Gaussova metoda za rješavanje neodređenog sustava linearnih jednadžbi. Gaussova metoda za glupane: Primjeri rješenja

Neka sustav linearnih algebarske jednadžbe, koju treba riješiti (naći takve vrijednosti nepoznanice hi koje svaku jednadžbu sustava pretvaraju u jednakost).

Znamo da sustav linearnih algebarskih jednadžbi može:

1) Nemati rješenja (biti nekompatibilan).
2) Imati beskonačno mnogo rješenja.
3) Imajte jedinstveno rješenje.

Kao što se sjećamo, Cramerovo pravilo i matrična metoda su neprikladni u slučajevima kada sustav ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan. Gaussova metoda – najmoćniji i najsvestraniji alat za pronalaženje rješenja za bilo koji sustav linearne jednadžbe , koji je u svakom slučaju dovedite nas do odgovora! Sam algoritam metode u svemu tri slučaja radi na isti način. Ako Cramerova i matrična metoda zahtijevaju poznavanje determinanti, tada je za primjenu Gaussove metode potrebno samo poznavanje aritmetičke operaciješto ga čini dostupnim i učenicima osnovnih škola.

Proširene matrične transformacije ( ovo je matrica sustava - matrica sastavljena samo od koeficijenata nepoznanica, plus stupac slobodnih članova) sustavi linearnih algebarskih jednadžbi u Gaussovoj metodi:

1) S Troky matrice limenka preurediti mjesta.

2) ako matrica ima (ili ima) proporcionalno (kao poseban slučaj su isti) nizovi, onda slijedi izbrisati iz matrice, svi ovi redovi osim jednog.

3) ako se nulti redak pojavio u matrici tijekom transformacija, tada također slijedi izbrisati.

4) redak matrice može množiti (dijeliti) na bilo koji broj osim nule.

5) u red matrice, možete dodajte još jedan niz pomnožen s brojem, različit od nule.

U Gaussovoj metodi elementarne transformacije ne mijenjaju rješenje sustava jednadžbi.

Gaussova metoda sastoji se od dvije faze:

"Izravan potez" - pomoću elementarnih transformacija dovedite proširenu matricu sustava linearnih algebarskih jednadžbi u "trokutastu" stepenasti pogled: elementi proširene matrice koji se nalaze ispod glavne dijagonale jednaki su nuli (pomak odozgo prema dolje). Na primjer, ovoj vrsti:

Da biste to učinili, izvršite sljedeće korake:

1) Razmotrimo prvu jednadžbu sustava linearnih algebarskih jednadžbi i koeficijent pri x 1 jednak je K. Druga, treća itd. transformiramo jednadžbe na sljedeći način: svaku jednadžbu (koeficijente za nepoznanice, uključujući slobodne članove) podijelimo s koeficijentom za nepoznanicu x 1 koji se nalazi u svakoj jednadžbi i pomnožimo s K. Nakon toga oduzmemo prvu od druge jednadžbe ( koeficijenti za nepoznanice i slobodni članovi). Dobivamo kod x 1 u drugoj jednadžbi koeficijent 0. Od treće transformirane jednadžbe oduzimamo prvu jednadžbu, tako da sve jednadžbe, osim prve, s nepoznatim x 1 neće imati koeficijent 0.

2) Prijeđite na sljedeću jednadžbu. Neka je ovo druga jednadžba i koeficijent pri x 2 je jednak M. Sa svim "podređenim" jednadžbama postupamo kako je gore opisano. Dakle, "ispod" nepoznanice x 2 u svim jednadžbama bit će nule.

3) Prelazimo na sljedeću jednadžbu i tako dalje dok ne ostane još jedan posljednji nepoznati i transformirani slobodni član.

« Obrnuto» Gaussova metoda - dobivanje rješenja sustava linearnih algebarskih jednadžbi (odozdo prema gore). Iz posljednje "niže" jednadžbe dobivamo jedno prvo rješenje - nepoznanicu x n. Za ovo odlučujemo elementarna jednadžba A * x n \u003d B. U gornjem primjeru, x 3 \u003d 4. Pronađenu vrijednost zamijenimo u "gornjoj" sljedećoj jednadžbi i riješimo je za sljedeću nepoznanicu. Na primjer, x 2 - 4 \u003d 1, tj. x 2 \u003d 5. I tako dalje dok ne pronađemo sve nepoznanice.

Primjer.

Sustav linearnih jednadžbi rješavamo Gaussovom metodom, kako savjetuju neki autori:

Napišimo proširenu matricu sustava i pomoću elementarnih transformacija je dovedimo u stepenasti oblik:

Gledamo gornju lijevu "stepenicu". Tamo bismo trebali imati jedinicu. Problem je što u prvom stupcu uopće nema nijednog, pa se ništa ne može riješiti preslagivanjem redova. U takvim slučajevima jedinica mora biti organizirana korištenjem elementarna transformacija. To se obično može učiniti na nekoliko načina. Učinimo to ovako:
1 korak . Prvom retku dodamo drugi red, pomnožen s -1. Odnosno, mentalno smo pomnožili drugi red s -1 i izvršili zbrajanje prvog i drugog retka, dok se drugi redak nije promijenio.

Sada gore lijevo "minus jedan", što nam savršeno odgovara. Tko želi dobiti +1 može izvršiti dodatnu radnju: prvi red pomnožiti s -1 (promijeniti mu predznak).

2 korak . Drugom retku dodan je prvi redak pomnožen s 5. Trećem redu dodan je prvi redak pomnožen s 3.

3 korak . Prvi red je pomnožen s -1, u principu, ovo je za ljepotu. Predznak trećeg retka također je promijenjen i pomaknut na drugo mjesto, tako da smo na drugom koraku imali željenu jedinicu.

4 korak . Trećem redu dodajte drugi redak pomnožen s 2.

5 korak . Treći red je podijeljen sa 3.

Znak koji ukazuje na pogrešku u izračunima (rjeđe pogrešku pri upisu) je "loša" donja crta. To jest, ako smo dobili nešto poput (0 0 11 | 23) ispod, i, prema tome, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, tada s visokim stupnjem vjerojatnosti možemo reći da je napravljena pogreška tijekom osnovne transformacije.

Izvodimo obrnuti potez, u dizajnu primjera, sam sustav se često ne prepisuje, a jednadžbe se "uzimaju izravno iz zadane matrice". Obrnuti potez, podsjećam vas, radi "odozdo prema gore". NA ovaj primjer dobio poklon:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, dakle x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Odgovor:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Riješimo isti sustav pomoću predloženog algoritma. Dobivamo

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Drugu jednadžbu podijelimo s 5, a treću s 3. Dobijemo:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Pomnožimo drugu i treću jednadžbu s 4, dobivamo:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Oduzmemo li prvu jednadžbu od druge i treće jednadžbe, imamo:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Podijelite treću jednadžbu s 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Pomnožite treću jednadžbu s 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Oduzimamo drugu jednadžbu od treće jednadžbe, dobivamo "stepenastu" proširenu matricu:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Dakle, budući da se greška nakupila u procesu izračuna, dobivamo x 3 \u003d 0,96, ili približno 1.

x 2 \u003d 3 i x 1 \u003d -1.

