Fibonaccijevi brojevi u prirodi i ljudskom životu. Fibonacci zlatni rez

Jeste li ikada čuli da se matematika naziva "kraljicom svih znanosti"? Slažete li se s ovom tvrdnjom? Sve dok vam matematika ostaje dosadna udžbenička zagonetka, teško da ćete moći osjetiti ljepotu, svestranost, pa čak i humor ove znanosti.

Ali postoje teme u matematici koje nam pomažu u znatiželjnim promatranjima stvari i pojava koje su nam zajedničke. Pa čak i pokušati prodrijeti kroz veo misterija stvaranja našeg svemira. U svijetu postoje neobični obrasci koji se mogu opisati uz pomoć matematike.

Predstavljamo Fibonaccijeve brojeve

Fibonaccijevi brojevi imenovati elemente niz brojeva. U njemu se svaki sljedeći broj u nizu dobiva zbrajanjem dva prethodni brojevi.

Uzorak slijeda: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

Možete to napisati ovako:

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2

Možete započeti niz Fibonaccijevih brojeva s negativne vrijednosti n. Štoviše, slijed je u ovom slučaju dvostran (tj. pokriva negativ i pozitivni brojevi) i teži beskonačnosti u oba smjera.

Primjer takvog niza: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

Formula u ovom slučaju izgleda ovako:

F n = F n+1 - F n+2 ili inače to možete učiniti ovako: F-n = (-1) n+1 Fn.

Ono što danas znamo kao "Fibonaccijevi brojevi" bilo je poznato drevnim indijskim matematičarima mnogo prije nego što su se počeli koristiti u Europi. I s ovim imenom, općenito, jedno solidno povijesna anegdota. Počnimo s činjenicom da se sam Fibonacci za života nikada nije nazivao Fibonacci - to se ime počelo primjenjivati na Leonarda iz Pise tek nekoliko stoljeća nakon njegove smrti. Ali razgovarajmo o svemu redom.

Leonardo iz Pize zvani Fibonacci

Sin trgovca koji je postao matematičar, a nakon toga dobio priznanje svojih potomaka kao prvi veliki matematičar Europe tijekom srednjeg vijeka. Ne u posljednji red zahvaljujući Fibonaccijevim brojevima (koji se tada, podsjetimo, još nisu tako zvali). u kojoj se nalazi početkom XIII st. opisao u svom djelu "Liber abaci" ("Knjiga o abaku", 1202.).

Putujući sa svojim ocem na Istok, Leonardo je studirao matematiku kod arapskih učitelja (i u to su vrijeme bili u ovom poslu, kao iu mnogim drugim znanostima, jedan od najbolji stručnjaci). Radovi matematičara antike i drevna Indijačitao je u arapskim prijevodima.

Nakon što je pravilno shvatio sve što je pročitao i povezao vlastiti radoznali um, Fibonacci je napisao nekoliko znanstvenih rasprava o matematici, uključujući i već spomenutu “Knjigu abakusa”. Osim nje, stvorio je:

"Practica geometriae" ("Praksa geometrije", 1220);
"Flos" ("Cvijet", 1225. - studija o kubnim jednadžbama);
"Liber quadratorum" ("Knjiga kvadrata", 1225. - zadaci o neodređenim kvadratnim jednadžbama).

Bio je veliki ljubitelj matematičkih turnira, pa je u svojim traktatima veliku pozornost posvetio analizi raznih matematičkih problema.

Malo se zna o Leonardovom životu. biografski podaci. Što se tiče imena Fibonacci, pod kojim je ušao u povijest matematike, ono se za njega pričvrstilo tek u 19. stoljeću.

Fibonacci i njegovi zadaci

Nakon što je Fibonacci otišao veliki broj problemi koji su sljedećih stoljeća bili vrlo popularni među matematičarima. Razmotrit ćemo problem zečeva u čijem rješavanju se koriste Fibonaccijevi brojevi.

Kunići nisu samo dragocjeno krzno

Fibonacci je postavio sljedeće uvjete: postoji par novorođenih kunića (muško i žensko) tako zanimljive pasmine da redovito (počevši od drugog mjeseca) daju potomstvo - uvijek jedno novi par zečevi. Također, kao što možete pretpostaviti, muško i žensko.

Ovi uvjetni kunići smješteni su u zatvorenom prostoru i entuzijastično se razmnožavaju. Također je propisano da nijedan kunić ne umire od neke misteriozne bolesti kunića.

Moramo izračunati koliko ćemo kunića dobiti za godinu dana.

Na početku 1 mjeseca imamo 1 par kunića. Na kraju mjeseca se pare.
Drugi mjesec - već imamo 2 para kunića (par ima roditelje + 1 par - njihovo potomstvo).
Treći mjesec: Prvi par rađa novi par, drugi par se pari. Ukupno - 3 para kunića.
Četvrti mjesec: Prvi par rađa novi par, drugi par ne gubi vrijeme i također rađa novi par, treći par se tek pari. Ukupno - 5 pari kunića.

Broj kunića u n- mjesec = broj pari kunića iz prethodnog mjeseca + broj novorođenih parova (isto toliko pari kunića ima i prije 2 mjeseca). I sve je to opisano formulom koju smo već dali gore: F n \u003d F n-1 + F n-2.

Tako dobivamo ponavljajuće (objašnjenje rekurzija- ispod) numerički niz. U kojoj je svaki sljedeći broj jednak zbroju prethodna dva:

1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 2 = 5
5 + 3 = 8
8 + 5 = 13
13 + 8 = 21
21 + 13 = 34
34 + 21 = 55
55 + 34 = 89
89 + 55 = 144
144 + 89 = 233
233+ 144 = 377 <…>

Možete nastaviti niz dugo: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. No, budući da smo odredili određeno razdoblje - godinu dana, zanima nas rezultat dobiven na 12. "potez". Oni. 13. član niza: 377.

Odgovor je u zadatku: ako se zadovolje svi navedeni uvjeti, dobit će se 377 kunića.

Jedno od svojstava Fibonaccijevog niza vrlo je zanimljivo. Ako uzmemo dva uzastopna para iz reda i podijelimo više na manje, rezultat će se postupno približavati Zlatni omjer(Više o tome možete pročitati kasnije u članku).

Jezikom matematike, "granica odnosa a n+1 do a n jednak zlatnom rezu.

Još problema iz teorije brojeva

Nađite broj koji se može podijeliti sa 7. Također, ako ga podijelite sa 2, 3, 4, 5, 6, ostatak će biti jedan.
Pronaći kvadratni broj. O njemu se zna da ako mu dodate 5 ili oduzmete 5, opet dobijete kvadratni broj.

Pozivamo vas da sami pronađete odgovore na ova pitanja. Možete nam ostaviti svoje mogućnosti u komentarima na ovaj članak. A onda ćemo vam reći jesu li vaši izračuni bili točni.

Objašnjenje rekurzije

rekurzija- definicija, opis, slika objekta ili procesa, koja sadrži sam predmet ili proces. To jest, zapravo, objekt ili proces je dio samog sebe.

Rekurzija nalazi široku primjenu u matematici i informatici, pa čak i u umjetnosti i popularnoj kulturi.

Fibonaccijevi brojevi definirani su pomoću povratna relacija. Za broj n>2 n- e broj je (n - 1) + (n - 2).

