Είδη εξισώσεων και μέθοδοι επίλυσής τους. Γραμμικές εξισώσεις

Υπουργείο Γενικών και επαγγελματική εκπαίδευση RF

Δημοτικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα

Γυμνάσιο Νο 12

Εκθεση ΙΔΕΩΝ

με θέμα: Εξισώσεις και τρόποι επίλυσής τους

Ολοκληρώθηκε: μαθητής 10 «Α» τάξη

Krutko Evgeny

Έλεγχος: καθηγήτρια μαθηματικών Iskhakova Gulsum Akramovna

Tyumen 2001

Σχέδιο................................................. ................................................ . ............................... ένας

Εισαγωγή ...................................................... ................................................ .. ...................... 2

Κύριο μέρος ................................................ ................................................ . .............. 3

Συμπέρασμα................................................. ................................................ . ................ 25

Εφαρμογή................................................. ................................................ . .............. 26

Κατάλογος παραπομπών ..................................................... ................................................................ ... 29

Σχέδιο.

Εισαγωγή.

Ιστορική αναφορά.

Εξισώσεις. Αλγεβρικές εξισώσεις.

α) Βασικοί ορισμοί.

β) Γραμμική εξίσωση και πώς λύνεται.

γ) Τετραγωνικές εξισώσεις και μέθοδοι επίλυσής του.

δ) Εξισώσεις δύο όρων, τρόπος επίλυσής τους.

ε) Κυβικές εξισώσεις και μέθοδοι επίλυσής του.

μι) Διτετραγωνική εξίσωσηκαι πώς να το λύσετε.

ζ) Εξισώσεις τέταρτου βαθμού και μέθοδοι επίλυσής του.

ζ) Εξισώσεις υψηλών βαθμών και μέθοδοι από τη λύση.

η) Ορθολογική αλγεβρική εξίσωση και η μέθοδος της

και) Παράλογες εξισώσειςκαι τρόπους επίλυσής του.

ι) Εξισώσεις που περιέχουν το άγνωστο κάτω από το πρόσημο.

απόλυτη τιμή και πώς να το λύσετε.

Υπερβατικές εξισώσεις.

ένα) εκθετικές εξισώσειςκαι πώς να τα λύσετε.

σι) Λογαριθμικές Εξισώσειςκαι πώς να τα λύσετε.

Εισαγωγή

Μαθηματική εκπαίδευση που έλαβε στο σχολείο γενικής εκπαίδευσης, είναι βασικό συστατικό γενική εκπαίδευσηκαι κοινή κουλτούρα ΣΥΓΧΡΟΝΟΣ ΑΝΘΡΩΠΟΣ. Σχεδόν όλα όσα περιβάλλουν έναν σύγχρονο άνθρωπο συνδέονται με τον ένα ή τον άλλο τρόπο με τα μαθηματικά. ΑΛΛΑ πρόσφατα επιτεύγματαστη φυσική, την τεχνολογία και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣμην αφήνετε καμία αμφιβολία ότι τα πράγματα θα παραμείνουν ίδια στο μέλλον. Επομένως, η επίλυση πολλών πρακτικών προβλημάτων περιορίζεται στην επίλυση διάφορα είδηεξισώσεις για να μάθετε πώς να λύσετε.

Η παρούσα εργασία αποτελεί μια προσπάθεια γενίκευσης και συστηματοποίησης του μελετημένου υλικού για το παραπάνω θέμα. Έχω τακτοποιήσει το υλικό ανάλογα με τον βαθμό πολυπλοκότητάς του, ξεκινώντας από το πιο απλό. Περιλαμβάνει τόσο τα είδη των εξισώσεων που μας είναι γνωστά από το σχολικό μάθημα της άλγεβρας, όσο και πρόσθετο υλικό. Ταυτόχρονα, προσπάθησα να δείξω τους τύπους εξισώσεων που δεν μελετώνται σχολικό μάθημα, αλλά η γνώση των οποίων μπορεί να χρειαστεί κατά την είσοδο σε ανώτερο εκπαιδευτικό ίδρυμα. Στην εργασία μου, όταν λύνω εξισώσεις, δεν περιορίστηκα μόνο σε μια πραγματική λύση, αλλά υπέδειξα και μια σύνθετη, αφού πιστεύω ότι διαφορετικά η εξίσωση απλά δεν λύνεται. Άλλωστε, αν δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες στην εξίσωση, τότε αυτό δεν σημαίνει ότι δεν έχει λύσεις. Δυστυχώς λόγω έλλειψης χρόνου δεν μπόρεσα να παρουσιάσω όλο το υλικό που έχω, αλλά και με το υλικό που παρουσιάζεται εδώ μπορεί να προκύψουν πολλά ερωτηματικά. Ελπίζω ότι οι γνώσεις μου είναι αρκετές για να απαντήσω στις περισσότερες ερωτήσεις. Λοιπόν, θα παρουσιάσω το υλικό.

Τα μαθηματικά... αποκαλύπτουν τάξη

συμμετρία και βεβαιότητα,

και αυτό είναι το πιο σημαντικό είδοςπανεμορφη.

Αριστοτέλης.

Ιστορική αναφορά

Σε εκείνους τους μακρινούς χρόνους, όταν οι σοφοί άρχισαν να σκέφτονται για πρώτη φορά τις ισότητες που περιείχαν άγνωστες ποσότητες, πιθανότατα δεν υπήρχαν ακόμη νομίσματα ή πορτοφόλια. Αλλά από την άλλη, υπήρχαν σωροί, καθώς και γλάστρες, καλάθια, που ήταν τέλεια για το ρόλο των κρυφών-καταστημάτων που περιείχαν άγνωστο αριθμό αντικειμένων. «Ψάχνουμε για ένα σωρό, που μαζί με τα δύο τρίτα του, ένα μισό και ένα έβδομο, είναι 37 ...», - δίδαξε τη II χιλιετία π.Χ. νέα εποχήΑιγύπτιος γραμματέας Αχμές. Στα αρχαία μαθηματικά προβλήματαΜεσοποταμία, Ινδία, Κίνα, Ελλάδα, άγνωστες ποσότητες εξέφραζαν τον αριθμό των παγωνιών στον κήπο, τον αριθμό των ταύρων στο κοπάδι, το σύνολο των πραγμάτων που λαμβάνονται υπόψη κατά τη διαίρεση της περιουσίας. Γραμματείς, αξιωματούχοι και ιερείς μυημένοι στη μυστική γνώση, καλά εκπαιδευμένοι στην επιστήμη της μέτρησης, αντιμετώπισαν τέτοια καθήκοντα με μεγάλη επιτυχία.

Πηγές που έχουν φτάσει σε εμάς υποδεικνύουν ότι οι αρχαίοι επιστήμονες διέθεταν ορισμένες γενικές μεθόδους για την επίλυση προβλημάτων με άγνωστες ποσότητες. Ωστόσο, ούτε ένας πάπυρος, ούτε ένα πήλινο δισκίο δεν δίνει μια περιγραφή αυτών των τεχνικών. Οι συγγραφείς παρείχαν μόνο περιστασιακά τους αριθμητικούς υπολογισμούς τους με μέτρια σχόλια όπως: "Κοίτα!", "Κάνε το!", "Το βρήκες σωστά". Υπό αυτή την έννοια, εξαίρεση αποτελεί η «Αριθμητική» του Έλληνα μαθηματικού Διόφαντου Αλεξανδρείας (III αιώνας) - μια συλλογή προβλημάτων για τη σύνταξη εξισώσεων με συστηματική παρουσίαση των λύσεών τους.

Ωστόσο, το έργο του λόγιου της Βαγδάτης του 9ου αιώνα έγινε το πρώτο εγχειρίδιο για την επίλυση προβλημάτων που έγινε ευρέως γνωστό. Μοχάμεντ μπιν Μούσα αλ Χουαρίζμι. Η λέξη "al-jabr" από τον αραβικό τίτλο αυτής της πραγματείας - "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("Το βιβλίο της αποκατάστασης και της αντίθεσης") - με την πάροδο του χρόνου μετατράπηκε στη λέξη "άλγεβρα" πολύ γνωστή σε όλους, και το ίδιο το έργο του al-Khwarizmi χρησίμευσε ως αφετηρία στην ανάπτυξη της επιστήμης της επίλυσης εξισώσεων.

εξισώσεις. Αλγεβρικές εξισώσεις

Βασικοί ορισμοί

Στην άλγεβρα θεωρούνται δύο τύποι ισοτήτων - ταυτότητες και εξισώσεις.

Ταυτότηταείναι μια ισότητα που ισχύει για όλες τις (αποδεκτές) τιμές των γραμμάτων). Να γράψετε την ταυτότητα μαζί με το σημάδι

χρησιμοποιείται επίσης το σημάδι.

Η εξίσωση- αυτή είναι μια ισότητα που ικανοποιείται μόνο για ορισμένες τιμές των γραμμάτων που περιλαμβάνονται σε αυτήν. Τα γράμματα που περιλαμβάνονται στην εξίσωση, ανάλογα με την κατάσταση του προβλήματος, μπορεί να είναι άνισα: μερικοί μπορούν να πάρουν όλα τα επιτρεπόμενες τιμές(καλούνται Παράμετροιή συντελεστέςεξισώσεις και συνήθως συμβολίζονται με τα πρώτα γράμματα Λατινικό αλφάβητο:

, , ... – ή τα ίδια γράμματα, με δείκτες: , , ... ή , , ...); καλούνται άλλα των οποίων οι τιμές πρέπει να βρεθούν άγνωστος(συνήθως συμβολίζονται με τα τελευταία γράμματα του λατινικού αλφαβήτου: , , , ... - ή με τα ίδια γράμματα, με δείκτες: , , ... ή , , ...).

ΣΤΟ γενική εικόναη εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως εξής:

(, , ..., ).

