U obliku matematičkih formula i. Najljepše fizikalne i matematičke formule

Matematičar Henri Poincaré je u svojoj knjizi Znanost i metoda napisao: “Da priroda nije lijepa, ne bi je bilo vrijedno poznavanja, život ne bi bio vrijedan iskustva. Ovdje, naravno, ne govorim o ljepoti koja upada u oči... Mislim na onu dublju ljepotu koja se otvara u harmoniji dijelova, a koja se shvaća samo umom. Ona je ta koja stvara tlo, stvara okvir za igru ​​vidljivih boja koje miluju naše osjećaje, a bez te potpore ljepota prolaznih dojmova bila bi nesavršena, kao i sve nejasno i prolazno. Naprotiv, intelektualna ljepota sama po sebi pruža zadovoljstvo.

P.A.M. Dirac je napisao: “Teorijska fizika ima još jedan pravi put razvoja. temeljna značajka da ono najosnovnije fizikalni zakoni su opisani matematička teorija, čiji aparat ima izuzetnu snagu i ljepotu. Da biste razumjeli ovu teoriju, morate imati neuobičajeno visoku matematičku kvalifikaciju. Možda se pitate: zašto je priroda takva kakva jest? Na to postoji samo jedan odgovor: prema našem moderna znanja, priroda je uređena na ovaj način, a ne drugačije.

