Ý nghĩa của các chuyển động hài hòa trong bách khoa toàn thư Brockhaus và Efron. Dao động điều hòa đơn giản

Dao động điều hòa(trong cơ học cổ điển) - một hệ mà khi được đưa ra khỏi vị trí cân bằng sẽ chịu tác dụng của một lực phục hồi F, tỷ lệ thuận với độ dịch chuyển x :

Ở đâu k- hệ số không đổi.

Nếu như F là lực duy nhất tác dụng lên hệ thì hệ được gọi là đơn giản hoặc dao động điều hòa bảo toàn. Các dao động tự do của một hệ như vậy là chuyển động tuần hoàn gần vị trí cân bằng(dao động điều hòa). Tần số và biên độ không đổi, tần số không phụ thuộc vào biên độ.

Các ví dụ cơ học của dao động điều hòa là con lắc toán học (có góc lệch nhỏ), con lắc xoắn và hệ thống âm thanh. Trong số các chất tương tự phi cơ học của bộ tạo dao động điều hòa, người ta có thể phân biệt bộ tạo dao động điều hòa điện (xem mạch LC).

Dao động tự do của bộ dao động điều hòa bảo toàn

Phương trình và giải pháp của nó

Cho phép x- sự dịch chuyển của một điểm vật chất so với vị trí cân bằng của nó, và F- phục hồi lực có tính chất bất kỳ tác dụng lên một điểm

F = − k x (\displaystyle F=-kx),

Ở đâu k= hằng số Sau đó, sử dụng định luật thứ hai của Newton, chúng ta có thể viết gia tốc là

a = − k m x (\displaystyle a=-(\frac (k)(m))x).

Chỉ định ω 0 2 = k / m (\displaystyle (\omega _(0))^(2)=k/m) và thay thế Mộtđạo hàm bậc hai của tọa độ theo thời gian x ¨ (\displaystyle (\ddot (x))), chúng ta có

x ¨ + ω 0 2 x = 0 (\displaystyle (\ddot (x))+\omega _(0)^(2)x=0).

Phương trình vi phân này mô tả hành vi của một bộ dao động điều hòa bảo toàn. Kích cỡ ω 0 (\displaystyle \omega _(0)) gọi là tần số tuần hoàn. (Điều này đề cập đến tần số tròn, được đo bằng radian trên giây. Để chuyển đổi nó thành tần số được biểu thị bằng hertz, bạn phải chia cho 2 π (\displaystyle 2\pi ).)

Ta sẽ tìm nghiệm của phương trình này dưới dạng

x (t) = A sin ⁡ (ω t + φ) (\displaystyle x(t)=A\sin \left(\omega t+\varphi \right)).

Đây MỘT- biên độ, ω - tần số dao động, φ - pha ban đầu.

Thay vào phương trình vi phân và nhận được:

x ¨ (t) = − A ω 2 sin ⁡ (ω t + φ) (\displaystyle (\ddot (x))(t)=-A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi)), − A ω 2 sin ⁡ (ω t + φ) + ω 0 2 A sin ⁡ (ω t + φ) = 0 (\displaystyle -A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi)+\omega _(0)^(2)A\sin(\omega t+\varphi)=0).

Biên độ giảm. Điều này có nghĩa là nó có thể có bất kỳ giá trị nào (kể cả 0 - điều này có nghĩa là điểm vật chất đứng yên ở vị trí cân bằng). Bạn cũng có thể giảm theo sin, vì đẳng thức phải đúng bất cứ lúc nào t. Do đó, điều kiện để tần số dao động vẫn là:

− ω 2 + ω 0 2 = 0 , (\displaystyle -\omega ^(2)+\omega _(0)^(2)=0,) ω = ± ω 0 . (\displaystyle \omega =\pm \omega _(0).)

Chuyển động điều hòa đơn giản là cơ sở của một số cách phân tích các loại chuyển động phức tạp hơn. Một trong những phương pháp này là phương pháp dựa trên phép biến đổi Fourier, bản chất của nó là việc mở rộng thêm kiểu phức tạp chuyển động thành một loạt các chuyển động hài hòa đơn giản.

Ví dụ về bộ dao động

Bất kỳ hệ thống nào trong đó xảy ra chuyển động điều hòa đơn giản đều có hai tính chất chính:

khi một hệ bị mất cân bằng thì phải có một lực phục hồi có xu hướng đưa hệ về trạng thái cân bằng;
lực phục hồi phải tỷ lệ chính xác hoặc xấp xỉ với độ dịch chuyển.

Dưới đây là một số ví dụ.

Hệ thống lò xo cân ngang

Một ví dụ điển hình của một hệ trong đó xảy ra chuyển động điều hòa đơn giản là một hệ lò xo khối lượng lý tưởng hóa trong đó một khối lượng được gắn vào một lò xo và được đặt trên một bề mặt nằm ngang. Nếu lò xo không bị nén hoặc dãn thì không có lực thay đổi nào tác dụng lên tải trọng và nó ở trạng thái cân bằng cơ học. Tuy nhiên, nếu bỏ tải ra khỏi vị trí cân bằng thì lò xo sẽ bị biến dạng và sẽ có một lực tác dụng lên phía nó, có xu hướng đưa tải trở về vị trí cân bằng. Trong trường hợp hệ lò xo tải, lực đó là lực đàn hồi của lò xo, tuân theo định luật Hooke:

F = − k x (\displaystyle F=-kx),

Ở đâu k có một ý nghĩa rất cụ thể - đó là hệ số độ cứng của lò xo.

Sau khi bị dịch chuyển, tải trọng phải chịu một lực phục hồi, lực này tăng tốc nó và có xu hướng đưa nó trở về điểm ban đầu, tức là về vị trí cân bằng. Khi tải tiến đến vị trí cân bằng thì lực phục hồi giảm dần và có xu hướng bằng không. Tuy nhiên, trong tình hình x = 0 tải có một lượng chuyển động (xung) nhất định, có được do tác động của lực phục hồi. Do đó, tải vượt quá vị trí cân bằng, bắt đầu biến dạng lò xo trở lại (nhưng theo hướng ngược lại). Lực phục hồi sẽ có xu hướng làm nó chậm lại cho đến khi tốc độ bằng không; và lực sẽ lại cố gắng đưa tải về vị trí cân bằng.

Nếu không bị mất năng lượng thì tải sẽ dao động như mô tả ở trên; chuyển động như vậy là định kỳ.

Hệ thống lò xo trọng lượng dọc

Trong trường hợp một tải trọng treo thẳng đứng vào một lò xo, cùng với lực đàn hồi thì có trọng lực tác dụng, nghĩa là tổng lực sẽ là

F = − k x − m g (\displaystyle F=-kx-mg).

Nếu bạn thực hiện thay đổi biến để thực hiện không phải với số lượng x (\displaystyle x), và kích thước X = x + m g / k (\displaystyle X=x+mg/k), khi đó phương trình chuyển động sẽ có dạng giống như trường hợp hình học nằm ngang, chỉ có biến X (\displaystyle X).

Dao động sẽ xảy ra cùng tần số ω 0 = k / m (\displaystyle \omega _(0)=(\sqrt (k/m))). Tuy nhiên, nếu trong trường hợp nằm ngang trạng thái của một lò xo không biến dạng tương ứng với trạng thái cân bằng thì trong trường hợp thẳng đứng lò xo ở trạng thái cân bằng sẽ bị giãn ra. Sự phụ thuộc của tần số vào giá trị gia tốc rơi tự do g (\displaystyle g)đồng thời không; g (\displaystyle g) chỉ gây ra sự dịch chuyển vị trí cân bằng m g / k (\displaystyle mg/k).

Các phép đo tần số (hoặc chu kỳ) dao động của tải trọng lên lò xo được sử dụng trong các thiết bị xác định trọng lượng cơ thể - còn gọi là máy đo khối lượng, được sử dụng trên Trạm không gian khi cân không thể hoạt động do không có trọng lượng.

Chuyển động tròn phổ quát

Trong một số trường hợp, chuyển động điều hòa đơn giản có thể được coi là hình chiếu một chiều của chuyển động tròn phổ quát.

Nếu một vật chuyển động với vận tốc góc không đổi ω dọc theo một đường tròn bán kính r, tâm là gốc của mặt phẳng x-y, sau đó một chuyển động như vậy dọc theo mỗi trục tọa độ là sóng hài đơn giản với biên độ r và tần số tròn ω.

Một vật nặng giống như một con lắc đơn

Trong trường hợp gần đúng các góc nhỏ, chuyển động của con lắc đơn gần với dao động điều hòa đơn giản. Chu kỳ dao động của con lắc đó gắn vào một thanh dài ℓ , được cho bởi công thức

T = 2 π ℓ g . (\displaystyle T=2\pi (\sqrt (\frac (\ell )(g))).)

Ở đâu g- Gia tốc trọng lực. Điều này chứng tỏ chu kỳ dao động không phụ thuộc vào biên độ và khối lượng của con lắc mà phụ thuộc vào g, do đó, với cùng chiều dài của con lắc, trên Mặt trăng, nó sẽ dao động chậm hơn, vì lực hấp dẫn ở đó yếu hơn và ít giá trị hơn gia tốc rơi tự do.

Phép tính gần đúng này chỉ đúng với các góc lệch nhỏ, vì biểu thức gia tốc góc tỉ lệ với sin của tọa độ:

ℓ m g sin ⁡ θ = I α , (\displaystyle \ell mg\sin \theta =I\alpha ,)

Ở đâu TÔI- lực quán tính ; V. trong trường hợp này TÔI = mℓ 2. Các góc nhỏ được thực hiện trong điều kiện biên độ rung nhỏ hơn đáng kể so với chiều dài của thanh.

