Kui modelleerimise eesmärk on selge, siis tekib järgmine ülesanne - konstrueerimise ülesanne matemaatiline mudel. Selles etapis tõlgitakse esialgsed eeldused selgesse, üheselt mõistetavasse kvantitatiivsete suhete keelde ja elimineeritakse hägused, mitmetähenduslikud väited või definitsioonid, mis asendatakse võib-olla ligikaudsete, kuid selgete väidetega, mis ei võimalda erinevaid tõlgendusi.

Matemaatilise mudeli konstrueerimine toimub järgmises järjestuses:

1) mudelite ja alammudelite tüübi valik;

2) mudelite (alamudelite) struktuuri ja koostise kujundamine;

3) üksikute alammudelite väljatöötamine;

4) mudeli kui terviku kokkupanek;

5) mudeli parameetrite tuvastamine ja lähteandmete koostamine;

6) süsteemi mudeli valideerimine.

Esimesel ja teisel alametapil vormistatakse süsteemi kirjeldus: tehakse kindlaks selle struktuur ja olulised sõltuvused elementide vahel. Nende kahe alaetapi põhiülesanne on saada matemaatiline kirjeldus simuleeritud süsteemis toimuvatest protsessidest ja selle plokkskeem, mis peaks olema identne tööstussüsteemi plokkskeemiga.

Süsteemi suure keerukuse korral jaguneb süsteemi tööprotsess algselt eraldiseisvateks, üsna autonoomseteks alamprotsessideks. Seega on mudel funktsionaalselt jaotatud alammudeliteks, millest igaüks saab omakorda jagada veelgi väiksemateks elementideks.

Õigesti konstrueeritud mudelile on iseloomulik, et see paljastab ainult need mustrid, mida uurija vajab, mitte ei arvesta süsteemi omadustega. , jaoks pole hädavajalik see uuring. Tuleb märkida, et originaal ja mudel peavad olema üheaegselt mõnes osas sarnased ja mõnes osas erinevad, mis võimaldab välja tuua olulisemad uuritavad omadused.

Üksikute alammudelite väljatöötamine seisneb nende matemaatilise kirjelduse koostamises: protsessi parameetrite vaheliste seoste loomisel ning nende piir- ja algtingimuste tuvastamisel, samuti protsessi formaliseerimisel uuritavat objekti iseloomustavate matemaatiliste seoste süsteemi kujul ( tehnoloogiline protsess). Matemaatilise kirjelduse koostamisel kasutatakse kas teoreetilist või statistilist lähenemist (vt punkt 2.2.4).

Selle etapi läbiviimisel on eriti oluline valida minimaalselt nõutava keerukusega matemaatiline mudel. Kui keerulise süsteemi mudel moodustatakse lihtsalt kombineerides madalama taseme allsüsteemide tervikmudeleid, siis võib tekkida ebaproportsionaalsus nõutava täpsuse ja mudeli tegeliku keerukuse vahel. Seda ebaproportsionaalsust saab kõrvaldada madalama taseme mudelite jämedamaks muutmisega (pärast nende üksikasjalikku autonoomset uurimist). Valikud sellised jämedused on:

Mitmekomponendilise protsessi üksikasjalike kirjelduste taandamine põhikomponendiks koos parandusteguritega;

Protsesside olekute ja faaside konsolideerimine;

Tuvastatud sõltuvuste ligikaudne määramine;

Protsesside tunnuste keskmistamine nende argumentidega;

Aeglaselt muutuvate parameetrite külmutamine;

Vähendatud iteratsiooni täpsuse nõuded;

Muutujate vastastikuse sõltuvuse eiramine;

Tuletatud matemaatiliste seoste jaoks määratakse järgmises alametapis nende parameetrid. Praegu kasutatakse laialdaselt erinevaid parameetrite hindamise meetodeid: vähimruutude meetodil, maksimaalse tõenäosuse meetodil, Bayesi, Markovi hinnangul.

Esialgsete andmete ettevalmistamine seisneb uuritava süsteemi vaatlustulemuste kogumises ja töötlemises. Töötlemine seisneb tüüpilisel juhul vastavate juhuslike suuruste jaotusfunktsioonide konstrueerimises või jaotuste arvkarakteristikute arvutamises. Neid algandmeid, mis on saadud reaalses süsteemis tehtud uuringu tulemusel, kasutatakse mudeli parameetritena, kui see arvutis realiseeritakse.

Süsteemimudeli valideerimine on esimene mudeli juurutamisetapis läbiviidavatest kontrollidest. Kuna mudel on reaalse süsteemi toimimise protsessi ligikaudne kirjeldus , kuni mudeli kehtivus on tõestatud , ei saa väita, et selle abiga saadakse tulemusi, mis langevad kokku nendega, mida võiks saada reaalse süsteemiga täismahus katse läbiviimisel . Seetõttu määrab mudeli usaldusväärsuse määramine modelleerimismeetodiga saadud tulemuste usaldusväärsuse. Mudeli kontrollimine vaadeldaval alametapil peaks andma vastuse küsimusele, kuivõrd peegeldavad süsteemimudeli loogiline skeem ja kasutatavad matemaatilised seosed esimeses etapis moodustatud mudeli kavatsust. Samal ajal kontrollitakse ülesande lahendamise võimalikkust, idee kajastamise täpsust loogilises skeemis, mudeli loogilise skeemi täielikkust ja kasutatud matemaatiliste seoste õigsust.

Alles pärast seda, kui arendaja on kõigi nende sätete õigsuses asjakohase kontrolliga veendunud, võib arvata, et süsteemimudeli väljatöötatud loogikaskeem sobib edasiseks tööks mudeli rakendamisel arvutis.

Saada oma head tööd teadmistebaasi on lihtne. Kasutage allolevat vormi

Hea töö saidile">

Üliõpilased, magistrandid, noored teadlased, kes kasutavad teadmistebaasi oma õpingutes ja töös, on teile väga tänulikud.

