Geomeetrilise ülesande lahendamiseks koordinaatide meetodil on vaja lõikepunkti, mille koordinaate kasutatakse lahenduses. Tekib olukord, kui on vaja otsida tasapinnal kahe sirge lõikepunkti koordinaate või määrata ruumis samade sirgete koordinaadid. see artikkel käsitleb antud sirgete ristumispunktide koordinaatide leidmise juhtumeid.

Yandex.RTB R-A-339285-1

On vaja määratleda kahe sirge lõikepunktid.

Lõik sirgete suhtelise asukoha kohta tasapinnal näitab, et need võivad kokku langeda, olla paralleelsed, ristuda ühes ühises punktis või ristuda. Kaht ruumis olevat sirget nimetatakse ristuvateks, kui neil on üks ühine punkt.

Sirgede lõikepunkti määratlus kõlab järgmiselt:

Definitsioon 1

Punkti, kus kaks sirget ristuvad, nimetatakse nende lõikepunktiks. Teisisõnu, lõikuvate sirgete punkt on lõikepunkt.

Mõelge allolevale joonisele.

Enne kahe sirge lõikepunkti koordinaatide leidmist tuleb arvestada alloleva näitega.

Kui tasapinnal on koordinaatsüsteem O x y, siis on antud kaks sirget a ja b. Otsene a vastab üldvõrrand kujul A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, sirge b - A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 korral. Siis M 0 (x 0 , y 0) on mingi tasandi punkt, tuleb kindlaks teha, kas punktist M 0 saab nende sirgete lõikepunkt.

Probleemi lahendamiseks on vaja definitsioonist kinni pidada. Siis peavad sirged ristuma punktis, mille koordinaatideks on antud võrrandite A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ja A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 lahend. See tähendab, et lõikepunkti koordinaadid asendatakse kõigis etteantud võrrandites. Kui nad annavad asendamisel õige identiteedi, siis loetakse M 0 (x 0 , y 0) nende lõikepunktiks.

Näide 1

Antud kaks lõikuvat sirget 5 x - 2 y - 16 = 0 ja 2 x - 5 y - 19 = 0 . Kas punkt M 0 koordinaatidega (2, - 3) on lõikepunktiks.

Lahendus

Et sirgete lõikekoht oleks reaalne, on vajalik, et punkti M 0 koordinaadid vastaksid sirgete võrranditele. Seda kontrollitakse nende asendamisega. Me saame sellest aru

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Mõlemad võrdsused on tõesed, mis tähendab, et M 0 (2, - 3) on antud sirgete lõikepunkt.

Näitame see otsus alloleva joonise koordinaatjoonel.

Vastus:antud punkt koordinaatidega (2, - 3) on antud sirgete lõikepunkt.

Näide 2

Kas sirged 5 x + 3 y - 1 = 0 ja 7 x - 2 y + 11 = 0 ristuvad punktis M 0 (2 , - 3) ?

Lahendus

Ülesande lahendamiseks on vaja kõigis võrrandites asendada punkti koordinaadid. Me saame sellest aru

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Teine võrdsus ei ole tõene, mis tähendab, et antud punkt ei kuulu reale 7 x - 2 y + 11 = 0 . Seega on meil, et punkt M 0 ei ole sirgete lõikepunkt.

Jooniselt on selgelt näha, et M 0 ei ole joonte lõikepunkt. Neil on ühine punkt koordinaatidega (- 1 , 2) .

Vastus: punkt koordinaatidega (2, - 3) ei ole antud sirgete lõikepunkt.

Läheme kahe sirge lõikepunktide koordinaatide leidmisele tasapinnal etteantud võrrandite abil.

Kaks ristuvat sirget a ja b on antud võrranditega kujul A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ja A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0, mis asuvad punktis O x y. Lõikepunkti M 0 määramisel saame, et peaksime jätkama koordinaatide otsimist võrrandite A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ja A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 järgi.

Definitsioonist on ilmne, et M 0 on sirgete ühine lõikepunkt. Sel juhul peavad selle koordinaadid rahuldama võrrandeid A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ja A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Teisisõnu, see on saadud süsteemi A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 lahendus.

See tähendab, et ristumispunkti koordinaatide leidmiseks on vaja süsteemi liita kõik võrrandid ja see lahendada.

Näide 3

Tasapinnal on antud kaks sirget x - 9 y + 14 = 0 ja 5 x - 2 y - 16 = 0. peate leidma nende ristmiku.

Lahendus

Andmed võrrandi seisundi kohta tuleb koguda süsteemi, mille järel saame x - 9 y + 14 \u003d 0 5 x - 2 y - 16 \u003d 0. Selle lahendamiseks lahendatakse esimene võrrand x jaoks, avaldis asendatakse teisega:

x - 9 a + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 a - 14 5 x - 2 a - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 a - 14 5 9 a - 14 - 2 a - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

Saadud arvud on koordinaadid, mis tuli leida.

Vastus: M 0 (4, 2) on sirgete x - 9 y + 14 = 0 ja 5 x - 2 y - 16 = 0 lõikepunkt.

Koordinaatide otsimine taandub lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisele. Kui vastavalt tingimusele on antud võrrandi teine ​​vorm, siis tuleb see taandada normaalkujule.

Näide 4

Määrake sirgete x - 5 = y - 4 - 3 ja x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R lõikepunktide koordinaadid.

Lahendus

Alustuseks on vaja võrrandid viia üldkujule. Siis saame, et x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R teisendatakse järgmiselt:

x = 4 + 9 λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 (x - 4) = 9 (y - 2) ⇔ x - 9 a + 14 = 0

Seejärel võtame kanoonilise vormi võrrandi x - 5 = y - 4 - 3 ja teisendame. Me saame sellest aru

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

Seega on koordinaadid ristumispunktid

x - 9 a + 14 = 0 3 x - 5 a + 20 = 0 ⇔ x - 9 a = - 14 3 x - 5 a = - 20

Koordinaatide leidmiseks rakendame Crameri meetodit:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 (- 5) - (- 9) 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 (- 5) - (- 9) ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 (- 20) - (- 14) 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 212

Vastus: M 0 (- 5, 1).