Ανάλογα με τον αριθμό άγνωστη εξίσωσηονομάζεται εξίσωση με έναν, δύο κ.λπ. αγνώστους.

Μια εξίσωση είναι μια μαθηματική έκφραση που είναι μια εξίσωση που περιέχει ένα άγνωστο. Εάν η ισότητα ισχύει για οποιεσδήποτε αποδεκτές τιμές των αγνώστων που περιλαμβάνονται σε αυτήν, τότε ονομάζεται ταυτότητα. για παράδειγμα: μια σχέση όπως (x – 1)2 = (x – 1) (x – 1) ισχύει για όλες τις τιμές του x.

Εάν μια εξίσωση που περιλαμβάνει ένα άγνωστο x ισχύει μόνο για ορισμένες τιμές του x και όχι για όλες τις τιμές του x, όπως στην περίπτωση μιας ταυτότητας, τότε μπορεί να είναι χρήσιμο να προσδιοριστούν εκείνες οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει η εξίσωση. Τέτοιες τιμές του x ονομάζονται ρίζες ή λύσεις της εξίσωσης. Για παράδειγμα, ο αριθμός 5 είναι η ρίζα της εξίσωσης 2x + 7= 17.

Στον κλάδο των μαθηματικών που ονομάζεται θεωρία των εξισώσεων, το κύριο αντικείμενο μελέτης είναι οι μέθοδοι επίλυσης εξισώσεων. Στο μάθημα της σχολικής άλγεβρας δίνεται μεγάλη προσοχή στις εξισώσεις.

Η ιστορία της μελέτης των εξισώσεων πηγαίνει πίσω πολλούς αιώνες. Οι πιο διάσημοι μαθηματικοί που συνέβαλαν στην ανάπτυξη της θεωρίας των εξισώσεων ήταν:

Αρχιμήδης (περίπου 287-212 π.Χ.) - Αρχαίος Έλληνας επιστήμονας, μαθηματικός και μηχανικός. Στη μελέτη ενός προβλήματος, το οποίο ανάγεται σε κυβική εξίσωση, ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τον ρόλο του χαρακτηριστικού, το οποίο αργότερα έγινε γνωστό ως ο διαχωριστής.

Ο Φρανσουά Βιέ έζησε τον 16ο αιώνα. Είχε μεγάλη συμβολή στη μελέτη διάφορα προβλήματαμαθηματικά. Συγκεκριμένα, εισήγαγε τον κυριολεκτικό συμβολισμό για τους συντελεστές μιας εξίσωσης και καθιέρωσε μια σύνδεση μεταξύ των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης.

Leonhard Euler (1707 - 1783) - μαθηματικός, μηχανικός, φυσικός και αστρονόμος. Ο συγγραφέας του St. 800 εργασίες για μαθηματική ανάλυση, διαφορικές εξισώσεις, γεωμετρία, θεωρία αριθμών, υπολογισμοί κατά προσέγγιση, ουράνια μηχανική, μαθηματικά, οπτική, βαλλιστική, ναυπηγική, θεωρία της μουσικής κ.λπ. Είχε σημαντική επίδραση στην ανάπτυξη της επιστήμης. Παρήγαγε τύπους (φόρμουλες Euler) που εκφράζουν τριγωνομετρικές συναρτήσειςμεταβλητή x μέσω μιας εκθετικής συνάρτησης.

Lagrange Joseph Louis (1736 - 1813), Γάλλος μαθηματικόςκαι μηχανικός. Κατέχει εξέχουσα έρευνα, μεταξύ των οποίων η έρευνα για την άλγεβρα (η συμμετρική συνάρτηση των ριζών μιας εξίσωσης, για τις διαφορικές εξισώσεις (η θεωρία των λύσεων του μοναδικού, η μέθοδος μεταβολής των σταθερών).

J. Lagrange και A. Vandermonde - Γάλλοι μαθηματικοί. Το 1771 χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά η μέθοδος επίλυσης συστημάτων εξισώσεων (η μέθοδος υποκατάστασης).

Gauss Karl Friedrich (1777 -1855) - Γερμανός μαθηματικός. Έγραψε ένα βιβλίο που περιγράφει τη θεωρία των εξισώσεων διαίρεσης κύκλων (δηλαδή, εξισώσεις xn - 1 = 0), η οποία από πολλές απόψεις ήταν ένα πρωτότυπο της θεωρίας Galois. Εκτός από κοινές μεθόδουςλύνοντας αυτές τις εξισώσεις, δημιούργησε μια σύνδεση μεταξύ τους και την κατασκευή κανονικών πολυγώνων. Αυτός, για πρώτη φορά μετά τους αρχαίους Έλληνες επιστήμονες, έκανε ένα σημαντικό βήμα μπροστά σε αυτό το θέμα, δηλαδή: βρήκε όλες εκείνες τις τιμές του n για τις οποίες κανονικό n-gonμπορεί να κατασκευαστεί με πυξίδα και χάρακα. Έμαθε πώς να προσθέτετε. Κατέληξε στο συμπέρασμα ότι τα συστήματα εξισώσεων μπορούν να προστεθούν, να διαιρεθούν και να πολλαπλασιαστούν μεταξύ τους.

O. I. Somov - εμπλούτισε διάφορα μέρη των μαθηματικών με σημαντικά και πολυάριθμα έργα, μεταξύ των οποίων η θεωρία ορισμένων αλγεβρικών εξισώσεων υψηλότερους βαθμούς.

Galois Evariste (1811-1832), Γάλλος μαθηματικός. Η κύρια αξία του είναι η διατύπωση ενός συνόλου ιδεών, στις οποίες ήρθε σε σχέση με τη συνέχιση της έρευνας για τη διαλυτότητα των αλγεβρικών εξισώσεων, που ξεκίνησε από τους J. Lagrange, N. Abel και άλλους, δημιούργησε τη θεωρία των αλγεβρικών εξισώσεων των ανώτερων πτυχία με ένα άγνωστο.

A. V. Pogorelov (1919 - 1981) - Στο έργο του, οι γεωμετρικές μέθοδοι συνδέονται με Αναλυτικές μέθοδοιθεωρία διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους. Τα έργα του είχαν επίσης σημαντική επίδραση στη θεωρία των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων.

P. Ruffini - Ιταλός μαθηματικός. Αφιέρωσε μια σειρά από έργα στην απόδειξη της μη επιλυτότητας της εξίσωσης του 5ου βαθμού, χρησιμοποιεί συστηματικά την κλειστότητα του συνόλου των αντικαταστάσεων.

Παρά το γεγονός ότι οι επιστήμονες μελετούν τις εξισώσεις για μεγάλο χρονικό διάστημα, η επιστήμη δεν γνωρίζει πώς και πότε οι άνθρωποι είχαν την ανάγκη να χρησιμοποιούν εξισώσεις. Είναι γνωστό μόνο ότι τα προβλήματα που οδηγούν στη λύση των απλούστερων εξισώσεων έχουν λυθεί από τους ανθρώπους από τη στιγμή που έγιναν άνθρωποι. Άλλα 3 - 4 χιλιάδες χρόνια π.Χ. μι. οι Αιγύπτιοι και οι Βαβυλώνιοι ήξεραν πώς να λύνουν εξισώσεις. Ο κανόνας για την επίλυση αυτών των εξισώσεων συμπίπτει με τον σύγχρονο, αλλά δεν είναι γνωστό πώς έφτασαν σε αυτό το σημείο.

ΣΤΟ Αρχαία Αίγυπτοςκαι Βαβυλώνα, χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος της ψευδούς θέσης. Μια εξίσωση πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο μπορεί πάντα να αναχθεί στη μορφή ax + b = c, στην οποία τα a, b, c είναι ακέραιοι αριθμοί. Σύμφωνα με τους κανόνες αριθμητικές πράξειςτσεκούρι \u003d c - b,

Αν b > c, τότε το c b είναι αρνητικός αριθμός. Αρνητικοί αριθμοίήταν άγνωστοι στους Αιγύπτιους και σε πολλούς άλλους μεταγενέστερους λαούς (σε ισότιμη βάση με θετικούς αριθμούςάρχισαν να χρησιμοποιούνται στα μαθηματικά μόλις τον δέκατο έβδομο αιώνα). Για να λύσουμε τα προβλήματα που λύνουμε τώρα με εξισώσεις πρώτου βαθμού, εφευρέθηκε η μέθοδος της ψευδούς θέσης. Στον πάπυρο του Ahmes λύνονται 15 προβλήματα με αυτή τη μέθοδο. Οι Αιγύπτιοι είχαν ένα ειδικό σημάδι για έναν άγνωστο αριθμό, το οποίο, μέχρι πρόσφατα, διάβαζε «πώς» και μεταφραζόταν με τη λέξη «σωρός» («σωρός» ή «άγνωστος αριθμός» μονάδων). Τώρα διαβάζουν λίγο λιγότερο ανακριβώς: «αχα». Η μέθοδος λύσης που χρησιμοποιεί ο Ahmes ονομάζεται μέθοδος μιας ψευδούς θέσης. Με τη μέθοδο αυτή λύνονται εξισώσεις της μορφής ax = b. Αυτή η μέθοδος συνίσταται στη διαίρεση κάθε πλευράς της εξίσωσης με α. Το χρησιμοποιούσαν τόσο οι Αιγύπτιοι όσο και οι Βαβυλώνιοι. Στο διαφορετικούς λαούςχρησιμοποιήθηκε η μέθοδος των δύο ψευδών θέσεων. Οι Άραβες μηχανοποίησαν αυτή τη μέθοδο και απέκτησαν τη μορφή με την οποία πέρασε στα σχολικά βιβλία των ευρωπαϊκών λαών, συμπεριλαμβανομένης της Αριθμητικής του Magnitsky. Ο Magnitsky αποκαλεί τη μέθοδο επίλυσης του «ψευδούς κανόνα» και γράφει στο μέρος του βιβλίου του που εξηγεί αυτή τη μέθοδο:

Zelo bo πονηριά είναι αυτό το κομμάτι, Όπως μπορείτε να βάλετε τα πάντα μαζί του. Όχι μόνο ό,τι είναι στην ιθαγένεια, αλλά και οι ανώτερες επιστήμες στο διάστημα, Ακόμα και καταγράφονται στη σφαίρα του ουρανού, Όπως οι σοφοί υπάρχει ανάγκη.

