Các ứng dụng của tích phân xác định của một hình phẳng. Diện tích hình phẳng

Bài giảng 21 Ứng dụng tích phân xác định(2h)

Ứng dụng hình học

một) khu vực hình

Như đã lưu ý trong Bài giảng 19, về mặt số bằng diện tích hình thang cong, đường cong giới hạn tại = f(x) , những đường thẳng X = một, X = b và phân đoạn [ một, b] của trục OX. Đồng thời, nếu f(x) £ 0 trên [ một, b], thì tích phân phải được lấy bằng dấu trừ.

Nếu trên phân đoạn nhất định hàm số tại = f(x) thay đổi dấu, sau đó để tính diện tích của hình nằm giữa đồ thị của hàm số này và trục OX, người ta nên chia đoạn thành các phần, trên mỗi phần mà hàm giữ nguyên dấu của nó và tìm diện tích của Mỗi phần của hình. Diện tích mong muốn trong trường hợp này là tổng đại số của các tích phân trên các đoạn này và các tích phân tương ứng với các giá trị âm của hàm được lấy trong tổng này bằng một dấu trừ.

Nếu hình được giới hạn bởi hai đường cong tại = f 1 (x) và tại = f 2 (x), f 1 (x)£ f 2 (x), như sau từ Hình 9, diện tích của nó bằng hiệu giữa các diện tích của hình thang cong một Mặt trời b và một QUẢNG CÁO b, mỗi trong số đó bằng số bằng tích phân. Có nghĩa,

Lưu ý rằng diện tích của hình thể hiện trong Hình 10, a được tìm bằng cùng một công thức: S = (Chứng minh điều đó!). Hãy suy nghĩ về cách tính diện tích của \ u200b \ u200b của hình vẽ trong Hình 10, b?

Chúng ta chỉ nói về hình thang cong tiếp giáp với trục OX. Nhưng các công thức tương tự cũng có hiệu lực đối với các số liệu liền kề với trục y. Ví dụ, diện tích của hình thể hiện trong Hình 11 được tìm thấy bằng công thức

Để dòng y=f(x) giới hạn hình thang cong có thể được phương trình tham số , tО, và j (a) = một, j (b) = b, I E. tại=. Khi đó diện tích của hình thang cong này là

b) Chiều dài cung đường cong

Để có một đường cong tại = f(x). Coi cung của đường cong này tương ứng với sự thay đổi X trên đoạn [ một, b]. Hãy tìm độ dài của cung này. Để làm điều này, chúng tôi chia cung AB thành P các bộ phận có điểm A \ u003d M 0, M 1, M 2, ..., M P= B (Hình 14), tương ứng với các điểm X 1 , X 2 , ..., x n Î [ một, b].

Ký hiệu D tôi chiều dài cung, sau đó l=. Nếu cung dài D tôiđủ nhỏ, chúng có thể được coi là xấp xỉ độ dài bằng nhau các đoạn tương ứng nối các điểm M tôi-1, M tôi. Các điểm này có tọa độ M tôi -1 (x tôi -1, f (x tôi-1)), M tôi(x tôi, f(x tôi)). Khi đó độ dài các đoạn tương ứng bằng nhau

Ở đây công thức Lagrange được sử dụng. Chúng ta hãy đặt x tôi – x tôi-1 = D x tôi, chúng tôi nhận được

sau đó l = , ở đâu

l = .

Vì vậy, độ dài cung của đường cong tại = f(x) tương ứng với sự thay đổi X trên đoạn [ một, b], được tìm thấy bởi công thức

l = , (1)

Nếu đường cong được cho theo tham số, tО, tức là y(t) = f(x(t)), thì từ công thức (1) chúng ta thu được:

l=
.

Vì vậy, nếu đường cong được cho theo tham số, thì độ dài của cung của đường cong này tương ứng với sự thay đổi tн, được tìm thấy bởi công thức

trong) Khối lượng của cơ thể của cuộc cách mạng.

Hình 15

Xét một hình thang cong một AB b, được giới hạn bởi một dòng tại = f(x), thẳng X = một, X = b và phân đoạn [ một,b] của trục OX (Hình 15). Cho hình thang này quay quanh trục OX, kết quả sẽ là một vật thể cách mạng. Có thể chứng minh rằng thể tích của vật này sẽ bằng

Tương tự, bạn có thể suy ra công thức về thể tích của một vật thể thu được khi quay quanh trục y của một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số X= j ( tại), thẳng y = c , y = d và phân đoạn [ c,d] trục y (Hình 15):

Ứng dụng vật lý tích phân xác định

Trong Bài giảng 19, chúng tôi đã chứng minh rằng, theo quan điểm vật lý, tích phân là số bằng khối lượng chiều dài thanh không đồng nhất mỏng trực tuyến l= b – một, với mật độ tuyến tính thay đổi r = f(x), f(x) ³ 0, ở đâu X là khoảng cách từ điểm của thanh đến đầu bên trái của nó.

Chúng ta hãy xem xét các ứng dụng vật lý khác của tích phân xác định.

Nhiệm vụ 1. Tìm công cần thiết để bơm dầu ra khỏi bể hình trụ đứng có chiều cao H và bán kính đáy R. Khối lượng riêng của dầu là r.

Quyết định. Nào cùng xây mô hình toán học nhiệm vụ này. Cho trục OX đi dọc theo trục đối xứng của hình trụ có chiều cao H và bán kính R, điểm đầu - ở tâm của đáy trên của hình trụ (Hình 17). Hãy chia hình trụ P phần nhỏ nằm ngang. Sau đo ở đâu Ai- công việc bơm tôi lớp thứ. Phân vùng này của hình trụ tương ứng với phân vùng của phân đoạn thay đổi chiều cao lớp thành P các bộ phận. Hãy xem xét một trong những lớp này nằm ở khoảng cách xa x tôi từ bề mặt, chiều rộng D X(hoặc ngay lập tức dx). Việc bơm ra khỏi lớp này có thể được coi là "nâng" lớp lên một chiều cao x tôi.

Sau đó, công việc thực hiện để bơm ra lớp này bằng

Ai"R tôi x tôi, ,

nơi P tôi= rgV tôi= rgpR 2 dx, R tôi- trọng lượng, V tôi là thể tích của lớp. sau đó Ai"R tôi x tôi= rgpR 2 dx.x tôi, ở đâu

, và do đó .

