Kako riješiti jednadžbe s nazivnikom. Racionalne jednadžbe - Hipermarket znanja

Smirnova Anastasia Yurievna

Vrsta lekcije: lekcija učenje novog gradiva.

Oblik organizacije aktivnosti učenja : frontalni, pojedinačni.

Svrha lekcije: uvesti novu vrstu jednadžbi - frakcijske racionalne jednadžbe, dati ideju o algoritmu za rješavanje frakcijskih racionalne jednadžbe.

Ciljevi lekcije.

Vodič:

formiranje pojma frakciono racionalne jednadžbe;
razmotriti algoritam za rješavanje razlomačkih racionalnih jednadžbi, uključujući uvjet da je razlomak jednak nuli;
učiti rješavanje razlomačkih racionalnih jednadžbi prema algoritmu.

U razvoju:

stvoriti uvjete za formiranje vještina za primjenu stečenog znanja;
doprinose razvoju spoznajni interes studenti predmetu;
razvijanje sposobnosti učenika za analizu, usporedbu i zaključivanje;
razvoj vještina međusobne kontrole i samokontrole, pažnje, pamćenja, oralnog i pisanje, neovisnost.

Njegovanje:

obrazovanje kognitivnog interesa za predmet;
odgoj samostalnosti u odlučivanju ciljevi učenja;
odgoj volje i upornosti za postizanje konačnih rezultata.

Oprema: udžbenik, tabla, bojice.

Udžbenik "Algebra 8". Yu.N.Makarychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov, S.B.Suvorov, uredio S.A.Telyakovsky. Moskovsko "Prosvjetljenje". 2010

Na ova tema predviđeno je pet sati. Ova lekcija je prvi. Glavna stvar je proučiti algoritam za rješavanje frakcijskih racionalnih jednadžbi i razraditi ovaj algoritam u vježbama.

Tijekom nastave

1. Organizacijski trenutak.

Bok dečki! Danas bih želio započeti našu lekciju s katrenom:
Da svima olakšamo život
Što bi se odlučilo, što bi moglo,
Osmijeh, sretno svima
Bez obzira na probleme
Nasmiješeni jedno drugom, stvoreni dobro raspoloženje i krenuo s radom.

Na ploči su napisane jednadžbe, pažljivo ih pogledajte. Možete li riješiti sve ove jednadžbe? Koje nisu i zašto?

Jednadžbe u kojima su lijeva i desna strana razlomački racionalni izrazi nazivaju se razlomačke racionalne jednadžbe. Što mislite, što ćemo danas proučavati na lekciji? Formulirajte temu lekcije. Dakle, otvaramo bilježnice i zapisujemo temu lekcije “Rješenje frakcijskih racionalnih jednadžbi”.

2. Aktualizacija znanja. prednja anketa, usmeni rad s razredom.

A sada ćemo ponoviti glavni teorijski materijal koji trebamo proučiti nova tema. Molimo odgovorite na sljedeća pitanja:

Što je jednadžba? ( Jednakost s varijablom ili varijablama.)
Kako se zove jednadžba #1? ( Linearno.) Metoda rješavanja linearnih jednadžbi. ( Premjestite sve s nepoznatom na lijevu stranu jednadžbe, sve brojeve na desnu. voditi poput pojmova. Pronađite nepoznati množitelj).
Kako se zove jednadžba 3? ( Kvadrat.) Metode rješavanja kvadratnih jednadžbi. (str o formulama)
Što je proporcija? ( Jednakost dviju relacija.) Glavno svojstvo proporcije. ( Ako je udio točan, tada je umnožak njegovih krajnjih članova jednak umnošku srednjih članova.)
Koja se svojstva koriste za rješavanje jednadžbi? ( 1. Ako u jednadžbi član prenesemo s jednog dijela na drugi, mijenjajući mu predznak, tada ćemo dobiti jednadžbu ekvivalentnu zadanoj. 2. Ako se oba dijela jednadžbe pomnože ili podijele s istim brojem koji nije nula, tada će se dobiti jednadžba koja je ekvivalentna zadanoj.)
Kada je razlomak jednak nuli? ( Razlomak je nula kada je brojnik nula, a nazivnik različit od nule.)

3. Objašnjenje novog gradiva.

Jednačinu br.2 riješite u bilježnicama i na ploči.

Odgovor: 10.

Koju razlomljenu racionalnu jednadžbu možete pokušati riješiti koristeći osnovno svojstvo proporcije? (br. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Jednačinu br.4 riješite u bilježnicama i na ploči.

Odgovor: 1,5.

Koju razlomljenu racionalnu jednadžbu možete pokušati riješiti množenjem obje strane jednadžbe s nazivnikom? (br. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Odgovor: 3;4.

Rješavanje jednadžbi tipa jednadžbe br. 7 razmatrat ćemo u narednim lekcijama.

Objasnite zašto se to dogodilo? Zašto u jednom slučaju postoje tri korijena, a u drugom dva? Koji su brojevi korijeni ove razlomljene racionalne jednadžbe?

Do sada studenti s konceptom strani korijen nisu upoznali, stvarno im je jako teško razumjeti zašto se to dogodilo. Ako nitko u razredu ne može dati jasno objašnjenje ove situacije, tada učitelj postavlja sugestivna pitanja.

Kako se jednadžbe br. 2 i 4 razlikuju od jednadžbi br. 5.6? ( U jednadžbama br. 2 i 4 u nazivniku broja, br. 5-6 - izrazi s varijablom.)
Koji je korijen jednadžbe? ( Vrijednost varijable pri kojoj jednadžba postaje prava jednakost.)
Kako saznati je li broj korijen jednadžbe? ( Provjerite.)

Prilikom izrade testa neki učenici primjećuju da moraju dijeliti s nulom. Zaključuju da brojevi 0 i 5 nisu korijeni. dana jednadžba. Postavlja se pitanje: postoji li način za rješavanje frakcijskih racionalnih jednadžbi koji nam omogućuje eliminaciju data greška? Da, ova se metoda temelji na uvjetu da je razlomak jednak nuli.

Pokušajmo na ovaj način formulirati algoritam za rješavanje razlomljenih racionalnih jednadžbi. Djeca sama formuliraju algoritam.