Rješavajući na ovaj način, nikada se nećete zbuniti u izračunima i, unatoč računskim pogreškama, dobit ćete rezultat.

Ovu metodu rješavanja sustava linearnih algebarskih jednadžbi lako je programirati i ne uzima se u obzir specifične značajke koeficijentima za nepoznanice, jer se u praksi (u ekonomskim i tehničkim proračunima) mora raditi s necjelobrojnim koeficijentima.

Želim ti uspjeh! Vidimo se u razredu! Tutor.

blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, veza na izvor je obavezna.

U ovom se članku metoda razmatra kao način rješavanja sustava linearnih jednadžbi (SLAE). Metoda je analitička, odnosno omogućuje pisanje algoritma rješenja opći pogled, a zatim tamo zamijenite vrijednosti iz konkretnih primjera. Za razliku od matrične metode ili Cramerovih formula, pri rješavanju sustava linearnih jednadžbi Gaussovom metodom možete raditi i s onima koje imaju beskonačno mnogo rješenja. Ili ga uopće nemaju.

Što znači Gauss?

Prvo morate zapisati naš sustav jednadžbi u. To izgleda ovako. Sustav se uzima:

Koeficijenti su ispisani u obliku tablice, a desno u posebnom stupcu - slobodni članovi. Stupac sa slobodnim članovima je odvojen radi praktičnosti, a matrica koja uključuje ovaj stupac naziva se proširena.

Nadalje, glavna matrica s koeficijentima mora se svesti na gornji trokutasti oblik. To je glavna točka rješavanja sustava Gaussovom metodom. Jednostavno rečeno, nakon određenih manipulacija, matrica bi trebala izgledati ovako, tako da u donjem lijevom dijelu postoje samo nule:

Zatim, ako novu matricu ponovno napišete kao sustav jednadžbi, primijetit ćete da zadnji redak već sadrži vrijednost jednog od korijena, koji se zatim supstituira u gornju jednadžbu, pronađen je drugi korijen, i tako dalje.

Ovaj opis rješenja Gaussovom metodom u većini u općim crtama. A što se događa ako odjednom sustav nema rješenje? Ili ih ima beskonačno mnogo? Da bismo odgovorili na ova i mnoga druga pitanja, potrebno je zasebno razmotriti sve elemente koji se koriste u rješenju Gaussovom metodom.

Matrice, njihova svojstva

Nijedan skriveno značenje ne u matrici. To je samo prikladan način za snimanje podataka za kasnije operacije. Ne trebaju ih se bojati ni školarci.

Matrica je uvijek pravokutna, jer je prikladnija. Čak iu Gaussovoj metodi, gdje se sve svodi na građenje matrice trokutasti, u unosu se pojavljuje pravokutnik, samo s nulama na mjestu gdje nema brojeva. Nule se mogu izostaviti, ali se podrazumijevaju.

Matrica ima veličinu. Njegova "širina" je broj redaka (m), njegova "dužina" je broj stupaca (n). Zatim veličina matrice A (za njihovo označavanje obično se koriste velika slova) slova) označit ćemo kao A m×n . Ako je m=n, onda je ova matrica kvadratna, a m=n je njen poredak. Prema tome, svaki element matrice A može se označiti brojem njegovog retka i stupca: a xy ; x - broj retka, promjene , y - broj stupca, promjene .

B nije glavna točka rješenja. U načelu, sve se operacije mogu izvoditi izravno sa samim jednadžbama, ali zapis će se pokazati mnogo glomaznijim i bit će puno lakše zbuniti se u njemu.

Determinanta

Matrica također ima determinantu. Ovo je vrlo važna karakteristika. Sada se ne isplati saznati njegovo značenje, možete jednostavno pokazati kako se izračunava, a zatim reći koja svojstva matrice određuje. Determinantu ćete najlakše pronaći preko dijagonala. U matricu su ucrtane zamišljene dijagonale; elementi koji se nalaze na svakom od njih se množe, a zatim se dodaju dobiveni proizvodi: dijagonale s nagibom udesno - s znakom "plus", s nagibom ulijevo - s znakom "minus".

Izuzetno je važno napomenuti da se determinanta može izračunati samo za kvadratnu matricu. Za pravokutna matrica možete učiniti sljedeće: od broja redaka i broja stupaca izabrati najmanji (neka to bude k), a zatim nasumično označiti k stupaca i k redaka u matrici. Elementi koji se nalaze na sjecištu odabranih stupaca i redaka činit će novi kvadratna matrica. Ako je determinanta takve matrice broj različit od nule, tada se naziva bazni minor izvorne pravokutne matrice.

Prije nego što nastavite s rješavanjem sustava jednadžbi Gaussovom metodom, ne boli izračunati determinantu. Ako se ispostavi da je nula, tada možemo odmah reći da matrica ima ili beskonačan broj rješenja, ili ih uopće nema. U tako tužnom slučaju, morate ići dalje i saznati o rangu matrice.

Klasifikacija sustava

Postoji nešto poput ranga matrice. Ovo je najveći red njegove determinante koja nije nula (sjećajući se o osnovni mol, možemo reći da je rang matrice red baznog minora).

Prema tome kako stvari stoje s rangom, SLAE se može podijeliti na:

Zajednički. Na zajedničkih sustava, rang glavne matrice (koja se sastoji samo od koeficijenata) podudara se s rangom proširene (sa stupcem slobodnih članova). Takvi sustavi imaju rješenje, ali ne nužno jedno, pa dodatno sustavi zglobova podijeljen u:
- određeni- imati jedinstveno rješenje. U određenim sustavima, rang matrice i broj nepoznanica (ili broj stupaca, što je isto) su jednaki;
- neodređeno - s beskonačnim brojem rješenja. Rang matrica za takve sustave manji je od broja nepoznanica.
Nespojivo. Na u takvim sustavima rangovi glavne i proširene matrice ne podudaraju se. Nekompatibilni sustavi nemaju rješenja.

Gaussova metoda je dobra po tome što omogućuje dobivanje ili nedvosmislenog dokaza nekonzistentnosti sustava (bez izračunavanja determinanti velikih matrica) ili općeg rješenja za sustav s beskonačnim brojem rješenja.

