1 znak jednakosti trokuta naziva se. Treći znak jednakosti trokuta

Među veliki iznos poligona, koji su u biti zatvorena izlomljena linija koja se ne siječe, trokut je lik s najmanje kutova. Drugim riječima, ovo je najjednostavniji poligon. Ali, unatoč svoj svojoj jednostavnosti, ova brojka je puna mnogih misterija i zanimljiva otkrića koji su osvijetljeni poseban odjeljak matematika – geometrija. Ova disciplina u školama počinje se učiti od sedmog razreda, a ovdje je dana tema "Trokut" Posebna pažnja. Djeca ne samo da uče pravila o samoj figuri, već ih i uspoređuju, proučavajući 1, 2 i 3 znak jednakosti trokuta.

Prvi susret

Jedno od prvih pravila koje učenici uče je otprilike ovo: zbroj svih kutova trokuta je 180 stupnjeva. Da bismo to potvrdili, dovoljno je izmjeriti svaki od vrhova uz pomoć kutomjera i zbrojiti sve dobivene vrijednosti. Na temelju toga, uz dvije poznate vrijednosti, lako je odrediti treću. na primjer: U trokutu je jedan od kutova 70°, a drugi 85°, kolika je vrijednost trećeg kuta?

180 - 85 - 70 = 25.

Odgovor: 25°.

Zadaci mogu biti još složeniji ako se naznači samo jedna vrijednost kuta, a druga vrijednost se kaže samo po tome koliko je ili koliko je puta veći ili manji.

U trokutu, za određivanje jedne ili druge njegove značajke, mogu se nacrtati posebne linije, od kojih svaka ima svoje ime:

• visina - okomita crta povučena s vrha na suprotnu stranu;
• sve tri visine, nacrtane istovremeno, sijeku se u središtu lika, tvoreći ortocentar, koji, ovisno o vrsti trokuta, može biti i iznutra i izvana;
• medijan - linija koja povezuje vrh sa sredinom suprotne strane;
• sjecište medijana je točka njegove gravitacije, smještena unutar figure;
• simetrala - pravac koji prolazi od vrha do točke presjeka sa suprotnom stranom, točka presjeka triju simetrala je središte upisane kružnice.

Jednostavne istine o trokutima

Trokuti, kao i svi oblici, imaju svoje karakteristike i svojstva. Kao što je već spomenuto, ova figura je najjednostavniji poligon, ali sa svojim karakterističnim značajkama:

• nasuprot najdužoj strani uvijek postoji kut s većom vrijednošću, i obrnuto;
• jednaki kutovi leže naspram jednakih stranica, primjer za to je jednakokračni trokut;
• zbroj unutarnjih kutova uvijek je 180°, što je već prikazano na primjeru;
• kada se jedna strana trokuta proširi izvan njegovih granica, nastaje vanjski kut, koji će uvijek biti jednak je zbroju uglovi koji nisu uz njega;
• svaka strana je uvijek manja od zbroja druge dvije strane, ali veća od njihove razlike.

Vrste trokuta

Sljedeća faza upoznavanja je određivanje skupine kojoj pripada predstavljeni trokut. Pripadnost određenoj vrsti ovisi o veličini kutova trokuta.

• Jednakokračna - s dvije jednake strane, koje se nazivaju bočnima, treća u ovom slučaju djeluje kao baza figure. Kutovi u bazi takvog trokuta su isti, a medijan povučen iz vrha je simetrala i visina.
• ispravno, ili jednakostraničan trokut, je onaj u kojem su sve njegove strane jednake.
• Pravokutni: jedan od njegovih kutova je 90°. U ovom slučaju, strana suprotna ovom kutu naziva se hipotenuza, a druge dvije su katete.
• Oštri trokut - svi kutovi su manji od 90°.
• Tup - jedan od kutova je veći od 90°.

Jednakost i sličnost trokuta

U procesu učenja ne samo da razmatraju jednu figuru, već i uspoređuju dva trokuta. A ovo, čini se, jednostavna tema ima puno pravila i teorema pomoću kojih možete dokazati da su figure koje se razmatraju jednaki trokuti. Trokuti su jednaki ako su im odgovarajuće stranice i kutovi jednaki. S ovom jednakošću, ako ove dvije figure stavite jedan na drugi, sve njihove linije će se konvergirati. Također, brojke mogu biti slične, posebice, to vrijedi u praksi identične figure, koji se razlikuje samo po veličini. Da bi se donio takav zaključak o prikazanim trokutima, mora biti ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

• dva kuta jedne figure jednaka su dvama kutovima druge;
• dvije strane jedne su proporcionalne dvjema stranicama drugog trokuta, a kutovi koje čine stranice jednaki su;
• tri strane druge figure su iste kao one prve.

