Kinematika tačke.

1. Predmet teorijske mehanike. Osnovne apstrakcije.

Teorijska mehanikaje nauka u kojoj se proučavaju opšti zakoni mehaničko kretanje i mehanička interakcija materijalnih tijela

Mehanički pokretnaziva se kretanjem tela u odnosu na drugo telo, koje se dešava u prostoru i vremenu.

Mehanička interakcija naziva se takva interakcija materijalnih tijela, koja mijenja prirodu njihovog mehaničkog kretanja.

Statika - Ovo je grana teorijske mehanike, koja proučava metode pretvaranja sistema sila u ekvivalentne sisteme i uspostavlja uslove za ravnotežu sila koje se primenjuju na čvrsto telo.

Kinematika - je grana teorijske mehanike koja se bavi kretanje materijalnih tijela u prostoru s geometrijska tačka viziju, bez obzira na sile koje na njih djeluju.

Dynamics - Ovo je grana mehanike koja proučava kretanje materijalnih tijela u prostoru u zavisnosti od sila koje na njih djeluju.

Objekti proučavanja u teorijske mehanike:

materijalna tačka,

sistem materijalnih tačaka,

Apsolutno kruto tijelo.

Apsolutni prostor i apsolutno vrijeme su nezavisni jedno od drugog. Apsolutni prostor - trodimenzionalni, homogeni, nepomični euklidski prostor. Apsolutno vrijeme - teče iz prošlosti u budućnost neprekidno, homogena je, ista u svim tačkama prostora i ne zavisi od kretanja materije.

2. Predmet kinematike.

Kinematika - je grana mehanike koja se bavi geometrijska svojstva gibanje tijela bez uzimanja u obzir njihove inercije (tj. mase) i sila koje na njih djeluju

Za određivanje položaja pokretnog tijela (ili tačke) sa tijelom u odnosu na koje se proučava kretanje ovog tijela, kruto je povezan neki koordinatni sistem koji zajedno sa tijelom formira referentni sistem.

Glavni zadatak kinematike je da se, poznavajući zakon kretanja datog tijela (tačke), odredi sve kinematičke veličine koje karakterišu njegovo kretanje (brzina i ubrzanje).

3. Metode za određivanje kretanja tačke

· prirodnim putem

Trebalo bi se znati:

Putanja kretanja tačke;

Početak i smjer brojanja;

Zakon kretanja tačke duž date putanje u obliku (1.1)

· Metoda koordinata

Jednačine (1.2) su jednačine kretanja tačke M.

Jednačina za putanju tačke M može se dobiti eliminacijom vremenskog parametra « t » iz jednačina (1.2)

· Vektorski način

(1.3) Odnos koordinatnih i vektorskih metoda za određivanje kretanja tačke (1.4)

Veza između koordinatnog i prirodnog načina određivanja kretanja tačke

Odrediti putanju tačke, isključujući vrijeme iz jednačina (1.2);

-- pronađite zakon kretanja tačke duž putanje (koristite izraz za diferencijal luka)

Nakon integracije, dobijamo zakon kretanja tačke duž date putanje:

Veza između koordinatnih i vektorskih metoda specificiranja kretanja tačke određena je jednadžbom (1.4)

4. Određivanje brzine tačke vektorskom metodom zadavanja kretanja.

Neka trenutnotpoložaj tačke je određen radijus vektorom , iu trenutku vremenat 1 – radijus-vektor , zatim za određeni vremenski period tačka će se pomeriti.

(1.5) prosečna brzina tačke, smjer vektora je isti kao i vektor

Tačka brzina u ovog trenutka vrijeme

Da biste dobili brzinu tačke u datom trenutku, potrebno je napraviti prolaz do granice

(1.6)

(1.7)

Vektor brzine tačke u datom trenutku jednaka je prvoj derivaciji radijus vektora s obzirom na vrijeme i usmjerena je tangencijalno na putanju u datoj tački.

(jedinica¾ m/s, km/h)

Vektor srednjeg ubrzanja ima isti smjer kao vektorΔ v , odnosno usmjeren prema udubljenosti putanje.

Vektor ubrzanja tačke u datom trenutku jednak je prvom izvodu vektora brzine ili drugom izvodu vektora radijusa tačke u odnosu na vrijeme.

(jedinica - )

Kako se vektor nalazi u odnosu na putanju tačke?

At pravolinijsko kretanje vektor je usmjeren duž prave linije duž koje se tačka kreće. Ako je putanja tačke ravna kriva, tada vektor ubrzanja , kao i vektor cp, leži u ravni ove krive i usmjeren je prema njenoj konkavnosti. Ako putanja nije ravna kriva, tada će vektor cp biti usmjeren prema konkavnosti putanje i ležat će u ravni koja prolazi kroz tangentu putanje u tačkiM i prava paralelna sa tangentom u susjednoj tačkiM 1 . AT granica kada je tačkaM 1 teži da M ova ravan zauzima poziciju takozvane susedne ravni. Stoga, u opštem slučaju, vektor ubrzanja leži u susednoj ravni i usmeren je prema udubljenosti krive.

