Старт у науці. Способи розв'язання рівнянь

Рівняння, що є квадратний тричлен, Зазвичай називається квадратним рівнянням. З погляду алгебри воно описується формулою a * x ^ 2 + b * x + c = 0. У цій формулі х - це невідоме, яке потрібно знайти (його називають вільною змінною); a, b та c - числові коефіцієнти. Щодо компонентів зазначеної існує ряд обмежень: так, коефіцієнт а не повинен дорівнювати 0.

Рішення рівняння: поняття дискримінанта

Значення невідомого х, у якому квадратне рівняння перетвориться на правильну рівність, називають коренем такого рівняння. Для того щоб вирішити квадратне рівняння, необхідно спочатку знайти значення спеціального коефіцієнта - дискримінанта, який покаже кількість коренів у рівності, що розглядається. Дискримінант обчислюється за такою формулою D=b^2-4ac. У цьому результат обчислення може бути позитивним, негативним чи рівним нулю.

У цьому слід пам'ятати, що поняття вимагає, щоб лише коефіцієнт а був суворо відмінним від 0. Отже, коефіцієнт b може дорівнювати 0, саме рівняння у разі вид a*x^2+c=0. У такій ситуації слід використовувати значення коефіцієнта, що дорівнює 0, та у формулах розрахунку дискримінанта та коренів. Так, дискримінант у разі буде розраховуватися як D=-4ac.

Рішення рівняння за позитивного дискримінанта

У випадку, якщо дискримінант квадратного рівняння виявився позитивним, з цього можна зробити висновок, що ця рівність має два корені. Зазначене коріння можна обчислити за такою формулою: x=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(-b±√D)/2a. Таким чином, для розрахунку значення коренів квадратного рівняння при позитивне значеннядискримінанта використовуються відомі значеннякоефіцієнтів, наявних у . Завдяки використанню суми та різниці у формулі розрахунку коренів результатом обчислень будуть два значення, що обертають розглянуту рівність у правильну.

Рішення рівняння при нульовому та негативному дискримінанті

У випадку, якщо дискримінант квадратного рівняння дорівнював 0, можна зробити висновок про те, що вказане рівняннямає один корінь. Строго кажучи, у цій ситуації коріння у рівняння, як і раніше, два, проте внаслідок нульового дискримінанта вони будуть рівні між собою. І тут x=-b/2a. Якщо ж у процесі обчислень значення дискримінанта виявляється негативним, слід дійти невтішного висновку у тому, що аналізоване квадратне рівняння немає коренів, тобто таких значень x, у яких воно звертається у правильне рівність.

Рівняння - це математичне вираз, що є рівністю, що містить невідоме. Якщо рівність справедлива для будь-яких допустимих значень невідомих, що входять до нього, то вона називається тотожністю; наприклад: співвідношення виду (x - 1) 2 = (x - 1) (x - 1) виконується при всіх значеннях x.

Якщо рівняння, що містить невідоме x, виконується лише за певних, а чи не за всіх значеннях x, як і тотожності, може бути корисним визначити ті значення x, у яких це рівняння справедливо. Такі значення x називаються корінням або розв'язками рівняння. Наприклад, число 5 є коренем рівняння 2x + 7 = 17.

У розділі математики, який називається теорією рівнянь, основним предметом вивчення є методи розв'язування рівнянь. У шкільному курсіалгебри рівнянням приділяється велика увага.

Історія вивчення рівнянь налічує багато століть. Найвідомішими математиками, які зробили внесок у розвиток теорії рівнянь, були:

Архімед (близько 287–212 до н. е.) – давньогрецький вчений, математик та механік. При дослідженні одного завдання, що зводиться до кубічного рівняння, Архімед з'ясував роль характеристики, яка отримала назву дискримінанта.

Франсуа Вієт жив у XVI ст. Він зробив великий внесок у вивчення різних проблемматематики. Зокрема, він ввів буквені позначення коефіцієнтів рівняння та встановив зв'язок між корінням квадратного рівняння.

Леонард Ейлер (1707 - 1783) - математик, механік, фізик та астроном. Автор св. 800 робіт з математичного аналізу, диференціальних рівнянь, геометрії, теорії чисел, наближених обчислень, небесної механіки, математики, оптики, балістики, кораблебудування, теорії музики, і т. д. Вплинув на розвиток науки. Вивів формули (Формули Ейлера), що виражають тригонометричні функціїзмінного х через показову функцію.

