Da vidimo sad je li to istina valna jednadžba opisuje osnovna svojstva zvučni valovi u okolini. Prije svega, želimo to zaključiti zvučna vibracija, ili perturbacija, kreće se sa stalna brzina. Osim toga, treba dokazati da dvije različite vibracije mogu slobodno prolaziti jedna kroz drugu, tj. princip superpozicije. Također želimo dokazati da se zvuk može širiti i udesno i ulijevo. Sva ova svojstva moraju biti sadržana u našoj jednoj jednadžbi.

Ranije smo primijetili da se svaka perturbacija koja ima oblik ravnog vala i kreće se konstantnom brzinom može napisati kao f(x—vt). Da vidimo sada hoće li f(x— vt) rješenje valne jednadžbe. Računalstvo dχ/dx, dobivamo izvod funkcije d χ / dx= f`(x—vt). Opet diferencirajući, nalazimo

Razlikovanje iste funkcije χ na t, dobiti vrijednost - v, pomnoženo izvodom, odn d χ / dt = —vf`(x — vt); druga derivacija u odnosu na vrijeme daje

Očito je da f (X — vt) zadovoljava valnu jednadžbu ako v jednaki cs.
Dakle, iz zakona mehanike dobivamo da se svaki zvučni poremećaj širi brzinom cs i osim toga,

time povezali smo brzinu zvučnih valova sa svojstvimaokoliš.

Lako je vidjeti da se zvučni val može širiti iu negativnom smjeru X, tj. zvučni poremećaj forme χ(x, t)=g(x+vt) također zadovoljava valnu jednadžbu. Jedina razlika između ovog vala i onog koji se širio s lijeva na desno je predznak v, ali znak d 2 χ / dt2 ne ovisi o izboru x+vt ili x—vt, jer ova izvedenica sadrži samo v 2. Slijedi da rješenje jednadžbe opisuje valove koji putuju u bilo kojem smjeru brzinom cs .


Od posebnog je interesa pitanje superpozicije rješenja. Recimo da smo našli jedno rješenje, recimo χ 1 . To znači da je druga derivacija χ 1 . na x jednaka drugoj derivaciji χ 1 na t, pomnoženo s 1/c 2 s . I neka postoji drugo rješenje χ 2 imajući isto svojstvo. Zbrajanjem ova dva rješenja dobivamo

Sada se želimo u to uvjeriti χ(x,t) također predstavlja određeni val, tj. χ također zadovoljava valnu jednadžbu. To je vrlo lako dokazati, jer

Otuda slijedi da d 2 χ/dx 2 = (1/c 2 s)d2χ ldt2, pa je provjerena valjanost principa superpozicije. Samo postojanje principa superpozicije posljedica je činjenice da valna jednadžba linearno na χ .


Sada bi bilo prirodno očekivati ​​da stan svjetlosni val, šireći se duž osi x a polarizirano tako da je električno polje usmjereno duž osi na, također zadovoljava valnu jednadžbu

gdje S je brzina svjetlosti. Valna jednadžba za svjetlosni val jedna je od posljedica Maxwellovih jednadžbi. Jednadžbe elektrodinamike dovode do valne jednadžbe za svjetlost, kao što jednadžbe mehanike dovode do valne jednadžbe za zvuk.

Valovi. valna jednadžba

Osim gibanja koja smo već razmotrili, u gotovo svim područjima fizike postoji još jedna vrsta gibanja - valovi. Posebnost Ovo kretanje, što ga čini jedinstvenim, sastoji se u tome što se u valu ne šire čestice materije, već promjene u njihovom stanju (poremećaji).

Poremećaji koji se šire u prostoru tijekom vremena nazivaju se valovi . Valovi su mehanički i elektromagnetski.

elastični valovišire se poremećaji elastičnog medija.

Poremećaj elastičnog medija je svako odstupanje čestica tog medija od ravnotežnog položaja. Perturbacije nastaju kao rezultat deformacije medija na bilo kojem od njegovih mjesta.

Skup svih točaka u koje je val dospio ovaj trenutak vrijeme, tvori plohu tzv valna fronta .

Prema obliku prednje strane valovi se dijele na sferne i ravne. Smjer određuje se širenje fronte vala okomito na valnu frontu, tzv greda . Za sferni val, zrake su radijalno divergentna zraka. Za ravni val, zraka je zraka paralelnih pravaca.

