Parameetritega võrrandeid peetakse kõige rohkemate hulka väljakutseid pakkuvad ülesanded keskkooli matemaatikas. Just sellised ülesanded jõuavad aastast aastasse ühele B- ja C-tüüpi ülesannete nimekirja riigieksam KASUTADA. Siiski hulgas suur hulk parameetritega võrrandid on need, mida saab kergesti lahendada graafiliselt. Vaatleme seda meetodit mitme probleemi lahendamise näitel.

Leidke a täisarvude väärtuste summa, mille puhul võrrand |x 2 – 2x – 3| = a-l on neli juurt.

Lahendus.

Ülesande küsimusele vastamiseks konstrueerime funktsioonide graafikud ühel koordinaattasandil

y = |x 2 – 2x – 3| ja y = a.

Esimese funktsiooni y = |x 2 – 2x – 3| graafik saadakse parabooli y = x 2 - 2x - 3 graafikult, kuvades sümmeetriliselt graafiku selle osa abstsisstelje suhtes, mis on allpool Ox-telge. Graafiku x-telje kohal olev osa jääb muutumatuks.

Teeme seda samm-sammult. Funktsiooni y \u003d x 2 - 2x - 3 graafik on parabool, mille harud on suunatud ülespoole. Selle graafiku koostamiseks leiame tipu koordinaadid. Seda saab teha valemiga x 0 = -b / 2a. Seega x 0 \u003d 2/2 \u003d 1. Parabooli tipu koordinaadi leidmiseks piki y-telge asendame saadud väärtuse x 0 vaadeldava funktsiooni võrrandiga. Saame, et y 0 \u003d 1 - 2 - 3 \u003d -4. Seega on parabooli tipul koordinaadid (1; -4).

Järgmiseks tuleb leida parabooli harude lõikepunktid koordinaattelgedega. Parabooli harude lõikepunktides abstsissteljega on funktsiooni väärtus null. Seetõttu otsustame ruutvõrrand x 2 - 2x - 3 = 0. Selle juured on soovitud punktid. Vieta teoreemi järgi on x 1 = -1, x 2 = 3.

Parabooli harude lõikepunktides y-teljega on argumendi väärtus null. Seega on punkt y = -3 parabooli harude lõikepunkt y-teljega. Saadud graafik on näidatud joonisel 1.

Funktsiooni y = |x 2 - 2x - 3| graafiku saamiseks kuvame graafiku osa, mis asub x-telje all, sümmeetriliselt x-telje suhtes. Saadud graafik on näidatud joonisel 2.

Funktsiooni y = a graafik on x-teljega paralleelne sirgjoon. See on näidatud joonisel 3. Joonist kasutades leiame, et graafikutel on neli ühist punkti (ja võrrandil on neli juurt), kui a kuulub intervalli (0; 4).

Arvu a täisarvud saadud intervallist: 1; 2; 3. Ülesande küsimusele vastamiseks leiame nende arvude summa: 1 + 2 + 3 = 6.

Vastus: 6.

Leidke arvu a täisarvude väärtuste aritmeetiline keskmine, mille võrrand |x 2 – 4|x| – 1| = a-l on kuus juurt.

Alustuseks joonistame funktsiooni y = |x 2 – 4|x| – 1|. Selleks kasutame võrdsust a 2 = |a| 2 ja valige funktsiooni paremale küljele kirjutatud alammooduli avaldises täisruut:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 - 4|x| + 4) - 1 - 4 = (|x | - 2) 2 - 5.

Siis näeb algfunktsioon välja selline: y = |(|x| – 2) 2 – 5|.

Selle funktsiooni graafiku koostamiseks koostame järjestikku funktsioonide graafikud:

1) y \u003d (x - 2) 2 - 5 - parabool, mille tipp on koordinaatidega punktis (2; -5); (joonis 1).

2) y = (|x| - 2) 2 - 5 - lõikes 1 konstrueeritud parabooli osa, mis asub ordinaatteljest paremal, kuvatakse sümmeetriliselt Oy teljest vasakul; (Joonis 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| - lõikes 2 koostatud graafiku osa, mis asub allpool x-telge, kuvatakse sümmeetriliselt abstsisstelje suhtes ülespoole. (joonis 3).

Mõelge saadud joonistele:

Funktsiooni y = a graafik on x-teljega paralleelne sirgjoon.

Joonise abil järeldame, et funktsioonigraafikutel on kuus ühised punktid(võrrandil on kuus juurt), kui a kuulub intervalli (1; 5).

Seda võib näha järgmisel joonisel:

Leidke parameetri a täisarvude väärtuste aritmeetiline keskmine:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Vastus: 3.

blog.site, materjali täieliku või osalise kopeerimisega on nõutav link allikale.

DAGESTANI PROFESSIONAALSE ARENGU INSTITUUT

PEDAGOOGIAALNE PERSONAL

FÜÜSILISE JA MATEMAATILISE KASVATUSE NING IKT OSAKOND

Projekt

teemal:

« Ehitus- ja lk reformid

funktsioonigraafikud

sisse koolikursus matemaatika »

Rabadanova P.A.

matemaatika õpetaja

MBOU "Kochubey keskkool"

Tarumovski rajoon

2015. aasta

1. Sissejuhatus……………………………………………………………….….3

2. Peatükk I. Projekti teemakohase kirjanduse ülevaade……………………………….….5

3. Peatükk II. Empiiriline osa:

3.1. Funktsioonigraafikute teisendamise põhimeetodid……….….7

3.2. Paari joonistaminejapaarituid funktsioone…………….. 10

3.3. Joonistamine pöördfunktsioon………………………... 11

3.4. Graafikute deformatsioon (kokkusurumine ja pinge).………………….12

3.5 Ülekandmise, peegelduse ja deformatsiooni kombinatsioon…………………………………………………………………………

4. Iseseisva lahenduse ülesanded………………………………..14

5. Järeldus……………………………………………………………………………………

6. Järeldused…………………………………………………………..………17

SISSEJUHATUS

Funktsioonigraafikute teisendamine on üks põhilisi matemaatilisi mõisteid, mis on otseselt seotud praktilise tegevusega. Graafikud peegeldavad muutlikkust ja dünaamilisust päris maailm, omavahelised suhted reaalsed objektid ja nähtused.

Funktsionaalne liin on põhi- ja ühtse riigieksami põhiteema.Samuti paljud matemaatilised mõisted käsitletakse graafiliste meetoditega. Näiteks selleksruutkesknefunktsiooni tutvustatakse ja uuritakse aastal tihe ühendus ruutvõrrandite ja võrratustega.Sellest järeldubfunktsiooni graafikute koostamise ja teisendamise õpetamine õpilastele on koolis matemaatika õpetamise üks peamisi ülesandeid.

Funktsiooni uurimine võimaldab leida umbesmääratluspiirkond ja funktsiooni ulatus, ulatusVähenevad või suurenevad määrad, asümptoodid, intervallidmärgi püsivus jne. Kuid graafiku koostamisekskov palju funktsioone saabkasutada mitmeid meetodeidtee see lihtsamakshoone. Seetõttu peaks õpilastel olema metoodiliste skeemide järgi graafikute koostamise pädevus.

Ülaltoodu määratlebasjakohasust uurimisteemad.

Õppeobjekt on uurida funktsionaalsete joongraafikute teisendamist koolimatemaatika.

Õppeaine - funktsioonigraafikute koostamise ja teisendamise protsess keskkoolis.

Uuringu eesmärk: hariv - seisneb funktsiooni graafikute koostamise ja teisendamise metoodilise skeemi kindlaksmääramises;arenev - abstraktse, algoritmilise, loogiline mõtlemine, ruumiline kujutlusvõime;hariv - kooliõpilaste graafilise kultuuri harimine, vaimsete oskuste kujundamine.

