Võrrandisüsteemi lahendamise meetodid. Keeruliste võrrandisüsteemide lahendamine

Tund ja ettekanne teemal: "Võrrandisüsteemid. Asendusmeetod, liitmismeetod, uue muutuja sisseviimise meetod"

Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, tagasisidet, ettepanekuid! Kõiki materjale kontrollib viirusetõrjeprogramm.

Õppevahendid ja simulaatorid veebipoes "Integral" 9. klassile
Õpikute simulaator Atanasyan L.S. Õpikute simulaator Pogorelova A.V.

Võrdsussüsteemide lahendamise viisid

Poisid, oleme uurinud võrrandisüsteeme ja õppinud neid graafikute abil lahendama. Vaatame nüüd, millised muud võimalused süsteemide lahendamiseks on olemas?
Peaaegu kõik nende lahendamise viisid ei erine nendest, mida õppisime 7. klassis. Nüüd peame tegema mõned kohandused vastavalt võrranditele, mida oleme õppinud lahendama.
Kõigi punktis kirjeldatud meetodite olemus see õppetund, on süsteemi asendamine samaväärse süsteemiga rohkemaga lihtne vaade ja viis kuidas lahendada. Poisid, pidage meeles, mis on samaväärne süsteem.

Asendusmeetod

Esimene viis kahe muutujaga võrrandisüsteemide lahendamiseks on meile hästi teada – see on asendusmeetod. Seda meetodit kasutasime lineaarvõrrandite lahendamiseks. Nüüd vaatame, kuidas võrrandeid üldjuhul lahendada?

Kuidas peaks otsuse tegemisel toimima?
1. Väljendage üks muutujatest teise terminites. Kõige tavalisemad võrrandites kasutatavad muutujad on x ja y. Ühes võrrandis väljendame üht muutujat teisega. Näpunäide. Enne lahendamise alustamist vaadake mõlemad võrrandid korralikult läbi ja valige see, kus muutujat on lihtsam väljendada.
2. Asendage saadud avaldis väljendatud muutuja asemel teise võrrandiga.
3. Lahendage saadud võrrand.
4. Asendage saadud lahendus teise võrrandiga. Kui lahendusi on mitu, tuleb need järjestikku asendada, et mitte kaotada paari lahendust.
5. Selle tulemusena saad numbripaari $(x;y)$, mis tuleb vastuseks kirjutada.

Näide.
Lahendage süsteem kahega muutuv meetod asendused: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.

Otsus.
Vaatame oma võrrandeid lähemalt. Ilmselgelt on y väljendamine esimeses võrrandis x-ga palju lihtsam.
$\begin(cases)y=5-x, \\xy=6\end(cases)$.
Asendage esimene avaldis teise võrrandiga $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$.
Lahendame teise võrrandi eraldi:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Teise võrrandi $x_1=2$ ja $x_2=3$ saime kaks lahendit.
Asendage järjestikku teise võrrandiga.
Kui $x=2$, siis $y=3$. Kui $x=3$, siis $y=2$.
Vastuseks on kaks numbripaari.
Vastus: $(2;3)$ ja $(3;2)$.

Algebraline liitmise meetod

Seda meetodit õppisime ka 7. klassis.
On teada, et ratsionaalne võrrand kahes muutujas saame korrutada mis tahes arvuga, jättes meeles võrrandi mõlema poole korrutamise. Korrutasime ühe võrrandi teatud arvuga nii, et kui saadud võrrand lisatakse süsteemi teisele võrrandile, siis üks muutujatest hävib. Seejärel lahendati võrrand ülejäänud muutuja suhtes.
See meetod töötab endiselt, kuigi alati pole võimalik üht muutujatest hävitada. Kuid see võimaldab ühe võrrandi vormi oluliselt lihtsustada.

Näide.
Lahendage süsteem: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.

Otsus.
Korrutage esimene võrrand 2-ga.
$\begin(cases)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Lahutage esimesest võrrandist teine.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Nagu näete, on saadud võrrandi vorm palju lihtsam kui algne. Nüüd saame kasutada asendusmeetodit.
$\begin(cases)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Avaldame saadud võrrandis x kuni y.
$\begin(cases)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(cases)$.
Sai $y=-1$ ja $y=-3$.
Asendage need väärtused järjestikku esimesse võrrandisse. Saame kaks numbripaari: $(1;-1)$ ja $(-1;-3)$.
Vastus: $(1;-1)$ ja $(-1;-3)$.

Uue muutuja sisestamise meetod

Uurisime ka seda meetodit, kuid vaatame seda uuesti.

Näide.
Lahendage süsteem: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.

Otsus.
Tutvustame asendust $t=\frac(x)(y)$.
Kirjutame esimese võrrandi ümber uue muutujaga: $t+\frac(2)(t)=3$.
Lahendame saadud võrrandi:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Sai $t=2$ või $t=1$. Toome sisse pöördmuutuse $t=\frac(x)(y)$.
Saad: $x=2y$ ja $x=y$.

