Zbrajanje logaritama s istom bazom. Što je logaritam? Rješenje logaritama

Logaritam od b (b > 0) na bazu a (a > 0, a ≠ 1) je eksponent na koji trebate povisiti broj a da biste dobili b.

Logaritam s bazom 10 od b može se napisati kao log(b), i logaritam s bazom e (prirodni logaritam) - ln(b).

Često se koristi pri rješavanju problema s logaritmima:

Svojstva logaritama

Četiri su glavna svojstva logaritama.

Neka je a > 0, a ≠ 1, x > 0 i y > 0.

Svojstvo 1. Logaritam umnoška

Logaritam umnoška jednak je zbroju logaritmi:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Svojstvo 2. Logaritam kvocijenta

Logaritam kvocijenta jednaka je razlici logaritama:

log a (x / y) = log a x – log a y

Svojstvo 3. Logaritam stupnja

Logaritam stupnja jednak je proizvodu stupnjevi po logaritmu:

Ako je baza logaritma u eksponentu, tada se primjenjuje druga formula:

Svojstvo 4. Logaritam korijena

Ovo se svojstvo može dobiti iz svojstva logaritma stupnja, budući da je korijen n-tog stupnja jednak stupnju 1/n:

Formula za prijelaz od logaritma po jednoj bazi do logaritma po drugoj bazi

Ova se formula također često koristi pri rješavanju raznih zadataka za logaritme:

Poseban slučaj:

Usporedba logaritama (nejednakosti)

Pretpostavimo da imamo 2 funkcije f(x) i g(x) pod logaritmima s istim bazama i da postoji znak nejednakosti između njih:

Da biste ih usporedili, prvo trebate pogledati bazu logaritama a:

Ako je a > 0, tada je f(x) > g(x) > 0
Ako je 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Kako riješiti probleme s logaritmima: primjeri

Zadaci s logaritmima uključeni u USE iz matematike za 11. razred u zadatku 5 i zadatku 7, zadatke s rješenjima možete pronaći na našoj web stranici u odgovarajućim odjeljcima. Također, zadaci s logaritmima nalaze se u banci zadataka iz matematike. Sve primjere možete pronaći pretraživanjem stranice.

Što je logaritam

Logaritmi su se uvijek razmatrali teška tema u školski tečaj matematika. Ima ih mnogo različite definicije logaritam, ali iz nekog razloga većina udžbenika koristi najsloženije i najneuspješnije od njih.

Logaritam ćemo definirati jednostavno i jasno. Napravimo tablicu za ovo:

Dakle, imamo potencije dvojke.

Logaritmi - svojstva, formule, kako se rješavaju

Ako uzmete broj iz donjeg retka, lako možete pronaći snagu na koju morate podići dvojku da biste dobili ovaj broj. Na primjer, da biste dobili 16, trebate podići dva na četvrtu potenciju. A da biste dobili 64, trebate podići dva na šestu potenciju. To se vidi iz tablice.

A sada - zapravo, definicija logaritma:

baza a argumenta x je potencija na koju se mora podići broj a da bi se dobio broj x.

Zapis: log a x \u003d b, gdje je a baza, x argument, b je zapravo ono čemu je jednak logaritam.

Na primjer, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritam s bazom 2 od 8 je tri jer je 2 3 = 8). Moglo bi se i zapisati 2 64 = 6, jer je 2 6 = 64.

Operacija pronalaženja logaritma broja prema danoj bazi naziva se. Dakle, dodajmo novi red u našu tablicu:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Nažalost, ne razmatraju se svi logaritmi tako lako. Na primjer, pokušajte pronaći log 2 5. Broj 5 nije u tablici, ali logika nalaže da će logaritam ležati negdje na segmentu. Jer 2 2< 5 < 2 3 , а чем više diploma dva, to će broj biti veći.

Takve brojeve nazivamo iracionalnim: brojevi iza decimalne točke mogu se pisati neograničeno dugo i nikada se ne ponavljaju. Ako se logaritam pokaže iracionalnim, bolje ga je ostaviti ovako: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Važno je razumjeti da je logaritam izraz s dvije varijable (baza i argument). U početku mnogi brkaju gdje je baza, a gdje argument. Kako biste izbjegli dosadne nesporazume, samo pogledajte sliku:

Pred nama je ništa više od definicije logaritma. Zapamtiti: logaritam je snaga, na koju trebate podići bazu da biste dobili argument. To je baza koja je podignuta na potenciju - na slici je označena crvenom bojom. Ispada da je baza uvijek na dnu! Ovo prekrasno pravilo govorim svojim učenicima na prvoj lekciji - i nema zabune.