U svakom mehaničkom valu istovremeno postoje dvije vrste gibanja: oscilacije čestica medija i širenje poremećaja.

Val u kojem se titranje čestica medija i širenje poremećaja odvijaju u istom smjeru naziva se uzdužni (sl.7.2 a).

Val u kojem čestice medija titraju okomito na smjer širenja poremećaja naziva se poprečni (Slika 7.2 b).

Kod longitudinalnog vala poremećaji predstavljaju kompresiju (ili razrjeđenje) medija, a kod transverzalnog vala su pomaci (smicanja) jednih slojeva medija u odnosu na druge. Longitudinalni valovi se mogu širiti u svim medijima (u tekućim, krutim i plinovitim), dok se transverzalni valovi mogu širiti samo u krutim.

Svaki val se širi određenom brzinom . Pod, ispod brzina vala υ razumjeti brzinu širenja poremećaja. Brzina vala određena je svojstvima medija u kojem se taj val širi. U čvrstim je tijelima brzina uzdužnih valova veća od brzine poprečnih valova.

Valna duljinaλ je udaljenost preko koje se val širi u vremenu jednakom periodu titranja u njegovom izvoru. Budući da je brzina vala konstantna veličina (za određeno sredstvo), prijeđeni put vala jednak je umnošku brzine i vremena njegova širenja. Dakle, valna duljina

Iz jednadžbe (7.1) slijedi da čestice međusobno odvojene intervalom λ osciliraju u istoj fazi. Tada možemo dati sljedeću definiciju valne duljine: valna duljina je udaljenost između dvije najbliže točke koje osciliraju u istoj fazi.

Izvedimo jednadžbu ravnog vala, koja nam omogućuje da odredimo pomak bilo koje točke vala u bilo kojem trenutku. Neka se val širi duž snopa od izvora nekom brzinom v.

Izvor uzbuđuje jednostavan harmonijske vibracije, a pomak bilo koje točke vala u bilo kojem trenutku vremena određen je jednadžbom

S = Asinωt (7. 2)

Tada će točka medija, koja se nalazi na udaljenosti x od izvora vala, također izvoditi harmonijske oscilacije, ali s vremenskim kašnjenjem od , tj. vrijeme koje je potrebno da se vibracije prošire od izvora do te točke. Pomak točke osciliranja u odnosu na ravnotežni položaj u bilo kojem trenutku opisat ćemo relacijom

(7. 3)

Ovo je jednadžba ravnog vala. Ovaj val karakterizira sljedeće parametre:

· S - pomak od položaja ravnotežne točke elastičnog medija, do kojeg je oscilacija stigla;

· ω - ciklička frekvencija oscilacija koje stvara izvor, s kojom osciliraju i točke medija;

· υ - brzina širenja vala (fazna brzina);

x – udaljenost do one točke sredstva do koje je titraj došao i čiji je pomak jednak S;

· t – vrijeme od početka oscilacija;

Uvođenjem valne duljine λ u izraz (7.3), jednadžba ravnog vala može se napisati na sljedeći način:

(7. 4)

gdje zove se valni broj (broj valova po jedinici duljine).

valna jednadžba

Jednadžba ravnog vala (7.5) jedna je od moguća rješenja opća diferencijalna jednadžba s parcijalnim izvodnicama, koja opisuje proces širenja poremećaja u mediju. Takva se jednadžba naziva val . Jednadžbe (7.5) uključuju varijable t i x, tj. pomak se periodički mijenja iu vremenu iu prostoru S = f(x, t). Valna jednadžba može se dobiti diferenciranjem (7.5) dvaput u odnosu na t:

I dvaput x

Zamjenom prve jednadžbe u drugu dobivamo jednadžbu ravnog vala koji putuje duž X osi:

(7. 6)

Jednadžba (7.6) naziva se val, a za opći slučaj, kada je pomak funkcija četiri varijable, ima oblik

(7.7)

, gdje je Laplaceov operator

§ 7.3 Energija valova. Vektor Umov.

Pri širenju u mediju ravnog vala

(7.8)

odvija se prijenos energije. Izdvojimo mentalno elementarni volumen ∆V, koji je toliko malen da se brzina gibanja i deformacija u svim njegovim točkama mogu smatrati istim odnosno jednakim

Dodijeljeni volumen ima kinetičku energiju

(7.10)

m=ρ∆V je masa tvari u volumenu ∆V, ρ je gustoća medija].

