Tangent meetod. Võrrandite ligikaudne lahendamine erinevate vahenditega

Tunni tüüp: Uute teadmiste õppimine ja kinnistamine.

Tunni tüüp: praktiline töö arvuti abil.

Tunni kestus: kaks õppetundi.

Eesmärk: õppida lahendama võrrandeid etteantud intervallil etteantud täpsusega.

uurimistöö arendamine, õpilaste tunnetuslik tegevus;
erinevate tarkvaravahendite kasutamise oskuste arendamine ühe probleemi lahendamisel;
arengut suhtlemisoskusedõpilased.

Õppemeetodid: visuaalne, uurimuslik, praktiline.

Varustus:

arvuti;
kohalik võrk;
projektor.

Tarkvara:

Windowsi operatsioonisüsteem;
Microsoft Excel Microsoft Office'i paketist;
Microsoft Visual Basic 6.0.

Tunniplaan:

Aja organiseerimine.
Probleemsituatsiooni loomine.
Kasutamine graafiline meetod võrrandite ligikaudseks lahendamiseks arvutustabelites.
Õppemeetod pooljaotus võrrandite lahendamisel.
Arvutustabelite lehe simuleerimine võrrandi ligikaudseks lahendamiseks poolitamise meetodil.
Projekti “Võrrandi ligikaudne lahendus” modelleerimine objektorienteeritud keeles Visual Basic 6.0.
Arvuti eksperiment.
Saadud tulemuste analüüs.
Õppetunni kokkuvõte.

Tundide ajal

1. Organisatsioonimoment.

Õpetaja tervitus.

2. Probleemsituatsiooni loomine.

– Täna peame lahendama võrrandi ligikaudse juure leidmise ülesande cos(x)=x kasutades erinevaid tarkvaratööriistu. Kirjutage üles tunni teema: "Võrrandite ligikaudne lahendamine erinevate vahenditega."

- Kuigi te ei tea selle võrrandi lahendamiseks ühtegi matemaatilist meetodit, kuid teate programmi, milles saate selle ligikaudu lahendada graafiliselt. Mis see programm on? (Microsoft Excel.)

3. Graafilise meetodi kasutamine võrrandite ligikaudseks lahendamiseks arvutustabelites.

- Mis on meetodi tähendus? (Peame funktsiooni joonistama y = cos(x)–x teatud lõigul on võrrandi juureks graafiku ja OX-telje lõikepunkti abstsiss cos(x)=x .)

- Mida tuleb graafiku koostamiseks kindlaks määrata? (Segment, millel on juur.)

Tehke seda matemaatiliselt. (Võrrandi vasaku külje väärtuste komplekt, funktsioonid y = cos(x) , on segment [-1; üks]. Seetõttu võib võrrandil olla ainult selle segmendi juur.)

– Niisiis, leidke võrrandi ligikaudne juur cos(x)=x lõigul [-1; 1] sammuga, näiteks 0,1 tolli Microsofti programm Excel.

1. pilt

– Võrrandi ligikaudne juur x=0,75. See lähendus aga mitte kõrge täpsusega. Võrrandi ligikaudse juure kindlaksmääratud täpsusega leidmiseks kasutatakse matemaatilisi meetodeid, eriti pooljagamise meetodit.

4. Pooljagamise meetodi uurimine võrrandite lahendamisel.

Kaaluge pidev funktsioon f(x), nii et selle võrrandi juur on selle funktsiooni graafiku ja OX-telje lõikepunkt.

Poolitamise meetodi idee on vähendada algset lõiku [a; b], millel on võrrandi juur, antud täpsusega h segmendini.

Protsess taandatakse segmendi järjestikusele jagamisele pooleks punktiga c \u003d (a + b) / 2 ja poole lõigu ( või ), millel puudub juur, kõrvalejätmine. Valitakse segment, mille otstes funktsioon võtab erinevate märkide väärtused, st. nende väärtuste korrutis on negatiivne. Sellel lõigul olev funktsioon lõikub x-teljega. Selle segmendi otstele omistatakse taas tähised a, b.

