Algebralise materjali õppimine algkoolis. Algebraline materjal matemaatika algkursusel

Jaotises „Kohustuslik miinimumsisu algharidus" Kõrval haridusvaldkond“Matemaatika”, algebralise materjali uurimine, nagu varem, ei ole eraldiseisva õppeaine didaktilise üksusena määratletud. kohustuslik õpe. Dokumendi selles osas märgitakse lühidalt, et on vaja "anda teadmisi numbriliste ja tähestikuliste väljendite, nende tähenduste ja nende väljendite vaheliste erinevuste kohta". Jaotises “Nõuded lõpetajate koolituse kvaliteedile” leiate ainult lühike fraas ebamäärase tähendusega "õpetada, kuidas arvutada aritmeetilise tehte tundmatut komponenti". Küsimuse, kuidas õpetada “tundmatut komponenti arvutama”, peaks otsustama programmi või koolitustehnoloogia autor.

Vaatleme, kuidas iseloomustatakse mõisteid "väljend", "võrdsus", "ebavõrdsus", "võrrand" ja milline on nende uurimise metoodika erinevates metoodilistes õppesüsteemides.

7.1. Väljendid ja nende tüübid...
matemaatika kursusel

Põhikool

Väljendus on matemaatiline märge, mis koosneb tähtede või märkide abil ühendatud numbritest koosnevatest numbritest aritmeetilised tehted. Üks arv on samuti avaldis. Kutsutakse avaldist, milles kõik numbrid on tähistatud numbritega numbriline avaldis.

Kui sooritame näidatud toimingud arvulises avaldises, saame numbri, mida kutsutakse väljendi tähendus.

Avaldisi saab klassifitseerida avaldiste kirjutamiseks kasutatavate aritmeetiliste toimingute arvu ja arvude määramise viisi järgi. Esimese aluse järgi jaotatakse avaldised rühmadesse: elementaaravaldised (ei sisalda aritmeetilise tehtemärki), lihtsad (üks aritmeetilise tehtemärk) ja liitavaldised (rohkem kui üks aritmeetilise tehtemärk). Teise aluse järgi eristatakse numbrilisi (numbrid kirjutatakse numbritega) ja tähestikulisi (tähtedega tähistatakse vähemalt ühte numbrit või kõiki numbreid) avaldisi.

Matemaatiline tähistus, mida matemaatikas tavaliselt nimetatakse avaldisteks, tuleb eristada teistest tähistusliikidest.

Näide või arvutuslik harjutus nimetatakse avaldise kirjeks koos selle hindamise nõudega.

5+3 on väljend, 8 on selle tähendus

5+3 = arvutusharjutus (näide),

8- arvutusharjutuse tulemus (näide)

Sõltuvalt aritmeetilise tehte märgist, mida lihtavaldise kirjutamisel kasutatakse, jagatakse lihtsad avaldised avaldiste rühmadesse, millel on märk “+”, “-”, “”, “:”. Nendel väljenditel on erinimetused (2 + 3 - summa; 7 - 4 - erinevus; 7 × 2 - korrutis; 6: 3 - jagatis) ja üldtunnustatud lugemismeetodid, mida algkooliõpilastele tutvustatakse.

+-märgiga väljendite lugemise viisid:

25+17 – 25 pluss 17

25+17 – lisa 17 kuni 25

25+17 – 25 jah 17

25+17 – 25 ja veel 17.

25+17 – arvude kakskümmend viis ja seitseteist summa (25 ja 17 summa)

25+17 – 25 suureneb 17 võrra

25+17 – 1. õppeveerand 25, 2. veerand 17

Koos salvestamisega lihtsad väljendid lapsed saavad tuttavaks vastava matemaatilise tehte tutvustamisel. Näiteks lisamise toiminguga tutvumisega kaasneb avaldise kirjutamine 2 + 1 lisamiseks, siin on toodud ka näited nende väljendite lugemise esimestest vormidest: "lisada üks kahele", "kaks ja üks"; "kaks ja üks", "kaks pluss üks". Teisi formulatsioone tutvustatakse siis, kui lapsed vastavate mõistetega tutvuvad. Uurides toimingute komponentide nimetusi ja nende tulemusi, õpivad lapsed lugema nende nimede abil väljendit (esimene liige on 25, teine ​​on 17 või 25 ja 17 summa). Mõistete "suurendamine … võrra", "vähendamine … võrra" tundmine võimaldab teil lisada liitmise ja lahutamise avaldiste lugemiseks uue sõnastuse nende mõistetega "kakskümmend viis suurendatakse seitsmeteistkümne võrra", "kakskümmend viis vähenevad seitsmeteistkümne võrra". . Sama tehakse ka teist tüüpi lihtsate väljenditega.

Lapsed saavad mõistetega "väljendus" ja "väljenduse tähendus" tuttavaks paljudes haridussüsteemides ("Venemaa kool" ja "Harmoonia") mõnevõrra hiljem, kui nad õpivad neid kirjutama, arvutama ja lugema, mitte kõigis. kuid paljudes ravimvormides. Teistes programmides ja haridussüsteemides (L.V. Zankovi süsteem, “Kool 2000...”, “Kool 2100”) nimetatakse neid matemaatilisi kirjeid kohe avaldisteks ja seda sõna kasutatakse arvutusülesannetes.

Õpetage lapsi lugema väljendeid erinevad ravimvormid, tutvustame neile matemaatikaterminite maailma, anname võimaluse õppida matemaatilist keelt, selgitada välja matemaatiliste seoste tähendused, mis kahtlemata parandab õpilase matemaatilist kultuuri ja soodustab teadlik assimilatsioon palju matemaatilised mõisted.

Ø “Tee nii nagu mina” tehnika. Õige kõneõpetaja, kelle järel lapsed kordavad sõnastust, on kirjaoskuse alus matemaatiline kõne koolilapsed. Märkimisväärne mõju saavutatakse laste hääldatava sõnastuse võrdlemise tehnikaga antud mudeliga. Kasulik on kasutada tehnikat, kui õpetaja seda spetsiaalselt lubab kõnevead ja lapsed parandavad teda.

Ø Esitage mitu väljendit ja pakuge neid väljendeid lugeda erinevatel viisidel. Üks õpilane loeb väljendit ja teised kontrollivad seda. Kasulik on anda nii palju väljendeid, kui lapsed selleks ajaks teavad.

Ø Õpetaja dikteerib väljendeid erineval viisil ja lapsed panevad väljendid ise kirja, ilma nende tähendusi arvutamata. Sellised ülesanded on suunatud laste matemaatilise terminoloogia teadmiste kontrollimisele, nimelt erinevate matemaatiliste sõnastustega loetud väljendite või arvutusharjutuste üleskirjutamise oskusele.

Kui püstitatakse ülesanne, mis hõlmab arvutusoskuse arengu kontrollimist, on kasulik lugeda väljendeid või arvutusharjutusi ainult nendes sõnastustes, mis on hästi valdatud, muretsemata nende mitmekesisuse pärast ja paluda lastel kirja panna ainult arvutuste tulemused. , väljendeid ennast pole vaja üles kirjutada.

Nimetatakse avaldist, mis koosneb mitmest lihtsast komposiit.

Järelikult on liitavaldise oluliseks tunnuseks selle koosseis lihtlausetest. Liitväljendiga tutvumine võib toimuda järgmise plaani järgi:

1. Esitage lihtne avaldis ja arvutage selle väärtus

(7 + 2 = 9), nimetage see kõigepealt või antud.

2. Koostage teine ​​avaldis nii, et esimese väärtusest saaks teise komponent (9 - 3), nimetage see avaldis esimese jätkuks. Arvutage teise avaldise väärtus (9 – 3 = 6).

3. Illustreerige juhendi põhjal esimese ja teise avaldise liitmise protsessi.

Käsiraamat on ristkülikukujuline paberileht, mis on jagatud 5 osaks ja volditud nagu akordion. Iga juhendi osa sisaldab teatud kirjeid:

7 + 2

=

— 3

= 6

Peidates selle juhendi teise ja kolmanda osa (esimesest avaldisest peidame selle arvutamise nõude ja selle väärtuse ning teises peidame vastuse esimese küsimusele), saame liitavaldise ja selle väärtuse ( 7 + 2 -3 = 6). Anname sellele nime – komposiit (koosneb teistest).

Illustreerime teiste avaldisepaaride või arvutusharjutuste liitmise protsessi, rõhutades:

ü ainult avaldisepaari saab liita liita, kui neist ühe väärtus on teise komponent;

ü jätkuavaldise väärtus ühtib liitavaldise väärtusega.

Liitavaldise kontseptsiooni tugevdamisel on kasulik täita kahte tüüpi ülesandeid.

1 tüüp. Arvestades lihtsate avaldiste komplekti, tuleb nende hulgast valida paarid, mille puhul on tõene seos “ühe väärtus on teise komponent”. Tehke igast lihtlausete paarist üks liitavaldis.

2. vaade. Antakse liitavaldis. On vaja kirja panna lihtsad väljendid, millest see koosneb.

Kirjeldatud tehnika on kasulik mitmel põhjusel:

§ Analoogia põhjal saame kasutusele võtta liitprobleemi mõiste;

§ liitväljendi olemuslik tunnus tuleb selgemalt esile;

§ vead väärtuste arvutamisel välditakse liitväljendid;

§ See tehnika võimaldab illustreerida sulgude rolli liitavaldistes.

Liitväljendeid, mis sisaldavad märke “+”, “-” ja sulgusid, õpitakse alates esimesest klassist. Mõned haridussüsteemid (“Vene kool”, “Harmoonia”, “Kool 2000”) ei näe ette sulgude õppimist esimeses klassis. Neid tutvustatakse teises klassis aritmeetiliste tehtete omaduste (summade kombinatoorse omaduse) uurimisel. Sulud võetakse kasutusele märkidena, millega matemaatikas saab näidata tegevuste järjekorda avaldistes, mis sisaldavad rohkem kui ühte tegevust. Edaspidi saavad lapsed tuttavaks liitväljenditega, mis sisaldavad esimese ja teise sammu toiminguid koos sulgudega ja ilma. Liitväljendite uurimisega kaasneb nende avaldiste tegevuste järjekorra reeglite ja liitavaldiste lugemisviiside uurimine.

Märkimisväärset tähelepanu pööratakse kõikides programmides avaldiste teisendamisele, mis viiakse läbi summa ja korrutise kombinatoorsete omaduste alusel, reeglid summast arvu lahutamise ja arvust summa lahutamise, summa korrutamise reeglitega arv ja summa jagamine arvuga. Meie arvates ei ole mõnes programmis piisavalt harjutusi, mis on suunatud liitavaldiste lugemise oskuse arendamisele, mis loomulikult mõjutab hiljem võrrandite teistmoodi lahendamise oskust (vt allpool). IN viimased väljaanded hariduslikud ja metoodilised kompleksid matemaatikas eest algklassid kõigi programmide jaoks suurt tähelepanu antakse ülesanded liitavaldiste programmide ja arvutusalgoritmide loomise kohta kolme kuni üheksa sammuga.

Väljendid, kus helistatakse ühte numbrit või kõiki tähtedega tähistatud numbreid tähestikuline (A+ 6; (A+V)× Koos– sõnasõnalised väljendid). Propedeutika tähtväljendite kasutuselevõtuks on väljendid, kus üks numbritest on asendatud punktide või tühja ruuduga. Seda kirjet nimetatakse väljendiks “aknaga” (+4 – aknaga avaldis).

Tüüpilised täheväljendeid sisaldavad ülesanded on ülesanded väljendite tähenduse leidmiseks, eeldusel, et täht võtab erinevaid tähendusi antud väärtuste loendist. (Arvutama väljendi tähendused A+ V Ja A— V, Kui A= 42, V= 90 või A = 100, V= 230). Literaalsete avaldiste väärtuste arvutamiseks asendatakse muutujate antud väärtused vaheldumisi avaldistega ja seejärel töödeldakse nagu arvavaldiste puhul.

Täheväljendeid saab kasutada aritmeetiliste toimingute omaduste üldistatud kirjete tutvustamiseks, ideede kujundamiseks toimingukomponentide muutuvate väärtuste võimalikkuse kohta ja võimaldada lapsi viia "muutuva koguse" keskse matemaatilise kontseptsiooni juurde. Lisaks mõistavad lapsed tähtväljendite abil mittenegatiivsete täisarvude hulga summa, erinevuse, korrutise, jagatise väärtuste olemasolu omadusi. Niisiis, väljendis A+ V muutujate mis tahes väärtuste jaoks A Ja V saate arvutada summa väärtuse ja avaldise väärtuse A— V, saab määratud komplekti alusel arvutada ainult siis, kui V väiksem või võrdne A. Võimalike väärtuspiirangute kehtestamisele suunatud ülesannete analüüsimine A Ja V väljendites A V Ja A: V, lapsed kehtestavad teose tähenduse olemasolu ja konkreetse tähenduse omadused eakohaselt kohandatud kujul.

Tähtsümboleid kasutatakse vahendina laste teadmiste ja ideede üldistamiseks kvantitatiivsed omadusedümbritseva maailma objektid ja aritmeetiliste tehete omadused. Tähesümbolite üldistav roll muudab selle väga tugevaks aparaadiks üldistatud ideede ja matemaatilise sisuga tegevusmeetodite kujundamiseks, mis kahtlemata suurendab matemaatika võimalusi arengus ja kujunemises. abstraktsed vormid mõtlemine.

7.2. Võrdsuse ja ebavõrdsuse uurimine kursusel

algkooli matemaatikud

Arvude ja/või avaldiste võrdlemine viib uute matemaatiliste mõistete “võrdsus” ja “ebavõrdsus” esilekerkimiseni.

Võrdsus nad kutsuvad kirjet, mis sisaldab kahte avaldist, mis on ühendatud märgiga "=" - võrdne (3 = 1 + 2; 8 + 2 = 7 + 3 - võrdne).

Ebavõrdsus on kirje, mis sisaldab kahte avaldist ja võrdlusmärki, mis näitab nende avaldiste vahelist seost "suurem kui" või "vähem kui"

(3 < 5; 2+4 >2+3 - ebavõrdsused).

