Binoomjaotus selle omadused ja arvkarakteristikud. Binoomjaotuse omadused

Tere! Me juba teame, mis on tõenäosusjaotus. See võib olla diskreetne või pidev ja oleme õppinud, et seda nimetatakse tõenäosustiheduse jaotuseks. Nüüd uurime paari levinumat jaotust. Oletame, et mul on münt ja õige münt ning ma viskan seda 5 korda. Samuti defineerin juhusliku muutuja X, tähistan seda suur algustäht X, võrdub see "kotkaste" arvuga 5 viskega. Võib-olla on mul 5 münti, viskan need kõik korraga ja loen mitu pead ma sain. Või mul võiks olla üks münt, ma võiksin seda 5 korda ümber visata ja lugeda, mitu korda ma sain pead. See pole tegelikult oluline. Aga oletame, et mul on üks münt ja ma viskan seda 5 korda. Siis pole meil mingit ebakindlust. Nii et siin on minu määratlus juhuslik muutuja. Nagu me teame, on juhuslik muutuja tavalisest muutujast veidi erinev, see on pigem funktsioon. See annab katsele teatud väärtuse. Ja see juhuslik suurus on üsna lihtne. Lihtsalt loendame, mitu korda kotkas pärast 5 viset välja kukkus – see on meie juhuslik suurus X. Mõelgem, millised võivad olla tõenäosused erinevad väärtused meie puhul? Niisiis, kui suur on tõenäosus, et X (suurtäht X) on 0? Need. Kui suur on tõenäosus, et pärast 5 viset ei tule see kunagi pähe? Noh, see on tegelikult sama, mis tõenäosus saada mõni "saba" (just, väike ülevaade tõenäosusteooriast). Sa peaksid saama mõned "sabad". Kui suur on nende "sabade" tõenäosus? See on 1/2. Need. see peaks olema 1/2 korda 1/2, 1/2, 1/2 ja uuesti 1/2. Need. (1/2)⁵. 1⁵=1, jaga 2⁵-ga, s.o. juures 32. Täiesti loogiline. Niisiis... Ma kordan natuke seda, mida me tõenäosusteooria osas läbi elasime. See on oluline selleks, et mõista, kuhu me praegu liigume ja kuidas tegelikult diskreetne jaotus tõenäosused. Niisiis, kui suur on tõenäosus, et saame pea täpselt ühe korra? Noh, esimese viske peale võisid pead kerkida. Need. see võiks olla selline: "kotkas", "sabad", "sabad", "sabad", "sabad". Või teisel viskel võivad pead kerkida. Need. võiks olla selline kombinatsioon: "sabad", "pead", "sabad", "sabad", "sabad" jne. Üks "kotkas" võib välja kukkuda pärast ükskõik millist 5 viskamist. Kui suur on iga sellise olukorra tõenäosus? Peade saamise tõenäosus on 1/2. Seejärel korrutatakse "sabade" saamise tõenäosus 1/2-ga 1/2, 1/2, 1/2. Need. iga sellise olukorra tõenäosus on 1/32. Nagu ka olukorra tõenäosus, kus X=0. Tegelikult on peade ja sabade mis tahes erijärjestuse tõenäosus 1/32. Nii et selle tõenäosus on 1/32. Ja selle tõenäosus on 1/32. Ja sellised olukorrad tekivad seetõttu, et “kotkas” võib kukkuda ükskõik millise 5 viske peale. Seetõttu on tõenäosus, et täpselt üks “kotkas” kukub välja, 5 * 1/32, s.o. 5/32. Üsna loogiline. Nüüd algab huvitav. Kui suur on tõenäosus… (kirjutan kõik näited erineva värviga)… kui suur on tõenäosus, et minu juhuslik suurus on 2? Need. Ma viskan münti 5 korda ja kui suur on tõenäosus, et see langeb täpselt 2 korda? See on huvitavam, eks? Millised kombinatsioonid on võimalikud? See võib olla pead, pead, sabad, sabad, sabad. See võib olla ka