Leiame 3x funktsiooni tuletise. Leia tuletis: algoritm ja lahendusnäited
- Eksponent- ja logaritmfunktsioonide tuletiste tabel
Lihtfunktsioonide tuletised
1. Arvu tuletis on nullс´ = 0
Näide:
5' = 0
Selgitus:
Tuletis näitab kiirust, millega funktsiooni väärtus muutub argumendi muutumisel. Kuna arv ei muutu ühelgi tingimusel, on selle muutumise kiirus alati null.
2. Muutuja tuletis võrdne ühega
x' = 1
Selgitus:
Iga argumendi (x) ühe võrra suurendamisega suureneb funktsiooni väärtus (arvutustulemus) sama palju. Seega on funktsiooni y = x väärtuse muutumise kiirus täpselt võrdne argumendi väärtuse muutumise kiirusega.
3. Muutuja ja teguri tuletis on võrdne selle teguriga
сx´ = с
Näide:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Selgitus:
AT sel juhul, iga kord, kui funktsiooni argument muutub ( X) selle väärtus (y) kasvab sisse Koosüks kord. Seega on funktsiooni väärtuse muutumise määr argumendi muutumise kiiruse suhtes täpselt võrdne väärtusega Koos.
Kust see järeldub
(cx + b)" = c
st diferentsiaal lineaarne funktsioon y=kx+b võrdub sirge kaldega (k).
4. Muutuja moodultuletis on võrdne selle muutuja ja tema mooduli jagatisega
|x|"= x / |x| eeldusel, et x ≠ 0
Selgitus:
Kuna muutuja tuletis (vt valem 2) on võrdne ühega, siis mooduli tuletis erineb ainult selle poolest, et funktsiooni muutumise kiiruse väärtus muutub lähtepunkti ületamisel vastupidiseks (proovige joonistada graafik funktsiooni y = |x| ja vaadake ise. See on täpselt väärtus ja tagastab avaldise x / |x| Kui x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - üks. See tähendab, kell negatiivsed väärtused muutuja x iga argumendi muutumise suurenemisega väheneb funktsiooni väärtus täpselt sama väärtuse võrra ja positiivsete puhul vastupidi, suureneb, kuid täpselt sama väärtuse võrra.
5. Muutuja võimsustuletis on võrdne selle võimsuse arvu ja võimsuse muutuja korrutisega, vähendatuna ühe võrra
(x c)"= cx c-1 tingimusel, et x c ja cx c-1 on defineeritud ja c ≠ 0
Näide:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Valemi meeldejätmiseks:
Võtke kordajaks muutuja "alla" eksponent ja seejärel vähendage eksponenti ennast ühe võrra. Näiteks x 2 puhul oli kaks x-st ees ja siis andis vähendatud võimsus (2-1 = 1) meile lihtsalt 2x. Sama juhtus ka x 3 puhul - alandame kolmikut, vähendame seda ühe võrra ja kuubi asemel on ruut, see tähendab 3x 2 . Natuke "ebateaduslik", kuid väga lihtne meelde jätta.
6.Murdtuletis 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Näide:
Kuna murdosa saab esitada kui tõstmist kuni negatiivne aste
(1/x)" = (x -1)" , siis saate rakendada tuletiste tabeli 5. reegli valemit
(x -1)" = -1x -2 = -1 / x 2
7. Murdtuletis suvalise astme muutujaga nimetajas
(1/x c)" = - c / x c+1
Näide:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. juurtuletis(tuletis muutujast all ruutjuur)
(√x)" = 1 / (2√x) või 1/2 x -1/2
Näide:
(√x)" = (x 1/2)", et saaksite rakendada 5. reegli valemit
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)
9. Suvalise astme juure all oleva muutuja tuletis
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)
Kui järgime definitsiooni, siis funktsiooni tuletis punktis on funktsiooni Δ juurdekasvu suhte piir y argumendi Δ juurdekasvuni x:
Kõik näib olevat selge. Kuid proovige arvutada selle valemiga, ütleme, funktsiooni tuletis f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x patt x. Kui teete kõike definitsiooni järgi, siis pärast paari lehekülge arvutusi jääte lihtsalt magama. Seetõttu on lihtsamaid ja tõhusamaid viise.
