trình hàm liên quan đến các hàm chưa biếtf (x) vàg (x) :

Giải pháp: Trong phương trình đầu tiên, chúng ta sẽ thực hiện một phép thay thế2x = 1 / z .

Trong đó

và phương trình đầu tiên trở thành:

Hoặc

Kết quả là ta thu được một hệ phương trình:

có nghiệm g (x) = 1 / x, f (x) = x + 1.

Đáp số: g (x) = 1 / x, f (x) = x + 1.

5. Tìm tất cả các hàm f: R  R, với mọi x, y € R thỏa mãn phương trình

f (x + y) = x + yf (x) + (1-x) y. (một)

Giải: Gọi f là hàm thỏa mãn (1). Vì (1) đúng với tất cả các giá trị của các biến x và y, nên nó cũng sẽ đúng với các giá trị cụ thể của các biến này. Ví dụ, thay y bằng 0 vào phương trình ban đầu, ta được f (x) = x. Đẳng thức này phải giữ cho bất kỳ x thực nào. Như vậy, (1) => f (х) ≡х là nghiệm của phương trình hàm số (1). Kiểm tra trực tiếp cho thấy rằng hàm tìm được thực sự thỏa mãn phương trình với mọi x, y ∈ R.

6. Tìm tất cả các hàm f: R  R, với mọi x, y € R thỏa mãn phương trình

f (x + y) = x + yf (x) + (1-sin x) y (1)

Lời giải: cũng như trong bài toán trước, ta thiết lập để hàm f thỏa mãn (2) thì đồng dạng f (x) ≡x phải thỏa mãn. Tuy nhiên, bằng cách thay hàm f (x) = x vào (1), chúng ta sẽ không thu được đồng nhất. Vì không có hàm nào khác cũng có thể là giải pháp cho (1), nên phương trình đã cho không có giải pháp.

7. Tìm tất cả các hàm f: R  R, với mọi x, y € R thỏa mãn phương trình

f (x + y 2 + 2y + 1) \ u003d y 4 + 4y 3 + 2xy 2 + 5y 2 + 4xy + 2y + x 2 + x + 1 (1)

Giải pháp: vì chúng ta muốn nhận giá trị của f (x), hãy cố gắng loại bỏ thuật ngữ y 2 + 2y + 1 dưới dấu hàm. phương trình y 2 + 2y + 1 = 0 có một nghiệm y = -1. Thay y \ u003d -1 vào (1) ta được f (x) \ u003d x 2 -x + 1.

Đáp án: f (x) \ u003d x 2 -x + 1

8. Tìm tất cả các hàm f: R  R, với mọi x, y € R thỏa mãn phương trình

f ((x 2 + 6x + 6) y) \ u003d y 2 x 4 + 12y 2 x 3 + 48y 2 x 2 -4yx 2 + 72y 2 x-24yx + 36y 2 -24 (1)

Giải: Như bài toán trước, chúng ta muốn lấy một biến tự do (x hoặc y) dưới dấu hàm. TẠI trường hợp này rõ ràng là dễ dàng hơn để nhận được từ. Giải phương trình x 2 + 6x + 6) y \ u003d 0 đối với x chúng ta nhận được x 1 = -1 x 2 = -5. Thay bất kỳ giá trị nào trong số này vào (1) cho ta f (y) = y 2 -4 năm.

Giải phương trình hàm theo phương pháp Cauchy

1. Tìm một tính năng , được xác định trên tập hợp các số tự nhiên, thỏa mãn điều kiện

Trong đó d là một số thực.

Dung dịch:

Chúng ta sẽ giải phương trình này theo sơ đồ mà trong toán học gọi là phương pháp Cauchy.

1. Tìm biểu thức cho Lấy

, .

2. "Thử nghiệm" này gợi ý rằng, ở đâu .

3. Kiểm tra xem sự bình đẳng có thực sự đúng không

ở đâu . Hãy để chúng tôi áp dụng phương pháp quy nạp toán học.

1. Kiểm tra xem đẳng thức có đúng với x = 1 hay không:- bên phải.

2. Giả sử rằng đẳng thức đúng đối với, ở đâu, tức là

Đúng.