Sarnased dokumendid

Matemaatika tähtsus meie elus. Konto ajalugu. Arvutusmatemaatika meetodite areng tänapäeval. Matemaatika kasutamine teistes teadustes, roll matemaatiline modelleerimine. Matemaatilise hariduse olukord Venemaal.

artikkel, lisatud 01.05.2010


Matemaatilise modelleerimise põhimõisted, tootmise planeerimise ülesannete ja transpordiülesannete mudelite loomise etappide tunnused; analüütiline ja programmiline lähenemine nende lahendamisele. Lihtne meetod probleemide lahendamiseks lineaarne programmeerimine.

kursusetöö, lisatud 11.12.2011


Mudeli valimise või ehitamise protsess, et uurida originaali teatud omadusi teatud tingimustel. Modelleerimisprotsessi etapid. Matemaatilised mudelid ja nende tüübid. Matemaatiliste mudelite adekvaatsus. Mittevastavus originaali ja mudeli vahel.

test, lisatud 09.10.2016


Matemaatilise modelleerimise olemus. Analüütilised ja simulatsiooni matemaatilised mudelid. Tõstehingedega seadmete mehhanismide geomeetriline, kinemaatiline ja võimsusanalüüs. Liikuva põllumajandusüksuse stabiilsuse arvutamine.

kursusetöö, lisatud 18.12.2015


Ülesannete matemaatiline modelleerimine äritegevus toote valimise protsessi modelleerimise näitel. Lineaarse programmeerimise (müügist maksimaalset tulu pakkuvate toodete tootmise päevaplaani määramine) meetodid ja mudelid.

test, lisatud 16.02.2011


Matemaatika kui äärmiselt võimas ja paindlik vahend maailma uurimisel. Matemaatika roll selles tööstusvaldkond, ehitus, meditsiin ja inimelu. Matemaatilise modelleerimise koht erinevate arhitektuurimudelite loomisel.

esitlus, lisatud 31.03.2015


Matemaatilise modelleerimise põhietapid - nähtuste või objektide klassi ligikaudne kirjeldus päris maailm matemaatika keeles. Teabe kodeerimise meetodid. Seadme ehitamine, mis võimaldab tõlkida morsekoodi masinkoodiks.

kursusetöö, lisatud 28.06.2011


MathCAD süsteemi rakendamine tehnilist laadi rakendusülesannete lahendamisel. Matemaatilise modelleerimise põhivahendid. Lahendus diferentsiaalvõrrandid. MathCad süsteemi kasutamine elektriahelate matemaatiliste mudelite rakendamiseks.

kursusetöö, lisatud 17.11.2016

1. loeng

MODELLEERIMISE METOODILISED ALUSED

Süsteemi modelleerimise probleemi hetkeseis

Modelleerimise ja simulatsiooni kontseptsioonid

Modelleerimine võib käsitleda uuritava objekti (originaali) asendusena tema tingliku kujutise, kirjelduse või muu objektiga, nn. mudel ning teatud eelduste ja vastuvõetavate vigade piires originaalile lähedase käitumise pakkumine. Tavaliselt tehakse modelleerimist eesmärgiga teada originaali omadusi, uurides selle mudelit, mitte objekti ennast. Muidugi on modelleerimine õigustatud juhul, kui see on lihtsam kui originaali enda loomine või kui viimast on mingil põhjusel parem üldse mitte luua.

Under mudel mõistetakse füüsilist või abstraktset objekti, mille omadused on teatud mõttes sarnased uuritava objekti omadustega.Sellisel juhul määrab mudelile esitatavad nõuded lahendatava probleemi ja olemasolevate vahenditega. Mudelite jaoks on mitmeid üldisi nõudeid:

2) täielikkus - adressaadile kogu vajaliku teabe edastamine

objekti kohta;

3) paindlikkus - oskus reprodutseerida kõiges erinevaid olukordi

muutuvate tingimuste ja parameetrite ulatus;

4) arenduse keerukus peaks olema olemasoleva jaoks vastuvõetav

aega ja tarkvara.

Modelleerimine on protsess, mille käigus luuakse objektist mudel ja uuritakse selle omadusi mudelit uurides.

Seega hõlmab modelleerimine kahte peamist etappi:

1) mudeli väljatöötamine;

2) mudeli uurimine ja järelduste tegemine.

Samal ajal igas etapis erinevaid ülesandeid ja kasutatud

olemuselt erinevad meetodid ja vahendid.

Praktikas rakendage erinevaid meetodeid modelleerimine. Sõltuvalt teostusmeetodist võib kõik mudelid jagada kahte suurde klassi: füüsikalised ja matemaatilised.

Matemaatika modelleerimine Seda on tavaks pidada protsesside või nähtuste uurimise vahendiks nende matemaatiliste mudelite abil.

Under füüsiline modelleerimine viitab objektide ja nähtuste uurimisele füüsilistel mudelitel, kui uuritavat protsessi reprodutseeritakse, säilitades samal ajal selle füüsiline olemus või kasutada mõnda muud uuritavaga sarnast füüsikalist nähtust. Kus füüsilised mudelid Reeglina eeldavad nad originaali nende füüsikaliste omaduste tegelikku teostust, mis on konkreetses olukorras hädavajalikud.Näiteks uue lennuki projekteerimisel luuakse selle mudel, millel on samad aerodünaamilised omadused; hoone planeerimisel teevad arhitektid paigutuse, mis peegeldab selle elementide ruumilist paigutust. Sellega seoses nimetatakse ka füüsilist modelleerimist prototüüpimine.

HIL modelleerimine on simulatsioonikomplekside juhitavate süsteemide uurimus koos tegelike seadmete kaasamisega mudelisse. Kinnisesse mudelisse kuuluvad koos reaalsete seadmetega löögi- ja interferentsi simulaatorid, väliskeskkonna matemaatikamudelid ja protsessid, mille kohta pole teada piisavalt täpset matemaatilist kirjeldust. Reaalsete seadmete või reaalsete süsteemide kaasamine keeruliste protsesside modelleerimise ahelasse võimaldab vähendada a priori ebakindlust ja uurida protsesse, mille jaoks puudub täpne matemaatiline kirjeldus. Poolloodusliku simulatsiooni abil tehakse uuringuid, võttes arvesse reaalsele seadmele omaseid väikseid ajakonstante ja mittelineaarsust. Mudelite uurimisel reaalse varustuse kaasamisega kasutatakse kontseptsiooni dünaamiline simulatsioon, uuringus keerulised süsteemid ja nähtused - evolutsiooniline, imitatsioon ja küberneetiline simulatsioon.

Ilmselgelt saab modelleerimisest tegelikku kasu saada ainult siis, kui on täidetud kaks tingimust:

1) mudel annab omaduste õige (adekvaatse) kuva

originaal, uuritava operatsiooni seisukohalt oluline;

2) mudel võimaldab kõrvaldada ülalloetletud probleemid, mis on omased

reaalsete objektide uurimise läbiviimine.

2. Matemaatilise modelleerimise põhimõisted

Praktiliste ülesannete lahendamine matemaatiliste meetoditega toimub järjepidevalt ülesande formuleerimise (matemaatilise mudeli väljatöötamine), saadud matemaatilise mudeli uurimise meetodi valimise ja saadud matemaatilise tulemuse analüüsimise teel. Ülesande matemaatiline sõnastus esitatakse tavaliselt geomeetriliste kujutiste, funktsioonide, võrrandisüsteemide jne kujul. Objekti (nähtuse) kirjeldust saab esitada pidevate või diskreetsete, deterministlike või stohhastiliste jm matemaatilisi vorme kasutades.