Alustuseks märgime, et nn elementaarfunktsioone saab eristada kõigist funktsioonidest. See on suhteline lihtsad väljendid, mille tuletised on juba ammu arvutatud ja tabelisse kantud. Selliseid funktsioone on piisavalt lihtne meeles pidada koos nende tuletistega.
Elementaarfunktsioonide tuletised
Elementaarsed funktsioonid on kõik allpool loetletud. Nende funktsioonide tuletised peavad olema peast teada. Pealegi pole neid raske pähe õppida – seepärast on need elementaarsed.
Seega tuletised elementaarsed funktsioonid:
| Nimi | Funktsioon | Tuletis |
| Püsiv | f(x) = C, C ∈ R | 0 (jah, jah, null!) |
| Kraad ratsionaalse astendajaga | f(x) = x n | n · x n − 1 |
| Sinus | f(x) = patt x | cos x |
| Koosinus | f(x) = cos x | − patt x(miinus siinus) |
| Tangent | f(x) = tg x | 1/cos 2 x |
| Kotangent | f(x) = ctg x | − 1/sin2 x |
| naturaallogaritm | f(x) = log x | 1/x |
| Suvaline logaritm | f(x) = log a x | 1/(x ln a) |
| Eksponentfunktsioon | f(x) = e x | e x(midagi ei muutunud) |
Kui elementaarfunktsiooni korrutada suvalise konstandiga, on ka uue funktsiooni tuletis kergesti arvutatav:
(C · f)’ = C · f ’.
Üldjuhul saab konstandid tuletise märgist välja võtta. Näiteks:
(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .
Ilmselgelt saab elementaarfunktsioone omavahel liita, korrutada, jagada ja palju muud. Nii tekivad uued funktsioonid, mis pole enam väga elementaarsed, vaid ka teatud reeglite järgi eristatavad. Neid reegleid käsitletakse allpool.
Summa ja vahe tuletis
Las funktsioonid f(x) ja g(x), mille tuletised on meile teada. Näiteks võite võtta ülalpool käsitletud elementaarfunktsioonid. Seejärel leiate nende funktsioonide summa ja erinevuse tuletise:
- (f + g)’ = f ’ + g ’
- (f − g)’ = f ’ − g ’
Seega on kahe funktsiooni summa (erinevus) tuletis võrdne tuletiste summaga (erinevus). Tingimusi võib olla rohkem. Näiteks, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.
Rangelt võttes pole algebras "lahutamise" mõistet. On kontseptsioon negatiivne element". Seetõttu erinevus f − g saab summaks ümber kirjutada f+ (-1) g, ja siis jääb järele ainult üks valem - summa tuletis.
f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.
Funktsioon f(x) on kahe elementaarfunktsiooni summa, seega:
f ’(x) = (x 2+ patt x)’ = (x 2)' + (patt x)’ = 2x+ cosx;
Me vaidleme funktsiooni kohta sarnaselt g(x). Ainult seal on juba kolm terminit (algebra seisukohalt):
g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).
Vastus:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x
2 + 1).
Toote tuletis
Matemaatika on loogikateadus, nii et paljud inimesed usuvad, et kui summa tuletis on võrdne tuletiste summaga, siis korrutise tuletis streikima"\u003e võrdne tuletisinstrumentide korrutisega. Aga teile viigimarjad! Toote tuletis arvutatakse täiesti erineva valemi abil. Nimelt:
(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’
Valem on lihtne, kuid sageli unustatakse. Ja mitte ainult kooliõpilased, vaid ka üliõpilased. Tulemuseks on valesti lahendatud probleemid.
Ülesanne. Leia funktsioonide tuletised: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x– 7) · e x .
Funktsioon f(x) on kahe elementaarfunktsiooni korrutis, seega on kõik lihtne:
f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (maks x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-sin x) = x 2 (3 cos x − x patt x)
Funktsioon g(x) esimene kordaja on natuke keerulisem, kuid üldine skeem see ei muutu. Ilmselgelt funktsiooni esimene kordaja g(x) on polünoom ja selle tuletis on summa tuletis. Meil on:
g ’(x) = ((x 2 + 7x– 7) · e x)’ = (x 2 + 7x– 7)" · e x + (x 2 + 7x– 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x– 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .
Vastus:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x patt x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e
x
.