3. Chúng tôi chứng minh rằng điều này ngụ ý đẳng thức cho x = n. Tại vì , thì với x = n, chúng ta nhận được hoặc

; .

Do đó, đẳng thức đúng với n tự nhiên bất kỳ. Do đó, nghiệm của phương trình hàm đã cho sẽ là hàm , trong đó f (1) là một số tùy ý.

2. Tìm tất cả các hàm liên tục thỏa mãn điều kiện

Dung dịch:

Chúng ta sẽ tìm nghiệm của phương trình hàm dần dần, tức là trước tiên hãy tìm giải pháp của nó, nếu số tự nhiên, sau đó - số nguyên, sau đó là hợp lý và cuối cùng, - thực.

1. Cho y = x. Sau đó .

2. Đối với, chúng tôi nhận được

, , …

3. Hãy chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học rằng đối với các giá trị tự nhiên (tự chứng minh). (một)

4. Với x = 1 ta được. - số không đổi. Hãy biểu thị nó bằng. Do đó, vì, chúng tôi có.

5. Đặt trong bình đẳng

(1), ở đâu, chúng tôi nhận được

. Từ đây

hoặc

Denoting

thông qua, chúng tôi nhận được

Do đó, đối với x dương và hợp lý, chúng ta nhận được

Giả định chức năng liên tục, chúng tôi nhận được

Tại

, .

6. Hãy bình đẳng. Lấy

Từ đây.

Hãy bình đẳng này

Lấy

hoặc

Tại vì

Cái đó

những thứ kia. .

Vì vậy, với bất kỳ nghiệm thực nào của phương trình, sẽ có một hàm

Câu trả lời:

Phương trình được gọi là phương trình Cauchy.

3. Tìm các tính năng liên tục , thỏa mãn điều kiện

. (1)

Dung dịch:

Hãy thử rút gọn phương trình này thành phương trình Cauchy chức năng

với giải pháp liên tục

Đặt y = 0 thì

Tại vì là một số không đổi, được biểu thị bằng và lấy

Bây giờ hãy cho giá trị x .

Lấy

Từ phương trình (1)

chúng tôi nhận được

hoặc

(2).

Nghiệm của phương trình (1) là hàm

Do đó, nghiệm của phương trình (2) sẽ là hàm

Câu trả lời:

4. Tìm tất cả các nghiệm liên tục của phương trình Cauchy:

một)f ( X y) = f( x) + f( y) ( x, y€ R\ { 0 } );

b ) f( x+ y) = f( xy) ( x, y€ R);

Trong ) f( x+ y) = f( x) f( y) ( x, y€. R) .

Dung dịch:

Đầu tiên, hãy để x> 0. Hãy

g (x) \ u003d f (e x).

sau đó

g (x + y) \ u003d f (e x + y) \ u003d f (e x e y) \ u003d f (e x) + f (e y) \ u003d g (x) + g (y) tức là g (x)

thỏa mãn phương trình Cauchy cộng. Tại vì e x và f (x ) liên tục, sau đó g (x ) liên tục và có dạng cx, trong đó c là hằng số. Khi đó f (x) có dạng c ln x.

Đặc biệt,

f (1) = 0.

Đặt

x = y = -1,

chúng tôi nhận được

f (1) = 2f (-1),

ở đâu

f (-1) = 0.

Đối với một tùy ý x< 0 получаем

f (x) \ u003d f (- x) + f (- 1) \ u003d f (- x).

Từ đây

f (x) = c ln | x |

cho tùy ý

x ≠ 0.

b) Đưa

y = 0

chúng tôi nhận được

f (x) = f (0), tức là f (x) ≡ const.

Rõ ràng là bất kỳ hằng số nào cũng được.

c) Nếu

f (x) = 0

cho một số x,

sau đó

f (z) \ u003d f (x) f (z - x) \ u003d 0

cho bất kỳ z . Nếu không, hàm, liên tục, có cùng một dấu ở mọi nơi. Tại vì

f (2x) = (f (x)) 2,

thì dấu hiệu này là tích cực và chúng ta có thể coi là một

hàm số

g (x): = ln f (x). Ta có g (x + y) = ln (f (x) f (y)) = ln f (x) + ln f (y) = g (x) + g (y),

những thứ kia. phương trình Cauchy cộng được thỏa mãn. Từ đây g (x) = cx đối với một số c, và

f (x) \ u003d e cx.