Matemaatilise modelleerimise teooria tagab seaduspärasuste tuvastamise ümbritseva maailma erinevate nähtuste kulgemises või süsteemide ja seadmete töös nende matemaatilise kirjeldamise ja modelleerimisega ilma välikatsetusteta. Sel juhul kasutatakse matemaatika sätteid ja seadusi, mis kirjeldavad simuleeritud nähtusi, süsteeme või seadmeid nende idealiseerimise teatud tasemel.

Matemaatiline mudel (MM) on süsteemi (või operatsiooni) formaliseeritud kirjeldus mõnes abstraktses keeles, näiteks matemaatiliste seoste komplekti või algoritmskeemi kujul, s.o. e) selline matemaatiline kirjeldus, mis jäljendab süsteemide või seadmete tööd nende tegelikule käitumisele piisavalt lähedasel tasemel, mis on saadud süsteemide või seadmete välikatsetest.

Iga MM kirjeldab reaalset objekti, nähtust või protsessi teatud määral reaalsusele lähendades. MM-i tüüp sõltub nii reaalobjekti olemusest kui ka uuringu eesmärkidest.

Matemaatika modelleerimine sotsiaalsed, majanduslikud, bioloogilised ja füüsikalised nähtused, objektid, süsteemid ja erinevad seadmed on üks olulisemaid vahendeid looduse mõistmiseks ning väga erinevate süsteemide ja seadmete kujundamiseks. On teada näiteid modelleerimise efektiivsest kasutamisest tuumatehnoloogiate, lennunduse ja kosmosesüsteemide loomisel, atmosfääri- ja ookeaninähtuste, ilmastiku jms prognoosimisel.

Sellised tõsised modelleerimise valdkonnad nõuavad aga sageli superarvuteid ja suurte teadlaste rühmade aastatepikkust tööd, et koostada andmed modelleerimiseks ja selle silumiseks. Sellegipoolest ei säästa keeruliste süsteemide ja seadmete matemaatiline modelleerimine ka sel juhul mitte ainult raha uurimisele ja katsetamisele, vaid võib ka välistada keskkonnakatastroofe – näiteks võimaldab see loobuda tuuma- ja seadmete katsetamisest. termotuumarelvad kasuks selle matemaatiline modelleerimine või kosmosesüsteemide testimine enne nende tegelikke lende. Vahepeal matemaatiline modelleerimine lihtsamate ülesannete lahendamise tasemel, näiteks mehaanika, elektrotehnika, elektroonika, raadiotehnika ja paljude teiste teadusvaldkondade valdkonnast. ja tehnoloogia on nüüdisaegsetes arvutites kasutamiseks saadaval. Ja üldistatud mudelite kasutamisel on võimalik modelleerida üsna keerukaid süsteeme, näiteks telekommunikatsioonisüsteeme ja -võrke, radari- või raadionavigatsioonisüsteeme.

Matemaatilise modelleerimise eesmärk on reaalsete protsesside (looduses või tehnoloogias) analüüs matemaatiliste meetoditega. See omakorda eeldab uuritava MM-protsessi formaliseerimist Mudeliks võib olla matemaatiline avaldis, mis sisaldab muutujaid, mille käitumine on sarnane reaalse süsteemi käitumisega Mudel võib sisaldada juhuslikkuse elemente, mis arvestavad võimalikud tegevused kahe või rohkem"mängijad", nagu näiteks mänguteoorias; või see võib esindada operatsioonisüsteemi omavahel ühendatud osade tegelikke muutujaid.

Matemaatilise modelleerimise süsteemide omaduste uurimiseks võib jagada analüütiliseks, simulatsiooniks ja kombineeritud modelleerimiseks. MM jaguneb omakorda simulatsiooniks ja analüütiliseks.

Analüütiline modelleerimine

Sest analüütiline modelleerimine on iseloomulik, et süsteemi toimimise protsessid on kirja pandud mingite funktsionaalsete seoste kujul (algebralised, diferentsiaal-, integraalvõrrandid). Analüütilist mudelit saab uurida järgmiste meetoditega:

1) analüütiline, kui nad püüavad sisse saada üldine vaade süsteemi omaduste selged sõltuvused;

2) numbriline, kui võrranditele ei ole võimalik lahendust leida üldkujul ja need lahendatakse konkreetsete lähteandmete puhul;

3) kvalitatiivne, kui lahenduse puudumisel leitakse mõned selle omadused.

Analüütilisi mudeleid saab hankida ainult suhteliselt lihtsate süsteemide jaoks. Keeruliste süsteemide puhul tekivad sageli suured matemaatilised probleemid. Analüütilise meetodi rakendamiseks on vaja algset mudelit oluliselt lihtsustada. Lihtsustatud mudeli põhjal tehtud uuring aitab aga saada vaid soovituslikke tulemusi. Analüütilised mudelid kajastavad matemaatiliselt õigesti sisend- ja väljundmuutujate ning parameetrite vahelisi seoseid. Kuid nende struktuur ei peegelda objekti sisemist struktuuri.

Analüütilises modelleerimises esitatakse selle tulemused analüütiliste avaldiste kujul. Näiteks ühendades RC- vooluring allikani pidev pinge E(R, C ja E on selle mudeli komponendid), saame teha pinge ajasõltuvuse analüütilise avaldise u(t) kondensaatoril C:

See on lineaarne diferentsiaalvõrrand (DE) ja on selle lihtsa lineaarahela analüütiline mudel. Selle analüütiline lahendus algtingimustes u(0) = 0, mis tähendab tühjenenud kondensaatorit C simulatsiooni alguses võimaldab teil leida vajaliku sõltuvuse - valemi kujul:

u(t) = E(1− ntlk(- t/RC)). (2)

Kuid isegi selle kõige lihtsama näite puhul tuleb diferentsiaalvõrrandi (1) lahendamiseks või rakendamiseks teha teatavaid jõupingutusi. arvutimatemaatika süsteemid(SCM) sümboolsete arvutustega – arvutialgebrasüsteemid. Selle üsna triviaalse juhtumi jaoks on lineaarse modelleerimise ülesande lahendus RC-ahel annab üsna üldisel kujul analüütilise avaldise (2) - sobib kirjeldama ahela tööd mis tahes komponendi nimiväärtuste korral R, C ja E ja kirjeldab kondensaatori eksponentsiaalset laengut C läbi takisti R pideva pinge allikast E.

Kahtlemata osutub analüütiliste lahenduste leidmine analüütilises modelleerimises ülimalt väärtuslikuks lihtsate lineaarsete ahelate, süsteemide ja seadmete üldiste teoreetiliste seaduspärasuste paljastamisel, kuid selle keerukus suureneb järsult, kui mõju mudelile muutub keerukamaks ning järjekord ja arv. olekuvõrrandid, mis kirjeldavad modelleeritud objekti, suurenevad. Teist-kolmandat järku objekte modelleerides võib saada enam-vähem nähtavaid tulemusi, kuid ka kõrgema järgu puhul muutuvad analüütilised väljendid ülemäära tülikaks, keeruliseks ja raskesti mõistetavaks. Näiteks sisaldab isegi lihtne elektrooniline võimendi sageli kümneid komponente. Kuid paljud kaasaegsed SCM-id, näiteks sümboolse matemaatika süsteemid Maple, Mathematica või kolmapäeval MATLAB suuteline lahendust suurel määral automatiseerima väljakutseid pakkuvad ülesanded analüütiline modelleerimine.

