Antiderivacija funkcije i opći pogled.
a)Izravna integracija.
Određivanje integrala funkcija na temelju izravne primjene svojstava neodređenih integrala i tablice osnovnih integracijskih formula. Razmotrimo primjer pronalaženja integrala funkcije izravnom integracijom.
Primjer:
∫(x–3) 2d x= ∫(x 2 –6x+9)d x= ∫x 2d x- 6∫x d x+9∫d x=x 3 ∕3 -3x 2 +9x+C.
U velikoj većini slučajeva radi se o integralima funkcija koje nije moguće pronaći izravnom integracijom. U tom slučaju potrebno je izvršiti supstituciju (zamijeniti varijablu).
b)Integracija supstitucijom (promjena varijable).
Supstitucijska integracija, ili kako se često naziva, metoda promjene varijable, jedna je od učinkovitijih i uobičajenih metoda integracije. Metoda supstitucije je prelazak s dane integracijske varijable na drugu varijablu kako bi se izraz podintegrala pojednostavio i doveo do jednog od tabelarnih integrala. U ovom slučaju o izboru zamjene odlučuje izvođač pojedinačno, jer ne postoje opća pravila koja određuju koja zamjena u ovaj slučaj uzeti.
Primjer: Nađi integral ∫ e 2x+3d x.
Uvedimo novu varijablu t pridruženu x sljedeća ovisnost 2 x+ 3 =t.
Uzmite diferencijale lijeve i desne strane ove jednakosti: 2d x=dt;d x=dt/2.
Sada umjesto 2 x+ 3 i d x njihove vrijednosti supstituiramo u integrand. Tada dobivamo: ∫ e 2x+3d x=∫e tdt= e t + C. Vraćajući se na prethodnu varijablu, konačno dobivamo izraz:
∫e 2x+3d x=e 2x+3 + C.
Da bismo bili sigurni da je integral ispravno uzet, potrebno je koristiti funkciju antiderivacije e 2x+ 3 razlikovati i provjeriti da li je li njegova derivacija jednaka integrandu:
(e 2x+ 3)" =e 2x+ 3 (2 x+3)" =e 2x+ 3 .
3. Određeni integral i njegova svojstva.
Koncept određenog integrala široko se koristi u mnogim područjima znanosti i tehnologije. Uz njegovu pomoć izračunavaju se površine omeđene krivuljama, volumeni proizvoljnog oblika, snaga i rad promjenljive sile, putanja tijela u gibanju, momenti tromosti i mnoge druge veličine.
NA 
U velikoj većini slučajeva koncept određenog integrala uvodi se pri rješavanju problema određivanja površine krivocrtnog trapeza. Neka postoji kontinuirana funkcija y =f( x) na segmentu [ a, c]. Lik omeđen krivuljom y \u003d f ( x) ordinate a Ah oh u ALI P i segment [ a, c] os apscisa naziva se krivolinijski trapez (slika 1).
Postavimo si zadatak: odrediti površinu S krivocrtnog trapeza a A o A P u. Da bismo to učinili, podijelili smo segment [ a, c] uključeno P nije potrebno jednake dijelove i označite točke podjele na sljedeći način: a=x oko < x jedan < x 2 ‹ … ‹ x P = u.
Iz točaka podjele vraćamo okomice na sjecište s krivuljom y \u003d f ( x). Dakle, cijelo područje omeđeno krivuljom podijelili smo na P elementarni krivocrtni trapezi. Obnovimo iz proizvoljne točke svaki segment ∆ x ja ordinatef(C ja) dok se ne siječe s krivuljom y =f( x). Zatim konstruiramo stepenastu figuru koja se sastoji od pravokutnika s bazom ∆ x ja i visine f(C ja). elementarno područje jath pravokutnik će biti S ja =f(C ja)(x ja -x ja -1 ), i cijelo područje S P rezultirajuća stepenasta figura bit će jednaka zbroju površina pravokutnika:
S P=f(C o)( x 1 -X o) + f (C 1) ( x 2 -X 1 ) + … +f(S P- 1)(x P -X P- 1).