Nhiệm vụ 2. Tìm mômen quán tính

a) một hình trụ rỗng có thành mỏng có trục đi qua trục đối xứng của nó;

b) một hình trụ đặc có trục đi qua trục đối xứng của nó;

c) chiều dài thanh mỏng l về trục đi qua giữa của nó;

d) chiều dài thanh mỏng l về trục đi qua đầu bên trái của nó.

Quyết định. Như đã biết, momen quán tính của một điểm đối với trục bằng J=Ông 2, và hệ thống điểm.

a) Hình trụ có thành mỏng, nghĩa là có thể bỏ qua chiều dày thành. Cho bán kính của đáy hình trụ R, chiều cao H và khối lượng riêng trên các bức tường bằng r.

Hãy chia hình trụ P các bộ phận và tìm ở đâu J tôi- lực quán tính tôi-th phần tử phân vùng.

Coi như tôi-thành phần phân vùng (một hình trụ thập phân). Tất cả các điểm của nó nằm cách trục một khoảng R l. Cho khối lượng của hình trụ này t tôi, sau đó t tôi= rV tôi»Rs bên= 2prR dx tôi, ở đâu x tôiÔ. sau đó J tôi»R 2 prR dx tôi, ở đâu

Nếu r là một hằng số, thì J= 2prR 3 N, và vì khối lượng của hình trụ là M = 2prRН nên J= ÔNG 2.

b) Nếu khối trụ là chất rắn (được lấp đầy) thì ta chia khối đó thành P vlo hình trụ mỏng lồng một bên trong cái kia. Nếu một P lớn, mỗi hình trụ này có thể được coi là có thành mỏng. Phân vùng này tương ứng với phân vùng của phân đoạn thành P từng phần của điểm R tôi. Hãy tìm khối lượng tôi- hình trụ thành mỏng thứ: t tôi= rV tôi, ở đâu

V tôi= pR tôi 2 H - pR tôi- 1 2 H \ u003d pH (R tôi 2-R tôi -1 2) =

PH (R tôi-R tôi-1) (R tôi+ R tôi -1).

Vì các thành của hình trụ mỏng nên chúng ta có thể cho rằng R tôi+ R tôi-1 »2R tôi và R tôi-R tôi-1 = DR tôi, sau đó V tôi»PH2R tôi DR tôi, ở đâu t tôi»RpН × 2R tôi DR tôi,

Rồi cuối cùng

c) Xét một thanh có chiều dài l, có khối lượng riêng bằng r. Cho trục quay đi qua chính giữa của nó.

Chúng tôi mô hình thanh như một đoạn của trục OX, sau đó trục quay của thanh là trục OY. Xét một đoạn cơ bản, khối lượng của nó, khoảng cách đến trục có thể coi là xấp xỉ bằng r tôi= x tôi. Khi đó mômen quán tính của phần này là, khi đó mômen quán tính của toàn bộ thanh là . Coi khối lượng của thanh là

d) Bây giờ để trục quay đi qua đầu bên trái của thanh, tức là mô hình thanh là một đoạn của trục OX. Sau đó, tương tự, r tôi= x tôi, , ở đâu , và kể từ đó .

Nhiệm vụ 3. Tìm lực ép của chất lỏng có khối lượng riêng r lên một tam giác vuông có chân một và b, ngâm theo phương thẳng đứng trong chất lỏng sao cho chân một là trên bề mặt của chất lỏng.

Quyết định.

Hãy xây dựng một mô hình nhiệm vụ. Để đầu góc phải tam giác là gốc, chân một trùng với đoạn của trục OY (trục OY xác định bề mặt chất lỏng), trục OX hướng xuống dưới, chân b trùng với đoạn của trục này. Cạnh huyền của tam giác này có phương trình, hoặc.

Được biết, nếu trên bề ngang của khu S, được nhúng trong chất lỏng có tỷ trọng r, được ép bởi một cột chất lỏng có chiều cao h thì lực ép bằng (định luật Pascal). Hãy sử dụng luật này.

Tích phân xác định (OI) được sử dụng rộng rãi trong các ứng dụng thực tế của toán học và vật lý.

Đặc biệt, trong hình học, với sự trợ giúp của OR, các khu vực được tìm thấy số liệu đơn giản và các bề mặt phức tạp, thể tích của các vật thể cách mạng và vật thể có hình dạng tùy ý, độ dài của các đường cong trong mặt phẳng và trong không gian.

trong vật lý và cơ học lý thuyết RI được sử dụng để tính toán mômen tĩnh, khối lượng và khối tâm của các đường cong và bề mặt vật liệu, để tính toán công của một lực thay đổi dọc theo đường cong, v.v.

Diện tích hình phẳng

Cho một số hình phẳng trong Descartes hệ thống hình chữ nhật tọa độ $ xOy $ được giới hạn phía trên bởi đường cong $ y = y_ (1) \ left (x \ right) $, phía dưới bởi đường cong $ y = y_ (2) \ left (x \ right) $ và ở bên trái và bên phải của các đường thẳng đứng $ x = a $ và $ x = b $ tương ứng. TẠI trường hợp chung Diện tích của một hình như vậy được biểu thị bằng OR $ S = \ int \ limit _ (a) ^ (b) \ left (y_ (1) \ left (x \ right) -y_ (2) \ left ( x \ right) \ right) \ cdot dx $.

Nếu một số hình phẳng trong hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật $ xOy $ bị giới hạn bên phải bởi đường cong $ x = x_ (1) \ left (y \ right) $, ở bên trái - bởi đường cong $ x = x_ (2 ) \ left (y \ right) $, và bên dưới và bên trên bởi các đường ngang $ y = c $ và $ y = d $, khi đó diện tích của một hình như vậy được biểu thị bằng cách sử dụng OI $ S = \ int \ limit _ (c) ^ (d) \ left (x_ (1) \ left (y \ right) -x_ (2) \ left (y \ right) \ right) \ cdot dy $.

Cho một hình phẳng (cung cong) được xét trong hệ thống cực tọa độ, được tạo thành bởi đồ thị của hàm liên tục $ \ rho = \ rho \ left (\ phi \ right) $, cũng như bởi hai tia đi qua các góc $ \ phi = \ alpha $ và $ \ phi = \ beta $, tương ứng. Công thức để tính diện tích của cung cong như vậy là: $ S = \ frac (1) (2) \ cdot \ int \ limit _ (\ alpha) ^ (\ beta) \ rho ^ (2) \ left (\ phi \ right) \ cdot d \ phi $.

