Jedna od glavnih karakteristika u algebri, kao iu cijeloj matematici, je diploma. Naravno, u 21. stoljeću svi izračuni mogu se provesti na online kalkulatoru, ali za razvoj mozga bolje je naučiti kako to učiniti sami.

U ovom članku ćemo pogledati najviše važna pitanja u vezi ove definicije. Naime, shvatit ćemo što je to uopće i koje su njegove glavne funkcije, koja svojstva postoje u matematici.

Pogledajmo na primjerima kako izgleda izračun, koje su osnovne formule. Analizirat ćemo glavne vrste veličina i kako se one razlikuju od ostalih funkcija.

Razumjet ćemo kako riješiti razne probleme pomoću ove vrijednosti. Na primjerima ćemo pokazati kako podići na nulti stupanj, iracionalno, negativno itd.

Online kalkulator stepenovanja

Što je stupanj broja

Što znači izraz "podići broj na potenciju"?

Stupanj n broja a umnožak je faktora veličine a n puta u nizu.

Matematički to izgleda ovako:

a n = a * a * a * …a n .

Na primjer:

• 2 3 = 2 u trećem koraku. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 u koraku. dva = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 u koraku. četiri = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 \u003d 10 u 5 koraka. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 \u003d 10 u 4 koraka. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Ispod je tablica kvadrata i kocki od 1 do 10.

Tablica stupnjeva od 1 do 10

Ispod su rezultati dizanja prirodnih brojeva na pozitivne potencije - "od 1 do 100".

Ch-lo	2. razred	3. razred
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Svojstva stupnja

Što je tipično za takve matematička funkcija? Pogledajmo osnovna svojstva.

Znanstvenici su utvrdili sljedeće znakovi karakteristični za sve stupnjeve:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m = (a) (b*m) .

Provjerimo na primjerima:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. S druge strane 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

Slično: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Inače je 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Što ako je drugačije? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Kao što vidite, pravila funkcioniraju.

Ali kako biti sa zbrajanjem i oduzimanjem? Sve je jednostavno. Prvo se izvodi potenciranje, a tek onda zbrajanje i oduzimanje.

Pogledajmo primjere:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Ali u ovom slučaju, prvo morate izračunati zbrajanje, jer postoje akcije u zagradama: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Kako proizvoditi računalstvo u više teški slučajevi ? Redoslijed je isti:

• ako postoje zagrade, morate početi s njima;
• zatim potenciranje;
• zatim izvoditi operacije množenja, dijeljenja;
• nakon zbrajanja, oduzimanja.

Postoje specifična svojstva koja nisu karakteristična za sve stupnjeve:

1. Korijen n-tog stupnja iz broja a u stupanj m bit će napisan kao: a m / n .
2. Kod podizanja razlomka na potenciju: ovom postupku podliježu i brojnik i nazivnik.
3. Prilikom građenja djela različite brojeve na potenciju, izraz će odgovarati umnošku ovih brojeva na zadanu potenciju. To je: (a * b) n = a n * b n.
4. Kada dižete broj na negativnu potenciju, trebate podijeliti 1 s brojem u istom koraku, ali sa znakom "+".
5. Ako je nazivnik razlomka na negativnoj potenciji, tada će ovaj izraz biti jednak umnošku brojnika i nazivnika na pozitivnoj potenciji.
6. Bilo koji broj na potenciju 0 = 1 i na korak. 1 = sebi.

Ova su pravila važna u pojedinačni slučajevi, detaljnije ćemo ih razmotriti u nastavku.

Stupanj s negativnim eksponentom

Što učiniti s negativnim stupnjem, odnosno kada je pokazatelj negativan?

Na temelju svojstava 4 i 5(vidi točku iznad) ispada:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

I obrnuto:

1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

Što ako je razlomak?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Stupanj s prirodnim pokazateljem

Shvaća se kao stupanj s eksponentima jednakim cijelim brojevima.

Stvari koje treba zapamtiti:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1…itd.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3… itd.

Također, ako je (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…onda će rezultat biti sa predznakom “+”. Ako se negativan broj podigne na ne čak stupanj, zatim obrnuto.

Za njih su također karakteristična opća svojstva i sve gore opisane specifičnosti.

Frakcijski stupanj

Ovaj pogled može se napisati kao shema: A m / n. Čita se kao: korijen n-tog stupnja broja A na m potenciju.

S frakcijskim indikatorom možete učiniti bilo što: smanjiti, rastaviti na dijelove, podići na drugi stupanj itd.

Stupanj s iracionalnim eksponentom

Neka je α iracionalan broj i A ˃ 0.

Da bismo razumjeli bit diplome s takvim pokazateljem, Pogledajmo različite moguće slučajeve:

• A \u003d 1. Rezultat će biti jednak 1. Budući da postoji aksiom - 1 je jednako jedan u svim potencijama;

A r 1 ˂ A α ˂ A r 2 , r 1 ˂ r 2 – racionalni brojevi;

• 0˂A˂1.

U ovom slučaju, obrnuto: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 pod istim uvjetima kao u drugom odlomku.

Na primjer, eksponent je broj π. To je racionalno.

r 1 - u ovom slučaju je jednako 3;

r 2 - bit će jednako 4.

Zatim, za A = 1, 1 π = 1.

A = 2, zatim 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, zatim (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Takve stupnjeve karakteriziraju sve gore opisane matematičke operacije i specifična svojstva.

Zaključak

Ukratko - čemu služe ove vrijednosti, koje su prednosti takvih funkcija? Naravno, prije svega, oni pojednostavljuju život matematičara i programera pri rješavanju primjera, jer omogućuju minimiziranje izračuna, smanjenje algoritama, sistematizaciju podataka i još mnogo toga.

Gdje još ovo znanje može biti korisno? U bilo kojoj radnoj specijalnosti: medicina, farmakologija, stomatologija, građevinarstvo, tehnologija, inženjerstvo, dizajn itd.

U okviru ovog materijala analizirat ćemo što je snaga broja. Uz osnovne definicije, formulirat ćemo što su stupnjevi s prirodnim, cjelobrojnim, racionalnim i iracionalnim eksponentom. Kao i uvijek, svi pojmovi bit će ilustrirani primjerima zadataka.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prvo formuliramo osnovna definicija stupanj s prirodnim pokazateljem. Da bismo to učinili, moramo zapamtiti osnovna pravila množenja. Pojasnimo unaprijed da ćemo za sada uzeti kao osnovu pravi broj(označava se slovom a), a kao indikator - prirodni (označava se slovom n).

Definicija 1

Potencija a s prirodnim eksponentom n umnožak je n-tog broja faktora od kojih je svaki jednak broju a. Diploma se piše ovako: a n, a u obliku formule, njegov sastav se može predstaviti na sljedeći način:

Na primjer, ako je eksponent 1, a baza a, tada se prva potencija a piše kao a 1. S obzirom da je a vrijednost faktora, a 1 broj faktora, možemo zaključiti da a 1 = a.

Općenito, možemo reći da je stupanj prikladan zapis veliki broj jednaki množitelji. Dakle, evidencija obrasca 8 8 8 8 može se svesti na 8 4 . Na otprilike isti način, rad nam pomaže da izbjegnemo pisanje veliki brojčlanovi (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; to smo već analizirali u članku posvećenom množenju prirodnih brojeva.