Prije sedam godina ukrajinska fizičarka (i umjetnica) Natalia Kondratieva upitala je niz vodećih svjetskih matematičara: "Koja su tri matematičke formule, po tebi najljepša?
U razgovoru o ljepoti matematičkih formula sudjelovali su Sir Michael Atiyah i David Elvarsi iz Britanije, Yakov Sinai i Alexander Kirillov iz SAD-a, Friedrich Herzebruch i Yuri Manin iz Njemačke, David Ruel iz Francuske, Anatoly Vershik i Robert Minlos iz Rusije i drugi matematičari iz različite zemlje. Od Ukrajinaca u raspravi su sudjelovali akademici Nacionalne akademije znanosti Volodymyr Korolyuk i Anatoliy Skorokhod. Dio materijala dobivenih na ovaj način činio je temelj izdanja Natalije Kondratieve znanstveni rad"Tri najljepše matematičke formule."
Što je bio vaš cilj kada ste pitali matematičare o tome lijepe formule?
— Svako novo stoljeće donosi ažuriranje znanstvene paradigme. Na samom početku stoljeća s osjećajem da stojimo na pragu nova znanost, nju novu ulogu u životu ljudsko društvo, obratio sam se matematičarima s pitanjem o ljepoti ideja koje stoje iza matematički simboli, tj. o ljepoti matematičkih formula.
Već se mogu uočiti neka obilježja nove znanosti. Ako je znanost dvadesetog stoljeća vrlo važna uloga„prijateljstvo“ matematike s fizikom se poigralo, sada matematika učinkovito surađuje s biologijom, genetikom, sociologijom, ekonomijom... Posljedično, znanost će istraživati ​​korespondencije. Matematičke strukture će istraživati ​​korespondencije među interakcijama elemenata razna područja i planove. I mnogo toga što smo prije uzimali zdravo za gotovo kao filozofske izjave znanost će odobriti kao konkretno znanje.
Taj je proces započeo već u 20. stoljeću. Dakle, Kolmogorov je matematički pokazao da ne postoji slučajnost, ali postoji vrlo velika složenost. Fraktalna geometrija je potvrdila princip jedinstva u različitosti, i tako dalje.
- Koje su formule proglašene najljepšima?
- Moram odmah reći da nije bilo cilja organizirati natjecanje za formule. U svom pismu matematičarima napisao sam: “Ljudi koji žele shvatiti koji zakoni vladaju svijetom kreću putem pronalaženja harmonije svijeta. Ovaj put ide u beskonačnost (jer kretanje je vječno), ali ljudi ga i dalje slijede, jer. posebno je veselje upoznati drugu ideju ili ideju. Iz odgovora na pitanje o lijepim formulama možda je moguće sintetizirati novi aspekt ljepote svijeta. Osim toga, ovo bi djelo moglo biti korisno budućim znanstvenicima kao ideja o velikoj harmoniji svijeta i matematici kao načinu pronalaženja te ljepote.
Ipak, među formulama su bili jasni favoriti: Pitagorina formula i Eulerova formula.
Slijedile su fizičke, a ne matematičke formule, koje su u dvadesetom stoljeću promijenile naše poimanje svijeta - Maxwell, Schrödinger, Einstein.
Također među najljepšim su formule o kojima se još raspravlja, poput jednadžbi fizički vakuum. Spomenute su i druge lijepe matematičke formule.
- Što mislite, zašto je na prijelazu iz drugog u treće tisućljeće Pitagorina formula proglašena jednom od najljepših?
- U Pitagorino doba ova se formula doživljavala kao izraz principa kozmičke evolucije: dva suprotna principa (dva kvadrata koji se dodiruju pravokutno) rađaju treći, jednak njihovom zbroju. Moguće je dati geometrijski vrlo lijepa tumačenja.
Možda postoji nekakvo podsvjesno, genetsko sjećanje na ona vremena kada je pojam “matematika” značio “znanost”, a aritmetika, slikarstvo, glazba, filozofija proučavali su se u sintezi.
Raphael Khasminsky je u svom pismu napisao da je u školi bio zadivljen ljepotom Pitagorine formule, koja je uvelike odredila njegovu sudbinu kao matematičara.
Što možete reći o Eulerovoj formuli?
- Neki matematičari obratili su pažnju na to da su se u njemu “svi okupili”, tj. sve najdivnije matematički brojevi, a jedinica je puna beskonačnosti! Ovo ima duboko filozofsko značenje.
Nije ni čudo što je Euler otkrio ovu formulu. Veliki matematičar učinio mnogo za uvođenje ljepote u znanost, čak je uveo pojam "stupnja ljepote" u matematiku. Umjesto toga, uveo je ovaj koncept u teoriju glazbe, koju je smatrao dijelom matematike.
Euler je smatrao da se estetski osjećaj može razviti i da je taj osjećaj potreban znanstveniku.
Pozvat ću se na autoritete ... Grothendieck: "Razumijevanje ove ili one stvari u matematici je onoliko savršeno koliko je moguće osjetiti njenu ljepotu."
Poincaré: “U matematici postoji osjećaj.” Estetski osjećaj u matematici usporedio je s filtrom koji iz mnoštva rješenja bira najskladnije rješenje koje je u pravilu ono točno. Ljepota i sklad sinonimi su, a najviša manifestacija sklada je svjetski zakon ravnoteže. Matematika istražuje ovaj zakon na različitim razinama postojanja i u različite aspekte. Nije ni čudo što svaka matematička formula sadrži znak jednakosti.
Mislim da je najviši ljudski sklad sklad misli i osjećaja. Možda je zato Einstein rekao da mu je pisac Dostojevski dao više od matematičara Gaussa.
Za epigraf rada o ljepoti u matematici uzeo sam formulu Dostojevskog “Ljepota će spasiti svijet”. A o tome su raspravljali i matematičari.
I oni su se složili s ovom izjavom?
— Matematičari ovu tvrdnju nisu odobrili niti opovrgli. Oni su to pojasnili: "Svijest o ljepoti će spasiti svijet." Ovo je odmah podsjetilo na rad Eugenea Wignera o ulozi svijesti u kvantnim mjerenjima, koji je napisao prije gotovo pedeset godina. U ovom radu Wigner je to pokazao ljudska svijest utječe okoliš, tj. da ne samo da primamo informacije izvana, već i šaljemo svoje misli i osjećaje kao odgovor. Ovaj rad je još uvijek relevantan i ima svoje pristaše i protivnike. Zaista se nadam da će u 21. stoljeću znanost dokazati da svijest o ljepoti doprinosi harmonizaciji našeg svijeta.

1. Eulerova formula. Mnogi su u ovoj formuli vidjeli simbol jedinstva cijele matematike, jer u njoj "-1 predstavlja aritmetiku, i - algebru, π - geometriju i e - analizu".

2. Ova jednostavna jednadžba pokazuje da je vrijednost 0,999 (i tako dalje ad infinitum) ekvivalentna jedinici. Mnogi ljudi ne vjeruju da to može biti točno, iako postoji nekoliko dokaza koji se temelje na teoriji granica. Međutim, jednakost pokazuje princip beskonačnosti.