Το περιεχόμενο των ποιημάτων του Magnitsky μπορεί να συνοψιστεί ως εξής: αυτό το μέρος της αριθμητικής είναι πολύ δύσκολο. Με τη βοήθειά του, μπορείτε να υπολογίσετε όχι μόνο τι χρειάζεται στην καθημερινή πρακτική, αλλά λύνει και τις «υψηλότερες» ερωτήσεις που αντιμετωπίζουν οι «σοφοί». Ο Magnitsky χρησιμοποιεί έναν «ψευδή κανόνα» με τη μορφή που του έδωσαν οι Άραβες, αποκαλώντας τον «αριθμητική δύο σφαλμάτων» ή «μέθοδο των βαρών». Οι Ινδοί μαθηματικοί έδιναν συχνά προβλήματα σε στίχους. Πρόκληση Lotus:

Πάνω από την ήσυχη λίμνη, μισό μέτρο πάνω από το νερό, φαινόταν το χρώμα του Lotus. Μεγάλωσε μόνος, και ο αέρας σε ένα κύμα τον έσκυψε στο πλάι, και όχι πια

Λουλούδια πάνω από το νερό. Βρήκε το ψαράδικό του μάτι Δύο μέτρα από εκεί που μεγάλωσε. Πόσες λίμνες εδώ είναι βαθιά το νερό; Θα σας κάνω μια ερώτηση.

Τύποι εξισώσεων

Γραμμικές εξισώσεις

Οι γραμμικές εξισώσεις είναι εξισώσεις της μορφής: ax + b = 0, όπου a και b είναι μερικές σταθερές. Εάν το a δεν είναι ίσο με μηδέν, τότε η εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα: x \u003d - b: a (ax + b; ax \u003d - b; x \u003d - b: a.).

Για παράδειγμα: λύστε μια γραμμική εξίσωση: 4x + 12 = 0.

Λύση: T. σε a \u003d 4, και b \u003d 12, μετά x \u003d - 12: 4; x = - 3.

Έλεγχος: 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0.

Εφόσον k 0 = 0, τότε -3 είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης.

Απάντηση. x = -3

Αν το a είναι μηδέν και το b είναι μηδέν, τότε η ρίζα της εξίσωσης ax + b = 0 είναι οποιοσδήποτε αριθμός.

Για παράδειγμα:

0 = 0. Εφόσον το 0 είναι 0, τότε η ρίζα της εξίσωσης 0x + 0 = 0 είναι οποιοσδήποτε αριθμός.

Αν το a είναι μηδέν και το b δεν είναι μηδέν, τότε η εξίσωση ax + b = 0 δεν έχει ρίζες.

Για παράδειγμα:

0 \u003d 6. Εφόσον το 0 δεν είναι ίσο με 6, τότε το 0x - 6 \u003d 0 δεν έχει ρίζες.

Συστήματα γραμμικών εξισώσεων.

Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι ένα σύστημα στο οποίο όλες οι εξισώσεις είναι γραμμικές.

Το να λύνεις ένα σύστημα σημαίνει να βρίσκεις όλες τις λύσεις του.

Πριν λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων, μπορείτε να προσδιορίσετε τον αριθμό των λύσεών του.

Έστω το σύστημα των εξισώσεων: (а1х + b1y = σ1, (а2х + b2y = c2.

Εάν το a1 διαιρούμενο με το a2 δεν είναι ίσο με το b1 διαιρούμενο με το b2, τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση.

Εάν το a1 διαιρούμενο με το a2 είναι ίσο με το b1 διαιρούμενο με το b2, αλλά ίσο με το c1 διαιρούμενο με το c2, τότε το σύστημα δεν έχει λύσεις.

Εάν το a1 διαιρούμενο με το a2 είναι ίσο με το b1 διαιρούμενο με το b2, και το ίσο με το c1 διαιρούμενο με το c2, τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις.

Ένα σύστημα εξισώσεων που έχει τουλάχιστον μία λύση ονομάζεται συνεπές.

Ένα σύστημα άρθρωσης ονομάζεται οριστικό εάν έχει πεπερασμένος αριθμόςλύσεις, και αόριστο αν το σύνολο των λύσεών του είναι άπειρο.

Ένα σύστημα που δεν έχει μια ενιαία λύση ονομάζεται ασυνεπές ή ασυνεπές.

Τρόποι επίλυσης γραμμικών εξισώσεων

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι επίλυσης γραμμικών εξισώσεων:

1) Μέθοδος επιλογής. Αυτό είναι το πιο απλούστερος τρόπος. Βρίσκεται στο γεγονός ότι όλες οι έγκυρες τιμές του αγνώστου επιλέγονται με απαρίθμηση.

Για παράδειγμα:

Λύστε την εξίσωση.

Έστω x = 1. Τότε

4 = 6. Εφόσον το 4 δεν είναι ίσο με 6, τότε η υπόθεση μας ότι x = 1 ήταν λανθασμένη.

Έστω x = 2.

6 = 6. Αφού το 6 ισούται με 6, τότε η υπόθεση μας ότι x = 2 ήταν σωστή.

Απάντηση: x = 2.

2) Τρόπος απλοποίησης

Αυτή η μέθοδος έγκειται στο γεγονός ότι όλα τα μέλη που περιέχουν το άγνωστο μεταφέρονται στην αριστερή πλευρά και είναι γνωστά προς τα δεξιά με αντίθετο σημάδι, δώστε παρόμοια και διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με τον συντελεστή του αγνώστου.

Για παράδειγμα:

Λύστε την εξίσωση.

5x - 4 \u003d 11 + 2x;

5x - 2x \u003d 11 + 4;

3x = 15; : (3) x = 5.

Απάντηση. x = 5.

3) Γραφικός τρόπος.

Συνίσταται στο γεγονός ότι δημιουργείται ένα γράφημα συναρτήσεων δεδομένη εξίσωση. Επειδή στη γραμμική εξίσωση y \u003d 0, τότε το γράφημα θα είναι παράλληλο με τον άξονα y. Το σημείο τομής της γραφικής παράστασης με τον άξονα x θα είναι η λύση αυτής της εξίσωσης.

Για παράδειγμα:

Λύστε την εξίσωση.

Έστω y = 7. Τότε y = 2x + 3.

Ας φτιάξουμε ένα γράφημα των συναρτήσεων και των δύο εξισώσεων:

Τρόποι επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων

Στην έβδομη τάξη μελετώνται τρεις τρόποι επίλυσης συστημάτων εξισώσεων:

1) Μέθοδος αντικατάστασης.

Αυτή η μέθοδος συνίσταται στο γεγονός ότι σε μια από τις εξισώσεις ο ένας άγνωστος εκφράζεται με όρους ενός άλλου. Η έκφραση που προκύπτει αντικαθίσταται με μια άλλη εξίσωση, η οποία στη συνέχεια μετατρέπεται σε εξίσωση με έναν άγνωστο και στη συνέχεια λύνεται. Η προκύπτουσα τιμή αυτού του αγνώστου αντικαθίσταται σε οποιαδήποτε εξίσωση του αρχικού συστήματος και βρίσκεται η τιμή του δεύτερου αγνώστου.

Για παράδειγμα.

Λύστε το σύστημα των εξισώσεων.

5x - 2y - 2 = 1.

3x + y = 4; y \u003d 4 - 3x.

Αντικαταστήστε την παράσταση που προκύπτει με μια άλλη εξίσωση:

5x - 2 (4 - 3x) -2 \u003d 1;

5x - 8 + 6x \u003d 1 + 2;

11x = 11; : (11) x = 1.

Αντικαταστήστε την τιμή που προκύπτει στην εξίσωση 3x + y \u003d 4.

3 1 + y = 4;

3 + y = 4; y \u003d 4 - 3; y = 1.

Εξέταση.

/3 1 + 1 = 4,

\5 1 - 2 1 - 2 = 1;

Απάντηση: x = 1; y = 1.

2) Τρόπος προσθήκης.

Αυτή η μέθοδος είναι ότι εάν αυτό το σύστημααποτελείται από εξισώσεις που, όταν προστίθενται όρος προς όρο, σχηματίζουν μια εξίσωση με έναν άγνωστο, στη συνέχεια, λύνοντας αυτήν την εξίσωση, παίρνουμε την τιμή ενός από τους αγνώστους. Η προκύπτουσα τιμή αυτού του αγνώστου αντικαθίσταται σε οποιαδήποτε εξίσωση του αρχικού συστήματος και βρίσκεται η τιμή του δεύτερου αγνώστου.

Για παράδειγμα:

Λύστε το σύστημα των εξισώσεων.

/ 3 ετών - 2x \u003d 5,

\5x - 3 ετών \u003d 4.

Ας λύσουμε την εξίσωση που προκύπτει.

3x = 9; : (3) x = 3.

Ας αντικαταστήσουμε την λαμβανόμενη τιμή στην εξίσωση 3y - 2x = 5.

3y - 2 3 = 5;

3y = 11; : (3) y = 11/3; y = 3 2/3.

Άρα x = 3; y = 3 2/3.

Εξέταση.

/3 11/3 - 2 3 = 5,

\5 3 - 3 11/ 3 = 4;

Απάντηση. x = 3; y = 3 2/3

3) Γραφικός τρόπος.