Tasapinnal asuvate sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmiseks on veel üks võimalus. See on rakendatav, kui üks sirgetest on antud parameetriliste võrranditega kujul x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . Siis asendatakse x = x 1 + a x λ ja y = y 1 + a y λ, kus saame λ = λ 0, mis vastab lõikepunktile, mille koordinaadid on x 1 + a x λ 0, y 1 + a y λ 0 .

Näide 5

Määrake sirge x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R ja x - 5 = y - 4 - 3 lõikepunkti koordinaadid .

Lahendus

On vaja teostada asendus x - 5 \u003d y - 4 - 3 avaldisega x \u003d 4 + 9 λ, y \u003d 2 + λ, siis saame:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

Lahendamisel saame, et λ = - 1 . See tähendab, et sirgete x = 4 + 9 λ y = 2 + λ, λ ∈ R ja x-5 = y-4-3 vahel on lõikepunkt. Koordinaatide arvutamiseks on vaja parameetrilises võrrandis asendada avaldis λ = - 1. Siis saame, et x = 4 + 9 (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1 .

Vastus: M 0 (- 5, 1).

Teema täielikuks mõistmiseks peate teadma mõningaid nüansse.

Kõigepealt peate mõistma joonte asukohta. Kui need ristuvad, leiame koordinaadid, muudel juhtudel lahendust ei tule. Selle kontrolli vältimiseks saame koostada süsteemi kujul A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 Lahenduse olemasolul järeldame, et sirged lõikuvad. Kui lahendust pole, siis on need paralleelsed. Kui süsteemil on lõpmatu hulk lahendusi, siis öeldakse, et need on samad.

Näide 6

Antud sirged x 3 + y - 4 = 1 ja y = 4 3 x - 4 . Tehke kindlaks, kas neil on ühine punkt.

Lahendus

Antud võrrandeid lihtsustades saame 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 ja 4 3 x - y - 4 = 0 .

Järgmiseks lahendamiseks on vaja võrrandid süsteemi koguda:

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

See näitab, et võrrandid on väljendatud üksteise kaudu, siis saame lõpmatu arvu lahendusi. Siis määravad võrrandid x 3 + y - 4 = 1 ja y = 4 3 x - 4 sama sirge. Seetõttu puuduvad ristumispunktid.

Vastus: antud võrrandid määratlevad sama sirge.

Näide 7

Leidke 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 ja 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 lõikuvate sirgete punkti koordinaadid.

Lahendus

Tingimuste järgi on võimalik, et jooned ei ristu. Kirjutage võrrandisüsteem ja lahendage. Lahenduse jaoks on vaja kasutada Gaussi meetodit, kuna selle abil on võimalik kontrollida võrrandi ühilduvust. Saame vormi süsteemi:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 a = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) (- (3 + 2)) = 1 + - 7 ( - (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Saime vale võrdsuse, nii et süsteemil pole lahendusi. Me järeldame, et jooned on paralleelsed. Ristmikupunkte pole.

Teine lahendus.

Kõigepealt peate kindlaks määrama joonte ristumiskoha olemasolu.

n 1 → = (2 , 2 - 3) on sirge 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 normaalvektor, siis vektor n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 - normaalvektor sirge jaoks 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

Vajalik on kontrollida vektorite n 1 → = (2, 2 - 3) ja n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7) kollineaarsust. Saame võrrandi kujul 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7 . See on õige, sest 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0 . Sellest järeldub, et vektorid on kollineaarsed. See tähendab, et sirged on paralleelsed ja neil pole lõikepunkte.

Vastus: ristumispunkte pole, sirged on paralleelsed.

Näide 8

Leidke antud sirgete 2 x - 1 = 0 ja y = 5 4 x - 2 lõikekoordinaadid.

Lahendus

Selle lahendamiseks koostame võrrandisüsteemi. Saame

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Leia põhimaatriksi determinant. Selleks on 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2 . Kuna see on nullist erinev, on süsteemil 1 lahendus. Sellest järeldub, et jooned ristuvad. Lahendame ristumispunktide koordinaatide leidmise süsteemi:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Saime, et antud sirgete lõikepunkti koordinaadid on M 0 (1 2 , - 11 8) .

Vastus: M 0 (1 2, - 11 8) .

Kahe sirge ruumis lõikepunkti koordinaatide leidmine

Samamoodi leitakse ruumijoonte lõikepunktid.

Kui read a ja b on antud koordinaattasand Umbes x y z lõikuvate tasandite võrrandite abil, siis on sirge a, mille saab määrata kasutades antud süsteem A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 ja sirgjoon b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 .

Kui punkt M 0 on sirgete lõikepunkt, siis peavad selle koordinaadid olema mõlema võrrandi lahendid. Saame süsteemis lineaarvõrrandid:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

Vaatleme selliseid ülesandeid näidete abil.

Näide 9

Leidke antud sirgete lõikepunkti koordinaadid x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 ja 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0

Lahendus

Koostame süsteemi x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ja lahendame selle. Koordinaatide leidmiseks on vaja lahendada maatriksi kaudu. Siis saame põhimaatriksi kujul   A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 ja laiendatud maatriksi T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 . Maatriksi auastme määrame Gaussi järgi.

Me saame sellest aru

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Sellest järeldub, et suurendatud maatriksi aste on 3. Siis võrrandisüsteem x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 annab tulemuseks ainult ühe lahendi.

Alusmollil on determinant 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0, siis viimane võrrand ei sobi. Saame, et x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3 . Süsteemi lahendus x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

Seega saame, et lõikepunktil x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 ja 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 on koordinaadid (1 , - 3 , 0) .

