Termodinamika i statistička fizika

Smjernice i kontrolni zadaci za studente na daljinu

Shelkunova Z.V., Saneev E.L.

Metodičke upute i kontrolni zadaci za studente inženjersko-tehnoloških specijalnosti učenja na daljinu. Sadrži odjeljke programa ” statistička fizika”, ”Termodinamika”, primjeri rješavanja tipičnih problema i opcije za upravljačke zadatke.

Ključne riječi: unutarnja energija, toplina, rad; izoprocesi, entropija: funkcije raspodjele: Maxwell, Boltzmann, Bose - Einstein; Fermi - Dirac; Fermijeva energija, toplinski kapacitet, Einsteinova i Debyeova karakteristična temperatura.

Urednik T.Yu.Artyunina

Pripremljeno za tisak d. Format 6080 1/16

R.l. ; uč.-ur.l. 3,0; Naklada ____ primjeraka. Narudžba br.

___________________________________________________

RIO ESGTU, Ulan-Ude, Klyuchevskaya, 40a

Tiskano na rotaprintu ESGTU, Ulan-Ude,

Klyuchevskaya, 42.

Federalna agencija za obrazovanje

Istočnosibirska država

Tehnološko sveučilište

FIZIKA №4

(Termodinamika i statistička fizika)

Metodičke upute i kontrolni zadaci

za studente na daljinu

Sastavio: Shelkunova Z.V.

Saneev E.L.

Izdavačka kuća ESGTU

Ulan-Ude, 2009

Statistička fizika i termodinamika

Tema 1

Dinamički i statistički zakoni u fizici. Termodinamičke i statističke metode. Elementi molekularno-kinetičke teorije. makroskopsko stanje. Fizikalne veličine i stanja fizikalnih sustava. Makroskopski parametri kao srednje vrijednosti. Toplinska ravnoteža. Model idealni plin. Jednadžba stanja idealnog plina. Pojam temperature.

Tema 2

prijenosni fenomeni. Difuzija. Toplinska vodljivost. koeficijent difuzije. Koeficijent toplinske vodljivosti. toplinska difuznost. Difuzija u plinovima, tekućinama i čvrstim tvarima. Viskoznost. Koeficijent viskoznosti plinova i tekućina.

Tema 3

Elementi termodinamike. Prvi zakon termodinamike. Unutarnja energija. Intenzivni i ekstenzivni parametri.

Tema 4

Reverzibilni i ireverzibilni procesi. Entropija. Drugi zakon termodinamike. Termodinamički potencijali i uvjeti ravnoteže. kemijski potencijal. Uvjeti kemijske ravnoteže. Carnotov ciklus.

Tema 5

funkcije distribucije. mikroskopski parametri. Vjerojatnost i fluktuacije. Maxwellova distribucija. Prosječna kinetička energija čestice. Boltzmannova distribucija. Toplinski kapacitet višeatomnih plinova. Ograničenje klasične teorije toplinskog kapaciteta.

Tema 6

Gibbsova distribucija. Model sustava u termostatu. Kanonska Gibbsova distribucija. Statističko značenje termodinamičkih potencijala i temperature. Uloga slobodne energije.

Tema 7

Gibbsova distribucija za sustav s promjenjivim brojem čestica. Entropija i vjerojatnost. Određivanje entropije ravnotežnog sustava pomoću statističke težine mikrostanja.

Tema 8

Boseove i Fermijeve funkcije distribucije. Planckova formula za bestežinsko toplinsko zračenje. Red i nered u prirodi. Entropija kao kvantitativna mjera kaosa. Princip povećanja entropije. Prijelaz iz reda u nered odnosi se na stanje toplinske ravnoteže.

Tema 9

Eksperimentalne metode za proučavanje vibracijskog spektra kristala. Pojam fonona. Zakoni disperzije akustičkih i optičkih fonona. Toplinski kapacitet kristala pri niskim i visokim temperaturama. Elektronički toplinski kapacitet i toplinska vodljivost.

Tema 10

Elektroni u kristalima. Aproksimacija jake i slabe sprege. Model slobodnih elektrona. Fermijeva razina. Elementi vrpčne teorije kristala. Blochova funkcija. Vrpčna struktura energetskog spektra elektrona.

Tema 11

Fermijeva površina. Broj i gustoća broja elektronskih stanja u pojasu. Ispune zona: metali, dielektrici i poluvodiči. Električna vodljivost poluvodiča. Pojam vodljivosti šupljina. Intrinzični i ekstrinzični poluvodiči. Koncept p-n spoj. Tranzistor.

Tema 12

Električna vodljivost metala. Nosači struje u metalima. Nedovoljnost klasične teorije elektrona. Elektronski Fermijev plin u metalu. Nositelji struje kao kvazičestice. Fenomen supravodljivosti. Cooperovo sparivanje elektrona. kontakt tunela. Josephsonov efekt i njegove primjene. Hvatanje i kvantizacija magnetski tok. Pojam visokotemperaturne vodljivosti.

STATISTIČKA FIZIKA. TERMODINAMIKA

Osnovne formule

1. Količina tvari homogenog plina (u molovima):

gdje N-broj molekula plina; N A- Avogadrov broj; m- masa plina;  je molarna masa plina.

Ako je sustav smjesa nekoliko plinova, onda količina tvari u sustavu

,

,

gdje  ja , N ja , m ja ,  ja - odnosno količina tvari, broj molekula, masa, molekulska masa ja komponenta smjese.

2. Clapeyron-Mendeleev jednadžba (jednadžba stanja idealnog plina):

gdje m- masa plina;  - molekulska masa; R- univerzalna plinska konstanta;  = m/ - količina tvari; T je termodinamička temperatura u Kelvinima.

3. Eksperimentalni plinski zakoni, koji su posebni slučajevi Clapeyron-Mendelejevljeve jednadžbe za izoprocese:

boyle-mariotte zakon

(izotermički proces - T= konst; m=konst):

ili za dva plinska stanja:

gdje str 1 i V 1 - tlak i volumen plina u početnom stanju; str 2 i V 2

Gay-Lussacov zakon (izobarni proces - p=konst, m=konst):

ili za dva stanja:

gdje V 1 i T 1 - volumen i temperatura plina u početnom stanju; V 2 i T 2 - iste vrijednosti u konačnom stanju;

Charlesov zakon (izohorni proces - V=konst, m=konst):

ili za dva stanja:

gdje R 1 i T 1 - tlak i temperatura plina u početnom stanju; R 2 i T 2 - iste vrijednosti u konačnom stanju;

kombinirani plinski zakon ( m=konst):

gdje R 1 , V 1 , T 1 - tlak, volumen i temperatura plina u početnom stanju; R 2 , V 2 , T 2 su iste vrijednosti u konačnom stanju.

4. Daltonov zakon, koji određuje tlak mješavine plinova:

p = str 1 + str 2 + ... +str n

gdje str ja - parcijalni pritisci komponenta smjese; n- broj komponenti smjese.

