Rohkem keerulised struktuurid võib osutuda vajalikuks korduvalt rakendada lagunemisteoreemi. Seega on joonisel 2.2 näidatud laienemine elemendi 7 (ülemine rida) ja seejärel elemendi 8 (alumine rida) suhtes. Saadud neljal alamvõrgul on järjestikused paralleelsed struktuurid ja need ei vaja enam laiendusi. On lihtne näha, et igal sammul väheneb elementide arv saadud alamvõrkudes ühe võrra ja vajalike alamvõrkude arv edasist kaalumist kahekohalised. Seetõttu on kirjeldatud protsess igal juhul lõplik ja tulemuseks olevate järjestikuste paralleelsete struktuuride arv on 2 m , kus t - elementide arv, mille üle lagundamine tuli läbi viia. Selle meetodi keerukus võib olla hinnanguliselt 2 m , mis on väiksem kui ammendava loendi keerukus, kuid siiski vastuvõetamatu reaalsete kommutatsioonivõrkude töökindluse arvutamiseks.

Joonis.2.2 Võrgu järjestikune dekomponeerimine

Sektsioonide või radade kogumite meetod

Kaaluge teist meetodit võrkude struktuurilise töökindluse arvutamiseks. Oletame, nagu varemgi, et on vaja kindlaks määrata vahel võrguühenduse tõenäosus antud paar sõlmed A, B. Võrgu korrektse toimimise kriteerium sel juhul on vähemalt ühe teabe edastamise viisi olemasolu vaadeldavate sõlmede vahel. Oletame, et meil on nimekiri võimalikud viisid iga tee juurde kuuluvate elementide (sõlmed ja sidesuunad) loendi kujul. AT üldine juhtum teed sõltuvad, kuna mis tahes elemendi saab kaasata mitmele teele. Töökindlus R s mis tahes s-ro tee saab arvutada jadaühenduse valemiga R s =p 1s p 2s …p ts , kus p on - usaldusväärsus i-th tee s-ro element.

H AB soovitud töökindlus sõltub iga tee töökindlusest ja nende ristumisvõimalustest ühiste elementide abil. Tähistage usaldusväärsust, mida pakub esimene r teed, läbi H r . Järgmise (r+1) -nda tee lisamine usaldusväärsusega R r+1 toob ilmselgelt kaasa struktuurilise usaldusväärsuse suurenemise, mille määrab nüüd kahe sündmuse liit: vähemalt üks esimesest r-ist on kasutatav. teed või teenindatavad (r+1) – th tee. Selle kombineeritud sündmuse toimumise tõenäosus, võttes arvesse võimalik sõltuvus. tõrked (r+1) - th ja muud teed

H r+i =H r +R r+i -R r+1 H r/(r+1), (2.10)

kus H r/ (r+1) on vähemalt ühe esimese r tee töökõlblikkuse tõenäosus, eeldusel, et (r+1) -s tee on teenindatav.

Definitsioonist tingimuslik tõenäosus H r/ (r+1) järeldub, et selle arvutamisel tuleb võtta kõigi (r+1) -ndasse teekonda kuuluvate elementide õige toimimise tõenäosus võrdne ühega. Edasiste arvutuste hõlbustamiseks esitame avaldise (2.10) viimast liiget järgmisel kujul:

R r+1 H r/ (r+1) = R r+1 ¤ H r (2.11)

kus tähis (¤) tähendab, et korrutamisel asendatakse kõigi esimesse r teedesse kuuluvate ja (r+l) -nda teega ühiste elementide usaldusväärsuse näitajad ühega. Võttes arvesse (2.11), saame (2.10) ümber kirjutada:

?H r+1 = R r+1 ¤ K r (2.12)

kus H r+1 = H r+1 -H r - struktuurse töökindluse suurendamine (r+1) -nda tee kasutuselevõtuga; Q r =1 – H r on tõenäosus, et esimesed r teed ebaõnnestuvad samaaegselt.