Algoritam za rješavanje razlomljenih racionalnih jednadžbi:

Pomaknite sve ulijevo.
Dovedite razlomke na zajednički nazivnik.
Napravite sustav: razlomak je nula kada je brojnik nula, a nazivnik nije nula.
Riješite jednadžbu.
Provjerite nejednakost da biste isključili nepotrebne korijene.
Zapiši odgovor.

4. Primarno razumijevanje novog gradiva.

Raditi u parovima. Učenici sami biraju način rješavanja jednadžbe, ovisno o vrsti jednadžbe. Zadaci iz udžbenika "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: br. 600(b, c); br. 601(a,e). Nastavnik kontrolira izvođenje zadatka, odgovara na postavljena pitanja i pomaže učenicima s lošijim uspjehom. Samoprovjera: Odgovori su zapisani na ploči.

b) 2 - strani korijen. Odgovor:3.

c) 2 - strani korijen. Odgovor: 1.5.

a) Odgovor: -12.5.

5. Izjava domaće zadaće.

Pročitati točku 25 iz udžbenika, analizirati primjere 1-3.
Naučite algoritam za rješavanje razlomljenih racionalnih jednadžbi.
Riješite u bilježnicama br.600 (d,e); br. 601 (g, h).

6. Sažimanje lekcije.

Dakle, danas smo se u lekciji upoznali s frakcijskim racionalnim jednadžbama, naučili kako riješiti te jednadžbe različiti putevi. Bez obzira na to kako se rješavaju razlomljene racionalne jednadžbe, što treba imati na umu? U čemu je "lukavstvo" razlomljenih racionalnih jednadžbi?

Hvala svima, lekcija je gotova.

Cjelobrojni izraz je matematički izraz sastavljen od brojeva i literalnih varijabli koristeći operacije zbrajanja, oduzimanja i množenja. Cijeli brojevi također uključuju izraze koji uključuju dijeljenje s nekim drugim brojem osim nule.

Pojam frakcijskog racionalnog izraza

Razlomak je matematički izraz koji, osim operacija zbrajanja, oduzimanja i množenja koje se izvode s brojevima i doslovnim varijablama, te dijeljenja brojem koji nije jednak nuli, sadrži i dijeljenje na izraze s doslovnim varijablama.

Racionalni izrazi su svi cijeli brojevi i frakcijski izrazi. Racionalne jednadžbe su jednadžbe čija su lijeva i desna strana racionalni izrazi. Ako su u racionalnoj jednadžbi lijevi i desni dio cjelobrojni izrazi, onda se takva racionalna jednadžba naziva cijelim brojem.

Ako su u racionalnoj jednadžbi lijeva ili desna strana frakcijski izrazi, onda se takva racionalna jednadžba naziva frakcijskom.

Primjeri razlomačkih racionalnih izraza

1.x-3/x=-6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

Shema za rješavanje razlomljene racionalne jednadžbe

1. Nađite zajednički nazivnik svih razlomaka koji su uključeni u jednadžbu.

2. Pomnožite obje strane jednadžbe zajedničkim nazivnikom.

3. Riješite dobivenu cijelu jednadžbu.

4. Provjerite korijene i isključite one koji zajednički nazivnik pretvaraju u nulu.

Budući da rješavamo razlomljene racionalne jednadžbe, bit će varijable u nazivnicima razlomaka. Dakle, bit će u zajedničkom nazivniku. A u drugom odlomku algoritma množimo zajedničkim nazivnikom, tada se mogu pojaviti strani korijeni. Pri čemu će zajednički nazivnik biti jednak nuli, što znači da će množenje njime biti besmisleno. Stoga na kraju svakako provjerite dobivene korijene.

Razmotrite primjer:

Riješite razlomljenu racionalnu jednadžbu: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Držimo se opća shema: prvo pronađite zajednički nazivnik svih razlomaka. Dobivamo x*(x-5).

Pomnožite svaki razlomak zajedničkim nazivnikom i napišite dobivenu cijelu jednadžbu.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Pojednostavimo dobivenu jednadžbu. Dobivamo:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

Dobili smo jednostavnu reduciranu kvadratnu jednadžbu. Rješavamo to bilo kojim od poznate načine, dobivamo korijene x=-2 i x=5.

Sada provjeravamo dobivena rješenja:

Zamijenimo brojeve -2 i 5 u zajedničkom nazivniku. Pri x=-2, zajednički nazivnik x*(x-5) ne nestaje, -2*(-2-5)=14. Dakle, broj -2 će biti korijen izvorne frakcijske racionalne jednadžbe.

Pri x=5, zajednički nazivnik x*(x-5) postaje nula. Stoga ovaj broj nije korijen izvorne frakcijske racionalne jednadžbe, jer će postojati dijeljenje s nulom.

Ciljevi lekcije:

Vodič:

formiranje pojma frakcijske racionalne jednadžbe;
razmotriti različite načine rješavanja razlomljenih racionalnih jednadžbi;
razmotriti algoritam za rješavanje razlomačkih racionalnih jednadžbi, uključujući uvjet da je razlomak jednak nuli;
učiti rješavanje razlomačkih racionalnih jednadžbi prema algoritmu;
provjera razine asimilacije teme provođenjem testnog rada.

U razvoju:

razvoj sposobnosti ispravnog rukovanja stečenim znanjem, logičkog razmišljanja;
razvoj intelektualnih vještina i mentalne operacije- analiza, sinteza, usporedba i generalizacija;
razvoj inicijative, sposobnost donošenja odluka, ne zaustavljanje na tome;
razvoj kritičko razmišljanje;
razvoj istraživačkih vještina.

Njegovanje:

obrazovanje kognitivnog interesa za predmet;
odgoj samostalnosti u rješavanju obrazovnih problema;
odgoj volje i upornosti za postizanje konačnih rezultata.

Vrsta lekcije: lekcija - objašnjenje novog gradiva.

Tijekom nastave

1. Organizacijski trenutak.

Bok dečki! Na ploči su napisane jednadžbe, pažljivo ih pogledajte. Možete li riješiti sve ove jednadžbe? Koje nisu i zašto?

