Kako izračunati obujam trokutaste prizme. Što je trokutasta prizma? Pronalaženje elemenata prizme

Neka se traži da se pronađe volumen pravilne trokutaste prizme, čija je baza jednaka S, a visina jednaka h= AA' = BB' = CC' (slika 306).

Posebno nacrtamo osnovicu prizme, tj. trokut ABC (sl. 307, a) i dovršimo ga do pravokutnika, za koji povučemo ravnu crtu KM kroz vrh B || AC i iz točaka A i C spustimo okomice AF i CE na taj pravac. Dobivamo ACEF pravokutnik. Nakon što nacrtamo visinu BD trokuta ABC, vidjet ćemo da je ACEF pravokutnik podijeljen na 4 pravokutna trokuta. Štoviše, $\Delta$ALL = $\Delta$BCD i $\Delta$BAF = $\Delta$LOŠE. Dakle, površina pravokutnika ACEF je dva puta više površine trokuta ABC, tj. jednaka 2S.

Ovoj prizmi s bazom ABC dodamo prizme s bazama ALL i BAF i visinu h(Slika 307, b). Dobivamo pravokutni paralelopiped s ACEF bazom.

Ako ovaj paralelopiped presječemo ravninom koja prolazi pravcima BD i BB', vidjet ćemo da se pravokutni paralelopiped sastoji od 4 prizme s bazama BCD, ALL, BAD i BAF.

Prizme s bazama BCD i ALL mogu se kombinirati, jer su im baze jednake ($\Delta$BCD = $\Delta$BCE), a jednaki su i bočni bridovi koji su okomiti na jednu ravninu. Dakle, volumeni tih prizmi su jednaki. Volumeni prizmi s bazama BAD i BAF također su jednaki.

Dakle, ispada da je volumen zadane trokutaste prizme s bazom ABC polovica volumena kuboidan s bazom ACEF.

Znamo da je volumen pravokutnog paralelopipeda jednak je proizvodu površina njegove baze do visine, tj. in ovaj slučaj jednako 2S h. Stoga je volumen te prave trokutaste prizme jednak S h.

Volumen prave trokutaste prizme jednak je umnošku površine njezine baze i visine.

2. Volumen ravne mnogokutne prizme.

Da biste pronašli volumen ravne poligonalne prizme, kao što je peterokutna, s osnovnom površinom S i visinom h, razbijemo ga na trokutaste prizme (sl. 308).

Označavajući površine baza trokutastih prizmi kroz S 1, S 2 i S 3, a volumen te poligonalne prizme kroz V, dobivamo:

V = S 1 h+S2 h+ S 3 h, ili

V = (S 1 + S 2 + S 3) h.

I na kraju: V = S h.

Na isti način se izvodi formula za volumen ravne prizme s bilo kojim poligonom u osnovi.

Sredstva, Volumen bilo koje ravne prizme jednak je umnošku površine njezine baze i visine.

Volumen prizme

Teorema. Volumen prizme jednak je površini baze pomnoženoj s visinom.

Najprije dokazujemo ovaj teorem za trokutastu prizmu, a zatim za poligonalnu.

1) Nacrtajte (sl. 95) kroz brid AA 1 trokutaste prizme ABCA 1 B 1 C 1 ravninu paralelnu s plohom BB 1 C 1 C, a kroz brid CC 1 - ravninu paralelnu s plohom AA 1 B 1 B; zatim nastavljamo ravnine obiju baza prizme dok se ne sijeku s nacrtanim ravninama.

Tada dobivamo paralelopiped BD 1, koji je dijagonalnom ravninom AA 1 C 1 C podijeljen na dvije trokutaste prizme (jedna od njih je dana). Dokažimo da su te prizme jednake. Da bismo to učinili, nacrtamo okomiti presjek abcd. U presjeku dobijete paralelogram, koji je dijagonala as podijeljen na dvoje jednakog trokuta. Ova prizma je jednaka takvoj ravnoj prizmi, čija je baza $\Delta$ abc, a visina je brid AA 1 . ostalo trokutasta prizma jednaka je liniji čija je baza $\Delta$ adc, a visina je brid AA 1 . Ali dvije ravne prizme s jednakim bazama i jednakim visinama su jednake (jer su spojene kada su uklopljene), što znači da su prizme ABCA 1 B 1 C 1 i ADCA 1 D 1 C 1 jednake. Iz ovoga slijedi da je volumen ove prizme polovica volumena paralelepipeda BD 1 ; dakle, označavajući visinu prizme kroz H, dobivamo:

$$ V_(\Delta ex) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$

2) Kroz brid AA 1 poligonalne prizme (sl. 96) nacrtajte dijagonalne ravnine AA 1 C 1 C i AA 1 D 1 D.