Vì vậy

f (x) ≡ 0, hoặc f (x) ≡e cx.

Sử dụng các giá trị hàm tại một số điểm

Đôi khi không thể tìm được phép thay thế có thể đơn giản hóa rất nhiều dạng của phương trình. Tuy nhiên, nếu một trong các biến tự do được cố định, một số số hạng của phương trình cũng có thể được sửa. Đối với họ, ký hiệu thuận tiện có thể được giới thiệu và sử dụng trong việc giải như các hằng số thông thường. Nếu các hằng số này được bao gồm trong phản hồi, việc kiểm tra sẽ cho biết giá trị nào của chúng là hợp lệ.

giải phương trình

f (x + f (y)) = xy

Giải pháp: thay thế

y = 0

cho

f (x + f (0)) = 0.

Thoạt nhìn, có rất ít công dụng, vì chúng ta không biết f (0) bằng bao nhiêu. Ký hiệu f (0) = c, khi đó ta nhận được f (x + c) = 0. Thực hiện phép đổi biến t = x + c (thay x = t-c), ta được f (e) = 0, nhưng một hàm số như vậy rõ ràng không thỏa mãn phương trình ban đầu nên không có nghiệm.

giải phương trình

f (x + f (y)) = x + y

Giải: Một lần nữa, chúng ta thực hiện phép thay thế y \ u003d 0 và ký hiệu là c \ u003d f (0), chúng ta nhận được f (x + c) \ u003d x. Thay t = x + c ta được f (t) = t-c. Mặc dù chúng ta biết giá trị chính xác của c, nhưng chúng ta đã biết rằng chỉ một hàm có dạng f (x) = x-c, trong đó c = const, có thể thỏa mãn phương trình với mọi x, y. để tìm c, chúng ta thay thế hàm tìm được vào phương trình ban đầu (đồng thời chúng ta sẽ kiểm tra theo cách này):

f (x + f (y)) = f (x + (y-c)) = (x + (y-c)) - c = x + y-2c.

Từ đó chúng ta thấy rằng sự bình đẳng

f (x + f (y)) = x + y

với mọi x, y với c bằng 0 và chỉ với nó. Vì vậy, câu trả lời là f (x) = x.

Đáp số: f (x) = x.

Phương trình là tương đối

Tìm tất cả f: R  R sao cho (f (x)) 2 = 1

Giải: Coi đây là một phương trình cho ẩn số f (x), ta nhận được

f( x) = 1 ;

f( x) = -1

Có vẻ như câu trả lời sẽ là hai chức năng,

f (x) = 1, f (x) = - 1.

Tuy nhiên, không phải vậy. Ví dụ, hãy xem xét chức năng

1 x<0

1, x ≥ 0

Dễ thấy rằng hàm này thỏa mãn đẳng thức. Ý nghĩa của uẩn là gì? Vì đẳng thức ban đầu phải giữ cho mọi x € R, nghĩa là với mỗi x, một trong các đẳng thức xảy ra. Tuy nhiên, sẽ là sai lầm nếu cho rằng một trong các giá trị bằng nhau đồng thời áp dụng cho mọi x. Như chúng ta đã thấy trong ví dụ, đối với một số x, một trong các giá trị bằng nhau có thể được thỏa mãn, và đối với các giá trị khác - giá trị khác. Hãy thử mô tả đặc điểm của tập các hàm được cho bởi phương trình. Gọi A là tập hợp các x mà hằng đẳng thức đầu tiên giữ nguyên. Sau đó, thứ hai phải giữ cho tất cả các x khác. Chúng ta thấy rằng tập A xác định duy nhất hàm f:

Câu trả lời:

E( f) = {+-1} , trong đó E (f)

biểu thị tập giá trị f.

Giải pháp đồ thị của một phương trình hàm. Đối với a và b đối với hàm

f (x) = a | x-b | + 3a | x-b |

điều kiện được thỏa mãn cho tất cả thực

x: f (x) = f (f (x))?

