Mis on mõõdetud väärtuse absoluutviga. Absoluutsed ja suhtelised vead

Mõõtmisvead liigitatakse vastavalt järgmised tüübid:

absoluutne ja suhteline.

Positiivne ja negatiivne.

konstantne ja proportsionaalne.

Karm, juhuslik ja süstemaatiline.

Absoluutne vigaüksik mõõtmise tulemus (A y) on defineeritud kui erinevus järgmiste väärtuste vahel:

A y = y mina- y ist. » y i-` y.

Suhteline viga üksik mõõtmise tulemus (B y) arvutatakse järgmiste koguste suhtena:

Sellest valemist järeldub, et suhtelise vea suurus ei sõltu ainult absoluutvea suurusest, vaid ka mõõdetava suuruse väärtusest. Kui mõõdetud väärtus jääb muutumatuks ( y) suhtelist mõõtmisviga saab vähendada ainult absoluutse vea vähendamisega (A y). Kui absoluutne mõõteviga on konstantne, saate suhtelise mõõtevea vähendamiseks kasutada mõõdetud suuruse väärtuse suurendamise meetodit.

Näide. Oletame, et kaupluse kaubakaalul on konstantne absoluutmassi mõõtmise viga: A m = 10 g Kui sellistel kaaludel kaaluda 100 g maiustusi (m 1), siis suhteline viga maiustuste massi mõõtmisel on :

500 g maiustusi (m 2) samal kaalul kaaludes on suhteline viga viis korda väiksem:

Seega, kui kaalud 100 g maiustusi viis korda, siis massi mõõtmise vea tõttu ei saa sa 500 g-st kokku 50 g toodet. Ühekordse suurema massi (500 g) kaalumisega kaotad vaid 10 g maiustusi, s.t. viis korda vähem.

Eelnevat arvestades võib märkida, et eelkõige tuleb püüda vähendada suhtelisi mõõtmisvigu. Absoluutseid ja suhtelisi vigu saab arvutada alles pärast keskmise määramist aritmeetiline väärtus mõõtmise tulemus.

Vea märgi (positiivne või negatiivne) määrab ühe ja tegeliku mõõtmistulemuse erinevus:

y i-` y > 0 (viga on positiivne);

y i-` y < 0 (viga on negatiivne).

Kui absoluutne mõõteviga ei sõltu mõõdetud suuruse väärtusest, siis nimetatakse sellist viga konstantne. Vastasel juhul tekib viga proportsionaalne. Mõõtmisvea iseloom (konstantne või proportsionaalne) määratakse pärast eriuuringuid.

Karm viga mõõtmine (miss) on teistest oluliselt erinev mõõtmistulemus, mis tavaliselt ilmneb mõõtmisprotseduuri rikkumisel. Suurte mõõtmisvigade olemasolu proovis tehakse kindlaks ainult meetoditega matemaatiline statistika(n>2 puhul). Tutvuge ise jämedate vigade tuvastamise meetoditega.

Vigade jagamine juhuslikeks ja süstemaatilisteks on pigem tinglik.

To juhuslikud vead sisaldama vigu, mida pole püsiv väärtus ja allkirjastada. Sellised vead on põhjustatud järgmised tegurid: uurijale teadmata; teada, kuid reguleerimata; pidevalt muutuv.

Juhuslikke vigu saab hinnata alles pärast mõõtmiste tegemist.

Juhusliku mõõtmisvea suurusmooduli kvantitatiivne hinnang võib olla järgmisi valikuid: ja jne.

Juhuslikke mõõtmisvigu ei saa välistada, neid saab ainult vähendada. Üks peamisi viise juhusliku mõõtmisvea suuruse vähendamiseks on üksikute mõõtmiste arvu suurendamine (n-i väärtuse suurenemine). Seda seletatakse asjaoluga, et juhuslike vigade suurus on pöördvõrdeline n väärtusega, näiteks:

Süstemaatilised vead on konstantse suuruse ja märgiga või teadaoleva seaduse järgi varieeruvad vead. Need vead on põhjustatud püsivatest teguritest. Süstemaatilisi vigu saab kvantifitseerida, vähendada ja isegi kõrvaldada.

Süstemaatilised vead liigitatakse I, II ja III tüüpi vigadeks.

Süstemaatiliseks I tüüpi vead viitavad vead tuntud päritolu, mida saab enne mõõtmist arvutustega hinnata. Neid vigu saab kõrvaldada, sisestades need paranduste kujul mõõtmistulemusse. Seda tüüpi vea näide on viga lahuse mahukontsentratsiooni titrimeetrilisel määramisel, kui tiitrimisaine valmistati ühel temperatuuril ja kontsentratsiooni mõõdeti teisel temperatuuril. Teades tiitri tiheduse sõltuvust temperatuurist, on võimalik arvutada titrandi ruumalakontsentratsiooni muutus, mis on seotud selle temperatuuri muutusega enne mõõtmist, ja võtta seda erinevust arvesse korrektsioonina. mõõtmine.

Süstemaatiline II tüüpi vead- need on teadaoleva päritoluga vead, mida saab hinnata ainult katse käigus või eriuuringute tulemusena. Seda tüüpi vead hõlmavad instrumentaalseid (instrumentaal-), reaktiiv-, võrdlus- ja muid vigu. Tutvuge ise selliste vigade omadustega.

Iga seade, kui seda kasutatakse mõõtmisprotseduuris, lisab mõõtmistulemusse oma instrumentaalvead. Samas on osa neist vigadest juhuslikud ja teine osa süstemaatilised. Juhuslikke instrumentaalvigu eraldi ei hinnata, neid hinnatakse koos kõigi teiste juhuslike mõõtmisvigadega.