Zatim će se ova prizma izrezati na nekoliko trokutastih prizmi. Zbroj volumena tih prizmi je željeni volumen. Označimo li površine njihovih baza sa b 1 , b 2 , b 3 , i ukupne visine kroz H, dobivamo:

volumen poligonalne prizme = b 1H+ b 2H+ b 3 H =( b 1 + b 2 + b 3) H =

= (površina ABCDE) H.

Posljedica. Ako su V, B i H brojevi koji u odgovarajućim jedinicama izražavaju volumen, osnovnu površinu i visinu prizme, tada prema dokazanom možemo napisati:

Ostali materijali

Volumen prizme. Rješavanje problema

Geometrija je najmoćniji alat za usavršavanje naših mentalnih sposobnosti i omogućuje nam ispravno razmišljanje i rasuđivanje.

G. Galileo

Svrha lekcije:

naučiti rješavati zadatke za izračunavanje volumena prizmi, generalizirati i usustaviti informacije koje učenici imaju o prizmi i njezinim elementima, formirati sposobnost rješavanja problema povećane složenosti;
razviti logično mišljenje, sposobnost samostalnog rada, vještine međusobne kontrole i samokontrole, sposobnost govora i slušanja;
razviti naviku stalni radni odnos, bilo koji korisna stvar, obrazovanje osjetljivosti, marljivosti, točnosti.

Vrsta sata: sat primjene znanja, vještina i sposobnosti.

Oprema: kontrolne kartice, medijski projektor, prezentacija „Lekcija. Volumen prizme”, računala.

Tijekom nastave

Bočna rebra prizme (sl. 2).
Bočna površina prizme (slika 2, slika 5).
Visina prizme (slika 3, slika 4).
Izravna prizma (sl. 2,3,4).
Nagnuta prizma (slika 5).
Ispravna prizma (sl. 2, sl. 3).
Dijagonalni presjek prizme (slika 2).
Dijagonala prizme (slika 2).
Okomit presjek prizme (pi3, sl.4).
Područje bočne površine prizme.
Kvadrat puna površina prizme.
Volumen prizme.

PROVJERITE DOMAĆU ZADAĆU (8 min)

Razmijeniti bilježnice, provjeriti rješenje na slajdovima i označiti bod (oznaka 10 ako je zadatak sastavljen)

Nacrtaj problem i riješi ga. Učenik brani zadatak koji je sastavio za pločom. Slika 6 i Slika 7.

Poglavlje 2, §3
Zadatak.2. Duljine svih bridova pravilne trokutaste prizme su međusobno jednake. Izračunajte obujam prizme ako je njezina površina cm 2 (slika 8.)

Poglavlje 2, §3
Zadatak 5. Baza izravne prizme ABCA 1B 1C1 je pravokutni trokut ABC (kut ABC=90°), AB=4cm. Izračunaj obujam prizme ako je polumjer opisanog trokuta ABC 2,5 cm, a visina prizme 10 cm. (Slika 9).

Poglavlje 2, § 3
Zadatak 29. Duljina stranice baze pravilne četverokutne prizme je 3 cm. Dijagonala prizme s ravninom bočne plohe zatvara kut od 30°. Izračunaj obujam prizme (slika 10).

Zajednički rad učitelja s razredom (2-3 min.).

Svrha: zbrajanje rezultata teorijskog zagrijavanja (učenici ocjenjuju jedni druge), proučavanje načina rješavanja problema na tu temu.

FIZIČKA MINUTA (3 min)
RJEŠAVANJE PROBLEMA (10 min)

Na ovoj fazi nastavnik organizira frontalni rad na ponavljanju metoda rješavanja planimetrijskih zadataka, planimetrijskih formula. Razred je podijeljen u dvije grupe, jedni rješavaju zadatke, drugi rade za računalom. Onda se mijenjaju. Učenici se pozivaju da riješe sve zadatke br. 8 (usmeno), br. 9 (usmeno). Nakon što su podijeljeni u grupe i prelaze kako bi riješili probleme br. 14, br. 30, br. 32.