Eesmärgid viisid järgmise otsuseniülesanded:

1. Analüüsige uuritava probleemi haridus- ja metoodikat.

2. Tuvastage metoodilised skeemidfunktsioonigraafikute teisendamine matemaatika koolikursusel.

3. Valige kõige rohkem tõhusad meetodid ja rahalised vahendidfunktsioonigraafikute konstrueerimine ja teisendamine keskkoolisaitab kaasa: tähenduslikule assimilatsioonile õppematerjal; tõstmine kognitiivne tegevusõpilased; nende loominguliste võimete arendamine.

HÜPOTEES uuring: graafiliste oskuste kujundamine funktsioonide uurimise protsessis ja õpilaste graafilise kultuuri harimine efektiivne, kui õpilastel on kooli matemaatikakursusel funktsioonigraafikute koostamise ja teisendamise metoodiline skeem.

PEATÜKK I . ÜLEVAADE PROJEKTI TEEMAST KIRJANDUSSE.

Projekti ettevalmistamisel uurisime järgmist kirjandust:

Sivashinsky, I. Kh. Teoreemid ja ülesanded algebras, elementaarsed funktsioonid- M., 2002. - 115 lk.

Gelfand, I. M., Glagoleva, E. G., Shnol, E. E. Funktsioonid ja graafikud (põhitehnikad) - M., 1985. - 120 s

V.Z.Zaitsev, V.V. Rõžkov, M.I. Scanavi. Algmatemaatika – M., 2010 (kordusväljaanne). - 590 lk.

Kuzmin, M. K. Funktsiooni graafiku koostamine - J. Matemaatika koolis. - 2003. - nr 5. - S. 61-62.

Shilov G.E. Kuidas koostada diagramme? - M., 1982.

Isaac Tanatar. Geomeetrilised teisendused funktsioonigraafikud – MTsNMO, 2012

ATMärgiti, et võime "lugeda" funktsiooni käitumist teatud hulgal graafiku abil leiab rakendust mitte ainult matemaatika käigus, vaid ka mis tahes praktiline tegevus inimene, kellega ta peab tegelema teatud graafilised pildid sõltuvused. Seetõttu peaksid õpilased suutma funktsiooni graafikult määrata selle mõned omadused.

Graafikute teisendamise teoreetiline materjal on rangelt sätestatud. Tehnikaga kaasnevad joonistega illustratsioonid, erineva keerukusega näited ja nende lahendused, mis võimaldab süvendada teadmisi ja joonistada keerulisi funktsioone.

Esindab elektroonilist koolitus, mille maht ja sisu vastavad gümnaasiumi matemaatikakursuse nõuetele Keskkool. Teoreetilist materjali toetavad graafilised animatsiooni illustratsioonid, mis annavad visuaalsed esitused uuritava teema kohta. Kursus sisaldab kolme moodulit: õppemoodul teoreetiline materjal, enesetesti moodul ja teadmiste kontrolli moodul.

Alates , , kasutati projekti empiirilises osas metoodilisi kaardistamisskeeme, iseseisva töö näiteid.

1. peatüki järeldused

Õppe- ja metoodilise kirjanduse uurimine võimaldas:

1. Tuvastage metoodiline skeemfunktsiooni graafikute uurimine, konstrueerimine ja teisendamine koolimatemaatika kursusel.

2. Valige kõige tõhusamad meetodid ja vahendidfunktsioonigraafikute konstrueerimine ja teisendamine koolimatemaatikas,panustades:

õppematerjali mõtestatud assimilatsioon;

õpilaste kognitiivse aktiivsuse suurendamine;

nende loominguliste võimete arendamine.

3. näita seda funktsionaalsel joonel on uuringus oluline mõju erinevad mõisted matemaatikas.

Peatükk 2. EMPIIRILINE OSA

Selles peatükis käsitleme peamisi funktsioonigraafikute teisendamise meetodeid ja anname metoodilised skeemid erinevate funktsioonide jaoks erinevate graafikute kombinatsioonide koostamiseks.

2.1. FUNKTSIOONIGRAAFI KONVERSIOONI PÕHIMEETODID

Tõlge piki y-telge

f ( x ) f ( x )+ b .

Sestfunktsiooni joonistaminey = f( x) + bjälgem:

1. koosta funktsioonigraafiky= f( x)

2. liiguta telgeabstsiss peal| b| üksused üles klb>0 või kell| b| söömakummardama kellb < 0. Saabus sisse uus süsteem koordinat-graaf on funktsiooni graafiky = f( x) + b.

2. Ülekanne kaasa teljed abstsiss

f ( x ) f ( x + a ) .

y = f( x+ a) jälgem:

3. Vormi funktsiooni joonistamine y = f (- x )

f (x ) f (- x ).

Funktsiooni joonistamiseksy = f( - x) järgmine:

joonistama funktsiooniy = f( x)

peegeldab seda tagasiy-telje suhtes

saadud graafik onfunktsiooni graafiky = f( - X).

4. Vormi funktsiooni joonistamine y= - f ( x )

f ( x ) - f ( x )

- f( x) järgmine:

joonistama funktsiooniy= f( x)

peegeldab seda x-telje ümber

2.2. Paari joonistamine ja veidrad omadused

Joonistamiselisegi ja mitte ühtlane funktsioon mugav kasutada järgmised omadused:

1. Paarisfunktsiooni simmeti graafikricen y-telje suhtes.

2. Ajakava paaritu funktsioon sümmeetriline päritolu suhtes.

Paaris- ja paaritu funktsioonide joonistamiseks piisab, kui joonistada ainult graafiku parempoolne haru positiivsed väärtused argument. Vasak haru lõpetatakse paaritu funktsiooni korral sümmeetriliselt lähtepunkti ja paarisfunktsiooni korral y-telje suhtes.

Paari funktsiooni joonistamiseks y = f ( x ) pärast duett:

konstrueerida selle funktsiooni graafiku haru ainult inargumendi positiivsete väärtuste vahemik x≥0.

Ojälgi seda haru ümber y-telje

Paaritu funktsiooni joonistamiseks y = f ( x ) järgmine:

ehitada selle funktsiooni graafiku haru ainult sisseargumendi positiivsete väärtuste ala (х≥0).

Ojälgige seda haru päritolu suhtespiirkonnale negatiivsed väärtused X.

2.3. Pöördfunktsiooni joonistamine

Nagu juba märgitud, toimivad otse- ja pöördfunktsioonidnäitavad muutujate vahel sama seostx ja y, ainsa erinevusega, et pöördfunktsioonis needmuutujad on rolli muutnud, mis on samaväärne muutumisegakoordinaattelgede tähistus. Seetõttu graafikpöördfunktsioon on sümmeetriline otsefunktsiooni graafiku suhtespoolitaja kohtaIjaIIIkoordinaatnurgad,st suhteliselt sirgey = x. Seega saamejärgmine reegel.

Funktsiooni y = joonistamiseks (x) funktsiooni pöördvõrdeliney = f( x), tuleks ehitadaajakavay = f( x) ja peegeldab seda sirge y = x suhtes.

2.4. Graafikute deformatsioon (kokkusurumine ja pinge).

1. Graafi kokkusurumine (laiendus) piki y-telge

f ( x ) A ∙ f ( x ).

Funktsiooni joonistamiseksy= A∙ f( x) järgmine:

8. Graafi kokkusurumine (laiendus) piki x-telge

f( x)

Funktsiooni y joonistamiseks= f( x) järgmine:

2.5. Translatsiooni, peegelduse ja deformatsiooni kombinatsioon

Väga sageli funktsioonigraafikute joonistamiselmuuta kombinatsiooni.

Mitmete selliste asenditehnikate järjekindel rakendaminevõimaldab oluliselt lihtsustada graafiku koostamist kasutadesjooksufunktsiooni ja sageli vähendada seda lõpuksühe lihtsaima elementaarfunktsiooni konstrueeriminetsioone. Mõelge, kuidas see eeltoodut silmas pidades järeldubkoostada funktsioonigraafikud.

Pangem tähele, et aeg on käesLihtsustusdokk on soovitatav läbi viia järgmises järglasesness.