Kako računati logaritme

Shvatili smo definiciju - ostaje naučiti kako brojati logaritme, tj. riješite se znaka "log". Za početak napominjemo da iz definicije proizlaze dvije važne činjenice:

Argumenata i razloga uvijek mora biti Iznad nule. To proizlazi iz definicije stupnja racionalni pokazatelj, na koji se svodi definicija logaritma.
Baza se mora razlikovati od jedinice, budući da je jedinica na bilo koju potenciju još uvijek jedinica. Zbog toga je besmisleno pitanje "na koju se snagu treba uzdići da bi se dobilo dvoje". Ne postoji takva diploma!

Takva se ograničenja nazivaju regija dopuštene vrijednosti (ODZ). Ispada da ODZ logaritma izgleda ovako: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Imajte na umu da nema ograničenja na broj b (vrijednost logaritma) nije nametnuto. Na primjer, logaritam može biti negativan: log 2 0,5 = −1, jer 0,5 = 2 −1 .

Međutim, sada razmatramo samo numeričke izraze, gdje nije potrebno znati ODZ logaritma. Sastavljači problema već su uzeli u obzir sva ograničenja. Ali kada u igru uđu logaritamske jednadžbe i nejednakosti, zahtjevi DHS-a postat će obvezni. Doista, u osnovi i argumentu mogu postojati vrlo jake konstrukcije, koje ne moraju nužno odgovarati gornjim ograničenjima.

Sada razmislite opća shema logaritamski izračuni. Sastoji se od tri koraka:

Izrazite bazu a i argument x kao potenciju s najmanjom mogućom bazom većom od jedan. Usput je bolje riješiti se decimalnih razlomaka;
Riješite jednadžbu za varijablu b: x = a b ;
Rezultirajući broj b bit će odgovor.

To je sve! Ako se logaritam pokaže iracionalnim, to će se vidjeti već na prvom koraku. Zahtjev da baza bude veća od jedan vrlo je relevantan: to smanjuje vjerojatnost pogreške i uvelike pojednostavljuje izračune. Slično decimale: ako ih odmah prevedete u obične, bit će mnogo puta manje pogrešaka.

Pogledajmo kako ova shema funkcionira s konkretnim primjerima:

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 5 25

Predstavimo bazu i argument kao potenciju broja pet: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Napravimo i riješimo jednadžbu:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Dobio odgovor: 2.

Zadatak. Izračunajte logaritam:

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 4 64

Predstavimo bazu i argument kao potenciju dvojke: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
Napravimo i riješimo jednadžbu:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
Dobio odgovor: 3.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 16 1

Predstavimo bazu i argument kao potenciju dvojke: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
Napravimo i riješimo jednadžbu:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
Primljen odgovor: 0.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 7 14

Predstavimo bazu i argument kao potenciju broja sedam: 7 = 7 1 ; 14 nije predstavljeno kao stepen od sedam, jer je 7 1< 14 < 7 2 ;
Iz prethodnog odlomka proizlazi da se logaritam ne uzima u obzir;
Odgovor je bez promjene: log 7 14.

Mala napomena za posljednji primjer. Kako biti siguran da broj nije točna potencija drugog broja? Vrlo jednostavno - samo ga proširite na glavni faktori. Ako postoje barem dva različita faktora u proširenju, broj nije točna potencija.

Zadatak. Saznajte jesu li točne potencije broja: 8; 48; 81; 35; četrnaest.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - točan stupanj, jer postoji samo jedan množitelj;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nije točna potencija jer postoje dva faktora: 3 i 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - točan stupanj;
35 = 7 5 - opet nije točan stupanj;
14 \u003d 7 2 - opet nije točan stupanj;

Također napominjemo da mi primarni brojevi uvijek su točne moći same po sebi.

Decimalni logaritam

Neki logaritmi su toliko uobičajeni da imaju poseban naziv i oznaku.

argumenta x je logaritam s bazom 10, tj. potenciju na koju se mora podići 10 da bi se dobilo x. Oznaka: lgx.

Na primjer, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.

Od sada, kada se u udžbeniku pojavi fraza poput "Pronađi lg 0,01", znajte da to nije tipfeler. Ovo je decimalni logaritam. Međutim, ako niste navikli na takvu oznaku, uvijek je možete prepisati:
log x = log 10 x

Sve što vrijedi za obične logaritme vrijedi i za decimale.

prirodni logaritam

Postoji još jedan logaritam koji ima vlastitu notaciju. U određenom je smislu čak i važniji od decimalnog. Riječ je o o prirodnom logaritmu.

argumenta x je logaritam s bazom e, tj. potenciju na koju treba podići broj e da bi se dobio broj x. Oznaka: lnx.

