In meer complexe structuren het kan nodig zijn om de ontledingsstelling herhaaldelijk toe te passen. Zo toont figuur 2.2 de uitzetting ten opzichte van element 7 (bovenste rij) en vervolgens ten opzichte van element 8 (onderste rij). De resulterende vier subnetten hebben serie-parallelle structuren en vereisen geen uitbreidingen meer. Het is gemakkelijk te zien dat bij elke stap het aantal elementen in de resulterende subnetten met één afneemt, en het aantal subnetten dat nadere beschouwing verdubbelt. Daarom is het beschreven proces in ieder geval eindig, en het aantal resulterende serie-parallelle structuren zal 2 m zijn, waarbij t - het aantal elementen waarover de ontbinding moest worden uitgevoerd. De complexiteit van deze methode kan worden geschat op 2 m , wat minder is dan de complexiteit van uitputtende opsomming, maar desalniettemin nog steeds onaanvaardbaar voor het berekenen van de betrouwbaarheid van echte schakelnetwerken.

Figuur.2.2 Sequentiële decompositie van het netwerk

Methode van secties of reeksen paden

Overweeg een andere methode om de structurele betrouwbaarheid van netwerken te berekenen. Stel dat het, zoals eerder, nodig is om de waarschijnlijkheid van netwerkconnectiviteit tussen gegeven paar knooppunten A,B. Het criterium voor de juiste werking van het netwerk in deze zaak is de aanwezigheid van ten minste één manier van informatieoverdracht tussen de beschouwde knooppunten. Stel we hebben een lijst mogelijke manieren in de vorm van een lijst met elementen (knooppunten en communicatierichtingen) die in elk pad zijn opgenomen. BIJ algemeen geval paden zijn afhankelijk, aangezien elk element in meerdere paden kan worden opgenomen. Betrouwbaarheid R s elk s-ro-pad kan worden berekend met behulp van de seriële verbindingsformule R s =p 1s p 2s …p ts , waarbij p is - betrouwbaarheid ik-deze het s-ro-element van het pad.

De gewenste betrouwbaarheid van HAB hangt af van de betrouwbaarheid van elk pad en de opties voor hun kruispunten door gemeenschappelijke elementen. Geef de betrouwbaarheid aan die wordt geboden door de eerste r paden, door H r . Het toevoegen van het volgende (r+1) -de pad met betrouwbaarheid R r+1 zal uiteraard leiden tot een toename van de structurele betrouwbaarheid, die nu zal worden bepaald door de vereniging van twee gebeurtenissen: ten minste één van de eerste r is bruikbaar paden of bruikbaar (r+1) - het pad. De kans dat deze gecombineerde gebeurtenis zich voordoet, rekening houdend met mogelijke afhankelijkheid. storingen (r+1) - th en andere paden

H r+i =H r +R r+i -R r+1 H r/(r+1), (2.10)

waarbij H r/ (r+1) de waarschijnlijkheid is van bruikbaarheid van ten minste één van de eerste r-paden, op voorwaarde dat het (r+1) -de pad bruikbaar is.

Uit de definitie voorwaardelijke kans H r/ (r+1) hieruit volgt dat bij het berekenen ervan de waarschijnlijkheid van een correcte werking van alle elementen in het (r+1) -de pad moet worden genomen gelijk aan één. Voor het gemak van verdere berekeningen geven we de laatste uitdrukkingsterm (2.10) in de volgende vorm weer:

R r+1 H r/ (r+1) = R r+1 ¤ H r (2.11)

waarbij het symbool (¤) betekent dat bij vermenigvuldiging de betrouwbaarheidsindicatoren van alle elementen in de eerste r-paden en gemeenschappelijk met het (r+l) -de pad worden vervangen door één. Rekening houdend met (2.11), kunnen we (2.10) herschrijven:

?H r+1 = R r+1 ¤ Q r (2.12)

waar? H r+1 =H r+1 -H r - toename van structurele betrouwbaarheid met de introductie van het (r+1) -de pad; Q r =1 - H r is de kans dat de eerste r-paden gelijktijdig zullen falen.