Üks modelleerimise tüüp on numbriline simulatsioon, mis seisneb vajalike kvantitatiivsete andmete hankimises süsteemide või seadmete käitumise kohta mis tahes sobiva numbrilise meetodi, näiteks Euleri või Runge-Kutta meetodi abil. Praktikas on mittelineaarsete süsteemide ja seadmete modelleerimine numbriliste meetodite abil palju tõhusam kui üksikute privaatsete lineaarahelate, süsteemide või seadmete analüütiline modelleerimine. Näiteks DE (1) või DE-de süsteemide lahendamiseks rasked juhtumid analüütilises vormis lahendust ei saada, küll aga saab kasutada arvulisi simulatsiooniandmeid, et saada piisavalt täielikke andmeid simuleeritud süsteemide ja seadmete käitumise kohta ning koostada graafikud, mis kirjeldavad seda sõltuvuste käitumist.

Simulatsioon

Kell imitatsioon Modelleerimisel reprodutseerib mudelit realiseeriv algoritm süsteemi toimimise protsessi ajas. Imiteeritakse protsessi moodustavaid elementaarnähtusi, säilitades nende loogilise ülesehituse ja ajas kulgemise järjestuse.

Simulatsioonimudelite peamine eelis võrreldes analüütiliste mudelitega on võime lahendada keerukamaid probleeme.

Simulatsioonimudelite abil on lihtne arvesse võtta diskreetsete või pidevate elementide olemasolu, mittelineaarseid karakteristikuid, juhuslikke efekte jne. Seetõttu kasutatakse seda meetodit laialdaselt keerukate süsteemide projekteerimisetapis. Peamiseks vahendiks simulatsioonimodelleerimise rakendamisel on arvuti, mis võimaldab süsteeme ja signaale digitaalselt modelleerida.

Sellega seoses määratleme fraasi " arvuti modelleerimine”, mida kirjanduses üha enam kasutatakse. Me eeldame seda arvuti modelleerimine- see on matemaatiline modelleerimine arvutitehnoloogia abil. Seega hõlmab arvutisimulatsiooni tehnoloogia järgmisi toiminguid:

1) modelleerimise eesmärgi määratlemine;

2) kontseptuaalse mudeli väljatöötamine;

3) mudeli vormistamine;

4) mudeli tarkvaraline juurutamine;

5) mudelkatsete planeerimine;

6) katseplaani elluviimine;

7) simulatsioonitulemuste analüüs ja tõlgendamine.

Kell simulatsiooni modelleerimine kasutatav MM reprodutseerib õigeaegselt uuritava süsteemi toimimise algoritmi (“loogikat”) süsteemi ja keskkonna parameetrite erinevate väärtuste kombinatsioonide jaoks.

Lihtsaima analüütilise mudeli näide on ühtlase sirgjoonelise liikumise võrrand. Sellist protsessi simulatsioonimudeli abil uurides tuleks realiseerida läbitud tee muutuse jälgimine ajas Ilmselgelt on mõnel juhul eelistatum analüütiline modelleerimine, mõnel juhul - simulatsioon (või nende kombinatsioon). Hea valiku tegemiseks tuleb vastata kahele küsimusele.

Mis on modelleerimise eesmärk?

Millisesse klassi saab simuleeritud nähtuse omistada?

Mõlemale küsimusele saab vastused modelleerimise kahe esimese etapi läbiviimisel.

Simulatsioonimudelid mitte ainult omadustelt, vaid ka struktuurilt vastavad modelleeritavale objektile. Sel juhul on mudelil saadud protsesside ja objektil toimuvate protsesside vahel ühemõtteline ja selge vastavus. Simulatsioonimodelleerimise puuduseks on see, et hea täpsuse saavutamiseks kulub ülesande lahendamine kaua aega.

Stohhastilise süsteemi toimimise simulatsioonimodelleerimise tulemused on realisatsioonid juhuslikud muutujad või protsessid. Seetõttu on süsteemi omaduste leidmiseks vajalik mitmekordne kordamine ja sellele järgnev andmetöötlus. Kõige sagedamini kasutatakse sel juhul simulatsiooni tüüpi - statistiline

modelleerimine(või Monte Carlo meetod), st. reprodutseerimine juhuslike tegurite, sündmuste, suuruste, protsesside, väljade mudelites.

Statistilise modelleerimise tulemuste põhjal määratakse kontrollitava süsteemi toimimist ja efektiivsust iseloomustavate üldiste ja spetsiifiliste tõenäosuslike kvaliteedikriteeriumide hinnangud. Statistilist modelleerimist kasutatakse laialdaselt teaduslike ja rakenduslike probleemide lahendamiseks erinevates teaduse ja tehnoloogia valdkondades. Statistilise modelleerimise meetodeid kasutatakse laialdaselt keerukate dünaamiliste süsteemide uurimisel, nende toimimise ja efektiivsuse hindamisel.

Statistilise modelleerimise viimane etapp põhineb saadud tulemuste matemaatilisel töötlemisel. Siin kasutatakse matemaatilise statistika meetodeid (parameetriline ja mitteparameetriline hinnang, hüpoteeside testimine). Parameetrilise hindamise näiteks on tulemuslikkuse mõõdiku valimi keskmine. Mitteparameetriliste meetodite hulgas on kõige laialdasemalt kasutatav histogrammi meetod.

Vaadeldav skeem põhineb süsteemi mitmel statistilisel testimisel ja sõltumatute juhuslike suuruste statistika meetoditel, mis ei ole praktikas kaugeltki mitte alati loomulik ja kulude osas optimaalne. Süsteemi testimise aega saab vähendada täpsemate hindamismeetodite kasutamisega. Nagu matemaatilisest statistikast on teada, on efektiivsetel hinnangutel antud valimi suuruse puhul suurim täpsus. Optimaalne filtreerimine ja maksimaalse tõenäosuse meetod annavad üldine meetod selliste hinnangute saamine.Statistilise modelleerimise probleemides on juhuslike protsesside realisatsioonide töötlemine vajalik mitte ainult väljundprotsesside analüüsiks.

Samuti on väga oluline kontrollida sisend juhuslike efektide omadusi. Juhtimine seisneb kontrollimises, kas genereeritud protsesside jaotused vastavad etteantud jaotustele. See ülesanne on sageli sõnastatud järgmiselt hüpoteesi kontrollimise ülesanne.