3. Ovu je jednadžbu formulirao Einstein kao dio pionirskog opća teorija relativnosti 1915. Desna strana ove jednadžbe opisuje energiju sadržanu u našem svemiru (uključujući "tamnu energiju"). Lijeva strana opisuje geometriju prostor-vremena. Jednakost odražava činjenicu da u Einsteinovoj općoj teoriji relativnosti masa i energija određuju geometriju, a ujedno i zakrivljenost koja je manifestacija gravitacije. Einstein je rekao da je lijeva strana jednadžbi gravitacije u općoj teoriji relativnosti, koja sadrži gravitacijsko polje, lijepa i kao da je isklesana iz mramora, dok desni dio Jednadžbe koje opisuju materiju još uvijek su ružne, kao da su napravljene od običnog komada drveta.


4. Druga dominantna teorija fizike - Standardni model - opisuje elektromagnetske, slabe i jake interakcije svih elementarne čestice. Neki fizičari vjeruju da odražava sve procese koji se odvijaju u svemiru, osim tamna tvar, tamna energija i ne uključuje gravitaciju. Higgsov bozon, nedostižan do prošle godine, također se uklapa u standardni model, iako nisu svi stručnjaci sigurni u njegovo postojanje.


5. Pitagorin teorem je jedan od temeljnih teorema Euklidske geometrije, koji utvrđuje odnos između stranica pravokutni trokut. Sjećamo je se iz škole i vjerujemo da je autor teorema Pitagora. Zapravo, ova formula se koristi od Drevni Egipt tijekom izgradnje piramida.


6. Eulerov teorem. Ovaj teorem postavio je temelje za novu granu matematike - topologiju. Jednadžba uspostavlja odnos između broja vrhova, bridova i stranica za poliedre koji su topološki ekvivalentni sferi.


7. posebna teorija relativnost opisuje kretanje, zakone mehanike i prostorno-vremenske odnose pri proizvoljnim brzinama kretanja, manje brzine svjetlosti u vakuumu, uključujući i one bliske brzini svjetlosti. Einstein je došao do formule koja opisuje da vrijeme i prostor nisu apsolutni koncepti, već su relativni, ovisno o brzini promatrača. Jednadžba pokazuje kako se vrijeme širi ili usporava ovisno o tome kako i gdje se osoba kreće.


8. Jednadžbu su 1750-ih dobili Euler i Lagrange dok su rješavali problem izokrone. Ovo je problem određivanja krivulje kojom teška čestica ide do fiksne točke u fiksnom vremenu, bez obzira na početnu točku. NA u općim crtama, ako vaš sustav ima simetriju, postoji odgovarajući zakon očuvanja simetrije.


9. Callan-Symanzika jednadžba. To je diferencijalna jednadžba koja opisuje evoluciju n-korelacijska funkcija kada se mijenja skala energija na kojoj je teorija definirana i uključuje beta funkcije teorije i anomalne dimenzije. Ova jednadžba pomogla je boljem razumijevanju kvantne fizike.


10. Jednadžba minimalne površine. Ova jednakost objašnjava nastanak mjehurića od sapunice.


11. Eulerova ravna linija. Eulerov teorem je dokazan 1765. Otkrio je da polovišta stranica trokuta i osnovice njegovih visina leže na istoj kružnici.


12. Godine 1928. P.A.M. Dirac je predložio vlastitu verziju Schrödingerove jednadžbe - koja je odgovarala teoriji A. Einsteina. Znanstveni svijet je bio šokiran - Dirac je otkrio svoju jednadžbu za elektron kroz čisto matematičke manipulacije s višim matematičkim objektima poznatim kao spinori. I to je bila senzacija - do sada su sva velika otkrića u fizici morala stajati na čvrstoj osnovi eksperimentalnih podataka. Ali Dirac je vjerovao da je čista matematika, ako je dovoljno lijepa, pouzdan kriterij za ispravnost zaključaka. “Ljepota jednadžbi važnija je od njihovog slaganja s eksperimentalnim podacima. ... Čini se da ste uspjeli ako nastojite pronaći ljepotu u jednadžbama i imate zdravu intuiciju pravi put". Upravo zahvaljujući njegovim proračunima otkriven je pozitron - antielektron, te je predvidio prisutnost "spina" u elektronu - rotaciju elementarne čestice.