Da biste skratili zapis ovog iznosa, unesite simbol 
(sigma) - znak koji označava zbrajanje količina. Zatim
S P
=
.
Ovaj zbroj S P, koji se naziva integralni zbroj, može biti veći ili manji od prave vrijednosti zadane površine. Najbliža vrijednost stvarnoj vrijednosti površine bit će granica zbroja, pod uvjetom da će se elementarni segmenti podijeliti ( p→
), i duljina veliki segment ∆x maxće težiti nuli, tj.
S=
(4)
Ova granica integralnog zbroja (ako postoji) naziva se određeni integral iz funkcije f( x) na segmentu [ a,u] i označavaju: 
=
(5)
(čitaj - “određeni integral od a prije u ef ot x de x”).
Brojke a i u nazivaju se donja i gornja granica integracije, f( x) je integrand; x je integracijska varijabla. Primjenom formula (4) i (5) može se napisati. Da je površina krivocrtnog trapeza brojčano jednaka integralu funkcije koja omeđuje trapez, uzetoj preko intervala integracije [a,u]:
.
Ova činjenica izražava geometrijsko značenje određenog integrala.
Razmotrimo svojstva određenog integrala.
1. Određeni integral ne ovisi o oznaci varijable, tj. 
=
.
2. Određeni integral algebarskog zbroja jednak je algebarskom zbroju određenih integrala svakog člana:
=
f 1 ( x)d x +
f 2 ( x)d x+ ….
Vidjeli smo da derivacija ima brojne primjene: derivacija je brzina kretanja (ili, općenitije, brzina bilo kojeg procesa); izvedenica je nagib tangenta na graf funkcije; koristeći izvod, možete istražiti funkciju za monotonost i ekstreme; Derivat pomaže u rješavanju problema optimizacije.
Ali u stvaran život morati odlučiti i inverzni problemi: na primjer, uz problem pronalaženja brzine prema poznatom zakonu gibanja, postoji i problem vraćanja zakona gibanja prema poznatoj brzini. Razmotrimo jedan od ovih problema.
Primjer 1 Kreće se pravocrtno materijalna točka, brzina njegovog kretanja u trenutku t dana je formulom u = tg. Pronađite zakon gibanja.
Riješenje. Neka je s = s(t) željeni zakon gibanja. Poznato je da je s"(t) = u"(t). Dakle, da bismo riješili problem, moramo izabrati funkcija s = s(t), čija je derivacija jednaka tg. Lako je to pogoditi
Odmah napominjemo da je primjer riješen točno, ali nepotpuno. Dobili smo da Zapravo, problem ima beskonačno mnogo rješenja: bilo koja funkcija oblika 
proizvoljna konstanta, može poslužiti kao zakon gibanja, jer
Da bi zadatak bio konkretniji, morali smo popraviti početnu situaciju: označiti koordinatu pokretne točke u nekom trenutku u vremenu, na primjer, u t=0. Ako je, recimo, s (0) \u003d s 0, tada iz jednakosti dobivamo s (0) \u003d 0 + C, tj. S 0 \u003d C. Sada je zakon gibanja jedinstveno definiran:
U matematici se zadaju recipročne operacije različita imena, osmislite posebne oznake: na primjer, kvadriranje (x 2) i izdvajanje korijen sinus (sinx) i arcsinus(arcsin x), itd. Postupak nalaženja derivacije u odnosu na zadanu funkciju naziva se diferenciranje, a inverzna operacija, t.j. postupak nalaženja funkcije po zadanoj derivaciji – integracijom.
Sam izraz "derivacija" može se opravdati "svjetski": funkcija y - f (x) "donosi na svijet" nova značajka y "= f" (x) Funkcija y \u003d f (x) djeluje kao "roditelj", ali matematičari je, naravno, ne nazivaju "roditelj" ili "proizvođač", oni kažu da je to, u odnosu na funkciju y"=f"(x), primarna slika ili, ukratko, antiderivacija.