Objašnjenje zlatnog reza

Zlatni omjer - podjela cjeline (na primjer, segmenta) na takve dijelove koji su u korelaciji prema sljedeći princip: većina odnosi se na manji na isti način kao cijela vrijednost (na primjer, zbroj dva segmenta) na veći dio.

Prvi spomen zlatnog reza nalazimo u Euklidovoj raspravi "Počeci" (oko 300. pr. Kr.). U kontekstu građenja pravilnog pravokutnika.

Pojam koji nam je poznat 1835. godine uveo je njemački matematičar Martin Ohm.

Ako približno opišete zlatni rez, to je proporcionalna podjela na dva nejednaka dijela: približno 62% i 38%. NA u brojčanom smislu zlatni rez je broj 1,6180339887 .

Nalazi zlatnog reza praktičnu upotrebu u likovne umjetnosti(slike Leonarda da Vincija i drugih renesansnih slikara), arhitektura, kinematografija (Bojni brod Potemkin S. Ezensteina) i dr. područja. Dugo se vremena vjerovalo da je zlatni rez najestetičniji omjer. Ovaj pogled je i danas popularan. Iako, prema rezultatima istraživanja, vizualno, većina ljudi ne doživljava takav omjer kao najuspješniju opciju i smatra ga previše izduženim (nesrazmjernim).

Duljina rezanja S = 1, a = 0,618, b = 0,382.
Stav S do a = 1, 618.
Stav S do b = 2,618

Sada se vratimo na Fibonaccijeve brojeve. Uzmite dva uzastopna člana iz njegovog niza. Veći broj podijelimo s manjim i dobijemo otprilike 1,618. A sada upotrijebimo isti veći broj i sljedeći član niza (tj. još veći broj) - njihov omjer je rano 0,618.

Evo primjera: 144, 233, 377.

233/144 = 1,618 i 233/377 = 0,618

Usput, ako pokušate izvesti isti eksperiment s brojevima s početka niza (na primjer, 2, 3, 5), ništa neće uspjeti. Skoro. Gotovo da se ne poštuje pravilo zlatnog reza za početak niza. Ali s druge strane, kako se pomičete duž reda i brojevi rastu, dobro radi.

A da bi se izračunao cijeli niz Fibonaccijevih brojeva, dovoljno je poznavati tri člana niza koji slijede jedan za drugim. Vidite i sami!

Zlatni pravokutnik i Fibonaccijeva spirala

Još jedna zanimljiva paralela između Fibonaccijevih brojeva i zlatnog reza omogućuje nam crtanje takozvanog "zlatnog pravokutnika": njegove su stranice povezane u omjeru 1,618 prema 1. Ali već znamo što je broj 1,618, zar ne?

Na primjer, uzmimo dva uzastopna člana Fibonaccijevog niza - 8 i 13 - i izgradimo pravokutnik s sljedeće parametre: širina = 8, duljina = 13.

A onda razbijemo veliki pravokutnik na manje. Obavezni uvjet: duljine stranica pravokutnika moraju odgovarati Fibonaccijevim brojevima. Oni. duljina stranice većeg pravokutnika treba biti jednak zbroju stranice dvaju manjih pravokutnika.

Način na koji je to učinjeno na ovoj slici (radi praktičnosti, brojke su potpisane latiničnim slovima).

Usput, možete ugraditi pravokutnike obrnuti redoslijed. Oni. počnite graditi od kvadrata sa stranom 1. Na što se, vođeni gore navedenim načelom, dovršavaju figure sa stranama, jednaki brojevi Fibonacci. Teoretski, ovo se može nastaviti unedogled - uostalom, Fibonaccijev niz je formalno beskonačan.

Spojimo li kutove pravokutnika dobivenih na slici glatkom linijom, dobit ćemo logaritamsku spiralu. Dapače, nju poseban slučaj- Fibonaccijeva spirala. Osobito je karakteristično po tome što nema granica i ne mijenja oblik.

Takva se spirala često nalazi u prirodi. Školjke mekušaca jedne su od naj jasni primjeri. Štoviše, neke galaksije koje se mogu vidjeti sa Zemlje imaju spiralni oblik. Ako obratite pozornost na vremensku prognozu na TV-u, možda ste primijetili da cikloni imaju sličan spiralni oblik kada ih snimate sa satelita.

Zanimljivo je da spirala DNK također poštuje pravilo zlatnog presjeka - odgovarajući uzorak može se vidjeti u intervalima njezinih zavoja.

Takve nevjerojatne "slučajnosti" ne mogu nego uzbuditi umove i potaknuti razgovor o određenom jedinstvenom algoritmu kojem se pokoravaju svi fenomeni u životu Svemira. Je li vam sada jasno zašto se ovaj članak tako zove? I to kakva vrata nevjerojatni svjetovi može li ti se matematika otvoriti?

Fibonaccijevi brojevi u prirodi

Veza između Fibonaccijevih brojeva i zlatnog reza ukazuje na čudne obrasce. Toliko zanimljivo da je primamljivo pokušati pronaći nizove slične Fibonaccijevim brojevima u prirodi, pa čak i tijekom povijesni događaji. A priroda doista daje povoda takvim pretpostavkama. No može li se sve u našem životu objasniti i opisati uz pomoć matematike?

Primjeri divljih životinja koji se mogu opisati Fibonaccijevim nizom:

redoslijed rasporeda listova (i grana) u biljkama - razmaci između njih koreliraju s Fibonaccijevim brojevima (filotaksija);

mjesto sjemenki suncokreta (sjemenke su raspoređene u dva reda spirala uvijenih u različitim smjerovima: jedan red je u smjeru kazaljke na satu, drugi je suprotno);

položaj ljuskica borovih češera;
cvjetne latice;
stanice ananasa;
omjer duljina falangi prstiju na ljudskoj ruci (približno), itd.

Zadaci iz kombinatorike

Fibonaccijevi brojevi naširoko se koriste u rješavanju problema u kombinatorici.

Kombinatorika- ovo je grana matematike koja se bavi proučavanjem izbora zadanog broja elemenata iz određenog skupa, nabrajanjem itd.

Pogledajmo primjere kombinatoričkih problema izračunatih za razinu Srednja škola(izvor - http://www.problems.ru/).

Zadatak #1:

Lesha se penje ljestvama od 10 stepenica. On skače ili jednu ili dvije stepenice odjednom. Na koliko se načina Lesha može popeti stepenicama?

Broj načina na koje se Lesha može popeti stepenicama n korake, označ i n. Otuda slijedi da a 1 = 1, a 2= 2 (uostalom, Lesha skoči jedan ili dva koraka).

Također je dogovoreno da Lesha skoči uza stepenice s n > 2 korake. Pretpostavimo da je prvi put preskočio dvije stepenice. Dakle, prema stanju problema, treba preskočiti još jedan n - 2 korake. Zatim se broj načina za dovršetak uspona opisuje kao n-2. A ako pretpostavimo da je Lesha prvi put preskočila samo jednu stepenicu, tada ćemo opisati broj načina da se uspon završi kao n-1.

Odavde dobivamo sljedeću jednakost: a n = a n–1 + a n–2(izgleda poznato, zar ne?).