Pange tähele, et viimases etapis on tuletis faktoriseeritud. Formaalselt pole see vajalik, kuid enamik tuletisi ei arvutata iseseisvalt, vaid funktsiooni uurimiseks. See tähendab, et edaspidi võrdsustatakse tuletis nulliga, selgitatakse välja selle märgid ja nii edasi. Sellisel juhul on parem, kui avaldis on jagatud teguriteks.
Kui on kaks funktsiooni f(x) ja g(x) ja g(x) ≠ 0 meid huvitaval hulgal, saame defineerida uue funktsiooni h(x) = f(x)/g(x). Sellise funktsiooni jaoks leiate ka tuletise:
Pole nõrk, eks? Kust tuli miinus? Miks g 2? Aga niimoodi! See on üks kõige enam keerulised valemid Ilma pudelita ei saa sellest aru. Seetõttu on parem seda uurida konkreetseid näiteid.
Ülesanne. Leia funktsioonide tuletised:
Iga murru lugejas ja nimetajas on elementaarfunktsioonid, seega vajame ainult jagatise tuletise valemit:
Traditsiooniliselt arvestame lugeja tegurite hulka - see lihtsustab vastust oluliselt:
Keeruline funktsioon ei pruugi olla poole kilomeetri pikkune valem. Näiteks piisab funktsiooni võtmisest f(x) = patt x ja asendada muutuja x, ütleme, edasi x 2+ln x. Selgub f(x) = patt ( x 2+ln x) – Nii see on keeruline funktsioon. Tal on ka tuletis, kuid selle leidmine ülalkirjeldatud reeglite järgi ei tööta.
Kuidas olla? Sellistel juhtudel aitab muutuja asendamine ja kompleksfunktsiooni tuletise valem:
f ’(x) = f ’(t) · t', kui x asendatakse t(x).
Reeglina on olukord selle valemi mõistmisega veelgi kurvem kui jagatise tuletisega. Seetõttu on parem seda ka konkreetsete näidetega selgitada, koos Täpsem kirjeldus igal sammul.
Ülesanne. Leia funktsioonide tuletised: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = patt ( x 2+ln x)
Pange tähele, et kui funktsioonis f(x) avaldise 2 asemel x+3 saab olema lihtne x, siis saame elementaarfunktsiooni f(x) = e x. Seetõttu teeme asendused: olgu 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Otsime kompleksfunktsiooni tuletist valemiga:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’
Ja nüüd - tähelepanu! Pöördasenduse teostamine: t = 2x+ 3. Saame:
f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3
Vaatame nüüd funktsiooni g(x). Ilmselgelt tuleb välja vahetada. x 2+ln x = t. Meil on:
g ’(x) = g ’(t) · t' = (patt t)’ · t' = cos t · t ’
Vastupidine asendamine: t = x 2+ln x. Seejärel:
g ’(x) = cos ( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).
See on kõik! Nagu viimasest avaldisest näha, on kogu probleem taandatud summa tuletise arvutamisele.
Vastus:
f ’(x) = 2 e
2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos( x 2+ln x).
Väga sageli kasutan oma tundides termini "tuletis" asemel sõna "insult". Näiteks löök summast on võrdne summaga lööki. Kas see on selgem? See on hea.
Seega taandub tuletise arvutamine just nendest löökidest vabanemisele vastavalt ülalkirjeldatud reeglitele. Nagu viimane näide Pöördume ratsionaalse astendajaga tuletusastme juurde tagasi:
(x n)’ = n · x n − 1
Seda teavad rollis vähesed n võib hästi tegutseda murdarv. Näiteks juur on x 0,5 . Aga mis siis, kui juure all on midagi keerulist? Jällegi selgub keeruline funktsioon - neile meeldib selliseid konstruktsioone edasi anda kontrolltööd ja eksamid.
Ülesanne. Leia funktsiooni tuletis:
Esmalt kirjutame juure ümber ratsionaalse astendajaga astmeks:
f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
Nüüd teeme asendus: las x 2 + 8x − 7 = t. Leiame tuletise valemiga:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)" t' = 0,5 t−0,5 t ’.
Teeme pöördasenduse: t = x 2 + 8x− 7. Meil on:
f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x– 7) –0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .
Lõpuks tagasi juurte juurde:
Definitsioon. Olgu funktsioon \(y = f(x) \) defineeritud mingis intervallis, mille sees on punkt \(x_0 \). Suurendame \(\Delta x \) argumendiks, et sellest intervallist mitte lahkuda. Leidke funktsiooni \(\Delta y \) vastav juurdekasv (punktist \(x_0 \) punktist \(x_0 + \Delta x \) liikumisel) ja koostage seos \(\frac(\Delta y) )(\Delta x) \). Kui \(\Delta x \rightarrow 0 \) on selle seose piirang, siis nimetatakse määratud limiiti tuletisfunktsioon\(y=f(x) \) punktis \(x_0 \) ja tähistab \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Tuletise tähistamiseks kasutatakse sageli sümbolit y. Pange tähele, et y" = f(x) on uus funktsioon, kuid on loomulikult seotud funktsiooniga y = f(x), mis on defineeritud kõigis punktides x, kus ülaltoodud piir on olemas. Seda funktsiooni nimetatakse järgmiselt: funktsiooni y \u003d f (x) tuletis.
Tuletise geomeetriline tähendus koosneb järgmisest. Kui funktsiooni y \u003d f (x) graafikule saab tõmmata puutuja, mis ei ole y-teljega paralleelne punktis, mille abstsiss on x \u003d a, siis f (a) väljendab puutuja kalle:
\(k = f"(a)\)
Kuna \(k = tg(a) \), on võrdus \(f"(a) = tg(a) \) tõene.
Ja nüüd tõlgendame tuletise määratlust ligikaudsete võrdsuste kaudu. Olgu funktsioonil \(y = f(x) \) tuletis konkreetses punktis \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
See tähendab, et punkti x lähedal on ligikaudne võrdsus \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), st \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). Saadud ligikaudse võrdsuse tähenduslik tähendus on järgmine: funktsiooni juurdekasv on "peaaegu proportsionaalne" argumendi juurdekasvuga ja proportsionaalsuskoefitsient on tuletise väärtus antud punkt X. Näiteks funktsiooni \(y = x^2 \) puhul kehtib ligikaudne võrdus \(\Delta y \umbes 2x \cdot \Delta x \). Kui tuletise definitsiooni hoolikalt analüüsime, leiame, et see sisaldab selle leidmise algoritmi.
Sõnastame selle.
Kuidas leida funktsiooni y \u003d f (x) tuletist?
1. Parandage väärtus \(x \), leidke \(f(x) \)
2. Suurendage \(x \) argumenti \(\Delta x \), minge juurde uus punkt\(x+ \Delta x \), leidke \(f(x+ \Delta x) \)
3. Leidke funktsiooni juurdekasv: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Koostage seos \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Arvutage $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
See piirväärtus on funktsiooni x tuletis.
Kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x, siis nimetatakse seda punktis x diferentseeruvaks. Kutsutakse välja protseduur funktsiooni y \u003d f (x) tuletise leidmiseks eristamist funktsioonid y = f(x).
Arutleme järgmise küsimuse üle: kuidas on seotud funktsiooni pidevus ja diferentseeritavus punktis?
Olgu funktsioon y = f(x) punktis x diferentseeruv. Seejärel saab funktsiooni graafikule punktis M (x; f (x)) tõmmata puutuja ja meenutage, puutuja kalle on võrdne f "(x). Selline graafik ei saa "katkeneda" punktis punkt M, st funktsioon peab olema pidev punktis x.
See oli arutluskäik "näppude peal". Esitagem rangem argument. Kui funktsioon y = f(x) on punktis x diferentseeruv, siis kehtib ligikaudne võrdus \(\Delta y \umbes f"(x) \cdot \Delta x \). null, siis \(\Delta y \ ) kipub samuti olema null ja see on funktsiooni järjepidevuse tingimus punktis.
Niisiis, kui funktsioon on punktis x diferentseeruv, siis on ta ka selles punktis pidev.
Vastupidine ei vasta tõele. Näiteks: funktsioon y = |x| on pidev kõikjal, eriti punktis x = 0, kuid funktsiooni graafiku puutujat "ühendpunktis" (0; 0) ei eksisteeri. Kui mingil hetkel ei ole võimalik funktsioonigraafikule puutujat joonistada, siis selles punktis tuletist ei ole.
