Stupanjska mjera kuta. Radijanska mjera kuta

Stupanjska mjera kuta. Radijanska mjera kuta. Pretvorite stupnjeve u radijane i obrnuto.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u posebnom odjeljku 555.
Za one koji jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")

U prethodnoj lekciji savladali smo brojanje kutova na trigonometrijskoj kružnici. Naučio je brojati pozitivne i negativne kutove. Shvatio kako nacrtati kut veći od 360 stupnjeva. Vrijeme je da se pozabavimo mjerenjem kutova. Pogotovo s brojem "Pi", koji nas pokušava zbuniti u škakljivim zadacima, da ...

Standardni zadaci iz trigonometrije s brojem "Pi" riješeni su prilično dobro. Vizualno pamćenje pomaže. Ali svako odstupanje od predloška - obara na licu mjesta! Da ne padnem - razumjeti potrebno. Što ćemo sada uspješno učiniti. U smislu – sve razumijemo!

Tako, što računaju li se kutovi? NA školski tečaj trigonometrija koristi dvije mjere: stupanj mjera kuta i radijanska mjera kuta. Pogledajmo ove mjere. Bez toga, u trigonometriji - nigdje.

Stupanjska mjera kuta.

Nekako smo navikli na stupnjeve. Geometrija je, u najmanju ruku, prošla kroz ... Da, iu životu se često susrećemo s izrazom "okrenut za 180 stupnjeva", na primjer. Diploma, ukratko, jednostavna stvar...

Da? Odgovori mi onda što je diploma? Što ne radi odmah? Nešto...

Stupnjevi su izumljeni u starom Babilonu. Bilo je to davno... prije 40 stoljeća... I upravo su se toga dosjetili. Uzeli su i razbili krug na 360 jednake dijelove. 1 stupanj je 1/360 kruga. I to je to. Može se razlomiti na 100 komada. Ili do 1000. Ali razbili su ga u 360. Usput, zašto baš do 360? Zašto je 360 ​​bolji od 100? 100 je nekako ravnomjernije... Pokušajte odgovoriti na ovo pitanje. Ili slab protiv Stari Babilon?

Negdje u isto vrijeme Drevni Egipt mučen drugim pitanjem. Koliko je puta opseg kruga veći od duljine njegova promjera? I tako su mjerili, i tako ... Sve je ispalo malo više od tri. Ali nekako je ispalo čupavo, neravnomjerno ... Ali oni, Egipćani, nisu krivi. Poslije njih patili su još 35 stoljeća. Sve dok nisu konačno dokazali da koliko god fino izrezali krug na jednake komade, od takvih komada napraviti glatko, nesmetano duljina promjera je nemoguća ... U principu je nemoguće. Pa, koliko puta je opseg veći od promjera, naravno. Oko. 3,1415926... puta.

Ovo je broj "Pi". To je čupavo, tako čupavo. Nakon decimalne točke - beskonačan broj znamenki bez ikakvog reda ... Takve brojeve nazivamo iracionalnim. To, usput, znači da od jednakih dijelova kruga, promjer glatko, nesmetano nemojte presavijati. Nikada.

Za praktična aplikacija Uobičajeno je pamtiti samo dvije znamenke nakon decimalne točke. Zapamtiti:

Budući da smo shvatili da je opseg kruga veći od promjera za "Pi" puta, ima smisla zapamtiti formulu za opseg kruga:

Gdje L je opseg, i d je njegov promjer.

Korisno u geometriji.

Za opće obrazovanje Dodat ću da broj "Pi" ne postoji samo u geometriji ... U najrazličitijim dijelovima matematike, a posebno u teoriji vjerojatnosti, ovaj se broj stalno pojavljuje! Samo po sebi. Izvan naših želja. Kao ovo.

Ali natrag na stupnjeve. Jeste li shvatili zašto je u starom Babilonu krug bio podijeljen na 360 jednakih dijelova? Ali ne 100, na primjer? Ne? U REDU. Dat ću vam verziju. Ne možete pitati stare Babilonce... Za građevinarstvo, ili, recimo, astronomiju, zgodno je krug podijeliti na jednake dijelove. Sada shvatite s kojim su brojevima djeljivi potpuno 100, a koje - 360? I u kojoj verziji ovih razdjelnika potpuno- više? Ova podjela je vrlo zgodna za ljude. Ali...

Kako se pokazalo mnogo kasnije od starog Babilona, ​​ne vole svi diplome. Viša matematika ih ne voli... viša matematika- ozbiljna je gospođa, uređena po zakonima prirode. A ova gospođa izjavljuje: "Danas si razbio krug na 360 dijelova, sutra ćeš ga razbiti na 100 dijelova, prekosutra na 245... I što da radim? Ne, stvarno..." Morao sam poslušati. Prirodu ne možeš prevariti...

Morao sam uvesti mjeru kuta koja ne ovisi o ljudskim predodžbama. Upoznaj - radijan!

Radijanska mjera kuta.

Što je radijan? Definicija radijana ionako se temelji na krugu. Kut od 1 radijana je kut koji siječe luk od kružnice čija je duljina ( L) jednaka je duljini polumjera ( R). Gledamo slike.