Üldine trend keeruliste juhitavate süsteemide arvutipõhises simulatsioonis on soov vähendada simulatsiooniaega, samuti viia läbi uuringuid reaalajas. Arvutusalgoritmid on mugavalt esitatud korduval kujul, mis võimaldab neid realiseerida jooksva teabe tempos.

SÜSTEEMLÄHENEMISE PÕHIMÕTTED MODELLEERIMISEL

Süsteemiteooria alused

Süsteemiteooria põhisätted tekkisid dünaamiliste süsteemide ja nende funktsionaalsete elementide uurimise käigus. Süsteemi mõistetakse omavahel seotud elementide rühmana, mis toimivad koos ettemääratud ülesande täitmiseks. Süsteemianalüüs võimaldab teil kõige rohkem kindlaks teha tõelisi viise püstitatud ülesande täitmine, tagades püstitatud nõuete maksimaalse rahuldamise.

Süsteemiteooria aluseks olevaid elemente ei looda hüpoteeside abil, vaid avastatakse eksperimentaalselt. Süsteemi ülesehitamise alustamiseks on vaja tehnoloogiliste protsesside üldisi omadusi. Sama kehtib ka matemaatiliselt sõnastatud kriteeriumide loomise põhimõtete kohta, millele protsess või selle teoreetiline kirjeldus peab vastama. Modelleerimine on üks kõige enam olulised meetodid teaduslikud uuringud ja katsed.

Objektide mudelite ehitamisel kasutatakse süstemaatilist lähenemist, mis on keerukate probleemide lahendamise metoodika, mis põhineb objekti käsitlemisel teatud keskkonnas toimiva süsteemina. Süsteemne lähenemine hõlmab objekti terviklikkuse avalikustamist, selle sisestruktuuri tuvastamist ja uurimist, samuti seoseid väliskeskkonnaga. Sel juhul esitletakse objekti osana reaalsest maailmast, mida tuvastatakse ja uuritakse seoses lahendatava mudeli ehitamise probleemiga. Pealegi, süsteemne lähenemine hõlmab järjepidevat üleminekut üldiselt konkreetsele, kui kaalumisel lähtutakse disainieesmärgist ja objekti vaadeldakse seoses keskkonnaga.

Kompleksse objekti saab jagada alamsüsteemideks, mis on objekti osad, mis vastavad järgmistele nõuetele:

1) allsüsteem on objekti funktsionaalselt iseseisev osa. See on seotud teiste alamsüsteemidega, vahetab nendega teavet ja energiat;

2) iga alamsüsteemi jaoks saab määratleda funktsioone või omadusi, mis ei lange kokku kogu süsteemi omadustega;

3) iga alamsüsteemi saab edasi jagada elementide tasemele.

Sel juhul mõistetakse elemendi all madalama taseme alamsüsteemi, mille edasine jaotamine on lahendatava probleemi seisukohalt ebaotstarbekas.

Seega võib süsteemi määratleda kui objekti esitust alamsüsteemide, elementide ja suhete kogumi kujul selle loomise, uurimise või täiustamise eesmärgil. Samal ajal nimetatakse süsteemi suurendatud esitust, mis sisaldab peamisi alamsüsteeme ja nendevahelisi seoseid, makrostruktuuriks ning süsteemi sisestruktuuri üksikasjalikku avalikustamist elementide tasemele nimetatakse mikrostruktuuriks.

Koos süsteemiga on tavaliselt ka supersüsteem - kõrgema taseme süsteem, mis hõlmab vaadeldavat objekti ja mis tahes süsteemi funktsiooni saab määrata ainult supersüsteemi kaudu.

Esile tuleb tuua keskkonna mõiste kui välismaailma objektide kogum, mis oluliselt mõjutavad süsteemi efektiivsust, kuid ei ole osa süsteemist ja selle supersüsteemist.

Seoses süstemaatilise lähenemisega mudelite ehitamisele kasutatakse taristu mõistet, mis kirjeldab süsteemi suhet selle keskkonnaga (keskkonnaga), sel juhul objekti oluliste omaduste valik, kirjeldamine ja uurimine. konkreetse ülesande raames nimetatakse objekti kihistumist ja iga objekti mudelit on selle stratifitseeritud kirjeldus.

Süstemaatilise lähenemise jaoks on oluline kindlaks määrata süsteemi struktuur, s.o. seoste kogum süsteemi elementide vahel, mis peegeldab nende koostoimet. Selleks kaalume esmalt modelleerimise struktuurseid ja funktsionaalseid lähenemisviise.

Struktuurse lähenemisega selgub süsteemi valitud elementide koostis ja nendevahelised seosed. Elementide ja suhete kogum võimaldab hinnata süsteemi struktuuri. Struktuuri kõige üldisem kirjeldus on topoloogiline kirjeldus. See võimaldab graafikute abil määratleda süsteemi komponendid ja nende seosed. Vähem üldine on funktsionaalne kirjeldus, kui vaadeldakse üksikuid funktsioone, st süsteemi käitumise algoritme. Samal ajal rakendatakse funktsionaalset lähenemist, mis määrab funktsioonid, mida süsteem täidab.

Süstemaatilise lähenemise alusel saab välja pakkuda mudeli väljatöötamise järjekorra, kus eristatakse kahte peamist projekteerimisetappi: makrodisain ja mikrodisain.

Makrodisaini etapis ehitatakse üles väliskeskkonna mudel, tuvastatakse ressursid ja piirangud, valitakse süsteemimudel ja kriteeriumid adekvaatsuse hindamiseks.

Mikrodisaini etapp sõltub suuresti valitud mudeli tüübist. Üldjuhul hõlmab see teabe, matemaatilise, tehnilise ja tarkvaralise toe loomist modelleerimissüsteemile. Selles etapis määratakse kindlaks loodud mudeli peamised tehnilised omadused, hinnatakse sellega töötamise aega ja ressursside maksumust mudeli antud kvaliteedi saavutamiseks.

Sõltumata mudeli tüübist tuleb selle ehitamisel juhinduda mitmest süstemaatilise lähenemisviisi põhimõttest:

1) järjepidev edasiminek läbi mudeli loomise etappide;

2) teabe, ressursi, usaldusväärsuse ja muude tunnuste koordineerimine;

3) mudeliehituse erinevate tasemete õige vahekord;

4) mudeli kavandamise üksikute etappide terviklikkus.

Matemaatilise mudeli koostamiseks vajate:

1. analüüsige hoolikalt tegelikku objekti või protsessi;
2. tõsta esile selle olulisemad omadused ja omadused;
3. defineerida muutujad, st. parameetrid, mille väärtused mõjutavad objekti põhiomadusi ja omadusi;
4. kirjeldada sõltuvust põhiomadused objekt, protsess või süsteem muutujate väärtusest, kasutades loogilisi ja matemaatilisi seoseid (võrrandid, võrrandid, võrratused, loogilised ja matemaatilised konstruktsioonid);
5. tuua esile objekti, protsessi või süsteemi sisemised seosed, kasutades piiranguid, võrrandeid, võrdusi, võrratusi, loogilisi ja matemaatilisi konstruktsioone;
6. määratleda Välised lingid ja kirjeldada neid piirangute, võrrandite, võrratuste, võrratuste, loogiliste ja matemaatiliste konstruktsioonide abil.

