Các tài liệu phương pháp dành cho mục đích tham khảo và bao gồm một loạt các chủ đề. Bài viết cung cấp một cái nhìn tổng quan về đồ thị của các hàm sơ cấp chính và nhận xét câu hỏi quan trọng nhất – cách xây dựng biểu đồ một cách chính xác và NHANH CHÓNG. Trong nghiên cứu toán học cao hơn không có kiến ​​thức về các biểu đồ cơ bản chức năng cơ bản nó sẽ khó, vì vậy điều rất quan trọng là phải nhớ đồ thị của một parabol, hyperbol, sin, cosine, v.v. trông như thế nào, hãy nhớ một số giá trị của hàm số. Cũng thế chúng ta sẽ nói chuyện về một số thuộc tính của các hàm cơ bản.

Tôi không giả vờ là những tài liệu đầy đủ và kỹ lưỡng về mặt khoa học, trước hết sẽ nhấn mạnh vào việc thực hành - những thứ mà người ta phải đối mặt với nghĩa đen ở mọi bước, trong bất kỳ chủ đề nào của toán học cao hơn. Biểu đồ cho hình nộm? Bạn có thể nói như vậy.

Theo nhu cầu phổ biến của độc giả mục lục có thể nhấp:

Ngoài ra, còn có một bài tóm tắt cực ngắn về chủ đề
- nắm vững 16 loại biểu đồ bằng cách nghiên cứu SIX trang!

Nghiêm túc mà nói, sáu, ngay cả bản thân tôi cũng ngạc nhiên. Bản tóm tắt này chứa đồ họa được cải thiện và có sẵn với một khoản phí nhỏ, có thể xem phiên bản demo. Nó là thuận tiện để in tệp để các đồ thị luôn ở trong tầm tay. Cảm ơn đã ủng hộ dự án!

Và chúng tôi bắt đầu ngay lập tức:

Làm thế nào để xây dựng các trục tọa độ một cách chính xác?

Trong thực tế, các bài kiểm tra hầu như luôn được học sinh vẽ vào vở riêng, xếp trong lồng. Tại sao bạn cần dấu ca rô? Rốt cuộc, công việc, về nguyên tắc, có thể được thực hiện trên tờ A4. Và lồng là cần thiết chỉ để thiết kế bản vẽ chất lượng cao và chính xác.

Bất kỳ bản vẽ nào của đồ thị hàm số đều bắt đầu với các trục tọa độ.

Bản vẽ là hai chiều và ba chiều.

Đầu tiên chúng ta hãy xem xét trường hợp hai chiều Descartes hệ thống hình chữ nhật tọa độ:

1) Chúng tôi vẽ trục tọa độ. Trục được gọi là trục x , và trục trục y . Chúng tôi luôn cố gắng vẽ chúng gọn gàng và không quanh co. Các mũi tên cũng không được giống bộ râu của Papa Carlo.

2) Chúng tôi ký hiệu các trục bằng chữ in hoa "x" và "y". Đừng quên ký tên vào các trục.

3) Đặt tỷ lệ dọc theo các trục: vẽ không và hai cái. Khi thực hiện một bản vẽ, tỷ lệ thuận tiện và phổ biến nhất là: 1 đơn vị = 2 ô (hình vẽ bên trái) - hãy bám vào nó nếu có thể. Tuy nhiên, thỉnh thoảng lại xảy ra trường hợp hình vẽ không vừa với trang vở - khi đó ta giảm tỉ lệ: 1 đơn vị = 1 ô (hình vẽ bên phải). Hiếm khi, nhưng nó sẽ xảy ra rằng tỷ lệ của bản vẽ phải được giảm (hoặc tăng lên) nhiều hơn

KHÔNG viết nguệch ngoạc từ súng máy ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... Vì mặt phẳng tọa độ không phải là một tượng đài cho Descartes, và học sinh không phải là một con chim bồ câu. Chúng ta đặt số không và hai đơn vị dọc theo trục. Đôi khi thay vìđơn vị, thật thuận tiện để “phát hiện” các giá trị khác, ví dụ, “hai” trên trục abscissa và “ba” trên trục tọa độ - và hệ thống này (0, 2 và 3) cũng sẽ thiết lập duy nhất lưới tọa độ.

Tốt hơn là ước lượng kích thước ước tính của bản vẽ TRƯỚC KHI bản vẽ được vẽ.. Vì vậy, ví dụ, nếu nhiệm vụ yêu cầu vẽ một hình tam giác với các đỉnh, thì rõ ràng là tỷ lệ phổ biến 1 đơn vị = 2 ô sẽ không hoạt động. Tại sao? Hãy xem xét vấn đề - ở đây bạn phải đo xuống mười lăm cm, và rõ ràng là hình vẽ sẽ không vừa (hoặc vừa vặn) trên một trang vở. Do đó, chúng ta chọn ngay tỷ lệ nhỏ hơn 1 đơn vị = 1 ô.

Nhân tiện, khoảng cm và ô vở. Có đúng là có 15 cm trong 30 ô vở không? Dùng thước đo vào vở cho lãi 15 cm. Ở Liên Xô, có lẽ điều này là đúng ... Điều thú vị là nếu bạn đo các cm theo chiều ngang và chiều dọc như nhau, thì kết quả (tính theo ô) sẽ khác! Nói một cách chính xác, sổ tay hiện đại không phải là ca rô, mà là hình chữ nhật. Nó có vẻ như là vô nghĩa, nhưng việc vẽ, ví dụ, một hình tròn bằng compa trong những tình huống như vậy là rất bất tiện. Thành thật mà nói, vào những thời điểm như vậy, bạn bắt đầu nghĩ về sự đúng đắn của đồng chí Stalin, người đã bị đưa vào trại vì công việc hack trong sản xuất, chưa kể đến ngành công nghiệp ô tô trong nước, máy bay rơi hay nhà máy điện phát nổ.

Nói về chất lượng, hoặc giới thiệu ngắn gọn về văn phòng phẩm. Cho đến nay, hầu hết các sổ tay được bày bán, nếu không nói xấu, đều hoàn toàn là yêu tinh. Vì lý do là chúng bị ướt, và không chỉ từ bút gel, mà còn từ bút bi! Tiết kiệm trên giấy. Để giải phóng mặt bằng công việc kiểm soát Tôi khuyên bạn nên sử dụng sổ tay của Arkhangelsk Pulp and Paper Mill (18 tờ, lồng) hoặc Pyaterochka, mặc dù nó đắt hơn. Nên chọn loại bút gel, ngay cả loại bút gel rẻ nhất của Trung Quốc cũng tốt hơn rất nhiều so với bút bi, loại bút bị lem hoặc rách giấy. Cây bút bi "cạnh tranh" duy nhất trong trí nhớ của tôi là Erich Krause. Cô ấy viết rõ ràng, đẹp và ổn định - hoặc với một gốc đầy đủ hoặc với một phần gần như trống.

Ngoài ra: tầm nhìn của hệ tọa độ hình chữ nhật qua con mắt của hình học giải tích được đề cập trong bài viết Sự phụ thuộc tuyến tính (không) của vectơ. Cơ sở vectơ, thông tin chi tiết Về phối hợp khu có thể được tìm thấy trong đoạn thứ hai của bài học Bất bình đẳng tuyến tính.

Trường hợp 3D

Ở đây cũng gần như vậy.

1) Ta vẽ các trục tọa độ. Tiêu chuẩn: trục ứng dụng - hướng lên trên, trục - hướng sang phải, trục - hướng xuống bên trái nghiêm ngặtở góc 45 độ.

2) Chúng tôi ký các trục.

3) Đặt tỷ lệ dọc theo các trục. Tỷ lệ dọc theo trục - nhỏ hơn hai lần so với tỷ lệ dọc theo các trục khác. Cũng lưu ý rằng trong bản vẽ bên phải, tôi đã sử dụng "serif" không chuẩn dọc theo trục (khả năng này đã được đề cập ở trên). Theo quan điểm của tôi, nó chính xác hơn, nhanh hơn và đẹp hơn về mặt thẩm mỹ - bạn không cần phải tìm giữa ô dưới kính hiển vi và "điêu khắc" đơn vị đó cho đúng với điểm gốc.

Khi thực hiện lại bản vẽ 3D - hãy ưu tiên tỷ lệ
1 đơn vị = 2 ô (hình vẽ bên trái).

Tất cả những quy tắc này để làm gì? Các quy tắc ở đó sẽ bị phá vỡ. Tôi phải làm gì bây giờ. Thực tế là các bản vẽ tiếp theo của bài viết sẽ được tôi thực hiện trong Excel, và các trục tọa độ sẽ trông không chính xác về mặt thiết kế phù hợp. Tôi có thể vẽ tất cả các biểu đồ bằng tay, nhưng thực sự đáng sợ khi vẽ chúng, vì Excel không muốn vẽ chúng chính xác hơn nhiều.

Đồ thị và các tính chất cơ bản của hàm cơ bản

Hàm tuyến tínhđược cho bởi phương trình. Đồ thị hàm số tuyến tính là thẳng thắn. Để dựng một đường thẳng, chỉ cần biết hai điểm là đủ.

ví dụ 1

Vẽ sơ đồ chức năng. Hãy tìm hai điểm. Sẽ có lợi khi chọn số 0 là một trong những điểm.

Nếu, thì

Chúng tôi lấy một số điểm khác, ví dụ, 1.

Nếu, thì

Khi chuẩn bị nhiệm vụ, tọa độ của các điểm thường được tóm tắt trong một bảng:

Và bản thân các giá trị được tính bằng miệng hoặc trên bản nháp, máy tính.

Hai điểm được tìm thấy, hãy rút ra:

Khi lên bản vẽ, chúng tôi luôn ký tên vào đồ họa.

Sẽ không thừa khi nhớ lại các trường hợp đặc biệt của một hàm tuyến tính:

Lưu ý cách tôi đặt chú thích, chữ ký không được mơ hồ khi nghiên cứu bản vẽ. TẠI trường hợp này việc đặt một chữ ký bên cạnh giao điểm của các đường hoặc ở dưới cùng bên phải giữa các biểu đồ là điều cực kỳ không mong muốn.

1) Một hàm tuyến tính có dạng () được gọi là tỷ lệ thuận. Ví dụ, . Đồ thị tỉ lệ thuận luôn đi qua gốc tọa độ. Do đó, việc xây dựng một đường thẳng được đơn giản hóa - chỉ cần tìm một điểm là đủ.

2) Một phương trình có dạng xác định một đường thẳng song song với trục, cụ thể là trục chính được cho bởi phương trình. Đồ thị của hàm số được dựng ngay, không cần tìm điểm nào. Có nghĩa là, mục nhập phải được hiểu như sau: "y luôn bằng -4, với bất kỳ giá trị nào của x."

3) Một phương trình có dạng xác định một đường thẳng song song với trục, cụ thể là trục chính được cho bởi phương trình. Đồ thị của hàm số cũng được xây dựng ngay lập tức. Mục nhập phải được hiểu như sau: "x luôn luôn, với bất kỳ giá trị nào của y, bằng 1."

Một số người sẽ hỏi, tại sao lại nhớ năm lớp 6 ?! Chuyện là như vậy, có lẽ vì vậy, chỉ trong những năm thực hành tôi đã gặp một tá học sinh giỏi bị bối rối bởi nhiệm vụ xây dựng một đồ thị như hoặc.

Vẽ một đường thẳng là hành động phổ biến nhất khi thực hiện bản vẽ.

Đường thẳng được đề cập chi tiết trong giáo trình hình học giải tích, các em có nhu cầu có thể tham khảo bài viết Phương trình của một đường thẳng trên một mặt phẳng.

Đồ thị hàm số bậc hai, đồ thị hàm số bậc ba, đồ thị đa thức

Hình parabol. Lịch trình hàm bậc hai () là một parabol. Xem xét trường hợp nổi tiếng:

Hãy nhớ lại một số thuộc tính của hàm.

Vì vậy, lời giải cho phương trình của chúng ta: - tại điểm này là đỉnh của parabol. Tại sao lại như vậy ta có thể rút ra bài học lý thuyết về đạo hàm và bài về cực trị của hàm số. Trong thời gian chờ đợi, chúng tôi tính toán giá trị tương ứng của "y":

Vì vậy, đỉnh là điểm

Bây giờ chúng ta tìm các điểm khác, trong khi sử dụng một cách trơ trẽn tính đối xứng của parabol. Cần lưu ý rằng hàm – thậm chí còn không, nhưng, tuy nhiên, không ai hủy bỏ tính đối xứng của parabol.

Còn lại để tìm những điểm còn lại thì mình nghĩ qua bảng cuối sẽ rõ:

Thuật toán này xây dựng có thể được gọi một cách hình tượng là “con thoi” hay nguyên tắc “có đi có lại” với Anfisa Chekhova.

Hãy vẽ một bức tranh:

Từ các biểu đồ đã xem xét, một tính năng hữu ích khác xuất hiện trong tâm trí:

Đối với một hàm bậc hai () điều sau là đúng:

Nếu, thì các nhánh của parabol hướng lên trên.

Nếu, thì các nhánh của parabol hướng xuống dưới.

Các kiến ​​thức chuyên sâu về đường cong có thể tham khảo trong bài học Hyperbol và parabol.

Parabol bậc ba được cho bởi hàm. Đây là một bức vẽ quen thuộc từ thời đi học:

Hãy liệt kê Các tính chất cơ bản chức năng

Đồ thị hàm số

Nó đại diện cho một trong những nhánh của parabol. Hãy vẽ một bức tranh:

Các thuộc tính chính của hàm:

Trong trường hợp này, trục là tiệm cận đứng cho đồ thị hyperbol tại.

Sẽ là Sai lầm XẤU Nếu do sơ suất, khi vẽ ta để đồ thị cắt với đường tiệm cận.

Ngoài giới hạn một phía, hãy cho chúng tôi biết rằng một sự cường điệu hóa không giới hạn từ phía trên và không giới hạn từ bên dưới.

Hãy khám phá chức năng ở vô cực: nghĩa là nếu chúng ta bắt đầu di chuyển dọc theo trục sang trái (hoặc phải) đến vô cùng, thì "trò chơi" sẽ là một bước đi mảnh mai gần vô hạn tiếp cận số không, và theo đó, các nhánh của hyperbola gần vô hạn tiếp cận trục.

Vì vậy, trục là tiệm cận ngang đối với đồ thị của hàm, nếu "x" có xu hướng cộng hoặc trừ vô cùng.

Chức năng là số lẻ, có nghĩa là hyperbol đối xứng với điểm gốc. Sự thật này là điều hiển nhiên từ bản vẽ, hơn nữa, nó có thể dễ dàng xác minh bằng phân tích: .

Đồ thị của một hàm có dạng () biểu diễn hai nhánh của một hyperbol.

Nếu, thì hyperbola nằm ở góc tọa độ thứ nhất và thứ ba(xem hình trên).

Nếu, thì hyperbola nằm ở góc tọa độ thứ hai và thứ tư.

Không khó để phân tích tính đều đặn xác định của nơi cư trú của hyperbol theo quan điểm của các phép biến đổi hình học của đồ thị.

Ví dụ 3

Tạo nhánh bên phải của hyperbol

Chúng tôi sử dụng phương pháp xây dựng theo chiều điểm, trong khi thuận tiện là chọn các giá trị sao cho chúng phân chia hoàn toàn:

Hãy vẽ một bức tranh:

Sẽ không khó để xây dựng nhánh bên trái của hyperbol, ở đây tính chất kỳ lạ của hàm sẽ giúp ích cho bạn. Nói một cách đơn giản, trong bảng cấu tạo điểm, hãy nhẩm thêm một số trừ cho mỗi số, đặt các dấu chấm tương ứng và vẽ nhánh thứ hai.

Thông tin hình học chi tiết về đường được xem xét có thể được tìm thấy trong bài viết Hyperbol và parabol.

Đồ thị của một hàm số mũ

Trong đoạn này, tôi sẽ ngay lập tức xem xét hàm mũ, vì trong các bài toán của toán học cao hơn, 95% trường hợp là số mũ xảy ra.

Tôi nhắc bạn rằng đây là số vô tỉ:, điều này sẽ được yêu cầu khi xây dựng một biểu đồ, trong thực tế, tôi sẽ xây dựng mà không cần nghi lễ. Ba điểm có lẽ đủ:

Bây giờ chúng ta hãy để riêng phần đồ thị của hàm số, sẽ nói về nó sau.

Các thuộc tính chính của hàm:

Về cơ bản, đồ thị của các hàm trông giống nhau, v.v.

Tôi phải nói rằng trường hợp thứ hai ít phổ biến hơn trong thực tế, nhưng nó vẫn xảy ra, vì vậy tôi cảm thấy cần phải đưa nó vào bài viết này.

Đồ thị của một hàm số lôgarit

Xem xét một chức năng với lôgarit tự nhiên.
Hãy vẽ một đường thẳng:

Nếu bạn quên logarit là gì, hãy tham khảo sách giáo khoa của trường.

Các thuộc tính chính của hàm:

Miền:

Phạm vi giá trị:.

Chức năng không bị giới hạn ở trên: , mặc dù chậm, nhưng nhánh của logarit đi lên đến vô cùng.
Hãy để chúng tôi kiểm tra hoạt động của hàm gần 0 ở bên phải: . Vì vậy, trục là tiệm cận đứng cho đồ thị của hàm với "x" có xu hướng bằng 0 ở bên phải.

Đảm bảo biết và nhớ giá trị điển hình của lôgarit: .

Về cơ bản, đồ thị của logarit ở cơ sở trông giống nhau:,, ( lôgarit thập phân trong cơ sở 10), v.v. Đồng thời, cơ sở càng lớn thì biểu đồ càng phẳng.

Chúng tôi sẽ không xem xét trường hợp này, điều mà tôi không nhớ lần cuối cùng tôi xây dựng một biểu đồ với cơ sở như vậy là khi nào. Đúng, và lôgarit dường như là một khách mời rất hiếm trong các bài toán của toán học cao hơn.

Trong phần kết của đoạn văn, tôi sẽ nói thêm một sự thật: Hàm số mũ và hàm logarit là hai người lẫn nhau chức năng nghịch đảo . Nếu bạn nhìn kỹ vào đồ thị của lôgarit, bạn có thể thấy rằng đây là cùng một số mũ, chỉ là nó có vị trí hơi khác một chút.

Đồ thị của các hàm lượng giác

Sự dằn vặt về lượng giác bắt đầu như thế nào ở trường? Một cách chính xác. Từ ô sin

Hãy vẽ đồ thị hàm

Dòng này được gọi là hình sin.

Tôi xin nhắc bạn rằng “pi” là một số vô tỉ :, và trong lượng giác nó làm chói mắt.

Các thuộc tính chính của hàm:

Chức năng này Là định kỳ với một khoảng thời gian. Nó có nghĩa là gì? Hãy nhìn vào vết cắt. Ở bên trái và bên phải của nó, chính xác cùng một phần của biểu đồ lặp lại không ngừng.

Miền:, nghĩa là, với bất kỳ giá trị nào của "x" đều có giá trị sin.

Phạm vi giá trị:. Chức năng là giới hạn:, nghĩa là, tất cả các "trò chơi" đều nằm trong phân khúc.
Điều này không xảy ra: hay chính xác hơn là nó xảy ra, nhưng cho biết phương trình không có một giải pháp.

Phạm vi và phạm vi của chức năng. Trong toán học sơ cấp, các hàm chỉ được nghiên cứu trên tập số thực RĐiều này có nghĩa là đối số hàm chỉ có thể nhận các giá trị thực mà hàm được xác định, tức là nó cũng chỉ chấp nhận các giá trị thực. Nhiều X tất cả các giá trị hợp lệ hợp lệ của đối số x, mà chức năng y= f(x) được xác định, được gọi là phạm vi chức năng. Nhiều Y tất cả các giá trị thực y mà hàm chấp nhận được gọi là phạm vi chức năng. Bây giờ bạn có thể cho nhiều hơn Định nghĩa chính xác Tính năng, đặc điểm: qui định(luật) tương ứng giữa tập X và Y, theo đó cho mỗi phần tử từ tập hợpX có thể tìm thấy một và chỉ một phần tử từ tập Y, được gọi là một hàm.

Từ định nghĩa này, một hàm được coi là đã cho nếu:

Phạm vi của chức năng được thiết lập X ;

Phạm vi của chức năng được thiết lập Y ;

Quy tắc (luật) của sự tương ứng đã được biết đến và như vậy đối với mỗi

Chỉ có thể tìm thấy một giá trị hàm cho một giá trị đối số.

Yêu cầu về tính duy nhất của hàm này là bắt buộc.

hàm đơn điệu. Nếu đối với bất kỳ hai giá trị nào của đối số x 1 và x 2 trong số các điều kiện x 2 > x 1 người theo dõi f(x 2) > f(x 1), sau đó là hàm f(x) được gọi là tăng; nếu có x 1 và x 2 trong số các điều kiện x 2 > x 1 người theo dõi f(x 2) < f(x 1), sau đó là hàm f(x) được gọi là suy tàn. Một hàm chỉ tăng hoặc chỉ giảm được gọi là đơn điệu.

Chức năng giới hạn và không giới hạn. Hàm được gọi là giới hạn nếu có như vậy số dương M cái gì | f(x) | M cho tất cả các giá trị x. Nếu không có số nào như vậy tồn tại, thì hàm là vô hạn.

CÁC VÍ DỤ.

Hàm được mô tả trong Hình 3 là có giới hạn, nhưng không đơn điệu. Hàm trong hình 4 là ngược lại, đơn điệu, nhưng không giới hạn. (Vui lòng giải thích điều này!)

Các chức năng liên tục và không liên tục. Hàm số y = f (x) được gọi là tiếp diễn tại điểmx = một, nếu:

1) chức năng được định nghĩa cho x = một, I E. f (một) tồn tại;

2) tồn tại có hạn giới hạn lim f (x) ;

x→một

(Xem "Giới hạn của chức năng")

3) f (một) = lim f (x) .

x→một

Nếu ít nhất một trong các điều kiện này không được đáp ứng, thì hàm được gọi là không liên tục tại điểm x = một.

Nếu hàm liên tục trong tất cả các các điểm của miền định nghĩa của nó, sau đó nó được gọi là chức năng liên tục.

Hàm chẵn và hàm lẻ. Nếu cho không tí nào x f(- x) = f (x), thì hàm được gọi là thậm chí; nếu nó không: f(- x) = - f (x), thì hàm được gọi là số lẻ. Lịch trình hàm chẵnđối xứng về trục Y(Hình 5), một đồ thị hàm lẻ Simthước đo về nguồn gốc(Hình 6).

Chức năng định kỳ. Hàm số f (x) - định kỳ nếu có như vậy khác không con số Tđể làm gì không tí nào x từ phạm vi của định nghĩa chức năng diễn ra: f (x + T) = f (x). Như là ít nhất số được gọi là thời kỳ chức năng. Tất cả các hàm lượng giác là định kỳ.

VÍ DỤ 1. Chứng minh rằng tội lỗi x có khoảng thời gian là 2.

GIẢI PHÁP Chúng ta biết rằng tội lỗi ( x + 2N) = tội lỗi x, ở đâu N= 0, ± 1, ± 2,…

Do đó, việc thêm 2 Nđối số sin

Thay đổi giá trị của nó. Có số khác với cái này không

Cùng một tài sản?

Hãy giả vờ như vậy P- một con số như vậy, tức là bình đẳng:

Tội ( x + P) = tội lỗi x,

Có giá trị cho mọi giá trị x. Nhưng sau đó nó có

Vị trí và x= / 2, tức là

tội lỗi (/ 2 + P) = sin / 2 = 1.

Nhưng theo công thức rút gọn sin (/ 2 + P) = cos P. sau đó

Theo sau từ hai bằng nhau cuối cùng mà cos P= 1, nhưng chúng tôi

Chúng tôi biết rằng điều này chỉ đúng khi P = 2N. Kể từ khi nhỏ nhất

Một số khác 0 trong số 2 N là 2, sau đó là số này

Và có một thời kỳ tội lỗi x. Nó được chứng minh tương tự rằng 2 từ N là, vì vậy đây là giai đoạn sin 2 x.

Hàm nulls. Giá trị của đối số mà hàm bằng 0 được gọi là số không (root) các chức năng. Một hàm có thể có nhiều số không. Ví dụ: hàm y = x (x + 1) (x-3) có ba số không: x= 0, x= -1, x= 3. Về mặt hình học hàm null - là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục X .

Hình 7 cho thấy đồ thị của hàm với các số không: x= một, x = b và x= c.

Asymptote. Nếu đồ thị của một hàm số tiếp cận một đường thẳng nào đó một cách vô hạn khi nó đi ra xa gốc tọa độ thì đường thẳng này được gọi là asymptote.

Quyền riêng tư của bạn rất quan trọng với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách bảo mật mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng đọc chính sách bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.

Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân

Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để xác định hoặc liên hệ với một người cụ thể.

Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của bạn bất kỳ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.

Sau đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân mà chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.

Chúng tôi thu thập thông tin cá nhân nào:

• Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ của bạn E-mail vân vân.

Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:

• Do chúng tôi sưu tầm thông tin cá nhân cho phép chúng tôi liên hệ với bạn và thông báo cho bạn về các ưu đãi, khuyến mãi độc đáo và các sự kiện khác và các sự kiện sắp tới.
• Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi cho bạn những thông báo và liên lạc quan trọng.
• Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ, chẳng hạn như thực hiện kiểm toán, phân tích dữ liệu và các nghiên cứu khác nhau để cải thiện các dịch vụ mà chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các khuyến nghị liên quan đến dịch vụ của chúng tôi.
• Nếu bạn tham gia rút thăm giải thưởng, cuộc thi hoặc khuyến khích tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.

Tiết lộ cho bên thứ ba

Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.

Các trường hợp ngoại lệ:

• Nếu cần - theo quy định của pháp luật, lệnh tư pháp, trong quá trình tố tụng pháp lý và / hoặc dựa trên yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ cơ quan chính phủ trên lãnh thổ của Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc thích hợp cho mục đích bảo mật, thực thi pháp luật hoặc lợi ích công cộng khác.
• Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập được cho người kế nhiệm bên thứ ba có liên quan.

Bảo vệ thông tin cá nhân

Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, bị đánh cắp và sử dụng sai mục đích, cũng như khỏi bị truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.

Duy trì quyền riêng tư của bạn ở cấp công ty

Để đảm bảo rằng thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các thông lệ về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm túc các thông lệ về quyền riêng tư.

Phòng tập thể dục của Nga

TRỪU TƯỢNG

Hoàn thành

học sinh lớp 10 "F" Burmistrov Sergey

Người giám sát

giáo viên toán học

Yulina O.A.

Nizhny Novgorod

Chức năng và thuộc tính của nó

Hàm số- sự phụ thuộc biến tại từ một biến x , nếu mỗi giá trị X khớp với một giá trị duy nhất tại .

Biến x- biến hoặc đối số độc lập.

Biến y- biến phụ thuộc

Giá trị hàm-Ý nghĩa tại tương ứng đặt giá trị X .

Phạm vi chức năng- tất cả các giá trị mà biến độc lập nhận.

Phạm vi chức năng (tập hợp các giá trị) - tất cả các giá trị mà hàm nhận.

Hàm chẵn- nếu có X f (x) = f (-x)

Hàm là số lẻ- nếu có X từ phạm vi của chức năng, bình đẳng f (-x) = - f (x)

Tăng cường chức năng- nếu có x 1 và x 2, như vậy mà x 1 < x 2, sự bất bình đẳng f ( x 1 ) x 2 )

Đang giảm chức năng- nếu có x 1 và x 2, như vậy mà x 1 < x 2, sự bất bình đẳng f ( x 1 )> f ( x 2 )

Các cách thiết lập một hàm

¨ Để xác định một hàm, bạn cần xác định cách thức mà đối với mỗi giá trị đối số, bạn có thể tìm thấy giá trị hàm tương ứng. Phổ biến nhất là cách xác định một hàm bằng công thức tại = f (x), ở đâu f (x) - một số biểu thức với một biến X. Trong trường hợp này, chúng ta nói rằng hàm được cho bởi một công thức hoặc hàm được cho bởi về mặt phân tích.

¨ Trong thực tế, nó thường được sử dụng bảng cách chức năng được xác định. Với phương pháp này, một bảng được cung cấp cho biết các giá trị của hàm đối với các giá trị của đối số có trong bảng. Các ví dụ về định nghĩa hàm dạng bảng là bảng hình vuông, bảng hình khối.

Các loại chức năng và thuộc tính của chúng

1) Chức năng vĩnh viễn- hàm số, được đưa ra bởi công thức y = b , ở đâu b- một số số. lịch trình chức năng vĩnh viễn y \ u003d b là đường thẳng song song với trục x và đi qua điểm (0; b) trên trục y

2) Tỷ lệ thuận- hàm được cho bởi công thức y = kx , nơi k¹0. Con số k gọi là hệ số tương xứng .

Thuộc tính hàm y = kx :

1. Miền định nghĩa chức năng - bộ tất cả các số thực

2. y = kx- chức năng kỳ quặc

3. Với k> 0, hàm tăng, và với k<0 убывает на всей числовой прямой

3)Hàm tuyến tính- hàm được cho bởi công thức y = kx + b, ở đâu k và b - số thực. Đặc biệt, nếu, k = 0, sau đó chúng ta nhận được một hàm hằng y = b; nếu b = 0, sau đó chúng tôi nhận được một tỷ lệ thuận y = kx .

Thuộc tính chức năng y = kx + b :

1. Miền định nghĩa - tập hợp tất cả các số thực

2. Chức năng y = kx + b chế độ xem chung, tức là không chẵn cũng không lẻ.

3. Với k> 0, hàm tăng, và với k<0 убывает на всей числовой прямой

Đồ thị của hàm số là dài .

4)Tỷ lệ nghịch- hàm được cho bởi công thức y = k / X, nơi k¹0 Số k gọi là hệ số tỷ lệ nghịch.

Thuộc tính chức năng y = k / x:

1. Miền định nghĩa - tập hợp tất cả các số thực ngoại trừ số 0

2. y = k / x - hàm lẻ

3. Nếu k> 0 thì hàm số giảm trên khoảng (0; + ¥) và trên khoảng (- ¥; 0). Nếu k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).

Đồ thị của hàm số là hyperbola .

5)Hàm số y = x2

Thuộc tính chức năng y = x2:

2. y = x2 - hàm chẵn

3. Hàm số giảm dần trên khoảng

Đồ thị của hàm số là hình parabol .

6)Hàm số y = x 3

Thuộc tính chức năng y = x3:

1. Miền định nghĩa là toàn bộ dãy số

2. y = x 3 - hàm lẻ

3. Hàm tăng trên toàn bộ trục số

Đồ thị của hàm số là parabol khối

7)Hàm lũy thừa với số mũ tự nhiên- hàm được cho bởi công thức y = xn, ở đâu N- số tự nhiên. Với n = 1, chúng ta nhận được hàm y = x, các tính chất của nó được xem xét trong Phần 2. Với n = 2; 3 ta được các hàm số y = x 2; y = x 3. Các thuộc tính của chúng đã được thảo luận ở trên.

Gọi n là số chẵn tùy ý lớn hơn hai: 4,6,8 ... Trong trường hợp này, hàm y = xn có cùng tính chất với hàm số y = x 2. Đồ thị của hàm tương tự như một parabol y = x 2, chỉ có các nhánh của đồ thị cho | x |> 1 đi lên càng dốc, n càng lớn và cho | x |<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.

Gọi n là số lẻ tùy ý lớn hơn ba: 5,7,9 ... Trong trường hợp này, hàm y = xn có cùng tính chất với hàm số y = x 3. Đồ thị hàm số giống như một parabol bậc ba.

8)Hàm lũy thừa với số mũ nguyên âm - hàm được cho bởi công thức y = x-n , ở đâu N- số tự nhiên. Với n = 1, chúng ta nhận được y = 1 / x, các tính chất của hàm này được xem xét trong Phần 4.

Gọi n là số lẻ lớn hơn một: 3,5,7 ... Trong trường hợp này, hàm y = x-n về cơ bản có các tính chất giống như hàm y = 1 / x.

Gọi n là số chẵn, ví dụ n = 2.

Thuộc tính chức năng y = x -2 :

1. Hàm được xác định với mọi x¹0

2. y = x -2 - hàm chẵn

3. Hàm số giảm khoảng (0; + ¥) và tăng trên (- ¥; 0).

Bất kỳ hàm nào có n chẵn lớn hơn hai đều có cùng tính chất.

9)Hàm số y = Ö X

Thuộc tính chức năng y = Ö X :

1. Miền xác định là một tia và tăng trên khoảng)