Лагранж Жозеф Луї (1736 – 1813 рр.), французький математикта механік. Йому належать видатні дослідження, серед них дослідження з алгебри (симетричної функції коренів рівняння, диференціальних рівнянь (теорія особливих рішень, метод варіації постійних)

Ж. Лагранж та А. Вандермонд – французькі математики. У 1771 р. вперше застосували спосіб розв'язання систем рівнянь (спосіб підстановки).

Гаус Карл Фрідріх (1777 -1855 рр.) - німецький математик. Написав книгу, в якій викладається теорія рівнянь поділу кола (тобто рівнянь xn – 1 = 0), яка багато в чому була прообразом теорії Галуа. Крім загальних методіввирішення цих рівнянь, встановив зв'язок між ними та побудовою правильних багатокутників. Він, вперше після давньогрецьких вчених, зробив значний крок вперед у цьому питанні, а саме: знайшов усі ті значення n, для яких правильний n-кутникможна побудувати циркулем та лінійкою. Вивчав спосіб складання. Зробив висновок, що системи рівнянь можна між собою складати, ділити і множити.

О. І. Сомов – збагатив різні частини математики важливими та численними працями, серед них теорія певних алгебраїчних рівнянь вищих ступенів.

Галуа Еварист (1811-1832 рр.), - французький математик. Основною його заслугою є формулювання комплексу ідей, до яких він прийшов у зв'язку з продовженням досліджень про розв'язання рівнянь алгебри, започаткованих Ж. Лагранжем, Н. Абелем та ін, створив теорію рівнянь алгебри вищих ступенів з одним невідомим.

А. В. Погорєлов (1919 – 1981 рр.) - У його творчості пов'язані геометричні методи аналітичними методамитеорії диференціальних рівнянь із приватними похідними. Його праці вплинули також на теорію нелінійних диференціальних рівнянь.

П. Руффіні – італійський математик. Присвятив низку робіт, доказу нерозв'язності рівняння 5-го ступеня, систематично використовує замкнутість безлічі підстановок.

Незважаючи на те, що вчені давно вивчають рівняння, науці не відомо, як і коли у людей виникла потреба використовувати рівняння. Відомо лише, що завдання, що призводять до вирішення найпростіших рівнянь, люди вирішували відколи стали людьми. Ще 3 – 4 тисячі років до н. е. єгиптяни та вавилоняни вміли вирішувати рівняння. Правило розв'язання цих рівнянь збігається з сучасним, але невідомо, як вони до цього дійшли.

У Стародавньому Єгиптіта Вавилоні використовувався метод хибного становища. Рівняння першого ступеня з одним невідомим можна завжди привести до виду ах + Ь = с, у якому а, Ь, з цілі числа. За правилами арифметичних дійах = с - b,

Якщо Ь > с, то з b число негативне. Негативні числабули єгиптянам і багатьом іншим пізнішим народам невідомі (рівноправно з позитивними числамиїх почали вживати в математиці лише у сімнадцятому столітті). Для вирішення завдань, які ми тепер вирішуємо рівняннями першого ступеня, було винайдено метод хибного становища. У папірусі Ахмеса 15 завдань вирішується цим методом. Єгиптяни мали особливий знак для позначення невідомої кількості, яку до недавнього минулого читали «хау» та перекладали словом «купа» («купа» або «невідома кількість» одиниць). Тепер читають трохи менш неточно: ага. Спосіб рішення, застосований Ахмесом, називається методом одного хибного становища. З допомогою цього вирішуються рівняння виду ах = b. Цей спосіб полягає в тому, що кожну частину рівняння поділяють на а. Його застосовували як єгиптяни, і вавілоняни. У різних народівзастосовувався метод двох хибних положень. Арабами цей метод було механізовано та отримано ту форму, в якій він перейшов до підручників європейських народів, у тому числі до «Арифметики» Магницького. Магніцький називає спосіб розв'язання «фальшивим правилом» і пише у частині своєї книги, що викладає цей метод:

Бо хитра є ця частина, Як можеш нею все класти. Не тільки що у громадянстві, Але й вищих наук у просторі, які вважаються у сфері неба, Як мудрим є потреба.

Зміст віршів Магницького можна коротко передати так: ця частина арифметики дуже хитра. За допомогою її можна вирахувати не тільки те, що знадобиться в житейській практиці, але вона вирішує і питання «вищі», які постають перед мудрими. Магніцький користується «фальшивим правилом» у формі, яку йому надали араби, називаючи його «арифметикою двох помилок» чи «методою терезів». Індійські математики часто давали завдання у віршах. Завдання про лотос:

Над озером тихим, з півмери над водою, Було видно лотоса колір. Він зростав самотньо, і вітер хвилею Нагнув його убік, і вже ні

Квітки над водою. Знайшов його око рибалки У двох заходах від місця, де ріс. Скільки озера тут вода глибока? Тобі запропоную я запитання.