pead, sabad, pead, sabad, sabad. Ja kui arvate, et need kaks "kotkast" võivad seista kombinatsiooni erinevates kohtades, võite veidi segadusse sattuda. Te ei saa enam mõelda paigutustele nii, nagu me siin eespool tegime. Kuigi ... saate, riskite ainult segadusse sattuda. Sa pead aru saama ühest asjast. Kõigi nende kombinatsioonide puhul on tõenäosus 1/32. ½*½*½*½*½. Need. iga nende kombinatsioonide tõenäosus on 1/32. Ja me peaksime mõtlema, kui palju on selliseid kombinatsioone, mis meie seisundit rahuldavad (2 "kotkast")? Need. tegelikult peate ette kujutama, et mündiviskeid on 5 ja peate neist valima 2, mille puhul "kotkas" kukub välja. Teeskleme, et meie 5 viskamist on ringis, samuti kujutame ette, et meil on ainult kaks tooli. Ja me ütleme: „Okei, kes teist istub nendele Kotkaste toolidele? Need. kellest teist saab "kotkas"? Ja meid ei huvita, millises järjekorras nad maha istuvad. Toon sellise näite, lootes, et see on teile selgem. Ja võiksite vaadata mõningaid tõenäosusteooria õpetusi sellel teemal, kui räägin Newtoni binoomarvust. Sest seal ma süvenen selle kõigesse lähemalt. Aga kui nii arutlete, siis saate aru, mida binoomkoefitsient. Sest kui mõelda nii: OK, mul on 5 viset, milline vise maandab esimesed pead? No siin on 5 et , mille viskel järjest esimene "kotkas" kukub välja. Ja kui palju võimalusi teisele "kotkale"? Noh, esimene vise, mida me juba kasutasime, võttis ühe võimaluse peatada. Need. kombo üks peaasend on juba ühe viskega hõivatud. Nüüd on jäänud 4 viset, mis tähendab, et teine ​​"kotkas" võib langeda ühele neljast viskest. Ja sa nägid seda siin. Valisin 1. viskel pea ja eeldasin, et neljast järelejäänud viskest ühel korral peaksid ka pead kerkima. Seega on siin ainult 4 võimalust. Kõik, mida ma ütlen, on see, et esimese pea jaoks on teil 5 erinevat asendit, millele see võib maanduda. Ja teisele on jäänud vaid 4 positsiooni. Mõtle selle üle. Kui me niimoodi arvutame, võetakse arvesse järjekorda. Kuid meie jaoks pole praegu vahet, millises järjekorras "pead" ja "sabad" välja kukuvad. Me ei ütle, et see on "kotkas 1" või "kotkas 2". Mõlemal juhul on see lihtsalt "kotkas". Võiksime eeldada, et see on pea 1 ja see on pea 2. Või võib olla ka vastupidi: see võib olla teine ​​"kotkas" ja see on "esimene". Ja ma ütlen seda sellepärast, et on oluline mõista, kus kasutada paigutusi ja kus kasutada kombinatsioone. Meid ei huvita järjestus. Nii et tegelikult on meie sündmusel ainult 2 päritoluviisi. Nii et jagame selle 2-ga. Ja nagu hiljem näete, on see 2! meie ürituse tekkeviisid. Kui oleks 3 pead, siis oleks 3! ja ma näitan teile, miks. Nii et see oleks... 5*4=20 jagatud 2-ga on 10. Seega on 32-st 10 erinevat kombinatsiooni, kus sul on kindlasti 2 pead. Nii et 10*(1/32) võrdub 10/32, millega see võrdub? 5/16. Kirjutan läbi binoomkoefitsiendi. See on väärtus siin ülaosas. Kui järele mõelda, on see sama, mis 5! jagatud ... Mida see 5 * 4 tähendab? 5! on 5*4*3*2*1. Need. kui mul on siin vaja ainult 5 * 4, siis võin selle jaoks jagada 5! 