Chiều dài cung đường cong

Nếu trên đoạn $ \ left [\ alpha, \; \ beta \ right] Đường cong $ được đưa ra bởi phương trình $ \ rho = \ rho \ left (\ phi \ right) $ trong các tọa độ cực, sau đó độ dài của cung của nó được tính bằng OR $ L = \ int \ giới hạn _ (\ alpha) ^ (\ beta) \ sqrt (\ rho ^ (2) \ left (\ phi \ right) + \ rho "^ (2) \ left (\ phi \ right)) \ cdot d \ phi $.

Nếu đường cong trên đoạn $ \ left $ được cho bởi phương trình $ y = y \ left (x \ right) $, thì độ dài của cung của nó được tính bằng OR $ L = \ int \ limit _ (a) ^ (b) \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx $.

Nếu trên đoạn $ \ left [\ alpha, \; \ beta \ right] $ đường cong được cho theo tham số, tức là $ x = x \ left (t \ right) $, $ y = y \ left (t \ right) $, khi đó độ dài của cung của nó được tính bằng OR $ L = \ int \ limit _ (\ alpha) ^ (\ beta) \ sqrt (x "^ (2) \ left (t \ right) + y" ^ (2) \ left (t \ right)) \ cdot dt $.

Tính toán thể tích cơ thể từ các diện tích của các mặt cắt song song

Giả sử cần tìm thể tích của một vật thể không gian có tọa độ các điểm thỏa mãn điều kiện $ a \ le x \ le b $ và diện tích mặt cắt ngang $ S \ left (x \ right) $ bằng các mặt phẳng vuông góc với nhau đối với trục $ Ox $ đã biết.

Công thức tính thể tích của phần thân như vậy là $ V = \ int \ limit _ (a) ^ (b) S \ left (x \ right) \ cdot dx $.

Khối lượng của một cơ thể của cuộc cách mạng

Cho một hàm liên tục không âm $ y = y \ left (x \ right) $ được cho trên đoạn $ \ left $, tạo thành một hình thang cong (KrT). Nếu chúng ta quay CRT này quanh trục $ Ox $, thì một phần thân được hình thành, được gọi là phần thân của vòng quay.

Tính thể tích của vật thể cách mạng là trường hợp đặc biệt của việc tính thể tích vật thể từ quảng trường nổi tiếng các phần song song của nó. Công thức tương ứng là $ V = \ int \ limit _ (a) ^ (b) S \ left (x \ right) \ cdot dx = \ pi \ cdot \ int \ limit _ (a) ^ (b) y ^ ( 2) \ left (x \ right) \ cdot dx $.

Cho một số hình phẳng trong hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật $ xOy $ được giới hạn từ phía trên bởi đường cong $ y = y_ (1) \ left (x \ right) $, từ phía dưới bởi đường cong $ y = y_ (2) \ left (x \ right) $, trong đó $ y_ (1) \ left (x \ right) $ và $ y_ (2) \ left (x \ right) $ là các hàm liên tục không âm và các đường thẳng đứng $ x = a $ và $ x = b $ tương ứng. Khi đó, thể tích của phần thân được tạo thành bởi sự quay của hình này quanh trục $ Ox $ được biểu thị bằng OR $ V = \ pi \ cdot \ int \ limit _ (a) ^ (b) \ left (y_ (1) ^ (2) \ left (x \ right) -y_ (2) ^ (2) \ left (x \ right) \ right) \ cdot dx $.

Cho một số hình phẳng trong hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật $ xOy $ được giới hạn bên phải bởi đường cong $ x = x_ (1) \ left (y \ right) $, ở bên trái - bởi đường cong $ x = x_ (2 ) \ left (y \ right) $, trong đó $ x_ (1) \ left (y \ right) $ và $ x_ (2) \ left (y \ right) $ là các hàm liên tục không âm và các đường ngang $ y = c $ và $ y = d $ tương ứng. Khi đó, thể tích của phần thân được tạo thành bởi sự quay của hình này quanh trục $ Oy $ được biểu thị bằng OI $ V = \ pi \ cdot \ int \ limit _ (c) ^ (d) \ left (x_ (1) ^ (2) \ left (y \ right) -x_ (2) ^ (2) \ left (y \ right) \ right) \ cdot dy $.

Diện tích bề mặt của một cơ thể của cuộc cách mạng

Cho một hàm không âm $ y = y \ left (x \ right) $ với đạo hàm liên tục $ y "\ left (x \ right) $ được cho trên đoạn $ \ left $. Hàm này tạo thành một KrT. Nếu chúng ta quay KrT này quanh trục $ Ox $, khi đó bản thân nó tạo thành một vòng quay và cung KrT là bề mặt của nó. Diện tích bề mặt của một vòng tròn như vậy được biểu thị bằng công thức $ Q = 2 \ cdot \ pi \ cdot \ int \ limit _ (a) ^ (b) y \ left (x \ right) \ cdot \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx $.

Giả sử rằng đường cong $ x = \ phi \ left (y \ right) $, trong đó $ \ phi \ left (y \ right) $ là một hàm không âm được xác định trên đoạn $ c \ le y \ le d $, được quay quanh trục $ Oy $. Trong trường hợp này, diện tích bề mặt của phần thân đã hình thành được biểu thị bằng OR $ Q = 2 \ cdot \ pi \ cdot \ int \ limit _ (c) ^ (d) \ phi \ left (y \ right) \ cdot \ sqrt (1+ \ phi "^ (2) \ left (y \ right)) \ cdot dy $.