ℓ m g θ = I α , (\displaystyle \ell mg\theta =I\alpha ,)

anh ta đang làm gì vậy gia tốc góc tỷ lệ thuận với góc θ, và điều này thỏa mãn định nghĩa về chuyển động điều hòa đơn giản.

Dao động tự do của bộ dao động điều hòa có giảm chấn

Phương trình và giải pháp của nó

Khi xem xét một bộ dao động có giảm chấn, mô hình của bộ dao động bảo toàn được lấy làm cơ sở để cộng thêm lực ma sát nhớt. Lực ma sát nhớt hướng vào tốc độ chuyển động của tải so với môi trường và tỷ lệ thuận với tốc độ này. Khi đó tổng lực tác dụng lên tải được viết như sau:

F = − k x − α v . (\displaystyle F=-kx-\alpha v.)

Sử dụng định luật thứ hai của Newton, chúng ta thu được phương trình vi phân mô tả một bộ dao động tắt dần:

x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = 0. (\displaystyle (\ddot (x))+2\gamma (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x=0 .)

Ký hiệu được giới thiệu ở đây: 2 γ = α / m (\displaystyle 2\gamma =\alpha /m). hệ số γ (\displaystyle \gamma )được gọi là hằng số giảm chấn. Nó cũng có chiều của tần số.

Giải pháp chia thành ba trường hợp.

x (t) = A e − γ t s i n (ω f t + φ) , (\displaystyle x(t)=Ae^(-\gamma t)sin(\omega _(f)t+\varphi),)

Ở đâu ω f = ω 0 2 − γ 2 (\displaystyle \omega _(f)=(\sqrt (\omega _(0)^(2)-\gamma ^(2))))- tần số dao động tự do.

x (t) = (A + B t) e − γ t . (\displaystyle \x(t)=(A+Bt)e^(-\gamma t).) x (t) = A e − β 1 t + B e − β 2 t , (\displaystyle x(t)=Ae^(-\beta _(1)t)+Be^(-\beta _(2) t),)

Ở đâu β 1, 2 = γ ± γ 2 − ω 0 2. (\displaystyle \beta _(1,2)=\gamma \pm (\sqrt (\gamma ^(2)-\omega _(0)^(2))).)

Bảng điểm

1 I. V. Ykovlev Tài liệu vật lý MathUs.ru Chuyển động hài hòa Trước khi giải các bài tập trong bài tập, các em nên lặp lại bài viết “ Rung động cơ học", trong đó đặt ra tất cả các lý thuyết cần thiết. Trong quá trình chuyển động điều hòa, tọa độ của vật thay đổi theo định luật sin hoặc cos. Ví dụ: nếu x = A sin ωt thì phép chiếu vận tốc và phép chiếu gia tốc v x = ẋ = Aω cos ωt, a x = v x = ẍ = Aω sin ωt. Nhiệm vụ 1. (“Chinh phục Đồi Chim Sẻ!”, 014,) Hai vật có khối lượng M được nối với nhau bằng một lò xo như hình vẽ. Vật thực hiện dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với tần số ω và biên độ A. Lò xo không có trọng lượng. Tìm tỉ số giữa lực ép F 1 lớn nhất và lực ép F nhỏ nhất của hệ trên mặt bàn. Gia tốc trọng trường là g. F1 = (M+)g+Aω F (M+)g Aω cho (M +)g > Aω Bài toán. (Vseross., 006, Final, 9) Một khối có khối lượng M nằm trên một bàn nằm ngang và một con lắc lò xo gồm một vật nặng và một lò xo dài nhẹ được nối với nhau bằng một sợi dây nhẹ không giãn được ném qua một vật cố định lý tưởng. khối (xem hình). Hệ số ma sát giữa đáy khối và mặt bàn là µ = 0,3. Tỉ số giữa khối lượng của vật và khối lượng của tải trọng là M/ = 8. Tải trọng thực hiện dao động thẳng đứng với chu kỳ T = 0,5 s. Biên độ A cực đại có thể có của các dao động như vậy mà tại đó chúng vẫn điều hòa là bao nhiêu? A() µm 1 gt 4pi = 8,8 cm, A gt 4π = 6,3 cm; do đó A = 6,3 cm Bài toán 3. Con lắc thực hiện dao động điều hòa. Trong thời gian dao động bao nhiêu thì con lắc rời khỏi vị trí cân bằng với biên độ không quá một nửa? 1/3 Bài 4. (MIPT, 006) Một quả bóng treo trên một lò xo đàn hồi dao động điều hòa với chu kỳ T và biên độ A dọc theo phương thẳng đứng. Khối lượng của quả cầu lớn hơn khối lượng của lò xo rất nhiều. 1) Tìm tốc độ tối đa (modulo) của quả bóng v.) Tìm gia tốc (modulo) của quả bóng tại những thời điểm khi tốc độ (modulo) của nó bằng v /3. 1) v = πa T ;) a = 8 π A 3T 1

2 Bài toán 5. (MIPT, 1996) Một cái cốc có quả nặng đặt trên cân lò xo đang đứng yên. Một vật nặng khác được đặt lên chiếc cốc. Tìm biên độ dao động của cốc. Độ cứng của lò xo. A = g Bài toán 6. (MIPT, 1996) Một lò xo được gắn chặt vào trần và một khối vật nặng (xem hình). Khối nằm trên giá đỡ sao cho trục của lò xo thẳng đứng và lò xo bị nén một lượng L. Giá đỡ nhanh chóng được tháo ra. Tìm biên độ dao động của vật. A = L + g Bài toán 7. (MIPT, 1996) Hai vật nặng nối với nhau bằng một sợi dây treo trên một lò xo có độ cứng (xem hình). Sau khi sợi dây cháy hết, vật ở phía trên bắt đầu dao động với biên độ A. Tìm khối lượng của vật ở phía dưới. = A g Bài toán 8. (MIPT, 1996) Một khối lượng được buộc bằng một sợi dây ném qua một khối với một khối khác, khối này được giữ trên một bàn nằm ngang nhẵn bằng một lò xo gắn vào tường (xem hình). Sợi dây bị đốt cháy và tải trọng trên bàn bắt đầu dao động với biên độ A. Tìm độ cứng của lò xo. = g A Bài toán 9. (MIPT, 199) Hai tải tổng khối lượng= 1 kg, nối với nhau bằng một lò xo đàn hồi có độ cứng = 100 N/m, treo trên một sợi dây (xem hình). Tìm tất cả các khoảng cách có thể mà vật nặng phía dưới phải được kéo thẳng đứng xuống rồi thả ra sao cho trong những lần dao động tiếp theo, vật nặng phía trên vẫn đứng yên. A g 10 cm Bài 10. (MIPT, 199) Hai vật nặng có tổng khối lượng = 1 kg, nối với nhau bằng một sợi dây, treo trên một lò xo đàn hồi có độ cứng = 100 N/m (xem hình). Tìm tất cả các khoảng cách có thể mà các vật nặng phải được kéo thẳng đứng xuống rồi thả ra sao cho sợi chỉ không bị chùng xuống trong các lần rung tiếp theo của các vật nặng. A g 10 cm Bài 11. (MIPT, 199) Một tấm ván có một khối nằm trên nó nằm trên một mặt phẳng nằm ngang nhẵn của bàn (xem hình). Khối nặng hơn bảng năm lần. Hệ dao động điều hòa với biên độ A = 8 cm và chu kỳ T = 0,8 s dọc theo mặt bàn dưới tác dụng của một lò xo gắn vào một vật nặng. Bảng và khối đứng yên tương đối với nhau khi dao động. Ở giá trị nào hệ số ma sát giữa tấm ván và khối có thể dao động như vậy? µ 4π A gt M 0,1

3 Bài toán 1. (MIPT, 199) Một tấm ván có một khối nằm trên đó nằm trên một mặt phẳng nằm ngang nhẵn của bàn (xem hình). Hệ dao động dưới tác dụng của một lò xo đàn hồi dọc theo đường thẳng có chu kỳ T = 1 và có tốc độ cực đại v = 0,5 m/s. Trong trường hợp này, tấm ván và khối đứng yên so với nhau. Tại giá trị nào của hệ số ma sát trượt giữa tấm ván và khối thì có thể dao động như vậy? µ π T v g 0.3 Bài 13. (MIPT, 005) Trên một mặt phẳng nghiêng nhẵn có góc nghiêng so với đường chân trời α, một vòng đệm có khối lượng và một vật có khối lượng 3 dao động với biên độ A như một đơn vị dọc theo một đường thẳng dưới tác dụng của một lò xo có độ cứng gắn vào khối (cm . vẽ). Với hệ số ma sát trượt nhỏ nhất giữa vòng đệm và khối thì có thể dao động như vậy? 3 α µin = tan α + A 4g cos α Bài toán 14. (MIPT, 005) Một tấm ván có khối lượng và một khối có khối lượng 8 dao động dọc theo một đường thẳng như một đơn vị trên một mặt nghiêng nhẵn có góc nghiêng so với đường chân trời α dưới tác dụng của một lò xo có độ cứng gắn vào khối (xem hình). Hệ số ma sát trượt giữa vật và tấm ván là µ. Ở biên độ dao động cực đại nào thì có thể dao động như vậy? 8 α Aax = 9g (8µ cos α sin α) Bài 15. (MIPT, 007) Một khối khối lượng dao động với biên độ A 0 dọc theo một đường thẳng trên mặt bàn nằm ngang nhẵn dưới tác dụng của một lò xo đàn hồi. Tại thời điểm khối dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng là A 0/3, một mảnh nhựa có khối lượng rơi vào nó và dính vào nó, chuyển động thẳng đứng trước khi va chạm. Thời gian tác động nhỏ hơn đáng kể so với chu kỳ dao động và khi va chạm khối không rời khỏi bàn. 1) Chu kỳ dao động thay đổi như thế nào và bao nhiêu lần?) Tìm biên độ dao động của vật sau khi nhựa dính vào. 1) T T0 = 3 ;) A = 17 7 A 0 Bài toán 16. (MIPT, 003) Một tải được cân bằng trên một đĩa cân lò xo, trong khi một lò xo bị nén chứa năng lượng tiềm năng biến dạng U 0. Một quả nặng bổ sung được đặt lên đĩa cân sao cho khối lượng của tải mới lớn gấp ba lần tải ban đầu. 1) Giá trị gia tốc cực đại a ax trong quá trình dao động phát sinh khác bao nhiêu lần so với gia tốc rơi tự do g?) Gia tốc của vật chuyển động với độ lớn bằng bao nhiêu tại thời điểm động năng T = 3U 0? Bỏ qua sự tắt dần của dao động. 1) aax = g 3 ;) a = 1 3 g 3

4 Bài 17. (MIPT, 003) Một quả bóng được treo trên một lò xo trong trường hấp dẫn g. Ở vị trí cân bằng, năng lượng bằng U 0 được tích vào lò xo, quả bóng bị kéo xuống sao cho năng lượng U 1 = 9U 0/4 tích vào lò xo rồi thả ra. 1) Giá trị gia tốc cực đại của một trục mà quả bóng chuyển động trong quá trình dao động thẳng đứng nảy sinh là bao nhiêu?) Động năng T của chuyển động của quả bóng tại thời điểm gia tốc của nó a = a ax / là bao nhiêu? Bỏ qua sự tắt dần của dao động. 1) aax = g ;) T = 3 16 U 0 Bài toán 18. (MIPT, 000) Các quả bóng được gắn trên một nan hoa thẳng nằm ngang và có thể trượt dọc theo nó mà không ma sát (xem hình). Một lò xo nhẹ có độ cứng được gắn vào quả bóng bằng khối lượng và nó đứng yên. Một quả cầu có khối lượng chuyển động với vận tốc v. Bán kính của quả bóng nhỏ hơn nhiều so với chiều dài của lò xo. 1) Xác định vận tốc của khối cầu sau khi tách khỏi lò xo.) Xác định thời gian khối lượng khối cầu tiếp xúc với lò xo. v 1) v1 = v 3 ;) t = T = π 3 Bài toán 19. (MIPT, 000) Trên mặt bàn nằm ngang nhẵn chúng chuyển động theo tốc độ không đổi v hai thanh có khối lượng v 3 và 3 nối với nhau bằng một sợi dây. Giữa các thanh có một lò xo có độ cứng bị nén một lượng x 0 (xem hình). Lò xo chỉ được gắn vào một khối có khối lượng. Kích thước của các thanh nhỏ so với chiều dài của ren, khối lượng của lò xo bỏ qua, vận tốc của các thanh hướng dọc theo sợi ren. Trong quá trình chuyển động, sợi chỉ bị đứt và các thanh di chuyển xa nhau theo hướng ban đầu của sợi. 1) Tìm vận tốc của vật khối lượng 3 sau khi nó được tách ra khỏi lò xo.) Tìm thời gian lò xo tiếp xúc với vật khối lượng 3, tính từ thời điểm sợi dây bị đứt. 1) v = v + x 0 3 ;) t = π 4 3 Bài toán 0. (MIPT, 1999) Một khối khối nhỏ nằm trên một mặt bàn nhẵn bên trong một khung cứng. Chiều dài của khung là L, khối lượng. Khối được kết nối chắc chắn với một giá đỡ cố định bằng thanh nhẹ và lò xo (xem hình). Khối được đưa đến phía đối diện khung và phát hành. Do va chạm đàn hồi, khối và khung thực hiện các chuyển động tuần hoàn. 1) Tìm vận tốc của khung ngay sau lần va chạm đầu tiên với vật.) Tìm chu kỳ dao động của vật. 1) v = L ;) T = (π + 1) 4

5 Bài toán 1. (MIPT, 1999) Một khối nhỏ có khối lượng nằm trên một mặt bàn nhẵn bên trong một khung cứng có chiều dài L và khối lượng. Khối, với sự trợ giúp của thanh nhẹ và lò xo, được kết nối cứng nhắc với giá đỡ cố định 1 (xem hình). Khung được kết nối bằng lò xo cứng với giá đỡ cố định. Ở vị trí ban đầu khối chạm vào cạnh trái của khung, các lò xo không bị biến dạng. Khung được di chuyển sang trái cho đến khi khối chạm vào bức tường bên phải của khung rồi thả ra. Do va chạm đàn hồi, khối và khung thực hiện các chuyển động tuần hoàn. 1) Tìm vận tốc của vật ngay sau lần va chạm đầu tiên với hệ.) Tìm chu kỳ dao động của hệ. 1) v = L ;) T = π Vấn đề. (MIPT, 1997) Một quả bóng nhỏ có khối lượng nguồn điện dương q treo trên một sợi dây dài không dãn gần một tấm lớn không dẫn điện P (xem hình). Xác định chu kì dao động nhỏ của quả cầu khi nó ở trên đĩa điện tích âm Với mật độ bề mặtσ, nếu biết rằng khi không có điện tích này thì chu kỳ dao động của quả bóng bằng T 0. Gia tốc rơi tự do được coi là cho trước và bằng g. T = T0 1+ σg ε 0 g Bài toán 3. (MIPT, 1997) Hình trụ có thành mỏng và nhẵn bề mặt bên trong nằm bất động trên một tấm không dẫn điện P đặt nằm ngang (xem hình). Kích thước tấm (trong mặt phẳng nằm ngang) lớn hơn nhiều so với kích thước của hình trụ. Người ta biết rằng tỉ số chu kỳ dao động của một quả cầu nhỏ tích điện âm bên trong một hình trụ ở mật độ dương nào đó điện tích bề mặtσ x của tấm đối với chu kỳ dao động ở σ = 0 thì bằng T x /T 0 = α. xác định σ x, xét tỉ số α, điện tích q, khối lượng của nó và gia tốc trọng trường g đã cho. σx = ε 0(1 α)g α q Bài toán 4. (“Chinh phục đồi chim sẻ!”, 015,) Khuỷu thẳng đứng của một ống nhẵn có tiết diện không đổi uốn cong một góc vuông chứa đầy chất lỏng có thể được coi là gần như lý tưởng. Chiều cao của khuỷu tay này bằng L (và nó lớn hơn đáng kể so với kích thước ngang của ống) và không được phép đổ vào khuỷu tay ngang do nút nhẹ được giữ bất động. Đến một lúc nào đó nút chai được thả ra một cách cẩn thận. Sau đó bao lâu thì phích cắm sẽ bay ra khỏi ống? Chiều dài khuỷu ngang là 3L/, không tính đến sức căng bề mặt. t = π+1 L g 5

6 Bài 5. (“Chinh phục đồi chim sẻ!”, 014,) Trong hệ như hình vẽ, khối lượng của các tải trọng bằng 1 và độ cứng của lò xo, khối, sợi chỉ và lò xo là không trọng lượng, khối quay không ma sát, sợi chỉ không trượt trên khối. Ở vị trí cân bằng, lò xo bị dãn. Tải trọng 1 được dịch chuyển từ vị trí cân bằng xuống dưới một khoảng s, sau đó tải thực hiện dao động điều hòa. Tìm vận tốc cực đại của các vật dao động. v1 = s, v = v1/ tùy theo s< (4 1+)g (иначе провисает нить) 41+ Задача 6. (МФО, 011, 11) Поезд, подходящий к станции, движется равнозамедленно с ускорением a = 0, м/с вплоть до момента остановки. На абсолютно гладком горизонтальном столе внутри вагона поезда находится грузик, соединённый пружиной с неподвижной опорой (см. рисунок). Пока поезд движется, грузик неподвижен относительно вагона. В момент, когда поезд останавливается, грузик приходит в движение и начинает колебаться с периодом T = 1 c. Найдите амплитуду колебаний грузика. A = at 4π 5 мм Задача 7. (МФО, 014, 11) Тележка высотой H = 30 см и длиной L = 40 см должна проехать под столом по горизонтальному полу, двигаясь равномерно и прямолинейно. К крышке стола снизу прикрепили лёгкую пружину жёсткостью = 50 Н/м. К пружине прицепили маленький груз массой = 0,4 кг. При недеформированной пружине груз находился на высоте h = 4 см над полом. Затем груз отпустили. С какой минимальной скоростью может двигаться тележка, чтобы она, проехав под столом, не задела груз? vin = (L / π arccos h H x) 0 = 3ωL 4π x 0 1,07 м/с Задача 8. (Всеросс., 014, регион, 11) Вблизи края гладкой горизонтальной полуплоскости лежат два одинаковых груза, соединённые лёгкой нерастянутой пружиной, длина которой равна l 0, а жёсткость. К грузу, ближайшему к краю плоскости, с помощью нерастяжимой нити, перекинутой через лёгкий блок, прикреплён ещё один такой же груз массой (см. рисунок). Его удерживают так, что участок нити, идущий от блока к этому грузу, вертикален. Нижний груз отпускают. Через какое минимальное время τ удлинение l пружины станет максимальным? Найдите это удлинение. τ = π 3 g, lax = 3 6

7 Nhiệm vụ 9. (MFO, 016, 11) Hình vẽ thể hiện hệ thống cơ khí, trong đó thông qua khối không trọng lượng Một sợi dây không trọng lượng, không dãn được treo vào một trục nằm ngang gắn vào trần nhà. Trọng lượng nhỏ có khối lượng và được gắn vào các đầu của sợi. Tải trọng nằm trên một giá đỡ nằm ngang. Tải đang bị treo. Tải trọng tương tự thứ hai được gắn vào tải thông qua một lò xo lý tưởng không trọng lượng có độ cứng, nằm thẳng đứng và có chiều dài nhỏ L 0. TRONG khoảnh khắc bắt đầu lò xo không bị biến dạng và khối lượng thứ hai tựa vào cùng một vật đỡ. Khoảng cách từ tải trên đến khối là l 0. Các phần ren tự do không nằm trên ròng rọc khối là thẳng đứng. Tại thời điểm t = 0, điểm hỗ trợ biến mất (nó nhanh chóng bị loại bỏ). Sau một thời gian τ sau đó, một trong các vật nặng chạm vào khối. Đây là loại hàng hóa gì? Tại giá trị nào của l 0 thì thời gian τ là lớn nhất? Cái này bằng cái gì gia trị lơn nhâtτ? Hàng hóa; τax = π 3 4 với l 0 = g 7

I. V. Ykovlev Vật liệu vật lý MathUs.ru Tương tác đàn hồi Với tương tác đàn hồi của các vật thể, đặc biệt là với tác động đàn hồi không có thay đổi nào về trạng thái bên trong của họ; năng lượng bên trongđiện thoại

I. V. Ykovlev Tài liệu vật lý MathUs.ru Các mối liên hệ động học trong động lực học Trong một số bài toán động lực học, cùng với các định luật Newton, cần có những mối quan hệ bổ sung không hề tầm thường giữa gia tốc của các vật

I. V. Ykovlev Vật liệu vật lý MathUs.ru Tương tác đàn hồi Khi các vật thể tương tác đàn hồi (đặc biệt là trong khi va chạm đàn hồi), không có sự thay đổi nào về trạng thái bên trong của chúng; năng lượng bên trong

I. V. Ykovlev Tài liệu vật lý MathUs.ru Phương trình dao động điều hòa Phương trình dao động. 2 ẍ + ω 2 x = 0 có thể thu được bằng cách vi phân định luật bảo toàn năng lượng theo thời gian. Hãy thể hiện nó một cách đơn giản nhất

Hai chiếc thuyền cùng với tải trọng có khối lượng M và M. Hai chiếc thuyền chuyển động song song với nhau. Khi các thuyền đối diện nhau, đồng thời một túi được ném từ mỗi thuyền sang thuyền đang tới

I. V. Ykovlev Tài liệu vật lý MathUs.ru Cơ thể bị ràng buộc Bài 1. Hai vật có khối lượng m và 2m được nối với nhau bằng một sợi dây nhẹ không dãn và nằm trên một mặt phẳng nằm ngang nhẵn (vật có khối lượng m nằm ở bên trái).

I. V. Ykovlev Tài liệu vật lý MathUs.ru Tương tác không đàn hồi Ví dụ về tương tác không đàn hồi là sự xuyên qua một thanh bởi một viên đạn hoặc một tác động hoàn toàn không đàn hồi (sau đó các vật chuyển động như một khối duy nhất).

Đào tạo từ xa bituru VẬT LÝ Điều 8 Hệ thống dao động cơ học Tài liệu lý thuyết Trong bài viết này chúng ta sẽ xem xét các phương pháp giải các bài toán liên quan đến chuyển động dao động của các vật.

C1.1. Hai thanh giống hệt nhau, được nối với nhau bằng một lò xo nhẹ, đặt trên mặt bàn nằm ngang nhẵn. Tại thời điểm t = 0, khối bên phải bắt đầu chuyển động sao cho tại thời điểm x nó đạt vận tốc cuối cùng

I. V. Ykovlev Tài liệu vật lý MathUs.ru Lực đàn hồi Bài 1. (IOS, 2018, 10) Một vật có khối lượng m = 2 kg đặt trên một lò xo có độ cứng k = 100 N/m, gắn vào trần nhà (xem hình) . bắt đầu với anh ấy

1.2.1. Hệ quán tínhđếm ngược. Định luật đầu tiên của Newton. Nguyên lý tương đối của Galileo 28(C1).1. Một hành khách đi xe buýt tại một bến xe buýt buộc một vật nặng vào tay cầm ghế bằng một sợi dây. bóng bay, điền

1 Động học 1 Điểm vật chất di chuyển dọc theo trục x sao cho tọa độ thời gian của điểm x(0) B Tìm x (t) V x At Tại thời điểm ban đầu Điểm vật chất di chuyển dọc theo trục x sao cho ax A x At ban đầu

I. V. Ykovlev Tài liệu vật lý MathUs.ru Hệ không bảo toàn Trong hệ không bảo toàn năng lượng cơ học E = K +W không được lưu. Ví dụ, nếu lực ma sát tác dụng lên các vật thể của hệ thì

Năm 216 Lớp 9 Vé 9-1 1 Hai vật nặng có khối lượng m và đặt trên một bàn nằm ngang nhẵn, được nối với nhau bằng một sợi dây và nối với một vật có khối lượng 3 m bằng một sợi dây khác ném qua một khối không trọng lượng (xem hình) Bằng ma sát

Bài tập tính toán (EnMI) môn cơ học 2013/14 1. Động học 1. Một hòn đá được ném thẳng đứng lên trên từ độ cao 10 m với vận tốc ban đầu là 8 m/s. Tạo phương trình chuyển động theo ba dạng bằng cách đặt

7.. Một thanh mỏng đồng nhất có khối lượng m, chiều dài L có thể quay quanh một trục nằm ngang O cố định đi qua đầu trên của thanh. Sự kết thúc của một chiều ngang

Nhóm 12-EUN Phương án 1. 5.49. 1. Một vật nặng 313 kg chuyển động chậm dần khi phanh. Tốc độ của nó giảm từ 17 m/s xuống 2 m/s trong vòng 42 giây. Tìm lực phanh. 2. Xe bị tắt máy

Bài 7 Định luật bảo toàn Nhiệm vụ 1 Trong hình vẽ đồ thị thay đổi vận tốc của hai xe có khối lượng khác nhau tương tác với nhau (một xe đuổi kịp và đẩy xe kia). Thông tin gì về xe đẩy

2. ĐỘNG LỰC CỦA CHUYỂN ĐỘNG TIẾN 134. Một lực không đổi F = 10-2 N tác dụng lên vật, vật chuyển động với gia tốc a = 0,5 m/s 2. Tìm khối lượng của vật. 135. Một vật có khối lượng = 250 g chuyển động với gia tốc

DZ2015(2)2.2(5) 1. Một tải nằm trên một bề mặt gồ ghề, được gắn vào tường bằng một lò xo. Lò xo không bị biến dạng. Nếu bạn kéo tải đến một đoạn L rồi thả ra thì nó sẽ dừng lại ở vị trí ban đầu,

Nhiệm vụ bị hoãn lại (88) Một quả bóng được ném thẳng đứng lên trên với vận tốc υ rơi xuống bề mặt Trái đất sau một thời gian. Đồ thị nào thể hiện sự phụ thuộc của hình chiếu vận tốc lên trục OX vào thời gian chuyển động?

Trang 1 trên 9 04/11/2016 21:29 Một tấm ván lớn được treo bản lề trên trần nhà bằng một thanh đèn. Một quả bóng nhựa nặng 0,2 kg đập vào một tấm ván với vận tốc 10 m/s và dính vào tấm ván đó. Tốc độ bóng ở phía trước

Vòng chung kết thứ hai) của cuộc thi học thuật Olympic học sinh “Bước vào tương lai” môn giáo dục phổ thông “Vật lý” Mùa xuân, 6 năm Phương án 5 BÀI TẬP Một vật chuyển động đều có gia tốc với

Vé N 5 Vé N 4 Câu N 1 Hai thanh có khối lượng m 1 = 10,0 kg và m 2 = 8,0 kg, nối với nhau bằng một sợi dây nhẹ không giãn, trượt dọc theo một mặt phẳng nghiêng với góc nghiêng = 30. Xác định gia tốc của hệ thống.

Lớp 16 Lớp 1 Vé 1-1 1. Hai quả nặng có khối lượng và 5 quả đặt trên một bàn nằm ngang nhẵn, được nối bằng một sợi dây và nối với vật nặng bằng một sợi dây khác ném qua một khối không trọng lượng (xem hình). ma sát

“DÀY ĐỘNG VÀ SÓNG” NHIỆM VỤ RIÊNG 1. Phương án 1. 1. Chiều dài của con lắc toán học phải giảm đi bao nhiêu phần chiều dài sao cho chu kỳ dao động của nó ở độ cao 10 km bằng chu kỳ của nó dao động

Vòng chung kết thứ hai) của cuộc thi học thuật Olympic học sinh “Bước vào tương lai” môn giáo dục phổ thông “Vật lý” Mùa xuân, 6 tuổi Phương án 3 BÀI TẬP Một vật chuyển động đều có gia tốc với

chuyên đề công việc chẩn đoán chuẩn bị cho kỳ thi Thống nhất Vật lý cấp Nhà nước chủ đề “Cơ học” ngày 18/12/2014, lớp 10 Phương án FI00103 (90 phút) Quận. Thành phố (khu định cư). Trường Lớp Họ. Tên.

Sách bài tập học sinh izprtalru 6 Động lực học của chuyển động thẳng Phương trình cơ bản của động lực học của một điểm vật chất (định luật II Newton) đối với một vật khối lượng không đổi trong hệ quy chiếu quán tính có dạng

Giai đoạn 2 (cuối cùng) cuộc thi học thuật Olympic học sinh “Bước vào tương lai” môn giáo dục phổ thông “Vật lý” Mùa xuân, 6 tuổi Phương án BÀI TOÁN Một vật chuyển động đều có gia tốc với

Định luật thay đổi vectơ bán kính r của hạt được biết: r (t) b t. Ở đây t là thời gian, hằng số dương, b là vectơ, không đổi về độ lớn và hướng. Tìm đường đi s mà hạt đã đi qua kể từ

1. Một quả bóng được ném thẳng đứng lên trên với vận tốc v, sau một thời gian rơi xuống bề mặt Trái đất. Đồ thị nào thể hiện sự phụ thuộc của hình chiếu vận tốc lên trục OX vào thời gian chuyển động? Trục OX được định hướng

Vật lý. lớp 9. Luyện tập “Quán tính. Định luật Newton. Lực trong cơ học" 1 Quán tính. Định luật Newton. Lực trong cơ học Phương án 1 1 Một khối kim loại được treo vào một lò xo và nhúng hoàn toàn vào một bình nước.

CƠ KHÍ Kirillov A.M., giáo viên thể dục 44, Sochi (http://kirillandrey72.narod.ru/) Lựa chọn này các thử nghiệm được thực hiện dựa trên dụng cụ trợ giảng“Veretelnik V.I., Sivov Yu.A., Tolmacheva N.D., Khoruzhy V.D.

Vé N 5 Vé N 4 Câu hỏi N 1 Một lực nằm ngang bắt đầu tác dụng lên một vật có khối lượng m 2,0 kg, mô đun của lực này phụ thuộc tuyến tính vào thời gian: F t, trong đó 0,7 N/s. Hệ số ma sát k 0,1. Xác định thời điểm

Giải bài toán “Dao động cơ Trong quá trình dao động điều hòa của con lắc lò xo, tọa độ của tải trọng thay đổi theo thời gian t như hình vẽ. Chu kì T và biên độ dao động A bằng nhau

Vé N 5 Vé N 4 Câu hỏi N 1 Một thanh mảnh có khối lượng M 0 = 1 kg, chiều dài l = 60 cm nằm trên một mặt phẳng nằm ngang nhẵn. Thanh có thể quay tự do xung quanh một trục thẳng đứng cố định đi qua

I. V. Ykovlev Vật liệu vật lý MathUs.ru Năng lượng của điện tích Nếu các điện tích điểm 1 nằm cách nhau một khoảng r thì thế năng tương tác của chúng bằng W = k 1. r Thế năng

I. V. Ykovlev Tài liệu vật lý MathUs.ru Nội dung Lực ma sát 1 Olympic toàn Nga học sinh môn vật lý........... 1 2 Olympic Vật lý Matxcova........... .... 3 3 MIPT

Nhiệm vụ A22 vật lý 1. Nếu treo một tải trọng nào đó vào một lò xo đàn hồi nhẹ thì lò xo ở trạng thái cân bằng sẽ bị giãn ra 10 cm, chu kì dao động tự do của tải trọng này sẽ là bao nhiêu?

Vật lý. Lớp 11. Huấn luyện “Lực lượng trong tự nhiên” 1 Lực lượng trong tự nhiên Nhiệm vụ huấn luyện 1 Nước nặng 1,5 kg được đổ vào một chiếc bình có hình nón cụt (xem hình). Diện tích đáy bình là 100cm2

Tùy chọn bài tập về nhà Rung động và sóng điều hòa Tùy chọn 1. 1. Hình a thể hiện đồ thị của chuyển động dao động. Phương trình dao động x = Asin(ωt + α o). Xác định pha ban đầu. x ồ

I. V. Ykovlev Tài liệu vật lý MathUs.ru Mặt phẳng nghiêng Bài 1. Trên mặt phẳng nhẵn mặt phẳng nghiêngđặt một khối vật ở một góc nghiêng rồi thả nó ra. Tìm gia tốc của khối và lực ép của khối

C1.1. Sau lực đẩy, mảnh băng lăn vào một cái lỗ có thành nhẵn, trong đó nó có thể di chuyển mà hầu như không có ma sát. Hình vẽ cho thấy đồ thị về năng lượng tương tác của một tảng băng với Trái đất như là một hàm của

Nhiệm vụ cho làm việc độc lập học sinh Học phần 6 “Rung động cơ học”... 3 Chủ đề 1. Động học của dao động điều hòa... 3 Chủ đề 2. Cộng các dao động... 8 Chủ đề 3. Động lực học của dao động điều hòa...

I. V. Ykovlev Tài liệu vật lý MathUs.ru Rotation chất rắn Bài toán 1. (MIPT, 2003) Do va chạm, quả bóng nhận vận tốc v 0 dọc theo mặt ngang của bàn và quay quanh mặt phẳng nằm ngang của nó.

Nhiệm vụ kiểm tra về chủ đề “SỰ NĂNG ĐỘNG” 1 (A) Một người nhảy dù nặng 65 kg hạ xuống bằng một chiếc dù mở. Lực cản không khí Fc trong trường hợp người nhảy dù có tốc độ ổn định là bao nhiêu? Kết quả là gì

DZ 3.3(01) 1. Một điểm thực hiện dao động điều hòa dọc theo đường thẳng giữa vị trí A và B. Biết rằng điểm đó tốc độ tối đa bằng V m = 10 m/s, tìm nó tốc độ trung bình trên đường từ A đến B. 2. Trong giai đoạn

Đào tạo từ xa Abituru VẬT LÝ Bài viết Định luật Newton Tài liệu lý thuyết Trong bài viết này chúng ta sẽ xem xét các nhiệm vụ ứng dụng các định luật Newton Định luật thứ nhất Newton (định luật quán tính) phát biểu rằng

Vé N 10 Vé N 9 Câu hỏi N 1 Con quay hồi chuyển tiến động xung quanh điểm đỡ phía dưới. Momen quán tính của con quay hồi chuyển bằng I = 0,2 kg m 2, vận tốc góc quay 0 = 1000 s -1, khối lượng m = 20 kg, đặt khối tâm

BÀI TẬP CÁ NHÂN 3 1. Một đĩa đồng chất có bán kính 40 cm dao động quanh một trục nằm ngang đi qua một điểm treo trùng với một trong các đường sinh của bề mặt đĩa.

Ví dụ về giải bài toán Ví dụ 1 Một sợi dây không trọng lượng, không dãn được ném xuyên qua một khối quay quanh một trục nằm ngang (Hình 1a), với hai đầu của khối có gắn vật nặng 1 và Tìm lực ép X N F của khối lên

6.1. Một hình trụ đồng chất có khối lượng M, bán kính R có thể quay không ma sát quanh một trục nằm ngang. Một sợi dây được quấn quanh hình trụ, đầu của nó có gắn một vật nặng m. Tìm sự phụ thuộc động năng

I. V. Ykovlev Tài liệu vật lý MathUs.ru Olympic Vật lý lớp 11, trực tuyến, 2013/14 1. Một hòn đá ném từ mái nhà kho gần như thẳng đứng hướng lên trên với tốc độ 15 m/s rơi xuống đất

I. V. Ykovlev Tài liệu vật lý MathUs.ru Hệ bảo toàn Một hệ các vật được gọi là bảo toàn nếu nó thỏa mãn định luật bảo toàn cơ năng: K + W = const, trong đó K là động năng

Lớp 10. Vòng 1 1. Bài 1 Nếu một khối có khối lượng 0,5 kg được ép vào một bức tường gồ ghề thẳng đứng với một lực 15 N hướng theo phương ngang thì nó sẽ trượt xuống đều. Với gia tốc modulo sẽ là bao nhiêu

1.2.1. Hệ quy chiếu quán tính. Định luật đầu tiên của Newton. Nguyên lý tương đối của Galileo 27.1. Một hành khách đi xe buýt tại một bến xe buýt buộc một quả bóng bay nhẹ chứa đầy khí heli vào tay cầm ghế bằng một sợi dây.

Đòn bẩy tĩnh 1. Hai chiếc cốc được cân bằng trên một chiếc cân có hai cánh tay không bằng nhau. Khoảng cách giữa hai tâm của thấu kính là l. Một khối lượng nước m được lấy từ cốc này và đổ vào cốc thứ hai. Nếu bạn di chuyển giá đỡ cân

Bài tập số 1 Trắc nghiệm chủ đề “Rung động cơ học” Tọa độ của một vật dao động thay đổi tuân theo định luật X=5ˑcos(/2)t (m). Tần số dao động là gì? Tất cả các đại lượng được biểu thị bằng đơn vị SI. 1) 2Hz. 2) 1/2

Bài 3. Nguyên lý cơ bản của động lực học. Các lực: trọng lực, phản lực, đàn hồi Phương án 3... Một vật có khối lượng 0 kg chịu tác dụng của một số lực, hợp lực của các lực đó không đổi và bằng 5 N. So với hệ số quán tính

1 phương án A1. Hệ thống bao gồm hai phần tử a và b. Trong hình, các mũi tên trên một thang đo nhất định biểu thị động lượng của các vật thể này. 1) 2,0 kg m/s 2) 3,6 kg m/s 3) 7,2 kg m/s 4) 10,0 kg m/s A2. Một người có khối lượng m nhảy

1 xung Định luật bảo toàn động lượng 1. Có thể sử dụng công thức nào để tính động lượng của một vật? 1) p m) p ma 3) p m 4) p Ft. Động năng của vật thay đổi như thế nào? 1) thay đổi tốc độ cơ thể) xung lực tác dụng

Động lực học 008. Lực tạo ra giữa đai truyền động và ròng rọc khi nó di chuyển là lực căng A). B) lực ma sát trượt. C) lực ma sát lăn. D) độ đàn hồi. E) ma sát tĩnh.. Kết quả của ba

Tính toán và đồ họa trong cơ học Nhiệm vụ 1. 1 Sự phụ thuộc của gia tốc vào thời gian đối với một số chuyển động của vật được thể hiện trên hình 2. Xác định vận tốc trung bình của mặt đất trong 8 s đầu tiên. tốc độ bắt đầu

Phương án 1 1. Cần thực hiện công việc gì để kéo một thanh thép có chiều dài l=1 m, diện tích S thêm x=1 mm? mặt cắt ngang, bằng 1 cm 2? 2. Hai lò xo có độ cứng k 1 = 0,3 kn/m và k 2

Các định luật bảo toàn Động lượng của một vật (điểm vật chất) là một đại lượng vectơ vật lý, tương đương với sản phẩm khối lượng cơ thể với tốc độ của nó. p = m υ [p] = kg m/s p υ Xung lực là một đại lượng vật lý vectơ,

Kế hoạch:

1 Rung động miễn phí
- 1.1 Dao động điều hòa bảo toàn
  - 1.1.1
    - 1.1.1.1 Động lực học của chuyển động điều hòa đơn giản
    - 1.1.1.2 Năng lượng của chuyển động điều hòa đơn giản
    - 1.1.1.3 Ví dụ
      - 1.1.1.3.1 Trọng lượng lò xo
      - 1.1.1.3.2 Chuyển động tròn phổ quát
      - 1.1.1.3.3 Một vật nặng giống như một con lắc đơn
- 1.2 Dao động điều hòa tắt dần
2 Rung động cưỡng bức

Giới thiệu

Dao động điều hòa(trong cơ học cổ điển) là một hệ mà khi dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng sẽ chịu một lực phục hồi tỷ lệ thuận với chuyển vị (theo định luật Hooke):

Ở đâu k là hằng số dương mô tả độ cứng của hệ thống.

Nếu là lực duy nhất tác dụng lên hệ thì hệ được gọi là đơn giản hoặc dao động điều hòa bảo toàn. Dao động tự do của một hệ thống như vậy thể hiện chuyển động tuần hoàn xung quanh vị trí cân bằng (dao động điều hòa). Tần số và biên độ không đổi, tần số không phụ thuộc vào biên độ.

Nếu còn có lực ma sát (giảm chấn) tỷ lệ với tốc độ chuyển động (ma sát nhớt), thì hệ như vậy được gọi là mờ dần hoặc dao động tiêu tán. Nếu ma sát không quá lớn thì hệ thực hiện chuyển động gần như tuần hoàn - dao động hình sin với tần số không đổi và biên độ giảm theo cấp số nhân. Tần số dao động tự do của bộ dao động tắt dần hóa ra thấp hơn một chút so với tần số của bộ dao động tương tự không có ma sát.

Nếu bộ dao động được để yên cho các thiết bị riêng của nó thì nó được cho là dao động tự do. Nếu có mặt ngoại lực(phụ thuộc vào thời gian), thì họ nói rằng bộ dao động trải qua các dao động cưỡng bức.

Các ví dụ cơ học của bộ dao động điều hòa là con lắc toán học(với góc dịch chuyển nhỏ), trọng lượng lò xo, con lắc xoắn và hệ thống âm thanh. Trong số các chất tương tự khác của bộ dao động điều hòa, điều đáng chú ý là bộ dao động điều hòa điện (xem mạch LC).

1. Rung động tự do

1.1. Dao động điều hòa bảo toàn

Như một mô hình của bộ dao động điều hòa bảo toàn, chúng ta xét một tải trọng cố định vào một lò xo có độ cứng.

Gọi là độ dịch chuyển của tải so với vị trí cân bằng. Khi đó, theo định luật Hooke, lực phục hồi sẽ tác dụng lên nó:

Sử dụng định luật II Newton, chúng ta viết

Biểu thị và thay thế gia tốc bằng đạo hàm bậc hai của tọa độ theo thời gian, chúng ta viết:

Phương trình vi phân này mô tả hành vi của một bộ dao động điều hòa bảo toàn. Hệ số ω 0 được gọi là tần số tuần hoàn của bộ dao động. (Ở đây chúng tôi muốn nói đến tần số vòng tròn, được đo bằng radian trên giây. Để chuyển đổi nó thành tần số biểu thị bằng Hertz, chúng ta phải chia tần số vòng tròn cho 2π)

Ta sẽ tìm nghiệm của phương trình này dưới dạng:

Đây là biên độ, là tần số dao động (không nhất thiết phải bằng tần số tự nhiên) và là pha ban đầu.

Thay thế vào phương trình vi phân.

Biên độ giảm. Điều này có nghĩa là nó có thể có bất kỳ giá trị nào (kể cả 0 - điều này có nghĩa là tải đang đứng yên ở vị trí cân bằng). Bạn cũng có thể giảm theo sin, vì đẳng thức phải đúng bất cứ lúc nào t. Và điều kiện để tần số dao động vẫn là:

Tần số âm có thể bị loại bỏ, vì tính tùy ý trong việc lựa chọn dấu này được bao phủ bởi tính tùy ý trong việc lựa chọn pha ban đầu.

chuyển động tròn và chuyển động điều hòa

Nghiệm tổng quát của phương trình được viết dưới dạng:

biên độ ở đâu MỘT và pha ban đầu là các hằng số tùy ý. Mục này cạn kiệt tất cả các giải pháp phương trình vi phân, vì nó cho phép bạn đáp ứng bất kỳ điều kiện ban đầu nào (vị trí ban đầu của tải và tốc độ ban đầu của nó).

Tổng cộng, một bộ dao động điều hòa bảo toàn có thể thực hiện các dao động điều hòa thuần túy với tần số bằng tần số của chính nó, với biên độ có độ lớn bất kỳ và với pha ban đầu tùy ý.

Động năng được viết là

và có năng lượng tiềm năng

Sau đó Tổng năng lượng có một giá trị không đổi

1.1.1. Dao động điều hòa đơn giản

Dao động điều hòa đơn giản- đây là chuyển động của một đơn giản dao động điều hòa, chuyển động tuần hoàn không bị cưỡng bức cũng như không bị cản trở. Một vật chuyển động điều hòa đơn giản chịu tác dụng của một lực duy nhất có độ lớn thay đổi tỷ lệ thuận với độ dịch chuyển x, và được hướng theo hướng ngược lại.

Chuyển động này có tính tuần hoàn: vật dao động quanh vị trí cân bằng theo quy luật hình sin. Mỗi dao động tiếp theo giống như dao động trước và chu kỳ, tần số và biên độ của các dao động không đổi. Nếu chúng ta giả sử rằng vị trí cân bằng là tại một điểm có tọa độ bằng 0 thì độ dịch chuyển x cơ thể bất cứ lúc nào được cho bởi công thức:

MỘT là biên độ dao động, f- Tính thường xuyên, φ - giai đoạn đầu.

Tần số chuyển động được xác định tính chất đặc trưng hệ thống (ví dụ: khối lượng của một vật chuyển động), trong khi biên độ và pha ban đầu được xác định điều kiện ban đầu- chuyển động và tốc độ của cơ thể tại thời điểm bắt đầu dao động. Động năng và thế năng của hệ cũng phụ thuộc vào các tính chất và điều kiện này.

Dao động điều hòa đơn giản. Trong bức tranh hoạt hình này trục đứng tọa độ của hạt được vẽ ( x trong công thức) và thời gian được vẽ dọc theo trục hoành ( t).

Chuyển động điều hòa đơn giản có thể mô hình toán học nhiều loại khác nhau chuyển động như dao động của lò xo. Các trường hợp khác có thể coi đại khái là chuyển động điều hòa đơn giản là chuyển động của con lắc và dao động của các phân tử.

Chuyển động điều hòa đơn giản là cơ sở của một số cách phân tích các loại chuyển động phức tạp hơn. Một trong những phương pháp này là phương pháp dựa trên phép biến đổi Fourier, bản chất của nó là sự phân hủy một loại chuyển động phức tạp hơn thành một chuỗi các chuyển động điều hòa đơn giản.

Chuyển động điều hòa đơn giản biểu diễn đồng thời trong không gian thực và không gian pha. Ở đây, trục vận tốc và trục vị trí được hiển thị khác với trục tọa độ thông thường - điều này được thực hiện để đảm bảo rằng cả hai bản vẽ đều tương ứng với nhau. Không Gian Thực - không gian thực; Không gian pha - không gian pha; vận tốc - tốc độ; vị trí - vị trí (vị trí).

Một ví dụ điển hình của một hệ trong đó xảy ra chuyển động điều hòa đơn giản là hệ khối lượng-lò xo lý tưởng hóa trong đó một khối lượng được gắn vào một lò xo. Nếu lò xo không bị nén hoặc giãn thì không có lực thay đổi nào tác dụng lên tải và tải ở trạng thái cân bằng cơ học. Tuy nhiên, nếu bỏ tải ra khỏi vị trí cân bằng thì lò xo sẽ bị biến dạng và từ phía nó sẽ có một lực tác dụng lên tải, lực này sẽ có xu hướng đưa tải trở về vị trí cân bằng. Trong trường hợp hệ lò xo tải, lực như vậy là lực đàn hồi của lò xo, tuân theo định luật Hooke:

F = − kx, F- khôi phục lại lực lượng, x- chuyển động của tải trọng (biến dạng lò xo), k- hệ số độ cứng của lò xo.

Bất kỳ hệ thống nào trong đó xảy ra chuyển động điều hòa đơn giản đều có hai tính chất chính:

Khi một hệ bị mất cân bằng thì phải có một lực phục hồi có xu hướng đưa hệ về trạng thái cân bằng.
Lực phục hồi phải tỷ lệ chính xác hoặc xấp xỉ với độ dịch chuyển.

Hệ lò xo tải thỏa mãn cả hai điều kiện này.

Một khi tải trọng dịch chuyển chịu tác dụng của một lực phục hồi, nó sẽ tăng tốc tải trọng đó và có xu hướng đưa tải trọng đó trở về điểm ban đầu, tức là về vị trí cân bằng. Khi tải tiến đến vị trí cân bằng thì lực phục hồi giảm dần và có xu hướng bằng không. Tuy nhiên, trong tình hình x= 0 tải có một lượng chuyển động (xung) nhất định thu được do tác dụng của lực phục hồi. Do đó, tải vượt quá vị trí cân bằng, bắt đầu biến dạng lò xo trở lại (nhưng theo hướng ngược lại). Lực phục hồi sẽ có xu hướng làm nó chậm lại cho đến khi tốc độ bằng không; và lực sẽ lại cố gắng đưa tải về vị trí cân bằng.

Miễn là hệ thống không bị tổn thất năng lượng thì tải sẽ dao động như mô tả ở trên; một phong trào như vậy được gọi là tuần hoàn.

Phân tích sâu hơn sẽ chỉ ra rằng trong trường hợp hệ lò xo tải, chuyển động là điều hòa đơn giản.

1.1.1.1. Động lực học của chuyển động điều hòa đơn giản

Đối với dao động trong không gian một chiều, có tính đến Định luật II Newton ( F= tôi d² x/d t² ) và định luật Hooke ( F = −kx, như được mô tả ở trên), chúng ta có phương trình vi phân tuyến tính bậc hai:

tôi- Cái này khối lượng cơ thể, x- chuyển động của nó so với vị trí cân bằng, k- hằng số (hệ số độ cứng của lò xo).

Nghiệm của phương trình vi phân này là dạng hình sin; một giải pháp là:

Ở đâu MỘT, ω , Và φ - Cái này hằng số và vị trí cân bằng được lấy làm vị trí ban đầu. Mỗi hằng số này đại diện cho một ý nghĩa quan trọng tài sản vật chất sự di chuyển: MỘT là biên độ ω = 2π f là tần số tròn và φ - giai đoạn đầu.

Vị trí, vận tốc và gia tốc của dao động điều hòa

Sử dụng kỹ thuật phép tính vi phân, tốc độ và gia tốc là hàm của thời gian có thể được tìm thấy bằng các công thức:

Vị trí, vận tốc và gia tốc của chuyển động điều hòa đơn giản trên mặt phẳng pha

Gia tốc cũng có thể được biểu diễn dưới dạng hàm của độ dịch chuyển:

Bởi vì mẹ = −mω² x = −kx , Cái đó

Xem xét rằng ω = 2π f, chúng tôi nhận được

và kể từ khi T = 1/f, trong đó T là chu kỳ dao động thì

Các công thức này cho thấy chu kỳ và tần số không phụ thuộc vào biên độ và pha ban đầu của chuyển động.

1.1.1.2. Năng lượng của chuyển động điều hòa đơn giản

Động năng K hệ thống như là một hàm của thời gian t có phải đây là:

và có năng lượng tiềm năng

Tuy nhiên, cơ năng tổng cộng của hệ có giá trị không đổi

1.1.1.3. Ví dụ

Một hệ lò xo tải không có giảm chấn, trong đó xảy ra chuyển động điều hòa đơn giản.

Chuyển động điều hòa đơn giản được biểu diễn dưới nhiều dạng đơn giản khác nhau hệ thống vật lý, và dưới đây là một số ví dụ.

1.1.1.3.1. trọng lượng mùa xuân

Cân nặng tôi, gắn vào một lò xo có độ cứng không đổi k là một ví dụ về chuyển động điều hòa đơn giản trong không gian. Công thức

chứng tỏ chu kỳ dao động không phụ thuộc vào biên độ và gia tốc rơi tự do.

1.1.1.3.2. Chuyển động tròn phổ quát

Trong một số trường hợp, chuyển động điều hòa đơn giản có thể được coi là hình chiếu một chiều của chuyển động tròn phổ quát. Nếu một vật chuyển động với vận tốc góc ω bán kính chu vi r, tâm là gốc của mặt phẳng x-y, thì chuyển động như vậy dọc theo mỗi trục tọa độ là điều hòa đơn giản với biên độ r và tần số tròn ω .

1.1.1.3.3. Một vật nặng giống như một con lắc đơn

Chuyển động của một con lắc không có giảm chấn có thể được coi là chuyển động điều hòa đơn giản nếu biên độ dao động rất nhỏ so với chiều dài của thanh.

Trong trường hợp gần đúng các góc nhỏ, chuyển động của con lắc đơn gần với dao động điều hòa đơn giản. Chu kỳ dao động của con lắc đó gắn vào một thanh dài ℓ với gia tốc rơi tự do gđược cho bởi công thức

Điều này cho thấy chu kỳ dao động không phụ thuộc vào biên độ và khối lượng của con lắc mà phụ thuộc vào gia tốc trọng trường g, do đó, với cùng chiều dài của con lắc, trên Mặt Trăng nó sẽ quay chậm hơn, vì ở đó lực hấp dẫn yếu hơn và giá trị gia tốc rơi tự do nhỏ hơn.

Phép tính gần đúng này chỉ đúng với các góc nhỏ, vì biểu thức gia tốc góc tỉ lệ với sin của tọa độ:

TÔI- lực quán tính; trong trường hợp này TÔI = mℓ 2 .

làm cho gia tốc góc tỷ lệ thuận với góc θ , và điều này thỏa mãn định nghĩa về chuyển động điều hòa đơn giản.

1.2. Dao động điều hòa tắt dần

Lấy mô hình tương tự làm cơ sở, chúng ta sẽ cộng lực ma sát nhớt vào nó. Lực ma sát nhớt hướng vào tốc độ chuyển động của tải so với môi trường và tỷ lệ thuận với tốc độ này. Khi đó tổng lực tác dụng lên tải được viết như sau:

Thực hiện các hành động tương tự, chúng ta thu được phương trình vi phân mô tả bộ dao động tắt dần:

Ở đây ký hiệu được giới thiệu: . Hệ số γ được gọi là hằng số giảm chấn. Nó cũng có chiều của tần số.

Giải pháp chia thành ba trường hợp.

Ở lực ma sát thấp (γ< ω 0 ) quyết định chungđược viết là:

, tần số dao động tự do là bao nhiêu.

Sự giảm chấn γ = ω 0 được gọi là phê bình. Bắt đầu từ giá trị này của chỉ số giảm chấn, bộ dao động sẽ thực hiện cái gọi là chuyển động không dao động. Trong trường hợp giới hạn thì chuyển động xảy ra theo quy luật:

Với lực ma sát mạnh γ > ω 0, nghiệm có dạng như sau:

, Ở đâu

Giảm chấn tới hạn đáng chú ý ở chỗ tại thời điểm giảm chấn tới hạn, bộ dao động có xu hướng nhanh chóng đạt đến vị trí cân bằng nhất. Nếu ma sát nhỏ hơn tới hạn thì nó sẽ đạt đến vị trí cân bằng nhanh hơn nhưng sẽ “vượt qua” do quán tính và sẽ dao động. Nếu ma sát lớn hơn tới hạn thì bộ dao động sẽ có xu hướng theo cấp số nhân về vị trí cân bằng, nhưng càng chậm thì ma sát càng lớn.

Do đó, trong các chỉ báo quay số (ví dụ: trong ampe kế), họ thường cố gắng đưa ra mức suy giảm tới hạn để có thể đọc được số đọc của nó càng nhanh càng tốt.

Giảm chấn dao động cũng thường được đặc trưng bởi một tham số không thứ nguyên gọi là hệ số chất lượng. Yếu tố chất lượng thường được ký hiệu bằng chữ cái Q. Theo định nghĩa, hệ số chất lượng bằng:

Hệ số chất lượng càng cao thì dao động dao động phân rã càng chậm.

Một bộ dao động có hệ số giảm chấn tới hạn có hệ số chất lượng là 0,5. Theo đó, hệ số chất lượng chỉ ra hành vi của bộ dao động. Nếu hệ số chất lượng lớn hơn 0,5 thì chuyển động tự do của bộ dao động thể hiện sự dao động; Theo thời gian, nó sẽ vượt qua vị trí cân bằng với số lần không giới hạn. Hệ số chất lượng nhỏ hơn hoặc bằng 0,5 tương ứng với chuyển động không dao động của bộ dao động; V. phong trào tự do nó sẽ vượt qua vị trí cân bằng nhiều nhất một lần.

Hệ số chất lượng đôi khi được gọi là độ lợi dao động, vì với một số phương pháp kích thích, khi tần số kích thích trùng với tần số cộng hưởng, biên độ dao động sẽ xấp xỉ Q gấp nhiều lần so với khi bị kích thích ở tần số thấp.

Ngoài ra, hệ số chất lượng xấp xỉ bằng số chu kỳ dao động trong đó biên độ dao động giảm đi một lượng e lần nhân với π.

Trong trường hợp chuyển động dao động, độ giảm chấn còn được đặc trưng bởi các thông số như:

Cả đời do dự, hay còn gọi là thời gian phân rã, Nó giống nhau thời gian thư giãn. τ - thời gian trong đó biên độ dao động giảm dần e một lần.

τ = 1 / γ Thời gian này được coi là thời gian cần thiết để các dao động suy giảm (dừng) (mặc dù các dao động tự do hình thức tiếp tục vô tận).

2. Rung động cưỡng bức

Bài chi tiết: Dao động cưỡng bức

Dao động của bộ dao động được gọi là dao động cưỡng bức khi có thêm một số tác động bên ngoài tác động lên nó. Ảnh hưởng này có thể được tạo ra bằng nhiều cách khác nhau và theo nhiều quy luật khác nhau. Ví dụ, lực kích thích là tác dụng lên tải của một lực chỉ phụ thuộc vào thời gian theo một định luật nhất định. Kích thích động học là tác dụng lên bộ dao động của chuyển động của điểm gắn lò xo theo một định luật nhất định. Cũng có thể bị ảnh hưởng bởi ma sát - ví dụ, đây là khi môi trường mà tải chịu ma sát chuyển động theo một định luật nhất định.

Văn học

Butikov E.I. Dao động tự nhiên của bộ dao động tuyến tính. Hướng dẫn

Ghi chú

, Quan hệ đơn giản , Trường đơn giản , Câu đơn giản , Số đơn giản .

Cosin trong nghiệm của phương trình (21.2) gợi ý rằng chuyển động điều hòa có liên quan gì đó đến chuyển động tròn. Tất nhiên, sự so sánh này là giả tạo, bởi vì trong chuyển động tuyến tính không có nơi nào có được một vòng tròn: trọng lượng chuyển động lên xuống hoàn toàn. Chúng ta có thể tự biện minh bằng cách nói rằng chúng ta đã giải được phương trình chuyển động điều hòa khi nghiên cứu cơ học của chuyển động tròn. Nếu một hạt chuyển động quanh một vòng tròn với tốc độ không đổi thì vectơ bán kính từ tâm vòng tròn đến hạt sẽ quay một góc có độ lớn tỉ lệ với thời gian. Hãy chỉ định góc này (Hình 21.2). Sau đó . Được biết, gia tốc và hướng về trung tâm. Tọa độ của một điểm chuyển động tại một thời điểm nhất định bằng nhau

Còn khả năng tăng tốc thì sao? -Thành phần của gia tốc là gì? Giá trị này có thể được tìm thấy thuần túy về mặt hình học: nó bằng giá trị gia tốc nhân với cosin của góc chiếu; Bạn phải đặt dấu trừ trước biểu thức thu được vì gia tốc hướng về tâm:

Quả sung. 21.2. Một hạt chuyển động tròn đều với vận tốc không đổi.

Vì vậy, có một số lý do tại sao chúng ta nên mong đợi rằng độ lệch của trọng lượng tác dụng lên lò xo sẽ tỷ lệ thuận và chuyển động sẽ trông như thể chúng ta đang tuân theo tọa độ của một hạt chuyển động trong một vòng tròn với vận tốc góc. Điều này có thể được chứng minh bằng cách thực hiện một thí nghiệm chứng tỏ rằng chuyển động lên xuống của một vật nặng trên một lò xo hoàn toàn tương ứng với chuyển động của một điểm dọc theo một đường tròn. Trong bộ lễ phục. Trong hình 21.3, ánh sáng của đèn hồ quang chiếu lên màn hình bóng của một chiếc kim chuyển động mắc vào một đĩa quay và một vật nặng dao động thẳng đứng chuyển động gần đó. Nếu bạn làm cho vật nặng dao động đúng lúc, đúng chỗ, sau đó cẩn thận chọn tốc độ của đĩa sao cho tần số chuyển động của chúng trùng nhau thì các bóng trên màn hình sẽ theo nhau một cách chính xác. Đây là một cách khác để đảm bảo rằng khi bạn tìm thấy lời giải số, chúng ta gần như ở gần cosin.

Quả sung. 21.3. Chứng minh sự tương đương của chuyển động điều hòa đơn giản và chuyển động đều xung quanh chu vi.

Ở đây có thể nhấn mạnh rằng vì toán học của chuyển động tròn đều rất giống với toán học của chuyển động dao động lên xuống, nên việc phân tích chuyển động dao động sẽ được đơn giản hóa rất nhiều nếu chúng ta tưởng tượng chuyển động này là hình chiếu của chuyển động tròn. Nói cách khác, chúng ta có thể bổ sung phương trình (21.2), phương trình này dường như hoàn toàn không cần thiết và xem xét cả hai phương trình cùng nhau. Làm xong việc này, chúng ta sẽ quy các dao động một chiều thành chuyển động theo đường tròn, điều này sẽ giúp chúng ta không phải giải phương trình vi phân. Bạn có thể thực hiện một thủ thuật khác - nhập số phức, nhưng sẽ nói thêm về điều đó trong chương tiếp theo.

Cosin trong nghiệm của phương trình (21.2) gợi ý rằng chuyển động điều hòa có liên quan gì đó đến chuyển động tròn. Tất nhiên, sự so sánh này là giả tạo, bởi vì trong chuyển động tuyến tính không có nơi nào có được một vòng tròn: trọng lượng chuyển động lên xuống hoàn toàn. Chúng ta có thể tự biện minh bằng cách nói rằng chúng ta đã giải được phương trình chuyển động điều hòa khi nghiên cứu cơ học của chuyển động tròn. Nếu một hạt chuyển động quanh một đường tròn với tốc độ không đổi v thì vectơ bán kính từ tâm đường tròn đến hạt sẽ quay một góc có độ lớn tỉ lệ với thời gian. Hãy biểu thị góc này θ=vt/R (Hình 21.2). Khi đó dQθ/dt=ω 0 =v/R. Biết gia tốc a=v 2 /R = ω 2 0 R và hướng về tâm. Tọa độ của một điểm chuyển động tại một thời điểm nhất định bằng nhau
x = R cos θ, y = R sin θ.

Còn khả năng tăng tốc thì sao? Thành phần x của gia tốc, d 2 x/dt 2 là gì? Giá trị này có thể được tìm thấy thuần túy về mặt hình học: nó bằng giá trị gia tốc nhân với cosin của góc chiếu; Bạn phải đặt dấu trừ trước biểu thức thu được vì gia tốc hướng về tâm:

Nói cách khác, khi một hạt chuyển động theo một đường tròn, thành phần nằm ngang của chuyển động có gia tốc tỉ lệ với độ dịch chuyển theo phương ngang tính từ tâm. Tất nhiên, chúng ta biết nghiệm của trường hợp chuyển động trong một đường tròn: x=R cos ω 0 t. Phương trình (21.7) không chứa bán kính của đường tròn; nó giống nhau khi di chuyển quanh bất kỳ đường tròn nào có cùng ω 0. Vì vậy, có một số lý do tại sao chúng ta nên kỳ vọng rằng độ lệch của trọng lượng tác dụng lên lò xo sẽ tỷ lệ với cos ω 0 t và chuyển động sẽ trông như thể chúng ta đang tuân theo tọa độ x của một hạt chuyển động trong một vòng tròn có góc vận tốc ω 0 . Điều này có thể được chứng minh bằng cách thực hiện một thí nghiệm để chứng tỏ rằng chuyển động lên xuống của vật nặng trên lò xo hoàn toàn tương ứng với chuyển động của điểm dọc theo đường tròn. Trong bộ lễ phục. Trong hình 21.3, ánh sáng của đèn hồ quang chiếu lên màn hình bóng của một chiếc kim chuyển động mắc vào một đĩa quay và một vật nặng dao động thẳng đứng chuyển động gần đó. Nếu bạn làm cho vật nặng dao động đúng lúc, đúng chỗ, sau đó cẩn thận chọn tốc độ của đĩa sao cho tần số chuyển động của chúng trùng nhau thì các bóng trên màn hình sẽ theo nhau một cách chính xác. Đây là một cách khác để đảm bảo rằng, khi tìm nghiệm số, chúng ta gần như tiến gần đến cosine.

Ở đây có thể nhấn mạnh rằng vì toán học của chuyển động tròn đều rất giống với toán học của chuyển động dao động lên xuống, nên việc phân tích chuyển động dao động sẽ được đơn giản hóa rất nhiều nếu chúng ta tưởng tượng chuyển động này là hình chiếu của chuyển động tròn. Nói cách khác, chúng ta có thể bổ sung phương trình (21.2), dường như là một phương trình hoàn toàn không cần thiết đối với y, và xem xét cả hai phương trình cùng nhau. Làm xong việc này, chúng ta sẽ quy các dao động một chiều thành chuyển động theo đường tròn, điều này sẽ giúp chúng ta không phải giải phương trình vi phân. Một thủ thuật khác bạn có thể làm là giới thiệu số phức, nhưng chương tiếp theo sẽ đề cập nhiều hơn về điều đó.