2. Aktualizacija znanja. Frontalno ispitivanje, usmeni rad s razredom.

A sada ćemo ponoviti glavni teorijski materijal koji nam je potreban za proučavanje nove teme. Molimo odgovorite na sljedeća pitanja:

Što je jednadžba? ( Jednakost s varijablom ili varijablama.)
Kako se zove jednadžba #1? ( Linearno.) Metoda rješavanja linearnih jednadžbi. ( Premjestite sve s nepoznatom na lijevu stranu jednadžbe, sve brojeve na desnu. Donesite slične uvjete. Pronađite nepoznati množitelj).
Kako se zove jednadžba 3? ( Kvadrat.) Metode rješavanja kvadratnih jednadžbi. ( Izbor puni kvadrat, formulama, korištenjem Vieta teorema i njegovih korolara.)
Što je proporcija? ( Jednakost dviju relacija.) Glavno svojstvo proporcije. ( Ako je udio točan, tada je umnožak njegovih krajnjih članova jednak umnošku srednjih članova.)
Koja se svojstva koriste za rješavanje jednadžbi? ( 1. Ako u jednadžbi član prenesemo s jednog dijela na drugi, mijenjajući mu predznak, tada ćemo dobiti jednadžbu ekvivalentnu zadanoj. 2. Ako se oba dijela jednadžbe pomnože ili podijele s istim brojem koji nije nula, tada će se dobiti jednadžba koja je ekvivalentna zadanoj.)
Kada je razlomak jednak nuli? ( Razlomak je nula kada je brojnik nula, a nazivnik različit od nule.)

3. Objašnjenje novog gradiva.

Jednačinu br.2 riješite u bilježnicama i na ploči.

Odgovor: 10.

Koju razlomljenu racionalnu jednadžbu možete pokušati riješiti koristeći osnovno svojstvo proporcije? (br. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Jednačinu br.4 riješite u bilježnicama i na ploči.

Odgovor: 1,5.

Koju razlomljenu racionalnu jednadžbu možete pokušati riješiti množenjem obje strane jednadžbe s nazivnikom? (br. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Odgovor: 3;4.

Sada pokušajte riješiti jednadžbu #7 na jedan od načina.


(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Odgovor: 0;5;-2.			Odgovor: 5;-2.

Objasnite zašto se to dogodilo? Zašto u jednom slučaju postoje tri korijena, a u drugom dva? Koji su brojevi korijeni ove razlomljene racionalne jednadžbe?

Do sada se učenici nisu susreli s konceptom stranog korijena, stvarno im je jako teško razumjeti zašto se to dogodilo. Ako nitko u razredu ne može dati jasno objašnjenje ove situacije, tada učitelj postavlja sugestivna pitanja.

Kako se jednadžbe br. 2 i 4 razlikuju od jednadžbi br. 5,6,7? ( U jednadžbama br. 2 i 4 u nazivniku broja, br. 5-7 - izrazi s varijablom.)
Koji je korijen jednadžbe? ( Vrijednost varijable pri kojoj jednadžba postaje prava jednakost.)
Kako saznati je li broj korijen jednadžbe? ( Provjerite.)

Prilikom izrade testa neki učenici primjećuju da moraju dijeliti s nulom. Zaključuju da brojevi 0 i 5 nisu korijeni ove jednadžbe. Postavlja se pitanje: postoji li način za rješavanje frakcijskih racionalnih jednadžbi koji eliminira ovu pogrešku? Da, ova se metoda temelji na uvjetu da je razlomak jednak nuli.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

Ako je x=5, tada je x(x-5)=0, pa je 5 vanjski korijen.

Ako je x=-2, tada je x(x-5)≠0.

Odgovor: -2.

Pokušajmo na ovaj način formulirati algoritam za rješavanje razlomljenih racionalnih jednadžbi. Djeca sama formuliraju algoritam.

Algoritam za rješavanje razlomljenih racionalnih jednadžbi:

Pomaknite sve ulijevo.
Dovedite razlomke na zajednički nazivnik.
Napravite sustav: razlomak je nula kada je brojnik nula, a nazivnik nije nula.
Riješite jednadžbu.
Provjerite nejednakost da biste isključili nepotrebne korijene.
Zapiši odgovor.

Rasprava: kako formalizirati rješenje ako se koristi osnovno svojstvo proporcije i množenje obiju strana jednadžbe zajedničkim nazivnikom. (Dopuni rješenje: iz njegovih korijena isključi one koji zajednički nazivnik pretvaraju u nulu).

4. Primarno razumijevanje novog gradiva.

Raditi u parovima. Učenici sami biraju način rješavanja jednadžbe, ovisno o vrsti jednadžbe. Zadaci iz udžbenika "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: br. 600 (b, c, i); br. 601(a,e,g). Nastavnik kontrolira izvođenje zadatka, odgovara na postavljena pitanja i pomaže učenicima s lošijim uspjehom. Samoprovjera: Odgovori su zapisani na ploči.

b) 2 je vanjski korijen. Odgovor:3.

c) 2 je vanjski korijen. Odgovor: 1.5.

a) Odgovor: -12.5.

g) Odgovor: 1; 1.5.

5. Izjava domaće zadaće.

Pročitati točku 25 iz udžbenika, analizirati primjere 1-3.
Naučite algoritam za rješavanje razlomljenih racionalnih jednadžbi.
Riješite u bilježnicama br.600 (a,d,e); br. 601 (g, h).
Pokušajte riješiti #696(a) (nije obavezno).

6. Izrada kontrolnog zadatka na obrađenu temu.

Rad se izvodi na listovima.

Primjer posla:

A) Koje su od jednadžbi frakcijsko racionalne?

B) Razlomak je nula kada je brojnik ______________________, a nazivnik _______________________.

P) Je li broj -3 korijen jednadžbe #6?

D) Riješite jednadžbu br.7.

Kriteriji za ocjenjivanje zadatka:

Ocjenu 5 dobiva ako je učenik točno riješio više od 90% zadatka.
"4" - 75% -89%
"3" - 50% -74%
Ocjenu 2 dobiva učenik koji je riješio manje od 50% zadatka.
Ocjena 2 se ne upisuje u dnevnik, 3 je izborna.

7. Odraz.

Na letke sa samostalnim radom staviti:

1 - ako vam je lekcija bila zanimljiva i razumljiva;
2 - zanimljivo, ali nije jasno;
3 - nije zanimljivo, ali razumljivo;
4 - nije zanimljivo, nije jasno.