Iga avaldise puhul tuleb algne süsteem eraldi lahendada:
$\begin(cases)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\7y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=2y, \\y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\y=±1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=±1, \\y=±1\end(cases)$.
Saime neli paari lahendusi.
Vastus: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.

Näide.
Lahendage süsteem: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\lõpp(juhtumid)$.

Otsus.
Tutvustame asendust: $z=\frac(2)(x-3y)$ ja $t=\frac(3)(2x+y)$.
Kirjutame algsed võrrandid ümber uute muutujatega:
$\begin(cases)z+t=2, \\4z-3t=1\end(cases)$.
Kasutame meetodit algebraline liitmine:
$\begin(cases)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)7z=7, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\-3t=1-4\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\t=1\end(cases)$.
Tutvustame pöördasendust:
$\begin(cases)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x-3y=2, \\2x+y=3\end(cases)$.
Kasutame asendusmeetodit:
$\begin(cases)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3y, \\7y=-1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(cases)$.
$\begin(cases)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(cases)$.
Vastus: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.

Ülesanded võrrandisüsteemide iseseisvaks lahendamiseks

Lahendage süsteemid:
1. $\begin(cases)2x-2y=6, \\xy =-2\end(cases)$.
2. $\begin(cases)x+y^2=3, \\xy^2=4\end(cases)$.
3. $\begin(cases)xy+y^2=3, \\y^2-xy=5\end(cases)$.
4. $\begin(cases)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ lõpp(juhud)$.
5. $\begin(cases)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7 )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(juhtumid)$.

süsteem lineaarvõrrandid kahe tundmatuga - need on kaks või enam lineaarset võrrandit, mille jaoks on vaja leida kõik nende ühised lahendused. Vaatleme kahe tundmatuga lineaarvõrrandi süsteeme. Üldine vorm kahe tundmatuga lineaarvõrrandi süsteem on näidatud alloleval joonisel:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Siin on x ja y tundmatud muutujad, a1, a2, b1, b2, c1, c2 on mõned reaalarvud. Kahest lineaarvõrrandist koosneva kahe tundmatuga võrrandi süsteemi lahenduseks on arvupaar (x, y), nii et kui need arvud asendada süsteemi võrranditega, muutub süsteemi iga võrrand tõeliseks võrrandiks. Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks on mitu võimalust. Mõelge ühele lineaarvõrrandisüsteemi lahendamise võimalusele, nimelt liitmismeetodile.

Lahendamise algoritm liitmismeetodil

Algoritm lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks kahe tundmatu liitmismeetodiga.

1. Vajadusel hiljemalt samaväärsed teisendused võrdsustage mõlemas võrrandis ühe tundmatu muutuja koefitsiendid.

2. Saadud võrrandite liitmine või lahutamine ühe tundmatuga lineaarvõrrandi saamiseks

3. Lahendage saadud võrrand ühe tundmatuga ja leidke üks muutujatest.

4. Asendage saadud avaldis mis tahes süsteemi kahest võrrandist ja lahendage see võrrand, saades seeläbi teise muutuja.

5. Kontrollige lahendust.

Lahenduse näide liitmismeetodil

Suurema selguse huvides lahendame liitmismeetodi järgmine süsteem lineaarvõrrandid kahe tundmatuga:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Kuna ühelgi muutujal pole ühesuguseid koefitsiente, siis võrdsustame muutuja y koefitsiendid. Selleks korrutage esimene võrrand kolmega ja teine ​​võrrand kahega.

(3*x+2*a=10 |*3
(5*x + 3*a = 12 |*2

Hangi järgmine võrrandisüsteem:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Nüüd lahutage esimene teisest võrrandist. Esitame nagu terminid ja lahendage saadud lineaarvõrrand.

10*x+6*y – (9*x+6*y) = 24-30; x = -6;

Asendame saadud väärtuse oma algse süsteemi esimese võrrandiga ja lahendame saadud võrrandi.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y=14;

Tulemuseks on arvupaar x=6 ja y=14. Me kontrollime. Teeme asendus.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Nagu näete, saime kaks tõelist võrdsust, seega leidsime õige lahenduse.

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Järgnevalt on toodud mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas seda teavet kasutada.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsetest pakkumistest, tutvustustest ja muudest sündmustest ning eelseisvatest sündmustest.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja sõnumite saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
• Kui osalete loosimises, võistluses või sarnases stiimulis, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtulik kord, kohtumenetluses ja/või avalike taotluste või taotluste alusel valitsusagentuurid Vene Föderatsiooni territooriumil - avaldage oma isikuandmed. Võime avaldada teie kohta teavet ka siis, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muude avalike huvide tõttu.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.

Isikuandmete kaitse

Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas administratiivseid, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsuspõhimõtteid.