13. J. Maxwell je dobio nevjerojatne jednadžbe koje su spojile sve fenomene elektriciteta, magnetizma i optike. Izvanredan njemački fizičar, jedan od osnivača statistička fizika, Ludwig Boltzmann, rekao je o Maxwellovim jednadžbama: "Nije li Bog napisao ova slova?"


14. Schrödingerova jednadžba. Jednadžba koja opisuje promjenu u prostoru i vremenu čistog stanja dana izrazom valna funkcija, u Hamiltonovim kvantnim sustavima. Igrajte se kvantna mehanika jednako važna kao jednadžba drugog Newtonovog zakona u klasičnoj mehanici.

Vrti mi se u glavi od mnogih matematičkih formula koje trebate znati. Trpanje i jaslice su za slabiće. No za one koji žele ojačati u matematici, dat ćemo nekoliko savjeta kako zapamtiti matematičke formule kako vam ne bi nestale iz glave prije kolokvija, ispita ili CT-a.

Shvatite formulu

Ako zapamtite samo niz varijabli, riskirate da "izgubite" cijelu formulu kada zaboravite simbol ili znak.

Koristite sve vrste memorije

Čitajte formule naglas, pišite na list nekoliko puta dok se ne sjetite. Koristite sve vrste memorije, fokusirajući se na vodeću. Vizualna i motorna memorija zajedno daju veći učinak. Naravno, potencijal za pamćenje je različit za svakoga. Tamo je posebne tehnike ta pomoć .

Evo još nekoliko savjeta o tome kako zapamtiti formule

Obavezno napravite formule vizualnima: zaokružite formulu u okviru, napišite je drugom bojom. Tako će biti lakše pronaći u sažetku i zapamtiti. Još bolje, zapišite formule u zasebnu bilježnicu, strukturirajući ih po temama. Označite u kojim je zadacima ova ili ona formula korisna, koja je njezina osobitost. Steknite naviku dodavanja na popis formula. Takav "dnevnik promatranja formule" pomoći će vam osvježiti pamćenje važna informacija prije kolokvija, ispita ili CT-a iz matematike.

Mnogi školarci rade i ovako: kada se dijele žigosani nacrti, uzmete ih i odmah zapišete na njih važne formule koji su vam teški. Pola sata prije CT-a vizualno ste zapamtili te formule, a zatim ih brzo zapisali. Ovo štedi vrijeme. Ovaj life hack posebno je dobar u trigonometriji. Što više formula znate, to bolje.

Provjerite se

Trebate se stalno vraćati na naučeno gradivo kako ga ne biste zaboravili. Isprobajte metodu "Dvije karte", pogodna je za pamćenje formula redukcije, skraćenog množenja, trigonometrijskih formula. Uzmite dvije hrpe karata različite boje, na jednoj napišite lijevu stranu formule, a na drugoj - desnu stranu. Podijelite na ovaj način sve formule koje trebate zapamtiti, a zatim pomiješajte obje hrpe. Povucite redom karticu s lijevom stranom formule i odaberite njen nastavak među “desnim” i obrnuto.

Karte su također dobre u geometriji

Da biste zapamtili geometrijske formule, nabavite si kartice o temama ("Formule površine", "Formule za trokut", "Formule za kvadrat" itd.) i u njih upišite informacije kako slijedi.

Formule možete popraviti u zasebnoj bilježnici i uvijek vam je pri ruci - kako želite

Biti pozitivan

Ako nešto učite pod pritiskom, mozak se sam želi osloboditi tereta znanja. Zamislite pamćenje formula kao dobra vježba za vježbanje pamćenja. Da, i raspoloženje se diže kad se sjetite željenu formulu za rješenja.I naravno, odlučite kako možete više testova i zadaci za pripremu za test, ispit ili CT!

CT u matematici je tipični zadaci: što više testova riješite, to je veća šansa da ćete sresti nešto slično CT-u. Nemoguće je pripremiti se za DT na jednom zadatku. Ali kada ste riješili 100 problema, onda 101 problem neće uzrokovati poteškoće.