8. Sažimanje lekcije.

Dakle, danas smo se na lekciji upoznali s frakcijskim racionalnim jednadžbama, naučili rješavati te jednadžbe na razne načine, testirali svoje znanje uz pomoć treninga samostalan rad. Rezultate samostalnog rada naučit ćete na sljedećem satu, a kod kuće ćete imati priliku učvrstiti stečeno znanje.

Koja je metoda rješavanja razlomljenih racionalnih jednadžbi, po vašem mišljenju, lakša, pristupačnija, racionalnija? Bez obzira na način rješavanja razlomljenih racionalnih jednadžbi, što ne treba zaboraviti? U čemu je "lukavstvo" razlomljenih racionalnih jednadžbi?

Hvala svima, lekcija je gotova.

"Rješavanje razlomljenih racionalnih jednadžbi"

Ciljevi lekcije:

Vodič:

formiranje pojma frakcijske racionalne jednadžbe; razmotriti različite načine rješavanja razlomljenih racionalnih jednadžbi; razmotriti algoritam za rješavanje razlomačkih racionalnih jednadžbi, uključujući uvjet da je razlomak jednak nuli; učiti rješavanje razlomačkih racionalnih jednadžbi prema algoritmu; provjera razine asimilacije teme provođenjem testnog rada.

U razvoju:

razvoj sposobnosti ispravnog rukovanja stečenim znanjem, logičkog razmišljanja; razvoj intelektualnih vještina i mentalnih operacija - analiza, sinteza, usporedba i generalizacija; razvoj inicijative, sposobnost donošenja odluka, ne zaustavljanje na tome; razvoj kritičkog mišljenja; razvoj istraživačkih vještina.

Njegovanje:

obrazovanje kognitivnog interesa za predmet; odgoj samostalnosti u rješavanju obrazovnih problema; odgoj volje i upornosti za postizanje konačnih rezultata.

Vrsta lekcije: lekcija - objašnjenje novog gradiva.

Tijekom nastave

1. Organizacijski trenutak.

Bok dečki! Na ploči su napisane jednadžbe, pažljivo ih pogledajte. Možete li riješiti sve ove jednadžbe? Koje nisu i zašto?

2. Aktualizacija znanja. Frontalno ispitivanje, usmeni rad s razredom.

A sada ćemo ponoviti glavni teorijski materijal koji nam je potreban za proučavanje nove teme. Molimo odgovorite na sljedeća pitanja:

1. Što je jednadžba? ( Jednakost s varijablom ili varijablama.)

2. Kako se zove jednadžba #1? ( Linearno.) Metoda rješavanja linearnih jednadžbi. ( Premjestite sve s nepoznatom na lijevu stranu jednadžbe, sve brojeve na desnu. Donesite slične uvjete. Pronađite nepoznati množitelj).

3. Kako se zove jednadžba #3? ( Kvadrat.) Metode rješavanja kvadratnih jednadžbi. ( Odabir punog kvadrata, formulama, korištenjem Vieta teorema i njegovih posljedica.)

4. Što je proporcija? ( Jednakost dviju relacija.) Glavno svojstvo proporcije. ( Ako je udio točan, tada je umnožak njegovih krajnjih članova jednak umnošku srednjih članova.)

5. Koja se svojstva koriste pri rješavanju jednadžbi? ( 1. Ako u jednadžbi član prenesemo s jednog dijela na drugi, mijenjajući mu predznak, tada ćemo dobiti jednadžbu ekvivalentnu zadanoj. 2. Ako se oba dijela jednadžbe pomnože ili podijele s istim brojem koji nije nula, tada će se dobiti jednadžba koja je ekvivalentna zadanoj.)

6. Kada je razlomak jednak nuli? ( Razlomak je nula kada je brojnik nula, a nazivnik različit od nule.)

3. Objašnjenje novog gradiva.

Jednačinu br.2 riješite u bilježnicama i na ploči.

Odgovor: 10.

Koju razlomljenu racionalnu jednadžbu možete pokušati riješiti koristeći osnovno svojstvo proporcije? (br. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Jednačinu br.4 riješite u bilježnicama i na ploči.

Odgovor: 1,5.

Koju razlomljenu racionalnu jednadžbu možete pokušati riješiti množenjem obje strane jednadžbe s nazivnikom? (br. 6).

D=1>0, x1=3, x2=4.

Odgovor: 3;4.

Sada pokušajte riješiti jednadžbu #7 na jedan od načina.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

Odgovor: 0;5;-2.			Odgovor: 5;-2.

Objasnite zašto se to dogodilo? Zašto u jednom slučaju postoje tri korijena, a u drugom dva? Koji su brojevi korijeni ove razlomljene racionalne jednadžbe?

U jednadžbama br. 2 i 4 u nazivniku broja, br. 5-7 - izrazi s varijablom

Vrijednost varijable pri kojoj jednadžba postaje prava jednakost

Provjerite

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Ako je x=5, tada je x(x-5)=0, pa je 5 vanjski korijen.

Ako je x=-2, tada je x(x-5)≠0.

Odgovor: -2.

Pokušajmo na ovaj način formulirati algoritam za rješavanje razlomljenih racionalnih jednadžbi. Djeca sama formuliraju algoritam.

Algoritam za rješavanje razlomljenih racionalnih jednadžbi:

1. Pomaknite sve na lijevu stranu.

2. Dovedite razlomke na zajednički nazivnik.

3. Napravite sustav: razlomak je jednak nuli kada je brojnik jednak nuli, a nazivnik nije jednak nuli.

4. Riješite jednadžbu.

5. Provjerite nejednakost da isključite strane korijene.

6. Zapišite odgovor.

4. Primarno razumijevanje novog gradiva.

Raditi u parovima. Učenici sami biraju način rješavanja jednadžbe, ovisno o vrsti jednadžbe. Zadatci iz udžbenika "Algebra 8", 2007.: br. 000 (b, c, i); br. 000(a,e,g). Nastavnik kontrolira izvođenje zadatka, odgovara na postavljena pitanja i pomaže učenicima s lošijim uspjehom. Samoprovjera: Odgovori su zapisani na ploči.

b) 2 je vanjski korijen. Odgovor:3.

c) 2 je vanjski korijen. Odgovor: 1.5.

a) Odgovor: -12.5.

g) Odgovor: 1; 1.5.