Üks näide veel. Funktsioon \(y=\sqrt(x) \) on pidev kogu arvteljel, sealhulgas punktis x = 0. Ja funktsiooni graafiku puutuja eksisteerib igas punktis, sealhulgas punktis x = 0 Kuid sellel hetkel langeb puutuja kokku y-teljega, see tähendab, et see on abstsissteljega risti, selle võrrandi kuju on x \u003d 0. Kalle sellist rida pole, mis tähendab, et ka \(f"(0) \) pole olemas
Niisiis tutvusime funktsiooni uue omadusega - diferentseeritavusega. Kuidas teha kindlaks, kas funktsioon on funktsiooni graafikust eristatav?
Vastus on tegelikult antud eespool. Kui funktsiooni graafikule saab mingil hetkel tõmmata puutuja, mis ei ole risti x-teljega, siis selles punktis on funktsioon diferentseeritav. Kui mingil hetkel funktsiooni graafiku puutujat ei eksisteeri või see on risti x-teljega, siis selles punktis funktsioon ei ole diferentseeruv.
Eristamise reeglid
Tuletise leidmise operatsiooni nimetatakse eristamist. Selle toimingu tegemisel peate sageli töötama jagatistega, summade, funktsioonide korrutistega, aga ka "funktsioonide funktsioonidega", see tähendab keerukate funktsioonidega. Tuletise definitsiooni põhjal saame tuletada seda tööd hõlbustavad diferentseerimisreeglid. Kui C- konstantne arv ja f=f(x), g=g(x) on mõned diferentseeruvad funktsioonid, siis on järgmised tõesed diferentseerimisreeglid:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
Mõnede funktsioonide tuletiste tabel
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $Tuletise leidmise probleem antud funktsioon on üks matemaatika põhikursusi Keskkool ja kõrgkoolides. Funktsiooni on võimatu täielikult uurida, selle graafikut koostada ilma selle tuletist võtmata. Funktsiooni tuletise on lihtne leida, kui tead põhilisi diferentseerimise reegleid ja ka põhifunktsioonide tuletisi tabelit. Mõelgem välja, kuidas leida funktsiooni tuletist.
Funktsiooni tuletist nimetatakse funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiriks, kui argumendi juurdekasv kipub olema null.
Seda määratlust on üsna raske mõista, kuna piiri mõistet koolis täielikult ei õpita. Kuid selleks, et leida erinevate funktsioonide tuletisi, pole vaja definitsioonist aru saada, jätame selle matemaatikute hooleks ja läheme otse tuletise leidmise juurde.
Tuletise leidmise protsessi nimetatakse diferentseerimiseks. Funktsiooni eristamisel saame uue funktsiooni.
Nende tähistamiseks kasutame kirju f, g jne.
Tuletisinstrumentide jaoks on palju erinevaid tähistusi. Me kasutame insulti. Näiteks kirje g" tähendab, et leiame funktsiooni g tuletise.
Tuletise tabel
Tuletise leidmise küsimusele vastamiseks on vaja esitada põhifunktsioonide tuletiste tabel. Elementaarfunktsioonide tuletiste arvutamiseks ei ole vaja teha keerulisi arvutusi. Piisab, kui vaadata selle väärtust tuletisinstrumentide tabelis.
- (sinx)"=cosx
- (cos x)"= -sin x
- (xn)"=nxn-1
- (ex)"=näit
- (lnx)"=1/x
- (a x)"=a x ln a
- (log a x)"=1/x ln a
- (tg x)"=1/cos 2 x
- (ctg x)"= - 1/sin 2 x
- (kaare x)"= 1/√ (1-x 2)
- (arccos x)"= - 1/√ (1-x 2)
- (arctg x)"= 1/(1 + x 2)
- (arcctg x)"= - 1/(1 + x 2)
Näide 1. Leia funktsiooni y=500 tuletis.
Näeme, et see on konstant. Tuletiste tabeli järgi on teada, et konstandi tuletis on võrdne nulliga (valem 1).
Näide 2. Leia funktsiooni y=x 100 tuletis.
seda toitefunktsioon milles eksponendiks on 100 ja selle tuletise leidmiseks tuleb funktsioon korrutada astendajaga ja vähendada seda 1-ga (valem 3).
(x 100)" = 100 x 99
Näide 3. Leia funktsiooni y=5 x tuletis
seda eksponentsiaalne funktsioon, arvutame selle tuletise valemiga 4.