See jagamine jätkub seni, kuni lõigu pikkus muutub alla kahekordse täpsuse, s.o. kuni ebavõrdsuseni (b-a)/2

(Kuvage saadud graafiku pilt läbi projektori ekraanil, arutlege, millised segmendid tuleks valida etteantud täpsusega 0,5. Järeldus: võrrandi x = 0,75 ligikaudne juur leiti 0,5 täpsusega.)

- Nüüd leiame võrrandi juure cos(x)=x täpsusega 0,001. Lahendame probleemi Microsoft Exceli abil.

5. Tabelite lehe simuleerimine võrrandi ligikaudseks lahendamiseks poolitamise meetodil.

(lehe paigutuse ehitamine toimub õpilastega ühiselt)

Kirjutame segmendi a ja b piiride algväärtused lahtritesse A4 ja B4, lahtrisse C4 saame määratud segmendi keskkoha, lahtritesse D4 ja E4 - funktsiooni f (x) väärtused ) lõigu otstes määrame lahtris F4 lõigu pikkuse [a; b], näitame lahtris H4 nõutavat täpsust. Lahtrisse G4 kirjutame juure leidmise valemi vastavalt reeglile: kui jooksva lõigu pikkus vastab nõutavale täpsusele, siis võtame võrrandi juureks selle lõigu keskkoha väärtuse. Teame juba, et meie puhul juurt ei leia ühe sammuga, nii et valemit kopeerides lahtrist G4 ei muutu lahtri H4 aadress, kasutame absoluutset adresseerimist.

Viiendale reale kirjutame väärtused, mis saadi pärast esialgse segmendi pooleks jagamise esimest sammu. Lahtritesse A5 ja B5 peate sisestama valemid uue segmendi piiride määramiseks. Lahtrites C4, D4, E4, F4, G4 kopeeritakse valemid vastavalt lahtritest C5, D5, E5, F5, G5.

Seega näeb valemirežiimis arvutustabeli leht välja järgmine:

6. Projekti “Võrrandi ligikaudne lahendus” modelleerimine objektorienteeritud keeles Visual Basic 6.0.

(Vormi küljenduse koostamine ja programmikoodi kirjutamine toimub õpilaste poolt iseseisvalt: individuaalselt või rühmades)

Joonis 3

Nupu programmikood Võrrandi juur cos(x)=x:

Privaatne alamkäsk1_Click()

Kuigi (b - a) / 2 >= e

Kui fa*fc< 0 Then b = c Else a = c

Tekst4 = (a + b) / 2

7. Arvutikatse.

(Õpilased täidavad projekti tabelina, kirjutavad tulemuse vihikusse. Seejärel lõpetavad projekti Visual Basicus, kirjutavad tulemuse vihikusse.)

Projekt arvutustabelites – 1. lisa.

8. Saadud tulemuste analüüs.

(Õpilased järeldavad, et erinevate vahenditega saadud võrrandi cos(x)=x lahendamise tulemused on samad.)

9. Õppetunni kokkuvõtte tegemine.

MBOU keskkool nr 6

Informaatika tund

Teemaexcel»

klass: IX (üldharidus)

õpetaja: E.N.Kulik

Tunni teema: "Ligikaudne võrrandite lahendamine tabelarvutusprotsessori abilexcel»

Tunni tüüp : õppetund – õpitu kinnistamine

Tunni tüüp: õppetund - praktika

Tehnoloogia : probleem - uurimine

Varustus : varustatud arvutiklass moodne tehnoloogia ja tarkvara

Tunni eesmärgid:

Oskuste ja vilumuste kujunemine, sissekandmine kaasaegsed tingimusedüldine teaduslik ja üldine intellektuaalne iseloom.

Teoreetilise areng, loov mõtlemine, samuti parimate lahenduste valimisele suunatud operatiivse mõtlemise kujundamine.