Kako pravilno čitati zapis o diplomi? Općeprihvaćena opcija je "a na potenciju n". Ili možete reći "n-ta potencija od a" ili "n-ta potencija". Ako, recimo, u primjeru postoji unos 8 12 , možemo čitati "8 na 12. potenciju", "8 na 12. potenciju" ili "12. potenciju od 8".

Drugi i treći stupanj broja imaju svoja dobro utvrđena imena: kvadrat i kocka. Ako vidimo drugu potenciju, na primjer, broja 7 (7 2), onda možemo reći "7 na kvadrat" ili "kvadrat broja 7". Slično, treći stupanj se čita ovako: 5 3 je "kocka broja 5" ili "5 kockica". Međutim, također je moguće koristiti standardnu ​​formulaciju "u drugom / trećem stupnju", to neće biti pogreška.

Primjer 1

Pogledajmo primjer diplome s prirodnim pokazateljem: for 5 7 pet će biti baza, a sedam će biti indikator.

Baza ne mora biti cijeli broj: za stupanj (4 , 32) 9 baza će biti razlomak 4, 32, a eksponent će biti devet. Obratite pozornost na zagrade: takav zapis je napravljen za sve stupnjeve, čije se baze razlikuju od prirodnih brojeva.

Na primjer: 1 2 3 , (- 3) 12 , - 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 .

Čemu služe zagrade? Oni pomažu u izbjegavanju pogrešaka u izračunima. Recimo da imamo dva unosa: (− 2) 3 i − 2 3 . Prvi od njih znači negativan broj minus dva, podignut na potenciju s prirodnim eksponentom tri; drugi je broj koji odgovara suprotno mišljenje stupnjeva 2 3 .

Ponekad u knjigama možete pronaći malo drugačiji način pisanja stupnja broja - a^n(gdje je a baza, a n eksponent). Dakle, 4^9 je isto što i 4 9 . U slučaju da je n višeznamenkasti broj, uzeto je u zagradu. Na primjer, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Ali koristit ćemo notaciju a n kao češći.

Kako izračunati vrijednost stupnja s prirodnim eksponentom lako je pogoditi iz njegove definicije: samo trebate pomnožiti n -ti broj puta. O tome smo više pisali u drugom članku.

Koncept stupnja je suprotan drugom matematički koncept- korijen broja. Ako znamo vrijednost eksponenta i eksponenta, možemo izračunati njegovu bazu. Stupanj ima neka specifična svojstva koja su korisna za rješavanje problema koje smo analizirali u zasebnom materijalu.

Eksponenti mogu sadržavati ne samo prirodne brojeve, već i bilo koje cijele vrijednosti općenito, uključujući negativne i nule, jer oni također pripadaju skupu cijelih brojeva.

Definicija 2

Stupanj broja s pozitivnim cijelim eksponentom može se prikazati kao formula: .

Štoviše, n je bilo koji pozitivni cijeli broj.

Pozabavimo se konceptom nultog stupnja. Da bismo to učinili, koristimo pristup koji uzima u obzir svojstvo kvocijenta za potencije s jednake osnove. Formulirano je ovako:

Definicija 3

Jednakost a m: a n = a m − n bit će točna pod sljedećim uvjetima: m i n su prirodni brojevi, m< n , a ≠ 0 .

Zadnji uvjet je važan jer izbjegava dijeljenje s nulom. Ako su vrijednosti m i n jednake, tada ćemo dobiti sljedeći rezultat: a n: a n = a n − n = a 0

Ali u isto vrijeme a n: a n = 1 - kvocijent jednakih brojeva a n i a. Ispada da je nulti stupanj svakog broja koji nije nula jednak jedan.

Međutim, takav dokaz nije prikladan za nulu na nultu potenciju. Da bismo to učinili, potrebno nam je još jedno svojstvo potencija - svojstvo produkata potencija s jednakim bazama. Ovako izgleda: a m a n = a m + n .

Ako je n 0, tada a m a 0 = a m(ova jednakost nam također to dokazuje a 0 = 1). Ali ako je i također jednako nuli, naša jednakost poprima oblik 0 m 0 0 = 0 m, To će biti točno za bilo koju prirodnu vrijednost n, i nije važno koja je točno vrijednost stupnja 0 0 , odnosno može biti jednak bilo kojem broju, a to neće utjecati na valjanost jednakosti. Dakle, evidencija obrasca 0 0 nema svoje posebno značenje i nećemo mu ga pripisivati.

Ako želite, to je lako provjeriti a 0 = 1 konvergira sa svojstvom stupnja (a m) n = a m n uz uvjet da baza stupnja nije jednaka nuli. Dakle, stupanj svakog broja različitog od nule s eksponentom nula jednak je jedan.

Primjer 2

Uzmimo primjer sa konkretne brojke: Dakle, 5 0 - jedinica, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , i vrijednost 0 0 nedefiniran.

Nakon nultog stupnja, ostaje nam da shvatimo što je negativni stupanj. Da bismo to učinili, potrebno nam je isto svojstvo umnoška potencija s jednakim bazama, koje smo već upotrijebili gore: a m · a n = a m + n.

Uvodimo uvjet: m = − n , tada a ne smije biti jednak nuli. Iz toga slijedi da a − n a n = a − n + n = a 0 = 1. Ispada da je a n i a-n imamo međusobno recipročne brojeve.

Kao rezultat, a na negativnu cjelobrojnu potenciju nije ništa drugo nego razlomak 1 a n .

Ova formulacija potvrđuje da za stupanj s cijelim brojem negativan pokazatelj vrijede sva ista svojstva koja ima stupanj s prirodnim eksponentom (pod uvjetom da baza nije jednaka nuli).

Primjer 3

Potencija a s negativnim cijelim brojem n može se prikazati kao razlomak 1 a n . Dakle, a - n = 1 a n pod uvjetom a ≠ 0 i n je bilo koji prirodni broj.

Ilustrirajmo našu ideju konkretnim primjerima:

Primjer 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

U zadnjem dijelu paragrafa pokušat ćemo jasno prikazati sve što je rečeno jednom formulom:

Definicija 4

Potencija a s prirodnim eksponentom z je: a z = a z, e c i z je pozitivan cijeli broj 1, z = 0 i a ≠ 0, (ako je z = 0 i a = 0 dobivamo 0 0, vrijednosti određen je izraz 0 0 are not)   1 a z , ako je z negativan cijeli broj i a ≠ 0 (ako je z negativan cijeli broj i a = 0 dobivamo 0 z , to je n d e n t i j )

Što su stupnjevi s racionalnim eksponentom

Analizirali smo slučajeve kada je eksponent cijeli broj. Međutim, također možete povećati broj na potenciju kada je njegov eksponent razlomački broj. To se zove stupanj racionalni pokazatelj. U ovom pododjeljku ćemo dokazati da ima ista svojstva kao i druge potencije.

Što su racionalni brojevi? Njihov skup uključuje i cijele brojeve i razlomački brojevi, dok se razlomački brojevi mogu prikazati kao obični razlomci (i pozitivni i negativni). Formuliramo definiciju stupnja broja a s frakcijskim eksponentom m / n, gdje je n prirodni broj, a m cijeli broj.

Imamo neki stupanj s razlomačkim eksponentom a m n . Da bi svojstvo potencije vrijedilo u stupnju, jednakost a m n n = a m n · n = a m mora biti istinita.

S obzirom na definiciju n-tog korijena i da je a m n n = a m, možemo prihvatiti uvjet a m n = a m n ako a m n ima smisla za dane vrijednosti m, n i a.