Iga instrumendi igal eksemplaril on oma isiklik süstemaatiline viga. Selle vea hindamiseks on vaja läbi viia spetsiaalsed uuringud.

Kõige usaldusväärsem viis II tüüpi instrumendi süstemaatilise vea hindamiseks on instrumentide töö kontrollimine standardite alusel. Mõõteriistade (pipetid, büretid, silindrid jne) mõõtmiseks viiakse läbi spetsiaalne protseduur - kalibreerimine.

Praktikas ei nõuta enamasti II tüüpi süstemaatilise vea hindamist, vaid vähendamist või kõrvaldamist. Kõige tavalisemad meetodid süstemaatiliste vigade vähendamiseks on relativiseerimise ja randomiseerimise meetodid.Tutvuge nende meetoditega ise aadressil .

To vead III tüüp sisaldama teadmata päritoluga vigu. Neid vigu saab avastada alles pärast kõigi I ja II tüüpi süstemaatiliste vigade kõrvaldamist.

To muid vigu omistame kõik muud tüüpi vead, mida ülal ei käsitletud (lubatud, võimalikud marginaalsed vead ja jne). Võimalike piirvigade mõistet kasutatakse mõõtevahendite kasutamise korral ja eeldatakse maksimaalset võimalikku instrumentaalset mõõtmisviga (vea tegelik väärtus võib olla väiksem kui võimaliku piirvea väärtus).

Mõõteriistade kasutamisel on võimalik arvutada võimalik absoluutne piir (P` y jne) või sugulane (E` y jne) mõõtmisvead. Nii leitakse näiteks võimalik piirav absoluutne mõõtmisviga võimaliku piirava juhusliku summana (x ` y, juhuslik jne) ja välistamata süstemaatiline (d` y jne) vead:

P` y, nt = x ` y, juhuslik, pr + d` y, jne.

Väikeste proovide (n £ 20) puhul teadmata elanikkonnast, kuuletudes tavaline seadus jaotuse korral saab juhuslikke võimalikke mõõtmise piirvigu hinnata järgmiselt:

x` y, juhuslik, pr = D` y=S' y½t P, n ½,
kus t P,n on tõenäosuse P ja valimi suuruse n Studenti jaotuse (testi) kvantiil. Absoluutne võimalik piirav mõõtmisviga on sel juhul võrdne:

P` y,ex.= S ` y½t P, n ½+ d` y, jne.

Kui mõõtmistulemused ei allu normaaljaotuse seadusele, hinnatakse viga muude valemite abil.

d väärtuse määramine ` y,jne. oleneb sellest, kas mõõtevahendil on täpsusklass. Kui mõõtevahendil ei ole täpsusklassi, siis väärtuse d puhul ` y,jne. võib vastu võtta skaala jaotuse minimaalne väärtus mõõtmine . Teadaoleva täpsusklassiga mõõtevahendi puhul väärtuse d ` puhul y nt võib aktsepteerida mõõtevahendi absoluutselt lubatud süstemaatilise veaga (d y, lisama.):

d` y,jne." .

d väärtus y, lisama. arvutatakse tabelis 5 toodud valemite alusel.

Paljude mõõtevahendite puhul on täpsusklass näidatud numbritena a × 10 n, kus a on 1; 1,5; 2; 2,5; neli; 5; 6 ja n on 1; 0; - üks; -2 jne, mis näitavad võimaliku maksimaalse lubatud süstemaatilise vea väärtust (E y, add.) ja erimärgid, mis näitavad selle tüüpi (suhteline, vähendatud, konstantne, proportsionaalne).

Tabel 5

Näiteid mõõtevahendite täpsusklasside tähistamisest

Absoluutne mõõtmisviga nimetatakse mõõtmistulemuse vahega määratud väärtuseks x ja mõõdetud suuruse tegelik väärtus x 0:

Δ x = |x - x 0 |.

Väärtust δ, mis võrdub absoluutse mõõtevea ja mõõtetulemuse suhtega, nimetatakse suhteliseks veaks:

Näide 2.1. Arvu π ligikaudne väärtus on 3,14. Siis on selle viga 0,00159. Absoluutseks veaks võib lugeda 0,0016 ja suhteliseks veaks 0,0016/3,14 = 0,00051 = 0,051%.

Märkimisväärsed numbrid. Kui väärtuse a absoluutviga ei ületa ühte ühikut arvu a viimasest numbrist, siis öeldakse, et arvul on kõik märgid õiged. Kirjutada tuleks ligikaudsed arvud, jättes ainult alles tõelised märgid. Kui näiteks arvu 52400 absoluutviga on võrdne 100-ga, siis tuleks see arv kirjutada näiteks 524·10 2 või 0,524·10 5 . Saate hinnata ligikaudse arvu viga, näidates, mitu tõelist tähenduslikku numbrit see sisaldab. Märkimisväärsete numbrite lugemisel ei arvestata numbri vasakpoolseid nulle.

Näiteks numbril 0,0283 on kolm kehtivat ja numbril 2,5400 on viis kehtivat tähenduslikku numbrit.

Numbrite ümardamise reeglid. Kui ligikaudne arv sisaldab täiendavaid (või valesid) märke, tuleb see ümardada. Ümardamisel tekib täiendav viga, mis ei ületa poolt viimase olulise numbri ühikut ( d) ümardatud arv. Ümardamisel säilitatakse ainult õiged märgid; lisamärgid jäetakse kõrvale ja kui esimene kõrvalejäetud number on suurem või võrdne d/2, siis suurendatakse viimati salvestatud numbrit ühe võrra.