Vastus: (1 , - 3 , 0) .

Süsteem kujul A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 on ainult üks lahend. Seega sirged a ja b lõikuvad.

Muudel juhtudel pole võrrandil lahendust, st ühised punktid ka. See tähendab, et koordinaatidega punkti on võimatu leida, kuna seda pole olemas.

Seetõttu on süsteem kujul A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 lahendatakse Gaussi meetodil. Selle kokkusobimatuse tõttu jooned ei ristu. Kui lahendeid on lõpmatult palju, siis need langevad kokku.

Saate teha otsuse, arvutades maatriksi põhi- ja laiendatud astme ning seejärel rakendada Kroneckeri-Capelli teoreemi. Me saame lahendusi ühe, palju või täieliku puudumise.

Näide 10

Antud on sirgete x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 ja x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 võrrandid. Leidke ristumispunkt.

Lahendus

Kõigepealt paneme paika võrrandisüsteemi. Saame, et x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 . Lahendame selle Gaussi meetodil:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Ilmselgelt pole süsteemil lahendusi, mis tähendab, et sirged ei ristu. Ristmispunkti pole.

Vastus: ristumispunkti pole.

Kui jooned on defineeritud kasutades konoonilist või parameetrilised võrrandid, peate viima ristuvate tasandite võrrandite kujule ja seejärel leidma koordinaadid.

Näide 11

Antud kaks sirget x = - 3 - λ y = - 3 · λ z = - 2 + 3 · λ , λ ∈ R ja x 2 = y - 3 0 = z 5 O x y z . Leidke ristumispunkt.

Lahendus

Seadsime sirgjooned kahe ristuva tasandi võrrandiga. Me saame sellest aru

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Leiame koordinaadid 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 , selleks arvutame maatriksi auastmed. Maatriksi auaste on 3 ja põhimoll 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 \u003d - 3 ≠ 0, mis tähendab, et viimane võrrand tuleb süsteemist välja jätta. Me saame sellest aru

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Lahendame süsteemi Crameri meetodil. Saame, et x = - 2 y = 3 z = - 5 . Siit saame, et antud sirgete lõikepunkt annab punkti koordinaatidega (- 2 , 3 , - 5) .

Vastus: (- 2 , 3 , - 5) .

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Oi-oi-oi-oi ... no on tina, nagu loed lause enda ette =) Küll aga aitab siis lõõgastus, seda enam, et ostsin täna sobivad aksessuaarid. Seetõttu jätkame esimese jaotisega, loodan, et artikli lõpuks säilitan rõõmsa meeleolu.

Kahe sirgjoone vastastikune paigutus

Juhtum, kui saal laulab kooris kaasa. Kaks rida saab:

1) vaste;

2) olema paralleelne: ;

3) või lõikuvad ühes punktis: .

Abi mannekeenidele : Palun pea meeles matemaatiline märk ristmikul, juhtub seda väga sageli. Kirje tähendab, et joon lõikub punktis oleva sirgega.

Kuidas määrata kahe joone suhtelist asukohta?

Alustame esimese juhtumiga:

Kaks sirget langevad kokku siis ja ainult siis, kui nende vastavad koefitsiendid on proportsionaalsed, see tähendab, et on olemas selline arv "lambda", et võrdsused

Vaatleme sirgeid ja koostame vastavatest kordajatest kolm võrrandit: . Igast võrrandist järeldub, et seega need jooned langevad kokku.

Tõepoolest, kui kõik võrrandi koefitsiendid korrutage -1-ga (muutke märke) ja kõik võrrandi koefitsiendid vähendades 2 võrra, saate sama võrrandi: .

Teine juhtum, kui jooned on paralleelsed:

Kaks sirget on paralleelsed siis ja ainult siis, kui nende koefitsiendid muutujatel on võrdelised: , aga.

Näiteks võtke kaks sirgjoont. Kontrollime muutujate vastavate koefitsientide proportsionaalsust:

Siiski on selge, et.

Ja kolmas juhtum, kui jooned ristuvad:

Kaks sirget lõikuvad siis ja ainult siis, kui nende muutujate koefitsiendid EI OLE proportsionaalsed, see tähendab, et "lambda" väärtust EI OLE, et võrdsused oleksid täidetud

Niisiis, sirgjoonte jaoks koostame süsteemi:

Esimesest võrrandist järeldub, et , ja teisest võrrandist: , seega, süsteem on ebaühtlane(lahendused puuduvad). Seega ei ole muutujate koefitsiendid proportsionaalsed.

Järeldus: jooned lõikuvad

Praktilistes ülesannetes saab kasutada just vaadeldud lahendusskeemi. Muide, see on väga sarnane vektorite kollineaarsuse kontrollimise algoritmiga, mida me õppetunnis käsitlesime. Vektorite lineaarse (mitte)sõltuvuse mõiste. Vektori alus. Kuid on ka tsiviliseeritud pakett:

Näide 1

Teada saama vastastikune kokkulepe otsene:

Lahendus põhineb sirgjoonte suunavektorite uurimisel:

a) Võrranditest leiame sirgete suunavektorid: .

, nii et vektorid ei ole kollineaarsed ja sirged lõikuvad.

Igaks juhuks panen ristmikule osutitega kivi:

Ülejäänud hüppavad üle kivi ja järgnevad otse surmatu Kashchei juurde =)

b) Leidke sirgete suunavektorid:

Sirgedel on sama suunavektor, mis tähendab, et need on kas paralleelsed või samad. Siin pole determinant vajalik.

Ilmselt on tundmatute koefitsiendid proportsionaalsed, samas kui .

Uurime, kas võrdsus on tõsi:

Sellel viisil,

c) Leidke sirgete suunavektorid:

Arvutame determinandi, mis koosneb nende vektorite koordinaatidest:
, seega on suunavektorid kollineaarsed. Jooned on kas paralleelsed või langevad kokku.