Dung dịch:

Khi a = 0, hàm f (x) = 0 và phương trình hiển nhiên thỏa mãn.

cho a> 0, sau đó cho x> 0 lớn thì hàm

f (x) = a (x-b) + 3a (x-b) = 4ax-a (b + 3b)> 0

Theo Hình 1, chúng ta xác định rằng chỉ có đẳng thức f (x) = x là có thể thực hiện được nếu các giá trị của x đủ lớn và x> 0. Cụ thể, x> max (b; b).

Do đó, các giá trị có thể có cho các tham số a và b được xác định từ hệ thống:

Có hai giải pháp:

Với a = 1/4, b = -1 / 3 ta được hàm

Đồ thị của nó (Hình 2) là giải pháp đồ họa phương trình

f (x) = f (f (x))

Bây giờ, giả sử rằng một<0, тогда при больших по абсолютной величине и х<0. Конкретно, х

Do đó, các giá trị có thể cho các tham số a và b được xác định từ hệ thống

trong đó có hai giải pháp

Nếu một

a = -1 / 4, b = 0,

sau đó là chức năng

f (x) = - | x |

thỏa mãn phương trình

f (x) = f (f (x))

Nếu a = -1 / 4, b = -1 / 3 thì ta được hàm

Nhưng đồ thị của nó (Hình 3) không phải là một nghiệm đồ họa cho phương trình f (x) = f (f (x)).

Câu trả lời: , , ,

Sự kết luận

Trong bài báo này, các phương trình hàm và một số phương pháp cho giải pháp của chúng đã được xem xét. Trong quá trình làm việc, chúng tôi đảm bảo rằng phương trình hàm là một loại phương trình tổng quát trong đó một số hàm là hàm mong muốn. Phương trình hàm thực chất bao gồm phương trình vi phân, phương trình tích, phương trình trong sai phân hữu hạn. Phương trình hàm theo nghĩa hẹp của từ này được hiểu là các phương trình trong đó các hàm mong muốn có liên quan đến các hàm đã biết của một hoặc nhiều biến bằng cách sử dụng phép toán tạo thành một hàm phức. Một phương trình hàm cũng có thể được coi là một biểu thức của một thuộc tính đặc trưng cho một hoặc một lớp hàm khác.

Thư mục

Được lưu trữ trên Allbest.ru

ỨNG DỤNG

Hình 1

Hình 2

Hình 3

Được lưu trữ trên Allbest.ru

Phương pháp giải phương trình: Thay phương trình h (f (x)) = h (g (x)) bằng phương trình f (x) = g (x) Thay vào phương trình h (f (x)) = h (g ( x)) với phương trình f (x) = g (x) Thừa số. Giới thiệu một biến mới. Phương pháp hàm - đồ họa. Phương pháp hàm - đồ họa. Lựa chọn gốc. Ứng dụng của công thức Vieta.

Thừa số hóa. Phương trình f (x) g (x) h (x) = 0 có thể được thay bằng tập phương trình f (x) = 0; g (x) = 0; h (x) = 0. Sau khi giải xong các phương trình của tập này, bạn cần lấy các nghiệm thuộc miền xác định của phương trình ban đầu và loại bỏ phần còn lại là không liên quan.

Giải phương trình x³ - 7x + 6 = 0 Biểu diễn số hạng 7x dưới dạng x + 6x, ta được tuần tự: x³ - x -6x + 6 = 0 x (x² - 1) - 6 (x - 1) = 0 x (x - 1) (x + 1) - 6 (x - 1) = 0 (x - 1) (x² + x - 6) = 0 Bây giờ bài toán được rút gọn thành giải một tập phương trình x -1 = 0; x² + x - 6 = 0. Đáp số: 1, 2, - 3.

Giới thiệu một biến mới. Nếu phương trình y (x) = 0 có thể chuyển về dạng p (g (x)) = 0, thì bạn cần đưa vào một biến mới u = g (x), giải phương trình p (u) = 0, rồi giải tập phương trình g (x) = u 1; g (x) = u 2; …; g (x) = u n, trong đó u 1, u 2,…, u n là nghiệm nguyên của phương trình p (u) = 0.