Arvestades, et usaldusväärsuse suurenemine?H r+1 on arvuliselt võrdne ebausaldusväärsuse vähenemisega?Q r+1, saame lõplikes erinevustes järgmise võrrandi:

?K r+1 =R r+1 ¤ K r (2.13)

Lihtne on kontrollida, kas funktsioon on võrrandi (2.13) lahendus

Q r = (1-R 1) ¤ (1-R 2) ¤…¤ (1-R r) ( 2.14)

Sõltumatute radade korral langeb sümboolse korrutamise toiming kokku tavalise korrutisega ning avaldis (2.14) annab sarnaselt (2.4)-ga paralleelselt ühendatud elementidest koosneva süsteemi jõudeaja teguri. Üldjuhul sunnib teede ühiste elementide arvestamise vajadus sooritama korrutamist vastavalt (2.14) punktile. algebraline vorm. Sel juhul kahekordistatakse terminite arv saadud valemis koos iga järgmise binoomarvuga korrutamisega ja lõpptulemus on 2 r liiget, mis on võrdne kõigi r radade täieliku loendamisega. Näiteks juhul, kui r=10, ületab terminite arv lõplikus valemis 1000, mis on juba käsitsi loendamise raamidest väljas. Radade arvu edasise suurenemisega ammenduvad tänapäevaste arvutite võimalused kiiresti.

Eespool tutvustatud sümboolse korrutustehte omadused võimaldavad aga drastiliselt vähendada arvutuste keerukust. Vaatleme neid omadusi üksikasjalikumalt. Vastavalt sümboolse korrutamise toimimisele kehtib mis tahes elemendi usaldusväärsuse näitaja p i kohta järgmine reegel:

lk i ¤ lk i =p i . (2.15)

Tuletame meelde, et teine ​​tegur (2.15) tähistab i-nda elemendi õige töö tõenäosust selle töökõlblikkuse tingimusel, mis ilmselgelt on võrdne ühega.

Edasiste arvutuste lühendamiseks võtame kasutusele järgmise i-nda elemendi ebausaldusväärsuse märke:

=1-lk i (2.16)

Võttes arvesse (2.15) ja (2.16), saame kirjutada järgmise lihtsad reeglid p ja p sisaldavate avaldiste teisendused :

p i ¤p i =p i (2,17)

p i p j ¤ =p i p j -p i p s

Näitena nende reeglite kasutamise kohta usaldusväärsuse arvutamisel vaadake joonisel fig 1 näidatud lihtsaimat sidevõrku. Joonis 2.3 Graafiku servades olevad tähed näitavad vastavate sideliinide usaldusväärsuse näitajaid.

Lihtsuse huvides loeme sõlmed ideaalselt usaldusväärseteks. Oletame, et sõlmede A ja B vaheliseks suhtluseks on võimalik kasutada kõiki kolmest või vähemast järjestikku ühendatud liinist koosnevaid teid, s.t. vaatleme teede alamhulka (m) = (ab, cdf, cgb, ahf). Määrame iga järgneva tee poolt pakutava töökindluse juurdekasvu valemi (2.12) järgi, võttes arvesse (2.14):

Зr+1=Rr+1¤ (¤1¤…¤) (2,18),

Joonis 2.3 – näide arvutusvõrgust piiratud teede alamhulgal

Joonis 2.4 - Näide võrgust kogu radade komplekti usaldusväärsuse arvutamiseks, kus Ri=1-R1 on sarnane (2.16).

Rakendades järjestikku valemit (2.18) ja sümboolse korrutamise reegleid (2.17). vaadeldavale võrgule, saame

Z2 =cdf¤ () =cdf*;

Z 3 =cgb¤ (¤) =cgb**;

Z 4 =ahf¤ (¤¤) =ahf**.

Viimase juurdekasvu arvutamisel kasutasime 4. reeglit, mida võib nimetada pikkade ahelate lühikeste poolt neeldumise reegliks; sel juhul annab selle rakendamine b¤cgb=b . Kui muud teed on lubatud, näiteks cdhb tee , siis pole keeruline arvutada selle poolt pakutavat töökindluse juurdekasvu?H 5 =cdhb¤ (a¤ f¤ g¤ af) = =cdfb*a*f*g. Saadud võrgu töökindluse saab nüüd arvutada iga vaadeldava tee poolt pakutavate juurdekasvude summana:

H R =?H i (2.19)

Niisiis, vaadeldava näite puhul eeldusel, et usaldusväärsus. võrgu kõik elemendid on samad, s.t. a=b=c=d=f=h=g=p, saame H 5 =p 2 +p 3 (1-p 2) + +2p 3 (1-p) (1-p 2) +p 4 ( 1-p ) 3 . Masinateostuses saab arvutuse aluseks võtta ka valemi (2.13), võttes arvesse asjaolu, et