Täisarvudes olevad lisanumbrid asendatakse nullidega ja kümnendmurdudes jäetakse need kõrvale (nagu ka lisanullid). Näiteks kui mõõtmisviga on 0,001 mm, siis tulemus 1,07005 ümardatakse 1,070-ni. Kui esimene nulliga muudetud ja tühistatud numbritest on väiksem kui 5, siis ülejäänud numbreid ei muudeta. Näiteks numbril 148935 mõõtetäpsusega 50 on ümardus 148900. Kui esimene nullidega asendatav või ära jäetav number on 5 ja sellele ei järgne ühtegi numbrit ega nulli, siis ümardatakse lähima paarisarvuni. number. Näiteks arv 123,50 ümardatakse 124-ni. Kui esimene number, mis asendatakse nullidega või jäetakse kõrvale, on suurem kui 5 või võrdne 5-ga, kuid sellele järgneb oluline number, suurendatakse viimast allesjäänud numbrit ühe võrra. Näiteks number 6783,6 ümardatakse 6784-ni.

Näide 2.2. Arvu 1284 ümardamisel 1300-ni on absoluutviga 1300 - 1284 = 16 ja 1280-ni ümardamisel on absoluutviga 1280 - 1284 = 4.

Näide 2.3. Arvu 197 ümardamisel 200-le on absoluutne viga 200 - 197 = 3. Suhteline viga on 3/197 ≈ 0,01523 ehk ligikaudu 3/200 ≈ 1,5%.

Näide 2.4. Müüja kaalub arbuusi kaalul. Kaalude komplektis on väikseim 50 g Kaalumisel saadi 3600 g See arv on ligikaudne. Arbuusi täpne kaal pole teada. Aga absoluutne viga ei ületa 50 g Suhteline viga ei ületa 50/3600 = 1,4%.

Vead probleemi lahendamisel sisse lülitatud PC

Tavaliselt peetakse peamiseks veaallikaks kolme tüüpi vigu. Need on nn kärpimisvead, ümardamisvead ja levimisvead. Näiteks kasutamisel iteratiivsed meetodid juuri otsima mittelineaarsed võrrandid tulemused on ligikaudsed erinevalt otsemeetoditest, mis annavad täpse lahenduse.

Kärbimise vead

Seda tüüpi tõrge on seotud probleemile omase veaga. Põhjuseks võib olla algandmete määratluse ebatäpsus. Näiteks kui ülesande tingimuses on määratud mingid mõõtmed, siis praktikas on reaalsete objektide puhul need mõõtmed alati teatud täpsusega teada. Sama kehtib ka kõigi teiste kohta füüsikalised parameetrid. See hõlmab ka ebatäpsusi arvutusvalemid ja nende arvulised koefitsiendid.

Levimisvead

Seda tüüpi viga on seotud ühe või teise probleemi lahendamise meetodi kasutamisega. Arvutuste käigus tekib paratamatult kuhjumine ehk teisisõnu vigade levik. Lisaks sellele, et algandmed ise ei ole täpsed, tekib nende korrutamisel, liitmisel vms uus viga. Vea kuhjumine sõltub arvutuses kasutatud aritmeetiliste tehete iseloomust ja arvust.

Ümardamise vead

Seda tüüpi viga on tingitud asjaolust, et arvuti ei salvesta alati numbri tegelikku väärtust täpselt. Kui arvuti mällu salvestatakse reaalarv, kirjutatakse see mantissina ja astendajana umbes samamoodi, nagu kuvatakse arv kalkulaatoris.

Füüsikas ja teistes teadustes on väga sageli vaja mõõta erinevaid suurusi (näiteks pikkus, mass, aeg, temperatuur, elektritakistus jne.).

Mõõtmine- füüsikalise suuruse väärtuse leidmise protsess spetsiaalse abil tehnilisi vahendeid- mõõteseadmed.

Mõõteseade nimetatakse seadmeks, mille abil võrreldakse mõõdetud suurust sama tüüpi füüsikalise suurusega, mis on võetud mõõtühikuna.

On otseseid ja kaudseid mõõtmismeetodeid.

Otsesed mõõtmismeetodid - meetodid, mille puhul määratakse kindlaksmääratavate suuruste väärtused mõõdetava objekti otsesel võrdlemisel mõõtühikuga (standardiga). Näiteks võrreldakse joonlauaga mõõdetud keha pikkust pikkusühikuga - meeter, kaalude järgi mõõdetud keha massi massiühikuga - kilogrammiga jne. Seega tulemuseks otsene mõõtmine määratud väärtus saadakse kohe, kohe.

Kaudsed mõõtmismeetodid- meetodid, mille puhul määratavate suuruste väärtused arvutatakse muude suuruste otseste mõõtmiste tulemustest, millega need on seotud teadaoleva funktsionaalse sõltuvusega. Näiteks ringi ümbermõõdu määramine läbimõõdu mõõtmise tulemuste põhjal või keha ruumala määramine selle joonmõõtmete mõõtmise tulemuste põhjal.

Mõõteriistade ebatäiuslikkuse tõttu mõjutab meie meeli välismõjud mõõteseadmel ja mõõteobjektil, aga ka muudel teguritel saab kõiki mõõtmisi teha ainult mingi piirini täpsus; seetõttu ei anna mõõtmistulemused mõõdetud suuruse tegelikku väärtust, vaid ainult ligikaudset. Kui näiteks kehakaal on määratud 0,1 mg täpsusega, siis see tähendab, et leitud kaal erineb tegelikust kehakaalust vähem kui 0,1 mg.