Gegeven dat de toename in betrouwbaarheid?H r+1 numeriek gelijk is aan de afname in onbetrouwbaarheid?Q r+1, verkrijgen we de volgende vergelijking in eindige verschillen:

?Q r+1 =R r+1 ¤ Q r (2.13)

Het is gemakkelijk om te controleren of de oplossing van vergelijking (2.13) de functie is

Q r = (1-R 1) ¤ (1-R 2) ¤…¤ (1-R r) ( 2.14)

In het geval van onafhankelijke paden valt de bewerking van symbolische vermenigvuldiging samen met gewone vermenigvuldiging, en uitdrukking (2.14) geeft op dezelfde manier als (2.4) de inactieve tijdfactor van een systeem dat bestaat uit parallel geschakelde elementen. In het algemene geval dwingt de noodzaak om rekening te houden met de gemeenschappelijke elementen van de paden ons om vermenigvuldiging uit te voeren volgens (2.14) in algebraïsche vorm. In dit geval wordt het aantal termen in de resulterende formule met vermenigvuldiging met elke volgende binomiaal verdubbeld en eindresultaat zal 2 r leden hebben, wat gelijk staat aan een uitputtende opsomming van de totaliteit van alle r paden. Bij r=10 zal het aantal termen in de uiteindelijke formule bijvoorbeeld groter zijn dan 1000, wat al buiten het bereik van handmatig tellen valt. Met een verdere toename van het aantal paden, raken de mogelijkheden van moderne computers snel uitgeput.

De eigenschappen van de hierboven geïntroduceerde symbolische vermenigvuldigingsoperatie maken het echter mogelijk om de complexiteit van berekeningen drastisch te verminderen. Laten we deze eigenschappen in meer detail bekijken. Volgens de werking van symbolische vermenigvuldiging geldt de volgende regel voor de betrouwbaarheidsindicator p i van elk element:

p i ¤ p i =p i . (2.15)

Bedenk dat de tweede factor (2.15) de betekenis heeft van de waarschijnlijkheid van correcte werking van het i-de element onder de voorwaarde van zijn bruikbaarheid, die uiteraard gelijk is aan één.

Om verdere berekeningen in te korten, introduceren we de volgende notatie voor de onbetrouwbaarheid van het i-de element:

=1-p i (2.16)

Rekening houdend met (2.15) en (2.16), kunnen we het volgende schrijven: eenvoudige regels transformaties van uitdrukkingen die p en p . bevatten :

p ik ¤p ik =p ik (2.17)

p ik p j ¤ =p ik p j -p ik p s

Voor een voorbeeld van het gebruik van deze regels bij het berekenen van de betrouwbaarheid, overweeg het eenvoudigste communicatienetwerk dat wordt getoond in Fig. Fig.2.3 De letters aan de randen van de grafiek geven de betrouwbaarheidsindicatoren van de corresponderende communicatielijnen aan.

Voor de eenvoud zullen we knooppunten als ideaal betrouwbaar beschouwen. Laten we aannemen dat het voor communicatie tussen knooppunten A en B mogelijk is om alle paden te gebruiken die bestaan ​​uit drie of minder verbonden lijnen in serie, d.w.z. beschouw de subset van paden (m) = (ab, cdf, cgb, ahf). Laten we de toename van de betrouwbaarheid bepalen die door elk volgend pad wordt geleverd, volgens de formule (2.12) rekening houdend met (2.14):

Зr+1=Rr+1¤ (¤1¤…¤) (2.18),

Figuur.2.3 - Een voorbeeld van een rekennetwerk op een beperkte subset van paden

Figuur 2.4 - Een voorbeeld van een netwerk voor het berekenen van de betrouwbaarheid van de volledige set paden, waarbij Ri=1-R1 gelijk is aan (2.16).

Door achtereenvolgens de formule (2.18) en de regels van symbolische vermenigvuldiging (2.17) toe te passen. naar het netwerk in kwestie, krijgen we:

Z 2 =cdf¤ () =cdf*;

Z3 =cgb¤ (¤) =cgb**;

Z 4 =ahf¤ (¤¤) =ahf**.

Bij het berekenen van de laatste increment hebben we regel 4 gebruikt, die de regel van absorptie van lange ketens door korte kan worden genoemd; in dit geval geeft het toepassen b¤cgb=b . Als andere paden zijn toegestaan, zoals het cdhb-pad , dan is het niet moeilijk om de betrouwbaarheidstoename die het oplevert te berekenen?H 5 =cdhb¤ (a¤ f¤ g¤ af) = =cdfb*a*f*g. De resulterende netwerkbetrouwbaarheid kan nu worden berekend als de som van de stappen die door elk van de beschouwde paden worden geleverd:

H R =?H i (2.19)

Dus, voor het overwogen voorbeeld, in de veronderstelling dat betrouwbaarheid. alle elementen van het netwerk zijn hetzelfde, d.w.z. a=b=c=d=f=h=g=p, we krijgen H 5 =p 2 +p 3 (1-p 2) + +2p 3 (1-p) (1-p 2) +p 4 ( 1-p) 3 . Bij machine-implementatie kan de berekening ook worden gebaseerd op formule (2.13), rekening houdend met het feit dat:

Q r =?Q i (2.20)

Volgens (2.13) hebben we het volgende: herhalingsrelatie

Q r+i =Q r -R r+1 ¤ Q r . (2.21)

Bij begintoestand Q 0 \u003d l bij elke volgende stap, van de eerder verkregen uitdrukking voor Q r, moet men het product van de betrouwbaarheid van het volgende (r + 1) -de pad aftrekken met dezelfde uitdrukking, waarin alleen de betrouwbaarheidsindicatoren van alle elementen in het (r + 1) -de pad moeten gelijk zijn aan één.