K r =?K i (2.20)

Vastavalt (2.13) on meil järgmine kordumise seos

K r+i =Q r -R r+1 ¤ K r . (2.21)

Kell esialgne seisund Q 0 \u003d l igal järgneval etapil tuleks eelnevalt saadud Q r avaldisest lahutada järgmise (r + 1) -nda tee usaldusväärsuse korrutis sama avaldisega, milles ainult usaldusväärsuse näitajad kõik elemendid, mis sisalduvad (r + 1) – th teekonnas, tuleb määrata võrdseks ühega.

Näitena arvutame välja joonisel 2.4 näidatud võrgu töökindluse sõlmede A ja B suhtes , mille vahel on 11 võimalikku infoedastusviisi. Kõik arvutused on kokku võetud tabelis 2.1: igas tees sisalduvate elementide loend, selle tee usaldusväärsuse korrutamise tulemus Q r väärtusega, mis on saadud kõigi eelnevate teede arvestamisel, ja kolmanda veeru sisu lihtsustamise tulemus reeglite järgi (2.17). q AB lõplik valem sisaldub viimases veerus, loetuna ülalt alla. Tabelis on täielikult näidatud kõik arvutused, mis on vajalikud vaadeldava võrgu struktuurilise töökindluse arvutamiseks.

Tabel 2.1 Joonisel 2.4 näidatud võrgu töökindluse arvutamise tulemused

Arvutuste hulga vähendamiseks ei tohiks sulgusid asjatult avada; kui vahetulemus võimaldab lihtsustusi (sarnaste terminite toomine, ühisteguri sulgudesse panemine jne), tuleks need läbi viia.

Selgitame mitut arvutusetappi. Kuna Q 0 = 1 (kui teid pole, on võrk katki), siis Q 1 puhul (2.21) Q 1 =1 - ab=ab. Teeme järgmise sammu (6.21) Q 2 jaoks =ab-fghab==ab*fgh ja nii edasi.

Vaatleme üksikasjalikumalt, millisel etapil võetakse arvesse tee 9 panust. Tabeli 2.1 teises veerus registreeritud selle moodustavate elementide usaldusväärsuse näitajate korrutis kantakse üle kolmandasse. Järgmine sisse nurksulud kõigi eelnenud kaheksa tee purunemise tõenäosus kirjutatakse, akumuleeritakse neljandasse veergu (alates esimesest reast), võttes arvesse reeglit (2.15), mille kohaselt asendatakse kõigi teesse 9 kuuluvate elementide usaldusväärsuse näitajad ühtedega. . Neljanda, kuuenda ja seitsmenda rea ​​panus osutub reegli 1 kohaselt võrdseks nulliga. Edasi on nurksulgudes olevat avaldist lihtsustatud vastavalt reeglitele (2.17) järgmiselt: b =b (fhc-hfc-fhc ) =bc (h-fh) =bchf . Samamoodi tehakse arvutus kõigi teiste teede jaoks.

Vaadeldava meetodi kasutamine võimaldab saada üldine valem struktuurne usaldusväärsus, mis sisaldab vaadeldaval juhul maksimaalse arvu 2 11 =2048 asemel ainult 15 liiget, mis saadakse nende radade rikete tõenäosuste otsesel korrutamisel. Meetodi masinrakenduses on mugav esitada kõik võrgu elemendid asukohakoodis bittide jadana ja kasutada teisenduste (2.17) loogiliste elementide realiseerimiseks sisseehitatud Boole'i ​​funktsioone.

Siiani oleme arvestanud võrgu struktuurilise töökindluse näitajaid spetsiaalse sõlmepaari suhtes. Selliste näitajate kogum kõigi või mõne paari alamhulga kohta võib üsna täielikult iseloomustada võrgu kui terviku struktuurilist usaldusväärsust. Mõnikord kasutatakse mõnda muud, terviklikku konstruktsiooni usaldusväärsuse kriteeriumi. Selle kriteeriumi kohaselt loetakse võrk töökõlblikuks, kui kõigi selle sõlmede vahel on ühendus ja on seatud nõue sellise sündmuse tõenäosusele.