(7.11)

Zamjenom u (7.10) vrijednosti , dobivamo

(7.12)

Maksimumi kinetičke energije padaju na one točke medija koje prolaze ravnotežne položaje u određenom trenutku vremena (S = 0), u tim trenucima vremena oscilatorno gibanje točaka medija karakterizira najveća brzina .

Razmatrani volumen ∆V ima i potencijalnu energiju elastične deformacije

[E - Youngov modul; - relativno produljenje ili kompresija].

Uzimajući u obzir formulu (7.8) i izraz za derivaciju, nalazimo da potencijalna energija jednako je

(7.13)

Analiza izraza (7.12) i (7.13) pokazuje da maksimumi potencijala i kinetička energija odgovarati. Treba napomenuti da je ovo karakteristična značajka trčanje valova. Odrediti puna energija volumen ∆V, trebate uzeti zbroj potencijalne i kinetičke energije:

Podijelimo li ovu energiju s volumenom u kojem je sadržana, dobivamo gustoću energije:

(7.15)

Iz izraza (7.15) slijedi da je gustoća energije funkcija x koordinate, tj. razne točke ona ima prostora razna značenja. Maksimalna vrijednost gustoća energije doseže one točke u prostoru gdje je pomak nula (S = 0). Prosječna gustoća energija u svakoj točki medija je

(7.16)

jer prosjek

Dakle, medij u kojem se val širi ima dodatnu zalihu energije, koja se predaje od izvora oscilacija do razna područja okoliš.

Prijenos energije u valovima kvantitativno je karakteriziran vektorom gustoće toka energije. Ovaj vektor je za elastični valovi nazvan Umov vektor (prema ruskom znanstveniku N. A. Umovu). Smjer Umov vektora podudara se sa smjerom prijenosa energije, a njegov modul jednak je energiji koju val prenese u jedinici vremena kroz jedinicu površine koja se nalazi okomito na smjer širenja vala.

Mehanizam nastanka mehaničkih valova u elastičnom mediju.

MEHANIČKI VALOVI

1. Mehanizam nastanka mehaničkih valova u elastičnom mediju. Uzdužni i poprečni valovi. Valna jednadžba i njezino rješenje. Harmonijski valovi i njihove karakteristike.

2. Fazna brzina i disperzija vala. Paket valova i grupna brzina.

3. Pojam koherencije. Interferencija valova. stojni valovi.

4. Dopplerov efekt za zvučne valove.

Ako se na bilo kojem mjestu elastičnog medija (krutog, tekućeg ili plinovitog) pobude oscilacije njegovih čestica, tada će se zbog međudjelovanja među česticama to titranje širiti u sredstvu od čestice do čestice određenom brzinom. Proces širenja oscilacija u prostoru naziva se val. geometrijsko mjesto točke do kojih oscilacije dopiru do trenutka t naziva se valna fronta (valna fronta). Ovisno o obliku fronte, val može biti sferičan, ravan itd.

Val se naziva longitudinalnim, ako se smjer pomaka čestica medija podudara sa smjerom širenja valova.

Uzdužni val se širi u krutim, tekućim i plinovitim medijima.

Val se naziva poprečnim, ako je pomak čestica medija okomit na smjer širenja vala. poprečni mehanički val odnosi se samo na čvrste tvari(u medijima otpornim na smicanje, stoga se takav val ne može širiti u tekućinama i plinovima).

Jednadžba za određivanje pomaka(x, t) bilo koje točke medija s koordinatom x u bilo kojem trenutku t naziva se valna jednadžba.

Na primjer, jednadžba ravnog vala, tj. val koji se širi u jednom smjeru, na primjer u smjeru osi x, ima oblik

Uvedimo vrijednost , koja se naziva valni broj.

Ako valni broj pomnožite s jedinični vektor smjeru širenja vala, tada dobivate vektor tzv valni vektor

Korištenje Laplaceovog operatora (Laplacian) ova se jednadžba može napisati konciznije

(Rješenje ove jednadžbe je valna jednadžba (28-1), (28-2).)

