Vierkante uitdrukkingen. kwadratische vergelijkingen

In deze les zullen we de basiseigenschap van een breuk bestuderen, uitzoeken welke breuken aan elkaar gelijk zijn. We zullen leren hoe je breuken kunt verkleinen, bepalen of een breuk al dan niet wordt gereduceerd, oefenen met het verkleinen van breuken en ontdekken wanneer reductie moet worden gebruikt en wanneer niet.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Voeg toe aan de consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo uitvinder iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias veronderstelnda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit Provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Deze informatie is beschikbaar voor geregistreerde gebruikers

Basiseigenschap van een breuk

Stel je een dergelijke situatie voor.

Aan tafel 3 mens en 5 appels. Verdeling 5 drie appels. Elk krijgt $\mathbf(\frac(5)(3))$ appels.

En aan de volgende tafel 3 persoon en ook 5 appels. Elke opnieuw $\mathbf(\frac(5)(3))$

Tegelijkertijd, alle 10 appels 6 menselijk. Elke $\mathbf(\frac(10)(6))$

Maar het is hetzelfde.

$\mathbf(\frac(5)(3) = \frac(10)(6))$

Deze breuken zijn equivalent.

Je kunt het aantal mensen verdubbelen en het aantal appels verdubbelen. Het resultaat zal hetzelfde zijn.

In de wiskunde is dit als volgt geformuleerd:

Als de teller en noemer van een breuk worden vermenigvuldigd of gedeeld door hetzelfde getal (niet gelijk aan 0), dan is de nieuwe breuk gelijk aan de oorspronkelijke.

Deze eigenschap wordt soms aangeduid als " basiseigenschap van een breuk ».

$$\mathbf(\frac(a)(b) = \frac(a\cdot c)(b\cdot c) = \frac(a:d)(b:d))$$

Bijvoorbeeld de weg van de stad naar het dorp- 14 kilometer.

We lopen langs de weg en bepalen de afgelegde afstand door de kilometerpaaltjes. Na het passeren van zes kolommen, zes kilometer, begrijpen we dat we $\mathbf(\frac(6)(14))$ paden zijn gepasseerd.

Maar als we de palen niet zien (misschien zijn ze niet geplaatst), kunnen we het pad langs de elektriciteitspalen langs de weg tellen. Hen 40 stuks per kilometer. Dat wil zeggen, alles 560 helemaal. Zes kilometer - $\mathbf(6\cdot40 = 240)$ pilaren. Dat wil zeggen, we zijn geslaagd 240 van 560 kolommen- $\mathbf(\frac(240)(560))$

$\mathbf(\frac(6)(14) = \frac(240)(560))$

voorbeeld 1

Markeer een punt met coördinaten ( 5; 7 ) op de coördinaatvlak XOja. Het komt overeen met de breuk $\mathbf(\frac(5)(7))$

Verbind de oorsprong met het resulterende punt. Construeer een ander punt met coördinaten die twee keer zo groot zijn als de vorige. Welke fractie heb je gekregen? Zullen ze gelijk zijn?

Oplossing

Een breuk op het coördinatenvlak kan worden gemarkeerd met een punt. Om een breuk te tekenen $\mathbf(\frac(5)(7))$, markeer een punt met coördinaat 5 langs de as ja en 7 langs de as X. Laten we een rechte lijn trekken van de oorsprong door ons punt.

Het punt dat overeenkomt met de breuk $\mathbf(\frac(10)(14))$

Ze zijn equivalent: $\mathbf(\frac(5)(7) = \frac(10)(14))$

Breuken en hun reductie is een ander onderwerp dat begint in de 5e klas. Hier wordt de basis van deze actie gevormd, en dan worden deze vaardigheden door een draad naar binnen getrokken hogere wiskunde. Als de student niet heeft geleerd, kan hij problemen hebben met algebra. Daarom is het beter om eens en voor altijd een paar regels te begrijpen. En onthoud één verbod en breek het nooit.

Breuk en de reductie ervan

Wat het is, weet elke student. Elke twee cijfers die zich tussen de horizontale balk bevinden, worden onmiddellijk als een breuk gezien. Niet iedereen begrijpt echter dat elk nummer het kan worden. Als het een geheel getal is, dan kan het altijd door één worden gedeeld, dan krijg je een onechte breuk. Maar daarover later meer.