5. Izjava domaće zadaće.

2. Naučiti algoritam za rješavanje razlomljenih racionalnih jednadžbi.

3. Riješite u bilježnicama br.000 (a,d,e); br. 000 (g, h).

4. Pokušajte riješiti br. 000(a) (nije obavezno).

6. Izrada kontrolnog zadatka na obrađenu temu.

Rad se izvodi na listovima.

Primjer posla:

A) Koje su od jednadžbi frakcijsko racionalne?

B) Razlomak je nula kada je brojnik ______________________, a nazivnik _______________________.

P) Je li broj -3 korijen jednadžbe #6?

D) Riješite jednadžbu br.7.

Kriteriji za ocjenjivanje zadatka:

Ocjenu 5 dobiva ako je učenik točno riješio više od 90% zadatka. "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" dobiva učenik koji je riješio manje od 50% zadatka. Ocjena 2 se ne upisuje u dnevnik, 3 je izborna.

7. Odraz.

Na letke sa samostalnim radom staviti:

1 - ako vam je lekcija bila zanimljiva i razumljiva; 2 - zanimljivo, ali nije jasno; 3 - nije zanimljivo, ali razumljivo; 4 - nije zanimljivo, nije jasno.

8. Sažimanje lekcije.

Dakle, danas smo se na satu upoznali s frakcijskim racionalnim jednadžbama, naučili rješavati te jednadžbe na razne načine, provjerili svoje znanje uz pomoć obrazovnog samostalnog rada. Rezultate samostalnog rada naučit ćete na sljedećem satu, a kod kuće ćete imati priliku učvrstiti stečeno znanje.

Hvala svima, lekcija je gotova.

Upoznajmo se s racionalnim i frakcijskim racionalnim jednadžbama, dajmo njihovu definiciju, dajmo primjere, a također analizirajmo najčešće vrste problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Racionalna jednadžba: definicija i primjeri

Upoznavanje s racionalnim izrazima počinje u 8. razredu škole. U ovom trenutku, na satovima algebre, učenici se sve više počinju susresti sa zadacima s jednadžbama koje sadrže racionalne izraze u svojim bilješkama. Osvježimo sjećanje što je to.

Definicija 1

racionalna jednadžba je jednadžba u kojoj obje strane sadrže racionalne izraze.

U raznim priručnicima možete pronaći drugu formulaciju.

Definicija 2

racionalna jednadžba je takva jednadžba čiji zapis lijeve strane sadrži racionalno izražavanje, dok je desna nula.

Definicije koje smo dali za racionalne jednadžbe su ekvivalentne, jer znače istu stvar. Točnost naših riječi potvrđuje činjenica da za sve racionalne izraze P i Q jednadžbe P=Q i P − Q = 0 bit će ekvivalentni izrazi.

Sada se okrenimo primjerima.

Primjer 1

Racionalne jednadžbe:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Racionalne jednadžbe, kao i jednadžbe drugih vrsta, mogu sadržavati bilo koji broj varijabli od 1 do nekoliko. Za početak ćemo razmotriti jednostavni primjeri, u kojem će jednadžbe sadržavati samo jednu varijablu. A onda počinjemo postupno komplicirati zadatak.

Racionalne jednadžbe dijele se na dvije velike skupine: cijeli i razlomak. Pogledajmo koje će se jednadžbe primijeniti na svaku od skupina.

Definicija 3

Racionalna jednadžba bit će cijeli broj ako zapis njezinog lijevog i desnog dijela sadrži čitave racionalne izraze.

Definicija 4

Racionalna jednadžba bit će razlomačka ako jedan ili oba njezina dijela sadrže razlomak.

Razlomačko racionalne jednadžbe nužno sadrže dijeljenje varijablom ili je varijabla prisutna u nazivniku. Takve podjele nema u pisanju cjelobrojnih jednadžbi.

Primjer 2

3 x + 2 = 0 i (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5 su cijele racionalne jednadžbe. Ovdje su oba dijela jednadžbe predstavljena cjelobrojnim izrazima.

1 x - 1 = x 3 i x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 su razlomačko racionalne jednadžbe.

Cjelokupne racionalne jednadžbe uključuju linearne i kvadratne jednadžbe.

Rješavanje cjelobrojnih jednadžbi

Rješavanje takvih jednadžbi obično se svodi na njihovu transformaciju u ekvivalentne algebarske jednadžbe. To se može postići provođenjem ekvivalentnih transformacija jednadžbi u skladu sa sljedećim algoritmom:

prvo dobijemo nulu na desnoj strani jednadžbe, za to je potrebno izraz koji se nalazi na desnoj strani jednadžbe prenijeti na njenu lijevu stranu i promijeniti predznak;
tada transformiramo izraz na lijevoj strani jednadžbe u polinom standardni prikaz.

Moramo dobiti algebarsku jednadžbu. Ova će jednadžba biti ekvivalentna s obzirom na izvornu jednadžbu. Jednostavni slučajevi omogućuju nam da riješimo problem svođenjem cijele jednadžbe na linearnu ili kvadratnu. NA opći slučaj rješavamo algebarsku jednadžbu stupnja n.

Primjer 3

Potrebno je pronaći korijene cijele jednadžbe 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

Riješenje

Transformirajmo izvorni izraz kako bismo dobili njemu ekvivalentnu algebarsku jednadžbu. Da bismo to učinili, prenijet ćemo izraz sadržan u desnoj strani jednadžbe na lijevu stranu i promijeniti predznak u suprotan. Kao rezultat toga dobivamo: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Sada ćemo transformirati izraz s lijeve strane u polinom standardnog oblika i izvršiti potrebne radnje s tim polinomom:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Uspjeli smo svesti rješenje izvorne jednadžbe na rješenje kvadratna jednadžba ljubazan x 2 − 5 x − 6 = 0. Diskriminant ove jednadžbe je pozitivan: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . To znači da će postojati dva prava korijena. Pronađimo ih pomoću formule korijena kvadratne jednadžbe:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 ili x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 ili x 2 = - 1

Provjerimo točnost korijena jednadžbe koje smo pronašli u tijeku rješavanja. Za ovaj broj koji smo dobili zamijenimo u izvornu jednadžbu: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 i 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. U prvom slučaju 63 = 63 , u drugom 0 = 0 . Korijenje x=6 i x = − 1 su doista korijeni jednadžbe dane u uvjetu primjera.