Elementarne transformacije

Prije nego što prijeđete izravno na rješenje sustava, moguće ga je učiniti manje glomaznim i praktičnijim za izračune. To se postiže elementarnim transformacijama - takvim da njihova provedba ni na koji način ne mijenja konačni odgovor. Treba napomenuti da neke od navedenih elementarnih transformacija vrijede samo za matrice čiji je izvor upravo SLAE. Evo popisa tih transformacija:

Permutacija niza. Očito je da ako promijenimo redoslijed jednadžbi u zapisu sustava, to ni na koji način neće utjecati na rješenje. Posljedično, također je moguće izmjenjivati retke u matrici ovog sustava, ne zaboravljajući, naravno, na stupac slobodnih članova.
Množenje svih elemenata niza nekim faktorom. Jako korisno! Može se koristiti za skraćivanje velike brojke u matricu ili ukloniti nule. Skup rješenja, kao i obično, neće se promijeniti i bit će prikladnije obavljati daljnje operacije. Glavna stvar je da koeficijent nije jednak nuli.
Izbrišite retke s proporcionalnim koeficijentima. Ovo dijelom proizlazi iz prethodnog paragrafa. Ako dva ili više redaka u matrici imaju proporcionalne koeficijente, tada se množenjem / dijeljenjem jednog od redaka s koeficijentom proporcionalnosti dobivaju dva (ili, opet, više) apsolutno identičnih redaka, a vi možete ukloniti dodatne, ostavljajući samo jedan.
Uklanjanje nulte linije. Ako se tijekom transformacija negdje dobije niz u kojem su svi elementi, uključujući i slobodni član, nula, tada se takav niz može nazvati nulom i izbaciti iz matrice.
Dodavanje elementima jednog retka elemenata drugog (u odgovarajućim stupcima), pomnoženih s određenim koeficijentom. Najneobičnija i najvažnija transformacija od svih. Vrijedi se detaljnije zadržati na tome.

Dodavanje niza pomnoženog s faktorom

Radi lakšeg razumijevanja, vrijedi rastaviti ovaj proces korak po korak. Iz matrice se uzimaju dva reda:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Pretpostavimo da morate prvi dodati drugom, pomnožen s koeficijentom "-2".

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

Tada se u matrici drugi redak zamjenjuje novim, a prvi ostaje nepromijenjen.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Valja napomenuti da se faktor množenja može odabrati na način da, kao rezultat zbrajanja dva niza, jedan od elemenata novog niza bude jednak nuli. Stoga je moguće dobiti jednadžbu u sustavu, gdje će biti jedna nepoznata manje. A ako dobijete dvije takve jednadžbe, tada se operacija može ponoviti i dobiti jednadžba koja će već sadržavati dvije nepoznanice manje. A ako svaki put okrenemo na nulu jedan koeficijent za sve retke koji su niži od originalnog, tada se možemo poput stepenica spustiti do samog dna matrice i dobiti jednadžbu s jednom nepoznanicom. To se zove rješavanje sustava Gaussovom metodom.

Općenito

Neka postoji sustav. Ima m jednadžbi i n nepoznatih korijena. Možete to zapisati ovako:

Glavna matrica se sastavlja iz koeficijenata sustava. Stupac besplatnih članova dodaje se proširenoj matrici i odvaja trakom radi praktičnosti.

prvi redak matrice pomnožen je koeficijentom k = (-a 21 / a 11);
dodaju se prvi modificirani redak i drugi redak matrice;
umjesto drugog retka u matricu se ubacuje rezultat zbrajanja iz prethodnog odlomka;
sada prvi koeficijent u novi drugi pravac je a 11 × (-a 21 / a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Sada se izvodi isti niz transformacija, uključeni su samo prvi i treći red. Sukladno tome, u svakom koraku algoritma element a 21 zamjenjuje se elementom 31 . Zatim se sve ponavlja za a 41, ... a m1. Rezultat je matrica u kojoj je prvi element u retku jednak nuli. Sada moramo zaboraviti red broj jedan i izvršiti isti algoritam počevši od drugog retka:

koeficijent k \u003d (-a 32 / a 22);
drugi modificirani redak dodaje se u "trenutni" redak;
rezultat zbrajanja zamjenjuje se u trećem, četvrtom i tako redom, dok prvi i drugi ostaju nepromijenjeni;
u redovima matrice prva dva elementa već su jednaka nuli.

Algoritam se mora ponavljati dok se ne pojavi koeficijent k = (-a m,m-1 /a mm). To znači da je posljednji put algoritam izvršen samo za nižu jednadžbu. Sada matrica izgleda kao trokut ili ima stepenasti oblik. Donji redak sadrži jednakost a mn × x n = b m . Poznati su koeficijent i slobodni član, a kroz njih se izražava korijen: x n = b m /a mn. Rezultirajući korijen zamjenjuje se u gornji red kako bi se pronašlo x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . I tako dalje po analogiji: svaki sljedeći red sadrži novi korijen, a dosegnuvši "vrh" sustava, mogu se naći mnoga rješenja. Bit će to jedini.

Kad rješenja nema

Ako u jednom od redovi matrice svi elementi, osim slobodnog člana, jednaki su nuli, tada jednadžba koja odgovara ovoj liniji izgleda kao 0 = b. Nema rješenja. A kako je takva jednadžba uključena u sustav, onda je skup rješenja cijelog sustava prazan, odnosno degeneriran.

Kada postoji beskonačan broj rješenja

Može se pokazati da u danom trokutasta matrica nema redaka s jednim elementom-koeficijentom jednadžbe i jednim - slobodnim članom. Postoje samo nizovi koji bi, kada bi se prepisali, izgledali kao jednadžba s dvije ili više varijabli. To znači da sustav ima beskonačan broj rješenja. U ovom slučaju odgovor se može dati u obliku općeg rješenja. Kako to učiniti?

Sve varijable u matrici dijele se na osnovne i slobodne. Osnovni su oni koji stoje "na rubu" linija u stepenasta matrica. Ostali su besplatni. U općem rješenju osnovne varijable su napisane preko slobodnih.

Radi praktičnosti, matrica se prvo prepisuje natrag u sustav jednadžbi. Zatim u posljednjoj od njih, gdje je ostala samo jedna osnovna varijabla, ona ostaje na jednoj strani, a sve ostalo se prenosi na drugu. To se radi za svaku jednadžbu s jednom osnovnom varijablom. Zatim se u ostalim jednadžbama, gdje je to moguće, umjesto osnovne varijable zamjenjuje za nju dobiveni izraz. Ako je rezultat ponovno izraz koji sadrži samo jednu osnovnu varijablu, on se ponovno izražava odatle, i tako dalje, sve dok se svaka osnovna varijabla ne napiše kao izraz sa slobodnim varijablama. To je ono što je zajednička odluka SLAU.

Također možete pronaći osnovno rješenje sustava - slobodnim varijablama dati bilo koje vrijednosti, a zatim za ovaj konkretan slučaj izračunati vrijednosti osnovnih varijabli. Postoji beskonačno mnogo partikularnih rješenja.