Gornja svojstva stupnja s cjelobrojnim eksponentom bit će točna pod uvjetom a m n = a m n .

Glavni zaključak iz našeg razmišljanja je sljedeći: stupanj nekog broja a s razlomačkim eksponentom m / n korijen je n-tog stupnja iz broja a na potenciju m. Ovo je točno ako, za date vrijednosti m, n i a, izraz a m n ima smisla.

1. Možemo ograničiti vrijednost baze stupnja: uzeti a, koji će za pozitivne vrijednosti m biti veći ili jednak 0, a za negativne vrijednosti bit će strogo manji (jer za m ≤ 0 dobivamo 0 m, ali ovaj stupanj nije definiran). U ovom slučaju, definicija stupnja s frakcijskim eksponentom izgledat će ovako:

Razlomački eksponent m/n za neki pozitivan broj a je n-ti korijen od a podignut na m potenciju. U obliku formule to se može prikazati na sljedeći način:

Za stupanj s nultom bazom ova je odredba također prikladna, ali samo ako je njegov eksponent pozitivan broj.

Potencija s bazom nula i pozitivnim razlomačkim eksponentom m/n može se izraziti kao

0 m n = 0 m n = 0 pod uvjetom prirodnog cijelog broja m i prirodnog n.

S negativnim omjerom m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Zabilježimo jednu stvar. Budući da smo uveli uvjet da je a veće ili jednako nuli, odbacili smo neke slučajeve.

Izraz a m n ponekad ipak ima smisla za neke negativne vrijednosti od a i neke negativne vrijednosti od m. Dakle, točni su unosi (- 5) 2 3 , (- 1 , 2) 5 7 , - 1 2 - 8 4 , u kojima je baza negativna.

2. Drugi pristup je odvojeno razmatranje korijena a m n s parnim i neparnim eksponentima. Zatim treba uvesti još jedan uvjet: stupanj a, u čijem je eksponentu svodivi obični razlomak, smatramo stupnjem a, u čijem je eksponentu odgovarajući nesvodivi razlomak. Kasnije ćemo objasniti zašto nam je ovo stanje potrebno i zašto je toliko važno. Dakle, ako imamo zapis a m · k n · k , tada ga možemo svesti na a m n i pojednostaviti izračune.

Ako je n neparan broj, a m pozitivan i a je bilo koji nenegativan broj, tada a m n ima smisla. Uvjet za nenegativno a je neophodan jer se korijen parnog stupnja ne izvlači iz negativnog broja. Ako je vrijednost m pozitivna, tada a može biti i negativna i nula, jer Neparan korijen može se uzeti iz bilo kojeg realnog broja.

Kombinirajmo sve podatke iznad definicije u jedan unos:

Ovdje m/n znači nesvodivi razlomak, m je bilo koji cijeli broj, a n je bilo koji prirodni broj.

Definicija 5

Za svaki obični reducirani razlomak m · k n · k, stupanj se može zamijeniti s a m n .

Potencija a s neumanjivim razlomačkim eksponentom m / n - može se izraziti kao a m n u sljedećim slučajevima:- za bilo koje realno a , cijeli broj pozitivne vrijednosti m i neparni prirodni brojevi n . Primjer: 2 5 3 = 2 5 3 , (- 5 , 1) 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .

Za bilo koji realni a različit od nule, negativne vrijednosti cijelog broja od m i neparne vrijednosti od n, na primjer, 2 - 5 3 = 2 - 5 3 , (- 5 , 1) - 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7

Za bilo koji nenegativan a, pozitivne cijele vrijednosti m i čak n, na primjer, 2 1 4 = 2 1 4 , (5 , 1) 3 2 = (5 , 1) 3 , 0 7 18 = 0 7 18 .

Za bilo koji pozitivan a , negativan cijeli broj m pa čak i n, na primjer, 2 - 1 4 = 2 - 1 4 , (5 , 1) - 3 2 = (5 , 1) - 3 , .

U slučaju drugih vrijednosti, stupanj s razlomačkim eksponentom se ne određuje. Primjeri takvih potencija: - 2 11 6 , - 2 1 2 3 2 , 0 - 2 5 .

Sada objasnimo važnost gore navedenog uvjeta: zašto zamijeniti razlomak s reducibilnim eksponentom za razlomak s nesvodivim. Da to ne bismo učinili, onda bi takve situacije ispale, recimo, 6/10 = 3/5. Tada bi (- 1) 6 10 = - 1 3 5 trebalo biti točno, ali - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1, i (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Definicija stupnja s frakcijskim eksponentom, koju smo dali prvu, prikladnija je za primjenu u praksi od druge, pa ćemo je nastaviti koristiti.

Definicija 6

Dakle, potencija pozitivnog broja a s razlomačkim eksponentom m / n definirana je kao 0 m n = 0 m n = 0 . U slučaju negativnog a zapis a m n nema smisla. Nulti stupanj za pozitivne frakcijske eksponente m/n je definiran kao 0 m n = 0 m n = 0 , za negativne razlomačke eksponente ne definiramo stupanj nule.

U zaključcima napominjemo da se bilo koji frakcijski pokazatelj može napisati kao u obliku mješoviti broj, a u obliku decimalnog razlomka: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

Prilikom računanja, bolje je zamijeniti eksponent obični razlomak a zatim upotrijebite definiciju stupnja s razlomačkim eksponentom. Za gore navedene primjere dobivamo:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Što su stupnjevi s iracionalnim i realnim eksponentom

Što su realni brojevi? Oni uključuju i racionalne i iracionalni brojevi. Stoga, kako bismo razumjeli što je diploma s pravi pokazatelj, trebamo definirati stupnjeve s racionalnim i iracionalnim eksponentima. O racionalnom smo već spomenuli gore. Pozabavimo se iracionalnim pokazateljima korak po korak.

Primjer 5

Pretpostavimo da imamo iracionalan broj a i niz njegovih decimalnih aproksimacija a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Na primjer, uzmimo vrijednost a = 1 , 67175331 . . . , onda

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1 , 67 , a 1 = 1 , 6717 , a 2 = 1 , 671753 , . . .

Nizove aproksimacija možemo povezati s nizovima potencija a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Ako se prisjetimo o čemu smo ranije govorili o povećanju broja racionalni stupanj, tada možemo sami izračunati vrijednosti ovih snaga.

Uzmimo za primjer a = 3, tada je a a 0 = 3 1 , 67 , a a 1 = 3 1 , 6717 , a a 2 = 3 1 , 671753 , . . . itd.

Niz stupnjeva može se svesti na broj, koji će biti vrijednost stupnja s bazom a i iracionalnim eksponentom a. Kao rezultat: stupanj s iracionalnim eksponentom oblika 3 1 , 67175331 . . može se svesti na broj 6, 27.

Definicija 7

Potencija pozitivnog broja a s iracionalnim eksponentom a piše se kao a . Njegova vrijednost je granica niza a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , gdje je a 0 , a 1 , a 2 , . . . su uzastopne decimalne aproksimacije iracionalnog broja a. Stupanj s nultom bazom također se može definirati za pozitivne iracionalne eksponente, dok je 0 a \u003d 0 Dakle, 0 6 \u003d 0, 0 21 3 3 \u003d 0. A za negativne, to se ne može učiniti, jer, na primjer, vrijednost 0 - 5, 0 - 2 π nije definirana. Jedinica podignuta na bilo koji iracionalni stupanj, ostaje jedan, na primjer, i 1 2 , 1 5 u 2 i 1 - 5 bit će jednako 1 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Formule snage koristi u procesu redukcije i pojednostavljenja složeni izrazi, u rješavanju jednadžbi i nejednadžbi.

