Što je normalno? Jednostavnim riječima, normala je okomica. Odnosno, vektor normale pravca je okomit na zadani pravac. Očito je da ih bilo koja ravna linija ima beskonačno mnogo (kao i vektora koji usmjeravaju), a svi normalni vektori prave bit će kolinearni (kodirekcijski ili ne - nije bitno).

Suočavanje s njima bit će još lakše nego s vektorima smjera:

Ako je pravac zadan općom jednadžbom u pravokutni sustav koordinate, tada je vektor normalni vektor zadane linije.

Ako se koordinate vektora pravca moraju pažljivo “izvući” iz jednadžbe, onda se koordinate vektora normale jednostavno “uklone”.

Vektor normale uvijek je okomit na vektor smjera pravca. Uvjerimo se da su ovi vektori ortogonalni pomoću skalarnog produkta:

Dat ću primjere s istim jednadžbama kao za vektor smjera:

Je li moguće napisati jednadžbu pravca, poznajući jednu točku i vektor normale? Ako je normalni vektor poznat, tada je smjer najravnije linije također jedinstveno određen - ovo je "kruta struktura" s kutom od 90 stupnjeva.

Kako napisati jednadžbu pravca zadane točke i normalnog vektora?

Ako je poznata neka točka koja pripada pravcu i vektor normale tog pravca, tada se jednadžba tog pravca izražava formulom:

Sastavite jednadžbu pravca zadane točke i normalnog vektora. Nađi vektor smjera pravca.

Rješenje: Koristite formulu:

Opća jednadžba ravne linije je dobivena, provjerimo:

1) "Uklonite" koordinate vektora normale iz jednadžbe: - da, doista, izvorni vektor se dobiva iz uvjeta (ili bi vektor trebao biti kolinearan izvornom vektoru).

2) Provjerite zadovoljava li točka jednadžbu:

Prava jednakost.

Nakon što se uvjerimo da je jednadžba točna, pristupit ćemo drugom, lakšem dijelu zadatka. Izvlačimo vektor smjera ravne linije:

Odgovor:

Na crtežu je situacija sljedeća:

Za potrebe obuke, sličan zadatak za neovisno rješenje:

Sastavite jednadžbu pravca zadane točke i normalnog vektora. Nađi vektor smjera pravca.

Posljednji dio lekcije bit će posvećen manje uobičajenim, ali također važne vrste jednadžbe pravca na ravnini

Jednadžba pravca u segmentima.
Jednadžba pravca u parametarskom obliku

Jednadžba pravca u segmentima ima oblik , gdje su konstante različite od nule. Neke vrste jednadžbi ne mogu se prikazati u ovom obliku, na primjer, izravna proporcionalnost (budući da je slobodni član nula i ne postoji način da se jedan dobije na desnoj strani).

Ovo je, slikovito rečeno, "tehnički" tip jednadžbe. Uobičajen zadatak je prikazati opću jednadžbu pravca kao jednadžbu pravca u segmentima. Zašto je to zgodno? Jednadžba ravne crte u segmentima omogućuje vam brzo pronalaženje točaka sjecišta ravne crte s koordinatne osi, što je vrlo važno u nekim problemima više matematike.

Pronađite točku sjecišta pravca s osi. Ponovno postavimo "y" i jednadžba poprima oblik . Željena točka se dobiva automatski: .

Isto s osi je točka u kojoj pravac siječe y-os.

Radnje koje sam upravo detaljno objasnio izvode se verbalno.

S obzirom na ravnu liniju. Sastavite jednadžbu pravca u segmentima i odredite točke presjeka grafa s koordinatnim osima.

Rješenje: Dovedimo jednadžbu do oblika . Prvo premještamo slobodni termin na desna strana:

Da bismo dobili jedinicu s desne strane, svaki član jednadžbe podijelimo s -11:

Izrađujemo frakcije troetažne:

Točke sjecišta ravne linije s koordinatnim osima su površine:

Odgovor:

Ostaje pričvrstiti ravnalo i nacrtati ravnu liniju.

Lako je vidjeti da je ova ravna linija jedinstveno određena crvenim i zelenim segmentima, otuda i naziv - "jednadžba ravne linije u segmentima".

Naravno, točke iz jednadžbe nije tako teško pronaći, ali je problem ipak koristan. Razmatrani algoritam bit će potreban za pronalaženje točaka presjeka ravnine s koordinatnim osima, za dovođenje jednadžbe pravca drugog reda u kanonski oblik, te u nekim drugim problemima. Stoga, nekoliko ravnih linija za neovisno rješenje:

Sastavite jednadžbu pravca u segmentima i odredite točke njegova sjecišta s koordinatnim osima.

Rješenja i odgovori na kraju. Ne zaboravite da ako želite, možete nacrtati sve.

Kako napisati parametarske jednadžbe za ravnu liniju?

Parametarske jednadžbe linije su relevantnije za linije u prostoru, ali bez njih naš će sažetak biti siroče.

Ako je poznata neka točka koja pripada pravcu i vektor smjera tog pravca, onda su parametarske jednadžbe tog pravca dane sustavom:

Sastaviti parametarske jednadžbe pravca s točkom i vektorom smjera

Rješenje je završilo prije nego što je počelo:

Parametar "te" može imati bilo koju vrijednost od "minus beskonačno" do "plus beskonačno", a svaka vrijednost parametra odgovara određenoj točki ravnine. Na primjer, ako , tada dobivamo točku .

Inverzni problem: kako provjeriti pripada li točka uvjeta zadanoj liniji?

Zamijenimo koordinate točke u dobivenim parametarskim jednadžbama:

Iz obje jednadžbe slijedi da je , odnosno sustav je konzistentan i ima jedinstveno rješenje.

Razmotrimo smislenije zadatke:

Sastaviti parametarske jednadžbe pravca

Rješenje: Po uvjetu je zadan pravac opći pogled. Da biste sastavili parametarske jednadžbe pravca, morate znati njegov usmjerivač i neku točku koja pripada tom pravcu.