Rješenje s konkretnim primjerima

Ovdje je sustav jednadžbi.

Radi praktičnosti, bolje je odmah stvoriti njegovu matricu

Poznato je da će pri rješavanju Gaussovom metodom jednadžba koja odgovara prvom redu ostati nepromijenjena na kraju transformacija. Stoga će biti isplativije ako je gornji lijevi element matrice najmanji - tada će se prvi elementi preostalih redaka nakon operacija pretvoriti u nulu. To znači da će u sastavljenoj matrici biti korisno staviti drugi umjesto prvog retka.

drugi redak: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

treći redak: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Sada, kako se ne bi zbunili, potrebno je zapisati matricu sa međurezultati transformacije.

Očito je da se takva matrica može učiniti prikladnijom za percepciju uz pomoć nekih operacija. Na primjer, možete ukloniti sve "minuse" iz drugog retka množenjem svakog elementa s "-1".

Također je vrijedno napomenuti da su u trećem redu svi elementi višestruki od tri. Tada možete skratiti niz za ovaj broj, množeći svaki element s "-1/3" (minus - u isto vrijeme, za uklanjanje negativne vrijednosti).

Izgleda puno ljepše. Sada moramo ostaviti prvi red i raditi s drugim i trećim. Zadatak je dodati drugi red trećem retku, pomnožen takvim koeficijentom da element a 32 postane jednak nuli.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 obični razlomak, a tek onda, kada se dobiju odgovori, odlučiti hoće li se zaokružiti i prevesti u drugi oblik zapisa)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Matrica se ponovno upisuje s novim vrijednostima.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Kao što vidite, dobivena matrica već ima stepenasti oblik. Stoga daljnje transformacije sustava Gaussovom metodom nisu potrebne. Ono što se ovdje može učiniti je ukloniti iz treće linije ukupni omjer "-1/7".

Sada je sve lijepo. Poanta je mala - napišite matricu ponovno u obliku sustava jednadžbi i izračunajte korijene

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

Algoritam kojim će se sada pronaći korijeni naziva se obrnuti pomak u Gaussovoj metodi. Jednadžba (3) sadrži vrijednost z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

A prva jednadžba vam omogućuje da pronađete x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Takav sustav imamo pravo nazvati zajedničkim, pa čak i definitivnim, odnosno jedinstvenim rješenjem. Odgovor se piše u sljedećem obliku:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Primjer neodređenog sustava

Riješenje određeni sustav analiziran Gaussovom metodom, sada je potrebno razmotriti slučaj da je sustav neodređen, odnosno da se za njega može naći beskonačno mnogo rješenja.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Već sam izgled sustava je alarmantan, jer je broj nepoznanica n = 5, a rang matrice sustava već je točno manji od tog broja, jer je broj redaka m = 4, tj. najveći red kvadratna determinanta - 4. Dakle, rješenja postoje beskonačan skup, te je potrebno tražiti njegov opći oblik. Gaussova metoda za linearne jednadžbe to omogućuje.

Prvo se, kao i obično, sastavlja proširena matrica.

Drugi redak: koeficijent k = (-a 21 / a 11) = -3. U trećem retku, prvi element je prije transformacija, tako da ne morate ništa dirati, trebate ostaviti kako jest. Četvrti redak: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Množenjem elemenata prvog reda sa svakim od njihovih koeficijenata redom i dodavanjem u željene retke, dobivamo matricu sljedeća vrsta:

Kao što vidite, drugi, treći i četvrti red sastoje se od elemenata koji su međusobno proporcionalni. Drugi i četvrti su općenito isti, tako da se jedan od njih može odmah ukloniti, a ostatak pomnožiti s koeficijentom "-1" i dobiti red broj 3. I opet, ostavite jedan od dva identična retka.

Ispalo je takva matrica. Sustav još nije zapisan, ovdje je potrebno odrediti osnovne varijable - koje stoje na koeficijentima a 11 \u003d 1 i a 22 \u003d 1, a slobodne - sve ostale.

Druga jednadžba ima samo jednu osnovnu varijablu - x 2 . Dakle, može se izraziti odatle, pisanjem kroz varijable x 3 , x 4 , x 5 , koje su slobodne.

Dobiveni izraz zamijenimo u prvu jednadžbu.

Dobila se jednadžba u kojoj je jedina osnovna varijabla x 1. Učinimo s njim isto što i s x 2 .

Sve osnovne varijable, kojih je dvije, izražene su kroz tri slobodne, sada možete napisati odgovor u općem obliku.

Također možete odrediti jedno od pojedinih rješenja sustava. Za takve slučajeve, u pravilu, nule se biraju kao vrijednosti za slobodne varijable. Tada će odgovor biti:

16, 23, 0, 0, 0.

Primjer nekompatibilnog sustava

Rješavanje nekonzistentnih sustava jednadžbi Gaussovom metodom je najbrže. Završava čim se u jednoj od faza dobije jednadžba koja nema rješenja. Odnosno, faza s izračunavanjem korijena, koja je prilično duga i mučna, nestaje. Razmatra se sljedeći sustav:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Kao i obično, matrica se sastavlja:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

I svodi se na stepenasti oblik:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Nakon prve transformacije, treći redak sadrži jednadžbu oblika

nemajući rješenja. Dakle, sustav je nekonzistentan, a odgovor je prazan skup.

Prednosti i nedostaci metode

Ako odaberete metodu za rješavanje SLAE na papiru olovkom, onda metoda koja je razmatrana u ovom članku izgleda najatraktivnija. U elementarnim transformacijama puno je teže doći u zabunu nego što se to događa ako morate ručno tražiti determinantu ili neku lukavu inverznu matricu. Međutim, ako koristite programe za rad s podacima ove vrste, na primjer, proračunske tablice, ispada da takvi programi već sadrže algoritme za izračunavanje glavnih parametara matrica - determinanta, minori, inverzni i tako dalje. A ako ste sigurni da će stroj sam izračunati te vrijednosti i da neće pogriješiti, svrsishodnije je koristiti matričnu metodu ili Cramerove formule, jer njihova primjena počinje i završava izračunavanjem determinanti i inverzne matrice.

Primjena

Budući da je Gaussovo rješenje algoritam, a matrica, zapravo, dvodimenzionalni niz, može se koristiti u programiranju. Ali budući da se članak pozicionira kao vodič "za lutke", treba reći da je metodu najlakše ugurati u proračunske tablice, na primjer, Excel. Opet, svaki SLAE unesen u tablicu u obliku matrice Excel će smatrati dvodimenzionalnim nizom. A za rad s njima postoji mnogo zgodnih naredbi: zbrajanje (možete zbrajati samo matrice iste veličine!), množenje brojem, množenje matrica (također uz određena ograničenja), pronalaženje inverznih i transponiranih matrica i, najvažnije , izračunavanje determinante. Ako se ovaj dugotrajni zadatak zamijeni jednom naredbom, puno je brže odrediti rang matrice i stoga utvrditi njezinu kompatibilnost ili nedosljednost.