V. I. Doront, V. V. Dubinjin, M. M. Iljin i drugi; Pod totalom ed. K. S. Kolesnikova "Kurs teorijske mehanike: udžbenik za srednje škole" Izdavačka kuća Moskovskog državnog tehničkog univerziteta. N. E. Bauman, 2005, 736 strana (7,17 mb. djvu)

Udžbenik sadrži poglavlja kao što su: kinematika, statika, dinamika tačke, čvrsto telo i mehanički sistem. Kao i analitička mehanika, teorija oscilacija, teorija udara, uvod u dinamiku tijela promjenljive mase, osnove nebeske mehanike. Svi dijelovi su popraćeni primjerima rješavanja problema. Tok udžbenika je predstavljen prema toku predavanja iu skladu sa programom koji čitaju autori na Moskovskom državnom tehničkom univerzitetu. N. E. Bauman.

Knjiga se može koristiti kao tutorial za studente inženjerskih univerziteta i tehnički univerziteti. Pomoći će diplomiranim studentima i nastavnicima u pripremi i izvođenju predavanja i nastave. Kao i specijaliste koji rade u oblasti primenjene statike i dinamike mašinskih sistema, mašinstva i instrumentacije.
ISBN 5-7038-1695-5 (sv. 1)
ISBN 5-7038-1371-9

Predgovor.

Udžbenik je rezultat višegodišnjeg rada nastavne aktivnosti autori na MSTU. N. E. Bauman, koji diplomira inženjere dizajna i istraživače koji se specijalizuju u oblasti mašinstva i instrumentacije. Prethodili su mu udžbenici koje su napisali i univerzitetski nastavnici V. V. Dobronravov, A. L. Dvornikov, K. N. Nikitin, koji su više puta preštampani i imali su veliku ulogu u podučavanju studenata.

Prelazak na fakultetsko inženjersko obrazovanje zahtijevao je proširenje sadržaja predmeta, potpuniju fizičku interpretaciju niza pitanja i prirodnu komplikaciju korištenih matematički aparat. U tu svrhu, u odeljku "Kinematika" poglavlje " Opšti slučaj kretanje krutog tijela.

Statika se navodi kao nezavisna sekcija, budući da predmeti kao što su čvrstoća materijala, teorija mehanizama i mehanika mašina, mašinski delovi, predmeti inženjerskog projektovanja zahtevaju od studenta jasno razumevanje načina transformisanja i prenošenja interakcija sila u mašinskim mehanizmima.

Značajni dodaci su napravljeni u odjeljku "Dinamika". Ovdje se uvode integralni varijacioni principi, elementi nebeske mehanike; potpunije su izložena teorija oscilacija, teorija udara i neka druga pitanja.

Neke informacije iz teorije vektora 9
B. 1. Skalarne i vektorske veličine. Jedinični vektori 9
U 2. Vektorske projekcije na osu i ravan 11
V.Z. Vektorske koordinate. Analitička specifikacija vektora. Tačka radijus vektora 12
U 4. Vektorsko sabiranje i oduzimanje 14
U 5. Vektorsko množenje 16
U 6. Vektori i matrice 24
U 7. Odnos vektorskih projekcija na ose dva pravougaona koordinatna sistema 29
U 8. Vektor funkcije. Vektorski hodograf. Vektorska diferencijacija u odnosu na skalarni argument 32

Odjeljak 1. KINEMATIKA

Poglavlje I Kinematika tačke 39
1.1. Tačkasta brzina 39
1.2. Tačka ubrzanja 41
1.3. Vektorski način za određivanje kretanja tačke 44
1.4. Metoda koordinata zadaci kretanja poena 44
1.5. prirodnim putem zadaci kretanja poena 61

Poglavlje 2 Najjednostavniji pokreti krutog tijela 70
2.1. Stepeni slobode i teorema projekcije brzine 70
2.2. Translacijsko kretanje krutog tijela 73
2.3. Rotacija krutog tijela oko fiksne ose 73

Poglavlje 3 Planarno kretanje krutog tijela 85
3.1. Dekompozicija ravnog gibanja krutog tijela na translacijsko i rotacijsko kretanje 85
3.2. Jednačine kretanja, ugaone brzine i ugaono ubrzanje kruto tijelo u ravninskom kretanju 87
3.3. Brzine tačaka tela tokom kretanja u ravni 89
3.4. Instant Speed ​​Center 90
3.5. Trenutni centar rotacije. Centroidi 94
3.6. Proračun ugaone brzine krutog tijela pri kretanju u ravnini
3.7. Ubrzanja tačaka tela tokom kretanja u ravni 98
3.8. Centar za trenutno ubrzanje 102
3.9. Metode za izračunavanje ugaonog ubrzanja tijela pri kretanju u ravnini 106

Poglavlje 4 Rotacija krutog tijela okolo fiksna tačka 110
4.1. Broj stepeni slobode. Eulerovi uglovi. Jednačine rotacije 110
4.2. Matrica kosinusa smjera. Putanja tačke tijela 114
4.3. Trenutna osa rotacije. Aksoidi 116
4.4. Trenutačna kutna brzina i kutno ubrzanje 119
4.5. Brzine tjelesnih tačaka. Kinematske Eulerove jednadžbe 122
4.6. Ubrzanja tjelesnih tačaka 128
4.7. ugaono ubrzanje tijela 130