Nađimo vektor smjera:

Sada morate pronaći neku točku koja pripada liniji (bilo koja će učiniti), u tu svrhu je prikladno prepisati opću jednadžbu u obliku jednadžbe s nagibom:

Poenta je, naravno

Sastavljamo parametarske jednadžbe ravne linije:

I na kraju, mali kreativni zadatak za samostalno rješenje.

Sastavite parametarske jednadžbe pravca ako su poznati njegova točka i normalni vektor

Zadatak se može izvršiti jedini način. Jedna od verzija rješenja i odgovor na kraju.

Rješenja i odgovori:

Primjer 2: Rješenje: Pronađite nagib:

Jednadžbu pravca sastavljamo pomoću točke i kutni koeficijent :

Odgovor:

Primjer 4: Rješenje: Jednadžbu pravca sastaviti ćemo prema formuli:

Odgovor:

Primjer 6: Rješenje: Upotrijebite formulu:

Odgovor: (y-os)

Primjer 8: Odluka: Napravimo jednadžbu ravne linije na dvije točke:

Pomnožite obje strane s -4:

I podijelite s 5:

Odgovor:

Primjer 10: Odluka: Koristite formulu:

Smanjujemo za -2:

Vektor smjera izravan:
Odgovor:

Primjer 12:
a) Odluka: Transformirajmo jednadžbu:

Tako:

Odgovor:

b) Odluka: Transformirajmo jednadžbu:

Tako:

Odgovor:

Primjer 15: Odluka: Prvo pišemo opću jednadžbu pravca zadanog točkom i normalni vektor :

Pomnožite s 12:

Množimo s još 2 tako da se nakon otvaranja druge zagrade riješimo razlomka:

Vektor smjera izravan:
Sastavljamo parametarske jednadžbe pravca po točki i vektor smjera :
Odgovor:

Najjednostavniji zadaci s pravcem u ravnini.
Uzajamni dogovor direktno. Kut između pravaca

Nastavljamo razmatrati ove beskonačne-beskonačne linije.

Kako pronaći udaljenost od točke do pravca?
Kako pronaći udaljenost između dvije paralelne crte?
Kako pronaći kut između dva pravca?

Međusobni raspored dviju ravnih linija

Razmotrimo dvije ravne linije dane jednadžbama u općem obliku:

Slučaj kada dvorana pjeva u zboru. Dvije linije mogu:

1) utakmica;

2) biti paralelan: ;

3) ili se sijeku u jednoj točki: .

Molim te zapamti matematički znak raskrižje, događat će se vrlo često. Zapis znači da se pravac siječe s pravcem u točki.

Kako odrediti međusobni položaj dviju linija?

Počnimo s prvim slučajem:

Dva se pravca podudaraju ako i samo ako su njihovi koeficijenti proporcionalni, to jest, postoji takav broj "lambda" da jednakosti vrijede

Promotrimo ravne linije i sastavimo tri jednadžbe od odgovarajućih koeficijenata: . Iz svake jednadžbe slijedi da se, dakle, ove linije podudaraju.

Doista, ako su svi koeficijenti jednadžbe pomnožite s -1 (promijenite predznak), i sve koeficijente jednadžbe smanjite za 2, dobit ćete istu jednadžbu: .

Drugi slučaj kada su pravci paralelni:

Dva pravca su paralelna ako i samo ako su im koeficijenti pri varijablama proporcionalni: , ali .

Kao primjer, razmotrite dvije ravne linije. Provjeravamo proporcionalnost odgovarajućih koeficijenata za varijable:

Međutim, jasno je da.

I treći slučaj, kada se linije sijeku:

Dvije se linije sijeku ako i samo ako njihovi koeficijenti pri varijablama NISU proporcionalni, odnosno, NE postoji takva vrijednost "lambda" da su jednakosti ispunjene

Dakle, za ravne linije ćemo sastaviti sustav:

Iz prve jednadžbe slijedi , a iz druge jednadžbe: , što znači da je sustav nekonzistentan (nema rješenja). Dakle, koeficijenti kod varijabli nisu proporcionalni.

Zaključak: linije se sijeku

U praktičnim problemima može se koristiti upravo razmatrana shema rješenja. Usput, vrlo je sličan algoritmu za provjeru kolinearnosti vektora. Ali postoji civiliziraniji paket:

Odredi relativni položaj linija:

Rješenje se temelji na proučavanju vektora usmjeravanja ravnih linija:

a) Iz jednadžbi nalazimo vektore smjera pravaca: .

, pa vektori nisu kolinearni i pravci se sijeku.

b) Odredite vektore smjera pravaca:

Pravci imaju isti vektor smjera, što znači da su ili paralelni ili isti. Ovdje odrednica nije potrebna.

Očito je da su koeficijenti nepoznanica proporcionalni, dok je .

Otkrijmo je li jednakost istinita:

Tako,

c) Odredite vektore smjera pravaca:

Izračunajmo determinantu sastavljenu od koordinata ovih vektora:
, stoga su vektori smjera kolinearni. Pravci su ili paralelni ili se poklapaju.

Koeficijent proporcionalnosti "lambda" može se pronaći izravno iz omjera kolinearnih vektora smjera. Međutim, moguće je i preko koeficijenata samih jednadžbi: .

Sada saznajmo je li jednakost istinita. Oba besplatna termina su nula, pa:

Rezultirajuća vrijednost zadovoljava ovu jednadžbu (bilo koji broj je općenito zadovoljava).

Dakle, linije se podudaraju.

Kako nacrtati pravac paralelan sa zadanim?

Pravac je dan jednadžbom . Napiši jednadžbu za paralelni pravac koji prolazi točkom.

Rješenje: nepoznati pravac označimo slovom . Što stanje govori o tome? Pravac prolazi točkom. A ako su pravci paralelni, onda je očito da je i smjerni vektor pravca "ce" pogodan za konstruiranje pravca "te".