On võrdsust ja ebavõrdsust tõene ja vale. Kui võrdsuse vasakul ja paremal küljel olevate avaldiste väärtused langevad kokku, loetakse võrdsus tõeseks, kui mitte, siis on võrdsus väär. Seega: kui ebavõrdsuse tähises näitab võrdlusmärk õigesti arvude (elementaaravaldiste) või avaldiste väärtuste vahelist seost, siis on ebavõrdsus tõene, vastasel juhul on ebavõrdsus väär.

Enamik matemaatika ülesandeid hõlmab väljendite tähenduse arvutamist. Kui avaldise väärtus on leitud, siis saab avaldise ja selle väärtuse siduda “võrdub” märgiga, mis tavaliselt kirjutatakse võrdusena: 3+1=4. Kui avaldise väärtus arvutati õigesti, siis nimetatakse võrdsust tõeseks, kui see on vale, siis loetakse kirjalik võrdus ebaõigeks.

Lastele tutvustatakse võrdõiguslikkust esimeses klassis samaaegselt mõistega "väljendus" teemas "Esimese kümne numbrid". Hariduse sümboolse mudeli valdamine järgnevate ja eelmine kuupäev, lapsed kirjutavad võrseid 2 + 1 = 3 ja 4 – 1 = 3. Edaspidi kasutatakse võrdseid aktiivselt ühekohaliste arvude koostise uurimisel ja siis on põhikooli matemaatikakursusel peaaegu iga teema uurimine. seotud selle kontseptsiooniga.

Mõistete “tõeline” ja “vale” võrdsus juurutamine erinevates programmides on lahendatud mitmetähenduslikult. Süsteemis “Kool 2000...” tutvustatakse seda mõistet samaaegselt võrdsuse registreerimisega, süsteemis “Venemaa kool” - kui uuritakse teemat “Ühekohaliste arvude koosseis” võrduste registreerimisel “koos aken” (+3 = 5; 3 + = 5). Valides aknasse sisestatava numbri, on lapsed veendunud, et mõnel juhul on võrrandid õiged ja mõnel juhul valed. Tuleb märkida, et need matemaatilised kirjed võimaldavad ühelt poolt koondada arvude või muu arvutusmaterjali koostist tunni teema kohta, teisalt moodustavad nad ettekujutuse muutujast ja on ettevalmistus "võrrandi" kontseptsiooni omandamiseks.

Kõigis programmides kasutatakse kõige sagedamini kahte tüüpi võrdsuse ja ebavõrdsuse mõistetega seotud ülesandeid, tõeseid ja valesid võrdusi ja ebavõrdsusi:

· Antud arvude või avaldiste vahel tuleb nende vahele panna märk, et kirje oleks õige. Näiteks "Pane sildid: "<», «>", "=" 7-5 ... 7-3; 6+4 ... 6+3".

· Võrdlusmärgiga kirjete puhul tuleb tõelise võrdsuse või ebavõrdsuse saamiseks asendada kasti asemel numbrid. Näiteks „Valige numbrid nii, et kirjed oleksid õiged: > ; või +2< +3».

Kui võrrelda kahte numbrit, siis lapsed põhjendavad märgi valikut sarja koostamise põhimõttest lähtuvalt naturaalarvud, arvu või selle koostise tähtsust. Kui võrrelda kahte arvavaldist või avaldist arvuga, arvutavad lapsed välja avaldiste väärtused ja võrdlevad seejärel nende väärtusi, st taandavad avaldiste võrdlemise arvude võrdlusele. IN haridussüsteem"Venemaa kool" on see meetod antud reegli kujul: "Kahe väljendi võrdlemine tähendab nende tähenduste võrdlemist." Lapsed teevad võrdluse õigsuse kontrollimiseks samu toiminguid. "Kontrollige, kas ebavõrdsused on tõesed:

42 + 6 > 47; 47–5 > 47–4".

Suurima arendava efekti saavutavad ülesanded, mille puhul tuleb panna võrdlusmärk (või kontrollida, kas võrdlusmärk on õigesti pandud) ilma andmeavaldiste väärtusi arvutamata vasakul ja õiged osad ebavõrdsus (võrdsus). Sel juhul peavad lapsed tuvastatud matemaatiliste mustrite põhjal panema võrdlusmärgi.

Ülesande esitamise vorm ja selle täitmise meetodid on erinevad nii ühe programmi sees kui ka erinevate programmide lõikes.

Traditsiooniliselt otsustamisel ebavõrdsused muutujaga kasutati kahte meetodit: valikumeetodit ja redutseerimismeetodit.

Esimene viis nimetatakse valikumeetodiks, mis peegeldab täielikult lapse poolt selle kasutamisel tehtud toiminguid. Selle meetodi puhul väärtus ei ole teadaolev number valitakse kas suvalisest arvude hulgast või nende antud komplektist. Pärast iga muutuja väärtuse valimist ( teadmata kuupäev) kontrollitakse valiku õigsust. Selleks asendatakse leitud väärtus tundmatu arvu asemel antud võrratusega. Arvutatakse välja võrratuse vasak- ja parempoolse osa väärtus (ühe osa väärtus võib olla elementaaravaldis, s.t. arv) ning seejärel võrreldakse saadud võrratuse vasaku ja parema osa väärtust. Kõiki neid toiminguid saab teha suuliselt või vahearvutustega, mis on kirja pandud.

Teine viis on see, et ebavõrdsuse märkuses märgi asemel "<» или «>“pane võrdusmärk ja lahenda võrdsus lastele teadaoleval viisil. Seejärel viiakse läbi arutluskäik, milles kasutatakse ja määratakse kindlaks laste teadmised toimingu tulemuse muutumisest sõltuvalt selle ühe komponendi muutusest. kehtivad väärtused muutuv.

Näiteks „Määrake, millised väärtused võivad olla A ebavõrdsuses 12 - A < 7». Решение и образец рассуждений:

Leiame väärtuse A, kui 12- A= 7

· Arvutan tundmatu alamjaotuse leidmise reegli järgi: A= 12 — 7, A= 5.

· Täpsustan vastust: millal A võrdne 5-ga (võrrandi juur võrdub 5-ga Zankov ja “School 2000…” süsteemis), avaldise 12-5 väärtus võrdub 7-ga ja me peame leidma selle väärtused avaldis, mis oleks väiksem kui 7, mis tähendab, et 12-st tuleb lahutada arvud, mis on suuremad kui viis. Need võivad olla numbrid 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. (kui suurem arv me lahutame samast arvust, nii et vähem väärtust erinevused). Tähendab, A= 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Väärtused on suur 12 muutuja A ei saa aktsepteerida, kuna suuremat arvu ei saa väiksemast lahutada (me ei tea, kuidas seda teha, kui pole sisestatud negatiivseid arve).

Sarnase ülesande näide 3. klassi õpikust (1-4), autorid: I.I. Arginskaja, E.I. Ivanovskaja:

Nr 224. “Lahenda võrratused vastavate võrrandite lahendi abil:

To— 37 < 29, 75 — Koos > 48, A+ 44 < 91.

Kontrolli oma lahendusi: asenda igasse võrratusse vastava võrrandi juurest mitu suuremat ja väiksemat arvu.

Koostage oma ebavõrdsused tundmatute arvudega, lahendage need ja kontrollige leitud lahendusi.

Paku oma ülesandele jätkamist."

Tuleb märkida, et mitmed tehnoloogiad ja koolitusprogrammid, mis tugevdavad loogilist komponenti ja ületavad oluliselt standardseid sisunõudeid matemaatika haridus V Põhikool, tutvustage mõisteid:

Ø muutuv väärtus, muutuv väärtus;

Ø mõiste “väide” (õigeid ja vääraid väiteid nimetatakse väideteks (M3P)), “õigeteks ja valedeks väideteks”;

Ø vaatleme võrrandisüsteeme (I.I. Arginskaja, E.I. Ivanovskaja).

7.3. Matemaatikakursusel võrrandite õppimine

algklassid

Võrdsust sisaldav muutuv väärtus, kutsus võrrand. Võrrandi lahendamine tähendab muutuja (tundmatu arvu) väärtuse leidmist, mille juures võrrand teisendatakse õigeks arvuliseks võrduseks. Muutuja väärtust, mille juures võrrand teisendatakse tõeliseks võrduseks, nimetatakse võrrandi juureks.

Mõnes haridussüsteemis ("vene kool" ja "harmoonia") mõistet "muutuja" ei tutvustata. Nendes käsitletakse võrrandit kui tundmatut arvu sisaldavat võrrandit. Ja veel, võrrandi lahendamine tähendab sellise arvu leidmist, mille asendamisel tundmatuga saadakse tõeline võrdsus. Seda arvu nimetatakse tundmatu väärtuseks või võrrandi lahendiks. Seega kasutatakse mõistet "võrrandi lahendamine" kahes tähenduses: arvuna (juurena), kui asendada tundmatu arv, muutub võrrand tõeliseks võrduseks ja võrrandi enda lahendamise protsessina.

Enamik põhikooli programme ja süsteeme õpetab võrrandite lahendamiseks kahte viisi.

Esimene viis nimetatakse valikumeetodiks, mis peegeldab täielikult lapse poolt selle kasutamisel tehtud toiminguid. Selle meetodi puhul valitakse tundmatu arvu väärtus kas suvalisest arvude hulgast või nende antud komplektist. Pärast iga väärtuse valimist kontrollitakse lahenduse õigsust. Kontrolli olemus tuleneb võrrandi definitsioonist ja taandub nelja omavahel seotud toimingu sooritamisele:

1. B antud võrrand Leitud väärtus asendatakse tundmatu numbriga.

2. Arvutatakse võrrandi vasaku ja parema külje väärtus (ühe osa väärtuseks võib olla elementaaravaldis, s.o arv).

3. Võrreldakse saadud võrdsuse vasaku ja parema külje väärtust.

4. Tehakse järeldus saadud võrrandi õigsuse või ebaõigsuse kohta ja edasi, kas leitud arv on võrrandi lahend (juur).

Algul tehakse ainult esimene toiming ja ülejäänud räägitakse välja. See kontrollialgoritm säilitatakse iga võrrandi lahendamise meetodi puhul.

Lahendamiseks on mitmeid koolitussüsteeme ("Kool 2000", D. B. Elkonini koolitussüsteem - V. V. Davõdov). lihtsad võrrandid kasutada osa ja terviku vahelist suhet.

8 + X=10; 8 ja X - osad; 10 on tervik. Osa leidmiseks saate teadaoleva osa tervikust lahutada: X= 10 — 8; X= 2.

Nendes koolitussüsteemides võetakse kõnepraktikasse isegi võrrandite lahendamise etapis valikumeetodi abil mõiste "võrrandi juur" ja lahendusmeetodit nimetatakse võrrandi lahendamiseks "juurte valiku" abil.

Teine viis võrrandi lahendamine põhineb tulemuse ja tegevuse komponentide vahekorral. Sellest sõltuvusest tuleneb ühe komponendi leidmise reegel. Näiteks suhe summa väärtuse ja ühe termini vahel kõlab järgmiselt: "Kui lahutate ühe neist kahe liikme summa väärtusest, saate teise liikme." Sellest sõltuvusest tuleneb ühe termini leidmise reegel: „leida tundmatu termin, on vaja teadaolev liige summa väärtusest lahutada. Võrrandi lahendamisel mõtlevad lapsed järgmiselt:

Ülesanne: Lahenda võrrand 8 + X= 11.

Selle võrrandi teine ​​liige on teadmata. Teame, et teise liikme leidmiseks peame esimese liikme summa väärtusest lahutama. See tähendab, et peame 11-st lahutama 8. Kirjutan üles: X= 11 – 8. Arvutan, 11 miinus 8 võrdub 3-ga, kirjutan X= 3.

Täielik lahendus koos kinnitamisega näeb välja järgmine:

8 + X = 11

X = 11 — 8

X = 3

Kasutades ülalmainitud meetodit, lahendatakse võrrandid, millel on kaks või enam toimingut sulgudega ja ilma. Sel juhul tuleb liitavaldises määrata tegevuste järjekord ja liitavaldises komponente nimetades viimase toimingu põhjal esile tõsta tundmatu, mis omakorda võib olla liitmise, lahutamise, korrutamise avaldis või jagamine (väljendatud summana, vahena, korrutisena või jagatisena) . Seejärel rakendatakse reeglit tundmatu komponendi leidmiseks, mis on väljendatud summa, erinevuse, korrutise või jagatisena, võttes arvesse liitavaldise viimase toimingu komponentide nimetusi. Pärast selle reegli järgi arvutuste tegemist saadakse lihtne võrrand (või jälle liitvõrrand, kui avaldisel oli algselt kolm või enam tegevusmärki). Selle lahendus viiakse läbi vastavalt ülalkirjeldatud algoritmile. Mõelge järgmisele ülesandele.

Lahenda võrrand ( X + 2) : 3 = 8.

Selles võrrandis on arvude summaga väljendatud dividend teadmata X ja 2. (Vastavalt avaldises olevate toimingute järjekorra reeglitele sooritatakse jagamistoiming viimasena).

Tundmatu dividendi leidmiseks saate jagatise väärtuse korrutada jagajaga: X+ 2 = 8 × 3

Arvutame võrdusmärgist paremal oleva avaldise väärtuse, saame: X+ 2 = 24.

Täielik sissekanne näeb välja selline: ( X+ 2) : 3 = 8

X+ 2 = 8 × 3

X+ 2 = 24

X = 24 — 2

Kontrollige: (22 + 2) : 3 = 8

Haridussüsteemis “Kool 2000...” on algoritmide ja nende tüüpide laialdase kasutuse tõttu antud selliste võrrandite lahendamise algoritm (plokkskeem) (vt diagramm 3).

Teine võrrandite lahendamise meetod on üsna tülikas, eriti liitvõrrandite puhul, kus komponentide ja tegevuse tulemuse vahelise seose reeglit rakendatakse korduvalt. Sellega seoses ei lisa paljud programmide autorid (süsteemid "Venemaa kool", "Harmoonia") võrrandite tundmist algkooli õppekavasse üldse keeruline struktuur või tutvustatakse neid neljanda klassi lõpus.