Otkako znamo a 1 i a 2 i zapamtite da postoji 10 koraka prema uvjetu problema, izračunajte redom sve a n: a 3 = 3, a 4 = 5, a 5 = 8, a 6 = 13, a 7 = 21, a 8 = 34, a 9 = 55, a 10 = 89.

Odgovor: 89 načina.

Zadatak #2:

Potrebno je pronaći broj riječi dužine 10 slova koje se sastoje samo od slova "a" i "b" i ne smiju sadržavati dva slova "b" u nizu.

Označimo sa a n broj riječi dug n slova koja se sastoje samo od slova "a" i "b" i ne sadrže dva slova "b" u nizu. Sredstva, a 1= 2, a 2= 3.

U nizu a 1, a 2, <…>, a n svaki sljedeći pojam izražavat ćemo u odnosu na prethodne. Prema tome, broj riječi dužine n slova koja također ne sadrže udvostručeno slovo "b" i počinju slovom "a", ovo n-1. A ako je riječ dugačka n slova počinje slovom "b", logično je da je sljedeće slovo u takvoj riječi "a" (uostalom, ne mogu biti dva "b" prema uvjetu zadatka). Prema tome, broj riječi dužine n slova u ovom slučaju, označena kao n-2. I u prvom i u drugom slučaju, bilo koja riječ (dužine n - 1 i n - 2 slova redom) bez udvostručenog "b".

Uspjeli smo objasniti zašto a n = a n–1 + a n–2.

Izračunajmo sada a 3= a 2+ a 1= 3 + 2 = 5, a 4= a 3+ a 2= 5 + 3 = 8, <…>, a 10= a 9+ a 8= 144. I dobivamo poznati Fibonaccijev niz.

Odgovor: 144.

Zadatak #3:

Zamislite da postoji traka podijeljena na ćelije. Ide udesno i traje beskonačno. Stavite skakavca na prvu ćeliju vrpce. Na kojoj god se ćeliji vrpce nalazio, može se pomaknuti samo udesno: ili jednu ćeliju ili dvije. Na koliko načina skakavac može skočiti s početka vrpce na n th ćelija?

Označimo broj puteva na koje se skakavac kreće po vrpci do n th ćelija kao a n. U ovom slučaju a 1 = a 2= 1. Također u n + 1-th stanica iz koje skakavac može dobiti bilo koju nćelije, ili preskačući je. Odavde n + 1 = a n – 1 + a n. Gdje a n = F n – 1.

Odgovor: F n – 1.

Možete sami izraditi slične probleme i pokušati ih riješiti na satovima matematike s kolegama iz razreda.

Fibonaccijevi brojevi u popularnoj kulturi

Naravno, takav neobičan fenomen, poput Fibonaccijevih brojeva, ne može ne privući pozornost. Još uvijek postoji nešto privlačno, pa čak i tajanstveno u ovom strogo provjerenom uzorku. Nije iznenađujuće da je Fibonaccijev niz nekako "zasvijetlio" u mnogim djelima moderne masovna kulturaširok izbor žanrova.

Reći ćemo vam o nekima od njih. I pokušavaš više tražiti sebe. Ako ga pronađete, podijelite ga s nama u komentarima – i mi smo znatiželjni!

Fibonaccijevi brojevi spominju se u bestseleru Da Vincijev kod Dana Browna: Fibonaccijev niz služi kao šifra kojom glavni likovi knjige otvaraju sef.
NA američki film 2009. "Gospodin Nitko" u jednoj od epizoda, adresa kuće je dio Fibonaccijevog niza - 12358. Osim toga, u drugoj epizodi glavni lik treba nazvati broj telefona, koji je u biti isti, ali malo iskrivljen (dodatni broj nakon broja 5) niz: 123-581-1321.
U TV seriji The Connection iz 2012., glavni lik, autistični dječak, u stanju je uočiti obrasce u događajima koji se odvijaju u svijetu. Uključujući i Fibonaccijeve brojeve. I upravljajte tim događajima također pomoću brojeva.
Programeri Java igara za Mobiteli Doom RPG postavio je tajna vrata na jednu od razina. Šifra koja ga otvara je Fibonaccijev niz.
Ruski rock sastav Splin objavio je 2012. konceptualni album pod nazivom Illusion. Osma pjesma zove se "Fibonacci". U stihovima vođe grupe Aleksandra Vasiljeva tučen je niz Fibonaccijevih brojeva. Za svakog od devet uzastopnih članova postoji odgovarajući broj redaka (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 Krenuti na put

1 Kliknuo jedan joint

1 Jedan je rukav zadrhtao

2 Sve, dovedite osoblje

Sve, dovedite osoblje

3 Zahtjev za kipuću vodu

Vlak ide do rijeke

Vlak ide u tajgu<…>.

Limerick ( kratka pjesma određeni oblik- obično peterostihova, s određenom shemom rimovanja, komičnog sadržaja, u kojem se prvi i posljednji redak ponavljaju ili djelomično dupliraju) James Lyndon također koristi referencu na Fibonaccijev niz kao šaljivi motiv:

Gusta hrana Fibonaccijevih žena

Bilo je to samo za njihovu dobrobit, inače nikako.

Supruge su vagale, prema glasinama,

Svaki je kao i prethodna dva.

Sumirati

Nadamo se da smo vam danas mogli reći puno zanimljivih i korisnih stvari. Na primjer, sada možete tražiti Fibonaccijevu spiralu u prirodi oko vas. Odjednom ćete upravo vi moći odgonetnuti "tajnu života, svemira i općenito".

Koristite formulu za Fibonaccijeve brojeve pri rješavanju zadataka iz kombinatorike. Možete graditi na primjerima opisanim u ovom članku.

stranica, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je veza na izvor.

1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362

Fibonaccijevi brojevi i zlatni rezčine osnovu za razotkrivanje okolnog svijeta, konstruiranje njegovog oblika i optimalnog vizualna percepcija osoba uz pomoć koje može osjetiti ljepotu i sklad.

Načelo određivanja veličine zlatnog reza temelji se na savršenstvu cijeloga svijeta i njegovih dijelova u njegovoj strukturi i funkcijama, a njegova se manifestacija može vidjeti u prirodi, umjetnosti i tehnologiji. Doktrina zlatnog reza nastala je kao rezultat istraživanja drevnih znanstvenika o prirodi brojeva.

Dokazi o korištenju zlatnog reza od strane antičkih mislilaca navedeni su u Euklidovoj knjizi "Počeci", napisanoj još u 3. stoljeću. Kr., koji je koristio ovo pravilo za konstrukciju pravilnih 5-kuta. Među pitagorejcima ova se figura smatra svetom, jer je i simetrična i asimetrična. Pentagram je simbolizirao život i zdravlje.

Fibonaccijevi brojevi

Poznata knjiga Liber abaci talijanskog matematičara Leonarda iz Pise, koji je kasnije postao poznat kao Fibonacci, objavljena je 1202. U njoj znanstvenik po prvi put daje obrazac brojeva, u nizu kojih je svaki broj zbroj od 2 prethodne znamenke. Redoslijed Fibonaccijevih brojeva je sljedeći:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 itd.

Znanstvenik je također naveo niz obrazaca:

Bilo koji broj iz niza, podijeljen sa sljedećim, bit će jednak vrijednosti koja teži 0,618. Štoviše, prvi Fibonaccijevi brojevi ne daju takav broj, ali kako se pomičete od početka niza, taj će omjer biti sve točniji.

