1 Što su obični razlomci. Vrste razlomaka.
Razlomak uvijek znači neki dio cjeline. Činjenica je da nije uvijek moguće prenijeti količinu prirodnim brojevima, odnosno preračunati: 1,2,3 itd. Kako, na primjer, odrediti pola lubenice ili četvrt sata? Zbog toga su se pojavili frakcijski brojevi, odnosno razlomci.

Za početak, treba reći da općenito postoje dvije vrste razlomaka: obični razlomci i decimalni razlomci. Obični razlomci se pišu ovako:
Decimale se pišu drugačije:

Obični razlomci se sastoje od dva dijela: na vrhu je brojnik, na dnu je nazivnik. Brojnik i nazivnik odvojeni su razlomkom. Zato zapamtite:

Svaki djelić je dio cjeline. Obično se uzima cijela 1 (jedinica). Nazivnik razlomka pokazuje na koliko je dijelova cjelina podijeljena ( 1 ), a brojnik je koliko je dijelova uzeto. Ako kolač isječemo na 6 identičnih komada (u matematici kažu dionice ), tada će svaki dio kolača biti jednak 1/6. Ako je Vasya pojeo 4 komada, onda je pojeo 4/6.

S druge strane, razlomačka crta nije ništa drugo do znak dijeljenja. Dakle, razlomak je kvocijent dvaju brojeva – brojnika i nazivnika. U tekstu zadataka ili u receptima za jela razlomci se obično pišu ovako: 2/3, 1/2 itd. Dobili su neke razlomke vlastito ime, na primjer, 1/2 - "polovica", 1/3 - "trećina", 1/4 - "četvrtina"
Sada shvatimo koje su vrste običnih razlomaka.

2 Vrste običnih razlomaka

Postoje tri vrste običnih razlomaka: pravilni, nepravi i mješoviti:

Pravilan razlomak

Ako je brojnik manji od nazivnika, tada se takav razlomak naziva točno, na primjer: Pravi razlomak je uvijek manji od 1.

Nepravilan razlomak

Ako je brojnik veći ili jednak nazivniku, naziva se razlomak pogrešno, na primjer:

Nepravi razlomak je veći od jedan (ako je brojnik veći od nazivnika) ili jednak jedan (ako je brojnik jednak nazivniku)

mješovita frakcija

Ako je razlomak cijeli broj ( cijeli dio) i pravi razlomak (razlomački dio), onda se takav razlomak naziva mješoviti, na primjer:

Mješoviti razlomak uvijek je veći od jedan.

3 Pretvorbe razlomaka

U matematici se obični razlomci često moraju pretvarati, odnosno mješoviti razlomak pretvarati u nepravi i obrnuto. Ovo je neophodno za izvođenje nekih operacija, poput množenja i dijeljenja.

Tako, bilo koji mješoviti razlomak može se pretvoriti u nepravi. Da biste to učinili, cijeli se dio množi s nazivnikom i dodaje se brojnik razlomka. Dobiveni iznos se uzima kao brojnik, a nazivnik ostaje isti, na primjer:

Svaki nepravi razlomak može se pretvoriti u mješoviti razlomak. Da biste to učinili, podijelite brojnik s nazivnikom (s ostatkom). Dobiveni broj bit će cijeli broj, a ostatak će biti brojnik razlomka, na primjer:

Istodobno kažu: "Izdvojili smo cijeli dio iz nepravog razlomka."

Treba zapamtiti još jedno pravilo: Bilo koji cijeli broj može se predstaviti kao običan razlomak s nazivnikom 1, na primjer:

Razgovarajmo o tome kako usporediti razlomke.

4 Usporedba razlomaka

Postoji nekoliko mogućnosti pri usporedbi razlomaka: Lako je uspoređivati ​​razlomke isti nazivnici, puno teže ako su nazivnici različiti. Postoji i usporedba mješovite frakcije. Ali ne brinite, sada ćemo pobliže pogledati svaku opciju i naučiti kako usporediti razlomke.

Uspoređivanje razlomaka s istim nazivnicima

Od dva razlomka s istim nazivnikom, ali različitim brojnicima, veći je razlomak s većim brojnikom, na primjer:

Uspoređivanje razlomaka s istim brojnikom

Od dva razlomka s istim brojnicima, ali različite nazivnike veći je razlomak čiji je nazivnik manji, npr.

Usporedba mješovitih i nepravi razlomci s pravilnim razlomcima

Nepravi ili mješoviti razlomak uvijek je veći od pravog razlomka, na primjer:

Usporedba dva mješovita razlomka

Kada se uspoređuju dva mješovita razlomka, razlomak s većim cjelobrojnim dijelom je veći, na primjer:

Ako su cijeli brojevi mješovitih razlomaka isti, veći je razlomak s većim razlomkom, na primjer:

Uspoređivanje razlomaka s različitim brojnicima i nazivnicima

Nemoguće je usporediti razlomke s različitim brojnicima i nazivnicima bez njihove pretvorbe. Najprije razlomke treba dovesti na isti nazivnik, a zatim usporediti njihove brojnike. Veći razlomak je onaj s većim brojnikom. Ali kako dovesti razlomke na isti nazivnik, razmotrit ćemo u sljedeća dva odjeljka članka. Prvo ćemo razmotriti osnovno svojstvo razlomka i svođenje razlomaka, a zatim izravno svođenje razlomaka na isti nazivnik.

5 Osnovno svojstvo razlomka. Smanjenje razlomaka. Koncept GCD.

Zapamtiti: Možete samo zbrajati, oduzimati i uspoređivati ​​razlomke koji imaju iste nazivnike.. Ako su nazivnici različiti, tada razlomke prvo treba dovesti na isti nazivnik, odnosno transformirati jedan od razlomaka na način da njegov nazivnik postane isti kao kod drugog razlomka.

Razlomci imaju jedan važna imovina također se zove osnovno svojstvo razlomka:

Ako se i brojnik i nazivnik razlomka pomnože ili podijele istim brojem, tada se vrijednost razlomka neće promijeniti:

Zahvaljujući ovom svojstvu, možemo smanjiti razlomke:

Skratiti razlomak znači podijeliti i brojnik i nazivnik istim brojem.(vidi primjer gore). Kada smanjimo razlomak, svoje radnje možemo opisati na sljedeći način:

Češće se u bilježnici razlomak smanjuje ovako:

Ali zapamtite: samo se množitelji mogu smanjiti. Ako je brojnik ili nazivnik zbroj ili razlika, članovi se ne mogu reducirati. Primjer:

Prvo trebamo pretvoriti zbroj u množitelj:

Ponekad, kada radite sa velike brojke, kako bi se smanjio udio, prikladno je pronaći najveći zajednički faktor brojnika i nazivnika (gcd)

Najveći zajednički djelitelj (GCD) više brojeva - to je najveći prirodni broj kojim su ti brojevi djeljivi bez ostatka.

Da biste pronašli GCD dvaju brojeva (na primjer, brojnika i nazivnika razlomka), trebate proširiti oba broja u glavni faktori, zabilježite iste faktore u oba proširenja i pomnožite te faktore. Rezultirajući proizvod će biti GCD. Na primjer, trebamo smanjiti razlomak:

Nađi GCD brojeva 96 i 36:

GCD nam pokazuje da i brojnik i nazivnik imaju faktor12, a razlomak možemo lako smanjiti.

Ponekad, da bi se razlomci doveli na isti nazivnik, dovoljno je smanjiti jedan od razlomaka. Ali češće je potrebno odabrati dodatne faktore za obje frakcije. Sada ćemo pogledati kako se to radi. Tako:

6 Kako razlomke dovesti na isti nazivnik. Najmanji zajednički višekratnik (LCM).

Kada razlomke svodimo na isti nazivnik, za nazivnik odabiremo broj koji bi bio djeljiv i s prvim i s drugim nazivnikom (to jest, bio bi višekratnik obaju nazivnika, izražen matematički jezik). I poželjno je da taj broj bude što manji, tako da je prikladnije brojati. Dakle, moramo pronaći LCM oba nazivnika.

Najmanji zajednički višekratnik dvaju brojeva (LCM) je najmanji prirodni broj koji je djeljiv s oba ova broja bez ostatka. Ponekad se LCM može pronaći usmeno, ali češće, posebno kada radite s velikim brojevima, morate pronaći LCM u pisanom obliku, koristeći sljedeći algoritam:

Da biste pronašli LCM nekoliko brojeva, potrebno vam je:

1. Rastavite ove brojeve na proste faktore
2. Uzmite najveće proširenje i zapišite ove brojeve kao umnožak
3. Odaberite u drugim proširenjima brojeve koji se ne pojavljuju u najvećem proširenju (ili se pojavljuju u njemu manji broj puta) i dodajte ih u rad.
4. Pomnožite sve brojeve u umnošku, to će biti LCM.

Na primjer, pronađimo LCM brojeva 28 i 21:

Ali vratimo se našim razlomcima. Nakon što smo odabrali ili pismeno izračunali LCM oba nazivnika, moramo pomnožiti brojnike ovih razlomaka s dodatni množitelji. Možete ih pronaći dijeljenjem LCM-a s nazivnikom odgovarajućeg razlomka, na primjer:

Tako smo naše razlomke sveli na jedan nazivnik - 15.

7 Zbrajanje i oduzimanje razlomaka

Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima

Za zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima potrebno je zbrojiti njihove brojnike, a nazivnik ostaviti isti, na primjer:

Da biste oduzeli razlomke s istim nazivnicima, oduzmite brojnik drugog razlomka od brojnika prvog razlomka i ostavite nazivnik istim, na primjer:

Zbrajanje i oduzimanje mješovitih razlomaka s istim nazivnicima

Za zbrajanje mješovitih razlomaka potrebno je zbrojiti njihove cijele dijelove zasebno, zatim zbrojiti njihove razlomke i rezultat napisati kao mješoviti razlomak:

Ako se pri zbrajanju razlomačkih dijelova dobije nepravi razlomak, iz njega izdvajamo cijeli dio i pribrajamo ga cijelom dijelu, npr.

Oduzimanje se provodi na isti način: cijeli se dio oduzima od cijelog broja, a razlomački dio se oduzima od razlomka:

Ako je razlomački dio umanjenika veći od razlomačkog dijela umanjenika, "uzimamo" jedan iz cijelog dijela, pretvarajući umanjenik u nepravi razlomak, a zatim nastavljamo kao i obično:

Na sličan način oduzimati razlomak od cijelog broja:

Kako zbrojiti cijeli broj i razlomak

Da biste zbrojili cijeli broj i razlomak, samo trebate dodati ovaj broj prije razlomka i dobit ćete mješoviti razlomak, na primjer:

Ako mi zbrajati cijeli broj i mješoviti razlomak, ovaj broj dodajemo cijelom dijelu razlomka, na primjer:

Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima.

Da biste zbrajali ili oduzimali razlomke s različitim nazivnicima, prvo ih morate dovesti na isti nazivnik, a zatim postupiti kao kod zbrajanja razlomaka s istim nazivnicima (zbrajati brojnike):

Kod oduzimanja postupamo na isti način:

Ako radimo s mješovitim razlomcima, njihove razlomke svedemo na isti nazivnik, a zatim oduzmemo kao i obično: cijeli dio od cjeline, a razlomak od razlomka:

8 Množenje i dijeljenje razlomaka.

Množenje i dijeljenje razlomaka puno je lakše od zbrajanja i oduzimanja jer ih ne morate dovoditi na isti nazivnik. Zapamtiti jednostavna pravila množenje i dijeljenje razlomaka:

Prije množenja brojeva u brojniku i nazivniku, poželjno je smanjiti razlomak, odnosno riješiti se isti množitelji u brojniku i nazivniku, kao u našem primjeru.

Podijeliti razlomak prirodnim brojem, trebate pomnožiti nazivnik ovim brojem, a brojnik ostaviti nepromijenjenim:

Na primjer:

Dijeljenje razlomka razlomkom

Da biste podijelili jedan razlomak u drugi, trebate pomnožiti dividendu s recipročnom vrijednošću djelitelja (recipročnom vrijednošću). Koja je to recipročna vrijednost?

Ako razlomak preokrenemo, odnosno zamijenimo brojnik i nazivnik, dobit ćemo recipročnu vrijednost. Umnožak razlomka i njegove recipročne vrijednosti daje jedan. U matematici se takvi brojevi nazivaju međusobno recipročnim brojevima:

Na primjer, brojevi su međusobno inverzni, jer

Dakle, vraćamo se na dijeljenje razlomka na razlomak:

Da biste podijelili jedan razlomak drugim, trebate pomnožiti dividendu s recipročnom vrijednošću djelitelja:

Na primjer:

Kod dijeljenja mješovitih razlomaka, kao i kod množenja, prvo ih morate pretvoriti u neprave razlomke:

Pri množenju i dijeljenju razlomaka cijelim brojevima cijeli brojevi , te brojeve također možete predstaviti kao razlomke s nazivnikom 1 .

I kod dijeljenje cijelog broja razlomkom predstaviti ovaj broj kao razlomak s nazivnikom 1 :

Brojnik, a ono čime se dijeli je nazivnik.

Da biste napisali razlomak, prvo napišite njegov brojnik, zatim povucite vodoravnu crtu ispod tog broja, a ispod crte napišite nazivnik. Vodoravna linija koja razdvaja brojnik i nazivnik naziva se razlomkom. Ponekad se prikazuje kao koso "/" ili "∕". U tom slučaju brojnik se piše lijevo od retka, a nazivnik desno. Tako će, na primjer, razlomak "dvije trećine" biti napisan kao 2/3. Radi jasnoće, brojnik se obično piše na vrhu retka, a nazivnik na dnu, odnosno umjesto 2/3 možete pronaći: ⅔.

Da biste izračunali umnožak razlomaka, prvo pomnožite brojnik s jedan razlomci drugom brojniku. Rezultat upiši u brojnik novog razlomci. Zatim pomnožite i nazivnike. Navedite konačnu vrijednost u novom razlomci. Na primjer, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Da biste podijelili jedan razlomak drugim, prvo pomnožite brojnik prvog s nazivnikom drugog. Učinite isto s drugim razlomkom (djeliteljem). Ili, prije izvođenja svih koraka, prvo "okrenite" djelitelj, ako vam je prikladnije: nazivnik bi trebao biti umjesto brojnika. Zatim pomnožite nazivnik dividende s novim nazivnikom djelitelja i pomnožite brojnike. Na primjer, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).

Izvori:

• Osnovni zadaci za razlomke

Frakcijski brojevi omogućuju vam izražavanje u drugačiji oblik točna vrijednost količine. Isto možete učiniti i s razlomcima. matematičke operacije, kao kod cijelih brojeva: oduzimanje, zbrajanje, množenje i dijeljenje. Da naučite kako odlučiti razlomci, potrebno je zapamtiti neke od njihovih značajki. Ovise o vrsti razlomci, prisutnost cijelog dijela, zajedničkog nazivnika. Neki aritmetičke operacije nakon izvođenja zahtijevaju smanjenje razlomka rezultata.

Trebat će vam

• - kalkulator

Uputa

Pažljivo pogledajte brojeve. Ako među razlomcima ima decimala i nepravilnih, ponekad je prikladnije prvo izvršiti radnje s decimalama, a zatim ih pretvoriti u pogrešan oblik. Možete li prevesti razlomci u ovom obliku na početku, pišući vrijednost iza decimalne točke u brojniku i stavljajući 10 u nazivnik. Ako je potrebno, smanjite razlomak tako da brojeve iznad i ispod podijelite s jednim djeliteljem. Razlomke u kojima se ističe cijeli dio dovode do pogrešnog oblika tako da se pomnože nazivnikom i rezultatu dodaju brojnik. Ova vrijednost će postati novi brojnik razlomci. Izvući cijeli dio iz prvobitno netočnog razlomci, podijelite brojnik nazivnikom. Napiši cijeli rezultat iz razlomci. A ostatak dijeljenja postaje novi brojnik, nazivnik razlomci dok se ne mijenja. Za razlomke s cijelim dijelom moguće je posebno izvoditi radnje, prvo za cijeli, a zatim za razlomačke dijelove. Na primjer, zbroj 1 2/3 i 2 ¾ može se izračunati:
- Pretvaranje razlomaka u pogrešan oblik:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Zbrajanje odvojeno cijelih i razlomaka članova:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Prepišite ih kroz razdjelnik ":" i nastavite uobičajenim dijeljenjem.

Da biste dobili konačni rezultat, smanjite dobiveni razlomak tako da brojnik i nazivnik podijelite s jednim cijelim brojem, najvećim mogućim u ovaj slučaj. U ovom slučaju iznad i ispod crte moraju biti cijeli brojevi.

Bilješka

Nemojte računati s razlomcima koji imaju različite nazivnike. Odaberite takav broj da kada se brojnik i nazivnik svakog razlomka pomnože s njim, kao rezultat, nazivnici obaju razlomaka budu jednaki.

Koristan savjet

Prilikom snimanja razlomački brojevi dividenda je ispisana iznad crte. Ova se veličina naziva brojnikom razlomka. Ispod crte je napisan djelitelj, odnosno nazivnik razlomka. Na primjer, jedan i pol kilogram riže u obliku razlomka bit će napisan na sljedeći način: 1 ½ kg riže. Ako je nazivnik razlomka 10, naziva se decimalni razlomak. U ovom slučaju brojnik (dividenda) piše se desno od cijelog dijela odvojen zarezom: 1,5 kg riže. Radi praktičnosti izračuna, takav se razlomak uvijek može napisati pogrešan način: 1 2/10 kg krumpira. Radi pojednostavljenja, možete smanjiti vrijednosti brojnika i nazivnika tako da ih podijelite s jednim cijelim brojem. NA ovaj primjer moguće je dijeljenje s 2. Rezultat će biti 1 1/5 kg krumpira. Provjerite jesu li brojevi s kojima ćete računati u istom obliku.

"Razlomljena" matematika za djecu

Složimo se odmah da je razlomak dio cjeline, manji od jedan. Na koliko ćemo dijelova podijeliti cjelinu? I ovako se slažemo. Što će se smatrati jedinicom? Isto kao što se slažemo. Eto kako su oni susretljivi, ovi razlomci. I također morate zapamtiti jednu stvar: broj na koliko dijelova smo odlučili podijeliti cjelinu je nazivnik, koliko smo tih dijelova uzeli je brojnik.

Na primjer, evo jedne priče. Na travi su 3 jabuke, jež je uzeo samo 2. Za cijelu (jednu) uzet ćemo sve jabuke - cijeli urod. Ali mi ih imamo 3, što znači da je naš usjev podijeljen na 3 dijela. 3 je nazivnik. Cijeli urod (jedinica) je 3/3, a svaka jabuka je 1/3 uroda. Pošto je jež uzeo 2 jabuke, znači da je uzeo 2/3 uroda!

A možete uzeti Lego, takav dizajner kojeg vole mnoga djeca. Dugo smo primijetili da su svi njegovi elementi različite veličine, zar ne? I to na svakom detalju drugačiji iznos točkice - "prištići". Brojimo - evo jedan, dva, četiri, šest pa čak i osam.

Razmotrimo lego "kocku" s osam točaka kao cjelinu (jedan). Prvo, usporedimo ga s drugima. Koliko Lego komada s 4 točkice trebate uzeti da napravite našu jedinicu "kockica"? Tako je, dva. Dakle, jedan detalj sa 4 boda je 1/2 našeg "jedina". I koliko detalja s dvije točke trebaš uzeti da dobiješ cjelinu? Tako je, četiri. Dakle, jedan takav detalj je 1/4. A detalj s jednom točkom je 1/8, jer će takvih detalja biti potrebno čak 8 komada da bi se napravila cjelina. Sada je zadatak kompliciraniji: imamo element sa šest točaka. U njega stanu 3 "četvrtine", a ako mu dodate još jednu, dobijete cijeli (jedan). Dakle, evo prvog primjera spremnog: 3/4+1/4=4/4 ili 1 (ako su brojnik i nazivnik jednaki, onda je ovo jedan!)

Ovo nije jedini eksperiment koji se može izvesti s Legom. S razlomcima se možete složiti oko puno toga. Ali što ako smo isti, nećemo uzeti u obzir četvrtine, već osmine? A nazivnik će biti 8? Gledamo sliku: jedinica je "cigla" s osam točaka. 1/2 je 4/8, a 1/4=2/8. A ovo je priča o tome kako možete smanjiti razlomke. Ali ova tema stvarno može malo pričekati!

Primjeri s razlomcima jedan su od osnovnih elemenata matematike. Ima ih mnogo različiti tipovi jednadžbe s razlomcima. Ispod je detaljne upute rješavanjem primjera ovog tipa.

Kako rješavati primjere s razlomcima – opća pravila

Za rješavanje primjera s razlomcima bilo koje vrste, bilo da se radi o zbrajanju, oduzimanju, množenju ili dijeljenju, trebate znati osnovna pravila:

• Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnikom (nazivnik je broj na dnu razlomka, brojnik na vrhu), potrebno je zbrojiti njihove brojnike, a nazivnik ostaviti isti.
• Da biste od jednog razlomka oduzeli drugi (s istim nazivnikom), morate oduzeti njihove brojnike, a nazivnik ostaviti isti.
• Da biste zbrajali ili oduzimali razlomke s različitim nazivnicima, morate pronaći najmanji zajednički nazivnik.
• Da biste pronašli frakcijski proizvod, morate pomnožiti brojnike i nazivnike, dok ih, ako je moguće, smanjite.
• Da biste razlomak podijelili s razlomkom, morate prvi razlomak pomnožiti s drugim obrnutim razlomkom.

Kako rješavati primjere s razlomcima – vježbajte

Pravilo 1, primjer 1:

Izračunajte 3/4 +1/4.

Prema pravilu 1, ako razlomci od dva (ili više) imaju isti nazivnik, trebate samo zbrojiti njihove brojnike. Dobivamo: 3/4 + 1/4 = 4/4. Ako razlomak ima isti brojnik i nazivnik, razlomak će biti 1.

Odgovor: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

Pravilo 2, primjer 1:

Izračunajte: 3/4 - 1/4

Koristeći pravilo broj 2, da biste riješili ovu jednadžbu, trebate oduzeti 1 od 3 i ostaviti nazivnik istim. Dobivamo 2/4. Kako se dva 2 i 4 mogu smanjiti, smanjujemo i dobivamo 1/2.

Odgovor: 3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2.

Pravilo 3, primjer 1

Izračunajte: 3/4 + 1/6

Rješenje: Pomoću 3. pravila nalazimo najmanji zajednički nazivnik. Najmanji zajednički nazivnik je broj koji je djeljiv sa nazivnicima svih frakcijski izrazi primjer. Dakle, treba pronaći takav minimalni broj koji će biti djeljiv i sa 4 i sa 6. Taj broj je 12. Nazivnik pišemo 12. 12 podijelimo sa nazivnikom prvog razlomka, dobijemo 3, pomnožimo sa 3, u brojnik *3 upisujemo 3 i znak +. Podijelimo 12 s nazivnikom drugog razlomka, dobijemo 2, pomnožimo 2 s 1, u brojnik upišemo 2 * 1. Dakle, dobili smo novi razlomak s nazivnikom jednakim 12 i brojnikom jednakim 3*3+2*1=11. 11/12.

Odgovor: 11/12

Pravilo 3, primjer 2:

Izračunajte 3/4 - 1/6. Ovaj primjer je vrlo sličan prethodnom. Radimo sve iste radnje, ali u brojniku umjesto znaka + pišemo znak minus. Dobivamo: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

Odgovor: 7/12

Pravilo 4, primjer 1:

Izračunajte: 3/4 * 1/4

Koristeći četvrto pravilo, nazivnik prvog razlomka množimo nazivnikom drugog i brojnik prvog razlomka s brojnikom drugog. 3*1/4*4 = 3/16.

Odgovor: 3/16

Pravilo 4, primjer 2:

Izračunajte 2/5 * 10/4.

Ovaj se udio može smanjiti. Kod umnoška se smanjuju brojnik prvog razlomka i nazivnik drugog te brojnik drugog razlomka i nazivnik prvog.

2 se smanjuje s 4. 10 se smanjuje s 5. dobivamo 1 * 2/2 = 1 * 1 = 1.

Odgovor: 2/5 * 10/4 = 1

Pravilo 5, primjer 1:

Izračunajte: 3/4: 5/6

Koristeći 5. pravilo, dobivamo: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Razlomak smanjimo prema principu prethodnog primjera i dobijemo 9/10.

Odgovor: 9/10.

Kako riješiti primjere razlomaka - jednadžbe razlomaka

Frakcijske jednadžbe su primjeri u kojima nazivnik sadrži nepoznanicu. Da biste riješili takvu jednadžbu, morate koristiti određena pravila.

Razmotrite primjer:

Riješite jednadžbu 15/3x+5 = 3

Podsjetimo se da ne možete dijeliti s nulom, tj. vrijednost nazivnika ne smije biti nula. Prilikom rješavanja ovakvih primjera to mora biti naznačeno. Da biste to učinili, postoji ODZ (raspon prihvatljivih vrijednosti).

Dakle, 3x+5 ≠ 0.
Dakle: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

Za x = 5/3, jednadžba jednostavno nema rješenja.

Određivanjem ODZ-a, na najbolji mogući način odlučiti dana jednadžba riješit će se razlomaka. Za ovo prvo sve zamislimo frakcijske vrijednosti kao razlomak, u ovom slučaju broj 3. Dobivamo: 15/(3x+5) = 3/1. Da biste se riješili razlomaka, morate svaki od njih pomnožiti s najmanjim zajedničkim nazivnikom. U ovom slučaju to bi bilo (3x+5)*1. Redoslijed:

1. Pomnožite 15/(3x+5) s (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
2. Raširite zagrade: 15*(3x+5) = 45x + 75.
3. Isto radimo i sa desna strana jednadžbe: 3*(3x+5) = 9x + 15.
4. Izjednačiti lijevo i desna strana: 45x + 75 = 9x +15
5. Pomaknite x-ove ulijevo, brojeve udesno: 36x = -50
6. Pronađite x: x = -50/36.
7. Smanjujemo: -50/36 = -25/18

Odgovor: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.

Kako rješavati primjere s razlomcima – razlomačke nejednadžbe

Razlomačke nejednadžbe tipa (3x-5)/(2-x)≥0 rješavaju se pomoću numeričke osi. Razmotrite ovaj primjer.

Redoslijed:

• Izjednačite brojnik i nazivnik s nulom: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
  2. 2-x=0 => x=2
• Crtamo numeričku os, slikajući dobivene vrijednosti na njoj.
• Nacrtajte krug ispod vrijednosti. Krug je dva tipa - ispunjen i prazan. Ispunjeni krug znači da dana vrijednost uključeni u ponudu rješenja. Prazan krug označava da ova vrijednost nije uključena u raspon rješenja.
• Budući da nazivnik ne može biti nula, bit će prazan krug ispod 2.

• Da bismo odredili predznake, zamijenimo bilo koji broj veći od dva u jednadžbu, na primjer 3. (3 * 3-5) / (2-3) \u003d -4. vrijednost je negativna pa minus upisujemo preko područja iza dvojke. Zatim zamijenimo bilo koju vrijednost intervala od 5/3 do 2 umjesto x, na primjer 1. Vrijednost je opet negativna. Pišemo minus. Isto ponavljamo s površinom do 5/3. Zamjenjujemo bilo koji broj manji od 5/3, na primjer 1. Ponovno minus.

• Budući da nas zanimaju vrijednosti x, pri kojima će izraz biti veći ili jednak 0, a takvih vrijednosti nema (posvuda kontra), ova nejednadžba nema rješenja, tj. x = Ø (prazan skup).

Odgovor: x = Ø

Dio jedinice ili više njezinih dijelova nazivamo prostim ili običnim razlomkom. Količina jednake dijelove, na koje je jedinica podijeljena, zove se nazivnik, a broj uzetih dijelova naziva se brojnik. Razlomak se piše kao:

U ovom slučaju, a je brojnik, b je nazivnik.

Ako brojnik manji od nazivnika, tada se naziva razlomak manji od 1 pravilan razlomak. Ako je brojnik veći od nazivnika, tada je razlomak veći od 1, tada se razlomak naziva nepravim razlomkom.

Ako su brojnik i nazivnik razlomka jednaki, onda je razlomak jednak.

1. Ako se brojnik može podijeliti s nazivnikom, tada je ovaj razlomak jednak kvocijentu dijeljenja:

Ako se dijeljenje izvodi s ostatkom, tada se ovaj nepravi razlomak može prikazati mješovitim brojem, na primjer:

Tada je 9 nepotpuni kvocijent (cijeli dio mješovitog broja),
1 - ostatak (brojnik razlomka),
5 je nazivnik.

Da biste mješoviti broj pretvorili u razlomak, pomnožite cijeli broj mješovitog broja s nazivnikom i dodajte brojnik razlomka.

Dobiveni rezultat bit će brojnik običnog razlomka, a nazivnik će ostati isti.

Akcije s razlomcima

Proširenje razlomaka. Vrijednost razlomka se ne mijenja ako se njegov brojnik i nazivnik pomnože s istim brojem koji nije nula.
Na primjer:

Smanjenje razlomaka. Vrijednost razlomka se ne mijenja ako su njegov brojnik i nazivnik podijeljeni istim brojem koji nije nula.
Na primjer:

Usporedba razlomaka. Od dva razlomka s istim brojnikom, veći je onaj s manjim nazivnikom:

Od dva razlomka s istim nazivnicima veći je onaj s većim brojnikom:

Za usporedbu razlomaka čiji su brojnici i nazivnici različiti potrebno ih je proširiti, odnosno dovesti do zajednički nazivnik. Razmotrimo, na primjer, sljedeće razlomke:

Zbrajanje i oduzimanje razlomaka. Ako su nazivnici razlomaka isti, tada je za zbrajanje razlomaka potrebno zbrojiti njihove brojnike, a za oduzimanje razlomaka potrebno je oduzeti njihove brojnike. Dobiveni zbroj ili razlika bit će brojnik rezultata, dok će nazivnik ostati isti. Ako su nazivnici razlomaka različiti, prvo morate razlomke svesti na zajednički nazivnik. Kada se doda mješoviti brojevi posebno se zbrajaju njihov cijeli i razlomački dio. Kada oduzimate mješovite brojeve, morate ih najprije pretvoriti u oblik nepravih razlomaka, zatim oduzimati jedan od drugoga, a zatim ponovno dovesti rezultat, ako je potrebno, u oblik mješovitog broja.

Množenje razlomaka. Da biste pomnožili razlomke, morate zasebno pomnožiti njihove brojnike i nazivnike i prvi umnožak podijeliti s drugim.

Dijeljenje razlomaka. Da biste broj podijelili razlomkom, morate taj broj pomnožiti s njegovom recipročnom vrijednošću.

Decimal je rezultat dijeljenja jedan s deset, sto, tisuću itd. dijelovi. Prvo se napiše cijeli broj, zatim se s desne strane stavlja decimalna točka. Prva znamenka iza decimalne točke označava broj desetinki, druga - broj stotinki, treća - broj tisućinki itd. Brojevi iza decimalne točke nazivaju se decimalna mjesta.

Na primjer:

Decimalna svojstva

Svojstva:

• Decimalni se razlomak ne mijenja ako se s desne strane dodaju nule: 4,5 = 4,5000.
• Decimalni razlomak se ne mijenja ako se uklone nule koje se nalaze na kraju decimalnog razlomka: 0,0560000 = 0,056.
• Decimala se povećava na 10, 100, 1000 i tako dalje. puta, ako pomaknete decimalnu točku na jedan, dva, tri itd. položaji desno: 4,5 45 (razlomak se povećao 10 puta).
• Decimala se smanjuje za 10, 100, 1000 itd. puta, ako pomaknete decimalnu točku na jedan, dva, tri itd. pozicije lijevo: 4,5 0,45 (razlomak se smanjio 10 puta).

Periodična decimala sadrži beskonačno ponavljajuću skupinu znamenki koja se naziva točka: 0,321321321321…=0,(321)

Operacije s decimalama

Zbrajanje i oduzimanje decimala vrši se na isti način kao i zbrajanje i oduzimanje cijelih brojeva, samo je potrebno odgovarajuća decimalna mjesta upisati jedno ispod drugog.
Na primjer:

Množenje decimalnih razlomaka provodi se u nekoliko faza:

• Decimale množimo kao cijele brojeve, ne uzimajući u obzir decimalnu točku.
• Vrijedi pravilo: broj decimalnih mjesta u umnošku jednak je zbroju decimalnih mjesta svih faktora.

Na primjer:

Zbroj brojeva decimalnih mjesta u faktorima je: 2+1=3. Sada morate izbrojati 3 znamenke od kraja dobivenog broja i staviti decimalnu točku: 0,675.

Dijeljenje decimala. Dijeljenje decimale cijelim brojem: ako je dividenda manji djelitelj, tada u cjelobrojnom dijelu kvocijenta treba napisati nulu i iza nje staviti decimalnu točku. Zatim, ne uzimajući u obzir decimalnu točku dividende, dodajte sljedeću znamenku razlomka njegovom cijelom dijelu i ponovno usporedite dobiveni cijeli dio dividende s djeliteljem. Ako je novi broj opet manji od djelitelja, operacija se mora ponoviti. Ovaj proces se ponavlja sve dok rezultirajuća dividenda ne bude veća od djelitelja. Nakon toga slijedi dijeljenje kao kod cijelih brojeva. Ako je dividenda veća ili jednaka djelitelju, prvo podijelimo njegov cijeli dio, rezultat dijeljenja upišemo u kvocijent i stavimo decimalnu točku. Nakon toga se nastavlja dijeljenje kao i kod cijelih brojeva.

Dijeljenje jednog decimalnog razlomka u drugi: prvo se decimalne točke u djelitelju i djelitelju prenose za broj decimalnih mjesta u djelitelju, odnosno djelitelj činimo cijelim brojem i izvršavaju se gore opisane radnje.

Kako bi se okrenuo decimal u običnu, potrebno je za brojnik uzeti broj iza decimalne točke, a za nazivnik uzeti k-tu potenciju desetice (k je broj decimalnih mjesta). Cijeli dio različit od nule čuva se u običnom razlomku; nulti cijeli dio je izostavljen.
Na primjer:

Kako bi se okrenuo obični razlomak decimalno, potrebno je brojnik podijeliti nazivnikom u skladu s pravilima dijeljenja.

Postotak je stoti dio jedinice, na primjer: 5% znači 0,05. Omjer je kvocijent dijeljenja jednog broja s drugim. Proporcija je jednakost dva omjera.

Na primjer:

Glavno svojstvo udjela: umnožak krajnjih članova udjela jednak je umnošku njegovih srednjih članova, odnosno 5x30 = 6x25. Dvije međusobno ovisne veličine nazivamo proporcionalnima ako omjer njihovih veličina ostaje nepromijenjen (koeficijent proporcionalnosti).

Dakle, otkrivaju se sljedeće aritmetičke operacije.
Na primjer:

Skup racionalnih brojeva uključuje pozitivne i negativne brojeve (cijele i razlomke) i nulu. Više precizna definicija racionalni brojevi, prihvaćeni u matematici, sljedeći: broj se naziva racionalnim ako se može prikazati kao obični nesvodivi razlomak oblika:, gdje su a i b cijeli brojevi.

Za negativan broj apsolutna vrijednost(modulus) je pozitivan broj dobiven promjenom predznaka iz "-" u "+"; za pozitivan broj a nula je sam broj. Za označavanje modula broja koriste se dvije ravne crte unutar kojih je taj broj napisan, na primjer: |–5|=5.

Svojstva apsolutne vrijednosti

Neka je zadan modul broja , za koje vrijede svojstva:

Monom je proizvod dva ili više faktora, od kojih je svaki ili broj, ili slovo, ili potencija slova: 3 x a x b. Koeficijent se najčešće naziva samo numerički faktor. Za monome se kaže da su slični ako su isti ili se razlikuju samo u koeficijentima. Stupanj monoma je zbroj eksponenata svih njegovih slova. Ako među zbrojem monoma ima sličnih, tada se zbroj može svesti na više običan pogled: 3 x a x b + 6 x a \u003d 3 x a x (b + 2). Ova se operacija naziva prisiljavanje sličnih izraza ili zagrada.

Polinom je algebarski zbroj monom. Stupanj polinoma je najveći od stupnjeva monoma uključenih u dati polinom.

Postoje sljedeće formule za skraćeno množenje:

Metode faktoringa:

Algebarski razlomak je izraz oblika , gdje A i B mogu biti broj, monom, polinom.

Ako su dva izraza (numerički i slovni) povezani znakom "=", tada se kaže da čine jednakost. Svaka prava jednakost koja vrijedi za sve dopustive brojčane vrijednosti slova uključena u njega naziva se identitet.

Jednadžba je doslovna jednakost koja vrijedi za određene vrijednosti slova uključena u njega. Ta se slova nazivaju nepoznanice (varijable), a njihove vrijednosti, pri kojima data jednadžba postaje identitet, nazivaju se korijeni jednadžbe.

Rješavanje jednadžbe znači pronalaženje svih njezinih korijena. Za dvije ili više jednadžbi kaže se da su ekvivalentne ako imaju iste korijene.

• nula je bila korijen jednadžbe;
• jednadžba je imala samo konačan broj korijenje.

Glavne vrste algebarskih jednadžbi:

Linearna jednadžba ima ax + b = 0:

• ako je a x 0, postoji jedan korijen x = -b/a;
• ako je a = 0, b ≠ 0, nema korijena;
• ako je a = 0, b = 0, korijen je bilo koji realni broj.

Jednadžba xn = a, n N:

• ako n - neparan broj, ima realan korijen jednak a/n za bilo koje a;
• ako je n paran broj, onda za 0, tada ima dva korijena.

Glavni identične transformacije: zamjena jednog izraza drugim, njemu identično jednakim; prijenos članova jednadžbe s jedne na drugu stranu suprotnih predznaka; množenje ili dijeljenje oba dijela jednadžbe istim izrazom (brojem) osim nule.

Linearna jednadžba s jednom nepoznatom je jednadžba oblika: ax+b=0, gdje su a i b poznati brojevi, a x je nepoznata veličina.

Sustavi od dva linearne jednadžbe s dvije nepoznanice imaju oblik:

Gdje su a, b, c, d, e, f dani brojevi; x, y su nepoznati.

Brojevi a, b, c, d - koeficijenti za nepoznanice; e, f - slobodni članovi. Rješenje ovog sustava jednadžbi može se pronaći na dvije glavne metode: metodom supstitucije: iz jedne jednadžbe jednu nepoznanicu izrazimo kroz koeficijente, a drugu nepoznanicu, a zatim je zamijenimo u drugu jednadžbu, rješavajući posljednju jednadžbu , prvo nađemo jednu nepoznanicu, zatim nađenu vrijednost zamijenimo u prvu jednadžbu i pronađemo drugu nepoznanicu; metoda dodavanja ili oduzimanja jedne jednadžbe drugoj.

Operacije s korijenima:

Aritmetika korijen nth stupanj od nenegativnog broja a naziva se nenegativan broj, n-ti stupanj koji je jednak a. algebarski korijen n-ti stupanj iz dati broj zove se skup svih korijena iz ovog broja.

Iracionalni brojevi, za razliku od racionalnih, ne mogu se prikazati kao obični nesvodivi razlomak oblika m/n, gdje su m i n cijeli brojevi. To su brojevi novog tipa koji se mogu izračunati s bilo kojom preciznošću, ali se ne mogu zamijeniti racionalni broj. Mogu se pojaviti kao rezultat geometrijskih mjerenja, na primjer: omjer duljine dijagonale kvadrata i duljine njegove stranice je jednak.

Postoji kvadratna jednadžba algebarska jednadžba drugi stupanj ax2+bx+c=0, gdje su a, b, c - zadani numerički ili slovni koeficijenti, x - nepoznato. Ako sve članove ove jednadžbe podijelimo s a, kao rezultat dobivamo x2+px+q=0 - reducirana jednadžba p=b/a, q=c/a. Njegovi korijeni nalaze se formulom:

Ako je b2-4ac>0, tada postoje dva drugačiji korijen, b2- 4ac=0, tada postoje dva jednaki korijen; b2-4ac Jednadžbe koje sadrže module

Glavne vrste jednadžbi koje sadrže module:
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, gdje su f(x), g(x), fk(x), gk(x) zadane funkcije.