Još od početka 16.-18. stoljeća matematičari su počeli intenzivno proučavati funkcije zahvaljujući kojima se toliko toga promijenilo u našim životima. Računalna tehnologija bez ovog znanja jednostavno ne bi postojao. Za rješenja izazovne zadatke stvorene su linearne jednadžbe i funkcije razne pojmove, teoremi i metode rješenja. Jedna od takvih univerzalnih i racionalnih metoda i tehnika za rješavanje linearnih jednadžbi i njihovih sustava bila je Gaussova metoda. Matrice, njihov rang, determinanta - sve se može izračunati bez korištenja složenih operacija.

Što je SLAU

U matematici postoji koncept SLAE - sustav linearnih algebarskih jednadžbi. Što ona predstavlja? Ovo je skup od m jednadžbi sa potrebnih n nepoznanica, obično označenih kao x, y, z ili x 1 , x 2 ... x n ili drugim simbolima. Riješite Gaussovom metodom ovaj sustav- znači pronaći sve tražene nepoznanice. Ako sustav ima isti broj nepoznanica i jednadžbi, tada se naziva sustav n-tog reda.

Najpopularnije metode za rješavanje SLAE

NA obrazovne ustanove srednjeg obrazovanja proučavaju različite tehnike za rješavanje takvih sustava. Najčešće ovo jednostavne jednadžbe, koji se sastoji od dvije nepoznanice, dakle bilo koji postojeća metoda neće trebati dugo da pronađemo odgovore na njih. To može biti kao metoda zamjene, kada se druga jednadžba izvodi iz jedne jednadžbe i supstituira u originalnu. Ili pojam po pojam oduzimanje i zbrajanje. Ali Gaussova metoda smatra se najlakšom i najuniverzalnijom. Omogućuje rješavanje jednadžbi s bilo kojim brojem nepoznanica. Zašto se ova tehnika smatra racionalnom? Sve je jednostavno. Matrična metoda dobra stvar je što ovdje nije potrebno nekoliko puta prepisivati nepotrebne znakove u obliku nepoznanica, dovoljno je izvršiti aritmetičke operacije na koeficijentima - i dobit ćete pouzdan rezultat.

Gdje se SLAE koriste u praksi?

Rješenje SLAE su točke presjeka pravaca na grafovima funkcija. U našem visokotehnološkom računalnom dobu ljudi koji su blisko uključeni u razvoj igrica i drugih programa moraju znati kako riješiti takve sustave, što oni predstavljaju i kako provjeriti ispravnost dobivenog rezultata. Najčešće programeri razvijaju posebne kalkulatore linearne algebre, što uključuje sustav linearnih jednadžbi. Gaussova metoda omogućuje izračun svih postojećih rješenja. Također se koriste i druge pojednostavljene formule i tehnike.

SLAE kriterij kompatibilnosti

Takav sustav može se riješiti samo ako je kompatibilan. Radi jasnoće predstavljamo SLAE u obliku Ax=b. Ima rješenje ako je rang(A) jednako rang(A,b). U ovom slučaju, (A,b) je matrica proširenog oblika koja se može dobiti iz matrice A prepisivanjem sa slobodnim članovima. Ispada da je rješavanje linearnih jednadžbi Gaussovom metodom prilično jednostavno.

Možda neka notacija nije sasvim jasna, pa je potrebno sve razmotriti na primjeru. Recimo da postoji sustav: x+y=1; 2x-3y=6. Sastoji se od samo dvije jednadžbe u kojima postoje 2 nepoznanice. Sustav će imati rješenje samo ako je rang njegove matrice jednak rangu proširene matrice. Što je rang? Ovo je broj neovisnih linija sustava. U našem slučaju, rang matrice je 2. Matrica A će se sastojati od koeficijenata koji se nalaze u blizini nepoznanica, a koeficijenti iza znaka "=" također će stati u proširenu matricu.

Zašto se SLAE može predstaviti u matričnom obliku

Na temelju kriterija kompatibilnosti prema dokazanom Kronecker-Capellijevom teoremu, sustav linearnih algebarskih jednadžbi može se prikazati u matričnom obliku. Koristeći Gaussovu kaskadnu metodu, možete riješiti matricu i dobiti jedini pouzdan odgovor za cijeli sustav. Ako je rang obične matrice jednak rangu proširene matrice, ali manji od broja nepoznanica, tada sustav ima beskonačan broj odgovora.

Transformacije matrice

Prije nego prijeđemo na rješavanje matrica, potrebno je znati koje se radnje mogu izvesti na njihovim elementima. Postoji nekoliko elementarnih transformacija:

Prepisivanje sustava na matrični pogled a realizirajući njegovo rješenje moguće je sve elemente niza pomnožiti istim koeficijentom.
Kako bi se matrica pretvorila u kanonski oblik, dva paralelna reda mogu se zamijeniti. Kanonski oblik podrazumijeva da svi elementi matrice koji se nalaze duž glavne dijagonale postaju jedinice, a preostali postaju nule.
Odgovarajući elementi paralelnih redaka matrice mogu se zbrajati jedan s drugim.

Jordan-Gaussova metoda

Bit rješavanja sustava linearnih homogenih i nehomogene jednadžbe Gaussova metoda je postupno uklanjanje nepoznanica. Recimo da imamo sustav dviju jednadžbi u kojem postoje dvije nepoznanice. Da biste ih pronašli, morate provjeriti kompatibilnost sustava. Gaussova jednadžba se rješava vrlo jednostavno. Potrebno je ispisati koeficijente koji se nalaze uz svaku nepoznanicu u matričnom obliku. Da biste riješili sustav, trebate napisati proširenu matricu. Ako jedna od jednadžbi sadrži manji broj nepoznanica, tada se umjesto elementa koji nedostaje mora staviti "0". Na matricu se primjenjuju sve poznate metode transformacije: množenje, dijeljenje brojem, međusobno zbrajanje odgovarajućih elemenata redaka i drugo. Ispada da je u svakom retku potrebno ostaviti jednu varijablu s vrijednošću "1", a ostale vode do nula pameti. Za točnije razumijevanje potrebno je razmotriti Gaussovu metodu s primjerima.

Jednostavan primjer rješavanja sustava 2x2

Za početak, uzmimo jednostavan sustav algebarskih jednadžbi u kojem će postojati 2 nepoznanice.

Prepišimo to u proširenoj matrici.