Broj c je n-tu potenciju broja a kada:

Operacije sa stupnjevima.

1. Množenjem stupnjeva s istom bazom, njihovi se pokazatelji zbrajaju:

a ma n = a m + n.

2. U podjeli stupnjeva s istom bazom oduzimaju se njihovi pokazatelji:

3. Stupanj umnoška 2 odn više faktora jednak je umnošku snaga ovih faktora:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Stupanj razlomka jednak je omjeru stupnjeva djelitelja i djelitelja:

(a/b) n = a n / b n.

5. Dizanjem potencije na potenciju eksponenti se množe:

(am) n = a m n .

Svaka gornja formula točna je u smjeru s lijeva na desno i obrnuto.

Na primjer. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacije s korijenima.

1. Korijen umnoška više faktora jednak je umnošku korijena ovih faktora:

2. Korijen omjera jednak je omjeru djelitelja i djelitelja korijena:

3. Kod podizanja korijena na potenciju dovoljno je podići korijenski broj na ovu potenciju:

4. Povećamo li stupanj korijena u n jednom i u isto vrijeme podići na n stepen je korijen broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

5. Ako smanjimo stupanj korijena u n korijen u isto vrijeme n stupanj od radikalnog broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

Stupanj s negativnim eksponentom. Stupanj nekog broja s nepozitivnim (cijelim) eksponentom definiran je kao jedan podijeljen sa stupnjem istog broja s eksponentom jednakim apsolutna vrijednost nepozitivan pokazatelj:

Formula a m:a n = a m - n može se koristiti ne samo za m> n, ali i kod m< n.

Na primjer. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Za formuliranje a m:a n = a m - n postao pošten na m=n, potrebna vam je prisutnost nultog stupnja.

Stupanj s nultim eksponentom. Potencija bilo kojeg broja različitog od nule s eksponentom nula jednaka je jedan.

Na primjer. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stupanj s razlomačkim eksponentom. Podići pravi broj a do stupnja m/n, morate izvaditi korijen n th stupanj m stepen ovog broja a.

Kao što znate, u matematici ne postoje samo pozitivni brojevi, već i negativni. Ako upoznavanje s pozitivnim stupnjevima počinje određivanjem površine kvadrata, onda je s negativnim sve nešto složenije.

Ovo treba znati:

1. Povećanje broja na prirodni stupanj množenje broja naziva se (koncept broja i brojke u članku će se smatrati ekvivalentnim) sam po sebi u takvom iznosu kao eksponent (u nastavku ćemo paralelno koristiti i jednostavno riječ indikator). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. NA opći pogled izgleda ovako: m^n = m*m*m*…*m (n puta).
2. Treba imati na umu da kada se negativni broj digne na prirodnu potenciju, on će postati pozitivan ako je eksponent paran.
3. Podizanje broja na eksponent 0 daje jedinicu, pod uvjetom da nije jednaka nuli. Nula na nulti potenciju smatra se nedefiniranom. 17^0 = 1.
4. Izvlačenje korijena određenog stupnja iz broja naziva se pronalaženje broja koji će, kada se podigne na odgovarajući indikator, dati željenu vrijednost. Dakle, kubni korijen od 125 je 5 jer je 5^3 = 125.
5. Ako želite broj podići na razlomak pozitivan stupanj, tada je potrebno podići broj na nazivnik i iz njega izvući korijen brojnika. 6^5/7 = 7. korijen od 6*6*6*6*6.
6. Ako želite podići broj na negativni eksponent, tada trebate pronaći recipročnu vrijednost ovog broja. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.

Povećanje broja na negativnu potenciju po modulu od nula do jedan

Prvo, moramo zapamtiti što je modul. Ovo je udaljenost na koordinatnoj liniji od vrijednosti koju smo odabrali do ishodišta (nula koordinatne crte). Po definiciji, nikada ne može biti negativan.

Vrijednost veća od nule

Uz vrijednost znamenke u rasponu od nule do jedan, negativni pokazatelj daje povećanje same znamenke. To se događa jer se nazivnik smanjuje, a ostaje pozitivan.

Pogledajmo primjere:

• 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
• 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

Štoviše, što je modul indikatora veći, brojka aktivnije raste. Kako nazivnik teži nuli, sam razlomak teži plus beskonačno.

Vrijednost manja od nule

Sada pogledajmo kako ugraditi negativan stupanj ako je broj manji od nule. Princip je isti kao u prethodnom dijelu, ali ovdje je važan predznak eksponenta.

Pogledajmo ponovno primjere:

• -19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
• -29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

NA ovaj slučaj, vidimo to modul nastavlja rasti, ali predznak ovisi o tome je li eksponent paran ili neparan.

Treba napomenuti da ako izgradimo jedinicu, ona će uvijek ostati sama. Ako trebate povećati broj minus jedan, onda kada parni eksponent stupanj, pretvorit će se u jedinicu, s neparnim će ostati minus jedan.

Podizanje na negativnu cjelobrojnu potenciju ako je modul veći od jedan

Za znamenke čiji je modul veći od jedan, imaju svoje karakteristike djelovanja. Prije svega, morate cijeli dio razlomka pretvoriti u brojnik, odnosno pretvoriti u nepravi razlomak. Ako imamo decimal, tada se mora pretvoriti u normalu. To se radi na sljedeći način:

• 6 cijelih brojeva 7/17 = 109/17;
• 2,54 = 254/100.

Sada razmislite kako povećati broj na negativnu potenciju pod ovim uvjetima. Već iz navedenog možemo pretpostaviti što bismo trebali očekivati ​​od rezultata izračuna. Budući da je dvostruki razlomak obrnut tijekom pojednostavljenja, modul znamenke će se smanjivati ​​to brže, što je veći modul indikatora.

Najprije razmotrite situaciju u kojoj navedeni broj je pozitivan.

Prije svega, postaje jasno da će krajnji rezultat biti Iznad nule, jer dijeljenje dva pozitiva uvijek daje pozitiv. Opet, pogledajmo primjere kako se to radi:

• 6 cijeli broj 1/20 na minus petu potenciju = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0 .0001234;
• 2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

Kao što vidite, radnje ne uzrokuju posebne poteškoće i sve naše početne pretpostavke pokazale su se točnima.

Sada se okrećemo slučaju negativne znamenke.

Za početak, možemo pretpostaviti da ako je indikator paran, onda će rezultat biti pozitivan, ako je indikator neparan, tada će rezultat biti negativan. Svi naši prethodni izračuni u ovom dijelu sada će se smatrati važećim. Pogledajmo ponovno primjere:

• -3 cijeli broj 1/2 na minus šestu potenciju = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0,000544;
• -1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

Tako su se sva naša razmišljanja pokazala točnima.

Podizanje u slučaju negativnog razlomačkog eksponenta

Ovdje morate zapamtiti da takva erekcija postoji vađenje korijena stupnja nazivnika iz broja u stupnju brojnika. Sva naša dosadašnja razmišljanja ostaju istinita i ovaj put. Objasnimo svoje postupke na primjeru:

• 4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/rad(4^3) = 1/rad64 = 1/8.