Need süsteemid piirduvad peamiselt järgmist tüüpi võrrandite uurimisega:

X+ 2 = 6; 5 + X= 8 - võrrandid tundmatu liikme leidmiseks;

X – 2 = 6; 5 – X= 3 - võrrandid vastavalt tundmatu minuendi ja alamosa leidmiseks;

X× 5 = 20,5 × X= 35 - võrrandid tundmatu teguri leidmiseks;

X: 3 = 8, 6: X= 2 - võrrandid vastavalt tundmatu dividendi ja jagaja leidmiseks.

X× 3 = 45-21; X× (63–58) = 20; (58–40) : X= (2 × 3) - võrrandid, kus üks või kaks võrrandis sisalduvat arvu on esitatud arvavaldisega. Nende võrrandite lahendamise meetod taandub nende avaldiste väärtuste arvutamisele, mille järel on võrrand ühe ülaltoodud tüüpi lihtsa võrrandi vormis.

Mitmed algklassides matemaatika õpetamise programmid (L. V. Zankova haridussüsteem ja “Kool 2000...”) tutvustavad lastele rohkem keerulised võrrandid, kus komponentide ja toimingu tulemuse vahelise seose reeglit tuleb rakendada korduvalt ja sageli on vaja teostada toiminguid, et teisendada võrrandi üks osadest matemaatiliste toimingute omaduste põhjal. Näiteks nendes programmides pakutakse kolmanda klassi õpilastele lahendamiseks järgmisi võrrandeid:

3× X — (20 + X) = 70 või 2 × X– 8 + 5 × X= 97.

Matemaatikas on ka kolmas viis võrrandite lahendamine, mis põhineb võrrandite ja nende tagajärgede samaväärsuse teoreemidel. Näiteks üks teoreemi võrrandite samaväärsuse kohta lihtsustatud sõnastuses kõlab järgmiselt: "Kui definitsioonipiirkonnaga võrrandi mõlemad pooled X lisage sama avaldis samas hulgas määratletud muutujaga, siis saame uue võrrandi, mis on samaväärne antud võrrandiga."

Sellest teoreemist tulenevad järeldused, mida kasutatakse võrrandite lahendamisel.

Järeldus 1. Kui liidame võrrandi mõlemale poolele sama arvu, saame uue võrrandi, mis on samaväärne antud võrrandiga.

Järeldus 2. Kui võrrandis kantakse üks terminitest (arvuline avaldis või muutujaga avaldis) ühest osast teise, muutes liikme märgi vastupidiseks, siis saame võrrandi, mis on samaväärne antud võrrandiga. .

Seega taandatakse võrrandi lahendamise protsess asendamisele antud võrrand, ekvivalentne ja seda asendamist (teisendust) saab läbi viia ainult võttes arvesse võrrandite või nende tagajärgede samaväärsuse teoreeme.

See võrrandite lahendamise meetod on universaalne, lastele tutvustatakse seda L. V. haridussüsteemis. Zankov ja keskkoolis.

Kogunenud on võrrandite kallal töötamise metoodika suur number loomingulised ülesanded :

· valida etteantud kriteeriumi võrrandid mitme pakutud hulgast;

· võrrelda võrrandeid ja nende lahendamise meetodeid;

· koostada võrrandeid etteantud arvude abil;

· muuta võrrandis üht teadaolevatest arvudest nii, et muutuja väärtus muutub suuremaks (väiksemaks) algselt leitud väärtusest;

· teadaoleva arvu valimiseks võrrandis;

· koostada plokkskeemidel põhinevaid lahendusalgoritme võrrandite lahendamiseks või ilma nendeta;

· ülesannetekstide põhjal võrrandite koostamine.

Tuleb märkida, et sisse kaasaegsed õpikud On kalduvus tutvustada materjali kontseptuaalsel tasemel. Näiteks antakse igale ülaltoodud mõistele üksikasjalik määratlus, mis kajastab selle olulisi tunnuseid. Kuid mitte kõik leitud määratlused ei vasta teadusliku põhimõtte nõuetele. Näiteks mõistet "avaldis" ühes algklasside matemaatikaõpikus tõlgendatakse järgmiselt: "Aritmeetiliste tehtete matemaatilist tähistust, mis ei sisalda märke, mis on suuremad, väiksemad või võrdsed, nimetatakse avaldiseks." (haridussüsteem “Kool 2000”). Pange tähele, et sisse sel juhul määratlus on koostatud valesti, kuna see kirjeldab midagi, mida kirjes pole, kuid pole teada, mis seal on. See on üsna tüüpiline ebatäpsus, mis definitsioonis tehakse.

Pange tähele, et mõistete definitsioone ei anta kohe, s.t. mitte esmasel tutvumisel, vaid hilinenud aja jooksul, pärast seda, kui lapsed vastava matemaatilise tähistusega tutvusid ja sellega opereerima õppisid. Definitsioonid on enamasti antud kaudselt, kirjeldavalt.

Viitamiseks: Matemaatikas esinevad need kui eksplitsiitne ja kaudne mõistete määratlused. hulgas ilmselge määratlused on kõige levinumad määratlused lähima perekonna ja liigi erinevuse kaudu. (Võrrand on muutujat sisaldav võrdsus.) Kaudsed definitsioonid võib jagada kahte tüüpi: kontekstuaalne ja näiline. Kontekstuaalsetes definitsioonides avaldub uue mõiste sisu läbi tekstilõigu, läbi konkreetse olukorra analüüsi.

Näiteks: 3 + X= 9. X- tundmatu number, mis tuleb leida.

Ostensiivseid määratlusi kasutatakse terminite tutvustamiseks, demonstreerides objekte, mida terminid tähistavad. Seetõttu nimetatakse neid definitsioone ka demonstratsiooniga definitsioonideks. Näiteks võrdsuse ja ebavõrdsuse mõisted defineeritakse nii algklassides.

2 + 7 > 2 + 6 9 + 3 = 12

78 — 9 < 78 6 × 4 = 4 × 6

võrdsuse ebavõrdsus

7.4. Toimingute sooritamise järjekord väljendites

Meie tähelepanekud ja analüüs õpilaste tööd näitab, et selle sisurea uurimisega kaasneb järgmised tüübid koolilaste vead:

· Ei oska protseduurireeglit korrektselt rakendada;

· Toimingu sooritamiseks on valitud valed numbrid.

Näiteks avaldises 62 + 30: (18 - 3) tehakse toimingud järgmises järjekorras:

62 + 30 = 92 või nii: 18 – 3 = 15

18 — 3 = 15 30: 15 = 2

30: 15 = 2 62 + 30 = 92

Põhineb andmetel umbes tüüpilised vead, mis tekivad koolilastel, saame eristada kahte peamist toimingut, mis tuleks selle sisuliini uurimise käigus kujundada:

1) aritmeetiliste toimingute sooritamise järjekorra määramise toiming arvuliselt;

2) arvude valimise toiming matemaatiliste vahetoimingute väärtuste arvutamiseks.

Algklasside matemaatikakursustes on tegevuste järjekorra reeglid traditsiooniliselt sõnastatud järgmiselt.

1. reegel. Sulgudeta avaldistes, mis sisaldavad ainult liitmist ja lahutamist või korrutamist ja jagamist, sooritatakse toimingud nende kirjutamise järjekorras: vasakult paremale.

2. reegel. Sulgudeta avaldistes tehakse kõigepealt korrutamine või jagamine, järjekorras vasakult paremale, ja seejärel liitmine või lahutamine.

3. reegel. Sulgudega avaldistes hinnatakse esmalt sulgudes olevate avaldiste väärtust. Seejärel tehakse vasakult paremale järjekorras korrutamine või jagamine ning seejärel liitmine või lahutamine.

Kõik need reeglid on keskendunud kindlale väljenditüübile:

1) sulgudeta väljendid, mis sisaldavad ainult ühe etapi toiminguid;

2) esimese ja teise astme toiminguid sisaldavad sulgudeta avaldised;

3) sulgudega väljendid, mis sisaldavad nii esimese kui ka teise astme toiminguid.

Sellise reeglite kehtestamise loogika ja nende uurimise järjestuse järgi koosnevad ülalnimetatud tegevused allpool loetletud toimingutest, mille valdamine tagab assimilatsiooni sellest materjalist:

§ tunneb ära väljendi struktuuri ja nimeta, mis tüüpi see kuulub;

§ korreleerida see avaldis reegliga, mida tuleb järgida selle väärtuse arvutamisel;

§ kehtestab eeskirja kohase korra;

§ vali õigesti numbrid järgmise toimingu sooritamiseks;

§ teha arvutusi.

Neid reegleid tutvustatakse kolmandas klassis üldistusena, et määrata erinevate struktuuride väljendites toimingute järjekord. Tuleb märkida, et enne nende reeglite õppimist olid lapsed juba kohanud sulgudega väljendeid. Esimeses ja teises klassis osatakse aritmeetiliste tehete omadusi (liitmise kombinatoorset omadust, korrutamise ja jagamise jaotusomadust) uurides arvutada ühe tasandi toiminguid sisaldavate avaldiste väärtusi, s.o. nad tunnevad reeglit nr 1. Kuna kasutusele on võetud kolm reeglit, mis kajastavad tegevuste järjekorda kolme tüüpi avaldistes, on vaja ennekõike õpetada lapsi tuvastama erinevaid väljendeid nende tunnuste vaatenurgast, iga reegel on keskendunud.

Haridussüsteemis "Harmoonia"» selle teema uurimisel mängib põhirolli õigesti valitud harjutuste süsteem, mille kaudu lapsed õpivad üldine meetod tegevuste järjekorra määramine erineva struktuuriga väljendites. Tuleb märkida, et matemaatikaprogrammi autor ehitab selles süsteemis väga loogiliselt üles metoodika toimingute järjekorra reeglite juurutamiseks, pakub lastele järjekindlalt harjutusi ülalnimetatud toimingute osaks olevate tehtete harjutamiseks. Kõige tavalisemad ülesanded on:

ü väljendite võrdlemine ja nendes sarnasuse ja erinevuse märkide hilisem tuvastamine (sarnasusmärk peegeldab väljendi tüüpi, selle reeglile orienteerituse seisukohalt);

ü klassifitseerida väljendeid etteantud kriteeriumi järgi;

ü valida etteantud tunnustega väljendeid;

ü konstrueerida avaldisi etteantud reegli (tingimuse) järgi;

ü rakendada reeglit erinevates väljendite mudelites (sümboolsed, skemaatilised, graafilised);

ü koostada tegevuste teostamise plaan või vooskeemi;

ü asetada antud väärtuse avaldisesse sulgud;

ü tegevuste järjekorra määramiseks avaldises selle arvutatud väärtuse alusel.

IN süsteemid "Kool 2000..." Ja « Põhikool XXI sajand" Pakutakse välja veidi teistsugune lähenemine tegevuste järjekorra uurimisele liitavaldistes. Selle lähenemisviisi puhul keskendutakse õpilaste arusaamale väljendi struktuurist. Kõige tähtsam hariv tegevus see hõlmab liitavaldises mitme osa eraldamist (avaldise jagamist osadeks). Liitavaldiste väärtuste arvutamise protsessis kasutavad õpilased tööreeglid:

1. Kui avaldis sisaldab sulgusid, siis jagatakse see osadeks nii, et üks osa ühendatakse teisega esimese etapi toimingutega (pluss- ja miinusmärgid), mitte sulgudes, leidke iga osa väärtus ja siis sooritatakse esimese etapi toimingud järjekorras - vasakult paremale.

2. Kui avaldises ei ole esimese astme toiminguid, mis ei ole sulgudes, kuid on korrutamise ja jagamise toiminguid, mis ei ole sulgudes, siis jagatakse avaldis osadeks, keskendudes nendele märkidele.

Need reeglid võimaldavad teil arvutada avaldiste väärtusi, mis sisaldavad suurt hulka aritmeetilisi toiminguid.

Vaatame näidet.

Kasutades pluss- ja miinusmärke, mis ei ole sulgudes, jagame avaldise osadeks: algusest esimese märgini (miinus), mitte sulgudes, seejärel sellest märgist järgmiseni (pluss) ja plussmärgini lõpp.

3 40–20 (60–55) + 81: (36: 4)

Selgus, et see koosneb kolmest osast:

1. osa – 3 40

2. osa – 20 · (60–55)

ja 3. osa 81: (36:4).

Leidke iga osa väärtus:

1) 3 40 = 120 2) 60 — 55 = 5 3) 36: 4 = 9 4) 120 -100 = 20

20 5 = 100 81: 9 = 9 20 + 9 = 29

Vastus: avaldise väärtus on 29.

Seminaride eesmärk mööda seda sisuliini

· abstraktsed ja ülevaateartiklid (käsiraamatud) didaktiliste, pedagoogiliste ja psühholoogiline sisu;

· koostada aruande jaoks fail konkreetse teema uurimiseks;

· teostada kooliõpikute loogilist ja didaktilist analüüsi, õppekomplektid, samuti teatud matemaatilise idee, rea õpikutes teostuse analüüs;

· valida ülesandeid mõistete õpetamiseks, matemaatiliste väidete põhjendamiseks, reegli moodustamiseks või algoritmi konstrueerimiseks.

Iseõppimise ülesanded

Tunni teema. Mõistete "väljend", "võrdsus", "võrdsus", "võrrand" tunnused ja nende uurimise meetodid erinevates metoodilistes

Loeng 8. Algebralise materjali uurimise meetodid.

Loeng 7. Hulknurga perimeetri mõiste

1. Algebra elementide arvestamise metoodika.

2. Numbrilised võrdsused ja ebavõrdsused.

3. Ettevalmistus muutujaga tutvumiseks. Tähtsümbolite elemendid.

4. Väärtused muutujaga.

5. Võrrand

1. Algebra elementide kasutuselevõtt matemaatika algkursusel võimaldab alates koolituse algusest teha süstemaatilist tööd, mille eesmärk on arendada lastel selliseid olulisi matemaatilisi mõisteid nagu: avaldis, võrdsus, ebavõrdsus, võrrand. Tutvumine tähe kasutamisega sümbolina, mis tähistab mis tahes numbrit lastele teadaolevast numbriväljast, loob tingimused paljudele üldistamiseks. algkursus küsimused aritmeetika teooria, on hea ettevalmistus lastele mõistete tutvustamiseks tulevikus. funktsiooni muutuja. Varasem tutvumine ülesannete lahendamise algebralise meetodi kasutamisega võimaldab teha tõsiseid täiustusi kogu laste erinevate tekstülesannete lahendamise õpetamise süsteemis.