Mõõtmiste täpsus - mõõtmiste kvaliteedi tunnus, mis peegeldab mõõtmistulemuste lähedust mõõdetud suuruse tegelikule väärtusele.

Mida väiksemad on mõõtmisvead, seda suurem on mõõtmise täpsus. Mõõtmise täpsus sõltub mõõtmisel kasutatud instrumentidest ja sellest levinud meetodid mõõdud. Mõõtmiste tegemisel antud tingimustes on absoluutselt kasutu püüda seda täpsuspiiri ületada. Mõõtmiste täpsust vähendavate põhjuste mõju on võimalik minimeerida, kuid neist pole võimalik täielikult vabaneda, st mõõtmiste käigus tehakse alati rohkem või vähem olulisi vigu (vigu). Täpsuse suurendamiseks lõpptulemusükskõik milline füüsiline mõõde seda on vaja teha mitte üks, vaid mitu korda samades katsetingimustes.

Väärtuse "X" i-nda mõõtmise (i on mõõtmisarv) tulemusena saadakse ligikaudne arv X i, mis erineb tõeline väärtus Hist mingi väärtuse järgi ∆Х i = |Х i – Х|, mis on viga või teisisõnu viga. Tõeline viga pole meile teada, kuna me ei tea mõõdetud väärtuse tegelikku väärtust. Mõõdetud füüsikalise suuruse tegelik väärtus peitub intervallis

Х i – ∆Х< Х i – ∆Х < Х i + ∆Х

kus X i on mõõtmise käigus saadud X väärtuse väärtus (st mõõdetud väärtus); ∆X on absoluutne viga X väärtuse määramisel.

Absoluutne viga mõõtmise (viga) ∆X on mõõdetud suuruse Xist tegeliku väärtuse ja mõõtetulemuse X i vahe absoluutväärtus: ∆X = |X ist - X i |.

Suhteline viga (vea)mõõtmine δ (iseloomustab mõõtmise täpsust) on arvuliselt võrdne absoluutse mõõtevea ∆X ja mõõdetud väärtuse tegeliku väärtuse X sist suhtega (sageli väljendatakse protsentides): δ \u003d (∆X / X) sist) 100% .

Mõõtmisvead ehk vead võib jagada kolme klassi: süstemaatilised, juhuslikud ja jämedad (miss).

Süstemaatiline nad nimetavad sellist viga, mis jääb konstantseks või loomulikult (mingile funktsionaalsele sõltuvusele) muutusteks sama suuruse korduval mõõtmisel. Sellised vead tulenevad disainifunktsioonid mõõteriistad, aktsepteeritud mõõtmismeetodi puudused, katse läbiviija tegevusetused, välistingimuste mõju või mõõteobjekti enda defekt.

Igas mõõteseadmes on omane üks või teine süstemaatiline viga, mida ei saa kõrvaldada, kuid mille järjekorda saab arvestada. Süstemaatilised vead kas suurendavad või vähendavad mõõtmistulemusi, see tähendab, et neid vigu iseloomustab konstantne märk. Näiteks kui kaalumise ajal on ühe raskuse mass 0,01 g suurem, kui sellel märgitud, siis on leitud kehamassi väärtus selle koguse võrra ülehinnatud, olenemata sellest, kui palju mõõtmisi tehakse. Mõnikord saab süsteemseid vigu arvesse võtta või kõrvaldada, mõnikord ei saa seda teha. Näiteks fataalsete vigade hulka kuuluvad instrumendivead, mille kohta saame vaid öelda, et need ei ületa teatud väärtust.

Juhuslikud vead nimetatakse vigadeks, mis muudavad oma suurusjärku ja märgivad märke ettearvamatult kogemusest kogemusse. Juhuslike vigade ilmnemine on tingitud paljude erinevate ja kontrollimatute põhjuste mõjust.

Näiteks kaaluga kaalumisel võivad nendeks põhjusteks olla õhu vibratsioon, settinud tolmuosakesed, erinev hõõrdumine tasside vasak- ja parempoolses vedrustuses jne. Juhuslikud vead väljenduvad selles, et pärast sama X väärtuse mõõtmist samad katsetingimused, me erinevad väärtused: X1, X2, X3,…, X i ,…, X n , kus X i on i-nda mõõtmise tulemus. Tulemuste vahel ei ole võimalik mingit seaduspärasust tuvastada, seetõttu võetakse arvesse X i-nda mõõtmise tulemus juhuslik muutuja. Juhuslikud vead võivad teatud mõjuühele mõõtmisele, kuid mitme mõõtmise korral nad järgivad statistika seadused ja nende mõju mõõtmistulemustele saab arvesse võtta või oluliselt vähendada.

Preilid ja vead- ülemäära suuri vigu, mis moonutab selgelt mõõtmistulemust. Seda vigade klassi põhjustavad kõige sagedamini katsetaja ebaõiged toimingud (näiteks tähelepanematuse tõttu kirjutatakse seadme "212" lugemise asemel hoopis teistsugune number - "221"). Mõõtmised, mis sisaldavad möödalaskmisi ja suuri vigu, tuleks kõrvale jätta.

Mõõtmisi saab nende täpsuse osas teha tehniliste ja laboratoorsete meetoditega.

Tehniliste meetodite kasutamisel tehakse mõõtmine üks kord. Sel juhul on nad rahul sellise täpsusega, mille puhul viga ei ületa mõnda ettemääratut seatud väärtus määratakse rakendatud mõõteseadme vea järgi.