Iz jednadžbe izdvajamo vektor smjera:

Geometrija primjera izgleda jednostavno:

Analitička verifikacija sastoji se od sljedećih koraka:

1) Provjeravamo imaju li pravci isti vektor smjera (ako jednadžba pravca nije ispravno pojednostavljena, vektori će biti kolinearni).

2) Provjerite zadovoljava li točka dobivenu jednadžbu.

Analitičku provjeru u većini slučajeva lako je izvesti verbalno. Pogledajte dvije jednadžbe i mnogi od vas će brzo shvatiti kako su linije paralelne bez ikakvog crteža.

Primjeri za samostalno rješavanje danas će biti kreativni.

Napišite jednadžbu za pravac koji prolazi kroz točku paralelnu s pravcem if

Najkraći put je na kraju.

Kako pronaći točku sjecišta dviju linija?

Ako je ravno sijeku u točki , tada su njegove koordinate rješenje sustava linearne jednadžbe

Kako pronaći točku sjecišta linija? Riješite sustav.

Ovo je za tebe geometrijsko značenje sustavi dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice su dvije (najčešće) prave u ravnini koje se sijeku.

Pronađite točku sjecišta linija

Rješenje: Postoje dva načina rješavanja - grafički i analitički.

Grafički način je jednostavno nacrtati zadane linije i pronaći točku sjecišta izravno iz crteža:

Evo naše tvrdnje: . Da biste provjerili, trebali biste zamijeniti njegove koordinate u svaku jednadžbu ravne linije, one bi trebale stati i tamo i tamo. Drugim riječima, koordinate točke su rješenje sustava . Zapravo, razmotrili smo grafičku metodu za rješavanje sustava linearnih jednadžbi s dvije jednadžbe, dvije nepoznanice.

Grafička metoda, naravno, nije loša, ali postoje vidljivi nedostaci. Ne, nije poanta da sedmaši tako odluče, poanta je da će trebati vremena da se napravi ispravan i TOČAN crtež. Osim toga, neke linije nije tako jednostavno konstruirati, a sama točka sjecišta može biti negdje u tridesetom kraljevstvu izvan lista bilježnice.

Stoga je svrsishodnije tražiti točku sjecišta analitička metoda. Riješimo sustav:

Za rješavanje sustava korištena je metoda počlanog zbrajanja jednadžbi.

Provjera je trivijalna - koordinate točke presjeka moraju zadovoljiti svaku jednadžbu sustava.

Pronađite točku sjecišta pravaca ako se sijeku.

Ovo je primjer "uradi sam". Pogodno je podijeliti problem u nekoliko faza. Analiza stanja sugerira da je potrebno:
1) Napišite jednadžbu pravca.
2) Napišite jednadžbu pravca.
3) Odredi relativni položaj pravaca.
4) Ako se pravci sijeku, pronađite točku sjecišta.

Razvoj algoritma akcije tipičan je za mnoge geometrijski problemi, i na to ću se više puta usredotočiti.

Kompletno rješenje i odgovor na kraju:

Okomite linije. Udaljenost od točke do pravca.
Kut između pravaca

Kako nacrtati pravac okomit na zadani?

Pravac je dan jednadžbom . Napišite jednadžbu za okomiti pravac koji prolazi točkom.

Rješenje: Poznato je pod pretpostavkom da . Bilo bi lijepo pronaći vektor smjera ravne linije. Budući da su linije okomite, trik je jednostavan:

Iz jednadžbe “uklonimo” vektor normale: , koji će biti vektor usmjeravanja pravca.

Jednadžbu pravca sastavljamo pomoću točke i usmjeravajućeg vektora:

Odgovor:

Razmotrimo geometrijsku skicu:

Analitička provjera rješenja:

1) Izdvojite vektore smjera iz jednadžbi a pomoću skalarnog produkta vektora zaključujemo da su pravci doista okomiti: .

Usput, možete koristiti normalne vektore, čak je i lakše.

2) Provjerite zadovoljava li točka dobivenu jednadžbu .

Potvrdu je, opet, lako izvesti verbalno.

Odredite sjecište okomitih pravaca, ako je jednadžba poznata i točka.

Ovo je primjer "uradi sam". U zadatku postoji nekoliko radnji, pa je zgodno rješavati točku po točku.

Udaljenost od točke do linije

Udaljenost se u geometriji tradicionalno označava grčkim slovom "p", npr.: - udaljenost od točke "m" do pravca "d".

Udaljenost od točke do linije izražava se formulom

Nađi udaljenost od točke do pravca

Rješenje: sve što trebate učiniti je pažljivo umetnuti brojeve u formulu i izvršiti izračune:

Odgovor:

Izvršimo crtež:

Nađena udaljenost od točke do pravca jednaka je duljini crvenog segmenta. Ako nacrtate crtež na kariranom papiru u mjerilu 1 jedinice. \u003d 1 cm (2 ćelije), tada se udaljenost može izmjeriti običnim ravnalom.

Razmotrite još jedan zadatak prema istom crtežu:

Kako konstruirati točku simetričnu u odnosu na ravnu liniju?

Zadatak je pronaći koordinate točke koja je simetrična točki u odnosu na pravac . Predlažem da radnje izvršite sami, međutim, algoritam rješenja ću označiti s međurezultati:

1) Pronađite pravac koji je okomit na pravac.

2) Pronađite točku sjecišta pravaca: .

U geometriji se kut između dviju ravnih crta uzima kao MANI kut, iz čega automatski proizlazi da ne može biti tup. Na slici se kut označen crvenim lukom ne smatra kutom između linija koje se sijeku. I njegov "zeleni" susjed ili suprotno orijentirani kutak "malina" smatra se takvim.

Ako su pravci okomiti, tada se bilo koji od 4 kuta može uzeti kao kut između njih.

Kako se razlikuju kutovi? Orijentacija. Prvo, smjer "klizanja" ugla je temeljno važan. Drugo, negativno orijentirani kut se piše sa znakom minus, na primjer, ako .