5. Molarna masa smjese plinova:

gdje m ja- težina ja-ta komponenta smjese;  ja = m ja / ja- količina tvari ja-ta komponenta smjese; n- broj komponenti smjese.

6. Maseni udio  ja ja-ta komponenta plinske smjese (u dijelovima jedinice ili postotku):

gdje m je masa smjese.

7. Koncentracija molekula (broj molekula po jedinici volumena):

gdje N-broj molekula sadržanih u sustavu;  je gustoća tvari. Formula vrijedi ne samo za plinove, već i za bilo koje agregatno stanje tvari.

8. Osnovna jednadžba kinetičke teorije plinova:

,

gdje<>je prosječna kinetička energija translatornog gibanja molekule.

9. Prosječna kinetička energija translatornog gibanja molekule:

,

gdje k - Boltzmannova konstanta.

10. Prosječna ukupna kinetička energija molekule:

gdje ja je broj stupnjeva slobode molekule.

11. Ovisnost tlaka plina o koncentraciji molekula i temperaturi:

p = nkT.

12. Brzine molekula:

korijen znači kvadrat ;

aritmetička sredina ;

najvjerojatnije ,

STATISTIČKI, odjeljak za statistiku. fizike, posvećen potkrepljivanju zakona temeljenih na zakonima interakcije. i kretanje čestica koje čine sustav. Za sustave u stanju ravnoteže, statistički vam omogućuje izračunavanje, zapisivanje stanja faze i kemikalije. . Neravnotežno statističko potkrepljivanje odnosa (jednadžbe energije, količine gibanja, prijenosa mase i njihovih rubnih uvjeta) i omogućuje vam izračun jednadžbi kinetičkog prijenosa uključenih u jednadžbu. koeficijenti. Statistički postavlja količine. povezanost mikro- i makrosvojstava fizikalnih. i kem. sustava. Računske statističke metode koriste se u svim područjima moderne. teoretski .

Osnovni koncepti. Za statistiku makroskopski opisi. sustava J. Gibbs (1901.) predložio je korištenje koncepta statističkih. ansambl i fazni prostor, što omogućuje primjenu metoda teorije vjerojatnosti na rješavanje problema. Statistički ansambl veliki broj identične sustave. čestice (tj. "kopije" sustava koji se razmatra) koje su u istom makrostanju, koje je određeno ; Mikrostanja sustava mogu se razlikovati u ovom slučaju. Glavni statistički ansambli-mikrokanonski, kanonski, veliki kanonski. i izobarni-izotermni.

Mikrokanonski Gibbsov ansambl koristi se pri razmatranju (bez izmjene energije E s ), stalnog volumena V i broja identičnih čestica N (E, V i N-sustavi). Kanonski Gibbsov ansambl koristi se za opisivanje sustava konstantnog volumena, smještenih u toplinskoj c (aps. temperatura T) s konstantnim brojem čestica N ( V, T, N ). Veliki kanon. Gibbsov ansambl koristi se za opisivanje , koji su u termičkom sa (t-ra T) i materijalu sa rezervoarom čestica (sve se čestice izmjenjuju kroz "zidove" koji okružuju sustav s volumenom V). takav sustav je V, T i m - kemijski potencijal čestica. Izobarno-izotermno Gibbsov ansambl koristi se za opisivanje sustava koji se nalaze u toplini i krznu. c pri konstantnom P (T, P, N).

Fazni prostor u statistici. mehanički višedimenzionalni prostor, čije su sve osi generalizirane koordinate q i i njihovi konjugirani momenti p i (i =1,2,..., M) sustava s M stupnjeva slobode. Za sustav koji se sastoji od N, q i i p i odgovaraju Kartezijevoj koordinati i komponenti momenta (a = x, y, z) nekog j i M = 3N. Skup koordinata i momenta označeni su s q odnosno p. Stanje sustava je prikazano točkom u faznom prostoru dimenzije 2M, a promjena stanja sustava u vremenu prikazana je kretanjem točke duž pravca, tzv. fazna putanja. Za statistiku opisu stanja sustava uvode se pojmovi faznog volumena (element volumena faznog prostora) i funkcije distribucije f(p, q) koja karakterizira gustoću vjerojatnosti pronalaska točke koja predstavlja stanje sustav u elementu faznog prostora u blizini točke s koordinatama p, q. Umjesto faznog volumena koristi se koncept diskretne energije. spektar sustava konačnog volumena, jer stanje pojedine čestice nije određeno momentom i koordinatama, već valnom funkcijom, koja je u stacionarnoj dinamici. stanje sustava odgovara energetskom. spektar .

distribucijska funkcija klasični sustav f(p, q) karakterizira gustoću vjerojatnosti realizacije zadane mikrostanja (r, q) u volumenskom elementu dG faznog prostora. Vjerojatnost da se N čestica nalazi u beskonačno malom volumenu faznog prostora jednaka je:

gdje je dG N element faznog volumena sustava u jedinicama h 3N, h je Planckova konstanta; djelitelj N! uzima u obzir činjenicu da permutacija identiteta. čestica ne mijenja stanje sustava. Funkcija raspodjele zadovoljava uvjet normalizacije t f(p, q)dG N = 1, jer sustav je pouzdano smješten u c.-l. stanje. Za kvantne sustave, funkcija distribucije određuje vjerojatnost w i , N pronalaska sustava od N čestica u , dana skupom kvantni brojevi i , s energijom E i,N uz uvjet normalizacije

Prosječna vrijednost u vremenu t (tj. prekobeskonačno mali vremenski interval od t do t + dt) bilo koji fizički. veličina A(p, q), koja je funkcija koordinata i momenta svih čestica sustava, pomoću funkcije razdiobe izračunava se prema pravilu (uključujući i za neravnotežne procese):

Integracija po koordinatama provodi se po cijelom volumenu sustava, a integracija po momentima od - , do +, . termodinamičko stanje. sustav treba promatrati kao granicu m: , . Za ravnotežna stanja funkcije raspodjele se određuju bez rješavanja jednadžbi gibanja čestica koje čine sustav. Oblik ovih funkcija (isti za klasične i kvantne sustave) utvrdio je J. Gibbs (1901).

U mikrokanonskom Gibbsov ansambl sva mikrostanja s danom energijom E jednako su vjerojatna i funkcija distribucije za klasičnu. sustavi izgledaju ovako:

f(p,q) = A d,

gdje d-delta-f-cija Diraca, H (p, q)-f-cija Hamiltona, što je zbroj kinetičkih. i potentan. energije svih čestica; konstanta A određena je iz uvjeta normalizacije funkcije f(p, q). Za kvantne sustave s točnošću postavljanja, jednak D E, u skladu između energije i vremena (između količine gibanja i koordinate čestice), funkcija w (E k) = -1 ako je EE k E + D E, i w (E k) = 0 ako je E k< Е и E k >E + D E. Količina g(E, N, V)-tj. nazvao statistički , jednak broju u energetskim. sloj D E. Važan omjer statističkog – povezanost sustava sa statističkim. :

S(E, N, V) = klng(E, N, V), gdje je k-Boltzmann konstanta.