Ülesanded: 1. Arendada õpilaste lugemis-, kirjutamis- ja arvväljendite võrdlemise oskust.2. Tutvustage õpilastele arvavaldistes toimingute järjekorra sooritamise reegleid ja arendage nende reeglite järgi avaldiste väärtuste arvutamise oskust.3. Arendada õpilastes lugemis-, täheväljendite kirjutamise ja nende tähenduste arvutamise oskust tähtede tähendusi arvestades.4. Tutvustada õpilasi 1. astme võrranditega, mis sisaldavad esimese ja teise etapi toiminguid, arendada nende lahendamise oskust valikumeetodi abil, samuti teadmiste põhjal m/y komponentide seostest ja aritmeetiliste tehete tulemus.

Algklasside programm näeb ette õpilastele tähesümbolite kasutamise, lahenduste tutvustamise elementaarvõrrandid esimene aste ühe tundmatuga ja nende rakendamine probleemidele ühes tegevuses. Neid küsimusi uuritakse aastal tihe ühendus aritmeetilise materjaliga, mis aitab kaasa arvude ja aritmeetiliste tehete moodustamisele.

Koolituse esimestest päevadest peale hakatakse arendama õpilaste võrdõiguslikkuse kontseptsioone. Esialgu õpivad lapsed võrdlema paljusid objekte, võrdsustama ebavõrdseid rühmi ja muutma võrdsed rühmad ebavõrdseteks. Juba kümnekonna numbri uurimisel tutvustatakse võrdlusharjutusi. Esiteks viiakse need läbi objektide toega.

Väljenduse mõiste moodustab nooremad koolilapsed tihedas seoses aritmeetiliste tehete mõistetega. Väljenditega töötamise metoodika hõlmab kahte etappi. 1 juures moodustub kõige lihtsamate avaldiste mõiste (summa, vahe, korrutis, kahe arvu jagatis) ja 2 juures keerukate avaldiste mõiste (korrutise ja arvu summa, kahe jagatise erinevus jne). . Kasutusele võetakse mõisted “matemaatiline avaldis” ja “matemaatilise avaldise väärtus” (ilma definitsioonideta). Pärast mitme näite salvestamist ühes tegevuses teatab õpetaja, et neid näiteid nimetatakse muidu metamatemaatilisteks avaldisteks. Aritmeetilisi tehteid uurides on kaasatud avaldiste võrdlemise harjutused, mis on jagatud 3 rühma. Kodukorraga tutvumine. Sihtmärk peale selles etapis- toetudes õpilaste praktilistele oskustele, juhtida nende tähelepanu sellistes väljendites toimingute sooritamise järjekorrale ja sõnastada vastav reegel. Õpilased lahendavad iseseisvalt õpetaja valitud näiteid ja selgitavad iga näite puhul toimingute sooritamise järjekorda. Järgmiseks sõnastavad nad järelduse ise või loevad selle õpikust. Avaldise identne teisendus on antud avaldise asendamine teisega, mille väärtus on võrdne antud avaldise väärtusega. Õpilased sooritavad selliseid avaldiste teisendusi, tuginedes aritmeetiliste tehete omadustele ja nendest tulenevatele tagajärgedele (kuidas arvule summat liita, summast arvu lahutada, arvu korrutisega korrutada jne). ). Iga omadust uurides saavad õpilased veendumuse, et teatud tüüpi väljendites saab toiminguid sooritada erineval viisil, kuid väljendi tähendus ei muutu.

2. Arvulisi avaldisi käsitletakse algusest peale lahutamatus seoses arvuliste võrdsete ja ebavõrdsustega. Numbrilised võrdsused ja ebavõrdsused jagunevad “õigeteks” ja “valeteks”. Ülesanded: võrrelge arve, võrrelge aritmeetilisi avaldisi, lahendage lihtsaid võrratusi ühe tundmatuga, liikuge võrratusest võrdusse ja võrdsusest ebavõrdsusse

1. Harjutus, mille eesmärk on selgitada õpilaste teadmisi aritmeetiliste tehete ja nende rakendamise kohta. Õpilastele aritmeetilisi tehteid tutvustades võrreldakse avaldisi kujul 5+3 ja 5-3; 8*2 ja 8/2. Avaldisi võrreldakse esmalt, leides igaühe väärtused ja võrreldes saadud numbreid. Edaspidi tehakse ülesanne lähtuvalt sellest, et kahe arvu summa on suurem kui nende erinevus ja korrutis on suurem kui nende jagatis; arvutust kasutatakse ainult tulemuse kontrollimiseks. Vormi 7+7+7 ja 7*3 avaldiste võrdlus viiakse läbi, et kinnistada õpilaste teadmisi liitmise ja korrutamise seostest.

Võrdlusprotsessi käigus tutvuvad õpilased aritmeetiliste toimingute sooritamise järjekorraga. Esiteks käsitleme avaldisi, mis sisaldavad sulgusid kujul 16 - (1+6).

2. Pärast seda vaadeldakse tegevuste järjekorda ühe- ja kaheastmelisi tegevusi sisaldavates sulgudeta avaldistes. Õpilased õpivad neid tähendusi näidete täitmisel. Esiteks võetakse arvesse tegevuste järjekorda avaldistes, mis sisaldavad ühe taseme toiminguid, näiteks: 23 + 7 - 4, 70: 7 * 3. Samal ajal peavad lapsed õppima, et kui avaldised sisaldavad ainult liitmist ja lahutamist või ainult korrutamist ja jagamine, siis täidetakse need kirjutamise järjekorras. Järgmisena tutvustatakse mõlema etapi toiminguid sisaldavaid väljendeid. Õpilastele antakse teada, et sellistes avaldistes tuleb esmalt sooritada järjekorras korrutamise ja jagamise tehted ning seejärel liitmine ja lahutamine, näiteks: 21/3+4*2=7+8=15; 16+5*4=16+20=36. Et veenda õpilasi tegevuste järjekorra järgimise äärmises tähtsuses, on kasulik sooritada need samas väljendis erinevas järjestuses ja võrrelda tulemusi.

3. Harjutused, mille käigus õpilased õpivad ja kinnistavad teadmisi aritmeetiliste tehete komponentide ja tulemuste vahelistest seostest. Οʜᴎ sisalduvad juba numbrite kümne uurimisel.

Selles harjutuste rühmas tutvuvad õpilased tegevuste tulemuste muutumise juhtumitega, mis põhinevad ühe komponendi muutumisel. Võrreldakse väljendeid, milles üht terminit muudetakse (6+3 ja 6+4) või vähendatakse 8-2 ja 9-2 jne võrra. Sarnased ülesanded sisalduvad ka tabelikorrutamise ja jagamise õppimisel ning tehakse arvutustega (5*3 ja 6*3, 16:2 ja 18:2) jne. Edaspidi saate neid avaldisi võrrelda ilma arvutustele tuginemata.

Vaadeldavad harjutused on tihedalt seotud programmi materjaliga ja aitavad kaasa selle assimilatsioonile. Koos sellega saavad õpilased arvude ja avaldiste võrdlemise käigus esimesi ideid võrdsuse ja ebavõrdsuse kohta.

Nii et 1. klassis, kus mõisteid “võrdsus” ja “ebavõrdsus” veel ei kasutata, saab õpetaja laste tehtud arvutuste õigsust kontrollides esitada küsimusi järgmisel kujul: “Kolya lisas kaheksa kuus ja sain 15. Kas see lahendus on õige või vale?”, või soovita lastele harjutusi, milles tuleb antud näidete lahendust kontrollida, õiged sissekanded leida jne. Samamoodi kaalumisel arvulised ebavõrdsused tüüp 5<6,8>4 ja keerulisem, võib õpetaja esitada küsimuse järgmisel kujul: "Kas need kirjed on õiged?" ja pärast ebavõrdsuse sisseviimist - "Kas need ebavõrdsused on tõesed?"

Alates 1. klassist saavad lapsed tuttavaks muutustega numbrilised avaldised, teostatakse uuritud aritmeetikateooria elementide (numeratsioon, tegevuste tähendus jne) rakenduse alusel. Näiteks nummerdamise ja numbrite kohaväärtuse teadmiste põhjal saavad õpilased esitada mis tahes arvu selle kohaosade summana. Seda oskust kasutatakse avaldiste teisenduste kaalumisel seoses paljude arvutustehnikate väljendamisega.

Selliste transformatsioonidega seoses puutuvad lapsed juba esimeses klassis kokku võrdsuse “ahelaga”.

Loeng 8. Algebralise materjali uurimise meetodid. - mõiste ja liigid. Kategooria "Loeng 8. Algebralise materjali uurimise meetodid" klassifikatsioon ja tunnused. 2017, 2018.

1.1. Üldised küsimused algebralise materjali uurimise meetodid.

1.2. Arvväljendite uurimise meetodid.

1.3. Täheväljendite õppimine.

1.4. Arvuliste võrratuste ja võrratuste uurimine.

1.5. Võrrandite uurimise meetodid.

1.6. Lahendamine lihtne aritmeetilised ülesanded võrrandite kirjutamise teel.

1.1. Algebralise materjali uurimise metoodika üldküsimused

Algebralise materjali kasutuselevõtt matemaatika algkursusesse võimaldab valmistada õpilasi ette kaasaegse matemaatika põhimõistete (muutujad, võrrandid, võrdsus, ebavõrdsus jne) õppimiseks, aitab kaasa aritmeetikateadmiste üldistamisele ja teadmiste kujunemisele. laste funktsionaalne mõtlemine.

Algkooliõpilased peaksid saama esmast teavet matemaatiliste avaldiste, numbriliste võrrandite ja võrratuste kohta, õppima esitatud võrrandeid lahendama õppekava ja lihtsaid aritmeetikaülesandeid võrrandi koostamise teel ( teoreetiline alus valides aritmeetilise tehte, milles komponentide seos ja vastava aritmeetilise tehte tulemus0.

Algebralise materjali uurimine toimub tihedas seoses aritmeetilise materjaliga.

1.2. Arvväljendite uurimise metoodika

Matemaatikas mõistetakse avaldist teatud reeglite järgi konstrueeritud matemaatiliste sümbolite jadana, mis tähistab numbreid ja nendega tehteid.

Väljendid nagu: 6; 3+2; 8:4+(7-3) - numbrilised avaldised; tüüp: 8-a; 30:c; 5+(3+c) - sõnasõnalised avaldised (muutujaga avaldised).

Teema uurimise eesmärgid

2) Tutvustada õpilasi aritmeetiliste tehete sooritamise järjekorra reeglitega.

3) Õpetage leidma arvväärtusi väljendid.

4) Tutvustada avaldiste identsed teisendused aritmeetiliste tehete omaduste põhjal.

Ülesannete lahendamine toimub algkooli kõigi õppeaastate jooksul, alates lapse esimestest koolis viibimise päevadest.

Arvuliste avaldistega töötamise metoodika hõlmab kolme etappi: esimeses etapis - mõistete moodustamine kõige lihtsamate avaldiste kohta (summa, vahe, korrutis, kahe arvu jagatis); teises etapis - avaldiste kohta, mis sisaldavad kahte või enamat ühe taseme aritmeetilist operatsiooni; kolmandas etapis - avaldiste kohta, mis sisaldavad kahte või enamat erineva tasemega aritmeetilist tehtet.

Õpilastele tutvustatakse lihtsamaid väljendeid - summa ja vahe - esimeses klassis (vastavalt programmile 1-4) korrutise ja jagatisega teises klassis (mõistega “produkt” 2. klassis, mõistega “jagatis” kolmandas klassis).

Vaatleme arvuliste avaldiste uurimise metoodikat.

Hulgadega tehteid tehes õpivad lapsed ennekõike liitmise ja lahutamise spetsiifilist tähendust, seetõttu tunnevad nad vormiga 3+2, 7-1 kirjetes ära toimingute märgid kui lühike nimetus sõnad "liita", "lahutada" (liida 2 kuni 3). Edaspidi süvenevad tegevuste mõisted: õpilased saavad teada, et mitu ühikut liites (lahutades) suurendame (vähendame) arvu sama arvu ühikute võrra (lugege: 3 suurendame 2 võrra), siis saavad lapsed teada ühiku nimetuse. tegevusmärgid "pluss" (lugemine: 3 pluss 2), "miinus".

Teemas “Liidamine ja lahutamine 20 piires” tutvustatakse lastele mõisteid “summa” ja “vahe” kui matemaatiliste avaldiste nimetusi ning liitmise ja lahutamise aritmeetiliste toimingute tulemuse nimetust.

Vaatame katkendit tunnist (2. klass).

Kinnitage vee abil tahvlile 4 punast ja 3 kollast ringi:

OOO OOO

Mitu punast ringi? (Kirjutage üles number 4.)

Kui palju kollased ringid? (Kirjutage üles number 3.)

Mida tuleb teha kirjutatud numbritega 3 ja 4, et teada saada, mitu punast ja mitu kollast ringi on koos? (ilmub kirje: 4+3).

Öelge ilma loendamata, mitu ringi seal on?

Sellist avaldist matemaatikas, kui numbrite vahel on “+” märk, nimetatakse summaks (Ütleme koos: summa) ja seda loetakse nii: nelja ja kolme summa.

Nüüd selgitame välja, millega on võrdne arvude 4 ja 3 summa (anname täieliku vastuse).

Sama ka erinevuse kohta.