Laten we als voorbeeld de betrouwbaarheid berekenen van het netwerk weergegeven in figuur 2.4 met betrekking tot knooppunten A en B , waartussen er 11 mogelijke manieren van informatieoverdracht zijn. Alle berekeningen zijn samengevat in Tabel 2.1: een lijst van elementen die in elk pad zijn opgenomen, het resultaat van het vermenigvuldigen van de betrouwbaarheid van dit pad met de waarde van Q r verkregen door alle voorgaande paden te beschouwen, en het resultaat van het vereenvoudigen van de inhoud van de derde kolom volgens de regels (2.17). De uiteindelijke formule voor q AB staat in de laatste kolom, van boven naar beneden gelezen. De tabel toont volledig alle berekeningen die nodig zijn om de structurele betrouwbaarheid van het beschouwde netwerk te berekenen.

Tabel 2.1 Resultaten van het berekenen van de betrouwbaarheid van het netwerk weergegeven in Fig. 2.4

Om het aantal berekeningen te verminderen, mogen haakjes niet onnodig worden geopend; als tussentijds resultaat vereenvoudigingen toestaat (gelijke termen gebruiken, de gemeenschappelijke factor tussen haakjes plaatsen, enz.), moeten ze worden uitgevoerd.

Laten we een aantal rekenstappen uitleggen. Aangezien Q 0 = 1 (als er geen paden zijn, is het netwerk verbroken), dan is voor Q 1 van (2.21) Q 1 =1 - ab=ab. We zetten de volgende stap (6.21) voor Q 2 =ab-fghab==ab*fgh enzovoort.

Laten we in meer detail de stap bekijken waarin rekening wordt gehouden met de bijdrage van pad 9. Het product van de betrouwbaarheidsindicatoren van de samenstellende elementen, vastgelegd in de tweede kolom van tabel 2.1, wordt overgebracht naar de derde. Volgende in vierkante haakjes de kans om alle voorgaande acht paden te verbreken wordt geschreven, geaccumuleerd in de vierde kolom (vanaf de eerste rij), rekening houdend met de regel (2.15), volgens welke de betrouwbaarheidsindicatoren van alle elementen in pad 9 worden vervangen door enen . De bijdrage van de vierde, zesde en zevende regel blijkt volgens regel 1 gelijk te zijn aan nul. Verder is de uitdrukking tussen vierkante haken volgens de regels (2.17) als volgt vereenvoudigd: b =b (fhc-hfc-fhc ) =bc (h-fh) =bchf . Op dezelfde manier wordt de berekening gemaakt voor alle andere paden.

Het gebruik van de methode in kwestie maakt het mogelijk om algemene formule: structurele betrouwbaarheid, die in het beschouwde geval slechts 15 termen bevat in plaats van het maximale aantal 2 11 = 2048, verkregen door de faalkansen van deze paden direct te vermenigvuldigen. Bij de machinale implementatie van de methode is het handig om alle elementen van het netwerk in een positionele code weer te geven als een reeks bits en de ingebouwde Booleaanse functies te gebruiken om de logische elementen van transformaties (2.17) te implementeren.

Tot nu toe hebben we gekeken naar indicatoren van de structurele betrouwbaarheid van het netwerk ten opzichte van een speciaal paar knooppunten. Het geheel van dergelijke indicatoren voor alle of een deelverzameling van paren kan de structurele betrouwbaarheid van het netwerk als geheel vrij volledig karakteriseren. Soms wordt een ander, integraal, criterium voor structurele betrouwbaarheid gebruikt. Volgens dit criterium wordt het netwerk als bruikbaar beschouwd als er een verbinding is tussen al zijn knooppunten en er een eis wordt gesteld aan de waarschijnlijkheid van een dergelijke gebeurtenis.