Definicija 1. Funkcija y \u003d F (x) naziva se antiderivacija za funkciju y \u003d f (x) na zadanom intervalu X, ako za sve x iz X vrijedi jednakost F "(x) \u003d f (x) .
U praksi se interval X obično ne specificira, već se podrazumijeva (kao prirodna domena funkcije).
Evo nekoliko primjera:
1) Funkcija y \u003d x 2 je antiderivacija za funkciju y \u003d 2x, jer za sve x vrijedi jednakost (x 2) "\u003d 2x.
2) funkcija y - x 3 je antiderivacija za funkciju y-3x 2, jer za sve x vrijedi jednakost (x 3)" \u003d 3x 2.
3) Funkcija y-sinx je antiderivacija za funkciju y=cosx, budući da za sve x vrijedi jednakost (sinx) "=cosx.
4) Funkcija je antiderivativna za funkciju na intervalu jer za sve x > 0 vrijedi jednakost
Općenito, poznavajući formule za pronalaženje derivata, nije teško sastaviti tablicu formula za pronalaženje antiderivata.
Nadamo se da razumijete kako je ova tablica sastavljena: derivat funkcije koja je zapisana u drugom stupcu jednaka je funkciji koja je zapisana u odgovarajućem retku prvog stupca (provjerite, ne budite lijeni, to je jako korisno). Na primjer, za funkciju y \u003d x 5, antiderivacija je, kao što ste ustanovili, funkcija (pogledajte četvrti redak tablice).
Bilješke: 1. U nastavku dokazujemo teorem da ako je y = F(x) antiderivacija za funkciju y = f(x), tada funkcija y = f(x) ima beskonačno mnogo antiderivacija i sve imaju oblik y = F (x ) + C. Stoga bi bilo ispravnije dodati član C posvuda u drugi stupac tablice, gdje je C proizvoljan realan broj.
2. Radi sažetosti, ponekad umjesto izraza "funkcija y = F(x) je antiderivacija za funkciju y = f(x)", kažu F(x) je antiderivacija za f(x) ".
2. Pravila za pronalaženje antiderivata
Pri traženju protuizvedenica, kao i kod traženja izvedenica, ne koriste se samo formule (navedene su u tablici na str. 196), već i neka pravila. Oni su izravno povezani s odgovarajućim pravilima za izračunavanje izvedenica.
Znamo da je izvod zbroja jednak zbroju izvoda. Ovo pravilo generira odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.
Pravilo 1 Antiderivacija zbroja jednaka je zbroju antiderivacija.
Skrećemo vam pozornost na neku "lakoću" ove formulacije. Zapravo, bilo bi potrebno formulirati teorem: ako funkcije y = f(x) i y=g(x) imaju antiderivacije na intervalu X, y-F(x) i y-G(x), redom, tada je zbroj funkcija y = f(x) + g(x) ima antiderivaciju na intervalu X, a ta antiderivacija je funkcija y = F(x) + G(x). Ali obično, kada se formuliraju pravila (a ne teoremi), ostaje samo ključne riječi- pa je prikladnije primijeniti pravilo u praksi
Primjer 2 Odredite antiderivaciju za funkciju y = 2x + cos x.
Riješenje. Antiderivacija za 2x je x "; antiderivacija za cosx je sin x. Prema tome, antiderivacija za funkciju y \u003d 2x + cos x bit će funkcija y \u003d x 2 + sin x (i općenito svaka funkcija od oblik Y \u003d x 1 + sinx + C) .
Znamo da se faktor konstante može uzeti iz predznaka derivacije. Ovo pravilo generira odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.
Pravilo 2 Konstantni faktor može se izbaciti iz predznaka antiderivacije.