Giải phương trình 6 (x² - 4) ² + 5 (x² - 4) (x² - 7x +12) + (x² - 7x + 12) ² = 0 Phương trình này có thể được giải dưới dạng thuần nhất. Chia cả hai vế của phương trình cho (x² - 7x +12) ² (rõ ràng là các giá trị x sao cho x² - 7x + 12 = 0 không phải là nghiệm). Bây giờ, hãy biểu thị chúng ta có từ đây câu trả lời:

Chọn các nghiệm nguyên Định lý 1: Nếu số nguyên m là căn của đa thức với hệ số nguyên thì số hạng tự do của đa thức đó chia hết cho m. Định lý 2: Đa thức rút gọn với hệ số nguyên không có nghiệm nguyên. Định lý 3: Cho là một phương trình với hệ số nguyên. trong đó p và q là các số nguyên bất khả quy, là căn của phương trình, thì p là ước của số hạng tự do a n và q là ước của hệ số tại số hạng cao nhất a 0. Nếu số và phân số

Định lý Bezout. Phần dư khi chia đa thức bất kỳ cho một nhị thức (x - a) bằng giá trị của đa thức bị chia hết tại x = a. Hệ quả của định lý Bezout Hiệu của các lũy thừa giống nhau của hai số chia hết mà không có dư bằng hiệu của các số giống nhau; Hiệu của lũy thừa chẵn giống hệt nhau của hai số chia hết mà không có dư bằng hiệu của các số này và tổng của chúng; Hiệu của các lũy thừa lẻ giống nhau của hai số không chia hết cho tổng của các số này; Tổng các lũy thừa bằng nhau của hai số không phải là số chia hết cho hiệu của các số này; Tổng các lũy thừa lẻ giống nhau của hai số chia hết mà không có dư bằng tổng của các số này; Tổng các lũy thừa chẵn giống nhau của hai số không chia hết cho hiệu của các số này hoặc cho tổng của chúng; Đa thức chia hết cho nhị thức (x - a) nếu và chỉ khi số a là căn của đa thức này; Số nghiệm của một đa thức khác 0 không nhiều hơn bậc của nó.

Giải phương trình x³ - 5x² - x + 21 = 0 Đa thức x³ - 5x² - x + 21 có hệ số nguyên. Theo Định lý 1, các số nguyên của nó, nếu có, nằm trong số các ước của số hạng tự do: ± 1, ± 3, ± 7, ± 21. Bằng cách kiểm tra, chúng ta chắc chắn rằng số 3 là một căn. Theo hệ quả của định lý Bezout, đa thức chia hết cho (x - 3). Vậy x³ - 5x² - x + 21 = (x - 3) (x² - 2x - 7). Câu trả lời:

Giải phương trình 2x³ - 5x² - x + 1 = 0 Theo Định lý 1, chỉ các số ± 1 mới có thể là nghiệm nguyên của phương trình. Kiểm tra cho thấy những số này không phải là nghiệm nguyên. Vì phương trình không bị rút gọn nên nó có thể có nghiệm nguyên phân số. Hãy tìm chúng. Để làm điều này, chúng ta nhân cả hai vế của phương trình với 4: 8x³ - 20x² - 4x + 4 = 0 Bằng cách thay 2x = t, chúng ta được t³ - 5t² - 2t + 4 = 0. Theo Terem 2, tất cả các nghiệm nguyên của điều này phương trình rút gọn phải là số nguyên. Chúng có thể được tìm thấy trong số các ước của số hạng không đổi: ± 1, ± 2, ± 4. Trong trường hợp này, t \ u003d - 1 là phù hợp. Do đó, theo hệ quả của định lý Bezout, đa thức 2x³ - 5x² - x + 1 chia hết cho (x + 0,5): 2x³ - 5x² - x + 1 = (x + 0,5) (2x² - 6x + 2) Giải phương trình bậc hai 2x² - 6x + 2 = 0, ta tìm được các nghiệm nguyên còn lại: Đáp số:

Đáp án và hướng dẫn: 1. Giới thiệu một biến mới. 2. Phương pháp đồ thị - hàm số. 3. Thay phương trình h (f (x)) = h (g (x)) bằng phương trình f (x) = g (x). 4. Thừa số hóa. 5. Lựa chọn rễ. 6 Phương pháp hàm - đồ thị. 7. Ứng dụng của công thức Vieta. 8. Lựa chọn rễ. 9. Thay phương trình h (f (x)) = h (g (x)) bằng phương trình f (x) = g (x). 10. Giới thiệu một biến mới. 11. Thừa số hóa. 12. Giới thiệu một biến mới. 13. Lựa chọn rễ. 14. Ứng dụng của công thức Vieta. 15. Phương pháp hàm - đồ họa. 16. Thừa số hóa. 17. Giới thiệu một biến mới. 18. Thừa số hóa.

1. Hướng dẫn. Viết phương trình dưới dạng 4 (x² + 17x + 60) (x + 16x + 60) = 3x², Chia cả hai vế cho x². Nhập biến Đáp số: x 1 = - 8; x 2 \ u003d - 7,5. 4. Hướng dẫn. Thêm 6y và - 6y vào vế trái của phương trình và viết nó thành (y³ - 2y²) + (- 3y² + 6y) + (- 8y + 16) = (y - 2) (y² - 3y - 8). Câu trả lời:

14. Hướng dẫn. Theo định lí Vieta Vì là các số nguyên nên chỉ các số -1, -2, -3 mới có thể là nghiệm nguyên của phương trình Đáp số: 15. Đáp án: - Chỉ định. Chia cả hai vế của phương trình cho x² và viết dưới dạng Nhập một biến Đáp số: 1; 1,5; 2; 3.

Thư mục. Kolmogorov A. N. "Đại số và sự khởi đầu của phân tích, 10 - 11" (M .: Giáo dục, 2003). Bashmakov M. I. "Đại số và sự khởi đầu của phân tích, 10 - 11" (M .: Giáo dục, 1993). Mordkovich A. G. "Đại số và sự khởi đầu của phân tích, 10 - 11" (M .: Mnemozina, 2003). Alimov Sh. A., Kolyagin Yu. M. và cộng sự. "Đại số và sự khởi đầu của phân tích, 10 - 11" (M .: Prosveshchenie, 2000). Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. "Tuyển tập các bài toán trong đại số, 8-9" (M.: Prosveshchenie, 1997). Karp A.P. "Tuyển tập các vấn đề trong đại số và đầu của giải tích, 10 - 11" (M .: Giáo dục, 1999). Sharygin I. F. "Khóa học tùy chọn về toán học, giải quyết vấn đề, 10" (M .: Giáo dục. 1989). Skopets Z. A. “Các chương bổ sung trong khóa học toán học, 10” (M .: Giáo dục, 1974). Litinsky G.I. "Những bài học trong toán học" (Moscow: Aslan, 1994). Muravin G. K. "Phương trình, bất phương trình và hệ thức của chúng" (Toán học, bổ sung trên báo "Đầu tháng 9", 2, 3, 2003). Kolyagin Yu M. "Đa thức và phương trình bậc cao" (Toán học, bổ sung cho tờ báo "Pervoe September", 3, 2005).

Cho hàm f đã cho, tại một thời điểm nào đó x 0 có đạo hàm hữu hạn f (x 0). Khi đó đường thẳng đi qua điểm (x 0; f (x 0)) có hệ số góc f '(x 0) được gọi là tiếp tuyến.

Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu đạo hàm tại điểm x 0 không tồn tại? Có hai lựa chọn:

Tiếp tuyến của đồ thị cũng không tồn tại. Ví dụ cổ điển là hàm y = | x | tại điểm (0; 0).
Tiếp tuyến trở thành thẳng đứng. Điều này đúng, chẳng hạn, đối với hàm y = arcsin x tại điểm (1; π / 2).

Phương trình tiếp tuyến

Mọi đường thẳng không thẳng đứng được cho bởi một phương trình có dạng y = kx + b, với k là hệ số góc. Tiếp tuyến cũng không ngoại lệ, và để lập phương trình của nó tại một điểm x 0 nào đó, chỉ cần biết giá trị của hàm số và đạo hàm tại điểm này là đủ.