Kell laboratoorsed meetodid mõõtmiste korral tuleb mõõdetud suuruse väärtus näidata täpsemalt, kui selle üksikmõõtmine võimaldab tehniline meetod. Sel juhul tehakse mitu mõõtmist ja arvutatakse saadud väärtuste aritmeetiline keskmine, mis on mõõdetud väärtuse kõige usaldusväärsem (tõeline) väärtus. Seejärel hinnatakse mõõtmistulemuse täpsust (juhuslike vigade arvestamine).

Mõõtmiste teostamise võimalusest kahel meetodil järgneb kahe mõõtmistäpsuse hindamise meetodi olemasolu: tehniline ja laboratoorne.

Üks kõige enam olulised küsimused numbrilises analüüsis on küsimus, kuidas arvutuste käigus teatud kohas ilmnev viga levib edasi ehk kas selle mõju muutub järgnevate toimingute sooritamisel suuremaks või väiksemaks. Äärmuslik juhtum on kahe peaaegu lahutamine võrdsed arvud: isegi mõlema arvu väga väikeste vigade korral võib erinevuse suhteline viga olla väga suur. Selline suhteline viga levib edasi kõigis järgnevates aritmeetilistes operatsioonides.

Üheks arvutusvigade (vigade) allikaks on ligikaudne esitus reaalarvud arvutis bitivõrgu lõplikkuse tõttu. Kuigi algandmed esitatakse arvutis suure täpsusega, võib ümardamisvigade kuhjumine loendusprotsessis kaasa tuua olulise vea ning mõned algoritmid võivad osutuda arvutis reaalseks arvutamiseks täiesti sobimatuks. Lisateavet reaalarvude esitamise kohta arvutis saate.

Vigade levik

Esimese sammuna sellise probleemi nagu vea levik käsitlemisel on vaja leida avaldised iga nelja aritmeetilise tehte tulemuse absoluutsete ja suhteliste vigade jaoks, mis sõltuvad tehesse kaasatud suurustest ja nende vigadest.

Absoluutne viga

Lisand

Seal on kaks lähendust ja kahele suurusele ja , samuti vastavad absoluutvead ja . Siis lisamise tulemusena on meil

Summa viga, mida tähistame , on võrdne

Lahutamine

Samamoodi saame

Korrutamine

Korrutades oleme

Kuna vead on tavaliselt palju väiksemad kui väärtused ise, siis jätame tähelepanuta vigade korrutise:

Toote viga saab olema

Jaoskond

Teisendame selle avaldise vormiks

Sulgudes olevat tegurit saab laiendada jadaks

Korrutades ja jättes tähelepanuta kõik terminid, mis sisaldavad vigade korrutisi või esimesest kõrgemaid veaastmeid, on meil

Järelikult

Tuleb selgelt mõista, et vea märk on teada ainult väga harvadel juhtudel. Näiteks pole fakt, et viga suureneb liitmisel ja väheneb lahutamisel, sest liitmise valemis on pluss ja lahutamisel miinus. Kui näiteks kahe numbri vead on vastupidised märgid, siis on olukord just vastupidine, st nende arvude liitmisel viga väheneb ja nende arvude lahutamisel suureneb.

Suhteline viga

Kui oleme nelja aritmeetilise tehte puhul tuletanud absoluutsete vigade levimise valemid, on suhteliselt lihtne tuletada vastavaid valemeid suhteliste vigade jaoks. Liitmise ja lahutamise jaoks muudeti valemeid nii, et need sisaldaksid selgesõnaliselt iga algnumbri suhtelist viga.

Lisand

Lahutamine

Korrutamine

Jaoskond

Alustame aritmeetilise operatsiooni kahe ligikaudse väärtusega ja vastavate vigadega ja . Need vead võivad olla mis tahes päritolu. Väärtused ja võivad olla katsetulemused, mis sisaldavad vigu; need võivad olla mõne lõpmatu protsessi eelarvutuse tulemused ja seetõttu võivad need sisaldada piiranguvigu; need võivad olla varasemate aritmeetiliste toimingute tulemused ja sisaldada ümardamisvigu. Loomulikult võivad need sisaldada ka kõiki kolme tüüpi vigu erinevates kombinatsioonides.

Ülaltoodud valemid annavad avaldise iga nelja aritmeetilise tehte tulemuse veale funktsioonina ; ümardamisviga selles aritmeetiline tehe kus ei arvestata. Kui tulevikus on vaja arvutada, kuidas selle tulemuse viga levib järgmistes aritmeetilistes operatsioonides, siis on vaja arvutada tulemuse viga, mis on arvutatud ühega neljast valemist lisa ümardusviga eraldi.

Arvutusprotsesside graafikud

Nüüd kaalume mugavat viisi vea leviku arvutamiseks mõnes aritmeetilises arvutuses. Selleks kujutame arvutustes toimingute jada kasutades loendama ja me kirjutame graafiku noolte lähedale koefitsiendid, mis võimaldavad meil suhteliselt lihtsalt määrata lõpptulemuse koguvea. See meetod on mugav ka selle poolest, et selle abil on lihtne määrata arvutuste käigus tekkinud vea osa koguveas.