Види рівнянь

Лінійні рівняння

Лінійні рівняння – це рівняння виду: ах + b = 0, де a та b – деякі постійні. Якщо а не рівне нулю, то рівняння має один єдиний корінь: х = - b: а (ах + b; ах = - b; х = - b: а.).

Наприклад: вирішити лінійне рівняння: 4х + 12 = 0.

Рішення: Т. до а = 4, а b = 12, то х = - 12: 4; х = - 3.

Перевірка: 4 (-3) + 12 = 0; 0 = 0.

Т. до 0 = 0, то -3 є коренем вихідного рівняння.

Відповідь. х = -3

Якщо а дорівнює нулю і b дорівнює нулю, то коренем рівняння ах + b = 0 є будь-яке число.

Наприклад:

0 = 0. Т. до 0 дорівнює 0, то коренем рівняння 0х + 0 = 0 є будь-яке число.

Якщо а дорівнює нулю, а b не дорівнює нулю, то рівняння ах + b = 0 немає коріння.

Наприклад:

0 = 6. Т. до 0 не дорівнює 6, то 0х - 6 = 0 не має коріння.

Системи лінійних рівнянь.

Система лінійних рівнянь – це система, всі рівняння якої є лінійними.

Вирішити систему - значить знайти всі її рішення.

Перш ніж розв'язувати систему лінійних рівнянь, можна визначити кількість її розв'язків.

Нехай дана система рівнянь: (а1х + b1y = с1, (а2х + b2y = c2).

Якщо а1 поділений на а2 не дорівнює b1 поділений на b2, система має одне єдине рішення.

Якщо а1 поділений на а2 дорівнює b1 поділений на b2, але одно с1 поділений на с2, то система не має рішень.

Якщо а1 поділене на а2 одно b1 поділене на b2, і одно с1 поділене на с2, то система має безліч рішень.

Система рівнянь, що має принаймні одне рішення, називається спільною.

Спільна система називається певною, якщо вона має кінцеве числорішень, і невизначеною, якщо безліч її рішень нескінченна.

Система, яка має жодного рішення, називається несовместной чи суперечливою.

Способи розв'язання лінійних рівнянь

Усього є кілька способів розв'язання лінійних рівнянь:

1) Метод підбору. Це самий найпростіший спосіб. Він полягає в тому, що підбирають усі допустимі значенняневідомого шляхом перерахування.

Наприклад:

Вирішити рівняння.

Нехай х = 1.

4 = 6. Т. до 4 не дорівнює 6, то наше припущення, що х = 1 було неправильним.

Нехай x = 2.

6 = 6. Т. до 6 дорівнює 6, то наше припущення, що х = 2 було вірним.

Відповідь: х = 2.

2) Спосіб спрощення

Цей спосіб полягає в тому, що всі члени містять невідоме переносимо в ліву частину, а відомі в праву протилежним знаком, Наводимо подібні, і ділимо обидві частини рівняння на коефіцієнт при невідомому.

Наприклад:

Вирішити рівняння.

5х - 4 = 11 + 2х;

5х - 2х = 11 + 4;

3х = 15; : (3) х = 5.

Відповідь. х = 5.

3) Графічний метод.

Він полягає в тому, що будується графік функцій даного рівняння. Т. до лінійного рівняння у = 0, то графік буде паралельний осі ординат. Крапка перетину графіка з віссю абсцис буде рішенням цього рівняння.

Наприклад:

Вирішити рівняння.

Нехай у = 7. Тоді у = 2х + 3.

Побудуємо графік функцій обох рівнянь:

Способи розв'язання систем лінійних рівнянь

У сьомому класі вивчають три способи розв'язання систем рівнянь:

1) Спосіб підстановки.

Цей спосіб полягає в тому, що в одному із рівнянь виражають одне невідоме через інше. Отримане вираз підставлять на інше рівняння, яке після цього звертається до рівняння з одним невідомим, потім вирішують його. Значення цього невідомого підставляють в будь-яке рівняння вихідної системи і знаходять значення другого невідомого.

Наприклад.

Розв'язати систему рівнянь.

5х – 2у – 2 = 1.

3х + у = 4; у = 4 – 3х.

Підставимо отриманий вираз в інше рівняння:

5х - 2 (4 - 3х) -2 = 1;

5х - 8 + 6х = 1 + 2;

11х = 11; : (11) х = 1.

Підставимо отримане значення рівняння 3х + у = 4.

3 · 1 + у = 4;

3 + у = 4; у = 4 - 3; у = 1.

Перевірка.