10 piires liitmise ja lahutamise õppimisel avaldised, mis koosnevad 3 või enamast arvust, mis on ühendatud sama ja erinevad märgid aritmeetilised tehted: 3+1+2, 4-1-1, 7-4+3 jne. Selgitades selliste väljendite tähendust, näitab õpetaja, kuidas neid lugeda. Nende avaldiste väärtusi arvutades valdavad lapsed praktiliselt reeglit aritmeetiliste toimingute järjekorra kohta sulgudeta avaldistes, kuigi nad seda ei formuleeri: 10-3+2=7+2=9. Sellised kirjed on esimene samm identiteedi teisenduste tegemisel.

Sulgudega väljenditega tutvumise meetod võib olla erinev (Kirjeldage vihikusse tunni fragmenti, valmistuge praktilisteks tundideks).

Väljendi koostamise ja tähenduse leidmise oskust kasutavad lapsed samal ajal aritmeetilisi ülesandeid lahendades, siin tekib mõiste „väljendus“ edasine valdamine ning omandatakse väljendite konkreetne tähendus ülesannete lahendamise salvestustes; .

Huvitav on Läti metoodik J.Ya pakutud töö tüüp. Mencis.

Antakse näiteks tekst: "Poisil oli 24 rubla, kook maksab 6 rubla, komm maksab 2 rubla," soovitatakse:

a) koostada selle teksti põhjal igat tüüpi väljendeid ja selgitada, mida need näitavad;

b) selgitage, mida väljendid näitavad:

2 klassi 3 klassi

24-2 24-(6+2) 24:6 24-6 3

3. klassis on koos varem käsitletud avaldistega avaldised, mis koosnevad kahest lihtavaldisest (37+6)-(42+1), aga ka need, mis koosnevad arvust ja kahe arvu korrutisest või jagatisest. Näiteks: 75-50:25+2. Kui toimingute sooritamise järjekord ei lange kokku nende kirjutamise järjekorraga, kasutatakse sulgusid: 16-6:(8-5). Lapsed peavad õppima neid väljendeid õigesti lugema ja kirjutama ning leidma nende tähendused.

Mõisted "väljend" ja "väljenduse väärtus" võetakse kasutusele ilma määratlusteta. Laste lugemise ja keeruliste väljendite tähenduse leidmise hõlbustamiseks soovitavad metoodikud kasutada ühiselt koostatud ja väljendite lugemisel kasutatavat diagrammi:

1) Määran, milline toiming sooritatakse viimasena.

2) Selle toimingu sooritamisel mõtlen sellele, kuidas numbreid nimetatakse.

3) Loen, kuidas neid numbreid väljendatakse.

Keerulistes väljendites tegevuste sooritamise järjekorra reegleid õpitakse 3. klassis, kuid osa neist kasutavad lapsed praktiliselt esimeses ja teises klassis.

Esimesena tuleb arvesse võtta reeglit tehte järjekorra kohta avaldistes ilma sulgudeta, kui arvud on kas ainult liitmine ja lahutamine või korrutamine ja jagamine (3. klass). Töö eesmärk selles etapis on tugineda õpilaste varem omandatud praktilistele oskustele, pöörata tähelepanu sellistes väljendites toimingute sooritamise järjekorrale ja sõnastada reegel.

Laste juhtimine reegli sõnastamiseni ja nende teadlikkus sellest võib olla erinev. Põhiline toetumine on olemasolevale kogemusele, võimalikult suurele sõltumatusele, otsimise ja avastamise olukorra loomine, tõendid.

Võib kasutada metoodiline tehnika Sh.A. Amonašvili "õpetaja viga".

Näiteks. Õpetaja teatab, et järgmiste väljendite tähenduse leidmisel sai ta vastuseid, mille õigsuses ta on kindel (vastused on suletud).

36:2 6=6 jne.

Kutsub lapsi üles leidma ise väljendite tähendusi ja seejärel võrdlema vastuseid õpetaja saadud vastustega (siinkohal selguvad aritmeetiliste toimingute tulemused). Lapsed tõestavad, et õpetaja tegi vigu ja sõnastavad konkreetsete faktide uurimise põhjal reegli (vt matemaatikaõpik, 3. klass).

Samamoodi saate tutvustada ülejäänud toimingute järjestuse reegleid: kui sulgudeta avaldised sisaldavad 1. ja 2. etapi toiminguid, siis sulgudega avaldistes. On oluline, et lapsed mõistaksid, et aritmeetiliste toimingute sooritamise järjekorra muutmine toob kaasa tulemuse muutumise ning seetõttu otsustasid matemaatikud kokku leppida ja sõnastasid reeglid, mida tuleb täpselt järgida.

Avaldise teisendamine on antud avaldise asendamine teise sama arvulise väärtusega avaldisega.Õpilased sooritavad selliseid avaldiste teisendusi, tuginedes aritmeetiliste tehete omadustele ja nendest tulenevatele tagajärgedele (lk 249-250).

Iga omadust uurides veenduvad õpilased selles, et väljendites teatud tüüpi saate toiminguid teha erineval viisil, kuid väljendi tähendus on ei muutu. Edaspidi kasutavad õpilased teadmisi tegevuste omadustest etteantud väljendite teisendamiseks identsed väljendid. Näiteks sellised ülesanded nagu: jätkake salvestamist, nii et märk “=” säiliks:

76-(20 + 4) =76-20... (10 + 7) -5= 10-5...

60: (2 10) =60:10...

Esimese ülesande täitmisel arutlevad õpilased nii: vasakul lahutage 76-st arvude 20 ja 4 summa , paremal lahutage 76-st 20; selleks, et saada paremale sama palju kui vasakule, tuleb ka teised avaldised teisendada sarnaselt, st pärast avaldise lugemist jääb õpilasele vastav reegel meelde. Ja reegli järgi toiminguid sooritades saab see teisendatud väljendi. Teisenduse õigsuse tagamiseks arvutavad lapsed antud ja teisendatud avaldiste väärtused ja võrdlevad neid.

Teadmiste kasutamine toimingute omaduste kohta arvutusmeetodite põhjendamiseks, õpilased I-IV klassid teostavad avaldiste teisendusi nagu:

72:3= (60+12):3 = 60:3+12:3 = 24 1830= 18(310) = (183) 10=540

Siin on ka vajalik, et õpilased mitte ainult ei selgitaks, mille alusel nad iga järgnevat väljendit tuletavad, vaid mõistaksid ka, et kõiki neid väljendeid ühendab märk “=”, kuna neil on samad tähendused. Selleks tuleks aeg-ajalt lasta lastel välja arvutada väljendite tähendused ja neid võrrelda. See hoiab ära vead järgmisel kujul: 75 - 30 = 70 - 30 = 40+5 = 45, 24 12 = (10 + 2) = 24 10 + 24 2 = 288.

II-IV klassi õpilased teisendavad väljendeid mitte ainult tegevuse omaduste, vaid ka nende spetsiifilise tähenduse alusel. Näiteks identsete terminite summa asendatakse korrutisega: (6 + 6 + 6 = 6 3 ja vastupidi: 9 4 = = 9 + 9 + 9 + 9). Ka korrutamistoimingu tähendusest lähtuvalt teisendatakse keerulisemad avaldised: 8 4 + 8 = 8 5, 7 6-7 = 7 5.

Arvutuste ja spetsiaalselt valitud väljendite analüüsi põhjal jõuavad neljanda klassi õpilased järeldusele, et kui sulgudega avaldistes ei mõjuta sulud tegevuste järjekorda, siis võib need ära jätta. Seejärel harjutavad õpilased tegevuste uuritud omadusi ja toimingute järjestuse reegleid kasutades muutma sulgudega väljendeid identseteks ilma sulgudeta avaldisteks. Näiteks tehakse ettepanek kirjutada need avaldised ilma sulgudeta, et nende väärtused ei muutuks:

(65 + 30)-20 (20 + 4) 3

96 - (16 + 30) (40 + 24): 4

Seega asendavad lapsed etteantud väljenditest esimese avaldistega: 65 + 30-20, 65-20 + 30, selgitades nendes toimingute sooritamise järjekorda. Nii veenduvad õpilased, et väljendi tähendus ei muutu tegevuste järjekorra muutmisel ainult siis, kui rakendatakse tegevuste omadusi.

Loeng 7. Hulknurga perimeetri mõiste

1. Algebra elementide arvestamise metoodika.

2. Numbrilised võrdsused ja ebavõrdsused.

3. Ettevalmistus muutujaga tutvumiseks. Tähtsümbolite elemendid.

4. Väärtused muutujaga.

5. Võrrand

1. Algebra elementide kasutuselevõtt matemaatika algkursusel võimaldab alates koolituse algusest teha süstemaatilist tööd, mille eesmärk on arendada lastel selliseid olulisi matemaatilisi mõisteid nagu: avaldis, võrdsus, ebavõrdsus, võrrand. Tähe kui suvalist numbrit tähistava sümboli kasutamisega tutvumine lastele teadaolevast numbriväljast loob eeldused paljude aritmeetikateooria küsimuste üldistamiseks algkursusel ning on heaks ettevalmistuseks lastele tulevikus mõistete tutvustamiseks. funktsioonide muutuja. Varasem tutvumine ülesannete lahendamise algebralise meetodi kasutamisega võimaldab teha tõsiseid täiustusi kogu laste erinevate tekstülesannete lahendamise õpetamise süsteemis.

Ülesanded: 1. Arendada õpilaste lugemis-, kirjutamis- ja arvväljendite võrdlemise oskust.2. Tutvustage õpilastele arvavaldistes toimingute järjekorra sooritamise reegleid ja arendage nende reeglite järgi avaldiste väärtuste arvutamise oskust.3. Arendada õpilastes lugemis-, täheväljendite kirjutamise ja nende tähenduste arvutamise oskust tähtede tähendusi arvestades.4. Tutvustada õpilasi 1. astme võrranditega, mis sisaldavad esimese ja teise etapi toiminguid, arendada nende lahendamise oskust valikumeetodi abil, samuti teadmiste põhjal m / y komponentide seostest aritmeetiliste tehete tulemus.

Algklasside programm näeb ette õpilastele tutvustada tähesümbolite kasutamist, lahendada esimese astme elementaarvõrrandeid tundmatuga ja rakendada neid ühe sammuna ülesannetele. Neid küsimusi uuritakse tihedas seoses aritmeetilise materjaliga, mis aitab kaasa arvude ja aritmeetiliste tehete kujunemisele.

Koolituse esimestest päevadest peale hakatakse arendama õpilaste võrdõiguslikkuse kontseptsioone. Esialgu õpivad lapsed võrdlema paljusid objekte, võrdsustama ebavõrdseid rühmi ja muutma võrdsed rühmad ebavõrdseteks. Juba kümnekonna numbri uurimisel tutvustatakse võrdlusharjutusi. Esiteks viiakse need läbi objektide toega.

Väljendi mõiste kujuneb noorematel kooliõpilastel tihedas seoses aritmeetiliste tehete mõistetega. Väljenditega töötamise metoodika hõlmab kahte etappi. 1 juures moodustub kõige lihtsamate avaldiste mõiste (summa, vahe, korrutis, kahe arvu jagatis) ja 2 juures keerukate avaldiste mõiste (korrutise ja arvu summa, kahe jagatise erinevus jne). . Kasutusele võetakse mõisted “matemaatiline avaldis” ja “matemaatilise avaldise väärtus” (ilma definitsioonideta). Pärast mitme näite salvestamist ühes tegevuses teatab õpetaja, et neid näiteid nimetatakse muidu metamatemaatilisteks avaldisteks. Aritmeetilisi tehteid uurides on kaasatud avaldiste võrdlemise harjutused, mis on jagatud 3 rühma. Kodukorraga tutvumine. Selle etapi eesmärk on õpilaste praktilistele oskustele tuginedes juhtida nende tähelepanu sellistes väljendites toimingute sooritamise järjekorrale ja sõnastada sobiv reegel. Õpilased lahendavad iseseisvalt õpetaja valitud näiteid ja selgitavad, millises järjekorras nad iga näite puhul toiminguid sooritasid. Seejärel sõnastavad nad järelduse ise või loevad seda õpikust. Avaldise identne teisendus on antud avaldise asendamine teisega, mille väärtus on võrdne antud avaldise väärtusega. Õpilased sooritavad selliseid avaldiste teisendusi, tuginedes aritmeetiliste tehete omadustele ja nendest tulenevatele tagajärgedele (kuidas arvule summat liita, summast arvu lahutada, arvu korrutisega korrutada jne). ). Iga omadust uurides saavad õpilased veendumuse, et teatud tüüpi väljendites saab toiminguid sooritada erineval viisil, kuid väljendi tähendus ei muutu.

2. Arvulisi avaldisi käsitletakse algusest peale lahutamatus seoses arvuliste võrdsete ja ebavõrdsustega. Numbrilised võrdsused ja ebavõrdsused jagunevad tõeseks ja vääraks. Ülesanded: võrrelge arve, võrrelge aritmeetilisi avaldisi, lahendage lihtsaid võrratusi ühe tundmatuga, liikuge võrratusest võrdusse ja võrdsusest ebavõrdsusse

1. Harjutus, mille eesmärk on selgitada õpilaste teadmisi aritmeetiliste tehete ja nende rakendamise kohta. Õpilastele aritmeetilisi tehteid tutvustades võrreldakse avaldisi kujul 5+3 ja 5-3; 8*2 ja 8/2. Avaldisi võrreldakse esmalt, leides igaühe väärtused ja võrreldes saadud numbreid. Edaspidi tehakse ülesanne lähtuvalt sellest, et kahe arvu summa on suurem kui nende erinevus ja korrutis on suurem kui nende jagatis; arvutust kasutatakse ainult tulemuse kontrollimiseks. Vormi 7+7+7 ja 7*3 avaldiste võrdlus viiakse läbi, et kinnistada õpilaste teadmisi liitmise ja korrutamise seostest.

Võrdlusprotsessi käigus tutvuvad õpilased aritmeetiliste toimingute sooritamise järjekorraga. Esiteks käsitleme avaldisi, mis sisaldavad sulgusid kujul 16 - (1+6).