Poglavlje 5 Opšti slučaj kretanja krutog tijela 134
5.1. Broj stepeni slobode. Generalizirane koordinate. Jednačine kretanja 134
5.2. Putanja proizvoljna tačka tijelo 139
5.3. Brzina proizvoljne tačke tela 140
5.4. Ubrzanje proizvoljne tačke tijela 141

Poglavlje 6 Složeno kretanje tačke 143
6.1. Relativno, translatorno i apsolutno kretanje tačke 143
6.2. Apsolutni i relativni derivati ​​vektora. Burska formula 145
6.3. Teorema sabiranja brzine 148
6.4. Teorema o sabiranju ubrzanja, ili kinematička Coriolisova teorema. Coriolisovo ubrzanje 150
6.5. Sabiranje ubrzanja u posebnim slučajevima prijenosnog kretanja 153

Poglavlje 7 Složeno kretanje krutog tijela 162
7.1. Teorema o dodavanju ugaonih brzina pri složeno kretanječvrsto tijelo 162
7.2. Sabiranje rotacija oko osi koje se sijeku 164
7.3. Sabiranje rotacija oko paralelnih osa. Pararotacija 165
7.4. Dodavanje translacionih pokreta 168
7.5. Dodatak prijevodnog i rotacionim pokretima 169

Odjeljak 2. STATIKA

Poglavlje 8 Aksiomi i osnovni principi statike 173
8.1. Aksiomi statike 174
8.2. Glavne vrste veza i njihove reakcije 177
83. Sistem konvergentnih sila 181
8.4. Moment sile oko tačke i oko ose 189
8.5. Sabiranje paralelnih sila. Snažni par 196
8.6. Dovođenje sistema snaga u najjednostavniji sistem 204

Poglavlje 9 Balans tijela 214
9.1. Uslovi za ravnotežu sistema sila 214
9.2. Ravnoteža sistema tela 222
9.3. Definicija unutrašnjih sila 225
9.4. Statistički određeni i statički neodređeni sistemi tijela 227
9.5. Proračun ravnih rešetki 228
9.6. Raspoređene snage 229

Poglavlje 10 Trenje 236
10.1. Zakoni trenja klizanja 236
10.2. Reakcije grube površine. Ugao trenja 237
10.3. Spojnica 238
10.4. Ravnoteža tijela u prisustvu trenja. Konus trenja 239

Poglavlje 11 Centar gravitacije 248
11.1. Centar paralelnog sistema sila 248
11.2. Težište krutog tijela 251
11.3. Metode za određivanje koordinata težišta tijela 253

Poglavlje 12 Ravnoteža fleksibilne i nerastezljive niti 260
12.1. Diferencijalne jednačine ravnoteže navoja 260
12.2. Posebni slučajevi spoljne sile 263
12.3. Lanac 265

Odjeljak 3. DINAMIKA

Poglavlje 13 Dinamika materijalne tačke 271
13.1. Aksiomi dinamike 271
13.2. Diferencijalne jednadžbe kretanja materijalne tačke 273
13.3. Dva glavna zadatka dinamike materijalne tačke 275
13.4. Kretanje neslobodne materijalne tačke 280
13.5. Relativna dinamika kretanja 288
13.6. Ravnoteža i kretanje materijalne tačke u odnosu na Zemlju 293

Poglavlje 14 Geometrija mase 298
14.1. Težište mehaničkog sistema 298
14.2. Trenuci inercije 301
14.3. Zavisnost momenata inercije oko paralelnih osa (Huygens-Steinerova teorema) 304
14.4. Momenti inercije homogenih tela 305
14.5. Momenti inercije homogenih tijela okretanja 310
14.6. Moment inercije oko ose koja prolazi dati poen 315
14.7. Elipsoid inercije. Glavne osi inercije 318
14.8. Svojstva glavnih osi inercije tijela 321
14.9. Određivanje pravca glavne osi inercije 326

Poglavlje 13 Opće teoreme dinamike 331
13.1. mehanički sistem. Vanjski i unutrašnje sile 331
15.2. Diferencijalne jednačine kretanja mehaničkog sistema 334
15.3. Teorema o kretanju centra mase mehaničkog sistema 335
15.4. Teorema o promjeni količine gibanja 342
15.5. Teorema o promjeni ugaonog momenta materijalne tačke. Teorema o promjeni glavnog momenta gibanja mehaničkog sistema 353
15.6. Promjena teorema kinetička energija 382
15.7. Potencijalno polje sile 400
15.8. Primjeri korištenja opšte teoreme zvučnici 412

Poglavlje 16 Dinamika krutog tijela 424
16.1. Translacijsko kretanje krutog tijela. Rotacija krutog tijela oko fiksne ose. Planarno kretanje krutog tijela 424
16.2. Sferno kretanje krutog tijela 436
16.3. Opšti slučaj kretanja krutog tijela 465

Poglavlje 17 d'Alambertov princip. Dynamic Link Reactions 469
17.1. d'Alambertov princip. Sila inercije 469
17.2. d'Alambertov princip za mehanički sistem 471
17.3. Glavni vektor i glavna tačka inercijalne sile 473
17.4. Dinamičke reakcije nosača 475
17.5. Statička i dinamička ravnoteža krutog tijela koje rotira oko fiksne ose 482
17.6. Balansirajući rotori 487