Dmitrij Sudnik, učitelj matematike u

Ako vam je materijal bio koristan, ne zaboravite staviti "Sviđa mi se" u naše društvene mreže

Na ovoj stranici možete pogledati ili besplatno preuzeti najpopularnije matematičke formule, tablice, kao i referentni materijali o višoj matematici. Sve matematičke tablice sastavio sam osobno i opremljen dodatnim komentarima. Ovo je učinjeno kako bi se prevladale poteškoće s kojima se izvanredni studenti često susreću pri rješavanju problema. Ne pretendiram biti sveobuhvatan, ali pronaći ćete ono što je VRLO ČESTO.

Razmotrimo, na primjer, tablicu trigonometrijskih formula. Postoji mnogo trigonometrijskih formula, poznate su već dugo i nema smisla prepisivati ​​referentne knjige. A ovdje su formule koje se vrlo često koriste za rješavanje problema tečaja viša matematika, sastavljaju se i mogu biti vrlo korisni prilikom izvođenja praktičnih zadataka. Istodobno, u komentarima navodim u kojem odjeljku više matematike (granice, derivati, integrali itd.) Gotovo uvijek se pojavljuje ova ili ona formula.

Dakle, upravo sada imate besplatan pristup vrijednim referentnim materijalima, moguće je i online gledanje i preuzimanje. Najprikladnije je odmah ispisati matematičke tablice i referentne materijale koji vas zanimaju. Kao što pokazuje praksa, informacije na zaslonu monitora apsorbiraju se lošije nego na papiru i teže ih je čitati s monitora.

Gotovo sve datoteke smještene su izravno na stranicu, što znači da ih je moguće primiti što je prije moguće, ograničeno samo brzinom vaše internetske veze.

! U slučaju netočnog prikaza pdf-a, upotrijebite sljedeće preporuke

Preporučam svima da pogledaju. Ove se formule nalaze u tijeku rješavanja problema iz više matematike doslovno na svakom koraku. Bez poznavanja ovih formula - nigdje. Kako započeti studij više matematike? Od ponavljanja ovoga. Bez obzira na razinu vaše matematičke pripremljenosti ovaj trenutak, vrlo je poželjno ODMAH VIDJETI mogućnost izvođenja elementarnih radnji, primjene najjednostavnijih formula u tijeku rješavanja granica, integrala, diferencijalne jednadžbe itd.

Priručnik ima kratke informacije o modulu, formule za skraćeno množenje, algoritam rješenja kvadratna jednadžba, pravila za pojednostavljenje višekatnih frakcija, i najvažnija svojstva stupnjevi i logaritmi.

Najviše "putuje" trigonometrijske formule, koji se koriste u tijeku rješavanja problema iz više matematike. Zapravo, postoji MALO takvih formula, a skupljanje desetaka drugih iz raznih matematičkih priručnika je gubljenje vremena. Sve (ili gotovo sve) što vam može zatrebati je ovdje.

Kada se rade zadaci iz matematike, često postaje potrebno pogledati u trigonometrijske tablice. U ovom referentni materijal prikazana je tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija (sinus, kosinus, tangens i kotangens) za vrijednosti argumenata od nula do 360 stupnjeva. Imati na umu ova informacija nema smisla osim nekih vrijednosti trigonometrijskih funkcija dobro je znati. Također su predstavljene redukcijske formule za gornje trigonometrijske funkcije, ponekad(najčešće kod rješavanja granica) su potrebni. Na zahtjev posjetitelja stranice, u pdf datoteku dodana je tablica vrijednosti inverznih trigonometrijskih funkcija i dvije formule: formula za pretvaranje stupnjeva u radijane, formula za pretvaranje radijana u stupnjeve.

Metodički materijal je pregled grafikona glavnih elementarne funkcije i njihova svojstva. Bit će korisno kada proučavate gotovo sve dijelove više matematike, štoviše, referentni vodič će vam puno pomoći sve kvalitetniji i kvalitetniji razumjeti neke teme. Također možete saznati koje bi vrijednosti funkcije trebale biti znati napamet kako ne bi kod odgovora dobio "dvojku automatski". najjednostavnije pitanje ispitivač. Pomoć je u obliku web stranice i sadrži mnogo grafikona funkcija koje također vrijedi zapamtiti. Kako se projekt razvijao, priručnik je počeo igrati ulogu uvodne lekcije na temu "Funkcije i grafovi".