Õpetage õpilasi rakendama kaasaegset tarkvara mittestandardsete probleemide lahendamisel.

Tunni eesmärgid:

Hariduslik - areng kognitiivne huvi, infokultuuri haridus.

Hariduslik - Õppige ja kinnistage arvutustabeli põhioskusi.

Hariduslik - areng loogiline mõtlemine, laiendades silmaringi.

Tunniplaan.

Frontaalküsitlus, et kontrollida õpilaste ettevalmistuse taset uue materjali omastamiseks.

Uue materjali selgitus ja iseseisev tööõpilased arvutites.

Individuaalsete diferentseeritud ülesannete täitmine (töö rühmades).

Töötubade aruannete ja hinnete väljatrükk.

Kodutöö.

Peegeldus.

TUNNIDE AJAL

ma. Lühike infotund ohutusest arvutiklassis.

Tere kutid! Täna hoiame praktiline tund arvutustabelitel arvutiklassis. Ohutu töö tagamiseks tuleb järgida järgmisi reegleid:

Te ei saa iseseisvalt, ilma õpetaja loata arvutit sisse ja välja lülitada;

Ärge puudutage arvuti tagakülge ja juhtmeid;

Ärge vajutage klahve pastaka või pliiatsiga;

Te ei saa klassis ringi kõndida, oma kohalt tõusta;

Arvuti rikke korral või põlemislõhna avastamisel helistage õpetajale.

esiküsitlus.

Viimases teoreetilises tunnis me juba rääkisime lisafunktsioonid Exceli programmid.

Tuletagem meelde, milleks see programm mõeldud on? ( Selle rikkaliku graafikuteegiga saate luua diagramme ja graafikuid erinevad tüübid: ringikujuline, tulpdiagrammid, graafikud; saab anda pealkirju ja selgitusi, skeemidel saab määrata viirutuse värvi ja tüübi; printida paberile, muutes lehel suurust ja asukohta ning sisestada diagrammid lehele õigesse kohta)

Kuidas mõistate mõistet "ärigraafika"? ( Seda mõistet mõistetakse tavaliselt graafikute ja diagrammidena, mis kujutavad visuaalselt konkreetse tootmise, tööstuse ja muude arvandmete arengu dünaamikat)

Millist menüükäsku saab kasutada Excelis diagrammide ja graafikute koostamiseks? (Diagramme ja graafikuid saab koostada diagrammiviisardi käivitusnupu abil)

Kuidas määrata automaatset arvutust lahtri väärtuste tabelis teatud valem? (Automaatse arvutuse määramiseks väärtuste tabelis teatud valemi järgi peate sisestama märgi "=", seejärel aktiveerima soovitud lahtri ja sisestama vastavad aritmeetiliste toimingute märgid)

Kas valemi sisestamist saab juhtida? (Valemi sisestust saate juhtida valemi sisestusakna abil)

Kuidas saan sisestada valemi mitmesse lahtrisse, st. kopeerida seda? (Valemi sisestamiseks mitmesse lahtrisse peate viima kursori alumisele parempoolsele lahtrimarkerile ja lohistama selle soovitud vahemiku viimasesse lahtrisse)

Mida saab öelda kursori tüübi kohta, mis on seatud alumisse parempoolsesse lahtrimarkerisse?

III. Uue materjali tutvustamine ja õpilaste iseseisev töö arvutis.

Tunni teema "Ligikaudne võrrandite lahendamine tabelarvutusprotsessori abilexcel»

Meenutagem matemaatika kursusest, mida tähendab võrrandi lahendamine? ( Võrrandi lahendamine tähendab selle juurte leidmist või juurte puudumise tõestamist)

Milliseid võrrandite lahendamise meetodeid te teate? ( Võrrandite lahendamiseks on kaks võimalust: analüütiline ja graafiline)

Vaatleme juurte leidmise graafilisel meetodil. Selle meetodi põhjal öelge palun, mis on võrrandi juured? ( võrrandi juured on funktsiooni graafiku ja x-telje lõikepunktide väärtused).