Poglavlje 18 Osnove analitička mehanika 493
18.1. Osnovni pojmovi 493
18.2. Mogući rad snagu. Savršene veze 504
18.3. Generalizovane snage 507
18.4. Diferencijalni principi analitičke mehanike 513
18.5. Lagrangeova jednadžba druge vrste 527
18.6. Integralni varijacioni principi mehanike 536

Poglavlje 19 Teorija oscilacije 555
19.1. Stabilnost ravnotežnog položaja mehaničkog sistema 555
19.2. Diferencijalne jednadžbe malih oscilacija linearnog sistema sa jednim stepenom slobode 559
19.3. slobodnim pokretima linearni sistem sa jednim stepenom slobode 568
19.4. Prisilne vibracije linearni sistem sa jednim stepenom slobode 582
19.5. Osnovi teorije instrumenata za snimanje 607
19.6. Osnovi zaštite od vibracija 612
19.7. Diferencijalne jednadžbe malih oscilacija linearnog sistema sa konačan broj stepeni slobode 615
19.8. Besplatne vibracije linearni konzervativni sistem sa dva stepena slobode 625
19.9. Prisilne vibracije linearnog sistema sa dva stepena slobode pod harmonijskom pobudom.
Dinamički prigušivač vibracija 637
19.10. fluktuacije linearni sistemi sa konačnim brojem stupnjeva slobode 645

Poglavlje 20 teorija uticaja 653
20.1. Osnovni koncepti i pretpostavke. Impact Model 653
20.2. Teoreme o promjeni impulsa i o kretanju centra mase sistema pri udaru 658
20.3. Teorema o promjeni glavnog momenta impulsa sistema pri udaru 660
20.4. Faktor oporavka 662
20.5. Teorema o promjeni kinetičke energije sistema pri udaru. Carnotova teorema 664
20.6. Udarac u tep koji se okreće oko fiksne ose. Udarni centar 672
20.7. Udar na kruto tijelo sa fiksnom točkom. Udarni centar. Besplatni Solid Strike 677
20.8.0 veze na udaru. Opšta jednačina mehanike 679
20.9 Lagranževa jednačina druge vrste pri udaru u mehaničkom sistemu 682
20.10. Udar dva tela kretanje napred. Energetski odnosi 684
20.11. Udar materijalne tačke na fiksnu hrapavu površinu 691
20.12. Udaranje dve lopte. Hertz model 699

Poglavlje 21 Uvod u dinamiku tijela promjenljive mase 705
21.1. Osnovni koncepti i pretpostavke 705
21.2. Generalizovana jednačina Meščerskog, reaktivne sile 707
21.3. Posebni slučajevi jednačine Meščerskog 709
21.4. Neki klasični problemi dinamika tačke promenljive mase 712

Poglavlje 22 Osnove nebeske mehanike 717
22.1. Binet formule 717.
22.2. Zakon gravitacija. Keplerovi zakoni 720
22.3. Energetska klasifikacija orbita 723
22.4. Orbitalno kretanje tačke 725
22.5. Problem sa dva tijela 727
22.6.0 problem n-tijela i drugi problemi nebeske mehanike 729

Preuzmite knjigu besplatno 7,17 mb. djvu

U okviru bilo kojeg obuka Proučavanje fizike počinje mehanikom. Ne iz teorijske, ne iz primijenjene i ne računske, već iz dobre stare klasične mehanike. Ova mehanika se još naziva i Njutnova mehanika. Prema legendi, naučnik je šetao vrtom, vidio kako jabuka pada, a upravo ga je taj fenomen potaknuo da otkrije zakon univerzalne gravitacije. Naravno, zakon je oduvijek postojao, a Newton mu je samo dao oblik razumljiv ljudima, ali njegova zasluga je neprocjenjiva. U ovom članku nećemo što detaljnije opisivati ​​zakone Njutnove mehanike, ali ćemo izložiti osnove, osnovno znanje, definicije i formule koje vam uvijek mogu igrati na ruku.

Mehanika je grana fizike, nauka koja proučava kretanje materijalnih tijela i interakcije između njih.

Sama riječ ima grčkog porijekla i prevodi se kao "umetnost izgradnje mašina". Ali prije izgradnje mašina, još nam je dug put, pa idemo stopama naših predaka, pa ćemo proučavati kretanje kamenja bačenog pod uglom prema horizontu i jabuka koje padaju na glave sa visine h.

Zašto proučavanje fizike počinje mehanikom? Zato što je potpuno prirodno, a ne polaziti od termodinamičke ravnoteže?!

Mehanika je jedna od najstarijih nauka, a istorijski proučavanje fizike počelo je upravo sa osnovama mehanike. Smješteni u okvire vremena i prostora, ljudi, zapravo, nisu mogli krenuti od nečega drugog, ma koliko to htjeli. Pokretna tijela su prva stvar na koju obraćamo pažnju.

Šta je kretanje?

Mehaničko kretanje je promjena položaja tijela u prostoru jedno u odnosu na drugo tokom vremena.

Nakon ove definicije sasvim prirodno dolazimo do koncepta referentnog okvira. Promjena položaja tijela u prostoru jedno u odnosu na drugo. Ključne riječi ovdje: jedni prema drugima . Na kraju krajeva, putnik u automobilu se kreće u odnosu na osobu koja stoji pored puta određenom brzinom, i odmara se u odnosu na svog susjeda na obližnjem sjedištu i kreće se nekom drugom brzinom u odnosu na putnika u automobilu koji prestiže ih.