U kanonskom U Gibbsovom ansamblu, vjerojatnost da je sustav u mikrostanju određenom koordinatama i momentima svih N čestica ili vrijednostima E i,N ima oblik: f(p, q) = exp (/kT ); w i,N = exp[(F - E i,N)/kT],gdje je F-slobodan. energije (), ovisno o vrijednostima V, T, N:

F = -kTlnZN,

gdje je Z N -statistika. zbroj (u slučaju kvantnog sustava) ili statistički. integral (u slučaju klasičnog sustava), određen iz uvjeta normalizacije funkcija w i,N ili f(p, q):

Z N = m exp[-H(p, q)/kT]dpdq/(N!h 3N)

(zbroj po r po svim sustavima, a integracija se provodi po cijelom faznom prostoru).

U velikom kanonskom Gibbsov ansambl f-cije distribucije f (p, q) i statistika. zbroj X određen iz uvjeta normalizacije ima oblik:

gdje W - termodinamički potencijal koji ovisi o varijablama V, T, m (zbrajanje je po svim prirodnim brojevima N). U izobarnom-izotermnom Gibbsov ansambl f-cije distribucije i statistike. suma Q određena iz uvjeta normalizacije ima oblik:

gdje su G-sustavi (izobarno-izotermni potencijal, slobodni).

Za izračunavanje termodinamičke f-cija može koristiti bilo koju distribuciju: one su jedna drugoj ekvivalentne i odgovaraju različitim fizikalnim. Uvjeti. Mikrokanonski Gibbsova distribucija primjenjuje Ch. arr. u teoretskom istraživanje. Za rješavanje specifičnih problema razmatraju se ansambli u kojima postoji izmjena energije s medijem (kanonski i izobarno-izotermni) ili izmjena energije i čestica (veliki kanonski ansambl). Potonji je posebno pogodan za proučavanje faze i kem. . Statistički zbrojevi Z N i Q omogućuju nam određivanje F, G, kao i termodinamički. St. Otoci sustava dobivenog diferencijacijom statističkih. iznosi za relevantne parametre (po 1 in-va): vanj. energija U = RT 2 (9 lnZ N /9 T) V , H = RT 2 (9 lnQ/9 T) P , S = RlnZ N + RT (9 lnZ N /9 T) V = R ln Q + RT ( 9 ln Q / 9 T) P , pri konstantnom volumenu S V = 2RT (9 lnZ N / 9 T) V + RT 2 (9 2 lnZ N / 9 T 2) V , pri konstantnom S R = 2RT (9 lnZ N /9 T) P + + RT 2 (9 2 lnZ N /9 T 2) P itd. Odg. sve te veličine stječu i statističke. značenje. Dakle, poistovjećuje se s prosječnom energijom sustava, što nam omogućuje da razmotrimo i kada se čestice koje čine sustav kreću; besplatno energija je povezana sa statistikom. zbroj sustava, entropija, s brojem mikrostanja g u danom makrostanju, ili statistički. makrostanjem, a time i njegovom vjerojatnošću. Značenje kao mjera vjerojatnosti stanja očuvano je u odnosu na proizvoljna (neravnotežna) stanja. U stanju izolacije. sustav ima najveću moguću vrijednost za danu ekst. uvjetima (E, V, N), tj. stanje ravnoteže je najviše. vjerojatno stanje (s max. stat. ). Stoga je prijelaz iz neravnotežnog stanja u ravnotežno stanje proces prijelaza iz manje vjerojatnih stanja u vjerojatnija. Ovo je statistika značenje zakona povećanja, prema Kromu, može samo rasti (vidi). Kod t-re trbušnjaka. nula, bilo koji sustav je u jezgri. stanje, u kojem je w 0 = 1 i S = 0. Ova izjava je (vidi ). Bitno je da je za jedinstvenu definiciju potrebno koristiti kvantni opis, jer u klasičnom statistika m. b. je definiran samo do proizvoljnog člana.

idealni sustavi. Izračun statistike sume većine sustava je težak zadatak. Jako je pojednostavljeno ako se doprinos potenc. energija u puna energija sustavi se mogu zanemariti. U ovom slučaju, ukupna funkcija distribucije f(p, q) za N čestica idealan sustav izražava se u obliku umnoška jednočestičnih funkcija distribucije f 1 (p, q):

Raspodjela čestica po mikrostanjima ovisi o njihovoj kinetici. energije i od kvantne sv-u sustavu, zbogidentitet čestica. Sve čestice se dijele u dvije klase: fermione i bozone. Vrsta statistike kojoj se čestice pokoravaju jedinstveno je povezana s njihovim .

Fermi-Diracova statistika opisuje distribuciju u sustavu identiteta. čestice s polucijelim brojem 1 / 2 , 3 / 2 ,... u jedinicama đ = h/2p . Čestica (ili kvazi-čestica) koja podliježe određenoj statistici, tzv. fermion. Fermioni uključuju u , i , s neparnim , s neparnom razlikom i brojevima , kvazičestice (na primjer, i rupe u ), itd. Ova statistika predložio E. Fermi 1926.; iste je godine P. Dirac otkrio njegovu kvantnu mehaniku. značenje. Valna funkcija fermionskog sustava je antisimetrična, tj. mijenja svoj predznak nakon permutacije koordinata i bilo kakvih identiteta. čestice. Svaka ne može sadržavati više od jedne čestice (vidi ). Prosječni broj čestica n i fermiona u stanju s energijom E i određen je Fermi-Diracovom funkcijom distribucije:

n i =(1+exp[(E i - m )/kT]) -1 ,

gdje je i skup kvantnih brojeva koji karakteriziraju stanje čestice.

Bose-Einsteinova statistika opisuje sustave identiteta. čestice s nulom ili cijelim brojem (0, đ, 2đ, ...). Čestica ili kvazi-čestica koja se pokorava određenoj statistici, tzv. bozon. Ovu je statistiku predložio S. Bose (1924.) za fotone, a razvio A. Einstein (1924.) u odnosu na, na primjer, razmatrane kao kompozitne čestice iz parnog broja fermiona. s parnim ukupnim brojem u (deuteron, 4 He jezgra itd.). Bozoni također uključuju fonone u i tekući 4 He, ekscitone u i . Valna funkcija sustava je simetrična u odnosu na permutaciju bilo kojeg identiteta. čestice. Brojevi punjenja nisu ničim ograničeni, tj. bilo koji broj čestica može biti u jednom stanju. Prosječan broj čestica n i bozona koji se nalaze u stanju s energijom E i opisuje se Bose-Einsteinovom funkcijom distribucije:

n i =(exp[(E i - m )/kT]-1) -1 .

Boltzmannova statistika je poseban slučaj kvantna statistika, kada se kvantni učinci mogu zanemariti ( visoka t-rija). Razmatra raspodjelu čestica u terminima momenta i koordinata u faznom prostoru jedne čestice, a ne u faznom prostoru svih čestica, kao u Gibbsovim razdiobama. Kao minimum jedinice volumena faznog prostora, koji ima šest dimenzija (tri koordinate i tri projekcije količine gibanja čestice), u skladu s kvantnom mehanikom. , ne možete odabrati volumen manji od h 3 . Prosječan broj čestica n i u stanju s energijom E i opisuje se Boltzmannovom funkcijom distribucije:

n i =exp[( m -E i)/kT].