3 eest! See võrdub 5*4*3*2*1 jagatud 3*2*1-ga. Ja alles jääb ainult 5 * 4. Seega on see sama, mis see lugeja. Ja siis, sest meid ei huvita jada, siin on vaja 2. Tegelikult 2!. Korrutage 1/32-ga. See oleks tõenäosus, et tabaksime täpselt 2 pead. Kui suur on tõenäosus, et saame päid täpselt 3 korda? Need. tõenäosus, et x=3. Nii et sama loogika kohaselt võivad pead esmakordselt esineda 1-l viiest ümberpööramisest. Peade teistkordne esinemine võib ilmneda ühel neljast järelejäänud viskest. Kolmas peade esinemine võib ilmneda ühel kolmest järelejäänud viskest. Kui palju on olemas erinevaid viise korraldada 3 viset? Mitu võimalust on üldiselt 3 objekti oma kohale paigutamiseks? See on 3! Ja saate selle välja mõelda või võiksite uuesti vaadata õpetusi, kus ma seda üksikasjalikumalt selgitasin. Aga kui võtta näiteks tähed A, B ja C, siis on 6 võimalust, kuidas neid järjestada. Neid võib pidada rubriikideks. Siin võib olla ACB, CAB. See võib olla BAC, BCA ja… Mida viimane variant millele ma nime ei pannud? CBA. 3 erineva eseme paigutamiseks on 6 võimalust. Jagame 6-ga, sest me ei taha neid 6 uuesti lugeda erinevatel viisidel sest käsitleme neid samaväärsetena. Siin meid ei huvita, kui palju viskeid päid saab. 5*4*3… Selle saab ümber kirjutada kui 5!/2!. Ja jagage see veel 3-ga!. Selline ta on. 3! võrdub 3*2*1. Kolmikud kahanevad. Sellest saab 2. Sellest saab 1. Taaskord 5*2, st. on 10. Iga olukorra tõenäosus on 1/32, seega on see jällegi 5/16. Ja see on huvitav. Tõenäosus, et saad 3 pead, on tõenäosus et sul on 2 kotkast. Ja selle põhjus... Noh, põhjuseid, miks see juhtus, on palju. Aga kui järele mõelda, siis tõenäosus saada 3 pead on sama kui 2 saba saamise tõenäosus. Ja tõenäosus saada 3 saba peaks olema sama, mis tõenäosus saada 2 pead. Ja on hea, et väärtused nii toimivad. Hea. Kui suur on tõenäosus, et X=4? Saame kasutada sama valemit, mida kasutasime varem. See võib olla 5*4*3*2. Niisiis, siia kirjutame 5 * 4 * 3 * 2 ... Mitu erinevat võimalust on 4 objekti paigutamiseks? See on 4!. neli! - see on tegelikult see osa, siinsamas. See on 4*3*2*1. Seega see tühistab, jättes 5. Seejärel on iga kombinatsiooni tõenäosus 1/32. Need. see on võrdne 5/32. Jällegi pange tähele, et tõenäosus saada päid 4 korda on võrdne tõenäosusega, et pead kerkivad 1 korda. Ja see on mõistlik, sest. 4 pead on sama mis 1 saba. Ütlete: noh, ja millisel viskamisel see "saba" välja kukub? Jah, selleks on 5 erinevat kombinatsiooni. Ja igaühel neist on tõenäosus 1/32. Ja lõpuks, kui suur on tõenäosus, et X=5? Need. pea püsti 5 korda järjest. See peaks olema selline: "kotkas", "kotkas", "kotkas", "kotkas", "kotkas". Iga pea tõenäosus on 1/2. Korrutate need ja saate 1/32. Võite minna teist teed. Kui nendes katsetes on 32 võimalust pea ja saba saamiseks, siis see on vaid üks neist. Siin oli selliseid viise 32-st 5. Siin - 10 32-st. Sellegipoolest oleme arvutused läbi viinud ja nüüd oleme valmis tõenäosusjaotuse joonistamiseks. Aga minu aeg on läbi. Lubage mul jätkata järgmises õppetükis. Ja kui on tuju, siis ehk joonistada enne järgmise tunni vaatamist? Varsti näeme!