U praksi izvanredni studenti gotovo uvijek moraju koristiti prvo i drugo divne granice, o čemu i u pitanju u ovoj pomoći. Također se razmatraju još tri značajne granice, koje su mnogo rjeđe. Sva prekrasna ograničenja opremljena su dodatnim važni komentari. Osim toga, datoteka je dopunjena informacijama o izvanrednim ekvivalencijama.

Referenca sadrži pravila diferenciranja i tablicu derivacija osnovnih elementarnih funkcija. Tablica je opremljena vrlo važnim napomenama.

Vaš vodič za funkcije i grafikone. PDF sistematizira i ocrtava informacije o glavnim fazama proučavanja funkcije jedne varijable. Priručnik je popraćen poveznicama, što znači da štedi puno vremena. Priručnik je koristan i za čajnika i za pripremljenog čitatelja.

Općenito, gotovo isto kao u diferencijalni račun. Pravila integracije i tablica integrala s mojim komentarima.

Referentni materijal nezamjenjiv je u proučavanju redova potencija. Tablica prikazuje proširenja u potencijski nizovi sljedeće funkcije: eksponent, sinus, kosinus, logaritam, ark tangens i ark sinus. Također je navedeno binomno proširenje i najčešći posebni slučajevi binomnog proširenja. Proširenje funkcije u niz je samostalni zadatak, koristi se za približne izračune, približne izračune određenog integrala i u nekim drugim problemima.

Glavna poteškoća u rješavanju nehomogenih diferencijalnih jednadžbi drugog reda sa konstantni koeficijenti je ispravan odabir pojedinog rješenja oblikom desne strane. Ovaj priručnik prvenstveno se odnosi na lekciju Kako riješiti nehomogenu jednadžbu drugog reda? i pomoći će vam da lakše razumijete odabir određenog rješenja. Pomoć ne pretendira na temeljitu znanstvenu cjelovitost, napisana je jednostavnim i razumljivim jezikom, ali u 99,99% slučajeva sadržavat će upravo onaj slučaj koji tražite.

Pomoć je neizostavna u tijeku odluke primijenjenih zadataka složena analiza – pronalaženje partikularnog rješenja DE operacijskom metodom i pronalaženje određenog rješenja za DE sustav na isti način. Tablica se razlikuje od analoga po tome što je "izoštrena" posebno za gore navedene zadatke, ovu značajku olakšava svladavanje algoritama rješenja. I izravni i inverzna transformacija Laplace za najčešće funkcije. U slučaju da informacije nisu dovoljne, preporučujem da pogledate solidnu matematičku knjigu - Puna verzija sadrži više od stotinu predmeta.

Referentni materijal sadrži formule za faktorijel, broj permutacija, kombinacije, položaje (sa i bez ponavljanja), kao i smislene komentare na svaku formulu, omogućujući vam da razumijete njihovu bit. + Pravila za kombinacije zbrajanja i množenja. Osim toga, pdf sadrži kratke informacije o Newtonovom binomu i Pascalovom trokutu s primjerima njihove praktične uporabe.

Datoteka sadrži popis formula s kratkim komentarima na oba poglavlja tervera - slučajni događaji i slučajne varijable, uključujući formule i numeričke karakteristike rašireno diskretno i kontinuirane distribucije. Pomoć sistematizira gradivo i vrlo je prikladna za izvođenje praktičnih zadataka, svratite i odmah pronađite što vam treba!

Posebni programi za izračun:

NA ovaj odjeljak možete pronaći programe pomoći za rješavanje šire i uže lokalne problematike matematički problemi. Oni će vam pomoći da brzo dovršite izračune i donesete odluku.

Univerzalni kalkulator implementiran u MS Excel radnu knjigu koja sadrži tri lista. Program može zamijeniti obični kalkulator s mnogo funkcija. Bilo koji potencije, korijeni, logaritmi, trigonometrijske funkcije, lukovi - nema problema! Osim toga, kalkulator automatski izvodi osnovne operacije s matricama, broji determinante (do determinante 5 do 5 uključivo), trenutno pronalazi minore i algebarski dodaci matrice. U nekoliko sekundi možete riješiti sustav linearnih jednadžbi pomoću inverzne matrice i pomoću Cramerovih formula, pogledajte glavne faze rješenja. Sve je to vrlo zgodno za samoprovjeru. Samo unesite svoje brojeve i dobit ćete rezultat!