/ 3 · 1 + 1 = 4,

5 · 1 - 2 · 1 - 2 = 1;

Відповідь: х = 1; у = 1.

2) Спосіб складання.

Цей спосіб полягає в тому, що якщо дана системаскладається з рівнянь, які при почленном додаванні утворюють рівняння з одним невідомим, то вирішивши це рівняння, ми отримаємо значення одного з невідомих. Значення цього невідомого підставляють в будь-яке рівняння вихідної системи і знаходять значення другого невідомого.

Наприклад:

Розв'язати систему рівнянь.

/3у - 2х = 5,

5х - 3у = 4.

Вирішимо отримане рівняння.

3х = 9; : (3) х = 3.

Підставимо отримане значення рівняння 3у – 2х = 5.

3у - 2 · 3 = 5;

3у = 11; : (3) у = 11/3; у = 3 2/3.

Отже, х = 3; у = 3 2/3.

Перевірка.

/3 · 11/3 - 2 · 3 = 5,

5 · 3 - 3 · 11 / 3 = 4;

Відповідь. х = 3; у = 3 2/3

3) Графічний метод.

Цей спосіб ґрунтується на тому, що в одній системі координат будуються графіки рівнянь. Якщо графіки рівняння перетинаються, то координати точки перетину є рішенням системи. Якщо графіки рівняння є паралельними прямими, то система не має рішень. Якщо графіки рівнянь зіллються в одну пряму, то система має безліч рішень.

Наприклад.

Розв'язати систему рівнянь.

18х + 3у – 1 = 8.

2х - у = 5; 18х + 3y – 1 = 8;

У = 5 – 2х; 3у = 9 - 18х; : (3) у = 2х - 5. у = 3 - 6х.

Побудуємо графіки функцій у = 2х – 5 і у = 3 – 6х на одній системі координат.

Графіки функцій у = 2х - 5 і у = 3 - 6х перетинаються у точці А (1; -3).

Отже розв'язком цієї системи рівнянь буде х = 1 і у = -3.

Перевірка.

2 · 1 - (- 3) = 5,

18 · 1 + 3 · (-3) - 1 = 8.

18 - 9 – 1 = 8;

Відповідь. х = 1; у = -3.

Висновок

На підставі всього вище викладеного можна зробити висновок, що рівняння необхідні сучасному світіне тільки для вирішення практичних завдань, а й як науковий інструмент. Тому так багато вчених вивчали це питання та продовжують вивчати.

Міністерство спільного та професійної освітиРФ

Муніципальна освітня установа

Гімназія №12

твір

на тему: Рівняння та способи їх вирішення

Виконав: учень 10 "А" класу

Крутько Євген

Перевірила: вчитель математики Ісхакова Гульсум Акрамівна

Тюмень 2001

План................................................. .................................................. ................................ 1

Вступ................................................. .................................................. ........................ 2

Основна частина................................................ .................................................. ............... 3

Висновок................................................. .................................................. .................. 25

Додаток................................................. .................................................. ................ 26

Список використаної литературы............................................... ........................... 29

План.

Вступ.

Історична довідка.

Рівняння. Алгебраїчні рівняння.

а) Основні визначення.

б) Лінійне рівняння та спосіб його вирішення.

в) Квадратні рівняння та способи його вирішення.

г) Двукові рівняння спосіб їх розв'язання.

д) Кубічні рівняннята способи його вирішення.

е) Біквадратичне рівняннята спосіб його вирішення.

е) Рівняння четвертого ступеня та способи його вирішення.

ж) Рівняння високих ступенів та способи вирішення.

з) Раціональне алгебраїчне рівняння та спосіб його

і) Ірраціональні рівняннята способи його вирішення.

к) Рівняння, які містять невідоме під знаком.

абсолютної величини та спосіб його вирішення.

Трансцендентні рівняння.

а) Показові рівняннята спосіб їх вирішення.

б) Логарифмічні рівняннята спосіб їх вирішення.

Вступ

Математичне освіту, отримуване в загальноосвітній школі, є найважливішим компонентом загальної освітиі загальної культури сучасної людини. Практично все, що оточує сучасну людину – це все так чи інакше пов'язане з математикою. А останні досягненняу фізиці, техніці та інформаційних технологійне залишають жодного сумніву, що й у майбутньому стан речей залишиться тим самим. Тому вирішення багатьох практичних завдань зводиться до вирішення різних видіврівнянь, які потрібно навчитися вирішувати.