Các ứng dụng vật lý của OI

Để tính quãng đường đi được tại thời điểm $ t = T $ với tốc độ thay đổi được $ v = v \ left (t \ right) $ của một chất điểm bắt đầu chuyển động tại thời điểm $ t = t_ (0) $, hãy sử dụng OR $ S = \ int \ limit _ (t_ (0)) ^ (T) v \ left (t \ right) \ cdot dt $.
Để tính toán công của lực biến đổi $ F = F \ left (x \ right) $ áp dụng cho điểm vật chất di chuyển cùng con đường thẳng dọc theo trục $ Ox $ từ điểm $ x = a $ đến điểm $ x = b $ (hướng của lực trùng với chiều chuyển động) sử dụng OR $ A = \ int \ limit _ (a) ^ (b) F \ left (x \ right) \ cdot dx $.
Khoảnh khắc tĩnh so với trục tọa độđường cong vật liệu $ y = y \ left (x \ right) $ trên khoảng $ \ left $ được biểu thị bằng công thức $ M_ (x) = \ rho \ cdot \ int \ limit _ (a) ^ (b) y \ left (x \ right) \ cdot \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx $ và $ M_ (y) = \ rho \ cdot \ int \ limit _ (a) ^ (b) x \ cdot \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx $, trong đó mật độ tuyến tính $ \ rho $ của đường cong này được giả định là không đổi.
Khối tâm của đường cong vật liệu là điểm tại đó toàn bộ khối lượng của nó được tập trung có điều kiện sao cho mômen tĩnh của điểm so với trục tọa độ bằng với mômen tĩnh tương ứng của toàn bộ đường cong.

Công thức tính tọa độ của khối tâm của một đường cong phẳng là $ x_ (C) = \ frac (\ int \ limit _ (a) ^ (b) x \ cdot \ sqrt (1 + y "^ (2 ) \ left (x \ right)) \ cdot dx) (\ int \ limit _ (a) ^ (b) \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx) $ và $ y_ (C) = \ frac (\ int \ limit _ (a) ^ (b) y \ left (x \ right) \ cdot \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right) ) \ cdot dx) (\ int \ limit _ (a) ^ (b) \ sqrt (1 + y "^ (2) \ left (x \ right)) \ cdot dx) $.

Mômen tĩnh của vật liệu hình phẳngở dạng КрТ đối với các trục tọa độ được biểu thị bằng công thức $ M_ (x) = \ frac (1) (2) \ cdot \ rho \ cdot \ int \ limit _ (a) ^ (b) y ^ (2) \ left (x \ right) \ cdot dx $ và $ M_ (y) = \ rho \ cdot \ int \ limit _ (a) ^ (b) x \ cdot y \ left (x \ right) \ cdot dx $.
Tọa độ của khối tâm của một hình phẳng vật chất ở dạng KrT, được tạo thành bởi đường cong $ y = y \ left (x \ right) $ trên khoảng $ \ left $, được tính bằng công thức $ x_ ( C) = \ frac (\ int \ limit _ (a) ^ (b) x \ cdot y \ left (x \ right) \ cdot dx) (\ int \ limit _ (a) ^ (b) y \ left ( x \ right) \ cdot dx) $ và $ y_ (C) = \ frac (\ frac (1) (2) \ cdot \ int \ limit _ (a) ^ (b) y ^ (2) \ left (x \ right) \ cdot dx) (\ int \ limit _ (a) ^ (b) y \ left (x \ right) \ cdot dx) $.

Bài giảng 8. Các ứng dụng của một tích phân xác định.

Ứng dụng của tích phân vào nhiệm vụ vật lý dựa trên thuộc tính cộng của tích phân trên một tập hợp. Do đó, với sự trợ giúp của tích phân, các đại lượng như vậy có thể được tính toán mà chính chúng là phép cộng trong tập hợp. Ví dụ, diện tích của một hình bằng tổng diện tích các phần của nó. Độ dài cung, diện tích bề mặt, thể tích của vật thể và khối lượng của vật thể có cùng tính chất. Do đó, tất cả các đại lượng này có thể được tính toán bằng cách sử dụng một tích phân xác định.

Có hai cách để giải quyết vấn đề: phương pháp tính tổng và phương pháp vi phân.

Phương pháp tích phân lặp lại việc xây dựng một tích phân xác định: xây dựng một phân hoạch, đánh dấu các điểm, một hàm được tính trong chúng, tính tổng tích phân và thực hiện việc vượt qua giới hạn. Trong phương pháp này, khó khăn chính là chứng minh rằng trong giới hạn chính xác những gì cần thiết trong bài toán sẽ thu được.

Phương pháp vi phân sử dụng tích phân bất định và công thức Newton-Leibniz. Vi phân của giá trị cần xác định được tính toán và sau đó, tích phân vi phân này, giá trị cần thiết nhận được bằng cách sử dụng công thức Newton-Leibniz. Trong phương pháp này, khó khăn chính là chứng minh rằng đó là sự khác biệt của giá trị mong muốn được tính toán, chứ không phải thứ gì khác.

Tính diện tích của các hình phẳng.

1. Hình này được giới hạn trong đồ thị của hàm được chỉ định trong Hệ thống Descartes tọa độ.

Chúng ta đến với khái niệm tích phân xác định từ bài toán diện tích hình thang cong (thực tế là sử dụng phương pháp tính tổng). Nếu hàm chỉ chấp nhận thì không giá trị âm thì diện tích dưới đồ thị của hàm số trên đoạn có thể được tính bằng tích phân xác định. thông báo rằng vì vậy ở đây bạn có thể thấy phương pháp của vi phân.

Nhưng hàm cũng có thể nhận các giá trị âm trên một đoạn nhất định, khi đó tích phân trên đoạn này sẽ cho một vùng âm, điều này mâu thuẫn với định nghĩa về diện tích.

Bạn có thể tính diện tích bằng công thứcS=. Điều này tương đương với việc thay đổi dấu của hàm trong những khu vực mà nó nhận giá trị âm.

Nếu bạn cần tính diện tích của hình \ u200b \ u200ba được giới hạn từ bên trên bởi đồ thị của hàm số và từ bên dưới bởi đồ thị của hàm số, thì bạn có thể sử dụng công thứcS= , như .

Ví dụ. Tính diện tích của hình giới hạn bởi các đường thẳng x = 0, x = 2 và đồ thị của các hàm số y = x 2, y = x 3.

Chú ý rằng trên khoảng (0,1), bất phương trình x 2> x 3 thỏa mãn, và với x> 1 thì bất phương trình x 3> x 2 thỏa mãn. Cho nên

2. Hình vẽ giới hạn là đồ thị của hàm số đã cho trong hệ tọa độ cực.

Để đồ thị của hàm số đã cho trong hệ tọa độ cực, ta muốn tính diện tích hình cung giới hạn bởi hai tia và đồ thị của hàm số trong hệ tọa độ cực.