Struktuurilise töökindluse arvutamiseks selle kriteeriumi järgi piisab, kui tutvustada tee mõiste üldistust kõiki etteantud võrgusõlmi ühendava puu kujul. Seejärel ühendatakse võrk, kui on olemas vähemalt üks ühenduspuu, ja arvutus taandatakse kõigi vaadeldavate puude rikete tõenäosuste korrutamisele, võttes arvesse ühiste elementide olemasolu. Tõenäosus. S-nda puu Q s rike defineeritakse sarnaselt tee rikke tõenäosusega

kus p on - koosseisu kuuluva elemendi i-ro töökindlusnäitaja s-e puu; n s elementide arv s-ndas puus.

Vaatleme näiteks kõige lihtsamat võrku kolmnurga kujul, küljed. mis on kaalutud usaldusväärsuse näitajatega a, b, c vastavad harud. Sellise võrgu ühenduvuse jaoks piisab vähemalt ühe puude ab, bc, ca olemasolust. . Kordusseost (2.12) kasutades määrame tõenäosuse, et see võrk on ühendatud H . cb=ab+bca+kabiin. Kui a=b=c=p , saame järgmine väärtusühenduse tõenäosus, mida on lihtne loendamisega kontrollida: H . cb \u003d 3r 2 -2r 3.

Piisavalt hargnenud võrkude ühenduvuse tõenäosuse arvutamiseks on reeglina ühenduspuude loendi asemel mugavam kasutada vastavalt vaadeldavale kriteeriumile võrguühenduse katkemiseni viivate jaotiste loendit (y). Lihtne on näidata, et lõigu kohta kehtivad kõik ülaltoodud sümboolse korrutamise reeglid, kuid võrguelementide usaldusväärsuse näitajate asemel tuleks lähteandmetena kasutada ebausaldusväärsuse näitajaid q=1-p . Tõepoolest, kui kõiki teid või puid saab lugeda "paralleelselt", võttes arvesse nende vastastikust sõltuvust, kaasatakse kõik lõigud selles tähenduses "järgi". Tähistame tõenäosust, et mõnes lõigus s pole ühtki hooldatavat elementi, väärtusega р s . Siis saab kirjutada

R s =q 1s q 2s …q Prl , (2.22)

kus q on - s-e sektsioonis sisalduva i-ro elemendi ebausaldusväärsuse indeks.

Võrguühenduse tõenäosust H cb saab seejärel esitada sümboolsel kujul sarnaselt (2.14)

H cb = (1-lk 1 ) ¤ ( 1 2 ) ¤…¤ ( 1 r) (2.23)

kus r - vaadeldavate sektsioonide arv. Teisisõnu, võrgu ühendamiseks on vajalik, et igas sektsioonis töötaks korraga vähemalt üks element, võttes arvesse sektsioonide vastastikust sõltuvust ühistest elementidest. Valem (2.23) on teatud mõttes kahekordne valemiga (2.14) ja saadakse viimasest, asendades teed läbilõigetega ja hea toimimise tõenäosusega rikkeseisundis olemise tõenäosusega. Samamoodi on duaal valemi (2.21) suhtes rekursiivne seos

H r+1 =H r - R r+1 ¤ H r (2.24)

Näiteks arvutame ülalpool vaadeldud kolmnurkse võrgu ühenduvuse tõenäosuse lõikude ab, bc, ca komplektiga. Vastavalt (2.23) algtingimusele H 0 =1 on meil H cd =ab-bca-cab. Võrguelementide a=b=c=q samade ebausaldusväärsuse näitajate korral saame H cb =1-q 2 -2q 2 (1 - q). See tulemus on sama, mis saadi varem puu loendusmeetodil.

Sektsioonide meetodit saab loomulikult kasutada võrguühenduse tõenäosuse arvutamiseks valitud sõlmede paari suhtes, eriti juhtudel, kui vaadeldava võrgu sektsioonide arv on märkimisväärne. vähem kui arv nullid. Suurima efekti arvutuste keerukuse vähendamisel annab aga mõlema meetodi samaaegne kasutamine, mida käsitletakse edaspidi.