Zašto sam ovo rekao? Čini se da se možete snaći s uobičajenim konceptom kuta. Činjenica je da se u formulama kojima ćemo pronaći kutove lako može ispasti negativan rezultat i to vas ne bi trebalo iznenaditi. Kut s predznakom minus nije ništa gori i ima vrlo specifično geometrijsko značenje. Na crtežu za negativan kut strijelicom označite njegovu orijentaciju (u smjeru kazaljke na satu).

Na temelju prethodno navedenog, rješenje je praktično formalizirano u dva koraka:

1) Izračunajte skalarni umnožak vektora usmjeravanja ravnih linija:
pa linije nisu okomite.

2) Kut između linija nalazimo formulom:

Preko inverzna funkcija lako pronaći sam kutak. U ovom slučaju koristimo neparnost arc tangensa:

Odgovor:

U odgovoru navodimo točnu vrijednost, kao i približnu vrijednost (po mogućnosti iu stupnjevima iu radijanima), izračunatu pomoću kalkulatora.

Pa minus, pa minus, nema veze. Evo geometrijske ilustracije:

Nije iznenađujuće da je kut ispao negativne orijentacije, jer je u uvjetu zadatka prvi broj ravna crta i "uvijanje" kuta je počelo upravo od nje.

Postoji i treće rješenje. Ideja je izračunati kut između vektora smjera linija:

Ovdje ne govorimo o usmjerenom kutu, već "samo o kutu", odnosno rezultat će sigurno biti pozitivan. Kvaka je u tome što se to može dogoditi tup kut(ne onaj koji želite). U ovom slučaju, morat ćete uzeti u obzir da je kut između linija manji kut i oduzeti rezultirajući ark kosinus od "pi" radijana (180 stupnjeva).

Nađi kut između pravaca.

Ovo je primjer "uradi sam". Pokušajte ga riješiti na dva načina.

Rješenja i odgovori:

Primjer 3: Rješenje: Pronađite vektor smjera pravca:

Pomoću točke i vektora pravca sastavit ćemo jednadžbu željenog pravca

Napomena: ovdje se prva jednadžba sustava množi s 5, zatim se 2. oduzima član po član od 1. jednadžbe.
Odgovor:

Metoda koordinata je vrlo učinkovita i univerzalni način pronalaženje bilo kakvih kutova ili udaljenosti između stereometrijskih objekata u prostoru. Ako vaš profesor matematike ima visoko kvalificiran onda bi trebao znati. U suprotnom, savjetovao bih da za "C" dio promijenite mentora. Moje pripreme za ispit iz matematike C1-C6 obično uključuju analizu osnovnih algoritama i formula opisanih u nastavku.

Kut između pravaca a i b

Kut između pravaca u prostoru je kut između bilo kojih pravaca koji se sijeku paralelnih s njima. Ovaj kut jednaka kutu između vektora smjera ovih pravaca (ili ga nadopunjuje do 180 stupnjeva).

Koji algoritam učitelj matematike koristi za pronalaženje kuta?

1) Odaberite bilo koji vektor a ima pravce pravaca a i b (s njima paralelno).
2) Određujemo koordinate vektora i odgovarajućim koordinatama njihovih početaka i krajeva (od koordinata kraja vektora potrebno je oduzeti koordinate početka).
3) Pronađene koordinate zamijenimo formulom:
. Da biste pronašli sam kut, morate pronaći arc kosinus rezultata.

Normalno za ravninu

Normala na ravninu je svaki vektor okomit na tu ravninu.
Kako pronaći normalno? Za određivanje koordinata normale dovoljno je znati koordinate bilo koje tri točke M, N i K koje leže u zadanoj ravnini. Pomoću ovih koordinata nalazimo koordinate vektora i i zahtijevamo da su zadovoljeni uvjeti i . Izjednačujući skalarni umnožak vektora s nulom, sastavljamo sustav jednadžbi s tri varijable, iz kojih možemo pronaći koordinate normale.

Bilješka profesora matematike : Nije potrebno riješiti sustav u potpunosti, jer je dovoljno odabrati barem jednu normalu. Da biste to učinili, možete zamijeniti bilo koji broj (na primjer, jedan) umjesto bilo koje njegove nepoznate koordinate i riješiti sustav dviju jednadžbi s preostale dvije nepoznanice. Ako nema rješenja, to znači da u obitelji normala ne postoji nijedna koja ima jedinicu za odabranu varijablu. Zatim zamijenite jednu drugom varijablom (drugom koordinatom) i riješite novi sustav. Ako opet promašite, tada će vaša normala imati jedinicu duž zadnje koordinate, i ispostavit će se da je paralelna s nekim koordinatna ravnina(u ovom slučaju ga je lako pronaći bez sustava).

Recimo da su nam zadani pravac i ravnina s koordinatama vektora pravca i normale
Kut između pravca i ravnine izračunava se pomoću sljedeće formule:

Dopustiti i biti bilo koje dvije normale na dane ravnine. Zatim kosinus kuta između ravnina jednaka modulu kosinus kuta između normala:

Jednadžba ravnine u prostoru

Točke koje zadovoljavaju jednakost tvore ravninu s normalom. Koeficijent je odgovoran za količinu odstupanja (paralelni pomak) između dvije ravnine s istom zadanom normalom. Da biste napisali jednadžbu ravnine, prvo morate pronaći njezinu normalu (kao što je gore opisano), a zatim zamijeniti koordinate bilo koje točke na ravnini, zajedno s koordinatama pronađene normale, u jednadžbu i pronaći koeficijent .

Vektor normale na plohu u nekoj točki koincidira s normalom na tangentnu ravninu u toj točki.

Normalni vektor na površinu u danoj točki je jedinični vektor primijenjen na danu točku i paralelan sa smjerom normale. Za svaku točku na glatkoj površini možete odrediti dva normalna vektora koji se razlikuju u smjeru. Ako se kontinuirano polje normalnih vektora može definirati na površini, tada se kaže da to polje definira orijentacija površine (odnosno odabire jednu od strana). Ako se to ne može učiniti, poziva se površina neorijentiv.