Mnogi će se upitati: što je broj e? to iracionalan broj, njegova se točna vrijednost ne može pronaći i zabilježiti. Evo samo prvih brojki:
e = 2,718281828459…

Nećemo ulaziti u to koji je to broj i zašto je potreban. Samo zapamtite da je e baza prirodnog logaritma:
ln x = log e x

Stoga je ln e = 1; log e 2 = 2; U 16 = 16 - itd. S druge strane, ln 2 je iracionalan broj. Općenito, prirodni logaritam bilo kojeg racionalni broj iracionalan. Osim, naravno, jedinice: ln 1 = 0.

Za prirodni logaritmi vrijede sva pravila koja vrijede za obične logaritme.

Vidi također:

Logaritam. Svojstva logaritma (potencija logaritma).

Kako predstaviti broj kao logaritam?

Koristimo se definicijom logaritma.

Logaritam je pokazatelj stepena na koji se mora podići baza da bi se dobio broj pod znakom logaritma.

Dakle, da biste određeni broj c predstavili kao logaritam na bazu a, potrebno je ispod znaka logaritma staviti stupanj s istom bazom kao i baza logaritma i taj broj c upisati u eksponent:

U obliku logaritma možete predstaviti apsolutno bilo koji broj - pozitivan, negativan, cijeli broj, razlomak, racionalan, iracionalan:

Kako ne biste pobrkali a i c u stresnim uvjetima kolokvija ili ispita, možete zapamtiti sljedeće pravilo:

ono što je ispod pada, ono gore ide gore.

Na primjer, želite predstaviti broj 2 kao logaritam s bazom 3.

Imamo dva broja - 2 i 3. Ti brojevi su baza i eksponent, koje ćemo napisati ispod znaka logaritma. Ostaje odrediti koji od ovih brojeva treba zapisati dolje, u osnovi stupnja, a koji - gore, u eksponentu.

Baza 3 u zapisu logaritma je na dnu, što znači da kada dvojku predstavljamo kao logaritam na osnovu 3, također ćemo 3 zapisati na bazu.

2 je veći od 3. A u oznaci stupnja pišemo dva iznad tri, odnosno u eksponentu:

Logaritmi. Prva razina.

Logaritmi

logaritam pozitivan broj b razumom a, gdje a > 0, a ≠ 1, je eksponent na koji se broj mora podići. a, Dobiti b.

Definicija logaritma može se ukratko napisati ovako:

Ova jednakost vrijedi za b > 0, a > 0, a ≠ 1. Obično se zove logaritamski identitet.
Radnja pronalaženja logaritma broja naziva se logaritam.

Svojstva logaritama:

Logaritam umnoška:

Logaritam kvocijenta od dijeljenja:

Zamjena baze logaritma:

Logaritam stupnja:

korijenski logaritam:

Logaritam s bazom potencije:

Decimalni i prirodni logaritmi.

Decimalni logaritam brojevi nazivaju logaritam baze 10 tog broja i pišu lg b
prirodni logaritam brojevi nazivaju logaritam ovog broja na bazu e, gdje e je iracionalan broj, približno jednak 2,7. Istodobno pišu ln b.

Ostale bilješke o algebri i geometriji

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi se, kao i svaki drugi broj, mogu zbrajati, oduzimati i pretvarati na sve moguće načine. Ali budući da logaritmi nisu sasvim obični brojevi, ovdje postoje pravila, koja se zovu osnovna svojstva.

Ta se pravila moraju znati – bez njih niti jedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, jako ih je malo – sve se može naučiti u jednom danu. Pa krenimo.

Zbrajanje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma s istom bazom: log a x i log a y. Zatim se mogu zbrajati i oduzimati, i:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x - log a y = log a (x: y).

Dakle, zbroj logaritama jednak je logaritmu umnoška, a razlika je logaritam kvocijenta. Imajte na umu: ključna točka ovdje je - iste osnove. Ako su baze različite, ova pravila ne rade!

Ove formule će vam pomoći u izračunavanju logaritamski izrazčak i kada se ne razmatraju njegovi pojedini dijelovi (vidi lekciju "Što je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

log 6 4 + log 6 9.

Budući da su baze logaritama iste, koristimo formulu zbroja:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log 2 48 − log 2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log 3 135 − log 3 5.