Naravno, za neospornu jednakost, koja neće izazvati ni najmanju sumnju, potrebno je imati iste vrijednosti svih elemenata obje figure, međutim, korištenjem teorema, zadatak je uvelike pojednostavljen, a samo nekoliko uvjeta dopušteno je da se dokaže jednakost trokuta.

Prvi znak jednakosti trokuta

Zadaci na ovu temu rješavaju se na temelju dokaza teorema koji zvuči ovako: „Ako su dvije stranice trokuta i kut koji tvore jednaki dvjema stranicama i kutu drugog trokuta, onda su figure također jednaki jedni drugima."

Kako zvuči dokaz teorema o prvom kriteriju jednakosti trokuta? Svi znaju da su dva segmenta jednaka ako imaju istu duljinu, ili da su kružnice jednake ako imaju isti polumjer. A u slučaju trokuta postoji nekoliko znakova, s kojima možemo pretpostaviti da su figure identične, što je vrlo zgodno za korištenje pri rješavanju različitih geometrijskih problema.

Kako zvuči teorem "Prvi znak jednakosti trokuta" opisan je gore, ali evo njegovog dokaza:

• Pretpostavimo da trokuti ABC i A 1 B 1 C 1 imaju iste stranice AB i A 1 B 1 i, prema tome, BC i B 1 C 1, a kutovi koje tvore te stranice imaju istu vrijednost, odnosno da su jednak. Zatim, superponiranjem △ ABC na △ A 1 B 1 C 1, dobivamo podudarnost svih pravaca i vrhova. Iz ovoga slijedi da su ti trokuti apsolutno identični, što znači da su međusobno jednaki.

Teorem "Prvi kriterij za jednakost trokuta" također se naziva "Po dvije stranice i kut". Zapravo, ovo je njegova bit.

Teorem drugog obilježja

Slično se dokazuje i drugi znak jednakosti, dokaz se temelji na činjenici da se figure, kada se nalažu jedna drugoj, potpuno podudaraju u svim vrhovima i stranama. A teorem zvuči ovako: "Ako jedna stranica i dva kuta u čijem formiranju sudjeluje odgovaraju stranici i dva kuta drugog trokuta, onda su ti brojevi identični, odnosno jednaki."

Treći znak i dokaz

Ako se i 2 i 1 znak jednakosti trokuta odnose i na stranice i na kutove figure, tada se 3. odnosi samo na stranice. Dakle, teorem ima sljedeću formulaciju: "Ako su sve strane jednog trokuta jednake trima stranicama drugog trokuta, onda su brojke identične."

Da bismo dokazali ovaj teorem, moramo se detaljnije upustiti u samu definiciju jednakosti. U suštini, što znači izraz "trokuti su jednaki"? Identitet kaže da ako jedan lik postavite na drugi, svi će im se elementi poklopiti, a to može biti samo kada su njihove stranice i kutovi jednaki. U isto vrijeme, kut nasuprot jedne od stranica, koji je isti kao i kod drugog trokuta, bit će jednak odgovarajućem vrhu druge figure. Treba napomenuti da se u ovom trenutku dokaz lako može prevesti na 1 kriterij jednakosti trokuta. U slučaju da se takav slijed ne poštuje, jednakost trokuta je jednostavno nemoguća, osim u slučajevima kada je lik zrcalni odraz prvi.

pravokutnih trokuta

U strukturi takvih trokuta uvijek postoje vrhovi s kutom od 90°. Stoga su istinite sljedeće tvrdnje:

• trokuti s pravim kutom jednaki su ako su noge jednog identične katetama drugog;
• figure su jednake ako su im hipotenuze i jedan od kateta jednaki;
• takvi trokuti su sukladni ako su im noge i oštar kut su identične.

Ovaj znak se odnosi na Da bi se dokazao teorem, figure se primjenjuju jedna na drugu, zbog čega se trokuti presavijaju s kracima tako da izlaze dvije ravne linije sa stranicama CA i CA 1.