Tako mali kut, gotovo da ga nema... Pomaknemo kursor preko slike (ili dodirnemo sliku na tabletu) i vidimo otprilike jedan radijan. L=R

Osjeti razliku?

Jedan radijan mnogo je veći od jednog stupnja. Koliko puta?

Pogledajmo sljedeću sliku. Na kojoj sam nacrtao polukrug. Prošireni kut je, naravno, veličine 180°.

A sada ću ovaj polukrug izrezati na radijane! Lebdimo iznad slike i vidimo da se 3 radijana s repom uklapaju u 180 °.

Tko može pogoditi što je ovo konjski rep!?

Da! Ovaj rep je 0,1415926.... Bok Pi, još te nismo zaboravili!

Doista, postoji 3,1415926 ... radijana u 180 stupnjeva. Kao što možete zamisliti, pisanje 3,1415926 cijelo vrijeme... je nezgodno. Stoga umjesto ovog beskonačnog broja uvijek pišu jednostavno:

A evo i broja na internetu

nezgodno je pisati ... Zato ga u tekstu pišem imenom - "Pi". Nemojte se zbuniti...

Sada je sasvim smisleno napisati približnu jednakost:

Ili točna jednakost:

Odredite koliko stupnjeva ima jedan radijan. Kako? Lako! Ako je 180 stupnjeva u 3,14 radijana, tada je 1 radijan 3,14 puta manje! To jest, prvu jednadžbu (formula je također jednadžba!) dijelimo s 3.14:

Ovaj omjer je korisno zapamtiti. Jedan radijan ima približno 60°. U trigonometriji često morate shvatiti, procijeniti situaciju. Tu znanje puno pomaže.

Ali glavna vještina ove teme je pretvaranje stupnjeva u radijane i obrnuto.

Ako je kut zadan u radijanima s brojem "pi", sve je vrlo jednostavno. Znamo da je "pi" radijan = 180°. Dakle, umjesto "Pi" zamijenimo radijane - 180 °. Dobivamo kut u stupnjevima. Smanjujemo što je smanjeno, a odgovor je spreman. Na primjer, moramo saznati koliko stupnjeva u kutu "Pi"/2 radijan? Ovdje pišemo:

Ili, egzotičniji izraz:

Lako, zar ne?

Obrnuti prijevod je malo kompliciraniji. Ali ne puno. Ako je kut zadan u stupnjevima, moramo izračunati koliko je jedan stupanj u radijanima i pomnožiti taj broj s brojem stupnjeva. Što je 1° u radijanima?

Gledamo formulu i shvaćamo da ako je 180° = "Pi" radijana, tada je 1° 180 puta manji. Ili, drugim riječima, jednadžbu (formula je također jednadžba!) podijelimo sa 180. Nema potrebe da "Pi" predstavljamo kao 3,14, ionako se uvijek piše slovom. Dobijamo da je jedan stupanj jednak:

To je sve. Pomnožite broj stupnjeva s ovom vrijednošću da biste dobili kut u radijanima. Na primjer:

Ili, slično:

Kao što vidite, u ležernom razgovoru sa digresije Pokazalo se da su radijani vrlo jednostavni. Da, i prevod je bez problema... A "Pi" je sasvim podnošljiva stvar... Pa otkud zabuna!?

otkrit ću tajnu. Činjenica je da je u trigonometrijskim funkcijama napisana ikona stupnjeva. Je uvijek. Na primjer, sin35°. Ovo je sinus 35 stupnjeva . I ikona radijana ( radostan) nije napisano! On se podrazumijeva. Ili je uhvatila lijenost matematičara, ili nešto drugo ... Ali odlučili su ne pisati. Ako unutar sinusa - kotangensa nema ikona, onda je kut - u radijanima ! Na primjer, cos3 je kosinus tri radijani .

To dovodi do nesporazuma ... Osoba vidi "Pi" i vjeruje da je 180 °. Bilo kad i bilo gdje. Usput, ovo radi. Za sada, dok su primjeri standardni. Ali Pi je broj! Broj 3,14 nisu stupnjevi! To je "Pi" radijan = 180°!

Još jednom: "Pi" je broj! 3.14. Iracionalno, ali broj. Isto kao 5 ili 8. Možete, na primjer, napraviti otprilike "Pi" korake. Tri koraka i još malo. Ili kupite "Pi" kilograma slatkiša. Ako obrazovanog prodavača uhvate...

"Pi" je broj! Što, dobio sam te ovom rečenicom? Jeste li već sve shvatili? U REDU. Provjerimo. Možete li mi reći koji je broj veći?

Ili što je manje?

Ovo je iz niza pomalo nestandardnih pitanja koja mogu dovesti u stupor ...

Ako ste i vi pali u stupor, sjetite se čarolije: "Pi" je broj! 3.14. U samom prvom sinusu jasno je naznačeno da je kut - u stupnjevima! Stoga je nemoguće zamijeniti "Pi" za 180 °! "Pi" stupnjevi su oko 3,14 stupnjeva. Stoga možemo napisati:

U drugom sinusu nema simbola. Pa eto - radijani! Ovdje će zamjena "Pi" sa 180 ° dobro funkcionirati. Pretvaranjem radijana u stupnjeve, kao što je gore napisano, dobivamo:

Ostaje još usporediti ova dva sinusa. Što. zaboravio kako? Uz pomoć trigonometrijske kružnice, naravno! Crtamo kružnicu, crtamo približne kutove od 60° i 1,05°. Gledamo sinuse ovih kutova. Ukratko, sve je, kao na kraju teme o trigonometrijskoj kružnici, slikano. Na krugu (pa i onom krivom!) jasno će se vidjeti da grijeh60° znatno više od sin1.05°.