Opet, baze su iste, tako da imamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kao što vidite, originalni izrazi sastoje se od "loših" logaritama, koji se ne razmatraju zasebno. Ali nakon transformacija ispadaju sasvim normalni brojevi. Na temelju ove činjenice mnogi testni radovi. Da, kontrola - slični izrazi s punom ozbiljnošću (ponekad - gotovo bez promjena) ponuđeni su na ispitu.

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

Sada malo zakomplicirajmo zadatak. Što ako postoji stupanj u bazi ili argumentu logaritma? Tada se eksponent ovog stupnja može izvaditi iz znaka logaritma prema sljedećim pravilima:

To je lako vidjeti posljednje pravilo slijedi prva dva. Ali bolje ga je ipak zapamtiti - u nekim će slučajevima značajno smanjiti količinu izračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primijeniti sve formule ne samo slijeva na desno, već i obrnuto, tj. možete unijeti brojeve ispred znaka logaritma u sam logaritam.

Kako riješiti logaritme

To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log 7 49 6 .

Riješimo se stupnja u argumentu prema prvoj formuli:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je nazivnik logaritam čija su baza i argument točne potencije: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer treba pojasniti. Gdje su nestali logaritmi? Do zadnjeg trenutka radimo samo s nazivnikom. Predstavili su bazu i argument logaritma koji tamo stoji u obliku stupnjeva i izvadili indikatore - dobili su "trokatni" razlomak.

Sada pogledajmo glavnu frakciju. Brojnik i nazivnik imaju isti broj: log 2 7. Budući da je log 2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojnik, što je i učinjeno. Rezultat je odgovor: 2.

Prijelaz na novi temelj

Govoreći o pravilima zbrajanja i oduzimanja logaritama, posebno sam naglasio da ona rade samo s istim bazama. Što ako su baze različite? Što ako nisu točne potencije istog broja?

U pomoć dolaze formule za prijelaz na novu bazu. Formuliramo ih u obliku teorema:

Neka je dan logaritam log a x. Tada za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 vrijedi jednakost:

Konkretno, ako stavimo c = x, dobivamo:

Iz druge formule proizlazi da je moguće zamijeniti bazu i argument logaritma, ali u ovom slučaju cijeli izraz je "okrenut", tj. logaritam je u nazivniku.

Ove formule se rijetko nalaze u običnim numerički izrazi. Koliko su zgodni moguće je procijeniti tek pri odlučivanju logaritamske jednadžbe i nejednakosti.

Međutim, postoje zadaci koji se uopće ne mogu riješiti osim prelaskom na novi temelj. Razmotrimo nekoliko od njih:

Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log 5 16 log 2 25.

Imajte na umu da su argumenti oba logaritma točni eksponenti. Izvadimo indikatore: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Sada okrenimo drugi logaritam:

Budući da se umnožak ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim izračunali logaritme.

Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log 9 100 lg 3.

Baza i argument prvog logaritma su egzaktne potencije. Zapišimo to i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalni logaritam, preseljenje u novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam zadane baze.

U ovom slučaju pomoći će nam formule:

U prvom slučaju broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo što, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula zapravo je parafrazirana definicija. Zove se ovako:

Doista, što će se dogoditi ako se broj b podigne na takav stupanj da broj b u tom stupnju daje broj a? Tako je: ovo je isti broj a. Ponovno pažljivo pročitajte ovaj paragraf - mnogi se ljudi "zakače" na njega.

Kao i formule za prelazak na novu bazu, glavni logaritamski identitet ponekad je to jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je log 25 64 = log 5 8 - samo izvadio kvadrat iz baze i argumenta logaritma. S obzirom na pravila množenja potencija s istom bazom, dobivamo:

Ako netko ne zna, ovo je bio pravi zadatak s Jedinstvenog državnog ispita 🙂

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

U zaključku ću dati dva identiteta koja je teško nazvati svojstvima - prije su to posljedice iz definicije logaritma. Stalno se nalaze u problemima i, začudo, stvaraju probleme čak i "naprednijim" studentima.

log a a = 1 je. Upamtite jednom zauvijek: logaritam bilo koje baze a iz same baze jednak je jedan.
log a 1 = 0 je. Baza a može biti bilo što, ali ako je argument jedan, logaritam je nula! Budući da je 0 = 1 izravna posljedica definicije.

To su sva svojstva. Svakako ih vježbajte u praksi! Preuzmite varalicu na početku lekcije, isprintajte je i riješite zadatke.

Što je logaritam?

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u posebnom odjeljku 555.
Za one koji jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Što je logaritam? Kako riješiti logaritme? Ova pitanja zbunjuju mnoge maturante. Tradicionalno se tema logaritama smatra složenom, nerazumljivom i zastrašujućom. Posebno - jednadžbe s logaritmima.