Määramatu integraali leidmine (antiderivaatide või "antiderivatiivide" komplekt) tähendab funktsiooni taastamist selle funktsiooni teadaolevast tuletisest. Taastatud antiderivaatide komplekt F(x) + Koos funktsiooni jaoks f(x) võtab arvesse integreerimiskonstanti C. Sõidukiiruse järgi materiaalne punkt(tuletise) selle punkti liikumisseadust (primitiivne) saab taastada; vastavalt punkti liikumise kiirendusele - selle kiirusele ja liikumisseadusele. Nagu näete, on integratsioon füüsikast pärit Sherlock Holmesi tegevuse lai valdkond. Jah, ja majanduses on paljud mõisted esindatud funktsioonide ja nende tuletiste kaudu ning seetõttu on näiteks võimalik taastada sobival ajal toodetud toodangu maht tööviljakuse järgi teatud ajahetkel (tuletis).

Määramata integraali leidmiseks on vaja üsna väikest arvu põhilisi integreerimisvalemeid. Kuid selle leidmise protsess on palju keerulisem kui nende valemite lihtsalt rakendamine. Kogu keerukus ei ole seotud integreerimisega, vaid integreeritava avaldise viimisega sellisele kujule, mis võimaldab ülalmainitud põhivalemite abil leida ebamäärase integraali. See tähendab, et integratsiooni praktikaga alustamiseks on vaja aastal saadud tulemusi aktiveerida Keskkool väljenduse teisendamise oskus.

Õpime leidma integraale kasutades omadused ja määramata integraalide tabelõppetunnist selle teema põhimõistete kohta (avaneb uues aknas).

Integraali leidmiseks on mitu meetodit, millest muutuv asendusmeetod ja osade kaupa integreerimise meetod- kohustuslik härrasmeeste komplekt kõigile, kes on edukalt läbinud kõrgema matemaatika. Kasulikum ja meeldivam on aga alustada integratsiooni õppimist laiendusmeetodil, mis põhineb kahel järgneval ebamäärase integraali omaduste teoreemil, mida siinkohal mugavuse huvides kordame.

3. teoreem. Integrandi konstantteguri võib ebamäärase integraali märgist välja võtta, s.t.

4. teoreem. Algebralise summa määramatu integraal lõplik arv funktsioonid on algebraline summa nende funktsioonide määramata integraalid, st.

(2)

Lisaks võib integreerimisel olla kasulik järgmine reegel: kui integrandi avaldis sisaldab konstantset tegurit, siis antiderivaadi avaldis korrutatakse konstantse teguri pöördarvuga, st.

(3)

Kuna see õppetund on sissejuhatus integratsiooniprobleemide lahendamisesse, on oluline märkida kaks asja, mis on juba olemas esialgne etapp, või veidi hiljem võib teid üllatada. Üllatus tuleneb sellest, et integratsioon on diferentseerimise pöördoperatsioon ja määramatut integraali võib õigusega nimetada "anti-tuletiseks".

Esimene asi, mida integreerimisel ei tasu imestada. Integraalide tabelis tuletis tabeli valemite hulgas on valemeid, millel pole analooge . Need on järgmised valemid:

Siiski saab kontrollida, et nende valemite paremal pool olevate avaldiste tuletised langevad kokku vastavate integrandidega.

Teine asi, mida integreerimisel ei tasu imestada. Kuigi mis tahes elementaarfunktsiooni tuletis on ka elementaarfunktsioon, mõne elementaarfunktsiooni määramata integraalid enam ei ole elementaarsed funktsioonid . Selliste integraalide näited on:

Integreerimistehnika arendamiseks tulevad kasuks järgmised oskused: murdude vähendamine, murdu lugejas oleva polünoomi jagamine nimetajas oleva monomiga (määramatute integraalide summa saamiseks), juurte teisendamine astmeks, monomiaali korrutamine polünoom, astmeni tõstmine. Neid oskusi on vaja integrandi teisendamiseks, mille tulemuseks peaks olema integraalide tabelis olevate integraalide summa.

Määramatute integraalide koos leidmine

Näide 1 Leidke määramatu integraal

.

Otsus. Integrandi nimetajas näeme polünoomi, milles x on ruudus. See on peaaegu kindel märk, et saab rakendada tabeliintegraali 21 (koos tulemuse kaartangensiga). Nimetajast võtame välja teguri-kaks (seal on selline integraali omadus - integraalimärgist saab välja võtta konstantse teguri, seda mainiti eespool teoreemina 3). Selle kõige tulemus:

Nüüd on nimetajaks ruutude summa, mis tähendab, et saame rakendada mainitud tabeliintegraali. Lõpuks saame vastuse:

.