Vì vậy, để một hàm đã cho y \ u003d f (x), có đạo hàm y \ u003d f '(x) trên đoạn. Khi đó, tại một điểm bất kỳ x 0 ∈ (a; b) có thể vẽ một tiếp tuyến với đồ thị của hàm số này, được cho bởi phương trình:

y \ u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

Ở đây f ’(x 0) là giá trị của đạo hàm tại điểm x 0, và f (x 0) là giá trị của chính hàm.

Một nhiệm vụ. Cho hàm số y = x 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số này tại điểm x 0 = 2.

Phương trình tiếp tuyến: y \ u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0). Chúng ta đã cho điểm x 0 = 2, nhưng các giá trị f (x 0) và f '(x 0) sẽ phải được tính.

Đầu tiên, chúng ta hãy tìm giá trị của hàm. Mọi thứ đều dễ dàng ở đây: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Bây giờ chúng ta hãy tìm đạo hàm: f '(x) \ u003d (x 3)' \ u003d 3x 2;
Thay vào đạo hàm x 0 = 2: f '(x 0) = f' (2) = 3 2 2 = 12;
Vậy ta được: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
Đây là phương trình tiếp tuyến.

Một nhiệm vụ. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f (x) \ u003d 2sin x + 5 tại điểm x 0 \ u003d π / 2.

Lần này chúng tôi sẽ không mô tả chi tiết từng hành động - chúng tôi sẽ chỉ chỉ ra các bước chính. Chúng ta có:

f (x 0) \ u003d f (π / 2) \ u003d 2sin (π / 2) + 5 \ u003d 2 + 5 \ u003d 7;
f '(x) \ u003d (2sin x + 5)' \ u003d 2cos x;
f '(x 0) \ u003d f' (π / 2) \ u003d 2cos (π / 2) \ u003d 0;

Phương trình tiếp tuyến:

y = 0 (x - π / 2) + 7 ⇒ y = 7

Trong trường hợp thứ hai, đường thẳng hóa ra nằm ngang, bởi vì hệ số góc của nó k = 0. Không có gì sai với điều đó - chúng ta chỉ tình cờ gặp một điểm cực trị.

Do đó, có một mong muốn tự nhiên là giảm một phương trình có bậc cao hơn bậc đầu tiên thành một phương trình có bậc thấp hơn. Trong một số trường hợp, điều này có thể được thực hiện. Hãy xem xét chúng.

1. Phương trình dạng y (n) = f (x) được giải bằng tích phân liên tiếp n lần
, ,… .
Thí dụ. Giải phương trình xy "" = 1. Do đó, chúng ta có thể viết y "= ln | x | + C 1 và tích phân lại, cuối cùng chúng ta nhận được y = ∫ln | x | + C 1 x + C 2

2. Trong các phương trình dạng F (x, y (k), y (k +1), .., y (n)) = 0 (tức là không chứa một hàm chưa biết và một số đạo hàm của nó một cách rõ ràng), thứ tự được giảm xuống bằng cách sử dụng sự thay đổi của biến y (k) = z (x). Khi đó y (k +1) = z "(x),…, y (n) = z (n - k) (x) và ta nhận được phương trình F (x, z, z", .., z (n - k)) của bậc n-k. Nghiệm của nó là hàm z = φ (x, C 1, C 2,…, C n) hoặc, nhớ z là gì, chúng ta nhận được phương trình y (n- k) = φ (x, C 1, C 2, …, C n - k) thuộc loại được xét trong trường hợp 1.
Ví dụ 1 . Giải phương trình x 2 y "" = (y ") 2. Ta thực hiện thay thế y" = z (x). Khi đó y "" = z "(x). Thay vào phương trình ban đầu ta được x 2 z" = z 2. Tách các biến, chúng tôi nhận được. Tích hợp, chúng tôi có hoặc, giống nhau,. Mối quan hệ cuối cùng được viết như sau. Tích hợp, cuối cùng chúng tôi nhận được
Ví dụ 2. Giải phương trình x 3 y "" + x 2 y "= 1. Ta thực hiện đổi các biến: y" = z; y "" = z "
x 3 z "+ x 2 z = 1. Chúng ta thực hiện đổi các biến: z = u / x; z" = (u "x-u) / x 2
x 3 (u "x-u) / x 2 + x 2 u / x = 1 hoặc u" x 2 -xu + xu = 1 hoặc u "x ^ 2 = 1. Từ: u" = 1 / x 2 hoặc du / dx = 1 / x 2 hoặc u = int (dx / x 2) = -1 / x + c 1
Vì z = u / x nên z = -1 / x 2 + c 1 / x. Vì y "= z nên dy / dx \ u003d -1 / x 2 + c 1 / x
y = int (c 1 dx / x-dx / x 2) = c 1 ln (x) + 1 / x + c 2. Đáp số: y = c 1 ln (x) + 1 / x + c 2