Ця робота є спробою узагальнити та систематизувати вивчений матеріал з вище зазначеної теми. Я розташував матеріал за ступенем його складності, починаючи з найпростішого. До нього увійшли як відомі нам види рівнянь зі шкільного курсу алгебри, так і додатковий матеріал. При цьому я спробував показати види рівнянь, які не вивчаються у шкільному курсі, але знання яких може знадобитися під час вступу до вищого рівня. навчальний заклад. У своїй роботі при розв'язанні рівнянь я не став обмежуватися тільки дійсним рішенням, але й вказав комплексне, тому що вважаю, що інакше рівняння просто не вирішене. Адже якщо в рівнянні немає дійсних коренів, то це ще не означає, що воно не має рішень. На жаль, через брак часу я не зміг викласти весь наявний у мене матеріал, але навіть за тим матеріалом, який тут викладено, може виникнути багато питань. Я сподіваюся, що моїх знань вистачить, щоб дати відповідь на більшість питань. Отже, я приступаю до викладу матеріалу.

Математика... виявляє порядок,

симетрію та визначеність,

а це - найважливіші видичудового.

Арістотель.

Історична довідка

У ті далекі часи, коли мудреці вперше почали замислюватися про рівність, що містять невідомі величини, напевно, ще не було ні монет, ні гаманців. Зате були купи, а також горщики, кошики, які чудово підходили на роль схованок-сховищ, що вміщають невідому кількість предметів. "Шукається купа, яка разом із двома третинами її, половиною та однією сьомою становить 37...", - повчав у II тисячолітті до нової ериєгипетський писар Ахмес. У стародавніх математичних завданняхМежиріччя, Індії, Китаю, Греції невідомі величини виражали кількість павичів у саду, кількість бугаїв у стаді, сукупність речей, що враховуються при розподілі майна. Добре навчені науці рахунки переписувачі, чиновники та посвячені в таємні знання жерці досить успішно справлялися з такими завданнями.

Джерела, що дійшли до нас, свідчать, що древні вчені володіли якимись загальними прийомами вирішення завдань з невідомими величинами. Однак в жодному папірусі, в жодній глиняній табличці не дано опису цих прийомів. Автори лише зрідка постачали свої числові викладки скупими коментарями типу: "Дивись!", "Роби так!", "Ти правильно знайшов". У цьому сенсі винятком є ​​"Арифметика" грецького математика Діофанта Олександрійського (III ст.) - Збір завдань на складання рівнянь із систематичним викладом їх рішень.

Однак першим керівництвом з вирішення завдань, що набуло широкої популярності, стала праця багдадського вченого IX ст. Мухаммеда бен Муси аль-Хорезмі. Слово "аль-джебр" з арабської назви цього трактату - "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга про відновлення і протиставлення") - згодом перетворилося на добре знайоме всім слово "алгебра", а сам твір аль-Хорезмі послужив відправною точкою у становленні науки про розв'язання рівнянь.

рівняння. Алгебраїчні рівняння

Основні визначення

У алгебрі розглядаються два види рівностей – тотожності та рівняння.

Тотожність– це рівність, яка виконується за всіх (допустимих) значеннях букв , що входять до нього. Для запису тотожності поряд зі знаком

також використовується знак.

Рівняння– це рівність, яка виконується лише за деяких значеннях літер, що входять до нього. Літери, що входять до рівняння, за умовою завдання можуть бути нерівноправними: одні можуть набувати всіх своїх допустимих значень (їх називають параметрамиабо коефіцієнтамирівняння і зазвичай позначають першими літерами латинського алфавіту:

, , ... – або тими самими літерами, з індексами: , , ... або , , ...); інші, значення яких потрібно знайти, називають невідомими(їх зазвичай позначають останніми літерами латинського алфавіту: , , , ... - або тими ж літерами, з індексами: , , ... або , , ...).

У загальному вигляді рівняння може бути записано так:

(, , ..., ).

Залежно від числа невідомих рівняння називають рівнянням з одним, двома і т. д. невідомими.

Як правило, рівняннявиникають у завданнях, у яких потрібно знайти певну величину. Рівняння дозволяє сформулювати завдання мовою алгебри. Розв'язавши рівняння, ми отримаємо значення потрібної величини, яка називається невідомою. «У Андрія у гаманці кілька рублів. Якщо помножити це число на 2, а потім відняти 5, вийде 10. Скільки грошей у Андрія? Позначимо невідому суму за х і запишемо рівняння: 2х-5=10.

Щоб говорити про способи розв'язання рівнянь, спочатку потрібно визначити основні поняття та познайомитися із загальноприйнятими позначеннями. Для різних типіврівнянь існують різні алгоритми їх розв'язання. Найпростіше вирішуються рівняння першого ступеня з одним невідомим. Багатьом зі школи знайома формула для вирішення квадратних рівнянь. Прийоми вищої математикидопоможуть вирішити рівняння більше високого порядку. Безліч чисел, у яких визначено рівняння, тісно пов'язані з його рішеннями. Також цікавий взаємозв'язок між рівняннями та графіками функцій, оскільки подання рівнянь у графічному виглядічудово допомагає в них.