Zato nam je potrebno, kako bismo normalno mjerili parametre pokretnih objekata i ne bismo se zbunili referentni sistem - kruto međusobno povezano referentno tijelo, koordinatni sistem i sat. Na primjer, Zemlja se kreće oko Sunca u heliocentričnom referentnom okviru. U svakodnevnom životu gotovo sva naša mjerenja provodimo u geocentričnom referentnom sistemu povezanom sa Zemljom. Zemlja je referentno tijelo u odnosu na koje se kreću automobili, avioni, ljudi, životinje.

Mehanika, kao nauka, ima svoj zadatak. Zadatak mehanike je da u svakom trenutku zna položaj tijela u prostoru. Drugim riječima, mehanika gradi matematički opis pokreta i pronađite veze između fizičke veličine karakterišući ga.

Da bismo krenuli dalje, potreban nam je pojam “ materijalna tačka ". Kažu fizika egzaktna nauka, ali fizičari znaju koliko je aproksimacija i pretpostavki potrebno napraviti da bi se složili oko ove tačnosti. Niko nikada nije vidio materijalnu tačku ili njušio idealan gas ali jesu! Sa njima je mnogo lakše živeti.

Materijalna tačka je tijelo čija se veličina i oblik mogu zanemariti u kontekstu ovog problema.

Sekcije klasične mehanike

Mehanika se sastoji od nekoliko sekcija

• Kinematika
• Dynamics
• Statika

Kinematika sa fizičke tačke gledišta, proučava tačno kako se telo kreće. Drugim riječima, ovaj dio se bavi kvantitativne karakteristike pokret. Pronađite brzinu, put - tipični zadaci kinematika

Dynamics rješava pitanje zašto se kreće na način na koji se kreće. Odnosno, razmatra sile koje djeluju na tijelo.

Statika proučava ravnotežu tijela pod djelovanjem sila, odnosno odgovara na pitanje: zašto uopće ne pada?

Granice primjene klasične mehanike.

Klasična mehanika više ne tvrdi da je nauka koja sve objašnjava (početkom prošlog veka sve je bilo potpuno drugačije), i ima jasan obim primenljivosti. Generalno, zakoni klasične mehanike vrijede za svijet koji nam je poznat po veličini (makrosvijet). Prestaju da rade u slučaju sveta čestica, kada se klasični zameni sa kvantna mehanika. Takođe, klasična mehanika je neprimenljiva u slučajevima kada se kretanje tela dešava brzinom bliskom brzini svetlosti. U takvim slučajevima relativistički efekti postaju izraženi. Grubo govoreći, unutar kvantnog i relativističke mehanike je klasična mehanika poseban slučaj kada su dimenzije tela velike, a brzina mala. Više o tome možete saznati iz našeg članka.

Uopšteno govoreći, kvantni i relativistički efekti nikada ne nestaju, oni se takođe dešavaju tokom uobičajenog kretanja makroskopskih tela velikom brzinom. niža brzina Sveta. Druga stvar je da je djelovanje ovih efekata toliko malo da ne ide dalje od najpreciznijih mjerenja. Klasična mehanika tako nikada neće izgubiti svoju temeljnu važnost.

Nastavićemo da učimo fizičke osnove mehanike u narednim člancima. Za bolje razumijevanje mehaničari kojima se uvijek možete obratiti, koji pojedinačno rasvjetljavaju mračnu tačku najtežeg zadatka.

Statika- Ovo je grana teorijske mehanike, u kojoj se proučavaju uslovi ravnoteže materijalnih tela pod dejstvom sila.

Pod stanjem ravnoteže, u statici, podrazumeva se stanje u kome svi delovi mehaničkog sistema miruju (u odnosu na fiksni koordinatni sistem). Iako su metode statike primjenjive na tijela koja se kreću i uz njihovu pomoć moguće je proučavati probleme dinamike, ali osnovni objekti proučavanja statike su nepomični. mehanička tijela i sistemi.

Force je mjera uticaja jednog tijela na drugo. Sila je vektor koji ima tačku primjene na površini tijela. Pod silom slobodno telo dobija ubrzanje proporcionalno vektoru sile i obrnuto proporcionalno masi tijela.

Zakon jednakosti akcije i reakcije

Sila kojom prvo tijelo djeluje na drugo je apsolutna vrijednost a suprotan je smjeru od sile kojom drugo tijelo djeluje na prvo.

Princip očvršćavanja

Ako je deformabilno tijelo u ravnoteži, onda njegova ravnoteža neće biti poremećena ako se smatra da je tijelo apsolutno kruto.

Statika materijalne tačke

Razmislite materijalna tačka koji je u ravnoteži. I neka na njega djeluje n sila, k = 1, 2, ..., br.

Ako je materijalna tačka u ravnoteži, tada je vektorski zbroj sila koje djeluju na nju jednak nuli:
(1) .

U ravnoteži geometrijski zbir sile koje djeluju na tačku su nula.

Geometrijska interpretacija. Ako se početak drugog vektora stavi na kraj prvog vektora, a početak trećeg na kraj drugog vektora, pa se ovaj proces nastavi, onda će kraj posljednjeg, n-tog vektora biti kombinovan sa početkom prvog vektora. Odnosno, dobijamo zatvorenu geometrijsku figuru čije su dužine stranica jednake modulima vektora. Ako svi vektori leže u istoj ravni, onda ćemo dobiti zatvoreni poligon.