Kasutades pariteeti võifunktsiooni veidrus.

Telgede ülekandmine.

Peegeldus ja deformatsioon.

Graafiku koostamine toimub vastupidises järjekorras.

Näide. Joonistage funktsioon

Ehitus viiakse läbi järgmistes etappides:

1. koosta graafik naturaallogaritm :

2. pigistamateljeleOY2 korda:;
3. kuvada sümmeetriliselttelje kohtaOY: ;
4. liikuda piki telgeHÄRGpeal(!!!) paremale::

5. kuvada sümmeetriliselt telje suhtesHÄRG: ;
6. liigutamapiki telgeOY3 ühikut üles::

NÄITED FUNKTSIOONGRAAFIDE KONSTRUKTSIOONIST JA TEISEMISEST

Näide 1 Joonistage funktsioon.

Kõigepealt joonistage siinusgraafik, selle periood on võrdne:

funktsiooni graafikmis saadakse graafiku kokkusurumiselkaks korda y-teljele. logi .

Joonistage funktsioonjuures = 2 cosX.

Joonistage funktsioony = pattx .

KOKKUVÕTE

Töötamise ajal projektitöö mitmesugused õppekirjandus selles küsimuses. Uuringu tulemused võimaldasid välja selgitada kõige iseloomulikumad positiivseid külgi Uuring, funktsiooni graafikute konstrueerimine ja teisendamine kooli matemaatikakursusel

Projekti põhieesmärk on arendada õpilaste oskusi ja oskusi jooniste lugemisel ja joonistamisel, iseseisva tegevuse ratsionaalsete meetodite kujundamisel.

Vajadus parandada graafilist haridust tervikuna ei dikteeri mitte ainult kaasaegsed nõuded tootmist, aga ka graafika rolli arengus tehniline mõtlemine ja kognitiivsed võimedõpilased. Inimese võime graafilist teavet töödelda on üks tema näitajaid vaimne areng. Seetõttu peaks graafiline koolitus saama üldharidusliku koolituse lahutamatuks elemendiks.

järeldused

Seega on välja töötatud projekt "Funktsiooni graafikute konstrueerimine ja teisendamine", mis on pühendatud ühele kesksed mõisted matemaatika - funktsionaalne sõltuvus, keskendunud õpilaste teadmiste süstematiseerimisele ja laiendamisele. Funktsioonigraafikute teisendamise spetsiifiliste meetodite uurimine toimub analüütiliselt graafiliselt rangete juhiste järgi. Kogutud materjali saab kasutada klassiruumis ja õpilaste enesetreeningul. Tundide läbiviimiseks saab kasutada mitmesuguseid organiseerimise ja koolituse vorme ja meetodeid.

Selles videotunnis on teema „Funktsioon y \u003d x 2. Graafiline lahendus võrrandid." Õpilased saavad selle tunni jooksul tutvuda uudse võrrandite lahendamise viisiga - graafilisega, mis põhineb funktsioonigraafikute omaduste tundmisel. Õpetaja näitab, kuidas graafiliselt lahendada funktsiooni y=x 2 .

Teema:Funktsioon

Õppetund:Funktsioon. Võrrandite graafiline lahendus

Võrrandite graafiline lahendamine põhineb funktsioonigraafikute ja nende omaduste tundmisel. Loetleme funktsioonid, mille graafikuid me teame:

1), on graafik x-teljega paralleelne sirgjoon, mis läbib y-telje punkti. Vaatleme näidet: y=1:

Erinevate väärtuste korral saame x-teljega paralleelsete sirgjoonte perekonna.

2) Otsese proportsionaalsuse funktsioon selle funktsiooni graafik on alguspunkti läbiv sirge. Kaaluge näidet:

Oleme need graafikud juba eelmistes õppetundides üles ehitanud, tuletage meelde, et iga rea ​​koostamiseks peate valima punkti, mis seda rahuldab, ja võtma teise punktina lähtepunkti.

Tuletame meelde koefitsiendi k rolli: funktsiooni suurenedes on sirge ja x-telje positiivse suuna vaheline nurk terav; funktsiooni vähenemisel on sirge ja x-telje positiivse suuna vaheline nurk nüri. Lisaks on kahe sama märgiga parameetri k vahel järgmine seos: positiivse k korral, mida suurem see on, kiirem funktsioon suureneb ja negatiivse puhul - funktsioon väheneb kiiremini, kui suured väärtused k moodul.

3) Lineaarne funktsioon. Millal - saame lõikepunkti y-teljega ja kõik seda tüüpi sirged läbivad punkti (0; m). Lisaks on funktsiooni suurenedes nurk sirge ja x-telje positiivse suuna vahel terav; funktsiooni vähenemisel on sirge ja x-telje positiivse suuna vaheline nurk nüri. Ja loomulikult mõjutab k väärtus funktsiooni väärtuse muutumise kiirust.

neli). Selle funktsiooni graafik on parabool.

Kaaluge näiteid.

Näide 1 – lahendage võrrand graafiliselt:

Me ei tea seda tüüpi funktsioone, seega peame teisendama antud võrrand tuntud funktsioonidega töötamiseks:

Saime võrrandi mõlemas osas tuttavad funktsioonid:

Koostame funktsioonide graafikud:

Graafikutel on kaks lõikepunkti: (-1; 1); (2; 4)

Kontrollime, kas lahendus leiti õigesti, asendame võrrandis koordinaadid:

Esimene punkt leitakse õigesti.

, , , , , ,

Teine punkt on samuti õigesti leitud.

Seega on võrrandi lahendid ja

Toimime sarnaselt eelmise näitega: teisendame antud võrrandi meile teadaolevateks funktsioonideks, joonistame nende graafikud, leiame ristumisvoolud ja siit näitame lahendused.

Saame kaks funktsiooni:

Koostame graafikud:

Nendel graafikutel ei ole lõikepunkte, mis tähendab, et antud võrrandil pole lahendeid

Järeldus: sisse see õppetund vaatasime üle meile teadaolevad funktsioonid ja nende graafikud, jätsime meelde nende omadused ja kaalusime võrrandite lahendamise graafilist meetodit.

1. Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovitš E.A. jt Algebra 7. 6. väljaanne. M.: Valgustus. 2010. aasta

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. ja teised Algebra 7 .M .: Haridus. 2006

Ülesanne 1: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. jt Algebra 7, nr 494, lk 110;

Ülesanne 2: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. jt Algebra 7, nr 495, punkt 110;

Ülesanne 3: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. jt Algebra 7, nr 496, lk 110;

Esimene tase

Võrratuste, võrratuste, süsteemide lahendamine funktsioonigraafikute abil. visuaalne juhend (2019)

Paljusid ülesandeid, mida oleme harjunud puhtalgebraliselt arvutama, saab lahendada palju lihtsamalt ja kiiremini, selles aitab funktsioonigraafikute kasutamine. Sa ütled "kuidas nii?" midagi joonistada ja mida joonistada? Usu mind, mõnikord on see mugavam ja lihtsam. Kas alustame? Alustame võrranditega!

Võrrandite graafiline lahendus

Lineaarvõrrandite graafiline lahendamine

Nagu te juba teate, on lineaarvõrrandi graafik sirgjoon, sellest ka selle tüübi nimi. Lineaarvõrrandeid on algebraliselt üsna lihtne lahendada – me kanname kõik tundmatud võrrandi ühele poole, kõik, mida teame, teisele ja voilaa! Oleme juure leidnud. Nüüd ma näitan teile, kuidas seda teha graafiline viis.

Nii et teil on võrrand:

Kuidas seda lahendada?
valik 1, ja kõige tavalisem on liigutada tundmatuid ühele ja teadaolevad teisele poole, saame:

Ja nüüd me ehitame. Mis sa said?

Mis on teie arvates meie võrrandi juur? See on õige, graafikute lõikepunkti koordinaat:

Meie vastus on

See on kogu graafilise lahenduse tarkus. Nagu saate hõlpsasti kontrollida, on meie võrrandi juur arv!