Joonis 1. Arvutusprotsessi graafik

peal joon.1 on kujutatud arvutusprotsessi graafik. Graafiku tuleks lugeda alt üles, järgides nooli. Esmalt tehakse mingil horisontaalsel tasandil paiknevad toimingud, pärast seda enamal paiknevad toimingud kõrge tase jne. Näiteks jooniselt 1 on selge, et x ja y esmalt liidetakse ja seejärel korrutatakse z. Joonisel näidatud graafik joon.1, on vaid pilt arvutusprotsessist endast. Tulemuse koguvea arvutamiseks on vaja seda graafikut täiendada koefitsientidega, mis on kirjutatud noolte lähedale vastavalt järgmistele reeglitele.

Lisand

Laske kahel noolel, mis sisenevad liitmisringi, väljuda kahest ringist väärtustega ja . Need väärtused võivad olla nii algsed kui ka tulemused. varasemad arvutused. Seejärel saab koefitsiendi ringis olevast + märgini viiv nool ja ringis + märgini viiv nool koefitsiendi.

Lahutamine

Kui toiming sooritatakse, saavad vastavad nooled koefitsiendid ja .

Korrutamine

Mõlemad korrutusringi kuuluvad nooled saavad teguri +1.

Jaoskond

Kui teostada jagamine, saab nool alates kuni ringiga kaldkriipsu teguri +1 ja nool alates kuni ringiga kaldkriipsu saab koefitsiendi -1.

Kõigi nende koefitsientide tähendus on järgmine: mis tahes tehte (ringi) tulemuse suhteline viga kaasatakse järgmise toimingu tulemusesse, korrutatuna neid kahte tehtet ühendava noole koefitsientidega.

Näited

Joonis 2. Arvutusprotsessi graafik liitmiseks ja

Rakendame nüüd näidetes graafikutehnikat ja illustreerime, mida tähendab vea levik praktilistes arvutustes.

Näide 1

Mõelge nelja lisamise probleemile positiivsed numbrid:

, .

Selle protsessi graafik on näidatud joon.2. Oletame, et kõik algväärtused on antud täpselt ja neil pole vigu ning olgu , ja suhtelised ümardamisvead pärast iga järgnevat liitmistoimingut. Lõpptulemuse koguvea arvutamise reegli järjestikune rakendamine viib valemini

Vähendades esimese liikme summat ja korrutades kogu avaldise arvuga , saame

Arvestades, et ümardamisviga on (in sel juhul eeldatakse, et tegelik arv arvutis on kujutatud kujul kümnendmurd Koos t märkimisväärsed arvud), oleme lõpuks saanud

Suuruse mõõtmine on toiming, mille tulemusena saame teada, mitu korda on mõõdetud väärtus suurem (või väiksem) kui vastav väärtus, mis on võetud etaloniks (mõõtühikuks). Kõik mõõtmised võib jagada kahte tüüpi: otsesed ja kaudsed.

DIRECT need on mõõtmised, mille puhul on otseselt huvitav füüsiline kogus(mass, pikkus, ajaintervallid, temperatuurimuutus jne).

KAUDNE - need on mõõtmised, mille käigus meid huvipakkuv kogus määratakse (arvutatakse) teiste sellega seotud suuruste otseste mõõtmiste tulemustest teatud funktsionaalse sõltuvusega. Näiteks kiiruse määramine ühtlane liikumine teatud aja jooksul läbitud vahemaa mõõtmisega, kehatiheduse mõõtmisega kehamassi ja -mahu mõõtmisega jne.

Mõõtmiste ühiseks tunnuseks on mõõdetava suuruse tegeliku väärtuse saamise võimatus, mõõtmistulemus sisaldab alati mingisugust viga (viga). Seda seletatakse nii põhimõtteliselt piiratud mõõtmistäpsusega kui ka mõõdetavate objektide endi olemusega. Seetõttu näidatakse, kui lähedal on saadud tulemus tegelikule väärtusele, koos saadud tulemusega ka mõõtmisviga.

Näiteks mõõtsime objektiivi f fookuskaugust ja kirjutasime selle üles

f = (256 ± 2) mm (1)

See tähendab, et fookuskaugus jääb 254 ja 258 vahele mm. Kuid tegelikult on sellel võrdusel (1) tõenäosuslik tähendus. Me ei saa täie kindlusega väita, et väärtus jääb kindlaksmääratud piiridesse, selleks on vaid teatav tõenäosus, seetõttu tuleb võrdsust (1) täiendada tõenäosusega, millega see suhe on mõttekas (allpool sõnastame selle avaldus täpsemalt).

Vigade hindamine on vajalik, sest teadmata, mis need on, on katsest võimatu teha kindlaid järeldusi.

Tavaliselt arvutatakse absoluutne ja suhteline viga. Absoluutviga Δx on mõõdetud suuruse μ tegeliku väärtuse ja mõõtetulemuse x vahe, s.o. Δx = μ - x

Absoluutvea ja mõõdetud väärtuse tegeliku väärtuse suhet ε = (μ - x)/μ nimetatakse suhteliseks veaks.

Absoluutne viga iseloomustab mõõtmiseks valitud meetodi viga.

Suhteline viga iseloomustab mõõtmiste kvaliteeti. Mõõtmistäpsus on suhtelise vea pöördväärtus, s.o. 1/ε.

§ 2. Vigade klassifitseerimine

Kõik mõõtmisvead jagunevad kolme klassi: möödalaskmised (brutovead), süstemaatilised ja juhuslikud vead.