Definicija 1

U slučaju da se val širi u homogenom sredstvu, tada njegovo gibanje u opći slučaj opisati valna jednadžba (diferencijalna jednadžba u parcijalnim izvedenicama):

\[\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial t^2)=v^2\left(\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial x ^2)+\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial y^2)+\frac((\partial )^2\overdesight(s))(\partial z^2)\ desno)\lijevo(1\desno)\]

\[\trokut \overrightarrow(s)=\frac(1)(v^2)\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial t^2)\left(2\right), \]

gdje je $v$ fazna brzina vala $\triangle =\frac((\partial )^2)(\partial x^2)+\frac((\partial )^2)(\partial y^2) +\ frac((\partial )^2)(\partial z^2)$ je Laplaceov operator. Jednadžba (1.2) rješava se jednadžbom bilo kojeg vala; te jednadžbe zadovoljavaju, na primjer, i ravne i sferne valove.

Ako se ravni val širi duž $X$ osi, tada se jednadžba (1) prikazuje kao:

Napomena 1

Ako a fizička količinaširi poput vala, tada nužno zadovoljava valnu jednadžbu. Obratna izjava je istinita: ako se bilo koja veličina pokorava valnoj jednadžbi, tada se širi poput vala. Brzina širenja vala bit će jednaka korijen od koeficijenta koji stoji na zbroju prostornih derivacija (u ovoj vrsti zapisa).

Valna jednadžba ima vrlo važnu ulogu u fizici.

Rješenje valne jednadžbe za ravni val

Zapišimo zajednička odluka jednadžba (2), za svjetlosni val koji se širi u vakuumu ako je s skalarna funkcija ovisi samo o jednoj od Kartezijevih varijabli, npr. $z$, tj. $s=s(z,t)$, što znači da funkcija $s$ ima konstantnu vrijednost u točkama ravnine koja je okomita na $Z$ os. Valna jednadžba (1) će u ovom slučaju imati oblik:

gdje je brzina širenja svjetlosti u vakuumu jednaka $c$.

Opće rješenje jednadžbe (4) pod zadanim uvjetima bit će izraz:

gdje je $s_1\left(z+ct\right)$ funkcija koja opisuje val slobodni oblik, koji se giba brzinom $c$ u negativnom smjeru u odnosu na smjer Z$ osi, $s_2\left(z-ct\right)$ je funkcija koja opisuje proizvoljni val, koji se giba brzinom $ c$ u pozitivnom smjeru u odnosu na smjer $Z-osi. Treba napomenuti da su tijekom kretanja vrijednosti $s_1$ i $s_2$ u bilo kojoj točki vala i njegov oblik vala nepromijenjeni.

Ispada da je val, koji je opisan superpozicijom dvaju valova (u skladu s formulom (5)). Štoviše, ti sastavni valovi kreću se u suprotnim smjerovima. U tom slučaju više se ne može govoriti o brzini ili smjeru vala. U samom jednostavan slučaj ispada stojni val. U općem slučaju potrebno je razmotriti složeno elektromagnetsko polje.

Valna jednadžba i Maxwellov sustav jednadžbi

Valne jednadžbe za fluktuacije vektora intenziteta električno polje i vektor magnetske indukcije magnetsko polje lako se dobiva iz Maxwellovog sustava jednadžbi u diferencijalni oblik. Napišimo sustav Maxwellovih jednadžbi za tvar u kojoj nema besplatne naknade i struje vodljivosti:

Primijenimo operaciju $rot$ na jednadžbu (7):

U izrazu (10) moguće je mijenjati redoslijed diferenciranja na desnoj strani izraza, budući da su prostorne koordinate i vrijeme nezavisne varijable, pa imamo:

Uzmimo u obzir tu jednadžbu (6), zamijenimo $rot\overrightarrow(B)$ u izrazu (11) s desna strana formule (6) imamo:

Znajući da je $rotrot\overrightarrow(E)=graddiv\overrightarrow(E)-(\nabla )^2\overrightarrow(E)$ i koristeći $div\overrightarrow(E)=0$, dobivamo:

Slično se može dobiti valna jednadžba za vektor magnetske indukcije. Izgleda kao:

U izrazima (13) i (14) fazna brzina širenja vala $(v)$ jednaka je:

Primjer 1

Vježba: Dobijte opće rješenje valne jednadžbe $\frac((\partial )^2s)(\partial z^2)-\frac(1)(c^2)\frac((\partial )^2s)(\partial t^2 )=0(1.1)$ ravnog svjetlosnog vala.