Nagu ma eespool ütlesin, on see kõige levinum valik algebraline lahendus, kuid seda saab teha ka teistmoodi. Alternatiivse lahenduse kaalumiseks pöördume tagasi võrrandi juurde:

Seekord me ei liiguta midagi küljelt küljele, vaid koostame graafikud otse, nagu need praegu on:

Ehitatud? Vaata!

Mis on seekord lahendus? Hästi. Sama on graafikute lõikepunkti koordinaat:

Ja jälle, meie vastus on.

Nagu näete, on lineaarsete võrrandite puhul kõik äärmiselt lihtne. On aeg kaaluda midagi keerulisemat... Näiteks ruutvõrrandite graafiline lahendus.

Ruutvõrrandite graafiline lahendamine

Niisiis, alustame nüüd ruutvõrrandi lahendamist. Oletame, et peate leidma selle võrrandi juured:

Muidugi võib nüüd hakata lugema läbi diskriminandi ehk Vieta teoreemi järgi, aga paljud närvilised teevad korrutamisel või ruudustamisel vigu, eriti kui näide on suured numbrid, ja nagu teate, pole teil eksamil kalkulaatorit ... Seetõttu proovime seda võrrandit lahendades veidi lõõgastuda ja joonistada.

Leia graafiliselt lahendusi antud võrrand saab erinevatel viisidel. Kaaluge erinevaid valikuid ja saate valida, milline neist teile kõige rohkem meeldib.

1. meetod. Otse

Me lihtsalt koostame parabooli vastavalt sellele võrrandile:

Kiireks asjaajamiseks annan teile ühe väikese vihje: konstruktsiooni on mugav alustada parabooli tipu määramisest. Järgmised valemid aitavad määrata parabooli tipu koordinaate:

Sa ütled: "Stopp! Valem on väga sarnane diskrimineeriva "jah, on ja see on" otsese "parabooli ehitamise, et leida selle juured, leidmise valemiga. Loeme siiski lõpuni ja siis näitan, kuidas seda palju (palju!) lihtsamaks teha!

Kas sa lugesid? Mis on parabooli tipu koordinaadid? Mõtleme selle koos välja:

Täpselt sama vastus? Hästi tehtud! Ja nüüd teame juba tipu koordinaate ja parabooli koostamiseks vajame rohkem ... punkte. Mis te arvate, mitu miinimumpunkti me vajame? Õigesti,.

Teate, et parabool on oma tipu suhtes sümmeetriline, näiteks:

Sellest lähtuvalt vajame parabooli vasakut või paremat haru veel kahte punkti ja tulevikus kajastame neid punkte sümmeetriliselt vastasküljel:

Pöördume tagasi oma parabooli juurde. Meie puhul asja mõte. Vajame veel vastavalt kahte punkti, kas saame võtta positiivseid, aga kas negatiivseid? Millised on teie jaoks parimad punktid? Minu jaoks on mugavam töötada positiivsetega, nii et ma arvutan ja.

Nüüd on meil kolm punkti ja me saame oma parabooli hõlpsasti üles ehitada, kajastades selle tipu kahte viimast punkti:

Mis on teie arvates võrrandi lahendus? See on õige, punktid, kus, see tähendab, ja. Sest.

Ja kui me seda ütleme, siis see tähendab, et see peab olema ka võrdne või.

Lihtsalt? Oleme teiega võrrandi keerulisel graafilisel viisil lahendanud, muidu tuleb veel!

Muidugi saab meie vastust kontrollida algebraliselt – juured saab arvutada Vieta teoreemi või diskrimineeriva teguri kaudu. Mis sa said? Sama? Siin näete! Nüüd vaatame väga lihtsat graafilist lahendust, olen kindel, et see meeldib teile väga!

2. meetod. Jagage mitmeks funktsiooniks

Võtame ka kõik, meie võrrandi: , kuid kirjutame selle veidi teistmoodi, nimelt:

Kas me saame seda niimoodi kirjutada? Me saame, kuna teisendus on samaväärne. Vaatame edasi.

Ehitame kaks funktsiooni eraldi:

1. - Graaf on lihtne parabool, mida saate hõlpsasti ehitada isegi ilma tippu valemite abil määratlemata ja muude punktide määramiseks tabelit tegemata.
2. - graafik on sirgjoon, mille saate sama lihtsalt koostada väärtusi hinnates ja oma peas ilma kalkulaatorit kasutamata.

Ehitatud? Võrdle sellega, mis mul on:

Kas sa arvad, et sisse sel juhul on võrrandi juured? Õigesti! Koordinaadid, mis saadakse kahe graafiku ristamise teel ja see tähendab:

Sellest tulenevalt on selle võrrandi lahendus:

Mida sa ütled? Nõus, see lahendusmeetod on palju lihtsam kui eelmine ja isegi lihtsam kui diskriminandi kaudu juurte otsimine! Kui jah, proovige seda meetodit järgmise võrrandi lahendamiseks:

Mis sa said? Võrdleme oma diagramme:

Graafikud näitavad, et vastused on järgmised:

Kas said hakkama? Hästi tehtud! Vaatame nüüd võrrandeid veidi keerulisemalt, nimelt lahendust segavõrrandid st erinevat tüüpi funktsioone sisaldavad võrrandid.

Segavõrrandite graafiline lahendus

Proovime nüüd lahendada järgmist:

Muidugi saab kõike tuua ühine nimetaja, leidke saadud võrrandi juured, unustamata ODZ-d arvesse võtta, kuid proovime jällegi graafiliselt lahendada, nagu tegime kõigil eelmistel juhtudel.

Joonistame seekord järgmised 2 graafikut:

1. - graafik on hüperbool
2. - Graafik on sirgjoon, mille saate hõlpsalt koostada väärtusi hinnates ja oma peas, ilma et peaksite isegi kalkulaatorit kasutama.

Sai aru? Nüüd hakake ehitama.

Minuga juhtus järgmine:

Mis on meie võrrandi juured seda pilti vaadates?

See on õige ja. Siin on kinnitus:

Proovige ühendada meie juured võrrandisse. Juhtus?

Hästi! Nõus, selliste võrrandite graafiline lahendamine on rõõm!

Proovige võrrand ise graafiliselt lahendada:

Annan vihje: nihutage osa võrrandist paremale, et mõlemal poolel oleks kõige lihtsamad funktsioonid üles ehitada. Said vihje? Tegutsema!

Vaatame nüüd, mis sul on:

Vastavalt:

1. - kuupparabool.
2. - tavaline sirgjoon.

Noh, me ehitame:

Nagu te pikalt üles kirjutasite, on selle võrrandi juur -.

Olles lahendanud nii suure hulga näiteid, mõistsite kindlasti, kuidas saate võrrandeid lihtsalt ja kiiresti graafiliselt lahendada. On aeg välja mõelda, kuidas otsustada sarnasel viisil süsteemid.

Süsteemide graafiline lahendus

Süsteemide graafiline lahendus ei erine sisuliselt võrrandite graafilisest lahendusest. Samuti koostame kaks graafikut ja nende lõikepunktid on selle süsteemi juured. Üks graafik on üks võrrand, teine ​​graafik on teine ​​võrrand. Kõik on äärmiselt lihtne!

Alustame kõige lihtsamatest – lahendussüsteemidest lineaarvõrrandid.

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine

Oletame, et meil on järgmine süsteem:

Alustuseks muudame selle nii, et vasakul on kõik, mis on seotud, ja paremal - see, millega on seotud. Teisisõnu kirjutame need võrrandid funktsioonina meie jaoks tavapärasel kujul:

Ja nüüd ehitame lihtsalt kaks sirget joont. Mis on meie puhul lahendus? Õigesti! Nende ristumispunkt! Ja siin peate olema väga-väga ettevaatlik! Mõtle, miks? Ma annan sulle vihje: meil on tegemist süsteemiga: süsteemis on mõlemad ja... Said vihje?