2. Pärast seda vaadeldakse tegevuste järjekorda ühe- ja kaheastmelisi tegevusi sisaldavates sulgudeta avaldistes. Õpilased õpivad neid tähendusi näidete täitmisel. Esiteks võetakse arvesse tegevuste järjekorda avaldistes, mis sisaldavad ühe taseme toiminguid, näiteks: 23 + 7 - 4, 70: 7 * 3. Samal ajal peavad lapsed õppima, et kui avaldised sisaldavad ainult liitmist ja lahutamist või ainult korrutamist ja jagamine, siis sooritatakse need üleskirjutamise järjekorras. Seejärel tutvustatakse mõlema etapi toiminguid sisaldavaid väljendeid. Õpilastele antakse teada, et sellistes avaldistes tuleb esmalt sooritada järjekorras korrutamise ja jagamise tehted ning seejärel liitmine ja lahutamine, näiteks: 21/3+4*2=7+8=15; 16+5*4=16+20=36. Õpilaste veenmiseks toimingute järjekorra järgimise vajalikkuses on kasulik sooritada need samas väljendis erinevas järjestuses ja võrrelda tulemusi.

3. Harjutused, mille käigus õpilased õpivad ja kinnistavad teadmisi aritmeetiliste tehete komponentide ja tulemuste vahelistest seostest. Need lülituvad sisse juba numbrite kümne õppimisel.

Selles harjutuste rühmas tutvustatakse õpilastele juhtumeid, kus tegevuste tulemused muutuvad sõltuvalt mõne komponendi muutusest. Võrreldakse väljendeid, milles üht terminit muudetakse (6+3 ja 6+4) või vähendatakse 8-2 ja 9-2 jne võrra. Sarnased ülesanded sisalduvad ka tabelikorrutamise ja jagamise õppimisel ning tehakse arvutustega (5*3 ja 6*3, 16:2 ja 18:2) jne. Edaspidi saate neid avaldisi võrrelda ilma arvutustele tuginemata.

Vaadeldavad harjutused on tihedalt seotud programmi materjaliga ja aitavad kaasa selle assimilatsioonile. Koos sellega saavad õpilased arvude ja avaldiste võrdlemise käigus esimesi ideid võrdsuse ja ebavõrdsuse kohta.

Nii et 1. klassis, kus mõisteid "võrdsus" ja "ebavõrdsus" veel ei kasutata, saab õpetaja laste tehtud arvutuste õigsust kontrollides esitada küsimusi järgmisel kujul: "Kolya lisas kaheksa kuni kuus ja sai 15. Kas see otsus on õige või vale?” või pakkuda lastele harjutusi, milles on vaja kontrollida antud näidete lahendust, leida õiged sissekanded jne. Samamoodi, kui arvestada vormi 5 arvulisi võrratusi<6,8>4 ja keerulisemate puhul saab õpetaja esitada küsimuse järgmisel kujul: "Kas need kanded on õiged?" ja pärast ebavõrdsuse sisseviimist "Kas need ebavõrdsused on õiged?"

Alates 1. klassist saavad lapsed tuttavaks arvavaldiste teisendustega, mida teostatakse õpitud aritmeetikateooria elementide (numeratsioon, tegevuste tähendus jne) rakenduse alusel. Näiteks numeratsiooni tundmise ja arvude kohaväärtuse põhjal saavad õpilased esitada mis tahes arvu selle kohaosade summana. Seda oskust kasutatakse avaldiste teisenduste kaalumisel seoses paljude arvutustehnikate väljendamisega.

Selliste transformatsioonidega seoses puutuvad lapsed juba esimeses klassis kokku võrdsuse “ahelaga”.

Saada oma head tööd teadmistebaasi on lihtne. Kasutage allolevat vormi

Hea töö saidile">

Üliõpilased, magistrandid, noored teadlased, kes kasutavad teadmistebaasi oma õpingutes ja töös, on teile väga tänulikud.

Postitatud aadressil http://www.allbest.ru/

Algebralise materjali uurimise meetodid

Loeng 1. Matemaatilised avaldised

1.1 Matemaatilise avaldise mõiste õppimine

Algebralist materjali õpitakse alates 1. klassist tihedas seoses aritmeetilise ja geomeetrilise materjaliga. Algebra elementide kasutuselevõtt soodustab arvude, aritmeetiliste toimingute ja matemaatiliste seoste mõistete edastamist ning samal ajal valmistab lapsi ette algebra õppimiseks järgmistes klassides.

Peamine algebralised mõisted kursuseks on "võrdsus", "võrdsus", "väljend", võrrand". Algklasside matemaatikakursusel nende mõistete definitsioonid puuduvad. Õpilased mõistavad neid mõisteid ideede tasandil spetsiaalselt valitud harjutuste sooritamise käigus.

1.–4. klassi matemaatikaprogramm näeb ette, et lapsi õpetatakse lugema ja kirjutama magmaatilisi väljendeid: tutvustada tegevuste järjekorra reeglitega ja õpetada neid arvutustes kasutama, tutvustada õpilasi avaldiste identsete teisendustega.

Lastel matemaatilise avaldise mõiste kujundamisel tuleb arvestada, et numbrite vahele asetatud tegevusmärk on kahetähendusliku tähendusega; ühelt poolt tähistab see toimingut, mis tuleb sooritada numbritega (näiteks 6+4 - lisa 4); teisest küljest näitab tegevusmärk avaldist (6+4 on arvude 6 ja 4 summa).

Väljenditega töötamise metoodika hõlmab kahte etappi. Neist esimeses moodustatakse lihtsate avaldiste mõiste (summa, erinevus, korrutis, kahe arvu jagatis) ja teises - keerukate (summa umbes, korrutised ja arvud, kahe jagatise erinevus jne) mõiste. .

Tutvustame esimest avaldist - kahe summa; arvud esineb 1. klassis liitmise ja lahutamise õppimisel 10 piires. Hulgadega tehteid tehes õpivad lapsed eelkõige liitmise ja lahutamise spetsiifilist tähendust, mistõttu vormi 5+1, 6-2 kirjetes nad mõistavad tegude märke sõnade "liita", "lahutada" lühinimetusena. See kajastub näidus (liides 1-le 5 võrdub 6-ga, lahutades 2-st 6-st, võrdub 4-ga). Tulevikus nende toimingute mõisted süvenevad. Õpilased saavad teada, et mõne ühiku lisamine suurendab arvu sama ühikute arvu võrra ja arvu lahutamine vähendab seda sama ühikute arvu võrra. See kajastub ka uus vorm nootide lugemine (4 suurendamine 2 võrra võrdub 6, 7 vähendamine 2 võrra võrdub 5), Seejärel õpivad lapsed tegevusmärkide nimetusi: “pluss”, “miinus” ja loevad näiteid, nimetades tegevusmärke (4+2=6, 7-3 = 4),

Pärast komponentide nimetuste ja liitmise tulemusega tutvumist kasutavad õpilased liitmise tulemuseks oleva arvu tähistamiseks terminit "summa". Tuginedes laste teadmistele arvude nimede kohta lisaks, selgitab õpetaja, et lisaks näidetele nimetatakse kirjet, mis koosneb kahest plussmärgiga ühendatud arvust, samamoodi nagu võrdusmärgi teisel poolel olevat numbrit (9 summa "6+3 on samuti summa). See on selgelt kujutatud järgmiselt:

Selleks, et lapsed saaksid selgeks mõiste „summa“ uue tähenduse avaldise nimetusena, antakse järgmised harjutused: „Kirjuta üles arvude 7 ja 2 summa, mis on arvude 3 ja 4 summa on võrdne kirjega (6 + 3), öelge, millega summa on võrdne arvude summaga (9= ?+?); , öelge, kumb on suurem, kirjutage see üles märgiga "suurem kui" ja lugege kirjet. Selliste harjutuste käigus mõistavad õpilased järk-järgult mõiste "summa" kahekordset tähendust: arvude summa üleskirjutamiseks tuleb need ühendada plussmärgiga; Summa väärtuse leidmiseks tuleb lisada etteantud arvud.

Umbes sama plaan töö käib eespool järgmiste väljenditega: kahe arvu erinevus, korrutis ja jagatis. Kuid nüüd võetakse kõik need terminid kohe kasutusele nii avaldise kui ka toimingu tulemuse nimetusena. Väljendite lugemise ja kirjutamise ning nende tähenduse leidmise oskust sobiva tegevuse abil arendatakse korduvate harjutuste kaudu, mis on sarnased summadega harjutustele.

10 piires liitmise ja lahutamise õppimisel avaldised, mis koosnevad kolmest või enamast arvust, mis on ühendatud sama või erinevaid märke vormi toimingud: 3+1+1, 4-1-1, 2+2+2. Nende väljendite tähendusi arvutades valdavad lapsed väljendites reeglit toimingute sooritamise järjekorra kohta ilma sulgudeta väljendites, kuigi nad seda ei sõnasta. Mõnevõrra hiljem õpetatakse lapsi arvutamise käigus avaldisi teisendama: näiteks: 7+5=3+5=8. Sellised kirjed on esimene samm identiteedi teisenduste tegemisel.

Esimese klassi õpilastele vormi väljendite tutvustamine: 10 - (6+2), (7-4)+5 jne. valmistab neid ette uurima arvu summale liitmise, summast arvu lahutamise jms reegleid, liitülesannete lahendusi kirja panema ning ühtlasi aitab kaasa väljenduse mõiste sügavamale mõistmisele.

Metoodika õpilastele vormi väljendite tutvustamiseks: 10+(6-2), (7+4)+5 jne. valmistab neid ette uurima arvu summale liitmise, summast arvu lahutamise jms reegleid, liitülesannete lahendusi kirja panema ning ühtlasi aitab kaasa väljenduse mõiste sügavamale mõistmisele.

Õpilastele vormi 10+(6-2), (5+3) -1 väljendite tutvustamise meetod võib olla erinev. Saate kohe õpetada lugema valmisväljendeid analoogselt näitega ja arvutama väljendite tähendusi, selgitades toimingute järjekorda. Teine võimalik viis lastele seda tüüpi väljenditega kurssi viia on koostada õpilaste poolt need avaldised etteantud arvust ja kõige lihtsamast avaldisest.

Väljendite koostamise ja tähenduse leidmise oskust kasutavad õpilased üheaegselt liitülesannete lahendamisel, siin tekib väljendi mõiste edasine valdamine ning omandatakse väljendite spetsiifiline tähendus ülesannete lahenduste kirjetes. Sellega seoses tuleb kasuks harjutus: tuuakse probleemi seisukord näiteks "Poisil oli 24 rubla jäätis maksab 12 rubla ja komm maksab 6 rubla." Lapsed peaksid selgitama, mida näitavad sel juhul järgmised väljendid:

Teises klassis võetakse kasutusele mõisted “matemaatiline avaldis” ja “väljenduse tähendus” (definitsioonita). Pärast mitme näite salvestamist ühes tegevuses teatab õpetaja, et neid näiteid nimetatakse muidu matemaatilisteks avaldisteks.

Õpetaja õpetuse järgi mõtlevad lapsed ise välja erinevaid väljendeid. Õpetaja soovitab tulemused arvutada ja selgitab, et muidu nimetatakse tulemusi matemaatiliste avaldiste väärtusteks. Siis võetakse arvesse keerukamaid matemaatilisi avaldisi.

Hiljem esinedes erinevaid harjutusi esmalt õpetaja ja seejärel lapsed kasutavad uusi termineid (kirjutage väljendid üles, leidke väljendi tähendus, võrrelge väljendeid jne).

Keerulistes väljendites on ka lihtsamaid väljendeid ühendavatel tegevusmärkidel topelttähendus, mida õpilased tasapisi paljastavad. Näiteks avaldises 20+(34-8) näitab märk “+” toimingut, mis tuleb sooritada numbriga 20 ning numbrite 34 ja 8 vahet (lisada numbrite 34 ja 8 vahe 20). Lisaks tähistab plussmärk summat - see avaldis on summa, mille esimene liige on 20 ja teine ​​liige on väljendatud numbrite 34 ja 8 vahega.

Pärast seda, kui lapsed on teises klassis tutvunud keerulistes avaldistes toimingute sooritamise järjekorraga, hakkavad nad moodustama mõisteid summa, erinevus, korrutis, jagatis, milles üksikuid elemente täpsustatakse avaldiste abil.

Seejärel omandavad õpilased väljendite lugemise, koostamise ja kirjutamise korduvate harjutuste käigus järk-järgult oskuse määrata keeruka väljenduse tüüp (2-3 sammuga).

Ühiselt koostatud ja väljendite lugemisel kasutatav diagramm hõlbustab oluliselt laste tööd:

määrata, milline toiming sooritatakse viimati;

pidage meeles, milliseid numbreid selle toimingu sooritamisel kutsutakse;

Lugemis- ja kirjutamisharjutused keerulised toimingud, kõige lihtsamates väljendites aitavad lastel protseduurireegleid õppida.

1.2 Kodukorra õppimine

Keerulistes väljendites toimingute sooritamise järjekorra reegleid õpitakse 2. klassis, kuid lapsed kasutavad mõnda neist praktiliselt 1. klassis.

Esiteks käsitleme reeglit tehte järjekorra kohta avaldistes ilma sulgudeta, kui arve sooritatakse kas ainult liitmine ja lahutamine või ainult korrutamine ja jagamine. Kaht või enamat samal tasemel aritmeetilist tehtet sisaldavate avaldiste kasutuselevõtu vajadus tekib siis, kui õpilased tutvuvad 10 piires liitmise ja lahutamise arvutustehnikatega, nimelt:

Samamoodi: 6 - 1 - 1, 6 - 2 - 1, 6 - 2 - 2.

Kuna nende väljendite tähenduste leidmiseks pöörduvad koolilapsed objektiivsete toimingute poole, mida tehakse kindlas järjekorras, õpivad nad kergesti ära tõsiasja, et avaldistes toimuvad aritmeetilised toimingud (liitmine ja lahutamine) sooritatakse järjestikku vasakult paremale.