Võrrandisüsteeme kasutatakse laialdaselt majandustööstus juures matemaatiline modelleerimine erinevaid protsesse. Näiteks juhtimise ja tootmise planeerimise probleemide lahendamisel, logistikateedid ( transpordi ülesanne) või seadmete paigutust.

Võrrandisüsteeme ei kasutata mitte ainult matemaatika valdkonnas, vaid ka füüsikas, keemias ja bioloogias populatsiooni suuruse leidmise ülesannete lahendamisel.

Lineaarvõrrandisüsteem on termin kahe või enama mitme muutujaga võrrandi jaoks, millele on vaja leida ühine lahendus. Selline arvujada, mille puhul kõik võrrandid muutuvad tõelisteks võrdusteks või tõestavad, et jada ei eksisteeri.

Lineaarne võrrand

Võrrandeid kujul ax+by=c nimetatakse lineaarseteks. Tähised x, y on tundmatud, mille väärtus tuleb leida, b, a on muutujate koefitsiendid, c võrrandi vaba liige.
Võrrandi lahendamine selle graafiku joonistamise teel näeb välja nagu sirgjoon, mille kõik punktid on polünoomi lahendid.

Lineaarvõrrandisüsteemide tüübid

Lihtsaimad on näited kahe muutujaga X ja Y lineaarvõrrandisüsteemidest.

F1(x, y) = 0 ja F2(x, y) = 0, kus F1,2 on funktsioonid ja (x, y) on funktsiooni muutujad.

Lahendage võrrandisüsteem - see tähendab selliste väärtuste (x, y) leidmist, mille puhul süsteem muutub tõeliseks võrduseks, või tuvastada, et x ja y sobivad väärtused puuduvad.

Punktide koordinaatidena kirjutatud väärtuste paari (x, y) nimetatakse lineaarvõrrandisüsteemi lahenduseks.

Kui süsteemidel on üks ühine lahendus või lahendus puudub, nimetatakse neid ekvivalentseteks.

Homogeensed lineaarvõrrandisüsteemid on süsteemid parem osa mis on võrdne nulliga. Kui "võrdusmärgi" järel oleval parempoolsel osal on väärtus või seda väljendatakse funktsiooniga, ei ole selline süsteem homogeenne.

Muutujate arv võib olla palju suurem kui kaks, siis tuleks rääkida kolme või enama muutujaga lineaarvõrrandisüsteemi näitest.

Süsteemidega silmitsi seistes eeldavad koolilapsed, et võrrandite arv peab tingimata kattuma tundmatute arvuga, kuid see pole nii. Võrrandite arv süsteemis ei sõltu muutujatest, neid võib olla meelevaldselt palju.

Lihtsad ja keerulised meetodid võrrandisüsteemide lahendamiseks

Üldist analüütilist lahendusviisi pole sarnased süsteemid, põhinevad kõik meetodid numbrilised lahendused. AT koolikursus matemaatika, sellised meetodid nagu permutatsioon, algebraline liitmine, asendamine, samuti graafiline ja maatriks meetod, lahendus Gaussi meetodil.

Lahendusmeetodite õpetamise põhiülesanne on õpetada süsteemi õigesti analüüsima ja leidma optimaalne algoritm lahendused iga näite jaoks. Peaasi ei ole iga meetodi reeglite ja toimingute süsteemi meeldejätmine, vaid konkreetse meetodi rakendamise põhimõtete mõistmine.

Programmi 7. klassi lineaarvõrrandisüsteemide näidete lahendamine Põhikoolüsna lihtne ja üksikasjalikult lahti seletatud. Igas matemaatikaõpikus pööratakse sellele jaotisele piisavalt tähelepanu. Lineaarvõrrandisüsteemide näidete lahendamist Gaussi ja Crameri meetodil uuritakse põhjalikumalt kõrgkoolide esimestel kursustel.

Süsteemide lahendamine asendusmeetodil

Asendusmeetodi tegevused on suunatud ühe muutuja väärtuse väljendamisele teise kaudu. Avaldis asendatakse ülejäänud võrrandiga, seejärel taandatakse see ühe muutuja kujule. Toimingut korratakse olenevalt tundmatute arvust süsteemis

Toome näite 7. klassi lineaarvõrrandisüsteemist asendusmeetodil:

Nagu näitest näha, väljendati muutujat x läbi F(X) = 7 + Y. Saadud avaldis, mis asendati süsteemi 2. võrrandiga X asemel, aitas saada 2. võrrandis ühe muutuja Y . Otsus see näide ei tekita raskusi ja võimaldab saada Y-väärtuse Viimase sammuna tuleb kontrollida saadud väärtusi.

Lineaarvõrrandisüsteemi näidet ei ole alati võimalik asendamise teel lahendada. Võrrandid võivad olla keerulised ja muutuja väljendamine teise tundmatu kujul on edasiste arvutuste jaoks liiga tülikas. Kui süsteemis on rohkem kui 3 tundmatut, on asenduslahendus samuti ebapraktiline.