Hästi! Süsteemi lahendamisel tuleb vaadata mõlemat koordinaati ja mitte ainult, nagu võrrandite lahendamisel! Teine oluline punkt- kirjutage need õigesti üles ja ärge ajage segamini, kus meil on väärtus ja kus on väärtus! Salvestatud? Nüüd võrdleme kõike järjekorras:

Ja vastused: i. Tehke kontroll - asendage leitud juured süsteemi ja veenduge, et lahendasime selle graafiliselt õigesti?

Mittelineaarsete võrrandisüsteemide lahendamine

Aga mis siis, kui ühe sirge asemel on ruutvõrrand? Kõik on korras! Sa lihtsalt ehitad sirge asemel parabooli! Ära usalda? Proovige lahendada järgmine süsteem:

Mis on meie järgmine samm? See on õige, kirjutage see üles, et meil oleks mugav graafikuid koostada:

Ja nüüd on asi pisiasjades – tegin selle kiiresti valmis ja siin on teile lahendus! Hoone:

Kas graafika on sama? Nüüd märgi pildile süsteemi lahendused ja pane selgunud vastused õigesti kirja!

Kas ma olen kõike teinud? Võrdle minu märkmetega:

Hästi? Hästi tehtud! Klõpsate juba sellistel ülesannetel nagu pähklid! Ja kui jah, siis anname teile keerulisema süsteemi:

Mida me teeme? Õigesti! Kirjutame süsteemi nii, et seda oleks mugav ehitada:

Annan teile väikese vihje, kuna süsteem tundub väga keeruline! Graafikute koostamisel ehitage neid "rohkem" ja mis kõige tähtsam, ärge imestage ristumispunktide arvu üle.

Nii et lähme! Välja hinganud? Nüüd hakake ehitama!

No kuidas? Ilusalt? Mitu ristumispunkti said? Mul on kolm! Võrdleme oma graafikuid:

Samamoodi? Nüüd kirjutage hoolikalt üles kõik meie süsteemi lahendused:

Nüüd vaadake süsteemi uuesti:

Kas kujutate ette, et lahendasite selle kõigest 15 minutiga? Nõus, matemaatika on ikka lihtne, eriti avaldist vaadates ei karda eksida, vaid võtad kätte ja otsustad! Sa oled suur poiss!

Võrratuste graafiline lahendus

Lineaarvõrratuste graafiline lahendus

Pärast viimane näide kõik on teie õlul! Nüüd hinga välja – võrreldes eelmiste osadega on see väga-väga lihtne!

Alustame, nagu ikka, graafilisest lahendusest lineaarne ebavõrdsus. Näiteks see:

Alustuseks viime läbi kõige lihtsamad teisendused - avame sulgud täisruudud ja lisage sarnased terminid:

Seetõttu pole ebavõrdsus range, see ei sisaldu intervallis ja lahenduseks on kõik punktid, mis on paremal, kuna rohkem, rohkem ja nii edasi:

Vastus:

See on kõik! Kergesti? Lahendame lihtsa ebavõrdsuse kahe muutujaga:

Joonistame funktsiooni koordinaatsüsteemis.

Kas teil on selline diagramm? Ja nüüd vaatame hoolikalt, mis meil ebavõrdsuses on? Vähem? Niisiis, me värvime üle kõik, mis on meie sirgjoonest vasakul. Mis siis, kui neid oleks rohkem? Õige, siis värviksid nad üle kõik, mis jääb meie sirgest paremale. Kõik on lihtne.

Kõik selle ebavõrdsuse lahendused on "varjutatud" oranž. See on kõik, kahe muutuja võrratus on lahendatud. See tähendab, et lahendusteks on koordinaadid ja mis tahes punkt varjutatud alalt.

Ruutvõrratuste graafiline lahendamine

Nüüd käsitleme ruutvõrratuste graafilist lahendamist.

Kuid enne kui asume otse asja juurde, võtame kokku mõned asjad ruudu funktsiooni kohta.

Mille eest vastutab diskrimineerija? See on õige, graafiku asukoha kohta telje suhtes (kui te seda ei mäleta, siis lugege kindlasti ruutfunktsioonide teooriat).

Igal juhul on siin teile väike meeldetuletus:

Nüüd, kui oleme kogu mälus oleva materjali värskendanud, asume asja kallale – lahendame ebavõrdsuse graafiliselt.

Ütlen kohe ära, et selle lahendamiseks on kaks võimalust.

valik 1

Kirjutame oma parabooli funktsioonina:

Valemite abil määrame parabooli tipu koordinaadid (samamoodi nagu ruutvõrrandite lahendamisel):

Kas sa lugesid? Mis sa said?

Võtame nüüd veel kaks erinevaid punkte ja arvuta nende jaoks:

Alustame parabooli ühe haru ehitamist:

Peegeldame sümmeetriliselt oma punkte parabooli teisel harul:

Nüüd tagasi meie ebavõrdsuse juurde.

Peame, et see oleks väiksem kui null:

Kuna meie ebavõrdsuses on märki rangelt vähem, välistame lõpp-punktid - “torkame välja”.

Vastus:

Pikk tee, eks? Nüüd näitan teile graafilise lahenduse lihtsamat versiooni, kasutades näitena sama ebavõrdsust:

2. variant

Naaseme oma ebavõrdsuse juurde ja märgime vajalikud intervallid:

Nõus, see on palju kiirem.

Paneme vastuse kohe kirja:

Vaatleme teist lahendusmeetodit, mis lihtsustab algebralist osa, kuid peaasi, et mitte segadusse sattuda.

Korrutage vasak ja parem külg arvuga:

Proovige lahendada järgmist ruudu ebavõrdsus mis tahes viisil, mis sulle meeldib.

Kas said hakkama?

Vaata, kuidas mu diagramm välja kukkus:

Vastus: .

Segavõrratuste graafiline lahendus

Liigume nüüd edasi keerukamate ebavõrdsuste juurde!

Kuidas teile meeldib:

Õudne, eks? Ausalt öeldes pole mul õrna aimugi, kuidas seda algebraliselt lahendada... Aga see pole vajalik. Graafiliselt pole selles midagi keerulist! Silmad kardavad, aga käed teevad!

Esimene asi, millest alustame, on kahe graafiku koostamine:

Ma ei hakka igaühe jaoks tabelit kirjutama – olen kindel, et saate sellega suurepäraselt üksi hakkama (muidugi on nii palju näiteid, mida lahendada!).

Maalitud? Nüüd koostage kaks graafikut.

Võrdleme oma jooniseid?

Kas teil on sama? Suurepärane! Nüüd asetame ristumispunktid ja määrame värviga, milline graafik meil peaks teoreetiliselt olema suurem, see tähendab. Vaata, mis lõpuks juhtus:

Ja nüüd vaatame lihtsalt, kus meie valitud diagramm on diagrammist kõrgemal? Võtke julgelt pliiats ja värvige see piirkond üle! See on lahendus meie keerulisele ebavõrdsusele!

Millistest intervallidest piki telge oleme kõrgemal? Õige,. See on vastus!

Noh, nüüd saate hakkama mis tahes võrrandiga ja mis tahes süsteemiga ja veelgi enam igasuguse ebavõrdsusega!

LÜHIDALT PEAMISEST

Funktsioonigraafikute abil võrrandite lahendamise algoritm:

1. Ekspress läbi
2. Määratlege funktsiooni tüüp
3. Koostame saadud funktsioonidest graafikud
4. Leia graafikute lõikepunktid
5. Kirjutage vastus õigesti üles (võttes arvesse ODZ-i ja ebavõrdsuse märke)
6. Kontrolli vastust (asenda võrrandis või süsteemis juured)

Funktsioonigraafikute joonistamise kohta lisateabe saamiseks vaadake teemat "".

Õpilaste uurimistööd teemal:

"Rakendus lineaarne funktsioon probleemide lahendamisel"

"Lineaarse funktsioonigraafiku rakendamine probleemide lahendamisel"

MKOU "Bogucharskaya keskmine üldhariduslik kool№1"

Teadustöö matemaatikas.