Točno isto ćemo učiniti s kosinusima. Na krugu crtamo kutove od oko 4 stupnjeva i 4 radijan(zapamtite, koliko je otprilike 1 radijan?). Krug će reći sve! Naravno, cos4 je manji od cos4°.

Vježbajmo rukovanje kutnim mjerama.

Pretvorite ove kutove iz stupnjeva u radijane:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Trebali biste završiti s ovim vrijednostima u radijanima (drugim redoslijedom!)

0

Usput, odgovore sam posebno označio u dva retka. Pa, idemo shvatiti koji su uglovi u prvom redu? Bilo u stupnjevima ili radijanima?

Da! Ovo su osi koordinatnog sustava! Ako pogledate trigonometrijski krug, tada se pomiče strana kuta u tim vrijednostima odgovara točno na osovinu. Ove vrijednosti treba znati ironično. I nisam uzalud zabilježio kut od 0 stupnjeva (0 radijana). I onda neki ne mogu pronaći ovaj kut na kružnici ni na koji način ... I, prema tome, zbune se u trigonometrijskim funkcijama nule ... Druga stvar je da se položaj pomične strane na nula stupnjeva podudara s položajem na 360 °, tako da su slučajnosti na krugu cijelo vrijeme pored.

U drugom retku također postoje posebni kutovi... To su 30°, 45° i 60°. I što je tako posebno na njima? Ništa posebno. Jedina razlika između ovih uglova i svih ostalih je u tome što biste trebali znati za te uglove. svi. I gdje se nalaze, i koje su trigonometrijske funkcije tih kutova. Recimo vrijednost grijeh100° ne moraš znati. ALI sin45°- molim vas, budite ljubazni! Ovo je obavezno znanje, bez kojeg se u trigonometriji nema što raditi ... Ali više o tome u sljedećoj lekciji.

Do tada, nastavimo vježbati. Pretvorite ove kutove iz radijana u stupnjeve:

Trebali biste dobiti ovakve rezultate (u neredu):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Dogodilo se? Onda možemo pretpostaviti da pretvaranje stupnjeva u radijane i obrnuto- više nije vaš problem.) Ali prevođenje kutova je prvi korak u razumijevanju trigonometrije. Na istom mjestu još uvijek morate raditi s sinusima-kosinusima. Da, i sa tangentama, i kotangensima...

Drugi snažan korak je mogućnost određivanja položaja bilo kojeg kuta na trigonometrijski krug. I u stupnjevima i radijanima. Baš o ovoj vještini dosadno ću ti natuknuti u cijeloj trigonometriji, da...) Ako znaš sve (ili misliš da sve znaš) o trigonometrijskoj kružnici, i brojanju kutova na trigonometrijskoj kružnici, možeš provjeriti van. Riješite ove jednostavne zadatke:

1. U koju četvrtinu spadaju uglovi:

45°, 175°, 355°, 91°, 355°?

Lako? Nastavljamo:

2. U kojoj četvrtini padaju uglovi:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Također nema problema? Pa gledaj...)

3. Možete postaviti kutove u četvrtine:

Jeste li mogli? Pa ti daj..)

4. Na koje će osi pasti kut:

i kut:

Je li i lako? Hm...)

5. U koju četvrtinu spadaju uglovi:

I uspjelo je!? Pa onda stvarno ne znam...)

6. Odredite u koju četvrtinu uglovi spadaju:

1, 2, 3 i 20 radijana.

Dat ću odgovor samo na zadnje pitanje (malo je škakljivo) zadnjeg zadatka. Kut od 20 radijana pada u prvu četvrtinu.

Ostatak odgovora neću dati iz pohlepe.) Samo ako ti nije odlučio nešto sumnjati kao rezultat, ili potrošeno na zadatak br. 4 više od 10 sekundi slabo ste orijentirani u krug. To će biti vaš problem u cijeloj trigonometriji. Bolje ga se odmah riješiti (problema, a ne trigonometrije!). To se može učiniti u temi: Praktični rad s trigonometrijskom kružnicom u dijelu 555.

Govori kako jednostavno i ispravno riješiti takve zadatke. Pa, ti su zadaci riješeni, naravno. I četvrti zadatak je riješen za 10 sekundi. Da, tako je odlučeno da svatko može!

Ako ste potpuno sigurni u svoje odgovore i ne zanimaju vas jednostavni i laki načini rada s radijanima, ne možete posjetiti 555. Ne inzistiram.)

dobro razumijevanje- dovoljno dobar razlog ići dalje!)