Näide 4. Leia funktsiooni y= log 4 x tuletis
Leiame logaritmi tuletise valemi 7 abil.
(log 4 x)"=1/x log 4
Eristamise reeglid
Mõelgem nüüd välja, kuidas leida funktsiooni tuletist, kui seda tabelis pole. Enamik uuritud funktsioone ei ole elementaarfunktsioonid, vaid on elementaarfunktsioonide kombinatsioonid, mis kasutavad kõige lihtsamaid tehteid (liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine ja arvuga korrutamine). Nende tuletiste leidmiseks peate teadma eristamise reegleid. Lisaks tähistavad tähed f ja g funktsioone ning C on konstant.
1. Tuletise märgist saab välja võtta konstantse koefitsiendi
Näide 5. Leia funktsiooni y= 6*x 8 tuletis
Me võtame välja püsiv tegur 6 ja eristada ainult x 4 . See on astmefunktsioon, mille tuletise leiame tuletiste tabeli valemi 3 järgi.
(6*x8)" = 6*(x8)"=6*8*x7 =48* x 7
2. Summa tuletis võrdub tuletiste summaga
(f + g)"=f" + g"
Näide 6. Leia funktsiooni y= x 100 + sin x tuletis
Funktsioon on kahe funktsiooni summa, mille tuletised leiame tabelist. Kuna (x 100)"=100 x 99 ja (sin x)"=cos x. Summa tuletis on võrdne nende tuletiste summaga:
(x 100 + sin x)"= 100 x 99 + cos x
3. Erinevuse tuletis võrdub tuletiste erinevusega
(f – g)"=f" – g"
Näide 7. Leia funktsiooni y= x 100 - cos x tuletis
See funktsioon on kahe funktsiooni erinevus, mille tuletised leiame ka tabelist. Siis on erinevuse tuletis võrdne tuletiste erinevusega ja ärge unustage märki muuta, kuna (cos x) "= - sin x.
(x 100 – cos x) "= 100 x 99 + sin x
Näide 8. Leia funktsiooni y=e x +tg x– x 2 tuletis.
Sellel funktsioonil on nii summa kui ka erinevus, leiame iga liikme tuletised:
(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Siis on algfunktsiooni tuletis:
(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x
4. Toote tuletis
(f * g)"=f" * g + f * g"
Näide 9. Leia funktsiooni y= cos x *e x tuletis
Selleks leidke esmalt iga teguri tuletis (cos x)"=–sin x ja (e x)"=e x . Nüüd asendame kõik toote valemiga. Korrutage esimese funktsiooni tuletis teisega ja lisage esimese funktsiooni korrutis teise funktsiooni tuletisega.
(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x
5. Jagatise tuletis
(f / g) "= f" * g - f * g "/ g 2
Näide 10. Leia funktsiooni y= x 50 / sin x tuletis
Jagatise tuletise leidmiseks leidke esmalt eraldi lugeja ja nimetaja tuletis: (x 50)"=50 x 49 ja (sin x)"= cos x. Asendades valemis jagatise tuletise, saame:
(x 50 / sin x) "= 50x 49 * sin x - x 50 * cos x / sin 2 x
Kompleksfunktsiooni tuletis
Kompleksfunktsioon on funktsioon, mida esindab mitme funktsiooni koostis. Keerulise funktsiooni tuletise leidmiseks on olemas ka reegel:
(u(v))"=u"(v)*v"
Vaatame, kuidas sellise funktsiooni tuletist leida. Olgu y= u(v(x)) kompleksfunktsioon. Funktsiooni u nimetatakse väliseks ja v - sisemiseks.
Näiteks:
y=sin (x 3) on kompleksfunktsioon.
Siis y=sin(t) on välimine funktsioon
t=x 3 – sisemine.
Proovime arvutada selle funktsiooni tuletise. Valemi järgi on vaja korrutada sisemise ja välimise funktsiooni tuletised.
(sin t)"=cos (t) - välisfunktsiooni tuletis (kus t = x 3)
(x 3)"=3x 2 - sisefunktsiooni tuletis
Siis (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 on kompleksfunktsiooni tuletis.
Kuidas juhendajana alustada?
Inglise keele kaugõpe
Tavalised ja ebaregulaarsed inglise keele verbid