Om de structurele betrouwbaarheid volgens dit criterium te berekenen, volstaat het om een ​​veralgemening van het concept van een pad in de vorm van een boom die alle gegeven netwerkknooppunten verbindt, te introduceren. Vervolgens wordt het netwerk aangesloten als er ten minste één verbindingsboom is, en wordt de berekening gereduceerd tot het vermenigvuldigen van de faalkansen van alle beschouwde bomen, rekening houdend met de aanwezigheid van gemeenschappelijke elementen. Waarschijnlijkheid. Q s falen van de s-de boom wordt op dezelfde manier gedefinieerd als de faalkans van het pad

waar p is - i-ro betrouwbaarheidsindicator van het element opgenomen in z-e boom; NS het aantal elementen in de s-de boom.

Denk bijvoorbeeld aan het eenvoudigste netwerk in de vorm van een driehoek, zijden. die worden gewogen door betrouwbaarheidsindicatoren a, b, c overeenkomstige vestigingen. Voor de connectiviteit van een dergelijk netwerk is het bestaan ​​van ten minste één van de bomen ab, bc, ca voldoende. . Met behulp van de recursierelatie (2.12) bepalen we de kans dat dit netwerk H . is aangesloten . cb=ab+bca+cabine. Als a=b=c=p , we krijgen volgende waarde verbindingskans, die gemakkelijk te controleren is door middel van opsomming: H . cb \u003d 3r 2 -2r 3.

Om de connectiviteitskans van voldoende vertakte netwerken te berekenen, is het in de regel handiger om in plaats van een lijst met verbindingsbomen een lijst met secties (y) te gebruiken die leiden tot een verlies van netwerkconnectiviteit volgens het beschouwde criterium. Het is gemakkelijk aan te tonen dat alle hierboven geïntroduceerde regels van symbolische vermenigvuldiging geldig zijn voor de sectie, maar in plaats van de betrouwbaarheidsindicatoren van de netwerkelementen, moeten de onbetrouwbaarheidsindicatoren q=1-p worden gebruikt als initiële gegevens . Inderdaad, als alle paden of bomen als "parallel" kunnen worden beschouwd, rekening houdend met hun onderlinge afhankelijkheid, dan worden alle secties in deze zin "opeenvolgend" opgenomen. Laten we de kans dat er geen enkel bruikbaar element in een sectie is s aanduiden met р s . Dan kan men schrijven

R s =q 1s q 2s …q Mevrouw , (2.22)

waarbij q is - de onbetrouwbaarheidsindex van het i-ro-element dat is opgenomen in de sectie s-e.

De kans H cb van netwerkconnectiviteit kan dan op dezelfde manier worden weergegeven als (2.14) in symbolische vorm

H cb = (1-p 1 ) ¤ ( 1e 2 ) ¤…¤ ( 1e r) (2.23)

waar r - aantal overwogen secties. Met andere woorden, om het netwerk te kunnen aansluiten, is het noodzakelijk dat ten minste één element in elke sectie tegelijkertijd operationeel is, rekening houdend met de onderlinge afhankelijkheid van de secties van gemeenschappelijke elementen. Formule (2.23) is in zekere zin tweeledig aan formule (2.14) en wordt uit de laatste verkregen door paden te vervangen door sneden en waarschijnlijkheden van goede werking met de kans op een storingstoestand. Evenzo duaal met betrekking tot formule (2.21) is de recursieve relatie

H r+1 =H r - R r+1 ¤ H r (2.24)

Laten we bijvoorbeeld de connectiviteitskans van het hierboven beschouwde driehoekige netwerk berekenen met een reeks secties ab, bc, ca. Volgens (2.23) hebben we onder de beginvoorwaarde H 0 =1 H cd =ab-bca-cab. Met dezelfde indicatoren van onbetrouwbaarheid van de netwerkelementen a=b=c=q, krijgen we H cb =1-q 2 -2q 2 (1 - q). Dit resultaat is hetzelfde als het resultaat dat eerder werd verkregen met behulp van de boomtellingsmethode.

De methode van secties kan natuurlijk ook worden gebruikt om de waarschijnlijkheid van netwerkconnectiviteit te berekenen met betrekking tot een geselecteerd paar knooppunten, vooral in gevallen waar het aantal secties in het betreffende netwerk significant is. minder dan nummer nullen. Het grootste effect in termen van het verminderen van de complexiteit van berekeningen wordt echter verkregen door het gelijktijdige gebruik van beide methoden, die verder zullen worden besproken.