U ovom slučaju, morate imati na umu da vađenje korijena visoka razina moguće je samo u posebno odabranom obliku i, najvjerojatnije, riješiti se predznaka radikala (kvadratni korijen, kubični korijen i tako dalje) kada točne kalkulacije nećeš uspjeti.

Ipak, nakon što smo detaljno proučili prethodna poglavlja, ne treba očekivati ​​poteškoće u školskim izračunima.

Treba napomenuti da opis ovog poglavlja također uključuje erekcija s namjerno iracionalnim eksponentom, na primjer, ako je indikator minus PI. Morate djelovati u skladu s gore opisanim načelima. Međutim, izračuni u takvim slučajevima postaju toliko složeni da to mogu učiniti samo moćna elektronička računala.

Zaključak

Radnja koju smo proučavali jedan je od naj najteže zadatke u matematici(osobito u slučaju frakciono racionalne ili iracionalne vrijednosti). Međutim, nakon što ste detaljno i korak po korak proučili ovu uputu, možete naučiti kako to učiniti potpuno automatski bez ikakvih problema.

Prva razina

Stupanj i njegova svojstva. Sveobuhvatni vodič (2019)

Zašto su potrebne diplome? Gdje ih trebaš? Zašto trebate trošiti vrijeme na njihovo proučavanje?

Da naučite sve o diplomama, čemu one služe, kako iskoristiti svoje znanje u Svakidašnjica pročitajte ovaj članak.

I, naravno, poznavanje diploma približit će vas uspjehu prolazeći OGE ili Jedinstveni državni ispit i upis na sveučilište iz snova.

Idemo... (Idemo!)

Važna nota! Ako umjesto formula vidite besmislice, izbrišite predmemoriju. Da biste to učinili, pritisnite CTRL+F5 (na Windowsima) ili Cmd+R (na Macu).

PRVI RAZINA

Potenciranje je isto matematička operacija poput zbrajanja, oduzimanja, množenja ili dijeljenja.

Sada ću sve objasniti ljudski jezik vrlo jednostavni primjeri. Budi oprezan. Primjeri su elementarni, ali objašnjavaju važne stvari.

Počnimo s dodavanjem.

Nema se tu što objašnjavati. Sve već znate: nas je osam. Svaki ima dvije boce kole. Koliko kole? Tako je - 16 boca.

Sada množenje.

Isti primjer s colom može se napisati i na drugačiji način: . Matematičari su lukavi i lijeni ljudi. Prvo uoče neke obrasce, a onda se dosjete kako ih brže “prebrojati”. U našem slučaju, primijetili su da svaki od osam ljudi ima isti broj boca kole i smislili su tehniku ​​koja se zove množenje. Slažem se, smatra se lakšim i bržim od.

Dakle, da biste brojali brže, lakše i bez grešaka, samo trebate zapamtiti tablica množenja. Naravno, sve se može sporije, teže i s greškama! Ali…

Evo tablice množenja. Ponoviti.

I još jedna, ljepša:

A kojih su se još lukavih trikova s ​​računanjem dosjetili lijeni matematičari? Ispravno - dizanje broja na potenciju.

Dizanje broja na potenciju

Ako trebate pomnožiti broj sam sa sobom pet puta, onda matematičari kažu da taj broj trebate podići na petu potenciju. Na primjer, . Matematičari se sjećaju da je dva na petu potenciju. I takve probleme rješavaju u mislima - brže, lakše i bez greške.

Da biste to učinili, trebate samo zapamtite što je označeno bojom u tablici potencija brojeva. Vjerujte, to će vam znatno olakšati život.

Usput, zašto se zove drugi stupanj kvadrat brojevi, a treći kocka? Što to znači? Visoko dobro pitanje. Sada ćete imati i kvadrate i kocke.

Primjer iz stvarnog života #1

Počnimo s kvadratom ili drugom potencijom broja.

Zamislite kvadratni bazen dimenzija metar po metar. Bazen je u vašem dvorištu. Vruće je i stvarno želim plivati. Ali ... bazen bez dna! Potrebno je obložiti dno bazena pločama. Koliko pločica trebate? Da biste to odredili, morate znati površinu dna bazena.

Jednostavno možete izbrojati bodenjem prsta da se dno bazena sastoji od kockica metar po metar. Ako su vaše pločice metar po metar, trebat će vam komadi. Lako je... Ali gdje si vidio takvu pločicu? Pločica će prije biti cm po cm, a onda će vas mučiti "brojenje s prstom". Zatim morate množiti. Dakle, na jednu stranu dna bazena postavit ćemo pločice (komade), a na drugu također pločice. Množenjem s, dobivate pločice ().

Jeste li primijetili da smo isti broj pomnožili samim sobom kako bismo odredili površinu dna bazena? Što to znači? Budući da se isti broj množi, možemo koristiti tehniku ​​potenciranja. (Naravno, kada imate samo dva broja, još uvijek ih trebate pomnožiti ili dići na potenciju. Ali ako ih imate puno, onda je dizanje na potenciju puno lakše, a također ima i manje grešaka u izračunima .Za ispit je to vrlo važno).
Dakle, trideset do drugog stupnja bit će (). Ili možete reći da će trideset na kvadrat biti. Drugim riječima, druga potencija broja uvijek se može prikazati kao kvadrat. I obrnuto, ako vidite kvadrat, to je UVIJEK druga potencija nekog broja. Kvadrat je slika druge potencije broja.

Primjer iz stvarnog života #2

Evo zadatak za vas, izbrojte koliko je polja na šahovskoj ploči koristeći polje broja ... S jedne strane ćelija i s druge također. Da biste prebrojali njihov broj, morate pomnožiti osam s osam, ili ... ako primijetite da je šahovska ploča kvadrat sa stranicom, onda možete kvadratirati osam. Nabavite ćelije. () Pa?

Primjer iz stvarnog života #3

Sada kocka ili treća potencija broja. Isti bazen. Ali sada morate saznati koliko će se vode morati uliti u ovaj bazen. Morate izračunati volumen. (Usput, volumeni i tekućine se mjere u kubičnih metara. Neočekivano, zar ne?) Nacrtajte bazen: dno veličine jedan metar i dubine metar i pokušajte izračunati koliko kockica metar po metar će ukupno ući u vaš bazen.

Samo uperi prst i broji! Jedan, dva, tri, četiri... dvadeset i dva, dvadeset i tri... Koliko je ispalo? Niste se izgubili? Je li teško brojati prstom? Tako da! Uzmite primjer od matematičara. Oni su lijeni pa su primijetili da za izračunavanje volumena bazena treba pomnožiti njegovu dužinu, širinu i visinu jedno s drugim. U našem slučaju, volumen bazena bit će jednak kockama ... Lakše, zar ne?

Sada zamislite koliko su matematičari lijeni i lukavi ako to čine previše lakim. Sve svedeno na jednu akciju. Primijetili su da su dužina, širina i visina jednake i da se isti broj množi sam sa sobom... A što to znači? To znači da možete koristiti diplomu. Dakle, ono što ste jednom prstom izbrojali, oni učine jednom radnjom: tri u kocki je jednako. Napisano je ovako:

Ostaci samo zapamtite tablicu stupnjeva. Osim, naravno, ako niste lijeni i lukavi poput matematičara. Ako volite naporno raditi i griješiti, možete nastaviti brojati prstom.

Pa da vas konačno uvjerim da su diplome izmislili klošari i lukavci da riješe svoje životne probleme, a da vam ne stvaram probleme evo još par primjera iz života.