To apsolutno nije točno. Apsolutno! Ne vjerujete? Dobro. Sada, nekih 10-20 minuta vi:

1. Razumjeti što je logaritam.

2. Naučite riješiti cijeli razred eksponencijalne jednadžbe. Čak i ako niste čuli za njih.

3. Naučiti izračunati jednostavne logaritme.

Štoviše, za ovo ćete morati znati samo tablicu množenja i kako se broj podiže na potenciju ...

Osjećam da sumnjate ... Pa, čuvajte vrijeme! Ići!

Prvo u mislima riješite sljedeću jednadžbu:

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Logaritam broja N razumom a naziva se eksponent x , na koje trebate podići a da dobijem broj N

Pod uvjetom da
,
,

Iz definicije logaritma proizlazi da
, tj.
- ova jednakost je osnovni logaritamski identitet.

Logaritmi s bazom 10 nazivaju se decimalni logaritmi. Umjesto
pisati
.

osnovni logaritmi e nazivaju se prirodnim i označavaju
.

Osnovna svojstva logaritmi.

Logaritam jedinice za bilo koju bazu je nula

Logaritam umnoška jednak je zbroju logaritama faktora.

3) Logaritam kvocijenta jednak je razlici logaritama

Faktor
naziva se modul prijelaza iz logaritama na bazi a na logaritme u bazi b .

Koristeći svojstva 2-5, često je moguće reducirati logaritam složenog izraza na rezultat jednostavnih aritmetičkih operacija nad logaritmima.

Na primjer,

Takve transformacije logaritma nazivamo logaritmima. Transformacije recipročne logaritmima nazivaju se potenciranjem.

Poglavlje 2. Elementi više matematike.

1. Granice

granica funkcije
je konačan broj A ako, kada se teži xx 0 za svaki unaprijed određeni
, postoji broj
da čim
, onda
.

Funkcija koja ima limit razlikuje se od njega za beskrajno mali iznos:
, gdje je - b.m.w., tj.
.

Primjer. Razmotrite funkciju
.

Pri težnji
, funkcija g ide na nulu:

1.1. Osnovni teoremi o limitima.

Ograničiti konstantna vrijednost jednaka je ovoj konstanti

Limit zbroja (razlike). konačan broj funkcije jednaka je zbroju (razlici) limita tih funkcija.

Limes umnoška konačnog broja funkcija jednak je umnošku limesa tih funkcija.

Limes kvocijenta dviju funkcija jednak je kvocijentu limesa tih funkcija ako limes nazivnika nije jednak nuli.

Izvanredna ograničenja

,
, gdje

1.2. Primjeri izračuna ograničenja

Međutim, ne izračunavaju se sva ograničenja tako lako. Češće se izračun granice svodi na otkrivanje tipske nesigurnosti: ili .

2. Derivacija funkcije

Neka imamo funkciju
, kontinuirano na segmentu
.

Argument dobio malo poticaja
. Zatim će se funkcija povećati
.

Vrijednost argumenta odgovara vrijednosti funkcije
.

Vrijednost argumenta
odgovara vrijednosti funkcije .

Posljedično,.

Nađimo granicu ove relacije na
. Ako ta granica postoji, naziva se derivacija zadane funkcije.

Definicija derivacije zadane funkcije
argumentacijom zove granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, kada priraštaj argumenta proizvoljno teži nuli.

Derivacija funkcije
može se označiti na sljedeći način:

; ; ; .

Definicija 4Operacija nalaženja derivacije funkcije naziva se diferencijacija.

2.1. Mehaničko značenje izvedenice.

Promotrimo pravocrtno gibanje nekog krutog tijela ili materijalne točke.

Neka u nekom trenutku u vremenu pokretna točka
bio na daljinu iz početne pozicije
.

Nakon nekog vremena
udaljila se
. Stav =- Prosječna brzina materijalna točka
. Nađimo granicu ovog omjera, uzimajući u obzir da
.

Stoga definicija trenutna brzina gibanje materijalne točke svodi se na pronalaženje izvodnice puta u odnosu na vrijeme.

2.2. geometrijska vrijednost izvedenica

Pretpostavimo da imamo grafički definiranu neku funkciju
.

Riža. 1. Geometrijsko značenje izvoda

Ako a
, onda točka
, kretat će se duž krivulje, približavajući se točki
.

Slijedom toga
, tj. vrijednost derivacije s obzirom na vrijednost argumenta numerički je jednak tangensu kuta koji tvori tangenta u danoj točki s pozitivnim smjerom osi
.