Riješenje:

Uvedimo nezavisne varijable tipa za funkciju $s$:

\[\xi =z-ct,\ \eta =z+ct\lijevo(1.2\desno).\]

U ovom slučaju parcijalna derivacija $\frac(\partial s)(\partial z)$ jednaka je:

\[\frac(\partial s)(\partial z)=\frac(\partial s)(\partial \xi)\frac(\partial \xi)(\partial z)+\frac(\partial s)( \partial \eta )\frac(\partial \eta )(\partial z)=\frac(\partial s)(\partial \xi)+\frac(\partial s)(\partial \eta )\left(1.3 \pravo).\]

Parcijalna derivacija $\frac(\partial s)(\partial t)$ je:

\[\frac(\partial s)(\partial t)=\frac(\partial s)(\partial \xi)\frac(\partial \xi)(\partial t)+\frac(\partial s)( \partial \eta)\frac(\partial \eta)(\partial t)=-c\frac(\partial s)(\partial \xi)+c\frac(\partial s)(\partial \eta)\ do \frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)=-\frac(\partial s)(\partial \xi)+\frac(\partial s)(\partial \eta) \lijevo(1,4\desno).\]

Oduzimamo izraz po član izraz (1.4) od izraza (1.3), imamo:

\[\frac(\partial s)(\partial z)-\frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)=2\frac(\partial s)(\partial \xi) \lijevo(1,5\desno).\]

Počlano zbrajanje izraza (1.4) i (1.3) daje:

\[\frac(\partial s)(\partial z)-\frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)=2\frac(\partial s)(\partial \eta ) \lijevo(1,6\desno).\]

Nađimo umnožak lijevih dijelova izraza (1.5) i (1.6) i uzmemo u obzir rezultate zapisane u desnim dijelovima tih izraza:

\[\lijevo(\frac(\partial s)(\partial z)-\frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)\desno)\lijevo(\frac(\partial s )(\partial z)-\frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)\right)=\frac((\partial )^2s)(\partial z^2)-\ frac(1)(c^2)\frac((\partial )^2s)(\partial t^2)=4\frac(\partial )(\partial \xi )\frac(\partial s)(\partial \eta )=0\lijevo(1,7\desno).\]

Integriramo li izraz (1.7) preko $\xi $, tada dobivamo funkciju koja ne ovisi o ovoj varijabli i može ovisiti samo o $\eta $, što znači da je proizvoljna funkcija$\Psi(\eta)$. U tom slučaju jednadžba (1.7) će imati oblik:

\[\frac(\partial s)(\partial \eta )=\Psi \lijevo(\eta \desno)\lijevo(1,8\desno).\]

Integrirajmo (1.8) preko $\eta $ imamo:

gdje je $s_1\left(3\right)$ antiderivacija, $s_2\left(\xi \right)$ integracijska konstanta. Štoviše, funkcije $s_1$ i $s_2$ su proizvoljne. Uzimajući u obzir izraze (1.2), opće rješenje jednadžbe (1.1) može se napisati kao:

Odgovor:$s\lijevo(z,t\desno)=s_1\lijevo(z+ct\desno)+s_2\lijevo(z-ct\desno).$

Primjer 2

Vježba: Iz valne jednadžbe odredite kolika je fazna brzina širenja ravnog svjetlosnog vala.

Riješenje:

Uspoređujući valnu jednadžbu, na primjer, za vektor polja, dobiven iz Maxwellovih jednadžbi:

\[(\nabla )^2\overrightarrow(E)-\varepsilon (\varepsilon )_0\mu (\mu )_0\frac((\partial )^2\overrightarrow(E))(\partial t^2) =0(2,1)\]

s valnom jednadžbom:

\[\trokut \overrightarrow(s)=\frac(1)(v^2)\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial t^2)(2.2)\]

omogućuje nam da zaključimo da je brzina širenja vala $(v)$ jednaka:

Ali ovdje je potrebno napomenuti da pojam brzine elektromagnetskog vala ima određeno značenje samo kod valova jednostavne konfiguracije; za takve valove je, primjerice, prikladna kategorija ravnih valova. Dakle $v$ neće biti brzina širenja vala u slučaju izvedenog rješenja valne jednadžbe, što uključuje npr. stojne valove.