3. Phương trình tiếp theo có thể rút gọn theo thứ tự là phương trình có dạng F (y, y ", y" ",…, y (n)) = 0, không chứa biến độc lập một cách rõ ràng. Bậc của phương trình được rút gọn bằng cách thay đổi biến y "= p (y), trong đó p là hàm mong muốn mới phụ thuộc vào y. sau đó
= và như vậy. Bằng quy nạp, ta có y (n) = φ (p, p ", .., p (n-1)). Thay vào phương trình ban đầu, ta hạ bậc của nó đi một.

Thí dụ. Giải phương trình (y ") 2 + 2yy" "= 0. Ta thực hiện phép thay thế chuẩn y" = p (y) thì y ″ = p ′ · p. Thay thế vào phương trình, chúng ta nhận được Tách các biến, tại p ≠ 0, chúng ta có Tích phân, chúng ta nhận được hoặc, giống nhau,. Sau đó hoặc. Tích hợp bình đẳng cuối cùng, cuối cùng chúng ta có được Khi tách các biến, chúng ta có thể làm mất nghiệm y = C, nghiệm thu được tại p = 0, hoặc tương tự, tại y "= 0, nhưng nó được chứa trong nghiệm thu được ở trên.

4. Đôi khi có thể nhận thấy một đặc điểm giúp ta có thể hạ bậc của phương trình theo những cách khác với những cách đã xét ở trên. Hãy cho thấy điều này với các ví dụ.

Các ví dụ.
1. Nếu cả hai phần của phương trình yy "" "= y′y ″ chia hết cho yy ″, thì chúng ta nhận được phương trình, có thể viết lại thành (lny ″) ′ = (lny) ′. Từ quan hệ cuối cùng nó theo sau đó lny ″ = lny + lnC, hoặc tương tự, y ″ = Cy ... Kết quả là một phương trình có bậc có độ lớn thấp hơn và thuộc loại được xét trước đó.
2. Tương tự, đối với phương trình yy ″ = y ′ (y ′ + 1) chúng ta có, hoặc (ln (y "+1))" = (lny) ". Nó tuân theo quan hệ cuối cùng mà ln (y" + 1) = lny + lnC 1, hoặc y "= C 1 y-1. Tách các biến và tích phân, ta được, ln (C 1 y-1) = C 1 x + C 2
Quyết định phương trình bậc thấp có thể với sự trợ giúp của một dịch vụ đặc biệt

1. Biến đổi phương trình đã cho về dạng F (x) = 0.

2. Xây dựng bảng giá trị của hàm số trên một khoảng cho trước.

3. Vẽ đồ thị của hàm F (x).

4. Khoanh vùng các nghiệm thức, nghĩa là, tìm khoảng thời gian tồn tại các nghiệm nguyên của phương trình. Khoảng thời gian định vị gốc rễ như vậy có thể là khoảng thời gian ở các đầu mà hàm có dấu hiệu ngược lại.

5. Xác định từ biểu đồ điểm đầu tiên của nghiệm nguyên của phương trình và đoạn đầu tiên của bản địa hóa của gốc này.

6. Sử dụng phương pháp phân giác, hãy tìm nghiệm nguyên của phương trình với độ chính xác là e = 0,001.

7. Lặp lại các bước 5 và 6 cho các nghiệm phương trình tiếp theo.

Biến thể của phương trình được chọn bởi số học sinh trong danh sách.

Các biến thể của phương trình

1. Tìm nghiệm nguyên của một phương trình đại số phi tuyến

2. Tìm nghiệm nguyên của một phương trình đại số phi tuyến