Õpilased puutuvad esimest korda kokku liitmise ja lahutamise tehteid ja sulgu sisaldavate arvuavaldistega teemas "Lisamine ja lahutamine 10 piires." Kui lapsed kohtavad selliseid väljendeid 1. klassis, näiteks: 7 - 2 + 4, 9 - 3 - 1, 4 +3 - 2; 2. klassis näiteks: 70 - 36 +10, 80 - 10 - 15, 32+18 - 17; 4*10:5, 60:10*3, 36:9*3, näitab õpetaja, kuidas selliseid väljendeid lugeda ja kirjutada ning nende tähendust leida (näiteks 4*10:5 loe: 4 korruta 10-ga ja jagage saadud tulemus 5-ga). Õppides 2. klassis teemat “Tegevuste järjekord”, oskavad õpilased leida seda tüüpi väljendite tähendused. Töö eesmärk selles etapis on õpilaste praktilistele oskustele tuginedes juhtida nende tähelepanu sellistes väljendites toimingute sooritamise järjekorrale ja sõnastada vastav reegel. Õpilased lahendavad iseseisvalt õpetaja valitud näiteid ja selgitavad, millises järjekorras nad need sooritasid; toimingud igas näites. Seejärel sõnastavad nad järelduse ise või loevad õpikust: kui sulgudeta avaldises on märgitud ainult liitmise ja lahutamise toimingud (või ainult korrutamise ja jagamise toimingud), siis tehakse need kirjutamise järjekorras. (st vasakult paremale).

Hoolimata sellest, et vormiga a+b+c, a+(b+c) ja (a+b)+c avaldistes ei mõjuta sulgude olemasolu liitmise assotsiatiivsest seadusest tulenevalt tegevuste järjekorda, etapis on soovitatav suunata õpilased sellele, et sulgudes olev toiming sooritatakse esimesena. Selle põhjuseks on asjaolu, et vormi a - (b + c) ja a - (b - c) avaldiste puhul on selline üldistus vastuvõetamatu ja õpilaste jaoks esialgne etapp Erinevate numbriliste avaldiste sulgude määramises on üsna raske navigeerida. Edasi arendatakse sulgude kasutamist liitmis- ja lahutamisoperatsioone sisaldavates arvavaldistes, mis on seotud selliste reeglite uurimisega nagu summa liitmine arvule, arv summale, summa lahutamine arvust ja arvu lahutamine arvust. summa. Kuid esmalt sulgude sissetoomisel on oluline suunata õpilasi esmalt sulgudes olevaid toiminguid tegema.

Õpetaja juhib laste tähelepanu sellele, kui oluline on seda reeglit arvutuste tegemisel järgida, vastasel juhul võite saada vale võrdsuse. Näiteks selgitavad õpilased, kuidas saadakse väljendite tähendused: 70 - 36 +10 = 24, 60:10 - 3 = 2, miks need on valed, mis tähendused neil väljenditel tegelikult on. Samamoodi uurivad nad toimingute järjekorda avaldistes, mille sulgudes on vorm: 65 - (26 - 14), 50: (30 - 20), 90: (2 * 5). Õpilased tunnevad ka selliseid väljendeid ning oskavad lugeda, kirjutada ja arvutada nende tähendust. Olles selgitanud tegevuste järjekorda mitmes sellises väljendis, sõnastavad lapsed järelduse: sulgudega väljendites sooritatakse esimene toiming sulgudesse kirjutatud numbritega. Neid väljendeid vaadates ei ole raske näidata, et nendes olevaid toiminguid ei sooritata nende kirjutamise järjekorras; nende täitmise erineva järjekorra näitamiseks ja kasutatakse sulgusid.

Järgnevalt tutvustatakse sulgudeta avaldistes toimingute sooritamise järjekorra reeglit, kui need sisaldavad esimese ja teise etapi toiminguid. Kuna kodukord võetakse vastu kokkuleppel, edastab õpetaja selle lastele või õpivad õpilased õpikust. Tagamaks, et õpilased mõistavad tutvustatud reegleid koos treeningharjutused sisaldama näidetele lahendusi koos nende tegevuste järjekorra selgitusega. Tõhusad on ka harjutused vigade selgitamiseks tegevuste järjekorras. Näiteks alates antud paarid Näiteid soovitatakse kirjutada ainult need, kus arvutused tehti vastavalt protseduurireeglitele:

Pärast vigade selgitamist saate anda ülesande: muutke sulgude abil toimingute järjekorda nii, et avaldis oleks määratud väärtusega. Näiteks selleks, et esimese antud avaldise väärtus oleks 10, tuleb see kirjutada järgmiselt: (20+30):5=10.

Avaldise väärtuse arvutamise harjutused on eriti kasulikud siis, kui õpilane peab rakendama kõiki õpitud reegleid. Näiteks on tahvlile või vihikutesse kirjutatud väljend 36:6+3*2. Õpilased arvutavad selle väärtuse. Seejärel kasutavad lapsed vastavalt õpetaja juhistele sulgusid, et muuta avaldises olevate toimingute järjekorda:

Huvitav, kuid keerulisem harjutus on vastupidine harjutus: sulgude paigutamine nii, et avaldis oleks antud väärtusega:

Huvitavad on ka järgmised harjutused:

1. Asetage sulud nii, et võrdsused oleksid tõesed:

25-17:4=2 3*6-4=6

2. Asetage tärnide asemel "+" või "-" märgid, et saada õiged võrdsused:

3. Asetage tärnide asemel aritmeetilised märgid, et võrdsused oleksid tõesed:

Selliseid harjutusi sooritades saavad õpilased veendumuse, et tegevuste järjekorra muutmisel võib väljendi tähendus muutuda.

Toimingute järjekorra reeglite omandamiseks on vaja 3. ja 4. klassis lisada järjest keerukamad väljendid, mille väärtuste arvutamisel õpilane rakendaks mitte ühte, vaid kahte või kolme toimingute järjekorra reeglit. aeg, näiteks:

90*8- (240+170)+190,

469148-148*9+(30 100 - 26909).

Sel juhul tuleks numbrid valida nii, et need võimaldaksid toiminguid sooritada mis tahes järjekorras, mis loob tingimused õpitud reeglite teadlikuks rakendamiseks.

1.3 Sissejuhatus avaldiste teisendusse

Avaldise teisendamine on antud avaldise asendamine teisega, mille väärtus on võrdne antud avaldise väärtusega. Õpilased sooritavad selliseid avaldiste moodustamisi, tuginedes aritmeetiliste tehete omadustele ja nendest tulenevatele tagajärgedele.

Iga reeglit uurides tekib õpilastel veendumus, et teatud tüüpi väljendites saab toiminguid sooritada erineval viisil, kuid väljendi tähendus ei muutu. Edaspidi kasutavad õpilased teadmisi tegevuste omadustest, et muuta etteantud väljendid nendega võrdväärseteks väljenditeks. Näiteks pakutakse selliseid ülesandeid: jätkake salvestamist, nii et märk "=" säiliks:

56- (20+1)=56-20...

(10+5) * 4=10*4...

60:(2*10)=60:10...

Esimese ülesande täitmisel arutlevad õpilased nii: vasakul lahutage 56-st arvude 20 ja 1 summa, lahutage 56-st 20; et saada paremale sama summa kui vasakule, tuleb ka teised avaldised teisendada sarnaselt, st pärast avaldise lugemist jätab õpilane meelde vastava reegli ja sooritades toiminguid vastavalt avaldisele. reegel, saab teisendatud avaldise. Teisenduse õigsuse tagamiseks arvutavad lapsed antud ja teisendatud avaldiste väärtused ja võrdlevad neid. Kasutades arvutustehnikate põhjendamiseks teadmisi toimingute omadustest, teevad 2.–4. klassi õpilased vormi avaldiste teisendusi:

54+30=(50+4)+20=(50+20)+4=70+4=74

72:3=(60+12):3=60:3+12:3=24

16 * 40=16 * (3 * 10)=(16 * 3) * 10=540

Siin on ka vajalik, et õpilased mitte ainult ei selgitaks, mille alusel nad iga järgnevat väljendit tuletavad, vaid mõistaksid ka, et kõiki neid väljendeid ühendab märk “=”, kuna neil on samad tähendused. Selleks tuleks mõnikord lasta lastel välja arvutada väljendite tähendused ja neid võrrelda. See hoiab ära sellised vead nagu:

75-30=70-30=40+5=45,

24*12=(10+2)=24*10 +24*2=288.

2. ja 3. klassi õpilased teisendavad väljendeid mitte ainult tegevuste omaduste, vaid ka tegevuste definitsioonide põhjal. Näiteks identsete terminite summa asendatakse korrutisega: 6+6+6=6 * 3 ja vastupidi: 9 * 4=9+9+9+9. Lähtudes ka korrutamise tegevuse tähendusest, teisendavad nad rohkem keerulised väljendid: 8 * 4+8=8 * 5, 7 * 6 - 7 =7 * 5.

Arvutuste ja spetsiaalselt valitud avaldiste analüüsi põhjal jõutakse 3. klassi õpilasteni järeldusele, et kui sulgudega avaldistes ei mõjuta sulud tegevuste järjekorda, siis võib need ära jätta: (30+20)+10=30+ 20+10, (10-6):4=10-6:4 jne. Seejärel harjutavad õpilased tegevuste uuritud omadusi ja toimingute järjestuse reegleid kasutades muutma sulgudega väljendeid identseteks ilma sulgudeta avaldisteks. Näiteks tehakse ettepanek kirjutada need avaldised ilma sulgudeta, et nende väärtused ei muutuks: (65+30) - 20 (20+4) * 3

Selgitades antud avaldistest esimese lahendust summast arvu lahutamise reegli alusel, asendavad lapsed selle avaldistega: 65+30 - 20, 65 - 20+30, 30 - 20+65, selgitades protseduuri. nendes toimingute sooritamise eest. Selliseid harjutusi sooritades on õpilased veendunud, et väljendi tähendus ei muutu, kui tegevuste järjekorda muudetakse vaid siis, kui rakendatakse tegevuste omadusi.

Seega tutvustades algklassiõpilastele mõiste väljendus on tihedalt seotud arvutusoskuste kujunemisega. Samas võimaldab väljenduse mõiste kasutuselevõtt korraldada sobivat tööd õpilaste matemaatilise kõne arendamiseks.

Loeng 2. Tähtsümbolid, võrdsused, võrratused, võrrandid

2.1 Tähtsümbolitega tutvumise metoodika

Vastavalt matemaatikaprogrammile tutvustatakse 3. klassis tähemärke.

Siin õpivad õpilased tundmatut numbrit või avaldise üht komponenti tähistava sümbolina tundma a-tähte vormi avaldiste lahendamisel: kirjutage "kasti" asemel täht a. Leidke summa a+6 väärtused, kui a=8, a=7. Seejärel saavad nad järgmistes tundides mõne tähega tuttavaks Ladina tähestik, mis näitab üht avaldise komponentidest. Täht x, tähis tundmatu arvu tähistamiseks võrrandite lahendamisel kujul: a + x = b, x - c = b - võetakse kasutusele 3. klassi IV veerandil.

Tähe kasutuselevõtt muutujat tähistava sümbolina võimaldab juba algklassides alustada tööd muutuja mõiste kujundamisega ning tutvustada lastele matemaatiline keel tegelased.

Alguses tehakse ettevalmistustööd tähe kui sümboli tähenduse paljastamiseks muutuja tähistamiseks õppeaastal 3. klassis. Selles esimeses etapis tutvustatakse lastele mõningaid ladina tähestiku tähti (a, b, c, d, k), mis tähistavad muutujat, st. üks avaldise komponentidest.

Tähestikuliste sümbolite kasutuselevõtmisel numbrilise muutuja tähistamiseks oluline roll oskuslik kombineerimine induktiiv- ja deduktiivsed meetodid. Vastavalt sellele hõlmavad harjutused üleminekut numbrilistest avaldistest tähestikulistele avaldistele ja vastupidi, tähestikulistest avaldistest numbrilistele. Näiteks tahvlile riputatakse kolme taskuga plakat, millele on kirjutatud: “1 termin”, “2 termin”, “summa”.

Õpilastega vesteldes täidab õpetaja plakati taskud kaartidega, millele on kirjutatud numbrid ja matemaatilised avaldised:

Edasi saab selgeks, kas väljendeid on ikka võimalik koostada, kui palju selliseid väljendeid saab koostada. Lapsed mõtlevad välja teisi väljendeid ja leiavad neis midagi ühist: sama tegevus on liitmine ja erinev tegevus on erinevad terminid. Õpetaja selgitab, et selle asemel, et kirja panna erinevad numbrid, võite tähistada mis tahes numbrit, mis võib olla lisand, mõne tähega, näiteks a, mis tahes numbrit, mis võib olla teine ​​​​liit, näiteks b. Seejärel saab summa märkida järgmiselt: a + b (vastavad kaardid pannakse plakati taskutesse).

Õpetaja selgitab, et a+b on ka matemaatiline avaldis, ainult selles on terminid tähistatud tähtedega; Neid numbreid nimetatakse tähtväärtusteks.

Arvude erinevus tuuakse sisse sarnaselt arvavaldiste üldistatud tähistusega. Selleks, et õpilased mõistaksid, et avaldises sisalduvad tähed, näiteks b + c, võivad omandada palju arvväärtusi ja tähtavaldis ise on arvuliste avaldiste üldistatud tähistus, on ette nähtud harjutused üleminekuks tähtavaldistelt. numbriliste juurde.

Õpilased on veendunud, et andes tähtedele isikupäraseid arvväärtusi, saavad nad nii palju arvavaldisi, kui tahavad. Samamoodi tehakse tööd ka sõnasõnalise avaldise – arvude erinevuse – konkretiseerimiseks.

Edasi, seoses väljendite alase tööga, ilmneb konstantse väärtuse mõiste. Selleks kasutatakse väljendeid, milles konstantne fikseeritud numbri abil, näiteks: а±12, 8±с. Siin, nagu ka esimeses etapis, antakse harjutusi, et liikuda numbrilistest avaldistest tähtede ja numbritega kirjutatud avaldistele ja vastupidi.

Selleks kasutatakse esialgu kolme taskuga plakatit.

Kui õpilased täidavad plakati taskuid kaartidega, millele on kirjutatud numbrid ja matemaatilised avaldised, märkavad nad, et esimese termini väärtused muutuvad, kuid teise termini väärtused ei muutu.