Odgovor: 6 , − 1 .

Pogledajmo što znači "snaga cijele jednadžbe". Često ćemo se susresti s ovim pojmom u onim slučajevima kada cijelu jednadžbu trebamo prikazati u obliku algebarske. Definirajmo pojam.

Definicija 5

Stupanj cjelobrojne jednadžbe je stupanj algebarska jednadžba, što je ekvivalentno izvornoj cijeloj jednadžbi.

Ako pogledate jednadžbe iz gornjeg primjera, možete ustanoviti: stupanj cijele ove jednadžbe je drugi.

Ako bi naš tečaj bio ograničen na rješavanje jednadžbi drugog stupnja, tada bi razmatranje teme moglo biti dovršeno ovdje. Ali sve nije tako jednostavno. Rješavanje jednadžbi trećeg stupnja puno je poteškoća. A za jednadžbe iznad četvrtog stupnja uopće ne postoji opće formule korijenje. S tim u vezi, rješavanje čitavih jednadžbi trećeg, četvrtog i ostalih stupnjeva zahtijeva korištenje niza drugih tehnika i metoda.

Najčešće korišten pristup rješavanju cijelih racionalnih jednadžbi temelji se na metodi faktorizacije. Algoritam radnji u ovom slučaju je sljedeći:

izraz prenosimo s desne strane na lijevu stranu tako da na desnoj strani zapisa ostane nula;
predstavljamo izraz na lijevoj strani kao produkt faktora, a zatim prelazimo na skup nekoliko jednostavnijih jednadžbi.

Primjer 4

Nađi rješenje jednadžbe (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .

Riješenje

Izraz pomičemo s desne strane zapisa na lijevu pomoću suprotnog predznaka: (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. Pretvaranje lijeve strane u polinom standardnog oblika je nepraktično zbog činjenice da ćemo time dobiti algebarsku jednadžbu četvrtog stupnja: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Lakoća transformacije ne opravdava sve poteškoće s rješavanjem takve jednadžbe.

Mnogo je lakše ići drugim putem: izbacimo zajednički faktor x 2 − 10 x + 13 . Tako dolazimo do jednadžbe oblika (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Sada zamjenjujemo dobivenu jednadžbu skupom od dvije kvadratne jednadžbe x 2 − 10 x + 13 = 0 i x 2 − 2 x − 1 = 0 i pronađite njihove korijene kroz diskriminant: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Odgovor: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Slično, možemo koristiti metodu uvođenja nove varijable. Ova nam metoda omogućuje prijelaz na ekvivalentne jednadžbe s nižim snagama od onih u izvornoj cijeloj jednadžbi.

Primjer 5

Ima li jednadžba korijene? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Riješenje

Ako sada cijelu racionalnu jednadžbu pokušamo svesti na algebarsku, dobit ćemo jednadžbu 4. stupnja, koja nema racionalnih korijena. Stoga će nam biti lakše krenuti drugim putem: uvesti novu varijablu y koja će zamijeniti izraz u jednadžbi x 2 + 3 x.

Sada ćemo raditi s cijelom jednadžbom (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). ponovno rasporediti desna strana jednadžba ulijevo sa suprotnim predznakom i provesti potrebne transformacije. Dobivamo: y 2 + 4 y + 3 = 0. Nađimo korijene kvadratne jednadžbe: y = − 1 i y = − 3.

Sada napravimo obrnutu zamjenu. Dobivamo dvije jednadžbe x 2 + 3 x = − 1 i x 2 + 3 x = - 3 . Zapišimo ih kao x 2 + 3 x + 1 = 0 i x 2 + 3 x + 3 = 0. Koristimo se formulom korijena kvadratne jednadžbe kako bismo pronašli korijene prve dobivene jednadžbe: - 3 ± 5 2 . Diskriminant druge jednadžbe je negativan. To znači da druga jednadžba nema pravih korijena.

Odgovor:- 3 ± 5 2

Cijele jednadžbe visoki stupnjevičesto se susreću u zadacima. Ne treba ih se bojati. Mora biti spreman za prijavu nestandardna metoda njihova rješenja, uključujući niz umjetnih transformacija.

Rješenje razlomačko racionalnih jednadžbi

Počinjemo naše razmatranje ove podteme s algoritmom za rješavanje frakciono racionalnih jednadžbi oblika p (x) q (x) = 0 , gdje p(x) i q(x) su cjelobrojni racionalni izrazi. Rješenje ostalih razlomačko racionalnih jednadžbi uvijek se može svesti na rješavanje jednadžbi navedenog oblika.

Najčešće korištena metoda za rješavanje jednadžbi p (x) q (x) = 0 temelji se na sljedećoj izjavi: frakcija u v, gdje v je broj koji je različit od nule, jednak nuli samo u slučajevima kada je brojnik razlomka jednak nuli. Slijedeći logiku gornje tvrdnje, možemo ustvrditi da se rješenje jednadžbe p (x) q (x) = 0 može svesti na ispunjenje dva uvjeta: p(x)=0 i q(x) ≠ 0. Na tome je izgrađen algoritam za rješavanje frakcijskih racionalnih jednadžbi oblika p (x) q (x) = 0:

nalazimo rješenje cijele racionalne jednadžbe p(x)=0;
provjeravamo je li zadovoljen uvjet za korijene pronađene tijekom rješavanja q(x) ≠ 0.

Ako je ovaj uvjet ispunjen, onda je pronađeni root, ako nije, onda root nije rješenje problema.

Primjer 6

Nađi korijene jednadžbe 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

Riješenje

Radi se o razlomljenoj racionalnoj jednadžbi oblika p (x) q (x) = 0 , u kojoj je p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Počnimo rješavati linearnu jednadžbu 3 x - 2 = 0. Korijen ove jednadžbe bit će x = 2 3.