Kui me lahendame võrrandisüsteemi, siis milline on selle lahendus? (Vorrandisüsteemi lahenduseks on funktsioonigraafikute lõikepunktide koordinaadid).

Viimases õppetükis saime teada, et Exceli abil saab koostada peaaegu igasuguse graafiku.

Kasutame neid teadmisi võrrandisüsteemi juurte leidmiseks graafilisel meetodil.

Mida on vaja selle võrrandisüsteemi lahendamiseks teha? ( Teisendus see süsteem antud)

Saame: x 2 \u003d 2x + 9

Lahenduste hindamiseks kasutame diagrammi, millel kuvame mõlema funktsiooni graafikud samas koordinaatsüsteemis.

Kõigepealt koostame tabeli.

Esimene rida on päise rida

Veeru A täitmisel sisestatakse lahtrisse A2 algväärtus argument x. Poisid, soovitage x algväärtust (___).

Ja miks saame algväärtuseks võtta ____? ( Kuna mõlema funktsiooni domeeniks on kõik reaalarvud).

Kogu veeru automaatseks täitmiseks peate lahtrisse A3 sisestama valemi:

A2+1, kus +1 on samm argumendi muutmiseks ja selle kopeerimiseks lahtrisse A23.

Veeru B täitmisel sisestame lahtrisse B2 valemi A2 * A2, mille kopeerime ka lahtrisse B23.

Lahtris C2 veeru C täitmisel sisestame valemi 2 * A2 + 9 ja kopeeritakse ka C23-sse.

Tõstke esile saadud tabel.

Standardpaneelil klõpsake nuppu "Chart Wizard", avaneb aken "Chart Wizard", klõpsake tüübil "Hajutus", seejärel valige tüüp "Scatter Plot with Values Connected by Smooth Lines" ja koostage otsuste hindamise tabel.

Mida me diagrammil näeme? ( Diagramm näitab, et mõlemal graafikul on kaks lõikepunkti)

Mida saab nende ristumispunktide kohta öelda? Lõikepunktide koordinaadid on süsteemi lahendused)

Graafiku järgi saab ligikaudselt määrata koordinaadid

Meenutagem veel kord, kuidas graafiliselt võrrandi lahendust leida?

(Seda saab teha funktsiooni graafiku abily= x^3-2 x^2+4 x-12 ja defineerides x-teljega lõikepunktide x-koordinaadi.

Või kujutage ette antud võrrand nagux^3=2 x^2-4 x+12 ja kahe graafiku joonistaminey= x^3 y=2 x^2-4 x+12 ja määrake funktsioonide graafikute lõikepunktide abstsissid ja võrrandi juurteks on abstsisside väärtused)

Oleme juba kaalunud kahe graafiku koostamist. Leiame sellele võrrandile lahenduse, määrates selle x-teljega lõikepunktide x-koordinaadi.

Alustame tabeli täitmisega.

Sisestage tiitliribale järgmine tekst:

X y=x^3-2x^2+4x-12

Teen ettepaneku võtta argumendi algväärtuseks 0, sisestame selle lahtrisse A2.

Lahtrisse A3 sisestame valemi \u003d A2 + 0,15 ja kopeerime lahtrisse A20.

Lahtrisse B2 sisestame valemi =A2^3-2*A2^2+4*A2-12 ja kopeerime ka lahtrisse B20.

Kuidas leiame võrrandile lahenduse? ( määrake graafiku ja OX-telje lõikepunktide x koordinaat)

Kui palju selliseid punkte? (üks)

Mis on selle abstsiss (x=2,4)

Individuaalsete diferentseeritud ülesannete täitmine (töö rühmades)

Seega näeme, et Exceli programmi abil saate graafiliselt lahendada peaaegu kõik võrrandid, mida me ka nüüd teeme.