Αυτή η μέθοδος βασίζεται στο γεγονός ότι οι γραφικές παραστάσεις των εξισώσεων σχεδιάζονται σε ένα σύστημα συντεταγμένων. Αν οι γραφικές παραστάσεις της εξίσωσης τέμνονται, τότε οι συντεταγμένες του σημείου τομής είναι η λύση αυτού του συστήματος. Αν οι γραφικές παραστάσεις μιας εξίσωσης είναι παράλληλες ευθείες, τότε το δεδομένο σύστημα δεν έχει λύσεις. Αν οι γραφικές παραστάσεις των εξισώσεων συγχωνευθούν σε μία ευθεία γραμμή, τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις.

Για παράδειγμα.

Λύστε το σύστημα των εξισώσεων.

18x + 3y - 1 = 8.

2x - y \u003d 5; 18x + 3y - 1 = 8;

Y \u003d 5 - 2x; 3 ετών \u003d 9 - 18x; : (3) y = 2x - 5. y = 3 - 6x.

Κατασκευάζουμε γραφήματα των συναρτήσεων y \u003d 2x - 5 και y \u003d 3 - 6x στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων.

Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y \u003d 2x - 5 και y \u003d 3 - 6x τέμνονται στο σημείο A (1; -3).

Επομένως, η λύση σε αυτό το σύστημα εξισώσεων θα είναι x = 1 και y = -3.

Εξέταση.

2 1 - (- 3) = 5,

18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.

18 - 9 – 1 = 8;

Απάντηση. x = 1; y = -3.

συμπέρασμα

Με βάση όλα τα παραπάνω, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οι εξισώσεις είναι απαραίτητες στο σύγχρονος κόσμοςόχι μόνο για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων, αλλά και ως επιστημονικό εργαλείο. Επομένως, τόσοι πολλοί επιστήμονες έχουν μελετήσει αυτό το θέμα και συνεχίζουν να μελετούν.

Το κείμενο της εργασίας τοποθετείται χωρίς εικόνες και τύπους.
Πλήρη έκδοσηη εργασία είναι διαθέσιμη στην καρτέλα "Αρχεία εργασίας" σε μορφή PDF

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

"Η εξίσωση είναι το χρυσό κλειδί που ξεκλειδώνει όλο το μαθηματικό σουσάμι"

S. Koval

Η μαθηματική εκπαίδευση που λαμβάνεται στο σχολείο είναι πολύ κύριο μέροςζωή του σύγχρονου ανθρώπου. Σχεδόν όλα όσα μας περιβάλλουν συνδέονται με τον ένα ή τον άλλο τρόπο με τα μαθηματικά. Η λύση πολλών πρακτικών προβλημάτων περιορίζεται στην επίλυση εξισώσεων διαφόρων τύπων.

Οι εξισώσεις είναι το πιο ογκώδες θέμα ολόκληρου του μαθήματος της άλγεβρας. Στο παρελθόν ακαδημαϊκό έτοςστα μαθήματα άλγεβρας εξοικειωθήκαμε με τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Οι τετραγωνικές εξισώσεις χρησιμοποιούνται ευρέως για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων, τόσο στον τομέα των μαθηματικών όσο και στον τομέα της φυσικής και της χημείας.

Στο σχολικό μάθημα των μαθηματικών το βασικό λύσειςτετραγωνικές εξισώσεις. Ωστόσο, υπάρχουν και άλλες μέθοδοι για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων, μερικές από τις οποίες σας επιτρέπουν να τις λύσετε γρήγορα και ορθολογικά.

Πραγματοποιήσαμε μια έρευνα μεταξύ 84 μαθητών των τάξεων 8-9 σε δύο ερωτήσεις:

Ποιες μεθόδους επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων γνωρίζετε;

Ποια χρησιμοποιείτε περισσότερο;

Με βάση τα αποτελέσματα της έρευνας προέκυψαν τα ακόλουθα αποτελέσματα:

Μετά την ανάλυση των αποτελεσμάτων, καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι οι περισσότεροι μαθητές χρησιμοποιούν τύπους ρίζας όταν λύνουν δευτεροβάθμιες εξισώσεις χρησιμοποιώντας τη διάκριση και δεν γνωρίζουν καλά πώς να λύνουν τετραγωνικές εξισώσεις.

Επομένως, το θέμα που επιλέξαμε είναι σχετικό.

Βάζουμε μπροστά μας στόχος: εξερευνήστε αντισυμβατικούς τρόπουςεπίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων, για εισαγωγή των μαθητών της 8ης και 9ης τάξης διαφορετικοί τρόποιλύσεις, αναπτύξτε την ικανότητα επιλογής ορθολογικού τρόπου επίλυσης μιας εξίσωσης δευτεροβάθμιας.

Για να πετύχετε αυτόν τον στόχο, πρέπει να λύσετε τα ακόλουθα καθήκοντα:

συλλογή πληροφοριών σχετικά με διαφορετικούς τρόπους επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων,

να κυριαρχήσει στις λύσεις που βρέθηκαν,

γράψτε ένα πρόγραμμα για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τους τύπους των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης στο Excel,

αναπτύσσω διδακτικό υλικόγια μάθημα ή εξωσχολικές δραστηριότητες για μη τυποποιημένες μεθόδουςεπίλυση τετραγωνικών εξισώσεων,

διεξαγωγή μαθήματος «Ασυνήθιστοι τρόποι επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων» με μαθητές της 8ης-9ης τάξης.

Αντικείμενο μελέτης: τετραγωνικές εξισώσεις.

Αντικείμενο έρευνας: διαφορετικοί τρόποι επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων.

Πιστεύουμε ότι πρακτική σημασίαη εργασία συνίσταται στη δυνατότητα χρήσης μιας τράπεζας τεχνικών και μεθόδων για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων στα μαθηματικά και εξωσχολικές δραστηριότητες, καθώς και στην εξοικείωση των μαθητών των τάξεων 8-9 με αυτό το υλικό.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΣΥΝΗΘΙΣΜΕΝΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΕΤΑΓΓΕΛΙΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

1. 1. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ (α,β,γ)

Η μέθοδος βασίζεται στις ιδιότητες των συντελεστών αλφάβητο:

Αν ένα a+b+c=0,τότε = 1, =

Παράδειγμα:

-6x 2 + 2x +4=0,τότε = 1, = = .

Αν ένα a-b+c=0,τότε = -1, = -

Παράδειγμα:

2017x 2 + 2001x +16 = 0,τότε = -1, -.

1. 1. ΕΞΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ (a,b,c)

Ισχύουν οι παρακάτω εξαρτήσεις των συντελεστών αλφάβητο:

Αν b=a 2 +1, c=a, τότε x 1 =-a; x 2 \u003d -.

Αν b=-(a 2 +1), a=c, τότε x 1 =a; x 2 =.

Αν b=a 2 -1, c=-a, τότε x 1 =-a; x 2 = .

Αν b=-(a 2 -1), -a=c, τότε x 1 =a; x 2 \u003d -.

Ας λύσουμε τις παρακάτω εξισώσεις:

5x 2 + 26x + 5 = 0

Χ 1 = -5

Χ 2 = - 0,2.

13x 2 - 167x + 13 = 0

Χ 1 =13 x 2 =

14x 2 + 195x - 14 = 0

Χ 1 = - 14 x 2 =

10x 2 - 99x - 10 = 0

Χ 1 =10 x 2 =-0,1.

1. 1. «ΑΝΑΣΤΡΟΦΗ» ΤΟΥ ΚΥΡΙΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ

Συντελεστής έναπολλαπλασιάζεται με τον ελεύθερο όρο, σαν να «μεταφέρεται» σε αυτόν, επομένως ονομάζεται μέθοδος «μεταφοράς». Επιπλέον, οι ρίζες βρίσκονται από το θεώρημα του Vieta. Οι ρίζες που βρέθηκαν διαιρούνται με τον προηγουμένως μεταφερόμενο συντελεστή, χάρη στον οποίο βρίσκουμε τις ρίζες της εξίσωσης.

Παράδειγμα:

2x 2 - 3x + 1 = 0.

Ας «μεταφέρουμε» τον συντελεστή 2 στον ελεύθερο όρο, με αποτέλεσμα να έχουμε την εξίσωση

στο 2 - 3ε + 2 = 0.

Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta

στο 1 = 2, x 1 = 2/2, x 1 = 1,

στο 2 = 1; Χ 2 = 1/2; Χ 2 = 0,5.

Απάντηση: 0,5; ένας.

1. 1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΛΥΣΗΣ

Αν στην εξίσωση α Χ 2 + βχ + γ= 0 μετακινήστε τον δεύτερο και τον τρίτο όρο σε σωστη πλευρα, τότε παίρνουμε ένα Χ 2 = -bx-ντο .

Ας δημιουργήσουμε γραφήματα εξάρτησης στο= τσεκούρι 2 και στο= -bx-ντοσε ένα σύστημα συντεταγμένων.

Το γράφημα της πρώτης εξάρτησης είναι μια παραβολή που διέρχεται από την αρχή. Η γραφική παράσταση της δεύτερης εξάρτησης είναι ευθύγραμμη.

Είναι δυνατές οι ακόλουθες περιπτώσεις:

μια ευθεία γραμμή και μια παραβολή μπορούν να τέμνονται σε δύο σημεία, τα τετμημένα των σημείων τομής είναι οι ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης.

η γραμμή και η παραβολή μπορούν να αγγίξουν (μόνο ένα κοινό σημείο), δηλ. η εξίσωση έχει μία λύση.

ευθεία και παραβολή δεν έχουν κοινά σημεία, δηλ. μια τετραγωνική εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Ας λύσουμε τις παρακάτω εξισώσεις:

1) x 2 + 2x - 3 = 0

x 2 \u003d - 2x + 3

Σε ένα σύστημα συντεταγμένων, κατασκευάζουμε ένα γράφημα της συνάρτησης y \u003d x 2 και ένα γράφημα της συνάρτησης y \u003d - 2x + 3. Δηλώνοντας τα τετμημένα των σημείων τομής παίρνουμε την απάντηση.