Näide 2 Leidke määramatu integraal

Otsus. Rakendame taas teoreemi 3 - integraali omadust, mille alusel saab integraalimärgist konstantse teguri välja võtta:

Integraalile rakendame integraalide tabelist valemit 7 (muutuv astmes):

.

Vähendame saadud murde ja saame lõpliku vastuse:

Näide 3 Leidke määramatu integraal

Otsus. Rakendades omadustele esmalt teoreemi 4 ja seejärel teoreemi 3, leiame selle integraali kolme integraali summana:

Kõik kolm saadud integraali on tabelikujulised. Kasutame integraalide tabelist valemit (7). n = 1/2, n= 2 ja n= 1/5 ja siis

ühendab kõik kolm suvalist konstanti, mis sisestati millal leida kolm integraalid. Seetõttu tuleks sarnastes olukordades kasutusele võtta ainult üks integratsiooni suvaline konstant (konstant).

Näide 4 Leidke määramatu integraal

Otsus. Kui integrandi nimetajas on monoom, saame lugeja liigendiga jagada nimetajaga. Algne integraal muudeti kahe integraali summaks:

.

Tabeliintegraali rakendamiseks teisendame juured astmeteks ja siin on lõplik vastus:

Jätkame koos määramata integraalide leidmist

Näide 7 Leidke määramatu integraal

Otsus. Kui teisendame integrandi binoom ruuduga ja jagame lugeja nimetajaga liikmega, siis saab algsest integraalist kolme integraali summa.

See väike õppetund võimaldab mitte ainult õppida tüüpiline ülesanne, mis on praktikas üsna tavaline, aga ka artikli materjalide koondamiseks Funktsioonide laiendamine võimsusridadesse. Meil läheb vaja funktsiooni laiendustabel sisse jõuseeria , mille saab lehelt Matemaatilised valemid ja tabelid. Lisaks peab lugeja aru saama geomeetriline tunne kindel integraal ja elementaarsed lõimumisoskused.

Samuti tuleb märkida, et kõige populaarsem on täpsus kuni kolm kohta pärast koma. Kasutusel on ka muu arvutuste täpsus, tavaliselt 0,01 või 0,0001.

Nüüd lahenduse teine ​​etapp:
Esiteks muudame integrandi saadud astmereaks:

Miks seda üldse teha saab? See fakt selgitas klassis umbes funktsioonide laiendamine astmeridadeks on lõpmatu polünoomgraaf kattub täpselt funktsiooni graafikuga ! Veelgi enam, antud juhul kehtib väide mis tahes "x" väärtuse kohta, mitte ainult integreerimisintervalli kohta.

Järgmises etapis lihtsustame iga terminit nii palju kui võimalik:

Parem on seda kohe teha, et mitte sattuda järgmises etapis tarbetute arvutustega segadusse.

Arvutustehnika on standardne: esmalt asendame iga liikme 0,3 ja seejärel nulliga. Arvutuste tegemiseks kasutame kalkulaatorit:

Mitu liiget seeriast tuleb lõplikeks arvutusteks võtta? Kui koonduv jada märk vahelduv, siis absoluutne viga modulo ei ületa seeria viimast äravisatud terminit. Meie puhul juba kolmas seeria liige on väiksem kui nõutav täpsus 0,001, ja seepärast, kui me selle ära viskame, teeme kindlasti mitte suurema vea kui 0,000972 (mõistke, miks!). Seega piisab lõplikuks arvutuseks kahest esimesest liikmest: .

Vastus: , täpsusega 0,001

Millest see number tuli geomeetriline punkt nägemus? on varjutatud joonise ligikaudne pindala (vt ülaltoodud joonist).

Näide 2

Arvutage ligikaudu kindel integraal, olles eelnevalt integrandi laiendanud astmeseeriaks, täpsusega 0,001

See on näide sõltumatu lahendus. Täielik lahendus ja vastus tunni lõpus.

Kuidagi teenimatult läksin arctangensist mööda, kordagi ritta panemata. Parandame vea.

Näide 3

Arvutage kindel integraal täpsusega 0,01, kasutades integrandi jadalaiendit.