Lineaarsete mittehomogeensete võrrandite süsteemi näite lahendus:

Lahendus algebralise liitmise abil

Süsteemidele lahenduse otsimisel liitmismeetodil, termini kaupa liitmist ja võrrandite korrutamist erinevaid numbreid. Matemaatiliste toimingute lõppeesmärk on ühe muutujaga võrrand.

Rakenduste jaoks seda meetodit see nõuab harjutamist ja jälgimist. Lineaarvõrrandisüsteemi ei ole lihtne lahendada liitmismeetodi abil, mille muutujate arv on 3 või rohkem. Algebraline liitmine on kasulik, kui võrrandid sisaldavad murde ja kümnendarvu.

Lahenduse toimimise algoritm:

1. Korrutage võrrandi mõlemad pooled mõne arvuga. Tulemusena aritmeetiline tehe muutuja üks koefitsientidest peab saama võrdseks 1-ga.
2. Lisage saadud avaldis termini haaval ja leidke üks tundmatutest.
3. Ülejäänud muutuja leidmiseks asendage saadud väärtus süsteemi 2. võrrandiga.

Lahendusmeetod uue muutuja sisseviimisega

Uue muutuja saab kasutusele võtta, kui süsteemil on vaja lahendus leida mitte rohkem kui kahele võrrandile, samuti ei tohiks tundmatute arv olla suurem kui kaks.

Meetodit kasutatakse ühe võrrandi lihtsustamiseks uue muutuja sisseviimisega. Uus võrrand lahendatakse sisestatud tundmatu suhtes ja saadud väärtust kasutatakse algse muutuja määramiseks.

Näites on näha, et uue muutuja t sisseviimisega oli võimalik süsteemi 1. võrrand taandada standardiks ruudukujuline kolmik. Polünoomi saate lahendada diskriminandi leidmisega.

Diskriminandi väärtus on vaja leida poolt tuntud valem: D = b2 - 4*a*c, kus D on soovitud diskriminant, b, a, c on polünoomi kordajad. AT toodud näide a = 1, b = 16, c = 39, seega D = 100. Kui diskrimineerija Üle nulli, siis on kaks lahendit: t = -b±√D / 2*a, kui diskriminant on väiksem kui null, siis on ainult üks lahend: x= -b / 2*a.

Saadud süsteemide lahendus leitakse liitmismeetodi abil.

Visuaalne meetod süsteemide lahendamiseks

Sobib 3 võrrandiga süsteemidele. Meetod on edasiarendamine koordinaatide telg iga süsteemis sisalduva võrrandi graafikud. Kõverate ja tahvlite lõikepunktide koordinaadid on ühine lahendus süsteemid.

Graafilisel meetodil on mitmeid nüansse. Vaatleme mitmeid näiteid lineaarvõrrandisüsteemide visuaalsest lahendamisest.

Nagu näitest näha, konstrueeriti igale reale kaks punkti, muutuja x väärtused valiti meelevaldselt: 0 ja 3. x väärtuste põhjal leiti y väärtused: 3 ja 0. Punktid koordinaatidega (0, 3) ja (3, 0) märgiti graafikule ja ühendati joonega.

Teise võrrandi jaoks tuleb samme korrata. Sirgete lõikepunkt on süsteemi lahendus.

Järgmine näide tuleb leida graafiline lahendus lineaarvõrrandisüsteemid: 0,5x-y+2=0 ja 0,5x-y-1=0.

Nagu näitest näha, pole süsteemil lahendust, kuna graafikud on paralleelsed ega ristu kogu pikkuses.

Näidete 2 ja 3 süsteemid on sarnased, kuid konstrueerimisel selgub, et nende lahendused on erinevad. Tuleb meeles pidada, et alati ei saa öelda, kas süsteemil on lahendus või mitte, alati on vaja koostada graafik.

Maatriks ja selle sordid

Maatriksite jaoks kasutatakse lühend lineaarvõrrandisüsteemid. Tabelit nimetatakse maatriksiks. eriline liik täidetud numbritega. n*m sisaldab n - rida ja m - veerge.

Maatriks on ruut, kui veergude ja ridade arv on võrdne. Maatriks - vektor on maatriks ühest veerust lõpmatuga võimalik number read. Maatriksit, millel on ühikud piki ühte diagonaali ja muid nullelemente, nimetatakse identiteediks.

Pöördmaatriks on selline maatriks, millega korrutades muutub algne maatriks ühikmaatriksiks, eksisteerib selline maatriks ainult algse ruutmaatriksi jaoks.

Reeglid võrrandisüsteemi maatriksiks teisendamiseks

Võrrandisüsteemide puhul kirjutatakse võrrandite koefitsiendid ja vabaliikmed maatriksi arvudena, üks võrrand on maatriksi üks rida.