Απάντηση: x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 1.

2) x 2 + 6x +9 = 0

x 2 \u003d - 6x - 9

Σε ένα σύστημα συντεταγμένων, κατασκευάζουμε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y \u003d x 2 και μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y \u003d -6x - 9. Δηλώνοντας την τετμημένη του σημείου επαφής, παίρνουμε την απάντηση.

Απάντηση: x = - 3.

3) 2x 2 + 4x +7=0

2x 2 = - 4x - 7

Σε ένα σύστημα συντεταγμένων, κατασκευάζουμε ένα γράφημα της συνάρτησης y \u003d 2x 2 και ένα γράφημα της συνάρτησης

Η παραβολή y \u003d 2x 2 και η ευθεία γραμμή y \u003d - 4x - 7 δεν έχουν κοινά σημεία, επομένως η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Απάντηση: χωρίς ρίζες.

1. 1. ΛΥΣΗ ΤΕΤΑΡΧΙΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΗΣ ΠΥΞΙΔΑΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΑΡΑΚΤΗΡΑ

Λύνουμε την εξίσωση ax 2 + bx + c \u003d 0:

Ας κατασκευάσουμε τα σημεία S(-b:2a,(a+c):2a) - το κέντρο του κύκλου και το σημείο A(0,1).

Σχεδιάστε έναν κύκλο ακτίνας Α.Ε.

Τα τετμημένα των σημείων τομής με τον άξονα Ox είναι οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης.

Σε αυτήν την περίπτωση, είναι δυνατές τρεις περιπτώσεις:

1) Η ακτίνα του κύκλου είναι μεγαλύτερη από την τεταγμένη του κέντρου ( ΑΣ>ΣΚ, ή R>), ο κύκλος τέμνει τον άξονα Ωσε δύο σημεία..Β( Χ 1 ; 0) και D(x 2 ;0), όπου Χ 1 και Χ 2 - ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης Ω 2 + βχ + γ = 0.

2) Η ακτίνα του κύκλου είναι ίση με την τεταγμένη του κέντρου ( AS = SВ, ή R=), ο κύκλος αγγίζει τον άξονα Ωστο σημείο Β( Χ 1 ; 0), όπου Χ 1 είναι η ρίζα της τετραγωνικής εξίσωσης.

3) Η ακτίνα του κύκλου είναι μικρότερη από την τεταγμένη του κέντρου ( ΟΠΩΣ ΚΑΙ< SВ , ή R< ), ο κύκλος δεν έχει κοινά σημεία με τον άξονα x, οπότε η εξίσωση δεν έχει λύση.

ένα) AS > SВή R >, β) AS = SВή R=σε) ΟΠΩΣ ΚΑΙ< SВ, ή R< .

Δύο Λύσεις Χ 1 και Χ 2 . Μία Λύση Χ 1.. Δεν έχει λύση.

Παράδειγμα 1: 2x2 - 8x + 6 = 0.

Λύση:

Ας σχεδιάσουμε έναν κύκλο ακτίνας ΑΝΩΝΥΜΗ ΕΤΑΙΡΙΑ,όπου ΑΛΛΑ (0;1).

Απάντηση: x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 3.

Παράδειγμα 2: x 2 - 6x + 9 = 0.

Λύση: Να βρείτε τις συντεταγμένες S: x=3, y=5.

Απάντηση: x=3.

Παράδειγμα 3: x 2 + 4 x + 5 = 0.

Λύση:Συντεταγμένες κέντρου κύκλου: x= - 2 και y = 3.

Απάντηση: χωρίς ρίζες

1. 1. ΛΥΣΗ ΝΟΜΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ

Νομόγραμμα (από το ελληνικό "νόμος" - νόμος και γραμμάριο), γραφική αναπαράστασησυναρτήσεις πολλών μεταβλητών, που επιτρέπει τη χρήση απλών γεωμετρικές πράξεις(π.χ., εφαρμόζοντας έναν χάρακα) εξερευνήστε λειτουργικές εξαρτήσεις χωρίς υπολογισμούς. Για παράδειγμα, λύστε μια τετραγωνική εξίσωση χωρίς να χρησιμοποιήσετε τύπους.

Είναι παλιά και τώρα ξεχασμένος τρόποςλύση τετραγωνικών εξισώσεων, τοποθετημένη στη σελίδα 83 της συλλογής: Bradis V.M. «Τετραδιάστατοι μαθηματικοί πίνακες». - Μ., «ΔΡΟΦΑ», 2000. Πίνακας XXII. Νομόγραμμα επίλυσης εξισώσεων z 2 + pz + q = 0(βλ. Παράρτημα 1).

Αυτό το νομόγραμμα επιτρέπει, χωρίς να λύσουμε την δευτεροβάθμια εξίσωση, να προσδιορίσουμε τις ρίζες της εξίσωσης από τους συντελεστές της.

Η καμπυλόγραμμη κλίμακα του νομογράμματος είναι κατασκευασμένη σύμφωνα με τους τύπους: OV= , ΑΒ =

Υποθέτοντας OS = p, ED = q, OE = a(όλα σε cm), από παρόμοια τρίγωνα SANκαι CDFλαμβάνουμε την αναλογία από όπου, μετά από αντικαταστάσεις και απλοποιήσεις, ακολουθεί η εξίσωση z 2 + pz + q = 0, και το γράμμα z σημαίνει την ετικέτα οποιουδήποτε σημείου στην καμπυλόγραμμη κλίμακα.

Παράδειγμα 1: z 2 - 9z + 8 = 0.

Στην κλίμακα p βρίσκουμε το σημάδι -9 και στην κλίμακα q το σημάδι 8. Σχεδιάζουμε μια ευθεία γραμμή μέσα από αυτά τα σημάδια που τέμνει την καμπύλη της κλίμακας νομογράμματος στα σημεία 1 και 8. Επομένως, οι ρίζες της εξίσωσης 1 και 8.

Απάντηση: 1; οκτώ.

Αυτή η εξίσωση λύνεται στον πίνακα Bradys στη σελίδα 83 (βλ. Παράρτημα 1).

Παράδειγμα 2: 2z 2 - 9z + 2 = 0.

Διαιρούμε τους συντελεστές αυτής της εξίσωσης με 2, παίρνουμε την εξίσωση:

z 2 - 4,5z + 1 = 0.Το νομόγραμμα δίνει ρίζες z 1 = 4 και z 2 = 0,5.

Απάντηση: 4; 0,5.

Παράδειγμα 3:Χ 2 - 25x + 66 = 0

Οι συντελεστές p και q είναι εκτός κλίμακας. Ας κάνουμε την αντικατάσταση x=5z, παίρνουμε την εξίσωση:

z 2 - 5z + 2,64 = 0,

που λύνεται με νομογράφημα.

Πάρτε z 1 = 0,6 και z 2 = 4,4,

όπου Χ 1 = 5z 1 = 3,0 και Χ 2 = 5z 2 = 22,0.

Απάντηση: 3; 22.

Παράδειγμα 4: z 2 + 5z - 6 = 0, 1 =1 , ένα αρνητική ρίζαβρείτε αφαιρώντας θετική ρίζαέξω -σελ , εκείνοι. z 2 = - p -1= - 5 - 1= -6.

Απάντηση: 1; -6.

Παράδειγμα 5: z 2 - 2z - 8 = 0,το νομόγραμμα δίνει θετική ρίζα του z 1 =4, και το αρνητικό είναι z 2 =-p-4=

= 2 - 4= -2.

Απάντηση: 4; -2.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

Αποφασίσαμε να γράψουμε ένα πρόγραμμα για την επίλυση τετραγωνικής εξίσωσης με χρησιμοποιώντας το Excel- είναι ευρέως διαδεδομένο πρόγραμμα υπολογιστή. Χρειάζεται για τη διενέργεια υπολογισμών, τη σύνταξη πινάκων και διαγραμμάτων, τον υπολογισμό απλών και σύνθετες λειτουργίες. Αποτελεί μέρος του πακέτου του Microsoft Office.

Σεντόνι Προγράμματα Excel, όπου εμφανίζονται οι τύποι:

Εμφάνιση φύλλου Excel συγκεκριμένο παράδειγμαεπίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης Χ 2 - 14x - 15 = 0:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

Ο τύπος των ριζών μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης με τη χρήση του διαχωριστικού D και D1	Ευελιξία, γιατί μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση όλων των τετραγωνικών εξισώσεων	Το δυσκίνητο διακριτικό δεν περιλαμβάνεται στον πίνακα των τετραγώνων
Το θεώρημα του Βιέτα	Γρήγορη λύση σε ορισμένες περιπτώσεις και εξοικονόμηση χρόνου	Αν η διάκριση δεν είναι το τέλειο τετράγωνο ενός ακέραιου αριθμού. Μη ακέραιοι συντελεστές β και γ.
Επιλογή πλήρες τετράγωνο	Με τον σωστό μετασχηματισμό στο τετράγωνο του διωνύμου, προκύπτει μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση και, επομένως, οι ρίζες βρίσκονται πιο γρήγορα	Η δυσκολία επιλογής πλήρους τετραγώνου όταν κλασματικές πιθανότητεςεξισώσεις
Μέθοδος ομαδοποίησης	Μπορεί να λυθεί χωρίς να γνωρίζετε τους τύπους	Δεν είναι πάντα δυνατό να αποσυντεθεί ο μεσαίος όρος σε κατάλληλους όρους για ομαδοποίηση
Γραφικός τρόπος	Δεν απαιτούνται τύποι. Μπορείτε να μάθετε γρήγορα τον αριθμό των ριζών μιας εξίσωσης	Προσέγγιση της λύσης
Ιδιότητες συντελεστές a,b,c	Ταχύτητα απόφασης. Για εξισώσεις με μεγάλους συντελεστές	Κατάλληλο μόνο για ορισμένες εξισώσεις
«Ανακύλιση» του κύριου συντελεστή	Ταχύτητα λύσης εάν οι ρίζες είναι ακέραιες	Το ίδιο με το θεώρημα του Vieta
Νομογράφημα	ορατότητα Το μόνο που χρειάζεται για να λυθεί είναι ένα νομόγραμμα	Δεν έχεις πάντα μαζί σου νομογράφημα. Ανακρίβεια λύσης
Εύρεση ριζών με πυξίδα και ευθεία	ορατότητα	Αν οι συντεταγμένες του κέντρου είναι μη ακέραιοι αριθμοί. Εύρεση των ριζών εξισώσεων με μεγάλους συντελεστές

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

«Συχνά είναι πιο χρήσιμο για έναν σπουδαστή άλγεβρας να λύνει το ίδιο πρόβλημα με τρεις διαφορετικούς τρόπους παρά να λύνει τρία ή τέσσερα διαφορετικά προβλήματα. Επίλυση ενός προβλήματος διάφορες μεθόδους, μπορείτε να μάθετε συγκρίνοντας ποιο είναι πιο κοντό και πιο αποτελεσματικό. Έτσι φτιάχνεται η εμπειρία».