Slično definirano normalni vektor na krivulju u datoj točki. Očito je da se beskonačno mnogo faktora može primijeniti na krivulju u danoj točki. paralelni vektori normale (slično kao što se beskonačno mnogo neparalelnih tangentnih vektora može primijeniti na površinu). Među njima su odabrana dva koja su ortogonalna jedan na drugi: glavni normalni vektor i binormalni vektor.

vidi također

Književnost

• Pogorelov A. I. Diferencijalna geometrija (6. izdanje). M.: Nauka, 1974. (djvu)

Zaklada Wikimedia. 2010. godine.

Sinonimi:

• Bitka kod Trebbije (1799.)
• Gramonit

Pogledajte što je "Normalno" u drugim rječnicima:

NORMALAN- (fr.). Okomito na tangentu povučenu na krivulju u danoj točki čija se normala traži. Rječnik strane riječi uključen u ruski jezik. Chudinov A.N., 1910. NORMALNA okomita linija na tangentu povučenu na ... ... Rječnik stranih riječi ruskog jezika

normalan- i dobro. normale f. lat. normalis. 1. mat. Okomito na tangentu ili ravninu, koja prolazi kroz tangentu. BASS 1. Normalna linija ili normal. U analitičkoj geometriji ovo je naziv za ravnu liniju okomitu na ... ... Povijesni rječnik galicizmi ruskog jezika

normalan- okomito. Mrav. paralelno Rječnik ruskih sinonima. normalna imenica, broj sinonima: 3 binormalna (1) … Rječnik sinonima

NORMALAN- (od lat. normalis ravna crta) na zakrivljenu liniju (površinu) u svojoj datoj točki, ravnu liniju koja prolazi kroz tu točku i okomita je na tangentu (tangentnu ravninu) u ovoj točki ...

NORMALAN- zastarjeli naziv standarda ... Veliki enciklopedijski rječnik

NORMALAN- NORMALNO, normalno, žensko. 1. Okomito na tangentu ili ravninu, koja prolazi kroz dodirnu točku (mat.). 2. Detalj tvornički ugrađenog uzorka (tehn.). Rječnik Ushakov. D.N. Ushakov. 1935. 1940. ... Objašnjavajući rječnik Ušakova

normalan- normalni vertikalni standard real - [L.G.Sumenko. Englesko-ruski rječnik informacijskih tehnologija. M.: GP TsNIIS, 2003.] Teme informacijska tehnologija općenito Sinonimi normalno okomito standardno stvarno EN normalno ... Tehnički prevoditeljski priručnik

normalan- i; i. [od lat. normalis pravocrtan] 1. Mat. Okomito na tangentu ili ravninu koja prolazi kroz tangentu. 2. Tehnologija Detalj utvrđenog uzorka. * * * normalno I (od lat. normalis ravno) na krivu liniju (površinu) u ... ... enciklopedijski rječnik

NORMALAN- (franc. normal normal, norma, od lat. normalis ravan) 1) N. u standardu i za i i zastarjeli naziv. standard. 2) N. u matematici N. krivulji (plohi) u datoj točki naziva se. ravna crta koja prolazi ovom točkom i okomita je na tangentu. ... ... Veliki enciklopedijski politehnički rječnik

normalan- normalė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. normalan vok. Normale, rus. normalan, franc. normale, f … Fizikos terminų žodynas

knjige

• Geometrija algebarskih jednadžbi rješivih u radikalima: s primjenama u numeričkim metodama i računskoj geometriji, G.P. Kutishchev. U ovoj knjizi, na teorijska razina malo viši od škole, vrlo detaljno razmatran algebarske jednadžbe, dopuštajući rješenje u elementarnim operacijama, ili rješenje u radikalima. Ove…

Jednadžba ravnine. Kako napisati jednadžbu za ravninu?
Međusobni raspored ravnina. Zadaci

Prostorna geometrija nije mnogo kompliciranija od "ravne" geometrije, a naši letovi u svemiru počinju ovim člankom. Da bi se razumjela tema, potrebno je dobro razumjeti vektori, osim toga, poželjno je poznavati geometriju ravnine - bit će mnogo sličnosti, mnogo analogija, pa će se informacije puno bolje probaviti. U nizu mojih lekcija, 2D svijet otvara članak Jednadžba pravca na ravnini. Ali sada je Batman sišao s televizora ravnog ekrana i lansirao se s kozmodroma Baikonur.

Počnimo s crtežima i simbolima. Shematski se ravnina može nacrtati kao paralelogram, što daje dojam prostora:

Zrakoplov je beskonačan, ali mi imamo priliku prikazati samo njegov djelić. U praksi se osim paralelograma crta i oval ili čak oblak. Iz tehničkih razloga mi je prikladnije prikazati avion na ovaj način iu ovom položaju. Pravi avioni, koje ćemo razmotriti u praktični primjeri, može se rasporediti kako želite - mentalno uzmite crtež u ruke i okrenite ga u prostoru, dajući ravnini bilo koji nagib, bilo koji kut.

Notacija: uobičajeno je označavati zrakoplove malim grčkim slovima, očito kako ih ne bi zamijenili s ravno u avionu ili sa ravno u prostoru. Navikao sam koristiti pismo. Na crtežu je to slovo "sigma", a ne nikakva rupa. Iako, rupičasti avion, svakako je vrlo smiješan.

U nekim je slučajevima prikladno koristiti ista grčka slova s ​​indeksima za označavanje ravnina, na primjer, .

Očito je da ravninu jednoznačno određuju tri različite točke koje ne leže na istoj ravnici. Stoga su troslovne oznake ravnina vrlo popularne - prema točkama koje im pripadaju, na primjer, itd. Često se slova nalaze u zagradama: , kako ne bi pobrkali ravninu s drugom geometrijskom figurom.

Za iskusne čitatelje dat ću izbornik prečaca:

• Kako napisati jednadžbu za ravninu koristeći točku i dva vektora?
• Kako napisati jednadžbu za ravninu pomoću točke i normalnog vektora?

i nećemo klonuti duga čekanja:

Opća jednadžba ravnine

Opća jednadžba ravnine ima oblik , gdje su koeficijenti istovremeno različiti od nule.