Za čestice, to-rye se kreću prema zakonima klasičnog. mehanike u vanj. moćan. polju U(r), statistički ravnotežna funkcija raspodjele f 1 (p, r) u impulsu p i koordinatama r čestica ima oblik:f 1 (p, r) = A exp( - [r 2 /2m + U(r)]/kT). Ovdje je p 2 /2m-kinetički. energija mase w, konstanta A određena je iz uvjeta normalizacije. Ovaj se izraz često naziva Maxwell-Boltzmannova raspodjela, a naziva se Boltzmannova raspodjela. funkcija

n(r) = n 0 exp[-U(r)]/kT],

gdje je n(r) = t f 1 (p, r)dp je gustoća broja čestica u točki r (n 0 je gustoća broja čestica u odsutnosti vanjskog polja). Boltzmannova distribucija opisuje distribucijuhladna u gravitacijskom polju (barometarska f-la), a visokodisperzne čestice u polju centrifugalnih sila, u nedegeneriranom, a služi i za izračunavanje raspodjele u razrijeđenom. p-pax (u volumenu i na granici s), itd. Pri U(r) = 0, Maxwell-Boltzmannova razdioba slijedi iz Maxwell-Boltzmannove razdiobe, koja opisuje raspodjelu brzina čestica u statistici. (J. Maxwell, 1859). Prema ovoj distribuciji, vjerojatni broj po jedinici volumena komponenti brzine to-ryh leže u intervalima od u i do u i + du i (i = x, y, z), određen je funkcijom:

Maxwellova distribucija ne ovisi o interakciji. između čestica i vrijedi ne samo za , nego i za (ako je za njih moguć klasičan opis), kao i za Brownove čestice izvagane u i . Koristi se za brojanje broja međusobnih sudara tijekom kemije. r-cija i s pov-sti.

Zbroj po državama. Statistički zbroj u kanonskom Gibbsov ansambl se izražava u smislu zbroja stanja jednog Q 1:

gdje je E i energija i-tog kvantna razina(i = O odgovara nulta razina), g i -statistika. i-ta razina. NA opći slučaj određene vrste pokreti , i skupine u , kao i pokret u cjelini međusobno su povezani, ali se približno mogu smatrati neovisnima. Tada zbroj preko stanja može biti predstavljen kao proizvod pojedinačnih komponenti povezanih s korak po korak. pokret (Q post) i vnutrimol. pokreti (Q ext):

Q 1 \u003d Q post Q ext, Q post \u003d l (V / N),

gdje l \u003d (2p mkT / h 2) 3/2. Za Q ext je zbroj elektroničkog i nuklearnog stanja; za Q ext - zbroj elektroničkih, nuklearnih, oscilatornih. i rotirati. Države. NA područje t-r od 10 do 10 3 K, obično se koristi približan opis, u kojem se svaka od navedenih vrsta kretanja razmatra neovisno: jednak broju identitet. konfiguracije koje se javljaju tijekom rotacije, a koje se sastoje od istih ili skupina.

Zbroj stanja elektronskog gibanja Q el jednak je statističkom. R t osnovni elektroničko stanje. U mnogim slučajevima glavnog razina je nedegenerirana i odvojena od najbliže pobuđene razine znači. energija: (P t \u003d 1). Međutim, u nekim slučajevima, npr. za O 2, P t \u003d h, u glavnom. stanje, moment broja gibanja je različit od nule i odvija se, a energija može biti. dovoljno nisko. Zbroj stanja Q jezgre, zbog degeneracije jezgre, jednak je:

gdje je s i spin jezgre i, produkt je preuzet preko svih . Zbroj stanja oscilira. pokreta gdje je v i -frekvencije male fluktuacije, n-broj u . Zbroj po stanjima rotirati. gibanja poliatomskog sustava s velikim momentima tromosti mogu se klasično razmatrati [aproksimacija visokih temperatura, T/q i 1, gdje je q i = h 2 /8p 2 kI i (i = x, y, z), I t - glavna točka tromost rotacije oko i-osi]: Q vr = (p T 3 /q x q y q z) 1/2. Za linearnu s momentom tromosti I statistika. zbroj Q vr \u003d T / q, gdje je q \u003d h 2 / 8p 2 * kI.

Pri proračunu na temperaturama iznad 10 3 K potrebno je uzeti u obzir anharmoničnost oscilacija, učinke interakcije. oscilirajući i rotirati. stupnjevi slobode (vidi), kao i elektronska stanja, naseljenost pobuđenih razina itd. Kada niske temperature(ispod 10 K), moraju se uzeti u obzir kvantni efekti (osobito za dvoatomne). Da, rotiraju se. kretanje hetero-nuklearnog AV opisuje f-le:

l-broj rotacije stanja, a za homonuklearne A 2 (osobito za H 2, D 2, T 2) nuklearne i rot. stupanj slobode interakcije. prijateljus prijateljem: Q otrov. istrunuti. Q otrov Q rotacija

Poznavanje zbroja stanja omogućuje vam izračunavanje termodinamike. sv-va i, uklj. kem. , ravnotežni stupanj ionizacije itd. Važnost u teoriji trbušnjaka. brzine p-cije ima sposobnost izračunavanja procesa obrazovanja aktivir. kompleks (prijelazno stanje), rez se prikazuje kao modificiran. čestica, jedna od vibracija. stupnjevi slobode to-roy zamijenjeni stupnjem slobode act. pokret.

Nesavršeni sustavi. U interakciji zajedno. U ovom slučaju zbroj po stanjima ansambla ne svodi se na umnožak zbroja po stanjima pojedinačnih . Ako uzmemo u obzir da intermol. interakcija ne utječu na unutarnje stanje, statistika zbroj sustava u klasičnom aproksimacija za , koja se sastoji od N identiteta. čestica ima oblik:

gdje

Ovdje<2 N-konfiguracija integral, uzimajući u obzir interakciju. . Naib, često potentan. energija U se smatra zbrojem parnih potencijala: U = =gdje je U(r ij) centar potencijala. sile ovisno oudaljenosti r ij između i i j. Također se uzimaju u obzir doprinosi potencijala od više čestica. energija, orijentacijski učinci itd. Potreba za izračunavanjem konfiguracije. integral nastaje pri razmatranju bilo kojeg kondenzatora. faze i granice faza. Točno rješenje problema pl. tijela gotovo je nemoguće, dakle, izračunati statistički. zbroj i sve termodinamičke. sv-in, dobiven iz statistič. zbrojevi diferencijacijom s obzirom na relevantne parametre, koristite dekomp. približne metode.

