Các định lý về tính không đầy đủ của Gödel có một ý nghĩa triết học. Lời thú nhận của một nhà logic học vĩ đại

Định lý về tính không đầy đủ của Godel

Uspensky V.A.

Có lẽ định lý về tính không đầy đủ của Gödel thực sự là duy nhất. Độc đáo ở chỗ họ đề cập đến nó khi muốn chứng minh "mọi thứ trên đời" - từ sự hiện diện của các vị thần đến sự vắng mặt của lý trí. Tôi luôn quan tâm đến một "câu hỏi chính" hơn - và ai trong số những người đề cập đến định lý không đầy đủ không chỉ có thể hình thành nó mà còn chứng minh nó? Tôi gửi bài viết này vì lý do đó nó trình bày một công thức rất dễ tiếp cận của định lý Gödel. Tôi khuyên bạn nên đọc trước bài báo của Tullio Regge Kurt Gödel và định lý nổi tiếng của ông

Kết luận về tính bất khả thi của một tiêu chuẩn phổ quát của chân lý là hệ quả trực tiếp của kết quả mà Tarski thu được bằng cách kết hợp định lý bất khả phân của Gödel với lý thuyết chân lý của riêng ông, theo đó không thể có một tiêu chuẩn phổ quát về chân lý ngay cả đối với một khu vực tương đối hẹp. của lý thuyết số, và do đó đối với bất kỳ khoa học nào sử dụng số học. Đương nhiên, kết quả này áp dụng cho khái niệm chân lý trong bất kỳ lĩnh vực kiến thức phi toán học nào mà số học được sử dụng rộng rãi.

Karl Popper

Uspensky Vladimir Andreevich sinh ngày 27 tháng 11 năm 1930 tại Moscow. Tốt nghiệp Khoa Cơ học và Toán học Đại học Tổng hợp Matxcova (1952). Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học (1964). Giáo sư, Trưởng Bộ môn Toán lý thuyết và lôgic toán của Khoa Cơ học và Toán học (1966). Đọc các khóa học về bài giảng "Nhập môn toán học logic", "Hàm tính toán", "Định lý tính đầy đủ của Gödel". Chuẩn bị cho 25 ứng viên và 2 tiến sĩ khoa học

1. Phát biểu vấn đề

Định lý không đầy đủ, công thức chính xác mà chúng ta sẽ đưa ra ở cuối chương này, và có lẽ sau này (nếu người đọc quan tâm đến điều này) và bằng chứng, phát biểu gần đúng như sau: trong một số điều kiện nhất định trong bất kỳ ngôn ngữ nào cũng đúng, nhưng câu lệnh không thể chứng minh được.

Khi chúng ta xây dựng một định lý theo cách này, hầu hết mọi từ đều yêu cầu một số lời giải thích. Do đó, chúng tôi sẽ bắt đầu bằng cách giải thích ý nghĩa của những từ chúng tôi sử dụng trong công thức này.

1.1. Ngôn ngữ

Chúng tôi sẽ không đưa ra định nghĩa chung nhất có thể về một ngôn ngữ, chỉ thích giới hạn bản thân trong những khái niệm ngôn ngữ mà chúng tôi sẽ cần sau này. Có hai khái niệm như vậy: "bảng chữ cái của ngôn ngữ" và "tập hợp các phát biểu thực sự của ngôn ngữ".

1.1.1. Bảng chữ cái

Theo bảng chữ cái, chúng tôi muốn nói đến một tập hợp hữu hạn các dấu hiệu cơ bản (nghĩa là những thứ không thể chia nhỏ thành các bộ phận thành phần). Những ký tự này được gọi là các chữ cái của bảng chữ cái. Theo từ của bảng chữ cái, chúng tôi muốn nói đến trình tự cuối cùng bức thư. Ví dụ, các từ thông thường trong tiếng Anh (bao gồm cả tên riêng) là các từ trong bảng chữ cái gồm 54 chữ cái (26 chữ cái nhỏ, 26 chữ cái viết hoa, một dấu gạch ngang và một dấu nháy đơn). Một ví dụ khác là các số tự nhiên trong ký hiệu thập phân là các từ thuộc bảng chữ cái gồm 10 chữ cái, có các chữ cái là các dấu: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Để biểu thị bảng chữ cái, chúng ta sẽ sử dụng các chữ cái viết hoa thông thường. Nếu L là một bảng chữ cái, thì L? sẽ biểu thị tập hợp tất cả các từ của bảng chữ cái L, - các từ được hình thành từ các chữ cái của nó. Chúng ta sẽ giả định rằng bất kỳ ngôn ngữ nào cũng có bảng chữ cái riêng của nó, vì vậy tất cả các biểu thức của ngôn ngữ này (tức là - tên của các đối tượng khác nhau, tuyên bố về các đối tượng này, v.v.) là các từ của bảng chữ cái này. Ví dụ, bất kỳ đề xuất nào ngôn ngữ tiếng anh, cũng như bất kỳ văn bản nào được viết bằng tiếng Anh, có thể được coi là một từ của bảng chữ cái mở rộng gồm 54 chữ cái, bao gồm các dấu câu, khoảng trắng giữa các từ, dấu dòng màu đỏ và có thể là một số ký tự hữu ích khác. Giả sử rằng các biểu thức ngôn ngữ là các từ của một số bảng chữ cái, do đó chúng tôi loại trừ khỏi việc xem xét các biểu thức "nhiều lớp" như ??? f (x) dx. Tuy nhiên, hạn chế này không quá đáng kể, vì bất kỳ biểu thức nào như vậy, sử dụng các quy ước phù hợp, đều có thể được "kéo dài" thành một dạng tuyến tính. Tập hợp M nào có trong L? được gọi là một tập hợp từ của bảng chữ cái L. Nếu chúng ta chỉ nói rằng M là một tập hợp từ, thì chúng tôi muốn nói rằng nó là một từ của một số bảng chữ cái. Bây giờ giả định ngôn ngữ ở trên có thể được diễn đạt lại như sau: trong bất kỳ ngôn ngữ nào, bất kỳ tập hợp biểu thức nào cũng là một tập hợp từ.

1.1.2. Rất nhiều tuyên bố đúng

Chúng ta giả sử rằng chúng ta được cho một tập con T của tập L? (trong đó L là bảng chữ cái của một số ngôn ngữ mà chúng ta đang xem xét), được gọi là tập hợp các "câu lệnh đúng" (hay đơn giản là "chân lý"). Chuyển trực tiếp đến tập con T, chúng ta bỏ qua các bước lập luận trung gian sau: thứ nhất, những từ nào trong bảng chữ cái L là những biểu thức được hình thành tốt của ngôn ngữ, nghĩa là có giá trị nhất định theo cách hiểu của chúng tôi về ngôn ngữ này (ví dụ: 2 + 3, x + 3, x = y, x = 3, 2 = 3, 2 = 2 là các biểu thức được hình thành tốt, trong khi các biểu thức như + = x thì không); thứ hai, những biểu thức nào là công thức, tức là có thể phụ thuộc vào một tham số (ví dụ: x = 3, x = y, 2 = 3, 2 = 2); thứ ba, công thức nào là công thức đóng, tức là câu lệnh không phụ thuộc vào tham số (ví dụ, 2 = 3, 2 = 2); và cuối cùng, công thức đóng nào là câu lệnh đúng (ví dụ: 2 = 2).

1.1.3. Cặp ngôn ngữ cơ bản

1.2. "Không thể chứng minh được"

"Không thể chứng minh được" nghĩa là không có bằng chứng.

1.3. Bằng chứng

Mặc dù thực tế là thuật ngữ "chứng minh" có lẽ là một trong những thuật ngữ quan trọng nhất trong toán học (Bourbaki bắt đầu cuốn sách "Cơ bản của Toán học" với những từ: "Từ thời Hy Lạp cổ đại, nói" toán học "có nghĩa giống như nói "bằng chứng" "), anh ta không có một định nghĩa chính xác. Nói chung, khái niệm chứng minh với tất cả các nhánh ngữ nghĩa của nó, đúng hơn thuộc về lĩnh vực tâm lý học hơn là toán học. Nhưng có thể như vậy, bằng chứng chỉ đơn giản là một lập luận mà bản thân chúng ta thấy khá thuyết phục để thuyết phục những người khác.