2.3. Tablica osnovnih formula diferenciranja.

Funkcija snage

Eksponencijalna funkcija

logaritamska funkcija

trigonometrijska funkcija

Inverzna trigonometrijska funkcija

2.4. Pravila razlikovanja.

Izvedenica iz

Derivacija zbroja (razlike) funkcija

Derivacija umnoška dviju funkcija

Derivacija kvocijenta dviju funkcija

2.5. Izvedenica iz složena funkcija.

Neka funkcija
takav da se može prikazati kao

i
, gdje je varijabla je onda posredni argument

Derivacija složene funkcije jednaka je umnošku derivacije zadane funkcije s obzirom na međuargument s derivacijom međuargumenta s obzirom na x.

Primjer1.

Primjer2.

3. Funkcijski diferencijal.

Neka bude
, diferencijabilan na nekom intervalu
Pusti to na ova funkcija ima izvod

onda možete pisati

(1),

gdje - infinitezimalna količina,

jer kod

Množenjem svih članova jednakosti (1) sa
imamo:

Gdje
- b.m.v. višeg reda.

Vrijednost
naziva se diferencijal funkcije
i označeno

3.1. Geometrijska vrijednost diferencijala.

Neka funkcija
.

sl.2. Geometrijsko značenje diferencijala.

Očito, diferencijal funkcije
jednaka je prirastu ordinate tangente u datoj točki.

3.2. Derivacije i diferencijali raznih redova.

Ako ima
, onda
naziva se prva derivacija.

Derivacija prve derivacije naziva se derivacija drugog reda i zapisuje se
.

Derivacija n-tog reda funkcije
naziva se derivacija (n-1) reda i piše:

Diferencijal diferencijala funkcije naziva se drugi diferencijal ili diferencijal drugog reda.

.

.

3.3 Rješavanje bioloških problema pomoću diferencijacije.

Zadatak1. Studije su pokazale da je rast kolonije mikroorganizama u skladu sa zakonom
, gdje N – broj mikroorganizama (u tisućama), t – vrijeme (dani).

b) Hoće li se broj stanovnika kolonije tijekom tog razdoblja povećati ili smanjiti?

Odgovor. Kolonija će rasti u veličini.

Zadatak 2. Voda u jezeru se povremeno ispituje radi kontrole sadržaja patogenih bakterija. Kroz t dana nakon testiranja koncentracija bakterija određuje se omjerom

Kada će doći do minimalne koncentracije bakterija u jezeru i kada će se u njemu moći kupati?

Rješenje Funkcija doseže max ili min kada je njezina derivacija nula.

Odredimo maksimum ili min koji će biti za 6 dana. Da bismo to učinili, uzimamo drugu derivaciju.

Odgovor: Nakon 6 dana bit će minimalna koncentracija bakterija.

osnovna svojstva.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

iste osnove

log6 4 + log6 9.

Sada malo zakomplicirajmo zadatak.

Primjeri rješavanja logaritama

Što ako postoji stupanj u bazi ili argumentu logaritma? Tada se eksponent ovog stupnja može izvaditi iz znaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se promatra ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x >

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Prijelaz na novi temelj

Neka je dan logaritam logax. Tada za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 vrijedi jednakost:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Vidi također:

Osnovna svojstva logaritma

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je 2,7 i dvaput godina rođenja Lava Tolstoja.

Osnovna svojstva logaritama

Poznavajući ovo pravilo, znat ćete i točnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.

Primjeri za logaritme

Uzmite logaritam izraza

Primjer 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Po svojstvima 3,5 računamo

4. gdje .

Primjer 2 Nađi x if

Primjer 3. Neka je zadana vrijednost logaritama

Izračunajte log(x) ako

Osnovna svojstva logaritama

Ova se pravila moraju znati - bez njih se ne može riješiti nijedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, jako ih je malo – sve se može naučiti u jednom danu. Pa krenimo.

Zbrajanje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma s istom bazom: logax i logay. Zatim se mogu zbrajati i oduzimati, i:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Dakle, zbroj logaritama jednak je logaritmu umnoška, a razlika je logaritam kvocijenta. Imajte na umu: ključna točka ovdje je - iste osnove. Ako su baze različite, ova pravila ne rade!

Ove formule pomoći će izračunati logaritamski izraz čak i kada se ne uzimaju u obzir njegovi pojedinačni dijelovi (pogledajte lekciju "Što je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

Budući da su baze logaritama iste, koristimo formulu zbroja:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet, baze su iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kao što vidite, originalni izrazi sastoje se od "loših" logaritama, koji se ne razmatraju zasebno. Ali nakon transformacija ispadaju sasvim normalni brojevi. Mnogi testovi temelje se na ovoj činjenici. Da, kontrola - slični izrazi s punom ozbiljnošću (ponekad - gotovo bez promjena) ponuđeni su na ispitu.