Het begin is altijd eenvoudig. Eerst moet je uitzoeken hoe je de juiste breuk kunt verkleinen. Dat wil zeggen, een waarvan de teller kleiner is dan de noemer. Om dit te doen, moet u de hoofdeigenschap van een breuk onthouden. Het stelt dat bij het vermenigvuldigen (en delen) van zowel de teller als de noemer door hetzelfde nummer blijkt hetzelfde te zijn als de oorspronkelijke breuk.

De deelacties die op deze eigenschap worden uitgevoerd, resulteren in een reductie. Dat wil zeggen, de maximale vereenvoudiging ervan. Een breuk kan worden verminderd zolang er gemeenschappelijke factoren zijn boven en onder de lijn. Als ze niet meer bestaan, is de reductie onmogelijk. En ze zeggen dat deze breuk onherleidbaar is.

twee manieren

1.Stap voor stap verminderen. Het maakt gebruik van de gokmethode, waarbij beide getallen worden gedeeld door de minimale gemene deler die de student heeft opgemerkt. Als na de eerste reductie duidelijk is dat dit niet het einde is, gaat de splitsing verder. Totdat de breuk onherleidbaar wordt.

2. Het vinden van de grootste gemene deler van de teller en de noemer. Dit is de meest rationele manier om breuken te verminderen. Het betekent het ontbinden van de teller en noemer in priemfactoren. Onder hen, dan moet je allemaal hetzelfde kiezen. Hun product geeft de grootste gemene deler waarmee de fractie wordt verminderd.

Beide methoden zijn gelijkwaardig. De student wordt uitgenodigd om ze onder de knie te krijgen en degene te gebruiken die hij het leukst vond.

Wat als er letters en bewerkingen van optellen en aftrekken zijn?

Met het eerste deel van de vraag is alles min of meer duidelijk. Letters kunnen net als cijfers worden afgekort. Het belangrijkste is dat ze fungeren als vermenigvuldigers. Maar met de tweede hebben velen problemen.

Belangrijk om te onthouden! U kunt alleen getallen verminderen die factoren zijn. Als het termen zijn, is het onmogelijk.

Om te begrijpen hoe breuken die eruit zien als algebraïsche uitdrukking, je moet de regel leren. Druk eerst de teller en noemer uit als een product. Dan kun je verminderen als er gemeenschappelijke factoren zijn. Voor weergave als vermenigvuldigers zijn de volgende trucs handig:

groepering;
tussen haakjes zetten;
toepassing van verkorte vermenigvuldigingsidentiteiten.

Bovendien maakt deze laatste methode het mogelijk om termen in de vorm van factoren direct te verkrijgen. Daarom moet het altijd worden gebruikt als een bekend patroon zichtbaar is.

Maar dit is nog niet eng, dan verschijnen er taken met graden en wortels. Dan moet je de moed verzamelen en een paar nieuwe regels leren.

Machtsuitdrukking

Fractie. Het product in de teller en noemer. Er zijn letters en cijfers. En ze worden ook verheven tot een macht, die ook uit termen of factoren bestaat. Er is iets om bang voor te zijn.

Om erachter te komen hoe je breuken met graden kunt verkleinen, moet je twee punten leren:

als er een som in de exponent is, dan kan deze worden ontleed in factoren, waarvan de machten de oorspronkelijke termen zijn;
als het verschil, dan in het deeltal en deler, de eerste in de graad zal worden verminderd, de tweede - afgetrokken.

Na het doorlopen van deze stappen worden de gemeenschappelijke vermenigvuldigers zichtbaar. In dergelijke voorbeelden is het niet nodig om alle machten te berekenen. Het volstaat om de graden eenvoudig te verlagen met dezelfde indicatoren en bases.

Om eindelijk onder de knie te krijgen hoe je breuken met krachten kunt verkleinen, moet je veel oefenen. Na meerdere voorbeelden van hetzelfde type worden de acties automatisch uitgevoerd.

Wat als de expressie een wortel bevat?

Het kan ook worden ingekort. Nogmaals, volg gewoon de regels. Bovendien zijn al die hierboven beschreven waar. Over het algemeen, als de vraag is hoe je een breuk met wortels kunt verkleinen, moet je delen.

Op de irrationele uitdrukkingen kan ook worden verdeeld. Dat wil zeggen, als de teller en noemer zijn dezelfde vermenigvuldigers ingesloten onder het teken van de wortel, dan kunnen ze veilig worden verminderd. Dit zal de uitdrukking vereenvoudigen en de klus klaren.

Als na de reductie de irrationaliteit onder de lijn van de breuk blijft, moet u deze verwijderen. Met andere woorden, vermenigvuldig de teller en de noemer ermee. Als na deze operatie gemeenschappelijke factoren zijn verschenen, moeten deze opnieuw worden verlaagd.