Otsus: On tugev kahtlus, et see integraal on võetud, kuid lahendus pole kõige lihtsam.

Laiendame integrandi Maclaurini seerias. Kasutame lagunemist:

Sel juhul


Siin vedas, et lõpuks jäid kraadid ikka terveks, murdarvud oleks raskem integreerida.

Seega:

Juhtub ka. Liikmed käruga – õpilasel on lihtsam.

Vastus: täpsusega 0,01.

Jällegi pange tähele, et 0,01 täpsus on siin tagatud ainult koonduvate seeriate tõttu märk vahelduv. Sest rida koos positiivsed liikmed, näiteks sari sellist hinnangut ei saa teha, kuna äravisatud "saba" summa võib kergesti ületada 0,00089. Mida sellistel juhtudel teha? Ma räägin teile õppetunni lõpus. Seniks avaldan saladuse, et kõikides tänastes näidetes on read vahelduvad.

Ja loomulikult tuleks seda kontrollida rea konvergentsi ulatus. Vaadeldavas näites on see muide "ära lõigatud": (tõttu ruutjuur) , kuid meie integratsioonisegment asub täielikult selles piirkonnas.

Mis juhtub, kui proovite lahendada mõnda ebaseaduslikku juhtumit, näiteks ? Funktsioon laieneb suurepäraselt ka seeriaks, seeria liikmed on samuti märkimisväärselt integreeritud. Aga kui hakkame väärtust asendama ülempiir Newtoni-Leibnizi valemi järgi näeme seda arvud kasvavad lõputult, see tähendab iga järgmine number saab olema suurem kui eelmine. Seeria koondub ainult segmendile. See pole paranoia, praktikas tuleb seda aeg-ajalt ette. Põhjuseks on kirjaviga ülesannete kogus või koolitusjuhendis, kui autorid jätsid kahe silma vahele, et integreerimisintervall “roomab välja” seeria konvergentsipiirkonnast kaugemale.

Ma ei arvesta integraali arsiiniga, kuna see on loetletud punases raamatus. Parem on lisaks kaaluda midagi "eelarvet":

Näide 4

Arvutage kindel integraal täpsusega 0,001, laiendades integrandi selle seeria jadaks ja terminipõhiseks integreerimiseks.

See on tee-seda-ise näide. Mis puutub nulli, siis see ei ole siin takistuseks - integrand kannatab ainult parandatav vahe punktis ja seetõttu vale integraal ei valetanud siin ja läheduses, st. see on ikkagi umbes kindel integraal. Lahenduse käigus näete, et saadud jada koondub ilusti nulli.

Kokkuvõtteks vaatame veel paari näidet, mis on mõnevõrra keerulisemad.

Näide 5

Arvutage kindel integraal täpsusega 0,001, laiendades integrandi selle seeria jadaks ja terminipõhiseks integreerimiseks.

Otsus: Integrandi analüüsides jõuame järeldusele, et peame kasutama binoomlaiendit. Kuid kõigepealt tuleb funktsioon esitada sobival kujul:

Kahjuks mitte ühtegi erijuhtum binoomlaiendus ei sobi ja me peame kasutama kohmakat üldvalemit:

Sel juhul: ,

Parem on lagunemist juba selles etapis nii palju kui võimalik lihtsustada. Samuti märgime, et seeria neljandat liiget me ilmselgelt ei vaja, kuna juba enne integreerimist ilmus sinna murdosa, mis on ilmselgelt väiksem kui nõutav täpsus 0,001.

peal see õppetundõpime leidma teatud tüüpi murdude integraale. Materjali edukaks assimilatsiooniks peaksid artiklite arvutused olema hästi arusaadavad.

Nagu juba märgitud, sisse integraalarvutus murdu integreerimiseks pole mugavat valemit:

Ja seetõttu on kurb tendents: mida “ilusam” murd, seda keerulisem on sealt integraali leida. Sellega seoses peame kasutama erinevaid nippe, mida me nüüd arutame.

Lugeja lagundamise meetod

Näide 1

Leidke määramatu integraal

Käivitage kontroll.

Õppetunnis Määramatu integraal. Lahendusnäited saime integrandis lahti funktsioonide korrutisest, muutes selle integreerimiseks mugavaks summaks. Selgub, et mõnikord saab murdosa ka summaks (vaheks) muuta!