Maatriksirida nimetatakse nullist erinevaks, kui vähemalt üks rea element ei ole võrdne nulliga. Seega, kui mõnes võrrandis erineb muutujate arv, siis tuleb puuduva tundmatu asemele sisestada null.

Maatriksi veerud peavad rangelt vastama muutujatele. See tähendab, et muutuja x koefitsiendid saab kirjutada ainult ühte veergu, näiteks esimene, tundmatu y koefitsient - ainult teise.

Maatriksi korrutamisel korrutatakse kõik maatriksi elemendid järjestikku arvuga.

Pöördmaatriksi leidmise võimalused

Pöördmaatriksi leidmise valem on üsna lihtne: K -1 = 1 / |K|, kus K -1 - pöördmaatriks, ja |K| - maatriksdeterminant. |K| ei tohi olla võrdne nulliga, siis on süsteemil lahendus.

Determinant on kaks-kaks maatriksi jaoks kergesti arvutatav, elemendid on vaja vaid diagonaalselt üksteisega korrutada. Valiku "kolm korda kolm" jaoks on valem |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Võite kasutada valemit või meeles pidada, et igast reast ja veerust tuleb võtta üks element, et elementide veeru- ja reanumbrid tootes ei korduks.

Lineaarvõrrandisüsteemide näidete lahendamine maatriksmeetodil

Lahenduse leidmise maatriksmeetod võimaldab vähendada tülikaid tähistusi süsteemide lahendamisel suur kogus muutujad ja võrrandid.

Näites on a nm võrrandite koefitsiendid, maatriks on vektor, x n on muutujad ja b n on vabad liikmed.

Süsteemide lahendamine Gaussi meetodil

AT kõrgem matemaatika Gaussi meetodit uuritakse koos Crameri meetodiga ning süsteemidele lahenduse leidmise protsessi nimetatakse Gauss-Crameri lahendusmeetodiks. Neid meetodeid kasutatakse leidmiseks süsteemi muutujad paljude lineaarvõrranditega.

Gaussi meetod on väga sarnane asendus- ja algebralise liitmise lahendustele, kuid on süstemaatilisem. Koolikursuses kasutatakse Gaussi lahendust 3 ja 4 võrrandisüsteemide jaoks. Meetodi eesmärk on viia süsteem ümberpööratud trapetsi kujule. tee algebralised teisendused ja asendused on ühe muutuja väärtus süsteemi ühes võrrandis. Teine võrrand on avaldis 2 tundmatuga ning 3 ja 4 - vastavalt 3 ja 4 muutujaga.

Pärast süsteemi viimist kirjeldatud kujule taandatakse edasine lahendus teadaolevate muutujate järjestikusele asendamisele süsteemi võrrandites.

7. klassi kooliõpikutes kirjeldatakse Gaussi lahenduse näidet järgmiselt:

Nagu näitest näha, saadi etapis (3) kaks võrrandit 3x 3 -2x 4 =11 ja 3x 3 +2x 4 =7. Mis tahes võrrandi lahendus võimaldab teil välja selgitada ühe muutuja x n.

Tekstis mainitud teoreem 5 väidab, et kui süsteemi üks võrranditest asendada samaväärsega, on tulemuseks olev süsteem samaväärne ka algse võrrandiga.

Gaussi meetodit on õpilastel raske mõista Keskkool, kuid see on üks huvitavamaid viise programmis osalevate laste leidlikkuse arendamiseks süvaõpe matemaatika ja füüsika tundides.

Arvutuste salvestamise hõlbustamiseks on tavaks teha järgmist.

Võrrandikoefitsiendid ja vabaliikmed kirjutatakse maatriksi kujul, kus iga maatriksi rida vastab süsteemi ühele võrrandile. eraldab võrrandi vasaku külje paremast küljest. Rooma numbrid tähistavad võrrandite numbreid süsteemis.

Esiteks kirjutavad nad üles maatriksi, millega töötada, seejärel kõik ühe reaga tehtud toimingud. Saadud maatriks kirjutatakse pärast märki "nool" ja jätkake vajalike algebraliste toimingute sooritamist, kuni tulemus on saavutatud.

Selle tulemusena tuleks saada maatriks, milles üks diagonaalidest on 1 ja kõik muud koefitsiendid on võrdsed nulliga, see tähendab, et maatriks taandatakse ühele kujule. Me ei tohi unustada arvutuste tegemist võrrandi mõlema poole arvudega.

See märkimine on vähem tülikas ja võimaldab teil mitte lasta end segada paljude tundmatute loetlemisest.

Mis tahes lahendusmeetodi tasuta rakendamine nõuab hoolt ja teatud kogemusi. Kõiki meetodeid ei rakendata. Mõned lahenduste leidmise viisid on konkreetses inimtegevuse valdkonnas eelistatavamad, teised aga õppimise eesmärgil.