Ở đây bạn có thể sử dụng phương pháp tính tổng, tính diện tích của cung đường cong là giới hạn của tổng diện tích của các cung cơ bản trong đó đồ thị của hàm số được thay thế bằng một cung tròn .

Bạn cũng có thể sử dụng phương pháp vi phân: .

Bạn có thể lập luận như thế này. Thay thế cung đường cong sơ cấp tương ứng với góc trung tâm khu vực tròn, chúng tôi có tỷ trọng. Từ đây . Tích hợp và sử dụng công thức Newton-Leibniz, chúng tôi thu được .

Ví dụ. Tính diện tích của hình tròn (kiểm tra công thức). Chúng tôi tin tưởng. Diện tích của hình tròn là .

Ví dụ. Tính diện tích bị giới hạn bởi cardioid .

3 Hình này được giới hạn trong đồ thị của một hàm được chỉ định theo tham số.

Hàm có thể được chỉ định theo tham số trong biểu mẫu. Chúng tôi sử dụng công thức S= , thay vào đó các giới hạn của tích hợp đối với biến mới. . Thông thường, khi tính tích phân, các vùng đó được phân biệt ở đó tích phân có một dấu nhất định và vùng tương ứng có dấu này hay dấu khác được tính đến.

Ví dụ. Tính diện tích được bao bởi hình elip.

Sử dụng tính đối xứng của hình elip, chúng ta tính diện tích của một phần tư hình elip, nằm trong góc phần tư thứ nhất. trong góc phần tư này. Cho nên .

Tính toán thể tích của các cơ thể.

1. Tính toán thể tích của các cơ thể từ các khu vực của các mặt cắt song song.

Yêu cầu tính thể tích của một số vật thể V từ diện tích các phần đã biết của vật thể này bằng các mặt phẳng vuông góc với đường thẳng OX, vẽ qua một điểm x bất kỳ thuộc đoạn thẳng OX.

Chúng tôi áp dụng phương pháp vi phân. Xét thể tích sơ cấp, trên đoạn là thể tích của một hình trụ tròn vuông có diện tích đáy và chiều cao, ta được . Tích hợp và áp dụng công thức Newton-Leibniz, chúng tôi nhận được

2. Tính toán khối lượng các cơ quan của cuộc cách mạng.

Hãy để nó được yêu cầu tính toán CON BÒ.

sau đó .

Tương tự như vậy, khối lượng của một vật thể cách mạng về một trụcOY, nếu hàm được cho ở dạng, có thể được tính bằng công thức.

Nếu hàm đã cho ở dạng và yêu cầu xác định thể tích của vật thể quay quanh trụcOY, thì công thức tính thể tích có thể thu được như sau.

Chuyển đến vi phân và bỏ qua các số hạng bậc hai, chúng ta có . Tích hợp và áp dụng công thức Newton-Leibniz, chúng ta có.

Ví dụ. Tính thể tích của khối cầu.

Ví dụ. Tính thể tích của khối nón tròn bên phải giới hạn bởi một mặt và một mặt phẳng.

Tính thể tích dưới dạng thể tích của vật thể được tạo thành khi quay quanh trục OZ tam giác vuông trong mặt phẳng OXZ, có chân nằm trên trục OZ và đường thẳng z \ u003d H và cạnh huyền nằm trên đường thẳng.

Biểu diễn x theo z, chúng ta nhận được .

Tính toán độ dài hồ quang.

Để có được các công thức tính độ dài cung tròn, chúng ta hãy nhớ lại công thức tính vi phân độ dài cung tròn ở học kì 1.

Nếu cung tròn là đồ thị của một hàm phân biệt liên tục, chênh lệch độ dài cung có thể được tính bằng công thức

. Cho nên

Nếu một cung tròn trơn được chỉ định theo tham số, sau đó

. Cho nên .

Nếu cung ở tọa độ cực, sau đó

. Cho nên .

Ví dụ. Tính độ dài cung của đồ thị hàm số ,. .

Trang chủ> Bài giảng

Bài giảng 18. Các ứng dụng của một tích phân xác định.

18.1. Tính diện tích của các hình phẳng.

Biết rằng một tích phân xác định trên một đoạn là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số f (x). Nếu biểu đồ nằm bên dưới trục x, tức là f (x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0, thì khu vực có dấu “+”.

Công thức được sử dụng để tìm tổng diện tích.

Diện tích của một hình bị giới hạn bởi một số đường có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng các tích phân nhất định nếu phương trình của những đường này được biết.

Ví dụ. Tìm diện tích của hình bị giới hạn bởi các đường y \ u003d x, y \ u003d x 2, x \ u003d 2.

Khu vực mong muốn (được tô bóng trong hình) có thể được tìm thấy bằng công thức:

18.2. Tìm diện tích của khu vực đường cong.

Để tìm diện tích của cung cong, chúng tôi giới thiệu một hệ tọa độ cực. Phương trình của đường cong giới hạn cung trong hệ tọa độ này có dạng  = f (), trong đó  là độ dài của vectơ bán kính nối cực với điểm tùy ýđường cong, và  - góc nghiêng của véc tơ bán kính này với trục cực.

Diện tích của một cung cong có thể được tìm thấy bằng công thức

18.3. Tính độ dài cung của đường cong.

y y = f (x)

S i y i

Chiều dài của polyline tương ứng với cung có thể được tìm thấy là
.

Khi đó độ dài của cung tròn là
.

Từ cân nhắc hình học:

Trong cùng thời gian

Sau đó, nó có thể được hiển thị rằng

Những thứ kia.

Nếu phương trình của đường cong được cho theo tham số, thì khi tính đến các quy tắc tính đạo hàm của đường cong đã cho theo tham số, chúng ta thu được

trong đó x =  (t) và y =  (t).

Nếu đặt đường cong không gian và x =  (t), y =  (t) và z = Z (t), thì

Nếu đường cong được đặt thành tọa độ cực, sau đó

,  = f ().

Ví dụ: Tìm chu vi được cho bởi phương trình x 2 + y 2 = r 2.

1 chiều. Hãy để chúng tôi biểu diễn biến y từ phương trình.

Hãy tìm đạo hàm

Khi đó S = 2r. Chúng tôi đã có công thức nổi tiếng cho chu vi của một hình tròn.

2 cách. Nếu chúng ta biểu diễn phương trình đã cho trong một hệ tọa độ cực, chúng ta nhận được: r 2 cos 2  + r 2 sin 2  = r 2, tức là hàm  = f () = r,
sau đó

18.4. Tính toán thể tích của các cơ thể.

Tính thể tích của vật thể từ các diện tích đã biết của các mặt cắt song song của nó.