Teema: "Lineaarfunktsiooni graafiku rakendamine ülesannete lahendamiseks"

7 "B" klass
Juht: Fomenko Olga Mihhailovna

Boguchari linn

1. Sissejuhatus……………………………………………………………………… 2

2. Põhiosa………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.1 Tekstülesannete lahendamise tehnika lineaarsete funktsioonigraafikute abil

2.2Tekstülesannete lahendamine liikumiseks graafikute abil

3. Järeldus……………………………………………………………………… 11

4. Kirjandus……………………………………………………………………….12

SISSEJUHATUS

"Algebra.7 klass" käsitleb ülesandeid, milles antud ajakava mitmele küsimusele tuleb vastata.

Näiteks:

№332 Suvine elanik läks kodust autoga külla. Kõigepealt sõitis ta maanteel ja siis edasi Maatee samal ajal kiirust aeglustades. Suveelaniku liikumise graafik on toodud joonisel. Vasta küsimustele:

a) kui kaua suvine elanik mööda maanteed sõitis ja mitu kilomeetrit sõitis; milline oli auto kiirus sellel teelõigul;

b) kui kaua sõitis suvilane mööda maateed ja mitu kilomeetrit sõitis; milline oli auto kiirus sellel lõigul;

c) kui kaua sõitis suvilane kodust külla?

Kirjandusest ja internetist selleteemalist materjali otsides avastasin enda jaoks, et maailmas a. lineaarne sõltuvus on palju füüsilisi ja isegi avalikke ja majandusnähtused ja protsessid, kuid otsustasin liikumisega, kui meie kõigi seas kõige tuttavama ja populaarseima. Projektis kirjeldasin tekstülesandeid ja nende lahendamist lineaarsete funktsioonigraafikute abil.

Hüpotees: graafikute abil saate mitte ainult visuaalselt kujutada funktsiooni omadusi, tutvuda lineaarfunktsiooni omaduste ja selle konkreetse vormiga, otsese proportsionaalsusega, vaid ka lahendada tekstülesandeid.

Minu uurimistöö eesmärk oli uurimus lineaarfunktsiooni graafikute kasutamisest tekstiülesannete lahendamisel liikumiseks. Nende eesmärkide saavutamiseks tuleb teha järgmist ülesanded:

Õppida liikumiseks mõeldud tekstülesannete lahendamise metoodikat lineaarsete funktsioonigraafikute abil;

Õppige selle meetodi abil liikumisprobleeme lahendama;

Tee võrdlevad järeldused lineaarsete funktsioonigraafikute abil probleemide lahendamise eeliste ja puuduste kohta.

Õppeobjekt: lineaarfunktsiooni graafik.

Uurimismeetod:

Teoreetiline (õpe ja analüüs), süsteemiotsing, praktiline.

Põhiosa.

Otsustasin oma uurimistöös anda graafilise tõlgenduse meie õpikus toodud liikumisülesannetest, seejärel vastavalt ajakavale vastata ülesande küsimusele. Sellise lahenduse jaoks võtsin ülesandeid sirgjooneliselt ühtlane liikumineühel teelõigul. Selgus, et paljud ülesanded lahendatakse sel viisil lihtsamalt kui tavapärasel viisil võrrandit kasutades. Selle tehnika ainsaks puuduseks on see, et ülesande küsimusele täpse vastuse saamiseks peab olema võimalik õigesti valida koordinaattelgede mõõtühikute skaala. suur roll selles õige valik sellise mastaabiga mängib lahendamise kogemus. Seetõttu pidin graafikute abil ülesannete lahendamise kunsti valdamiseks neid arvesse võtma suurel hulgal.

seadke koordinaatsüsteem sOt abstsissteljega Ot ja ordinaatteljega Os . Selleks tuleb vastavalt ülesande seisukorrale valida lähtekoht: objekti liikumise alguskoht või mitmest objektist valitakse see, mis varem liikuma hakkas või suurema vahemaa läbis. Märgi abstsissteljele ajaintervallid selle mõõtühikutes ja ordinaatteljel kaugus selle mõõtühikute valitud skaalal.

Punktid koordinaattasandil peavad olema tähistatud vastavalt ülesande mõõtkavale, jooned tuleb tõmmata täpselt. Sellest sõltub ülesande lahenduse täpsus. Seetõttu on väga oluline valida koordinaatide telgedel jaotusskaala edukalt: see tuleb valida nii, et punktide koordinaadid oleksid täpsemalt määratud ja võimalusel paikneksid sõlmpunktides, s.t. koordinaattelgede jaotuskohtade ristumiskohtades. Mõnikord on kasulik võtta ühikulise segmendina abstsissteljel lahtrite arv, mis on ülesande tingimuste kordne aja suhtes, ja ordinaatteljel - rakkude arv, mis on tingimuste kordne. probleemist kauguse osas. Näiteks 12-minutiline aeg nõuab lahtrite arvu valimist 5-kordselt, sest 12 minutit on üks viiendik tunnist.

Tekstiülesannete lahendamine liikumiseks graafikute abil

Vastus: 9 km.

Lahendus võrrandi abil:

x/12h. - aeg punktist A punkti B

x/18h. - aeg tagasi

Vastus: 9 km

Ülesanne 2. (Nr. 156 Yu.N. Makarychevi õpikus "Algebra 7".)

Kaks autot sõidavad sama kiirusega mööda maanteed alla. Kui esimene suurendab kiirust 10 km / h ja teine ​​vähendab seda 10 km / h, siis esimene katab 2 tunniga sama palju kui teine ​​3 tunniga. Kui kiiresti autod sõidavad?

Lahendus võrrandi abil:

Olgu x km/h autode kiirus;

(x+10) ja (x-10) vastavalt kiirus pärast suurendamist ja vähenemist;

2(x+10)=3(x-10)

Vastus: 50km/h

Lineaarse funktsioonigraafikuga lahendamine:

1. Määra koordinaattasand sOt abstsissteljega Оt , millele märgime liikumise ajaintervallid ja ordinaatteljega Os , millele märgime sõidukite läbitud vahemaa

2. Paneme jaotused skaalal mööda abstsisstelge - üks tund 5 lahtris (1 lahtris - 12 minutit); rakendame jaotusi piki y-telge, kuid ei määra skaalat.

3. Ehitame esimese auto I liikumisjoone: liikumise algus punktis c

4. Koostame teise masina II liikumisjoone: liikumise algus punktis koordinaadiga (0; 0). Järgmisena märgime suvaline punkt(3;s 1) lennukis, sest uue kiirusega auto oli teel 3 tundi.

4. Määrame autode kiiruse v enne selle muutumist. Tähistame abstsissiga 1 sirgetel paiknevate punktide ordinaatide erinevust märgiga ∆s . Tingimuse järgi vastab see lõik pikkusele (10 + 10) km, sest ühes neist kiirus vähenes ja teises tõusis kiirus 10 km/h. See tähendab, et autode liikumisjoon enne kiiruse muutmist peaks olema I ja II joonest võrdsel kaugusel ning asuma nendevahelisel koordinaattasandil .. Ajakava järgi Δs \u003d 2cl. vastab 20 km, v = 5 lahtrit, seega lahendame proportsiooni v = 50 km / h.

Vastus: 50km/h.

3. ülesanne

Lineaarse funktsioonigraafikuga lahendamine:

võrdluspunkt on sadamasild M

märkige punkt N (0; 162).

Vastus: 2 tundi 20 minutit.

Lahendus võrrandi abil:

162 -45 (x+0,75) -36x = 0

162-45x - 33,75 -36x = 0

81x=128,25

2)

Vastus: 2 tundi 20 minutit.

4. ülesanne.

Jalgrattur lahkus punktist A. Samal ajal lahkus tema järel mootorrattur 16 km/h punktist B, mis asub A-st 20 km kaugusel. Jalgrattur sõitis kiirusega 12 km/h. Kui kaugel punktist A saab mootorrattur jalgratturist mööda?