Brojni teorijski proračuni i praktični problemi vrijede i za uobičajenu ortonormiranu bazu i za afina osnova prostor (ako je ulje ulje, vratite se na lekciju Linearna (ne)ovisnost vektora. Vektorska osnova). Radi jednostavnosti, pretpostavit ćemo da se svi događaji odvijaju u ortonormiranoj bazi i kartezijevom pravokutnom koordinatnom sustavu.

A sad idemo malo vježbati prostorna imaginacija. U redu je ako vam je loše, sada ćemo to malo razviti. Čak i igranje na živce zahtijeva vježbu.

U samom opći slučaj, kada su brojevi različiti od nule, ravnina siječe sve tri koordinatne osi. Na primjer, ovako:

Još jednom ponavljam da se ravnina nastavlja unedogled u svim smjerovima, a mi imamo priliku prikazati samo njen dio.

Razmotrimo najjednostavnije jednadžbe ravnina:

Kako razumjeti dana jednadžba? Razmislite o tome: “Z” UVIJEK, za sve vrijednosti “X” i “Y” jednako je nuli. Ovo je jednadžba "nativne" koordinatne ravnine. Doista, formalno se jednadžba može prepisati na sljedeći način: , odakle se jasno vidi da nas nije briga koje vrijednosti imaju “x” i “y”, bitno je da je “z” jednako nuli.

Slično:
je jednadžba koordinatne ravnine ;
je jednadžba koordinatne ravnine.

Zakomplicirajmo malo problem, razmotrimo ravninu (ovdje i dalje u paragrafu pretpostavljamo da numerički koeficijenti nisu jednaki nuli). Prepišimo jednadžbu u obliku: . Kako to razumjeti? "X" je UVIJEK, jer je svaka vrijednost "y" i "z" jednaka određenom broju. Ta je ravnina paralelna s koordinatnom ravninom. Na primjer, ravnina je paralelna s ravninom i prolazi kroz točku.

Slično:
- jednadžba ravnine, koja je paralelna s koordinatnom ravninom;
- jednadžba ravnine koja je paralelna s koordinatnom ravninom.

Dodaj članove: . Jednadžba se može prepisati ovako: , to jest, "Z" može biti bilo što. Što to znači? "X" i "Y" povezani su omjerom koji povlači određenu ravnu liniju u ravnini (prepoznat ćete jednadžba pravca u ravnini?). Budući da Z može biti bilo što, ova linija se "replicira" na bilo kojoj visini. Dakle, jednadžba definira ravninu paralelnu s koordinatnom osi

Slično:
- jednadžba ravnine, koja je paralelna s koordinatnom osi;
- jednadžba ravnine, koja je paralelna s koordinatnom osi.

Ako su slobodni članovi nula, tada će ravnine izravno prolaziti kroz odgovarajuće osi. Na primjer, klasična "izravna proporcionalnost":. Nacrtajte ravnu liniju u ravnini i mentalno je pomnožite gore-dolje (jer je "z" bilo koji). Zaključak: avion, zadan jednadžbom, prolazi kroz koordinatnu os .

Zaključujemo pregled: jednadžba ravnine prolazi kroz ishodište. Pa, ovdje je sasvim očito da točka zadovoljava zadanu jednadžbu.

I, na kraju, slučaj koji je prikazan na crtežu: - ravnina je prijatelj sa svim koordinatnim osima, dok uvijek “odsijeca” trokut koji se može nalaziti u bilo kojem od osam oktanata.

Linearne nejednadžbe u prostoru

Za razumijevanje informacija potrebno je dobro proučiti linearne nejednakosti u ravnini jer će mnoge stvari biti slične. Odlomak će biti kratak pregled s nekoliko primjera, budući da je materijal prilično rijedak u praksi.

Ako jednadžba definira ravninu, onda su nejednadžbe
pitati poluprostori. Ako nejednadžba nije stroga (zadnje dvije u listi), tada rješenje nejednadžbe, osim poluprostora, uključuje i samu ravninu.

Primjer 5

Pronađite samca normalni vektor avion .

Odluka: Jedinični vektor je vektor čija je duljina jednaka jedinici. Označiti dati vektor preko . Sasvim je jasno da su vektori kolinearni:

Najprije uklonimo vektor normale iz jednadžbe ravnine: .

Kako pronaći jedinični vektor? Da biste pronašli jedinični vektor, trebate svaki koordinata vektora podijeljena s duljinom vektora.

Prepišimo normalni vektor u obliku i pronađimo njegovu duljinu:

Prema gore navedenom:

Odgovor:

Provjerite: , što je bilo potrebno provjeriti.

Čitatelji koji su pažljivo proučili zadnji odlomak lekcije vjerojatno su to primijetili koordinate jediničnog vektora su upravo kosinusi smjera vektora:

Skrenimo s rastavljenog problema: kada vam je dan proizvoljan vektor različit od nule, a po uvjetu je potrebno pronaći njegove smjerne kosinuse (vidi zadnje zadatke lekcije Točkasti umnožak vektora), onda zapravo također nalazite jedinični vektor kolinearan zadanom. Zapravo, dva zadatka u jednoj boci.

Potreba za pronalaženjem jediničnog normalnog vektora javlja se u nekim problemima matematičke analize.

Shvatili smo pecanje normalnog vektora, sada ćemo odgovoriti na suprotno pitanje:

Kako napisati jednadžbu za ravninu pomoću točke i normalnog vektora?

Ova kruta konstrukcija normalnog vektora i točke dobro je poznata kod mete za pikado. Ispružite ruku naprijed i mentalno odaberite proizvoljna točka prostora, na primjer, malu mačku u kredencu. Očito, kroz ovu točku možete nacrtati jednu ravninu okomitu na svoju ruku.