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi njihova prva dva. Ali bolje ga je ipak zapamtiti - u nekim će slučajevima značajno smanjiti količinu izračuna.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Riješimo se stupnja u argumentu prema prvoj formuli:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je nazivnik logaritam čija su baza i argument točne potencije: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer treba pojasniti. Gdje su nestali logaritmi? Do zadnjeg trenutka radimo samo s nazivnikom.

Formule logaritama. Logaritmi su primjeri rješenja.

Predstavili su bazu i argument logaritma koji tamo stoji u obliku stupnjeva i izvadili indikatore - dobili su "trokatni" razlomak.

Sada pogledajmo glavnu frakciju. Brojnik i nazivnik imaju isti broj: log2 7. Kako je log2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojnik, što je i učinjeno. Rezultat je odgovor: 2.

Prijelaz na novi temelj

Govoreći o pravilima zbrajanja i oduzimanja logaritama, posebno sam naglasio da ona rade samo s istim bazama. Što ako su baze različite? Što ako nisu točne potencije istog broja?

U pomoć dolaze formule za prijelaz na novu bazu. Formuliramo ih u obliku teorema:

Neka je dan logaritam logax. Tada za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 vrijedi jednakost:

Konkretno, ako stavimo c = x, dobivamo:

Iz druge formule proizlazi da je moguće zamijeniti bazu i argument logaritma, ali u ovom slučaju cijeli izraz je "okrenut", tj. logaritam je u nazivniku.

Ove se formule rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodni moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi.

Međutim, postoje zadaci koji se uopće ne mogu riješiti osim prelaskom na novi temelj. Razmotrimo nekoliko od njih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da su argumenti oba logaritma točni eksponenti. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada okrenimo drugi logaritam:

Budući da se umnožak ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim izračunali logaritme.

Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Baza i argument prvog logaritma su egzaktne potencije. Zapišimo to i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma prelaskom na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam zadane baze. U ovom slučaju pomoći će nam formule:

U prvom slučaju broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo što, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula zapravo je parafrazirana definicija. Zove se ovako:

Poput novih formula za pretvorbu baza, osnovni logaritamski identitet ponekad je jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - samo izvadio kvadrat iz baze i argumenta logaritma. S obzirom na pravila množenja potencija s istom bazom, dobivamo:

Ako netko ne zna, ovo je bio pravi zadatak s Jedinstvenog državnog ispita 🙂

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

logaa = 1 je. Upamtite jednom zauvijek: logaritam bilo koje baze a iz same baze jednak je jedan.
loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo što, ali ako je argument jedan, logaritam je nula! Budući da je a0 = 1 izravna posljedica definicije.

To su sva svojstva. Svakako ih vježbajte u praksi! Preuzmite varalicu na početku lekcije, isprintajte je i riješite zadatke.

Vidi također:

Logaritam broja b s bazom a označava izraz. Izračunati logaritam znači pronaći takvu snagu x () pri kojoj je jednakost istinita

Osnovna svojstva logaritma

Navedena svojstva potrebno je poznavati jer se na temelju njih gotovo svi zadaci i primjeri rješavaju logaritmima. Preostala egzotična svojstva mogu se izvesti matematičkim manipulacijama s ovim formulama

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Pri izračunavanju formule za zbroj i razliku logaritama (3.4) često se susreću. Ostali su donekle složeni, ali su u nizu zadataka nezamjenjivi za pojednostavljenje složenih izraza i izračunavanje njihovih vrijednosti.

Uobičajeni slučajevi logaritma

Neki od uobičajenih logaritama su oni u kojima je baza čak deset, eksponencijal ili dvojka.
Logaritam s bazom deset obično se naziva logaritam s bazom deset i jednostavno se označava lg(x).

Iz zapisnika je vidljivo da u zapisniku nisu upisane osnove. Na primjer

Prirodni logaritam je logaritam čija je osnova eksponent (označava se ln(x)).

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je 2,7 i dvaput godina rođenja Lava Tolstoja. Poznavajući ovo pravilo, znat ćete i točnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.

I još jedan važan logaritam s bazom dva je

Derivacija logaritma funkcije jednaka je jedinici podijeljenoj s varijablom

Integralni ili antiderivacijski logaritam određen je ovisnošću

Gornji materijal dovoljan vam je za rješavanje široke klase zadataka vezanih uz logaritme i logaritme. Radi razumijevanja gradiva navest ću samo nekoliko uobičajenih primjera iz školski plan i program i sveučilišta.