Za rješavanje ovog sustava linearnih jednadžbi potrebne su samo dvije operacije. Moramo matricu dovesti u kanonski oblik tako da postoje jedinice duž glavne dijagonale. Dakle, prevođenjem iz matričnog oblika natrag u sustav dobivamo jednadžbe: 1x+0y=b1 i 0x+1y=b2, gdje su b1 i b2 odgovori dobiveni u procesu rješavanja.

Prvi korak u rješavanju proširene matrice bit će sljedeći: prvi red mora se pomnožiti s -7 i odgovarajući elementi dodati drugom retku, kako bi se uklonila jedna nepoznanica u drugoj jednadžbi.
Kako rješavanje jednadžbi Gaussovom metodom podrazumijeva dovođenje matrice u kanonski oblik, tada je potrebno iste operacije napraviti s prvom jednadžbom i ukloniti drugu varijablu. Da bismo to učinili, oduzimamo drugi red od prvog i dobivamo potreban odgovor - rješenje SLAE. Ili, kao što je prikazano na slici, pomnožimo drugi red s faktorom -1 i dodamo elemente drugog reda prvom redu. Ovo je isto.

Kao što vidite, naš sustav je riješen Jordan-Gaussovom metodom. Prepisujemo ga u traženom obliku: x=-5, y=7.

Primjer rješavanja SLAE 3x3

Pretpostavimo da imamo složeniji sustav linearnih jednadžbi. Gaussova metoda omogućuje izračunavanje odgovora čak i za naizgled najviše zbunjujući sustav. Stoga, kako biste dublje ušli u metodologiju izračuna, možete prijeći na više složen primjer s tri nepoznate.

Kao u prethodnom primjeru, prepisujemo sustav u obliku proširene matrice i počinjemo ga dovoditi u kanonski oblik.

Da biste riješili ovaj sustav, morat ćete izvršiti mnogo više radnji nego u prethodnom primjeru.

Prvo morate u prvom stupcu napraviti jedan jedini element, a ostale nule. Da biste to učinili, pomnožite prvu jednadžbu s -1 i dodajte joj drugu jednadžbu. Važno je zapamtiti da prvi redak prepisujemo u izvornom obliku, a drugi - već u modificiranom obliku.
Zatim uklanjamo istu prvu nepoznanicu iz treće jednadžbe. Da bismo to učinili, pomnožimo elemente prvog retka s -2 i dodamo ih u treći red. Sada su prvi i drugi redak prepisani u izvornom obliku, a treći - već s promjenama. Kao što vidite iz rezultata, prvu smo dobili na početku glavne dijagonale matrice, a ostale su nule. Još nekoliko radnji i sustav jednadžbi Gaussovom metodom bit će pouzdano riješen.
Sada morate izvršiti operacije na ostalim elementima redaka. Treći i četvrti korak mogu se spojiti u jedan. Drugu i treću crtu trebamo podijeliti s -1 kako bismo se riješili negativnih na dijagonali. Treću liniju smo već doveli u traženi obrazac.
Zatim kanoniziramo drugi redak. Da bismo to učinili, pomnožimo elemente trećeg reda s -3 i dodamo ih u drugi redak matrice. Iz rezultata je vidljivo da je i drugi redak sveden na oblik koji nam treba. Ostalo je napraviti još par operacija i ukloniti koeficijente nepoznanica iz prvog reda.
Da biste napravili 0 od drugog elementa retka, morate treći red pomnožiti s -3 i dodati ga prvom retku.
Sljedeći odlučujući korak je dodavanje potrebnih elemenata drugog reda u prvi red. Tako dobivamo kanonski oblik matrice i, prema tome, odgovor.

Kao što vidite, rješavanje jednadžbi Gaussovom metodom prilično je jednostavno.

Primjer rješavanja sustava jednadžbi 4x4

Nešto više složeni sustavi jednadžbe se mogu riješiti Gaussovom metodom pomoću računalni programi. Potrebno je unijeti koeficijente za nepoznanice u postojeće prazne ćelije, a program će korak po korak izračunati traženi rezultat, detaljno opisujući svaku radnju.

Opisano u nastavku upute korak po korak rješenja za ovaj primjer.

U prvom koraku u prazne ćelije upisuju se slobodni koeficijenti i brojevi za nepoznanice. Tako dobivamo istu proširenu matricu koju pišemo rukom.

I izvode se sve potrebne aritmetičke operacije kako bi se proširena matrica dovela u kanonski oblik. Mora se razumjeti da odgovor na sustav jednadžbi nisu uvijek cijeli brojevi. Ponekad rješenje može biti iz frakcijskih brojeva.

Provjera točnosti rješenja

Jordan-Gaussova metoda omogućuje provjeru točnosti rezultata. Da biste saznali jesu li koeficijenti ispravno izračunati, samo trebate zamijeniti rezultat u izvorni sustav jednadžbi. Lijeva strana jednadžbe mora odgovarati desnoj strani iza znaka jednakosti. Ako se odgovori ne poklapaju, potrebno je ponovno izračunati sustav ili pokušati primijeniti neku drugu vama poznatu metodu rješavanja SLAE, kao što je zamjena ili oduzimanje i zbrajanje po članu. Uostalom, matematika je znanost koja ima veliki iznos razne tehnike rješenja. Ali zapamtite: rezultat bi uvijek trebao biti isti, bez obzira na metodu rješenja koju ste koristili.

Gaussova metoda: najčešće pogreške u rješavanju SLAE

Prilikom rješavanja linearnih sustava jednadžbi najčešće se javljaju pogreške, kao što je pogrešan prijenos koeficijenata u matrični oblik. Postoje sustavi u kojima neke nepoznanice nedostaju u jednoj od jednadžbi, a zatim se prijenosom podataka u proširenu matricu mogu izgubiti. Kao rezultat toga, prilikom rješavanja ovog sustava rezultat možda neće odgovarati stvarnom.

Još jedna od glavnih pogrešaka može biti netočno ispisivanje konačnog rezultata. Mora se jasno razumjeti da će prvi koeficijent odgovarati prvoj nepoznanici iz sustava, drugi - drugoj, i tako dalje.

Gaussova metoda detaljno opisuje rješavanje linearnih jednadžbi. Zahvaljujući njemu, lako je izvršiti potrebne operacije i pronaći pravi rezultat. Osim toga, ovo univerzalni lijek tražiti pouzdan odgovor na jednadžbe bilo koje složenosti. Možda se zato tako često koristi u rješavanju SLAE.