Õpetaja selgitab, et teise termini saab kirjutada numbrite abil, seejärel saab arvude summa kirjutada järgmiselt: m + 8 ja kaardid pistetakse plakati vastavatesse taskutesse.

Sarnasel viisil saate vormi matemaatilisi avaldisi: 17±a, ±30 ja hiljem - vormi avaldisi: 7* in, c*4, a:8, 48:in.

4. klassis harjutusi nagu: Leia väljend a:b tähendus, kui

a = 3400 ja b = 2;

a = 2800 ja b = 7.

Kui õpilased mõistavad tähesümbolite tähendust, saab tähti kasutada nende teadmiste kokkuvõtmiseks.

Tähesümbolite kui üldistusvahendi kasutamise spetsiifiliseks aluseks on teadmised aritmeetiliste tehtetest ja nende põhjal kujunevad teadmised.

Nende hulka kuuluvad mõisted aritmeetiliste tehtetest, nende omadustest, komponentide vahelistest seostest ja tegevustulemustest, aritmeetiliste toimingute tulemuste muutumisest sõltuvalt ühe komponendi muutusest jne.

Seega aitab tähesümbolite kasutamine tõsta algklassiõpilaste omandatud teadmiste üldistustaset ning valmistab neid ette süstemaatilise algebra kursuse õppimiseks järgmistes klassides.

2.2 Arvulised võrdsused, ebavõrdsused

Võrdsuse, ebavõrdsuse ja võrrandite mõiste ilmneb vastastikuses seoses. Töö nende kallal toimub alates 1. klassist, mis on orgaaniliselt ühendatud aritmeetilise materjali õppimisega.

Kõrval uus programmülesandeks on õpetada lapsi võrdlema numbreid, samuti võrdlema väljendeid, et luua suhteid “rohkem”, “vähem”, “võrdne”; õpetage kirjutama võrdlustulemusi, kasutades märke ">", "<", "=" и читать полученные равенства и неравенства.

Õpilased saavad etteantud arvude või aritmeetiliste avaldiste võrdluse põhjal arvulised võrrandid ja võrratused. Esialgu kujundavad nooremad kooliõpilased kontseptsiooni ainult tõelisest võrdsusest ja ebavõrdsusest (5>4, 6<7, 8=8).

Seejärel, kui õpilased omandavad muutujaga avaldiste ja ebavõrdsuste kallal töötamise kogemuse, liiguvad nad pärast tõeste ja valede (tõene ja väära) väidete kontseptsiooni kaalumist edasi võrdsuse ja ebavõrdsuse mõistete sellise definitsiooni juurde, mille kohaselt mis tahes kaks numbreid, kahte avaldist, mis on ühendatud ühe märgiga "suurem kui ", "vähem", nimetatakse ebavõrdsuseks. Samas eristatakse tõeseid ja valesid võrdusi ja ebavõrdsusi. 3. klassis pakutakse järgmisi harjutusi: kontrolli, kas etteantud võrrandid on õiged (4. veerand): 760 - 400=90*4; 630:7=640:8.

Kuid nendest harjutustest ei piisa. 4. klassis pakutakse sarnaseid ja muid harjutusi, näiteks: kontrollige, kas ebavõrdsused on tõesed: 478 * 24<478* (3*9); 356*10*6>356*16.

Võrdsuste ja ebavõrdsustega tutvumine algklassides on otseselt seotud numeratsiooni ja aritmeetiliste tehete õppimisega. matemaatiline algebra võrrand

Arvude võrdlemine toimub esmalt hulkade võrdlemise alusel, mis teatavasti tehakse üks-ühele vastavuse loomisega. Seda komplektide võrdlemise meetodit õpetatakse lastele ettevalmistusperioodil ja esimese kümne numbri nummerdamise õppimise alguses. Samal ajal loendatakse hulkade elemente ja võrreldakse saadud arve. Edaspidi tuginevad õpilased numbrite võrdlemisel oma kohale loomulikus jadas: 9<10, потому что при счете число 9 называют перед числом 10, и т.д.

Loodud seosed kirjutatakse märkide ">", "<", "=", учащиеся упражняются в чтении и записи равенств и неравенств. Впоследствии при изучении нумерации чисел в пределах 100, 1000, а также нумерации многозначны: чисел сравнение чисел осуществляется либо на основе сопоставления их по месту в натуральном ряду, либо на основе разложения чисел по десятичному составу сравнения соответствующих разрядных чисел, начиная с высшего разряда.

Nimetatud arvude võrdlemine toimub esmalt koguste endi väärtuste võrdluse põhjal ja seejärel abstraktsete arvude võrdluse alusel, mille jaoks antud nimelised arvud on väljendatud samades ühikutes. mõõtmine.

Nimetatud arvude võrdlemine tekitab õpilastele suuri raskusi, seetõttu on selle toimingu õpetamiseks vaja 2.–4. klassis süstemaatiliselt pakkuda erinevaid harjutusi:

1 dm * 1 cm, 2 dm * 2 cm

Asendage sama arvuga: 7 km 500 m = _____ m

3) Valige numbrid nii, et kirje oleks õige: ____ h< ____ мин, ___ см=__ дм и т.д.

4) Kontrollige, kas antud võrrandid on tõesed või valed, parandage märki, kui võrrandid on valed:

4 t 8 c=480 kg, 100 min.=1 tund, 2 m 5 cm=250 cm.

Avaldiste võrdlemisele üleminek toimub järk-järgult. Esiteks, õppimise käigus lisamine ja. lahutamine 10 piires, harjutavad lapsed pikka aega avaldiste ja arvude võrdlemist. Esimesed võrratused kujul 3+1>3, 3 - 1<3 полезно получать из равенства (3=3), сопровождая преобразования соответствующими операциями над множествами. В дальнейшем выражение и число учащиеся сравнивают, не прибегая к операциям над множествами: находят значение выражения и сравнивают его с заданным числом, что отражается в записях:

Olles tutvunud avaldiste nimetustega, loevad õpilased võrdusi ja ebavõrdsusi nii: arvude 5 ja 3 summa on suurem kui 5.

Tuginedes tehtetele hulkadega ja hulkade võrdlemisel, õpivad õpilased praktiliselt tundma võrduste ja võrratuste olulisi omadusi (kui a = b, siis b = a). Kahe väljendi võrdlemine tähendab nende tähenduste võrdlemist. Arvude ja avaldiste võrdlemine kaasatakse esmalt 20 piires olevate arvude uurimisel ning seejärel kõikides kontsentratsioonides tegevusi uurides pakutakse neid harjutusi süstemaatiliselt lastele.

Teistes kontsentratsioonides tegevusi uurides muutuvad avaldiste võrdlemise harjutused keerulisemaks: avaldised muutuvad keerukamaks, õpilastel palutakse sisestada ühte avaldisesse sobiv arv, et saada õiged võrratused või ebavõrdsused ning koostada avaldistest õiged võrrandid või ebavõrdsused. need väljendid.

Seega aitavad arvude ja avaldiste võrdlemise harjutused kõigi kontsentratsioonide uurimisel ühelt poolt kaasa võrdsuste ja võrratuste mõistete kujunemisele, teisalt aga teadmiste omandamisele nummerdamise ja aritmeetiliste tehete kohta, samuti arvutusoskuste arendamine.

2.3 Metoodika muutujaga ebavõrdsustega tutvumiseks

Võrratused muutujaga kujul: x+3< 7, 10 - х >5 tutvustatakse 3. klassis. Alguses tähistatakse muutujat mitte tähega, vaid "aknaga", seejärel tähistatakse seda tähega.

Algklassides ei kasutata mõisteid “lahenda ebavõrdsus” ja “lahenda ebavõrdsus”, kuna paljudel juhtudel piirdutakse vaid mõne muutuja väärtuse valimisega, mille tulemuseks on tõeline ebavõrdsus. Harjutusi sooritatakse õpetaja juhendamisel.

Ebavõrdsusega harjutused tugevdavad arvutusoskusi ja aitavad ka õppimisel aritmeetilised teadmised. Täheväärtuste valimine ebavõrdsuses ja vormis: 5 + x = 5, 5 - x =5 10 * x = 10, 10* x<10, учащиеся закрепляют знания особых случаев действий. Но самым важным является то, что работая с неравенствами, учащиеся закрепляют представление о переменной и подготавливаются к решению неравенств в 5 классе. В соответствии с программой в 1-4 классах рассматриваются упражнения первой степени с одним неизвестным вида: 7+х=10, х* (17 - 10)=70.

Algklasside ülesandeid peetakse tõelisteks võrdusteks. Tundmatu arvu leidmine sellistes võrdustes toimub tulemuse ja aritmeetiliste tehete komponentide vahelise seose teadmise põhjal. Need programminõuded määravad kindlaks võrranditega töötamise metoodika,

2.4 Võrrandite uurimise metoodika

10 piires liitmise ja lahutamise õppimisel esimeste võrrandite kasutuselevõtu ettevalmistavas etapis õpivad õpilased seost summa ja terminite vahel. Lisaks on lapsed selleks ajaks omandanud oskuse võrrelda avaldisi ja numbreid ning saanud oma esimesed ideed vormi numbriliste võrdsuste kohta: 8 = 5 + 3, 6 + 4 = 40. Suure tähtsusega võrrandite kasutuselevõtu ettevalmistamisel on harjutused puuduvate arvude leidmiseks vormi võrrandites: 4 + * = 6, 5- * = 2. Selliste harjutuste sooritamise käigus harjuvad lapsed idee, et teadmata võib olla mitte ainult summa või erinevus, vaid ka üks terminitest.

Võrrandi mõistet tutvustatakse 3. klassis. Võrrandid lahendatakse suuliselt, kasutades valikumeetodit, s.o. lastele pakutakse lihtsaid võrrandeid kujul: x + 3 = 5. Selliste võrrandite lahendamiseks jätavad lapsed meelde arvude kompositsiooni 10 piires, antud juhul arvu 5 kompositsiooni (3 ja 2), mis tähendab x = 2.

4. klassis näitab õpetaja võrrandi lahendamise kirjet, mis põhineb laste teadmistel komponentide seostest ja aritmeetiliste tehtete tulemusest. Näiteks 6+x=15. Me ei tea teist liiget Teise liikme saamiseks peame summast lahutama esimese liikme.

Lahenduse salvestamine:

Eksam:

Õpilastele tuleb selgitada, et kui me kontrollime, on vaja pärast saadud arvu x asemel asendamist leida saadud avaldise väärtus.

Hiljem, järgmises etapis, lahendatakse võrrandid tundmatu komponendi leidmise reeglite tundmise põhjal.

Iga juhtumi kohta antakse eraldi õppetund.

Postitatud saidile Allbest.ru

...

Sarnased dokumendid

Ebavõrdsuse mõiste, selle olemus ja tunnused, klassifikatsioon ja sordid. Numbriliste võrratuste põhiomadused. Teise astme ebavõrdsuse graafilise lahendamise tehnika. Kahe muutujaga võrratuste süsteemid, muutujaga mooduli märgi all.

abstraktne, lisatud 31.01.2009


Trigonomeetrilised võrrandid ja võrratused kooli matemaatika kursuses. Trigonomeetria alase materjali analüüs erinevates õpikutes. Trigonomeetriliste võrrandite tüübid ja nende lahendamise meetodid. Trigonomeetriliste võrrandite ja võrratuste lahendamise oskuste kujundamine.

lõputöö, lisatud 05.06.2010


Teoreetiline teave teemal "Kolmnurkade võrdsuse testid". Teema "Kolmnurkade võrdsuse märgid" uurimise metoodika. Tunni teema on "Kolmnurk. Kolmnurkade tüübid." "Võrdhaarsete ja võrdkülgsete kolmnurkade omadused."

kursusetöö, lisatud 11.01.2004


Võrrandite tüübid, mis võimaldavad järjestust vähendada. Kõrgemat järku lineaarne diferentsiaalvõrrand. Teoreemid osalahenduste omaduste kohta. Wronski determinant ja selle rakendus. Euleri valemi kasutamine. Algebralise võrrandi juurte leidmine.

esitlus, lisatud 29.03.2016


Diferentsiaalvõrrandi kui ühe või mitme muutuja soovitud funktsiooni ühendava võrrandi elementide mõiste ja matemaatiline kirjeldus. Esimest järku mittetäielike ja lineaarsete diferentsiaalvõrrandite koostamine, nende rakendamine majanduses.

abstraktne, lisatud 08.06.2013


Meetod n-nda astme algebralise võrrandi analüütiliseks lahendamiseks (radikaalides) tagasipöördumisega algvõrrandi juurte juurde. Omaväärtused maatriksite funktsioonide leidmiseks. Lineaarsete diferentsiaal- ja diferentsiaalvõrrandite lahenduste stabiilsus.

teaduslik töö, lisatud 05.05.2010


Riccati võrrandi tüüp sõltuva muutuja suvalise murd-lineaarse teisenduse jaoks. Peegeldusfunktsiooni omadused, selle konstrueerimine esimest järku mittelineaarsete diferentsiaalvõrrandite jaoks. OF Riccati võrrandi lemma sõnastamine ja tõestamine.

kursusetöö, lisatud 22.11.2014


Võrrandirea ja võrratuste põhisuunad koolimatemaatika kursuses, seos arv- ja funktsionaalsüsteemiga. Uuringu tunnused, analüütilised ja graafilised meetodid parameetreid sisaldavate võrrandite ja võrratuste lahendamiseks.

kursusetöö, lisatud 01.02.2015


Info süstematiseerimine lineaarsete ja ruutsõltuvuste ning nendega seotud võrrandite ja võrratuste kohta. Täieliku ruudu eraldamine kui meetod mõne mittestandardse probleemi lahendamiseks. Funktsiooni |x| omadused. Moodulit sisaldavad võrrandid ja võrratused.

lõputöö, lisatud 25.06.2010


Arvutiprogrammi arendamise tunnuste analüüs. Lihtsa iteratsioonimeetodi üldised omadused. Sissejuhatus mittelineaarse algebralise võrrandi lahendamise põhimeetoditesse. Võrrandi lahendamise etappide käsitlemine poolitamise meetodil.