Khi được viết ra, bằng chứng sẽ trở thành một từ trong một số bảng chữ cái P, giống như bất kỳ Văn bản tiếng anh là một từ trong bảng chữ cái L, một ví dụ đã được đưa ra ở trên. Tập hợp tất cả các chứng minh tạo thành một tập con (và một tập con khá lớn) của tập P?. Chúng tôi sẽ không cố gắng đưa ra một định nghĩa chính xác về khái niệm chứng minh cả "ngây thơ" và "tuyệt đối" này, hoặc - tương đương - để định nghĩa tập con tương ứng của P ?. Thay vào đó, chúng tôi sẽ xem xét một tương tự chính thức của khái niệm mơ hồ này, mà chúng tôi sẽ vẫn sử dụng thuật ngữ "bằng chứng" trong phần sau. Tương tự này có hai đặc điểm rất quan trọng giúp phân biệt nó với khái niệm trực quan (mặc dù ý tưởng trực quan của phép chứng minh vẫn phản ánh những đặc điểm này ở một mức độ nào đó). Trước hết, chúng tôi giả định rằng có những quan niệm khác nhau về chứng minh, nghĩa là cho phép các tập con chứng minh khác nhau trong P?, Và thậm chí hơn thế nữa: trên thực tế, chúng tôi sẽ giả định rằng bản thân bảng chữ cái chứng minh P có thể thay đổi . Trong những điều tiếp theo, chúng tôi sẽ yêu cầu rằng đối với mỗi khái niệm chứng minh như vậy phải có một phương pháp hiệu quả, nói cách khác, một thuật toán nhất thiết phải xác định xem từ đã cho bảng chữ cái P chứng minh hay không. Chúng tôi cũng giả định rằng có một thuật toán luôn có thể xác định câu lệnh nào chứng minh đưa ra bằng chứng. (Trong nhiều tình huống, tuyên bố đang được chứng minh chỉ đơn giản là phát biểu cuối cùng trong chuỗi các bước hình thành chứng minh.)

Do đó, từ ngữ cuối cùng của chúng tôi về định nghĩa như sau:

(1) Chúng ta có bảng chữ cái L (bảng chữ cái của ngôn ngữ) và bảng chữ cái P (bảng chữ cái chứng minh).

(2) Ta cho tập P là tập con của P? Và các phần tử của nó được gọi là "tập chứng minh". Trong phần sau, chúng ta sẽ giả sử rằng chúng ta cũng có một thuật toán cho phép chúng ta xác định xem một từ bất kỳ trong bảng chữ cái P có phải là một phần tử của tập P, tức là một bằng chứng hay không.

(3) Ngoài ra chúng tôi có một chức năng? (để tìm kiếm chính xác những gì đã được chứng minh), miền của ai? thỏa mãn điều kiện P ??? P ?, và thuộc khoảng nào trong P?. Chúng ta giả sử rằng chúng ta có một thuật toán tính hàm này (nghĩa chính xác của từ "thuật toán tính một hàm" như sau: các giá trị của hàm thu được bằng cách sử dụng thuật toán này - một tập hợp các quy tắc biến đổi đặc biệt). Ta sẽ nói rằng phần tử p? P là một bằng chứng của từ? (P) trong bảng chữ cái L.

Troika<Р, Р, ?>, thỏa mãn điều kiện (1) - (3) được gọi là hệ suy diễn theo bảng chữ cái L.

Đối với độc giả quen thuộc với cách định nghĩa "chứng minh" thông thường theo "tiên đề" và "quy tắc suy luận", bây giờ chúng tôi sẽ giải thích phương pháp này có thể được coi như một trường hợp đặc biệt của định nghĩa nêu trong phần 1.3.2. Nghĩa là, một bằng chứng thường được định nghĩa là một chuỗi các biểu thức ngôn ngữ như vậy, mỗi biểu thức trong số đó là một tiên đề hoặc thu được trước đó từ các câu lệnh đã tồn tại bằng cách sử dụng một trong các quy tắc suy luận. Nếu chúng ta thêm một từ mới * vào bảng chữ cái của ngôn ngữ của chúng ta, thì chúng ta có thể viết một bằng chứng như một từ được cấu tạo bằng cách sử dụng bảng chữ cái kết quả: chuỗi biểu thức trở thành từ C1 * C2 * ... * Cn. Trong trường hợp này, hàm xác định điều chính xác đã được chứng minh có giá trị trong phần của từ này ngay sau chữ cái cuối cùng * trong dãy. Thuật toán có sự tồn tại được yêu cầu trong Phần 1.3.2. có thể dễ dàng xây dựng định nghĩa một khi chúng ta đã xác định chính xác bất kỳ ý nghĩa nào được chấp nhận của các từ "tiên đề" và "quy tắc suy luận".

1.4. Nỗ lực xây dựng chính xác định lý về tính không đầy đủ

1.4.1. Lần thử đầu tiên

"Trong những điều kiện nhất định đối với cặp ngôn ngữ cơ bản của bảng chữ cái L và hệ thống suy diễn<Р, Р, ?>hơn L, luôn có một từ trong T không có bằng chứng. Tùy chọn này vẫn có vẻ mơ hồ. Đặc biệt, chúng tôi có thể dễ dàng đưa ra bao nhiêu hệ thống suy luận tùy thích, có rất ít từ chứng minh được.?) không có từ nào ở tất cả những gì sẽ có bằng chứng.

1.4.2. Thử lần thứ hai

Có một, nhiều hơn nữa cách tiếp cận tự nhiên. Giả sử chúng ta được cung cấp một ngôn ngữ - theo nghĩa là chúng ta được cung cấp một cặp cơ bản của ngôn ngữ này. Bây giờ chúng ta sẽ tìm kiếm một hệ thống suy diễn trên L (theo trực giác, chúng ta đang tìm kiếm một kỹ thuật chứng minh) mà chúng ta có thể chứng minh bằng cách nào thêm nhiều từ ngữ từ T, trong giới hạn tất cả các từ trong định lý T. Gödel mô tả một tình huống trong đó một hệ thống suy diễn như vậy (bằng cách mà mọi từ trong T đều có thể chứng minh được) không tồn tại. Do đó, chúng tôi muốn hình thành câu lệnh sau:

"Trong một số điều kiện nhất định liên quan đến cặp cơ bản, không có hệ thống suy diễn nào như vậy trong đó mọi từ từ T sẽ có một bằng chứng."

Tuy nhiên, phát biểu như vậy rõ ràng là sai, vì chỉ cần lấy hệ suy ra P = L, P = P? và? (p) = p với mọi p trong P ?; thì mỗi từ L? là tầm thường có thể chứng minh được. Do đó, chúng ta cần chấp nhận một số giới hạn đối với hệ thống suy diễn mà chúng ta sử dụng.

1.5. Tính nhất quán

Sẽ là hoàn toàn tự nhiên nếu yêu cầu rằng chỉ những "câu nói đúng", tức là chỉ những từ T, mới có thể được chứng minh. Chúng tôi sẽ nói rằng hệ thống suy diễn<Р, Р, ?>phù hợp với một cặp cơ bản nếu? (p)? t. Trong tất cả các suy luận tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ quan tâm đến các hệ thống suy luận nhất quán như vậy. Nếu chúng ta được cung cấp một ngôn ngữ, thì sẽ vô cùng hấp dẫn để tìm ra một hệ thống suy luận nhất quán như vậy, trong đó mọi phát biểu đúng đều có bằng chứng. Biến thể của định lý Gödel mà chúng ta quan tâm chính xác rằng trong những điều kiện nhất định liên quan đến cặp cơ bản, không thể tìm thấy một hệ thống suy diễn như vậy.

1.6. sự hoàn chỉnh

Người ta nói rằng hệ thống suy diễn<Р,Р,?>là hoàn chỉnh đối với cặp cơ bản, với điều kiện là? (p)? t. Khi đó công thức của định lý về tính không đầy đủ của chúng ta có dạng sau:

Trong những điều kiện nhất định liên quan đến cặp cơ bản, không có hệ thống suy diễn như vậy<Р,Р,?>trên L điều đó sẽ vừa hoàn chỉnh vừa tương đối nhất quán.

Thư mục

Để chuẩn bị cho công việc này, các tài liệu từ trang web http://filosof.historic.ru đã được sử dụng.

Một trong những định lý đã biết logic toán học may mắn và không may mắn cùng một lúc. Trong này cô ấy giống như lý thuyết đặc biệt Thuyết tương đối của Einstein. Một mặt, hầu như mọi người đều đã nghe nói gì đó về họ. Mặt khác, theo cách hiểu phổ biến, lý thuyết của Einstein, như bạn đã biết, "nói mọi thứ trên đời đều là tương đối". Và định lý không đầy đủ của Gödel (sau đây gọi là TGN), trong một công thức dân gian gần như tự do, "chứng minh rằng có những điều không thể hiểu được đối với tâm trí con người". Và vì vậy một số cố gắng điều chỉnh nó như một lập luận chống lại chủ nghĩa duy vật, trong khi những người khác thì ngược lại, chứng minh với sự trợ giúp của nó rằng không có Chúa. Thật buồn cười không chỉ là cả hai bên không thể đúng cùng một lúc, mà cả bên này lẫn bên kia đều không bận tâm tìm ra thực tế, định lý này nói gì.

Vậy thì sao? Dưới đây tôi sẽ cố gắng "trên ngón tay" để nói về nó. Tất nhiên, giải trình của tôi sẽ không khắt khe và trực quan, nhưng tôi sẽ yêu cầu các nhà toán học không đánh giá tôi nghiêm khắc. Có thể đối với những người không chuyên về toán học (mà thực ra tôi cũng thuộc nằm lòng) sẽ có điều gì đó mới mẻ và hữu ích trong những gì được kể dưới đây.