Primjer 3
Odluka. a) Antiderivacija za sin x je -cos x; dakle, za funkciju y \u003d 5 sin x, antiderivacija će biti funkcija y \u003d -5 cos x.
b) Antiderivacija za cos x je sin x; dakle, za antiderivacijsku funkciju će postojati funkcija
c) Antiderivacija za x 3 je antiderivacija za x je antiderivacija za funkciju y \u003d 1 je funkcija y \u003d x. Koristeći prvo i drugo pravilo za pronalaženje antiderivacija, dobivamo da je antiderivacija za funkciju y \u003d 12x 3 + 8x-1 funkcija
Komentar. Kao što znate, derivacija umnoška nije jednaka umnošku derivacija (pravilo razlikovanja umnoška je kompliciranije), a derivacija kvocijenta nije jednaka kvocijentu derivacija. Stoga ne postoje pravila za pronalaženje antiderivacije umnoška ili antiderivacije kvocijenta dviju funkcija. Budi oprezan!
Dobivamo još jedno pravilo za pronalaženje antiderivata. Znamo da se derivacija funkcije y \u003d f (kx + m) izračunava formulom
Ovo pravilo generira odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.
Pravilo 3 Ako je y \u003d F (x) antiderivacija za funkciju y \u003d f (x), tada je antiderivacija za funkciju y \u003d f (kx + m) funkcija
Doista,
To znači da je antiderivacija za funkciju y \u003d f (kx + m).
Smisao trećeg pravila je sljedeći. Ako znate da je antiderivacija za funkciju y \u003d f (x) funkcija y \u003d F (x), a trebate pronaći antiderivaciju funkcije y \u003d f (kx + m), tada nastavite kao slijedi: uzeti istu funkciju F, ali umjesto argumenta x zamijeniti izraz xx+m; osim toga, ne zaboravite napisati "faktor korekcije" ispred znaka funkcije
Primjer 4 Pronađite antiderivacije za date funkcije:
Riješenje, a) Antiderivacija za sin x je -cos x; to znači da će za funkciju y \u003d sin2x antiderivacija biti funkcija
b) Antiderivacija za cos x je sin x; dakle, za antiderivacijsku funkciju će postojati funkcija
c) Antiderivacija za x 7 je stoga, za funkciju y \u003d (4-5x) 7, antiderivacija će biti funkcija
3. Neodređeni integral
Gore smo već primijetili da problem pronalaženja antiderivacije za danu funkciju y = f(x) ima više od jednog rješenja. Raspravljajmo o ovom pitanju detaljnije.
Dokaz. 1. Neka je y \u003d F (x) antiderivacija za funkciju y \u003d f (x) na intervalu X. To znači da za sve x iz X vrijedi jednakost x "(x) \u003d f (x) točno. Pronađite izvod bilo koje funkcije oblika y \u003d F (x) + C:
(F (x) + C) \u003d F "(x) + C \u003d f (x) + 0 \u003d f (x).
Dakle, (F(x)+C) = f(x). To znači da je y \u003d F (x) + C antiderivacija za funkciju y \u003d f (x).
Dakle, dokazali smo da ako funkcija y \u003d f (x) ima antiderivaciju y \u003d F (x), tada funkcija (f \u003d f (x) ima beskonačno mnogo antiderivacija, na primjer, bilo koja funkcija od oblik y \u003d F (x) +C je antiderivacija.
2. Dokažimo sada to navedeni tip funkcije, cijeli skup antiderivata je iscrpljen.
Neka su y=F 1 (x) i y=F(x) dvije antiderivacije za funkciju Y = f(x) na intervalu X. To znači da za sve x iz intervala X vrijede sljedeće relacije: F^( x) = f (X); F "(x) \u003d f (x).
Razmotrite funkciju y \u003d F 1 (x) -.F (x) i pronađite njezinu derivaciju: (F, (x) -F (x)) "\u003d F [(x) - F (x) \u003d f (x) - f(x) = 0.
Poznato je da ako je derivacija funkcije na intervalu X identički jednaka nuli, tada je funkcija konstantna na intervalu X (vidi teorem 3 u § 35). Dakle, F 1 (x) -F (x) \u003d C, tj. Fx) \u003d F (x) + C.
Teorem je dokazan.
Primjer 5 Postavljen je zakon promjene brzine od vremena v = -5sin2t. Odredite zakon gibanja s = s(t) ako je poznato da je u trenutku t=0 koordinata točke bila jednaka broju 1,5 (tj. s(t) = 1,5).
Riješenje. Budući da je brzina derivacija koordinate u funkciji vremena, prvo treba pronaći antiderivaciju brzine, tj. antiderivacija za funkciju v = -5sin2t. Jedna od takvih antiderivacija je funkcija , a skup svih antiderivacija ima oblik:
Da bismo pronašli određenu vrijednost konstante C, koristimo se početni uvjeti, prema kojem je s(0) = 1,5. Zamjenom u formuli (1) vrijednosti t=0, S = 1,5, dobivamo:
Zamjenom pronađene vrijednosti C u formulu (1) dobivamo zakon gibanja koji nas zanima:
Definicija 2. Ako funkcija y = f(x) ima antiderivaciju y = F(x) na intervalu X, tada skup svih antiderivacija, tj. skup funkcija oblika y \u003d F (x) + C, naziva se neodređeni integral funkcije y \u003d f (x) i označava se:
(glase: “neodređeni integral ef od x de x”).
U sljedećem odjeljku saznat ćemo što je skriveno značenje naznačenu oznaku.
Na temelju tablice antiderivacija dostupnih u ovom paragrafu, sastaviti ćemo tablicu osnovnih neodređenih integrala:
Na temelju gornja tri pravila za pronalaženje antiderivata, možemo formulirati odgovarajuća pravila integracije.
Pravilo 1 Integral sume funkcija jednak je zbroju integrali ovih funkcija:
Pravilo 2 Konstantni faktor može se uzeti iz predznaka integrala:
Pravilo 3 Ako
Primjer 6 Pronađite neodređene integrale:
Riješenje, a) Pomoću prvog i drugog pravila integracije dobivamo:
Sada koristimo 3. i 4. formulu integracije:
Kao rezultat toga dobivamo:
b) Pomoću trećeg pravila integracije i formule 8 dobivamo:
c) Za neposredno određivanje zadanog integrala nemamo ni odgovarajuću formulu ni odgovarajuće pravilo. U takvim slučajevima, ponekad unaprijed izvršena identične transformacije izraz sadržan pod znakom integrala.
Iskoristimo trigonometrijska formula degradiranje:
Zatim sukcesivno nalazimo:
A.G. Mordkovich algebra 10. razred
Kalendarsko-tematsko planiranje iz matematike, video iz matematike online , Matematika u školi
Ova je lekcija prva u nizu videozapisa o integraciji. U njemu ćemo shvatiti što jest antiderivacija funkcije, a također ćemo proučiti elementarne metode izračunavanja upravo tih antiderivacija.
Zapravo, ovdje nema ništa komplicirano: u biti, sve se svodi na koncept derivata, s kojim biste već trebali biti upoznati. :)
Odmah napominjem da, budući da je ovo prva lekcija u našoj nova tema, danas neće biti složenih izračuna i formula, ali će ono što ćemo danas proučavati predstavljati temelj mnogo složenijih izračuna i struktura pri izračunavanju kompleksni integrali i kvadrati.
Osim toga, kada počinjemo proučavati integraciju i posebno integrale, implicitno pretpostavljamo da je učenik već barem upoznat s pojmovima derivacija i ima barem elementarne vještine u njihovom izračunavanju. Bez jasnog razumijevanja ovoga, u integraciji nema apsolutno ništa.
No, tu leži jedan od najčešćih i najpodmuklijih problema. Činjenica je da, počevši računati svoje prve antiderivacije, mnogi ih učenici brkaju s derivacijama. Kao rezultat toga, na ispitima i samostalan rad prave se glupe i uvredljive pogreške.
Stoga sada neću dati jasnu definiciju antiderivata. A zauzvrat, predlažem da pogledate kako se to smatra na jednostavnom konkretnom primjeru.
Što je primitivno i kako se smatra
Znamo ovu formulu:
\[((\lijevo(((x)^(n)) \desno))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
Ovaj derivat se smatra elementarnim:
\[(f)"\lijevo(x \desno)=((\lijevo(((x)^(3)) \desno))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]
Pogledajmo pomno dobiveni izraz i izrazimo $((x)^(2))$:
\[((x)^(2))=\frac(((\lijevo(((x)^(3)) \desno))^(\prime )))(3)\]
Ali možemo to napisati i ovako, prema definiciji izvoda:
\[((x)^(2))=((\lijevo(\frac(((x)^(3)))(3) \desno))^(\prime ))\]
A sada pažnja: ono što smo upravo zapisali je definicija antiderivacije. Ali da biste to ispravno napisali, morate napisati sljedeće:
Zapišimo sljedeći izraz na isti način:
Ako generaliziramo ovo pravilo, možemo izvesti sljedeću formulu:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
Sada možemo formulirati jasnu definiciju.
Antiderivacija funkcije je funkcija čija je derivacija jednaka izvornoj funkciji.
Pitanja o antiderivacijskoj funkciji
Čini se da je prilično jednostavno i jasna definicija. Međutim, nakon što ga čuje, pažljivi student će odmah imati nekoliko pitanja:
- Recimo, pa, ova formula je točna. Međutim, u ovom slučaju, kada je $n=1$, imamo problema: u nazivniku se pojavljuje “nula” i nemoguće je podijeliti s “nulom”.
- Formula je ograničena samo na ovlasti. Kako izračunati antiderivaciju, na primjer, sinus, kosinus i bilo koju drugu trigonometriju, kao i konstante.
- Egzistencijalno pitanje: je li uopće uvijek moguće pronaći antiderivat? Ako je tako, što je s antiderivacijskim zbrojem, razlikom, umnoškom itd.?
Odmah ću odgovoriti na zadnje pitanje. Nažalost, antiderivat se, za razliku od derivata, ne uzima uvijek u obzir. Ne postoji takva univerzalna formula prema kojoj ćemo iz bilo koje početne konstrukcije dobiti funkciju koja će biti jednaka ovoj sličnoj konstrukciji. Što se tiče snaga i konstanti, o tome ćemo sada.
Rješavanje problema s potencijskim funkcijama
\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]
Kao što vidimo, zadana formula za $((x)^(-1))$ ne radi. Postavlja se pitanje: što onda funkcionira? Zar ne možemo brojati $((x)^(-1))$? Naravno da možemo. Počnimo s ovim:
\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]
Sada razmislimo: derivacija koje funkcije je jednaka $\frac(1)(x)$. Očito će se svaki student koji se barem malo bavio ovom temom sjetiti da je ovaj izraz jednak izvodu prirodnog logaritma:
\[((\lijevo(\ln x \desno))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]
Stoga sa sigurnošću možemo napisati sljedeće:
\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\u \ln x\]
Ovu formulu treba znati, baš kao i derivaciju potencije.
Dakle, ono što znamo do sada:
- Za funkciju snage — $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
- Za konstantu - $=const\to \cdot x$
- Poseban slučaj potencije - $\frac(1)(x)\to \ln x$
A ako počnemo množiti i dijeliti najjednostavnije funkcije, kako onda izračunati antiderivaciju umnoška ili kvocijenta. Nažalost, analogije s derivatom umnoška ili kvocijenta ovdje ne funkcioniraju. Bilo koje standardna formula ne postoji. Za neke slučajeve postoje lukave posebne formule - upoznat ćemo ih u budućim videouputama.
Međutim, zapamtite: opća formula, ne postoji slična formula za izračunavanje derivacije kvocijenta i umnoška.
Rješavanje stvarnih problema
Zadatak #1
Hajdemo svaki funkcije snage računati odvojeno:
\[((x)^(2))\do \frac(((x)^(3)))(3)\]
Vraćajući se našem izrazu, pišemo opću konstrukciju:
Zadatak #2
Kao što sam već rekao, primitivni radovi i privatni "prazan prolaz" ne dolaze u obzir. Međutim, ovdje možete učiniti sljedeće:
Razlomak smo rastavili na zbroj dvaju razlomaka.
Izračunajmo:
Dobra vijest je da kada znate formule za izračunavanje antiderivativa, već možete izračunati složenije strukture. Ipak, idemo naprijed i još malo proširimo svoje znanje. Činjenica je da se mnoge konstrukcije i izrazi koji na prvi pogled nemaju nikakve veze s $((x)^(n))$ mogu prikazati kao potencija s racionalni pokazatelj, naime:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]
\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]
\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]
Sve ove tehnike mogu se i trebaju kombinirati. Izrazi moći limenka
- množenje (moći se zbrajaju);
- podijeliti (stupnjevi se oduzimaju);
- pomnožiti s konstantom;
- itd.
Rješavanje izraza sa stupnjem s racionalnim eksponentom
Primjer #1
Računajmo svaki korijen zasebno:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]
Ukupno, naša cjelokupna konstrukcija može se napisati na sljedeći način:
Primjer #2
\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\lijevo(\sqrt(x) \desno))^(-1))=((\lijevo(((x)^(\frac( 1)(2))) \desno))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]
Stoga ćemo dobiti:
\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]
Ukupno, prikupljajući sve u jednom izrazu, možemo napisati:
Primjer #3
Prvo, imajte na umu da smo već izračunali $\sqrt(x)$:
\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]
\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]
Prepišimo:
Nadam se da neću nikoga iznenaditi ako kažem da su ono što smo upravo proučavali samo najjednostavniji izračuni antiderivacija, najelementarnije konstrukcije. Pogledajmo sada malo više složeni primjeri, u kojem će se osim tabličnih antiderivata također trebati prisjetiti školski plan i program, naime, formule reduciranog množenja.
Rješavanje složenijih primjera
Zadatak #1
Prisjetite se formule za kvadrat razlike:
\[((\lijevo(a-b \desno))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]
Prepišimo našu funkciju:
Sada moramo pronaći antiderivaciju takve funkcije:
\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]
\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]
Sakupljamo sve u zajedničkom dizajnu:
Zadatak #2
U ovom slučaju moramo otvoriti kocku razlike. Prisjetimo se:
\[((\lijevo(a-b \desno))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]
S obzirom na ovu činjenicu, to se može napisati na sljedeći način:
Modificirajmo malo našu funkciju:
Razmatramo, kao i uvijek, za svaki pojam posebno:
\[((x)^(-3))\do \frac(((x)^(-2)))(-2)\]
\[((x)^(-2))\do \frac(((x)^(-1)))(-1)\]
\[((x)^(-1))\do \ln x\]
Napišimo dobivenu konstrukciju:
Zadatak #3
Na vrhu imamo kvadrat zbroja, otvorimo ga:
\[\frac(((\lijevo(x+\sqrt(x) \desno))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\lijevo(\sqrt(x) \desno))^(2)))(x)=\]
\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]
\[((x)^(\frac(1)(2)))\do \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
Napišimo konačno rješenje:
A sada pažnja! Visoko važna stvar, s kojim je povezan lavovski udio pogrešaka i nesporazuma. Činjenica je da do sada, računajući antiderivacije uz pomoć derivacija, dajući transformacije, nismo razmišljali čemu je jednaka derivacija konstante. Ali derivacija konstante jednaka je "nuli". A to znači da možete napisati sljedeće opcije:
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$
Ovo je vrlo važno razumjeti: ako je derivacija funkcije uvijek ista, tada ista funkcija ima beskonačan broj antiderivacija. Možemo jednostavno dodati bilo koje konstantne brojeve našim primitivima i dobiti nove.
Nije slučajno u obrazloženju zadataka koje smo upravo rješavali pisalo “Zapiši opći oblik primitivci." Oni. već se unaprijed pretpostavlja da ne postoji jedan, nego čitavo mnoštvo njih. No, zapravo se razlikuju samo po konstanti $C$ na kraju. Stoga ćemo u svojim zadacima ispravljati ono što nismo izvršili.
Još jednom, prepisujemo naše konstrukcije:
U takvim slučajevima treba dodati da je $C$ konstanta — $C=const$.
U našoj drugoj funkciji dobivamo sljedeću konstrukciju:
I zadnji:
I sada smo stvarno dobili ono što se od nas tražilo u početnom stanju problema.
Rješavanje zadataka nalaženja antiderivacija sa zadanom točkom
Sada kada znamo o konstantama io posebnostima pisanja antiderivacija, sasvim logično se nameće sljedeća vrsta problema kada se iz skupa svih antiderivacija traži pronaći jedna jedina takva koja bi prolazila kroz dana točka. Kakav je ovo zadatak?
Činjenica je da se sve antiderivacije date funkcije razlikuju samo po tome što su vertikalno pomaknute za neki broj. A to znači da bez obzira na točku koordinatna ravnina nismo uzeli, jedan primitivac će sigurno proći, i štoviše, samo jedan.
Dakle, zadaci koje ćemo sada riješiti formulirani su na sljedeći način: nije lako pronaći antiderivaciju, znajući formulu izvorne funkcije, već odabrati točno jednu od njih koja prolazi kroz zadanu točku, čije će koordinate dati u uvjetu problema.
Primjer #1
Prvo, samo izračunajmo svaki izraz:
\[((x)^(4))\do \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((x)^(3))\do \frac(((x)^(4)))(4)\]
Sada zamijenimo ove izraze u našu konstrukciju:
Ova funkcija mora proći kroz točku $M\left(-1;4 \right)$. Što znači da prolazi točkom? To znači da ako umjesto $x$ posvuda stavimo $-1$, a umjesto $F\left(x \right)$ - $-4$, tada bismo trebali dobiti ispravnu numeričku jednakost. Napravimo to:
Vidimo da imamo jednadžbu za $C$, pa je pokušajmo riješiti:
Zapišimo upravo rješenje koje smo tražili:
Primjer #2
Prije svega, potrebno je otvoriti kvadrat razlike koristeći skraćenu formulu množenja:
\[((x)^(2))\do \frac(((x)^(3)))(3)\]
Izvorna struktura bit će napisana na sljedeći način:
Nađimo sada $C$: zamijenimo koordinate točke $M$:
\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]
Izražavamo $C$:
Ostaje prikazati konačni izraz:
Rješavanje trigonometrijskih zadataka
Kao završni akord Uz ono što smo upravo analizirali, predlažem da razmotrimo još dva izazovne zadatke koji sadrži trigonometriju. U njima će na isti način biti potrebno pronaći antiderivacije za sve funkcije, pa iz tog skupa odabrati onu jedinu koja prolazi točkom $M$ na koordinatnoj ravnini.
Gledajući unaprijed, želio bih napomenuti da je tehnika koju ćemo sada koristiti za pronalaženje antiderivata iz trigonometrijske funkcije, zapravo, jest univerzalni prijem za samotestiranje.
Zadatak #1
Sjetimo se sljedeće formule:
\[((\lijevo(\tekst(tg)x \desno))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]
Na temelju toga možemo napisati:
Zamijenimo koordinate točke $M$ u naš izraz:
\[-1=\tekst(tg)\frac(\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( ))(\tekst(4))+C\]
Prepišimo izraz imajući na umu ovu činjenicu:
Zadatak #2
Ovdje će biti malo teže. Sada ćete vidjeti zašto.
Zapamtimo ovu formulu:
\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
Da biste se riješili "minusa", morate učiniti sljedeće:
\[((\lijevo(-\tekst(ctg)x \desno))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
Evo našeg dizajna
Zamijenite koordinate točke $M$:
Zapišimo konačnu konstrukciju:
To je sve što sam ti danas htio reći. Proučavali smo sam pojam antiderivati, kako ih računati elementarne funkcije, kao i kako pronaći antiderivaciju koja prolazi kroz određenu točku na koordinatnoj ravnini.
Nadam se da će vam ova lekcija malo pomoći da ovo shvatite teška tema. U svakom slučaju, na antiderivacijama se grade neodređeni i neodređeni integrali, pa ih je nužno razmotriti. To je sve za mene. Vidimo se uskoro!
Kako započeti kao učitelj?
Učenje engleskog jezika na daljinu
Pravilni i nepravilni engleski glagoli