Iga rühm saab individuaalne ülesanne. Pärast ülesande täitmist peaks rühm printima oma ülesande tabelid ja graafikud.

Igas rühmas on konsultandid, kelle arvamust arvestan hinde andmisel. Teil on töötamiseks aega 10 minutit.

2x+y=-3 2y=34-x^2 x^2+y^2=25

2x^2=-22+5x+y y=x^2+11 3y=4x

lahendusi pole (-2;15), (2;15) (3;4), (-3;-4)

(nõustajate kõne)

V. Kodutöö: Analüüsige ja kontrollige ülesandeid, koostage aruandeid vihikusse.

VI.Peegeldus.

Täna klassis vaatasime...

Exceli abil saate luua...

Enne seda õpetust ma ei teadnud...

Ma sain klassis enda peale vihaseks, sest...

Täna saan kiita… , milleks...

Täna tunnis õppisin...

Kogu kursuse jooksul olin...

Teema : ligikaudne graafiline lahendus võrrandid.

Eesmärk: edendada võrrandite graafilise lahendamise oskust arvutustabelite abil.

Tundide ajal:

Organisatsioonihetk (2 min)
Teadmiste värskendus (8 min)

2) Defineeri arvutustabel.

raku aadress.
Valemite sisestamine
Loogikafunktsioonid

Uue materjali õppimine (10 min)

Leiame arvutustabelites graafiliselt võrrandi x 3 juure - sin x \u003d 0. Säilitame argumendi väärtused - 1,4 kuni 1,4 sammuga 0, 2

Praktiline töö Nr 51 (20 min)

2) Lahendage arvutustabeli abil graafiliselt võrrand sin(x)=1/x lõigul täpsusega 0,1

Kodutöö (2 min)

Valmistage ette võrrandid graafiliseks lahendamiseks

Tunni kokkuvõte (3 min)

Teema:

Varustus: arvutiklass, projektor
Tundide ajal:

1) Arvutustabelite rakendamine

raku aadress.
Arvutustabelite põhiandmetüübid.
Tekst arvutustabelites.
Valemite sisestamine
Suhtelised, absoluutsed ja segaviited.
Milliseid sisseehitatud funktsioonide kategooriaid teate?
Tooge näiteid matemaatiliste funktsioonide kohta.
Loogikafunktsioonid

3. Uue materjali õppimine (10 min)

Leiame parameetrite valiku meetodi abil arvutustabelites võrrandi x 3 juure - cos x \u003d 0. Säilitame argumendi väärtused - 1,4 kuni 1,4 sammuga 0, 2
4. Praktiline töö nr 51 (20 min)

2) Lahenda tabeli abil graafiliselt ja parameetrite valiku meetodil võrrand cos(x)=1/(x+1) lõigul täpsusega 1.
5. Kodutöö (2 min)

Valmistage võrrandid ette graafiliseks lahendamiseks ja parameetrit valides.

Tunni kokkuvõte (3 min)

Teema: Võrrandite ligikaudne lahendamine parameetrite valiku meetodil.

Eesmärk: soodustada võrrandite lahendamise oskuse arengut parameetrite valiku meetodil.

Varustus: arvutiklass, projektor
Tundide ajal:

1. Organisatsioonihetk (2 min)

2. Teadmiste aktualiseerimine (8 min)

1) Arvutustabelite rakendamine

2) Defineerige arvutustabel.

raku aadress.
Arvutustabelite põhiandmetüübid.
Tekst arvutustabelites.
Valemite sisestamine
Suhtelised, absoluutsed ja segaviited.
Milliseid sisseehitatud funktsioonide kategooriaid teate?
Tooge näiteid matemaatiliste funktsioonide kohta.
Loogikafunktsioonid

3. Praktiline töö nr 51 (30 min)

1) Leidke parameetrite valiku meetodi abil arvutustabelites võrrandi x 2 \u003d cos x juur. Säilitame argumendi väärtused - 3 kuni 3 sammuga 0, 2

Lahendage võrrand sinx - 2x = 0 sobitusmeetodi abil. Argumendi väärtused -3 kuni 3 sammuga 0,5

3) Lahendage tabeli abil võrrand sin(x)=1/

segmendil täpsusega 1 graafiliselt ja parameetrite valiku meetodit kasutades.
5. Kodutöö (2 min)

Näiteks:

Seadke ülesandeks leida kehtiv selle võrrandi juured.