Integrandi analüüsides märkame, et nii lugejas kui ka nimetajas on meil esimese astme polünoomid: x ja ( x+3). Kui lugeja ja nimetaja sisaldavad polünoome sama kraadi, aitab järgmine kunstlik tehnika: lugejas peame iseseisvalt korraldama sama avaldise, mis nimetajas:

.

Põhjendus võib olla järgmine: "Lugejas on vaja korraldada ( x+ 3) tuua integraal tabeliliste hulka, aga kui ma lisan “x-le” kolmiku, siis selleks, et avaldis ei muutuks, pean sama kolmiku lahutama.

Nüüd saame jagada lugeja nimetajaga terminiga:

Selle tulemusena saavutasime selle, mida tahtsime. Kasutame kahte esimest integreerimisreeglit:

Valmis. Soovi korral vaadake ise. pane tähele seda

teises integraalis on "lihtne" keeruline funktsioon. Tunnis käsitleti selle integreerimise iseärasusi Muutuja muutmise meetod määramata integraalis.

Muide, vaadeldava integraali saab lahendada ka muutujameetodi muutmisega, tähistades , kuid lahendus on palju pikem.

Näide 2

Leidke määramatu integraal

Käivitage kontroll

See on tee-seda-ise näide. Tuleb märkida, et siin muutuja asendusmeetod enam ei tööta.

Tähelepanu oluline! Näited nr 1, 2 on tüüpilised ja levinud.

Eelkõige tekivad sellised integraalid sageli teiste integraalide lahendamise käigus, eelkõige siis, kui integratsiooni irratsionaalsed funktsioonid (juured).

Ülaltoodud meetod töötab ka juhul kui lugeja suurim aste on suurem nimetaja suurimast astmest.

Näide 3

Leidke määramatu integraal

Käivitage kontroll.

Alustame lugejaga. Lugeja valimise algoritm on umbes selline:

1) Lugejas peame korraldama 2 x-1 aga seal x 2. Mida teha? Järeldan 2 x-1 sulgudes ja korrutage arvuga x, nagu: x(2x-1).

2) Nüüd proovime need sulgud avada, mis juhtub? Hankige: (2 x 2 -x). Juba parem, aga mitte midagi x 2 pole alguses lugejas. Mida teha? Peame korrutama (1/2), saame:

3) Avage sulgud uuesti, saame:

See osutus õigeks x 2! Kuid probleem on selles, et ilmus lisatermin (-1/2) x. Mida teha? Et väljend ei muutuks, peame oma konstruktsioonile lisama sama (1/2) x:

. Elu on muutunud lihtsamaks. Kas lugejas on võimalik uuesti korraldada (2 x-1)?

4) Saate. Me üritame: . Laiendage teise termini sulgusid:

. Vabandust, kuid meil oli eelmises etapis (+1/2) x, mitte (+ x). Mida teha? Peate teise liikme korrutama (+1/2):

.

5) Jällegi, kontrollimiseks avage teise termini sulgud:

. Nüüd on kõik korras: kätte saadud (+1/2) x lõike 3 lõppkonstruktsioonist! Kuid jälle on väike “aga”, ilmunud on lisatermin (-1/4), mis tähendab, et peame oma väljendile lisama (1/4):

.

Kui kõik on õigesti tehtud, peaksime kõigi sulgude avamisel saama integrandi algse lugeja. Kontrollime:

Selgus.

Seega:

Valmis. Viimasel ametiajal rakendasime funktsiooni diferentsiaali alla viimise meetodit.

Kui leiame vastuse tuletise ja toome avaldise to ühine nimetaja, siis saame täpselt algse integrandi

Peetav lagundamise meetod x 2 summas ei ole midagi muud kui vastupidine tegevus avaldise ühise nimetaja saavutamiseks.

Algoritm lugeja valimiseks sisse sarnased näited Parim on seda teha mustandi kujul. Teatud oskuste korral töötab see ka vaimselt.

Lisaks valikualgoritmile saab kasutada polünoomi jagamist polünoomiga veeruga, aga ma kardan, et selgitused võtavad veelgi rohkem ruumi, nii et mõni teine ​​kord.

Näide 4

Leidke määramatu integraal

Käivitage kontroll.

See on tee-seda-ise näide.