Primjeri za logaritme

Uzmite logaritam izraza

Primjer 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Po svojstvima 3,5 računamo

2.
Po svojstvu razlike logaritama, imamo

3.
Koristeći svojstva 3.5 nalazimo

4. gdje .

Po izgledu složeni izraz korištenje niza pravila je pojednostavljeno do forme

Pronalaženje logaritamskih vrijednosti

Primjer 2 Nađi x if

Riješenje. Za izračun primjenjujemo svojstva 5 i 13 do posljednjeg člana

Zamjena u zapisnik i tugovati

Budući da su baze jednake, izjednačavamo izraze

Logaritmi. Prva razina.

Neka je dana vrijednost logaritama

Izračunajte log(x) ako

Rješenje: uzmite logaritam varijable da biste zapisali logaritam kroz zbroj članova

Ovo je tek početak upoznavanja s logaritmima i njihovim svojstvima. Vježbajte računanje, obogaćujte svoje praktične vještine – stečeno znanje uskoro će vam trebati za rješavanje logaritamskih jednadžbi. Nakon što smo proučili osnovne metode za rješavanje takvih jednadžbi, proširit ćemo vaše znanje za još jedno važna tema- logaritamske nejednakosti ...

Osnovna svojstva logaritama

Ova se pravila moraju znati - bez njih se ne može riješiti nijedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, jako ih je malo – sve se može naučiti u jednom danu. Pa krenimo.

Zbrajanje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma s istom bazom: logax i logay. Zatim se mogu zbrajati i oduzimati, i:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Dakle, zbroj logaritama jednak je logaritmu umnoška, a razlika je logaritam kvocijenta. Imajte na umu: ključna točka ovdje je - iste osnove. Ako su baze različite, ova pravila ne rade!

Ove formule pomoći će izračunati logaritamski izraz čak i kada se ne uzimaju u obzir njegovi pojedinačni dijelovi (pogledajte lekciju "Što je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log6 4 + log6 9.

Budući da su baze logaritama iste, koristimo formulu zbroja:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet, baze su iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

Sada malo zakomplicirajmo zadatak. Što ako postoji stupanj u bazi ili argumentu logaritma? Tada se eksponent ovog stupnja može izvaditi iz znaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi njihova prva dva. Ali bolje ga je ipak zapamtiti - u nekim će slučajevima značajno smanjiti količinu izračuna.

Kako riješiti logaritme

To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Riješimo se stupnja u argumentu prema prvoj formuli:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je nazivnik logaritam čija su baza i argument točne potencije: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Prijelaz na novi temelj

Govoreći o pravilima zbrajanja i oduzimanja logaritama, posebno sam naglasio da ona rade samo s istim bazama. Što ako su baze različite? Što ako nisu točne potencije istog broja?

U pomoć dolaze formule za prijelaz na novu bazu. Formuliramo ih u obliku teorema:

Neka je dan logaritam logax. Tada za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 vrijedi jednakost:

Konkretno, ako stavimo c = x, dobivamo:

Iz druge formule proizlazi da je moguće zamijeniti bazu i argument logaritma, ali u ovom slučaju cijeli izraz je "okrenut", tj. logaritam je u nazivniku.

Ove se formule rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodni moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi.

Međutim, postoje zadaci koji se uopće ne mogu riješiti osim prelaskom na novi temelj. Razmotrimo nekoliko od njih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da su argumenti oba logaritma točni eksponenti. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada okrenimo drugi logaritam:

Budući da se umnožak ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim izračunali logaritme.

Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Baza i argument prvog logaritma su egzaktne potencije. Zapišimo to i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma prelaskom na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam zadane baze. U ovom slučaju pomoći će nam formule:

U prvom slučaju broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo što, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula zapravo je parafrazirana definicija. Zove se ovako:

Poput novih formula za pretvorbu baza, osnovni logaritamski identitet ponekad je jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - samo izvadio kvadrat iz baze i argumenta logaritma. S obzirom na pravila množenja potencija s istom bazom, dobivamo:

Ako netko ne zna, ovo je bio pravi zadatak s Jedinstvenog državnog ispita 🙂

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

logaa = 1 je. Upamtite jednom zauvijek: logaritam bilo koje baze a iz same baze jednak je jedan.
loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo što, ali ako je argument jedan, logaritam je nula! Budući da je a0 = 1 izravna posljedica definicije.

To su sva svojstva. Svakako ih vježbajte u praksi! Preuzmite varalicu na početku lekcije, isprintajte je i riješite zadatke.