7. peatükk

Juhuslike suuruste jaotuse spetsiifilised seadused

Diskreetsete juhuslike suuruste jaotusseaduste tüübid

Olgu väärtused diskreetne juhuslik suurus X 1 , X 2 , …, x n, …. Nende väärtuste tõenäosusi saab arvutada erinevate valemite abil, kasutades näiteks tõenäosusteooria põhiteoreeme, Bernoulli valemit või mõnda muud valemit. Mõne sellise valemi puhul on jaotusseadusel oma nimi.

Diskreetse juhusliku suuruse levinumad jaotusseadused on binoom-, geomeetriline, hüpergeomeetriline, Poissoni jaotusseadus.

Binoomjaotuse seadus

Las toodetakse n sõltumatud katsed, millest igaühes võib sündmus toimuda, kuid ei pruugi juhtuda AGA. Selle sündmuse esinemise tõenäosus igas üksikus katses on konstantne, ei sõltu katse numbrist ja on võrdne R=R(AGA). Siit ka tõenäosus, et sündmust ei toimu AGA igas testis on samuti konstantne ja võrdne q=1–R. Vaatleme juhuslikku muutujat X võrdne sündmuse esinemiste arvuga AGA sisse n testid. On ilmne, et selle koguse väärtused on võrdsed

X 1 =0 – sündmus AGA sisse n teste ei ilmunud;

X 2 =1 – sündmus AGA sisse n katsed ilmusid üks kord;

X 3 =2 – sündmus AGA sisse n katsed ilmusid kaks korda;

…………………………………………………………..

x n +1 = n- sündmus AGA sisse n testid näitasid kõike nüks kord.

Nende väärtuste tõenäosusi saab arvutada Bernoulli valemi (4.1) abil:

kus juurde=0, 1, 2, …,n .

Binoomjaotuse seadus X, võrdne arvuga edu sisse n Bernoulli katsed, edu tõenäosusega R.

Seega on diskreetsel juhuslikul suurusel binoomjaotus (või jaotatud vastavalt binoomseadusele), kui selle võimalikud väärtused on 0, 1, 2, …, n, ja vastavad tõenäosused arvutatakse valemiga (7.1).

Binoomjaotus oleneb kahest parameetrid R ja n.

Binoomseaduse järgi jaotatud juhusliku suuruse jaotusrida on järgmisel kujul:

X			…	k	…	n
R			…		…

Näide 7.1 . Sihtmärki tehakse kolm iseseisvat lasku. Iga lasu tabamise tõenäosus on 0,4. Juhuslik väärtus X- sihtmärgi tabamuste arv. Koostage selle jaotusseeria.

Lahendus. Juhusliku suuruse võimalikud väärtused X on X 1 =0; X 2 =1; X 3 =2; X 4=3. Leidke Bernoulli valemi abil vastavad tõenäosused. Lihtne on näidata, et selle valemi kasutamine siin on igati õigustatud. Pange tähele, et tõenäosus, et ühe lasuga sihtmärki ei taba, on 1-0,4=0,6. Hangi

Jaotussarjal on järgmine vaade:

X
R	0,216	0,432	0,288	0,064

Lihtne on kontrollida, kas kõigi tõenäosuste summa on võrdne 1-ga. Juhuslik suurus ise X jagatud binoomseaduse järgi. ■

Otsime üles oodatud väärtus ja binoomseaduse järgi jaotatud juhusliku suuruse dispersioon.

Näite 6.5 lahendamisel näidati, et sündmuse esinemiste arvu matemaatiline ootus AGA sisse n sõltumatud testid kui esinemise tõenäosus AGA igas testis on konstantne ja võrdne R, võrdub n· R

Selles näites kasutati juhuslikku muutujat, mis on jagatud binoomseaduse järgi. Seetõttu on näite 6.5 lahendus tegelikult järgmise teoreemi tõestus.

Teoreem 7.1. Binoomseaduse järgi jaotatud diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus on võrdne katsete arvu ja "edu" tõenäosuse korrutisega, s.o. M(X)=n· R.

Teoreem 7.2. Binoomseaduse järgi jaotatud diskreetse juhusliku suuruse dispersioon on võrdne katsete arvu korrutisega "edu" tõenäosusega ja "ebaõnnestumise" tõenäosusega, s.o. D(X)=npq.