Poglavlje 2, §3, stranice 66-67

Zadatak 8. Svi bridovi pravilne trokutaste prizme su međusobno jednaki. Odredite obujam prizme ako je površina presjeka ravnine koja prolazi rubom donje baze i sredinom stranice gornje baze cm (slika 11).

Poglavlje 2, §3, stranice 66-67
Zadatak 9. Osnovica ravne prizme je kvadrat, a njezini su rubovi dvostruko veći od stranice osnovke. Izračunajte obujam prizme ako je polumjer kružnice opisane u blizini odsječka prizme ravninom koja prolazi bočnom stranom baze i sredinom suprotnog bočnog brida cm (slika 12).

Poglavlje 2, §3, stranice 66-67
Zadatak 14.Osnovica ravne prizme je romb čija je jedna dijagonala jednaka stranici. Izračunajte opseg presjeka ravninom koja prolazi velikom dijagonalom donje baze, ako je volumen prizme jednak i sve bočne plohe kvadratne (slika 13).

Poglavlje 2, §3, stranice 66-67
Problem 30.ABCA 1 B 1 C 1 je pravilna trokutasta prizma, čiji su svi bridovi međusobno jednaki, točka oko sredine brida BB 1. Izračunajte polumjer kružnice upisane u presjek prizme ravninom AOS, ako je volumen prizme jednak (slika 14).

Poglavlje 2, §3, stranice 66-67
Problem 32.U pravilnoj četverokutnoj prizmi zbroj površina baza jednak je površini bočne površine. Izračunajte obujam prizme ako je promjer kružnice opisane u blizini odsječka prizme ravninom koja prolazi kroz dva vrha donje osnovke i nasuprotni vrh gornje osnovke jednak 6 cm (slika 15.).

Prilikom rješavanja zadataka učenici uspoređuju svoje odgovore s onima koje pokazuje nastavnik. Ovo je primjer rješenja problema s detaljnim komentarima ... Individualni rad učitelji s “jakim” učenicima (10 min.).

Samostalni rad studenti na testu na računalu

1. Stranica baze pravilne trokutaste prizme je , a visina 5. Nađi obujam prizme.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. Odaberite točnu tvrdnju.

1) Obujam prave prizme kojoj je osnovica pravokutni trokut jednak je umnošku površine osnovice i visine.

2) Volumen pravilne trokutaste prizme izračunava se formulom V \u003d 0,25a 2 h - gdje je a stranica baze, h je visina prizme.

3) Volumen ravne prizme jednak je polovici umnoška površine baze i visine.

4) Volumen pravilne četverokutne prizme izračunava se formulom V \u003d a 2 h-gdje je a stranica baze, h je visina prizme.

5) Volumen pravilne šesterokutne prizme izračunava se formulom V \u003d 1,5a 2 h, gdje je a stranica baze, h je visina prizme.

3. Stranica baze pravilne trokutaste prizme jednaka je. Kroz bočnu stranu donje baze i nasuprotni vrh gornje baze povučena je ravnina koja prolazi pod kutom od 45° u odnosu na bazu. Nađi obujam prizme.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. Osnovica ravne prizme je romb čija je stranica 13, a jedna od dijagonala 24. Odredi obujam prizme ako je dijagonala bočne plohe jednaka 14.

NA školski plan i program u tečaju čvrste geometrije, proučavanje trodimenzionalnih figura obično počinje s jednostavnim geometrijskim tijelom - poliedrom prizme. Ulogu njegovih baza imaju 2 jednaka poligona koji leže unutra paralelne ravnine. Poseban slučaj je pravilna četverokutna prizma. Njegove baze su 2 jednaka pravilna četverokuta, na koje su stranice okomite, imaju oblik paralelograma (ili pravokutnika ako prizma nije nagnuta).

Kako izgleda prizma

Pravilna četverokutna prizma je šesterokut, na čijem se dnu nalaze 2 kvadrata, a bočne strane su prikazane pravokutnicima. Drugi naziv za ovo geometrijski lik- ravni paralelopiped.

Dolje je prikazana slika koja prikazuje četverokutnu prizmu.

Vidite i na slici bitni elementi, od kojih se sastoji geometrijsko tijelo . Obično se nazivaju:

Ponekad u problemima iz geometrije možete pronaći koncept presjeka. Definicija će zvučati ovako: odjeljak su sve točke volumetrijskog tijela koje pripadaju ravnini rezanja. Presjek je okomit (presijeca rubove figure pod kutom od 90 stupnjeva). Za pravokutna prizma također se uzima u obzir dijagonalni presjek ( maksimalan iznos presjeci koji se mogu graditi - 2) prolaze kroz 2 brida i dijagonale baze.