KAOTUMISE põhjuseks on mõõtmistingimuste järsk rikkumine üksikvaatlustel. See on viga, mis on seotud seadme löögi või purunemisega, katsetaja jämeda valearvestuse, ettenägematute häiretega jne. jäme viga ilmneb tavaliselt mitte rohkem kui ühes või kahes mõõtmes ja erineb järsult teistest vigadest. Möödajäämise olemasolu võib möödalasku sisaldavat tulemust oluliselt kallutada. Lihtsaim viis on välja selgitada libisemise põhjus ja see mõõtmise käigus kõrvaldada. Kui mõõtmise käigus libisemist ei välistatud, siis tuleks seda teha mõõtmistulemuste töötlemisel, kasutades spetsiaalseid kriteeriume, mis võimaldavad igas vaatlusseerias objektiivselt eristada. eksimine kui see on olemas.

Süstemaatiline viga on mõõtevea komponent, mis jääb samaks ja muutub regulaarselt sama väärtuse korduvate mõõtmiste käigus. Süstemaatilised vead tekivad siis, kui ei arvestata nt. soojuspaisumine aeglaselt muutuva temperatuuri juures tekkiva vedeliku või gaasi mahu mõõtmisel; kui massi mõõtmisel ei võeta arvesse õhu üleslükkejõu mõju kaalutavale kehale ja raskustele jne.

Süstemaatilisi vigu täheldatakse, kui joonlaua skaala on rakendatud ebatäpselt (ebaühtlaselt); termomeetri kapillaar erinevates osades on erineva ristlõikega; puudumisega elektrivool läbi ampermeetri ei ole seadme nool nullis jne.

Nagu näidetest näha, süstemaatiline viga on põhjustatud teatud põhjustel, selle väärtus jääb konstantseks (instrumendi skaala nullnihe, ebaühtlased skaalad) või muutub teatud (mõnikord üsna keerulise) seaduse järgi (skaala ebaühtlus, skaala ebaühtlane ristlõige). termomeeter kapillaar jne).

Võime öelda, et süstemaatiline viga on pehmendatud väljend, mis asendab sõnu "eksperimendi viga".

Need vead ilmnevad järgmistel põhjustel:

ebatäpsed mõõteriistad;
tegelik paigaldus erineb mõnevõrra ideaalsest;
nähtuse teooria pole päris õige, s.t. mõjusid arvesse ei võetud.

Teame, mida teha esimesel juhul, vaja on kalibreerimist või gradatsiooni. Kahel teisel juhul valmis retsept ei eksisteeri. Mida paremini tunnete füüsikat, seda rohkem kogemusi teil on, seda tõenäolisem on selliseid mõjusid tuvastada ja seega kõrvaldada. Üldreeglid, puuduvad retseptid süstemaatiliste vigade tuvastamiseks ja kõrvaldamiseks, kuid teatud klassifikatsiooni saab teha. Eristame nelja tüüpi süstemaatilisi vigu.

Süstemaatilised vead, mille olemus ja väärtus on teile teada, on seega muudatuste sisseviimisega välistatud. Näide. Kaalumine ebavõrdsetel kaaludel. Olgu käte pikkuste vahe 0,001 mm. Nookuri pikkusega 70 mm ja kaalus kehakaalu 200 G süstemaatiline viga on 2,86 mg. Selle mõõtmise süstemaatilise vea saab kõrvaldada rakendades spetsiaalsed meetodid kaalumine (Gaussi meetod, Mendelejevi meetod jne).
Süstemaatilised vead, mis on teadaolevalt väiksemad kui teatud teatud väärtus. Sel juhul saab vastuse salvestamisel need ära näidata maksimaalne väärtus. Näide. Mikromeetrile lisatud passis on kirjas: “Lubatud viga on ± 0,004 mm. Temperatuur +20 ± 4 ° C. See tähendab, et mõõtes selle mikromeetriga keha mõõtmeid passis märgitud temperatuuridel, saame absoluutne viga, mitte üle ± 0,004 mm mis tahes mõõtmistulemuste jaoks.
Tihti näitab antud instrumendi antud maksimaalset absoluutviga instrumendi täpsusklass, mida kujutatakse instrumendi skaalal vastava numbriga, kõige sagedamini võetuna ringina.

Täpsusklassi tähistav number näitab instrumendi maksimaalset absoluutset viga, väljendatuna protsentides suurim väärtus mõõdetud väärtus sisse lülitatud ülempiir kaalud.

Mõõtmisel võib kasutada voltmeetrit, mille skaala on 0 kuni 250 AT, on selle täpsusklass 1. See tähendab, et maksimaalne absoluutviga, mida selle voltmeetriga mõõtes teha saab, ei ole suurem kui 1% kõrgeimast pinge väärtusest, mida sellel instrumendi skaalal saab mõõta, teisisõnu:

δ = ±0,01 250 AT= ±2,5 AT.

Elektriliste mõõteriistade täpsusklass määrab maksimaalse vea, mille väärtus skaala algusest lõpuni liikudes ei muutu. Sel juhul muutub suhteline viga kardinaalselt, sest instrumendid annavad hea täpsuse, kui nool hälbib peaaegu kogu skaala ulatuses ega anna seda skaala alguses mõõtes. Siit ka soovitus: valige instrument (või mitme vahemikuga instrumendi skaala) nii, et instrumendi nool ulatuks mõõtmise ajal skaala keskosast kaugemale.

Kui seadme täpsusklass on määramata ja passiandmed puuduvad, siis võetakse seadme maksimaalseks veaks pool seadme väikseima skaala jaotuse hinnast.

Paar sõna valitsejate täpsusest. Metallist joonlauad on väga täpsed: millimeetrijaotusi rakendatakse veaga mitte rohkem kui ±0,05 mm, ja sentimeetrised pole halvemad kui 0,1 täpsusega mm. Selliste joonlaudade täpsusega tehtud mõõtmiste viga on praktiliselt võrdne silma järgi lugemise veaga (≤0,5 mm). Puidust ja plastist joonlaudu on parem mitte kasutada, nende vead võivad osutuda ootamatult suureks.