Odgovor:$v=\frac(c)(\sqrt(\mu \varepsilon )).$

Jedna od najčešćih parcijalnih diferencijalnih jednadžbi drugog reda u inženjerskoj praksi je valna jednadžba koja opisuje različite vrste fluktuacije. Budući da su oscilacije nestacionarni proces, jedna od nezavisnih varijabli je vrijeme t. Osim toga, nezavisne varijable u jednadžbi su i prostorne koordinate x, y,z. Ovisno o njihovom broju razlikuju se jednodimenzionalne, dvodimenzionalne i trodimenzionalne valne jednadžbe.

Jednodimenzionalna valna jednadžba- jednadžba koja opisuje uzdužne vibracije štapa čiji su presjeci planparalelni oscilatorna kretanja, kao i poprečne vibracije tanke šipke (strune) i drugi zadaci. 2D valna jednadžba koristi se za proučavanje oscilacija tanka ploča(membrane). 3D valna jednadžba opisuje širenje valova u prostoru (npr. zvučni valovi u tekućini, elastični valovi u kontinuiranom sredstvu itd.).

Razmotrimo jednodimenzionalnu valnu jednadžbu, koja se može napisati kao

Za poprečne vibracije žice, željena funkcija U(x, t) opisuje položaj niza u ovom trenutku t. U ovom slučaju a 2 = T/ρ, gdje T - napetost žice, ρ - njegova linearna (linearna) gustoća. Pretpostavlja se da su fluktuacije male, tj. amplituda je mala u usporedbi s duljinom žice. Osim toga, jednadžba (2.63) je napisana za slučaj slobodnih vibracija. Kada prisilne vibracije neka se funkcija dodaje na desnu stranu jednadžbe f(x, t), karakterizirajući vanjski utjecaji, dok je otpor medija oscilatorni proces nije uzeto u obzir.

Najjednostavniji zadatak za jednadžbu (2.63) je Cauchyjev problem: u početni trenutak vremena postavljaju se dva uvjeta (broj uvjeta jednak je redu izvoda s obzirom na t):

Ovi uvjeti opisuju početni oblik niz i brzinu njegovih točaka.

U praksi je češće potrebno rješavati ne Cauchyjev problem za beskonačni niz, već mješoviti problem za ograničeni niz neke duljine. l. U ovom slučaju, rubni uvjeti su postavljeni na njegovim krajevima. Konkretno, kada su krajevi fiksirani, njihovi pomaci su jednaki nuli, a rubni uvjeti imaju oblik

Razmotrimo neke diferencijske sheme za rješavanje problema (2.63)-(2.65). Najjednostavnija je eksplicitna troslojna križna shema (predložak je prikazan na slici 2.21). Zamijenimo u jednadžbi (2.63) druge derivacije tražene funkcije U na t i x njihove relacije konačnih razlika koristeći vrijednosti mrežne funkcije u čvorovima mreže:

Riža. 2.21. Eksplicitni uzorak sheme

Odavde se može pronaći eksplicitan izraz za vrijednost mrežne funkcije na ( j + 1) sloj:

Ovdje, kao i obično u troslojnim shemama, odrediti nepoznate vrijednosti na ( j + 1) sloj mora znati rješenja na j-om i ( j- 1)ti slojevi. Stoga je moguće započeti brojanje pomoću formula (2.66) samo za drugi sloj, a rješenja na nultom i prvom sloju moraju biti poznata. Oni se nalaze pomoću početnih uvjeta (2.64). Na nultom sloju imamo

Za dobivanje rješenja na prvom sloju koristimo drugi početni uvjet (2.64). Derivaciju zamjenjujemo aproksimacijom konačnih razlika. U najjednostavnijem slučaju pretpostavlja se

(2.68)

Iz ove relacije mogu se pronaći vrijednosti mrežne funkcije na prvom vremenskom sloju:

Imajte na umu da aproksimacija početno stanje u obliku (2.68) pogoršava aproksimaciju izvornika diferencijalni problem: pogreška aproksimacije postaje reda veličine , tj. prva narudžba u τ, iako sama shema (2.66) ima drugi red aproksimacije u h i τ. Situacija se može ispraviti ako umjesto (2.69) uzmemo točniji prikaz:

(2.70)