Provjerimo pronađeni korijen, zadovoljava li uvjet 5 x 2 - 2 ≠ 0. Za ovo zamjenjujemo brojčana vrijednost u izraz. Dobivamo: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

Uvjet je ispunjen. To znači da x = 2 3 je korijen izvorne jednadžbe.

Odgovor: 2 3 .

Postoji još jedna opcija za rješavanje frakcijskih racionalnih jednadžbi p (x) q (x) = 0 . Podsjetimo se da je ova jednadžba ekvivalentna cijeloj jednadžbi p(x)=0 u regiji dopuštene vrijednosti varijabla x izvorne jednadžbe. To nam omogućuje korištenje sljedećeg algoritma u rješavanju jednadžbi p(x) q(x) = 0:

riješiti jednadžbu p(x)=0;
pronaći raspon prihvatljivih vrijednosti za varijablu x ;
uzimamo korijene koji leže u području dopuštenih vrijednosti varijable x kao željene korijene izvorne frakcijske racionalne jednadžbe.

Primjer 7

Riješite jednadžbu x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

Riješenje

Najprije riješimo kvadratnu jednadžbu x 2 − 2 x − 11 = 0. Za izračun njegovih korijena koristimo formulu korijena za parni drugi koeficijent. Dobivamo D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12, i x = 1 ± 2 3 .

Sada možemo pronaći ODV od x za originalnu jednadžbu. Sve su to brojevi za koje x 2 + 3 x ≠ 0. To je isto kao x (x + 3) ≠ 0, odakle je x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Sada provjerimo jesu li korijeni x = 1 ± 2 3 dobiveni u prvoj fazi rješenja unutar raspona prihvatljivih vrijednosti varijable x. Vidimo što dolazi. To znači da izvorna razlomljena racionalna jednadžba ima dva korijena x = 1 ± 2 3 .

Odgovor: x = 1 ± 2 3

Druga opisana metoda rješenja lakši od prvog u slučajevima kada je lako pronaći područje dopuštenih vrijednosti varijable x, te korijene jednadžbe p(x)=0 iracionalan. Na primjer, 7 ± 4 26 9 . Korijeni mogu biti racionalni, ali s velikim brojnikom ili nazivnikom. Na primjer, 127 1101 i − 31 59 . Time se štedi vrijeme za provjeru stanja. q(x) ≠ 0: puno je lakše isključiti korijene koji se ne uklapaju, prema ODZ-u.

Kada su korijeni jednadžbe p(x)=0 cijeli brojevi, svrhovitije je koristiti prvi od opisanih algoritama za rješavanje jednadžbi oblika p (x) q (x) = 0 . Brže pronalaženje korijena cijele jednadžbe p(x)=0, a zatim provjeriti je li za njih ispunjen uvjet q(x) ≠ 0, a ne pronaći ODZ, a zatim riješiti jednadžbu p(x)=0 na ovom ODZ-u. To je zbog činjenice da je u takvim slučajevima obično lakše izvršiti provjeru nego pronaći ODZ.

Primjer 8

Nađi korijene jednadžbe (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0 .

Riješenje

Počinjemo razmatranjem cijele jednadžbe (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 i pronalaženje njegovih korijena. Da bismo to učinili, primjenjujemo metodu rješavanja jednadžbi putem faktorizacije. Ispada da je izvorna jednadžba ekvivalentna skupu od četiri jednadžbe 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, od kojih su tri linearne i jedna je četvrtasta. Nalazimo korijene: iz prve jednadžbe x = 1 2, od drugog x=6, od trećeg - x \u003d 7, x \u003d - 2, od četvrtog - x = − 1.

Provjerimo dobivene korijene. Definirajte OHS u ovaj slučaj teško nam je, jer ćemo za to morati riješiti algebarsku jednadžbu petog stupnja. Lakše ćemo provjeriti uvjet prema kojem nazivnik razlomka koji se nalazi na lijevoj strani jednadžbe ne bi trebao biti jednak nuli.

Zauzvrat, zamijenite korijene umjesto varijable x u izrazu x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 i izračunajte njegovu vrijednost:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠0;

6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

Provedena provjera omogućuje nam da ustanovimo da su korijeni izvorne frakcijske racionalne jednadžbe 1 2 , 6 i − 2 .

Odgovor: 1 2 , 6 , - 2

Primjer 9

Nađite korijene razlomljene racionalne jednadžbe 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .

Riješenje

Počnimo s jednadžbom (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Pronađimo njegove korijene. Lakše nam je prikazati ovu jednadžbu kao kombinaciju kvadrata i linearne jednadžbe 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 i x − 2 = 0.

Za pronalaženje korijena koristimo se formulom korijena kvadratne jednadžbe. Iz prve jednadžbe dobivamo dva korijena x = 7 ± 69 10, a iz druge x=2.

Zamjena vrijednosti korijena u izvornu jednadžbu radi provjere uvjeta bit će nam prilično teška. Bit će lakše odrediti LPV varijable x. U ovom slučaju, DPV varijable x su svi brojevi, osim onih za koje je zadovoljen uvjet x 2 + 5 x − 14 = 0. Dobivamo: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Sada provjerimo pripadaju li korijeni koje smo pronašli rasponu prihvatljivih vrijednosti za x varijablu.

Korijeni x = 7 ± 69 10 - pripadaju, dakle, oni su korijeni izvorne jednadžbe, i x=2- ne pripada, dakle, tuđi je korijen.

Odgovor: x = 7 ± 69 10 .

Ispitajmo posebno slučajeve kada brojnik frakcijske racionalne jednadžbe oblika p (x) q (x) = 0 sadrži broj. U takvim slučajevima, ako brojnik sadrži broj različit od nule, jednadžba neće imati korijene. Ako je taj broj jednak nuli, tada će korijen jednadžbe biti bilo koji broj iz ODZ.

Primjer 10

Riješite razlomljenu racionalnu jednadžbu - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Riješenje

Ova jednadžba neće imati korijene jer brojnik razlomka s lijeve strane jednadžbe sadrži broj različit od nule. To znači da za bilo koju vrijednost x vrijednost razlomka dana u uvjetu problema neće biti jednaka nuli.

Odgovor: bez korijena.

Primjer 11

Riješite jednadžbu 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Riješenje

Budući da je brojnik razlomka nula, rješenje jednadžbe bit će bilo koja vrijednost x iz ODZ varijable x.