Töötav mikromeeter annab täpsuse 0,01 mm, ja mõõtmisvea nihikuga määrab see, millise täpsusega saab näidu teha, s.t. noonuse täpsus (tavaliselt 0,1 mm või 0,05 mm).
Mõõdetava objekti omadustest tulenevad süstemaatilised vead. Neid vigu saab sageli taandada juhuslikeks. Näide.. Määratakse mõne materjali elektrijuhtivus. Kui selliseks mõõtmiseks võetakse traadijupp, millel on mingi defekt (paksenemine, pragu, ebahomogeensus), siis tehakse elektrijuhtivuse määramisel viga. Mõõtmiste kordamine annab sama väärtuse, s.t. on mingi süstemaatiline viga. Mõõdame sellise juhtme mitme segmendi takistust ja leiame selle materjali elektrijuhtivuse keskmise väärtuse, mis võib olla suurem või väiksem kui üksikute mõõtmiste elektrijuhtivus, seega võib nendes mõõtmistes tehtud vead omistada nn juhuslikele vigadele.
Süstemaatilised vead, mille olemasolu pole teada. Näide.. Määrake mis tahes metalli tihedus. Esiteks leidke proovi maht ja mass. Proovi sees on tühjus, millest me midagi ei tea. Tiheduse määramisel tehakse viga, mida korratakse mis tahes arvu mõõtmiste puhul. Toodud näide on lihtne, vea allika ja selle suuruse saab ilma suuremate raskusteta kindlaks teha. Seda tüüpi vigu saab tuvastada lisauuringute abil, teostades mõõtmisi täiesti erineval meetodil ja erinevates tingimustes.

RANDOM on mõõtmisvea komponent, mis muutub juhuslikult sama väärtuse korduvatel mõõtmistel.

Kui ühe ja sama konstantse muutumatu suuruse korduvaid mõõtmisi teha sama hoolikalt ja samadel tingimustel, saame mõõtmistulemused, millest osa erinevad üksteisest ja osa langevad kokku. Sellised lahknevused mõõtmistulemustes viitavad juhuslike veakomponentide olemasolule neis.

Juhuslik viga tekib paljude allikate samaaegsel toimel, millest igaüks iseenesest mõjutab mõõtmistulemust märkamatult, kuid kõigi allikate summaarne mõju võib olla üsna tugev.

Juhuslik viga võib omandada erinevaid absoluutväärtusi, mida ei saa antud mõõtmistoimingu jaoks ette ennustada. See viga võib võrdselt olla nii positiivne kui ka negatiivne. Juhuslikud vead on katses alati olemas. Süstemaatiliste vigade puudumisel põhjustavad need korduvad mõõtmised tegeliku väärtuse hajumist ( joon.14).

Kui lisaks esineb süstemaatiline viga, hajuvad mõõtmistulemused mitte tõese, vaid kallutatud väärtuse suhtes ( joon.15).

Riis. 14 Joon. viisteist

Oletame, et stopperi abil mõõdame pendli võnkeperioodi ja mõõtmist korratakse mitu korda. Vead stopperi käivitamisel ja seiskamisel, viga referentsi väärtuses, pendli väike ebaühtlane liikumine kõik see põhjustab korduvate mõõtmiste tulemuste hajumist ja seetõttu võib liigitada juhuslikeks vigadeks.

Kui muid vigu ei ole, siis mõned tulemused on mõnevõrra üle, teised aga veidi alahinnatud. Aga kui lisaks sellele on ka kell selja taga, siis alahinnatakse kõiki tulemusi. See on juba süstemaatiline viga.

Mõned tegurid võivad korraga põhjustada nii süstemaatilisi kui ka juhuslikke vigu. Seega saame stopperit sisse ja välja lülitades tekitada kella käivitamise ja seiskamise hetkedel pendli liikumise suhtes väikese ebakorrapärase hajumise ja sellega tekitada juhusliku vea. Kuid kui lisaks iga kord, kui kiirustame stopperit sisse lülitama ja jääme selle väljalülitamisega mõnevõrra hiljaks, põhjustab see süstemaatilise vea.

Juhuslikud vead on põhjustatud parallaksivigast instrumendi skaala jaotuste lugemisel, hoone vundamendi värisemisest, õhu vähese liikumise mõjust jne.

Kuigi üksikute mõõtmiste juhuslikke vigu välistada on võimatu, võimaldab juhuslike nähtuste matemaatiline teooria vähendada nende vigade mõju lõpptulemusele. Allpool on näidatud, et selleks on vaja teha mitte üks, vaid mitu mõõtmist ja mida väiksemat veaväärtust soovime saada, rohkem mõõtmeid vaja läbi viia.

Tuleb meeles pidada, et kui mõõtmisandmetest saadud juhuslik viga osutub oluliselt väiksemaks kui instrumendi täpsusega määratud viga, siis ilmselgelt ei ole mõtet püüda mõõtmistulemuste suurust veelgi vähendada. juhuslik viga nagunii, mõõtmistulemused sellest täpsemaks ei lähe.

Vastupidi, kui juhuslik viga on suurem kui instrumentaalne (süstemaatiline) viga, tuleks mõõtmist läbi viia mitu korda, et vähendada antud mõõtmiste seeria vea väärtust ja muuta see viga väiksemaks või ühe järku võrra väiksemaks. suurusjärk koos instrumendi veaga.