Опис. Рівняння - це математична рівність з однією або декількома невідомими величинами, наприклад, 2х+3у=0.

Вирази з обох боків знака рівності називаються лівою та правою частинами рівняння. Літерами латинського алфавіту позначаються невідомі. Хоча кількість невідомих може бути будь-яким, далі ми розповімо тільки про рівняння з однією невідомою, яку позначатимемо за х.

Ступінь рівняння- це максимальний ступінь, в який зводиться невідомий. Наприклад,
$3x^4+6x-1=0$ - рівняння четвертого ступеня, $x-4x^2+6x=8$ - рівняння другого ступеня.

Числа, на які множиться невідома, називаються коефіцієнтами. У попередньому прикладі невідома четвертою мірою має коефіцієнт 3. Якщо при заміні х на це число виконується задана рівність, то кажуть, що це число задовольняє рівняння. Воно називається рішенням рівняння, або його коріння. Наприклад, 3 є коренем, або розв'язком рівняння 2х+8=14, так як 2*3+8=6+8=14.

Розв'язання рівнянь. Припустимо, що хочемо вирішити рівняння 2х+5=11.

Можна підставити в нього значення х, наприклад х=2. Замінимо х на 2 та отримаємо: 2*2+5=4+5=9.

Тут щось не так, тому що в правій частині рівняння ми мали отримати 11. Спробуємо х=3: 2*3+5=6+5=11.

Відповідь вірна. Виходить, що якщо невідома набуває значення 3, то рівність виконується. Отже, показали, що число 3 є рішенням рівняння.

Спосіб, який ми використовували для вирішення цього рівняння, називається методом підбору. Очевидно, що він незручний у використанні. Більше того, його навіть не можна назвати методом. Щоб переконатися в цьому, достатньо спробувати застосувати його до рівняння виду $x^4-5x^2+16=2365$.

Методи вирішення. При існують так звані «правила гри», з якими буде корисно ознайомитись. Наша мета – визначити значення невідомої, яка задовольняє рівняння. Тому потрібно у будь-який спосіб виділити невідому. Для цього необхідно перенести члени рівняння з однієї частини до іншої. Перше правило вирішення рівнянь таке…

1. При перенесенні члена рівняння з однієї частини до іншої його знак змінюється на протилежний: плюс змінюється мінус і навпаки. Розглянемо як приклад рівняння 2х+5=11. Перенесемо 5 із лівої частини у праву: 2х=11-5. Рівняння набуде вигляду 2х=6.

Перейдемо до другого правила.
2. Обидві частини рівняння можна множити і ділити на число, що не дорівнює нулю. Застосуємо це правило до нашого рівняння: $x=\frac62=3$. У лівій частині рівності залишилася лише невідома х, отже ми знайшли її значення і вирішили рівняння.

Ми щойно розглянули найпростіше завдання - лінійне рівняння з однією невідомою. Рівняння цього завжди мають рішення, більше, їх можна вирішити з допомогою найпростіших операцій: складання, віднімання, множення і ділення. На жаль, не всі рівняння настільки ж прості. Більше того, ступінь їхньої складності зростає дуже швидко. Наприклад, рівняння другого ступеня легко вирішить будь-який учень середньої школи, але способи розв'язання систем лінійних рівнянь чи рівнянь вищих ступенів вивчаються лише у старших класах.

І т.п., логічно познайомитися з рівняннями та іншими видами. Наступними по черзі йдуть лінійні рівняння, цілеспрямоване вивчення яких починається під час уроків алгебри у 7 класі.

Зрозуміло, спочатку треба пояснити, що таке лінійне рівняння, дати визначення лінійного рівняння, його коефіцієнтів, показати його загальний вигляд. Далі можна розбиратися, скільки розв'язків має лінійне рівняння в залежності від значень коефіцієнтів, і як знаходиться коріння. Це дозволить перейти до вирішення прикладів і тим самим закріпити вивчену теорію. У цій статті ми це зробимо: детально зупинимося на всіх теоретичних та практичних моментах, що стосуються лінійних рівнянь та їх вирішення.

Відразу скажемо, що тут ми розглядатимемо лише лінійні рівняння з однією змінною, а вже в окремій статті вивчатимемо принципи розв'язання лінійних рівнянь із двома змінними.

Навігація на сторінці.

Що таке лінійне рівняння?