1. Sustav linearnih algebarskih jednadžbi

1.1 Pojam sustava linearnih algebarskih jednadžbi

Sustav jednadžbi je stanje koje se sastoji u istovremenom izvršavanju nekoliko jednadžbi u nekoliko varijabli. Sustav linearnih algebarskih jednadžbi (dalje u tekstu SLAE) koji sadrži m jednadžbi i n nepoznanica je sustav oblika:

gdje se brojevi a ij nazivaju koeficijenti sustava, brojevi b i slobodni članovi, aij i b i(i=1,…, m; b=1,…, n) su neki poznati brojevi, i x 1 ,…, x n- nepoznato. U zapisu koeficijenata aij prvi indeks i označava broj jednadžbe, a drugi indeks j je broj nepoznanice na kojoj se taj koeficijent nalazi. Podložno pronalaženju broja x n . Pogodno je napisati takav sustav u obliku kompaktne matrice: AX=B. Ovdje je A matrica koeficijenata sustava, koja se naziva glavna matrica;

je vektor stupca nepoznatog xj.
je vektor stupca slobodnih članova bi.

Umnožak matrica A * X je definiran, budući da u matrici A ima onoliko stupaca koliko ima redaka u matrici X (n komada).

Proširena matrica sustava je matrica A sustava, dopunjena stupcem slobodnih članova

1.2 Rješenje sustava linearnih algebarskih jednadžbi

Rješenje sustava jednadžbi je uređeni skup brojeva (vrijednosti varijabli), kada ih zamijenite umjesto varijabli, svaka od jednadžbi sustava pretvara se u pravu jednakost.

Rješenje sustava je n vrijednosti nepoznanica x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, čijom se zamjenom sve jednadžbe sustava pretvaraju u prave jednakosti. Bilo koje rješenje sustava može se napisati kao matrica-stupac

Sustav jednadžbi nazivamo konzistentnim ako ima barem jedno rješenje, a nekonzistentnim ako nema rješenja.

Zglobni sustav naziva se određenim ako ima jedinstveno rješenje, a neodređenim ako ima više rješenja. NA posljednji slučaj svako njegovo rješenje naziva se posebnim rješenjem sustava. Skup svih partikularnih rješenja naziva se općim rješenjem.

Riješiti sustav znači saznati je li konzistentan ili nekonzistentan. Ako je sustav kompatibilan, pronađite njegovo opće rješenje.

Dva sustava nazivaju se ekvivalentnima (ekvivalentnima) ako imaju isto opće rješenje. Drugim riječima, sustavi su ekvivalentni ako je svako rješenje jednog od njih rješenje drugog i obrnuto.

Transformacija čijom se primjenom sustav pretvara u novi sustav, ekvivalentna izvornoj, naziva se ekvivalentna ili ekvivalentna transformacija. Primjeri ekvivalentne transformacije mogu poslužiti sljedeće transformacije: zamjena dviju jednadžbi sustava, zamjena dviju nepoznanica zajedno s koeficijentima svih jednadžbi, množenje oba dijela bilo koje jednadžbe sustava s brojem koji nije nula.

Sustav linearnih jednadžbi naziva se homogenim ako su svi slobodni članovi jednaki nuli:

Homogeni sustav je uvijek konzistentan, budući da je x1=x2=x3=…=xn=0 rješenje sustava. Ovo se rješenje naziva nultim ili trivijalnim.

2. Gaussova metoda eliminacije

2.1 Bit Gaussove metode eliminacije

Klasična metoda za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi je metoda sekvencijalno isključenje nepoznato - Gaussova metoda(Također se naziva i Gaussova metoda eliminacije). Ovo je metoda sukcesivne eliminacije varijabli, kada se uz pomoć elementarnih transformacija sustav jednadžbi svodi na ekvivalentni sustav stupnjevitom (ili trokutastom) obliku, iz kojeg se sve ostale varijable nalaze sekvencijalno, počevši od posljednje (po broju) varijable.

Proces Gaussovog rješenja sastoji se od dvije faze: pomaka naprijed i natrag.

1. Izravan potez.

U prvoj fazi provodi se tzv. direktni potez, kada se elementarnim transformacijama po redovima sustav dovodi u stepenasti ili trokutasti oblik ili se utvrđuje da je sustav nekonzistentan. Naime, među elementima prvog stupca matrice odabire se onaj različit od nule, permutiranjem redaka pomiče se na najgornju poziciju, a prvi dobiveni redak nakon permutacije oduzima se od preostalih redaka, množeći ga vrijednošću koja je jednaka omjeru prvog elementa svakog od ovih redaka prema prvom elementu prvog retka, postavljajući na nulu stupac ispod njega.

Nakon što su navedene transformacije napravljene, prvi redak i prvi stupac mentalno se prekrižu i nastavljaju dok ne ostane matrica nulte veličine. Ako u nekoj od iteracija među elementima prvog stupca nije pronađen jedan različit od nule, prijeđite na sljedeći stupac i izvršite sličnu operaciju.

U prvoj fazi (hod prema naprijed) sustav se svodi na stepenasti (osobito trokutasti) oblik.

Sustav u nastavku je postupan:

Koeficijenti aii nazivaju se glavnim (vodećim) elementima sustava.

(ako je a11=0, preuredite retke matrice tako da a 11 nije bila jednaka 0. To je uvijek moguće, jer inače matrica sadrži nulti stupac, njena determinanta je jednaka nuli i sustav je nekonzistentan).

Sustav transformiramo eliminirajući nepoznanicu x1 u svim jednadžbama osim u prvoj (koristeći elementarne transformacije sustava). Da biste to učinili, pomnožite obje strane prve jednadžbe s

i zbrajamo član po član s drugom jednadžbom sustava (ili od druge jednadžbe oduzimamo član po član prvi pomnožen s ). Zatim pomnožimo oba dijela prve jednadžbe s i dodamo ih trećoj jednadžbi sustava (ili oduzmemo prvi pomnožen s trećim članom po član). Dakle, uzastopno množimo prvi red s brojem i zbrajamo ja-th line, for i= 2, 3, …,n.

Nastavljajući ovaj proces, dobivamo ekvivalentni sustav:

– nove vrijednosti koeficijenata za nepoznanice i slobodne članove u posljednjim m-1 jednadžbama sustava, koje su određene formulama:

Tako se u prvom koraku ruše svi koeficijenti ispod prvog vodećeg elementa a 11

0, drugi korak uništava elemente ispod drugog vodećeg elementa a 22 (1) (ako je 22 (1) 0), i tako dalje. Nastavljajući ovaj proces dalje, konačno ćemo svesti izvorni sustav na trokutasti sustav na (m-1) koraku.

Ako se u procesu svođenja sustava na stupnjeviti oblik pojave nulte jednadžbe, tj. jednakosti oblika 0=0, one se odbacuju. Ako postoji jednadžba oblika

To ukazuje na nekompatibilnost sustava.

Time je izravni tijek Gaussove metode završen.

2. Obrnuti potez.

U drugoj fazi provodi se takozvani obrnuti pomak, čija je suština izraziti sve rezultirajuće osnovne varijable u terminima nebazičnih i konstruirati temeljni sustav rješenja, ili, ako su sve varijable bazične, onda izraziti u numeričkom obliku jedino rješenje sustava linearnih jednadžbi.