Ako je presjek nacrtan na takav način da rezna ravnina nije paralelna ni s bazama ni s bočnim stranama, rezultat je krnja prizma.

Za pronalaženje reduciranih prizmatičnih elemenata koriste se različiti omjeri i formule. Neki od njih poznati su iz tečaja planimetrije (na primjer, da biste pronašli područje baze prizme, dovoljno je prisjetiti se formule za područje kvadrata).

Površina i volumen

Da biste odredili volumen prizme pomoću formule, morate znati područje njezine baze i visine:

V = Sprim h

Budući da je baza pravilne tetraedarske prizme kvadrat sa stranicom a, Formulu možete napisati u detaljnijem obliku:

V = a² h

Ako govorimo o kocki - pravilnoj prizmi sa jednake dužine, širine i visine, volumen se izračunava na sljedeći način:

Da biste razumjeli kako pronaći bočnu površinu prizme, morate zamisliti njezino kretanje.

Iz crteža se vidi da bočna površina sastavljena od 4 jednaka pravokutnika. Njegova površina izračunava se kao umnožak opsega baze i visine figure:

S strana = položaj h

Budući da je opseg kvadrata P = 4a, formula ima oblik:

S strana = 4a h

Za kocku:

S strana = 4a²

Da biste izračunali ukupnu površinu prizme, dodajte 2 osnovne površine bočnoj površini:

Pun = Sstrana + 2Sosnova

Primijenjena na četverokutnu pravilnu prizmu, formula ima oblik:

Pun = 4a h + 2a²

Za površinu kocke:

Pun = 6a²

Znajući volumen ili površinu, možete izračunati pojedinačne elemente geometrijskog tijela.

Pronalaženje elemenata prizme

Često se javljaju zadaci u kojima je zadan volumen ili je poznata vrijednost bočne plohe, gdje je potrebno odrediti duljinu stranice baze ili visinu. U takvim slučajevima mogu se izvesti formule:

duljina osnovne stranice: a = Sstrana / 4h = √(V / h);
visina ili duljina bočnog rebra: h = Sstrana / 4a = V / a²;
osnovna površina: Sprim = V / h;
bočno lice: Strana gr = Sstrana / 4.

Da biste odredili koliko površine ima dijagonalni presjek, morate znati duljinu dijagonale i visinu figure. Za kvadrat d = a√2. Stoga:

Sdiag = ah√2

Za izračunavanje dijagonale prizme koristi se formula:

dnagrada = √(2a² + h²)

Da biste razumjeli kako primijeniti gornje omjere, možete vježbati i riješiti nekoliko jednostavnih zadataka.

Primjeri problema s rješenjima

Evo nekih zadataka koji se pojavljuju na državnoj maturi iz matematike.

Vježba 1.

Pijesak se sipa u kutiju koja ima oblik pravilne četverokutne prizme. Visina njegove razine je 10 cm.Kolika će biti razina pijeska ako ga premjestite u posudu istog oblika, ali s 2 puta dužom bazom?

Treba argumentirati na sljedeći način. Količina pijeska u prvoj i drugoj posudi nije se promijenila, tj. njegov volumen u njima je isti. Duljinu baze možete definirati kao a. U ovom slučaju, za prvu kutiju, volumen tvari će biti:

V₁ = ha² = 10a²

Za drugu kutiju, duljina baze je 2a, ali visina razine pijeska nije poznata:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Jer V₁ = V₂, izrazi se mogu izjednačiti:

10a² = 4ha²

Nakon smanjenja obje strane jednadžbe za a², dobivamo:

Kao rezultat nova razina pijesak će biti h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Zadatak 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ je pravilna prizma. Poznato je da je BD = AB₁ = 6√2. Pronađite ukupnu površinu tijela.

Da biste lakše razumjeli koji su elementi poznati, možete nacrtati lik.

Budući da je riječ o pravilnoj prizmi, možemo zaključiti da je baza kvadrat s dijagonalom 6√2. Dijagonala bočne plohe ima istu vrijednost, dakle, bočna ploha također ima oblik kvadrata, jednaka bazi. Ispada da su sve tri dimenzije - duljina, širina i visina - jednake. Možemo zaključiti da je ABCDA₁B₁C₁D₁ kocka.