Proportsionaalsustegurit "lambda" on lihtne näha otse kollineaarsete suunavektorite suhtest. Kuid selle võib leida ka võrrandite endi koefitsientide kaudu: .

Nüüd uurime, kas võrdsus on tõsi. Mõlemad tasuta tingimused on null, seega:

Saadud väärtus rahuldab see võrrand(see sobib üldiselt igale numbrile).

Seega jooned langevad kokku.

Vastus:

Peagi õpite (või isegi olete juba õppinud) lahendama kaalutud probleemi sõna otseses mõttes mõne sekundiga. Sellega seoses ei näe ma põhjust midagi pakkuda sõltumatu otsus, on parem panna geomeetrilisse vundamenti veel üks oluline tellis:

Kuidas tõmmata antud joonega paralleelset joont?

Selle teadmatuse pärast kõige lihtsam ülesanne karistab Röövli Ööbiku karmilt.

Näide 2

Sirge on antud võrrandiga . Kirjutage võrrand punkti läbiva paralleelse sirge jaoks.

Lahendus: tähistage tundmatut rida tähega . Mida seisund selle kohta ütleb? Joon läbib punkti. Ja kui sirged on paralleelsed, siis on ilmselge, et sirge "ce" suunav vektor sobib ka sirge "de" konstrueerimiseks.

Me võtame võrrandist välja suunavektori:

Vastus:

Näite geomeetria näeb välja lihtne:

Analüütiline kontrollimine koosneb järgmistest etappidest:

1) Kontrollime, et joontel oleks sama suunavektor (kui sirge võrrandit pole korralikult lihtsustatud, siis on vektorid kollineaarsed).

2) Kontrollige, kas punkt rahuldab saadud võrrandit.

Analüütilist kontrollimist on enamikul juhtudel lihtne suuliselt läbi viia. Vaadake kahte võrrandit ja paljud teist saavad kiiresti aru, kuidas jooned on paralleelsed ilma jooniseta.

Tänased näited ise lahendamiseks on loomingulised. Sest Baba Yagaga tuleb ikka võistelda ja ta, teate, on igasuguste mõistatuste armastaja.

Näide 3

Kirjutage võrrand sirgele, mis läbib sirgega paralleelset punkti

Lahenduseks on ratsionaalne ja mitte väga ratsionaalne viis. Lühim tee on tunni lõpus.

Tegime paralleeljoontega veidi tööd ja tuleme nende juurde hiljem tagasi. Ühttuvate joonte juhtum pakub vähe huvi, seega kaaluge probleemi, mis on teile hästi teada kooli õppekava:

Kuidas leida kahe sirge lõikepunkt?

Kui sirge lõikuvad punktis , siis on selle koordinaadid lahenduseks lineaarvõrrandisüsteemid

Kuidas leida sirgete lõikepunkti? Lahendage süsteem.

Siin on teile geomeetriline tähendus kahe tundmatuga lineaarvõrrandi süsteemid on kaks tasapinnal lõikuvat (kõige sagedamini) sirget.

Näide 4

Leidke sirgete lõikepunkt

Lahendus: Lahendamiseks on kaks võimalust – graafiline ja analüütiline.

Graafiline viis on lihtsalt joonistada etteantud jooned ja otse jooniselt leida lõikepunkt:

Siin on meie mõte: . Kontrollimiseks tuleks igasse sirge võrrandisse asendada selle koordinaadid, need peaksid mahtuma nii sinna kui ka sinna. Teisisõnu, punkti koordinaadid on süsteemi lahendus. Tegelikult kaalusime graafilist lahendusviisi lineaarvõrrandisüsteemid kahe võrrandiga, kahe tundmatuga.

Graafiline meetod pole muidugi halb, kuid sellel on märgatavaid puudusi. Ei, asi pole selles, et seitsmenda klassi õpilased nii otsustavad, vaid selles, et õige ja TÄPSE joonise tegemine võtab aega. Lisaks pole mõnda joont nii lihtne konstrueerida ja lõikepunkt ise võib olla kuskil kolmekümnendas kuningriigis väljaspool märkmikulehte.

Seetõttu on lõikepunkti otstarbekam otsida analüütilise meetodiga. Lahendame süsteemi:

Süsteemi lahendamiseks kasutati võrrandite terminipõhise liitmise meetodit. Vastavate oskuste arendamiseks külastage õppetundi Kuidas lahendada võrrandisüsteemi?

Vastus:

Kontrollimine on triviaalne – ristumispunkti koordinaadid peavad rahuldama süsteemi iga võrrandit.

Näide 5

Leidke sirgete lõikepunkt, kui need ristuvad.

See on tee-seda-ise näide. Probleemi on mugav jagada mitmeks etapiks. Seisundi analüüs näitab, et see on vajalik:
1) Kirjutage sirge võrrand.
2) Kirjutage sirge võrrand.
3) Uuri välja joonte suhteline asukoht.
4) Kui sirged lõikuvad, siis leidke lõikepunkt.

Tegevusalgoritmi väljatöötamine on tüüpiline paljudele geomeetrilised probleemid, ja ma keskendun sellele korduvalt.

Täielik lahendus ja vastus õppetunni lõpus:

Kingapaar pole veel kulunud, kuna jõudsime tunni teise osani:

Perpendikulaarsed jooned. Kaugus punktist jooneni.
Nurk ridade vahel

Alustame tüüpilise ja väga oluline ülesanne. Esimeses osas õppisime etteantud sirgega paralleelset sirget ehitama ja nüüd pöörab onn kanakoibadel 90 kraadi:

Kuidas tõmmata joont, mis on antud joonega risti?

Näide 6

Sirge on antud võrrandiga . Kirjutage võrrand punkti läbiva ristsirge jaoks.

