Παραδείγματα επίλυσης παράλογων, τριγωνομετρικών, λογαριθμικών και άλλων εξισώσεων που επιλύονται με μη παραδοσιακές μεθόδους. Κύριες ιδιότητες της συνάρτησης

Ημερομηνία έκδοσης: 2016-03-23

Σύντομη περιγραφή: ...

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΟΡΙΣΜΕΝΩΝ ΠΡΩΤΟΤΥΠΩΝ ΤΕΧΝΙΚΩΝ.

1
. Λύση παράλογες εξισώσεις.

1.1.1 Λύστε την εξίσωση .

Σημειώστε ότι τα πρόσημα του x κάτω από τη ρίζα είναι διαφορετικά. Εισάγουμε τη σημειογραφία

, .

Επειτα,

Ας εκτελέσουμε μια πρόσθεση κατά όρο και των δύο μερών της εξίσωσης.

Και έχουμε ένα σύστημα εξισώσεων

Επειδή a + b = 4, λοιπόν

Το Z διαβάζει: 9 - x \u003d 8  x \u003d 1. Απάντηση: x \u003d 1.

1.1.2. Λύστε την Εξίσωση .

Εισάγουμε τη σημείωση: , ; , .

Που σημαίνει:

Προσθέτοντας όρο προς όρο την αριστερή και τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων, έχουμε .

Και έχουμε ένα σύστημα εξισώσεων

a + b = 2, , , ,

Ας επιστρέψουμε στο σύστημα των εξισώσεων:

, .

Έχοντας λύσει την εξίσωση για το (ab), έχουμε ab = 9, ab = -1 (-1 εξωτερική ρίζα, επειδή , .).

Αυτό το σύστημαδεν έχει λύσεις, άρα και η αρχική εξίσωση δεν έχει λύση.

Απάντηση: δεν υπάρχουν λύσεις.

Εισάγουμε τη σημειογραφία , όπου . Επειτα , .

, ,

Εξετάστε τρεις περιπτώσεις:

1) . 2) . 3) .

A + 1 - a + 2 \u003d 1, a - 1 - a + 2 \u003d 1, a - 1 + a - 2 \u003d 1, a \u003d 1, 1  [ 0; 1). [ ένας ; 2). α = 2.

Λύση: [ 1 ; 2].

Αν ένα , έπειτα , , .

Απάντηση: .

1.2. Μέθοδος για την αξιολόγηση του αριστερού και του δεξιού μέρους (η μέθοδος majorant).

Η μέθοδος majorant είναι μια μέθοδος για την εύρεση του ορίου μιας συνάρτησης.

Majorization - εύρεση των σημείων περιορισμού της συνάρτησης. Ο Μ είναι ο ταγματάρχης.

Αν έχουμε f(x) = g(x) και το ODZ είναι γνωστό, και αν

, , έπειτα

ODZ: .

Σκεφτείτε σωστη πλευραεξισώσεις.

Ας εισάγουμε μια συνάρτηση. Η γραφική παράσταση είναι μια παραβολή με κορυφή A(3 ; 2).

Η μικρότερη τιμή της συνάρτησης y(3) = 2, δηλ.

Θεωρήστε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης.

Ας εισάγουμε μια συνάρτηση. Χρησιμοποιώντας την παράγωγο, είναι εύκολο να βρεθεί το μέγιστο μιας συνάρτησης που είναι διαφορίσιμη στο x  (2 ; 4).

Στο ,

Χ=3.

Ζ` + -

2 3 4

g(3) = 2.

Εχουμε .

Ως αποτέλεσμα, λοιπόν

Ας συνθέσουμε ένα σύστημα εξισώσεων με βάση τις παραπάνω συνθήκες:

Λύνοντας την πρώτη εξίσωση του συστήματος, έχουμε x = 3. Αντικαθιστώντας αυτή την τιμή στη δεύτερη εξίσωση, βεβαιωνόμαστε ότι x = 3 είναι η λύση του συστήματος.

Απάντηση: x = 3.

1.3. Εφαρμογή μονοτονίας συνάρτησης.

1.3.1. Λύστε την εξίσωση:

Σχετικά με το DZ: , επειδή  .

Είναι γνωστό ότι το άθροισμα των αυξανόμενων συναρτήσεων είναι μια αύξουσα συνάρτηση.

Η αριστερή πλευρά είναι μια αυξανόμενη συνάρτηση. Η δεξιά πλευρά είναι γραμμική συνάρτηση (k=0). Η γραφική ερμηνεία υποδηλώνει ότι η ρίζα είναι μοναδική. Το βρίσκουμε με επιλογή, έχουμε x = 1.

Απόδειξη:

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μια ρίζα x 1 μεγαλύτερη από 1, τότε

Επειδή x 1 >1,

.Συμπεραίνουμε ότι δεν υπάρχουν ρίζες μεγαλύτερες της μίας.

Ομοίως, μπορεί κανείς να αποδείξει ότι δεν υπάρχουν ρίζες λιγότερες από μία.

Άρα x=1 είναι η μόνη ρίζα.

Απάντηση: x = 1.

1.3.2. Λύστε την εξίσωση:

Σχετικά με το DZ: [0,5 ; + ), επειδή εκείνοι. .

Ας μετατρέψουμε την εξίσωση,

Η αριστερή πλευρά είναι μια αύξουσα συνάρτηση (το γινόμενο αυξανόμενων συναρτήσεων), η δεξιά είναι μια γραμμική συνάρτηση (k = 0). Η γεωμετρική ερμηνεία δείχνει ότι η αρχική εξίσωση πρέπει να έχει μια μοναδική ρίζα που μπορεί να βρεθεί με προσαρμογή, x = 7.

Εξέταση:

Μπορεί να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχουν άλλες ρίζες (δείτε το παραπάνω παράδειγμα).

Απάντηση: x = 7.

2. Λογαριθμικές εξισώσεις.

2.1.1. Λύστε την εξίσωση: log 2 (2x - x 2 + 15) = x 2 - 2x + 5.

Ας υπολογίσουμε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης.

2x - x 2 + 15 \u003d - (x 2 - 2x - 15) \u003d - ((x 2 - 2x + 1) - 1 - 15) \u003d - (x - 1) 2 + 16  16.

Στη συνέχεια log 2 (2x - x 2 + 15)  4.

Ας υπολογίσουμε τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης.

x 2 - 2x + 5 \u003d (x 2 - 2x + 1) - 1 + 5 \u003d (x - 1) 2 + 4  4.

Η αρχική εξίσωση μπορεί να έχει λύση μόνο αν και οι δύο πλευρές είναι ίσες με τέσσερις.

Που σημαίνει

Απάντηση: x = 1.

Για ανεξάρτητη εργασία.

2.1.2. ημερολόγιο 4 (6x - x 2 + 7) \u003d x 2 - 6x + 11 Απάντηση: x \u003d 3.

2.1.3. αρχείο καταγραφής 5 (8x - x 2 + 9) \u003d x 2 - 8x + 18 Απάντηση: x \u003d 6.

2.1.4. ημερολόγιο 4 (2x - x 2 + 3) \u003d x 2 - 2x + 2 Απάντηση: x \u003d 1.

2.1.5. αρχείο καταγραφής 2 (6x - x 2 - 5) \u003d x 2 - 6x + 11 Απάντηση: x \u003d 3.

2.2. Χρησιμοποιώντας τη μονοτονία της συνάρτησης, η επιλογή των ριζών.

2.2.1. Λύστε την εξίσωση: log 2 (2x - x 2 + 15) = x 2 - 2x + 5.

Ας κάνουμε την αλλαγή 2x - x 2 + 15 = t, t>0. Στη συνέχεια, x 2 - 2x + 5 \u003d 20 - t, τότε

log 2 t = 20 - t .

Η συνάρτηση y = log 2 t αυξάνεται και η συνάρτηση y = 20 - t φθίνουσα. Η γεωμετρική ερμηνεία μας κάνει να καταλάβουμε ότι η αρχική εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα, η οποία δεν είναι δύσκολο να βρεθεί επιλέγοντας t = 16.

Λύνοντας την εξίσωση 2x - x 2 + 15 = 16, βρίσκουμε ότι x = 1.

Έλεγχος για να βεβαιωθείτε ότι η επιλεγμένη τιμή είναι σωστή.

Απάντηση: x = 1.

2.3. Μερικές «ενδιαφέρουσες» λογαριθμικές εξισώσεις.

2.3.1. Λύστε την Εξίσωση .

ODZ: (x - 15) cosx > 0.

Ας προχωρήσουμε στην εξίσωση

, , ,

Ας προχωρήσουμε στην ισοδύναμη εξίσωση

(x - 15) (cos 2 x - 1) = 0,

x - 15 = 0, ή cos 2 x = 1,

x = 15. cos x = 1 ή cos x = -1,

x=2  k, k Z . x =  + 2 l, l Z.

Ας ελέγξουμε τις τιμές που βρέθηκαν αντικαθιστώντας τις στο ODZ.

1) αν x = 15, τότε (15 - 15) συν 15 > 0,

0 > 0 είναι λάθος.

x = 15 - δεν είναι η ρίζα της εξίσωσης.

2) αν x = 2  k, k Z, μετά (2  k - 15) l > 0,

2 k > 15, σημειώστε ότι 15  5 . Εχουμε

k > 2,5, k Ζ,

k = 3, 4, 5, … .

3) αν x =  + 2 l, l Z, μετά ( + 2 l - 15) (- 1) > 0,

 + 2  λ< 15,

2 λ< 15 -  , заметим, что 15  5  .

Έχουμε: l< 2,

l = 1, 0 , -1, -2,… .

Απάντηση: x = 2  k (k = 3,4,5,6,…); x \u003d  +2 1 (1 \u003d 1,0, -1, - 2, ...).

3. Τριγωνομετρικές εξισώσεις.

3.1. Μέθοδος για την εκτίμηση του αριστερού και του δεξιού μέρους της εξίσωσης.

4.1.1. Λύστε την εξίσωση cos3x cos2x = -1.

Πρώτος τρόπος..

0,5 (συν Χ+ cos 5 Χ) = -1, συν Χ+ cos 5 Χ = -2.

Επειδή κοσ Χ - 1 , συν 5 Χ - 1, συμπεραίνουμε ότι κο Χ+ cos 5 Χ> -2, επομένως

ακολουθεί το σύστημα των εξισώσεων

c os Χ = -1,

cos 5 Χ = - 1.

Επίλυση της εξίσωσης συν Χ= -1, παίρνουμε Χ=  + 2 k, όπου k Z.

Αυτές οι αξίες Χείναι επίσης λύσεις εξισώσεις cos 5Χ= -1, επειδή

cos 5 Χ= cos 5 ( + 2  k) = cos ( + 4  + 10  k) = -1.

Με αυτόν τον τρόπο, Χ=  + 2 k, όπου k Z , είναι όλες οι λύσεις του συστήματος και επομένως η αρχική εξίσωση.

Απάντηση: Χ=  (2k + 1), k Z.

Ο δεύτερος τρόπος.

Μπορεί να φανεί ότι το σύνολο των συστημάτων προκύπτει από την αρχική εξίσωση

cos 2 Χ = - 1,

cos 3 Χ = 1.

cos 2 Χ = 1,

cos 3 Χ = - 1.

Λύνοντας κάθε σύστημα εξισώσεων, βρίσκουμε την ένωση των ριζών.

Απάντηση: x = (2  έως + 1), k Z.

Για ανεξάρτητη εργασία.

Λύστε τις εξισώσεις:

3.1.2. 2 ως 3Χ + 4 αμαρτία x/2 = 7. Απάντηση: δεν υπάρχουν λύσεις.

3.1.3. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = -8. Απάντηση: δεν υπάρχουν λύσεις.

3.1.4. 3 cos 3x + cos x = 4. Απάντηση: x = 2 προς, κ Ζ.

3.1.5. αμαρτία x αμαρτία 3 x = -1. Απάντηση: x = /2 +  προς, κ Ζ.

3.1.6. cos 8 x + αμαρτία 7 x = 1. Απάντηση: x = m, m Z; x = /2 + 2  n, n Ζ.

Δημοτικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα

"Γυμνάσιο Kudinskaya Νο. 2"

Τρόποι επίλυσης παράλογων εξισώσεων

Συμπλήρωσε: Egorova Olga,

Επόπτης:

Δάσκαλος

μαθηματικά,

υψηλότερο προσόν

Εισαγωγή....……………………………………………………………………………………… 3

Ενότητα 1. Μέθοδοι επίλυσης παράλογων εξισώσεων…………………………………6

1.1 Επίλυση των παράλογων εξισώσεων του μέρους Γ……….….….……………………………21

Ενότητα 2. Ατομικές εργασίες…………………………………………….....………...24

Απαντήσεις………………………………………………………………………………………….25

Βιβλιογραφία…….…………………………………………………………………….26

Εισαγωγή

Μαθηματική εκπαίδευση που έλαβε στο σχολείο γενικής εκπαίδευσης, είναι βασικό συστατικό γενική εκπαίδευσηκαι κοινή κουλτούρα ΣΥΓΧΡΟΝΟΣ ΑΝΘΡΩΠΟΣ. Σχεδόν όλα όσα περιβάλλουν έναν σύγχρονο άνθρωπο συνδέονται με τον ένα ή τον άλλο τρόπο με τα μαθηματικά. ΑΛΛΑ πρόσφατα επιτεύγματαστη φυσική, τη μηχανική και την πληροφορική δεν αφήνουν καμία αμφιβολία ότι στο μέλλον η κατάσταση θα παραμείνει η ίδια. Επομένως, η επίλυση πολλών πρακτικών προβλημάτων περιορίζεται στην επίλυση διάφορα είδηεξισώσεις για να μάθετε πώς να λύσετε. Ένας από αυτούς τους τύπους είναι οι παράλογες εξισώσεις.

Παράλογες εξισώσεις

Μια εξίσωση που περιέχει ένα άγνωστο (ή μια λογική αλγεβρική παράστασηαπό το άγνωστο) υπό το πρόσημο του ριζικού, λέγεται παράλογη εξίσωση. Στα στοιχειώδη μαθηματικά, οι λύσεις των παράλογων εξισώσεων αναζητούνται στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Οποιαδήποτε παράλογη εξίσωση με τη βοήθεια στοιχειωδών αλγεβρικών πράξεων (πολλαπλασιασμός, διαίρεση, αύξηση και των δύο μερών της εξίσωσης σε μια ακέραια δύναμη) μπορεί να αναχθεί σε μια ορθολογική αλγεβρική εξίσωση. Σε αυτήν την περίπτωση, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι η προκύπτουσα ορθολογική αλγεβρική εξίσωση μπορεί να αποδειχθεί μη ισοδύναμη με την αρχική παράλογη εξίσωση, δηλαδή μπορεί να περιέχει "επιπλέον" ρίζες που δεν θα είναι οι ρίζες της αρχικής ir ορθολογική εξίσωση. Επομένως, έχοντας βρει τις ρίζες της ληφθείσας ορθολογικής αλγεβρικής εξίσωσης, είναι απαραίτητο να ελέγξουμε εάν όλες οι ρίζες της ορθολογικής εξίσωσης θα είναι οι ρίζες της παράλογης εξίσωσης.

Σε γενικές γραμμές, είναι δύσκολο να προσδιοριστεί κάποια καθολική μέθοδοςλύση οποιασδήποτε παράλογης εξίσωσης, καθώς είναι επιθυμητό ως αποτέλεσμα μετασχηματισμών της αρχικής παράλογης εξίσωσης, να μην προκύπτει απλώς κάποιο είδος ορθολογικής αλγεβρικής εξίσωσης, μεταξύ των ριζών της οποίας θα υπάρχουν οι ρίζες αυτής της παράλογης εξίσωσης, αλλά ορθολογική αλγεβρική εξίσωση που σχηματίζεται από πολυώνυμα του ελάχιστου δυνατού βαθμού. Η επιθυμία να ληφθεί αυτή η ορθολογική αλγεβρική εξίσωση που σχηματίζεται από πολυώνυμα του μικρότερου δυνατού βαθμού είναι απολύτως φυσική, αφού η εύρεση όλων των ριζών μιας ορθολογικής αλγεβρικής εξίσωσης μπορεί από μόνη της να είναι μια αρκετά δύσκολη εργασία, την οποία μπορούμε να λύσουμε πλήρως μόνο σε πολύ περιορισμένο αριθμό των περιπτώσεων.

Είδη παράλογων εξισώσεων

Η επίλυση παράλογων εξισώσεων άρτιου βαθμού πάντα προκαλεί περισσότερα προβλήματααπό τη λύση παράλογων εξισώσεων περιττού βαθμού. Κατά την επίλυση παράλογων εξισώσεων περιττού βαθμού, το ODZ δεν αλλάζει. Επομένως, παρακάτω θα εξετάσουμε παράλογες εξισώσεις, ο βαθμός των οποίων είναι άρτιος. Υπάρχουν δύο είδη παράλογων εξισώσεων:

2..

Ας εξετάσουμε το πρώτο από αυτά.

εξίσωση odz: f(x)≥ 0. Στο ODZ, η αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι πάντα μη αρνητική, επομένως μια λύση μπορεί να υπάρξει μόνο όταν σολ(Χ)≥ 0. Σε αυτήν την περίπτωση, και οι δύο πλευρές της εξίσωσης είναι μη αρνητικές και η εκθετική 2 nδίνει ισοδύναμη εξίσωση. Το καταλαβαίνουμε

Ας προσέξουμε το γεγονός ότι ενώ Το ODZ εκτελείται αυτόματα και δεν μπορείτε να το γράψετε, αλλά η συνθήκησολ(x) Πρέπει να ελεγχθεί ≥ 0.

Σημείωση: Αυτό είναι πολύ σημαντική προϋπόθεσηισοδυναμίας. Πρώτον, απελευθερώνει τον μαθητή από την ανάγκη να ερευνήσει και αφού βρει λύσεις, ελέγξτε τη συνθήκη f(x) ≥ 0 - τη μη αρνητικότητα της έκφρασης ρίζας. Δεύτερον, εστιάζει στον έλεγχο της κατάστασηςσολ(x) ≥ 0 είναι η μη αρνητικότητα της δεξιάς πλευράς. Εξάλλου, μετά τον τετραγωνισμό, η εξίσωση λύνεται Δηλαδή, δύο εξισώσεις λύνονται ταυτόχρονα (αλλά σε διαφορετικά διαστήματα του αριθμητικού άξονα!):

1. - πού σολ(Χ)≥ 0 και

2. - όπου g(x) ≤ 0.

Εν τω μεταξύ, πολλοί, σύμφωνα με τη σχολική συνήθεια να βρίσκουν το ODZ, κάνουν ακριβώς το αντίθετο όταν λύνουν τέτοιες εξισώσεις:

α) ελέγξτε, αφού βρείτε λύσεις, τη συνθήκη f(x) ≥ 0 (η οποία ικανοποιείται αυτόματα), κάνετε αριθμητικά λάθη και λάβετε ένα εσφαλμένο αποτέλεσμα.

β) αγνοήστε την προϋπόθεσησολ(x) ≥ 0 - και πάλι η απάντηση μπορεί να είναι λάθος.

Σημείωση: Η συνθήκη ισοδυναμίας είναι ιδιαίτερα χρήσιμη κατά την επίλυση τριγωνομετρικές εξισώσεις, στο οποίο βρίσκοντας ODZσχετίζονται με την απόφαση τριγωνομετρικές ανισότητες, που είναι πολύ πιο δύσκολο από την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων. Έλεγχος σε τριγωνομετρικές εξισώσεις άρτιων συνθηκών σολ(Χ)Το ≥ 0 δεν είναι πάντα εύκολο να γίνει.

Εξετάστε το δεύτερο είδος παράλογων εξισώσεων.

. Αφήστε την εξίσωση . Το ODZ του:

Στο ODZ, και οι δύο πλευρές είναι μη αρνητικές και ο τετραγωνισμός δίνει την ισοδύναμη εξίσωση φά(x) =σολ(Χ).Επομένως, στην ΟΔΖ ή

Με αυτήν τη μέθοδο λύσης, αρκεί να ελέγξετε τη μη αρνητικότητα μιας από τις λειτουργίες - μπορείτε να επιλέξετε μια απλούστερη.

Ενότητα 1. Μέθοδοι επίλυσης παράλογων εξισώσεων

1 μέθοδος. Απελευθέρωση από τους ριζοσπάστες ανεβάζοντας διαδοχικά και τις δύο πλευρές της εξίσωσης στην αντίστοιχη φυσικός βαθμός

Η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη μέθοδος για την επίλυση παράλογων εξισώσεων είναι η μέθοδος απελευθέρωσης από ρίζες αυξάνοντας διαδοχικά και τα δύο μέρη της εξίσωσης στον αντίστοιχο φυσικό βαθμό. Σε αυτήν την περίπτωση, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι όταν και τα δύο μέρη της εξίσωσης ανυψωθούν σε ακόμη και πτυχίοη προκύπτουσα εξίσωση είναι ισοδύναμη με την αρχική, και όταν και τα δύο μέρη της εξίσωσης ανυψωθούν σε άρτια ισχύ, η εξίσωση που προκύπτει θα είναι, γενικά, μη ισοδύναμη με την αρχική εξίσωση. Αυτό μπορεί εύκολα να επαληθευτεί ανεβάζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης σε οποιαδήποτε άρτια ισχύ. Αυτή η λειτουργία καταλήγει στην εξίσωση , του οποίου το σύνολο λύσεων είναι η ένωση συνόλων λύσεων: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Ωστόσο, παρά Αυτό το μειονέκτημα, είναι η διαδικασία για την αύξηση και των δύο μερών της εξίσωσης σε κάποια (συχνά άρτια) ισχύ που είναι η πιο κοινή διαδικασία για την αναγωγή μιας παράλογης εξίσωσης σε μια ορθολογική εξίσωση.

Λύστε την εξίσωση:

Οπου είναι μερικά πολυώνυμα. Δυνάμει του ορισμού της λειτουργίας εξαγωγής της ρίζας στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, οι αποδεκτές τιμές του αγνώστου https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width=" 123 height=21" height="21">..gif " width="243" height="28 src=">.

Δεδομένου ότι και τα δύο μέρη της 1ης εξίσωσης ήταν τετράγωνα, μπορεί να αποδειχθεί ότι δεν θα είναι όλες οι ρίζες της 2ης εξίσωσης λύσεις στην αρχική εξίσωση, είναι απαραίτητο να ελέγξετε τις ρίζες.

Λύστε την εξίσωση:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

Ανεβάζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης σε κύβο, παίρνουμε

Δεδομένου ότι https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(Η τελευταία εξίσωση μπορεί να έχει ρίζες που, γενικά, δεν είναι ρίζες του εξίσωση ).

Ανυψώνουμε και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης σε έναν κύβο: . Ξαναγράφουμε την εξίσωση με τη μορφή x3 - x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1. Ελέγχοντας, διαπιστώνουμε ότι το x1 = 0 είναι μια ξένη ρίζα της εξίσωσης (-2 ≠ 1) και το x2 = 1 ικανοποιεί την αρχική εξίσωση.

Απάντηση: x = 1.

2 μέθοδος. Αντικατάσταση παρακείμενου συστήματος συνθηκών

Κατά την επίλυση παράλογων εξισώσεων που περιέχουν ρίζες άρτιας τάξης, μπορεί να εμφανιστούν οι απαντήσεις ξένες ρίζεςπου δεν είναι πάντα εύκολο να εντοπιστούν. Για να διευκολυνθεί ο εντοπισμός και η απόρριψη των ξένων ριζών, κατά την επίλυση παράλογων εξισώσεων αντικαθίσταται αμέσως από ένα παρακείμενο σύστημα συνθηκών. Οι πρόσθετες ανισότητες στο σύστημα λαμβάνουν ουσιαστικά υπόψη το ODZ της εξίσωσης που λύνεται. Μπορείτε να βρείτε το ODZ ξεχωριστά και να το λάβετε υπόψη αργότερα, αλλά είναι προτιμότερο να χρησιμοποιείτε μικτά συστήματα συνθηκών: υπάρχει λιγότερος κίνδυνος να ξεχάσετε κάτι, να μην το λάβετε υπόψη στη διαδικασία επίλυσης της εξίσωσης. Επομένως, σε ορισμένες περιπτώσεις είναι πιο λογικό να χρησιμοποιείται η μέθοδος μετάβασης σε μικτά συστήματα.

Λύστε την εξίσωση:

Απάντηση: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

Αυτή η εξίσωσηισοδυναμεί με σύστημα

Απάντηση:η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

3 μέθοδος. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της νης ρίζας

Κατά την επίλυση παράλογων εξισώσεων, χρησιμοποιούνται οι ιδιότητες της ρίζας του nου βαθμού. αριθμητική ρίζα n-ουβαθμούς από μεταξύ τους ένακαλέστε έναν μη αρνητικό αριθμό, n- i του οποίου το πτυχίο είναι ίσο με ένα. Αν ένα n-ακόμη και( 2n), τότε ένα ≥ 0, διαφορετικά η ρίζα δεν υπάρχει. Αν ένα n-Περιττός( 2 n+1), τότε το a είναι οποιοδήποτε και = - ..gif" width="45" height="19"> Στη συνέχεια:

Εφαρμόζοντας οποιονδήποτε από αυτούς τους τύπους, τυπικά (χωρίς να ληφθούν υπόψη οι αναφερόμενοι περιορισμοί), θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι το ODZ του αριστερού και του δεξιού τμήματος καθενός από αυτά μπορεί να είναι διαφορετικό. Για παράδειγμα, η έκφραση ορίζεται με f ≥ 0και g ≥ 0, και η έκφραση είναι όπως στο f ≥ 0και g ≥ 0, καθώς f ≤ 0και g ≤ 0.

Για καθέναν από τους τύπους 1-5 (χωρίς να λαμβάνονται υπόψη οι περιορισμοί που υποδεικνύονται), το ODZ του δεξιού τμήματός του μπορεί να είναι ευρύτερο από το ODZ του αριστερού. Από αυτό προκύπτει ότι οι μετασχηματισμοί της εξίσωσης με την επίσημη χρήση των τύπων 1-5 «από αριστερά προς τα δεξιά» (όπως γράφονται) οδηγούν σε μια εξίσωση που είναι συνέπεια της αρχικής. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορεί να εμφανιστούν ξένες ρίζες της αρχικής εξίσωσης, επομένως η επαλήθευση είναι ένα υποχρεωτικό βήμα για την επίλυση της αρχικής εξίσωσης.

Οι μετασχηματισμοί των εξισώσεων με την επίσημη χρήση των τύπων 1-5 "από δεξιά προς τα αριστερά" είναι απαράδεκτοι, καθώς είναι δυνατό να κριθεί το ODZ της αρχικής εξίσωσης, και ως εκ τούτου η απώλεια ριζών.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

που είναι συνέπεια του πρωτότυπου. Η λύση αυτής της εξίσωσης ανάγεται στην επίλυση του συνόλου των εξισώσεων .

Από την πρώτη εξίσωση αυτού του συνόλου βρίσκουμε https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> από όπου βρίσκουμε . Έτσι, οι ρίζες του αυτή η εξίσωση μπορεί να είναι μόνο αριθμοί (-1) και (-2) Η επαλήθευση δείχνει ότι και οι δύο ρίζες που βρέθηκαν ικανοποιούν αυτήν την εξίσωση.

Απάντηση: -1,-2.

Λύστε την εξίσωση: .

Λύση: με βάση τις ταυτότητες, αντικαταστήστε τον πρώτο όρο με . Σημειώστε ότι ως το άθροισμα δύο μη αρνητικών αριθμών στην αριστερή πλευρά. «Αφαιρέστε» τη μονάδα και, αφού φέρετε παρόμοιους όρους, λύστε την εξίσωση. Αφού , παίρνουμε την εξίσωση . Αφού και , στη συνέχεια https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" width="145" height="21 src=">

Απάντηση: x = 4,25.

4 μέθοδος. Εισαγωγή νέων μεταβλητών

Ένα άλλο παράδειγμα επίλυσης παράλογων εξισώσεων είναι ο τρόπος με τον οποίο εισάγονται νέες μεταβλητές, σε σχέση με τις οποίες προκύπτει είτε μια απλούστερη παράλογη εξίσωση είτε μια ορθολογική εξίσωση.

Η λύση των παράλογων εξισώσεων αντικαθιστώντας την εξίσωση με τη συνέπειά της (με επακόλουθο έλεγχο των ριζών) μπορεί να πραγματοποιηθεί ως εξής:

1. Βρείτε το ODZ της αρχικής εξίσωσης.

2. Πηγαίνετε από την εξίσωση στο συμπέρασμά της.

3. Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης που προκύπτει.

4. Ελέγξτε αν οι ρίζες που βρέθηκαν είναι οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης.

Ο έλεγχος έχει ως εξής:

Α) ελέγχεται η υπαγωγή κάθε ευρεθείσας ρίζας του ODZ στην αρχική εξίσωση. Οι ρίζες που δεν ανήκουν στο ODZ είναι ξένες για την αρχική εξίσωση.

Β) για κάθε ρίζα που περιλαμβάνεται στο ODZ της αρχικής εξίσωσης, ελέγχεται αν έχουν πανομοιότυπα σημάδιατο αριστερό και το δεξί μέρος καθεμιάς από τις εξισώσεις που προκύπτουν κατά τη διαδικασία επίλυσης της αρχικής εξίσωσης και ανεβαίνουν σε άρτια ισχύ. Εκείνες τις ρίζες για τις οποίες έχουν τα μέρη οποιασδήποτε εξίσωσης που ανυψώνονται σε άρτια ισχύ διαφορετικά σημάδια, είναι εξωτερικά για την αρχική εξίσωση.

Γ) μόνο εκείνες οι ρίζες που ανήκουν στο ODZ της αρχικής εξίσωσης και για τις οποίες και τα δύο μέρη καθεμιάς από τις εξισώσεις που προκύπτουν κατά τη διαδικασία επίλυσης της αρχικής εξίσωσης και ανυψώνονται σε άρτια ισχύ έχουν τα ίδια πρόσημα ελέγχονται με άμεση αντικατάσταση σε την αρχική εξίσωση.

Μια τέτοια μέθοδος λύσης με την υποδεικνυόμενη μέθοδο επαλήθευσης καθιστά δυνατή την αποφυγή δυσκίνητων υπολογισμών στην περίπτωση άμεσης αντικατάστασης καθεμιάς από τις ρίζες που βρέθηκαν της τελευταίας εξίσωσης στην αρχική.

Λύστε την παράλογη εξίσωση:

Το σύνολο των αποδεκτών τιμών αυτής της εξίσωσης:

Θέτοντας , μετά την αντικατάσταση παίρνουμε την εξίσωση

ή την ισοδύναμη εξίσωσή του

η οποία μπορεί να θεωρηθεί ως δευτεροβάθμια εξίσωση για . Λύνοντας αυτήν την εξίσωση, παίρνουμε

Επομένως, το σύνολο λύσεων της αρχικής παράλογης εξίσωσης είναι η ένωση των συνόλων λύσεων των ακόλουθων δύο εξισώσεων:

, .

Κύβουμε και τις δύο πλευρές καθεμιάς από αυτές τις εξισώσεις και παίρνουμε δύο ορθολογικές αλγεβρικές εξισώσεις:

, .

Λύνοντας αυτές τις εξισώσεις, διαπιστώνουμε ότι αυτή η παράλογη εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα x = 2 (δεν απαιτείται επαλήθευση, αφού όλοι οι μετασχηματισμοί είναι ισοδύναμοι).

Απάντηση: x = 2.

Λύστε την παράλογη εξίσωση:

Σημειώστε 2x2 + 5x - 2 = t. Τότε η αρχική εξίσωση θα πάρει τη μορφή . Τετραγωνίζοντας και τα δύο μέρη της εξίσωσης που προκύπτει και φέρνοντας παρόμοιους όρους, παίρνουμε την εξίσωση , η οποία είναι συνέπεια της προηγούμενης. Από αυτό βρίσκουμε t=16.

Επιστρέφοντας στο άγνωστο x, παίρνουμε την εξίσωση 2x2 + 5x - 2 = 16, η οποία είναι συνέπεια της αρχικής. Ελέγχοντας, βεβαιωνόμαστε ότι οι ρίζες του x1 \u003d 2 και x2 \u003d - 9/2 είναι οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης.

Απάντηση: x1 = 2, x2 = -9/2.

5 μέθοδος. Μετασχηματισμός Εξίσωσης Ταυτότητας

Όταν λύνουμε παράλογες εξισώσεις, δεν πρέπει να ξεκινάμε την επίλυση μιας εξίσωσης ανεβάζοντας και τα δύο μέρη των εξισώσεων σε μια φυσική δύναμη, προσπαθώντας να αναγάγουμε τη λύση μιας παράλογης εξίσωσης στην επίλυση μιας ορθολογικής αλγεβρικής εξίσωσης. Πρώτον, είναι απαραίτητο να δούμε αν είναι δυνατό να γίνει κάποιος πανομοιότυπος μετασχηματισμός της εξίσωσης, ο οποίος μπορεί να απλοποιήσει σημαντικά τη λύση της.

Λύστε την εξίσωση:

Το σύνολο των έγκυρων τιμών για αυτήν την εξίσωση: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Διαιρέστε αυτήν την εξίσωση με .

Παίρνουμε:

Για a = 0, η εξίσωση δεν θα έχει λύσεις. για , η εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως

για αυτή την εξίσωση δεν έχει λύσεις, αφού για καμία Χ, που ανήκει στο σύνολο των αποδεκτών τιμών της εξίσωσης, η έκφραση στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι θετική.

όταν η εξίσωση έχει λύση

Λαμβάνοντας υπόψη ότι το σύνολο των αποδεκτών λύσεων της εξίσωσης καθορίζεται από την συνθήκη , τελικά παίρνουμε:

Κατά την επίλυση αυτής της παράλογης εξίσωσης, https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> η λύση της εξίσωσης θα είναι . Για όλες τις άλλες τιμές Χη εξίσωση δεν έχει λύσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 10:

Λύστε την παράλογη εξίσωση: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

Λύση τετραγωνική εξίσωσηΤο σύστημα δίνει δύο ρίζες: x1 = 1 και x2 = 4. Η πρώτη από τις ρίζες που λαμβάνονται δεν ικανοποιεί την ανισότητα του συστήματος, επομένως x = 4.

Σημειώσεις.

1) Κρατώντας πανομοιότυπες μετατροπέςσας επιτρέπει να κάνετε χωρίς έλεγχο.

2) Η ανισότητα x - 3 ≥0 αναφέρεται σε πανομοιότυπους μετασχηματισμούς, και όχι στο πεδίο ορισμού της εξίσωσης.

3) Υπάρχει μια φθίνουσα συνάρτηση στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης και μια αύξουσα συνάρτηση στη δεξιά πλευρά αυτής της εξίσωσης. Τα γραφήματα φθίνουσας και αύξησης συναρτήσεων στη τομή των τομέων ορισμού τους δεν μπορούν να έχουν περισσότερα από ένα κοινό σημείο. Προφανώς, στην περίπτωσή μας, x = 4 είναι η τετμημένη του σημείου τομής των γραφημάτων.

Απάντηση: x = 4.

6 μέθοδος. Χρήση του πεδίου ορισμού συναρτήσεων κατά την επίλυση εξισώσεων

Αυτή η μέθοδος είναι πιο αποτελεσματική όταν λύνετε εξισώσεις που περιλαμβάνουν συναρτήσεις https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> και βρίσκετε τους ορισμούς της περιοχής της (φά)..gif" width="53" height="21"> .gif" width="88" height="21 src=">, τότε πρέπει να ελέγξετε αν η εξίσωση είναι αληθής στα άκρα του διαστήματος, επιπλέον, εάν< 0, а b >0, τότε είναι απαραίτητο να ελέγξετε τα διαστήματα (a;0)και . Ο μικρότερος ακέραιος στο E(y) είναι 3.

Απάντηση: x = 3.

8 μέθοδος. Εφαρμογή της παραγώγου στην επίλυση παράλογων εξισώσεων

Τις περισσότερες φορές, κατά την επίλυση εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της παραγώγου, χρησιμοποιείται η μέθοδος εκτίμησης.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 15:

Λύστε την εξίσωση: (1)

Λύση: Από https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29"> ή (2). Εξετάστε τη συνάρτηση ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> καθόλου και επομένως αυξάνεται. Επομένως, η εξίσωση είναι ισοδύναμη με μια εξίσωση που έχει μια ρίζα που είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης.

Απάντηση:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 16:

Λύστε την παράλογη εξίσωση:

Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι ένα τμήμα. Βρείτε το μεγαλύτερο και μικρότερη τιμήτις τιμές αυτής της συνάρτησης στο διάστημα . Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε την παράγωγο της συνάρτησης φά(Χ): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Ας βρούμε τις τιμές της συνάρτησης φά(Χ)στα άκρα του τμήματος και στο σημείο : Λοιπόν, αλλά και, επομένως, η ισότητα είναι δυνατή μόνο υπό την προϋπόθεση https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height="19 src=" > Η επαλήθευση δείχνει ότι ο αριθμός 3 είναι η ρίζα αυτής της εξίσωσης.

Απάντηση: x = 3.

9 μέθοδος. Λειτουργικός

Στις εξετάσεις, μερικές φορές προσφέρουν να λύσουν εξισώσεις που μπορούν να γραφτούν με τη μορφή , όπου είναι μια συγκεκριμένη συνάρτηση.

Για παράδειγμα, μερικές εξισώσεις: 1) 2) . Πράγματι, στην πρώτη περίπτωση , στη δεύτερη περίπτωση . Επομένως, λύστε παράλογες εξισώσεις χρησιμοποιώντας την ακόλουθη πρόταση: εάν μια συνάρτηση είναι αυστηρά αύξουσα στο σύνολο Χκαι για οποιαδήποτε , τότε οι εξισώσεις, κ.λπ., είναι ισοδύναμες στο σύνολο Χ .

Λύστε την παράλογη εξίσωση: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> αυξάνει αυστηρά στο σετ R,και https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > που έχει μοναδική ρίζα Επομένως, η ισοδύναμη εξίσωση (1) έχει και μοναδική ρίζα

Απάντηση: x = 3.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 18:

Λύστε την παράλογη εξίσωση: (1)

Εξ ορισμού τετραγωνική ρίζαπαίρνουμε ότι αν η εξίσωση (1) έχει ρίζες, τότε ανήκουν στο σύνολο https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width="163" height="47">. ( 2)

Εξετάστε τη συνάρτηση https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> αυστηρά αυξανόμενη σε αυτό το σύνολο για οποιοδήποτε ..gif" width="100" ύψος ="41"> που έχει μία μόνο ρίζα Επομένως, και ισοδύναμη με αυτήν στο σετ ΧΗ εξίσωση (1) έχει μία μόνο ρίζα

Απάντηση: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Λύση: Αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με μικτό σύστημα

Πραγματικοί αριθμοί. Προσέγγιση πραγματικών αριθμών με πεπερασμένα δεκαδικά κλάσματα.

Ένας πραγματικός ή πραγματικός αριθμός είναι μια μαθηματική αφαίρεση που προέκυψε από την ανάγκη μέτρησης γεωμετρικών και φυσικές ποσότητεςτον κόσμο γύρω, καθώς και την εκτέλεση πράξεων όπως η εξαγωγή μιας ρίζας, ο υπολογισμός λογαρίθμων, η επίλυση αλγεβρικές εξισώσεις. Αν ένα ακέραιοι αριθμοίπροέκυψε κατά τη διαδικασία μέτρησης, ορθολογική - από την ανάγκη να λειτουργήσει με μέρη ενός συνόλου, τότε οι πραγματικοί αριθμοί προορίζονται για μέτρηση συνεχείς ποσότητες. Έτσι, η επέκταση του υπό εξέταση αποθέματος αριθμών οδήγησε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, το οποίο, εκτός από τους ρητούς αριθμούς, περιλαμβάνει και άλλα στοιχεία που ονομάζονται παράλογους αριθμούς .

Το απόλυτο λάθος και το όριο του.

Ας υπάρχει κάποια αριθμητική τιμή και αριθμητική αξία, που του ανατίθεται, θεωρείται ακριβής, τότε κάτω σφάλμα κατά προσέγγιση τιμής αριθμητική αξία (λάθος) κατανοούν τη διαφορά μεταξύ της ακριβούς και της κατά προσέγγιση τιμής μιας αριθμητικής τιμής: . Το σφάλμα μπορεί να λάβει τόσο θετικές όσο και αρνητικές τιμές. Η τιμή ονομάζεται γνωστή προσέγγισηστην ακριβή τιμή μιας αριθμητικής τιμής - οποιοσδήποτε αριθμός χρησιμοποιείται αντί για την ακριβή τιμή. Πρωτόζωα ποσοτικό μέτροτο λάθος είναι το απόλυτο λάθος. Απόλυτο λάθος κατά προσέγγιση τιμή ονομάζεται η τιμή, για την οποία είναι γνωστό ότι: Σχετικό σφάλμα και το όριο του.

Η ποιότητα της προσέγγισης εξαρτάται ουσιαστικά από τις αποδεκτές μονάδες μέτρησης και τις κλίμακες μεγεθών, επομένως είναι σκόπιμο να συσχετιστεί το σφάλμα μιας ποσότητας και η τιμή της, για την οποία εισάγεται η έννοια του σχετικού σφάλματος. Σχετικό λάθοςκατά προσέγγιση τιμή ονομάζεται η τιμή, για την οποία είναι γνωστό ότι: . Το σχετικό σφάλμα εκφράζεται συχνά ως ποσοστό. Χρήση σχετικά λάθηβολικό, ιδίως, επειδή δεν εξαρτώνται από τις κλίμακες των ποσοτήτων και των μονάδων μέτρησης.

Παράλογες εξισώσεις

Μια εξίσωση στην οποία μια μεταβλητή περιέχεται κάτω από το πρόσημο της ρίζας ονομάζεται παράλογη. Κατά την επίλυση παράλογων εξισώσεων, οι λύσεις που λαμβάνονται απαιτούν επαλήθευση, επειδή, για παράδειγμα, μια εσφαλμένη ισότητα κατά τον τετραγωνισμό μπορεί να δώσει τη σωστή ισότητα. Πράγματι, μια λανθασμένη ισότητα όταν τετραγωνιστεί δίνει τη σωστή ισότητα 1 2 = (-1) 2 , 1=1. Μερικές φορές είναι πιο βολικό να λύνουμε παράλογες εξισώσεις χρησιμοποιώντας ισοδύναμες μεταβάσεις.

Ας τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης. Μετά από μετασχηματισμούς, φτάνουμε σε μια τετραγωνική εξίσωση. και ας το βάλουμε.

Μιγαδικοί αριθμοί. Ενέργειες σε μιγαδικούς αριθμούς.

Μιγαδικοί αριθμοί - μια επέκταση του συνόλου των πραγματικών αριθμών, που συνήθως συμβολίζονται. Οποιοσδήποτε μιγαδικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως επίσημο άθροισμα Χ + iy, όπου Χκαι y- πραγματικοί αριθμοί, Εγώ- φανταστική μονάδα Οι μιγαδικοί αριθμοί σχηματίζουν ένα αλγεβρικά κλειστό πεδίο - αυτό σημαίνει ότι το πολυώνυμο του βαθμού nμε μιγαδικούς συντελεστές έχει ακριβώς nσύνθετες ρίζες, δηλαδή το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας είναι αληθές. Αυτός είναι ένας από τους κύριους λόγους για την ευρεία χρήση μιγαδικοί αριθμοίσε μαθηματική έρευνα. Επιπλέον, η χρήση μιγαδικών αριθμών μας επιτρέπει να διατυπώνουμε εύκολα και συμπαγή πολλούς μαθηματικά μοντέλαεφαρμόζεται σε μαθηματική φυσικήκαι στο φυσικές επιστήμες- ηλεκτρολογία, υδροδυναμική, χαρτογραφία, κβαντική μηχανική, τη θεωρία των ταλαντώσεων και πολλά άλλα.

Σύγκριση ένα + δις = ντο + diσημαίνει ότι ένα = ντοκαι σι = ρε(δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι αν και μόνο αν τα πραγματικά και φανταστικά μέρη τους είναι ίσα).

Πρόσθεση ( ένα + δις) + (ντο + di) = (ένα + ντο) + (σι + ρε) Εγώ .

αφαίρεση ( ένα + δις) − (ντο + di) = (ένα − ντο) + (σι − ρε) Εγώ .

Πολλαπλασιασμός

Αριθμητική συνάρτηση. Τρόποι για να ορίσετε μια λειτουργία

Στα μαθηματικά αριθμητική συνάρτησηείναι μια συνάρτηση της οποίας οι τομείς και οι τιμές είναι υποσύνολα σύνολα αριθμών- συνήθως σύνολα πραγματικών αριθμών ή σύνολα μιγαδικών αριθμών.

Προφορικά: Χρησιμοποιώντας φυσική γλώσσαΤο Y ισούται με ολόκληρο μέροςαπό x. Αναλυτικό: Χρησιμοποιώντας αναλυτικό τύπο φά (Χ) = Χ !

Graphical Via graph Τμήμα του γραφήματος συνάρτησης.

Πίνακας: Χρήση πίνακα τιμών

Κύριες ιδιότητες της συνάρτησης

1) Εύρος λειτουργίας και εύρος λειτουργιών . Πεδίο λειτουργίας Χ(μεταβλητός Χ) για την οποία η συνάρτηση y=f(x)ορίζεται.

Εύρος λειτουργιών yπου δέχεται η συνάρτηση. Στα δημοτικά μαθηματικά οι συναρτήσεις μελετώνται μόνο στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.2 ) Συνάρτηση μηδέν) Μονοτονία της συνάρτησης . Αύξηση της λειτουργίας Μειωτική λειτουργία . Ομοιόμορφη λειτουργία Χ f(-x) = f(x). περιττή συνάρτηση- μια συνάρτηση της οποίας το πεδίο ορισμού είναι συμμετρικό ως προς την αρχή και για οποιαδήποτε Χ f(-x) = -f(x. Η συνάρτηση καλείται περιορισμένος απεριόριστος .7) Περιοδικότητα της συνάρτησης. Συνάρτηση f(x) - περιοδικός περίοδο λειτουργίας

Γραφήματα συναρτήσεων. Οι απλούστεροι μετασχηματισμοί γραφημάτων από μια συνάρτηση

Γράφημα συνάρτησης- σύνολο σημείων των οποίων τα τετμημένα είναι έγκυρες τιμέςδιαφωνία Χκαι οι τεταγμένες είναι οι αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης y .

Ευθεία- χρονοδιάγραμμα γραμμική συνάρτηση y=ax+b. Η συνάρτηση y αυξάνεται μονότονα για a > 0 και μειώνεται για a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)

Παραβολή- γράφημα συνάρτησης τετράγωνο τριώνυμο y \u003d ax 2 + bx + c. Εχει κάθετος άξοναςσυμμετρία. Αν a > 0, έχει ελάχιστο αν a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx + c \u003d 0

Υπερβολή- γράφημα συνάρτησης. Όταν a > O βρίσκεται στο I και III τέταρτο, όταν α< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х (а >0) ή y - x (α< 0).

Λογαριθμική συνάρτηση y = log a x(α > 0)

τριγωνομετρικές συναρτήσεις.Κατά την κατασκευή τριγωνομετρικών συναρτήσεων, χρησιμοποιούμε ακτίνιομέτρο γωνιών. Στη συνέχεια η συνάρτηση y= αμαρτία Χαντιπροσωπεύεται από ένα γράφημα (Εικ. 19). Αυτή η καμπύλη ονομάζεται ημιτονοειδής .

Γράφημα συνάρτησης y= κοσ Χφαίνεται στο σχ. είκοσι; είναι επίσης ένα ημιτονοειδές κύμα που προκύπτει από τη μετακίνηση του γραφήματος y= αμαρτία Χκατά μήκος του άξονα Χαριστερά από /2.

Βασικές ιδιότητεςλειτουργίες. Μονοτονία, ομαλότητα, παραδοξότητα, περιοδικότητα συναρτήσεων.

Εύρος λειτουργίας και εύρος λειτουργιών . Πεδίο λειτουργίαςείναι το σύνολο όλων των έγκυρων έγκυρων τιμών του ορίσματος Χ(μεταβλητός Χ) για την οποία η συνάρτηση y=f(x)ορίζεται.

Εύρος λειτουργιώνείναι το σύνολο όλων των πραγματικών αξιών yπου δέχεται η συνάρτηση.

Στα δημοτικά μαθηματικά οι συναρτήσεις μελετώνται μόνο στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.2 ) Συνάρτηση μηδέν- είναι η τιμή του ορίσματος, στο οποίο η τιμή της συνάρτησης είναι ίση με μηδέν.3 ) Διαστήματα σταθερότητας της συνάρτησης- εκείνα τα σύνολα τιμών ορισμάτων στα οποία οι τιμές της συνάρτησης είναι μόνο θετικές ή μόνο αρνητικές.4 ) Μονοτονία της συνάρτησης .

Αύξηση της λειτουργίας(σε κάποιο διάστημα) - μια συνάρτηση για την οποία μεγαλύτερη αξίαένα όρισμα από αυτό το διάστημα αντιστοιχεί σε μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης.

Μειωτική λειτουργία(σε κάποιο διάστημα) - μια συνάρτηση στην οποία μια μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος από αυτό το διάστημα αντιστοιχεί σε μια μικρότερη τιμή της συνάρτησης.5 ) Ζυγές (περιττές) συναρτήσεις . Ομοιόμορφη λειτουργία- μια συνάρτηση της οποίας το πεδίο ορισμού είναι συμμετρικό ως προς την αρχή και για οποιαδήποτε Χαπό το πεδίο ορισμού την ισότητα f(-x) = f(x).Πρόγραμμα ομοιόμορφη λειτουργίασυμμετρικά ως προς τον άξονα y. περιττή συνάρτηση- μια συνάρτηση της οποίας το πεδίο ορισμού είναι συμμετρικό ως προς την αρχή και για οποιαδήποτε Χαπό το πεδίο ορισμού την ισότητα f(-x) = -f(x). Πρόγραμμα περιττή συνάρτησησυμμετρικά ως προς την προέλευση.6 ) Περιορισμένες και απεριόριστες λειτουργίες. Η συνάρτηση καλείται περιορισμένος, αν υπάρχει θετικός αριθμός M τέτοιος ώστε |f (x) | ≤ M για όλες τις τιμές του x. Εάν δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός, τότε η συνάρτηση είναι απεριόριστος .7) Περιοδικότητα της συνάρτησης. Συνάρτηση f(x) - περιοδικός, αν υπάρχει τέτοιος μη μηδενικός αριθμός Τ που για οποιοδήποτε x από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ισχύει: f (x+T) = f (x). Τέτοιος μικρότερος αριθμόςπου ονομάζεται περίοδο λειτουργίας. Όλες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι περιοδικές. (Τριγωνομετρικοί τύποι).

Περιοδικές συναρτήσεις. Κανόνες εύρεσης της κύριας περιόδου μιας συνάρτησης.

Περιοδική συνάρτησηείναι μια συνάρτηση που επαναλαμβάνει τις τιμές της μετά από κάποια μη μηδενική περίοδο, δηλαδή, δεν αλλάζει την τιμή της όταν προστίθεται στο όρισμα ένας σταθερός μη μηδενικός αριθμός (περίοδος). Όλες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι περιοδικές. Είναι λάθοςδηλώσεις για το ποσό περιοδικές συναρτήσεις: Άθροισμα 2 συναρτήσεων με συγκρίσιμες (ακόμη και βασικές) περιόδους Τ 1 και Τ 2 είναι μια συνάρτηση με περίοδο LCM ( Τ 1 ,Τ 2). Ποσό 2 συνεχείς λειτουργίεςμε ασύμμετρες (ακόμη και βασικές) περιόδους είναι μια μη περιοδική συνάρτηση. Δεν υπάρχουν περιοδικές συναρτήσεις ίσο με σταθερά, των οποίων οι περίοδοι είναι ασύμμετροι αριθμοί.

Σχεδίαση συναρτήσεων ισχύος.

Λειτουργία ισχύος. Αυτή είναι η λειτουργία: y = τσεκούρι n, όπου ένα- μόνιμη. Στο n= 1 παίρνουμε ευθεία αναλογικότητα : y =τσεκούρι; στο n = 2 - τετράγωνη παραβολή; στο n = 1 - αντίστροφη αναλογικότηταή υπερβολή. Έτσι, αυτές οι συναρτήσεις είναι ειδικές περιπτώσεις μιας συνάρτησης ισχύος. Γνωρίζουμε ότι η μηδενική ισχύς οποιουδήποτε αριθμού εκτός του μηδενός είναι ίση με 1, επομένως, όταν n = 0 λειτουργία ισχύοςμετατρέπεται σε σταθερή τιμή: y =ένα, δηλ. Η γραφική παράσταση του είναι μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα Χ, εξαιρουμένης της προέλευσης των συντεταγμένων (εξηγήστε γιατί;). Όλες αυτές οι περιπτώσεις (με ένα= 1) φαίνονται στο Σχ. 13 ( n 0) και Εικ. 14 ( n < 0). Отрицательные значения Χδεν λαμβάνονται υπόψη εδώ, γιατί τότε ορισμένες λειτουργίες:

Αντίστροφη συνάρτηση

Αντίστροφη συνάρτηση- μια συνάρτηση που αντιστρέφει την εξάρτηση που εκφράζεται από αυτή τη συνάρτηση. Η συνάρτηση είναι αντίστροφη της συνάρτησης εάν ισχύουν οι ακόλουθες ταυτότητες: για όλους για όλα

Όριο συνάρτησης σε σημείο. Βασικές ιδιότητες του ορίου.

Η ρίζα του ν’ βαθμού και οι ιδιότητές του.

Η ν η ρίζα ενός αριθμού α είναι ένας αριθμός του οποίου η ν η δύναμη είναι ίση με α.

Ορισμός: Η αριθμητική ρίζα της νης μοίρας του αριθμού α είναι ένας μη αρνητικός αριθμός, του οποίου η ν η δύναμη ισούται με α.

Οι κύριες ιδιότητες των ριζών:

Πτυχίο με αυθαίρετο πραγματικός δείκτηςκαι τις ιδιότητες του.

Έστω ένας θετικός αριθμός και ένας αυθαίρετος πραγματικός αριθμός. Ο αριθμός ονομάζεται βαθμός, ο αριθμός είναι η βάση του βαθμού, ο αριθμός είναι ο εκθέτης.

Εξ ορισμού θεωρείται ότι:

Αν και - θετικούς αριθμούς, και - οποιαδήποτε πραγματικούς αριθμούς, έπειτα παρακάτω ιδιότητες:

.

.

Συνάρτηση ισχύος, ιδιότητες και γραφήματα

Λειτουργία ισχύοςσύνθετη μεταβλητή φά (z) = z nμε ακέραιο εκθέτη προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας την αναλυτική συνέχεια παρόμοιας συνάρτησης ενός πραγματικού ορίσματος. Για αυτό, χρησιμοποιείται η εκθετική μορφή γραφής μιγαδικών αριθμών. μια συνάρτηση ισχύος με ακέραιο εκθέτη είναι αναλυτική σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο, ως γινόμενο πεπερασμένος αριθμόςπεριπτώσεις χαρτογράφησης ταυτότητας φά (z) = z. Σύμφωνα με το θεώρημα της μοναδικότητας, αυτά τα δύο κριτήρια είναι επαρκή για τη μοναδικότητα της προκύπτουσας αναλυτικής συνέχειας. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον ορισμό, μπορούμε αμέσως να συμπεράνουμε ότι η συνάρτηση ισχύος μιας σύνθετης μεταβλητής έχει σημαντικές διαφορές από την πραγματική της αντίστοιχη.

Αυτή είναι μια συνάρτηση της φόρμας , . Εξετάζονται οι ακόλουθες περιπτώσεις:

ένα). Αν τότε . Επειτα , ; αν ο αριθμός είναι άρτιος, τότε η συνάρτηση είναι άρτια (δηλ. για όλα ); αν ο αριθμός είναι περιττός, τότε η συνάρτηση είναι περιττή (δηλαδή, για όλα).

Η εκθετική συνάρτηση, οι ιδιότητες και οι γραφικές παραστάσεις της

Εκθετικη συναρτηση- μαθηματική συνάρτηση.

Στην πραγματική περίπτωση, η βάση του πτυχίου είναι κάποια μη αρνητική πραγματικός αριθμός, και το όρισμα συνάρτησης είναι ένας πραγματικός εκθέτης.

Θεωρητικά σύνθετες λειτουργίεςθεωρείται περισσότερο γενική περίπτωση, όταν το όρισμα και ο εκθέτης μπορεί να είναι ένας αυθαίρετος μιγαδικός αριθμός.

Στο πολύ γενική εικόνα - u v, που εισήχθη από τον Leibniz το 1695.

Τονίζεται ιδιαίτερα η περίπτωση που ο αριθμός e λειτουργεί ως βάση του βαθμού. Μια τέτοια συνάρτηση ονομάζεται εκθέτης (πραγματικός ή σύνθετος).

Ιδιότητες ; ; .

εκθετικές εξισώσεις.

Ας προχωρήσουμε απευθείας στις εκθετικές εξισώσεις. Για να αποφασίσει εκθετική εξίσωσηείναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθεί το εξής θεώρημα: Αν οι μοίρες είναι ίσες και οι βάσεις είναι ίσες, θετικές και διαφορετικές από τη μία, τότε και οι εκθέτες τους είναι ίσοι. Ας αποδείξουμε αυτό το θεώρημα: Έστω a>1 και a x =a y .

Ας αποδείξουμε ότι σε αυτή την περίπτωση x=y. Υποθέστε το αντίθετο από αυτό που απαιτείται να αποδειχθεί, δηλ. ας πούμε ότι x>y ή ότι x<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо a х α υ . Και τα δύο αυτά αποτελέσματα έρχονται σε αντίθεση με την υπόθεση του θεωρήματος. Επομένως, x=y, που ήταν αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί.

Το θεώρημα αποδεικνύεται επίσης για την περίπτωση που 0 0 και a≠1.

εκθετικές ανισότητες

Ανισώσεις της μορφής (ή λιγότερο) για a(x) >0και λύνονται με βάση τις ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης: για 0 < а (х) < 1 κατά τη σύγκριση f(x)και g(x)το πρόσημο της ανισότητας αλλάζει και πότε a(x) > 1- σώζεται. Η πιο δύσκολη περίπτωση για τσεκούρι)< 0 . Εδώ μπορούμε μόνο να δώσουμε μια γενική ένδειξη: να καθορίσουμε σε ποιες τιμές Χδείκτες f(x)και g(x)είναι ακέραιοι και επιλέξτε από αυτούς αυτούς που ικανοποιούν τη συνθήκη. Τέλος, αν ισχύει η αρχική ανισότητα a(x) = 0ή a(x) = 1(για παράδειγμα, όταν οι ανισότητες δεν είναι αυστηρές), τότε πρέπει να ληφθούν υπόψη και αυτές οι περιπτώσεις.

Οι λογάριθμοι και οι ιδιότητές τους

Λογάριθμος ενός αριθμού σιαπό τον λόγο ένα (από τα ελληνικά λόγος - «λέξη», «σχέση» και ἀριθμός - «αριθμός») ορίζεται ως δείκτης του βαθμού στον οποίο πρέπει να ανυψωθεί η βάση έναγια να πάρετε τον αριθμό σι. Ονομασία: . Από τον ορισμό προκύπτει ότι οι εγγραφές και είναι ισοδύναμες. Παράδειγμα: επειδή . Ιδιότητες

Βασική λογαριθμική ταυτότητα:

Λογαριθμική συνάρτηση, ιδιότητες και γραφικές παραστάσεις.

Μια λογαριθμική συνάρτηση είναι συνάρτηση της μορφής φά (Χ) = κούτσουρο ένα x, ορίζεται στο

Τομέα:

Εύρος αξίας:

Η γραφική παράσταση οποιασδήποτε λογαριθμικής συνάρτησης διέρχεται από το σημείο (1; 0)

Η παράγωγος της λογαριθμικής συνάρτησης είναι:

Λογαριθμικές Εξισώσεις

Μια εξίσωση που περιέχει μια μεταβλητή κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου ονομάζεται λογαριθμική εξίσωση. Το απλούστερο παράδειγμα λογαριθμικής εξίσωσης είναι η εξίσωση καταγραφή a x \u003d b (όπου a > 0, και 1). Η απόφασή του x = a β .

Επίλυση εξισώσεων με βάση τον ορισμό του λογάριθμου, για παράδειγμα, την εξίσωση καταγραφή a x \u003d b (a\u003e 0, αλλά 1)έχει λύση x = a β .

μέθοδος ενίσχυσης. Με τον όρο ενίσχυση εννοείται η μετάβαση από μια ισότητα που περιέχει λογάριθμους σε μια ισότητα που δεν τους περιέχει:

αν log a f (x) = log a g (x),έπειτα f(x) = g(x), f(x) >0 ,g(x) >0 ,α > 0 , Α'1 .

Μέθοδος αναγωγής λογαριθμικής εξίσωσης σε τετραγωνική.

Η μέθοδος λήψης του λογάριθμου και των δύο μερών της εξίσωσης.

Μέθοδος αναγωγής λογαρίθμων στην ίδια βάση.

Λογαριθμικές ανισότητες.

Μια ανισότητα που περιέχει μια μεταβλητή μόνο κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου ονομάζεται λογαριθμική: log a f (x) > log a g (x).

Κατά την επίλυση λογαριθμικών ανισώσεων, θα πρέπει να ληφθούν υπόψη οι γενικές ιδιότητες των ανισώσεων, η ιδιότητα της μονοτονίας της λογαριθμικής συνάρτησης και το πεδίο ορισμού της. Ανισότητα log a f (x) > log a g (x)ισοδυναμεί με σύστημα f (x) > g (x) > 0 για a > 1και σύστημα 0 < f (x) < g (x) при 0 < а < 1 .

Ακτινική μέτρηση γωνιών και τόξων. Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη.

μέτρο βαθμού. Εδώ είναι η μονάδα μέτρησης βαθμός (χαρακτηρισμός ) - είναι η περιστροφή της δέσμης κατά 1/360 μιας πλήρους περιστροφής. Έτσι, μια πλήρης περιστροφή της δοκού είναι 360. Ένας βαθμός αποτελείται από 60 λεπτά (την ονομασία τους «) ένα λεπτό - αντίστοιχα από 60 δευτερόλεπτα (σημειώνονται με ").

ακτινικό μέτρο. Όπως γνωρίζουμε από την επιπεδομετρία (βλ. παράγραφο "Μήκος τόξου" στην ενότητα "Τόπος σημείων. Κύκλος και κύκλος"), το μήκος του τόξου μεγάλο,ακτίνα κύκλου rκαι η αντίστοιχη κεντρική γωνία σχετίζονται με: = l / r.

Αυτός ο τύπος αποτελεί τη βάση του ορισμού του ακτινικού μέτρου των γωνιών. Οπότε αν μεγάλο = r,τότε = 1, και λέμε ότι η γωνία είναι ίση με 1 ακτίνιο, το οποίο συμβολίζεται: = 1 χαρούμενος. Έτσι, έχουμε τον ακόλουθο ορισμό του μέτρου ακτινίου:

Το ακτίνιο είναι η κεντρική γωνία, του οποίου το μήκος και η ακτίνα του τόξου είναι ίσα(ΕΝΑ Μ B = AO, Εικ. 1). Ετσι, το ακτινικό μέτρο μιας γωνίας είναι ο λόγος του μήκους ενός τόξου που τραβιέται από μια αυθαίρετη ακτίνα και περικλείεται μεταξύ των πλευρών αυτής της γωνίας προς την ακτίνα του τόξου.

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις οξειών γωνιών μπορούν να οριστούν ως ο λόγος των μηκών των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου.

Κόλπος:

Συνημίτονο:

Εφαπτομένος:

Συνεφαπτομένη:

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις ενός αριθμητικού ορίσματος

Ορισμός .

Το ημίτονο του x είναι ο αριθμός ίσος με το ημίτονο της γωνίας σε x ακτίνια. Το συνημίτονο ενός αριθμού x είναι ο αριθμός ίσος με το συνημίτονο της γωνίας σε x ακτίνια .

Άλλες τριγωνομετρικές συναρτήσεις ενός αριθμητικού ορίσματος ορίζονται παρόμοια Χ .

Φόρμουλες φαντασμάτων.

Τύποι προσθήκης. Τύποι διπλού και μισού επιχειρήματος.

Διπλό.

( ; .

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις και γραφικές παραστάσεις τους. Βασικές ιδιότητες τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις- είδος στοιχειωδών λειτουργιών. Συνήθως αναφέρονται κόλπος (αμαρτία x), συνημίτονο (cos x), εφαπτομένος (tg x), συνεφαπτομένη (ctg x), Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις ορίζονται συνήθως γεωμετρικά, αλλά μπορούν να οριστούν αναλυτικά ως αθροίσματα σειρών ή ως λύσεις σε ορισμένες διαφορικές εξισώσεις, γεγονός που μας επιτρέπει να επεκτείνουμε το πεδίο ορισμού αυτών των συναρτήσεων σε μιγαδικούς αριθμούς.

Η συνάρτηση y sinx οι ιδιότητες και η γραφική παράσταση της

Ιδιότητες:

2. E (y) \u003d [-1; ένας].

3. Η συνάρτηση y \u003d sinx είναι περίεργη, αφού, εξ ορισμού, το ημίτονο μιας τριγωνομετρικής γωνίας αμαρτία(- Χ)= - y/R = - sinx, όπου R είναι η ακτίνα του κύκλου, y η τεταγμένη του σημείου (Εικ.).

4. T \u003d 2n - η μικρότερη θετική περίοδος. Πραγματικά,

sin(x+p) = sinx.

με άξονα Ox: sinx= 0; x = pn, nОZ;

με τον άξονα y: αν x = 0, τότε y = 0,6. Διαστήματα σταθερότητας:

sinx > 0, εάν xО (2pn; p + 2pn), nОZ;

sinx< 0 , αν xО (p + 2pn; 2p+pn), nОZ.

Ημιτονοειδή σημάδια σε τέταρτα

y > 0 για τις γωνίες a του πρώτου και του δεύτερου τετάρτου.

στο< 0 для углов ее третьей и четвертой четвертей.

7. Διαστήματα μονοτονίας:

y= sinxαυξάνεται σε καθένα από τα διαστήματα [-p/2 + 2pn; p/2 + 2 pn],

nнz και μειώνεται σε καθένα από τα διαστήματα, nнz.

8. Ακραία και ακραία σημεία της συνάρτησης:

xmax= p/2 + 2pn, nнz; y Μέγιστη = 1;

ymax= - p/2 + 2pn, nнz; ymin = - 1.

Ιδιότητες συνάρτησης y= cosxκαι το πρόγραμμά της:

Ιδιότητες:

2. E (y) \u003d [-1; ένας].

3. Λειτουργία y= cosx- άρτιο, επειδή εξ ορισμού του συνημιτόνου της τριγωνομετρικής γωνίας cos (-a) = x/R = cosa στον τριγωνομετρικό κύκλο (ρύζι)

4. T \u003d 2p - η μικρότερη θετική περίοδος. Πραγματικά,

cos(x+2pn) = cosx.

5. Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων:

με τον άξονα Ox: cosx = 0;

x = p/2 + pn, nОZ;

με τον άξονα y: αν x = 0, τότε y = 1.

6. Διαστήματα σταθερότητας πρόσημου:

cos > 0, εάν xO (-p/2+2pn; p/2 + 2pn), nОZ;

cosx< 0 , εάν xО (p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn), nОZ.

Αυτό αποδεικνύεται σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο (Εικ.). Σημάδια συνημίτονο σε τέταρτα:

x > 0 για τις γωνίες a του πρώτου και του τέταρτου τεταρτημορίου.

Χ< 0 для углов a второй и третей четвертей.

7. Διαστήματα μονοτονίας:

y= cosxαυξάνεται σε καθένα από τα διαστήματα [-p + 2pn; 2 pn],

nнz και μειώνεται σε καθένα από τα διαστήματα, nнz.

Ιδιότητες συνάρτησης y= tgxκαι το οικόπεδό του: ακίνητα -

1. D (y) = (xОR, x 1 p/2 + pn, nΟZ).

3. Συνάρτηση y = tgx - περιττός

tgx > 0

tgx< 0 για xн (-p/2 + pn; pn), nнZ.

Δείτε το σχήμα για τα σημάδια της εφαπτομένης σε τέταρτα.

6. Διαστήματα μονοτονίας:

y= tgxαυξάνεται σε κάθε διάστημα

(-p/2 + pn; p/2 + pn),

7. Ακραία και ακραία σημεία της συνάρτησης:

8. x = p/2 + pn, nнz - κάθετες ασύμπτωτες

Ιδιότητες συνάρτησης y= ctgxκαι το πρόγραμμά της:

Ιδιότητες:

1. D (y) = (xОR, x 1 pn, nΟZ). 2. E(y)=R.

3. Λειτουργία y= ctgx- Περιττός.

4. T \u003d p - η μικρότερη θετική περίοδος.

5. Διαστήματα σταθερότητας πρόσημου:

ctgx > 0για xО (pn; p/2 + pn;), nОZ;

ctgx< 0 για xÎ (-p/2 + pn; pn), nÎZ.

Συμπτυγμένες πινακίδες για τέταρτα, δείτε το σχήμα.

6. Λειτουργία στο= ctgxαυξάνεται σε κάθε ένα από τα διαστήματα (pn; p + pn), nОZ.

7. Ακρότατα σημεία και άκρα μιας συνάρτησης y= ctgxόχι.

8. Γράφημα συνάρτησης y= ctgxείναι εφαπτομενοειδές, που προκύπτει με μετατόπιση γραφικής παράστασης y=tgxκατά μήκος του άξονα Ox προς τα αριστερά με p/2 και πολλαπλασιάζοντας με (-1) (Εικ.)

Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, οι ιδιότητες και οι γραφικές παραστάσεις τους

Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις (κυκλικές λειτουργίες , συναρτήσεις τόξου) είναι μαθηματικές συναρτήσεις που είναι αντίστροφες προς τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις συνήθως περιλαμβάνουν έξι συναρτήσεις: τόξο , τόξο συνημίτονο , εφαπτομένη τόξου ,αρκκοτάγκες.Το όνομα της αντίστροφης τριγωνομετρικής συνάρτησης σχηματίζεται από το όνομα της αντίστοιχης τριγωνομετρικής συνάρτησης προσθέτοντας το πρόθεμα "ark-" (από λατ. τόξο- τόξο). Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι γεωμετρικά η τιμή της αντίστροφης τριγωνομετρικής συνάρτησης μπορεί να συσχετιστεί με το μήκος του τόξου ενός κύκλου μονάδας (ή τη γωνία που υποτάσσει αυτό το τόξο) που αντιστοιχεί σε ένα ή άλλο τμήμα. Περιστασιακά στην ξένη βιβλιογραφία χρησιμοποιούν χαρακτηρισμούς όπως sin −1 για το τόξο, κ.λπ. Αυτό θεωρείται ότι δεν είναι απολύτως σωστό, καθώς είναι δυνατή η σύγχυση με την αύξηση μιας συνάρτησης στην ισχύ του -1. Βασική αναλογία

Η συνάρτηση y=arcsinX, οι ιδιότητες και τα γραφήματα της.

τόξοαριθμοί Μαυτή η γωνία ονομάζεται Χγια την οποία Συνάρτηση y= αμαρτία Χ y= τόξο Χαυξάνεται αυστηρά. (η συνάρτηση είναι περίεργη).

Η συνάρτηση y=arccosX, οι ιδιότητες και τα γραφήματα της.

Συνημίτονο τόξουαριθμοί Μαυτή η γωνία ονομάζεται Χ, για το οποίο

Λειτουργία y= κοσ Χσυνεχής και οριοθετημένος σε όλη την αριθμητική του γραμμή. Λειτουργία y= τόξο Χμειώνεται αυστηρά. cos (arccos Χ) = Χστο τόξο (κοσ y) = yστο ρε(τόξο Χ) = [− 1; 1], (τομέας), μι(τόξο Χ) = . (εύρος τιμών). Ιδιότητες της συνάρτησης τόξου (η συνάρτηση είναι κεντρικά συμμετρική ως προς το σημείο

Η συνάρτηση y=arctgX, οι ιδιότητες και τα γραφήματα της.

Arctangentαριθμοί ΜΜια γωνία α ονομάζεται τέτοια ώστε η Συνάρτηση να είναι συνεχής και οριοθετημένη σε ολόκληρη την πραγματική της ευθεία. Η λειτουργία αυξάνεται αυστηρά.

στο

ιδιότητες συνάρτησης arctg

,

.

Η συνάρτηση y=arcctg, οι ιδιότητες και τα γραφήματα της.

Εφαπτομένη τόξουαριθμοί Μαυτή η γωνία ονομάζεται Χ, για το οποίο

Η συνάρτηση είναι συνεχής και οριοθετημένη σε ολόκληρη την πραγματική της γραμμή.

Η λειτουργία είναι αυστηρά φθίνουσα. στο 0< y < π Свойства функции arcctg (график функции центрально-симметричен относительно точки για κάθε Χ .

.

Οι απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις.

Ορισμός.εξισώσεις wada αμαρτία x = α ; cos x = α ; ταν x = α ; ctg x = α, όπου Χ

Ειδικές περιπτώσεις τριγωνομετρικών εξισώσεων

Ορισμός.εξισώσεις wada αμαρτία x = α ; cos x = α ; ταν x = α ; ctg x = α, όπου Χ- οι μεταβλητές, aR, καλούνται απλές τριγωνομετρικές εξισώσεις.

Τριγωνομετρικές εξισώσεις

Αξιώματα στερεομετρίας και συνέπειες από αυτά

Βασικά σχήματα στο χώρο: σημεία, ευθείες και επίπεδα. Οι κύριες ιδιότητες των σημείων, των γραμμών και των επιπέδων, όσον αφορά την αμοιβαία διάταξη τους, εκφράζονται σε αξιώματα.

Α'1.Από τρία σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, περνάει ένα επίπεδο και επιπλέον μόνο ένα. Α2.Αν δύο σημεία μιας ευθείας βρίσκονται σε ένα επίπεδο, τότε όλα τα σημεία της ευθείας βρίσκονται σε αυτό το επίπεδο.

Σχόλιο.Αν μια ευθεία και ένα επίπεδο έχουν μόνο ένα κοινό σημείο, τότε λέγεται ότι τέμνονται.

Α3.Εάν δύο επίπεδα έχουν ένα κοινό σημείο, τότε έχουν μια κοινή γραμμή στην οποία βρίσκονται όλα τα κοινά σημεία αυτών των επιπέδων.

Α και τέμνονται κατά μήκος της ευθείας α.

Συνέπεια 1.Μέσα από μια γραμμή και ένα σημείο που δεν βρίσκεται πάνω της περνά ένα επίπεδο, και επιπλέον, μόνο ένα. Συνέπεια 2.Ένα επίπεδο διέρχεται από δύο τεμνόμενες ευθείες και επιπλέον μόνο μία.

Αμοιβαία διάταξη δύο γραμμών στο χώρο

Δύο ευθείες που δίνονται από εξισώσεις

τέμνονται σε ένα σημείο.

Παραλληλισμός ευθείας και επιπέδου.

Ορισμός 2.3Μια ευθεία και ένα επίπεδο λέγονται παράλληλα αν δεν έχουν κοινά σημεία. Αν η ευθεία a είναι παράλληλη στο επίπεδο α, τότε γράψτε a || ένα. Θεώρημα 2.4 Πρόσημο παραλληλισμού ευθείας και επιπέδου.Εάν μια ευθεία έξω από ένα επίπεδο είναι παράλληλη με μια ευθεία στο επίπεδο, τότε αυτή η ευθεία είναι επίσης παράλληλη με το ίδιο το επίπεδο. Απόδειξη Έστω b α, a || β και α α (σχέδιο 2.2.1). Θα το αποδείξουμε με αντίφαση. Έστω το a να μην είναι παράλληλο με το α, τότε η ευθεία a τέμνει το επίπεδο α σε κάποιο σημείο A. Επιπλέον, A b, αφού a || σι. Σύμφωνα με το κριτήριο των λοξών γραμμών, οι γραμμές α και β είναι λοξές. Έχουμε φτάσει σε μια αντίφαση. Θεώρημα 2.5Αν το επίπεδο β διέρχεται από την ευθεία a παράλληλη προς το επίπεδο α και τέμνει αυτό το επίπεδο κατά μήκος της ευθείας b, τότε b || ένα. Απόδειξη Πράγματι, οι ευθείες a και b δεν είναι λοξές, αφού βρίσκονται στο επίπεδο β. Επιπλέον, αυτές οι γραμμές δεν έχουν κοινά σημεία, αφού ένα || ένα. Ορισμός 2.4Η ευθεία b ονομάζεται μερικές φορές ίχνος του επιπέδου β στο επίπεδο α.

Διασχίζοντας ευθείες γραμμές. Σημάδι τεμνόμενων γραμμών

Οι ευθείες ονομάζονται τεμνόμενες αν πληρούται η εξής συνθήκη: Αν φανταστούμε ότι μία από τις ευθείες ανήκει σε ένα αυθαίρετο επίπεδο, τότε η άλλη ευθεία θα τέμνει αυτό το επίπεδο σε σημείο που δεν ανήκει στην πρώτη ευθεία. Με άλλα λόγια, δύο ευθείες στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο τέμνονται αν δεν υπάρχει επίπεδο που να τις περιέχει. Με απλά λόγια, δύο ευθείες στο χώρο που δεν έχουν κοινά σημεία, αλλά δεν είναι παράλληλες.

Θεώρημα (1): Αν μία από τις δύο ευθείες βρίσκεται σε ένα συγκεκριμένο επίπεδο και η άλλη ευθεία τέμνει αυτό το επίπεδο σε σημείο που δεν βρίσκεται στην πρώτη ευθεία, τότε αυτές οι ευθείες είναι λοξές.

Θεώρημα (2): Από καθεμία από τις δύο τεμνόμενες ευθείες διέρχεται ένα επίπεδο παράλληλο προς την άλλη ευθεία και επιπλέον μόνο μία.

Θεώρημα (3): Αν οι πλευρές δύο γωνιών είναι αντίστοιχα συν-κατευθυνόμενες, τότε αυτές οι γωνίες είναι ίσες.

Παραλληλισμός ευθειών. Ιδιότητες παράλληλων επιπέδων.

Παράλληλες (μερικές φορές - ισοσκελές) ευθείεςονομάζονται ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και είτε συμπίπτουν είτε δεν τέμνονται. Σε ορισμένους σχολικούς ορισμούς, οι γραμμές που συμπίπτουν δεν θεωρούνται παράλληλες· ένας τέτοιος ορισμός δεν εξετάζεται εδώ. Ιδιότητες Ο παραλληλισμός είναι μια δυαδική σχέση ισοδυναμίας, επομένως, διαιρεί ολόκληρο το σύνολο των γραμμών σε κατηγορίες γραμμών παράλληλων μεταξύ τους. Μέσα από οποιοδήποτε δεδομένο σημείο, μπορεί να υπάρχει ακριβώς μία ευθεία παράλληλη στη δεδομένη. Αυτή είναι μια χαρακτηριστική ιδιότητα της Ευκλείδειας γεωμετρίας, σε άλλες γεωμετρίες ο αριθμός 1 αντικαθίσταται από άλλες (στη γεωμετρία του Lobachevsky υπάρχουν τουλάχιστον δύο τέτοιες γραμμές) 2 παράλληλες γραμμές στο διάστημα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. β Στη διασταύρωση 2 παράλληλων ευθειών κατά ένα τρίτο, καλείται διατέμνων: Η τομή τέμνει αναγκαστικά και τις δύο ευθείες. Κατά τη διασταύρωση, σχηματίζονται 8 γωνίες, μερικά χαρακτηριστικά ζεύγη των οποίων έχουν ειδικά ονόματα και ιδιότητες: Σταυρός ψέματαοι γωνίες είναι ίσες. Σχετικόςοι γωνίες είναι ίσες. Μονομερήςοι γωνίες αθροίζονται έως και 180°.

Καθετότητα ευθείας και επιπέδου.

Μια ευθεία που τέμνει ένα επίπεδο ονομάζεται κάθετοςαυτό το επίπεδο αν είναι κάθετο σε κάθε ευθεία που βρίσκεται στο δεδομένο επίπεδο και διέρχεται από το σημείο τομής.

ΣΗΜΕΙΟ ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑΣ ΓΡΑΜΜΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΟΥ.

Εάν μια ευθεία που τέμνει ένα επίπεδο είναι κάθετη σε δύο ευθείες σε αυτό το επίπεδο που διέρχονται από το σημείο τομής της δεδομένης ευθείας και του επιπέδου, τότε είναι κάθετη στο επίπεδο.

1ο ΑΚΙΝΗΤΟ ΚΑΘΕΤΩΝ ΓΡΑΜΜΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΩΝ .

Αν ένα επίπεδο είναι κάθετο σε μία από τις δύο παράλληλες ευθείες, τότε είναι και κάθετο στην άλλη.

2η ΙΔΙΟΚΤΗΣΙΑ ΚΑΘΕΤΩΝ ΓΡΑΜΜΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΩΝ .

Δύο ευθείες κάθετες στο ίδιο επίπεδο είναι παράλληλες.

Θεώρημα τριών καθέτων

Αφήνω ΑΒ- κάθετη στο επίπεδο α, ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ- λοξό και ντο- ευθεία γραμμή στο επίπεδο α που διέρχεται από το σημείο ντοκαι κάθετη προβολή προ ΧΡΙΣΤΟΥ. Ας τραβήξουμε μια ευθεία γραμμή CKπαράλληλη σε ευθεία γραμμή ΑΒ. Ευθεία CKκάθετο στο επίπεδο α (γιατί είναι παράλληλο με ΑΒ), και επομένως οποιαδήποτε γραμμή αυτού του επιπέδου, επομένως, CKκάθετη στη γραμμή ντο ΑΒκαι CKεπίπεδο β (παράλληλες ευθείες ορίζουν ένα επίπεδο και μόνο ένα). Ευθεία ντοείναι κάθετη σε δύο τεμνόμενες ευθείες που βρίσκονται στο επίπεδο β, αυτό προ ΧΡΙΣΤΟΥκατά συνθήκη και CKκατά κατασκευή, που σημαίνει ότι είναι κάθετο σε οποιαδήποτε ευθεία που ανήκει σε αυτό το επίπεδο, που σημαίνει ότι είναι επίσης κάθετο σε μια ευθεία ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ .

Αντίστροφο του θεωρήματος των τριών καθέτων

Εάν μια ευθεία γραμμή που χαράσσεται σε ένα επίπεδο διαμέσου της βάσης μιας κεκλιμένης γραμμής είναι κάθετη στην κεκλιμένη γραμμή, τότε είναι επίσης κάθετη στην προβολή της.

Αφήνω ΑΒ- κάθετα στο επίπεδο ένα , ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ- λοξό και Με- ευθεία γραμμή στο επίπεδο έναπερνώντας από τη βάση της πλαγιάς ΑΠΟ. Ας τραβήξουμε μια ευθεία γραμμή SC, παράλληλα με τη γραμμή ΑΒ. Ευθεία SCκάθετο στο επίπεδο ένα(με αυτό το θεώρημα, αφού είναι παράλληλο ΑΒ), και επομένως οποιαδήποτε γραμμή αυτού του επιπέδου, επομένως, SCκάθετη στη γραμμή Με. Σχεδιάστε παράλληλες γραμμές ΑΒκαι SCεπίπεδο σι(οι παράλληλες γραμμές ορίζουν ένα επίπεδο και μόνο ένα). Ευθεία Μεκάθετες σε δύο ευθείες που βρίσκονται σε ένα επίπεδο σι, αυτό είναι ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝκατά συνθήκη και SCαπό κατασκευή, σημαίνει ότι είναι κάθετο σε οποιαδήποτε ευθεία που ανήκει σε αυτό το επίπεδο, που σημαίνει ότι είναι επίσης κάθετο σε μια ευθεία ήλιος. Με άλλα λόγια, προβολή ήλιοςκάθετη στη γραμμή Μεξαπλωμένος στο αεροπλάνο ένα .

Κάθετο και λοξό.

Κάθετος, χαμηλωμένο από ένα δεδομένο σημείο σε ένα δεδομένο επίπεδο, ονομάζεται τμήμα που συνδέει ένα δεδομένο σημείο με ένα σημείο του επιπέδου και βρίσκεται σε μια ευθεία κάθετη στο επίπεδο. Το τέλος αυτού του τμήματος, που βρίσκεται σε ένα επίπεδο, ονομάζεται τη βάση της κάθετης .

λοξός, σχεδιασμένο από ένα δεδομένο σημείο σε ένα δεδομένο επίπεδο, είναι κάθε τμήμα που συνδέει το δεδομένο σημείο με ένα σημείο του επιπέδου που δεν είναι κάθετο στο επίπεδο. Το άκρο ενός τμήματος που βρίσκεται σε ένα επίπεδο ονομάζεται η βάση του κεκλιμένου. Το τμήμα που συνδέει τις βάσεις της κάθετης της κεκλιμένης ευθείας, που χαράσσεται από το ίδιο σημείο, ονομάζεται λοξή προβολή .

Ορισμός 1. Μια κάθετη σε μια δεδομένη ευθεία είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία που έχει ένα από τα άκρα της στο σημείο τομής τους. Το άκρο ενός τμήματος που βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία ονομάζεται βάση της κάθετης.

Ορισμός 2. Μια πλάγια γραμμή που χαράσσεται από ένα δεδομένο σημείο σε μια δεδομένη ευθεία είναι ένα τμήμα που συνδέεται δεδομένο σημείομε οποιοδήποτε σημείο μιας ευθείας που δεν είναι η βάση της κάθετου πέσει από το ίδιο σημείο στη δεδομένη ευθεία. ΑΒ - κάθετη στο επίπεδο α.

AC - λοξό, CB - προβολή.

Γ - η βάση της κεκλιμένης, Β - η βάση της κάθετης.

Η γωνία μεταξύ ευθείας και επιπέδου.

Γωνία μεταξύ γραμμής και επιπέδουΟποιαδήποτε γωνία μεταξύ μιας ευθείας γραμμής και της προβολής της σε αυτό το επίπεδο ονομάζεται.

Δίεδρος γωνία.

Δίεδρος γωνία- χωρική γεωμετρικό σχήμα, που σχηματίζεται από δύο ημιεπίπεδα που προέρχονται από μια ευθεία γραμμή, καθώς και από ένα τμήμα του χώρου που οριοθετείται από αυτά τα ημιεπίπεδα. Τα μισά αεροπλάνα λέγονται πρόσωπαδιεδρική γωνία και η κοινή τους ευθεία - άκρη. Οι διεδρικές γωνίες μετρώνται με μια γραμμική γωνία, δηλαδή τη γωνία που σχηματίζεται από την τομή μιας διεδρικής γωνίας με ένα επίπεδο κάθετο στην άκρη της. Κάθε πολύεδρο, κανονικό ή ακανόνιστο, κυρτό ή κοίλο, έχει δίεδρος γωνίασε κάθε άκρη.

Καθετότητα δύο επιπέδων.

ΣΗΜΑ ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑΣ ΕΠΙΠΕΔΟΥ.

Εάν ένα επίπεδο διέρχεται από μια ευθεία κάθετη σε ένα άλλο επίπεδο, τότε αυτά τα επίπεδα είναι κάθετα.

1.1 Παράλογες εξισώσεις

Οι παράλογες εξισώσεις βρίσκονται συχνά στο εισαγωγικές εξετάσειςστα μαθηματικά, καθώς με τη βοήθειά τους είναι εύκολο να διαγνωστεί η γνώση τέτοιων εννοιών όπως οι ισοδύναμοι μετασχηματισμοί, ο τομέας ορισμού και άλλες. Οι μέθοδοι επίλυσης παράλογων εξισώσεων, κατά κανόνα, βασίζονται στη δυνατότητα αντικατάστασης (με τη βοήθεια ορισμένων μετασχηματισμών) μιας παράλογης εξίσωσης με μια ορθολογική, η οποία είτε είναι ισοδύναμη με την αρχική παράλογη εξίσωση είτε είναι η συνέπειά της. Τις περισσότερες φορές, και οι δύο πλευρές της εξίσωσης ανεβαίνουν στην ίδια ισχύ. Η ισοδυναμία δεν παραβιάζεται όταν και τα δύο μέρη ανυψώνονται σε περιττή ισχύ. Διαφορετικά, απαιτείται έλεγχος των λύσεων που βρέθηκαν ή εκτίμηση του πρόσημου και των δύο μερών της εξίσωσης. Υπάρχουν όμως και άλλα κόλπα που μπορούν να είναι πιο αποτελεσματικά στην επίλυση παράλογων εξισώσεων. Για παράδειγμα, η μέθοδος τριγωνομετρικής υποκατάστασης.

Παράδειγμα 1: Λύστε την εξίσωση

Από τότε . Επομένως, μπορεί κανείς να βάλει . Η εξίσωση θα πάρει τη μορφή

Ας βάλουμε πού, λοιπόν

.

.

Απάντηση: .
Αλγεβρική Λύση
Από τότε . Που σημαίνει, , ώστε να μπορείτε να επεκτείνετε τη μονάδα

.

Απάντηση: .

Η επίλυση μιας εξίσωσης με αλγεβρικό τρόπο απαιτεί καλή ικανότητα στην πραγματοποίηση πανομοιότυπων μετασχηματισμών και ικανό χειρισμό ισοδύναμων μεταβάσεων. Αλλά σε γενικές γραμμές, και οι δύο προσεγγίσεις είναι ισοδύναμες.

Παράδειγμα 2: Λύστε την εξίσωση

.

Λύση με χρήση τριγωνομετρικής αντικατάστασης

Το πεδίο ορισμού της εξίσωσης δίνεται από την ανισότητα , η οποία είναι ισοδύναμη με την συνθήκη , τότε . Επομένως, μπορούμε να βάλουμε . Η εξίσωση θα πάρει τη μορφή

Από τότε . Ας ανοίξουμε την εσωτερική μονάδα

Ας βάλουμε , έπειτα

.

Η συνθήκη ικανοποιείται από δύο τιμές και .

.

.

Απάντηση: .

Αλγεβρική Λύση

.

Ας τετραγωνίσουμε την εξίσωση του συστήματος του πρώτου συνόλου, λαμβάνουμε

Αφήστε, λοιπόν. Η εξίσωση θα ξαναγραφεί στη φόρμα

Ελέγχοντας διαπιστώνουμε ότι είναι η ρίζα και, στη συνέχεια, διαιρώντας το πολυώνυμο με το διώνυμο προκύπτει η αποσύνθεση της δεξιάς πλευράς της εξίσωσης σε παράγοντες

Ας μετακινηθούμε από μεταβλητή σε μεταβλητή, παίρνουμε

.

κατάσταση ικανοποιεί δύο τιμές

.

Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στην αρχική εξίσωση, παίρνουμε ότι είναι η ρίζα.

Λύνοντας την εξίσωση του δεύτερου συστήματος του αρχικού πληθυσμού με παρόμοιο τρόπο, διαπιστώνουμε ότι είναι και αυτή ρίζα.

Απάντηση: .

Αν στο προηγούμενο παράδειγμα η αλγεβρική λύση και η λύση που χρησιμοποιεί την τριγωνομετρική αντικατάσταση ήταν ισοδύναμες, τότε σε αυτή η υπόθεσηη λύση αντικατάστασης είναι πιο κερδοφόρα. Όταν λύνουμε μια εξίσωση μέσω της άλγεβρας, πρέπει να λύσουμε ένα σύνολο δύο εξισώσεων, δηλαδή να τετραγωνίσουμε δύο φορές. Μετά από αυτόν τον μη ισοδύναμο μετασχηματισμό, προκύπτουν δύο εξισώσεις τέταρτου βαθμού με παράλογους συντελεστές, από τις οποίες η αντικατάσταση βοηθά να απαλλαγούμε. Μια άλλη δυσκολία είναι η επαλήθευση των λύσεων που βρέθηκαν με αντικατάσταση στην αρχική εξίσωση.

Παράδειγμα 3. Λύστε την εξίσωση

.

Λύση με χρήση τριγωνομετρικής αντικατάστασης

Από τότε . Σημειώστε ότι μια αρνητική τιμή του αγνώστου δεν μπορεί να είναι λύση στο πρόβλημα. Πράγματι, μετατρέπουμε την αρχική εξίσωση στη μορφή

.

Ο παράγοντας σε αγκύλες στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι θετικός, η δεξιά πλευρά της εξίσωσης είναι επίσης θετική, επομένως ο παράγοντας στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης δεν μπορεί να είναι αρνητικός. Γι' αυτό, λοιπόν, γι' αυτό μπορείς να βάλεις Η αρχική εξίσωση θα ξαναγραφτεί στη φόρμα

Από τότε και . Η εξίσωση θα πάρει τη μορφή

Αφήστε . Ας περάσουμε από την εξίσωση στο ισοδύναμο σύστημα

.

Οι αριθμοί και είναι οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης

.

Αλγεβρική λύση Ας τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης
Παρουσιάζουμε την αντικατάσταση , τότε η εξίσωση θα γραφτεί στη μορφή

Η δεύτερη ρίζα είναι περιττή, οπότε εξετάστε την εξίσωση

.

Από τότε .

Σε αυτή την περίπτωση, η αλγεβρική λύση είναι τεχνικά απλούστερη, αλλά είναι απαραίτητο να εξεταστεί η παραπάνω λύση χρησιμοποιώντας μια τριγωνομετρική αντικατάσταση. Αυτό οφείλεται, πρώτον, στον μη τυποποιημένο χαρακτήρα της ίδιας της υποκατάστασης, η οποία καταστρέφει το στερεότυπο ότι η χρήση τριγωνομετρικής υποκατάστασης είναι δυνατή μόνο όταν . Αποδεικνύεται ότι αν βρει εφαρμογή και η τριγωνομετρική αντικατάσταση. Δεύτερον, υπάρχει κάποια δυσκολία στην επίλυση της τριγωνομετρικής εξίσωσης , η οποία μειώνεται με την εισαγωγή μιας αλλαγής σε ένα σύστημα εξισώσεων. Κατά μία έννοια, αυτή η αντικατάσταση μπορεί επίσης να θεωρηθεί μη τυπική και η εξοικείωση με αυτήν σας επιτρέπει να εμπλουτίσετε το οπλοστάσιο των κόλπα και τις μεθόδους για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων.

Παράδειγμα 4. Λύστε την εξίσωση

.

Λύση με χρήση τριγωνομετρικής αντικατάστασης

Δεδομένου ότι μια μεταβλητή μπορεί να λάβει οποιαδήποτε πραγματική τιμή, βάζουμε . Επειτα

,

Επειδή .

Η αρχική εξίσωση, λαμβάνοντας υπόψη τους μετασχηματισμούς που πραγματοποιήθηκαν, θα λάβει τη μορφή

Αφού , διαιρούμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με , παίρνουμε

Αφήνω , έπειτα . Η εξίσωση θα πάρει τη μορφή

.

Δεδομένης της αντικατάστασης , λαμβάνουμε ένα σύνολο δύο εξισώσεων

.

Ας λύσουμε κάθε εξίσωση συνόλου ξεχωριστά.

.

Δεν μπορεί να είναι ημιτονική τιμή, όπως για οποιεσδήποτε τιμές του ορίσματος.

.

Επειδή και η δεξιά πλευρά της αρχικής εξίσωσης είναι θετική, τότε . Από το οποίο προκύπτει ότι .

Αυτή η εξίσωση δεν έχει ρίζες, αφού .
Άρα η αρχική εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα
.

Αλγεβρική Λύση

Αυτή η εξίσωση μπορεί εύκολα να «μετατραπεί» σε μια ορθολογική εξίσωση όγδοου βαθμού τετραγωνίζοντας και τα δύο μέρη της αρχικής εξίσωσης. Η αναζήτηση των ριζών της ορθολογικής εξίσωσης που προκύπτει είναι δύσκολη και είναι απαραίτητο να υπάρχει υψηλό βαθμόεπινοητικότητα για να γίνει η δουλειά. Επομένως, καλό είναι να γνωρίζετε έναν διαφορετικό τρόπο επίλυσης, λιγότερο παραδοσιακό. Για παράδειγμα, η αντικατάσταση που προτείνει ο I. F. Sharygin.

Ας βάλουμε , έπειτα

Ας μετατρέψουμε τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης :

Λαμβάνοντας υπόψη τους μετασχηματισμούς, η εξίσωση θα πάρει τη μορφή

.

Εισάγουμε μια αντικατάσταση, λοιπόν

.

Η δεύτερη ρίζα είναι περιττή, επομένως, και .

Εάν η ιδέα της επίλυσης της εξίσωσης δεν είναι γνωστή εκ των προτέρων , τότε η επίλυση με τον τυπικό τρόπο τετραγωνίζοντας και τα δύο μέρη της εξίσωσης είναι προβληματική, αφού το αποτέλεσμα είναι μια εξίσωση όγδοου βαθμού, της οποίας οι ρίζες είναι εξαιρετικά δύσκολο να βρεθούν. Η λύση που χρησιμοποιεί τριγωνομετρική αντικατάσταση φαίνεται δυσκίνητη. Μπορεί να είναι δύσκολο να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης, αν δεν παρατηρήσετε ότι είναι επαναλαμβανόμενη. Λύση την καθορισμένη εξίσωσηεμφανίζεται χρησιμοποιώντας τη συσκευή της άλγεβρας, οπότε μπορούμε να πούμε ότι η προτεινόμενη λύση συνδυάζεται. Σε αυτό, πληροφορίες από την άλγεβρα και την τριγωνομετρία συνεργάζονται για έναν στόχο - να βρουν μια λύση. Επίσης, η λύση αυτής της εξίσωσης απαιτεί προσεκτική εξέταση δύο περιπτώσεων. Η λύση αντικατάστασης είναι τεχνικά απλούστερη και πιο όμορφη από τη χρήση τριγωνομετρικής αντικατάστασης. Είναι επιθυμητό οι μαθητές να γνωρίζουν αυτή τη μέθοδο αντικατάστασης και να την εφαρμόζουν για την επίλυση προβλημάτων.
Τονίζουμε ότι η χρήση τριγωνομετρικής υποκατάστασης για την επίλυση προβλημάτων πρέπει να είναι συνειδητή και αιτιολογημένη. Συνιστάται η χρήση υποκατάστασης σε περιπτώσεις όπου η λύση με άλλο τρόπο είναι πιο δύσκολη ή και αδύνατη. Ας δώσουμε ένα ακόμη παράδειγμα, το οποίο, σε αντίθεση με το προηγούμενο, λύνεται ευκολότερα και πιο γρήγορα με τον τυπικό τρόπο.

	Α και τέμνονται κατά μήκος της ευθείας α.