Matemaatiline modelleerimine hõlmab lisaks objekti, protsessi või süsteemi uurimisele ja nende matemaatilise kirjelduse koostamisele ka:

1. objekti, protsessi või süsteemi käitumist modelleeriva algoritmi konstrueerimine;
2. mudeli ja objekti, protsessi või süsteemi adekvaatsuse kontrollimine arvutuslikul ja looduslikul katsel;
3. mudeli reguleerimine;
4. mudelit kasutades.

Uuritavate protsesside ja süsteemide matemaatiline kirjeldus sõltub:

1. reaalse protsessi või süsteemi olemust ja koostatakse füüsika, keemia, mehaanika, termodünaamika, hüdrodünaamika, elektrotehnika, plastilisuse teooria, elastsuse teooria jne seaduste alusel.
2. reaalsete protsesside ja süsteemide uurimise ja uurimise nõutav usaldusväärsus ja täpsus.

Matemaatilise mudeli koostamine algab tavaliselt vaadeldava objekti, protsessi või süsteemi kõige lihtsama, kõige umbkaudse matemaatilise mudeli konstrueerimisest ja analüüsist. Edaspidi vajadusel mudelit täpsustatakse, selle vastavust objektile muudetakse terviklikumaks.

Võtame lihtsa näite. Vajadus määrata pindala laud. Tavaliselt mõõdetakse selleks selle pikkus ja laius ning seejärel saadud numbrid korrutatakse. Selline elementaarne protseduur tähendab tegelikult järgmist: reaalne objekt (lauapind) asendatakse abstraktse matemaatilise mudeliga - ristkülikuga. Laua pinna pikkuse ja laiuse mõõtmise tulemusel saadud mõõtmed omistatakse ristkülikule ja sellise ristküliku pindala võetakse ligikaudu laua soovitud pindalaks. Laua ristkülikukujuline mudel on aga kõige lihtsam ja tooresem mudel. Probleemi tõsisema lähenemise korral tuleb enne ristkülikumudeli kasutamist tabeli ala määramiseks seda mudelit kontrollida. Kontrolli saab läbi viia järgmiselt: mõõta pikkused vastasküljed tabel, samuti selle diagonaalide pikkus ja võrrelda neid omavahel. Kui nõutava täpsusastmega on vastaskülgede pikkused ja diagonaalide pikkused paarikaupa võrdsed, siis võib tabeli pinda tõepoolest käsitleda ristkülikuna. Vastasel juhul tuleb ristkülikumudel tagasi lükata ja asendada üldise nelinurkmudeliga. Kõrgema täpsusnõude korral võib osutuda vajalikuks mudelit veelgi täpsustada, näiteks arvestada tabeli nurkade ümardamisega.

Selle abiga lihtne näide näidati, et matemaatilist mudelit ei määra üheselt uuritav objekt, protsess või süsteem.

VÕI (kinnitatakse homme)

Mati lahendamise viisid. Mudelid:

1, M. ehitamine loodusseaduste alusel (analüütiline meetod)

2. Formaalne viis statistilise abiga. Töötlemise ja mõõtmise tulemused (statistiline lähenemine)

3. Arvesti ehitamine elementide mudeli alusel (keerulised süsteemid)

1, Analüütiline – kasutage piisava uurimisega. Üldine muster Izv. mudelid.

2. eksperiment. Info puudumisel

3. Imitatsioon m. - uurib objekti omadusi sst. Üldiselt.

Näide matemaatilise mudeli ehitamisest.

Matemaatiline mudel- see on matemaatiline esitus tegelikkus.

Matemaatika modelleerimine on matemaatiliste mudelite konstrueerimise ja uurimise protsess.

Kõik looduslikud ja sotsiaalteadused kasutades matemaatiline aparaat Tegelikult tegelevad matemaatilise modelleerimisega: nad asendavad objekti selle matemaatilise mudeliga ja uurivad seejärel viimast. Matemaatilise mudeli seostamine reaalsusega toimub hüpoteeside, idealisatsioonide ja lihtsustuste ahela abil. Kasutades matemaatilised meetodid kirjeldab reeglina mõtestatud modelleerimise etapis ehitatud ideaalset objekti.

Miks on mudeleid vaja?

Väga sageli tekivad objekti uurimisel raskused. Originaal ise pole mõnikord saadaval või selle kasutamine ei ole soovitatav või originaali kaasamine on kulukas. Kõiki neid probleeme saab lahendada simulatsiooni abil. Mudel võib teatud mõttes asendada uuritavat objekti.

Mudelite lihtsaimad näited

§ Fotot võib nimetada inimese modelliks. Inimese äratundmiseks piisab tema foto nägemisest.

§ Arhitekt koostas uue paigutuse elamurajoon. Ta saab kätt liigutada kõrge hooneühest osast teise. Tegelikkuses poleks see võimalik.

Mudeli tüübid

Mudeleid saab jagada materjal" ja ideaalne. ülaltoodud näited on materjali mudelid. Ideaalsed mudelid on sageli sümboolsed. Samas asenduvad reaalsed mõisted mingite tähistega, mida saab hõlpsasti paberile, arvuti mällu jne fikseerida.

Matemaatika modelleerimine

Matemaatiline modelleerimine kuulub märgimudelite klassi. Samal ajal saab mudeleid luua mis tahes matemaatilised objektid: arvud, funktsioonid, võrrandid jne.

Matemaatilise mudeli koostamine

§ Matemaatilise mudeli koostamisel on mitu etappi:

1. Ülesande mõistmine, meie jaoks olulisemate omaduste, omaduste, väärtuste ja parameetrite esiletoomine.

2. Noodikirja sissejuhatus.

3. Piirangute süsteemi koostamine, millele sisestatud väärtused peavad vastama.

4. Tingimuste sõnastamine ja registreerimine, millele soovitud optimaalne lahendus peab vastama.

Modelleerimisprotsess ei lõpe mudeli koostamisega, vaid algab sellega. Pärast mudeli koostamist valivad nad vastuse leidmise meetodi, lahendavad probleemi. pärast vastuse leidmist võrrelge seda tegelikkusega. Ja on võimalik, et vastus ei rahulda, sel juhul muudetakse mudelit või valitakse isegi täiesti erinev mudel.