Praktična upotreba

U većini slučajeva u praksi se koristi prvi znak jednakosti trokuta. Zapravo, tako naizgled jednostavna tema 7. razreda iz geometrije i planimetrije služi i za izračunavanje duljine, na primjer, telefonskog kabela bez mjerenja terena po kojem će proći. Koristeći ovaj teorem, lako je napraviti potrebne izračune za određivanje duljine otoka usred rijeke bez preplivavanja. Ili ojačajte ogradu postavljanjem šipke u raspon tako da je dijeli na dva jednaka trokuta ili izračunajte složeni elementi rad u stolariji, odnosno kod proračuna krovnog rešetkastog sustava tijekom gradnje.

Prvi znak jednakosti trokuta naširoko se koristi u stvarnom "odraslom" životu. Iako u školske godine Upravo se ta tema mnogima čini dosadnom i potpuno nepotrebnom.

Treći kriterij jednakosti trokuta na tri strane formuliran je kao teorem.

Teorema : Ako su tri strane jednog trokuta respektivno jednake trima stranicama drugog trokuta, tada su takvi trokuti podudarni.

Dokaz. razmotrimo ΔABC i ΔA 1 B 1 C 1 u kojima je AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 . Dokažimo da je ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Neka su ABC i A 1 B 1 C 1 trokuti s AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 . Na ∆A 1 B 1 C 1 namećemo ∆ABC tako da je vrh A poravnat s A 1 , a vrhovi B i B 1 , te vrhovi C i C 1 poravnati različite strane iz ravne A 1 B 1 . Moguća su tri slučaja: 1) greda C 1 C prolazi unutar kuta A 1 C 1 B 1 (slika a)); 2) greda C 1 C poklapa se s jednom od stranica ovog kuta (slika b)); greda C 1 C prolazi izvan kuta A 1 C 1 B 1 (slika c)). Razmotrimo prvi slučaj. Budući da su, prema uvjetu teorema, stranice AC i A 1 C 1, BC i B 1 C 1 jednake, onda su trokuti A 1 C 1 C i B 1 C 1 C jednakokračni. Prema teoremu o svojstvu kutova jednakokračnog trokuta, l = l2, l3 = l4, dakle lA 1 CB 1 = = lA 1 C 1 B 1 . Dakle, AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , RS = RS 1 . Prema tome, trokuti ABC i A 1 B 1 C 1 jednaki su prema prvom kriteriju za jednakost trokuta.

Pisanje na ploči:

dano:ΔABC, ΔA 1 B 1 C 1 , AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1

Dokazati:∆ABC=∆A 1 B 1 C 1

Dokaz. Nametnimo ∆ABC na ∆A 1 B 1 C 1 tako da su A →A 1 , i B → B 1 , te C i C 1 na suprotnim stranama pravca A 1 B 1 . Razmotrimo slučaj. greda C 1 C prolazi unutar RA 1 C 1 B 1 (slika a)).

AC \u003d A 1 C 1, BC \u003d B 1 C 1 ═> ΔA 1 C 1 C i ΔB 1 C 1 C - jednaki. ═> Ðl \u003d Ð2, Ð3 \u003d Ð4 (prema svojstvu jednakostraničnog kuta Δ), ═> ÐA 1 CB 1 \u003d ÐA 1 C 1 B 1 ═> AC A \u1 B C 0 1 C 1, ÐS = RS 1 ═>

ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1 prema prvom znaku jednakosti trokuta.

2.Rombus. Definicija, svojstva, znakovi.

Romb je vrsta četverokuta.

Definicija: Romb je paralelogram u kojem su sve strane jednake.

Na slici je prikazan paralelogram ABCD sa AB=BC=CD=DA. Po definiciji, ovaj paralelogram je romb. AC i BD su dijagonale romba. Budući da je romb paralelogram, za njega vrijede sva svojstva i znaci paralelograma.

Svojstva:

1) U rombu su suprotni kutovi jednaki (ÐA=ÐC, ÐB=ÐD)

2) Dijagonale romba prepolovljene su točkom presjeka. (BO=OD, AO=OC)

3) Dijagonale romba su međusobno okomite, a kutovi su podijeljeni na pola. (AC DV, ‌‌RABO=ROVS, RADO=RODC, ‌‌ÐBSO=RDSO, RDAO=RVAO) ( posebno vlasništvo)

4) Zbroj kutova susjednih jednoj strani je 180 0 (ÐA+ÐB= ÐC+ÐD=ÐB+ÐC=ÐA+ÐD=180 0)

znakovi romb:

1) Ako su dijagonale paralelograma međusobno okomite, onda je ovaj paralelogram romb

2) Ako dijagonala paralelograma prepolovi njegove kutove, onda je paralelogram romb.