Ako broj iz niza podijelite s prethodnim, tada će rezultat težiti 1,618.

Jedan broj podijeljen sa sljedećim pokazat će vrijednost koja teži 0,382.

Primjena povezanosti i obrazaca zlatnog reza, Fibonaccijevog broja (0,618) nalazi se ne samo u matematici, već iu prirodi, u povijesti, u arhitekturi i graditeljstvu te u mnogim drugim znanostima.

U praktične svrhe, oni su ograničeni na približnu vrijednost od Φ = 1,618 ili Φ = 1,62. U zaokruženom postotku, zlatni rez je podjela bilo koje vrijednosti u odnosu na 62% i 38%.

Povijesno gledano, podjela segmenta AB točkom C na dva dijela (manji segment AC i veći segment BC) izvorno se nazivala zlatnim presjekom, tako da je AC / BC = BC / AB vrijedilo za duljine segmenta. razgovarajući jednostavnim riječima, isječak je zlatnim presjekom podijeljen na dva nejednaka dijela tako da se manji dio odnosi na veći, kao što se veći odnosi na cijeli isječak. Kasnije je ovaj koncept proširen na proizvoljne količine.

Naziva se i broj Φ zlatni broj.

Zlatni rez ima mnoga prekrasna svojstva, ali osim toga, pripisuju mu se i mnoga izmišljena svojstva.

Sada detalji:

Definicija ZS je podjela segmenta na dva dijela u takvom omjeru da se veći dio odnosi prema manjem, kao što se njihov zbroj (cijeli segment) odnosi prema većem.

To jest, ako uzmemo cijeli segment c kao 1, tada će segment a biti jednak 0,618, segment b - 0,382. Dakle, ako uzmemo zgradu, na primjer, hram izgrađen po principu GS, tada će s njegovom visinom od recimo 10 metara visina tambura s kupolom biti 3,82 cm, a visina baze zgrade bit će 6,18 cm (jasno je da su brojevi uzeti jednaki radi jasnoće)

I kakav je odnos između GL i Fibonaccijevih brojeva?

Brojevi Fibonaccijevog niza su:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

Uzorak brojeva je da je svaki sljedeći broj jednak zbroju prethodna dva broja.
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
5 + 8 = 13;
8 + 13 = 21 itd.

a omjer susjednih brojeva približava se omjeru 3S.
Dakle, 21:34 = 0,617, a 34:55 = 0,618.

Odnosno, u srcu ZS su brojevi Fibonaccijevog niza.

Smatra se da je pojam "zlatni rez" uveo Leonardo Da Vinci, koji je rekao "neka se nitko, ako nije matematičar, ne usudi čitati moja djela" i pokazao proporcije ljudsko tijelo u svom poznatom crtežu "Vitruvijev čovjek". “Ako ljudsku figuru – najsavršeniju tvorevinu svemira – vežemo pojasom, a zatim izmjerimo udaljenost od pojasa do stopala, tada će se ta vrijednost odnositi na udaljenost od istog pojasa do vrha glave, tj. kao cijela visina osobe do dužine od pojasa do stopala.”

Niz Fibonaccijevih brojeva vizualno je modeliran (materijaliziran) u obliku spirale.

A u prirodi 3S spirala izgleda ovako:

U isto vrijeme, spirala se promatra posvuda (u prirodi, a ne samo):

Sjemenke su kod većine biljaka spiralno raspoređene
- Pauk plete mrežu u spiralu
- Uragan se vrti u spiralu
- Uplašeno krdo sobova razbježalo se u spiralu.
- Molekula DNK je upletena u dvostruku spiralu. Molekula DNA sastoji se od dvije okomito isprepletene spirale duge 34 angstrema i široke 21 angstrema. Brojevi 21 i 34 slijede jedan za drugim u Fibonaccijevom nizu.
- Embrij se razvija u obliku spirale
- Spiralna "pužnica u unutarnjem uhu"
- Voda ide niz odvod u spirali
- Spiralna dinamika prikazuje razvoj čovjekove osobnosti i njegovih vrijednosti u spirali.
- I naravno, sama Galaksija ima oblik spirale

Dakle, može se tvrditi da je sama priroda izgrađena na principu zlatnog presjeka, zbog čega ovu proporciju ljudsko oko skladnije percipira. Ne zahtijeva "popravljanje" niti dopunjavanje nastale slike svijeta.

Film. Božji broj. Neoboriv dokaz Boga; Božji broj. Nepobitni dokaz Boga.

Zlatni razmjeri u strukturi molekule DNA

Sve informacije o fiziološke značajkeživa bića pohranjena su u mikroskopskoj molekuli DNK u čijoj strukturi je sadržan i zakon zlatnog reza. Molekula DNA sastoji se od dvije okomito isprepletene spirale. Svaka od ovih spirala duga je 34 angstrema i široka 21 angstrem. (1 angstrom je stomilijunti dio centimetra).

21 i 34 su brojevi koji slijede jedan za drugim u nizu Fibonaccijevih brojeva, odnosno omjer duljine i širine logaritamske spirale molekule DNA nosi formulu zlatnog reza 1: 1,618.

Zlatni rez u strukturi mikrosvjetova

Geometrijski oblici nisu ograničeni samo na trokut, kvadrat, pet ili šesterokut. Ako ove figure na različite načine povežemo jednu s drugom, tada ćemo dobiti novu trodimenzionalnost geometrijske figure. Primjeri za to su figure poput kocke ili piramide. No, osim njih, postoje i drugi trodimenzionalni likovi koje nismo morali sresti Svakidašnjica, a čija imena čujemo možda i prvi put. Među takvim trodimenzionalnim figurama može se nazvati tetraedar (pravilna četverostrana figura), oktaedar, dodekaedar, ikosaedar itd. Dodekaedar se sastoji od 13 peterokuta, a ikosaedar od 20 trokuta. Matematičari primjećuju da je ove figure matematički vrlo lako transformirati, a njihova se transformacija odvija u skladu s formulom logaritamske spirale zlatnog presjeka.

U mikrokozmosu su sveprisutne trodimenzionalne logaritamske forme građene prema zlatnim proporcijama. Na primjer, mnogi virusi imaju trodimenzionalni geometrijski oblik ikosaedar. Možda je najpoznatiji od ovih virusa Adeno virus. Proteinska ljuska Adeno virusa sastoji se od 252 jedinice proteinskih stanica raspoređenih u određenom nizu. U svakom kutu ikosaedra nalazi se 12 jedinica proteinskih stanica u obliku peterokutne prizme, a iz tih se kutova protežu strukture nalik na šiljke.

Zlatni rez u strukturi virusa prvi je put otkriven 1950-ih. znanstvenici s londonskog Birkbeck Collegea A.Klug i D.Kaspar. 13 Polio virus je prvi pokazao logaritamski oblik. Utvrđeno je da je oblik ovog virusa sličan onom virusa Rhino 14.