Sada definirajmo ODZ. Uključit će sve x vrijednosti za koje x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Rješenja jednadžbi x 4 + 5 x 3 = 0 su 0 i − 5 , budući da je ova jednadžba ekvivalentna jednadžbi x 3 (x + 5) = 0, a on je zauzvrat ekvivalentan skupu dviju jednadžbi x 3 = 0 i x + 5 = 0 gdje su ti korijeni vidljivi. Dolazimo do zaključka da je željeni raspon prihvatljivih vrijednosti bilo koji x osim x=0 i x = -5.

Ispada da razlomljena racionalna jednadžba 0 x 4 + 5 x 3 = 0 ima beskonačan skup rješenja, koja su bilo koji brojevi osim nule i - 5 .

Odgovor: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Razgovarajmo sada o frakcijskim racionalnim jednadžbama proizvoljnog oblika i metodama za njihovo rješavanje. Mogu se napisati kao r(x) = s(x), gdje r(x) i s(x) su racionalni izrazi, a barem jedan od njih je razlomak. Rješavanje takvih jednadžbi svodi se na rješavanje jednadžbi oblika p (x) q (x) = 0 .

Već znamo što možemo dobiti ekvivalentna jednadžba pri prijenosu izraza s desne strane jednadžbe na lijevu stranu sa suprotnim predznakom. To znači da jednadžba r(x) = s(x) je ekvivalentna jednadžbi r (x) − s (x) = 0. Također smo već raspravljali o tome kako pretvoriti racionalni izraz u racionalni razlomak. Zahvaljujući tome, jednadžbu možemo lako transformirati r (x) − s (x) = 0 u svoj identični racionalni razlomak oblika p (x) q (x) .

Dakle, krećemo od izvorne frakcijske racionalne jednadžbe r(x) = s(x) na jednadžbu oblika p (x) q (x) = 0 , koju smo već naučili rješavati.

Treba napomenuti da se prilikom prijelaza iz r (x) − s (x) = 0 do p (x) q (x) = 0 i zatim do p(x)=0 možda nećemo uzeti u obzir proširenje raspona valjanih vrijednosti varijable x.

Posve je realno da izvorna jednadžba r(x) = s(x) i jednadžba p(x)=0 kao rezultat transformacija, oni će prestati biti ekvivalentni. Zatim rješenje jednadžbe p(x)=0 može nam dati korijene koji će nam biti strani r(x) = s(x). U tom smislu, u svakom slučaju potrebno je izvršiti provjeru bilo kojom od gore opisanih metoda.

Kako bismo vam olakšali proučavanje teme, generalizirali smo sve informacije u algoritam za rješavanje razlomljene racionalne jednadžbe oblika r(x) = s(x):

prenesemo izraz s desne strane sa suprotnim predznakom i dobijemo nulu na desnoj strani;
transformiramo izvorni izraz u racionalni razlomak p (x) q (x) sekvencijalnim izvođenjem radnji s razlomcima i polinomima;
riješiti jednadžbu p(x)=0;
strane korijene otkrivamo provjerom njihove pripadnosti ODZ-u ili zamjenom u izvornu jednadžbu.

Vizualno će lanac radnji izgledati ovako:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → ispadanje r o n d e r o o n s

Primjer 12

Riješite razlomljenu racionalnu jednadžbu x x + 1 = 1 x + 1 .

Riješenje

Prijeđimo na jednadžbu x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Pretvorimo razlomački racionalni izraz na lijevoj strani jednadžbe u oblik p (x) q (x) .

Za ovo moramo donijeti racionalni razlomci na zajednički nazivnik i pojednostavite izraz:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

Da bismo pronašli korijene jednadžbe - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, moramo riješiti jednadžbu − 2 x − 1 = 0. Dobivamo jedan korijen x = - 1 2.

Ostaje nam da izvršimo provjeru bilo kojom od metoda. Razmotrimo ih oboje.

Zamijenite dobivenu vrijednost u izvornu jednadžbu. Dobivamo - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Došli smo do točne brojčane jednakosti − 1 = − 1 . To znači da x = − 1 2 je korijen izvorne jednadžbe.

Sada ćemo provjeriti preko ODZ-a. Definirajmo raspon prihvatljivih vrijednosti za varijablu x. To će biti cijeli skup brojeva, osim − 1 i 0 (kada je x = − 1 i x = 0, nazivnici razlomaka iščezavaju). Korijen koji smo dobili x = − 1 2 pripada ODZ-u. To znači da je to korijen izvorne jednadžbe.

Odgovor: − 1 2 .

Primjer 13

Nađi korijene jednadžbe x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .

Riješenje

Imamo posla s razlomljenom racionalnom jednadžbom. Stoga ćemo djelovati prema algoritmu.

Premjestimo izraz s desne strane na lijevu stranu sa suprotnim predznakom: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Provedimo potrebne transformacije: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Dolazimo do jednadžbe x=0. Korijen ove jednadžbe je nula.

Provjerimo je li ovaj korijen strani izvornoj jednadžbi. Zamijenite vrijednost u izvornoj jednadžbi: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Kao što vidite, dobivena jednadžba nema smisla. To znači da je 0 vanjski korijen, a izvorna frakcijska racionalna jednadžba nema korijena.

Odgovor: bez korijena.

Ako nismo uključili dr ekvivalentne transformacije To ne znači da se ne mogu koristiti. Algoritam je univerzalan, ali je dizajniran da pomogne, a ne da ograniči.

Primjer 14

Riješite jednadžbu 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Riješenje

Najlakši način je riješiti zadanu razlomljenu racionalnu jednadžbu prema algoritmu. Ali postoji i drugi način. Razmotrimo to.

Oduzimamo od desnog i lijevog dijela 7, dobivamo: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

Iz ovoga možemo zaključiti da bi izraz u nazivniku lijeve strane trebao biti jednak broju koji je recipročan broju s desne strane, odnosno 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Od oba dijela oduzmite 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Po analogiji 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, odakle 1 5 - x 2 = 1 3, i dalje 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2

Provjerimo da li su pronađeni korijeni korijeni izvorne jednadžbe.

Odgovor: x = ± 2

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter