Εκφράσεις, Εξισώσεις και Συστήματα Εξισώσεων
με μιγαδικούς αριθμούς

Σήμερα στο μάθημα θα επεξεργαστούμε τυπικές ενέργειες με μιγαδικούς αριθμούς, καθώς και θα κατακτήσουμε την τεχνική επίλυσης εκφράσεων, εξισώσεων και συστημάτων εξισώσεων που περιέχουν αυτοί οι αριθμοί. Αυτό το εργαστήριο αποτελεί συνέχεια του μαθήματος, και επομένως αν δεν είστε εξοικειωμένοι με το θέμα, ακολουθήστε τον παραπάνω σύνδεσμο. Λοιπόν, προτείνω στους πιο προετοιμασμένους αναγνώστες να ζεσταθούν αμέσως:

Παράδειγμα 1

Απλοποίηση έκφρασης , αν . Να παρουσιάσετε το αποτέλεσμα σε τριγωνομετρική μορφή και να το απεικονίσετε στο μιγαδικό επίπεδο.

Λύση: λοιπόν, πρέπει να αντικαταστήσετε το "τρομερό" κλάσμα, να κάνετε απλοποιήσεις και να μεταφράσετε το προκύπτον μιγαδικός αριθμόςσε τριγωνομετρική μορφή. Συν βλασφημία.

Ποιος είναι ο καλύτερος τρόπος για να πάρετε μια απόφαση; με "φανταχτερό" αλγεβρική παράστασηΕίναι καλύτερα να το πας βήμα-βήμα. Πρώτον, η προσοχή είναι λιγότερο διάσπαρτη και, δεύτερον, εάν η εργασία δεν πιστωθεί, θα είναι πολύ πιο εύκολο να βρείτε ένα σφάλμα.

1) Ας απλοποιήσουμε πρώτα τον αριθμητή. Αντικαταστήστε την τιμή σε αυτό, ανοίξτε τις αγκύλες και διορθώστε το χτένισμα:

... Ναι, ένα τέτοιο Quasimodo από μιγαδικούς αριθμούς αποδείχθηκε ...

Θυμίζω ότι στην πορεία των μετασχηματισμών χρησιμοποιούνται εντελώς έξυπνα πράγματα - ο κανόνας του πολλαπλασιασμού των πολυωνύμων και η ήδη κοινότοπη ισότητα. Το κυριότερο είναι να είστε προσεκτικοί και να μην μπερδεύεστε στα ζώδια.

2) Τώρα ακολουθεί ο παρονομαστής. Αν τότε:

Σημειώστε τι χρησιμοποιείται μια ασυνήθιστη ερμηνεία τύπος αθροίσματος τετραγώνου. Εναλλακτικά, μπορείτε να αλλάξετε εδώ υποτύπος . Τα αποτελέσματα φυσικά θα ταιριάζουν.

3) Και τέλος, όλη η έκφραση. Αν τότε:

Για να απαλλαγούμε από το κλάσμα, πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με την έκφραση συζευγμένη με τον παρονομαστή. Ωστόσο, για τους σκοπούς της αίτησης διαφορετικοί τύποι τετραγώνωνθα πρέπει να είναι προκαταρκτικά (και σίγουρα!)βάλτε το αρνητικό πραγματικό μέρος στη 2η θέση:

Και τώρα ο βασικός κανόνας:

ΣΕ ΚΑΜΙΑ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΔΕΝ ΒΙΑΖΟΥΜΕ! Καλύτερα να το παίξετε με ασφάλεια και να συνταγογραφήσετε ένα επιπλέον βήμα.
Σε εκφράσεις, εξισώσεις και συστήματα με μιγαδικούς αριθμούς αλαζόνες προφορικούς υπολογισμούς γεμάτος όσο ποτέ!

Υπήρχε μια ωραία σύσπαση στο τελευταίο βήμα και αυτό είναι απλά ένα υπέροχο σημάδι.

Σημείωση : αυστηρά μιλώντας, η διαίρεση του μιγαδικού αριθμού με τον μιγαδικό αριθμό 50 έγινε εδώ (θυμηθείτε ότι ). Έχω σιωπήσει για αυτήν την απόχρωση μέχρι τώρα και θα το συζητήσουμε λίγο αργότερα.

Ας υποδηλώσουμε το επίτευγμά μας με το γράμμα

Ας αναπαραστήσουμε το αποτέλεσμα σε τριγωνομετρική μορφή. Σε γενικές γραμμές, εδώ μπορείτε να κάνετε χωρίς σχέδιο, αλλά από τη στιγμή που απαιτείται, είναι κάπως πιο λογικό να το ολοκληρώσετε τώρα:

Υπολογίστε το μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού:

Εάν εκτελείτε ένα σχέδιο σε κλίμακα 1 μονάδας. \u003d 1 cm (2 τετραδικά κελιά), τότε η τιμή που προκύπτει είναι εύκολο να ελεγχθεί χρησιμοποιώντας έναν κανονικό χάρακα.

Ας βρούμε ένα επιχείρημα. Αφού ο αριθμός βρίσκεται στο 2ο συντεταγμένες τρίμηνο, έπειτα:

Η γωνία ελέγχεται απλά με ένα μοιρογνωμόνιο. Αυτό είναι το αναμφισβήτητο συν του σχεδίου.

Έτσι: - ο επιθυμητός αριθμός σε τριγωνομετρική μορφή.

Ας ελέγξουμε:
, το οποίο επρόκειτο να επαληθευτεί.

Είναι βολικό να βρείτε άγνωστες τιμές ημιτονοειδούς και συνημιτόνου με τριγωνομετρικός πίνακας.

Απάντηση:

Παρόμοιο παράδειγμα για ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 2

Απλοποίηση έκφρασης , όπου . Σχεδιάστε τον αριθμό που προκύπτει στο μιγαδικό επίπεδο και γράψτε τον σε εκθετική μορφή.

Προσπαθήστε να μην χάσετε Οι περιπτωσιολογικές μελέτες. Μπορεί να φαίνονται απλά, αλλά χωρίς εκπαίδευση, το «να μπεις σε μια λακκούβα» δεν είναι απλά εύκολο, αλλά πολύ εύκολο. Ας το πάρουμε λοιπόν στα χέρια μας.

Συχνά το πρόβλημα επιτρέπει περισσότερες από μία λύσεις:

Παράδειγμα 3

Υπολογίστε αν,

Λύση: πρώτα απ 'όλα, ας δώσουμε προσοχή στην αρχική συνθήκη - ο ένας αριθμός παρουσιάζεται σε αλγεβρική μορφή και ο άλλος σε τριγωνομετρική μορφή και μάλιστα με μοίρες. Ας το ξαναγράψουμε αμέσως σε μια πιο οικεία μορφή: .

Σε ποια μορφή πρέπει να γίνονται οι υπολογισμοί; Η έκφραση, προφανώς, περιλαμβάνει τον πρώτο πολλαπλασιασμό και περαιτέρω αύξηση στη 10η δύναμη Φόρμουλα De Moivre, που διατυπώνεται για την τριγωνομετρική μορφή ενός μιγαδικού αριθμού. Έτσι, φαίνεται πιο λογικό να μετατρέψουμε τον πρώτο αριθμό. Βρείτε την ενότητα και το όρισμά της:

Χρησιμοποιούμε τον κανόνα του πολλαπλασιασμού μιγαδικών αριθμών σε τριγωνομετρική μορφή:
αν τότε

Κάνοντας το κλάσμα σωστό, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι είναι δυνατό να "στρίψουμε" 4 στροφές ( χαρούμενος.):

Ο δεύτερος τρόπος επίλυσηςείναι η μετάφραση του 2ου αριθμού στην αλγεβρική μορφή , κάντε τον πολλαπλασιασμό μέσα αλγεβρική μορφή, μεταφράστε το αποτέλεσμα σε τριγωνομετρική μορφή και χρησιμοποιήστε τον τύπο του De Moivre.

Όπως μπορείτε να δείτε, μια «έξτρα» ενέργεια. Όσοι επιθυμούν μπορούν να ακολουθήσουν τη λύση μέχρι το τέλος και να φροντίσουν να ταιριάζουν τα αποτελέσματα.

Η συνθήκη δεν λέει τίποτα για τη μορφή του μιγαδικού αριθμού που προκύπτει, οπότε:

Απάντηση:

Αλλά "για ομορφιά" ή κατόπιν ζήτησης, το αποτέλεσμα μπορεί εύκολα να αναπαρασταθεί σε αλγεβρική μορφή:

Από μόνος του:

Παράδειγμα 4

Απλοποίηση έκφρασης

Εδώ είναι απαραίτητο να θυμόμαστε δράσεις με εξουσίες, αν και ένα χρήσιμος κανόναςόχι στο εγχειρίδιο, εδώ είναι: .

Ακόμη ένα πράγμα σημαντική σημείωση: Το παράδειγμα μπορεί να λυθεί σε δύο στυλ. Η πρώτη επιλογή είναι να εργαστείτε με δύοαριθμούς και τα βάζει με κλάσματα. Η δεύτερη επιλογή είναι να αναπαραστήσετε κάθε αριθμό στη φόρμα πηλίκο δύο αριθμών: και ξεφορτωθείτε το τετραώροφο. Από τυπική άποψη, δεν έχει σημασία πώς θα αποφασίσετε, αλλά υπάρχει μια ουσιαστική διαφορά! Σκεφτείτε καλά:
είναι μιγαδικός αριθμός.
είναι το πηλίκο δύο μιγαδικών αριθμών ( και ), ωστόσο, ανάλογα με το πλαίσιο, μπορεί κανείς να πει και αυτό: ένας αριθμός που αναπαρίσταται ως πηλίκο δύο μιγαδικών αριθμών.

Γρήγορη Λύσηκαι η απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Οι εκφράσεις είναι καλές, αλλά οι εξισώσεις είναι καλύτερες:

Εξισώσεις με μιγαδικούς συντελεστές

Σε τι διαφέρουν από τις «συνηθισμένες» εξισώσεις; Συντελεστές =)

Υπό το φως της παραπάνω παρατήρησης, ας ξεκινήσουμε με αυτό το παράδειγμα:

Παράδειγμα 5

λύσει την εξίσωση

Και ένα άμεσο προοίμιο σε hot pursuit: αρχικά δεξί μέροςΗ εξίσωση τοποθετείται ως πηλίκο δύο μιγαδικών αριθμών (και 13), και επομένως θα ήταν κακή μορφή να ξαναγράψουμε τη συνθήκη με τον αριθμό (αν και δεν θα προκαλέσει σφάλμα). Παρεμπιπτόντως, αυτή η διαφορά φαίνεται πιο ξεκάθαρα στα κλάσματα - εάν, σχετικά μιλώντας, , τότε αυτή η τιμή κατανοείται κυρίως ως «γεμάτη» σύνθετη ρίζα της εξίσωσης, και όχι ως διαιρέτης του αριθμού , και ακόμη περισσότερο - όχι ως μέρος του αριθμού !

Λύση, καταρχήν, μπορεί επίσης να συνταχθεί βήμα προς βήμα, αλλά μέσα αυτή η υπόθεσητο παιχνίδι δεν αξίζει το κερί. Το αρχικό καθήκον είναι να απλοποιήσουμε οτιδήποτε δεν περιέχει ένα άγνωστο "Z", ως αποτέλεσμα του οποίου η εξίσωση θα μειωθεί στη μορφή:

Απλοποιήστε με σιγουριά το μέσο κλάσμα:

Μεταφέρουμε το αποτέλεσμα στη δεξιά πλευρά και βρίσκουμε τη διαφορά:

Σημείωση : και πάλι εφιστώ την προσοχή σας στο σημαντικό σημείο - εδώ δεν αφαιρέσαμε τον αριθμό από τον αριθμό, αλλά αθροίσαμε τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή! Θα πρέπει να σημειωθεί ότι ήδη κατά τη διάρκεια της λύσης δεν απαγορεύεται η εργασία με αριθμούς: , ωστόσο, στο υπό εξέταση παράδειγμα, ένα τέτοιο στυλ είναι περισσότερο επιβλαβές παρά χρήσιμο =)

Σύμφωνα με τον κανόνα της αναλογίας, εκφράζουμε "z":

Τώρα μπορείτε πάλι να διαιρέσετε και να πολλαπλασιάσετε με την παρακείμενη παράσταση, αλλά οι ύποπτα όμοιοι αριθμοί του αριθμητή και του παρονομαστή προτείνουν την ακόλουθη κίνηση:

Απάντηση:

Για λόγους επαλήθευσης, αντικαθιστούμε την τιμή που προκύπτει στην αριστερή πλευρά της αρχικής εξίσωσης και εκτελούμε απλοποιήσεις:

- προκύπτει η δεξιά πλευρά της αρχικής εξίσωσης, άρα η ρίζα βρίσκεται σωστά.

…Τώρα-τώρα…Θα διαλέξω κάτι πιο ενδιαφέρον για εσάς… περιμένετε:

Παράδειγμα 6

λύσει την εξίσωση

Αυτή η εξίσωσημειώνεται στη μορφή , και ως εκ τούτου είναι γραμμικό. Η υπόδειξη, νομίζω, είναι σαφής - προχωρήστε!

Φυσικά ... πώς μπορείς να ζήσεις χωρίς αυτό:

Τετραγωνική εξίσωση με μιγαδικούς συντελεστές

Στο μάθημα Μιγαδικοί αριθμοί για ανδρείκελατο μάθαμε τετραγωνική εξίσωσημε πραγματικούς συντελεστές μπορεί να έχει συζευγμένες μιγαδικές ρίζες, μετά από τις οποίες τίθεται ένα λογικό ερώτημα: γιατί, στην πραγματικότητα, οι ίδιοι οι συντελεστές δεν μπορούν να είναι σύνθετοι; θα διατυπώσω γενική περίπτωση:

Τετραγωνική εξίσωση με αυθαίρετους μιγαδικούς συντελεστές (1 ή 2 από τα οποία ή και τα τρία μπορεί να είναι ιδιαίτερα έγκυρα)Εχει δύο και μόνο δύοσύνθετες ρίζες (πιθανόν ένα από τα οποία ή και τα δύο να είναι έγκυρα). Ενώ οι ρίζες (τόσο πραγματικό όσο και με μη μηδενικό φανταστικό μέρος)μπορεί να συμπίπτει (να είναι πολλαπλάσιο).

Μια τετραγωνική εξίσωση με μιγαδικούς συντελεστές λύνεται με τον ίδιο τρόπο όπως «σχολική» εξίσωση, με κάποιες διαφορές στην υπολογιστική τεχνική:

Παράδειγμα 7

Βρείτε τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Λύση: η φανταστική μονάδα είναι στην πρώτη θέση και, καταρχήν, μπορείτε να απαλλαγείτε από αυτήν (πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές με ), ωστόσο, δεν υπάρχει ιδιαίτερη ανάγκη για αυτό.

Για ευκολία, γράφουμε τους συντελεστές:

Δεν χάνουμε το «μείον» του ελεύθερου μέλους! ... Μπορεί να μην είναι σαφές σε όλους - θα ξαναγράψω την εξίσωση μέσα τυποποιημένη μορφή :

Ας υπολογίσουμε τη διάκριση:

Εδώ είναι το κύριο εμπόδιο:

Εφαρμογή γενικός τύποςεξαγωγή ρίζας (δείτε την τελευταία παράγραφο του άρθρου Μιγαδικοί αριθμοί για ανδρείκελα) περιπλέκεται από σοβαρές δυσκολίες που σχετίζονται με το όρισμα του ριζικού μιγαδικού αριθμού (κοιταξε και μονος σου). Υπάρχει όμως και άλλος, «αλγεβρικός» τρόπος! Θα αναζητήσουμε τη ρίζα στη μορφή:

Ας τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές:

Δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι αν το πραγματικό και το φανταστικό μέρος τους είναι ίσα. Έτσι, παίρνουμε επόμενο σύστημα:

Το σύστημα είναι πιο εύκολο να λυθεί επιλέγοντας (ένας πιο εμπεριστατωμένος τρόπος είναι να εκφράσουμε από τη 2η εξίσωση - να αντικαταστήσουμε στην 1η, να πάρουμε και να λύσουμε διτετραγωνική εξίσωση) . Υποθέτοντας ότι ο συγγραφέας του προβλήματος δεν είναι τέρας, υποθέτουμε ότι και είναι ακέραιοι. Από την 1η εξίσωση προκύπτει ότι "x" moduloπερισσότερο από το "y". Επιπλέον, το θετικό προϊόν μας λέει ότι οι άγνωστοι είναι του ίδιου ζωδίου. Με βάση τα παραπάνω και εστιάζοντας στη 2η εξίσωση, γράφουμε όλα τα ζεύγη που ταιριάζουν με αυτήν:

Προφανώς, τα δύο τελευταία ζεύγη ικανοποιούν την 1η εξίσωση του συστήματος, επομένως:

Ένας ενδιάμεσος έλεγχος δεν θα βλάψει:

που επρόκειτο να ελεγχθεί.

Ως "εργαζόμενη" ρίζα, μπορείτε να επιλέξετε όποιοςέννοια. Είναι σαφές ότι είναι καλύτερο να πάρετε την έκδοση χωρίς τα "μειονεκτήματα":

Βρίσκουμε τις ρίζες, χωρίς να ξεχνάμε, παρεμπιπτόντως, ότι:

Απάντηση:

Ας ελέγξουμε αν οι ρίζες που βρέθηκαν ικανοποιούν την εξίσωση :

1) Αντικαταστάτης:

σωστή ισότητα.

2) Αντικαταστάτης:

σωστή ισότητα.

Έτσι, η λύση βρίσκεται σωστά.

Εμπνευσμένο από το πρόβλημα που μόλις συζητήθηκε:

Παράδειγμα 8

Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης

πρέπει να σημειωθεί ότι Τετραγωνική ρίζααπό καθαρά σύνθετηΟι αριθμοί εξάγονται τέλεια και χρησιμοποιώντας τον γενικό τύπο , όπου , επομένως και οι δύο μέθοδοι εμφανίζονται στο δείγμα. Η δεύτερη χρήσιμη παρατήρηση αφορά το γεγονός ότι η προκαταρκτική εξαγωγή της ρίζας από τη σταθερά δεν απλοποιεί καθόλου τη λύση.

Και τώρα μπορείτε να χαλαρώσετε - σε αυτό το παράδειγμα, θα κατεβείτε με έναν ελαφρύ τρόμο :)

Παράδειγμα 9

Λύστε την εξίσωση και ελέγξτε

Λύσεις και απαντήσεις στο τέλος του μαθήματος.

Η τελευταία παράγραφος του άρθρου είναι αφιερωμένη σε

σύστημα εξισώσεων με μιγαδικούς αριθμούς

Χαλαρώσαμε και ... δεν ζοριζόμαστε =) Σκεφτείτε απλούστερη περίπτωση- σύστημα δύο γραμμικές εξισώσειςμε δύο άγνωστα:

Παράδειγμα 10

Λύστε το σύστημα των εξισώσεων. Παρουσιάστε την απάντηση σε αλγεβρικές και εκθετικές μορφές, απεικονίστε τις ρίζες στο σχέδιο.

Λύση: η ίδια η συνθήκη υποδηλώνει ότι το σύστημα έχει μια μοναδική λύση, δηλαδή πρέπει να βρούμε δύο αριθμούς που να ικανοποιούν στον καθέναεξίσωση συστήματος.

Το σύστημα μπορεί πραγματικά να λυθεί με «παιδικό» τρόπο (εκφράζουν μια μεταβλητή με όρους μιας άλλης) , αλλά είναι πολύ πιο βολικό στη χρήση Οι τύποι του Cramer. Υπολογίζω κύριος καθοριστικός παράγονταςσυστήματα:

, οπότε το σύστημα έχει μια μοναδική λύση.

Επαναλαμβάνω ότι είναι καλύτερα να μην βιαστείτε και να συνταγογραφήσετε τα βήματα όσο το δυνατόν λεπτομερέστερα:

Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με μια φανταστική μονάδα και παίρνουμε την 1η ρίζα:

Ομοίως:

Οι αντίστοιχες δεξιές πλευρές, π.τ.π.

Ας εκτελέσουμε το σχέδιο:

Αντιπροσωπεύουμε τις ρίζες σε εκθετική μορφή. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να βρείτε τις ενότητες και τα επιχειρήματά τους:

1) - η εφαπτομένη του τόξου του "δύο" υπολογίζεται "κακώς", οπότε το αφήνουμε ως εξής:

Για να λύσετε προβλήματα με μιγαδικούς αριθμούς, πρέπει να κατανοήσετε τους βασικούς ορισμούς. το κύριο καθήκοναυτού του άρθρου ανασκόπησης - να εξηγήσει τι είναι οι μιγαδικοί αριθμοί και να παρουσιάσει μεθόδους για την επίλυση βασικών προβλημάτων με μιγαδικούς αριθμούς. Έτσι, ένας μιγαδικός αριθμός είναι ένας αριθμός της φόρμας z = a + bi, όπου α, β- πραγματικοί αριθμοί, οι οποίοι ονομάζονται τα πραγματικά και φανταστικά μέρη του μιγαδικού αριθμού, αντίστοιχα, και δηλώνουν a = Re(z), b=Im(z).
Εγώονομάζεται φανταστική μονάδα. i 2 \u003d -1. Συγκεκριμένα, οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός μπορεί να θεωρηθεί σύνθετος: a = a + 0i, όπου το α είναι πραγματικό. Αν a = 0και b ≠ 0, τότε ο αριθμός ονομάζεται καθαρά φανταστικός.

Εισάγουμε τώρα πράξεις σε μιγαδικούς αριθμούς.
Θεωρήστε δύο μιγαδικούς αριθμούς z 1 = a 1 + b 1 iκαι z 2 = a 2 + b 2 i.

Σκεφτείτε z = a + bi.

Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών επεκτείνει το σύνολο των πραγματικών αριθμών, το οποίο με τη σειρά του επεκτείνει το σύνολο ρητοί αριθμοίκαι τα λοιπά. Αυτή η αλυσίδα επενδύσεων φαίνεται στο σχήμα: N - ακέραιοι αριθμοί, Z είναι ακέραιοι, Q είναι ορθολογικοί, R είναι πραγματικοί, C είναι μιγαδικοί.

Αναπαράσταση μιγαδικών αριθμών

Αλγεβρική σημειογραφία.

Θεωρήστε έναν μιγαδικό αριθμό z = a + bi, αυτή η μορφή γραφής ενός μιγαδικού αριθμού ονομάζεται αλγεβρικός. Έχουμε ήδη συζητήσει λεπτομερώς αυτήν τη μορφή γραφής στην προηγούμενη ενότητα. Χρησιμοποιήστε συχνά το παρακάτω ενδεικτικό σχέδιο

τριγωνομετρική μορφή.

Από το σχήμα φαίνεται ότι ο αριθμός z = a + biμπορεί να γραφτεί διαφορετικά. Είναι προφανές ότι a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, Συνεπώς z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) ονομάζεται όρισμα ενός μιγαδικού αριθμού. Αυτή η αναπαράσταση ενός μιγαδικού αριθμού ονομάζεται τριγωνομετρική μορφή. Η τριγωνομετρική μορφή σημειογραφίας είναι μερικές φορές πολύ βολική. Για παράδειγμα, είναι βολικό να το χρησιμοποιήσετε για την αύξηση ενός μιγαδικού αριθμού σε μια ακέραια δύναμη, δηλαδή, εάν z = rcos(φ) + rsin(φ)i, έπειτα z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, αυτός ο τύπος ονομάζεται Η φόρμουλα του De Moivre.

Επιδεικτική μορφή.

Σκεφτείτε z = rcos(φ) + rsin(φ)iείναι ένας μιγαδικός αριθμός σε τριγωνομετρική μορφή, τον γράφουμε με διαφορετική μορφή z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, η τελευταία ισότητα προκύπτει από τον τύπο Euler, οπότε παίρνουμε νέα μορφήκαταχωρήσεις μιγαδικών αριθμών: z = re iφ, το οποιο ονομαζεται εκδηλωτικός. Αυτή η μορφή σημειογραφίας είναι επίσης πολύ βολική για την αύξηση ενός μιγαδικού αριθμού σε δύναμη: z n = r n e inφ, εδώ nόχι απαραίτητα ακέραιος, αλλά μπορεί να είναι αυθαίρετος πραγματικός αριθμός. Αυτή η μορφή γραφής χρησιμοποιείται αρκετά συχνά για την επίλυση προβλημάτων.

Θεμελιώδες θεώρημα ανώτερης άλγεβρας

Φανταστείτε ότι έχουμε μια τετραγωνική εξίσωση x 2 + x + 1 = 0 . Προφανώς, η διάκριση αυτής της εξίσωσης είναι αρνητική και δεν έχει πραγματικές ρίζες, αλλά αποδεικνύεται ότι αυτή η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές μιγαδικές ρίζες. Έτσι, το κύριο θεώρημα της ανώτερης άλγεβρας δηλώνει ότι οποιοδήποτε πολυώνυμο βαθμού n έχει τουλάχιστον μία σύνθετη ρίζα. Από αυτό προκύπτει ότι οποιοδήποτε πολυώνυμο βαθμού n έχει ακριβώς n μιγαδικές ρίζες, λαμβάνοντας υπόψη την πολλαπλότητά τους. Αυτό το θεώρημα είναι πολύ σημαντικό αποτέλεσμαστα μαθηματικά και χρησιμοποιείται ευρέως. Μια απλή συνέπεια αυτού του θεωρήματος είναι το ακόλουθο αποτέλεσμα: υπάρχουν ακριβώς n διάφορες ρίζεςεξουσίες ν από ενότητα.

Κύριοι τύποι εργασιών

Αυτή η ενότητα θα καλύψει τους κύριους τύπους απλές εργασίεςσε μιγαδικούς αριθμούς. Συμβατικά, τα προβλήματα σε μιγαδικούς αριθμούς μπορούν να χωριστούν στις ακόλουθες κατηγορίες.

• Εκτέλεση απλών αριθμητικών πράξεων σε μιγαδικούς αριθμούς.
• Εύρεση των ριζών πολυωνύμων σε μιγαδικούς αριθμούς.
• Αύξηση μιγαδικών αριθμών σε δύναμη.
• Εξαγωγή ριζών από μιγαδικούς αριθμούς.
• Εφαρμογή μιγαδικών αριθμών για επίλυση άλλων προβλημάτων.

Τώρα σκεφτείτε γενικές τεχνικέςλύσεις σε αυτά τα προβλήματα.

Η εκτέλεση των απλούστερων αριθμητικών πράξεων με μιγαδικούς αριθμούς γίνεται σύμφωνα με τους κανόνες που περιγράφονται στην πρώτη ενότητα, αλλά εάν οι μιγαδικοί αριθμοί παρουσιάζονται σε τριγωνομετρικές ή εκθετικές μορφές, τότε σε αυτήν την περίπτωση μπορούν να μετατραπούν σε αλγεβρική μορφή και να εκτελέσουν πράξεις σύμφωνα με γνωστούς κανόνες.

Η εύρεση των ριζών των πολυωνύμων συνήθως καταλήγει στην εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια τετραγωνική εξίσωση, αν η διάκρισή της είναι μη αρνητική, τότε οι ρίζες της θα είναι πραγματικές και βρίσκονται σύμφωνα με έναν γνωστό τύπο. Εάν η διάκριση είναι αρνητική, τότε D = -1∙a 2, όπου έναείναι ένας ορισμένος αριθμός, τότε μπορούμε να αναπαραστήσουμε το διακριτικό στη μορφή D = (ia) 2, Συνεπώς √D = i|a|, και στη συνέχεια μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διάσημη φόρμουλαγια τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης.

Παράδειγμα. Ας επιστρέψουμε στην τετραγωνική εξίσωση που αναφέρθηκε παραπάνω x 2 + x + 1 = 0.
Διακριτικός - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
Τώρα μπορούμε εύκολα να βρούμε τις ρίζες:

Η αύξηση των μιγαδικών αριθμών σε δύναμη μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους. Εάν θέλετε να αυξήσετε έναν μιγαδικό αριθμό σε αλγεβρική μορφή σε μια μικρή δύναμη (2 ή 3), τότε μπορείτε να το κάνετε με άμεσο πολλαπλασιασμό, αλλά εάν ο βαθμός είναι μεγαλύτερος (στα προβλήματα είναι συχνά πολύ μεγαλύτερος), τότε πρέπει να γράψτε αυτόν τον αριθμό σε τριγωνομετρικές ή εκθετικές μορφές και χρησιμοποιήστε ήδη γνωστές μεθόδους.

Παράδειγμα. Θεωρούμε z = 1 + i και ανεβάζουμε στη δέκατη δύναμη.
Γράφουμε z σε εκθετική μορφή: z = √2 e iπ/4 .
Επειτα z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Ας επιστρέψουμε στην αλγεβρική μορφή: z 10 = -32i.

Η εξαγωγή ριζών από μιγαδικούς αριθμούς είναι η αντίστροφη πράξη της εκθέσεως, επομένως γίνεται με παρόμοιο τρόπο. Για την εξαγωγή των ριζών, χρησιμοποιείται συχνά η εκθετική μορφή γραφής ενός αριθμού.

Παράδειγμα. Βρείτε όλες τις ρίζες του βαθμού 3 της ενότητας. Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε όλες τις ρίζες της εξίσωσης z 3 = 1, θα αναζητήσουμε τις ρίζες σε εκθετική μορφή.
Αντικαταστήστε στην εξίσωση: r 3 e 3iφ = 1 ή r 3 e 3iφ = e 0 .
Επομένως: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, επομένως φ = 2πk/3.
Διάφορες ρίζες λαμβάνονται σε φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Επομένως 1 , e i2π/3 , e i4π/3 είναι ρίζες.
Ή σε αλγεβρική μορφή:

Ο τελευταίος τύπος εργασίας περιλαμβάνει μεγάλο πλήθοςπροβλήματα και δεν υπάρχουν γενικές μέθοδοι επίλυσής τους. Ακολουθεί ένα απλό παράδειγμα μιας τέτοιας εργασίας:

Βρείτε το ποσό sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Αν και η διατύπωση αυτού του προβλήματος δεν το κάνει υπό αμφισβήτησηγια μιγαδικούς αριθμούς, αλλά με τη βοήθειά τους μπορεί να λυθεί εύκολα. Για την επίλυσή του χρησιμοποιούνται οι ακόλουθες παραστάσεις:


Αν τώρα αντικαταστήσουμε αυτήν την αναπαράσταση με το άθροισμα, τότε το πρόβλημα ανάγεται στο άθροισμα της συνήθους γεωμετρικής προόδου.

συμπέρασμα

Οι μιγαδικοί αριθμοί χρησιμοποιούνται ευρέως στα μαθηματικά, σε αυτό το άρθρο ανασκόπησης εξετάστηκαν οι βασικές πράξεις σε μιγαδικούς αριθμούς, περιγράφηκαν και περιγράφηκαν εν συντομία διάφοροι τύποι τυπικών προβλημάτων κοινές μεθόδουςτις λύσεις τους, για πιο λεπτομερή μελέτη των δυνατοτήτων των μιγαδικών αριθμών, συνιστάται η χρήση εξειδικευμένης βιβλιογραφίας.

Βιβλιογραφία

Η υπηρεσία επίλυσης εξισώσεων στο διαδίκτυο θα σας βοηθήσει να λύσετε οποιαδήποτε εξίσωση. Χρησιμοποιώντας τον ιστότοπό μας, όχι μόνο θα λάβετε την απάντηση στην εξίσωση, αλλά και θα δείτε λεπτομερής λύση, δηλαδή μια βήμα προς βήμα απεικόνιση της διαδικασίας απόκτησης του αποτελέσματος. Η υπηρεσία μας θα είναι χρήσιμη για μαθητές γυμνασίου σχολεία γενικής εκπαίδευσηςκαι τους γονείς τους. Οι μαθητές θα είναι σε θέση να προετοιμαστούν για τεστ, εξετάσεις, να δοκιμάσουν τις γνώσεις τους και οι γονείς θα μπορούν να ελέγχουν την απόφαση μαθηματικές εξισώσειςμε τα παιδιά τους. Η ικανότητα επίλυσης εξισώσεων είναι υποχρεωτική προϋπόθεση για τους μαθητές. Η υπηρεσία θα σας βοηθήσει να αυτομάθετε και να βελτιώσετε τις γνώσεις σας στον τομέα των μαθηματικών εξισώσεων. Με αυτό, μπορείτε να λύσετε οποιαδήποτε εξίσωση: τετραγωνική, κυβική, παράλογη, τριγωνομετρική κ.λπ. ηλεκτρονική υπηρεσίααλλά ανεκτίμητο, γιατί εκτός από τη σωστή απάντηση, παίρνετε μια λεπτομερή λύση σε κάθε εξίσωση. Οφέλη από την επίλυση εξισώσεων στο διαδίκτυο. Μπορείτε να λύσετε οποιαδήποτε εξίσωση διαδικτυακά στον ιστότοπό μας εντελώς δωρεάν. Η υπηρεσία είναι πλήρως αυτόματη, δεν χρειάζεται να εγκαταστήσετε τίποτα στον υπολογιστή σας, απλά πρέπει να εισάγετε τα δεδομένα και το πρόγραμμα θα εκδώσει μια λύση. Τυχόν λάθη υπολογισμού ή τυπογραφικά λάθη εξαιρούνται. Είναι πολύ εύκολο να λύσετε οποιαδήποτε εξίσωση στο διαδίκτυο μαζί μας, γι' αυτό φροντίστε να χρησιμοποιήσετε τον ιστότοπό μας για να λύσετε κάθε είδους εξίσωση. Χρειάζεται μόνο να εισαγάγετε τα δεδομένα και ο υπολογισμός θα ολοκληρωθεί σε δευτερόλεπτα. Το πρόγραμμα λειτουργεί ανεξάρτητα, χωρίς ανθρώπινη παρέμβαση και παίρνετε ακριβή και λεπτομερή απάντηση. Επίλυση της εξίσωσης στο γενική εικόνα. Σε μια τέτοια εξίσωση, οι μεταβλητοί συντελεστές και οι επιθυμητές ρίζες αλληλοσυνδέονται. Η υψηλότερη ισχύς μιας μεταβλητής καθορίζει τη σειρά μιας τέτοιας εξίσωσης. Με βάση αυτό, για τις εξισώσεις χρήση διάφορες μεθόδουςκαι θεωρήματα για την εύρεση λύσεων. Επίλυση Εξισώσεων αυτού του τύπουσημαίνει την εύρεση των επιθυμητών ριζών με γενικούς όρους. Η υπηρεσία μας σάς επιτρέπει να λύσετε ακόμη και την πιο περίπλοκη αλγεβρική εξίσωση online. Μπορείτε να πάρετε τόσο τη γενική λύση της εξίσωσης όσο και την ιδιωτική λύση για αυτές που καθορίσατε. αριθμητικές τιμέςσυντελεστές. Για να λύσετε μια αλγεβρική εξίσωση στον ιστότοπο, αρκεί να συμπληρώσετε σωστά μόνο δύο πεδία: το αριστερό και το δεξί μέρος δεδομένη εξίσωση. Στο αλγεβρικές εξισώσειςμε μεταβλητούς συντελεστές, άπειρο αριθμό λύσεων και θέτοντας ορισμένες προϋποθέσεις, επιλέγονται ιδιωτικές από το σύνολο των λύσεων. Τετραγωνική εξίσωση. Η τετραγωνική εξίσωση έχει τη μορφή ax^2+bx+c=0 για a>0. Επίλυση Εξισώσεων τετράγωνη θέασυνεπάγεται την εύρεση τιμών x για τις οποίες ικανοποιείται η ισότητα ax^2+bx+c=0. Για να γίνει αυτό, η τιμή του διαχωριστή βρίσκεται από τον τύπο D=b^2-4ac. Εάν η διάκριση είναι μικρότερη από το μηδέν, τότε η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες (οι ρίζες είναι από το πεδίο των μιγαδικών αριθμών), εάν είναι μηδέν, τότε η εξίσωση έχει μία πραγματική ρίζα και αν η διακρίνουσα Πάνω απο το μηδέν, τότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες, οι οποίες βρίσκονται με τον τύπο: D \u003d -b + -sqrt / 2a. Για να λύσετε μια τετραγωνική εξίσωση στο διαδίκτυο, απλά πρέπει να εισαγάγετε τους συντελεστές μιας τέτοιας εξίσωσης (ακέραιοι αριθμοί, κλάσματα ή δεκαδικές τιμές). Εάν υπάρχουν πρόσημα αφαίρεσης στην εξίσωση, πρέπει να βάλετε ένα μείον μπροστά από τους αντίστοιχους όρους της εξίσωσης. Μπορείτε επίσης να λύσετε μια τετραγωνική εξίσωση διαδικτυακά ανάλογα με την παράμετρο, δηλαδή τις μεταβλητές στους συντελεστές της εξίσωσης. Η ηλεκτρονική μας υπηρεσία για εύρεση κοινές λύσεις. Γραμμικές εξισώσεις. Για την επίλυση γραμμικών εξισώσεων (ή συστημάτων εξισώσεων), χρησιμοποιούνται στην πράξη τέσσερις κύριες μέθοδοι. Ας περιγράψουμε λεπτομερώς κάθε μέθοδο. Μέθοδος αντικατάστασης. Η επίλυση εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αντικατάστασης απαιτεί την έκφραση μιας μεταβλητής ως προς τις άλλες. Μετά από αυτό, η έκφραση αντικαθίσταται με άλλες εξισώσεις του συστήματος. Εξ ου και το όνομα της μεθόδου λύσης, δηλαδή, αντί για μεταβλητή, αντικαθίσταται η έκφρασή της μέσω των υπόλοιπων μεταβλητών. Στην πράξη, η μέθοδος απαιτεί πολύπλοκους υπολογισμούς, αν και είναι εύκολο να γίνει κατανοητό, επομένως η επίλυση μιας τέτοιας εξίσωσης διαδικτυακά θα εξοικονομήσει χρόνο και θα κάνει τους υπολογισμούς ευκολότερους. Απλά πρέπει να καθορίσετε τον αριθμό των αγνώστων στην εξίσωση και να συμπληρώσετε τα δεδομένα από γραμμικές εξισώσεις, τότε η υπηρεσία θα κάνει τον υπολογισμό. Μέθοδος Gauss. Η μέθοδος βασίζεται στους απλούστερους μετασχηματισμούς του συστήματος για να καταλήξουμε ισοδύναμο σύστημα τριγωνικός. Τα άγνωστα καθορίζονται ένα προς ένα από αυτό. Στην πράξη, απαιτείται η επίλυση μιας τέτοιας εξίσωσης διαδικτυακά με Λεπτομερής περιγραφή, χάρη στην οποία θα καταλάβετε καλά τη μέθοδο Gauss για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Καταγράψτε το σύστημα γραμμικών εξισώσεων στη σωστή μορφή και λάβετε υπόψη τον αριθμό των αγνώστων για να λύσετε σωστά το σύστημα. Η μέθοδος του Cramer. Αυτή η μέθοδος επιλύει συστήματα εξισώσεων σε περιπτώσεις όπου το σύστημα έχει μια μοναδική λύση. Η κύρια μαθηματική πράξη εδώ είναι ο υπολογισμός προσδιοριστές μήτρας. Η λύση των εξισώσεων με τη μέθοδο Cramer πραγματοποιείται διαδικτυακά, το αποτέλεσμα λαμβάνεται αμέσως με πλήρη και λεπτομερή περιγραφή. Αρκεί απλώς να γεμίσετε το σύστημα με συντελεστές και να επιλέξετε τον αριθμό των άγνωστων μεταβλητών. μέθοδος μήτρας. Αυτή η μέθοδος συνίσταται στη συλλογή των συντελεστών των αγνώστων στον πίνακα Α, των αγνώστων στη στήλη Χ και των ελεύθερων όρων στη στήλη Β. Έτσι, το σύστημα γραμμικών εξισώσεων μειώνεται σε εξίσωση μήτραςτης μορφής AxX=B. Αυτή η εξίσωση έχει μοναδική λύση μόνο εάν η ορίζουσα του πίνακα Α είναι μη μηδενική, διαφορετικά το σύστημα δεν έχει λύσεις ή άπειρο αριθμό λύσεων. Επίλυση Εξισώσεων μέθοδος μήτραςείναι να βρεις αντίστροφη μήτραΑΛΛΑ.

Η χρήση των εξισώσεων είναι ευρέως διαδεδομένη στη ζωή μας. Χρησιμοποιούνται σε πολλούς υπολογισμούς, κατασκευές κατασκευών ακόμα και σε αθλήματα. Οι εξισώσεις χρησιμοποιούνται από τον άνθρωπο από την αρχαιότητα και από τότε η χρήση τους έχει αυξηθεί. Για λόγους σαφήνειας, ας λύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα:

Υπολογίστε \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] εάν \

Πρώτα απ 'όλα, ας δώσουμε προσοχή στο γεγονός ότι ένας αριθμός αναπαρίσταται σε αλγεβρική μορφή, ο άλλος - σε τριγωνομετρική μορφή. Πρέπει να απλοποιηθεί και επόμενο είδος

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

Η έκφραση \ λέει ότι, πρώτα απ 'όλα, κάνουμε πολλαπλασιασμό και αύξηση στη 10η δύναμη σύμφωνα με τον τύπο Moivre. Αυτός ο τύπος διατυπώθηκε για την τριγωνομετρική μορφή ενός μιγαδικού αριθμού. Παίρνουμε:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Τηρώντας τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό μιγαδικών αριθμών σε τριγωνομετρική μορφή, θα κάνουμε τα εξής:

Στην περίπτωσή μας:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

Κάνοντας σωστό το κλάσμα \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\], συμπεραίνουμε ότι είναι δυνατό να "στρίψουμε" 4 στροφές \[(8\pi rad.):\ ]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Απάντηση: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Αυτή η εξίσωση μπορεί να λυθεί με άλλο τρόπο, ο οποίος συνοψίζεται στο να φέρουμε τον 2ο αριθμό σε αλγεβρική μορφή, στη συνέχεια να εκτελέσουμε τον πολλαπλασιασμό σε αλγεβρική μορφή, να μεταφράσουμε το αποτέλεσμα σε τριγωνομετρική μορφή και να εφαρμόσουμε τον τύπο Moivre:

Πού μπορώ να λύσω ένα σύστημα εξισώσεων με μιγαδικούς αριθμούς online;

Μπορείτε να λύσετε το σύστημα εξισώσεων στον ιστότοπό μας https: // site. Ο δωρεάν διαδικτυακός λύτης θα σας επιτρέψει να λύσετε μια διαδικτυακή εξίσωση οποιασδήποτε πολυπλοκότητας σε δευτερόλεπτα. Το μόνο που έχετε να κάνετε είναι απλώς να εισαγάγετε τα δεδομένα σας στο πρόγραμμα επίλυσης. Μπορείτε επίσης να παρακολουθήσετε τις οδηγίες βίντεο και να μάθετε πώς να λύσετε την εξίσωση στον ιστότοπό μας. Και αν έχετε οποιεσδήποτε ερωτήσεις, μπορείτε να τις ρωτήσετε στην ομάδα Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Γίνετε μέλος της ομάδας μας, είμαστε πάντα στην ευχάριστη θέση να σας βοηθήσουμε.