3) Ako su sve strane paralelograma jednake, onda je to romb.

Pisanje na ploči.

Svojstva:

1) ÐA=ÐC, ÐB=ÐD 2) BO=OD, AO=OC

3) AC DV, ‌‌RABO=ROVS, RADO=RODC, ‌‌ÐBSO=RDSO, RDAO=RVAO

4) ÐA+ÐB= ÐC+ÐD=ÐB+ÐC=ÐA+ÐD=180 0

Obrnuti iskazi su znakovi romb:

1 ) Ako je ABCD paralelan, a AC DB, onda je - ABCD romb.

2) Ako je ABCD paralelan, a AC i DB simetrale, tada je ABCD romb.

3) Ako je ABCD paralelan, a AC \u003d DB i BC \u003d AD, tada je - ABCD romb.

Zadatak.

Za dva trokuta se kaže da su sukladna ako se mogu preklapati. Slika 1 prikazuje jednake trokute ABC i A 1 B 1 C 1. Svaki od ovih trokuta može se superponirati na drugi tako da su potpuno kompatibilni, odnosno da su njihovi vrhovi i stranice zajedno upareni. Jasno je da će u ovom slučaju kutovi ovih trokuta biti kombinirani u parovima.

Dakle, ako su dva trokuta jednaka, tada su elementi (tj. stranice i kutovi) jednog trokuta, redom, jednaki elementima drugog trokuta. Imajte na umu da u jednakih trokuta protiv jednakih strana(tj. preklapanje kada se preklapa) leže pod jednakim kutovima i natrag: suprotni odnosno jednaki kutovi leže jednake strane.

Tako, na primjer, u jednakim trokutima ABC i A 1 B 1 C 1, prikazanim na slici 1, jednaki kutovi C i C 1 leže naspram jednakih stranica AB i A 1 B 1. Jednakost trokuta ABC i A 1 B 1 C 1 označit ćemo na sljedeći način: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Ispada da se jednakost dvaju trokuta može utvrditi usporedbom nekih njihovih elemenata.

Teorem 1. Prvi znak jednakosti trokuta. Ako su dvije stranice i kut između njih jednog trokuta jednaki dvjema stranicama i kutu između njih drugog trokuta, tada su takvi trokuti jednaki (slika 2).

Dokaz. Razmotrimo trokute ABC i A 1 B 1 C 1, u kojima AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 ∠ A \u003d ∠ A 1 (vidi sliku 2). Dokažimo da je Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Budući da ∠ A \u003d ∠ A 1, tada se trokut ABC može superponirati na trokut A 1 B 1 C 1 tako da je vrh A poravnat s vrhom A 1, a stranice AB i AC se preklapaju na zrake A 1 B 1 i A 1 C jedna . Budući da AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, tada će se strana AB kombinirati sa stranom A 1 B 1 i stranom AC - sa stranom A 1 C 1; posebno, točke B i B 1 , C i C 1 će se podudarati. Stoga će stranice BC i B 1 C 1 biti poravnate. Dakle, trokuti ABC i A 1 B 1 C 1 su potpuno kompatibilni, što znači da su jednaki.

Teorem 2 dokazuje se slično metodom superpozicije.

Teorem 2. Drugi znak jednakosti trokuta. Ako su stranica i dva uz nju susjedna kuta jednog trokuta jednaki strani i dva uz nju susjedna kuta drugog trokuta, tada su takvi trokuti jednaki (slika 34).

Komentar. Na temelju teorema 2 utvrđuje se teorem 3.

Teorem 3. Zbroj bilo koja dva unutarnja kuta trokuta manji je od 180°.

Teorem 4 slijedi iz posljednjeg teorema.

Teorem 4. Vanjski kut trokuta veći je od bilo kojeg unutarnji kut, a ne uz njega.

Teorem 5. Treći znak jednakosti trokuta. Ako su tri strane jednog trokuta respektivno jednake trima stranicama drugog trokuta, tada su takvi trokuti jednaki ().