Walter Warwick Sawyer

Κατά τη διάρκεια της εργασίας, συλλέξαμε υλικό και μελετήσαμε μεθόδους επίλυσης (εύρεσης ριζών) δευτεροβάθμιων εξισώσεων. Η λύση των εξισώσεων με διαφορετικούς τρόπους παρουσιάζεται στο Παράρτημα 2.

μελετώντας διαφορετικοί τρόποιλύνοντας τετραγωνικές εξισώσεις, καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι για κάθε εξίσωση μπορείτε να επιλέξετε τον πιο αποτελεσματικό και ορθολογικό τρόπο για να βρείτε τις ρίζες. Κάθε μία από τις λύσεις είναι μοναδική και βολική σε ορισμένες περιπτώσεις. Ορισμένες μέθοδοι λύσης εξοικονομούν χρόνο, κάτι που είναι σημαντικό κατά την επίλυση εργασιών για το OGE, άλλες βοηθούν στην επίλυση της εξίσωσης με πολύ μεγάλους συντελεστές. Προσπαθήσαμε να συγκρίνουμε διαφορετικές λύσεις συντάσσοντας έναν πίνακα που αντικατοπτρίζει τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα καθεμιάς από τις μεθόδους.

Έχουμε αναπτυχθεί Ελεημοσύνη. Μπορείτε να εξοικειωθείτε με την τράπεζα εργασιών για το θέμα στο Παράρτημα 3.

Χρησιμοποιώντας Microsoft Excel, έχουμε συγκεντρώσει υπολογιστικό φύλλο, το οποίο σας επιτρέπει να υπολογίζετε αυτόματα τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης χρησιμοποιώντας τους τύπους ρίζας.

Κάναμε μάθημα ασυνήθιστους τρόπουςεπίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων, για μαθητές της 9ης τάξης. Στους μαθητές άρεσαν πολύ οι μέθοδοι, παρατήρησαν ότι η γνώση που αποκτήθηκε θα τους ήταν χρήσιμη περαιτέρω εκπαίδευση. Αποτέλεσμα του μαθήματος ήταν η εργασία των μαθητών στην οποία παρουσίασαν διάφορες επιλογέςεπίλυση τετραγωνικών εξισώσεων (βλ. Παράρτημα 4).

Το υλικό της εργασίας μπορεί να χρησιμοποιηθεί από όσους αγαπούν τα μαθηματικά και όσους θέλουν να μάθουν περισσότερα για τα μαθηματικά.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Bradis V. M. «Τετραψήφιοι μαθηματικοί πίνακες για Λύκειο», Μ.: Bustard, 2000.

Vilenkin N.Ya. "Άλγεβρα για την 8η τάξη", Μ .: Εκπαίδευση, 2000.

Galitsky M.L. "Συλλογή εργασιών στην άλγεβρα", Μ .: Εκπαίδευση 2002.

Glazer G. I. "Ιστορία των μαθηματικών στο σχολείο", M .: Εκπαίδευση, 1982.

Zvavich L.I. "Algebra Grade 8", Μόσχα: Mnemosyne, 2002.

Makarychev Yu.N. "Algebra Grade 8", Μόσχα: Εκπαίδευση, 2015.

Pluzhnikov I. "10 τρόποι επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων" // Μαθηματικά στο σχολείο. - 2000.- Νο. 40.

Πρέσμαν Α.Α. «Λύση τετραγωνικής εξίσωσης με χρήση πυξίδας και χάρακα»//M., Kvant, No. 4/72, σελ.34.

Savin A.P. " εγκυκλοπαιδικό λεξικόνεαρός μαθηματικός,

Μόσχα: Παιδαγωγική, 1989.

Πηγές Διαδικτύου:

http://revolution.allbest.ru/

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1

"ΣΥΛΛΟΓΗ BRADIS V.M."

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 2

«ΛΥΝΟΝΤΑΣ ΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕ ΟΛΟΥΣ ΤΟΥΣ ΤΡΟΠΟΥΣ»

Αρχική εξίσωση:4x 2 +3x -1 = 0.

1.Τύπος των ριζών μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης χρησιμοποιώντας τη διάκριση D

4x 2 +3x -1 = 0

D=σι 2 - 4ac = 9+16 = 25 > 0, =>η εξίσωση έχει δύο ρίζες

Χ 1,2 =

Χ 1 ==

Χ 2 ==-1

2. Θεώρημα Vieta

4x 2 +3x -1 = 0,διαιρέστε την εξίσωση με το 4 για να γίνει μειωμένη

Χ 2 +x -=0

Χ 1 = -1

Χ 2 =

3. Μέθοδος επιλογής πλήρους τετραγώνου

4x 2 +3x -1 = 0

(4x 2 +2*2x *+)-1=0

(2x+) 2 -=0

(2x + -) (2x + +) = 0,

(2x -)=0 (2x +2)=0

Χ 1 = x 2 = -1

4. Μέθοδος ομαδοποίησης

4x 2 +3x -1 = 0

4x 2 +4x-1x-1=0

4x(x+1)-1(x+1)=0

(4x-1)(x+1)=0,γινόμενο = 0 όταν ένας από τους παράγοντες = 0

(4x-1)=0 (x+1)=0

Χ 1 = x 2 = -1

5. Ιδιότητες συντελεστών

4x 2 +3x -1 = 0

Αν a - b+c=0, τότε = -1, = -

4-3-1=0, => = -1, =

6. Η μέθοδος «μεταφοράς» του κύριου συντελεστή

4x 2 +3x -1 = 0

y 2 +3ε - 4 = 0

Θεώρημα Vieta:

y 1 = -4

y 2 = 1

Διαιρούμε τις ρίζες που βρέθηκαν με τον κύριο συντελεστή και παίρνουμε τις ρίζες της εξίσωσής μας:

Χ 1 = -1

Χ 2 =

7. Μέθοδος επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων με χρήση πυξίδας και χάρακα

4x 2 +3x -1 = 0

Να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες του σημείου του κέντρου του κύκλου με τους τύπους:

Χ 1 = -1

Χ 2 =

8. Γραφική λύση

4x 2 +3x -1 = 0

4x 2 = - 3x + 1

Σε ένα σύστημα συντεταγμένων, κατασκευάζουμε ένα γράφημα της συνάρτησης y = 4x 2 και το γράφημα της συνάρτησης

y \u003d - 3x + 1.Δηλώνοντας τα τετμημένα των σημείων τομής παίρνουμε την απάντηση:

Χ 1 = -1

9. Χρήση νομογράμματος

4x 2 +3x -1 = 0,διαιρούμε τους συντελεστές της εξίσωσης 1/με 4, προκύπτει η εξίσωση

Χ 2 +x -= 0.

Το νομόγραμμα δίνει θετική ρίζα = ,

και η αρνητική ρίζα βρίσκεται αφαιρώντας τη θετική ρίζα από - p , εκείνοι.

Χ 2 = - p -=- -= -1.

10. Λύση αυτής της εξίσωσης στο EXCEL

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 3

«ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΤΟ ΘΕΜΑ

“ΛΥΣΗ ΤΕΤΑΡΧΟΜΕΝΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ» »

10x 2 + 2017х + 2007 = 0 -1 -200,7

-10x 2 + 7x + 3 = 0 -1 0,3

354x 2 -52x -302 = 0 1 -

100x 2 -99x-1 \u003d 0 1 -0,01

5x 2 + 9x + 4 \u003d 0 -1 -0,8

2017x 2 + x -2016 = 0 -1

22x 2 +10x-12 = 0 -1

5432x 2 -3087x-2345 = 0 1 -

4x 2 + 2x -6s \u003d 0 1 -1,5

55x 2 -44x -11= 0 1 -0,2

6x 2 - 7x - 3 \u003d 0 -, 1,5

4x 2 -17x-15 = 0 -0,75,5

4271x 2 -4272x + 1 = 0 1,

3x 2 + 10x + 7 \u003d 0 -1, - 2

5x 2 - 11x + 2 \u003d 0 2, 0,2

2x 2 - 11x + 15 = 0 2,5, 3

4x 2 + 4x -3 \u003d 0 -1,5, 0,5

5x 2 -12x + 7 = 0 1,4, 1

2x 2 + 13x + 15 = 0 -1,5 -5

3x 2 -7x + 2 = 0 1/3 2

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 4

ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΦΟΙΤΗΤΩΝ

Ξέρω σχολικά μαθηματικά, το παιδί ακούει για πρώτη φορά τον όρο «εξίσωση». Τι είναι αυτό, ας προσπαθήσουμε να το καταλάβουμε μαζί. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε τους τύπους και τις μεθόδους επίλυσης.