Binoomseaduse järgi jaotatud juhusliku suuruse kalduvus ja kurtoos määratakse valemitega

Neid valemeid saab saada alg- ja keskmomendi mõistet kasutades.

Binoomjaotuse seadus on paljude aluseks tõelisi olukordi. Kell suured väärtused n binoomjaotust saab lähendada teiste jaotustega, eriti Poissoni jaotusega.

Poissoni jaotus

Las olla n Bernoulli katsed koos katsete arvuga n piisavalt suur. Varem näidati, et sel juhul (kui lisaks on tõenäosus R arenguid AGA väga väike), et leida tõenäosus, et sündmus AGA ilmuma t testides saate kasutada Poissoni valemit (4.9). Kui juhuslik suurus X tähendab sündmuse esinemiste arvu AGA sisse n Bernoulli katsed, siis tõenäosus, et X saab tähenduse k saab arvutada valemiga

, (7.2)

kus λ = nr.

Poissoni jaotamise seadus nimetatakse diskreetse juhusliku suuruse jaotuseks X, mille võimalikud väärtused on mittenegatiivsed täisarvud ja tõenäosused p t need väärtused leitakse valemiga (7.2).

Väärtus λ = nr helistas parameeter Poissoni jaotus.

Poissoni seaduse järgi jaotatud juhuslik suurus võib võtta lõpmatu hulk väärtused. Kuna selle jaotuse korral on tõenäosus R Sündmuse esinemine igas katses on väike, siis nimetatakse seda jaotust mõnikord haruldaste nähtuste seaduseks.

Poissoni seaduse järgi jaotatud juhusliku suuruse jaotusridadel on kuju

X					…	t	…
R					…		…

Lihtne on kontrollida, kas teise rea tõenäosuste summa on võrdne 1-ga. Selleks peame meeles pidama, et funktsiooni saab laiendada Maclaurini seerias, mis koondub mis tahes X. AT sel juhul meil on

. (7.3)

Nagu märgitud, asendab Poissoni seadus teatud piiravatel juhtudel binoomseadust. Näiteks on juhuslik muutuja X, mille väärtused on võrdsed rikete arvuga teatud aja jooksul tehnilise seadme korduval kasutamisel. Eeldatakse, et see seade on suure töökindlusega, s.t. ebaõnnestumise tõenäosus ühes rakenduses on väga väike.

Lisaks sellistele piiravatele juhtumitele on praktikas Poissoni seaduse järgi jaotatud juhuslikud muutujad, mis ei ole seotud binoomjaotusega. Näiteks Poissoni jaotust kasutatakse sageli ajaperioodi jooksul toimuvate sündmuste arvu käsitlemisel (telefonikeskjaama kõnede arv tunni jooksul, päeva jooksul autopesulasse saabunud autode arv, autopesulasse saabunud autode arv, autopesulale saabunud autode arv). masina peatumiste arv nädalas jne). Kõik need sündmused peavad moodustama nn sündmuste voo, mis on teooria üks põhimõisteid järjekorras seismine. Parameeter λ iseloomustab sündmuste voo keskmist intensiivsust.

Muidugi tuleks kumulatiivse jaotusfunktsiooni arvutamisel kasutada mainitud seost binoom- ja beetajaotuse vahel. See meetod on kindlasti parem kui otsene liitmine, kui n > 10.

Klassikalistes statistikaõpikutes soovitatakse binoomjaotuse väärtuste saamiseks sageli kasutada piirteoreemidel põhinevaid valemeid (nt Moivre-Laplace'i valem). Tuleb märkida, et puhtalt arvutuslikust vaatenurgast nende teoreemide väärtus on nullilähedane, eriti praegu, kui pea iga laua peal on võimas arvuti. Ülaltoodud lähenduste peamiseks puuduseks on nende täiesti ebapiisav täpsus enamiku rakenduste jaoks tüüpiliste n väärtuste jaoks. Mitte väiksemaks puuduseks on selgete soovituste puudumine ühe või teise lähenduse rakendatavuse kohta (standardtekstides on esitatud ainult asümptootilised sõnastused, neile ei kaasne täpsushinnanguid ja seetõttu on neist vähe kasu). Ütleksin, et mõlemad valemid kehtivad ainult n puhul< 200 и для совсем грубых, ориентировочных расчетов, причем делаемых “вручную” с помощью статистических таблиц. А вот связь между биномиальным распределением и бета-распределением позволяет вычислять биномиальное распределение достаточно экономно.