Jednadžba ravnine koja prolazi kroz točku okomitu na vektor izražava se formulom:

Da biste koristili metodu koordinata, morate dobro poznavati formule. Ima ih tri:

Na prvi pogled izgleda prijeteće, ali samo malo prakse - i sve će raditi sjajno.

Zadatak. Odredi kosinus kuta između vektora a = (4; 3; 0) i b = (0; 12; 5).

Odluka. Budući da su nam zadane koordinate vektora, zamijenimo ih u prvu formulu:

Zadatak. Napiši jednadžbu ravnine koja prolazi kroz točke M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) i K = (2; 1; 0), ako je poznato da ona ne prolazi kroz porijeklo.

Odluka. Opća jednadžba ravnine: Ax + By + Cz + D = 0, ali kako željena ravnina ne prolazi kroz ishodište - točku (0; 0; 0) - tada postavljamo D = 1. Budući da ova ravnina prolazi kroz točke M, N i K, tada bi koordinate tih točaka trebale pretvoriti jednadžbu u pravu numeričku jednakost.

Zamijenimo koordinate točke M = (2; 0; 1) umjesto x, y i z. Imamo:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Slično, za točke N = (0; 1; 1) i K = (2; 1; 0) dobivamo jednadžbe:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Dakle, imamo tri jednadžbe i tri nepoznanice. Sastavljamo i rješavamo sustav jednadžbi:

Dobili smo da jednadžba ravnine ima oblik: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

Zadatak. Ravnina je dana jednadžbom 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Odredi koordinate vektora okomitog na zadanu ravninu.

Odluka. Pomoću treće formule dobivamo n = (7; − 2; 4) - to je sve!

Izračunavanje koordinata vektora

Ali što ako u problemu nema vektora - postoje samo točke koje leže na ravnim linijama, a potrebno je izračunati kut između tih ravnih linija? Jednostavno je: znajući koordinate točaka - početak i kraj vektora - možete izračunati koordinate samog vektora.

Da bismo pronašli koordinate vektora, potrebno je od koordinata njegovog kraja oduzeti koordinate početka.

Ovaj teorem jednako vrijedi na ravnini iu prostoru. Izraz "oduzimanje koordinata" znači da se x koordinata druge točke oduzima od x koordinate jedne točke, zatim se isto mora učiniti s y i z koordinatama. Evo nekoliko primjera:

Zadatak. Postoje tri točke u prostoru, zadane svojim koordinatama: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) i C = (− 4; 3; − 2). Odredite koordinate vektora AB, AC i BC.

Razmotrimo vektor AB: njegov početak je u točki A, a kraj u točki B. Dakle, da bismo pronašli njegove koordinate, potrebno je oduzeti koordinate točke A od koordinata točke B:
AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).

Slično, početak vektora AC je još uvijek ista točka A, ali kraj je točka C. Dakle, imamo:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

Konačno, da bismo pronašli koordinate vektora BC, potrebno je od koordinata točke C oduzeti koordinate točke B:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Odgovor: AB = (2; − 7; 4); AC = (−5;−3;−5); BC = (−7; 4; − 9)

Obratite pozornost na izračun koordinata posljednjeg vektora BC: mnogi ljudi griješe pri radu s negativni brojevi. To vrijedi za varijablu y: točka B ima koordinatu y = − 1, a točka C y = 3. Dobivamo točno 3 − (− 1) = 4, a ne 3 − 1, kako mnogi misle. Nemojte činiti takve glupe greške!

Računanje vektora smjera za ravne linije

Ako pažljivo pročitate problem C2, iznenadit ćete se kada vidite da tu nema vektora. Postoje samo ravne linije i ravnine.

Počnimo s ravnim linijama. Ovdje je sve jednostavno: na bilo kojoj liniji postoje najmanje dva razne točke i obrnuto, bilo koje dvije različite točke definiraju jednu ravnu liniju...

Razumije li netko što piše u prethodnom odlomku? Nisam to sam razumio, pa ću objasniti jednostavnije: u problemu C2, pravci su uvijek zadani parom točaka. Ako uvedemo koordinatni sustav i razmotrimo vektor s početkom i krajem u tim točkama, dobivamo tzv. usmjerivački vektor za ravnu liniju:

Zašto je potreban ovaj vektor? Poanta je da je kut između dviju ravnih linija kut između njihovih vektora smjera. Dakle, prelazimo s nerazumljivih ravnih linija na specifične vektore čije se koordinate lako izračunavaju. Kako lako? Pogledajte primjere:

Zadatak. U kocki ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nacrtani su pravci AC i BD 1 . Odredite koordinate vektora smjera tih pravaca.

Budući da u uvjetu nije navedena duljina bridova kocke, postavimo AB = 1. Uvedimo koordinatni sustav s ishodištem u točki A i osi x, y, z usmjerenim duž pravaca AB, AD i AA. 1, odnosno. Jedinični segment jednak je AB = 1.

Nađimo sada koordinate vektora pravca za ravnu liniju AC. Potrebne su nam dvije točke: A = (0; 0; 0) i C = (1; 1; 0). Odavde dobivamo koordinate vektora AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) - to je vektor smjera.

Sada se pozabavimo ravnom linijom BD 1 . Također ima dvije točke: B = (1; 0; 0) i D 1 = (0; 1; 1). Dobivamo vektor smjera BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).

Odgovor: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (− 1; 1; 1)

Zadatak. U desnoj trokutasta prizma ABCA 1 B 1 C 1 , čiji su svi bridovi jednaki 1, nacrtani su pravci AB 1 i AC 1 . Odredite koordinate vektora smjera tih pravaca.

Uvedimo koordinatni sustav: ishodište je u točki A, x-os se poklapa s AB, z-os se poklapa s AA 1 , y-os čini ravninu OXY s x-osi, koja se poklapa s ABC avion.

Prvo, pozabavimo se ravnom linijom AB 1 . Ovdje je sve jednostavno: imamo točke A = (0; 0; 0) i B 1 = (1; 0; 1). Dobivamo vektor smjera AB 1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).