Ja neid kindlasti on! - artiklitest teemal funktsioonigraafikud ja kõrgema matemaatika võrrandid sa tead väga hästi, mis ajakava on polünoomfunktsioonid paaritu aste lõikub teljega vähemalt korra, nii on meie võrrandis vähemaltüks tõeline juur. Üks. Või kaks. Või kolm.

Esiteks tuleb kontrollida, kas ratsionaalne juured. Vastavalt vastav teoreem, ainult numbrid 1, -1, 3, -3 saavad seda "tiitlit" nõuda ja otsese asendamise teel on lihtne veenduda, et ükski neist ei "sobi". Seega jäävad alles irratsionaalsed väärtused. Irratsionaalne juur võib leida 3. astme polünoomi (juured). täpselt (väljendage radikaalidena) läbi nn Cardano valemid , kuid see meetod on üsna tülikas. Ja polünoomide jaoks 5. ja suuremad kraadidüldine analüütiline meetod ei eksisteeri üldse ja lisaks on praktikas palju muid võrrandeid, milles täpsed väärtused tõelisi juuri pole võimalik saada (kuigi need on olemas).

Siiski rakendatud (näiteks inseneriteadus)ülesannete täitmisel on enam kui vastuvõetav kasutada arvutatud ligikaudseid väärtusi teatud täpsusega.

Määrame oma näite jaoks täpsuse. Mida see tähendab? See tähendab, et peame leidma juure SELLINE ligikaudse väärtuse (juured) milles meie garanteeritud, et see on vale, mitte rohkem kui 0,001 (tuhandik) .

On täiesti selge, et lahendust ei saa alustada "juhuslikult" ja seega esimese sammuna juured eraldi. Juure eraldamine tähendab piisavalt väikese (tavaliselt üksiku) segmendi leidmist, kuhu see juur kuulub ja millel pole muid juuri. Kõige lihtsam ja ligipääsetavam graafiline juurte eraldamise meetod. Ehitame punkt punktilt funktsiooni graafik :

Jooniselt järeldub, et võrrandil on ilmselt üks reaaljuur , mis kuulub segmenti . Selle intervalli lõpus funktsioon võtab erinevate märkide väärtused: , ja faktist funktsiooni järjepidevus intervallil kohe on näha elementaarne juure viimistlemise viis: jagame intervalli pooleks ja valime lõigu, mille otstes funktsioon võtab erinevad märgid. AT sel juhul see on ilmselgelt segment. Jagame saadud intervalli pooleks ja valime uuesti segmendi "eri märk". Jne. Selliseid järjestikuseid toiminguid nimetatakse iteratsioonid. Sel juhul tuleks neid läbi viia seni, kuni segmendi pikkus on väiksem kui arvutuste kahekordne täpsus ja juure ligikaudse väärtuse jaoks tuleks valida viimase “erineva märgiga” segmendi keskpaik.

Vaadeldav skeem on saanud loomuliku nime - pooljagamise meetod. Ja selle meetodi puuduseks on kiirus. Aeglaselt. Nii aeglane. Enne vajaliku täpsuse saavutamist tuleb teha liiga palju iteratsioone. Arvutitehnoloogia arenguga pole see muidugi probleem, kuid matemaatika on see, mille jaoks matemaatika on, et kõige rohkem otsida ratsionaalsed viisid lahendusi.