Prema tzv. metoda grupnih ekspanzija, stanje sustava promatra se kao skup kompleksa (grupa) koji se sastoji od različitog broja , i konfig. integral se dijeli na skup grupnih integrala. Ovaj pristup nam omogućuje da predstavimo bilo koju termodinamiku f-cija u obliku niza stupnjeva gustoće. Naib. Važna relacija ove vrste je virijalna jednadžba stanja.

Za teoretski opisi St. u gustim, i, otopinama neelektrolita i i sučelja u tim sustavima su prikladniji od izravnog statističkog izračuna. suma, je metoda n-čestičnih funkcija distribucije. U njemu, umjesto brojanja statističkih svako stanje s fiksnim. energija koristiti odnos između funkcija distribucije f n , koje karakteriziraju vjerojatnost pronalaženja čestica istovremeno u točkama u prostoru s koordinatama r 1 ,..., r n ; za n = N f N = b t f(p, r)dp (ovdje i dolje q i = r i). Jednočestična funkcija f 1 (r 1) (n = 1) karakterizira raspodjelu gustoće u otocima. Za ovu periodiku f-cija s maksimumima u čvorovima kristala. strukture; za ili bez ekst. polje je stalna vrijednost jednaka makroskopskom. gustoća in-va rijeka. Dvočestična funkcija distribucije (n = 2) karakterizira vjerojatnost nalazadvije čestice u točkama 1 i 2, to određuje tzv. korelacijska funkcija g(|r 1 - r 2 |) = f 2 (r 1 , r 2)/r 2 koja karakterizira međusobnu korelaciju u raspodjeli čestica. Daje relevantne eksperimentalne informacije.

Funkcije distribucije dimenzija n i n + 1 povezane su beskonačnim sustavom povezanih integro-diferencijala. jednadžbe Bogolyubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon, čije je rješenje izuzetno teško, pa se efekti korelacije među česticama uzimaju u obzir uvođenjem dekomp. aproksimacije, koje određuju kako je funkcija f n izražena u terminima funkcija niže dimenzije. Odg. razvilo nekoliko aproksimativne metode za izračunavanje funkcija f n , a preko njih i sve termodinam. karakteristike sustava koji se razmatra. Naib. Aproksimacije Perkus-Ievik i hiperlanac.

Rešetkasti modeli kondenzatora. stanja se široko koriste u termodinamici. razmatranje gotovo svih fiz.-kem. zadaci. Cjelokupni volumen sustava podijeljen je na lokalna područja karakteristične veličine reda veličine u 0 . U općem slučaju, u različitim modelima, veličina lokalnog područja može biti i veći i manji od u 0 ; u većini slučajeva se podudaraju. Prijelaz na diskretnu raspodjelu u prostoru znatno pojednostavljuje proračun dekomp. . Rešetkasti modeli uzimaju u obzir interakciju. zajedno; interakcijska energija. opisao energetski. parametri. U nizu slučajeva, rešetkasti modeli dopuštaju točna rješenja, što omogućuje procjenu prirode korištenih aproksimacija. Uz njihovu pomoć moguće je razmotriti višečestične i specifične. interakcija, orijentacija efekti itd. Rešetkasti modeli glavni su u proučavanju i provedbi primijenjenih proračuna i, izrazito nehomogenih sustava.

Numeričke metode određivanja termodinamike. sv-in postaje sve važniji s razvojem računalstva. tehnologija. U Monte Carlo metodi provodi se izravan izračun višedimenzionalnih integrala, što vam omogućuje izravno dobivanje statistike. srednja vrijednost promatranogvrijednosti A(r1.....r N) prema bilo kojoj statističkoj. ansambli(npr. A je energija sustava). Dakle, u kanonskom termodinamički ansambl. prosjek izgleda ovako:

Ova metoda je primjenjiva na gotovo sve sustave; prosječne vrijednosti dobivene uz njegovu pomoć za ograničene volumene (N = 10 2 -10 5) služe kao dobra aproksimacija za opisivanje makroskopskog. objekata i mogu se smatrati egzaktnim rezultatima.

U metodi kažu Dinamika stanja sustava razmatra se pomoću numeričke integracije Newtonovih jednadžbi za gibanje svake čestice (N = 10 2 -10 5) pri zadanim potencijalima međučestičnog međudjelovanja. Ravnotežne karakteristike sustava dobivaju se usrednjavanjem po faznim putanjama (po brzinama i koordinatama) u velikim vremenima, nakon uspostave Maxwellove raspodjele čestica po brzinama (tzv. period termalizacije).

Ograničenja u korištenju numeričkih metoda uglavnom. određena mogućnostima računala. Specijalista. izračunati. tehnike vam omogućuju da zaobiđete poteškoće povezane s činjenicom da ne razmatramo pravi sustav, već mali volumen; ovo je posebno važno kada se uzmu u obzir potencijali dugotrajne interakcije, prijelazi itd.

Fizikalna kinetika - dio statistike. fizike, to-ry daje opravdanje za omjere koji opisuju prijenos energije, količine gibanja i mase, kao i utjecaj na te procese ext. polja. Kinetička makroskopski koeficijenti. karakteristike kontinuiranog medija koje određuju ovisnost tokova fizikalnih. količine (toplina, količina gibanja, masa komponenata itd.) izuzrokujući te tokove gradijenata t-ry, hidrodinam. brzine itd. Potrebno je razlikovati Onsagerove koeficijente uključene u jednadžbe koje povezuju tokove s termodinamičkim. sile (termodinamičke jednadžbe gibanja) i koeficijenti prijenosa (, itd.) uključeni u jednadžbe prijenosa. Prvi m. izraženo u smislu drugog pomoću odnosa između makroskopskih. karakteristike sustava, stoga će se ubuduće razmatrati samo koeficijent. prijenos.

Za izračunavanje makroskopskih koeficijent prijenosa, potrebno je napraviti prosjek vjerojatnosti realizacije elementarnih prijenosa korištenjem neravnotežne funkcije razdiobe. Glavna poteškoća leži u činjenici da analit. nepoznat je oblik funkcije razdiobe f(p, q, t) (t-vrijeme) (za razliku od ravnotežnog stanja sustava koje se opisuje pomoću Gibbsovih funkcija razdiobe dobivenih u t : , ). Razmotrimo funkcije raspodjele n-čestica f n (r, q, t), koje se dobivaju iz f-cija f (p, q, t) usrednjavanjem koordinata i momenta preostalih (N - n) čestica:

Za njih, m. sastavljen je sustav jednadžbi koji omogućuje opisivanje proizvoljnih neravnotežnih stanja. Rješenje ovog sustava jednadžbi je vrlo teško. U pravilu, u kinetičkom teoriji i plinovitim kvazičesticama u (fermionima i bozonima) koristi se samo jednadžba za jednočestičnu funkciju distribucije f 1. Pod pretpostavkom da ne postoji korelacija između stanja bilo koje čestice (hipoteza mol. kaosa), tzv. kinetički ur-cija Boltzmanna (L. Boltzmann, 1872). Ova ur-cija uzima u obzir promjenu funkcije raspodjele čestica pod utjecajem vanjskih. sila F(r, m) i par sudara između čestica:

gdje f 1 (u, r, t) i funkcije raspodjele čestica dokolizije, f " 1 (u", r, t) i funkcije distribucijenakon sudara; u i -brzine čestica prije sudara, u" i -brzine istih čestica nakon sudara, u = |u -|-modul relativne brzine čestica koje se sudaraju, q - kut između relativne brzine u - čestica koje se sudaraju i pravca povezujući njihova središta , s (u,q )dW je diferencijalni efektivni presjek raspršenja čestica po prostornom kutu dW u laboratorijskom koordinatnom sustavu, koji ovisi o zakonu međudjelovanja čestica Za model u obliku elastičnih krutih kuglica polumjera R, s = 4R 2 cosq U okviru klasične mehanike, diferencijalni presjek se izražava pomoću parametara sudara b i e (odnosno udarne udaljenosti i azimutnog kuta linije središta): s dW = bdbde , a smatraju se centrima sila s potencijalom koji ovisi o udaljenosti Efektivni presjek se dobiva iz , uzimajući u obzir utjecaj učinaka na vjerojatnost sudara.

Ako je sustav u statističkom , integral sudara Stf jednak je nuli i rješenje kinetičke Boltzmannova jednadžba bit će Maxwellova distribucija. Za neravnotežna stanja kinetike otopine. Boltzmannove jednadžbe obično se traže u obliku proširenja u niz funkcija f 1 (u, r, m) u malim parametrima s obzirom na funkciju Maxwellove distribucije. U najjednostavnijoj (relaksacijskoj) aproksimaciji, integral sudara se aproksimira kao Stgas; za (obične molekule u tekućinama, funkcija distribucije jedne čestice f 1 ne otkriva specifičnosti fenomena i potrebno je razmatranje funkcije distribucije dvije čestice f 2 . Međutim, za dovoljno spore procese iu slučajevima kada su skale prostori. nehomogenosti su mnogo manje od skale korelacije između čestica, možete koristiti lokalno ravnotežnu funkciju distribucije jedne čestice s temperaturom, kemijskim potencijalima i hidrodinamičkom brzinom, koji odgovaraju malom volumenu koji se razmatra. Za nju možete pronaći korekcija proporcionalna gradijentima temperature, hidrodinamičke brzine i kemijskih potencijala komponenata, te izračunati tokove količine gibanja, energije i in-va, kao i opravdati Navier-Stokesove jednadžbe, i U ovom slučaju, koeficijenti prijenosa su proporcionalni na korelacije prostor-vrijeme.svaka komponenta.

Za opisivanje otoka ui na sučeljima s, naširoko se koristi rešetkasti model kondenzatora. fazama. stanje sustava opisuje se glavnim. kinetički jednadžba (glavna jednadžba) s obzirom na funkciju distribucije P(q, t):

gdje je P(q,t)= t f (p, q, t) du - funkcija raspodjele, usrednjena po momentima (brzinama) svih N čestica, koja opisuje raspodjelu čestica po čvorovima strukture rešetke (njihov broj je N y , N< N y), q- номер узла или его координата. В модели "решеточного " частица может находиться в узле (узел занят) или отсутствовать (узел свободен); W(q : q") je vjerojatnost prijelaza sustava po jedinici vremena iz stanja q, opisanog kompletnim skupom koordinata čestice, u drugo stanje q". Prvi zbroj opisuje doprinos svih procesa u kojima se provodi prijelaz u određeno stanje q, drugi zbroj je izlazak iz tog stanja. U slučaju ravnotežne raspodjele čestica (t : , ) P(q) = exp[-H(q)/kT]/Q, gdje je Q statistika. zbroj, H(q)-energija sustava u stanju q. Prijelazne vjerojatnosti zadovoljavaju detaljan princip: W(q" : q)exp[-H(q")/kT] = W(q : q")exp[-H(q)/kT]. Na temelju jednadžbi za funkcije P(q, t) gradi se kinetika. ur-cija za funkcije raspodjele n-čestica, to-rye dobivene usrednjavanjem položaja svih ostalih (N - n) čestica. Za male h in-va kroz granicu sa, rast, fazne transformacije itd. Za međupovršinski prijenos, zbog razlika u karakterističnim vremenima elementarnih procesa migracije čestica, važnu ulogu igra vrsta rubnih uvjeta na sučeljima.

Za male sustave (broj čvorova N y \u003d 10 2 - 10 5), sustav jednadžbi s obzirom na funkciju P (q, m) može biti. riješena numerički metodom Monte Carlo. Stadij sustava do ravnotežnog stanja omogućuje nam razmatranje razgradnje. prijelaznih procesa u proučavanju kinetike faznih transformacija, rasta, kinetike površinskih p-cija itd. i odrediti njihovu dinamiku. karakteristike, uključujući i koeficijent. prijenos.

Za izračunavanje koeficijenta Prijenos u plinovitim, tekućim i čvrstim fazama, kao i na granicama faza, aktivno se koriste različite varijante pier metode. dinamika, koja vam omogućuje detaljno praćenje sustava od vremena ~ 10 -15 s do ~ 10 -10 s (u vremenima reda veličine 10 -10 - 10 -9 s i više, koriste se takozvane Langevinove jednadžbe , ovo su Newtonove jednadžbe koje sadrže stohastički član na desnoj strani).

Za sustave s kem. p-cije na prirodu raspodjele čestica uvelike utječe omjer između karakterističnih vremena prijenosa i njihove kemijske. transformacije. Ako je brzina kem. transformacija je mala, raspodjela čestica ne razlikuje se mnogo od slučaja kada nema p-cije. Ako je brzina p-cije velika, njezin utjecaj na prirodu raspodjele čestica je velik i nemoguće je koristiti prosječne čestice (tj. funkcije raspodjele s n \u003d 1), kao što se to radi pri korištenju. Potrebno je detaljnije opisati distribuciju pomoću funkcija distribucije f n s n > 1. Važnost u opisivanju reakcija. strujanje čestica na površini i brzine imaju rubne uvjete (vidi).

Lit.: Kubo R., Statistička mehanika, trans. s engleskog, M., 1967.; Zubarev D.N., Neravnotežna statistika, M., 1971; Ishihara A., Statistička fizika, trans. s engleskog, M., 1973.; Landau L. D., Lifshitz E. M. L

Iz FFWiki.

Predmet		Termodinamika i statistička fizika		Semestar		7-8		Vrsta		predavanje, seminar		Izvještavanje		ispit		Stolica		Zavod za kvantnu statistiku i teoriju polja

O predmetu

Termodinamika i statistička fizika. Prvo pitanje kada vidite ovaj predmet na rasporedu je: kako to? Doista, u 1. tečaju već su rekli molekularna fizika, gdje su bila sva 3 zakona termodinamike, i potencijali, te Maxwellova distribucija. Čini se, što još može biti novo u prirodi?

Ispada da je ono što je bilo na 1. kolegiju beba priča u usporedbi sa pravom termodinamikom i statističkom fizikom. Onaj s kojim je Landau izračunao tekući helij i dobio Nobelovu nagradu.