Selle videoga alustan võrrandisüsteemide õppetundide seeriat. Täna räägime lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisest lisamise meetod- on üks kõige enam lihtsaid viise aga ka üks tõhusamaid.

Lisamismeetod koosneb kolmest lihtsast sammust:

1. Vaadake süsteemi ja valige muutuja, millel on igas võrrandis samad (või vastupidised) koefitsiendid;
2. Jookse algebraline lahutamine(eest vastupidised numbrid- võrrandite liitmine üksteisest, mille järel tuuakse sarnased terminid;
3. Lahendage pärast teist sammu saadud uus võrrand.

Kui kõik on õigesti tehtud, saame väljundis ühe võrrandi ühe muutujaga- Seda ei ole raske lahendada. Siis jääb üle vaid asendada leitud juur algses süsteemis ja saada lõplik vastus.

Praktikas pole see aga nii lihtne. Sellel on mitu põhjust:

• Võrrandite lahendamine liitmise teel tähendab, et kõik read peavad sisaldama samade/vastandlike koefitsientidega muutujaid. Mis siis, kui see nõue ei ole täidetud?
• Mitte alati, pärast sellisel viisil võrrandite liitmist/lahutamist ei saa me ilusat konstruktsiooni, mis on lihtsalt lahendatav. Kas on võimalik arvutusi kuidagi lihtsustada ja arvutusi kiirendada?

Nendele küsimustele vastuse saamiseks ja samal ajal mõne täiendava peensusega tegelemiseks, millest paljud õpilased "kukkuvad", vaadake minu videoõpetust:

Selle õppetunniga alustame võrrandisüsteemide loengute sarja. Ja alustame neist kõige lihtsamatest, nimelt neist, mis sisaldavad kahte võrrandit ja kahte muutujat. Igaüks neist on lineaarne.

Süsteemid on 7. klassi materjal, kuid see tund on kasulik ka keskkooliõpilastele, kes soovivad oma teadmisi sellel teemal värskendada.

Üldiselt on selliste süsteemide lahendamiseks kaks meetodit:

1. Lisamise meetod;
2. Meetod ühe muutuja väljendamiseks teisega.

Täna käsitleme esimest meetodit - kasutame lahutamise ja liitmise meetodit. Kuid selleks peate mõistma järgmist fakti: kui teil on kaks või enam võrrandit, võite võtta neist kaks ja need kokku liita. Neid lisatakse termini kaupa, st. "X-idele" lisatakse "X" ja antakse sarnased;

Selliste mahhinatsioonide tulemuseks on uus võrrand, mis, kui sellel on juured, on kindlasti algse võrrandi juurte hulgas. Seega on meie ülesanne teha lahutamine või liitmine nii, et kas $x$ või $y$ kaoks.

Kuidas seda saavutada ja millist tööriista selleks kasutada - sellest räägime nüüd.

Lihtsate ülesannete lahendamine liitmismeetodi abil

Niisiis, me õpime rakendama liitmismeetodit kahe lihtsa avaldise näitel.

Ülesanne nr 1

\[\left\( \begin(joona)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(joonda) \right.\]

Pange tähele, et $y$ koefitsient on esimeses võrrandis $-4$ ja teises võrrandis $+4$. Need on vastastikku vastandlikud, seega on loogiline eeldada, et kui need kokku liita, siis saadavas koguses hävivad “mängud” vastastikku. Lisame ja saame:

Lahendame kõige lihtsama ehituse:

Suurepärane, leidsime X. Mida temaga nüüd peale hakata? Saame selle asendada mis tahes võrrandiga. Paneme selle esimesse:

\[-4y=12\left| :\left(-4 \right) \right.\]

Vastus: $\left(2;-3\right)$.

Ülesanne nr 2

\[\left\( \begin(joona)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(joonda) \right.\]

Siin on olukord täiesti sarnane, ainult X-idega. Paneme need kokku:

Saime lihtsaima lineaarvõrrandi, lahendame selle:

Nüüd leiame $x$:

Vastus: $\left(-3;3\right)$.

Olulised punktid

Niisiis, oleme just liitmismeetodi abil lahendanud kaks lihtsat lineaarvõrrandisüsteemi. Veelkord põhipunktid:

1. Kui ühe muutuja puhul on vastupidised koefitsiendid, siis on vaja kõik võrrandis olevad muutujad liita. Sel juhul üks neist hävitatakse.
2. Teise leidmiseks asendame leitud muutuja mis tahes süsteemi võrrandiga.
3. Vastuse lõplikku kirjet saab esitada erineval viisil. Näiteks nii - $x=...,y=...$ või punktide koordinaatidena - $\left(...;... \right)$. Teine võimalus on eelistatavam. Peamine asi, mida meeles pidada, on see, et esimene koordinaat on $x$ ja teine ​​on $y$.
4. Reegel kirjutada vastus punktikoordinaatide kujul ei ole alati rakendatav. Näiteks ei saa seda kasutada, kui muutujate roll pole mitte $x$ ja $y$, vaid näiteks $a$ ja $b$.