Često je zgodno odabrati pravougaoni sistem koordinate Oxyz. Tada su zbroji projekcija svih vektora sila na koordinatne osi jednaki nuli:

Ako odaberete bilo koji smjer definiran nekim vektorom , tada je zbroj projekcija vektora sile na ovaj smjer jednak nuli:
.
Jednačinu (1) množimo skalarno vektorom:
.
ovdje - skalarni proizvod vektori i .
Imajte na umu da je projekcija vektora na smjer vektora određena formulom:
.

Statika krutog tijela

Moment sile oko tačke

Određivanje momenta sile

Moment sile, primijenjen na tijelo u tački A, u odnosu na fiksni centar O, naziva se vektor jednak vektorskom proizvodu vektora i:
(2) .

Geometrijska interpretacija

Trenutak snage jednak je proizvodu sila F na kraku OH.

Neka se vektori i nalaze u ravnini figure. Prema svojstvu unakrsnog proizvoda, vektor je okomit na vektore i , odnosno okomit na ravan figure. Njegov smjer je određen pravilom desnog zavrtnja. Na slici je vektor momenta usmjeren prema nama. Apsolutna vrijednost momenat:
.
Jer, onda
(3) .

Koristeći geometriju, može se dati drugačija interpretacija momenta sile. Da biste to učinili, povucite pravu liniju AH kroz vektor sile. Iz centra O ispuštamo okomitu OH na ovu pravu. Dužina ove okomice se zove rame snage. Onda
(4) .
Kako su , formule (3) i (4) su ekvivalentne.

dakle, apsolutnu vrijednost momenta sile u odnosu na centar O je proizvod sile na ramenu ova sila u odnosu na izabrani centar O .

Prilikom izračunavanja momenta, često je zgodno razložiti silu na dvije komponente:
,
gdje . Sila prolazi kroz tačku O. Prema tome, njegov zamah je nula. Onda
.
Apsolutna vrijednost trenutka:
.

Komponente momenta u pravokutnim koordinatama

Ako odaberemo pravougaoni koordinatni sistem Oxyz sa centrom u tački O, tada će moment sile imati sljedeće komponente:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Evo koordinata tačke A u odabranom koordinatnom sistemu:
.
Komponente su vrijednosti momenta sile oko osi, respektivno.

Osobine momenta sile oko centra

Moment oko centra O, od sile koja prolazi kroz ovaj centar, jednak je nuli.

Ako se tačka primjene sile pomjeri duž linije koja prolazi kroz vektor sile, tada se trenutak, tijekom takvog kretanja, neće promijeniti.

Moment iz vektorskog zbira sila primijenjenih na jednu tačku tijela jednak je vektorskom zbroju momenata svake od sila primijenjenih na istu tačku:
.

Isto važi i za sile čije se produžne linije seku u jednoj tački. U ovom slučaju, njihovu tačku preseka treba uzeti kao tačku primene sila.

Ako je vektorski zbir sila nula:
,
tada zbroj momenata ovih sila ne zavisi od položaja centra, u odnosu na koji se momenti računaju:
.

Moćni par

Moćni par su dvije sile, jednake po apsolutnoj vrijednosti i suprotnih smjerova, primijenjene na različite tačke tijelo.

Par sila karakteriše trenutak kada stvaraju. Pošto je vektorski zbir sila uključenih u par jednak nuli, moment koji par stvara ne zavisi od tačke u odnosu na koju se moment izračunava. Sa stanovišta statičke ravnoteže, priroda sila u paru je irelevantna. Par sila se koristi da označi da moment sila djeluje na tijelo, imajući određenu vrijednost.

Moment sile oko date ose

Često postoje slučajevi kada ne trebamo znati sve komponente momenta sile oko odabrane tačke, već samo trebamo znati moment sile oko odabrane ose.

Moment sile oko ose koja prolazi kroz tačku O je projekcija vektora momenta sile, oko tačke O, na smer ose.

Svojstva momenta sile oko ose

Moment oko ose od sile koja prolazi kroz ovu osu jednak je nuli.

Moment oko ose od sile paralelne ovoj osi je nula.

Proračun momenta sile oko ose

Neka na tijelo u tački A djeluje sila. Nađimo moment ove sile u odnosu na osu O′O′′.

Napravimo pravougaoni koordinatni sistem. Neka se Oz os poklapa sa O′O′′ . Iz tačke A spuštamo okomitu OH na O′O′′ . Kroz tačke O i A povlačimo os Ox. Povlačimo os Oy okomitu na Ox i Oz. Razlažemo silu na komponente duž osa koordinatnog sistema:
.
Sila prelazi preko O′O′′ ose. Prema tome, njegov zamah je nula. Sila je paralelna sa O′O′′ osom. Stoga je i njegov moment jednak nuli. Formulom (5.3) nalazimo:
.

Imajte na umu da je komponenta usmjerena tangencijalno na kružnicu čiji je centar tačka O. Smjer vektora određen je pravilom desnog zavrtnja.