Primjer 1 U trokutima ABC i DEF (slika 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Usporedi trokute ABC i DEF. Koliki je kut u trokutu DEF jednak kutu NA?

Odluka. Ti su trokuti jednaki u prvom znaku. Kut F trokuta DEF jednak je kutu B trokut ABC, budući da ti kutovi leže nasuprot jednakih stranica DE i AC.

Primjer 2 Segmenti AB i CD (slika 5) sijeku se u točki O, koja je središte svakog od njih. Čemu je jednak segment BD ako je odsječak AC 6 m?

Odluka. Trokuti AOC i BOD su jednaki (prema prvom kriteriju): ∠ AOC = ∠ BOD (vertikalno), AO = OB, CO = OD (prema uvjetu).
Iz jednakosti ovih trokuta slijedi jednakost njihovih stranica, tj. AC = BD. Ali budući da je, prema uvjetu, AC = 6 m, onda je BD = 6 m.

Drugi znak jednakosti trokuta

Ako su stranica i dva susjedna kuta jednog trokuta jednaki strani i dva susjedna kuta drugog trokuta, tada su takvi trokuti podudarni.

MN=PR N=R M=P

Kao i u dokazu prvog znaka, morate biti sigurni da je to dovoljno da trokuti budu jednaki, mogu li se potpuno kombinirati?

1. Budući da je MN = PR, onda se ti segmenti kombiniraju ako se kombiniraju njihove krajnje točke.

2. Budući da je N = R i M = P , tada se zrake \(MK\) i \(NK\) preklapaju sa zrakama \(PT\) odnosno \(RT\).

3. Ako se zrake podudaraju, tada se njihove točke presjeka \(K\) i \(T\) podudaraju.

4. Svi vrhovi trokuta su kombinirani, odnosno Δ MNK i Δ PRT su potpuno kompatibilni, što znači da su jednaki.

Treći znak jednakosti trokuta

Ako su tri strane jednog trokuta respektivno jednake trima stranicama drugog trokuta, tada su takvi trokuti podudarni.

MN = PR KN = TR MK = PT

Opet, pokušajmo spojiti trokute Δ MNK i Δ PRT preklapanjem i pobrinuti se da odgovarajuće jednake stranice jamče jednakost odgovarajućih kutova ovih trokuta i da se potpuno podudaraju.

Kombinirajmo, na primjer, identične segmente \(MK\) i \(PT\). Pretpostavimo da se točke \(N\) i \(R\) u ovom slučaju ne podudaraju.

Neka je \(O\) središte segmenta \(NR\). Prema ovoj informaciji MN = PR , KN = TR . Trokuti \(MNR\) i \(KNR\) su jednakokračni s zajedničko tlo\(NR\).

Stoga su njihove medijane \(MO\) i \(KO\) visine, pa su okomite na \(NR\). Pravci \(MO\) i \(KO\) se ne podudaraju, jer točke \(M\), \(K\), \(O\) ne leže na istoj liniji. Ali kroz točku \(O\) pravca \(NR\) moguće je povući samo jedan pravac okomit na nju. Došli smo do kontradikcije.

Dokazano je da se vrhovi \(N\) i \(R\) također moraju podudarati.

Treći znak nam omogućuje da trokut nazovemo vrlo snažnom, stabilnom figurom, ponekad tako kažu trokut - kruta figura . Ako se duljine stranica ne mijenjaju, ne mijenjaju se ni kutovi. Na primjer, četverokut nema ovo svojstvo. Stoga se razni oslonci i utvrde izrađuju trokutasto.

Ali svojevrsnu stabilnost, stabilnost i savršenstvo broja \ (3 \) ljudi već dugo ocjenjuju i ističu.

Bajke govore o tome.

Tamo susrećemo "Tri medvjeda", "Tri vjetra", "Tri praščića", "Tri druga", "Tri brata", "Tri sretnika", "Tri obrtnika", "Tri princa", "Tri prijatelja", "Tri heroja" itd.

Daju se "tri pokušaja", "tri savjeta", "tri upute", "tri sastanka", "tri želje" su ispunjene, treba izdržati "tri dana", "tri noći", "tri godine", idi kroz “tri države”, “tri podzemna kraljevstva”, izdržati “tri kušnje”, plivati ​​kroz “tri mora”.