Bitno je ne ulaziti u zbrku, misleći da jednom na 1 predavanju kažu ono što ste znali u školi, onda će tako biti i dalje. Već od sredine rujna svjedočit ćete nevjerojatnim trikovima fitanja parcijalnih derivacija, a do kraja jesenskog semestra krenut će vrlo žestoke teme iz statističke fizike:

• Izračunavanje statističkih suma i Gibbsove distribucije
• Kvantni plinovi - Fermi i Bose plinovi s različitim uvjetima
• Fazni prijelazi i njihova svojstva
• Neidealni plinovi - Bogoljubovljevi lanci, modeli plazme i elektrolita

Iako se autor ovih riječi mogao odlično pripremiti 4 dana prije ispita, jako se kaje zbog toga i ne savjetuje nikome da ponavlja ovakvo nasilje nad njegovim mozgom :) Zadaci i pitanja za ispit poznati su još od početak godine te je vrlo korisno dio gradiva pripremiti unaprijed.

U proljetnom semestru postoje i jednostavni i teške teme. Na primjer, teorija Brownovog gibanja ispisuje se prilično jednostavno. Ali na kraju tečaja ima raznih kinetičke jednadžbe s kojima se mnogo teže nositi.

Ispit

Ispit na jesen ide prilično dobro, ne daju vam puno za otpis. Uglavnom učitelji ne spuštaju, ali nisu primijećeni ni neki posebni gratis. Morate znati teoriju. Diploma uključuje ocjenu za ispit u proljeće. Proljetni ispit je teži od jesenskog, ali se obično lojalnije prihvaća. No, i teoriju treba dobro poznavati.

U ulaznici i u jesen i u proljeće nalaze se 2 teorijska pitanja i jedan zadatak.

Pazite na statistiku, nekoliko ljudi (broj varira od 2 do 10!) redovito diplomira padom na ovom ispitu. I to ne bilo tko, već prekaljeni učenici četvrte godine.

materijala

Jesenski semestar

• Letak 7 semestar (pdf) - korisni letak
• Odgovori na pitanja iz termodinamike (pdf) - 1 pitanje po ulaznici
• Odgovori na pitanja iz statističke fizike (pdf) - 2 pitanja u ulaznici
• https://vk.com/doc231234703_450962027?hash=b2eb6c2220f95a7795&dl=cf7b5295f12e0fd4e0 zadaci za prvi kolokvij
• https://vk.com/doc181113102_453848269?hash=6d6f68abc3358e2adf&dl=1606060abdd44d226e na drugu

Proljetni semestar

• Odgovori na ispitna pitanja, teorija (pdf) - odgovori na teorijska pitanja na ispitu, uredno otipkani na računalima.
• - rješavanje problema
• Rješenje zadataka za ispit (pdf) - još rješavanja zadataka

Književnost

problemske knjige

• Zadaće iz termodinamike i statističke fizike za studente 4. godine Fizičkog fakulteta Moskovskog državnog sveučilišta (jesenski semestar - teorija ravnotežnih sustava) (pdf)

Molekularna fizika je grana fizike koja proučava strukturu i svojstva tvari na temelju tzv. molekularno-kinetičkih pojmova. Prema tim idejama, svako tijelo - čvrsto, tekuće ili plinovito - sastoji se od veliki broj vrlo male izolirane čestice – molekule. Molekule bilo koje tvari su u neurednom, kaotičnom kretanju koje nema željeni smjer. Njegov intenzitet ovisi o temperaturi tvari.

Izravan dokaz postojanja kaotičnog gibanja molekula je Brownovo gibanje. Ovaj fenomen sastoji se u činjenici da su vrlo male (vidljive samo kroz mikroskop) čestice suspendirane u tekućini uvijek u stanju kontinuiranog nasumičnog gibanja, koje ne ovisi o vanjski uzroci i pokazuje se kao manifestacija unutarnjeg gibanja materije. Brownove čestice se kreću pod utjecajem slučajnih udara molekula.

Molekularno-kinetička teorija ima za cilj tumačiti ona svojstva tijela koja se neposredno promatraju u pokusu (tlak, temperatura itd.) kao ukupni rezultat djelovanja molekula. Istovremeno, ona koristi statistička metoda, ne zanimajući se za kretanje pojedinačnih molekula, već samo za takve prosječne vrijednosti koje karakteriziraju kretanje ogromne zbirke čestica. Otuda i njezin drugi naziv - statistička fizika.

Termodinamika se također bavi proučavanjem raznih svojstava tijela i promjena agregatnog stanja.

Međutim, za razliku od molekularno-kinetičke teorije termodinamika, ona proučava makroskopska svojstva tijela i prirodnih pojava, ne zanimajući se za njihovu mikroskopsku sliku. Ne uvodeći u razmatranje molekule i atome, ne ulazeći u mikroskopsko razmatranje procesa, termodinamika omogućuje cijela linija zaključke o njihovom tijeku.

Termodinamika se temelji na nekoliko temeljnih zakona (koji se nazivaju principima termodinamike) utvrđenih na temelju generalizacije velika populacija doživljene činjenice. Zbog toga su zaključci termodinamike vrlo općeniti.

Pristupajući razmatranju promjena agregatnog stanja sa razne točke vizija, termodinamika i molekularno-kinetička teorija međusobno se nadopunjuju, čineći u biti jednu cjelinu.

Okrećući se povijesti razvoja molekularno-kinetičkih koncepata, prije svega treba napomenuti da su ideje o atomističkoj strukturi materije izrazili stari Grci. Međutim, među starim Grcima te ideje nisu bile ništa više od briljantnog nagađanja. U 17. stoljeću atomistika se ponovno rađa, ali ne kao nagađanje, već kao znanstvena hipoteza. Ova je hipoteza posebno razvijena u djelima briljantnog ruskog znanstvenika i mislioca M. V. Lomonosova (1711.-1765.), koji je pokušao dati jedinstvenu sliku svih fizičkih i kemijske pojave. Istodobno je polazio od korpuskularne (prema modernoj terminologiji - molekularne) ideje o strukturi materije. Pobunjujući se protiv teorije kalorije koja je dominirala u njegovo vrijeme (hipotetskog toplinskog fluida čiji sadržaj u tijelu određuje stupanj njegova zagrijavanja), Lomonosov “uzrok topline” vidi u rotacijsko kretanječestice tijela. Tako je Lomonosov u biti formulirao molekularno-kinetičke pojmove.

U drugoj polovici XIX stoljeća. i početkom 20. stoljeća. Zahvaljujući radu brojnih znanstvenika, atomistika je postala znanstvena teorija.

Kao rezultat proučavanja materijala u poglavlju 9, student bi trebao: znati osnovni postulati statističke termodinamike; biti u mogućnosti računati zbrojeve po stanjima i poznavati njihova svojstva; koristiti pojmove i definicije navedene u poglavlju;

vlastiti posebna terminologija; vještine proračuna termodinamičkih funkcija idealnih plinova statističkim metodama.