Μαθηματικά. Εξισώσεις

Αρχικά, προτείνουμε να ασχοληθούμε με την ίδια την έννοια, τι είναι; Όπως λένε πολλά εγχειρίδια μαθηματικών, μια εξίσωση είναι μερικές εκφράσεις μεταξύ των οποίων υπάρχει πάντα ένα πρόσημο ίσου. Αυτές οι εκφράσεις περιέχουν γράμματα, τις λεγόμενες μεταβλητές, η τιμή των οποίων πρέπει να βρεθεί.

Αυτό είναι ένα χαρακτηριστικό συστήματος που αλλάζει την τιμή του. Καλό παράδειγμαμεταβλητές είναι:

• θερμοκρασία του αέρα;
• το ύψος του παιδιού?
• βάρος και ούτω καθεξής.

Στα μαθηματικά, συμβολίζονται με γράμματα, για παράδειγμα, x, a, b, c ... Συνήθως η εργασία στα μαθηματικά είναι η εξής: βρείτε την τιμή της εξίσωσης. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρείτε την τιμή αυτών των μεταβλητών.

ποικιλίες

Η εξίσωση (τι είναι, συζητήσαμε στην προηγούμενη παράγραφο) μπορεί να έχει την εξής μορφή:

• γραμμικός;
• τετράγωνο;
• κυβικός;
• αλγεβρικός;
• υπερβατικός.

Για μια πιο λεπτομερή γνωριμία με όλους τους τύπους, θα εξετάσουμε το καθένα ξεχωριστά.

Γραμμική εξίσωση

Αυτός είναι ο πρώτος τύπος με τον οποίο εξοικειώνονται οι μαθητές. Επιλύονται αρκετά γρήγορα και εύκολα. Λοιπόν, τι είναι μια γραμμική εξίσωση; Αυτή είναι μια έκφραση της μορφής: ax=s. Δεν είναι πολύ σαφές, οπότε ας δώσουμε μερικά παραδείγματα: 2x=26; 5x=40; 1,2x=6.

Ας δούμε παραδείγματα εξισώσεων. Για να γίνει αυτό, πρέπει να συλλέξουμε όλα τα γνωστά δεδομένα από τη μια πλευρά και άγνωστα δεδομένα από την άλλη: x=26/2; x=40/5; x=6/1,2. Χρησιμοποιείται εδώ στοιχειώδεις κανόνεςμαθηματικά: a*c=e, από αυτό c=e/a; a=e/s. Για να ολοκληρώσουμε τη λύση της εξίσωσης, κάνουμε μία ενέργεια (στην περίπτωσή μας διαίρεση) x=13; x=8; x=5. Αυτά ήταν παραδείγματα πολλαπλασιασμού, τώρα ας δούμε την αφαίρεση και την πρόσθεση: x + 3 = 9; 10x-5=15. Μεταφέρουμε τα γνωστά δεδομένα προς μία κατεύθυνση: x=9-3; x=20/10. Εκτελούμε την τελευταία ενέργεια: x=6; x=2.

Είναι επίσης δυνατές παραλλαγές γραμμικών εξισώσεων, όπου χρησιμοποιούνται περισσότερες από μία μεταβλητές: 2x-2y=4. Για να λυθεί, είναι απαραίτητο να προσθέσουμε 2y σε κάθε μέρος, παίρνουμε 2x-2y + 2y \u003d 4-2y, όπως παρατηρήσαμε, στην αριστερή πλευρά του ίσου -2y και +2y μειώνονται, ενώ έχουν: 2x \u003d 4 -2u. Το τελευταίο βήμα είναι να διαιρέσουμε κάθε μέρος με δύο, παίρνουμε την απάντηση: το x ισούται με δύο μείον y.

Προβλήματα με εξισώσεις εντοπίζονται ακόμη και στους παπύρους του Αχμές. Εδώ είναι ένα από τα προβλήματα: ο αριθμός και το τέταρτο μέρος του αθροίζονται στο 15. Για να το λύσουμε, γράφουμε την ακόλουθη εξίσωση: x συν ένα τέταρτο του x ισούται με δεκαπέντε. Βλέπουμε ένα ακόμη παράδειγμα ως αποτέλεσμα της λύσης, παίρνουμε την απάντηση: x=12. Αλλά αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με άλλο τρόπο, δηλαδή τον αιγυπτιακό ή, όπως ονομάζεται με άλλο τρόπο, τη μέθοδο της υπόθεσης. Χρησιμοποιείται σε πάπυρο επόμενη λύση: πάρτε τέσσερα και το τέταρτο μέρος του, δηλαδή ένα. Συνολικά δίνουν πέντε, τώρα τα δεκαπέντε πρέπει να διαιρεθούν με το άθροισμα, παίρνουμε τρία, με την τελευταία ενέργεια πολλαπλασιάζουμε τρία επί τέσσερα. Παίρνουμε την απάντηση: 12. Γιατί διαιρούμε το δεκαπέντε με το πέντε στη λύση; Βρίσκουμε λοιπόν πόσες φορές δεκαπέντε, δηλαδή το αποτέλεσμα που πρέπει να πάρουμε είναι λιγότερο από πέντε. Στο Μεσαίωνα, τα προβλήματα λύνονταν με αυτόν τον τρόπο, έγινε γνωστή ως μέθοδος ψευδούς θέσης.

Τετραγωνικές εξισώσεις

Εκτός από τα παραδείγματα που συζητήθηκαν προηγουμένως, υπάρχουν και άλλα. Τι ακριβώς? Τι είναι μια τετραγωνική εξίσωση; Μοιάζουν με τσεκούρι 2 +bx+c=0. Για να τα λύσετε, πρέπει να εξοικειωθείτε με ορισμένες έννοιες και κανόνες.

Αρχικά, πρέπει να βρείτε το διαχωριστικό χρησιμοποιώντας τον τύπο: b 2 -4ac. Υπάρχουν τρεις πιθανές λύσεις:

• διακριτική Πάνω απο το μηδέν;
• λιγότερο από μηδέν?
• ισούται με μηδέν.

Στην πρώτη επιλογή, μπορούμε να πάρουμε μια απάντηση από δύο ρίζες, οι οποίες βρίσκονται με τον τύπο: -b + - η ρίζα του διαχωριστή διαιρούμενη με τον διπλασιασμένο πρώτο συντελεστή, δηλαδή 2a.

Στη δεύτερη περίπτωση, η εξίσωση δεν έχει ρίζες. Στην τρίτη περίπτωση, η ρίζα βρίσκεται με τον τύπο: -b / 2a.

Εξετάστε ένα παράδειγμα τετραγωνικής εξίσωσης για μια πιο λεπτομερή γνωριμία: τρία x τετράγωνο μείον δεκατέσσερα x μείον πέντε ισούται με μηδέν. Αρχικά, όπως γράφτηκε νωρίτερα, αναζητούμε το διαχωριστικό, στην περίπτωσή μας είναι 256. Σημειώστε ότι ο αριθμός που προκύπτει είναι μεγαλύτερος από το μηδέν, επομένως, θα πρέπει να λάβουμε μια απάντηση που αποτελείται από δύο ρίζες. Αντικαθιστούμε τη διάκριση που προκύπτει στον τύπο για την εύρεση των ριζών. Ως αποτέλεσμα, έχουμε: x ίσον πέντε και μείον ένα τρίτο.

Ειδικές περιπτώσεις σε τετραγωνικές εξισώσεις

Αυτά είναι παραδείγματα στα οποία ορισμένες τιμές είναι μηδέν (a, b ή c), και πιθανώς περισσότερες από μία.

Για παράδειγμα, ας πάρουμε την ακόλουθη εξίσωση, η οποία είναι τετραγωνική: δύο x τετράγωνο είναι μηδέν, εδώ βλέπουμε ότι το b και το c είναι μηδέν. Ας προσπαθήσουμε να το λύσουμε, για αυτό διαιρούμε και τα δύο μέρη της εξίσωσης με δύο, έχουμε: x 2 \u003d 0. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε x=0.

Μια άλλη περίπτωση είναι 16x 2 -9=0. Εδώ μόνο b=0. Λύνουμε την εξίσωση, μεταφέρουμε τον ελεύθερο συντελεστή στη δεξιά πλευρά: 16x 2 \u003d 9, τώρα διαιρούμε κάθε μέρος με δεκαέξι: x 2 \u003d εννέα δέκατα έκτα. Εφόσον έχουμε x τετράγωνο, η ρίζα του 9/16 μπορεί να είναι είτε αρνητική είτε θετική. Γράφουμε την απάντηση ως εξής: το x ισούται με συν / πλην τρία τέταρτα.

Μια τέτοια απάντηση είναι επίσης πιθανή, καθώς η εξίσωση δεν έχει καθόλου ρίζες. Ας δούμε αυτό το παράδειγμα: 5x 2 +80=0, εδώ b=0. Για να λύσετε το ελεύθερο μέλος, ρίξτε το στη δεξιά πλευρά, μετά από αυτές τις ενέργειες παίρνουμε: 5x 2 \u003d -80, τώρα διαιρούμε κάθε μέρος με πέντε: x 2 \u003d μείον δεκαέξι. Αν κάποιος αριθμός είναι στο τετράγωνο, τότε αρνητικό νόημαδεν θα πάρουμε. Επομένως, η απάντησή μας ακούγεται ως εξής: η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Τριωνυμική επέκταση

Η ανάθεση για τις τετραγωνικές εξισώσεις μπορεί να ακούγεται με άλλο τρόπο: αποσύνθεση τετράγωνο τριώνυμογια πολλαπλασιαστές. Αυτό μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: a (x-x 1) (x-x 2). Για αυτό, όπως και σε μια άλλη έκδοση της εργασίας, είναι απαραίτητο να βρεθεί ο διαχωριστής.

Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα: 3x 2 -14x-5, παραγοντοποιήστε το τριώνυμο. Βρίσκουμε το διαχωριστικό, χρησιμοποιώντας τον τύπο που είναι ήδη γνωστός σε εμάς, αποδεικνύεται ότι είναι 256. Σημειώνουμε αμέσως ότι το 256 είναι μεγαλύτερο από το μηδέν, επομένως, η εξίσωση θα έχει δύο ρίζες. Τα βρίσκουμε, όπως στην προηγούμενη παράγραφο, έχουμε: x \u003d πέντε και μείον το ένα τρίτο. Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για την αποσύνθεση του τριωνύμου σε παράγοντες: 3(x-5)(x+1/3). Στη δεύτερη αγκύλη, πήραμε πρόσημο ίσου, επειδή ο τύπος περιέχει πρόσημο μείον και η ρίζα είναι επίσης αρνητική, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις γνώσεις μαθηματικών, στο άθροισμα έχουμε πρόσημο συν. Για απλοποίηση, πολλαπλασιάζουμε τον πρώτο και τον τρίτο όρο της εξίσωσης για να απαλλαγούμε από το κλάσμα: (x-5) (x + 1).

Τετραγωνικές Εξισώσεις

ΣΤΟ αυτή την παράγραφομάθε να λύνεις περισσότερα σύνθετες εξισώσεις. Ας ξεκινήσουμε αμέσως με ένα παράδειγμα:

(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. Μπορούμε να παρατηρήσουμε τα επαναλαμβανόμενα στοιχεία: (x 2 - 2x), είναι βολικό για εμάς να την αντικαταστήσουμε με μια άλλη μεταβλητή για τη λύση, και στη συνέχεια λύστε τη συνηθισμένη τετραγωνική εξίσωση, αμέσως σημειώνουμε ότι σε μια τέτοια εργασία θα έχουμε τέσσερις ρίζες, αυτό δεν πρέπει να σας τρομάζει. Συμβολίζουμε την επανάληψη της μεταβλητής α. Παίρνουμε: a 2 -2a-3=0. Το επόμενο βήμα μας είναι να βρούμε το διαχωριστικό της νέας εξίσωσης. Παίρνουμε 16, βρίσκουμε δύο ρίζες: μείον μία και τρεις. Θυμόμαστε ότι κάναμε την αντικατάσταση, αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές, ως αποτέλεσμα έχουμε τις εξισώσεις: x 2 - 2x \u003d -1; x 2 - 2x=3. Τα λύνουμε στην πρώτη απάντηση: x ίσο με ένα, στο δεύτερο: το x ισούται με μείον ένα και τρία. Γράφουμε την απάντηση ως εξής: συν / πλην ένα και τρία. Κατά κανόνα, η απάντηση γράφεται με αύξουσα σειρά.

Κυβικές Εξισώσεις

Ας εξετάσουμε ένα άλλο πιθανή παραλλαγή. Θα είναισχετικά με κυβικές εξισώσεις. Μοιάζουν με: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. Θα εξετάσουμε παραδείγματα εξισώσεων παρακάτω, αλλά πρώτα μια μικρή θεωρία. Μπορούν να έχουν τρεις ρίζες, υπάρχει επίσης μια φόρμουλα για την εύρεση του διαχωριστικού για μια κυβική εξίσωση.

Εξετάστε ένα παράδειγμα: 3x 3 +4x 2 +2x=0. Πώς να το λύσετε; Για να γίνει αυτό, απλώς αφαιρούμε το x από τις αγκύλες: x(3x 2 +4x+2)=0. Το μόνο που μένει να κάνουμε είναι να υπολογίσουμε τις ρίζες της εξίσωσης σε αγκύλες. Η διάκριση της τετραγωνικής εξίσωσης σε αγκύλες είναι μικρότερη από το μηδέν, άρα η παράσταση έχει ρίζα: x=0.

Αλγεβρα. Εξισώσεις

Ας προχωρήσουμε στο επόμενο είδος. Θα κάνουμε τώρα μια σύντομη ανασκόπηση αλγεβρικές εξισώσεις. Μία από τις εργασίες είναι η εξής: παραγοντοποίηση 3x 4 + 2x 3 + 8x 2 + 2x + 5. Ο πιο βολικός τρόπος θα ήταν η ακόλουθη ομαδοποίηση: (3x 4 + 3x 2) + (2x 3 + 2x) + (5x 2 + 5). Σημειώστε ότι αντιπροσωπεύσαμε το 8x2 από την πρώτη παράσταση ως το άθροισμα των 3x2 και 5x2. Τώρα βγάζουμε από κάθε παρένθεση τον κοινό παράγοντα 3x 2 (x2 + 1) + 2x (x 2 + 1) + 5 (x 2 + 1). Βλέπουμε ότι έχουμε έναν κοινό παράγοντα: x στο τετράγωνο συν ένα, τον βγάζουμε από αγκύλες: (x 2 +1) (3x 2 + 2x + 5). Περαιτέρω επέκταση είναι αδύνατη, καθώς και οι δύο εξισώσεις έχουν αρνητική διάκριση.

Υπερβατικές Εξισώσεις

Προτείνουμε να ασχοληθούμε με τον ακόλουθο τύπο. Αυτές είναι εξισώσεις που περιέχουν υπερβατικές συναρτήσεις, δηλαδή λογαριθμικές, τριγωνομετρικές ή εκθετικές. Παραδείγματα: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 και ούτω καθεξής. Πώς λύνονται θα μάθετε από το μάθημα της τριγωνομετρίας.

Λειτουργία

Το τελευταίο βήμα είναι να εξετάσουμε την έννοια της εξίσωσης μιας συνάρτησης. Σε αντίθεση με προηγούμενες επιλογές, δεδομένου τύπουδεν λύνεται, αλλά χτίζεται ένα γράφημα. Για να γίνει αυτό, η εξίσωση θα πρέπει να αναλυθεί καλά, να βρείτε όλα τα απαραίτητα σημεία για την κατασκευή, να υπολογίσετε τα ελάχιστα και μέγιστα σημεία.

Μια εξίσωση που είναι τετραγωνικό τριώνυμο ονομάζεται συνήθως τετραγωνική εξίσωση. Από την άποψη της άλγεβρας περιγράφεται με τον τύπο a*x^2+b*x+c=0. Σε αυτόν τον τύπο, το x είναι το άγνωστο που βρίσκεται (ονομάζεται ελεύθερη μεταβλητή). Τα α, β και γ είναι αριθμητικοί συντελεστές. Όσον αφορά τις συνιστώσες αυτού, υπάρχουν ορισμένοι περιορισμοί: για παράδειγμα, ο συντελεστής a δεν πρέπει να είναι ίσος με 0.

Επίλυση της εξίσωσης: η έννοια της διάκρισης

Η τιμή του αγνώστου x, στην οποία η τετραγωνική εξίσωση μετατρέπεται σε αληθινή ισότητα, ονομάζεται ρίζα μιας τέτοιας εξίσωσης. Για να λύσετε μια τετραγωνική εξίσωση, πρέπει πρώτα να βρείτε την τιμή ενός ειδικού συντελεστή - του διαχωριστή, ο οποίος θα δείχνει τον αριθμό των ριζών της εξεταζόμενης ισότητας. Η διάκριση υπολογίζεται με τον τύπο D=b^2-4ac. Στην περίπτωση αυτή, το αποτέλεσμα του υπολογισμού μπορεί να είναι θετικό, αρνητικό ή ίσο με μηδέν.

Σε αυτήν την περίπτωση, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι η έννοια απαιτεί μόνο ο συντελεστής a να είναι αυστηρά διαφορετικός από το 0. Επομένως, ο συντελεστής b μπορεί να είναι ίσος με 0 και η ίδια η εξίσωση σε αυτήν την περίπτωση είναι a * x ^ 2 + c \u003d 0. Σε μια τέτοια περίπτωση, η τιμή του συντελεστή ίση με 0 θα πρέπει να χρησιμοποιείται στους τύπους για τον υπολογισμό της διάκρισης και των ριζών. Άρα, η διάκριση σε αυτή την περίπτωση θα υπολογιστεί ως D=-4ac.

Λύση της εξίσωσης με θετική διάκριση

Εάν η διάκριση της τετραγωνικής εξίσωσης αποδείχθηκε θετική, μπορούμε να συμπεράνουμε από αυτό ότι αυτή η ισότητα έχει δύο ρίζες. Αυτές οι ρίζες μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: x=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(-b±√D)/2a. Έτσι, για να υπολογιστεί η τιμή των ριζών της δευτεροβάθμιας εξίσωσης για θετική αξίαχρησιμοποιείται διάκριση γνωστές αξίεςσυντελεστές διαθέσιμοι σε . Χάρη στη χρήση του αθροίσματος και της διαφοράς στον τύπο για τον υπολογισμό των ριζών, το αποτέλεσμα των υπολογισμών θα είναι δύο τιμές που θα μετατρέψουν την εν λόγω ισότητα στη σωστή.

Λύση της εξίσωσης με μηδέν και αρνητική διάκριση

Αν η διάκριση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης αποδειχτεί ίση με 0, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η εν λόγω εξίσωσηέχει μία ρίζα. Αυστηρά μιλώντας, σε αυτήν την κατάσταση, η εξίσωση έχει ακόμα δύο ρίζες, αλλά λόγω της μηδενικής διάκρισης, θα είναι ίσες μεταξύ τους. Στην περίπτωση αυτή x=-b/2a. Εάν, κατά τη διάρκεια των υπολογισμών, η τιμή της διάκρισης αποδειχθεί αρνητική, θα πρέπει να συναχθεί το συμπέρασμα ότι η εξεταζόμενη τετραγωνική εξίσωση δεν έχει ρίζες, δηλαδή τέτοιες τιμές του x στις οποίες μετατρέπεται σε πραγματική ισότητα.