Toán học logic quả thực là một môn khoa học khá phức tạp, và quan trọng nhất là không quen thuộc lắm. Nó đòi hỏi các thao tác cẩn thận và nghiêm ngặt, trong đó điều quan trọng là không được nhầm lẫn giữa điều đã thực sự được chứng minh với thực tế là "nó đã rõ ràng". Tuy nhiên, tôi hy vọng rằng để hiểu được “dàn ý chứng minh TGN” sau đây, người đọc chỉ cần có kiến thức về toán học / khoa học máy tính ở trường, các kỹ năng suy nghĩ logic và 15-20 phút thời gian.

Đơn giản hóa phần nào, TGN khẳng định như vậy là đủ ngôn ngữ khó có những tuyên bố không có cơ sở. Nhưng trong cụm từ này, hầu hết mọi từ đều cần giải thích.

Hãy bắt đầu bằng cách cố gắng tìm ra bằng chứng là gì. Hãy xem một số bài toán trường học trong số học. Ví dụ, hãy để yêu cầu chứng minh tính đúng của công thức không phức tạp sau: "" (Tôi nhắc bạn rằng ký hiệu được đọc là "cho bất kỳ" và được gọi là "định lượng phổ quát"). Nó có thể được chứng minh bằng cách biến đổi giống hệt nhau, chẳng hạn như thế này:

Việc chuyển đổi từ công thức này sang công thức khác xảy ra theo một số các quy tắc đã biết. Chẳng hạn, quá trình chuyển đổi từ công thức thứ 4 sang công thức thứ 5 xảy ra, bởi vì mọi số đều bằng chính nó - đó là tiên đề của số học. Và toàn bộ quy trình chứng minh, do đó, chuyển công thức thành giá trị boolean TRUE. Kết quả có thể là FALSE - nếu chúng ta bác bỏ một số công thức. Trong trường hợp này, chúng tôi sẽ chứng minh sự phủ định của nó. Có thể hình dung một chương trình (và những chương trình như vậy thực sự được viết ra) sẽ chứng minh những mệnh đề như vậy (và phức tạp hơn) mà không cần sự can thiệp của con người.

Hãy nêu điều tương tự một cách chính thức hơn một chút. Giả sử chúng ta có một tập hợp bao gồm các chuỗi ký tự của một số bảng chữ cái và có các quy tắc mà tập hợp con của cái gọi là các câu lệnh- nghĩa là các cụm từ có ý nghĩa về mặt ngữ pháp, mỗi cụm từ đều đúng hoặc sai. Chúng ta có thể nói rằng có một hàm phù hợp với các câu lệnh từ một trong hai giá trị: TRUE hoặc FALSE (nghĩa là ánh xạ chúng tới một tập Boolean gồm hai phần tử).

Hãy gọi một cặp như vậy - một tập hợp các câu lệnh và một hàm từ đến - "ngôn ngữ của tuyên bố". Lưu ý rằng theo nghĩa hàng ngày, khái niệm ngôn ngữ có phần rộng hơn. Ví dụ, cụm từ tiếng Nga "Chà, lại đây!" không đúng và không sai, nghĩa là theo quan điểm của lôgic toán học, nó không phải là một phát biểu.

Đối với những gì sau đây, chúng ta cần khái niệm về một thuật toán. Tôi sẽ không đưa ra định nghĩa chính thức của nó ở đây - điều này sẽ dẫn chúng ta sang một bên khá xa. Tôi sẽ giới hạn bản thân trong những việc không chính thức: "thuật toán"- chuỗi hướng dẫn rõ ràng này ("chương trình"), mỗi số giới hạn các bước chuyển đổi dữ liệu đầu vào thành đầu ra. Về cơ bản, phần in nghiêng rất quan trọng - nếu chương trình bị treo trên một số dữ liệu ban đầu, thì nó không mô tả thuật toán. Để đơn giản và áp dụng cho trường hợp của chúng ta, người đọc có thể coi rằng thuật toán là một chương trình được viết bằng bất kỳ ngôn ngữ lập trình nào mà anh ta biết, mà đối với bất kỳ dữ liệu đầu vào nào từ một lớp nhất định, được đảm bảo hoàn thành công việc của nó với kết quả Boolean.

Hãy để chúng tôi tự hỏi: có "thuật toán chứng minh" cho mọi chức năng không (hay nói ngắn gọn là "suy luận") tương đương với hàm này, tức là, dịch mỗi câu lệnh thành chính xác cùng một giá trị boolean với nó? Ngắn gọn hơn, câu hỏi tương tự có thể được xây dựng như sau: có phải mọi hàm đều nằm trên một tập các mệnh đề tính toán được? Như bạn đã có thể đoán, theo hiệu lực của TGN rằng không, không phải bất kỳ - có những hàm không thể tính toán được thuộc loại này. Nói cách khác, không phải mọi phát biểu đúng đều có thể được chứng minh.

Rất có thể câu nói này sẽ gây ra phản đối nội bộ cho bạn. Điều này là do một số trường hợp. Đầu tiên, khi chúng ta được dạy toán học trường học, sau đó đôi khi có ấn tượng sai về sự đồng nhất gần như đầy đủ của các cụm từ "định lý là đúng" và "có thể chứng minh hoặc xác minh định lý". Nhưng nếu bạn nghĩ về nó, nó không rõ ràng chút nào. Một số định lý được chứng minh khá đơn giản (ví dụ, bằng cách liệt kê một số ít phương án), và một số định lý rất khó. Ví dụ, hãy xem xét Định lý cuối cùng nổi tiếng của Fermat:

bằng chứng của nó đã được tìm thấy chỉ ba thế kỷ rưỡi sau công thức đầu tiên (và nó còn lâu mới có cơ sở). Cần phải phân biệt giữa sự thật của một tuyên bố và khả năng chứng minh của nó. Nó không theo bất cứ nơi nào mà không có tuyên bố đúng, nhưng không thể chứng minh (và không hoàn toàn có thể kiểm chứng).

Lập luận trực quan thứ hai chống lại TGN tinh vi hơn. Giả sử chúng ta có một số phát biểu không thể chứng minh được (trong khuôn khổ của suy luận này). Điều gì ngăn cản chúng ta chấp nhận nó như một tiên đề mới? Do đó, chúng tôi sẽ hơi phức tạp hóa hệ thống chứng minh của mình, nhưng điều này không quá khủng khiếp. Lập luận này sẽ hoàn toàn đúng nếu có một số hữu hạn mệnh đề không thể chứng minh được. Trong thực tế, điều sau có thể xảy ra - sau khi xác định một tiên đề mới, bạn sẽ vấp phải một phát biểu mới không thể chứng minh được. Hãy coi nó như một tiên đề khác - bạn sẽ vấp phải điều thứ ba. Và như vậy quảng cáo infinitum. Họ nói rằng Actuctica sẽ ở lại chưa hoàn thiện. Chúng tôi cũng có thể thực hiện các biện pháp mạnh mẽ để thuật toán chứng minh kết thúc sau một số bước hữu hạn với một số kết quả cho bất kỳ câu lệnh nào của ngôn ngữ. Nhưng đồng thời, anh ta sẽ bắt đầu nói dối - dẫn đến sự thật cho những tuyên bố không chính xác, hoặc dối trá - đối với những người trung thành. Trong những trường hợp như vậy, người ta nói rằng suy luận mâu thuẫn. Do đó, một công thức nữa của TGN nghe có vẻ như thế này: “Có những ngôn ngữ mệnh đề mà phép suy diễn nhất quán hoàn toàn là không thể” - do đó tên của định lý.

Đôi khi được gọi là "Định lý Gödel" là tuyên bố rằng bất kỳ lý thuyết nào cũng chứa đựng những vấn đề không thể giải quyết được trong khuôn khổ của chính lý thuyết và đòi hỏi sự tổng quát hóa của nó. Theo một nghĩa nào đó, điều này đúng, mặc dù công thức như vậy che khuất vấn đề hơn là làm rõ nó.

Tôi cũng lưu ý rằng nếu chúng ta đang nói về các chức năng thông thường hiển thị bộ số thực vào nó, thì "tính không thể tính toán" của hàm sẽ không làm bất kỳ ai ngạc nhiên (chỉ cần đừng nhầm lẫn giữa "hàm tính toán được" và "số có thể tính toán" - đây là những thứ khác nhau). Bất kỳ đứa trẻ nào cũng biết rằng, trong trường hợp của một hàm, bạn phải rất may mắn với lập luận để quá trình tính toán biểu diễn thập phân chính xác của giá trị của hàm này kết thúc trong một số bước hữu hạn. Và rất có thể bạn sẽ tính toán nó bằng cách sử dụng một chuỗi vô hạn và phép tính này sẽ không bao giờ dẫn đến kết quả chính xác, mặc dù nó có thể đến gần nó như bạn muốn - đơn giản vì giá trị của sin của hầu hết các đối số là không hợp lý. TGN chỉ đơn giản cho chúng ta biết rằng ngay cả trong số các hàm có đối số là chuỗi và có giá trị bằng 0 hoặc một, các hàm không tính toán được, mặc dù được sắp xếp theo một cách hoàn toàn khác, cũng tồn tại.