Järgmistes ülesannetes käsitleme lahutamise tehnikat, kui koefitsiendid ei ole vastupidised.

Lihtsate ülesannete lahendamine lahutamise meetodil

Ülesanne nr 1

\[\left\( \begin(joonda)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(joonda) \right.\]

Pange tähele, et siin pole vastandkoefitsiente, kuid on identsed. Seetõttu lahutame esimesest võrrandist teise võrrandi:

Nüüd asendame väärtuse $x$ mis tahes süsteemi võrrandiga. Lähme kõigepealt:

Vastus: $\left(2;5\right)$.

Ülesanne nr 2

\[\left\( \begin (joonda)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\lõpp(joonda) \right.\]

Esimeses ja teises võrrandis näeme jällegi sama koefitsienti $5$ $x$ jaoks. Seetõttu on loogiline eeldada, et peate esimesest võrrandist teise lahutama:

Oleme välja arvutanud ühe muutuja. Nüüd leiame teise, näiteks asendades $y$ väärtuse teise konstruktsiooniga:

Vastus: $\left(-3;-2 \right)$.

Lahenduse nüansid

Mida me siis näeme? Sisuliselt ei erine skeem varasemate süsteemide lahendusest. Ainus erinevus on see, et me ei liida võrrandeid, vaid lahutame. Teeme algebralise lahutamise.

Teisisõnu, niipea, kui näete süsteemi, mis koosneb kahest võrrandist kahe tundmatuga, peate kõigepealt vaatama koefitsiente. Kui need on kuskil samad, lahutatakse võrrandid ja kui need on vastupidised, rakendatakse liitmismeetodit. Seda tehakse alati nii, et üks neist kaoks ja pärast lahutamist jäävasse lõppvõrrandisse jääks ainult üks muutuja.

See pole muidugi veel kõik. Nüüd vaatleme süsteeme, milles võrrandid on üldiselt ebajärjekindlad. Need. neis pole selliseid muutujaid, mis oleksid kas samad või vastupidised. Sel juhul selliste süsteemide lahendamiseks lisavastuvõtt, nimelt iga võrrandi korrutamine spetsiaalse koefitsiendiga. Kuidas seda leida ja kuidas selliseid süsteeme üldiselt lahendada, räägime nüüd sellest.

Ülesannete lahendamine koefitsiendiga korrutamisega

Näide nr 1

\[\left\( \begin(joona)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(joonda) \right.\]

Näeme, et ei $x$ ega $y$ puhul ei ole koefitsiendid mitte ainult vastastikku vastandlikud, vaid üldiselt ei korreleeru nad ka kuidagi teise võrrandiga. Need koefitsiendid ei kao mingil moel, isegi kui me võrrandid üksteisest liidame või lahutame. Seetõttu on vaja rakendada korrutamist. Proovime muutujast $y$ lahti saada. Selleks korrutame esimese võrrandi teise võrrandi $y$ koefitsiendiga ja teise võrrandi esimese võrrandi $y$ koefitsiendiga, ilma märki muutmata. Korrutame ja saame uue süsteemi:

\[\left\( \begin(joona)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(joonda) \right.\]

Vaatame seda: $y$ puhul vastupidised koefitsiendid. Sellises olukorras on vaja rakendada lisamismeetodit. Lisame:

Nüüd peame leidma $y$. Selleks asendage esimeses avaldises $x$:

\[-9y=18\left| :\left(-9 \right) \right.\]

Vastus: $\left(4;-2\right)$.

Näide nr 2

\[\left\( \begin(joona)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(joonda) \right.\]

Jällegi ei ole ühegi muutuja koefitsiendid järjepidevad. Korrutame koefitsientidega $y$:

\[\left\( \begin(joona)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(joonda) \paremale .\]

\[\left\( \begin(joona)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(joonda) \right.\]

Meie uus süsteem on samaväärne eelmisega, kuid koefitsiendid $y$ on vastastikku vastupidised ja seetõttu on siin lihtne liitmismeetodit rakendada:

Nüüd leidke $y$, asendades esimeses võrrandis $x$:

Vastus: $\left(-2;1\right)$.

Lahenduse nüansid

Peamine reegel on siin: korrutage alati ainult arvuga positiivsed numbrid- see säästab teid märkide muutmisega seotud rumalate ja solvavate vigade eest. Üldiselt on lahendusskeem üsna lihtne:

1. Vaatame süsteemi ja analüüsime iga võrrandit.
2. Kui näeme, et ei $y$ ega $x$ puhul ei ole koefitsiendid järjepidevad, s.t. need ei ole võrdsed ega vastandlikud, siis teeme järgmist: valime muutuja, millest vabaneda, ja seejärel vaatame nende võrrandite koefitsiente. Kui korrutada esimene võrrand teise koefitsiendiga ja teine ​​​​vastav esimesest saadud koefitsiendiga, siis lõpuks saame süsteemi, mis on eelmisega täiesti ekvivalentne ja koefitsiendid $ y $ on järjepidev. Kõik meie tegevused või teisendused on suunatud ainult ühe muutuja saamisele ühes võrrandis.
3. Leiame ühe muutuja.
4. Asendame leitud muutuja ühega kahest süsteemi võrrandist ja leiame teise.
5. Vastuse kirjutame punktide koordinaatide kujul, kui meil on muutujad $x$ ja $y$.