Uslovi ravnoteže za kruto tijelo

U ravnoteži, vektorski zbir svih sila koje djeluju na tijelo jednak je nuli, a vektorski zbir momenata ovih sila u odnosu na proizvoljno fiksno središte jednak je nuli:
(6.1) ;
(6.2) .

Naglašavamo da se centar O , u odnosu na koji se računaju momenti sila, može birati proizvoljno. Tačka O može ili pripadati tijelu ili biti izvan njega. Obično se bira centar O da bi se proračuni olakšali.

Uslovi ravnoteže mogu se formulisati i na drugi način.

U ravnoteži, zbir projekcija sila u bilo kojem smjeru dat od proizvoljni vektor, jednako nuli:
.
Zbir momenata sila oko proizvoljne ose O′O′′ je takođe jednak nuli:
.

Ponekad su ovi uslovi pogodniji. Postoje slučajevi kada se, odabirom osa, proračuni mogu učiniti jednostavnijim.

Težište tijela

Razmotrite jednu od najvažnije sile- gravitacija. Ovdje se sile ne primjenjuju određene tačke tijela, ali su kontinuirano raspoređeni po njegovom volumenu. Za svaki dio tijela sa beskonačno malim volumenom ∆V, djeluje gravitacijska sila. Ovdje je ρ gustina tjelesne materije, ubrzanje slobodan pad.

Neka je masa beskonačno malog dijela tijela. I neka tačka A k definiše poziciju ovog preseka. Nađimo veličine koje se odnose na silu gravitacije, a koje su uključene u jednadžbe ravnoteže (6).

Nađimo zbir sila gravitacije koje formiraju svi dijelovi tijela:
,
gdje je masa tijela. Dakle, zbir sila gravitacije pojedinih infinitezimalnih dijelova tijela može se zamijeniti jednim gravitacijskim vektorom cijelog tijela:
.

Nađimo zbir momenata sila gravitacije u odnosu na odabrano središte O na proizvoljan način:

.
Ovdje smo uveli tačku C koja se zove centar gravitacije tijelo. Položaj centra gravitacije, u koordinatnom sistemu sa središtem u tački O, određuje se formulom:
(7) .

Dakle, pri određivanju statičke ravnoteže, zbir sila gravitacije pojedinih dijelova tijela može se zamijeniti rezultantom
,
primijenjeno na centar mase tijela C , čiji je položaj određen formulom (7).

Položaj centra gravitacije za razne geometrijski oblici možete pronaći u relevantnim vodičima. Ako tijelo ima os ili ravan simetrije, tada se centar gravitacije nalazi na ovoj osi ili ravni. Dakle, težišta sfere, kruga ili kruga nalaze se u centrima krugova ovih figura. Centri gravitacije kuboid, pravougaonik ili kvadrat se također nalaze u njihovim središtima - na mjestima presjeka dijagonala.

Uniformno (A) i linearno (B) distribuirano opterećenje.

Postoje i slučajevi slični sili gravitacije, kada se sile ne primjenjuju na određene točke tijela, već se kontinuirano raspoređuju po njegovoj površini ili zapremini. Takve sile se nazivaju raspoređene snage ili .

(Slika A). Također, kao iu slučaju gravitacije, može se zamijeniti rezultantnom silom veličine , primijenjenom na težište dijagrama. Pošto je dijagram na slici A pravougaonik, težište dijagrama je u njegovom centru - tački C: | AC| = | CB |.

(slika B). Također se može zamijeniti rezultantom. Vrijednost rezultanta jednaka je površini dijagrama:
.
Tačka primjene je u centru gravitacije dijagrama. Težište trougla, visine h, udaljeno je od osnove. Dakle.

Sile trenja

Trenje klizanja. Neka tijelo bude uključeno ravna povrsina. I neka je sila okomita na površinu kojom površina djeluje na tijelo (sila pritiska). Tada je sila trenja klizanja paralelna s površinom i usmjerena u stranu, sprječavajući kretanje tijela. Njen najveći vrijednost je:
,
gdje je f koeficijent trenja. Koeficijent trenja je bezdimenzionalna veličina.

trenje kotrljanja. Pustite telo okruglog oblika kotrlja ili se može kotrljati po površini. I neka je sila pritiska okomita na površinu kojom površina djeluje na tijelo. Tada na tijelo, u mjestu dodira s površinom, djeluje moment sila trenja, koji sprječava kretanje tijela. Najveća vrijednost moment trenja je jednak:
,
gdje je δ koeficijent trenja kotrljanja. Ima dimenziju dužine.

Reference:
S. M. Targ, Kratki kurs teorijska mehanika, postdiplomske škole“, 2010.

Primjeri rješavanja problema u teorijskoj mehanici

Statika

Uslovi zadatka

Kinematika

Kinematika materijalne tačke

Zadatak

Određivanje brzine i ubrzanja tačke iz date jednačine njeni pokreti.
Prema zadatim jednačinama kretanja tačke utvrditi tip njene putanje i za trenutak vremena t = 1 s pronaći položaj tačke na putanji, njenu brzinu, ukupno, tangentu i normalno ubrzanje, kao i radijus zakrivljenosti putanje.
Jednačine kretanja tačke:
x= 12 sin(πt/6), cm;
y= 6 cos 2 (πt/6), cm.