Lahendus: Eeldusel on teada, et . Tore oleks leida sirge suunavektor. Kuna jooned on risti, on trikk lihtne:

Võrrandist “eemaldame” normaalvektori: , millest saab sirge suunav vektor.

Koostame sirgjoone võrrandi punktist ja suunavektorist:

Vastus:

Avame geomeetrilise visandi:

Hmm... Oranž taevas, oranž meri, oranž kaamel.

Analüütiline kontrollimine lahendused:

1) Eraldage võrranditest suunavektorid ja abiga vektorite punktkorrutis järeldame, et sirged on tõepoolest risti: .

Muide, võite kasutada tavalisi vektoreid, see on veelgi lihtsam.

2) Kontrollige, kas punkt rahuldab saadud võrrandit .

Kontrollimist on jällegi lihtne suuliselt läbi viia.

Näide 7

Leidke ristsirgete lõikepunkt, kui võrrand on teada ja punkt.

See on tee-seda-ise näide. Ülesandes on mitu tegevust, mistõttu on mugav lahendust punkt-punkti kaupa järjestada.

Meie lõbus reis jätkub:

Kaugus punktist jooneni

Meie ees on sirge jõeriba ja meie ülesanne on jõuda selleni lühimat teed pidi. Takistused puuduvad ja kõige optimaalsem marsruut on liikumine mööda risti. See tähendab, et kaugus punktist sirgeni on risti oleva segmendi pikkus.

Geomeetrias tähistatakse kaugust traditsiooniliselt kreeka tähega "ro", näiteks: - kaugus punktist "em" sirgjooneni "de".

Kaugus punktist jooneni väljendatakse valemiga

Näide 8

Leidke kaugus punktist jooneni

Lahendus: kõik, mida vajate, on numbrid hoolikalt valemis asendada ja arvutused teha:

Vastus:

Teostame joonise:

Leitud kaugus punktist jooneni on täpselt punase lõigu pikkus. Kui teed ruudulisele paberile joonise mõõtkavas 1 ühikut. \u003d 1 cm (2 lahtrit), siis saab kaugust mõõta tavalise joonlauaga.

Mõelge teisele ülesandele sama joonise järgi:

Ülesandeks on leida punkti koordinaadid, mis on sirge suhtes sümmeetriline punktiga . Teen ettepaneku sooritada toimingud ise, kuid määran lahendusalgoritmi vahetulemused:

1) Leidke sirge, mis on joonega risti.

2) Leidke sirgete lõikepunkt: .

Mõlemat toimingut käsitletakse üksikasjalikult selles õppetükis.

3) Punkt on lõigu keskpunkt. Keskmise ja ühe otsa koordinaadid on meile teada. Kõrval lõigu keskkoha koordinaatide valemid leida .

Ei ole üleliigne kontrollida, kas kaugus on samuti võrdne 2,2 ühikuga.

Arvutamisel võib siin raskusi tekkida, kuid tornis aitab palju abiks mikrokalkulaator, mis võimaldab lugeda harilikud murded. Olen korduvalt nõu andnud ja soovitan veel.

Kuidas leida kaugust kahe paralleelse sirge vahel?

Näide 9

Leidke kahe paralleelse sirge vaheline kaugus

See on veel üks näide sõltumatust lahendusest. Väike vihje: lahendusviise on lõpmatult palju. Tunni lõpus ülevaade, kuid parem proovige ise arvata, arvan, et teil õnnestus oma leidlikkust hästi hajutada.

Nurk kahe joone vahel

Ükskõik milline nurk, siis lengi:


Geomeetrias võetakse VÄIKSEMAKS nurgaks kahe sirge vaheline nurk, millest järeldub automaatselt, et see ei saa olla nüri. Joonisel ei loeta punase kaarega näidatud nurka ristuvate joonte vaheliseks nurgaks. Ja selle "roheline" naaber või vastupidiselt orienteeritud karmiinpunane nurk.

Kui jooned on risti, võib nendevaheliseks nurgaks võtta ükskõik millise neljast nurgast.

Kuidas nurgad erinevad? Orienteerumine. Esiteks on põhimõtteliselt oluline nurga "kerimise" suund. Teiseks kirjutatakse negatiivselt orienteeritud nurk miinusmärgiga, näiteks kui .

Miks ma seda ütlesin? Tundub, et tavapärase nurga mõistega saab hakkama. Fakt on see, et valemites, mille abil leiame nurgad, võib see kergesti välja tulla negatiivne tulemus ja see ei tohiks teid üllatada. Miinusmärgiga nurk pole halvem ja sellel on väga spetsiifiline geomeetriline tähendus. Negatiivse nurga joonisel tuleb kindlasti noolega näidata selle suund (päripäeva).

Kuidas leida nurk kahe joone vahel? On kaks töövalemit:

Näide 10

Leidke ridade vaheline nurk

Lahendus ja Meetod üks

Mõelge kahele reale võrranditega antud sisse üldine vaade:

Kui sirge mitte risti, siis orienteeritud nendevahelise nurga saab arvutada järgmise valemi abil:

Enamik tähelepanelik pöörduge nimetaja poole - see on täpselt nii skalaarkorrutis sirgjoonte suunavektorid:

Kui , siis valemi nimetaja kaob ja vektorid on ortogonaalsed ja jooned risti. Seetõttu tehti reservatsioon sõnastuses olevate joonte mitteperpendikulaarsuse osas.

Eelneva põhjal vormistatakse lahendus mugavalt kahes etapis:

1) Arvutage skalaarkorrutis sirgjoonte suunavektorid:
nii et jooned ei ole risti.

2) Leiame joonte vahelise nurga valemiga:

Kasutades pöördfunktsioon nurga enda leidmine on lihtne. Sel juhul kasutame kaartangensi veidrust (vt joonis 1). Elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused):

Vastus:

Vastuses märgime kalkulaatori abil arvutatud täpse väärtuse ja ka ligikaudse väärtuse (soovitavalt nii kraadides kui radiaanides).