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Matematičari diljem svijeta svake godine 14. ožujka pojedu komad kolača – uostalom, to je dan broja Pi, najpoznatijeg iracionalnog broja. Ovaj je datum izravno povezan s brojem čije su prve znamenke 3,14. Pi je omjer opsega kruga i njegovog promjera. Budući da je iracionalan, nemoguće ga je napisati kao razlomak. Ovo je beskonačno dug broj. Otkriven je prije više tisuća godina i od tada se neprestano proučava, ali ima li Pi još nekih tajni? Iz drevno podrijetlo do neodređene budućnosti, evo nekih od najzanimljivijih činjenica o broju pi.

Memoriranje broja Pi

Rekord u pamćenju brojeva nakon decimalne točke pripada Rajveeru Meeni iz Indije, koji je uspio zapamtiti 70.000 znamenki – rekord je postavio 21. ožujka 2015. godine. Prije toga, rekorder je bio Chao Lu iz Kine, koji je uspio zapamtiti 67.890 znamenki - ovaj rekord postavljen je 2005. godine. Neslužbeni rekorder je Akira Haraguchi, koji je 2005. godine snimio svoje ponavljanje od 100.000 znamenki, a nedavno je objavio video u kojem uspijeva zapamtiti 117.000 znamenki. Službeni rekord bi postao samo ako bi ovaj video bio snimljen u prisustvu predstavnika Guinnessove knjige rekorda, a bez potvrde ostaje samo impresivna činjenica, ali se ne smatra postignućem. Ljubitelji matematike vole pamtiti broj Pi. Mnogi ljudi koriste razne mnemotehničke tehnike, poput poezije, gdje je broj slova u svakoj riječi jednak broju pi. Svaki jezik ima svoje varijante takvih fraza, koje pomažu zapamtiti i prvih nekoliko znamenki i cijelih stotinu.

Postoji Pi jezik

Fascinirani književnošću, matematičari su izmislili dijalekt u kojem broj slova u svim riječima odgovara znamenkama broja Pi točnim redoslijedom. Pisac Mike Keith čak je napisao i knjigu Not a Wake koja je u potpunosti napisana na Pi jeziku. Entuzijasti takve kreativnosti pišu svoje radove u potpunom skladu s brojem slova i značenjem brojeva. Ovo nema praktičnu primjenu, ali je prilično česta i dobro poznata pojava u krugovima znanstvenika entuzijasta.

Eksponencijalni rast

Pi je beskonačan broj, tako da ljudi, po definiciji, nikada neće moći shvatiti točne brojeve ovog broja. Međutim, broj znamenki nakon decimalne točke uvelike se povećao od prve uporabe broja Pi. Čak su ga i Babilonci koristili, ali njima je bio dovoljan razlomak od tri i jedna osmina. Kinezi i kreatori Stari zavjet i bio je potpuno ograničen na tri. Do 1665. Sir Isaac Newton je izračunao 16 znamenki pi. Do 1719 francuski matematičar Tom Fante de Lagny izračunao je 127 znamenki. Pojava računala radikalno je poboljšala ljudsko znanje o Piju. Od 1949. do 1967. br poznato čovjeku brojevi su skočili s 2037. na 500 000. Ne tako davno, Peter Trueb, znanstvenik iz Švicarske, uspio je izračunati 2,24 trilijuna znamenki broja Pi! To je trajalo 105 dana. Naravno, ovo nije granica. Vjerojatno će s razvojem tehnologije biti moguće ugraditi još više točna brojka- budući da je Pi beskonačan, jednostavno ne postoji granica točnosti, a samo je tehničke značajke računalne tehnologije mogu ograničiti.

Ručno izračunavanje Pi

Ako želite sami pronaći broj, možete se poslužiti starinskom tehnikom - trebat će vam ravnalo, staklenka i špaga, možete koristiti i kutomjer i olovku. Loša strana korištenja staklenke je ta što mora biti okrugla, a točnost će se odrediti prema tome koliko dobro osoba može omotati uže oko nje. Moguće je nacrtati krug kutomjerom, ali to također zahtijeva vještinu i preciznost, jer neravni krug može ozbiljno iskriviti vaše mjere. Više točna metoda uključuje korištenje geometrije. Podijelite krug na mnoge segmente, poput kriški pizze, a zatim izračunajte duljinu ravne linije koja bi svaki segment pretvorila u jednakokračan trokut. Zbroj stranica dat će približan broj pi. Što više segmenata koristite, broj će biti točniji. Naravno, u svojim izračunima nećete se moći približiti rezultatima računala, unatoč ovim jednostavni pokusi omogućuju vam da detaljnije razumijete što je uopće broj pi i kako se koristi u matematici.

Otkriće Pija

Stari Babilonci znali su za postojanje broja Pi već prije četiri tisuće godina. Babilonske ploče izračunavaju Pi kao 3,125, a egipatski matematički papirus sadrži broj 3,1605. U Bibliji je broj Pi dan u zastarjeloj duljini - u laktovima, a grčki matematičar Arhimed upotrijebio je Pitagorin teorem za opis Pi, geometrijskog omjera duljine stranica trokuta i površine trokuta. figure unutar i izvan krugova. Stoga se sa sigurnošću može reći da je Pi jedan od najstarijih matematički pojmovi, iako točan naziv dati broj i pojavio se relativno nedavno.