Umjesto toga, uzmite. A izraz za drugu derivaciju može se pronaći pomoću izvorne jednadžbe (2.63) i prvog početnog uvjeta (2.64). Dobiti

Tada (2.70) ima oblik:

Diferencijalna shema (2.66), uzimajući u obzir (2.71), ima pogrešku aproksimacije reda

Pri rješavanju mješovitog problema s rubnim uvjetima oblika (2.65), tj. kada su vrijednosti same funkcije dane na krajevima segmenta koji se razmatra, čuva se drugi red aproksimacije. U ovom slučaju, radi praktičnosti, ekstremni čvorovi mreže nalaze se na graničnim točkama ( x0=0, xI = l). Međutim, rubni uvjeti mogu se odrediti i za derivaciju.

Na primjer, u slučaju besplatnog uzdužne vibraciješipka na svom labavom kraju, stanje

Ako je ovaj uvjet napisan u obliku razlike s prvim redom aproksimacije, tada pogreška aproksimacije sheme postaje reda . Stoga, da bi se očuvao drugi red ove sheme u smislu h potrebno je rubni uvjet (2.72) aproksimirati drugim redom.

Razmatrana diferencijska shema (2.66) za rješavanje problema (2.63) - (2.65) je uvjetno stabilna. Neophodno i dovoljan uvjet održivost:

Prema tome, pod ovim uvjetom i uzimajući u obzir aproksimaciju, shema (2.66) konvergira u izvorni problem s brzinom O(h2 + τ 2 ). Ova se shema često koristi u praktičnim proračunima. Omogućuje prihvatljivu točnost rješenja. U(x, t), koji ima kontinuirane izvodnice četvrtog reda.

Riža. 2.22. Algoritam za rješavanje valne jednadžbe

Algoritam za rješavanje problema (2.63)-(2.65) uz pomoć ove eksplicitne diferencijske sheme prikazan je na sl. 2.22. Predstavljeno ovdje najjednostavnija opcija, kada se sve vrijednosti mrežne funkcije, tvoreći dvodimenzionalni niz, pohranjuju u memoriju računala tijekom izračuna, a nakon rješavanja problema prikazuju se rezultati. Moglo bi se predvidjeti pohranjivanje rješenja na samo tri sloja, čime bi se uštedjela memorija. Rezultati se u ovom slučaju mogu prikazati tijekom procesa izračuna (vidi sl. 2.13).

Postoje i druge diferencijske sheme za rješavanje valne jednadžbe. Konkretno, ponekad je prikladnije koristiti implicitne sheme kako bi se oslobodili ograničenja veličine koraka nametnutih uvjetom (2.73). Ove sheme su obično apsolutno stabilne, ali algoritam za rješavanje problema i računalni program postaju kompliciraniji.

Konstruirajmo najjednostavniju implicitnu shemu. Druga derivacija u odnosu na t u jednadžbi (2.63) aproksimiramo, kao i prije, uzorkom od tri točke koristeći vrijednosti mrežne funkcije na slojevima j- 1, j, j + 1. Izvedenica prema x zamijenimo poluzbroj njegove aproksimacije na ( j + 1)-ohm i ( j- 1) slojevi (sl. 2.23):

Riža. 2.23. Implicitni uzorak sheme

Iz ove relacije može se dobiti sustav jednadžbi za nepoznate vrijednosti mrežne funkcije na ( j+ 1) sloj:

Rezultirajuća implicitna shema je stabilna i konvergira brzinom od . Linearni sustav algebarske jednadžbe(2.74) može se, posebice, riješiti metodom prevođenja. Ovaj sustav treba dopuniti različitim početnim i rubnim uvjetima. Stoga se izrazi (2.67), (2.69) ili (2.71) mogu koristiti za izračunavanje vrijednosti mrežne funkcije na nultom i prvom sloju vremena.

Za dvije ili tri neovisne prostorne varijable valne jednadžbe poprimaju oblik

Za njih se također mogu konstruirati sheme razlike analogno jednodimenzionalnoj valnoj jednadžbi. Razlika je u tome što je potrebno aproksimirati derivacije u odnosu na dvije ili tri prostorne varijable, što prirodno komplicira algoritam i zahtijeva mnogo više memorije i vremena računanja. Dvodimenzionalni problemi bit će detaljnije razmotreni u nastavku za jednadžbu topline.