Näide matemaatilisest mudelist

Ülesanne

Tootmisühistul, kuhu kuulub kaks mööblitehast, on vaja uuendada oma masinaparki. Veelgi enam, esimene mööblivabrik vajab väljavahetamist kolm ja teine ​​seitse masinat. Tellimusi saab esitada kahes tööpingitehases. Esimene tehas suudab toota kuni 6 masinat ja teine ​​tehas võtab tellimuse vastu, kui neid on vähemalt kolm. On vaja kindlaks määrata, kuidas tellimusi esitada.

LP-meetoditel lahendatavad ülesanded on sisult väga mitmekesised. Kuid nende matemaatilised mudelid on sarnased ja tavapäraselt kombineeritud kolmeks suured rühmadülesanded:

• transpordiülesanded;
• planeerimisülesanded;

Vaatleme igat tüüpi konkreetsete majandusprobleemide näiteid ja peatume üksikasjalikult iga probleemi jaoks mudeli loomisel.

Transpordiülesanne

Kahel kauplemisalusel AGA ja AT Mööblikomplekte on 30, igale 15. Kogu mööbel tuleb toimetada kahte mööblipoodi, FROM ja D ja sisse FROM peate tarnima 10 peakomplekti ja sisse D- 20. Teadaolevalt ühe peakomplekti tarnimine baasist AGA poodi FROM maksab üks rahaühik, poodi D- kell kolm rahaühikud s. Vastavalt baasile AT kauplustesse FROM ja D: kaks ja viis rahaühikut. Koostage transpordiplaan, et kogu transpordi maksumus oleks kõige väiksem.
Mugavuse huvides märgime need ülesanded tabelisse. Ridade ja veergude ristumiskohas on vastava transpordi maksumust iseloomustavad numbrid (tabel 3.1).

Tabel 3.1

Koostame ülesande matemaatilise mudeli.
Muutujad tuleb sisestada. Küsimuse sõnastus ütleb, et vaja on koostada transpordiplaan. Tähistage X 1 , X Baasist transporditakse 2 peakomplekti AGA kauplustesse FROM ja D vastavalt ja läbi juures 1 , juures 2 - baasist transporditud peakomplektide arv AT kauplustesse FROM ja D vastavalt. Siis laost ära viidud mööbli kogus AGA, võrdub ( X 1 + X 2) kaev laost AT - (juures 1 + juures 2). Kaupluse vajadus FROM võrdub 10 peakomplektiga ja nad tõid selle ( X 1 + juures 1) tükid, s.o. X 1 + juures 1 = 10. Samamoodi poe jaoks D meil on X 2 + juures 2 = 20. Pange tähele, et kaupluste vajadused on täpselt võrdsed laos olevate peakomplektide arvuga, seega X 1 + juures 2 = 15 ja juures 1 + juures 2 = 15. Kui viiksite ladudest ära alla 15 komplekti, siis ei oleks kauplustel piisavalt mööblit nende vajaduste rahuldamiseks.
Nii et muutujad X 1 , X 2 , juures 1 , juures 2 on ülesande tähenduses mittenegatiivsed ja vastavad piirangute süsteemile:
(3.1)
Märgistades läbi F saatmiskulud, loeme need üle. ühe mööblikomplekti transpordiks alates AGA sisse FROM veeta üks päev. ühikut, transportimiseks x 1 komplekt - x 1 päev ühikut Samamoodi transpordiks x 2 komplekti AGA sisse D maksumus 3 x 2 päeva ühikud; alates AT sisse FROM - 2y 1 päev ühikut, alates AT sisse D - 5y 2 päeva ühikut
Niisiis,
F = 1x 1 + 3x 2 + 2y 1 + 5y 2 → min (3,2)
(soovime, et saatmise kogukulu oleks võimalikult madal).
Sõnastame ülesande matemaatiliselt.
Piirangusüsteemi (3.1) lahendite hulgal leidke lahendus, mis minimeerib eesmärgifunktsiooni F(3.2) või leidke optimaalne plaan ( x 1 , x 2, y 1 , y 2) määratud piirangute süsteemiga (3.1) ja sihtfunktsiooniga (3.2).
Meie poolt käsitletud probleemi saab esitada üldisemal kujul, mis tahes hulga tarnijaid ja tarbijaid.
Meie poolt käsitletud probleemi puhul võrdub kauba saadavus tarnijatelt (15 + 15) tarbijate koguvajadusega (10 + 20). Sellist mudelit nimetatakse suletud, ja vastav ülesanne on tasakaalustatud transportülesanne.
Majandusarvutustes olulist rolli mängivad ka nn avatud mudelid, milles seda võrdsust ei järgita. Kas tarnijate pakkumine on suurem kui tarbijate nõudlus või nõudlus ületab kaupade saadavuse. pange tähele, et siis piirangute süsteemis tasakaalustamata transpordi ülesanne koos võrranditega sisaldab ka ebavõrdsust.

Mõelge tasakaalustamata transpordiprobleemi näitele.
Punktides AGA ja AT asuvad tellisetehased ja aastal FROM ja D- neid liivaga varustavad karjäärid. liiva vajadus tehastes on väiksem kui karjääride tootlikkus. On teada, kui palju liiva iga tehas vajab ja kui palju kaevandatakse igas karjääris. Teada on ka 1 tonni liiva igast karjäärist tehastesse transportimise maksumus (numbrid nooltel). Tehaste varustamine liivaga tuleb planeerida nii, et transpordikulu oleks kõige väiksem. Ülesande andmed diagrammil.

Koostame probleemi matemaatilise mudeli.
Tutvustame muutujaid:
x 11 - karjäärist veetud liiva tonnide arv FROM tehasesse AGA;
x 12 - karjäärist FROM tehasesse AGA;
x 21 - liiva tonnide arv AGA karjäärist D;
x 22 - karjäärist pärit liiva tonnide arv D tehasesse AT.
Tehasesse AGA Mõlemast lahtisest kaevandist tuleb tarnida 40 tonni, mis tähendab x 11 + x 21 = 40, tehas AT Tarnida tuleb 50 tonni, mis tähendab x 12 + x 22 = 50. Karjäärist FROM ei eksporditud üle 70 tonni, s.o. x 11 + x 12 ≤ 70, sarnane x 21 + x 22 ≤ 30. Meil ​​on piirangute süsteem:
(3.3)
Ja sihtfunktsioon F, mis väljendab transpordikulu, on kujul
F = 2x 11 + 6x 12 + 5x 21 + 3x 22→min. (3.4)

Plaani koostamise ülesanne

Mõni tehas peab koostama optimaalse plaani kahte tüüpi toodete tootmiseks, mida töödeldakse nelja tüüpi masinatel. Teatud riistvara võimalused ja jõudlus on teada; tehasele kasumit pakkuvate toodete hind on 4 tuhat rubla. I tüüpi toote puhul 6 tuhat rubla. - II tüüpi toote puhul. Koostage nende toodete tootmise plaan, et tehas saaks nende müügist suurimat kasumit. Tabelis on näidatud aeg, mis kulub kahe tootetüübi töötlemiseks kõigi nelja tüüpi seadmetes (tabel 3.2).