Kinematička analiza ravnog mehanizma

Zadatak

Ravni mehanizam se sastoji od šipki 1, 2, 3, 4 i klizača E. Šipke su međusobno povezane, na klizače i fiksne nosače pomoću cilindričnih šarki. Tačka D se nalazi u sredini trake AB. Dužine štapova su jednake
l 1 = 0,4 m; l 2 = 1,2 m; l 3 \u003d 1,6 m; l 4 = 0,6 m.

Međusobni raspored elemenata mehanizma u određenoj verziji zadatka određen je uglovima α, β, γ, φ, ϑ. Štap 1 (šip O 1 A) rotira oko fiksne tačke O 1 suprotno od kazaljke na satu sa konstantom ugaona brzinaω 1 .

Za datu poziciju mehanizma potrebno je odrediti:

• linearne brzine V A , V B , V D i V E tačke A, B, D, E;
• ugaone brzine ω 2 , ω 3 i ω 4 veze 2, 3 i 4;
• linearno ubrzanje a B tačka B;
• kutno ubrzanje ε AB karike AB;
• pozicije trenutnih centara brzina C 2 i C 3 karika 2 i 3 mehanizma.

Određivanje apsolutne brzine i apsolutnog ubrzanja tačke

Zadatak

Dijagram ispod razmatra kretanje tačke M u žlijebu rotirajućeg tijela. S obzirom na jednadžbe translacijskog kretanja φ = φ(t) i relativnog kretanja OM = OM(t), odredite apsolutna brzina i apsolutno ubrzanje tačke u datom trenutku.

Preuzmite rješenje >>>

Dynamics

Integracija diferencijalnih jednadžbi kretanja materijalne tačke pod dejstvom promenljivih sila

Zadatak

Opterećenje D mase m, primivši u tački A početna brzina V 0 se kreće u zakrivljenoj cijevi ABC koja se nalazi u vertikalnoj ravni. Na presjeku AB, čija je dužina l, na opterećenje djeluje konstantna sila T (njen smjer je prikazan na slici) i sila R otpora medija (modul ove sile je R = μV 2, vektor R je usmjeren suprotno brzini V tereta).

Opterećenje, završivši svoje kretanje u presjeku AB, u tački B cijevi, bez promjene vrijednosti njegovog modula brzine, prelazi na dio BC. Na presjeku BC na opterećenje djeluje promjenjiva sila F čija je projekcija F x na os x data.

Smatrajući teret kao materijalnu tačku, naći zakon njegovog kretanja na presjeku BC, tj. x = f(t), gdje je x = BD. Zanemarite trenje opterećenja na cijevi.

Preuzmite rješenje >>>

Teorema o promjeni kinetičke energije mehaničkog sistema

Zadatak

Mehanički sistem se sastoji od tegova 1 i 2, cilindričnog valjka 3, dvostepenih remenica 4 i 5. Tela sistema su povezana navojima namotanim na remenice; preseci niti su paralelni sa odgovarajućim ravnima. Valjak (čvrsti homogeni cilindar) se kotrlja duž referentne ravni bez klizanja. Polumjeri stepenica remenica 4 i 5 su R 4 = 0,3 m, r 4 = 0,1 m, R 5 = 0,2 m, r 5 = 0,1 m. Smatra se da je masa svake remenice ravnomjerno raspoređena duž njenog vanjskog ruba. . Noseće ravni utega 1 i 2 su hrapave, koeficijent trenja klizanja za svaki uteg je f = 0,1.

Pod dejstvom sile F, čiji se modul menja po zakonu F = F(s), gde je s pomeranje tačke njene primene, sistem počinje da se kreće iz stanja mirovanja. Kada se sistem kreće, na remenicu 5 djeluju sile otpora, čiji je moment u odnosu na os rotacije konstantan i jednak M 5 .

Odrediti vrijednost ugaone brzine remenice 4 u trenutku kada pomak s tačke primjene sile F postane jednak s 1 = 1,2 m.

Preuzmite rješenje >>>

Primjena opšte jednačine dinamike na proučavanje kretanja mehaničkog sistema

Zadatak

Za mehanički sistem odredite linearno ubrzanje a 1 . Uzmite u obzir da su za blokove i valjke mase raspoređene duž vanjskog radijusa. Kablovi i kaiševi se smatraju bestežinskim i nerastegljivim; nema klizanja. Zanemarite trenje kotrljanja i klizanja.

Preuzmite rješenje >>>

Primjena d'Alembertovog principa na određivanje reakcija oslonaca rotirajućeg tijela

Zadatak

Vertikalna osovina AK koja se ravnomjerno okreće ugaonom brzinom ω = 10 s -1 pričvršćena je potisnim ležajem u tački A i cilindričnim ležajem u tački D.

Na osovinu je čvrsto pričvršćena bestežinska šipka 1 dužine l 1 = 0,3 m na čijem se slobodnom kraju nalazi teret mase m 1 = 4 kg i homogena šipka 2 dužine l 2 = 0,6 m, s masom m 2 = 8 kg. Oba štapa leže u istoj vertikalnoj ravni. Tačke pričvršćivanja šipki na osovinu, kao i uglovi α i β navedeni su u tabeli. Dimenzije AB=BD=DE=EK=b, gdje je b = 0,4 m Uzmite opterećenje kao materijalnu tačku.

Zanemarujući masu osovine, odredite reakcije potisnog ležaja i ležaja.