Het vinden van een onbepaalde integraal (een reeks voorderivaten of "anti-derivaten") betekent het herstellen van een functie van de bekende afgeleide van deze functie. Herstelde set van antiderivaten F(x) + VAN voor functie f(x) houdt rekening met de integratieconstante C. Op reissnelheid materieel punt(afgeleide) de bewegingswet van dit punt (primitief) kan worden hersteld; volgens de versnelling van de beweging van een punt - de snelheid en de bewegingswet. Zoals je kunt zien, is integratie een breed veld voor de activiteit van Sherlock Holmes uit de natuurkunde. Ja, en in de economie worden veel concepten weergegeven door functies en hun afgeleiden, en daarom is het bijvoorbeeld mogelijk om het volume van de op het juiste moment geproduceerde output te herstellen door arbeidsproductiviteit op een bepaald moment in de tijd (derivaat).

Om de onbepaalde integraal te vinden, is een vrij klein aantal basisintegratieformules vereist. Maar het proces om het te vinden is veel moeilijker dan het louter toepassen van deze formules. Alle complexiteit heeft niet te maken met integratie, maar met het in een zodanige vorm brengen van de integreerbare uitdrukking die het mogelijk maakt om de onbepaalde integraal te vinden met behulp van de hierboven genoemde basisformules. Dit betekent dat om de praktijk van integratie te starten, u de resultaten moet activeren die zijn verkregen in middelbare school expressie transformatie vaardigheden.

We zullen integralen leren vinden met eigenschappen en de tabel van onbepaalde integralen uit de les over de basisconcepten van dit onderwerp (opent in een nieuw venster).

Er zijn verschillende methoden om de integraal te vinden, waarvan: variabele vervangingsmethode en methode van integratie door delen- een verplichte herenset voor iedereen die geslaagd is voor hogere wiskunde. Het is echter nuttiger en prettiger om te beginnen met het leren van integratie met behulp van de uitbreidingsmethode op basis van de volgende twee stellingen over de eigenschappen van de onbepaalde integraal, die we hier voor het gemak zullen herhalen.

Stelling 3. De constante factor in de integrand kan uit het teken van de onbepaalde integraal worden gehaald, d.w.z.

Stelling 4. Onbepaalde integraal van een algebraïsche som eindig getal functies is algebraïsche som onbepaalde integralen van deze functies, d.w.z.

(2)

Bovendien kan de volgende regel nuttig zijn bij integratie: als de uitdrukking van de integrand een constante factor bevat, dan wordt de uitdrukking van de primitieve vermenigvuldigd met het omgekeerde van de constante factor, dat wil zeggen

(3)

Aangezien deze les een inleiding is tot het oplossen van integratieproblemen, is het belangrijk om twee dingen op te merken die ofwel al: beginstadium, of iets later kan je verrassen. Verrassing is te wijten aan het feit dat integratie de inverse operatie van differentiatie is en de onbepaalde integraal met recht "anti-afgeleide" kan worden genoemd.

Het eerste dat niet mag verbazen bij de integratie. In de tabel met integralen er zijn formules die geen analogen hebben tussen de formules van de afgeleide tabel . Dit zijn de volgende formules:

Men kan echter verifiëren dat de afgeleiden van de uitdrukkingen aan de rechterkant van deze formules samenvallen met de overeenkomstige integranden.

Het tweede wat je niet hoeft te verbazen bij het integreren. Hoewel de afgeleide van elke elementaire functie ook een elementaire functie is, onbepaalde integralen van sommige elementaire functies zijn niet langer elementaire functies . Voorbeelden van dergelijke integralen zijn:

De volgende vaardigheden zijn nuttig om een ​​integratietechniek te ontwikkelen: breuken verkleinen, een veelterm in de teller van een breuk delen door een monomiaal in de noemer (om de som van onbepaalde integralen te verkrijgen), wortels omzetten in een graad, een monomiaal vermenigvuldigen met een polynoom, verheffend tot een macht. Deze vaardigheden zijn nodig om de integrand te transformeren, wat zou moeten resulteren in de som van de integralen die aanwezig zijn in de tabel met integralen.

Samen onbepaalde integralen vinden

voorbeeld 1 Vind de onbepaalde integraal

.

Oplossing. We zien in de noemer van de integrand een polynoom waarin x kwadraat is. Dit is bijna een zeker teken dat de tabelintegraal 21 (met de boogtangens van het resultaat) kan worden toegepast. We halen de factor twee uit de noemer (er is zo'n eigenschap van de integraal - een constante factor kan uit het integraalteken worden gehaald, het werd hierboven genoemd als Stelling 3). Het resultaat van dit alles:

Nu is de noemer de kwadratensom, wat betekent dat we de genoemde tabelintegraal kunnen toepassen. Eindelijk krijgen we het antwoord:

.