Cho vật thể có thể tích V. Diện tích của thiết diện bất kỳ của vật thể, Q, được biết là một hàm liên tục Q = Q (x). Hãy chia cơ thể thành "lớp" bằng các mặt cắt ngang đi qua các điểm x i của sự phân chia của phân đoạn. Tại vì hàm Q (x) là liên tục trên một số đoạn trung gian của phân hoạch, sau đó nó chiếm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Hãy chỉ định chúng cho phù hợp M i và m i.

Nếu trên các mặt cắt lớn nhất và nhỏ nhất này dựng các trụ có máy phát điện song song với trục x thì thể tích của các trụ này sẽ lần lượt bằng M i x i và m i x i ở đây x i = x i - x i -1.

Sau khi thực hiện các cấu trúc như vậy cho tất cả các phân đoạn của phân vùng, chúng tôi thu được các hình trụ có thể tích tương ứng là
và
.

Khi bước phân vùng  có xu hướng bằng không, các tổng này có giới hạn chung:

Do đó, thể tích của phần thân có thể được tìm thấy theo công thức:

Nhược điểm của công thức này là để tìm thể tích, cần phải biết hàm Q (x), điều này rất khó đối với các thể phức tạp.

Ví dụ: Tìm thể tích của khối cầu bán kính R.

TẠI mặt cắt ngang thu được các hình tròn có bán kính y thay đổi được. Tùy thuộc vào tọa độ x hiện tại, bán kính này được biểu thị bằng công thức
.

Khi đó hàm diện tích thiết diện có dạng: Q (x) =.

Chúng tôi nhận được khối lượng của quả bóng:

Ví dụ: Tìm thể tích của một hình chóp tùy ý có chiều cao H và diện tích đáy S.

Khi cắt hình chóp với các mặt phẳng vuông góc với chiều cao, ở mặt cắt ta được các hình tương tự với mặt đáy. Hệ số đồng dạng của các hình này bằng tỉ số x / H, trong đó x là khoảng cách từ mặt phẳng cắt đến đỉnh của hình chóp.

Từ hình học, người ta biết rằng tỷ lệ diện tích của các hình tương tự bằng hệ số tương tự bình phương, tức là

Từ đây, chúng ta nhận được chức năng của các khu vực mặt cắt ngang:

Tìm thể tích của hình chóp:

18,5. Khối lượng các cơ quan của cuộc cách mạng.

Xét đường cong được cho bởi phương trình y = f (x). Giả sử hàm số f (x) liên tục trên đoạn. Nếu hình thang cong tương ứng với nó có các đáy là a và b quay quanh trục Ox thì ta được gọi là cơ quan của cuộc cách mạng.

Tại vì Mỗi phần của phần thân bởi mặt phẳng x = const là một hình tròn bán kính, khi đó thể tích của phần thân có thể được tìm thấy dễ dàng bằng cách sử dụng công thức thu được ở trên:

18,6. Diện tích bề mặt của một cơ thể của cuộc cách mạng.

M tôi B

Sự định nghĩa: Diện tích bề mặt của vòng quayĐường cong AB xung quanh một trục nhất định được gọi là giới hạn mà diện tích bề mặt quay của các đường đứt đoạn ghi trong đường cong AB có xu hướng, khi độ dài lớn nhất của các liên kết của các đường đứt gãy này có xu hướng bằng không.

Hãy chia cung AB thành n phần cho các điểm M 0, M 1, M 2,…, M n. Các đỉnh của polyline tạo thành có tọa độ x i và y i. Khi đường gãy quay quanh trục, ta thu được một mặt gồm các mặt bên của hình nón cụt, diện tích bằng P i. Khu vực này có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức:

Ở đây S i là độ dài của mỗi hợp âm.

Chúng tôi áp dụng định lý Lagrange (x. Định lý Lagrange) với mối quan hệ
.

Bộ Giáo dục và Khoa học Liên bang Nga

cơ sở giáo dục tự trị của nhà nước liên bang

giáo dục chuyên nghiệp cao hơn

"Phương Bắc (Bắc Cực) đại học liên bangđược đặt theo tên của M.V. Lomonosov "

Khoa Toán

CÔNG VIỆC KHÓA HỌC

Theo kỷ luật Toán học

Pyatysheva Anastasia Andreevna

Người giám sát

Mỹ thuật. cô giáo

Borodkina T. A.

Arkhangelsk 2014

NHIỆM VỤ LÀM VIỆC CỦA KHÓA HỌC

Các ứng dụng của tích phân xác định

DỮ LIỆU BAN ĐẦU:

21. y = x 3, y =; 22.

GIỚI THIỆU

Trong khóa học này, tôi có các nhiệm vụ sau: để tính diện tích của \ u200b \ u200bfigures được giới hạn bởi đồ thị hàm số, giới hạn bởi các dòng, được cho bởi các phương trình, cũng được giới hạn bởi các đường, được cho bởi các phương trình trong tọa độ cực, tính độ dài cung của các đường cong, được đưa ra bởi các phương trình trong một hệ tọa độ hình chữ nhật, được cho bởi phương trình tham số, được cho bởi phương trình trong tọa độ cực, cũng như tính thể tích của các vật thể bị giới hạn bởi các bề mặt, giới hạn bởi đồ thị hàm số và được tạo thành bởi sự quay của các hình giới hạn bởi đồ thị hàm số quanh trục cực . Tôi đã chọn một bài báo về chủ đề “Tích phân xác định. Về vấn đề này, tôi quyết định tìm hiểu xem bạn có thể sử dụng các phép tính tích phân dễ dàng và nhanh chóng như thế nào, và bạn có thể tính toán chính xác mức độ chính xác của các nhiệm vụ được giao cho tôi.

INTEGRAL là một trong những khái niệm quan trọng nhất của toán học nảy sinh liên quan đến nhu cầu, một mặt, tìm các hàm bằng các đạo hàm của chúng (ví dụ, để tìm một hàm biểu thị đường đi của một điểm chuyển động, theo tốc độ của điểm này), và mặt khác, để đo diện tích, thể tích, độ dài cung, công của các lực trong một khoảng thời gian nhất định, v.v.