Ja üks rohkematest tõhusaid viise juure ligikaudse väärtuse leidmine on täpselt puutuja meetod. Lühidalt geomeetriline olemus meetod on järgmine: esiteks spetsiaalse kriteeriumi abil (sellest pikemalt hiljem) valitakse segmendi üks otstest. Seda otsa nimetatakse esmane juure lähendamine, meie näites: . Nüüd joonistame funktsiooni graafikule puutuja abstsissiga punktis (sinine täpp ja lilla puutuja):

See puutuja on ületanud x-telje kollases punktis ja pange tähele, et esimese sammuna oleme juba peaaegu “juurele pihta saanud”! See tahe esiteks juure lähendamine. Järgmisena langetame kollase risti funktsiooni graafikuga ja “lööme” oranži punkti. Läbi oranži punkti tõmbame jälle puutuja, mis ristub telje juurele veelgi lähemale! Jne. On lihtne mõista, et puutujameetodit kasutades läheneme eesmärgile hüppeliselt ning täpsuse saavutamiseks kulub vaid paar kordamist.

Kuna puutuja on määratletud terminites funktsiooni tuletis, siis sattus see õppetund selle ühe rakendusena jaotisesse "Tuletised". Ja detailidesse laskumata meetodi teoreetiline põhjendus, kaalun probleemi tehnilist poolt. Praktikas esineb ülalkirjeldatud probleem ligikaudu järgmises sõnastuses:

Näide 1

Leia graafilise meetodi abil intervall, millel asub võrrandi tegelik juur. Newtoni meetodi abil saate juure ligikaudse väärtuse täpsusega 0,001

Enne teid on ülesande säästev versioon, milles märgitakse kohe ühe pärisjuure olemasolu.

Otsus: esimesel sammul eraldage juur graafiliselt. Seda saab teha joonistades (vt ülaltoodud illustratsioone), kuid sellel lähenemisviisil on mitmeid puudusi. Esiteks ei ole tõsiasi, et ajakava on lihtne (me ei tea ette) ja tarkvara – see pole kaugeltki alati käepärast. Ja teiseks (1. tagajärg), suure tõenäosusega saate isegi mitte skemaatilise joonise, vaid umbkaudse joonise, mis muidugi pole hea.

No miks me peaksime tarbetuid raskusi? Kujutage ette võrrand vormis koosta HOOLIKALT graafikud ja märgi juure joonisele (graafikute lõikepunkti "x" koordinaat):

Ilmne eelis nii seisneb selles, et nende funktsioonide graafikud koostatakse käsitsi palju täpsemalt ja palju kiiremini. Muide, pange tähele otse ristitud kuupne paraboolühes punktis, mis tähendab, et pakutud võrrandil on tegelikult ainult üks reaaljuur. Usalda aga kontrolli ;-)

Niisiis, meie "klient" kuulub segmenti ja "silma järgi" on ligikaudu võrdne 0,65-0,7.

Teisel sammul vaja valida esialgne lähendus juur. Tavaliselt on see segmendi üks otstest. Esialgne lähendus peab rahuldama järgmine tingimus:

Otsime üles esiteks ja teiseks tuletatud funktsioonid :

ja kontrollige segmendi vasakut otsa:

Seega null "ei sobinud".

Segmendi parema otsa kontrollimine:

- Kõik on korras! Esialgse ligikaudsusena valime .

Kolmandal sammul meid ootab tee juurteni. Iga järgnev juure lähendus arvutatakse eelmiste andmete põhjal, kasutades järgmist korduv valemid:

Protsess lõpeb, kui tingimus on täidetud, kus on arvutuste etteantud täpsus. Selle tulemusena võetakse juure ligikaudseks väärtuseks “n-s” lähendus: .