Dat heeft misschien alles te maken met het verminderen van breuken. Weinig regels, maar één verbod. Verlaag nooit de voorwaarden!

Calculator online presteert reductie van algebraïsche breuken volgens de regel van reductie van breuken: vervanging van de oorspronkelijke breuk gelijke breuk, maar met kleinere teller en noemer, d.w.z. gelijktijdige deling van de teller en noemer van een breuk door hun gemeenschappelijk grootste gemeenschappelijke deler(GCD). De rekenmachine geeft ook weer gedetailleerde oplossing:, die u zal helpen de volgorde van uitvoering van de reductie te begrijpen.

Gegeven:

Oplossing:

Breukreductie doen

het controleren van de mogelijkheid om een reductie uit te voeren algebraïsche breuk

1) Bepaling van de grootste gemene deler (GCD) van de teller en noemer van een breuk

bepaling van de grootste gemene deler (ggd) van de teller en noemer van een algebraïsche breuk

2) De teller en noemer van een breuk verkleinen

reductie van de teller en noemer van een algebraïsche breuk

3) Selectie van het gehele deel van de breuk

extraheren van het gehele deel van een algebraïsche breuk

4) Een algebraïsche breuk converteren naar een decimale breuk

conversie van algebraïsche breuk naar decimale

Hulp bij de ontwikkeling van het siteproject

Beste sitebezoeker.
Als u niet kon vinden wat u zocht, schrijf er dan over in de opmerkingen, wat de site nu mist. Zo begrijpen we in welke richting we verder moeten en kunnen andere bezoekers binnenkort het benodigde materiaal krijgen.
Als de site nuttig voor u bleek te zijn, doneer de site dan aan het project slechts 2 en we zullen weten dat we op de goede weg zijn.

Bedankt voor het niet langskomen!

I. De procedure voor het verkleinen van een algebraïsche breuk met een online rekenmachine:

Om een algebraïsche breuk te verkleinen, voert u de waarden van de teller en noemer van de breuk in de daarvoor bestemde velden in. Als de breuk gemengd is, vul dan ook het veld in dat overeenkomt met het gehele deel van de breuk. Als de breuk eenvoudig is, laat u het veld voor gehele getallen leeg.
Om in te stellen negatieve breuk, zet een minteken in het gehele deel van de breuk.
Afhankelijk van de gegeven algebraïsche breuk, wordt automatisch de volgende reeks acties uitgevoerd:

bepalen van de grootste gemene deler (GCD) van de teller en noemer van een breuk;
reductie van de teller en noemer van een breuk met ggd;
het gehele deel van een breuk extraheren als de teller van de laatste breuk groter is dan de noemer.
het omzetten van de laatste algebraïsche breuk naar een decimale breuk afgerond op honderdsten.

Het resultaat van de reductie kan een oneigenlijke breuk zijn. In dit geval de finale juiste breuk zal worden toegewezen hele deel en de resulterende breuk zal worden omgezet in een juiste breuk.

II. Als referentie:

Een breuk is een getal dat bestaat uit een of meer delen (breuken) van een eenheid. Een gewone breuk (eenvoudige breuk) wordt geschreven als twee getallen (de teller van de breuk en de noemer van de breuk), gescheiden door een horizontale balk (breukstreep), die het teken van deling aangeven. De teller van een breuk is het getal boven de breukstreep. De teller geeft aan hoeveel delen van het geheel zijn genomen. De noemer van een breuk is het getal onder de breukstreep. De noemer geeft aan in hoeveel gelijke delen het geheel is verdeeld. Een eenvoudige breuk is een breuk die geen geheel getal heeft. Een eenvoudige breuk kan goed of fout zijn. Een echte breuk is een breuk waarvan de teller kleiner dan de noemer, dus een juiste breuk is altijd kleiner dan één. Voorbeeld van correcte breuken: 8/7, 11/19, 16/17. Een onechte breuk is een breuk waarvan de teller groter is dan of gelijk is aan de noemer, dus een onechte breuk is altijd groter dan of gelijk aan één. Voorbeeld onechte breuken: 7/6, 8/7, 13/13. gemengde breuk - een getal dat een geheel getal en een eigen breuk bevat, en de som van dit gehele getal en een eigen breuk aangeeft. Elke gemengde breuk kan worden omgezet in een oneigenlijke eenvoudige breuk. Voorbeeld gemengde breuken: 1¼, 2½, 4¾.