Đối với những gì sau đây, chúng tôi sẽ mô tả "ngôn ngữ của số học hình thức". Hãy xem xét một lớp chuỗi văn bản có độ dài hữu hạn, bao gồm các chữ số Ả Rập, các biến (chữ cái Bảng chữ cái Latinh), lấy giá trị tự nhiên, dấu cách, ký tự các phép tính toán học, bình đẳng và bất bình đẳng, định lượng (“tồn tại”) và (“cho bất kỳ”) và, có lẽ, một số ký hiệu khác (số lượng và thành phần chính xác của chúng không quan trọng đối với chúng tôi). Rõ ràng là không phải tất cả các dòng như vậy đều có nghĩa (ví dụ: "" là vô nghĩa). Tập hợp con của các biểu thức có ý nghĩa từ lớp này (nghĩa là các chuỗi đúng hoặc sai về mặt số học thông thường) sẽ là tập các câu lệnh của chúng ta.

Ví dụ về các câu lệnh số học chính thức:

vân vân. Bây giờ chúng ta hãy gọi một "công thức với một tham số tự do" (FSP) là một chuỗi sẽ trở thành một câu lệnh nếu chúng ta thay thế nó thành tham số này số tự nhiên. Ví dụ về FSP (có tham số):

vân vân. Nói cách khác, FSP tương đương với các hàm của một đối số tự nhiên có giá trị Boolean.

Ký hiệu tập hợp tất cả các FSP bằng chữ cái. Rõ ràng là nó có thể được sắp xếp (ví dụ, đầu tiên chúng tôi viết ra các công thức một chữ cái được sắp xếp theo thứ tự bảng chữ cái, sau đó là các công thức hai chữ cái, v.v. Do đó, bất kỳ FSP nào tương ứng với số của nó trong danh sách được sắp xếp và chúng tôi sẽ ký hiệu nó.

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang một bản phác thảo của chứng minh TGN trong công thức sau:

Đối với ngôn ngữ mệnh đề của số học chính thức, không có phép suy diễn nhất quán hoàn toàn.

Chúng tôi sẽ chứng minh bằng mâu thuẫn.

Vì vậy, hãy giả sử rằng một suy luận như vậy tồn tại. Hãy mô tả thuật toán bổ trợ sau đây gán giá trị boolean cho một số tự nhiên như sau:

Nói một cách đơn giản, thuật toán cho kết quả là giá trị TRUE nếu và chỉ khi kết quả của việc thay thế vào FSP số của chính nó trong danh sách của chúng ta cho một tuyên bố sai.

Ở đây chúng ta đến nơi duy nhất mà tôi sẽ yêu cầu người đọc giữ lời cho nó.

Rõ ràng, theo giả định trên, bất kỳ FSP nào từ đều có thể được liên kết với một thuật toán chứa một số tự nhiên ở đầu vào và giá trị Boolean ở đầu ra. Ít rõ ràng hơn là ngược lại:

Việc chứng minh bổ đề này ít nhất sẽ yêu cầu một định nghĩa chính thức, không phải trực quan, về khái niệm thuật toán. Tuy nhiên, nếu bạn nghĩ về nó một chút, nó là khá chính đáng. Thật vậy, các thuật toán được viết bằng các ngôn ngữ thuật toán, trong số đó có những thuật toán kỳ lạ như, ví dụ, Brainfuck, bao gồm tám từ một ký tự, trong đó, bất kỳ thuật toán nào cũng có thể được thực hiện. Sẽ là lạ nếu ngôn ngữ phong phú hơn của các công thức số học chính thức mà chúng tôi đã mô tả lại trở nên kém hơn - mặc dù, không nghi ngờ gì nữa, nó không phù hợp lắm với lập trình thông thường.

Sau khi vượt qua nơi trơn trượt này, chúng tôi nhanh chóng đi đến cuối cùng.

Vì vậy, chúng tôi đã mô tả thuật toán ở trên. Theo bổ đề mà tôi yêu cầu bạn tin rằng, tồn tại một FSP tương đương. Nó có một số con số trong danh sách - giả sử. Chúng ta hãy tự hỏi mình, vấn đề là gì? Hãy để nó là SỰ THẬT. Sau đó, theo cấu trúc của thuật toán (và do đó hàm tương đương với nó), điều này có nghĩa là kết quả của việc thay một số vào hàm là FALSE. Điều ngược lại được kiểm tra theo cùng một cách: từ FALSE đến TRUE. Chúng tôi đã đi đến một mâu thuẫn, có nghĩa là giả định ban đầu là sai. Do đó, đối với số học chính thức, không có phép suy diễn nhất quán hoàn toàn. Q.E.D.

Ở đây, thật thích hợp để nhớ lại Epimenides (xem bức chân dung trong tiêu đề), người, như bạn biết, đã tuyên bố rằng tất cả người Cretan đều là kẻ nói dối, bản thân anh ta là người Cretan. Trong một công thức ngắn gọn hơn, tuyên bố của anh ta (được gọi là "nghịch lý nói dối") có thể được xây dựng thành: "Tôi đang nói dối." Đó chính xác là một tuyên bố như vậy, chính nó đã tuyên bố sự giả dối của nó, mà chúng tôi đã sử dụng để làm bằng chứng.

Kết luận, tôi muốn lưu ý rằng TGN không tuyên bố bất cứ điều gì đặc biệt đáng ngạc nhiên. Rốt cuộc, mọi người từ lâu đã quen với thực tế là không phải tất cả các số đều có thể được biểu diễn dưới dạng tỉ số của hai số nguyên (hãy nhớ rằng, câu nói này đã có một bằng chứng rất thanh lịch là hơn hai nghìn năm tuổi?). Và các căn của đa thức với hệ số hữu tỉ cũng không phải là tất cả các số. Và bây giờ hóa ra rằng không phải tất cả các hàm của một đối số tự nhiên đều có thể tính toán được.

Bản phác thảo của bằng chứng được đưa ra là để số học chính thức, nhưng không khó để thấy rằng THN cũng áp dụng cho nhiều ngôn ngữ mệnh đề khác. Tất nhiên, không phải tất cả các ngôn ngữ đều như vậy. Ví dụ: hãy định nghĩa một ngôn ngữ như sau:

"Bất kỳ cụm từ nào người Trung Quốc là một câu nói đúng nếu nó có trong cuốn sách trích dẫn của đồng chí Mao Tạ Đình Tùng, và là không chính xác nếu nó không được chứa trong đó.

Sau đó, thuật toán chứng minh hoàn chỉnh và nhất quán tương ứng (nó có thể được gọi là "suy luận giáo điều") trông giống như sau:

“Lật lại cuốn sách trích dẫn của đồng chí Mao Tse Tung cho đến khi bạn tìm thấy câu nói mà bạn đang tìm kiếm. Nếu nó được tìm thấy, thì nó là sự thật, và nếu cuốn sách trích dẫn đã qua mà không tìm thấy câu lệnh, thì nó là sai.

Ở đây chúng tôi được cứu bởi thực tế rằng bất kỳ trích dẫn nào rõ ràng là hữu hạn, vì vậy quá trình "chứng minh" chắc chắn sẽ kết thúc. Vì vậy, TGN không thể áp dụng cho ngôn ngữ của những phát biểu giáo điều. Nhưng chúng ta đang nói về những ngôn ngữ phức tạp, phải không?

Các định lý về tính không đầy đủ của Kurt Gödel là một bước ngoặt trong toán học thế kỷ 20. Và trong các bản thảo của ông, được xuất bản sau khi ông qua đời, bằng chứng hợp lý về sự tồn tại của Chúa vẫn được lưu giữ. Tại các Bài đọc Giáng sinh vừa qua, một báo cáo thú vị về di sản ít được biết đến này đã được thực hiện bởi Phó Giáo sư của Chủng viện Thần học Tobolsk, Ứng viên Thần học, Linh mục Dimitri Kiryanov. "NS" yêu cầu giải thích những ý chính của nhà khoa học.

Định lý Bất toàn của Gödel: Lỗ hổng trong Toán học

- Bạn có thể giải thích một cách phổ biến các định lý về tính không đầy đủ của Gödel không? Người cắt tóc chỉ cạo cho những người không tự cạo râu. Người thợ cắt tóc có tự cạo râu không? Liệu nghịch lý nổi tiếng này có liên quan gì đến họ không?