Novi pogled na Pi

Čak i prije nego što je pi bio povezan s krugovima, matematičari su već imali mnogo načina da čak i imenuju ovaj broj. Na primjer, u starim udžbenicima matematike može se pronaći fraza na latinskom, koja se može grubo prevesti kao "količina koja pokazuje duljinu kada se s njome pomnoži promjer." Iracionalni broj postao je poznat kada ga je švicarski znanstvenik Leonhard Euler upotrijebio u svom radu o trigonometriji 1737. godine. Međutim, grčki simbol za pi još uvijek nije korišten - to se dogodilo tek u knjizi manje poznatog matematičara Williama Jonesa. Koristio ga je već 1706., ali je dugo bio zanemaren. S vremenom su znanstvenici usvojili ovaj naziv, a sada je ovo najpoznatija verzija naziva, iako se prije nazivao i Ludolfov broj.

Je li pi normalan?

Broj pi je definitivno čudan, ali kako se pokorava normalnim matematičkim zakonima? Znanstvenici su već riješili mnoga pitanja vezana uz to iracionalan broj ali neke misterije ostaju. Na primjer, nije poznato koliko se često koriste sve znamenke - brojevi od 0 do 9 trebali bi se koristiti u jednakom omjeru. Međutim, statistika se može pratiti za prvih trilijun znamenki, ali zbog činjenice da je broj beskonačan, nemoguće je išta sa sigurnošću dokazati. Postoje i drugi problemi koji još uvijek izmiču znanstvenicima. Sasvim je moguće da daljnji razvoj znanost će pomoći da ih se rasvijetli, ali na ovaj trenutak ostaje izvan ljudskog intelekta.

Pi zvuči božanstveno

Znanstvenici ne mogu odgovoriti na neka pitanja o broju Pi, ali svake godine sve bolje shvaćaju njegovu bit. Već u osamnaestom stoljeću dokazana je iracionalnost ovog broja. Osim toga, dokazano je da je broj transcendentalan. Ovo znači ne određena formula, što bi omogućilo izračunavanje pi pomoću racionalnih brojeva.

Nezadovoljstvo Pi

Mnogi matematičari jednostavno su zaljubljeni u Pi, no ima i onih koji smatraju da ti brojevi nemaju neki poseban značaj. Osim toga, tvrde da je broj Tau, koji je dvostruko veći od broja Pi, prikladniji za korištenje kao iracionalan. Tau pokazuje odnos između opsega i radijusa, što, prema nekima, predstavlja logičniju metodu izračuna. Međutim, nedvosmisleno definirati nešto u ovo pitanje nemoguće, i jedan i drugi broj će uvijek imati pristaše, obje metode imaju pravo na život, tako da je pravedno zanimljiva činjenica, a ne razlog da mislite da ne biste trebali koristiti broj Pi.

Tablica vrijednosti trigonometrijske funkcije sastavljeno za kutove od 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 i 360 stupnjeva a njihovi odgovarajući kutovi u radijani. Iz trigonometrijske funkcije tabela prikazuje sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans i kosekant. Za praktičnost rješenja školski primjeri vrijednosti trigonometrijske funkcije u tablici su napisani kao razlomak uz očuvanje znakova vađenja kvadratnog korijena brojeva, što vrlo često pomaže u smanjivanju složenih matematičkih izraza. Za tangens i kotangens neki se kutovi ne mogu odrediti. Za vrijednosti tangens i kotangens takvi kutovi u tablici vrijednosti trigonometrijskih funkcija su crtica. Opće je prihvaćeno da tangens i kotangens takvi su kutovi jednaki beskonačnosti. Na posebnoj stranici nalaze se formule za redukciju trigonometrijskih funkcija.

Tablica vrijednosti za trigonometrijsku funkciju sinus prikazuje vrijednosti za sljedeće kutove: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 u stupanjska mjera, što odgovara sin 0 pi, sin pi / 6, sin pi / 4, sin pi / 3, sin pi / 2, sin pi, sin 3 pi / 2, sin 2 pi u radijanskoj mjeri kutova. školski stol sinusa.

Za trigonometrijsku kosinusnu funkciju tablica prikazuje vrijednosti za sljedeće kutove: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 u stupnjevima, što odgovara cos 0 pi, cos pi do 6, cos pi za 4, cos pi za 3, cos pi za 2, cos pi, cos 3 pi za 2, cos 2 pi u radijanskoj mjeri kutova. Školska tablica kosinusa.

Trigonometrijska tablica za tangentu trigonometrijske funkcije daje vrijednosti za sljedeće kutove: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 u stupnjevima, što odgovara tg 0 pi, tg pi / 6, tg pi / 4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi u radijanskoj mjeri kutova. Sljedeće vrijednosti trigonometrijske funkcije tangente nisu definirane tg 90, tg 270, tg pi / 2, tg 3 pi / 2 i smatraju se jednakima beskonačnosti.

Za kotangens trigonometrijske funkcije u trigonometrijskoj tablici date su vrijednosti sljedećih kutova: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 u stupnjskoj mjeri, što odgovara ctg pi / 6, ctg pi / 4, ctg pi / 3, tg pi / 2, tg 3 pi/2 u radijanskoj mjeri kutova. Sljedeće vrijednosti trigonometrijskih kotangensnih funkcija nisu definirane ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi i smatraju se jednakima beskonačnosti.

Vrijednosti trigonometrijskih funkcija sekans i kosekans date su za iste kutove u stupnjevima i radijanima kao sinus, kosinus, tangens, kotangens.

Tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija nestandardnih kutova prikazuje vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa za kutove u stupnjevima 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 stupnja i u radijanima pi/12 , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 radijana. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija izražene su razlomcima i kvadratnim korijenima kako bi se pojednostavilo smanjivanje razlomaka u školskim primjerima.

Još tri čudovišta trigonometrije. Prvi je tangens od 1,5 stupnjeva i pol, ili pi podijeljen sa 120. Drugi je kosinus pi podijeljen s 240, pi/240. Najduži je kosinus pi podijeljen sa 17, pi/17.

Trigonometrijski krug vrijednosti funkcija sinusa i kosinusa vizualno predstavlja znakove sinusa i kosinusa ovisno o veličini kuta. Posebno za plavuše, kosinusne vrijednosti su podvučene zelenom crticom kako bi se manje zbunile. Također je vrlo jasno prikazana konverzija stupnjeva u radijane, kada se radijani izražavaju kroz pi.

Ova trigonometrijska tablica predstavlja vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa za kutove od 0 nula do 90 devedeset stupnjeva u intervalima od jednog stupnja. Za prvih četrdeset i pet stupnjeva nazive trigonometrijskih funkcija morate pogledati na vrhu tablice. Prvi stupac sadrži stupnjeve, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangenata ispisane su u sljedeća četiri stupca.

Za kutove od četrdeset pet stupnjeva do devedeset stupnjeva nazivi trigonometrijskih funkcija ispisani su na dnu tablice. Posljednji stupac sadrži stupnjeve, vrijednosti kosinusa, sinusa, kotangenata i tangensa ispisane su u prethodna četiri stupca. Treba biti oprezan, jer na dnu trigonometrijska tablica nazivi trigonometrijskih funkcija razlikuju se od naziva na vrhu tablice. Sinusi i kosinusi se zamjenjuju, baš kao tangens i kotangens. To je zbog simetrije vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

Predznaci trigonometrijskih funkcija prikazani su na gornjoj slici. sinusa ima pozitivne vrijednosti 0 do 180 stupnjeva ili 0 do pi. Negativne vrijednosti sinus ima 180 do 360 stupnjeva, ili pi do 2 pi. Vrijednosti kosinusa su pozitivne od 0 do 90 i 270 do 360 stupnjeva, ili od 0 do 1/2 pi i 3/2 do 2 pi. Tangens i kotangens imaju pozitivne vrijednosti od 0 do 90 stupnjeva i od 180 do 270 stupnjeva, što odgovara vrijednostima od 0 do 1/2 pi i od pi do 3/2 pi. Negativni tangens i kotangens su 90 do 180 stupnjeva i 270 do 360 stupnjeva, ili 1/2 pi prema pi i 3/2 pi prema 2 pi. Pri određivanju predznaka trigonometrijskih funkcija za kutove veće od 360 stupnjeva ili 2 pi, treba koristiti svojstva periodičnosti tih funkcija.

Trigonometrijske funkcije sinus, tangens i kotangens su neparne funkcije. Vrijednosti ovih funkcija za negativne kutove bit će negativne. Kosinus je parna trigonometrijska funkcija - vrijednost kosinusa za negativan kutće biti pozitivan. Pri množenju i dijeljenju trigonometrijskih funkcija morate se pridržavati pravila znakova.

Korijen od 2/2 je koliko pi?- To se događa na različite načine (vidi sliku). Morate znati koja je trigonometrijska funkcija jednaka korijenu iz dva podijeljeno s dva.

Ako vam se post svidio i želite znati više, u procesu sam rada na drugim materijalima.

cos pi podijeljeno s 2

Početna > Imenik > Matematičke formule.

Matematičke formule.

Pretvorite radijane u stupnjeve.
A d = A r * 180 / pi

Pretvorite stupnjeve u radijane.
A r = A d * pi / 180
Gdje je A d kut u stupnjevima, A r je kut u radijanima.

Opseg.
L = 2 * pi * R

Duljina kružnog luka.
L=A*R

Površina trokuta.

p=(a+b+c)/2 - poluopseg.

Površina kruga.
S = pi * R 2

Područje sektora.
S \u003d L d * R / 2 \u003d (A * R 2) / 2

Površina kugle.
S = 4 * pi * R 2

S = 2 * Pi * R * H

Gdje je S površina bočne površine cilindra, R je polumjer baze cilindra, H je visina cilindra.

S = pi * R * L

S = pi * R * L + pi * R 2

Volumen lopte.
V = 4/3 * pi * R 3

Volumen cilindra.
V = pi * R 2 * H

Volumen konusa.

Objavljeno: 15.01.13
Ažurirano: 15.11.14
Pregledano ukupno: 10754
danas: 1

Početna > Imenik > Matematičke formule.

Egor

Dobra večer! Jako si pitao interes Pitaj nadamo se da vam možemo pomoći.

Kako riješiti C1. Lekcija 2

Ti i ja trebamo riješiti sljedeći problem: pronaći cos pi podijeljeno s 2.
Najčešće, za rješavanje takvih problema, potrebno je odrediti pokazatelje kosinusa ili sinusa. Za kutove od 0 do 360 stupnjeva, gotovo svaka vrijednost cos ili sin može se lako pronaći u odgovarajućim pločama koje postoje i koje su uobičajene, kao što su ove:

Ali mi nemamo sinus (grijeh), nego kosinus. Prvo shvatimo što je kosinus. Cos (kosinus) je jedna od trigonometrijskih funkcija. Da bi se izračunao kosinus akuta pravokutni trokut Morat ćete znati omjer uključene katete kuta i hipotenuze. Kosinus od pi podijeljen s 2 može se lako izračunati iz trigonometrijska formula, koji se odnosi na standardne formule trigonometrija. Ali ako govorimo o vrijednosti kosinusa pi podijeljenog s 2, tada ćemo za to koristiti tablicu koju smo već spomenuli više puta:

Sretno u budućim ovakvim nastojanjima!
Odgovor:

Početna > Imenik > Matematičke formule.

Matematičke formule.

Pretvorite radijane u stupnjeve.
A d = A r * 180 / pi

Pretvorite stupnjeve u radijane.
A r = A d * pi / 180
Gdje je A d kut u stupnjevima, A r je kut u radijanima.

Opseg.
L = 2 * pi * R
Gdje je L opseg, R je polumjer kruga.

Duljina kružnog luka.
L=A*R
Gdje je L duljina kružnog luka, R polumjer kružnice, A je središnji kut, izraženo u radijanima
Za krug A = 2*pi (360 stupnjeva), dobivamo L = 2*pi*R.

Površina trokuta.
S = (p * (p-a) * (p-b) * (p-c)) 1/2
Gdje je S površina trokuta, a, b, c su duljine stranica,
p=(a+b+c)/2 - poluopseg.

Površina kruga.
S = pi * R 2
Gdje je S površina kruga, R je polumjer kruga.

Područje sektora.
S \u003d L d * R / 2 \u003d (A * R 2) / 2
Gdje je S područje sektora, R je polumjer kruga, L d je duljina luka.

Površina kugle.
S = 4 * pi * R 2
Gdje je S površina lopte, R je polumjer lopte.

Područje bočne površine cilindra.
S = 2 * Pi * R * H
Gdje je S površina bočne površine cilindra, R je polumjer baze cilindra, H je visina cilindra.

Kvadrat puna površina cilindar.
S = 2 * pi * R * H + 2 * pi * R 2
Gdje je S površina bočne površine cilindra, R je polumjer baze cilindra, H je visina cilindra.

Područje bočne površine konusa.
S = pi * R * L
Gdje je S površina bočne površine konusa, R je polumjer baze konusa, L je duljina generatrixa konusa.

Ukupna površina stošca.
S = pi * R * L + pi * R 2
Gdje je S površina pune površine konusa, R je polumjer baze konusa, L je duljina generatrixa konusa.

Volumen lopte.
V = 4/3 * pi * R 3
Gdje je V volumen lopte, R je polumjer lopte.

Volumen cilindra.
V = pi * R 2 * H
Gdje je V volumen cilindra, R je radijus baze cilindra, H je visina cilindra.

Volumen konusa.
V = pi * R * L = pi * R * H/cos (A/2) = pi * R * R/sin (A/2)
Gdje je V volumen stošca, R je polumjer baze stošca, L je duljina generatrixe stošca, A je kut na vrhu stošca.

Objavljeno: 15.01.13
Ažurirano: 15.11.14
Pregledano ukupno: 10742
danas: 1

Početna > Imenik > Matematičke formule.

Egor
Žicu na stezaljkama baterije Krona možete pričvrstiti cjevčicom odsječenom s kapice medicinske igle.

Danas je rođendan broja Pi koji se, na inicijativu američkih matematičara, slavi 14. ožujka u 1 sat i 59 minuta poslijepodne. To je zbog točnije vrijednosti Pi: svi smo navikli ovu konstantu računati kao 3.14, ali broj se može nastaviti ovako: 3, 14159... Prevodeći ovo u kalendarski datum, dobivamo 03.14, 1: 59.

Foto: AIF / Nadežda Uvarova

Vladimir Zalyapin, profesor na Odsjeku za matematičku i funkcionalnu analizu Državnog sveučilišta Južnog Urala, kaže da bi 22. srpnja i dalje trebalo smatrati "danom pi", jer se u europskom formatu datuma ovaj dan piše kao 22/7, a vrijednost ovaj razlomak je približno jednak vrijednosti Pi.

"Povijest broja koji daje omjer opsega kruga i promjera kruga seže u davna vremena", kaže Zalyapin. — Već su Sumerani i Babilonci znali da taj omjer ne ovisi o promjeru kruga i da je konstantan. Jedno od prvih spominjanja broja Pi nalazi se u tekstovima Egipatski pisar Ahmes(oko 1650. pr. Kr.). Stari Grci, koji su mnogo posudili od Egipćana, pridonijeli su razvoju ove tajanstvene količine. Prema legendi, Arhimed bio toliko zanesen proračunima da nije primijetio kako su ga rimski vojnici odveli rodni grad Sirakuza. Kad mu je rimski vojnik prišao, Arhimed je viknuo na grčkom: "Ne diraj moje krugove!" Kao odgovor, vojnik ga je probo mačem.

Platon dobio prilično točnu vrijednost pi za svoje vrijeme - 3,146. Ludolf van Zeilen potrošeno najviše njegova života na izračunima prvih 36 znamenki iza decimalne točke pi, a ugravirani su na njegovu nadgrobnu ploču nakon smrti.

Iracionalno i nenormalno

Prema profesoru, u svakom trenutku težnja za izračunavanjem novih decimalnih mjesta bila je određena željom da se dobije točna vrijednost ovog broja. Pretpostavlja se da je broj Pi racionalan i da se stoga može izraziti prostim razlomkom. A ovo je u osnovi pogrešno!

Pi je također popularan jer je mističan. Od davnina postoji religija štovatelja konstante. Osim tradicionalno značenje Pi - matematička konstanta (3,1415 ...), koja izražava omjer opsega kruga i njegovog promjera, postoji mnogo drugih vrijednosti broja. Takve činjenice su čudne. U postupku mjerenja dimenzija Velika piramida u Gizi se pokazalo da ima isti omjer visine i opsega svoje baze kao polumjer kruga i njegove duljine, to jest ½ pi.

Ako izračunamo duljinu Zemljinog ekvatora koristeći Pi na devetu decimalu, pogreška u izračunu je samo oko 6 mm. Trideset i devet decimalnih mjesta u broju Pi dovoljno je da se izračuna opseg kruga koji okružuje poznati svemirski objekti u svemiru, s greškom koja nije veća od polumjera atoma vodika!

Proučavanjem Pija bavi se, između ostalog, matematička analiza. Foto: AIF / Nadežda Uvarova

Kaos u brojkama

Prema jednom profesoru matematike, 1767. god Lambert utvrdio iracionalnost broja Pi, odnosno nemogućnost prikazivanja kao omjera dvaju cijelih brojeva. To znači da je niz decimalnih znamenki broja pi kaos utjelovljen u brojevima. Drugim riječima, u "repu" decimalnih mjesta nalazi se bilo koji broj, bilo koji niz brojeva, bilo koji tekst koji je bio, je i koji će biti, ali te podatke nije moguće izvući!

“Nemoguće je znati točnu vrijednost broja Pi”, nastavlja Vladimir Iljič. Ali ti se pokušaji ne odustaju. Godine 1991 Čudnovskog postigao novih 2260000000 decimalnih znamenki konstante, a 1994. godine - 4044000000. Nakon toga, broj točnih znamenki broja Pi raste poput lavine.

Kinez drži svjetski rekord u pamćenju broja pi Liu Chao, koji je bez greške uspio zapamtiti 67890 decimalnih mjesta i reproducirati ih unutar 24 sata i 4 minute.

O "zlatnom rezu"

Inače, veza između "pi" i još jedne nevjerojatne veličine - zlatnog reza - zapravo nije dokazana. Ljudi su odavno primijetili da se "zlatni" udio - to je ujedno i Phi broj - i broj Pi podijeljen s dva međusobno razlikuju za manje od 3% (1,61803398... i 1,57079632...). Međutim, za matematiku, ova tri posto su prevelika razlika da bi se ove vrijednosti smatrale identičnima. Na isti način možemo reći da su broj Pi i broj Phi srodnici druge poznate konstante - Eulerovog broja, budući da je njegov korijen blizu polovine broja Pi. Jedna sekunda od Pi je 1,5708, Phi je 1,6180, korijen od E je 1,6487.

Ovo je samo dio značenja broja Pi. Fotografija: Screenshot

Pijev rođendan

Na južnom Uralu državno sveučilište Constantov rođendan slave svi profesori i studenti matematike. Oduvijek je bilo tako - ne može se reći da se interes javljao samo za posljednjih godina. Broj 3.14 čak je dočekan posebnim blagdanskim koncertom!

Ovaj članak je sakupio tablice sinusa, kosinusa, tangensa i kotangenata. Prvo dajemo tablicu osnovnih vrijednosti trigonometrijskih funkcija, odnosno tablicu sinusa, kosinusa, tangensa i kotangenata kutova 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 stupnjeva ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radijan). Nakon toga ćemo dati tablicu sinusa i kosinusa, kao i tablicu tangensa i kotangensa V. M. Bradisa, te pokazati kako se koristiti ovim tablicama pri pronalaženju vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

Navigacija po stranici.

Tablica sinusa, kosinusa, tangensa i kotangenata za kutove 0, 30, 45, 60, 90, ... stupnjeva

Bibliografija.

• Algebra: Proc. za 9 ćelija. prosj. škola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; ur. S. A. Telyakovsky.- M.: Prosvjetljenje, 1990.- 272 str.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 ćelija. prosj. škola - 3. izd. - M.: Prosvjetljenje, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 ćelija. opće obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; ur. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Prosvjetljenje, 2004.- 384 str.: ilustr.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkim školama): Proc. dodatak.- M.; viši škola, 1984.-351 str., ilustr.
• Bradis V. M.Četveroznamenkaste matematičke tablice: Za opće obrazovanje. udžbenik ustanove. - 2. izd. - M.: Bustard, 1999.- 96 str.: ilustr. ISBN 5-7107-2667-2