Tiết lộ chủ đề hạn giấy Tôi đã làm theo kế hoạch sau: định nghĩa của một tích phân xác định và các tính chất của nó; độ dài cung cong; diện tích hình thang lượn; diện tích bề mặt của vòng quay.

Với bất kỳ hàm f (x) nào liên tục trên đoạn thì trên đoạn này tồn tại một đạo hàm, nghĩa là tồn tại một tích phân không xác định.

Nếu hàm F (x) là một số phản đạo hàm của chức năng liên tục f (x), thì biểu thức này được gọi là công thức Newton-Leibniz:

Các tính chất chính của tích phân xác định:

Nếu giới hạn dưới và giới hạn trên của tích phân bằng nhau (a = b), thì tích phân bằng 0:

Nếu f (x) = 1, thì:

Khi sắp xếp lại các giới hạn của tích phân, tích phân xác định thay đổi dấu hiệu ngược lại:

Hệ số hằng có thể được lấy ra ngoài dấu của một tích phân xác định:

Nếu các hàm có thể tích phân trên, thì tổng của chúng là tích phân và tích phân của tổng bằng tổng tích phân:

Ngoài ra còn có các phương pháp tích hợp cơ bản, chẳng hạn như thay đổi biến,:

Khắc phục sự khác biệt:

Công thức tích phân theo từng phần có thể rút gọn phép tính tích phân thành phép tính tích phân, điều này có thể trở nên đơn giản hơn:

cảm giác hình học của một tích phân xác định là đối với một hàm liên tục và không âm, theo nghĩa hình học, diện tích của hình thang lượn tương ứng là diện tích.

Ngoài ra, bằng cách sử dụng một tích phân xác định, bạn có thể tìm thấy khu vực của \ u200b \ u200b khu vực được giới hạn bởi các đường cong, đường thẳng và, trong đó

Nếu một hình thang cong được giới hạn bởi một đường cong cho bởi các đường tham số x = a và x = b và trục Ox, thì diện tích của nó được tìm thấy theo công thức, trong đó chúng được xác định từ đẳng thức:

. (12)

Khu vực chính, khu vực của \ u200b \ u200b mà được tìm thấy bằng cách sử dụng một tích phân nhất định, là một cung đường cong. Đây là khu vực được giới hạn bởi hai tia và một đường cong, trong đó r và là tọa độ cực:

Nếu đường cong là đồ thị của hàm trong đó và đạo hàm của nó liên tục trên đoạn này, thì diện tích bề mặt của hình được tạo thành bởi chuyển động quay của đường cong quanh trục Ox có thể được tính theo công thức:

. (14)

Nếu một hàm số và đạo hàm của nó liên tục trên một đoạn thì đường cong có độ dài bằng:

Nếu phương trình đường cong được cho ở dạng tham số

trong đó x (t) và y (t) là các hàm liên tục với đạo hàm liên tục và khi đó độ dài của đường cong được tìm theo công thức:

Nếu đường cong được cho bởi một phương trình trong tọa độ cực, trong đó và liên tục trên đoạn, thì độ dài cung có thể được tính như sau:

Nếu một hình thang cong quay quanh trục Ox, giới hạn bởi một đoạn thẳng liên tục và các đường thẳng x \ u003d a và x \ u003d b thì thể tích của hình thang tạo thành do chuyển động quay của hình thang này quanh trục Ox sẽ bằng :

Nếu một hình thang cong được giới hạn bởi đồ thị của một hàm số liên tục và các đường thẳng x = 0, y = c, y = d (c< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, будет равен:

Nếu hình được giới hạn bởi các đường cong và (cao hơn các đường thẳng x = a, x = b, thì thể tích của vật thể quay quanh trục Ox sẽ bằng:

và xung quanh trục y (:

Nếu cung đường cong được quay quanh trục cực, thì diện tích của phần thân thu được có thể được tìm thấy theo công thức:

2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Nhiệm vụ 14: Tính diện tích các hình giới hạn bởi đồ thị hàm số:

1) Giải pháp:

Hình 1 - Đồ thị các hàm

X thay đổi từ 0 thành

x 1 = -1 và x 2 = 2 - giới hạn tích phân (có thể thấy điều này trong Hình 1).

3) Tính diện tích của hình theo công thức (10).

Trả lời: S =.

Nhiệm vụ 15: Tính diện tích các hình giới hạn bởi các đường thẳng cho bởi phương trình:

1) Giải pháp:

Hình 2 - Đồ thị các hàm

Xét một hàm số trên khoảng.

Hình 3 - Bảng các biến cho hàm

Kể từ đó, 1 cung sẽ phù hợp với khoảng thời gian này. Cung này bao gồm một phần trung tâm (S 1) và các phần bên. Phần trung tâm gồm phần mong muốn và một hình chữ nhật (S pr):. Hãy tính diện tích của một phần trung tâm của cung tròn.

2) Tìm giới hạn của tích phân.

và y = 6, do đó

Đối với một khoảng, các giới hạn của tích hợp.

3) Tìm diện tích của hình theo công thức (12).

hình thang tích phân cong

Bài toán 16: Tính diện tích các hình giới hạn bởi các đường thẳng cho bởi phương trình trong hệ tọa độ cực:

1) Giải pháp:

Hình 4 - Đồ thị của các hàm,

Hình 5 - Bảng các hàm biến đổi,

2) Tìm giới hạn của tích phân.

vì thế -

3) Tìm diện tích của hình theo công thức (13).

Trả lời: S =.

Nhiệm vụ 17: Tính độ dài các cung của các đường cong cho bởi phương trình trong một hệ trục tọa độ hình chữ nhật:

1) Giải pháp:

Hình 6 - Đồ thị của hàm

Hình 7 - Bảng biến hàm

2) Tìm giới hạn của tích phân.

thay đổi từ ln sang ln, điều này là hiển nhiên từ điều kiện.

3) Tìm độ dài cung bằng công thức (15).

Trả lời: l =

Nhiệm vụ 18: Tính độ dài các cung của đường cong cho bởi phương trình tham số: 1)

1) Giải pháp:

Hình 8- Đồ thị hàm

Hình 11 - Bảng biến hàm

2) Tìm giới hạn của tích phân.

ts thay đổi từ, điều này là rõ ràng từ điều kiện.

Hãy tìm độ dài cung bằng công thức (17).