Primjer iz stvarnog života #4

Imate milijun rubalja. Na početku svake godine za svaki milijun zaradite još jedan milijun. Odnosno, svaki se vaš milijun na početku svake godine udvostruči. Koliko ćete novca imati za godine? Ako sada sjedite i “brojite s prstom”, onda ste jako radišna osoba i .. glupa. Ali najvjerojatnije ćete dati odgovor za nekoliko sekundi, jer ste pametni! Dakle, prve godine - dva puta dva ... druge godine - što se dogodilo, još dvije, treće godine ... Stop! Primijetili ste da se broj jednom množi sam sa sobom. Dakle, dva na petu potenciju je milijun! Sada zamislite da imate konkurenciju i onaj tko brže računa dobit će te milijune... Isplati li se pamtiti stupnjeve brojeva, što mislite?

Primjer iz stvarnog života #5

Imaš milijun. Na početku svake godine zaradite dva više za svaki milijun. super je zar ne? Svaki milijun se utrostručuje. Koliko ćete novca imati za godinu dana? Ajmo računati. Prva godina - pomnoži s, pa rezultat s još jednim ... Već je dosadno, jer si već sve shvatio: tri se množi sa samim sobom puta. Dakle, četvrta potencija je milijun. Samo trebate zapamtiti da je tri na četvrtu potenciju ili.

Sada znate da ćete dizanjem broja na potenciju znatno olakšati svoj život. Pogledajmo dalje što možete učiniti s diplomama i što trebate znati o njima.

Pojmovi i pojmovi ... da ne bude zabune

Dakle, prvo definirajmo pojmove. Što misliš, što je eksponent? Vrlo je jednostavno - ovo je broj koji je "na vrhu" snage broja. Nije znanstveno, ali jasno i lako za pamćenje ...

Pa, u isto vrijeme, što takva baza stupnja? Još jednostavniji je broj koji je na dnu, u bazi.

Evo slike da budete sigurni.

Pa, općenito, radi generalizacije i boljeg pamćenja ... Stupanj s bazom "" i indikatorom "" čita se kao "u stupnju" i piše se na sljedeći način:

Potencija broja s prirodnim eksponentom

Vjerojatno ste već pogodili: jer je eksponent prirodan broj. Da, ali što je prirodni broj? Osnovno! Prirodni brojevi su oni koji se koriste pri brojanju prilikom nabrajanja predmeta: jedan, dva, tri... Kada brojimo predmete, ne kažemo: “minus pet”, “minus šest”, “minus sedam”. Ne kažemo ni "jedna trećina" ili "nula zarez pet desetinki". Ovo nisu prirodni brojevi. Što mislite koji su ovi brojevi?

Brojevi poput "minus pet", "minus šest", "minus sedam" odnose se na cijeli brojevi. Općenito, cijeli brojevi uključuju sve prirodne brojeve, brojeve suprotne prirodnim brojevima (tj. uzete s predznakom minus) i brojeve. Nulu je lako razumjeti - ovo je kada nema ničega. A što znače negativni ("minus") brojevi? Ali oni su izmišljeni prvenstveno za označavanje dugova: ako imate stanje na svom telefonu u rubljama, to znači da operateru dugujete rublje.

Svi razlomci su racionalni brojevi. Kako su nastali, što mislite? Jako jednostavno. Prije nekoliko tisuća godina naši su preci otkrili da nemaju dovoljno prirodnih brojeva za mjerenje duljine, težine, površine itd. I smislili su racionalni brojevi… Zanimljivo, zar ne?

Postoje i iracionalni brojevi. Koje su ovo brojke? Ukratko, beskonačni decimalni razlomak. Na primjer, ako opseg kruga podijelite s njegovim promjerom, tada ćete dobiti iracionalan broj.

Sažetak:

Definirajmo pojam stupnja, čiji je eksponent prirodni broj (to jest, cijeli i pozitivan).

1. Bilo koji broj na prvu potenciju jednak je sebi:
2. Kvadrirati broj znači pomnožiti ga samim sobom:
3. Kockati broj znači pomnožiti ga samim sobom tri puta:

Definicija. Povećati broj na prirodni stepen znači pomnožiti broj samim sobom puta:
.

Svojstva stupnja

Odakle ta svojstva? Sad ću ti pokazati.

Da vidimo što je i ?

Po definiciji:

Koliko je ukupno množitelja?

Vrlo je jednostavno: dodali smo faktore faktorima, a rezultat su faktori.

Ali po definiciji, ovo je stupanj broja s eksponentom, to jest: , koji je trebalo dokazati.

Primjer: Pojednostavite izraz.

Riješenje:

Primjer: Pojednostavite izraz.

Riješenje: Važno je napomenuti da u našem pravilu nužno mora biti iste osnove!
Stoga kombiniramo stupnjeve s bazom, ali ostajemo zasebni faktor:

samo za proizvode moći!

Ni pod kojim okolnostima to ne biste smjeli napisati.

2. odnosno -tu potenciju broja

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stupnja:

Ispostavilo se da se izraz množi sam sa sobom jednom, odnosno, prema definiciji, ovo je ti stepen broja:

Zapravo, to se može nazvati "stavljanje indikatora u zagrade". Ali ovo nikada ne možete učiniti u potpunosti:

Prisjetimo se formule za skraćeno množenje: koliko smo puta htjeli napisati?

Ali to zapravo nije istina.

Stupanj s negativnom bazom

Do ove točke samo smo raspravljali o tome što bi eksponent trebao biti.

Ali što bi trebala biti osnova?

U stupnjevima od prirodni pokazatelj osnova može biti bilo koji broj. Doista, možemo pomnožiti bilo koji broj jedan s drugim, bez obzira jesu li pozitivni, negativni ili parni.

Razmislimo o tome koji će znakovi ("" ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, hoće li broj biti pozitivan ili negativan? ALI? ? S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva međusobno pomnožimo, rezultat će biti pozitivan.

Ali one negativne su malo zanimljivije. Uostalom, sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: “minus puta minus daje plus.” Odnosno, ili. Ali ako pomnožimo s, ispada.

Sami odredite koji će predznak imati sljedeći izrazi:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Jeste li uspjeli?

Evo odgovora: U prva četiri primjera, nadam se, sve je jasno? Jednostavno pogledamo bazu i eksponent i primijenimo odgovarajuće pravilo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U primjeru 5), sve također nije tako strašno kao što se čini: nije važno čemu je baza jednaka - stupanj je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan.

Pa, osim kada je baza nula. Baza nije ista, zar ne? Očito ne, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan!

6 primjera iz prakse

Analiza rješenja 6 primjera

Ako ne obratimo pozornost na osmi stupanj, što vidimo ovdje? Pogledajmo program za 7. razred. Dakle, sjećaš se? Ovo je skraćena formula množenja, odnosno razlika kvadrata! Dobivamo:

Pažljivo gledamo nazivnik. Izgleda kao jedan od faktora brojnika, ali što nije u redu? Pogrešan redoslijed pojmova. Kad bi se zamijenili, moglo bi vrijediti pravilo.

Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo jednostavno: tu nam pomaže parni stupanj nazivnika.

Pojmovi su magično promijenili mjesta. Ovaj "fenomen" vrijedi za svaki izraz u jednakoj mjeri: možemo slobodno mijenjati znakove u zagradama.