Ovaj poluautomatski program vezano za nastavu Trapezna formula, Simpsonova formula i pomaže u izračunavanju približne vrijednosti određenog integrala na 2, 4, 8, 10 i 20 segmenata particije. U prilogu je video tutorijal za rad s kalkulatorom. Izračunajte svoje određeni integral u roku od nekoliko minuta ili čak sekundi!

Za sada je to sve.

Odjeljak se postupno nadopunjuje dodatni materijali i korisnih programa. Svaki referentni priručnik više puta je uređivan i poboljšan, uključujući uzimanje u obzir vaših želja i komentara! Ako mislite da je nešto bitno propušteno, da ste pronašli netočnosti ili možda nešto nije dovoljno jasno objašnjeno, svakako napišite!

S poštovanjem, Emelin Alexander

Obrazovanje je ono što ostaje nakon što se zaboravi sve što se učilo u školi.

Igor Khmelinsky, znanstvenik iz Novosibirska, koji sada radi u Portugalu, dokazuje da je bez izravnog pamćenja tekstova i formula teško razviti apstraktno pamćenje kod djece. Evo izvadaka iz njegova člankaLekcije obrazovne reforme u Europi i zemljama bivšeg SSSR-a"

Učenje napamet i dugoročno pamćenje

Nepoznavanje tablice množenja ima ozbiljnije posljedice od nemogućnosti otkrivanja pogrešaka u izračunima na kalkulatoru. Naše dugoročno pamćenje funkcionira na principu asocijativne baze podataka, odnosno pojedini elementi informacija, kada se zapamte, povezuju se s drugima na temelju asocijacija uspostavljenih u trenutku upoznavanja s njima. Stoga, kako bi se formirala baza znanja u bilo kojem predmetno područje, npr. u aritmetici prvo treba barem nešto naučiti napamet. Nadalje, novopristigle informacije će doći iz kratkotrajno pamćenje u dugotrajnu, ako se u kratkom vremenskom razdoblju (nekoliko dana) susrećemo s njom više puta, i to po mogućnosti u različitim okolnostima (što pridonosi stvaranju korisnih asocijacija). Međutim, u nedostatku znanja iz aritmetike u trajnoj memoriji, novopristigli elementi informacija povezuju se s elementima koji nemaju nikakve veze s aritmetikom - na primjer, osobnost učitelja, vrijeme na ulici itd. Očito, takvo pamćenje neće donijeti nikakvu stvarnu korist učeniku - budući da asocijacije vode daleko od ovog predmetnog područja, učenik se neće moći sjetiti nikakvog znanja vezanog uz aritmetiku, osim nejasnih ideja koje mu se čini da nešto o tome treba Čuo sam. Za takve učenike ulogu nedostajućih asocijacija obično imaju drugačija vrsta savjeti - kopirajte od kolega, koristite sugestivna pitanja u samoj kontroli, formule s popisa formula koje je dopušteno koristiti i sl. NA stvaran život, bez poticaja, takva osoba ispada potpuno bespomoćna i nesposobna primijeniti znanje koje je u njegovoj glavi.

Formiranje matematički aparat, u kojem se formule ne pamte, sporiji je nego inače. Zašto? Prvo, nova svojstva, teoremi, odnosi između matematičkih objekata gotovo uvijek koriste neke značajke prethodno proučavanih formula i koncepata. Bit će teže usredotočiti učenikovu pozornost na novo gradivo ako se te značajke ne mogu vratiti iz sjećanja u kratkom vremenskom razdoblju. Drugo, nepoznavanje formula napamet ometa potragu za rješenjima smislenih problema s velika količina male operacije, u kojima je potrebno ne samo izvršiti određene transformacije, već i identificirati redoslijed tih poteza, analizirajući primjenu nekoliko formula dva ili tri koraka unaprijed.

Praksa pokazuje da intelektualni i matematički razvoj djeteta, formiranje njegove baze znanja i vještina, događa se mnogo brže ako većina informacije koje se koriste (svojstva i formule) su u glavi. I što se jače i dulje tamo drži, to bolje.