Tabel 3.2

Tooted	Masina tüübid
	1	2	3	4
ma	1	0,5	1	0
II	1	1	0	1
Võimalikud masinatunnid	18	12	12	9

Ehitame matemaatilise mudeli.
Ülesandes on vaja kindlaks määrata toodete valmistamise plaan, tähistada x I tüüpi toodete arv y- II tüüpi toodete arv. Seejärel arvutame, kui palju aega kulub esimene masin kõigi tootmistoodete töötlemiseks. Ta kulutab ühe ajaühiku ühele I tüüpi esemele, mis tähendab x toodetele kulub 1 xühikut töötlemise aeg y II tüüpi tooted maksavad 1 yühikut aega. Kokku on esimese masina töötamise ajareserv 18 ajaühikut. Tähendab, x + y≤ 18. Sarnane arutluskäik teise, kolmanda ja neljanda masinaga annab piirangute süsteemi:
(3.5)
Kogukasum väljendatakse valuutas objektiivne funktsioon:
F = 4x + 6y → max. (3.6)
Probleemiks on leida süsteemi (3.5) lahenduste hulgast selline lahendus, mille puhul sihtfunktsiooni (3.6) väärtus oleks maksimaalne.

Segamisülesanne

Teine levinud LP probleem on segu koostise probleem. Selliste ülesannete näide võib olla selliste naftasaaduste segude koostamine, mis vastaksid teatud tehnilistele nõuetele ja oleksid oma maksumuselt kõige odavamad. Või ülesandeid toitumise kohta, kui vaja teatud ained ja nende ainete sisaldust erinevates toodetes. Toitumine on vajalik koostada nii, et oleks rahuldatud vajalike ainete vajadus ja samas oleks toidukorv antud toiduhindade juures minimaalse kuluga.
Peaaegu sarnased ülesanded on seatud näiteks igas loomakasvatusfarmis ja neil on väga suur spekter rakendusi.
Kaaluge näidet. Linnufarmis nuumkanade toit peab sisaldama vähemalt 33 ühikut ainet AGA, 23 toitaineühikut AT, 12 ühikut FROM. Nuumamiseks kasutatakse kolme tüüpi sööta. Andmed toitainete sisalduse kohta igas söödatüübis on toodud tabelis. Teada on ka sööda maksumus. On vaja teha odavaim dieet (tabel 3.3).

Tabel 3.3

Söödatooted	Ained			1 ühiku maksumus. ahtri
	AGA	AT	FROM
ma	4	3	1	20
II	3	2	1	20
III	2	1	2	10

Probleemi mõistmiseks võite ette kujutada, et ained AGA, AT, FROM- need on rasvad, valgud, süsivesikud ja tooted I, II, III on need, millega kanu toidetakse, näiteks hirssi, segasööda, vitamiinilisanditega. Seejärel näitab tabeli esimene rida sisu ühes hirsiühikus: 4 ühikut. valk, 3 ühikut. rasv, üks ühik süsivesikud. Teine rida - valkude, rasvade, süsivesikute sisaldus 1 ühikus. II toode jne.
Kui ülesande püstitus on selge, jätkame matemaatilise mudeli konstrueerimisega.
Ülesande vastuseks peame pakkuma dieeti, st märkima, kui palju ja millist sööta võtta, et nõutav summa toitained said täidetud ja samas maksis see võimalikult vähe.
Seetõttu tähistame x 1 kogus I tüüpi sööta toidus, per x 2 - II tüüpi sööda kogus ja vastavalt x 3 - sööda III kogus dieedis. Siis ained AGA seda dieeti süües saavad kanad 4 x 1 - I tüüpi toodete tarbimisel, 3 x 2 - toote II tarbimisel, 2 x 3 - tarbimisel III. Kokku aine AGA vastavalt probleemi seisukorrale on vaja kasutada vähemalt 33 ühikut, seega 4 x 1 + 3x 2 + 2x 3 ≥ 33.
Vaidledes samamoodi ainetega AT ja FROM, meil on:
3x 1 + 2x 2 + 1x 3 ≥ 23 ja x 1 + x 2 + 2x 3 ≥ 12.
Seega saame piirangute süsteemi:
(3.7)
Muutujad on probleemi mõttes mittenegatiivsed. Sel juhul väljendatakse dieedi maksumust funktsiooniga:
F = 20x 1 + 20x 2 + 10x 3 → min, (3,8)
sest 20, 20, 10 - ühe ühiku maksumus. tooted I, II, III tüübid vastavalt ja nende dieet sisaldab x 1 , x 2 , x 3 ühikut.
Kitsenduste süsteem (3.7) koos eesmärgifunktsiooniga (3.8) moodustavad matemaatilise mudeli algne ülesanne. Selle lahendamine tähendab leidmist x 1 , x 2 , x 3 piirangute süsteemi rahuldamine ja funktsiooni väärtuse inverteerimine F miinimumini.

Laevatüüpide paigutus mööda jooni

Koostada selline plaan kahte tüüpi laevade paigutamiseks mööda kolme liini, mis tagaks laevastiku maksimaalse kogukandevõime, kuid mitte vähem kui liinidel määratud liiklusmaht.

Laeva tüüp	Laeva tootlikkus, miljon tonnmiili päevas			Tööperiood, päevad
	1. rida	2. rida	3. rida
1	lk 11	lk 12	lk 13	s 1
2	lk 21	lk 22	lk 23	s2
Veo sihtmaht, miljon tonnmiili	V 1	V 2	V 3

Ülesande majanduslik-matemaatiline mudel.
Tööperioodi piirangud:
x 1 /p 11 + x 2 /p 12 + x 3 /p 13 ≤ s 1
x 4 /p 21 + x 5 /p 22 + x 6 /p 23 ≤ s 2

Tarnepiirangud:
s 1 x 1 + s 2 x 4 ≥ V 1
s 1 x 2 + s 2 x 5 ≥ V 2
s 1 x 3 + s 2 x 6 ≥ V 3

objektiivne funktsioon
p 11 x 1 +p 12 x 2 +p 13 x 3 +p 21 x 4 +p 22 x 5 +p 23 x 6 → max

Küsimused enesekontrolliks
1. Transpordiprobleemi avaldus. kirjeldada matemaatilise mudeli konstrueerimist.
2. Mis on tasakaalustatud ja tasakaalustamata transpordiprobleem?
3. Mida arvutatakse transpordiülesande sihtfunktsioonis?
4. Mida peegeldab iga plaaniprobleemi piirangute süsteemi ebavõrdsus?
5. Mida peegeldab seguprobleemi piirangute süsteemi iga ebavõrdsus?
6. Mida tähendavad muutujad plaaniülesandes ja seguülesandes?