Noh, miinus, nii miinus, see on okei. Siin on geomeetriline illustratsioon:

Pole üllatav, et nurk osutus negatiivse orientatsiooniga, sest ülesande seisukorras on esimene number sirge ja nurga “väänamine” sai alguse just sellest.

Kui sa tõesti tahad saada positiivne nurk, peate read vahetama, st võtma koefitsiendid teisest võrrandist ja võta koefitsiendid esimesest võrrandist . Lühidalt, peate alustama otsesest .

X-telje lõikepunktid peavad lahendama võrrandi y₁=y2, st k₁x+b₁=k₂x+b2.

Teisenda see võrratus, et saada k₁x-k₂x=b2-b1. Nüüd väljendage x: x=(b2-b1)/(k1-k2). Nii leiate graafikute lõikepunkti, mis asub piki OX-telge. Leia y-teljel lõikepunkt. Lihtsalt asendage mis tahes funktsioonis x väärtus, mille leidsite varem.

Eelmine valik sobib diagrammide jaoks. Kui funktsioon on , kasutage järgmisi juhiseid. Samamoodi nagu koos lineaarne funktsioon, leidke x väärtus. Selleks lahendage ruutvõrrand. Võrrandist 2x² + 2x - 4=0 leia (võrrand on toodud näitena). Selleks kasutage valemit: D= b² - 4ac, kus b on väärtus enne X ja c on arvväärtus.

Asendamine arvväärtusi, saad avaldise nagu D= 4 + 4*4= 4+16= 20. Võrrandid sõltuvad diskriminandi väärtusest. Nüüd lisage või lahutage (kordatult) saadud diskriminandi juur muutuja b väärtusele märgiga "-" ja jagage kahekordne toode koefitsient a. Nii leiate võrrandi juured, st ristumispunktide koordinaadid.

Funktsioonigraafikutel on omadus: OX-telg lõikub kaks korda, see tähendab, et leiate x-telje kaks koordinaati. Kui saate perioodiline väärtus X sõltuvus Y-st, siis teadke, et graafik lõikub lõpmatu arvu punktide juures x-teljega. Kontrollige, kas olete ristumispunktid leidnud. Selleks asendage X väärtused võrrandiga f(x)=0.

Allikad:

• Sirgete lõikepunktide leidmine

Kui tead a väärtust, siis võid öelda, et oled ruutvõrrandi lahendanud, sest selle juured leitakse väga lihtsalt.

Sa vajad

• -ruutvõrrandi diskriminandi valem;
• -Korrutustabeli tundmine

Juhend

Seotud videod

Kasulikud nõuanded

Ruutvõrrandi diskriminant võib olla positiivne, negatiivne või võrdne nulliga.

Allikad:

• Lahendus ruutvõrrandid
• diskrimineeriv on ühtlane

Vihje 3: kuidas leida funktsioonigraafiku lõikepunktide koordinaate

Funktsiooni y \u003d f (x) graafik on tasandi kõigi punktide kogum, koordinaadid x, mille puhul need rahuldavad seost y \u003d f (x). Funktsioonigraafik illustreerib visuaalselt funktsiooni käitumist ja omadusi. Graafiku koostamiseks valitakse tavaliselt mitu argumendi x väärtust ja arvutatakse nende jaoks funktsiooni y=f(x) vastavad väärtused. Graafiku täpsemaks ja visuaalsemaks koostamiseks on kasulik leida selle lõikepunktid koordinaatide telgedega.

Juhend

X-telje (X-telje) ületamisel on funktsiooni väärtus 0, s.o. y=f(x)=0. x arvutamiseks tuleb lahendada võrrand f(x)=0. Funktsiooni puhul saame võrrandi ax+b=0 ja leiame x=-b/a.

Seega lõikub X-telg punktis (-b/a,0).

Rohkem rasked juhtumid Näiteks y ruutsõltuvuse korral x-st on võrrandil f (x) \u003d 0 kaks juurt, seega lõikub x-telg kaks korda. Kui y sõltub x-st, näiteks y=sin(x), on lõpmatu arv lõikepunkte x-teljega.

Funktsiooni graafiku ja X-telje lõikepunktide koordinaatide leidmise õigsuse kontrollimiseks on vaja asendada leitud väärtused x f (x). Mis tahes arvutatud x-i avaldise väärtus peab olema võrdne 0-ga.

Juhend

Esiteks on vaja arutada ülesande lahendamiseks sobiva koordinaatsüsteemi valikut. Tavaliselt asetatakse seda tüüpi ülesannete puhul üks kolmnurkadest 0X teljele nii, et üks punkt langeb kokku lähtepunktiga. Seetõttu ei tohiks te kalduda kõrvale üldtunnustatud otsuse kaanonitest ja teha sama (vt joonis 1). Kolmnurga ise määramise meetod ei mängi olulist rolli, kuna saate alati liikuda ühelt neist (mida näete hiljem).

Olgu soovitud kolmnurk antud selle külgede AC ja AB kahe vektoriga vastavalt a(x1, y1) ja b(x2, y2). Veelgi enam, konstruktsiooni järgi y1=0. BC kolmas külg vastab sellele joonisele c=a-b, c(x1-x2,y1 -y2). Punkt A asetatakse koordinaatide alguspunkti, see tähendab selle koordinaadid A(0, 0). Seda on ka lihtne näha koordinaadid B (x2, y2), a C (x1, 0). Sellest võime järeldada, et kolmnurga määratlus kahe vektori järgi langes automaatselt kokku selle definitsiooniga kolme punkti võrra.