Nađimo sada vektor smjera za AC 1 . Sve je isto - razlika je samo u tome što točka C 1 ima iracionalne koordinate. Dakle, A = (0; 0; 0), pa imamo:

Odgovor: AB 1 = (1; 0; 1);

Mali ali vrlo važna nota oko posljednji primjer. Ako se početak vektora podudara s ishodištem, izračuni su znatno pojednostavljeni: koordinate vektora jednostavno su jednake koordinatama kraja. Nažalost, ovo vrijedi samo za vektore. Na primjer, kada radite s ravninama, prisutnost ishodišta koordinata na njima samo komplicira izračune.

Izračun normalnih vektora za ravnine

Normalni vektori nisu vektori kojima je dobro ili se dobro osjećaju. Po definiciji, normalni vektor (normala) na ravninu je vektor okomit na zadanu ravninu.

Drugim riječima, normala je vektor okomit na bilo koji vektor u danoj ravnini. Sigurno ste naišli na takvu definiciju - međutim, umjesto vektora, radilo se o ravnim crtama. Međutim, upravo gore pokazano je da se u problemu C2 može raditi s bilo kojim pogodnim objektom - čak i ravnom linijom, čak i vektorom.

Podsjećam vas još jednom da je svaka ravnina definirana u prostoru jednadžbom Ax + By + Cz + D = 0, gdje su A, B, C i D neki koeficijenti. Ne umanjujući općenitost rješenja, možemo pretpostaviti D = 1 ako ravnina ne prolazi kroz ishodište ili D = 0 ako prolazi. U svakom slučaju, koordinate vektora normale na ovu ravninu su n = (A; B; C).

Dakle, ravnina se također može uspješno zamijeniti vektorom - istom normalom. Bilo koja ravnina određena je u prostoru s tri točke. Kako pronaći jednadžbu ravnine (a time i normalu), već smo raspravljali na samom početku članka. Međutim, ovaj proces mnogima stvara probleme, pa ću dati još nekoliko primjera:

Zadatak. U kocki ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nacrtan je presječak A 1 BC 1 . Odredite vektor normale za ravninu ovog presjeka ako je ishodište u točki A, a osi x, y i z poklapaju se s bridovima AB, AD i AA 1.

Budući da ravnina ne prolazi kroz ishodište, njena jednadžba izgleda ovako: Ax + By + Cz + 1 = 0, tj. koeficijent D \u003d 1. Budući da ova ravnina prolazi kroz točke A 1, B i C 1, koordinate tih točaka pretvaraju jednadžbu ravnine u ispravnu numeričku jednakost.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

Slično, za točke B = (1; 0; 0) i C 1 = (1; 1; 1) dobivamo jednadžbe:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Ali koeficijenti A = − 1 i C = − 1 su nam već poznati, pa ostaje pronaći koeficijent B:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.

Dobivamo jednadžbu ravnine: - A + B - C + 1 = 0, Dakle, koordinate vektora normale su n = (- 1; 1; - 1).

Zadatak. U kocki ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nacrtan je presjek AA 1 C 1 C. Nađite vektor normale za ravninu tog presjeka ako je ishodište u točki A, a osi x, y i z poklapaju se s bridovi redom AB, AD i AA 1.

NA ovaj slučaj ravnina prolazi kroz ishodište, pa je koeficijent D \u003d 0, a jednadžba ravnine izgleda ovako: Ax + By + Cz \u003d 0. Budući da ravnina prolazi kroz točke A 1 i C, koordinate tih točaka pretvoriti jednadžbu ravnine u ispravnu numeričku jednakost.

Zamijenimo koordinate točke A 1 = (0; 0; 1) umjesto x, y i z. Imamo:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

Slično, za točku C = (1; 1; 0) dobivamo jednadžbu:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Neka je B = 1. Tada je A = − B = − 1, a jednadžba cijele ravnine je: − A + B = 0. Dakle, koordinate vektora normale su n = (− 1; 1; 0).

Općenito govoreći, u navedenim zadacima potrebno je sastaviti sustav jednadžbi i riješiti ga. Postojat će tri jednadžbe i tri varijable, ali će u drugom slučaju jedna od njih biti slobodna, tj. uzeti proizvoljne vrijednosti. Zato imamo pravo staviti B = 1 - ne dovodeći u pitanje općenitost rješenja i točnost odgovora.

Vrlo često u problemu C2 potrebno je raditi s točkama koje dijele segment na pola. Koordinate takvih točaka lako se izračunavaju ako su poznate koordinate krajeva segmenta.

Dakle, neka je segment zadan svojim krajevima - točkama A \u003d (x a; y a; z a) i B \u003d (x b; y b; z b). Tada se koordinate sredine segmenta - označavamo je točkom H - mogu pronaći po formuli:

Drugim riječima, koordinate sredine segmenta su aritmetička sredina koordinata njegovih krajeva.

Zadatak. Jedinična kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 postavljena je u koordinatni sustav tako da su osi x, y i z usmjerene duž bridova AB, AD i AA 1, a ishodište se poklapa s točkom A. Točka K je središte brida A 1 B one . Pronađite koordinate te točke.

Budući da je točka K sredina segmenta A 1 B 1 , njezine su koordinate jednake aritmetičkoj sredini koordinata krajeva. Zapišimo koordinate krajeva: A 1 = (0; 0; 1) i B 1 = (1; 0; 1). Nađimo sada koordinate točke K:

Zadatak. Jedinična kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 postavljena je u koordinatni sustav tako da su osi x, y i z usmjerene duž bridova AB, AD i AA 1 redom, a ishodište se poklapa s točkom A. Odredite koordinate točke L gdje sijeku dijagonale kvadrata A 1 B 1 C 1 D 1 .

Iz kolegija planimetrije poznato je da je sjecište dijagonala kvadrata jednako udaljeno od svih njegovih vrhova. Konkretno, A 1 L = C 1 L, tj. točka L je polovište dužine A 1 C 1 . Ali A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), pa imamo:

Odgovor: L = (0,5; 0,5; 1)