Postavlja se pitanje kako virusi tvore tako složene trodimenzionalne oblike u čijoj se strukturi nalazi zlatni rez koji je prilično teško konstruirati čak i našim ljudskim umom? Otkrivač ovih oblika virusa, virolog A. Klug daje sljedeći komentar:

“Dr. Kaspar i ja smo pokazali da je za sferni omotač virusa najoptimalniji oblik simetrija poput oblika ikosaedra. Ovaj redoslijed minimizira broj spojnih elemenata ... Većina geodetskih hemisferičnih kocki Buckminster Fullera izgrađena je na sličan način geometrijski princip. 14 Montaža ovakvih kocki zahtijeva izuzetno preciznu i detaljnu shemu objašnjenja. Dok nesvjesni virusi sami grade tako složenu ljusku od elastičnih, savitljivih proteinskih staničnih jedinica.

Fibonaccijevi brojevi... u prirodi i životu

Leonardo Fibonacci jedan je od najveći matematičari Srednji vijek. U jednom od svojih djela, Knjizi izračuna, Fibonacci je opisao indo-arapski račun i prednosti njegova korištenja u odnosu na rimski.

Definicija
Fibonacci brojevi ili Fibonaccijev niz je numerički niz koji ima niz svojstava. Na primjer, zbroj dva susjedna broja u nizu daje vrijednost sljedećeg (npr. 1+1=2; 2+3=5 itd.), što potvrđuje postojanje tzv. Fibonaccijevih koeficijenata. , tj. stalni omjeri.

Fibonaccijev niz počinje ovako: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

Potpuna definicija Fibonaccijevih brojeva

3.

Svojstva Fibonaccijevog niza

1. Omjer svakog broja prema sljedećem sve više teži 0,618 kako se povećava serijski broj. Omjer svakog broja prema prethodnom teži 1,618 (obrnuto 0,618). Broj 0,618 naziva se (FI).

2. Dijeljenjem svakog broja sa sljedećim, kroz jedan se dobije broj 0,382; obrnuto - odnosno 2,618.

3. Odabirom omjera na ovaj način, dobivamo glavni skup Fibonaccijevih koeficijenata: … 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236.

5.

Odnos između Fibonaccijevog niza i "zlatnog reza"

Fibonaccijev niz asimptotski (približavajući se sve sporije) teži nekom konstantnom omjeru. Međutim, taj je omjer iracionalan, odnosno riječ je o broju s beskonačnim, nepredvidivim nizom decimalnih znamenki u razlomku. Ne može se točno izraziti.

Ako se bilo koji član Fibonaccijevog niza podijeli s onim koji mu prethodi (na primjer, 13:8), rezultat će biti vrijednost koja fluktuira oko iracionalne vrijednosti 1,61803398875 ... i nakon nekog vremena ili će je premašiti ili neće dosegnuti to. Ali čak i nakon što smo na to potrošili vječnost, nemoguće je točno znati omjer, do zadnje decimalne znamenke. Radi sažetosti, dat ćemo ga u obliku 1.618. Posebni nazivi za ovaj omjer počeli su se davati i prije nego što ga je Luca Pacioli (srednjovjekovni matematičar) nazvao božanskom proporcijom. Među njegovim modernim imenima su Zlatni rez, Zlatna sredina i omjer rotirajućih kvadrata. Kepler je ovu relaciju nazvao jednim od "blaga geometrije". U algebri se obično označava grčkim slovom fi

Zamislimo zlatni rez na primjeru segmenta.

Razmotrimo segment s krajevima A i B. Neka točka C dijeli segment AB tako da,

AC/CB = CB/AB odn

AB/CB = CB/AC.

Možete to zamisliti ovako: A-–C--–B

Zlatni rez je takva proporcionalna podjela segmenta na nejednake dijelove, u kojoj se cijeli segment odnosi prema većem dijelu na isti način kao što se sam veći dio odnosi prema manjem; ili drugim riječima, manji dio je povezan s većim kao što je veći sa svime.

Segmenti zlatnog reza izražavaju se beskonačnim iracionalnim razlomkom 0,618 ..., ako se AB uzme kao jedan, AC = 0,382 .. Kao što već znamo, brojevi 0,618 i 0,382 su koeficijenti Fibonaccijevog niza.

Fibonaccijeve proporcije i zlatni rez u prirodi i povijesti

10.

Važno je napomenuti da je Fibonacci, takoreći, podsjetio čovječanstvo na svoj niz. Poznavali su ga stari Grci i Egipćani. Doista, od tada su obrasci opisani Fibonaccijevim koeficijentima pronađeni u prirodi, arhitekturi, likovnim umjetnostima, matematici, fizici, astronomiji, biologiji i mnogim drugim područjima. Naprosto je nevjerojatno koliko se konstanti može izračunati pomoću Fibonaccijevog niza i kako se njegovi članovi pojavljuju u ogromnom broju kombinacija. No, neće biti pretjerano reći da se ne radi samo o igri brojeva, već o najvažnijem matematičkom izrazu. prirodni fenomen od svih ikada otkrivenih.

11.

Donji primjeri pokazuju neke zanimljive primjene ovog matematičkog niza.

12.

1. Školjka je uvijena u spiralu. Ako ga rasklopite, dobit ćete duljinu malo manju od duljine zmije. Mala školjka od deset centimetara ima spiralu dugu 35 cm.Oblik spiralno uvijene školjke privukao je pažnju Arhimeda. Činjenica je da je omjer mjerenja voluta školjke konstantan i jednak 1,618. Arhimed je proučavao spiralu školjki i izveo jednadžbu za spiralu. Spirala nacrtana ovom jednadžbom naziva se njegovim imenom. Povećanje njezina koraka uvijek je ravnomjerno. Trenutno se Arhimedova spirala široko koristi u inženjerstvu.

2. Biljke i životinje. Čak je i Goethe isticao sklonost prirode spiralnosti. Spiralni i spiralni raspored lišća na granama drveća uočen je davno. Spirala je vidljiva u rasporedu sjemenki suncokreta, u češerima, ananasima, kaktusima itd. Zajednički rad botaničara i matematičara rasvijetlio je ove nevjerojatne prirodne fenomene. Ispostavilo se da se u rasporedu lišća na grani sjemenki suncokreta, borovih češera očituje Fibonaccijev niz, a samim tim i zakon zlatnog presjeka. Pauk ispreda svoju mrežu u obliku spirale. Uragan se vrti u spiralu. Uplašeno krdo sobova rasprši se u spiralu. Molekula DNA je upletena u dvostruku spiralu. Goethe je spiralu nazvao "krivuljom života".

Među travom uz cestu raste neugledna biljka - cikorija. Pogledajmo ga pobliže. Od glavne stabljike formirana je grana. Evo prvog lista. Proces vrši snažan izbačaj u prostor, zaustavlja se, oslobađa list, ali već kraći od prvog, ponovo vrši izbačaj u prostor, ali manje snage, oslobađa list još manje veličine i ponovno izbacivanje. Ako se prvi outlier uzme kao 100 jedinica, onda je drugi jednak 62 jedinice, treći je 38, četvrti je 24, i tako dalje. Duljina latica također je podložna zlatnom rezu. U rastu, osvajanju prostora, biljka je zadržala određene razmjere. Njegovi impulsi rasta postupno su se smanjivali proporcionalno zlatnom rezu.

Gušter je živorodan. U gušteru se na prvi pogled uočavaju oku ugodne proporcije - duljina njegovog repa odnosi se prema duljini ostatka tijela kao 62 prema 38.