Ma ei käsitle siin kvantiilide leidmise probleemi: diskreetsete jaotuste puhul on see triviaalne ja nendes probleemides, kus sellised jaotused tekivad, pole see reeglina asjakohane. Kui kvantiile on endiselt vaja, soovitan probleemi ümber sõnastada nii, et see töötaks p-väärtustega (vaadeldud olulisusega). Siin on näide: mõne loendusalgoritmi rakendamisel tuleb igal etapil kontrollida statistiline hüpotees binoomjuhusliku suuruse kohta. Vastavalt klassikaline lähenemine igal etapil on vaja arvutada kriteeriumi statistika ja võrrelda selle väärtust kriitilise hulga piiriga. Kuna aga algoritm on loenduslik, on vaja iga kord uuesti määrata kriitilise hulga piir (valimi suurus ju muutub sammuti), mis suurendab ebaproduktiivselt ajakulusid. Kaasaegne lähenemine soovitab vaadeldava olulisuse välja arvutada ja võrrelda sellega usalduse tase, säästes kvantiilide otsimisel.

Seetõttu ei arvuta järgmised koodid pöördfunktsiooni, selle asemel on antud funktsioon rev_binomialDF, mis arvutab ühe katse õnnestumise tõenäosuse p, arvestades katsete arvu n, nende õnnestumiste arvu m ja väärtust y nende m õnnestumiste saamise tõenäosusest. See kasutab ülalmainitud seost binoom- ja beetajaotuse vahel.

Tegelikult võimaldab see funktsioon teil saada usaldusvahemike piirid. Tõepoolest, oletame, et saame m õnnestumist n binoomkatses. Nagu teate, on kahepoolne vasakpoolne piir usaldusvahemik kui parameetri p usaldusnivooga on 0, kui m = 0 ja for on võrrandi lahend . Samamoodi on parempiir 1, kui m = n, ja for on võrrandi lahend . See tähendab, et vasakpoolse piiri leidmiseks peame võrrandi lahendama , ja õige otsimiseks - võrrandit . Need on lahendatud funktsioonides binom_leftCI ja binom_rightCI , mis tagastavad vastavalt kahepoolse usaldusvahemiku ülemise ja alumise piiri.

Tahan märkida, et kui absoluutselt uskumatut täpsust pole vaja, siis piisavalt suure n korral võite kasutada järgmist lähendust [B.L. van der Waerden, Matemaatiline statistika. M: IL, 1960, Ch. 2, sek. 7]: , kus g on kvantiil normaaljaotus. Selle lähenduse väärtus seisneb selles, et on väga lihtsaid lähendusi, mis võimaldavad arvutada normaaljaotuse kvantiile (vt normaaljaotuse arvutamise teksti ja selle viite vastavat osa). Minu praktikas (peamiselt n > 100 puhul) andis see lähendus umbes 3-4 numbrit, mis on reeglina täiesti piisav.

Järgmiste koodidega arvutamiseks on vaja faile betaDF.h , betaDF.cpp (vt beetalevitamise jaotist), samuti logGamma.h , logGamma.cpp (vt lisa A). Näete ka funktsioonide kasutamise näidet.