Luận điểm chính của bằng chứng lôgic về sự tồn tại của Thượng đế do Kurt Gödel đưa ra: "Thượng đế tồn tại trong tư duy. Nhưng sự tồn tại trong thực tế lớn hơn sự tồn tại chỉ trong suy nghĩ. Vì vậy, Thượng đế phải tồn tại." Trong ảnh: tác giả của định lý không đầy đủ Kurt Gödel cùng với người bạn của mình, tác giả của thuyết tương đối Albert Einstein. Preston. Châu Mỹ. 1950

- Có, tất nhiên là có. Trước Gödel, đã có vấn đề về tiên đề hóa toán học và vấn đề về những câu nghịch lý như vậy có thể được viết chính thức bằng bất kỳ ngôn ngữ nào. Ví dụ: "Câu lệnh này là sai." Sự thật của câu nói này là gì? Nếu nó là đúng, thì nó là sai, nếu nó là sai, thì nó là đúng; dẫn đến một nghịch lý ngôn ngữ. Gödel đã nghiên cứu về số học và chỉ ra trong các định lý của ông rằng tính nhất quán của nó không thể được chứng minh từ các nguyên lý hiển nhiên của nó: các tiên đề về cộng, trừ, chia, nhân, v.v. Chúng tôi cần một số giả định bổ sung để chứng minh điều đó. Nó trên rất lý thuyết đơn giản nhất, nhưng những gì phức tạp hơn (phương trình vật lý, v.v.)! Để biện minh cho một hệ thống lý luận nào đó, chúng ta luôn buộc phải viện đến một số lý luận bổ sung, những lý luận này không được biện minh trong khuôn khổ của hệ thống.

Trước hết, điều này chỉ ra những hạn chế của những tuyên bố của trí óc con người đối với kiến thức về thực tế. Đó là, chúng ta không thể nói rằng chúng ta sẽ xây dựng một loại lý thuyết toàn diện nào đó về vũ trụ sẽ giải thích mọi thứ - một lý thuyết như vậy không thể là khoa học.

Các nhà toán học hiện nay cảm thấy thế nào về các định lý của Gödel? Không ai cố gắng bắt bẻ chúng, bằng cách nào đó lại bị vòng vo?

“Nó giống như cố gắng bác bỏ định lý Pitago. Các định lý có một chứng minh logic chặt chẽ. Đồng thời, những nỗ lực đang được thực hiện để tìm ra những hạn chế về khả năng áp dụng của các định lý Gödel. Nhưng hầu hết các tranh cãi đều xoay quanh hàm ý triết học của các định lý Gödel.

Bằng chứng của Gödel về sự tồn tại của Chúa phức tạp đến mức nào? Đã hoàn thành?

- Nó đã được nghiên cứu chi tiết, mặc dù chính nhà khoa học không dám công bố nó cho đến khi ông qua đời. Gödel phát triển một bản thể học (siêu hình học. - "NS") một lập luận đầu tiên được đề xuất bởi Anselm ở Canterbury. Dưới hình thức cô đọng, lập luận này có thể được diễn đạt như sau: “Theo định nghĩa, Đức Chúa Trời là Đấng vĩ đại hơn Đấng không gì có thể hình dung được. Chúa tồn tại trong suy nghĩ. Nhưng tồn tại trong thực tế lớn hơn tồn tại trong suy nghĩ đơn thuần. Vì vậy, Chúa phải tồn tại ”. Lập luận của Anselm sau đó được phát triển bởi René Descartes và Gottfried Wilhelm Leibniz. Vì vậy, theo Descartes, nghĩ về Bản thể hoàn hảo cao hơn, thiếu sự tồn tại, có nghĩa là rơi vào một mâu thuẫn lôgic. Trong bối cảnh của những ý tưởng này, Gödel phát triển phiên bản chứng minh của riêng mình; nó thực sự phù hợp với hai trang. Thật không may, việc trình bày lập luận của ông ấy là không thể nếu không đưa một logic phương thức rất phức tạp vào nền tảng.

Tất nhiên, tính không hoàn hảo về mặt logic của các kết luận của Godel không buộc một người trở thành tín đồ dưới áp lực của lực lượng bằng chứng. Chúng ta không nên ngây thơ và tin rằng chúng ta có thể thuyết phục bất cứ ai với sự người suy nghĩ tin vào Chúa thông qua lập luận bản thể học hoặc bằng chứng khác. Đức tin được sinh ra khi một người đối diện với sự hiện diện hiển nhiên của Thực tại siêu việt tối cao của Thiên Chúa. Nhưng có ít nhất một người mà lập luận bản thể học dẫn đến niềm tin tôn giáo, và đó là nhà văn Clive Staples Lewis, người đã tự mình thừa nhận điều đó.

Tương lai xa là quá khứ xa

Những người cùng thời với Gödel cảm thấy thế nào về ông? Anh ấy có phải là bạn của một trong những nhà khoa học vĩ đại không?

Trợ lý của Einstein tại Princeton chứng thực rằng người duy nhất anh ấy là bạn với ai những năm trước cuộc đời là Kurt Gödel. Họ khác nhau ở hầu hết mọi thứ - Einstein là người hòa đồng, vui vẻ, còn Gödel thì cực kỳ nghiêm túc, hoàn toàn cô đơn và thiếu tin tưởng. Nhưng họ đã chất lượng tổng thể: cả hai đều đi thẳng và chân thành vào những câu hỏi trọng tâm của khoa học và triết học. Mặc dù có tình bạn với Einstein, Gödel vẫn có quan điểm riêng về tôn giáo. Ông bác bỏ ý tưởng về Thượng đế như một sinh thể vô vị, như Thượng đế đối với Einstein. Nhân dịp này, Gödel nhận xét: “Tôn giáo của Einstein quá trừu tượng, giống như tôn giáo của Spinoza và triết học Ấn Độ. Thần của Spinoza ít hơn một người; Chúa của tôi còn hơn cả một con người; bởi vì Chúa có thể đóng vai trò của một con người. ” Có thể có những linh hồn không có cơ thể, nhưng có thể giao tiếp với chúng ta và ảnh hưởng đến thế giới ”.

Gödel kết thúc ở Mỹ như thế nào? Chạy trốn khỏi Đức Quốc xã?

- Đúng vậy, anh ta đến Mỹ vào năm 1940 từ Đức, mặc dù thực tế là Đức Quốc xã đã công nhận anh ta là một người Aryan và một nhà khoa học vĩ đại, giải thoát anh ta khỏi nghĩa vụ quân sự. Anh và vợ Adele đã đi qua Nga dọc theo Đường sắt xuyên Siberia. Anh không để lại ký ức nào về cuộc hành trình này. Adele chỉ nhớ sợ hãi liên tục vào ban đêm, họ sẽ dừng lại và quay trở lại. Sau tám năm sống ở Mỹ, Gödel trở thành công dân Hoa Kỳ. Giống như tất cả những người nộp đơn xin nhập quốc tịch, ông phải trả lời các câu hỏi liên quan đến Hiến pháp Hoa Kỳ. Vốn là người chỉn chu nên anh đã chuẩn bị rất kỹ lưỡng cho kỳ thi này. Cuối cùng, ông nói rằng ông đã tìm thấy sự mâu thuẫn trong Hiến pháp: "Tôi đã phát hiện ra một khả năng hợp pháp về mặt logic, trong đó Hoa Kỳ có thể trở thành một chế độ độc tài." Bạn bè của ông thừa nhận rằng, bất kể giá trị hợp lý của lập luận của Gödel, khả năng này hoàn toàn chỉ là giả thuyết về bản chất, và cảnh báo không nên đối thoại dài dòng về chủ đề này trong kỳ thi.

Gödel và Einstein có sử dụng ý tưởng của nhau trong công việc khoa học?

- Năm 1949, Gödel bày tỏ ý tưởng vũ trụ học của mình trong một bài tiểu luận toán học, mà theo Albert Einstein, là một đóng góp quan trọng cho lý thuyết chung thuyết tương đối. Gödel tin rằng thời gian - "thực thể bí ẩn và đồng thời tự mâu thuẫn, tạo nên nền tảng của thế giới và sự tồn tại của chính chúng ta" - cuối cùng sẽ trở thành ảo tưởng lớn nhất. Nó "một ngày nào đó" sẽ không còn tồn tại nữa, và một dạng tồn tại khác sẽ đến, có thể gọi là vĩnh hằng. Ý tưởng về thời gian này đã đưa nhà logic học vĩ đại đến một kết luận bất ngờ. Anh viết: “Tôi bị thuyết phục về một thế giới bên kia, bất kể thần học. Nếu thế giới được xây dựng một cách thông minh, thì ắt hẳn sẽ có một thế giới bên kia. "

“Thời gian là một thực thể tự mâu thuẫn.” Am thanh la; nó có một số ý nghĩa vật lý?