I u biljnom i u životinjskom svijetu uporno se probija oblikovna tendencija prirode - simetrija u odnosu na smjer rasta i kretanja. Ovdje se zlatni rez pojavljuje u omjerima dijelova okomito na smjer rasta. Priroda je izvršila podjelu na simetrične dijelove i zlatne proporcije. U dijelovima se očituje ponavljanje strukture cjeline.

Pierre Curie početkom našeg stoljeća formulirao je niz dubokih ideja o simetriji. Tvrdio je da se ne može razmatrati simetrija bilo kojeg tijela bez uzimanja u obzir simetrije okoliš. Obrasci zlatne simetrije očituju se u energetskim prijelazima elementarnih čestica, u strukturi nekih kemijskih spojeva, u planetarnim i svemirskim sustavima, u genskim strukturama živih organizama. Ti obrasci, kao što je gore navedeno, nalaze se u strukturi pojedinih ljudskih organa i tijela u cjelini, a također se očituju u bioritmovima i funkcioniranju mozga i vizualnoj percepciji.

3. Prostor. Iz povijesti astronomije poznato je da je I. Titius, njemački astronom iz 18. stoljeća, koristeći ovaj niz (Fibonacci) pronašao pravilnost i red u udaljenostima između planeta Sunčevog sustava.

Međutim, jedan slučaj koji je izgleda bio protivan zakonu: nije bilo planeta između Marsa i Jupitera. Fokusirano promatranje ovog dijela neba dovelo je do otkrića asteroidnog pojasa. To se dogodilo nakon Titijeve smrti u početkom XIX u.

Fibonaccijev niz je široko korišten: koristi se za predstavljanje arhitekture i živih bića, i strukture koje je napravio čovjek, i struktura galaksija. Ove činjenice su dokaz neovisnosti serije brojeva o uvjetima njegova očitovanja, što je jedan od znakova njegove univerzalnosti.

4. Piramide. Mnogi su pokušali odgonetnuti tajne piramide u Gizi. Za razliku od drugih egipatskih piramida, ovo nije grobnica, već nerješiva zagonetka brojčanih kombinacija. Izuzetna domišljatost, vještina, vrijeme i trud arhitekata piramide, koje su upotrijebili u izgradnji vječnog simbola, ukazuju na iznimnu važnost poruke koju su htjeli prenijeti budućim generacijama. Njihovo je doba bilo prije pismenosti, prije hijeroglifa, a simboli su bili jedino sredstvo bilježenja otkrića. Ključ geometrijsko-matematičke tajne piramide u Gizi, tako dugo misterija čovječanstva, zapravo su Herodotu dali hramski svećenici, koji su ga obavijestili da je piramida izgrađena tako da je površina svake njezine lica bila jednaka kvadratu njegove visine.

Područje trokuta

356 x 440 / 2 = 78320

kvadratna površina

280 x 280 = 78400

Duljina ruba baze piramide u Gizi je 783,3 stope (238,7 m), visina piramide je 484,4 stope (147,6 m). Duljina ruba baze podijeljena s visinom daje omjer F=1,618. Visina od 484,4 stope odgovara 5813 inča (5-8-13) - to su brojevi iz Fibonaccijevog niza. Ova zanimljiva opažanja sugeriraju da se konstrukcija piramide temelji na proporciji F=1,618. Neki moderni znanstvenici skloni su tumačenju da su ga stari Egipćani sagradili s jedinom svrhom prenošenja znanja koje su htjeli sačuvati za buduće generacije. Intenzivna proučavanja piramide u Gizi pokazala su koliko su znanja iz matematike i astrologije u to vrijeme bila velika. U svim unutarnjim i vanjskim proporcijama piramide, broj 1.618 ima središnju ulogu.

Piramide u Meksiku. Ne samo da su egipatske piramide izgrađene u skladu sa savršenim omjerima zlatnog reza, isti fenomen pronađen je iu meksičkim piramidama. Javlja se ideja da su i egipatske i meksičke piramide podigli otprilike u isto vrijeme ljudi istog podrijetla.

Ima ih mnogo više u svemiru neriješene misterije, od kojih su neke znanstvenici već uspjeli identificirati i opisati. Fibonaccijevi brojevi i zlatni rez temelj su za razotkrivanje svijeta koji nas okružuje, za izgradnju njegovog oblika i optimalnu vizualnu percepciju osobe uz pomoć koje može osjetiti ljepotu i sklad.

Zlatni omjer

Temelji se na teoriji o proporcijama i omjerima podjela segmenata, koju je izradio antički filozof i matematičar Pitagora. Dokazao je da će pri dijeljenju segmenta na dva dijela: X (manji) i Y (veći) omjer većeg i manjeg biti jednak omjeru njihovog zbroja (cijelog segmenta):

Rezultat je jednadžba: x 2 - x - 1=0, koji je riješen kao x=(1±√5)/2.

Ako uzmemo u obzir omjer 1/x, onda je on jednak 1,618…

Fibonaccijevi brojevi

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 itd.

Znanstvenik je također naveo niz obrazaca:

Bilo koji broj iz niza, podijeljen sa sljedećim, bit će jednak vrijednosti koja teži 0,618. Štoviše, prvi Fibonaccijevi brojevi ne daju takav broj, ali kako se pomičete od početka niza, taj će omjer biti sve točniji.
Ako broj iz niza podijelite s prethodnim, tada će rezultat težiti 1,618.
Jedan broj podijeljen sa sljedećim pokazat će vrijednost koja teži 0,382.

Primjena povezanosti i obrazaca zlatnog reza, Fibonaccijevog broja (0,618) nalazi se ne samo u matematici, već iu prirodi, u povijesti, u arhitekturi i graditeljstvu te u mnogim drugim znanostima.

Arhimedova spirala i zlatni pravokutnik

Spirale, vrlo česte u prirodi, istraživao je Arhimed, koji je čak i izveo njezinu jednadžbu. Oblik spirale temelji se na zakonima zlatnog reza. Kada se odvrne, dobije se duljina na koju se mogu primijeniti proporcije i Fibonaccijevi brojevi, povećanje koraka događa se ravnomjerno.

Paralela između Fibonaccijevih brojeva i zlatnog reza može se vidjeti i konstruiranjem "zlatnog pravokutnika" čije su stranice proporcionalne kao 1,618:1. Gradi se pomicanjem od većeg pravokutnika prema manjim tako da duljine stranica budu jednake brojevima iz reda. Njegova konstrukcija može se izvesti obrnutim redoslijedom, počevši od kvadrata "1". Kada se uglovi ovog pravokutnika spoje linijama u središtu njihova sjecišta, dobiva se Fibonaccijeva ili logaritamska spirala.

Povijest upotrebe zlatnih proporcija

Mnogi drevni arhitektonski spomenici Egipta izgrađeni su pomoću zlatnih proporcija: poznate Keopsove piramide i drugi. Drevna grčka naširoko su se koristili u gradnji arhitektonski objekti kao što su hramovi, amfiteatri, stadioni. Na primjer, takve su proporcije korištene u izgradnji drevnog hrama Partenona (Atena) i drugih objekata koji su postali remek-djela antičke arhitekture, pokazujući sklad temeljen na matematičkoj pravilnosti.