Tavapärased arvutused on järgmised:

(ümardamine toimub tavaliselt 5-6 kümnendkohani)

Kuna saadud väärtus on suurem kui , siis jätkame juure 1. lähendusega:

Arvutame:

, seega tuleb minna 2. lähenduse juurde:

Liigume järgmise ringi juurde:

, seega on iteratsioonid lõppenud ja juure ligikaudseks väärtuseks tuleks võtta 2. lähendus, mis vastavalt antud täpsusele ümardada ühe tuhandikuni:

Praktikas on mugav sisestada arvutuste tulemused tabelisse, samas kui kirje mõnevõrra lühendamiseks tähistatakse murdosa sageli järgmiselt:

Arvutused ise, kui võimalik, on kõige parem teha Excelis - see on palju mugavam ja kiirem:

Vastus: täpsusega 0,001

Tuletan teile meelde, et see fraas viitab tõsiasjale, et tegime hindamisel vea tõeline väärtus root mitte rohkem kui 0,001 võrra. Kahtlejad saavad kasutada mikrokalkulaatorit ja asendada võrrandi vasakpoolsesse serva ligikaudne väärtus 0,674.

Ja nüüd "skaneerime" tabeli parempoolset veergu ülalt alla ja pange tähele, et väärtused vähenevad pidevalt absoluutväärtuses. Seda efekti nimetatakse lähenemine meetod, mis võimaldab meil arvutada juure suvaliselt suure täpsusega. Kuid lähenemine ei toimu alati – see on ette nähtud mitmeid tingimusi millest ma puudust tundsin. Eelkõige peab olema segment, millel juur on isoleeritud piisavalt väike- vastasel juhul muutuvad väärtused juhuslikult ja me ei saa algoritmi lõpule viia.

Mida sellistel juhtudel teha? Kontrollige, kas määratud tingimused on täidetud (vt ülalt linki) ja vajadusel vähendage segmenti. Seega, kui analüüsitavas näites intervall meile suhteliselt ei sobinud, siis peaksime arvestama näiteks lõiguga . Praktikas olen selliste juhtumitega kokku puutunud ja see aitab tõesti! Sama tuleb teha, kui "laia" segmendi mõlemad otsad ei vasta tingimusele (st ükski neist ei sobi esialgse lähenduse rolliks).

Kuid tavaliselt töötab kõik nagu kellavärk, kuigi mitte ilma lõkse:

Näide 2

Määrake graafiliselt võrrandi tegelike juurte arv, eraldage need juured ja leidke Newtoni meetodi abil juurte ligikaudsed väärtused täpselt

Probleemi olukord on muutunud märgatavalt karmimaks: esiteks sisaldab see paksu vihje, et võrrandil on rohkem kui üks juur, teiseks on suurenenud täpsuse nõue ja kolmandaks funktsiooni graafik. palju raskem toime tulla.

Ning seetõttu otsus alustame säästutrikist: esitame võrrandi kujul ja joonistame graafikud:

Jooniselt järeldub, et meie võrrandil on kaks tegelikku juurt:

Algoritmi, nagu aru saate, tuleb kaks korda keerata. Aga see on ikka kõige raskema juhtumi puhul, juhtub, et tuleb 3-4 juurt uurida.

1) Kriteeriumi kasutamine saate teada, milline lõigu otstest valida esimese juure esialgseks lähenduseks. Tuletisfunktsioonide leidmine :

Segmendi vasaku otsa testimine:

- lähenes!

Seega on esialgne lähendus.

Täpsustame juurt Newtoni meetodil, kasutades korduv valem:
- kuni murruni modulo ei muutu väiksemaks kui nõutav täpsus:

Ja siin omandab sõna "moodul" mitteillusoorse tähtsuse, kuna väärtused on negatiivsed:

Samal põhjusel tuleks igaühele pöörata erilist tähelepanu järgmine lähendus:

Vaatamata üsna kõrgele täpsuse nõudele lõppes protsess taas 2. lähendusega: , seega:

Täpsus 0,0001

2) Leidke juure ligikaudne väärtus.

Kontrollime, kas segmendi vasakus otsas on täid:

, seetõttu ei sobi see esialgseks lähenduseks.