Gödel đã chỉ ra rằng trong khuôn khổ của phương trình Einstein, có thể xây dựng một mô hình vũ trụ với thời gian đóng, nơi quá khứ xa xôi và tương lai xa xôi trùng khớp với nhau. Trong mô hình này, về mặt lý thuyết, nó trở thành hành trình có thểđúng giờ. Nghe có vẻ lạ, nhưng nó có thể diễn đạt được về mặt toán học - đó là vấn đề. Mô hình này có thể có hoặc không có ý nghĩa thực nghiệm. Nó là một cấu trúc lý thuyết có thể hữu ích hoặc không trong việc xây dựng các mô hình vũ trụ học mới. Vật lý lý thuyết hiện đại, đặc biệt là vũ trụ học lượng tử, có một cấu trúc toán học phức tạp đến mức rất khó để cung cấp cho những cấu trúc này một sự hiểu biết triết học rõ ràng. Hơn nữa, một số cấu trúc lý thuyết của nó vẫn không thể kiểm chứng bằng thực nghiệm vì lý do đơn giản là việc xác minh chúng đòi hỏi phải phát hiện ra các hạt năng lượng rất cao. Hãy nhớ mọi người đã lo lắng về việc ra mắt Máy va chạm Hadron Lớn như thế nào: phương tiện thông tin đại chúng liên tục khiến mọi người khiếp sợ với những lần cận kề ngày tận thế. Trên thực tế, một thí nghiệm khoa họcđể kiểm tra các mô hình vũ trụ học lượng tử và cái gọi là "lý thuyết thống nhất lớn". Nếu có thể phát hiện ra cái gọi là hạt Higgs, thì đây sẽ là bước tiếp theo trong sự hiểu biết của chúng ta về giai đoạn đầu sự tồn tại của vũ trụ của chúng ta. Nhưng cho đến khi có dữ liệu thực nghiệm, các mô hình vũ trụ lượng tử cạnh tranh vẫn tiếp tục chỉ là các mô hình toán học.

Niềm tin và trực giác

“… Chúa của tôi còn hơn cả một con người; vì Chúa có thể đóng vai trò của một con người… ”Đức tin của Gödel vẫn khác xa với lời thú nhận của Chính thống giáo?

- Rất ít những tuyên bố của Gödel về đức tin của ông đã được bảo tồn, chúng được thu thập từng chút một. Mặc dù thực tế là Gödel đã đưa ra những bản thảo đầu tiên về phiên bản lập luận của riêng mình ngay từ năm 1941, cho đến năm 1970, vì sợ các đồng nghiệp chế giễu, ông đã không nói về nó. Vào tháng 2 năm 1970, cảm thấy cái chết của mình đang đến gần, ông cho phép trợ lý của mình sao chép một phiên bản bằng chứng của mình. Sau cái chết của Gödel vào năm 1978, một phiên bản hơi khác của lập luận bản thể học đã được tìm thấy trong các bài báo của ông. Vợ của Kurt Gödel, Adele, cho biết hai ngày sau khi chồng qua đời rằng Gödel "mặc dù không đi nhà thờ nhưng vẫn theo đạo và đọc Kinh thánh trên giường vào mỗi sáng Chủ nhật."

Khi chúng ta nói về những nhà khoa học như Gödel, Einstein hay Galileo hay Newton, điều quan trọng cần nhấn mạnh là họ không phải là người vô thần. Họ thấy rằng đằng sau Vũ trụ có Lý trí, một Năng lượng cao. Đối với nhiều nhà khoa học, niềm tin vào sự tồn tại Trí tuệ tối cao là một trong những hệ quả của sự phản ánh khoa học của họ, và sự phản ánh này không phải lúc nào cũng dẫn đến sự xuất hiện của mối liên hệ tôn giáo sâu sắc giữa con người và Thượng đế. Đối với Gödel, người ta có thể nói rằng ông cảm thấy cần có mối liên hệ này, vì ông nhấn mạnh rằng ông là một người hữu thần, rằng ông nghĩ về Chúa như một con người. Nhưng, tất nhiên, đức tin của anh ta không thể được gọi là chính thống. Có thể nói, ông là một "nhà Luther tại gia."

- Bạn có thể cho ví dụ lịch sử: Làm thế nào để các nhà khoa học khác nhau tin vào Chúa? Đây là di truyền học của Francis Collins, theo lời thú nhận của ông, việc nghiên cứu cấu trúc DNA đã dẫn đến niềm tin vào Chúa ...

“Tự nó, kiến thức tự nhiên về Chúa không đủ cho sự hiểu biết về Chúa. Khám phá Thiên Chúa bằng cách nghiên cứu bản chất là chưa đủ - điều quan trọng là phải học để biết về Ngài qua sự Mặc khải mà Đức Chúa Trời đã ban cho con người. Việc một người đến với đức tin, cho dù anh ta có phải là một nhà khoa học hay không, luôn dựa vào một cái gì đó vượt ra ngoài những lập luận logic hoặc khoa học đơn thuần. Francis Collins viết rằng ông đến với đức tin ở tuổi 27 sau một thời gian dài tranh cãi về trí tuệ với bản thân và dưới ảnh hưởng của Clive Staples Lewis. Hai người ở trong cùng một hoàn cảnh lịch sử, trong những điều kiện ban đầu giống nhau: một người trở thành tín đồ, người kia vô thần. Chỉ riêng việc nghiên cứu DNA đã dẫn đến niềm tin vào sự tồn tại của Chúa. Các nghiên cứu khác và không đi đến nó. Hai người nhìn vào bức tranh: một người cho rằng nó đẹp, và người kia nói: "Vậy, một bức tranh bình thường!" Một người có vị giác, trực giác, còn người kia thì không. Giáo sư của Chính thống giáo St. Tikhon đại học nhân đạo Vladimir Nikolaevich Katasonov, Tiến sĩ Triết học, một nhà toán học theo nền giáo dục đầu tiên, nói: “Không có bằng chứng toán học nào có thể thực hiện được nếu không có trực giác: một nhà toán học đầu tiên nhìn thấy một bức tranh, sau đó hình thành một bằng chứng”.

Câu hỏi về sự đi đến đức tin của một người luôn là một câu hỏi vượt ra ngoài suy luận logic đơn thuần. Làm thế nào để giải thích điều gì đã dẫn bạn đến đức tin? Người đàn ông trả lời: Tôi đã đến chùa, suy nghĩ, đọc cái này cái kia, thấy sự hài hòa của vũ trụ; nhưng thời điểm quan trọng nhất, đặc biệt nhất, trong đó một người đột nhiên ý thức rằng mình đã gặp sự hiện diện của Thiên Chúa, thì không thể diễn tả được. Nó luôn là một bí mật.

- Bạn có thể xác định các vấn đề không thể giải quyết được Khoa học hiện đại?

- Cũng giống như vậy, khoa học là một doanh nghiệp đủ tự tin, độc lập và có uy tín để lên tiếng một cách sắc bén. Nó là một công cụ tốt và rất hữu ích trong tay của con người. Kể từ thời của Francis Bacon, kiến thức đã thực sự trở thành một động lực thay đổi thế giới. Khoa học phát triển phù hợp với quy luật nội tại của nó: nhà khoa học tìm cách lĩnh hội các quy luật của vũ trụ, và chắc chắn rằng việc tìm kiếm này sẽ dẫn đến thành công. Nhưng đồng thời cũng cần nhận thức được giới hạn của khoa học. Người ta không nên nhầm lẫn khoa học với những câu hỏi tư tưởng có thể được nêu ra liên quan đến khoa học. Các vấn đề chính ngày nay không liên quan nhiều đến phương pháp khoa học như với định hướng giá trị. Khoa học trong suốt thế kỷ XX dài được mọi người coi là tốt đẹp tuyệt đối góp phần vào sự tiến bộ của nhân loại; và chúng ta thấy rằng thế kỷ XX đã trở nên tàn khốc nhất về thương vong cho con người. Và sau đó là câu hỏi về các giá trị. tiến bộ khoa học, kiến thức nói chung. Các giá trị đạo đức không tuân theo bản thân khoa học. Một nhà khoa học lỗi lạc có thể phát minh ra vũ khí hủy diệt cả nhân loại, và ở đây câu hỏi về trách nhiệm đạo đức của một nhà khoa học nảy sinh, mà khoa học chưa thể trả lời. Khoa học không thể chỉ ra cho con người ý nghĩa và mục đích của sự tồn tại của mình. Khoa học sẽ không bao giờ có thể trả lời câu hỏi tại sao chúng ta lại ở đây? Tại sao vũ trụ tồn tại? Những câu hỏi này được giải quyết ở một cấp độ kiến thức khác, chẳng hạn như triết học và tôn giáo.

- Ngoài các định lý Gödel, còn có bằng chứng nào khác cho thấy phương pháp khoa học có giới hạn của nó không? Bản thân các nhà khoa học có nhận ra điều này không?