Duljina bilo kojeg ruba određena je poznatom dijagonalom:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Ukupna površina nalazi se formulom za kocku:

Pun = 6a² = 6 6² = 216

Zadatak 3.

Soba se renovira. Poznato je da njegov pod ima oblik kvadrata površine 9 m². Visina sobe je 2,5 m. Koji je najniži trošak tapeta za sobu ako 1 m² košta 50 rubalja?

Budući da su pod i strop kvadrati, odnosno pravilni četverokuti, a zidovi okomiti na horizontalne plohe, možemo zaključiti da se radi o pravilnoj prizmi. Potrebno je odrediti površinu njegove bočne površine.

Dužina sobe je a = √9 = 3 m.

Trg će biti oblijepljen tapetama Sstrana = 4 3 2,5 = 30 m².

Najniža cijena tapeta za ovu sobu bit će 50 30 = 1500 rubalja.

Dakle, za rješavanje problema za pravokutnu prizmu dovoljno je znati izračunati površinu i opseg kvadrata i pravokutnika, kao i znati formule za pronalaženje volumena i površine.

Kako pronaći površinu kocke

U fizici se trokutasta prizma izrađena od stakla često koristi za proučavanje spektra bijela svjetlost, jer ga je u stanju rastaviti na zasebne komponente. U ovom ćemo članku razmotriti formulu volumena

Što je trokutasta prizma?

Prije davanja formule volumena, razmotrite svojstva ove figure.

Da biste to dobili, trebate uzeti trokut proizvoljnog oblika i pomaknuti ga paralelno sa samim sobom na određenu udaljenost. Vrhovi trokuta u početnoj i krajnjoj poziciji trebaju biti povezani ravnim segmentima. Primljeno volumetrijska figura naziva se trokutasta prizma. Ima pet strana. Dvije od njih nazivaju se bazama: međusobno su paralelne i jednake. Osnovice razmatrane prizme su trokuti. Tri preostale stranice su paralelogrami.

Osim stranica, razmatranu prizmu karakterizira šest vrhova (po tri za svaku bazu) i devet bridova (6 bridova leži u ravninama baza, a 3 brida formirana su sjecištem stranica). Ako su bočni rubovi okomiti na baze, tada se takva prizma naziva pravokutnom.

Razlika između trokutaste prizme i svih ostalih likova ove klase je u tome što je uvijek konveksna (četverokutne, peterokutne, ..., n-kutne prizme mogu biti i konkavne).

to pravokutni lik, koji se temelji na jednakostraničnom trokutu.

Volumen trokutaste prizme općeg tipa

Kako pronaći volumen trokutaste prizme? formula u opći pogled slično kao za prizmu bilo koje vrste. Ima sljedeću matematičku notaciju:

Ovdje je h visina figure, odnosno udaljenost između njegovih baza, S o je površina trokuta.

Vrijednost S o može se pronaći ako su poznati neki parametri za trokut, na primjer, jedna stranica i dva kuta, ili dvije stranice i jedan kut. Površina trokuta jednaka je polovici umnoška njegove visine i duljine stranice na koju je ta visina spuštena.

Što se tiče visine h figure, najlakše ju je pronaći za pravokutnu prizmu. NA posljednji slučaj h se poklapa s duljinom bočnog ruba.

Volumen pravilne trokutaste prizme

Opća formula volumen trokutaste prizme, koji je dan u prethodnom odjeljku članka, može se koristiti za izračunavanje odgovarajuće vrijednosti za pravilnu trokutastu prizmu. Budući da mu je osnovica jednakostranični trokut, površina mu je:

Svatko može dobiti ovu formulu ako se toga sjeća jednakostraničan trokut svi su kutovi međusobno jednaki i iznose 60 o . Ovdje je simbol a duljina stranice trokuta.

Visina h je duljina brida. Nema to veze s bazom. desna prizma i može poprimiti proizvoljne vrijednosti. Kao rezultat, formula za volumen trokutaste prizme prava vrsta izgleda ovako:

Nakon što smo izračunali korijen, ovu formulu možemo prepisati na sljedeći način:

Dakle, da biste pronašli volumen pravilne prizme s trokutastom bazom, potrebno je kvadrirati stranicu baze, pomnožiti ovu vrijednost s visinom i pomnožiti dobivenu vrijednost s 0,433.