III. Opmerking:

Brongegevensblok gemarkeerd geel , blok tussentijdse berekeningen gemarkeerd blauwe kleur , oplossingsblok groen gemarkeerd.
Gebruik voor optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van gewone of gemengde breuken de online breukcalculator met een gedetailleerde oplossing.

We zullen begrijpen wat breukreductie is, waarom en hoe breuken kunnen worden verminderd, we zullen de regel geven voor het verminderen van breuken en voorbeelden van het gebruik ervan.

Yandex.RTB RA-339285-1

Wat is "fractiereductie"

breuk verkleinen

Een breuk verkleinen betekent de teller en noemer delen door een gemeenschappelijke deler, positief en verschillend van één.

Als resultaat van zo'n actie zal een breuk met een nieuwe teller en noemer worden verkregen, gelijk aan de oorspronkelijke breuk.

Laten we bijvoorbeeld nemen gemeenschappelijke breuk 6 24 en verkort het. Deel de teller en noemer door 2, wat resulteert in 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12 . In dit voorbeeld hebben we de oorspronkelijke breuk met 2 verminderd.

Reductie van breuken tot onherleidbare vorm

In het vorige voorbeeld hebben we de breuk 6 24 verkleind met 2 , wat resulteert in de breuk 3 12 . Het is gemakkelijk in te zien dat deze fractie verder kan worden verminderd. Over het algemeen is het doel van het verminderen van fracties om te eindigen met een onherleidbare fractie. Hoe zet je een breuk om in een onherleidbare vorm?

Dit kan worden gedaan door de teller en de noemer te verminderen met hun grootste gemene deler (GCD). Dan, door de eigenschap van de grootste gemene deler, in de teller en in de noemer zal er wederzijds zijn priemgetallen, en de breuk is irreducibel.

a b = a ÷ N O D (a , b) b ÷ N O D (a , b)

Reductie van een breuk tot een irreducibele vorm

Om een breuk te reduceren tot een onherleidbare vorm, moet je de teller en noemer delen door hun ggd.

Laten we terugkeren naar de breuk 6 24 uit het eerste voorbeeld en deze reduceren tot een onherleidbare vorm. De grootste gemene deler van 6 en 24 is 6 . Laten we de breuk verkleinen:

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

Het verkleinen van breuken is handig om te gebruiken om niet met grote getallen te werken. Over het algemeen is er een onuitgesproken regel in de wiskunde: als je een uitdrukking kunt vereenvoudigen, moet je het doen. Door een breuk te verkleinen, bedoelen ze meestal de reductie tot een onherleidbare vorm, en niet alleen reductie door een gemeenschappelijke deler van de teller en noemer.

Regel voor breukvermindering

Om breuken te verminderen, volstaat het om de regel te onthouden, die uit twee stappen bestaat.

Regel voor breukvermindering

Een breuk verkleinen:

Zoek de ggd van de teller en de noemer.
Deel de teller en noemer door hun ggd.

Denk aan praktijkvoorbeelden.

Voorbeeld 1. Laten we de breuk verkleinen.

Gegeven een breuk 182 195 . Laten we het inkorten.

Zoek de GCD van de teller en de noemer. voor dit in deze zaak De beste manier is om het algoritme van Euclides te gebruiken.

195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 N O D (182, 195) = 13

Deel de teller en de noemer door 13. We krijgen:

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

Klaar. We hebben een onherleidbare breuk, die gelijk is aan de oorspronkelijke breuk.

Hoe kun je anders breuken verkleinen? In sommige gevallen is het handig om de teller en noemer te ontleden in eenvoudige factoren, en dan van de bovenste en lagere delen breuken om alle gemeenschappelijke factoren te verwijderen.

Voorbeeld 2. Verklein de breuk

Gegeven een breuk 360 2940 . Laten we het inkorten.

Om dit te doen, stellen we de oorspronkelijke breuk voor in de vorm:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7

Laten we de gemeenschappelijke factoren in de teller en noemer weglaten, waardoor we krijgen:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49

Overweeg ten slotte een andere manier om breuken te verminderen. Dit is de zogenaamde sequentiële reductie. Met behulp van deze methode wordt de reductie in verschillende fasen uitgevoerd, waarbij de breuk elk wordt verminderd met een duidelijke gemeenschappelijke deler.

Voorbeeld 3. Verklein de breuk

Laten we de breuk 2000 4400 verkleinen.

Het is meteen duidelijk dat teller en noemer een gemeenschappelijke factor 100 hebben. We verminderen de breuk met 100 en krijgen:

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

Het resulterende resultaat wordt opnieuw met 2 verminderd en we krijgen een onherleidbare breuk:

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter