Nurga kraadimõõt. Nurga radiaanmõõt

Nurga kraadimõõt. Nurga radiaanmõõt. Teisendage kraadid radiaanideks ja vastupidi.

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjal erijaos 555.
Neile, kes tugevalt "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga...")

Eelmises tunnis õppisime trigonomeetrilisel ringil nurkade lugemist. Õppis positiivseid ja negatiivseid nurki lugema. Sai aru, kuidas joonistada nurka, mis on suurem kui 360 kraadi. On aeg tegeleda nurkade mõõtmisega. Eriti numbriga "Pi", mis püüab meid keerulistes ülesannetes segadusse ajada, jah ...

Trigonomeetria standardülesanded numbriga "Pi" lahendatakse üsna hästi. Visuaalne mälu aitab. Kuid iga kõrvalekaldumine mallist - lööb kohapeal maha! Et mitte kukkuda - mõista vajalik. Mida me nüüd edukalt teeme. Mõnes mõttes – me saame kõigest aru!

Niisiis, mida kas nurgad loevad? AT koolikursus trigonomeetria kasutab kahte mõõdet: nurga mõõt ja nurga radiaanmõõt. Vaatame neid meetmeid. Ilma selleta pole trigonomeetrias mitte kusagil.

Nurga kraadimõõt.

Oleme kraadidega kuidagi harjunud. Geomeetria läbis vähemalt ... Jah, ja elus kohtame sageli näiteks fraasi "pööratud 180 kraadi". Kraad, lühidalt, lihtne asi ...

Jah? Vasta mulle siis mis on kraad? Mis kohe ei tööta? Midagi...

Kraadid leiutati iidses Babülonis. See oli kaua aega tagasi ... 40 sajandit tagasi ... Ja nad lihtsalt mõtlesid selle välja. Nad võtsid ja murdsid ringi 360-ks võrdsetes osades. 1 kraad on 1/360 ringist. Ja see ongi kõik. Saab jagada 100 tükiks. Või 1000 võrra. Aga nad murdsid selle 360 ​​peale. Muide, miks just 360 võrra? Miks on 360 parem kui 100? 100 tundub kuidagi ühtlasem olevat... Proovi sellele küsimusele vastata. Või nõrk vastu Vana Babülon?

Kuskil samal ajal Iidne Egiptus piinab teine ​​probleem. Mitu korda on ringi ümbermõõt suurem selle läbimõõdu pikkusest? Ja nii nad mõõtsid, ja nii ... Kõik osutus natuke rohkem kui kolm. Kuid kuidagi sai see karvas, ebaühtlane ... Aga nemad, egiptlased, pole selles süüdi. Pärast neid kannatasid nad veel 35 sajandit. Kuni nad lõpuks tõestasid, et ükskõik kui peeneks lõigatud ring võrdseteks tükkideks, sellistest tükkidest teha sile läbimõõdu pikkus on võimatu ... Põhimõtteliselt on see võimatu. Noh, mitu korda on ümbermõõt muidugi suurem kui läbimõõt. Umbes. 3,1415926... korda.

See on number "Pi". See on karvas, nii karvas. Pärast koma – lõpmatu arv numbreid ilma igasuguse järjekorrata... Selliseid numbreid nimetatakse irratsionaalseteks. See, muide, tähendab, et ringi võrdsetest tükkidest läbimõõt sileära voldi. Mitte kunagi.

Sest praktilise rakendamise Tavapäraselt jäetakse meelde ainult kaks kohta pärast koma. Pidage meeles:

Kuna oleme aru saanud, et ringi ümbermõõt on "Pi" korda suurem kui läbimõõt, on mõttekas meeles pidada ringi ümbermõõdu valem:

Kus L on ümbermõõt ja d on selle läbimõõt.

Kasulik geomeetrias.

Sest Üldharidus Lisan, et arv "Pi" ei istu ainult geomeetrias ... Matemaatika kõige erinevamates osades ja eriti tõenäosusteoorias ilmub see arv pidevalt! Iseenesest. Väljaspool meie soove. Nagu nii.

Aga tagasi kraadide juurde. Kas olete aru saanud, miks muistses Babülonis jagati ring 360 võrdseks osaks? Aga mitte näiteks 100? Mitte? OKEI. Ma annan teile versiooni. Vanadelt babüloonlastelt ei saa ju küsida... Ehituse või, ütleme, astronoomia jaoks on mugav ring jagada võrdseteks osadeks. Nüüd mõelge välja, milliste arvudega jaguvad täielikult 100 ja millised - 360? Ja millises versioonis need jagajad täielikult- rohkem? See jaotus on inimestele väga mugav. Aga...

Nagu selgus palju hiljem kui Vana-Babülonis, ei meeldi kõigile kraadid. Kõrgemale matemaatikale need ei meeldi... kõrgem matemaatika- daam on tõsine, loodusseaduste järgi korraldatud. Ja see daam teatab: "Täna lõhkusite ringi 360 osaks, homme jagate selle 100 osaks, ülehomme 245 osaks ... Ja mida ma peaksin tegema? Ei tõesti ..." Ma pidin kuuletuma. Loodust lollitada ei saa...

Pidin kasutusele võtma nurga mõõtmise, mis ei sõltu inimeste arusaamadest. Saage tuttavaks - radiaan!

Nurga radiaanmõõt.

Mis on radiaan? Radiaani definitsioon põhineb nagunii ringil. 1 radiaani nurk on nurk, mis lõikab kaare ringist, mille pikkus on ( L) on võrdne raadiuse pikkusega ( R). Vaatame pilte.

Nii väike nurk, seda pole peaaegu üldse ... Liigutame kursori pildi kohale (või puudutame tahvelarvutis pilti) ja näeme umbes ühte radiaan. L=R

Kas tunnete erinevust?

Üks radiaan on palju suurem kui üks kraad. Kui mitu korda?

Vaatame järgmist pilti. Millele joonistasin poolringi. Laiendatud nurk on loomulikult 180 ° suurune.

Ja nüüd lõikan selle poolringi radiaanideks! Hõljutame kursorit pildi kohal ja näeme, et 3 radiaani koos sabaga mahub 180 °.

Kes oskab arvata, mis see hobusesaba on!?

Jah! See saba on 0,1415926... Tere Pi, me pole sind veel unustanud!

Tõepoolest, 180 kraadis on 3,1415926 ... radiaani. Nagu võite ette kujutada, on kogu aeg 3.1415926 kirjutamine... ebamugav. Seetõttu kirjutavad nad selle lõpmatu arvu asemel alati lihtsalt:

Ja siin on number Internetis

on ebamugav kirjutada ... Seetõttu kirjutan tekstis selle nime järgi - "Pi". Ärge sattuge segadusse...

Nüüd on üsna mõttekas kirjutada ligikaudne võrdsus:

Või täpne võrdsus:

Määrake, mitu kraadi on ühes radiaanis. Kuidas? Lihtsalt! Kui 3,14 radiaanis on 180 kraadi, siis 1 radiaan on 3,14 korda vähem! See tähendab, et jagame esimese võrrandi (valem on ka võrrand!) 3,14-ga:

Seda suhet on kasulik meeles pidada. Ühes radiaanis on ligikaudu 60°. Trigonomeetrias tuleb sageli välja mõelda, olukorda hinnata. Siin aitavad teadmised palju.

Kuid selle teema põhioskus on kraadide teisendamine radiaanideks ja vastupidi.

Kui nurk on antud radiaanides numbriga "pi", on kõik väga lihtne. Teame, et "pi" radiaanid = 180°. Seega asendame "Pi" radiaanid - 180 °. Me saame nurga kraadides. Vähendame vähendatut ja vastus ongi valmis. Näiteks peame välja selgitama, kui palju kraadid nurgas "Pi"/2 radiaan? Siin me kirjutame:

Või eksootilisem väljend:

Lihtne, eks?

Pöördtõlge on veidi keerulisem. Aga mitte palju. Kui nurk on antud kraadides, peame välja selgitama, milline on üks kraad radiaanides, ja korrutama selle arvu kraadide arvuga. Mis on 1° radiaanides?

Vaatame valemit ja mõistame, et kui 180° = "Pi" radiaanid, siis 1° on 180 korda väiksem. Ehk siis jagame võrrandi (valem on ka võrrand!) 180-ga. "Pi" pole vaja esitada kui 3,14, see kirjutatakse niikuinii alati tähega. Saame, et üks kraad on võrdne:

See on kõik. Nurga radiaanides saamiseks korrutage kraadide arv selle väärtusega. Näiteks:

Või sarnaselt:

Nagu näete, rahulikus vestluses kõrvalepõikeid Selgus, et radiaanid on väga lihtsad. Jah, ja tõlge on probleemideta ... Ja "Pi" on täiesti talutav asi ... Kust siis segadus !?

Ma avaldan saladuse. Fakt on see, et trigonomeetrilistes funktsioonides kirjutatakse kraadide ikoon. On alati. Näiteks sin35°. See on siinus 35 kraadid . Ja radiaaniikoon ( rõõmus) pole kirjutatud! Ta on vihjatud. Kas haaras matemaatikute laiskus või midagi muud ... Kuid nad otsustasid mitte kirjutada. Kui siinuse sees pole ikoone - kotangent, siis nurk - radiaanides ! Näiteks cos3 on kolme koosinus radiaanid .

See toob kaasa arusaamatusi ... Inimene näeb "Pi" ja usub, et see on 180 °. Igal ajal ja igal pool. Muide, see töötab. Esialgu, samas kui näited on standardsed. Aga Pi on number! Arv 3,14 ei ole kraadid! See on "Pi" radiaanid = 180°!

Veel kord: "Pi" on arv! 3.14. Irratsionaalne, aga arv. Sama nagu 5 või 8. Näiteks võite teha umbes "Pi" samme. Kolm sammu ja natuke rohkem. Või osta "Pi" kilogrammi maiustusi. Kui haritud müüja vahele jääb...

"Pi" on arv! Mis, ma sain sulle selle fraasiga aru? Kas olete juba kõigest aru saanud? OKEI. Kontrollime. Kas oskate öelda, milline number on suurem?

Või mis on vähem?

See pärineb reast veidi ebastandardsetest küsimustest, mis võivad uimaseks ajada ...

Kui ka sina jäid stuuporisse, pidage meeles loitsu: "Pi" on arv! 3.14. Esimeses siinuses on selgelt näidatud, et nurk - kraadides! Seetõttu on võimatu "Pi" asendada 180 ° võrra! "Pi" kraadi on umbes 3,14 kraadi. Seetõttu võime kirjutada:

Teises siinuses pole sümboleid. Nii et seal - radiaanid! Siin töötab "Pi" asendamine 180 ° -ga üsna hästi. Teisendades radiaanid kraadideks, nagu ülalpool kirjutatud, saame:

Jääb üle neid kahte siinust võrrelda. Mida. unustasid kuidas? Muidugi trigonomeetrilise ringi abil! Joonistame ringi, joonistame ligikaudsed nurgad 60° ja 1,05°. Vaatame nende nurkade siinusi. Ühesõnaga, kõik, nagu trigonomeetrilise ringi teema lõpus, on maalitud. Ringil (isegi kõveral!) on see selgelt näha sin60° oluliselt rohkem kui sin1,05°.

Täpselt sama teeme koosinustega. Ringile joonistame nurgad umbes 4 kraadid ja 4 radiaan(pidage meeles, mis on ligikaudu 1 radiaan?). Ring ütleb kõik! Muidugi on cos4 väiksem kui cos4°.

Harjutame nurgamõõtmiste käsitsemist.

Teisendage need nurgad kraadidest radiaanideks:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Need väärtused peaksid olema radiaanides (teises järjekorras!)

0

Muide, vastused olen spetsiaalselt kahele reale välja märkinud. Noh, mõtleme välja, millised nurgad on esimesel real? Kas kraadides või radiaanides?

Jah! Need on koordinaatsüsteemi teljed! Kui vaadata trigonomeetrilist ringi, siis nende väärtuste juures nurga liikuvat külge sobib otse teljele. Neid väärtusi tuleb irooniliselt teada. Ja ma märkisin nurga 0 kraadi (0 radiaani) mitte asjata. Ja siis mõned ei leia seda nurka ringil kuidagi üles ... Ja vastavalt sellele lähevad nad segadusse nulli trigonomeetrilistes funktsioonides ... Teine asi on see, et liikuva külje asukoht null kraadi juures ühtib positsiooniga 360 °, nii et kokkusattumused ringil on kogu aeg kõrval.

Teisel real on ka erinurgad... Need on 30°, 45° ja 60°. Ja mis on neis nii erilist? Ei midagi erilist. Ainus erinevus nende nurkade ja kõigi teiste vahel on see, et peaksite nende nurkade kohta teadma. kõik. Ja kus need asuvad ja millised on nende nurkade trigonomeetrilised funktsioonid. Ütleme väärtus sin100° sa ei pea teadma. AGA sin45°- palun olge lahke! Need on kohustuslikud teadmised, ilma milleta pole trigonomeetrias midagi peale hakata... Aga sellest lähemalt järgmises tunnis.

Seni jätkame harjutamist. Teisendage need nurgad radiaanidest kraadideks:

Peaksite saama sellised tulemused (segaduses):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Juhtus? Siis võime seda eeldada kraadide teisendamine radiaanideks ja vastupidi- pole enam teie probleem.) Kuid nurkade tõlkimine on esimene samm trigonomeetria mõistmiseks. Samas kohas tuleb veel töötada siinuste-koosinustega. Jah, ja puutujatega, ka kotangentidega ...

Teine võimas samm on võimalus määrata mis tahes nurga asukoht trigonomeetriline ring. Nii kraadides kui radiaanides. Selle oskuse kohta vihjan teile igavalt kogu trigonomeetrias, jah ...) Kui teate kõike (või arvate, et teate kõike) trigonomeetrilisest ringist ja nurkade loendamisest trigonomeetrilisel ringil, saate seda kontrollida välja. Lahendage need lihtsad ülesanded:

1. Millisesse veerandisse nurgad langevad:

45°, 175°, 355°, 91°, 355°?

Kergesti? Jätkame:

2. Millisesse veerandisse langevad nurgad:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Samuti pole probleemi? No vaata...)

3. Võite paigutada nurgad neljandikku:

Kas sa suutsid? Noh, sa annad ..)

4. Millistele telgedele nurk langeb:

ja nurk:

Kas see on ka lihtne? Hm...)

5. Millisesse veerandisse nurgad langevad:

Ja see töötas!? No siis ma tõesti ei tea...)

6. Määrake, millisesse veerandisse nurgad langevad:

1, 2, 3 ja 20 radiaani.

Annan vastuse ainult viimase ülesande viimasele küsimusele (see on veidi keeruline). Esimesse kvartalisse langeb nurk 20 radiaani.

Ülejäänud vastuseid ma ahnusest ei anna.) Lihtsalt kui sa ei otsustanud midagi kahtlema selle tulemusena või kulutatud ülesandele nr 4 rohkem kui 10 sekundit oled ringis halvasti orienteeritud. See on teie probleem kogu trigonomeetrias. Parem on sellest (probleemist, mitte trigonomeetriast!) kohe lahti saada. Seda saab teha teemas: Praktiline töö trigonomeetrilise ringiga lõigus 555.

See räägib, kuidas selliseid ülesandeid lihtsalt ja õigesti lahendada. No need ülesanded on muidugi lahendatud. Ja neljas ülesanne lahendati 10 sekundiga. Jah, nii otsustasin, et igaüks saab!

Kui olete oma vastustes täiesti kindel ja teid ei huvita lihtsad ja tõrgeteta radiaaniga töötamise viisid, ei saa te külastada numbrit 555. Ma ei nõua.)

hea arusaam- piisav hea põhjus edasi liikuma!)

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine - huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Matemaatikud üle kogu maailma söövad iga aasta 14. märtsil tüki kooki – see on ju kõige kuulsama irratsionaalse arvu Pi päev. See kuupäev on otseselt seotud numbriga, mille esimesed numbrid on 3,14. Pi on ringi ümbermõõdu ja selle läbimõõdu suhe. Kuna see on irratsionaalne, pole seda võimalik murdena kirjutada. See on lõputult pikk arv. See avastati tuhandeid aastaid tagasi ja sellest ajast alates on seda pidevalt uuritud, kuid kas Pi-l on jäänud saladusi? Alates iidne päritolu kuni määramatu tulevikuni on siin mõned kõige huvitavamad faktid pi kohta.

Pi meeldejätmine

Arvude meeldejätmise rekord pärast koma kuulub Indiast pärit Rajveer Meenale, kes suutis meelde jätta 70 000 numbrit - rekordi püstitas ta 21. märtsil 2015. aastal. Enne seda oli rekordiomanik hiinlane Chao Lu, kes suutis pähe õppida 67 890 numbrit – see rekord sündis 2005. aastal. Mitteametlik rekordiomanik on Akira Haraguchi, kes salvestas 2005. aastal oma 100 000 numbri korduse videosse ja postitas hiljuti video, kus tal õnnestub meelde jätta 117 000 numbrit. Ametlik rekord kujuneks ainult siis, kui see video oleks salvestatud Guinnessi rekordite raamatu esindaja juuresolekul ja ilma kinnituseta jääb see ainult muljetavaldav fakt, kuid seda ei peeta saavutuseks. Matemaatikahuvilistele meeldib arv Pi pähe õppida. Paljud inimesed kasutavad erinevaid mnemotehnikaid, näiteks luulet, kus iga sõna tähtede arv on sama kui pi. Igas keeles on sellistest fraasidest oma variandid, mis aitavad meeles pidada nii paar esimest numbrit kui ka terve sada.

On olemas pii keel

Kirjandusest lummatud matemaatikud leiutasid murde, milles tähtede arv kõigis sõnades vastab Pi numbritele täpses järjekorras. Kirjanik Mike Keith kirjutas isegi raamatu, Not a Wake, mis on täielikult kirjutatud pii keeles. Sellise loovuse entusiastid kirjutavad oma teoseid täielikult tähtede arvu ja numbrite tähenduse järgi. Sellel pole praktilist rakendust, kuid see on entusiastlike teadlaste ringkondades üsna tavaline ja tuntud nähtus.

Eksponentsiaalne kasv

Pi on lõpmatu arv, nii et inimesed ei suuda definitsiooni järgi kunagi selle arvu täpseid numbreid välja mõelda. Kuid pärast koma olevate numbrite arv on pärast Pi esimest kasutamist oluliselt suurenenud. Isegi babüloonlased kasutasid seda, kuid neile piisas murdosast kolmest ja ühest kaheksandikust. hiinlased ja loojad Vana Testament ja piirdus täielikult kolmega. Aastaks 1665 oli Sir Isaac Newton välja arvutanud 16 pi numbrit. Aastaks 1719 prantsuse matemaatik Tom Fante de Lagny arvutas välja 127 numbrit. Arvutite tulek on radikaalselt parandanud inimese teadmisi Pi kohta. Aastatel 1949–1967 number inimesele teada arvud tõusid hüppeliselt 2037-lt 500 000-ni. Mitte nii kaua aega tagasi suutis Šveitsi teadlane Peter Trueb välja arvutada 2,24 triljonit Pi numbrit! Selleks kulus 105 päeva. Muidugi pole see piir. Tõenäoliselt on tehnoloogia arenguga võimalik paigaldada veelgi täpne arv- kuna Pi on lõpmatu, siis täpsusel pole lihtsalt piire ja seda saavad piirata ainult arvutitehnoloogia tehnilised omadused.

Pi arvutamine käsitsi

Kui soovid numbrit ise leida, võid kasutada vanaaegset tehnikat - vaja läheb joonlauda, ​​purki ja nööri, kasutada saab ka nurgamõõtjat ja pliiatsit. Purgi kasutamise negatiivne külg on see, et see peab olema ümmargune ja täpsuse määrab see, kui hästi inimene suudab köie ümber selle mässida. Protraktoriga on võimalik ringjoont joonistada, kuid seegi nõuab oskust ja täpsust, kuna ebaühtlane ring võib su mõõte tõsiselt moonutada. Rohkem täpne meetod hõlmab geomeetria kasutamist. Jagage ring paljudeks segmentideks, nagu pitsa viilud, ja seejärel arvutage sirge pikkus, mis muudaks iga segmendi võrdhaarne kolmnurk. Külgede summa annab ligikaudse arvu pi. Mida rohkem segmente kasutate, seda täpsem on arv. Loomulikult ei saa te oma arvutustes läheneda arvuti tulemustele, ometi need lihtsad katsed võimaldab teil täpsemalt mõista, mis on arv pi üldiselt ja kuidas seda matemaatikas kasutatakse.

Pi avastamine

Muistsed babüloonlased teadsid numbri Pi olemasolust juba neli tuhat aastat tagasi. Babüloonia tahvlid arvutavad Pi väärtuseks 3,125 ja Egiptuse matemaatiline papüürus sisaldab arvu 3,1605. Piiblis on arv Pi antud vananenud pikkusega - küünartes ja kreeka matemaatik Archimedes kasutas Pi kirjeldamiseks Pythagorase teoreemi, kolmnurga külgede pikkuse geomeetrilist suhet ja pindala. figuurid ringide sees ja väljaspool. Seega võib kindlalt väita, et Pi on üks iidsemaid matemaatilised mõisted siiski täpne nimi antud number ja ilmus suhteliselt hiljuti.

Uus pilt Pi kohta

Juba enne, kui pi oli seotud ringidega, oli matemaatikutel juba palju võimalusi selle arvu isegi nimetamiseks. Näiteks võib vanadest matemaatikaõpikutest leida ladinakeelse fraasi, mida võib umbkaudu tõlkida kui "suurust, mis näitab pikkust, kui läbimõõt korrutada sellega". Irratsionaalne arv sai kuulsaks, kui Šveitsi teadlane Leonhard Euler kasutas seda oma trigonomeetriaalases töös 1737. aastal. Kreeka pii sümbolit siiski ei kasutatud – see juhtus vaid vähemtuntud matemaatiku William Jonesi raamatus. Ta kasutas seda juba 1706. aastal, kuid see oli pikka aega tähelepanuta jäetud. Aja jooksul võtsid teadlased selle nime omaks ja nüüd on see nime kõige kuulsam versioon, kuigi varem nimetati seda ka Ludolfi numbriks.

Kas pi on normaalne?

Arv pi on kindlasti kummaline, kuid kuidas see järgib tavalisi matemaatilisi seadusi? Teadlased on juba lahendanud palju sellega seotud küsimusi irratsionaalne arv kuid mõned saladused jäävad. Näiteks pole teada, kui sageli kõiki numbreid kasutatakse – numbreid 0 kuni 9 tuleks kasutada võrdses vahekorras. Statistikat saab aga jälgida juba esimese triljoni numbri kohta, kuid kuna arv on lõpmatu, ei ole võimalik midagi kindlalt tõestada. On ka teisi probleeme, mis teadlastele endiselt tähelepanuta jäävad. On täiesti võimalik, et edasine areng teadus aitab neile valgust heita, kuid edasi Sel hetkel see jääb inimese intellektist väljapoole.

Pi kõlab jumalikult

Teadlased ei suuda vastata mõnele küsimusele numbri Pi kohta, kuid igal aastal mõistavad nad selle olemust paremini. Juba XVIII sajandil tõestati selle arvu irratsionaalsust. Lisaks on tõestatud, et arv on transtsendentaalne. See tähendab ei teatud valem, mis võimaldaks ratsionaalsete arvude abil arvutada pii.

Rahulolematus Piiga

Paljud matemaatikud on Pi-sse lihtsalt armunud, kuid on ka neid, kes usuvad, et neil numbritel pole erilist tähtsust. Lisaks väidavad nad, et Pi-st kaks korda suuremat numbrit Tau on mugavam kasutada irratsionaalsena. Tau näitab ümbermõõdu ja raadiuse suhet, mis mõne arvates esindab loogilisemat arvutusmeetodit. Midagi aga üheselt defineerida see küsimus võimatu ja ühel ja teisel numbril on alati toetajaid, mõlemal meetodil on õigus elule, nii et see on lihtsalt huvitav fakt, ja see pole põhjust arvata, et te ei peaks kasutama numbrit Pi.

Väärtuste tabel trigonomeetrilised funktsioonid koostatud nurkade 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 ja 360 jaoks kraadid ja nende vastavad nurgad sisse radiaanid. Alates trigonomeetrilised funktsioonid tabel näitab siinus, koosinus, puutuja, kootangens, sekant ja kosekant. Lahenduse mugavuse huvides kooli näited väärtused trigonomeetrilised funktsioonid tabelis on kirjutatud murdosana, säilitades arvude ruutjuure eraldamise märgid, mis aitab väga sageli vähendada keerulisi matemaatilisi avaldisi. Sest puutuja ja kotangent mõnda nurki ei saa määrata. Väärtuste pärast puutuja ja kotangent sellised nurgad trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabelis on kriips. See on üldiselt aktsepteeritud puutuja ja kotangent sellised nurgad võrdub lõpmatusega. Eraldi lehel on trigonomeetriliste funktsioonide vähendamise valemid.

Trigonomeetrilise funktsiooni siinuse väärtuste tabel näitab väärtusi järgmiste nurkade jaoks: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 in kraadi mõõt, mis vastab sin 0 pi, sin pi / 6, sin pi / 4, sin pi / 3, sin pi / 2, sin pi, sin 3 pi / 2, sin 2 pi nurkade radiaanis. koolilaud siinused.

Trigonomeetrilise koosinusfunktsiooni jaoks on tabelis näidatud järgmiste nurkade väärtused: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 kraadi mõõtes, mis vastab cos 0 pi, cos pi kuni 6, cos pi 4, cos pi 3, cos pi 2, cos pi, cos 3 pi 2, cos 2 pi nurkade radiaanis. Kooli koosinuste tabel.

Trigonomeetrilise funktsiooni puutuja trigonomeetriline tabel annab väärtused järgmiste nurkade jaoks: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 kraadimõõtudes, mis vastab tg 0 pi, tg pi / 6, tg pi / 4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi nurkade radiaanis. Väärtuste järgimine puutuja trigonomeetrilisi funktsioone ei määratleta tg 90, tg 270, tg pi / 2, tg 3 pi / 2 ja neid peetakse võrdseks lõpmatusega.

Trigonomeetrilises tabelis oleva trigonomeetrilise funktsiooni kotangensi jaoks on antud järgmiste nurkade väärtused: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 kraadimõõtes, mis vastab ctg pi / 6, ctg pi / 4, ctg pi / 3, tg pi / 2, tg 3 pi/2 nurkade radiaanis. Trigonomeetriliste kotangentsete funktsioonide järgmisi väärtusi ei määratleta ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi ja neid loetakse võrdseks lõpmatusega.

Trigonomeetriliste funktsioonide sekant ja kosekant väärtused on antud samade nurkade jaoks kraadides ja radiaanides nagu siinus, koosinus, puutuja, kotangens.

Mittestandardsete nurkade trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabel näitab siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtusi nurkade jaoks kraadides 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 kraadi ja radiaanides pi/12 , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 radiaani. Trigonomeetriliste funktsioonide väärtused on väljendatud murdude ja ruutjuurtena, et lihtsustada murdude vähendamist koolinäidetes.

Veel kolm trigonomeetria koletist. Esimene on puutuja 1,5 kraadi ja pool ehk pi jagatud 120-ga. Teine on pi koosinus jagatud 240-ga, pi/240. Pikim on pi koosinus jagatud 17-ga, pi/17.

Siinus- ja koosinusfunktsioonide väärtuste trigonomeetriline ring kujutab visuaalselt siinuse ja koosinuse märke sõltuvalt nurga suurusest. Eriti blondide puhul on koosinusväärtused rohelise kriipsuga alla joonitud, et neid vähem segadusse ajada. Väga selgelt on välja toodud ka kraadide teisendamine radiaanideks, kui radiaane väljendatakse pi kaudu.

See trigonomeetriline tabel esitab siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtused nurkade 0 null kuni 90 üheksakümmend kraadi jaoks ühe kraadiste intervallidega. Esimese neljakümne viie kraadi puhul tuleb vaadata trigonomeetriliste funktsioonide nimetusi tabeli ülaosas. Esimene veerg sisaldab kraadi, siinuste, koosinuste, puutujate ja kotangentide väärtused on kirjutatud järgmisesse nelja veergu.

Nurkade puhul nelikümmend viis kraadi kuni üheksakümmend kraadi on trigonomeetriliste funktsioonide nimed kirjutatud tabeli allossa. Viimane veerg sisaldab kraadi, koosinuste, siinuste, kotangentide ja puutujate väärtused on kirjutatud eelmises neljas veerus. Peaksite olema ettevaatlik, sest allosas trigonomeetriline tabel trigonomeetriliste funktsioonide nimed erinevad tabeli ülaosas olevatest nimedest. Siinused ja koosinused on vahetatud, nagu puutuja ja kotangens. See on tingitud trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste sümmeetriast.

Trigonomeetriliste funktsioonide märgid on näidatud ülaltoodud joonisel. siinusel on positiivsed väärtused 0 kuni 180 kraadi või 0 kuni pi. Negatiivsed väärtused siinus on 180 kuni 360 kraadi või pi kuni 2 pi. Koosinusväärtused on positiivsed vahemikus 0 kuni 90 ja 270 kuni 360 kraadi või 0 kuni 1/2 pi ja 3/2 kuni 2 pi. Puutuja ja kotangensi positiivsed väärtused on 0 kuni 90 kraadi ja 180 kuni 270 kraadi, mis vastavad väärtustele 0 kuni 1/2 pi ja pi kuni 3/2 pi. Negatiivne puutuja ja kotangens on 90 kuni 180 kraadi ja 270 kuni 360 kraadi või 1/2 pi kuni pi ja 3/2 pi kuni 2 pi. Trigonomeetriliste funktsioonide märkide määramisel nurkadele, mis on suuremad kui 360 kraadi või 2 pi, tuleks kasutada nende funktsioonide perioodilisuse omadusi.

Trigonomeetrilised funktsioonid siinus, puutuja ja kotangens on paaritu funktsioonid. Nende funktsioonide väärtused negatiivsete nurkade jaoks on negatiivsed. Koosinus on ühtlane trigonomeetriline funktsioon – koosinusväärtus negatiivne nurk saab olema positiivne. Trigonomeetriliste funktsioonide korrutamisel ja jagamisel tuleb järgida märkide reegleid.

Kui palju pi on 2/2 juur?- See juhtub erineval viisil (vt pilti). Peate teadma, milline trigonomeetriline funktsioon võrdub kahe juurega, mis on jagatud kahega.

Kui teile postitus meeldis ja soovite rohkem teada saada, siis tegelen teiste materjalidega.

cos pi jagatud 2-ga

Avaleht > Kataloog > Matemaatilised valemid.

Matemaatilised valemid.

Teisenda radiaanid kraadideks.
A d = A r * 180 / pi

Teisenda kraadid radiaanideks.
A r = A d * pi / 180
Kus A d on nurk kraadides, A r on nurk radiaanides.

Ümbermõõt.
L = 2 * pi * R

Ringjoone kaare pikkus.
L=A*R

Kolmnurga pindala.

p=(a+b+c)/2 – poolperimeeter.

Ringi pindala.
S = pi * R 2

Sektori piirkond.
S \u003d L d * R / 2 \u003d (A * R 2) / 2

Kera pindala.
S = 4 * pi * R 2

S = 2 * Pi * R * H

Kus S on silindri külgpinna pindala, R on silindri põhja raadius, H on silindri kõrgus.

S = pi * R * L

S = pi * R * L + pi * R 2

Palli maht.
V = 4/3 * pi * R 3

Silindri maht.
V = pi * R 2 * H

Koonuse maht.

Postitatud: 15.01.13
Värskendatud: 15.11.2014
Vaatamisi kokku: 10754
täna: 1

Avaleht > Kataloog > Matemaatilised valemid.

Egor

Tere õhtust! Sa küsisid väga huvi Küsi loodan, et saame teid aidata.

Kuidas lahendada C1. 2. õppetund

Sina ja mina peame lahendama järgmise probleemi: leidke cos pi jagatud 2-ga.
Kõige sagedamini on selliste probleemide lahendamiseks vaja määrata koosinus- või siinusindikaatorid. Nurkade puhul 0 kuni 360 kraadi on peaaegu kõik cos või sin väärtused hõlpsasti leitavad vastavatelt ja levinud plaatidelt, näiteks järgmistelt:

Kuid meil ei ole siinus (patt), vaid koosinus. Kõigepealt mõistame, mis on koosinus. Cos (koosinus) on üks trigonomeetrilistest funktsioonidest. Ägeda koosinuse arvutamiseks täisnurkne kolmnurk Peate teadma kaasatud nurga jala ja hüpotenuusi suhet. Pi koosinuse jagatuna 2-ga saab hõlpsasti arvutada trigonomeetriline valem, mis viitab standardvalemid trigonomeetria. Aga kui me räägime koosinus pi väärtusest, mis on jagatud 2-ga, siis kasutame selleks tabelit, mida oleme juba korduvalt maininud:

Edu teile edaspidistes sellistes ettevõtmistes!
Vastus:

Avaleht > Kataloog > Matemaatilised valemid.

Matemaatilised valemid.

Teisenda radiaanid kraadideks.
A d = A r * 180 / pi

Teisenda kraadid radiaanideks.
A r = A d * pi / 180
Kus A d on nurk kraadides, A r on nurk radiaanides.

Ümbermõõt.
L = 2 * pi * R
Kus L on ümbermõõt, R on ringi raadius.

Ringjoone kaare pikkus.
L=A*R
Kus L on ringjoone kaare pikkus, R on ringi raadius, A on kesknurk, väljendatuna radiaanides
Ringi A = 2*pi (360 kraadi) korral saame L = 2*pi*R.

Kolmnurga pindala.
S = (p * (p-a) * (p-b) * (p-c)) 1/2
kus S on kolmnurga pindala, a, b, c on külgede pikkused,
p=(a+b+c)/2 – poolperimeeter.

Ringi pindala.
S = pi * R 2
Kus S on ringi pindala, R on ringi raadius.

Sektori piirkond.
S \u003d L d * R / 2 \u003d (A * R 2) / 2
Kus S on sektori pindala, R on ringi raadius, L d on kaare pikkus.

Kera pindala.
S = 4 * pi * R 2
Kus S on kuuli pindala, R on kuuli raadius.

Silindri külgpinna pindala.
S = 2 * Pi * R * H
Kus S on silindri külgpinna pindala, R on silindri põhja raadius, H on silindri kõrgus.

Ruut täispind silinder.
S = 2 * pi * R * H + 2 * pi * R 2
Kus S on silindri külgpinna pindala, R on silindri põhja raadius, H on silindri kõrgus.

Koonuse külgpinna pindala.
S = pi * R * L
Kus S on koonuse külgpinna pindala, R on koonuse aluse raadius, L on koonuse generaatori pikkus.

Koonuse kogupindala.
S = pi * R * L + pi * R 2
Kus S on koonuse täispinna pindala, R on koonuse aluse raadius, L on koonuse generaatori pikkus.

Palli maht.
V = 4/3 * pi * R 3
Kus V on kuuli ruumala, siis R on kuuli raadius.

Silindri maht.
V = pi * R 2 * H
Kus V on silindri maht, R on silindri põhja raadius, H on silindri kõrgus.

Koonuse maht.
V = pi * R * L = pi * R * H/cos (A/2) = pi * R * R/sin (A/2)
Kus V on koonuse ruumala, R on koonuse aluse raadius, L on koonuse generaatori pikkus, A on nurk koonuse tipus.

Postitatud: 15.01.13
Värskendatud: 15.11.2014
Vaatamisi kokku: 10742
täna: 1

Avaleht > Kataloog > Matemaatilised valemid.

Egor
Krona aku klemmidele saate juhtme kinnitada meditsiinilise nõela korgist ära lõigatud toruga.

Täna on sünnipäev numbril Pi, mida Ameerika matemaatikute eestvõttel tähistatakse 14. märtsil kell 1 tund ja 59 minutit pärastlõunal. Selle põhjuseks on Pi täpsem väärtus: me kõik oleme harjunud seda konstanti arvestama 3,14-ks, kuid arvu võib jätkata nii: 3, 14159... Tõlgides selle kalendrikuupäevaks, saame 03.14, 1: 59.

Fotod: AIF / Nadežda Uvarova

Lõuna-Uurali Riikliku Ülikooli matemaatilise ja funktsionaalanalüüsi osakonna professor Vladimir Zalyapin ütleb, et 22. juulit tuleks siiski pidada pi-päevaks, sest Euroopa kuupäevavormingus on see päev kirjutatud 22/7 ja selle väärtus on see murd on ligikaudu võrdne Pi väärtusega.

"Ringi ümbermõõdu ja ringi läbimõõdu suhte andva arvu ajalugu ulatub iidsetesse aegadesse," ütleb Zalyapin. — Juba sumerid ja babüloonlased teadsid, et see suhe ei sõltu ringi läbimõõdust ja on konstantne. Tekstidest võib leida ühe esimese arvu Pi mainimise Egiptuse kirjatundja Ahmes(umbes 1650 eKr). Selle salapärase koguse kujunemisele aitasid kaasa iidsed kreeklased, kes egiptlastelt palju laenasid. Legendi järgi, Archimedes oli arvutustest nii haaratud, et ta ei märganud, kuidas Rooma sõdurid ta võtsid sünnilinn Sürakuusa. Kui Rooma sõdur talle lähenes, hüüdis Archimedes kreeka keeles: "Ära puuduta mu ringe!" Vastuseks pussitas sõdur teda mõõgaga.

Platon sai oma aja kohta üsna täpse pi väärtuse - 3,146. Ludolf van Zeilen kulutatud enamus tema elust esimese 36 numbri arvutamisel pärast koma pi ja need graveeriti tema hauakivile pärast surma.

Irratsionaalne ja ebanormaalne

Professori sõnul määras uute kümnendkohtade arvutamise püüdlemise alati soov saada selle arvu täpne väärtus. Eeldati, et arv Pi on ratsionaalne ja seetõttu saab seda väljendada lihtmurruna. Ja see on põhimõtteliselt vale!

Pi on populaarne ka seetõttu, et see on müstiline. Alates iidsetest aegadest on olnud konstantse kummardajate religioon. Välja arvatud traditsiooniline tähendus Pi - matemaatiline konstant (3,1415 ...), mis väljendab ringi ümbermõõdu ja selle läbimõõdu suhet, arvul on palju muid väärtusi. Sellised faktid on uudishimulikud. Mõõtmete mõõtmise protsessis Suur püramiid Gizas selgus, et selle kõrguse ja aluse perimeetri suhe on sama kui ringi raadiuse ja pikkuse suhe, see tähendab ½ pi.

Kui arvutada Maa ekvaatori pikkus Pi abil üheksanda kümnendkoha täpsusega, on arvutusviga vaid umbes 6 mm. Piisab kolmkümmend üheksa kohta pärast koma, et arvutada teadaolevat numbrit ümbritseva ringi ümbermõõt. kosmoseobjektid Universumis, veaga, mis ei ole suurem kui vesinikuaatomi raadius!

Pi uurimisega tegeletakse muu hulgas matemaatiline analüüs. Fotod: AIF / Nadežda Uvarova

Kaos numbrites

Matemaatikaprofessori sõnul oli 1767. a Lambert tuvastas arvu Pi irratsionaalsuse, st võimatuse esitada seda kahe täisarvu suhtena. See tähendab, et pi kümnendnumbrite jada on arvudes kehastatud kaos. Teisisõnu, kümnendkohtade "saba" sisaldab mis tahes arvu, numbrite jada, mis tahes tekste, mis olid, on ja jäävad, kuid seda teavet pole võimalik välja võtta!

"Pi täpset väärtust on võimatu teada," jätkab Vladimir Iljitš. Kuid neid katseid ei hüljata. 1991. aastal Tšudnovski saavutas konstandi uued 2260000000 kümnendkoha numbrit ja 1994. aastal - 4044000000. Pärast seda kasvas arvu Pi õigete numbrite arv laviinina.

Hiina mehele kuulub pii päheõppimise maailmarekord Liu Chao, kes suutis vigadeta meelde jätta 67890 komakohta ja need 24 tunni ja 4 minuti jooksul taasesitada.

"Kuldse lõigu" kohta

Muide, seost "pi" ja teise hämmastava suuruse - kuldlõike - vahel pole tegelikult tõestatud. Inimesed on juba ammu märganud, et "kuldne" proportsioon - see on ka Phi arv - ja arv Pi, mis on jagatud kahega, erinevad üksteisest vähem kui 3% (1,61803398... ja 1,57079632...). Kuid matemaatika jaoks on need kolm protsenti liiga olulised erinevused, et neid väärtusi identseteks pidada. Samamoodi võime öelda, et arv Pi ja arv Phi on teise tuntud konstandi - Euleri arvu - sugulased, kuna selle juur on ligi poole Pi arvust. Pi üks sekund on 1,5708, Phi on 1,6180, E juur on 1,6487.

See on vaid osa Pi tähendusest. Foto: ekraanipilt

Pi sünnipäev

Lõuna-Uuralis riigiülikool Constanti sünnipäeva tähistavad kõik õpetajad ja matemaatikaõpilased. See on alati nii olnud – ei saa öelda, et huvi tekkis ainult vastu viimased aastad. Numbrit 3.14 tervitatakse lausa erilise pühadekontserdiga!

See artikkel on kogunud siinuste, koosinuste, puutujate ja kotangentide tabelid. Esiteks esitame trigonomeetriliste funktsioonide põhiväärtuste tabeli, st nurkade 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 kraadi siinuste, koosinuste, puutujate ja kotangentide tabeli ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radiaan). Pärast seda anname siinuste ja koosinuste tabeli, samuti V. M. Bradise puutujate ja kotangentide tabeli ning näitame, kuidas neid tabeleid trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste leidmisel kasutada.

Leheküljel navigeerimine.

Siinuste, koosinuste, puutujate ja kotangentide tabel nurkadele 0, 30, 45, 60, 90, ... kraadi

Bibliograafia.

• Algebra: Proc. 9 raku jaoks. keskm. kool / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teljakovski.- M.: Valgustus, 1990.- 272 lk.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra ja analüüsi algus: Proc. 10-11 raku jaoks. keskm. kool - 3. väljaanne - M.: Valgustus, 1993. - 351 lk.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra ja analüüsi algus: Proc. 10-11 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn jt; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. tr.- M.: Valgustus, 2004.- 384 lk.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse kandideerijatele): Proc. abiraha.- M.; Kõrgem kool, 1984.-351 lk, ill.
• Bradis V.M. Neljakohalised matemaatilised tabelid: Üldhariduse jaoks. õpik asutused. - 2. väljaanne - M.: Bustard, 1999.- 96 lk.: ill. ISBN 5-7107-2667-2