Ovaj postupak počinje s posljednjom jednadžbom, iz koje se izražava odgovarajuća osnovna varijabla (u njoj je samo jedna) i supstituira u prethodne jednadžbe, i tako dalje, idući "stepenicama".

Svaki redak odgovara točno jednoj osnovnoj varijabli, tako da na svakom koraku, osim u zadnjem (najgornjem), situacija točno ponavlja slučaj posljednjeg retka.

Napomena: u praksi je prikladnije raditi ne sa sustavom, već s njegovom proširenom matricom, izvodeći sve elementarne transformacije na njenim redovima. Pogodno je da koeficijent a11 bude jednak 1 (preuredite jednadžbe ili obje strane jednadžbe podijelite s a11).

2.2 Primjeri rješavanja SLAE Gaussovom metodom

NA ovaj odjeljak tri razni primjeri Pokažimo kako se SLAE može riješiti Gaussovom metodom.

Primjer 1. Riješite SLAE 3. reda.

Postavite koeficijente na nulu na

u drugom i trećem redu. Da biste to učinili, pomnožite ih s 2/3 odnosno 1 i dodajte u prvi redak:

Neka je zadan sustav linearnih algebarskih jednadžbi koje treba riješiti (naći takve vrijednosti nepoznanica hi koje svaku jednadžbu sustava pretvaraju u jednakost).

Znamo da sustav linearnih algebarskih jednadžbi može:

1) Nemati rješenja (biti nekompatibilan).
2) Imati beskonačno mnogo rješenja.
3) Imajte jedinstveno rješenje.

Kao što se sjećamo, Cramerovo pravilo i matrična metoda nisu prikladni u slučajevima kada sustav ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan. Gaussova metoda – najmoćniji i najsvestraniji alat za pronalaženje rješenja bilo kojeg sustava linearnih jednadžbi, koji je u svakom slučaju dovedite nas do odgovora! Algoritam metode u sva tri slučaja radi na isti način. Ako Cramerova i matrična metoda zahtijevaju poznavanje determinanti, onda je za primjenu Gaussove metode potrebno poznavanje samo aritmetičkih operacija, što je čini dostupnom i učenicima osnovnih škola.

1) S Troky matrice limenka preurediti mjesta.

2) ako u matrici postoje (ili postoje) proporcionalni (kao poseban slučaj - identični) redovi, onda slijedi izbrisati iz matrice, svi ovi redovi osim jednog.

3) ako se nulti redak pojavio u matrici tijekom transformacija, tada također slijedi izbrisati.

4) redak matrice može množiti (dijeliti) na bilo koji broj osim nule.

5) u red matrice, možete dodajte još jedan niz pomnožen s brojem, različit od nule.

U Gaussovoj metodi elementarne transformacije ne mijenjaju rješenje sustava jednadžbi.

Gaussova metoda sastoji se od dvije faze:

"Izravan potez" - pomoću elementarnih transformacija dovedite proširenu matricu sustava linearnih algebarskih jednadžbi u "trokutasti" stepenasti oblik: elementi proširene matrice koji se nalaze ispod glavne dijagonale jednaki su nuli (pomak odozgo prema dolje ). Na primjer, ovoj vrsti:

Da biste to učinili, izvršite sljedeće korake:

3) Prelazimo na sljedeću jednadžbu i tako dalje dok ne ostane još jedan posljednji nepoznati i transformirani slobodni član.

"Obrnuti potez" Gaussove metode je dobivanje rješenja sustava linearnih algebarskih jednadžbi ("hod odozdo prema gore"). Iz posljednje "niže" jednadžbe dobivamo jedno prvo rješenje - nepoznanicu x n. Da bismo to učinili, rješavamo elementarnu jednadžbu A * x n \u003d B. U gornjem primjeru, x 3 \u003d 4. Zamjenjujemo pronađenu vrijednost u "gornjoj" sljedećoj jednadžbi i rješavamo je u odnosu na sljedeću nepoznanicu. Na primjer, x 2 - 4 \u003d 1, tj. x 2 \u003d 5. I tako dalje dok ne pronađemo sve nepoznanice.

Primjer.

Sustav linearnih jednadžbi rješavamo Gaussovom metodom, kako savjetuju neki autori:

Napišimo proširenu matricu sustava i pomoću elementarnih transformacija je dovedimo u stepenasti oblik:

Gledamo gornju lijevu "stepenicu". Tamo bismo trebali imati jedinicu. Problem je što u prvom stupcu uopće nema nijednog, pa se ništa ne može riješiti preslagivanjem redova. U takvim slučajevima jedinica mora biti organizirana pomoću elementarne transformacije. To se obično može učiniti na nekoliko načina. Učinimo to ovako:
1 korak . Prvom retku dodamo drugi red, pomnožen s -1. Odnosno, mentalno smo pomnožili drugi red s -1 i izvršili zbrajanje prvog i drugog retka, dok se drugi redak nije promijenio.

Sada gore lijevo "minus jedan", što nam savršeno odgovara. Tko želi dobiti +1 može izvršiti dodatnu radnju: prvi red pomnožiti s -1 (promijeniti mu predznak).

2 korak . Drugom retku dodan je prvi redak pomnožen s 5. Trećem redu dodan je prvi redak pomnožen s 3.

4 korak . Trećem redu dodajte drugi redak pomnožen s 2.

5 korak . Treći red je podijeljen sa 3.

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, dakle x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Odgovor:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Riješimo isti sustav pomoću predloženog algoritma. Dobivamo

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Drugu jednadžbu podijelimo s 5, a treću s 3. Dobijemo:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Pomnožimo drugu i treću jednadžbu s 4, dobivamo:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Oduzmemo li prvu jednadžbu od druge i treće jednadžbe, imamo:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Podijelite treću jednadžbu s 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Pomnožite treću jednadžbu s 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Oduzimamo drugu jednadžbu od treće jednadžbe, dobivamo "stepenastu" proširenu matricu:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Dakle, budući da se greška nakupila u procesu izračuna, dobivamo x 3 \u003d 0,96, ili približno 1.

x 2 \u003d 3 i x 1 \u003d -1.

Rješavajući na ovaj način, nikada se nećete zbuniti u izračunima i, unatoč računskim pogreškama, dobit ćete rezultat.

Ova metoda rješavanja sustava linearnih algebarskih jednadžbi je lako programabilna i ne uzima u obzir specifičnosti koeficijenata za nepoznanice, jer se u praksi (u ekonomskim i tehničkim proračunima) mora raditi s necjelobrojnim koeficijentima.

Želim ti uspjeh! Vidimo se u razredu! Učitelj Dmitry Aistrahanov.

stranica, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je veza na izvor.