- Vào đầu thế kỷ 20, các nhà triết học Bergson và Husserl đã chỉ ra giá trị tương đối kiến thức khoa học thiên nhiên. Hiện nay nó đã trở thành một niềm tin gần như phổ biến giữa các triết gia khoa học rằng các lý thuyết khoa học đại diện cho các mô hình giả thuyết để giải thích các hiện tượng. Một trong những người sáng tạo cơ lượng tử Erwin Schrödinger nói rằng Các hạt cơ bản chỉ là những hình ảnh, nhưng chúng ta có thể làm được nếu không có chúng. Theo triết gia và nhà logic học Karl Popper, các lý thuyết khoa học giống như một tấm lưới mà chúng ta cố gắng nắm bắt thế giới, chúng không giống như những bức ảnh. lý thuyết khoa học luôn phát triển và thay đổi. Những người sáng tạo ra cơ học lượng tử, chẳng hạn như Pauli, Bohr, Heisenberg đã nói về giới hạn của phương pháp khoa học. Pauli đã viết: “... Vật lý và tâm lý có thể được coi là các khía cạnh bổ sung cùng một thực tế "- và tập trung vào tính không thể thu thập được cấp độ cao hơnở mức thấp hơn. Nhiều cách giải thích khác nhau chỉ đề cập đến một khía cạnh của vật chất mỗi lần, nhưng một lý thuyết toàn diện sẽ không bao giờ đạt được.

Vẻ đẹp và sự hài hòa của vũ trụ bao hàm khả năng tri thức của nó Phương pháp khoa học. Đồng thời, những người theo đạo Thiên Chúa luôn hiểu không thể hiểu được bí ẩn đằng sau vũ trụ vật chất này. Vũ trụ không có nền tảng tự thân và chỉ về nguồn gốc hoàn hảo của sự tồn tại - Thượng đế.

Một trong những định lý nổi tiếng nhất của logic toán học, may mắn và không may mắn đồng thời. Trong đó nó tương tự như thuyết tương đối hẹp của Einstein. Một mặt, hầu như mọi người đều đã nghe nói gì đó về họ. Mặt khác, theo cách hiểu phổ biến, lý thuyết của Einstein, như bạn đã biết, "nói mọi thứ trên đời đều là tương đối". Và định lý không đầy đủ của Gödel (sau đây gọi là TGN), trong một công thức dân gian gần như tự do, "chứng minh rằng có những điều không thể hiểu được đối với tâm trí con người". Và vì vậy một số cố gắng điều chỉnh nó như một lập luận chống lại chủ nghĩa duy vật, trong khi những người khác thì ngược lại, chứng minh với sự trợ giúp của nó rằng không có Chúa. Thật buồn cười không chỉ là cả hai bên không thể đúng cùng một lúc, mà cả bên này lẫn bên kia đều không bận tâm tìm ra thực tế, định lý này nói gì.

Toán học logic quả thực là một môn khoa học khá phức tạp, và quan trọng nhất là không quen thuộc lắm. Nó đòi hỏi các thao tác cẩn thận và nghiêm ngặt, trong đó điều quan trọng là không được nhầm lẫn giữa điều đã thực sự được chứng minh với thực tế là "nó đã rõ ràng". Tuy nhiên, tôi hy vọng rằng để hiểu được “dàn ý chứng minh TGN” sau đây, người đọc chỉ cần có kiến thức về toán học / khoa học máy tính, kỹ năng tư duy logic và thời gian 15-20 phút.

Đơn giản hóa phần nào, TGN khẳng định rằng trong các ngôn ngữ đủ phức tạp, có những mệnh đề không thể chứng minh được. Nhưng trong cụm từ này, hầu hết mọi từ đều cần giải thích.

Việc chuyển đổi từ công thức này sang công thức khác xảy ra theo một số quy tắc đã biết. Chẳng hạn, quá trình chuyển đổi từ công thức thứ 4 sang công thức thứ 5 xảy ra, bởi vì mọi số đều bằng chính nó - đó là tiên đề của số học. Và toàn bộ quy trình chứng minh, do đó, chuyển công thức thành giá trị boolean TRUE. Kết quả có thể là FALSE - nếu chúng ta bác bỏ một số công thức. Trong trường hợp này, chúng tôi sẽ chứng minh sự phủ định của nó. Có thể hình dung một chương trình (và những chương trình như vậy thực sự được viết ra) sẽ chứng minh những mệnh đề như vậy (và phức tạp hơn) mà không cần sự can thiệp của con người.

Đối với những gì sau đây, chúng ta cần khái niệm về một thuật toán. Tôi sẽ không đưa ra định nghĩa chính thức của nó ở đây - điều này sẽ dẫn chúng ta sang một bên khá xa. Tôi sẽ giới hạn bản thân trong những việc không chính thức: "thuật toán"- chuỗi hướng dẫn rõ ràng này ("chương trình"), trong một số bước hữu hạn chuyển đổi dữ liệu đầu vào thành đầu ra. Về cơ bản, phần in nghiêng rất quan trọng - nếu chương trình bị treo trên một số dữ liệu ban đầu, thì nó không mô tả thuật toán. Để đơn giản và áp dụng cho trường hợp của chúng ta, người đọc có thể coi rằng thuật toán là một chương trình được viết bằng bất kỳ ngôn ngữ lập trình nào mà anh ta biết, mà đối với bất kỳ dữ liệu đầu vào nào từ một lớp nhất định, được đảm bảo hoàn thành công việc của nó với kết quả Boolean.

Rất có thể câu nói này sẽ gây ra phản đối nội bộ cho bạn. Điều này là do một số trường hợp. Thứ nhất, khi chúng ta được dạy toán ở trường, đôi khi có ấn tượng sai lầm rằng các cụm từ “định lý là đúng” và “định lý có thể được chứng minh hoặc xác minh” gần như giống hệt nhau. Nhưng nếu bạn nghĩ về nó, nó không rõ ràng chút nào. Một số định lý được chứng minh khá đơn giản (ví dụ, bằng cách liệt kê một số ít phương án), và một số định lý rất khó. Ví dụ, hãy xem xét Định lý cuối cùng nổi tiếng của Fermat:

Tôi cũng lưu ý rằng nếu chúng ta đang nói về các hàm thông thường ánh xạ tập hợp các số thực với nó, thì "tính không thể tính toán" của hàm sẽ không làm bất kỳ ai ngạc nhiên (chỉ cần đừng nhầm lẫn giữa "hàm có thể tính toán" và "số có thể tính toán được" - đây là những điều khác nhau). Bất kỳ đứa trẻ nào cũng biết rằng, trong trường hợp của một hàm, bạn phải rất may mắn với lập luận để quá trình tính toán biểu diễn thập phân chính xác của giá trị của hàm này kết thúc trong một số bước hữu hạn. Và rất có thể bạn sẽ tính toán nó bằng cách sử dụng một chuỗi vô hạn, và phép tính này sẽ không bao giờ dẫn đến kết quả chính xác, mặc dù nó có thể gần bằng nó - đơn giản vì giá trị của sin của hầu hết các đối số là không hợp lý. TGN chỉ đơn giản cho chúng ta biết rằng ngay cả trong số các hàm có đối số là chuỗi và có giá trị bằng 0 hoặc một, các hàm không tính toán được, mặc dù được sắp xếp theo một cách hoàn toàn khác, cũng tồn tại.

Đối với những gì sau đây, chúng tôi sẽ mô tả "ngôn ngữ của số học hình thức". Chúng ta hãy xem xét một lớp chuỗi văn bản có độ dài hữu hạn, bao gồm các chữ số Ả Rập, các biến (các chữ cái trong bảng chữ cái Latinh) nhận các giá trị tự nhiên, dấu cách, dấu hiệu của các phép toán số học, bình đẳng và bất bình đẳng, số lượng (“tồn tại”) và (“cho bất kỳ ”) và, có lẽ, một số ký hiệu khác (số lượng và thành phần chính xác của chúng không quan trọng đối với chúng tôi). Rõ ràng là không phải tất cả các dòng như vậy đều có nghĩa (ví dụ: "" là vô nghĩa). Tập hợp con của các biểu thức có ý nghĩa từ lớp này (nghĩa là các chuỗi đúng hoặc sai về mặt số học thông thường) sẽ là tập các câu lệnh của chúng ta.

Ví dụ về các câu lệnh số học chính thức:

vân vân. Bây giờ chúng ta hãy gọi một "công thức với một tham số tự do" (FSP) là một chuỗi sẽ trở thành một câu lệnh nếu một số tự nhiên được thay thế vào nó dưới dạng tham số này. Ví dụ về FSP (có tham số):

vân vân. Nói cách khác, FSP tương đương với các hàm của một đối số tự nhiên có giá trị Boolean.

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang một bản phác thảo của chứng minh TGN trong công thức sau:

Đối với ngôn ngữ mệnh đề của số học chính thức, không có phép suy diễn nhất quán hoàn toàn.

Chúng tôi sẽ chứng minh bằng mâu thuẫn.

Vì vậy, hãy giả sử rằng một suy luận như vậy tồn tại. Hãy mô tả thuật toán bổ trợ sau đây gán giá trị boolean cho một số tự nhiên như sau:

Ở đây chúng ta đến nơi duy nhất mà tôi sẽ yêu cầu người đọc giữ lời cho nó.

Sau khi vượt qua nơi trơn trượt này, chúng tôi nhanh chóng đi đến cuối cùng.