U kasnijim stoljećima interes za zlatnim rezom je splasnuo, a obrasci su zaboravljeni, ali se opet obnovio u renesansi, zajedno s knjigom franjevačkog redovnika L. Pacioli di Borgo "Božanska proporcija" (1509.). Uključivao je ilustracije Leonarda da Vincija, koji je učvrstio novi naziv "zlatni rez". Također, znanstveno je dokazano 12 svojstava zlatnog reza, a autor je govorio o tome kako se on očituje u prirodi, u umjetnosti te ga nazvao "principom izgradnje svijeta i prirode".

Vitruvijev čovjek Leonardo

Crtež kojim je Leonardo da Vinci ilustrirao Vitruvijevu knjigu 1492. godine prikazuje figuru čovjeka u 2 položaja s rukama raširenim u stranu. Lik je upisan u krug i kvadrat. Ovaj crtež se smatra kanonskim proporcijama ljudskog tijela (muškarca), koje je opisao Leonardo na temelju svoje studije u raspravama rimskog arhitekta Vitruvija.

Središte tijela kao ekvidistantna točka od kraja ruku i nogu je pupak, duljina ruku jednaka je visini osobe, najveća širina ramena = 1/8 visine, udaljenost od vrha prsa do kose = 1/7, od vrha prsa do vrha glave = 1/6 itd.

Od tada se crtež koristi kao simbol koji prikazuje unutarnju simetriju ljudskog tijela.

Izraz "zlatni rez" koristio je Leonardo da označi proporcionalne odnose u ljudskoj figuri. Na primjer, udaljenost od struka do stopala povezana je s istom udaljenosti od pupka do vrha glave na isti način kao visina do prve duljine (od struka prema dolje). Ovaj izračun se radi slično omjeru segmenata pri izračunavanju zlatnog reza i teži 1,618.

Sve te skladne proporcije umjetnici često koriste za stvaranje prekrasnih i dojmljivih djela.

Proučavanja zlatnog reza u 16.-19.st

Koristeći zlatni rez i Fibonaccijeve brojeve, istraživački rad o pitanju proporcija traje više od jednog stoljeća. Paralelno s Leonardom da Vincijem, njemački umjetnik Albrecht Dürer također je razvijao teoriju o pravilnim proporcijama ljudskog tijela. Za to je čak stvorio poseban kompas.

U 16. stoljeću pitanju povezanosti Fibonaccijevog broja i zlatnog reza posvetio se rad astronoma I. Keplera, koji je ta pravila prvi primijenio u botanici.

U 19. stoljeću zlatni rez čeka novo "otkriće". objavljivanjem "Estetskih istraživanja" njemačkog znanstvenika profesora Zeisiga. Te je razmjere uzdigao u apsolut i objavio da su univerzalni za sve prirodne pojave. Napravili su istraživanje veliki iznos ljudi, odnosno njihove tjelesne proporcije (oko 2 tisuće), na temelju čega su izvedeni zaključci o statistički potvrđenim uzorcima u omjerima razne dijelove tijelo: duljina ramena, podlaktica, šaka, prstiju itd.

Umjetnički predmeti (vaze, arhitektonske građevine), glazbeni tonovi, veličine pri pisanju pjesama - Zeisig je sve to prikazao kroz duljine segmenata i brojeva, uveo je i pojam "matematička estetika". Nakon primitka rezultata pokazalo se da je dobiven Fibonaccijev niz.

Fibonaccijev broj i zlatni rez u prirodi

U biljnom i životinjskom svijetu postoji tendencija oblikovanja u obliku simetrije, koja se promatra u smjeru rasta i kretanja. Podjela na simetrične dijelove u kojima se promatraju zlatni razmjeri obrazac je svojstven mnogim biljkama i životinjama.

Priroda oko nas može se opisati Fibonaccijevim brojevima, na primjer:

raspored listova ili grana bilo koje biljke, kao i udaljenosti, povezani su s nizom danih brojeva 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 i tako dalje;
sjemenke suncokreta (ljuske na čunjevima, stanice ananasa), raspoređene u dva reda u upletenim spiralama u različitim smjerovima;
omjer duljine repa i cijelog tijela guštera;
oblik jajeta, ako povučete liniju uvjetno kroz njegov široki dio;
omjer veličine prstiju na ljudskoj ruci.

I naravno najviše zanimljivih oblika predstavljaju spiralne puževe ljušture, uzorke na mreži, kretanje vjetra unutar uragana, dvostruka spirala u DNK i strukturi galaksija – svi oni uključuju niz Fibonaccijevih brojeva.

Primjena zlatnog reza u umjetnosti

Istraživači u potrazi za primjerima primjene zlatnog reza u umjetnosti detaljno ispituju razne arhitektonske objekte i slike. Poznata su poznata kiparska djela čiji su se tvorci pridržavali zlatnih proporcija - kipovi olimpskog Zeusa, Apolona Belvedere i

Jedna od kreacija Leonarda da Vincija - "Portret Mona Lise" - predmet je istraživanja znanstvenika dugi niz godina. Otkrili su da se kompozicija djela u potpunosti sastoji od "zlatnih trokuta", spojenih zajedno u pravilnu peterokutnu zvijezdu. Sva djela da Vincija svjedoče o tome koliko je duboko bilo njegovo poznavanje strukture i proporcija ljudskog tijela, zahvaljujući čemu je uspio uhvatiti nevjerojatno tajanstven osmijeh Mona Lise.

Zlatni rez u arhitekturi

Kao primjer, znanstvenici su proučavali remek-djela arhitekture stvorena prema pravilima "zlatnog reza": Piramide Egipta, Panteon, Partenon, katedrala Notre Dame de Paris, katedrala Vasilija Blaženog itd.

Partenon - jedna od najljepših građevina u staroj Grčkoj (5. st. pr. Kr.) - ima 8 stupova i 17 različite strane, omjer njegove visine i duljine stranica je 0,618. Izbočine na njegovim pročeljima izrađene su prema "zlatnom presjeku" (slika ispod).

Jedan od znanstvenika koji je izumio i uspješno primijenio poboljšanje modularnog sustava proporcija za arhitektonske objekte (tzv. "modulor") bio je francuski arhitekt Le Corbusier. Modul se temelji na mjernom sustavu povezanom s uvjetnom podjelom na dijelove ljudskog tijela.

Ruski arhitekt M. Kazakov, koji je izgradio nekoliko stambenih zgrada u Moskvi, kao i zgrade Senata u Kremlju i bolnicu Golitsyn (danas 1. klinička nazvana po N.I. Pirogovu), bio je jedan od arhitekata koji su koristili zakone u dizajn i konstrukcija o zlatnom rezu.

Primjena proporcija u dizajnu

U modnom dizajnu svi modni dizajneri izrađuju nove slike i modele, vodeći računa o proporcijama ljudskog tijela i pravilima zlatnog reza, iako po prirodi nemaju svi ljudi idealne proporcije.

Prilikom planiranja dizajn krajolika i stvaranje voluminoznih parkovnih kompozicija uz pomoć biljaka (drveće i grmlje), fontana i malih arhitektonskih objekata, zakoni " božanstvene proporcije". Uostalom, kompozicija parka treba biti usmjerena na stvaranje dojma na posjetitelja, koji će se njime slobodno kretati i pronaći kompozicijsko središte.

Svi elementi parka su u takvim omjerima da geometrijskom strukturom, međusobnim rasporedom, osvjetljenjem i svjetlom ostavljaju na čovjeka dojam sklada i savršenstva.

Primjena zlatnog reza u kibernetici i tehnici

Zakoni zlatnog reza i Fibonaccijevih brojeva također se očituju u energetskim prijelazima, u procesima koji se odvijaju s elementarne čestice, konstituiranje kemijski spojevi, u svemirskim sustavima, u genskoj strukturi DNK.

Slični se procesi događaju u ljudskom tijelu, manifestirajući se u bioritmovima njegovog života, u djelovanju organa, na primjer, mozga ili vida.

Algoritmi i obrasci zlatnih proporcija naširoko se koriste u modernoj kibernetici i informatici. Jedan od jednostavnih zadataka koje programeri početnici moraju riješiti je napisati formulu i pomoću programskih jezika odrediti zbroj Fibonaccijevih brojeva do određenog broja.

Suvremena istraživanja teorije zlatnog reza

Od sredine 20. stoljeća interes za probleme i utjecaj zakona zlatnih proporcija na ljudski život dramatično je porastao, a od mnogih znanstvenika raznih struka: matematičara, istraživača etnosa, biologa, filozofa, medicinskih radnika, ekonomista, glazbenici itd.

Od 1970-ih u Sjedinjenim Američkim Državama izlazi The Fibonacci Quarterly, gdje se objavljuju radovi na ovu temu. U tisku se pojavljuju radovi u kojima se generalizirana pravila zlatnog reza i Fibonaccijevog niza koriste u raznim granama znanja. Na primjer, za kodiranje informacija, kemijska istraživanja, biološki itd.

Sve to potvrđuje zaključke drevnih i suvremenih znanstvenika da je zlatni rez višestrano povezan s temeljnim pitanjima znanosti i očituje se u simetriji mnogih tvorevina i pojava svijeta koji nas okružuje.

O brojevima i formulama koje nalazimo u prirodi. Pa, nekoliko riječi o tim istim brojevima i formulama.

Brojevi i formule u prirodi su kamen spoticanja između onih koji vjeruju da je svemir stvorio netko i onih koji vjeruju da je svemir stvoren sam od sebe. Na pitanje: “Da je svemir nastao sam od sebe, ne bi li onda praktički svi živi i neživi objekti bili izgrađeni prema istoj shemi, prema istim formulama?”

Pa, za ovo filozofsko pitanje nećemo odgovarati ovdje (format stranice nije isti 🙂), ali ćemo objaviti formule. I počnimo s Fibonaccijevim brojevima i Zlatnom spiralom.

Dakle, Fibonaccijevi brojevi su elementi numeričkog niza u kojem je svaki sljedeći broj jednak zbroju prethodna dva broja. Odnosno, 0 +1=1, 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5 i tako dalje.

Ukupno se dobije niz: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946

Još jedan primjer Fibonaccijevog niza: 0, 2, 2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, 68, 110, 178 i tako dalje. Možete i sami eksperimentirati 🙂

Kako se Fibonaccijevi brojevi pojavljuju u prirodi? Jako jednostavno:

Raspored lišća kod biljaka opisuje se Fibonaccijevim nizom. Sjemenke suncokreta, češeri, cvjetne latice, ćelije ananasa također su raspoređene prema Fibonaccijevom nizu.
Duljine falangi ljudskih prstiju približno su jednake Fibonaccijevim brojevima.
Molekula DNA sastoji se od dvije okomito isprepletene spirale duge 34 angstrema i široke 21 angstrema. Brojevi 21 i 34 slijede jedan za drugim u Fibonaccijevom nizu.

Uz pomoć Fibonaccijevih brojeva možete izgraditi Zlatnu spiralu. Dakle, nacrtajmo mali kvadrat sa stranicom, recimo, 1. Zatim, sjetite se škole. Koliko je 12? Ovo će biti 1. Dakle, nacrtajmo još jedan kvadrat pored prvog, blizu. Sljedeći Fibonaccijev broj je 2 (1+1). Što je 2 2 ? Ovo će biti 4. Nacrtajmo još jedan kvadrat blizu prva dva kvadrata, ali sada sa stranicom 2 i površinom 4. Sljedeći broj je broj 3 (1+2). Kvadrat broja 3 je 9. Nacrtajte kvadrat sa stranicom 3 i površinom 9 pored već nacrtanih. Zatim imamo kvadrat sa stranicom 5 i površinom 25, kvadrat sa stranicom 8 i površinom 64, i tako dalje, ad infinitum.

Vrijeme je za zlatnu spiralu. Spojimo granične točke između kvadrata glatkom zakrivljenom linijom. I dobit ćemo istu zlatnu spiralu, na temelju koje su izgrađeni mnogi živi i neživi objekti u prirodi.

I prije nego prijeđemo na zlatni rez, razmislimo. Ovdje smo izgradili spiralu na temelju kvadrata Fibonaccijevog niza (niz 1, 1, 2, 3, 5, 8 i kvadrati 1, 1, 4, 9, 25, 64). Ali što se događa ako ne koristimo kvadrate brojeva, već njihove kocke? Kocke će izgledati ovako iz sredine:

A sa strane ovako:

Pa, kada se gradi spirala, ispada voluminozna zlatna spirala:

Ovako ova pozamašna zlatna spirala izgleda sa strane:

Ali što ako ne uzmemo kocke Fibonaccijevih brojeva, nego odemo u četvrtu dimenziju?.. Ovo je zagonetka, zar ne?

Međutim, nemam pojma kako se volumetrijski zlatni rez manifestira u prirodi na temelju kubova Fibonaccijevih brojeva, a još više brojeva do četvrtog stupnja. Stoga se vraćamo na zlatni rez u avionu. Dakle, pogledajmo opet naše kvadrate. Matematički gledano, to izgleda ovako:

Odnosno, dobivamo zlatni rez - gdje je jedna strana podijeljena na dva dijela u takvom omjeru da se manji dio odnosi na veći, kao što se veći odnosi na cjelokupnu vrijednost.

To jest, a: b = b: c ili c: b = b: a.

Na temelju takvog odnosa veličina, između ostalog, izgrađeni su pravilni peterokut i pentagram:

Za referencu: da biste izgradili pentagram, morate izgraditi pravilan peterokut. Metodu njegove izgradnje razvio je njemački slikar i grafičar Albrecht Dürer (1471.…1528.). Neka je O središte kružnice, A točka na kružnici, a E središte segmenta OA. Okomica na polumjer OA, podignuta u točki O, siječe kružnicu u točki D. Šestarom označite na promjeru isječak CE = ED. Duljina stranice pravilnog peterokuta upisanog u krug je DC. Odvojimo segmente DC na kružnici i dobijemo pet bodova za crtanje pravilnog peterokuta. Spojimo uglove peterokuta kroz jednu dijagonalu i dobijemo pentagram. Sve dijagonale peterokuta dijele jedna drugu na segmente povezane zlatnim rezom.

Općenito, ovo su obrasci. Štoviše, postoji mnogo više različitih obrazaca nego što je opisano. A sada, nakon svih ovih dosadnih brojeva - obećani video klip, gdje je sve jednostavno i jasno:

Kao što vidite, matematika je itekako prisutna u prirodi. I ne samo u objektima navedenim u videu, već iu mnogim drugim područjima. Na primjer, kada val udari o obalu i zakrene se, on se okreće duž Zlatne spirale. Pa, i tako dalje 🙂