Kuid ka sellisel lihtsal algoritmil on omad peensused, näiteks $x$ või $y$ koefitsiendid võivad olla murded ja muud "koledad" arvud. Vaatleme neid juhtumeid nüüd eraldi, sest neis saab tegutseda veidi teisiti kui standardalgoritmi järgi.

Ülesannete lahendamine murdarvudega

Näide nr 1

\[\left\( \begin(joona)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(joonda) \right.\]

Esiteks pange tähele, et teine ​​võrrand sisaldab murde. Kuid pange tähele, et saate 4 dollarit jagada 0,8 dollariga. Saame 5 dollarit. Korrutame teise võrrandi 5 dollariga:

\[\left\( \begin(joona)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(joonda) \right.\]

Lahutame üksteisest võrrandid:

$n$ leidsime, nüüd arvutame $m$:

Vastus: $n=-4;m=5$

Näide nr 2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(joonda )\ õige.\]

Siin, nagu eelmises süsteemis, on murdosa koefitsiendid, aga ühegi muutuja puhul ei sobi koefitsiendid üksteisesse täisarv kordade kaupa. Seetõttu kasutame standardset algoritmi. Vabane $p$-st:

\[\left\( \begin(joonda)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end(joonda) \right.\]

Kasutame lahutamise meetodit:

Leiame $p$, asendades $k$ teise konstruktsiooniga:

Vastus: $p=-4;k=-2$.

Lahenduse nüansid

See on kõik optimeerimine. Esimeses võrrandis me ei korrutanud üldse mitte millegagi ja teine ​​võrrand korrutati $5$-ga. Selle tulemusena oleme saanud esimese muutuja jaoks järjepideva ja isegi sama võrrandi. Teises süsteemis tegutsesime standardse algoritmi järgi.

Kuidas aga leida numbreid, millega võrrandeid tuleb korrutada? Lõppude lõpuks, kui korrutada murdarvud, saame uued murded. Seetõttu tuleb murded korrutada arvuga, mis annaks uue täisarvu ja pärast seda tuleks muutujad standardalgoritmi järgi korrutada koefitsientidega.

Kokkuvõtteks juhin teie tähelepanu vastusekirje vormingule. Nagu ma juba ütlesin, kuna siin pole siin $x$ ja $y$, vaid muud väärtused, kasutame vormi mittestandardset tähistust:

Keeruliste võrrandisüsteemide lahendamine

Tänase videoõpetuse lõpuakordina vaatame paari tõesti keerulised süsteemid. Nende keerukus seisneb selles, et need sisaldavad muutujaid nii vasakul kui ka paremal. Seetõttu peame nende lahendamiseks rakendama eeltöötlust.

Süsteem nr 1

\[\left\( \begin(joona)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(joonda) \right.\]

Igal võrrandil on teatud keerukus. Seetõttu teeme iga avaldise puhul nagu tavalise lineaarse konstruktsiooniga.

Kokku saame lõpliku süsteemi, mis on samaväärne algse süsteemiga:

\[\left\( \begin (joonda)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(joonda) \right.\]

Vaatame $y$ koefitsiente: $3$ mahub $6$-sse kaks korda, seega korrutame esimese võrrandi $2$-ga:

\[\left\( \begin (joonda)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(joonda) \right.\]

$y$ koefitsiendid on nüüd võrdsed, seega lahutame esimesest võrrandist teise: $$

Nüüd leiame $y$:

Vastus: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Süsteem nr 2

\[\left\( \begin(joona)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(joonda) \parem.\]

Teisendame esimese avaldise:

Tegeleme teisega:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Kokkuvõttes on meie esialgne süsteem järgmine:

\[\left\( \begin(joona)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(joonda) \right.\]

Vaadates $a$ koefitsiente, näeme, et esimene võrrand tuleb korrutada $2$-ga:

\[\left\( \begin(joona)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(joonda) \right.\]

Esimesest konstruktsioonist lahutame teise:

Nüüd leidke $a$:

Vastus: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

See on kõik. Loodan, et see videoõpetus aitab teil mõista seda keerulist teemat, nimelt lihtsate lineaarvõrrandisüsteemide lahendamist. Sellel teemal on veel palju õppetunde: analüüsime rohkem keerulised näited, kus muutujaid on rohkem ja võrrandid ise on juba mittelineaarsed. Varsti näeme!