binomialDF.h faili

#ifndef __BINOMIAL_H__ #include "betaDF.h" double binomialDF(topeltkatsed, topelt õnnestumised, topelt p); /* * Olgu sõltumatute vaatluste "katsetused" * edukuse tõenäosusega "p". * Arvutage tõenäosus B(edumised|katsed,p), et õnnestumiste arv * on vahemikus 0 kuni "edukad" (kaasa arvatud). */ double rev_binomialDF(double katsed, topelt õnnestumised, double y); /* * Olgu vähemalt m õnnestumise * tõenäosus y teada Bernoulli skeemi katsetes. Funktsioon leiab ühe katse õnnestumise tõenäosuse p *. * * Arvutustes kasutatakse järgmist seost * * 1 - p = rev_Beta(katsed-edumised| õnnestumised+1, y). */ double binom_leftCI(double katsed, topelt õnnestumised, topelttase); /* Olgu sõltumatute vaatluste * "katsetused" igas * õnnestumise tõenäosusega "p" ja õnnestumiste arv on "edu". * Kahepoolse usaldusvahemiku * vasak piir arvutatakse olulisuse taseme tasemega. */ double binom_rightCI(double n, topelt õnnestumised, topelttase); /* Olgu sõltumatute vaatluste * "katsetused" igas * õnnestumise tõenäosusega "p" ja õnnestumiste arv on "edu". * Kahepoolse usaldusvahemiku * parempiir arvutatakse olulisuse taseme tasemega. */ #endif /* Lõpeb #ifndef __BINOMIAL_H__ */

binomialDF.cpp faili

/**************************************************** **** **********/ /* Binoomjaotus */ /******************************** ********************************/ #kaasa #kaasa #include "betaDF.h" SISESTUS double binomialDF(double n, double m, double p) /* * Olgu "n" sõltumatut vaatlust * tõenäosusega "p" mõlemas õnnestumises. * Arvutage tõenäosus B(m|n,p), et õnnestumiste arv on * vahemikus 0 kuni "m" (kaasa arvatud), s.t. * binoomtõenäosuste summa vahemikus 0 kuni m: * * m * -- (n) j n-j * > () p (1-p) * -- (j) * j=0 * * Arvutused ei tähenda lolli liitmist - * kasutatakse järgmist seost keskse beeta jaotusega: * * B(m|n,p) = Beeta(1-p|n-m,m+1). * * Argumendid peavad olema positiivsed, 0-ga<= p <= 1. */ { assert((n >0) && (p >= 0) && (lk<= 1)); if (m < 0) return 0; else if (m == 0) return pow(1-p, n); else if (m >= n) tagastus 1; muidu tagastab BetaDF(n-m, m+1).väärtus(1-p); )/* binomialDF */ ENTRY double rev_binomialDF(double n, double m, double y) /* * Olgu vähemalt m õnnestumise * tõenäosus y teada n Bernoulli skeemi katses. Funktsioon leiab ühe katse õnnestumise tõenäosuse p *. * * Arvutustes kasutatakse järgmist seost * * 1 - p = rev_Beta(y|n-m,m+1). */ ( assert((n > 0) && (m >= 0) && (m<= n) && (y >= 0) && (y<= 1)); return 1-BetaDF(n-m, m+1).inv(y); }/*rev_binomialDF*/ ENTRY double binom_leftCI(double n, double m, double y) /* Пусть имеется "n" независимых наблюдений * с вероятностью "p" успеха в каждом * и количество успехов равно "m". * Вычисляется левая граница двухстороннего доверительного интервала * с уровнем значимости y. */ { assert((n >0) && (m >= 0) && (m<= n) && (y >= 0,5) && (y< 1)); return BetaDF(m, n-m+1).inv((1-y)/2); }/*binom_leftCI*/ ENTRY double binom_rightCI(double n, double m, double y) /* Пусть имеется "n" независимых наблюдений * с вероятностью "p" успеха в каждом * и количество успехов равно "m". * Вычисляется правая граница доверительного интервала * с уровнем значимости y. */ { assert((n >0) && (m >= 0) && (m<= n) && (y >= 0,5) && (y< 1)); return BetaDF(m+1, n-m).inv((1+y)/2); }/*binom_rightCI*/

Diskreetsete juhuslike suuruste tõenäosusjaotused. Binoomjaotus. Poissoni jaotus. Geomeetriline jaotus. genereeriv funktsioon.