Voorbeeld 2 Vind de onbepaalde integraal

Oplossing. We passen weer Stelling 3 toe - de eigenschap van de integraal, op basis waarvan de constante factor uit het integraalteken kan worden gehaald:

We passen formule 7 uit de tabel van integralen (variabel in graad) toe op de integrand:

.

We verkleinen de resulterende breuken en we hebben het definitieve antwoord:

Voorbeeld 3 Vind de onbepaalde integraal

Oplossing. Als we eerst Stelling 4 en vervolgens Stelling 3 toepassen op eigenschappen, vinden we deze integraal als de som van drie integralen:

Alle drie verkregen integralen zijn in tabelvorm. We gebruiken formule (7) uit de tabel met integralen voor n = 1/2, n= 2 en n= 1/5, en dan

combineert alle drie willekeurige constanten die werden geïntroduceerd toen drie vinden integralen. Daarom moet in vergelijkbare situaties slechts één willekeurige constante (constante) van integratie worden ingevoerd.

Voorbeeld 4 Vind de onbepaalde integraal

Oplossing. Als er een monomiaal in de noemer van de integrand staat, kunnen we de teller term voor term delen door de noemer. De oorspronkelijke integraal veranderde in de som van twee integralen:

.

Om de tabelintegraal toe te passen, zetten we de wortels om in machten en hier is het definitieve antwoord:

We blijven onbepaalde integralen samen vinden

Voorbeeld 7 Vind de onbepaalde integraal

Oplossing. Als we de integrand transformeren door de binomiaal te kwadrateren en de teller door de noemer term voor term te delen, dan wordt de oorspronkelijke integraal de som van drie integralen.

Deze kleine les zal het niet alleen mogelijk maken om het onder de knie te krijgen typische taak, wat in de praktijk vrij gebruikelijk is, maar ook om de materialen van het artikel te consolideren Uitbreiding van functies naar vermogensreeksen. Wij hebben nodig functie uitbreidingstabel in kracht series , die kan worden verkregen op de pagina Wiskundige formules en tabellen. Bovendien moet de lezer begrijpen: geometrische zin een duidelijke integraal en beschikken over elementaire integratievaardigheden.

Er moet ook worden opgemerkt dat nauwkeurigheid tot op drie decimalen het populairst is. Andere nauwkeurigheid van berekeningen is ook in gebruik, meestal 0,01 of 0,0001.

Nu de tweede fase van de oplossing:
Eerst veranderen we de integrand in de resulterende machtreeks:

Waarom kan dit überhaupt? Dit feit uitgelegd in de klas over uitbreiding van functies in vermogensreeksen is een oneindig veeltermgrafiek precies samenvalt met de grafiek van de functie ! Bovendien is in dit geval de instructie waar voor elke waarde van "x", en niet alleen voor het integratie-interval.

In de volgende stap vereenvoudigen we elke term zoveel mogelijk:

Het is beter om dit meteen te doen, zodat u bij de volgende stap niet in de war raakt met onnodige berekeningen.

De rekentechniek is standaard: eerst vervangen we 0.3 in elke term, en dan nul. Voor berekeningen gebruiken we een rekenmachine:

Hoeveel termen van de reeks moeten worden genomen voor de uiteindelijke berekeningen? Als de convergente reeks teken afwisselend, dan absolute fout modulo de laatste weggegooide term van de reeks niet overschrijdt. In ons geval al het derde lid van de serie is minder dan de vereiste nauwkeurigheid van 0,001, en daarom als we het weggooien, dan zullen we zeker een fout maken van niet meer dan 0.000972 (begrijp waarom!). Voor de uiteindelijke berekening zijn dus de eerste twee termen voldoende: .

Antwoorden: , nauwkeurig tot 0,001

Waar komt dit nummer vandaan? geometrisch punt visie? is het geschatte gebied van de gearceerde figuur (zie bovenstaande afbeelding).

Voorbeeld 2

Bereken ongeveer bepaalde integraal, nadat de integrand eerder is uitgebreid tot een vermogensreeks, met een nauwkeurigheid van 0,001

Dit is een voorbeeld voor onafhankelijke beslissing. Complete oplossing en het antwoord aan het einde van de les.

Op de een of andere manier heb ik, onverdiend, de arctangens omzeild en nooit op een rij gezet. Laten we de fout herstellen.

Voorbeeld 3

Bereken de bepaalde integraal met een nauwkeurigheid van 0,01 met behulp van de reeksuitbreiding van de integrand.

Oplossing: Er is een sterk vermoeden dat deze integraal wordt genomen, maar de oplossing is niet de eenvoudigste.