Järgmisena peaksite lõpetama soovitud kolmnurga selle suurusele vastava rööpkülikuga ABDC. Pealegi, et hetkel ristmikud rööpküliku diagonaalid, on need jagatud nii, et AQ on kolmnurga ABC mediaan, laskub punktist A küljele BC. Diagonaalvektor s sisaldab seda ja on rööpkülikureegli kohaselt geomeetriline summa a ja b. Siis s = a + b ja selle koordinaadid s(x1+x2, y1+y2)= s(x1+x2, y2). Sama koordinaadid on samuti punktis D(x1+x2, y2).

Nüüd saate jätkata sirgjoone võrrandi koostamist, mis sisaldab s-i, AQ mediaani ja, mis kõige tähtsam, soovitud punkt ristmikud mediaan H. Kuna vektor s ise on selle sirge juhis ja teada on ka tema juurde kuuluv punkt A (0, 0), siis kõige lihtsam on kasutada tasapinnalise sirge võrrandit kanoonilisel kujul: (x -x0) / m =(y-y0)/n. Siin (x0, y0) koordinaadid suvaline punkt sirgjoon (punkt А(0, 0)) ja (m, n) – koordinaadid s (vektor (x1+x2, y2). Nii näeb soovitud rida l1 välja selline: x/(x1+x2)=y/ y2.

Selle leidmise viis on ristmikul. Seetõttu tuleks leida veel üks sirgjoon, mis sisaldab nn. 1 teise rööpküliku АPBC konstruktsioon, mille diagonaal g=a+c =g(2x1-x2, -y2) sisaldab teist mediaani CW, langetatud C-st küljele AB. See diagonaal sisaldab punkti C(x1, 0), koordinaadid mis mängib rolli (x0, y0) ja suunavektor on siin g(m, n)=g(2x1-x2, -y2). Siit l2 saadakse võrrandiga: (x-x1)/(2 x1-x2)=y/(- y2).

AT vanad ajad Mulle meeldis arvutigraafika, nii 2D kui ka 3D, sealhulgas matemaatilised visualiseeringud. Seda, mida kutsutakse naljaks, kirjutasin tudengina programmi, mis visualiseerib N-mõõtmelisi kujundeid, mis pöörlevad suvalistes mõõtmetes, kuigi praktikas piisas sellest vaid 4-D hüperkuubi punktide määramiseks. Kuid see on vaid vihje. Armastus geomeetria vastu on minus püsinud sellest ajast ja tänapäevani ning mulle meeldib siiani lahendada huvitavaid ülesandeid huvitavaid viise.
Üks neist ülesannetest tuli mulle 2010. aastal. Ülesanne ise on üsna triviaalne: tuleb leida, kas kaks 2-D lõiku ristuvad, ja kui nad ristuvad, siis leida nende lõikepunkt. Huvitavam on lahendus, mis minu meelest osutus üsna elegantseks ja mille tahan lugejale välja pakkuda. Ma ei pretendeeri algoritmi originaalsusele (kuigi tahaksin), kuid ma ei leidnud netist sarnaseid lahendusi.

Ülesanne

Antud on kaks lõiku, millest igaüks on antud kahe punktiga: (v11, v12), (v21, v22). On vaja kindlaks teha, kas need ristuvad, ja kui nad ristuvad, siis leida nende ristumispunkt.

Lahendus

Kõigepealt peate kindlaks määrama, kas segmendid ristuvad. Vajalik ja piisav seisukord mõlema lõigu lõikepunkt, mida tuleb jälgida, on järgmine: ühe lõigu lõpp-punktid peavad asuma erinevates pooltasandites, kui tasapind on jagatud sirgega, millel asub teine ​​segment. Demonstreerime seda pildiga.

Vasakpoolne joonis (1) näitab kahte lõiku, mille mõlema jaoks on tingimus täidetud ja segmendid lõikuvad. Parempoolsel (2) joonisel on lõigu b puhul tingimus täidetud, kuid lõigu a puhul ei ole see täidetud, vastavalt lõigud ei ristu.
Võib tunduda, et kindlaks teha, kummal pool joont punkt asub, pole tühine ülesanne, kuid hirmul on suured silmad ja kõik pole nii keeruline. Teame, et kahe vektori vektorkorrutis annab meile kolmanda vektori, mille suund sõltub sellest, kas esimese ja teise vektori vaheline nurk on vastavalt positiivne või negatiivne, selline tehe on antikommutatiivne. Kuna kõik vektorid asuvad X-Y lennukid, siis on nende vektorkorrutis (mis peab olema korrutatud vektoritega risti) vastavalt ainult nullist erineva komponendi Z ja vektorite korrutised on ainult selles komponendis. Veelgi enam, vektorite korrutamise järjekorra (loe: korrutatud vektorite vahelise nurga) muutmisel seisneb see ainult selle komponendi märgi muutmises.
Seetõttu saame eralduslõigu vektori vektoripaari kaupa korrutada vektoritega, mis on suunatud eraldava lõigu algusest kontrollitud lõigu mõlemasse punkti.

Kui mõlema toote Z-komponentidel on erinev märk, siis üks nurkadest on väiksem kui 0, kuid suurem kui -180 ja teine ​​on vastavalt suurem kui 0 ja väiksem kui 180, punktid asuvad piki erinevad küljed sirgjoonelt. Kui mõlema toote Z-komponentidel on sama märk, nii et nad asuvad samal pool joont.
Kui üks Z komponentidest on null, siis on meil piirjuhtum, kui punkt asub täpselt kontrollitaval sirgel. Jätame kasutaja otsustada, kas ta soovib seda ristmikuks pidada.
Seejärel tuleb toimingut korrata veel ühe lõigu ja sirge jaoks ning veenduda, et ka selle lõpp-punktide asukoht vastab tingimusele.
Seega, kui kõik on korras ja mõlemad segmendid vastavad tingimusele, on ristmik olemas. Leiame selle üles ja vektorkorrutis aitab meid ka selles.
Kuna vektorkorrutis on meil ainult nullist erinev Z-komponent, on selle moodul (vektori pikkus) arvuliselt võrdne selle konkreetse komponendiga. Vaatame, kuidas ristumispunkti leida.