Ali važno je zapamtiti: svi se znakovi mijenjaju u isto vrijeme!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

cijeli imenujemo prirodne brojeve, njihove suprotnosti (to jest, uzete sa znakom "") i broj.

pozitivan cijeli broj, i ne razlikuje se od prirodnog, tada sve izgleda točno kao u prethodnom odjeljku.

Sada pogledajmo nove slučajeve. Počnimo s pokazateljem jednakim.

Svaki broj na nultu potenciju jednak je jedan:

Kao i uvijek, pitamo se: zašto je to tako?

Razmotrite malo snage s bazom. Uzmite, na primjer, i pomnožite sa:

Dakle, pomnožili smo broj sa, i dobili isto kao što je bilo -. S kojim brojem treba pomnožiti da se ništa ne promijeni? Tako je, na. Sredstva.

Isto možemo učiniti s proizvoljnim brojem:

Ponovimo pravilo:

Svaki broj na nultu potenciju jednak je jedan.

Ali postoje iznimke od mnogih pravila. I ovdje je također tu - ovo je broj (kao baza).

S jedne strane, mora biti jednak bilo kojem stupnju - koliko god nulu množili sa samom sobom, svejedno ćete dobiti nulu, to je jasno. Ali s druge strane, kao i svaki broj na nulti stupanj, mora biti jednak. Dakle, što je istina o ovome? Matematičari su se odlučili ne miješati i odbili su podići nulu na nultu potenciju. Odnosno, sada ne samo da možemo dijeliti s nulom, već i podići na nultu potenciju.

Idemo dalje. Osim prirodnih brojeva i brojeva, cijeli brojevi uključuju i negativne brojeve. Da bismo razumjeli što je negativni eksponent, učinimo kao u posljednji put: pomnožite neki normalan broj s istim u negativnom stupnju:

Odavde je već lako izraziti željeno:

Sada proširujemo dobiveno pravilo na proizvoljan stupanj:

Dakle, formulirajmo pravilo:

Broj na negativnu potenciju obrnut je od istog broja na pozitivnu potenciju. Ali u isto vrijeme baza ne može biti nula:(jer je nemoguće podijeliti).

Ukratko:

I. Izraz nije definiran u slučaju. Ako tada.

II. Bilo koji broj na nultu potenciju jednak je jedan: .

III. Broj koji nije jednak nuli na negativnu potenciju je obrnut od istog broja na pozitivnu potenciju: .

Zadaci za samostalno rješavanje:

Pa, kao i obično, primjeri za neovisno rješenje:

Analiza zadataka za samostalno rješavanje:

Znam, znam, brojke su strašne, ali na ispitu morate biti spremni na sve! Riješite ove primjere ili analizirajte njihovo rješenje ako ga niste mogli riješiti i naučit ćete kako se s njima lako nositi na ispitu!

Nastavimo širiti raspon brojeva "prikladnih" kao eksponent.

Sada razmislite racionalni brojevi. Koji se brojevi nazivaju racionalnim?

Odgovor: sve što se može predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi, štoviše.

Da shvatim što jest "frakcijski stupanj" Razmotrimo razlomak:

Podignimo obje strane jednadžbe na potenciju:

Sada zapamtite pravilo "stupanj u stupanj":

Koji se broj mora podići na potenciju da bi se dobio?

Ova formulacija je definicija korijena th stupnja.

Dopustite da vas podsjetim: korijen th potencije broja () je broj koji je, kada se podigne na potenciju, jednak.

To jest, korijen th stupnja je inverzna operacija stepenovanja: .

Ispostavilo se da. Očito ovo poseban slučaj može se produžiti: .

Sada dodajte brojnik: što je to? Odgovor je lako dobiti s pravilom snage na snagu:

Ali može li baza biti bilo koji broj? Uostalom, korijen se ne može izvući iz svih brojeva.

nijedan!

Zapamtite pravilo: svaki broj podignut na parnu potenciju je pozitivan broj. Odnosno, nemoguće je izvući korijene parnog stupnja iz negativnih brojeva!

A to znači da se takve brojke ne mogu dići razlomački stupanj s parnim nazivnikom, odnosno izraz nema smisla.

Što je s izražavanjem?

Ali tu nastaje problem.

Broj se može prikazati kao drugi, reducirani razlomci, na primjer, ili.

I ispada da postoji, ali ne postoji, a to su samo dva različita zapisa istog broja.

Ili drugi primjer: jednom, onda to možete zapisati. Ali čim indikator napišemo na drugačiji način, opet imamo problema: (odnosno, dobili smo potpuno drugačiji rezultat!).

Da biste izbjegli takve paradokse, razmislite samo pozitivni osnovni eksponent s razlomačkim eksponentom.

Pa ako:

• - prirodni broj;
• je cijeli broj;

Primjeri:

Potencijali s racionalnim eksponentom vrlo su korisni za transformiranje izraza s korijenima, na primjer:

5 primjera iz prakse

Analiza 5 primjera za obuku

E, sad - najteže. Sada ćemo analizirati stupanj s iracionalnim eksponentom.

Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao i za stupnjeve s racionalnim eksponentom, s izuzetkom

Doista, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (to jest, iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Proučavajući stupnjeve s prirodnim, cjelobrojnim i racionalnim pokazateljem, svaki put smo izmišljali određenu “sliku”, “analogiju” ili opis poznatijim terminima.

Na primjer, prirodni eksponent je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta;

...nulta snaga- ovo je, takoreći, broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno još se nije počeo množiti, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - stoga je rezultat samo određeni "prazan broj" , naime broj;

...negativni cijeli broj eksponent- kao da se dogodio određeni "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podijeljen.

Inače, znanost često koristi stupanj sa složenim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj.

Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imat ćete priliku shvatiti ove nove koncepte na institutu.

GDJE SMO SIGURNI DA ĆETE OTIĆI! (ako naučiš rješavati takve primjere :))

Na primjer:

Odlučite sami:

Analiza rješenja:

1. Počnimo s već uobičajenim pravilom za podizanje stupnja na stupanj:

Sada pogledajte rezultat. Podsjeća li vas on na nešto? Podsjećamo na formulu za skraćeno množenje razlike kvadrata:

U ovom slučaju,

Ispostavilo se da:

Odgovor: .

2. Dajemo razlomke u eksponentima k iste vrste: Ili obje decimale ili obje normalne. Dobivamo, na primjer:

Odgovor: 16

3. Ništa posebno, primjenjujemo uobičajena svojstva stupnjeva:

NAPREDNA RAZINA

Definicija stupnja

Stupanj je izraz oblika: , gdje je:

• — baza diplome;
• - eksponent.

Stupanj s prirodnim eksponentom (n = 1, 2, 3,...)

Dizanje broja na prirodnu potenciju n znači množenje broja samim sobom puta:

Potencija s cjelobrojnim eksponentom (0, ±1, ±2,...)

Ako je eksponent pozitivan cijeli broj broj:

erekcija na nultu snagu:

Izraz je neodređen, jer je, s jedne strane, na bilo koji stupanj ovo, a s druge strane, bilo koji broj na ti stupanj je ovo.

Ako je eksponent cijeli broj negativan broj:

(jer je nemoguće podijeliti).

Još jednom o nulama: izraz nije definiran u slučaju. Ako tada.

Primjeri:

Stupanj s racionalnim eksponentom

• - prirodni broj;
• je cijeli broj;

Primjeri:

Svojstva stupnja

Da bismo lakše riješili probleme, pokušajmo razumjeti: odakle dolaze ta svojstva? Dokažimo im.