Laten we de integrand uitbreiden in een Maclaurin-reeks. We gebruiken decompositie:

In dit geval


Hier was het geluk dat de graden uiteindelijk nog intact bleven, fractionele machten het zou moeilijker zijn om te integreren.

Op deze manier:

Het gebeurt ook. Leden met een kar - het is gemakkelijker voor een student.

Antwoorden: met een nauwkeurigheid van 0,01.

Nogmaals, merk op dat de nauwkeurigheid van 0,01 hier alleen wordt gegarandeerd omdat de convergente reeks teken afwisselend. Voor een rij met positieve leden, bijvoorbeeld een reeks een dergelijke schatting kan niet worden gemaakt, omdat de som van de weggegooide "staart" gemakkelijk meer dan 0,00089 kan bedragen. Wat te doen in dergelijke gevallen? Ik vertel het je aan het einde van de les. In de tussentijd zal ik het geheim onthullen dat in alle voorbeelden van vandaag de rijen elkaar afwisselen.

En, natuurlijk, moet worden gecontroleerd bereik van convergentie van een reeks. In het beschouwde voorbeeld is het trouwens "omgehakt": (door vierkantswortel) , maar ons integratiesegment ligt volledig in deze regio.

Wat gebeurt er als je een illegale zaak probeert op te lossen, zoals? ? De functie zal ook perfect uitgroeien tot een serie, de leden van de serie zullen ook opmerkelijk geïntegreerd worden. Maar wanneer we beginnen met het vervangen van de waarde bovengrens volgens de formule van Newton-Leibniz zullen we zien dat aantallen zullen oneindig groeien, dat wil zeggen, elk volgende nummer zal groter zijn dan de vorige. De reeks convergeert alleen op het segment . Dit is geen paranoia, in de praktijk komt het wel eens voor. De reden is een typfout in de verzameling problemen of een trainingshandleiding, toen de auteurs over het hoofd zagen dat het integratie-interval "uitkruipt" buiten het convergentiegebied van de reeks.

Ik zal de integraal met de arcsinus niet beschouwen, omdat deze in het Rode Boek staat. Het is beter om bovendien iets "budget" te overwegen:

Voorbeeld 4

Bereken de definitieve integraal met een nauwkeurigheid van 0,001 door de integrand uit te breiden tot een reeks en term-voor-term integratie van deze reeks.

Dit is een doe-het-zelf voorbeeld. Wat betreft nul, het is hier geen belemmering - de integrand lijdt alleen herstelbare kloof op het punt en daarom Onjuist integraal lag niet hier en in de buurt, d.w.z. het gaat nog steeds over bepaalde integraal. In de loop van de oplossing zul je zien dat de resulterende reeks prachtig naar nul convergeert.

Laten we tot slot nog een paar voorbeelden bekijken die wat gecompliceerder zijn.

Voorbeeld 5

Bereken de definitieve integraal met een nauwkeurigheid van 0,001 door de integrand uit te breiden tot een reeks en term-voor-term integratie van deze reeks.

Oplossing: Als we de integrand analyseren, komen we tot de conclusie dat we de binominale expansie moeten gebruiken. Maar eerst moet de functie in de juiste vorm worden weergegeven:

Helaas, geen speciaal geval binominale expansie is niet geschikt, en we zullen de omslachtige algemene formule moeten gebruiken:

In dit geval: ,

Het is beter om de ontleding al in dit stadium zo veel mogelijk te vereenvoudigen. We merken ook op dat we de vierde term van de reeks natuurlijk niet nodig hebben, omdat er zelfs vóór integratie een breuk in verscheen, die duidelijk minder is dan de vereiste nauwkeurigheid van 0,001.

Op de deze les we zullen leren hoe we integralen van sommige soorten breuken kunnen vinden. Voor een succesvolle assimilatie van het materiaal moeten de berekeningen van artikelen goed worden begrepen.

Zoals reeds opgemerkt, in integraalberekening er is geen handige formule voor het integreren van een breuk:

En daarom is er een trieste trend: hoe "fancy" de breuk, hoe moeilijker het is om de integraal ervan te vinden. In dit opzicht moeten we onze toevlucht nemen tot verschillende trucs, die we nu zullen bespreken.

Teller ontledingsmethode

voorbeeld 1

Vind de onbepaalde integraal

Voer een controle uit.

op de les Onbepaalde integraal. Voorbeelden van oplossingen we hebben het product van functies in de integrand verwijderd, waardoor het een som is geworden die handig is voor integratie. Het blijkt dat soms een breuk ook kan worden omgezet in een som (verschil)!