Bản phác thảo của bằng chứng được đưa ra là dành cho số học chính thức, nhưng không khó để thấy rằng THN cũng áp dụng cho nhiều ngôn ngữ mệnh đề khác. Tất nhiên, không phải tất cả các ngôn ngữ đều như vậy. Ví dụ: hãy định nghĩa một ngôn ngữ như sau:

"Bất kỳ cụm từ nào trong tiếng Trung Quốc đều là một câu nói đúng nếu nó có trong cuốn sách trích dẫn của đồng chí Mao Tạ Đình Tùng, và không đúng nếu nó không được chứa trong đó."

Sau đó, thuật toán chứng minh hoàn chỉnh và nhất quán tương ứng (nó có thể được gọi là "suy luận giáo điều") trông giống như sau:

“Lật lại cuốn sách trích dẫn của đồng chí Mao Tse Tung cho đến khi bạn tìm thấy câu nói mà bạn đang tìm kiếm. Nếu nó được tìm thấy, thì nó là sự thật, và nếu cuốn sách trích dẫn đã qua mà không tìm thấy câu lệnh, thì nó là sai.

Thẻ: Thêm thẻ

Bất kỳ hệ tiên đề toán học nào, bắt đầu từ một mức độ phức tạp nhất định, đều không nhất quán hoặc không đầy đủ về mặt nội tại.

Năm 1900, Hội nghị các nhà toán học thế giới được tổ chức tại Paris, tại đó David Hilbert (1862-1943) đã trình bày dưới dạng tóm tắt 23 bài toán quan trọng nhất, theo quan điểm của ông, những vấn đề do ông đưa ra, cần được giải quyết bởi các nhà khoa học lý thuyết. của thế kỷ XX sắp tới. Số hai trong danh sách của anh ấy là một trong những nhiệm vụ đơn giản, câu trả lời dường như hiển nhiên cho đến khi bạn tìm hiểu sâu hơn một chút. đang nói ngôn ngữ hiện đại, đó là câu hỏi: liệu toán học tự nó có đủ không? Vấn đề thứ hai của Hilbert là chứng minh một cách chặt chẽ rằng hệ thống tiên đề- các câu lệnh cơ bản được lấy trong toán học làm cơ sở mà không cần chứng minh - là hoàn hảo và đầy đủ, tức là nó cho phép bạn mô tả một cách toán học mọi thứ tồn tại. Cần phải chứng minh rằng có thể thiết lập một hệ thống tiên đề như vậy, thứ nhất, chúng sẽ nhất quán lẫn nhau, và thứ hai, người ta có thể rút ra kết luận từ chúng về sự thật hay sai của bất kỳ phát biểu nào.

Hãy lấy một ví dụ từ hình học trường học. Tiêu chuẩn Phép đo Euclidean(hình học trên mặt phẳng) có thể chứng minh vô điều kiện rằng phát biểu "tổng các góc của tam giác là 180 °" là đúng và phát biểu "tổng các góc của tam giác là 137 °" là sai. Về cơ bản, trong hình học Euclide, bất kỳ phát biểu nào là sai hoặc đúng, và câu thứ ba không được đưa ra. Và vào đầu thế kỷ 20, các nhà toán học đã tin tưởng một cách ngây thơ rằng tình huống tương tự cần được quan sát trong bất kỳ hệ thống nhất quán về mặt logic nào.

Và sau đó vào năm 1931, một số nhà toán học đeo kính đeo mắt người Vienna Kurt Godel đã thực hiện và xuất bản một bài báo ngắn đơn giản là làm đảo lộn toàn bộ thế giới của cái gọi là "logic toán học". Sau những phần mở đầu lý thuyết và toán học dài và phức tạp, ông thực sự đã thiết lập được những điều sau đây. Hãy lấy bất kỳ phát biểu nào như: "Giả định số 247 là không thể chứng minh được về mặt logic trong hệ tiên đề này" và gọi nó là "phát biểu A". Vì vậy, Gödel chỉ đơn giản là chứng minh tài sản tuyệt vời sau không tí nào hệ thống tiên đề:

"Nếu một tuyên bố A có thể được chứng minh, thì một tuyên bố không phải A có thể được chứng minh."

Nói cách khác, nếu có thể chứng minh tính hợp lệ của nhận định “Giả thiết 247 không phải có thể chứng minh được ”, khi đó có thể chứng minh tính hợp lệ của phát biểu“ Giả định 247 có thể chứng minh được". Tức là, quay trở lại công thức của bài toán Hilbert thứ hai, nếu hệ tiên đề đầy đủ (nghĩa là bất kỳ phát biểu nào trong đó đều có thể chứng minh được) thì nó không phù hợp.

Cách duy nhất để thoát khỏi tình trạng này là chấp nhận một hệ thống tiên đề không hoàn chỉnh. Đó là, người ta phải đặt ra một thực tế rằng trong bối cảnh của bất kỳ hệ thống logic chúng ta sẽ chỉ còn lại những tuyên bố "loại A" được biết là đúng hay sai - và chúng ta chỉ có thể đánh giá sự thật của chúng ngoài khuôn khổ của tiên đề mà chúng tôi đã áp dụng. Nếu không có những phát biểu như vậy, thì tiên đề của chúng ta là mâu thuẫn, và trong khuôn khổ của nó chắc chắn sẽ có những công thức vừa có thể chứng minh vừa có thể bác bỏ.

Vì vậy, từ ngữ Đầu tiên,hoặc Yếu Các định lý về tính không đầy đủ của Gödel: "Bất kỳ hệ thống tiên đề chính thức nào đều chứa các giả định chưa được giải đáp." Nhưng Gödel không dừng lại ở đó, xây dựng và chứng minh thứ hai, hoặc mạnh Định lý về tính không đầy đủ của Godel: “Tính đầy đủ logic (hoặc không đầy đủ) của bất kỳ hệ thống tiên đề nào không thể được chứng minh trong khuôn khổ của hệ thống này. Để chứng minh hoặc bác bỏ nó, cần phải có thêm các tiên đề (tăng cường hệ thống). ”

Sẽ an toàn hơn nếu nghĩ rằng các định lý của Godel là trừu tượng và không liên quan đến chúng ta, mà chỉ là các lĩnh vực logic toán học cao siêu, nhưng thực tế hóa ra chúng có liên quan trực tiếp đến cấu trúc của bộ não con người. Nhà toán học người Anh và nhà vật lý học Roger Penrose (sinh năm 1931) đã chỉ ra rằng các định lý của Gödel có thể được sử dụng để chứng minh sự khác biệt cơ bản giữa não người và máy tính. Quan điểm của lý luận của anh ấy rất đơn giản. Máy tính hoạt động một cách logic chặt chẽ và không thể xác định được câu A là đúng hay sai nếu nó vượt ra ngoài phạm vi của tiên đề, và những câu như vậy, theo định lý Gödel, chắc chắn sẽ tồn tại. Một người, đối mặt với một tuyên bố A không thể chứng minh được về mặt logic và không thể bác bỏ, luôn có thể xác định được sự thật hay giả dối của nó - dựa trên kinh nghiệm hàng ngày. Ít nhất là trong này não người hoạt động tốt hơn một máy tính bị cùm bằng sạch mạch logic. Bộ não con người có thể hiểu được toàn bộ chiều sâu của sự thật chứa đựng trong các định lý của Gödel, nhưng một chiếc máy tính thì không bao giờ có thể hiểu được. Do đó, bộ não của con người là bất cứ thứ gì ngoại trừ một máy tính. Anh ấy có khả năng đưa ra quyết định, và bài kiểm tra Turing sẽ vượt qua.

Tôi tự hỏi liệu Hilbert có biết những câu hỏi của anh ấy sẽ đưa chúng ta đi bao xa không?

Kurt Godel, 1906-78

Nhà toán học người Áo, sau đó là người Mỹ. Sinh ra tại Brünn (Brünn, nay là Brno, Cộng hòa Séc). Ông tốt nghiệp Đại học Vienna, nơi ông vẫn là giáo viên tại Khoa Toán học (từ năm 1930 - một giáo sư). Năm 1931, ông đã công bố một định lý mà sau này được đặt tên cho ông. Là một người hoàn toàn phi chính trị, anh ấy đã vô cùng khó khăn khi sống sót sau vụ giết người bạn và nhân viên của bộ phận bởi một sinh viên Đức Quốc xã và rơi vào tình trạng trầm cảm sâu sắc, những lần tái phát đã ám ảnh anh ấy cho đến cuối đời. Trong những năm 1930, ông di cư đến Hoa Kỳ, nhưng trở về quê hương Áo và kết hôn. Năm 1940, ở đỉnh điểm của chiến tranh, ông buộc phải chạy sang Mỹ để quá cảnh qua Liên Xô và Nhật Bản. Làm việc một thời gian tại Viện Princeton nghiên cứu nâng cao. Thật không may, tâm lý của nhà khoa học không thể chịu đựng được, và ông chết đói trong một phòng khám tâm thần, từ chối ăn, vì ông tin rằng họ định đầu độc ông.