Nhiệm vụ 20: Tính toán thể tích của các vật thể được giới hạn bởi các bề mặt:

1) Giải pháp:

Hình 12 - Đồ thị của các hàm:

2) Tìm giới hạn của tích phân.

Z thay đổi từ 0 thành 3.

3) Tìm thể tích của hình theo công thức (18)

Nhiệm vụ 21: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi đồ thị hàm số, trục quay Ox: 1)

1) Giải pháp:

Hình 13 - Đồ thị các hàm

Hình 15 - Bảng đồ thị hàm

2) Tìm giới hạn của tích phân.

Các điểm (0; 0) và (1; 1) là chung cho cả hai đồ thị, do đó đây là các giới hạn của tích phân, có thể thấy rõ trong hình.

3) Tìm thể tích của hình theo công thức (20).

Bài 22: Tính diện tích các vật thể tạo thành do phép quay của các hình giới hạn bởi đồ thị hàm số quanh trục cực:

1) Giải pháp:

Hình 16 - Đồ thị của hàm

Hình 17 - Bảng các biến cho đồ thị của hàm

2) Tìm giới hạn của tích phân.

c thay đổi từ

3) Tìm diện tích của hình theo công thức (22).

Trả lời: 3,68

PHẦN KẾT LUẬN

Trong quá trình hoàn thành khóa học của mình, tôi đã học về chủ đề “Tích phân xác định”, tôi đã học cách tính diện tích cơ thể khác nhau, tìm độ dài của các cung đường cong khác nhau và tính thể tích. Đại diện này về cách làm việc với tích phân, sẽ giúp tôi trong tương lai Hoạt động chuyên môn làm thế nào để thực hiện một cách nhanh chóng và hiệu quả các hoạt động khác nhau. Xét cho cùng, bản thân tích phân là một trong những khái niệm quan trọng nhất của toán học, một mặt nảy sinh liên quan đến nhu cầu tìm các hàm bằng các đạo hàm của chúng (ví dụ, để tìm một hàm biểu thị đường đi của một điểm chuyển động, theo tốc độ của điểm này), và mặt khác, để đo diện tích, thể tích, độ dài cung, công của các lực trong một khoảng thời gian nhất định, v.v.

DANH SÁCH CÁC NGUỒN SỬ DỤNG

1. Được viết, D.T. Ghi chú bài giảng về toán học cao hơn: Part 1 - 9 ed. - M.: Iris-press, 2008. - 288 tr.

2. Bugrov, Ya.S., Nikolsky, S.M. Toán học cao hơn. Sự khác biệt và Tích phân tích: V.2 - M.: Drofa, 2004. - 512 tr.

3. V. A. Zorich, Giải tích toán học. Phần I. - Ed. Thứ 4 - M.: MTSNMO, 2002. - 664 tr.

4. Kuznetsov D.A. "Bộ sưu tập các nhiệm vụ cho toán học cao hơn»Matxcova, 1983

5. Nikolsky S. N. "Các phần tử phân tích toán học". - M.: Nauka, 1981.

Tài liệu tương tự

Tính diện tích của các hình phẳng. Tìm một tích phân xác định của một hàm số. Xác định diện tích dưới đường cong, diện tích hình nằm giữa hai đường cong. Tính toán khối lượng các cơ quan của cuộc cách mạng. Giới hạn của tổng tích phân của một hàm số. Xác định thể tích của khối trụ.

trình bày, thêm 18/09/2013

Các tính năng tính toán thể tích của các vật thể được giới hạn bởi các bề mặt bằng cách sử dụng ý nghĩa hình học tích phân kép. Xác định diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường bằng phương pháp tích phân trong quá trình giải tích toán học.

trình bày, thêm 17/09/2013

Đạo hàm của một tích phân xác định đối với một biến giới hạn trên. Tính tích phân xác định dưới dạng giới hạn của tổng tích phân theo công thức Newton – Leibniz, đổi biến số và tích phân theo từng phần. Độ dài hồ quang trong tọa độ cực.

kiểm soát công việc, bổ sung 22/08/2009

Mômen và khối tâm của đường cong phẳng. Định lý Gulden. Diện tích bề mặt tạo thành do chuyển động quay của một cung của một đường cong quanh một trục nằm trong mặt phẳng của cung và không cắt nhau bằng tích độ dài của cung và độ dài của hình tròn.

bài giảng, thêm 09/04/2003

Kỹ thuật và các công đoạn chính của việc tìm các thông số: diện tích hình thang cong và cung, độ dài cung cong, thể tích vật thể, diện tích bề mặt vật thể cách ly, công của một lực biến thiên. Trình tự và cơ chế tính tích phân bằng gói MathCAD.

kiểm soát công việc, bổ sung 21/11/2010

Cần thiết và đủ điều kiện sự tồn tại của một tích phân xác định. Bằng của một tích phân xác định của tổng đại số(sự khác biệt) của hai chức năng. Định lý giá trị trung bình - hệ quả và chứng minh. Ý nghĩa hình học của một tích phân xác định.

trình bày, thêm 18/09/2013

Nhiệm vụ hội nhập số chức năng. Tính giá trị gần đúng của một tích phân xác định. Tìm một tích phân xác định bằng các phương pháp hình chữ nhật, trung bình hình chữ nhật, hình thang. Sai số về công thức và so sánh các phương pháp về độ chính xác.

hướng dẫn đào tạo, bổ sung 07/01/2009

Các phương pháp tính tích phân. Công thức và Xác thực không xác định, không thể thiếu. Diện tích hình thang cân. Không thời hạn, xác định và tích phân phức tạp. Các ứng dụng cơ bản của tích phân. Ý nghĩa hình học của tích phân xác định và tích phân không xác định.

trình bày, thêm ngày 15/01/2014

Tính diện tích của một hình giới hạn bởi dòng đã cho, sử dụng một tích phân kép. Tính tích phân kép bằng cách đi tới tọa độ cực. Phương pháp xác định tích phân cong của loại thứ hai dọc theo một dòng cho trước và dòng chảy của trường vectơ.

kiểm soát công việc, thêm 14/12/2012

Khái niệm về tích phân xác định, cách tính diện tích, thể tích của vật thể và độ dài cung tròn, mômen tĩnh và trọng tâm của đường cong. Tính diện tích trong trường hợp vùng cong hình chữ nhật. Ứng dụng của đường cong, bề mặt và tích phân ba.