Als we de integrand analyseren, zien we dat we zowel in de teller als in de noemer veeltermen van de eerste graad hebben: x en ( x+3). Wanneer de teller en noemer polynomen bevatten hetzelfde graden helpt de volgende kunstmatige techniek: in de teller moeten we onafhankelijk dezelfde uitdrukking organiseren als in de noemer:

.

De redenering kan als volgt zijn: “In de teller is het noodzakelijk om ( x+ 3) om de integraal naar de tabellen te brengen, maar als ik een triple aan de "x" toevoeg, dan moet ik, om de uitdrukking niet te veranderen, dezelfde triple aftrekken.

Nu kunnen we de teller term voor term delen door de noemer:

Daardoor hebben we bereikt wat we wilden. We gebruiken de eerste twee integratieregels:

Klaar. Bekijk het zelf maar eens als je wilt. Let daar op

in de tweede integraal is de "eenvoudige" complexe functie. De kenmerken van de integratie werden besproken in de les Variabele veranderingsmethode in onbepaalde integraal.

Trouwens, de beschouwde integraal kan ook worden opgelost door de variabele methode te veranderen, aanduiding , maar de oplossing zal veel langer zijn.

Voorbeeld 2

Vind de onbepaalde integraal

Voer een controle uit

Dit is een doe-het-zelf voorbeeld. Opgemerkt moet worden dat hier de variabele vervangingsmethode niet langer zal werken.

Aandacht belangrijk! Voorbeelden nr. 1, 2 zijn typisch en komen vaak voor.

In het bijzonder ontstaan ​​dergelijke integralen vaak tijdens het oplossen van andere integralen, in het bijzonder wanneer integratie irrationele functies (wortels).

De bovenstaande methode werkt ook in het geval als de hoogste macht van de teller groter is dan de hoogste macht van de noemer.

Voorbeeld 3

Vind de onbepaalde integraal

Voer een controle uit.

Laten we beginnen met de teller. Het tellerselectie-algoritme ziet er ongeveer zo uit:

1) In de teller moeten we 2 . organiseren x-1 maar daar x 2. Wat moeten we doen? ik concludeer 2 x-1 tussen haakjes en vermenigvuldig met x, hoe: x(2x-1).

2) Nu proberen we deze haakjes te openen, wat gebeurt er? Krijg: (2 x 2 -x). Al beter, maar geen deuce at x 2 staat aanvankelijk niet in de teller. Wat moeten we doen? We moeten vermenigvuldigen met (1/2), we krijgen:

3) Open de haakjes opnieuw, we krijgen:

Het bleek de juiste te zijn x 2! Maar het probleem is dat er een extra term verscheen (-1/2) x. Wat moeten we doen? Om ervoor te zorgen dat de uitdrukking niet verandert, moeten we dezelfde (1/2) aan onze constructie toevoegen x:

. Het leven is gemakkelijker geworden. Is het mogelijk om opnieuw te organiseren in de teller (2 x-1)?

4) Dat kan. We proberen: . Vouw de haakjes van de tweede term uit:

. Sorry, maar we hadden in de vorige stap (+1/2) x, niet(+ x). Wat moeten we doen? Je moet de tweede term vermenigvuldigen met (+1/2):

.

5) Nogmaals, ter verificatie, open de haakjes in de tweede term:

. Nu is het in orde: ontvangen (+1/2) x vanaf de uiteindelijke constructie van paragraaf 3! Maar er is weer een kleine "maar", er is een extra term (-1/4) verschenen, wat betekent dat we (1/4) aan onze uitdrukking moeten toevoegen:

.

Als alles correct is gedaan, zouden we bij het openen van alle haakjes de originele teller van de integrand moeten krijgen. Wij controleren:

Het bleek.

Op deze manier:

Klaar. In de laatste term hebben we de methode toegepast om een ​​functie onder een differentiaal te brengen.

Als we de afgeleide van het antwoord vinden en de uitdrukking naar brengen gemeenschappelijke noemer, dan krijgen we precies de originele integrand

Overwogen ontledingsmethode x 2 in de som is niets meer dan de omgekeerde actie om de uitdrukking tot een gemeenschappelijke noemer te brengen.

Algoritme voor het selecteren van de teller in soortgelijke voorbeelden Het is het beste om het in conceptvorm te doen. Met wat vaardigheden zal het ook mentaal werken.

Naast het selectiealgoritme kun je de deling van een polynoom door een polynoom door een kolom gebruiken, maar ik ben bang dat de uitleg nog meer ruimte in beslag zal nemen, een andere keer dus.

Voorbeeld 4

Vind de onbepaalde integraal

Voer een controle uit.

Dit is een doe-het-zelf voorbeeld.