Osnovni postulati statističke termodinamike

Termodinamička metoda nije primjenjiva na sustave koji se sastoje od malog broja molekula, jer u takvim sustavima nestaje razlika između topline i rada. Istodobno, nedvosmisleni smjer procesa nestaje:

Za vrlo mali broj molekula oba smjera procesa postaju ekvivalentna. Za izolirani sustav prirast entropije je ili jednak reduciranoj toplini (za ravnotežno-reverzibilne procese), ili veći od nje (za neravnotežne). Takva dualnost entropije može se objasniti sa stajališta uređenosti – neuređenog kretanja ili stanja čestica koje čine sustav; stoga se kvalitativno entropija može smatrati mjerom nereda u molekularnom stanju sustava. Ove kvalitativne prikaze kvantitativno razvija statistička termodinamika. Statistička termodinamika dio je više opći dio znanost - statistička mehanika.

godine razvijeni su osnovni principi statističke mehanike potkraj XIX u. u djelima L. Boltzmanna i J. Gibbsa.

Kada se opisuju sustavi koji se sastoje od velikog broja čestica, mogu se koristiti dva pristupa: mikroskopski i makroskopski. Makroskopski pristup koristi klasična termodinamika, gdje se stanja sustava koji sadrže jedan čista tvar, u općem slučaju određuju tri nezavisne varijable: T (temperatura), V (volumen), N (broj čestica). Međutim, s mikroskopskog gledišta, sustav koji sadrži 1 mol tvari uključuje 6,02 10 23 molekula. Osim toga, u prvom pristupu, mikrostanje sustava je detaljno karakterizirano,

na primjer, koordinate i momenti svake čestice u svakom trenutku vremena. Mikroskopski opis zahtijeva rješavanje klasičnih ili kvantnih jednadžbi gibanja za ogroman broj varijabli. Tako je svako mikrostanje idealnog plina u klasičnoj mehanici opisano sa 6N varijabli (N - broj čestica): 3N koordinate i 3N projekcije momenta.

Ako je sustav u ravnoteži, tada su njegovi makroskopski parametri konstantni, dok se mikroskopski parametri mijenjaju s vremenom. To znači da svako makrostanje odgovara nekoliko (zapravo, beskonačno mnogo) mikrostanja (slika 9.1).

Riža. 9.1.

Statistička termodinamika uspostavlja vezu između ova dva pristupa. Glavna ideja je sljedeća: ako mnogo mikrostanja odgovara svakom makrostanju, tada svako od njih doprinosi makrostanju. Tada se svojstva makrostanja mogu izračunati kao prosjek svih mikrostanja, tj. zbrajanje njihovih doprinosa, uzimajući u obzir statističku težinu.

Usrednjavanje mikrostanja provodi se korištenjem koncepta statističkog skupa. Ansambl je beskonačan skup identičnih sustava koji se nalaze u svim mogućim mikrostanjima koja odgovaraju jednom makrostanju. Svaki skupni sustav jedno je mikrostanje. Cijeli ansambl je opisan nekom funkcijom distribucije p(p, q , t), koji je definiran na sljedeći način: r(p, q, t)dpdq - je vjerojatnost da je sustav ansambla u elementu volumena dpdq blizu točke ( R , q) u to vrijeme t.

Značenje funkcije distribucije je da ona određuje statističku težinu svakog mikrostanja u makrostanju.

Iz definicije proizlazi elementarna svojstva distribucijske funkcije:

Mnoga makroskopska svojstva sustava mogu se definirati kao prosječna vrijednost koordinatne i impulsne funkcije f(p, q) po ansamblu:

Na primjer, unutarnja energija je srednja vrijednost Hamiltonove funkcije H(p, q):

(9.4)

Postojanje funkcije distribucije bit je glavnog postulata klasične statističke mehanike: makroskopsko stanje sustava potpuno je određeno nekom funkcijom raspodjele , koji zadovoljava uvjete (9.1) i (9.2).

Za ravnotežne sustave i ravnotežne skupove funkcija distribucije ne ovisi eksplicitno o vremenu: p = p(p, q). Eksplicitni oblik funkcije distribucije ovisi o vrsti ansambla. Postoje tri glavne vrste ansambala:

gdje k \u003d 1,38 10 -23 J / K - Boltzmannova konstanta. Vrijednost konstante u izrazu (9.6) određena je uvjetom normalizacije.

Poseban slučaj kanoničke razdiobe (9.6) je Maxwellova raspodjela brzina b koji vrijedi za plinove:

(9.7)

gdje m- masa molekule plina. Izraz p(v)dv opisuje vjerojatnost koju molekula ima apsolutna vrijednost raspon brzine od v prije v + d&. Maksimum funkcije (9.7) daje najvjerojatnije brzine molekula, a integral

prosječna brzina molekula.

Ako sustav ima diskretne energetske razine i opisuje se kvantno mehanički, tada umjesto Hamiltonove funkcije H(p, q) koristiti Hamiltonov operator H, a umjesto funkcije distribucije - operator matrice gustoće p:

(9.9)

Dijagonalni elementi matrice gustoće daju vjerojatnost da je sustav u i-tom energetsko stanje i ima energije E(.

(9.10)

Vrijednost konstante određena je uvjetom normalizacije:

(9.11)

Nazivnik ovog izraza naziva se zbroj stanja. Od ključne je važnosti za statistička procjena termodinamička svojstva sustava. Iz izraza (9.10) i (9.11) može se naći broj čestica Njf imajući energiju

(9.12)

gdje N- ukupni brojčestice. Raspodjela čestica (9.12) po energetskim razinama naziva se Boltzmannova razdioba, a brojnik te razdiobe je Boltzmanov faktor (multiplikator). Ponekad se ova raspodjela piše u drugom obliku: ako postoji nekoliko razina s istom energijom £, tada se one spajaju u jednu skupinu zbrajanjem Boltzmannovih faktora:

(9.13)

gdje g j- broj energetskih razina Ej , odnosno statistička težina.

Mnogi makroskopski parametri termodinamičkog sustava mogu se izračunati pomoću Boltzmannove distribucije. Na primjer, prosječna energija definira se kao prosjek energetskih razina, uzimajući u obzir njihove statističke težine:

(9.14)

3) veliki kanonski ansambl opisuje otvorene sustave u toplinskoj ravnoteži i sposobne za razmjenu tvari s okoliš. Toplinsku ravnotežu karakterizira temperatura T, a ravnoteža u broju čestica – kemijskim potencijalom p. Stoga funkcija raspodjele ovisi o temperaturi i kemijski potencijal. Ovdje nećemo koristiti eksplicitni izraz za distribucijsku funkciju velikog kanonskog ansambla.

U statističkoj teoriji je dokazano da za sustave sa veliki brojčestice (~10 23) sve tri vrste ansambala su međusobno ekvivalentne. Korištenje bilo kojeg skupa dovodi do istih termodinamičkih svojstava, tako da odabir jednog ili drugog skupa za opisivanje termodinamičkog sustava diktira samo pogodnost. matematička obrada funkcije distribucije.