Lineaarse funktsioonigraafikuga lahendamine:

1. Määra abstsissteljega Ot koordinaattasand sOt, millele märgime liikumise ajaintervallid ja y-telg Os, millele märgime mootorratturi ja jalgratturi läbitud vahemaa.

2. Joonistame jaotused skaalal: piki y-telge - 2 lahtris 8 km; mööda abstsissi - 2 rakus - 1h.

3. Ehitame mootorratturi II liikumisjoone: märgime tema liikumise alguse koordinaatide B (0; 0) alguspunkti. Mootorrattur sõitis kiirusega 16 km/h, mis tähendab, et sirge II peab läbima punkti koordinaatidega (1; 16).

4. Ehitame jalgratturile I liikumisjoone: selle algus on punktis A (0; 20), sest punkt B asub punktist A 20 km kaugusel ja ta lahkus mootorratturiga samal ajal. Jalgrattur sõitis kiirusega 12 km/h, mis tähendab, et joon I peab läbima punkti koordinaatidega (1; 32).

5. Leidke P (5; 80) – mootorratturi ja jalgratturi liikumist kajastav joonte I ja II lõikepunkt: selle ordinaat näitab kaugust punktist B, mille juures mootorrattur jalgratturile järele jõuab. .

P(5; 80) |=s = 80, |=80 - 20 = 60(km) – kaugus punktist A, mille juures mootorrattur jalgratturile järele jõuab.

Vastus: 60 km.

Lahendus võrrandi abil:

Olgu x km kaugus punktist A kohtumispunktini

x /12 jalgratturi aeg

(x +20)/16 mootorratturi aeg

x /12=(x +20)/16

16x=12x+240

4x = 240

x=60

Vastus: 60 km

5. ülesanne.

Linnadevahelise distantsi läbis mootorrattur 2 tunniga, jalgrattur 5 tunniga Ratturi kiirus on 18 km/h väiksem kui mootorratturi kiirus. Leia jalgratturi ja mootorratturi kiirused ning linnadevaheline kaugus.

Lineaarse funktsioonigraafikuga lahendamine:

1. Määra abstsissteljega Ot koordinaattasapind sOt, millele märgime liikumise ajaintervallid ja y-telg Os, millele märgime kauguse.

2. Paneme jagamise piki abstsisstelge 2 lahtrisse 1 tunniks.Jätame kauguse ilma jagamisteta piki ordinaattelge.

3. Joonistame jalgratturi I liikumisjoone 5 tunniga ja mootorratturi II liikumisjoone 2 tunni pärast. Mõlema rea ​​lõpus peab olema sama ordinaat.

4. Joonestame I ja II sirge vahele lõigu abstsissiga 1. Selle lõigu pikkus peegeldab 18 km pikkust kaugust. Jooniselt saame, et 3 lahtrit võrdub 18 km-ga, mis tähendab, et ühes lahtris on 6 km.

5. Seejärel määrame graafiku järgi jalgratturi kiiruseks 12 km/h, mootorratturi kiiruseks 30 km/h, linnade vahemaaks on 60 km.

Lahendus võrrandi abil:

Olgu x km/h jalgratturi kiirus, siis (x +18) km/h mootorratturi kiirus

2(x+18)=5x

2x +36 = 5x

x=12

2) 12+18=30(km/h) sõitja kiirus

3) (km) linnadevaheline kaugus

Vastus: 12 km/h; 30 km/h; 60 km

Vastus: 60 km.

6. ülesanne.

Paat läbib mööda jõge 30 km 3 tunni ja 20 minutiga ning 28 km vastuvoolu 4 tunniga. Kui kaugele läbib paat järve 1,5 tunniga?

Lineaarse funktsioonigraafikuga lahendamine:

1. Määra abstsissteljega Ot koordinaattasand sOt, millele märgime liikumise ajaintervallid ja y-telg Os, millele märgime paadi läbitud vahemaa.

2. Joonistame jaotused skaalal: piki y-telge - kahes lahtris 4 km; piki abstsisstelge - 6 lahtris - 1 tund (1 lahtris - 10 minutit), sest vastavalt probleemi seisukorrale antakse aeg minutites.

3. Ehitame paadi liikumisjoone piki I jõge: joone algus on punktis, mille koordinaat (0; 0). Paat sõidab 30 km 3 tunni ja 20 minutiga, mis tähendab, et liin peab läbima punkti koordinaadiga (; 30), sest 3h 20min. = h.

4. Ehitame paadi liikumisjoone II jõe voolu vastu: võtame liikumise alguse punktis, mille koordinaat (0; 0). Paat sõidab 28 km 4 tunniga, mis tähendab, et liikumisjoon peab läbima punkti koordinaadiga (4; 28).

5. Ehitame paadi liikumisjoone järvele: võtame liikumise alguse punktist, mille koordinaat (0; 0). Paadi enda liikumisjoon peab asuma paadi jõeäärsete liikumisjoonte vahel võrdsel kaugusel. See tähendab, et peame jagama lõigu, mis koosneb kõigist punktidest, mille abstsiss on 1, piki jõge kulgevate liikumisjoonte vahel pooleks ja märkima selle keskkoha. Alates (0; 0) läbi selle märgitud punkti joonistame kiire, mis on liikumisjoon piki järve.

6. Vastavalt ülesande tingimusele on vaja leida paadi poolt järvel läbitud vahemaa 1,5 tunniga, mis tähendab, et sellel sirgel tuleb määrata punkti ordinaat abstsissiga t = 1,5, | = s = 12, | = 12 km, läbib paat järve 1,5 tunniga.

Vastus: 12 km.

Lahendus võrrandisüsteemi abil:

Olgu x km/h järve kiirus ja y km/h jõe kiirus

Vastus: 12 km.

Ülesanne 7.

Paat sõidab mööda jõge 34 km sama ajaga kui 26 km vastuvoolu. Paadi enda kiirus on 15 km/h. Leia jõe kiirus.

Lineaarse funktsioonigraafikuga lahendamine:

1. Määra abstsissteljega Ot koordinaattasapind sOt, millele märgime liikumise ajaintervallid ja y-telg Os, millele märgime paadi läbitud vahemaa.

2. Joonistame jaotused skaalal: piki y-telge - 1 lahtrisse 1 km; abstsissteljel jätame aja ilma jaotusteta.

3. Ehitame paadi liikumise piki jõge I joone 0 km-st punktini 34 km: joone algus on punktis koordinaadiga (0; 0), teine ​​koordinaat on (x ; 34).

4. Ehitame joone II paadi liikumisest vastu jõevoolu 0 km-st punktini 26 km: joone algus on punktis, mille koordinaat (0; 0) Teine koordinaat on ( x; 26).

5. Joonistage kiir III lähtepunktist (0; 0) läbi suvalise lõigu keskpaiga, mis koosneb kõigist sama abstsissiga punktidest kahe liikumisjoone I ja II vahel. See kiir peegeldub enda liikumine paadid, sest paadi enda kiirus on 2 kiiruse aritmeetiline keskmine jõest üles- ja allavoolu. Saadud kiirelt leiame punkti ordinaadiga 15, sest paadi enda kiirus on 15 km/h. Leitud punkti abstsiss vastab 1 tunni jaotusele.

6. Jõe kiiruse leidmiseks piisab, kui leida lõigu pikkus abstsissiga 1 joonest III kuni II jooneni. Jõe kiirus on 2 km/h.

Vastus: 2km/h

Lahendus võrrandi abil:

Jõe kiirus x km/h

34 / (15 + x) \u003d 26 / (15-x) Lahendades proportsiooni, saame:

Vastus: 2km/h

Järeldus.

Eelised:

Ülesanded saab lühidalt kirja panna;

Puudused:

KIRJANDUS.

1. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B., Algebra: õpik 7. klassile õppeasutused, "Valgustus", M., 2000.

2.Bulynin V., Taotlus graafilised meetodid tekstülesannete lahendamisel õppe- ja metoodiline ajaleht "Matemaatika", nr 14, 2005.a.