Vektorite a ja b vektorkorrutise pikkus (nagu saime teada, arvuliselt võrdne selle Z-komponendiga) on võrdne nende vektorite moodulite ja nendevahelise nurga siinuse korrutisega (|a| |b | patt(ab)). Vastavalt sellele on joonisel kujutatud konfiguratsiooni jaoks järgmine: |AB x AC| = |AB||AC|sin(α) ja |AB x AD| = |AB||AD| sin(β). |AC|sin(α) on risti punktist C lõigu AB-le ja |AD|sin(β) on risti punktist D lõigu AB-le (jalg ADD"). Kuna nurgad γ ja δ on vertikaalsed nurgad, siis on need võrdsed, mis tähendab, et kolmnurgad PCC" ja PDD" on sarnased ning vastavalt sellele on nende kõigi külgede pikkused võrdselt proportsionaalsed.
Arvestades Z1 (AB x AC, seega |AB||AC|sin(α)) ja Z2 (AB x AD, seega |AB||AD|sin(β)), saame arvutada CC"/DD" ( mis olema võrdne Z1 / Z2) ja teades, et CC "/DD" = CP / DP, saate hõlpsalt arvutada punkti P asukoha. Isiklikult teen seda järgmiselt:

Px = Cx + (Dx-Cx)*|Z1|/|Z2-Z1|;
Py = Cy + (Dy-Cy)*|Z1|/|Z2-Z1|;

See on kõik. Mulle tundub, et see on tõesti väga lihtne ja elegantne. Kokkuvõtteks tahan anda funktsiooni koodi, mis realiseerib see algoritm. Funktsioon kasutab omatehtud mallivektorit , mis on dimensiooni int vektormall koos tüübinime komponentidega. Need, kes soovivad, saavad funktsiooni hõlpsalt sobitada oma tüüpi vektoritega.

1 mall bool are_crossing(vektor const &v11, vektor const &v12, vektor const &v21, vektor const &v22, vektor *ristumine) 3 ( 4 vektor lõika1(v12-v11), lõika2(v22-v21); 5 vektor toode1, toode2; 6 7 prod1 = cross(cut1 * (v21-v11)); 8 prod2 = cross(cut1 * (v22-v11)); 9 10 if(märk(toode1[Z]) == märk(toode2[Z]) || (toode1[Z] == 0) || (toode2[Z] == 0)) // Trim Edge Case samuti 11 return false; 12 13 prod1 = cross(cut2 * (v11-v21)); 14 prod2 = cross(cut2 * (v12-v21)); 15 16 if(märk(toode1[Z]) == märk(toode2[Z]) || (toode1[Z] == 0) || (toode2[Z] == 0)) // Ka servade kärpimise juhtumid 17 tagastama vale; 18 19 if(crossing) ( // Kontrollige, kas peame määrama ristumispunkti 20 (*ristmik)[X] = v11[X] + cut1[X]*fabs(toode1[Z])/fabs(toode2[Z] ]-toode1[Z]); 21 (*ristumine)[Y] = v11[Y] + lõigatud1[Y]*fabs(toode1[Z])/fabs(toode2[Z]-toode1[Z]); 22 ) 23 24 return true; 25)

Õppetund sarjast "Geomeetrilised algoritmid"

Tere kallis lugeja!

Jätkame tutvumist geomeetrilised algoritmid. Viimases tunnis leidsime kahe punkti koordinaatidest sirge võrrandi. Meil on järgmise vormi võrrand:

Täna kirjutame funktsiooni, mis kahe sirge võrrandi abil leiab nende lõikepunkti koordinaadid (kui neid on). Reaalarvude võrdsuse kontrollimiseks kasutame spetsiaalset funktsiooni RealEq().

Tasapinna punkte kirjeldatakse reaalarvude paariga. Reaaltüübi kasutamisel on parem korraldada võrdlustoimingud erifunktsioonidega.

Põhjus on teada: Pascali programmeerimissüsteemis puudub Real tüübil järjestusseos, seega kirjed kujul a = b, kus a ja b reaalarvud, on parem mitte kasutada.
Täna tutvustame funktsiooni RealEq() operatsiooni "=" (rangelt võrdub) rakendamiseks:

Funktsioon RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (rangelt võrdne) algus RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Ülesanne. Antud on kahe sirge võrrandid: ja . Leidke nende ristumispunkt.

Lahendus. Ilmselge lahendus on lahendada joonte võrrandisüsteem: Kirjutame selle süsteemi veidi teistmoodi ümber:
(1)

Tutvustame tähistust: , , . Siin on D süsteemi determinant ja need on determinandid, mis saadakse vastava tundmatu koefitsientide veeru asendamisel vabade liikmete veeruga. Kui , siis süsteem (1) on kindel, st tal on unikaalne lahendus. Selle lahenduse saab leida järgmiste valemitega: , , mida nimetatakse Crameri valemid. Lubage mul teile meelde tuletada, kuidas arvutatakse teist järku determinant. Determinant eristab kahte diagonaali: peamist ja sekundaarset. Põhidiagonaal koosneb elementidest, mis on võetud determinandi ülemisest vasakust nurgast paremasse alumisse nurka. Külgdiagonaal - ülevalt paremalt alla vasakusse. Teist järku determinant on võrdne põhidiagonaali elementide korrutisega, millest on lahutatud sekundaarse diagonaali elementide korrutis.

Kood kasutab võrdsuse kontrollimiseks funktsiooni RealEq(). Arvutused reaalarvude üle tehakse täpsusega kuni _Eps=1e-7.

Programm geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(arvutuse täpsus) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Reaalne; Funktsioon RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (rangelt võrdne) algus RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Oleme koostanud programmi, mille abil saate sirgete võrrandeid teades leida nende lõikepunkti koordinaadid.