Визначення лінійного рівняння дається у вигляді його записи. Причому різних підручниках математики і алгебри формулювання визначень лінійних рівнянь мають деякі відмінності, які впливають суть питання.

Наприклад, у підручнику алгебри для 7 класу Ю. Н. Макарічева та ін. Лінійне рівняння визначається наступним чином:

Визначення.

Рівняння виду a x = bде x – змінна, a і b – деякі числа, називається лінійним рівнянням з однією змінною.

Наведемо приклади лінійних рівнянь, які відповідають озвученому визначенню. Наприклад, 5 x = 10 - це лінійне рівняння з однією змінною x тут коефіцієнт a дорівнює 5 а число b є 10 . Інший приклад: −2,3·y=0 – це також лінійне рівняння, але із змінною y , у якому a=−2,3 та b=0 . А в лінійних рівняннях x=−2 та −x=3,33 a не присутні у явному вигляді та дорівнюють 1 та −1 відповідно, при цьому у першому рівнянні b=−2 , а у другому - b=3,33 .

А роком раніше в підручнику математики Віленкіна Н. Я. лінійними рівняннями з одним невідомим крім рівнянь виду a x = b вважали і рівняння, які можна привести до такого виду за допомогою перенесення доданків з однієї частини рівняння в іншу з протилежним знаком, а також за допомогою приведення подібних доданків. Відповідно до цього визначення, рівняння виду 5 x = 2 x 6 і т.п. також лінійні.

У свою чергу у підручнику алгебри для 7 класів А. Г. Мордковича дається таке визначення:

Визначення.

Лінійне рівняння з однією змінною x- Це рівняння виду a x + b = 0, де a і b - деякі числа, звані коефіцієнтами лінійного рівняння.

Наприклад, лінійними рівняннями такого виду є 2·x−12=0 , тут коефіцієнт a дорівнює 2 , а b – дорівнює −12 і 0,2·y+4,6=0 з коефіцієнтами a=0,2 і b =4,6. Але в той же час там наводяться приклади лінійних рівнянь, що мають вигляд не x + b = 0, а x = b, наприклад, 3 x = 12 .

Давайте, щоб у нас надалі не було різночитань, під лінійним рівняннями з однією змінною x і коефіцієнтами a і b розумітимемо рівняння виду a x + b = 0 . Такий вид лінійного рівняння є найбільш виправданим, оскільки лінійні рівняння – це алгебраїчні рівняння першого ступеня. А всі інші вказані вище рівняння, а також рівняння, які за допомогою рівносильних перетвореньнаводяться до вигляду a x + b = 0, будемо називати рівняннями, що зводяться до лінійних рівнянь. При такому підході рівняння 2 · x + 6 = 0 - це лінійне рівняння, а 2 · x = -6 , 4 +25 · y = 6 + 24 · y, 4 · (x +5) = 12 і т.п. - Це рівняння, що зводяться до лінійних.

Як розв'язувати лінійні рівняння?

Тепер настав час розібратися, як вирішуються лінійні рівняння a x + b = 0 . Іншими словами, час дізнатися, чи має лінійне рівняння коріння, і якщо має, то скільки їх і як їх знайти.

Наявність коренів лінійного рівняння залежить від значень коефіцієнтів a і b. При цьому лінійне рівняння a x + b = 0 має

• єдиний корінь при a≠0 ,
• не має коріння при a=0 і b≠0 ,
• має нескінченно багато коренів при a = 0 і b = 0, у цьому випадку будь-яке число є коренем лінійного рівняння.

Пояснимо, як було отримано ці результати.

Ми знаємо, що для вирішення рівнянь можна переходити від вихідного рівняння до рівносильних рівнянь , тобто до рівнянь з тими ж корінням або також як і вихідне, що не має коріння. Для цього можна використовувати такі рівносильні перетворення:

• перенесення доданку з однієї частини рівняння до іншої з протилежним знаком,
• а також множення або розподіл обидві частин рівняння на те саме відмінне від нуля число.

Отже, у лінійному рівнянні з однією змінної виду a·x+b=0 ми можемо перенести доданок b з лівої частини праву частинуіз протилежним знаком. При цьому рівняння набуде вигляду a x = − b .

А далі напрошується поділ обох частин рівняння на число a. Але є одне але: число a може дорівнювати нулю, в цьому випадку такий поділ неможливий. Щоб впоратися з цією проблемою, спочатку вважатимемо, що число a відмінне від нуля, а випадок рівного нулю a розглянемо окремо трохи пізніше.

Отже, коли a не дорівнює нулю, ми можемо обидві частини рівняння a·x=−b розділити на a , після цього воно перетворюється на вигляд x=(−b):a , цей результат можна записати з використанням дробової риси як .