3. Zvavich L.I. Didaktilised materjalid algebrast 7. klassile.

Vaadake dokumendi sisu
"sõnad"

7. klassi algebratundides tutvusin teemaga „Lineaarfunktsioon. Lineaarfunktsioonide graafikute vastastikune paigutus. Õppisin koostama lineaarfunktsiooni graafikuid, õppisin selle omadusi, õppisin tegema antud valemid määrata vastastikune kokkulepe graafikud. Märkasin seda Yu.N. Makarychevi õpikus

"Algebra.7 klass" käsitleb ülesandeid, milles etteantud ajakava järgi on vaja vastata mitmele küsimusele. Sellise ülesande näide on slaidil.

Etteantud ajakava järgi saab kindlaks teha, et

Ja mul tekkis küsimus, kas liikumise ülesandeid on võimalik lahendada mitte tegevuste või võrrandite abil, vaid kasutada selleks lineaarfunktsiooni graafikat?

Hüpotees, eesmärgid ja eesmärgid on esitatud slaidil

Otsustasin oma uurimistöös anda graafilise tõlgenduse meie õpikus toodud liikumisülesannetest, seejärel vastavalt ajakavale vastata ülesande küsimusele. Sellise lahenduse jaoks võtsin ühel teelõigul sirgjoonelise ühtlase liikumisega ülesandeid.

Selgus, et niimoodi lahendatakse palju probleeme. Selle tehnika ainsaks puuduseks on see, et ülesande küsimusele täpse vastuse saamiseks peab olema võimalik õigesti valida koordinaattelgede mõõtühikute skaala. Selle skaala õiges valikus mängib suurt rolli lahendamise kogemus. Seetõttu pidin graafikute abil ülesannete lahendamise kunsti valdamiseks neid arvukalt kaaluma.

Tekstülesannete lahendamise tehnika lineaarsete funktsioonigraafikute abil.

Otsustada tekstiülesanne kasutades lineaarseid funktsioonigraafikuid, peate:

seada koordinaatsüsteem Selleks tuleb vastavalt ülesande tingimusele valida alguspunkt: objekti liikumise algus või mitmest objektist on see, mis varem liikuma hakkas või suurema vahemaa läbis. valitud. Märgi abstsissteljele ajaintervallid selle mõõtühikutes ja ordinaatteljel kaugus selle mõõtühikute valitud skaalal.

Joonistage iga ülesande püstituses määratud objekti liikumisjooned vähemalt kahe sirge punkti koordinaatide kaudu. Tavaliselt annab objekti kiirus informatsiooni vahemaa läbimise kohta ühes ajaühikus alates selle liikumise algusest. Kui objekt hakkab liikuma hiljem, siis nihutatakse selle liikumise alguspunkt etteantud arvu ühikute võrra algpunktist paremale piki x-telge. Kui objekt hakkab liikuma võrdluspunktist kaugemal asuvast kohast teatud vahemaa, siis nihutatakse selle liikumise alguspunkt mööda ordinaattelge ülespoole.

Mitmete objektide kohtumispunkti koordinaattasandil näitab nende liikumist kujutavate joonte lõikepunkt, mis tähendab, et selle punkti koordinaadid annavad infot kohtumise aja ja kohtumiskoha kauguse lähtepunktist.

Kahe objekti liikumiskiiruste erinevuse määrab lõigu pikkus, mis koosneb kõigist punktidest, mille abstsiss on 1 ja mis asuvad nende objektide liikumisjoonte vahel.

Punktid koordinaattasandil peavad olema tähistatud vastavalt ülesande mõõtkavale, jooned tuleb tõmmata täpselt. Sellest sõltub ülesande lahenduse täpsus.

Ülesanne 1. (Nr. 673 Yu.N. Makarychevi õpikus "Algebra 7".)

Jalgrattur sõitis teed AB kiirusega 12 km/h. Naastes arendas ta kiirust 18 km / h ja kulutas edasi Tagasisõit 15 minutit vähem kui teekond punktist A punkti B. Mitu kilomeetrit punktist A punkti B.

Lahendus võrrandi abil:

Olgu x km kaugus punktist A punkti B.

x/12h. - aeg punktist A punkti B

x/18h. - aeg tagasi

Kuna ta kulutas tagasiteel 15 minutit vähem, siis koostame võrrandi

Vastus: 9 km

Lineaarse funktsioonigraafikuga lahendamine:

1. Määrame abstsissteljega Ot koordinaattasandi sOtc, millele märgime liikumise ajaintervallid ja y-telje Os, millele märgime kauguse.

2. Joonistame skaalal jaotused: piki y-telge - ühes lahtris 3 km; piki abstsisstelge - üks tund 4 lahtris (1 lahtris - 15 min).

3. Ehitame sinna liikumisjoone: märgi liikumise algus punktiga (0; 0). Jalgrattur sõitis kiirusega 12 km/h, mis tähendab, et sirge peab läbima punkti (1; 12).

4. Ehitame liikumisjoone tagasi: märgime joone lõppu punktiga (; 0), sest tagasiteel kulus jalgratturil 15 minutit vähem. Ta sõitis kiirusega 18km/h, mis tähendab, et joone järgmisel punktil on koordinaat (;18).

5. Märkus (; 9) – joonte lõikepunkt: selle ordinaat näitab kaugust: s = 9

Vastus: 9 km.

2. ülesanne (Nr. 757 Yu.N. Makarychevi õpikus "Algebra 7")

Muulide M ja N vaheline kaugus on 162 km. Muulilt M väljus mootorlaev kiirusega 45 km/h. 45 minuti pärast väljus N muulilt tema poole teine ​​mootorlaev, mille kiirus on 36 km/h. Mitme tunni pärast pärast esimese laeva väljumist nad kohtuvad?

Lahendus võrrandi abil:

Olgu koosolek x tunni pärast

162 -45 (x+0,75) -36x = 0

162-45x - 33,75 -36x = 0

81x=128,25

2)

Vastus: 2 tundi 20 minutit.

Lineaarse funktsioonigraafikuga lahendamine:

1. Seadke abstsissteljega Ot koordinaattasapind sOt, millele märgime liikumise ajaintervallid ja y-telg Os, millel

märkige kaugus muulist M ja N, mis on võrdne 162 km-ga. algus

võrdluspunkt on sadamasild M

2. Joonistame jaotused skaalal: piki y-telge - kahes lahtris 18 km; piki abstsisstellge - üks tund 6 lahtris (1 lahtris - 10 min.), kuna Ülesande tingimus määrab aja minutites.

märkige punkt N (0; 162).

3. Ehitame esimese laeva I liikumisjoone: selle liikumise algus on punktis koordinaatidega (0; 0). Esimene laev sõitis kiirusega 45 km/h, mis tähendab, et sirge peab läbima punkti koordinaatidega (1; 45).

4. Ehitame teise laeva II liikumisjoone: liikumise algus on punktis c

koordinaadid (; 162), kuna ta lahkus punktist N, 162 km kaugusel M, 45 min. hiljem kui esimene ja 45 min. \u003d h. Teine laev sõitis kiirusega 36 km / h, mis tähendab, et sirge peab läbima punkti (; 126), kuna teine ​​laev lahkus punkti M suunas: 162 - 36 \ u003d 126 (km).

5. Sirgete I ja II lõikepunktiks on punkt A (; 108). Punkti abstsiss näitab aega, mille möödudes pärast esimese laeva väljumist kohtuti: t =, |=h = 2h20min. - kahe laeva kohtumise aeg pärast esimese laeva väljumist.

Vastus: 2 tundi 20 minutit.

Järeldus.

Uuringu lõpus suutsin tuvastada probleemide graafilise lahendamise eelised ja puudused.

Eelised:

Ülesanded saab lühidalt kirja panna;

Väikeste numbritega on üsna lihtne töötada.

Puudused:

Suurte numbritega on raske töötada.

Vaadake esitluse sisu
"projekt"