Pogledajmo: što je i?

Po definiciji:

Dakle, na desnoj strani ovog izraza dobiva se sljedeći produkt:

Ali po definiciji, ovo je potencija broja s eksponentom, to jest:

Q.E.D.

Primjer : Pojednostavite izraz.

Riješenje : .

Primjer : Pojednostavite izraz.

Riješenje : Važno je napomenuti da u našem pravilu nužno moraju imati istu osnovu. Stoga kombiniramo stupnjeve s bazom, ali ostajemo zasebni faktor:

Još važna nota: ovo pravilo je - samo za proizvode moći!

Ni pod kojim uvjetima to ne bih smio napisati.

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stupnja:

Preuredimo to ovako:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom jednom, odnosno, prema definiciji, ovo je -ta snaga broja:

Zapravo, to se može nazvati "stavljanje indikatora u zagrade". Ali ovo nikada ne možete učiniti u potpunosti:!

Prisjetimo se formule za skraćeno množenje: koliko smo puta htjeli napisati? Ali to zapravo nije istina.

Snaga s negativnom bazom.

Do ove točke razgovarali smo samo o onome što bi trebalo biti indeks stupanj. Ali što bi trebala biti osnova? U stupnjevima od prirodni indikator osnova može biti bilo koji broj .

Doista, možemo pomnožiti bilo koji broj jedan s drugim, bez obzira jesu li pozitivni, negativni ili parni. Razmislimo o tome koji će znakovi ("" ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, hoće li broj biti pozitivan ili negativan? ALI? ?

S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva međusobno pomnožimo, rezultat će biti pozitivan.

Ali one negativne su malo zanimljivije. Uostalom, sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: “minus puta minus daje plus.” Odnosno, ili. Ali ako pomnožimo s (), dobit ćemo -.

I tako u nedogled: svakim sljedećim množenjem predznak će se mijenjati. Moguće je tako formulirati jednostavna pravila:

1. čak stupanj, - broj pozitivan.
2. Negativan broj podignut na neparan stupanj, - broj negativan.
3. pozitivan broj na bilo koju potenciju je pozitivan broj.
4. Nula na bilo koju potenciju jednaka je nuli.

Sami odredite koji će predznak imati sljedeći izrazi:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Jeste li uspjeli? Evo odgovora:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno pogledamo bazu i eksponent i primijenimo odgovarajuće pravilo.

U primjeru 5), sve također nije tako strašno kao što se čini: nije važno čemu je baza jednaka - stupanj je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan. Pa, osim kada je baza nula. Baza nije ista, zar ne? Očito ne, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan. Ovdje morate saznati što je manje: ili? Ako se toga sjetite, postaje jasno da, što znači da je baza manja od nule. Odnosno, primjenjujemo pravilo 2: rezultat će biti negativan.

I opet koristimo definiciju stupnja:

Sve je kao i obično - zapišemo definiciju stupnjeva i podijelimo ih jedne na druge, podijelimo ih u parove i dobijemo:

Prije rastavljanja posljednje pravilo Pogledajmo nekoliko primjera.

Izračunajte vrijednosti izraza:

Rješenja :

Ako ne obratimo pozornost na osmi stupanj, što vidimo ovdje? Pogledajmo program za 7. razred. Dakle, sjećaš se? Ovo je skraćena formula množenja, odnosno razlika kvadrata!

Dobivamo:

Pažljivo gledamo nazivnik. Izgleda kao jedan od faktora brojnika, ali što nije u redu? Pogrešan redoslijed pojmova. Da su obrnute, moglo bi se primijeniti pravilo 3. Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo jednostavno: tu nam pomaže parni stupanj nazivnika.

Ako to pomnožite s, ništa se ne mijenja, zar ne? Ali sada to izgleda ovako:

Pojmovi su magično promijenili mjesta. Ovaj "fenomen" vrijedi za svaki izraz u jednakoj mjeri: možemo slobodno mijenjati znakove u zagradama. Ali važno je zapamtiti: svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme! To se ne može nadomjestiti promjenom samo jednog nama nepoželjnog minusa!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Sada zadnje pravilo:

Kako ćemo to dokazati? Naravno, kao i obično: proširimo pojam diplome i pojednostavnimo:

E, sad otvorimo zagrade. Koliko će slova biti? puta množiteljima - kako to izgleda? Ovo nije ništa drugo nego definicija operacije množenje: pokazalo se da ukupno ima množitelja. To jest, to je, po definiciji, potencija broja s eksponentom:

Primjer:

Stupanj s iracionalnim eksponentom

Uz podatke o stupnjevima za prosječnu razinu, analizirat ćemo stupanj s iracionalnim pokazateljem. Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao i za stupanj s racionalnim eksponentom, s izuzetkom - nakon svega, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (tj. iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Proučavajući stupnjeve s prirodnim, cjelobrojnim i racionalnim pokazateljem, svaki put smo izmišljali određenu “sliku”, “analogiju” ili opis poznatijim terminima. Na primjer, prirodni eksponent je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta; broj na nulti stupanj je takoreći jedan broj pomnožen sam sa sobom, odnosno još se nije počeo množiti, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - dakle, rezultat je samo određena “priprava broja”, naime broja; stupanj s cjelobrojnim negativnim pokazateljem - kao da se dogodio određeni "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podijeljen.

Iznimno je teško zamisliti stupanj s iracionalnim eksponentom (kao što je teško zamisliti 4-dimenzionalni prostor). Umjesto toga, to je čisto matematički objekt koji su matematičari stvorili kako bi proširili koncept stupnja na cijeli prostor brojeva.

Inače, znanost često koristi stupanj sa složenim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj. Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imat ćete priliku shvatiti ove nove koncepte na institutu.

Pa što ćemo ako vidimo iracionalni pokazatelj stupnjevi? Dajemo sve od sebe da ga se riješimo! :)

Na primjer:

Odlučite sami:

1)

2)

3)

odgovori:

1. Zapamtite formulu razlike kvadrata. Odgovor: .
2. Razlomke dovodimo u isti oblik: ili oba decimala, ili oba obična. Dobivamo, na primjer: .
3. Ništa posebno, primjenjujemo uobičajena svojstva stupnjeva:

SAŽETAK ODJELJKA I OSNOVNA FORMULA

Stupanj naziva se izraz oblika: , gdje je:

Stupanj s cjelobrojnim eksponentom

stupanj, čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli i pozitivan).

Stupanj s racionalnim eksponentom

stupanj, čiji su pokazatelj negativni i razlomački brojevi.

Stupanj s iracionalnim eksponentom

eksponent čiji je eksponent beskonačni decimalni razlomak ili korijen.

Svojstva stupnja

Značajke stupnjeva.

• Negativan broj podignut na čak stupanj, - broj pozitivan.
• Negativan broj podignut na neparan stupanj, - broj negativan.
• Pozitivan broj na bilo koju potenciju je pozitivan broj.
• Nula je jednaka bilo kojoj potenciji.
• Svaki broj na nultu potenciju je jednak.

SADA IMATE RIJEČ...

Kako vam se sviđa članak? Javite mi u komentarima ispod je li vam se svidjelo ili ne.

Recite nam nešto o svom iskustvu sa svojstvima snage.

Možda imate pitanja. Ili prijedloge.

Pišite u komentarima.

I sretno na ispitima!