6. Diskreetsete juhuslike suuruste tõenäosusjaotused

6.1. Binoomjaotus

Las toodetakse n sõltumatud katsed, millest igaühel on sündmus A võib ilmuda või mitte. Tõenäosus lk sündmuse toimumine A kõigis testides on konstantne ega muutu testiti. Käsitleme juhusliku suurusena X sündmuse esinemiste arvu A nendes testides. Valem sündmuse toimumise tõenäosuse leidmiseks A sile kükskord n teste, nagu teada, on kirjeldatud Bernoulli valem

Bernoulli valemiga defineeritud tõenäosusjaotust nimetatakse binoom .

Seda seadust nimetatakse "binoomiks", kuna paremat poolt võib pidada Newtoni binoomväärtuse laiendamisel tavaliseks terminiks

Kirjutame binoomseaduse tabeli kujul

	lk n	np n –1 q				q n

Leiame selle jaotuse arvulised karakteristikud.

DSW matemaatilise ootuse määratluse järgi on meil

.

Kirjutame üles võrdsuse, milleks on Newtoni prügikast

.

ja eristada seda lk suhtes. Selle tulemusena saame

.

Korrutage vasak ja parem pool peal lk:

.

Arvestades seda lk+ q=1, meil on

(6.2)

Niisiis, matemaatiline ootus sündmuste esinemiste arvu kohta aastalnsõltumatud katsed on võrdne katsete arvu korrutisegantõenäosuse kohtalksündmuse esinemine igas katses.

Dispersiooni arvutame valemiga

.

Selle jaoks leiame

.

Esiteks eristame Newtoni binoomvalemit kaks korda lk:

ja korrutage võrrandi mõlemad pooled arvuga lk 2:

Järelikult

Seega on binoomjaotuse dispersioon

. (6.3)

Neid tulemusi on võimalik saada ka puhtalt kvalitatiivse arutluskäiguga. Sündmuse A esinemiste koguarv kõigis katsetes liidetakse üksikute katsete juhtumite arvule. Seega, kui X 1 on sündmuse esinemiste arv esimesel katsel, X 2 teisel jne, siis koguarv sündmuse A esinemine kõigis katsetes on võrdne X=X 1 +X 2 +…+X n. Vastavalt matemaatilise ootuse omadusele:

Iga võrdus paremal pool olev termin on matemaatiline ootus sündmuste arvu kohta ühes testis, mis on võrdne sündmuse tõenäosusega. Sellel viisil,

Vastavalt dispersiooniomadusele:

Alates , ja juhusliku muutuja matemaatiline ootus , mis võib võtta ainult kaks väärtust, nimelt 1 2 tõenäosusega lk ja 0 2 tõenäosusega q, siis
. Sellel viisil,
Selle tulemusena saame

Alg- ja keskmomentide kontseptsiooni kasutades saab kaldsuse ja kurtoosi valemeid:

. (6.4)

Riis. 6.1

Binoomjaotuse hulknurgal on järgmine kuju (vt joonis 6.1). Tõenäosus P n (k) suureneb kõigepealt suurenedes k, ulatub suurim väärtus ja siis hakkab vähenema. Binoomjaotus on viltu, välja arvatud juhtum lk=0,5. Pange tähele, et millal suured numbrid testid n binoomjaotus on normaalsele väga lähedane. (Selle väite põhjendus on seotud kohaliku Moivre-Laplace'i teoreemiga.)

Numberm 0 sündmuse toimumist nimetataksekõige tõenäolisemalt , kui tõenäosus, et sündmus toimub antud katseseerias teatud arv kordi, on suurim (maksimaalne jaotuspolügoonil). Binoomjaotuse jaoks

Kommenteeri. Seda ebavõrdsust saab tõestada kasutades korduv valem binoomtõenäosuste jaoks:

(6.6)

Näide 6.1. Premium-toodete osakaal selles ettevõttes on 31%. Mis on keskmine ja dispersioon, samuti kõige tõenäolisem premium-kaupade arv juhuslikult valitud 75 kaubast koosnevas partiis?

Lahendus. Kuna lk=0,31, q=0,69, n=75, siis

M[ X] = np= 750,31 = 23,25; D[ X] = npq = 750,310,69 = 16,04.

Kõige tõenäolisema numbri leidmiseks m 0 , koostame topeltvõrratuse

Sellest järeldub m 0 = 23.