Таким чином, при a≠0 лінійне рівняння a x + b = 0 рівносильне рівнянню , звідки видно його корінь .

Нескладно показати, що це коріння єдине, тобто, лінійне рівняння не має іншого коріння. Це дозволяє зробити метод протилежного.

Позначимо корінь як х 1 . Припустимо, існує ще один корінь лінійного рівняння, який позначимо x 2 , причому x 2 ≠x 1 , що в силу визначення рівних чиселчерез різницюеквівалентно умові x 1 −x 2 ≠0. Оскільки x 1 і x 2 коріння лінійного рівняння a x + b = 0, то мають місце числові рівності a x 1 + b = 0 і a x 2 + b = 0 . Ми можемо виконати віднімання відповідних частин цих рівностей, що нам дозволяють зробити властивості числових рівностей , маємо a x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , звідки a(x 1 −x 2)+( b-b) = 0 і далі a · (x 1 - x 2) = 0 . А ця рівність неможлива, тому що і a≠0 і x 1 −x 2 ≠0 . Так ми дійшли суперечності, що доводить єдиність кореня лінійного рівняння a x + b = 0 при a≠0 .

Так ми вирішили лінійне рівняння a x + b = 0 при a 0 . Перший результат, наведений на початку цього пункту, є обґрунтованим. Залишилися ще два, які відповідають умові a = 0.

При a = 0 лінійне рівняння a x + b = 0 набуває вигляду 0 x + b = 0 . З цього рівняння і властивості множення чисел на нуль слід, що яке б число ми не взяли як x, при його підстановці рівняння 0 x + b = 0 вийде числова рівність b = 0 . Це рівність правильне, коли b=0 , а інших випадках при b≠0 це рівність неправильне.

Отже, при a = 0 і b = 0 будь-яке число є коренем лінійного рівняння a x + b = 0 , так як за цих умов підстановка замість x будь-якого числа дає правильну числову рівність 0 = 0 . А при a = 0 і b ≠ 0 лінійне рівняння a x + b = 0 не має коренів, так як за цих умов підстановка замість x будь-якого числа призводить до невірної числової рівності b = 0 .

Наведені обґрунтування дозволяють сформувати послідовність дій, що дозволяє вирішити будь-яке лінійне рівняння. Отже, алгоритм вирішення лінійного рівняннятакий:

• Спочатку по запису лінійного рівняння знаходимо значення коефіцієнтів a і b.
• Якщо a=0 і b=0 , це рівняння має нескінченно багато коренів, саме, будь-яке число є коренем цього лінійного рівняння.
• Якщо ж відмінно від нуля, то
• коефіцієнт b переноситься в праву частину з протилежним знаком, при цьому лінійне рівняння перетворюється на вигляд a x = − b ,
• після чого обидві частини отриманого рівняння діляться на відмінне від нуля число a, що дає шуканий корінь вихідного лінійного рівняння.

Записаний алгоритм є вичерпною відповіддю питанням, як вирішувати лінійні рівняння.

На закінчення цього пункту варто сказати, що схожий алгоритм застосовується для вирішення рівнянь виду a x = b. Його відмінність у тому, що з a≠0 відразу виконується розподіл обох частин рівняння цього число, тут b вже у потрібної частини рівняння і потрібно здійснювати його перенесення.

Для вирішення рівнянь виду a x = b застосовується такий алгоритм:

• Якщо a=0 і b=0 , то рівняння має безліч коренів, якими є будь-які числа.
• Якщо a=0 і b≠0 то вихідне рівняння не має коренів.
• Якщо ж a від нуля, то обидві частини рівняння діляться на відмінне від нуля число a , звідки перебуває єдиний корінь рівняння, рівний b/a .

Приклади розв'язування лінійних рівнянь

Переходимо до практики. Розберемо, як застосовується алгоритм розв'язання лінійних рівнянь. Наведемо рішення характерних прикладів, що відповідають різним значеннямкоефіцієнтів лінійних рівнянь

приклад.

Розв'яжіть лінійне рівняння 0·x−0=0 .

Рішення.

У цьому лінійному рівнянні a=0 і b=−0 , що саме, b=0 . Отже, це рівняння має безліч коренів, будь-яке число є коренем цього рівняння.

Відповідь:

x – будь-яке число.

приклад.

Чи має рішення лінійне рівняння 0 x + 2,7 = 0?

Рішення.

У даному випадкукоефіцієнт a дорівнює нулю, а коефіцієнт b цього лінійного рівняння дорівнює 2,7 тобто відмінний від нуля. Тому лінійне рівняння не має коріння.